videoCircunferencia Escrito por: Guillermo Miranda Manrique Juan Carlos Cuadros CIRCUNFERENCIA Posición de una recta Medida de la TEOREMAS y dos circunferencias rcunferencia exterior PITOT tangente secante PONCELET Circunferencias exteriores Circunferencias secantes Circunferencias tangentes interiores Circunferencias tangentes exteriores Circunferencias interiores Circunferencias concéntricas EJERCICIOS Medida de la Circunferencia Medida Angular: Medida Lineal: 360º 2 Π .r Medida de arcos X+Y+Z=360º en una circunferencia Medida de una Circunferencia •Medida Angular: la medida angular de una circunferencia es igual a 360º. No interesa la longitud de su radio. • Medida Lineal: La longitud lineal de una circunferencia es igual a 2p Si interesa cuanto mide su radio, pues a mayor radio, mayor longitud. Medida de una arco • Tanto la circunferencia como un arco, se mide en unidades angulares, específicamente en grados sexagesimales. • Entonces, la medida de un arco será una fracción de 360º Suma de arcos en una Circunferencia • Si una circunferencia se divide en varios arcos, la suma de todos estos arcos es igual 360º POSICIÓN DE UNA RECTA Y CIRCUNFERENCIA; POSICIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS. Exterior • Es exterior cuando la recta no toca la circunferencia Tangente • Esta se llama tangente porque solo toca un punto de la circunferencia Secante • Se llama secante porque la recta cruza la circunferencia Posición de dos circunferencias •En posición de dos circunferencias solo existen seis casos que son los siguientes Circunferencias exteriores • Cuando la suma de sus radios es menor que la distancia entre los centros • No tiene punto común r R R + r es menor que la distancia entre sus Circunferencias secantes • Cuando se cortan y tienen dos puntos comunes R r R – r es menor la distancia de los centros y estos son menores que R + Circunferencias tangentes exteriores • Cuando tienen un punto común y una se encuentra fuera de la otra • Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios R r La suma de sus centros es igu aR+r Circunferencia tangentes interiores • Cuando tiene un punto común y una se encuentra fuera de la otra • Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios r R La distancia de sus centro Igual a R - r Circunferencias interiores • Cuando no tiene punto común y esta dentro de la otra • Aquí la distancia entre sus centros es menor que la diferencia entre sus radios R r Sus centros son menores que R - r Circunferencia concéntricas • Cuando tienen el mismo centro • Ahí se cumple que la distancia entre sus centros es nula La distancia de sus centros es 0 TEOREMAS Teorema de Pitot • En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de lados opuestos tiene un mismo valor B C A D BA + CD = AD + BC Teorema de Poncelet • En todo triangulo rectángulo , la suma de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita B c a r C b A a + b = c + 2r PROPIEDADES ASOCIADAS A LOS ELEMENTOS Ejercicios Propuestos •1.- Hallar “x” Por un punto exterior a una circunferencia solo se pueden trazar dos tangentes, los segmentos determinados por sendas tangentes son congruentes B A AB = AC C El radio es perpendicular a la tangente A O L Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes A C B D CD //AB AC ≡ DB A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes B C AB ≡ CD AB ≡ CD A D EJERCICIOS •2.- Hallar la medida de la circunferencia si su diámetro es 5 cm. •3.- Hallar la longitud de la parte rayada: •4.- Hallar “x” si: •A= 35º •C=120º •D=20º CALCULAR “r” 41 r rr L 40 Utilizamos el teorema de Poncelet la suma de los catetos Q es igual a la suma de 9 la hipotenusa 9+40=41+2r F mas 2r 49=41+2r 8=2r r= 4 CALCULAR “X”,si AB=SL A 20C M QS=SR AB-SR=RL 20-11=X X=9 S 11 CM Q R X B L AC = 7, AB = 8 BC = 9 CALCULA AP •x+z=7, z+y=9, x+y=8 B •x+z=7 y N x A M y z •z+y=9 z=9-y C •x+y=8 2x+2y+2z=24 X+y+z=12 x P z PROBLEMAS • Hallar la medida de • C: la circunferencia cuyo radio es 5 • C: • C: 2π r 2π (5) 10π 5 RPTA : 10π • Se tiene los puntos ABCD, Halla el arco menor AB= X ; si BC=7x, CD= 7X, AD =3X A 3X • 7X + 7X + 3X + X =360 • 18X = 360 • X =20 X B D 7X 7X RPTA : el arco AB mide C