EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Mohr – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 2 – TENSÕES NOS SOLOS - Círculo de Mohr- Estado plano de tensão : 1 – Num sistema de eixos σ,τ marcar os pontos D e E de coordenadas (σ1,0) e (σ3,0) respectivamente. 2 – A reta DE representa o diâmetro do círculo de Mohr representativo do estado de tensão. Desenhar a circunferência. 3 – Para obter o polo de irradiação de planos, desenhar, pelo ponto E, uma paralela ao plano onde atua σ1 e, pelo ponto D, uma paralela ao plano onde atuam σ3. O ponto de intersecção destas retas é o polo pretendido, ponto P. No caso apresentado coincidente com D. Propriedades: − Qualquer reta que passe pelo polo intersecta a circunferência de Mohr num ponto cujas coordenadas representam as tensões que atuam num plano paralelo a essa reta. Ex: o ponto A representa o plano A, que faz um ângulo α com a horizontal, e as suas coordenadas são as tensões σa e τ que atuam no plano A. − A máxima tensão de corte é igual a (σ1 – σ3)/2, ou seja, ao raio do círculo, e ocorre em planos inclinados a 45o em relação ao plano onde atua a tensão principal máxima (marcar na figura o referido ângulo1). . • O valor da máxima. Pede-se determinar através da construção do círculo de Mohr: • As componentes de tensão normal e de cisalhamento (que atuam no plano AA' da figura abaixo. Exemplo: 1) O peso específico de um solo seco pré-adensado (ko = l.compressão Tensão cisalhante positiva --.1) Construção do círculo de Mohr: Convenção de sinais adotada: Tensão normal positiva --. • O valor da tensão normal nos planos de cisalhamento máximo. Verificar a solução analiticamente. tensão de cisalhamento nesta profundidade.6 kN/m3. marcando-se para a direita da origem.5). − as tensões tangenciais (sentido dos ponteiros do relógio) são negativas marcando-se para baixo no eixo das ordenadas. Se a superfície do terreno for horizontal. pode-se então afirmar que a tensão horizontal em qualquer ponto representa a tensão principal maior σ1.Convenções de sinais: − as tensões de compressão são positivas.tendência a provocar rotação no sentido anti-horário do plano em que atua. Resolução: 1. 1 Para medir os 45º é necessário redesenhar a figura geometricamente. é γd = 19. 6 x l0 = 196 kN/m2 σh = ko σv (solo seco. ângulo que a normal ao plano AA' forma com a direção da tensão principal maior σ1.2 vem: σn=220. Da figura 2.42.4 kN/m2 c) Verificação da solução analiticamente: Da Resistência dos Materiais vem: σn = (σ1 + σ3)/2 +(σ1 .87) = -42.5 kN/m2 τn = (294-196)/2 .5 kN/m2 τn = .a) Cálculo de σv(σ3) e σh(σl): σv = γd . (-1/2) = 220. τn = (σ1 .4 kNm2 d) Uma solução alternativa: o método do polo: Polo (0p) é um ponto do círculo de Mohr com a seguinte propriedade: .σ3)/2 sen 2. σn = (294+196)/2 + (294-196)/2 .σ3)/2 cos 2. (-0. σh = σh’ e σv = σv’) σh = 1. z σv = 19.5 x 196 = 294 kN/m2b) Círculo de Mohr: α = 120. Verificar. Como determinar o polo: d. .l) Selecionar um ponto do círculo de Mohr que represente as tensões atuantes sobre um plano cuja orientação seja previamente conhecida. 1.2) Traçar a partir deste ponto uma reta paralela à direção do plano. podem ser escolhidos os pontos A ou B. raio do círculo da figura 2. l. Sua intersecção com o círculo de Mohr determinará um ponto com as propriedades de polo."Uma reta traçada de Op a qualquer ponto P do círculo de Mohr será paralela ao plano sobre o qual atuam as tensões representadas por P".2 σn = (σ1 + σ3)/2 = (σx + σz)/2 = I1 (primeiro invariante de tensões) σn = 245 kN/m2 Os planos de cisalhamento máximo (positivo e negativo) são planos diedros aos planos principais.3) A paralela ao plano AA' traçada .3) Tensão normal nos planos de cisalhamento máximo Corresponde ao centro C do círculo da figura 2. Neste exemplo. d.selecionando o ponto B. solução do problema.4) Tente repetir o problema agora .a partir de 0p determinará finalmente o Ponto P1. d. d.2) Máxima tensão de cisalhamento Corresponde aos segmentos CD e CE.2.