Circuitos de Corriente Continua

Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García1 CAPITULO VII CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA I. INTRODUCCIÓN Llamase circuito eléctrico a la conexión de fuentes generadoras de potencia eléctrica con elementos tales como: resistencias, motores, calentadores, lámparas, condensadores, bobinas, etc. La conexión entre la fuente y la carga es hecha mediante soldaduras de alambres con las correspondientes cargas o con dispositivos diseñados Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 2 previamente llamados terminales. La energía liberada por la fuente es aprovechada por los consumidores de carga. En algunos casos, muchos elementos de circuitos son conectados a la misma carga, la cual es llamada carga común para aquellos elementos. Varias partes del circuito son llamadas elementos del circuito, los cuales pueden estar instalados en serie o en paralelo análogamente como hemos visto en el capítulo sobre capacitores. Decimos que un elemento se encuentra conectado en paralelo cuando aquellos son conectados a la misma diferencia de potencial como se muestra en la figura 7.1a. Por otro lado, cuando los elementos son conectados uno después de otros, tal que la corriente que pasa a través de cada uno de elementos es la misma, se dice que los elementos se encuentran en serie, como se muestra en la figura 7.1b Figura 7.1. Elementos de un circuito conectados: (a) en paralelo y (b) en serie Debe indicarse que con la finalidad de simplificar los esquemas de los elementos, en circuitos existen símbolos de representación de dichos elementos como los mostrados en la figura 7.2 Figura 7.2. Representación de elementos de un circuito En general los circuitos presentan interruptores, los mismos que cuando se encuentran abiertos no permiten el flujo de corriente, mientras que cuando se encuentran cerrados fluye corriente a través del circuito al cual conectan. Por lo tanto podemos tener circuitos cerrados, a través de los cuales hay flujo de corriente, o circuitos abiertos a través de los cuales no fluye corriente. A veces en forma accidental se une dos cables, ocasionando un cortocircuito. Esta situación a veces no es deseable por la liberación de energía durante su ocurrencia llegando a veces a producir incendios en los circuitos correspondientes. Con la finalidad de evitar esto se usan los fusibles, dispositivos que cuando se eleva la temperatura automáticamente se interrumpe el flujo eléctrico. En circuitos eléctricos, algún punto del circuito es conectado a tierra. Este punto es asignado arbitrariamente con un voltaje nulo o cero, y el voltaje de cualquier otro punto del circuito es definido con respecto a este punto es decir como la diferencia entre el potencial del punto del circuito menos el potencial de tierra. II. CALCULO DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO Consideremos un circuito eléctrico como el mostrado en la figura7.3. En un tiempo dt aparece en R una cantidad de energía en forma de calor dada por . R dW V dq IRdq = A = 2 ( ) R dW IR Idt I Rdt = = (7.1) Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 3 Figura 7.3. Representación de un circuito simple para determinar la corriente que fluye a través de él Durante este mismo tiempo la fuente hace un trabajo para mover una carga (dq = Idt) dado por ( ) dW dq Idt Idt c c c c = = = (7.2) Según la ley de conservación de la energía se tiene 2 R dW dW Idt I Rdt c c = ¬ = I R c = (7.3) La corriente también puede determinarse usando el criterio: “La suma algebraica de los cambios de potencial alrededor del circuito completo debe ser nulo” a a V IR V I R c c + ÷ = = Para determinar el signo de las diferencias de potencial en las resistencias y en las fuentes cuando la dirección de la corriente son las mostradas, se usan las reglas mostradas en la figura 7.4, Figura 7.4. Reglas para determinar la diferencia de potencial en elementos de un circuito Por otro lado, si la fuente tiene una resistencia interna apreciable como se muestra en la figura 7.5, la corriente que fluye a través del circuito se determina en la forma ( ) a a V rI RI V r R I I r R c c c + ÷ ÷ = = + = + (7.4) Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 4 (a) (b) Figura 7.5. Circuito eléctrico con una fem que pose una resistencia interna r y una resistencia de carga R, (b) cambio en el potencial eléctrico alrededor de un circuito III. RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO Decimos que dos resistores R 1 y R 2 se encuentran conectados en serie con una fuente cuando son instalados como se muestra en la figura 7.6a. En este caso la corriente que fluye a través del circuito es la misma en cualquiera de los elementos. Figura 7.6. (a) Circuito con resistencias en serie, (b) circuito equivalente En este circuito, se observa que, la intensidad de corriente que fluye a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la intensidad de corriente en el resistor equivalente. Es decir 1 2 3 eq I I I I = = = (7.5) La diferencia de potencial total entre los puntos a y c es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los resistores, esto es, 1 1 2 2 2 3 eq eq V I R I R I R I R A = = + + (7.6) Al remplazar la ecuación (7.5) en la ecuación (7.6) se obtiene un resistor equivalente R eq como se muestra en la figura 7.3b 1 2 2 eq R R R R = + + (7.7) El argumento anterior puede ser extendido para N resistores que se encuentran conectados en serie. En este caso la resistencia equivalente se escribe. 1 2 1 ... ... N eq i N i i R R R R R R = = + + + + + = ¿ (7.8) Debe observarse que si una resistencia R 1 es mucho mayor que la otra resistencia R i , entonces la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia mayor R 1 . En las figuras 7.7, se observa la forma como se instala las resistencias en serie en las prácticas de un laboratorio. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 5 (a) (b) (c) Figura 7.7. (a) I nstalación de resistencias en serie utilizando un protoboard, (b) I nstalación de resistencias utilizando cables y uniones y (c) I nstalación de resistencias en serie usando terminales metálicos En seguida consideremos dos resistencias R 1 y R 2 que son conectados en paralelos a una fuente de voltaje AV, como se muestra en la figura 7.8a. Figura 7.8. (a) Circuito con resistencias en paralelo, (b) circuito equivalente Por conservación de la corriente I, que pasa a través de la fuente de tensión puede dividirse en una corriente I 1 , la cual fluye a través de la resistencia R 1 y una corriente I 2 que fluye a través de la resistencia R 2 . Por otro lado, cada una de las resistencias satisface a la ley de OHM, es decir, AV 1 = I 1 R 1 y AV 2 = I 2 R 2 . Sin embargo la diferencia de potencial a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la diferencia de potencial en el resistor equivalente. La conservación de la corriente implica que 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 V V V I I I I V R R R R R R | | A A A = + + = + + = A + + | \ . (7.9) Los dos resistores en paralelo pueden ser remplazados por un resistor equivalente con AV = IR eq como se muestra en la figura 7.3b. Comparando estos resultados, la resistencia equivalente para dos resistencias conectadas en paralelo está dada por la ecuación 1 2 3 1 1 1 1 eq R R R R = + + (7.10) Este resultado puede generalizarse para N resistores en paralelo, obteniéndose Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 6 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ..... ... N i eq i N i R R R R R R = = + + + + + = ¿ (7.11) Cuando una resistencia R 1 es mucho más pequeña que otra resistencia R i , entonces, la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia más pequeña R 1 . En el caso de dos resistencias se tiene. 1 2 1 2 1 1 2 2 eq R R R R R R R R R = = +  (7.12) Es decir, en un circuito la corriente fluirá mayoritariamente por aquella resistencia cuyo valor sea más pequeño y por la resistencia grande fluirá una pequeña fracción de corriente- En la figura 7.9, se muestra la instalación de resistencia en el laboratorio (a) (b) (c) Figura 7.9. (a) I nstalación de resistencias en paralelo utilizando un protoboard, (b) I nstalación de resistencias en paralelo utilizando cables y uniones y (c) I nstalación de resistencias en paralelo usando terminales IV. TRANSFORMACIONES TRÍANGULO ESTRELLA A veces los elementos pasivos no están conectados en serie o paralelo, resultando más complicada la resolución del circuito. Las otras dos formas estudiadas de conectar elementos son la conexión en estrella y la conexión en triángulo, las mismas que se muestran en la figura 7.10. Figura 7.10. Circuito para transformar resistencias de estrella a triángulos Si intentamos buscar una posibilidad de transformar una red en la otra, veremos que la resistencia vista entre los puntos 1 y 2 debe ser la misma en ambas redes. De tal forma que se cumplen las siguientes igualdades: Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 7 Resistencia entre los nudos 1 y 2: 1 2 ( ) //( ) C A B C A B A B C R R R R R R R R R R R + + = + = + + (7.13) Resistencia entre los nudos 2 y 3: 2 3 ( ) //( ) A B C A B C A B C R R R R R R R R R R R + + = + = + + (7.14) Resistencia entre los nudos 1 y 3: 1 3 ( ) //( ) B A C B A C A B C R R R R R R R R R R R + + = + = + + (7.15) Si la transformación que queremos hacer es de triángulo a estrella, conoceremos el valor de R A , R B y R C , y deseamos calcular los valores de R 1 , R 2 y R 3 de la estrella equivalente. A partir de las ecuaciones anteriores obtendremos: 1 2 3 ; ; B C A C A B A B C A B C A B C R R R R R R R R R R R R R R R R R R = = = + + + + + + (7.16) Que responden a la forma genérica de Producto de las resistencias conectadas al nudo i Suma de las resistencias del triángulo i R = (7.17) Si la transformación que queremos hacer es de estrella a triángulo, conoceremos el valor de R 1 ,R 2 y R 3 , y queremos calcular los valores de R A , R B y R C del triángulo equivalente. A partir de las ecuaciones de resistencias entre nudos tendremos: 3 3 2 1 1 2 ; ; A A B B C C R R R R R R R R R R R R = = = (7.18) Sustituyendo aquí las expresiones anteriores de la transformación triángulo a estrella, obtendremos: 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ; ; A B C R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R + + + + + + = = = (7.19) Que responden a la forma genérica de i Suma de los productos de las resitencias de la estrella tomadas por parejas Resistencia de la estrella conetada al nudo opuesto a R i R = (7.20) V. LEYES DE KIRCHHOFF Con una o mas fem’s unidas mediante conductores ideales a una o más resistencias eléctricas se forma un circuito eléctrico. La solución del circuito eléctrico implica determinar todas las corrientes que circulan, los voltajes en cada uno de los elementos eléctricos conectados, y las potencias eléctricas suministradas y consumidas. Para simplificar la lectura del circuito se definen algunos conceptos como rama eléctrica, nudo eléctrico y malla eléctrica. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 8 Rama eléctrica: Es cualquier segmento del circuito, que contiene fem’s y/o resistencias eléctricas, y que es recorrida por una única corriente (la rama eléctrica tiene en cada uno de sus extremos un nudo eléctrico). Nudo eléctrico: Es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual confluyen distintas corrientes eléctricas. Malla eléctrica es cualquier unión de ramas eléctricas formando una trayectoria cerrada. Las ecuaciones básicas para resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff, las cuales a su vez, se infieren de la validez de la conservación de la energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocen como la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente. 5.1. PRIMERA LEY DE KIRCHOFF o La ley de nudos: Establece que: “La suma algebraica de las corrientes en todo nudo eléctrico debe ser siempre igual a cero”, es decir, Figura 7.11. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff Matemáticamente esta ley se expresa en la forma ingreasan salen I I ¿ = ¿ (7.21) 1 2 I I I = + (7.22) 5.2. SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF o llamada ley de mallas. Establece que: “La suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los elementos de un circuito que forman un circuito cerrado es nulo”. Esto es 0 i circuito cerrado V A = ¿ (7.23) Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff se usa la regla de las diferencias de potencial tomadas en la sección anterior, obteniéndose 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 0 R I E R I E E R I E R I ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ÷ = (7.24) Figura 7.12. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 9 VI. CIRCUITOS RC. 6.1 Proceso de carga de un capacitor Consideremos el circuito eléctrico formado por una fuente de fem ε, una resistencia R, un condensador C y un interruptor S, conectado como se muestra en la figura 7.13a. (a) (b) Figura 7.13. (a) diagrama del circuito RC para t <0 y (b) diagrama de un circuito RC para t >0 Cuando el interruptor S se encuentra abierto la corriente a través del circuito es nula y el capacitor se encuentra completamente descargado, es decir [q(t = 0) =0]. Si en el instante t =0 se cierra el interruptor S, comenzará a fluir corriente a través del circuito como se muestra en la figura 7.13b. Esta corriente no es constante sino que depende del tiempo. En particular la corriente instantánea en el circuito inmediatamente después de cerrado el circuito es 0 I R c = (7.25) En este instante, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería es la misma que en los extremos del resistor. Conforme transcurre el tiempo el capacitor comienza a cargarse y la diferencia de potencial entre sus bornes comienza a aumentar progresivamente. Siendo el voltaje a su través en cualquier tiempo ( ) ( ) C q t V t C = (7.26) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene ( ) ( ) 0 q t I t R C c ÷ ÷ = dq q R dt C c = + (7.27) Donde se considera que la corriente en el circuito es I =+dq/dt. Debido a que la corriente I debe ser la misma en todas las partes del circuito, la corriente a través de la resistencia R es igual a la razón de cambio de la carga en las placas del capacitor. El flujo de corriente en el circuito será continuo e irá decreciendo a medida que el capacitor vaya incrementando su carga. El flujo de corriente finalizará cuando el capacitor se haya cargado completamente, adquiriendo una carga total Q. Ello se vuelve evidente cuando escribimos la ecuación en la forma. dq q R dt C c = ÷ (7.28) Para determinar la carga en cualquier instante sobre el capacitor la ecuación diferencial se escribe en la forma 1 ( ) dq q dt R C c = ÷ (7.29) Esta ecuación puede ser resuelta usando el método de separación de variables. El primer paso es separar los términos que involucran a la carga y al tiempo. Es decir Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 10 1 ( ) dq dt dq dt q R q C RC C c c = ¬ = ÷ ÷ ÷ (7.30) Ahora se procede a integrar ambos lados de la ecuación y teniendo en cuanta los límites correspondientes. 0 0 1 q t dq dt q C RC c = ÷ ÷ } } (7.31) De donde se obtiene ln q C t C RC c c ÷ | | = ÷ | ÷ \ . (7.32) Despejando la carga se tiene ( ) ( ) / / ( ) 1 1 t RC t RC q t C e Q e c ÷ ÷ = ÷ = ÷ (7.33) Donde Q = Cε es la máxima carga almacenada en las placas del capacitor. La carga en función del tiempo puede graficarse como se muestra en la figura 7.14 Figura 7.14. Carga en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor Una vez conocida la carga sobre el capacitor también se puede determinar la diferencia de potencial entre sus placas en cualquier instante esto es ( ) ( ) / / 1 ( ) ( ) 1 t RC t RC C C e q t V t e C C c c ÷ ÷ ÷ = = = ÷ (7.34) La grafica del voltaje como función del tiempo tiene la misma forma que la gráfica de la carga en función del tiempo. De la figura se observa que después de un tiempo suficientemente largo, la carga sobre el capacitor será ( ) / ( ) 1 RC q t Q e Q ÷· = · = ÷ = (7.35) En el mismo tiempo el voltaje entre sus placas será igual al voltaje aplicado por la fuente y la corriente a través del circuito será nula ( ) C q t C V C C c c = · = = = (7.36) La corriente que fluye a través del circuito en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la carga obteniéndose ( ) / / ( ) ( ) 1 t RC t RC dq t d I t C e e dt dt R c c ÷ ÷ ( = = ÷ = ¸ ¸ (7.37) Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 11 / 0 ( ) t RC I t I e ÷ = (7.38) El coeficiente que antecede al exponencial no es sino la corriente inicial I 0 . La gráfica corriente en función del tiempo se observa en la figura Figura 7.15. I ntensidad de corriente en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor De la gráfica se observa que la corriente en el circuito disminuye exponencialmente y la cantidad τ = RC, se denomina constante de tiempo capacitiva y es el tiempo necesario para que el capacitor alcance aproximadamente el 63% de su carga total. En forma similar se puede expresar la diferencia de potencial en las placas del capacitor (figura 7.16), esto es ( ) / ( ) 1 t C V t e t c ÷ = ÷ (7.39) Figura 7.16. Voltaje en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor 6.2. Proceso de descarga de un capacitor. Supongamos que el interruptor S del circuito se encontraba cerrado durante un tiempo muy grande, es decir t >>>RC. Entonces el capacitor se ha cargado completamente para todos los fines prácticos alcanzando una carga Q, siendo la diferencia de potencial entre sus placas V =Q/C. Por otro lado, la diferencia de potencial en el resistor es nula debido a que no existe corriente fluyendo en el circuito I =0. Ahora supongamos que el interruptor S se cierra como se muestra en la figura 7.17b. Figura 7.17. Circuito utilizado durante el proceso de descarga de un capacitor En estas condiciones el capacitor comienza a descargarse fluyendo una corriente que decae exponencialmente a través del circuito. Es decir el capacitor actúa como una fuente que entrega corriente al circuito. El flujo de corriente se mantendrá hasta que el capacitor se haya descargado completamente. Se puede calcular la dependencia de la carga y de la corriente en función del tiempo después del cierre del interruptor S, aplicando la segunda ley de Kirchhoff, como se muestra ( ) 0 0 C R q t V V RI C A + A = ¬ ÷ = (7.40) Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 12 La corriente que fluye desde la placa positiva es proporcional a la carga sobre dicha placa y de signo opuesto dq I dt = ÷ (7.41) El signo negativo en la ecuación es una indicación de que la razón de cambio de la carga es proporcional al negativo de la carga en el capacitor. Esto se debe a que la carga en la placa positiva del capacitor se encuentra disminuyendo conforma la carga positiva abandona la placa positiva. Así, el cambio satisface la ecuación diferencial de primer orden 0 q dq R C dt + = (7.42) Esta ecuación se puede resolver utilizando el método de separación de variables, es decir, 1 dq dt q RC = ÷ (7.43) La misma que se integra teniendo en cuenta los límites correspondientes, obteniéndose 0 1 ln q t Q dq q t dt q RC Q RC | | = ÷ ¬ = ÷ | \ . } } (7.44) O también / ( ) t RC q t Qe ÷ = (7.45) El voltaje a través del capacitor será / ( ) ( ) t RC C q t Q V t e C C ÷ = = (7.46) Una grafica del voltaje en función del tiempo se muestra en la figura 7.18 Figura 7.18. Diferencia de potencial en las placas de un capacitor en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitor La intensidad de corriente que fluye en el circuito durante el proceso de descarga del capacitor también decae exponencialmente y se encuentra que ( ) / / ( ) ( ) t RC t RC dq d Q I t Qe e dt dt RC ÷ ÷ = ÷ = ÷ = (7.47) La gráfica de la intensidad de corriente que fluye a través del circuito tiene la misma forma que el voltaje, en la figura 7.19 se muestra esta situación. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 13 Figura 7.19. I ntensidad de corriente en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitor VII. MEDICIONES ELECTRICAS 7.1. Medición de corrientes. Consideremos un circuito simple formado por una fuente de tensión, un interruptor y una resistencia instalados en serie como se muestra en la figura 7.20a. Si se quiere determinar la corriente que fluye por el circuito se abre el circuito como se muestra en la figura 7.20b y se instala en serie con los demás elementos un amperímetro como se muestra en la figura 7.20c. Figura 7.20. I nstalación de un amperímetro para medir la intensidad de corriente que fluye en un circuito 7.2. Medición de diferencias de potencial Supongamos ahora que se quiere determinar la diferencia de potencial en un elemento de un circuito eléctrico mostrado en la figura 7.21a. Para ello se instala el voltímetro en paralelo con dicho elemento como se muestra en la figura 7.21b. Figura 7.21. I nstalación de un voltímetro para medir la diferencia de potencial en un elemento de un circuito 7.3. Medición de resistencias Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 14 En algunas situaciones es necesario medir resistencias de los elementos que componen el circuito, para ello se utiliza los multimetros, en la escala de Ohmios y se procede como se muestra en la figura Figura 7.22. I nstalación de un multímetro para medir la resistencia de elemento. Debe indicarse además que en circuitos se puede utilizar la ley de Ohm para determinar resistencias de elementos, instalando el circuito como se muestra en la figura Figura 7.23. (a)Circuito para medir la resistencia de una bombilla, (b) diagrama del circuito y (c) circuito utilizado para medir la resistencia de un elemento de cerámica. VIII. MEDIDORES ELÉCTRICOS. 8.1. El galvanómetro. Los instrumentos más comunes para medir corrientes, diferencias de potencial y resistencia se basan en el funcionamiento del galvanómetro de bobina móvil. Este dispositivo está formado por una bobina montada en un cilindro de aluminio el cual se encuentra sostenido en el interior de un campo magnético. Cuando a través de la bobina pasa una intensidad de corriente I g , la bobina sufre una desviación angular que es proporcional a la intensidad de corriente. Si ahora unimos a la bobina una aguja indicadora larga que está provista de una escala calibrada especialmente para medir corrientes, se obtendrá el valor correspondiente de la intensidad de corriente que fluye por el circuito. En la figura 7,24 se muestra la forma como es el diseño básico de un galvanómetro. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 15 Figura 7.24. Galvanómetro de bobina móvil utilizado como base en el diseño de medidores eléctricos. 8.2. El amperímetro El amperímetro es un aparato que permite medir intensidades de corriente en la rama donde se instale. Debe ser conectado en serie al elemento cuya corriente se va a medir como se muestra en la figura 7.25. Debe instalarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva y salgan por la terminal negativa. Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere. Figura 7.25. (a) I nstalación de un amperímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir corrientes. El galvanómetro al ser sensible al paso de corriente se usa como amperímetro, pero debido a su resistencia pequeña se coloca en paralelo con este una resistencia pequeña R P llamada SHUNT como se muestra en la figura 7.25b. Si la resistencia del galvanómetro es R g y la intensidad de corriente que pasa por el es I g , la corriente en la resistencia en derivación será I sh . Entonces la aplicación de la primera ley de kirchhoff nos da g sh I I I = + (7.48) Como a resistencia en derivación “shunt” y el galvanómetro están en paralelo, entonces las deferencias de potenciales en estos elementos serás g g g V I R A = (7.49) sh sh sh V I R A = (7.50) Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 16 Figura 7.26. I ntensidades de corriente en los elementos del amperímetro construido. Igualando estas diferencias de potencial se obtiene g sh g sh R I I R = (7.51) Al remplazar esta ecuación en la intensidad de corriente total se tiene g sh g g g sh sh g R R I I I I I R R R | | = + ¬ = | | + \ . (7.52) De esta ecuación se deduce que cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se tiene 6 / sh g sh R I I I n I n R R | | = ¬ = | + \ . 1 g sh R R n = ÷ (7.53) 8.3. El voltímetro Permite medir diferencias de potencial de los elementos. Se instala en paralelo con el elemento cuya diferencia de potencial se desea medir como se muestra en la figura 7.27a. También es necesario tener en cuenta la polaridad del instrumento. El voltímetro ideal tiene una resistencia infinita que impida que sobre el pase una corriente muy pequeña de tal manera que no influya en la medida de la ddp. Cuando se usa un galvanómetro como voltímetro es necesario colocarle una resistencia grande en serie a fin de disminuir el paso de la corriente (véase la figura 7.27b). Figura 7.27. (a) I nstalación de un voltímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir voltajes en un circuito. Cuando se mide con este instrumento una ddp, por ejemplo la ddp en los extremos de R de la resistencia mostrada en la figura 7.28, tenemos Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 17 2 1 V V V A = ÷ (7.54) Si se quiere una sensibilidad tal que la ddp en R produzca desviación completa de la escala ( ) R s g g V R R I A = + (7.54) Debido a que la resistencia de protección es mucho mayor que la del galvanómetro ( Rs >> Rg), se tiene R R s g mas mas V V R R I I A A = ÷ ~ (7.55) La resistencia equivalente del voltímetro será ( ) s g s e s g s R R R RR R R R R R R + = ~ + + + (7.56) Cuando la resistencia del elemento cuya diferencia de potencial va a ser medida es mucho menor que la resistencia del voltímetro construido, se tiene eq R R ~ (7.57) 8.4. El puente de Wheatstone. Es un circuito especial representado en la figura 7.28, utilizado para medir resistencias desconocidas usando resistencias patrones o calibradas. Para ello se aplica las leyes de kirchooff o las ecuaciones de mallas circulantes para hallar las corrientes. Cuando el puente esta en equilibrio no fluye corriente por el galvanómetro en este caso se obtiene la resistencia desconocida Rx Figura 7.28. (a) instalación de un voltímetro construido usando un galvanómetro para medir la diferencia de potencial entre los extremos de una resistencia. Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 0 0 0 a b x a c a b g b c b a c x c a g c b R I I R I I rI R I R I I R I I R I R I I R I I c ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = (7.58) Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 18 Agrupando las ecuaciones para resolverlas se tiene ( ) 2 2 2 1 2 3 ( ) 0 ( ) 0 x a b g c a g b x c x a g b x g c r R R I R I R I R I R R R I R I R I R I R R R I c + + ÷ ÷ = ÷ + + + = + ÷ + + = (7.59) Resolviendo dichas ecuaciones se tiene 2 3 2 2 2 1 2 x g x g b g x x x g c R R R R R R R R I R R R R R R R R I c c c c c c c c + + + = A + + + = A (7.60) La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será | | 2 3 1 g b c x I I I R R R R c = ÷ = ÷ A (7.61) Cuando el puente se encuentra en equilibrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula. Por lo tanto 2 3 1 0 x R R R R ÷ = (7.62) 2 3 1 x R R R R = (7.63) 8.5. El potenciómetro El potenciómetro es un circuito que permite determinar fuerzas electromotrices de baterías, pilas, etc, comparándolas con fems patrones. La batería E 1 cuya fem es ε 1 es mayor que la fem ε x . Figura 7.29. Circuito denominado potenciómetro utilizado para determinar fems desconocidas. Para determinar la fem desconocida ε x se procede de la siguiente manera: Se conecta el conmutador S a la femε 0 y se ajustan los terminales deslizantes T y T’ hasta que no fluya corriente a través del galvanómetro. Si en esta posición la resistencia entre T y T’ es R 1 , entonces la diferencia de potencial entre T y T’ será ' 1 1 TT V R I A = Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 19  Aplicando la ley de Kirchhoff a la malla I, se obtiene 1 1 1 1 1 ' '' 0 ( ' '') I R I R R R I c c ÷ + ÷ = ¬ + = (a)  Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla II, nos permite obtener 2 2 1 2 1 0 ( ) 0 R I R I I c ÷ ÷ ÷ ÷ =  Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I 2 =0), la ecuación se reduce a 1 1 0 R I c = (b)  Combinando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene 1 1 0 ´ '' R R R c c | | = | + \ . (c)  A continuación se pasa el conmutador S a la posición (2) y se repite el procedimiento, es decir, se ajusta el terminal deslizante hasta que no fluya corriente por el galvanómetro. Si en esta posición la resistencia la resistencia entre T y T’ es R 2 , la diferencia de potencial es ' 2 1 TT V R I A =  La aplicación de la ley de Kirchhoff a la malla I y II nos da 1 1 1 1 1 ' '' 0 ( ' '') I R I R R R I c c ÷ + ÷ = ¬ + = (d) 2 2 2 1 ( ) 0 g x R I R I I c ÷ ÷ ÷ ÷ =  Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I 2 = 0), la ecuación se reduce a 2 1 x R I c = (e)  Combinando las ecuaciones (d) y (e), resulta 1 2 ´ '' x R R R c c | | = | + \ .  De las ecuaciones (c) y (f) se tiene 2 0 1 x R R c c = (7.64) Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 20 Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 21 I X. PROBLEMAS RESUELTOS Problema 01 Una pila de fem c =1,06 V y resistencia interna r =1,8 O tiene una resistencia R =6 O conectada entre sus terminales. Determine: (a) la diferencia de potencial existente entre los terminales de la pila, (b) la corriente en el circuito y (c) la potencia disipada en la pila. Solución En la figura se muestra el diagrama del circuito. Parte (b) Primero se determina la intensidad de corriente en el circuito, para esto se aplica la segunda ley de Kirchhoff. Es decir, 0 0 1, 06 6 1, 8 0,136 R r V V V RI rI V I R r I A c c c A + A + A = + ÷ ÷ = = = + O + O = Parte (a) Diferencia de potencial en los extremos de la pila 1, 06 1,8 (0,136 ) 0,815 a b b a b a V rI V V V rI V A V V V c c ÷ + = ÷ = ÷ = ÷ O ÷ = Parte (c). Potencia disipada por la pila. Esta potencia se disipa en la resistencia interna (calentamiento de la pila). 2 2 1,8 (0,136 ) 33, 29 P rI A P W = = O = Problema 02 Una pila de fem c tiene una resistencia interna r. Cuando se conectan en serie dos resistencias de R 1 =1 O y R 2 =2 O entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conectan las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de 6 A. Determine la fem c de la pila y su correspondiente resistencia interna r. Solución En la figura se muestra el circuito cuando se instalan las dos resistencias en serie con la pila. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene 1 2 1 1 1 2 1 0 0 (2 ) 1 (2 ) 2 (2 ) r R R V V V V rI R I R I r A A A c c c A + A + A + A = + ÷ ÷ + = ÷ = O + O 2 6 r c ÷ = (1) En la figura se muestra el circuito cuando las dos resistencias son conectadas a los extremos de la pila pero ahora la conexión es en paralelo. Las resistencias R 1 y R 2 se encuentran en paralelo por tanto su resistencia equivalente será 1 2 1 2 1 (2 ) 2 1 2 3 e R R R R R O O = = = O + O + O (2) En la figura se muestra el circuito equivalente en donde se indica las polaridades en cada uno de los elementos. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 22 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene 2 2 0 0 2 (6 ) (6 ) 0 3 e R r e V V V R I rI A r A c c c A + A + A = + ÷ ÷ = ÷ O ÷ = 6 4 r c ÷ = (3) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (3) resulta 0, 5 7 r V c = O = Problema 02 En la red indicada todas las resistencias tienen el mismo valor R. La corriente I entra en el nudo a y sale por el nudo e. Halle las corrientes en las ramas ab, bd y be. Solución El circuito presenta una simetría respecto a la línea ade. La corriente que entra en el nudo a se reparte por igual por las ramas ab y ac. Es decir por cada una de estas ramas pasa una corriente 2 ab ac I I I = = (1) En el nudo b, la corriente se divide en I be e I bd . Esto es ab be bd I I I = + 2 be bd I I I = + (2) En forma análoga la corriente I ac en el nudo c se divide en dos corrientes ac cd ce I I I = + 2 cd ce I I I = + (3) Por razones de simetría se tiene bd cd I I = (4) be ce I I = (5) Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d, se tiene. de bd cd I I I = + (6) Remplazando la ecuación (4) en (6) resulta 2 de bd bd bd I I I I = + = (7) La diferencia de potencial entre los punto be se puede calcular por la rama beo por la rama bde, es decir. be be V RI A = (8) 2 be bd de be bd de be bd bd V V V V RI RI V RI I A = A + A A = + A = + 3 be bd V I A = (9) Igualando las ecuaciones (8) y (9), resulta 3 be bd I I = (10) Remplazando la ecuación (10) en (2) 3 2 8 bd bd bd I I I I I = + ¬ = (11) La sustitución de la ecuación (11) en la ecuación (10) nos da Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 23 3 3 8 8 be be I I I I | | = ¬ = | \ . Problema 03 Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas del voltímetro indica 5,00 V mientras que el amperímetro indica 2,00 A y la corriente fluye en la dirección indicada. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la fem c. Solución En la figura se muestra el sentido de las corrientes escogidas y las polaridades en las resistencias. Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d se tiene 1 2 A I I I + = 1 2 2A I I + = (1) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcefga se tiene 10 2 0 10 ( ) 2 0 10 (2 ) 2(2 ) 5 0 R A A V V V V V I I Lec A A V c c c O O A + A + A + A = ÷ O ÷ ÷ = ÷ O ÷ ÷ = 29 V c = (2) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla defgh se tiene 6 3 1 1 0 6 3 ( ) 0 6 3 ( ) 5 0 V R voltimetro V V V V I Lectura V I V O A + A + A = ÷ O ÷ = ÷ O ÷ = 1 1 3 I A = (3) Remplazando la ecuación (3) en (1) resulta 2 2 1 7 2 3 3 A A I I A + = ¬ = (4) Cálculo de R. De la lectura del voltímetro se tiene 2 7 5 [ ]( ) 2,14 3 R V I R V A R R A = = ¬ = O Problema 04 Para el circuito mostrado en la figura. (a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b. (b) si laos puntos a y b están conectados por un cable con resistencia despreciable, encuentre la corriente en la batería de 12 V Solución Parte a. En la figura se muestra el sentido de la corriente y las polaridades en las resistencias. Observe que como los puntos a y b no se encuentran en contacto por esa línea no habrá flujo de corriente Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla cdefc se tiene Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 24 12 1 2 2 1 8 2 1 0 V V V V V V V V V V O O O O O O A + A + A + A + A + A + A + A = 12 1 2 2 1 8 2 1 0 4 9 ( ) V I I I I V I I V I ÷ O ÷ O ÷ O ÷ O ÷ ÷ O ÷ O = = O 0, 44 I A = (1) Aplicando el Teorema de la trayectoria se tiene 2 1 8 2 3(0) 10 1(0) 5 2 5(0, 44) 2 0, 22 a b a b a b V I I V I V V V V I V V V V V ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ = ÷ = ÷ = ÷ ÷ = Parte B. Cuando los puntos a y b se encuentran conectados por un alambre se tiene el circuito siguiente. Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo a se tiene 1 2 3 I I I = + Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcda se tiene 1 1 3 3 1 1 3 1 3 12 1 2 1 10 3 1 0 2 4 4 2 2 1 V I I I V I I V I I I I ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = + + = Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcda se tiene 3 2 2 2 3 2 3 10 1 2 1 8 2 3 0 5 4 2 V I I I V I I I I + ÷ ÷ ÷ ÷ + = ÷ = Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene 1 2 3 0, 465 0, 430 0, 020 I A I A I A = = = Es decir la corriente que pasa a través de la batería de 12 V es I 1 =465 mA. Problema 05 En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las corrientes I 1 , I 2 e I 3 ; (b) la diferencia de potencial entre los puntos A y B y (c) la potencia disipada en la resistencia de 5 O. Desprecie las resistencias internas de las baterías. Solución Parte (a). Para resolver el problema se usa las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell. Malla I. 1 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 24 6 5( ) 13( ) 0 24 24 5 13 0 24 5 13 24 V I I I I I I I I I I I ÷ ÷ + ÷ + = ÷ ÷ ÷ = + + = Malla II. 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 3 5( ) 2( ) 0 10 5 10 2 0 5 10 2 10 V I I I I I I I I I I I ÷ ÷ + ÷ ÷ = ÷ ÷ + = + ÷ = Malla III. 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 30 2( ) 13( ) 20 0 30 13 2 35 0 13 2 35 30 V I I I I I I I I I I I ÷ ÷ ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + = Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 25 1 24 5 13 10 10 2 30 2 35 0, 382 24 5 13 5 10 2 13 2 35 I A ÷ ÷ = = ÷ ÷ 2 24 24 13 5 10 2 13 30 25 0, 963 24 5 13 5 10 2 13 2 35 I A ÷ = = ÷ ÷ 3 24 5 13 5 10 10 13 2 30 0, 770 24 5 13 5 10 2 13 2 35 I A ÷ = = ÷ ÷ Parte (b). Determinación de la diferencia de potencial entre A y B. para eso se usa el teorema de la trayectoria. Esto es 3 20 30 30 20 (0, 77 ) 15, 4 A B B A B A V I V V V V V A V V V ÷ + = ÷ = ÷ O ÷ = Parte (c). Para determinar la potencia disipada en R = 5O, se determina primero la intensidad de corriente en dicho resistor. 5 1 2 5 0, 382 0, 963 1.345 I I I A A I A O O = + = + = 2 2 5 5 5 5 (1.345 ) (5 ) 9, 05 P I R A P W O O O O = = O = Problema 06 En el circuito eléctrico mostrado en la figura. ¿Cuál es la corriente eléctrica inicial suministrada por la fuente inmediatamente inmediatamente después de cerrado el interruptor. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente después de un largo tiempo del cierre del interruptor S. (c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo largo y luego se abre, determine la corriente en función del tiempo que pasa a través del resistor de 600 kO Solución Parte (a). Corriente inicial. En este caso el capacitor se comporta como un conductor pues no tiene resistencia. El circuito entonces queda en la forma Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene 6 0 5 0 50 1, 2.10 0 4,17.10 V I I A ÷ ÷ = = Parte (b) Cálculo de la corriente en régimen estacionario. El capacitor después de un tiempo largo se carga completamente y por la rama donde se ubica no fluye corriente. Entonces el circuito se dibuja en la forma Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene 6 6 6 5 50 1, 2.10 ( ) 0, 6.10 ( ) 0 50 1, 8.10 ( ) 2, 78.10 V I I V I I A · · · ÷ · ÷ O ÷ O = = O = Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 26 Se procede a determinar el voltaje y la carga en el capacitor 600 5 3 ( ) 2, 78.10 (600.10 ) 16, 68 C R k C C V V V I R A V V = O ÷ · A = A A = = O A = 6 max max ( ) 16, 68 (2, 5.10 ) 41, 70 C c Q V C V F Q F µ ÷ = A = = Parte (c). Al abrir el interruptor S el condensador cargado completamente se descarga a través del resistor R = 600 kO. Por tanto se tiene Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene 0 0 ( ) 0 C R q V V RI C q dq dq dt R C dt q RC A + A = ¬ ÷ = ÷ ÷ = ¬ = ÷ max 0 max / max 1 ln q t Q t RC dq dt q RC q t Q RC q Q e ÷ = ÷ | | = ÷ | \ . = } } /1,5 [41, 70 ] t q e F µ ÷ = La intensidad de corriente será /1,5 5 /1,5 [41, 70 ] 2, 78.10 t t dq d I e F dt dt I e A µ ÷ ÷ ÷ ( = ÷ = ÷ ¸ ¸ = Problema 07 El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R 1 = 60 Ω. La espiral R 1 se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se calentarán 480 g de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R 2 = 30 Ω. Solución En la figura se muestran las corrientes y las polaridades en las resistencias. Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo se tiene 1 2 1 2 6 A I I I A I I = + = + Las resistencias R 1 y R 2 se encuentran en paralelo por lo que sus diferencias de potenciales entre sus extremos serán iguales. Es decir 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 30 60 2 R R V V R I R I I I I I A = A ¬ = = = Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se tiene 1 1 1 6 2 2 A I I I A = + = La potencia eléctrica disipada en la espiral R 1 es 2 2 1 1 1 1 (2 ) (60 ) 240 P I R A P W = = O = Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 27 La energía disipada en la espiral será 240 (240 / )(300 ) 7200 0, 24(7200) 17280 p P P E t J s s E J cal E J = = = = = En el caso de que se deprecien las pérdidas de energía, esta energía es utilizada en el calentamiento del agua. Es decir, , 17280 480 (1 / . ) 17280 36 P w e w Q E m c T J g cal g C T J T C = A = ° A = A = ° Problema 08 En la figura se muestran dos voltímetros V 1 y V 2 cuyas resistencias son R 1 = 3 kO y R 2 = 2 kO, respectivamente, Sabiendo que R 3 = 3 kO; R 4 = 2 kO; c = 200 V y r = 15 O. Determine las lecturas las lecturas de los voltímetros así como del amperímetro de resistencia despreciable cuando: (a) el interruptor S se encuentra abierto y (b) el interruptor S se encuentra cerrado. Solución Parte (a) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra abierto. Note que los voltímetros tienen resistencias considerables comparadas con las dos resistencias R 3 y R 4 . Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell, se tiene 1 2 1 2 1 2 200 ( ) ( ) 0 200 ( ) ( ) 0 5015 5000 200 a b a b a a a b V R I I R I I rI R R r I R R I I ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ + + + + = ÷ = Malla b. 3 2 1 4 1 2 1 2 3 4 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 5000 10000 2 b b a b a b a b a b a b R I R I I R I I R I R R I R R R R I I I I I ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = + ÷ + + + = = = Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores resulta 5015(2 ) 5000 200 0, 039 b b b I I I A ÷ = = 0, 079 a I A = La lectura del voltímetro V 1 será 1 1 1 ( ) [0, 079 0, 039 ](3000 ) 120 a b V I I R A A V V = ÷ = ÷ O = La lectura del voltímetro V 2 será 2 1 1 ( ) [0, 079 0, 039 ](2000 ) 80 a b V I I R A A V V = ÷ = ÷ O = Parte (b) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra cerrado. Es decir, el circuito se grafica en la forma mostrada en la figura Uniendo los puntos de igual potencial se observa que R 1 se encuentra en paralelo con R 4 de igual forma los resistores R 2 y R 3 están en paralelo. Entonces sus resistencias equivalentes serán Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 28 1 4 ,1 1 4 2 3 ,2 2 3 3000(2000) 1200 3000 2000 2000(3000) 1200 2000 3000 e e R R R R R R R R R R = = = O + + = = = O + + Aplicando las leyes de Kirchhoff 200 (1200 1200 15) 0, 083 A A V I I A = + + = Las lecturas de los voltímetros serán 1 .1 1200 (0, 083 ) 99, 6 e A V R I A V = = O = 2 .2 1200 (0, 083 ) 99, 6 e A V R I A V = = O = Problema 08 Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 29 1. Una batería de fem ε = 9 V y resistencia interna r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 60 Ω conectada entre sus terminales. (a) Hallar la diferencia de potencial existente entre las terminales de la batería, (b) la corriente que fluye en el circuito y (c) la potencia disipada e la batería. 2. Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r. Cuando se conecta en serie dos resistencias de 1 Ω y 2 Ω entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conecta las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de 6 A. Halle la fuerza electromotriz ε y la resistencia interna de la pila. 3. Tres pilas cada una de fem ε = 1,5 V y una resistencia interna r = 1,4 Ω se conectan en serie entre los terminales de una batería desconocida de fem ε 2 y resistencia interna r 2 . Sabiendo que la resistencia total de los conductores es de 0,3 Ω. La corriente observada en el circuito es 1,17A. Cuando se invierten las conexiones a los terminales de la batería, se observa que la corriente es 0,26 A en sentido opuesto. (a) ¿Cuál es la fem de la batería?, (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería con las conexiones originales?, (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería después de invertir las conexiones?. 4. Considere el circuito que se muestra en la figura. Determine: (a) la corriente en el resistor de 20Ω y (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b. 5. Tres resistores de 100 Ω están conectados como se muestra en la figura. La potencia máxima que puede ser entregada sin riesgo a cualquiera de los resistores es de 25 W. (a) ¿Cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a los terminales a y b?. (b) para el voltaje determinado en el inciso (a), ¿Cuál es la potencia entregada a cada resistor?, ¿Cuál es la potencia total entregada?. 6. El amperímetro que se muestra en la figura da una lectura de 2 A. Determine I 1 , I 2 y ε. 7. Una batería de 6 V suministra corriente al circuito que se muestra en la figura. Cuando el interruptor de doble posición S está abierto como se muestra, la corriente en la batería es de 1 mA. Cuando el interruptor S se cierra a la posición 1, la corriente en la batería es 1,2 mA. Cuando el interruptor se cierra a la posición 2 la corriente en la batería es 2 mA. Determine las resistencias R 1 , R 2 y R 3 8. Una tetera eléctrica tiene un interruptor multiposición y dos bobinas calefactoras. Cuando sólo una de las bobinas está conectada, la tetera, bien aislada, hierve toda su capacidad de agua en un intervalo de tiempo Δt. Cuando sólo se encuentra conectada la segunda bobina, es necesario un intervalo de tiempo 2Δt, para hervir la misma cantidad de agua. Determine el tiempo que se requiere para hervir el líquido cuando ambas bobinas están conectadas: (a) en serie, (b) en paralelo. 9. En la figura se muestra una red infinita de resistores. Cuál es la resistencia equivalente entre los bornes a y b. 10. Sabiendo que la intensidad de corriente en la resistencia de 13,8 Ω. Determine las intensidades de corriente en las demás resistencias Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 30 11. En el circuito indicado en la figura la lectura del amperímetro es la misma cuando ambos interruptores están abiertos o ambos están cerrados. Determine el valor de la resistencia R. 12. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las intensidades de corriente en R 1 , R 2 , R 3 ; (b) la potencia liberada en la resistencia R 6 . 13. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las intensidades de corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia liberada en la resistencias R 4 y R 2 y (c) el potencial eléctrico del nodo 4 14. En el circuito mostrado determine la corriente I 1 , I 2 e I 3 15. En cada una de las disposiciones mostradas en la figura, encuentre la resistencia equivalente. 16. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de cada una de las fuentes, (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b. 17. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de las resistencias de 4 Ω y 6Ω, (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) la potencia disipada en cada resistor. 18. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine la resistencia equivalente. V1 125 V V2 150 V R1 700Ω R2 900Ω R3 1.1kΩ R4 1.4kΩ R5 400Ω R6 200Ω 1 2 3 4 6 5 V1 115 V V2 17 V V3 95 V R1 400Ω R2 300Ω R3 150Ω R4 600Ω R6 800Ω 1 3 5 6 4 0 Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 31 19. Determine la caída de tensión y la potencia disipada en el resistor de 20Ω del circuito mostrado. 20. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) La caída de tensión y la potencia disipada en el resistor de 5 Ω y (b) la potencia entregada por la fuente de tensión. 21. Determine el valor de R para que la batería entregue una potencia de 50W. 22. Determine la intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito mostrado en la figura. 23. En el circuito mostrado en la figura, determine el valor de R para que por ella pase una corriente de 2 A. 24. Determine la potencia disipada en la resistencia R de la figura si ésta toma los valores de: 3, 5, 7, 15 y 20 Ω. 25. En el circuito mostrado determine: (a) La potencia entregada por la fuente, (b) la resistencia equivalente del circuito. 26. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem y (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos. 27. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem y (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) la diferencia de potencial entre los puntos a y b Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 32 28. El amperímetro instalado en el circuito indica 300 mA. Determine: (a) la resistencia interna r de la fuente, (b) la lectura del voltímetro y (c) la intensidad de corriente en la resistencia de 4 Ω. 29. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem, (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los puntos indicados si el punto a está conectado a tierra. 30. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem, (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los puntos indicados si el punto a está conectado a tierra. 31. (a) Utilizar los argumentos de simetría para determinar la resistencia equivalente de la red mostrada en la figura. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente en cada resistencia si R es 10 Ω y una diferencia de potencial se aplica entre los bornes a y b?. 32. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente en cada una de las resistencias, (b) la diferencia de potencial entre los puntos A y B y (c) ¿Cuál de los puntos se encuentra a mayor potencial A o B?. 33. En el circuito eléctrico determine las intensidades de corriente I 1 , I 2 e I 3 . 34. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de las batería, (b) la diferencia de potencial entre las terminales de las baterías de 1,5 Ω y 2Ω, respectivamente y (b) las intensidades de corriente que fluyen en las resistencias R 3 , R 4 y R 6 . V1 25 V V2 50 V r1 1.5Ω r2 2Ω R3 50Ω R4 100Ω R7 80Ω 1 2 3 4 5 6 R6 150Ω Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 33 35. Nueve resistencias de 10 Ω cada una se conectan como se muestra en la figura y se aplica una diferencia de potencial de 50 V entre los puntos a y b. Determine: (a) la resistencia equivalente de esta red, (b) la intensidad de corriente en cada una de las nueve resistencias. 36. En el circuito determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B 37. En el circuito mostrado determine la lectura de los amperímetros ideales. 38. En el circuito mostrado la resistencia interna de la fuente de tensión es 1Ω. Determine las indicaciones del amperímetro y el voltímetro ideales. 39. En un hornillo eléctrico las resistencias están conectadas según el circuito mostrado. Cuando se conectan los bornes A y B a una red, hierven 500 g de agua luego de cierto tiempo. ¿Qué cantidad de agua se puede hervir durante el mismo tiempo si se conectaran los bornes A y C?. La temperatura inicial del agua es la misma en ambos casos. Desprecie las pérdidas térmicas. 40. El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R 1 = 60 Ω. La espiral se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se calentarán 480 g de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R 2 = 30 Ω. 41. En la figura ε es una batería de 120 V de fem, R 2 = 10 Ω, B es una tetera eléctrica. El amperímetro marca 2 A. ¿Cuánto tiempo tarda en hervir 0,5 litros de agua en la tetera, hallándose a la temperatura inicial de 4°C?. Se desprecian las resistencias de la batería y del amperímetro. El rendimiento del hornillo de la tetera es de 76%. 42. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) el valor de la resistencia R, (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) la potencia liberada en el resistor R. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 34 43. En la figura ε es una batería con una fem de 110 V, K es un calorímetro con 500 g de kerosene. El amperímetro marca 2 A y el voltímetro 10,8 V. (a) ¿A qué es igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿Cuál es el calor especifico del kerosene, si a los 5 min de fluir la corriente por la espiral R 1 el kerosene a calentado 5°C?. Considere que en el calentamiento del kerosene se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. (c) ¿Cuál es el valor de la resistencia en el reóstato R?. Desprecie la resistencia del la fuente y del amperímetro y el voltímetro tiene una resistencia infinita. 44. En el circuito ele´ctrico mostrado en la figura. Determine las lecturas del amperímetro y del voltímetro. Cada una de las resistencias son de 2 Ω 45. El interruptor S del circuito RC mostrado en la figura se cierra en el instante t = 0 s. Encuentre la carga sobre el capacitor en el tiempo t = 4,2 ms. 46. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) La intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito y (b) los potenciales de cada uno de los puntos indicados 47. El amperímetro instalado en el circuito indica una intensidad de corriente de 1 A. determine el valor de la fem ε y la intensidad de corriente que fluye en los demás resistores. 48. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, se desprecian las resistencias internas de las baterías. Determine: (a) las intensidades de corriente en cada una de las resistencias y (b) la potencia disipada e la resistencia de 4 Ω. 49. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura está inicialmente descargado. Si en el instante t = 0 el interruptor S es cerrado, encuentre: (a) la carga sobre el capacitor y (b) la corriente en el circuito un tiempo (τ = RC) después de ser conectada la batería. V 12 V S Key = A 1 R1 1.5kΩ C1 25uF 2 3 4 E 9 V S Key = A 1 R 120Ω C 45uF 2 3 4 Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 35 50. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente proporcionada por la batería, (b) la diferencia de potencial entre los extremos del capacitor y (c) la carga almacenada en el capacitor. 51. Si ε = 40 V, R 1 = 80 Ω, R 2 = 60 Ω, R 3 = 40 Ω y el capacitor C = 4 μF está inicialmente descargado. Si en t = 0 se cierra el interruptor. Determine: (a) la intensidad de corriente en cada resistor inmediatamente después de cerrar el interruptor y (b) la carga final en el capacitor. 52. Considere el circuito RC mostrado en la figura. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. Encuentre: (a) La constante de tiempo para el circuito, (b) la máxima carga sobre el capacitor y (c) la corriente inicial en el circuito. 53. En el circuito mostrado en la figura. Determine la intensidad de corriente en cada resistor y la carga en cada uno de los capacitores después de un tiempo largo de que el interruptor S ha sido: (a) abierto y (b) cerrado. 54. La figura muestra un circuito simplificado para una unidad fotográfica con flash. El circuito consiste de una batería de 9,00 V, un resistor de 50 kΩ, un capacitor de 140 μF, un bulbo flash y dos interruptores. Inicialmente el capacitor se encuentra descargado y los dos interruptores están abiertos. Para cargar la unidad, el interruptor S 1 es cerrado; para encender el flash, el Interruptor S 2 (El cual es conectado a la cámara) es cerrado. ¿Cuánto tiempo le toma a la carga alcanzar 5 V en el capacitor?. 55. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el interruptor se encuentra abierto por un período de tiempo muy grande. Considerando que ε = 10 V, R 1 = 50 kΩ, R 2 = 100 kΩ y C = 10 μF. Si en el instante t = 0 dicho interruptor es súbitamente cerrado. Determine: (a) la constante de tiempo capacitiva antes de cerrar el interruptor, (b) la conste de tiempo capacitiva después de cerrar el interruptor y (c) la corriente que fluye por el interruptor como función del tiempo después de que el interruptor es cerrado. 56. Considere el circuito RC mostrado en la figura. Determine: (a) La constante de tiempo y (b) la corriente inicial para este circuito (c) se desea incrementar la constante de tiempo de este circuito mediante el ajuste del valor de la resistencia de 6,5 Ω. Podría la resistencia de éste resistor incrementarse o disminuirse para lograr el objetivo trazado. Explique 57. El circuito mostrado en la figura inicialmente se encuentra con ambos interruptores abiertos y los Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 36 capacitores se encuentran completamente descargados. Asumiendo que la resistencia interna de la fuente de 50 V es despreciable. (a) ¿Cuál es la corriente de la batería inmediatamente después de cerrar S 1 manteniendo S 2 abierto?. (b) ¿Cuál es la corriente después de un tiempo largo de cerrar el interruptor S 1 y mantener S 2 abierto?. (c) ¿Cuál será las cargas en los capacitores M y N en estas condiciones?. (d) Si ahora se cierra el interruptor S 2 , ¿Cuál será las cargas sobre los capacitores M y N en régimen estacionario?. 58. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura se encuentra inicialmente descargado. Determine: (a) la corriente inicial de la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor S; (b) La corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo y (c) el voltaje máximo a través del capacitor. 59. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor K es inicialmente cerrado y S está abierto. (a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b; (b) Posteriormente S es también cerrado, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b?; (c) Si ahora K es abierto y S sigue cerrado, ¿cuál es la constante de tiempo para la descarga del capacitor?, ¿Cuál es la corriente y la carga en función del tiempo?. Considere que la batería tiene un resistencia interna 1 Ω 60. Suponga que la batería del circuito mostrado en la figura tiene una resistencia interna de 0,75 Ω. (a) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los extremos de la batería cuando el interruptor se encuentra abierto?, (b) ¿Cuando el interruptor es cerrado la diferencia de potencial en la batería incrementará o disminuirá?. Explique. (c) Encuentre la diferencia de potencial en los extremos de la batería después de un tiempo largo después de haber sido cerrado el interruptor. 61. Un circuito está formado por un dínamo de 500 V de fem y 0,75 Ω de resistencia interna , la línea de 1000 m de longitud, 4 mm de diámetro y 1, 75 μΩ- cm de resistividad; Además hay n lámparas de incandescencia instaladas en derivación de 60W y 240 Ω cada una. Determine: (a) el número de lámparas; (b) la caída de tensión en la línea y (c) el rendimiento del generador. 62. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura inicialmente se encuentra descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. (a) Determine la corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo, (b) determine la diferencia de potencial entre los bornes del capacitor, (c) si la batería se desconecta del circuito abriendo nuevamente el interruptor S, determine la corriente en función del tiempo, (d) ¿Cuánto tiempo tardará el capacitor en descargarse hasta que la diferencia de potencial a su través sea de 1,00 V. 63. El capacitor del circuito mostrado en la figura se encuentra inicialmente descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la corriente inicial en la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor S?. (b) ¿Cuál es la E 120 V S Key = A 1 R1 1.2MΩ 2 R2 600kΩ C 470uF 3 4 E 9 V R1 11Ω R2 5.6Ω C 45uF S Key = A 1 2 4 3 Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 37 corriente de la batería un tiempo largo después de cerrar el interruptor S?. (c) ¿Cómo varía la intensidad de corriente en la resistencia de 600 Ω en función del tiempo, después de abrir el interruptor S?. 64. En el circuito de la figura el capacitor tiene una capacitancia de 2,5 μF y la resistencia es de 0,5 MΩ. Antes de cerrar el interruptor, la caída de potencial a través del capacitor es 12 V, como se indica. Si el interruptor S se cierra en t = 0. (a) ¿Cuál es la corriente en R inmediatamente después de cerrar S?. (b) ¿Para qué tiempo el voltaje a través del capacitor es de 24 V?. 65. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, el interruptor es cerrado en t = 0. (a) determine la carga en el capacitor en t = ∞, (b) la diferencia de potencial en el capacitor cuando t = 1,5τ, (c) la corriente en R 1 en t = 0 y (d) la constante del tiempo capacitiva del circuito. 66. En el circuito RC mostrado en la figura el capacitor de 62 μF se encuentra inicialmente descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la intensidad de corriente inicial suministrada por la batería inmediatamente después de cerrado el interruptor S?, (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la batería después de un tiempo muy largo de haber cerrado S?. (c) si después de haber mantenido el interruptor cerrado por un tiempo grande, se abre éste determine la intensidad de corriente en función del tiempo que pasa a través de la resistencia de 60 kΩ. 67. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor es cerrado en el instante t = 0. Determine los valores numéricos de las siguientes cantidades: (a) la diferencia de potencial en el capacitor en t = ∞; (b) la diferencia de potencial en el capacitor en t = 2τ; (c) la intensidad de corriente que pasa por R 2 en t = 0 y (d) la constante de tiempo capacitiva. 68. En el circuito mostrado en la figura el interruptor ha estado abierto por mucho tiempo. Si en el instante t = 0 es cerrado. Determine: (a) la corriente en R 3 después de un tiempo t = 1,25 τ después de cerrado el interruptor; (b) la intensidad de corriente en R 2 en t = ∞; (c) usando las leyes de kirchhoff encuentre la constante de tiempo capacitiva para cargar el capacitor. 69. Para el circuito mostrado en la figura. En el instante t = 0 s el interruptor S está cerrado y en el instante t = 2 s está abierto. (a) Represente gráficamente el voltaje a través de C y la corriente a través de la resistencia de 5 MΩ entre t = 0 s y t = 10 s. (b) Determine el voltaje a través del capacitor en los tiempos t = 2 s y t = 8 s. V1 55 V R1 150Ω R2 175Ω R3 125Ω 1 C1 250pF 2 4 J1A Key = A 7 3 V1 150 V J1A Key = A 1 R1 150Ω R2 50Ω R3 150Ω C1 3mF 2 3 4 R4 50Ω 6 5 V1 375 V J1A Key = A 1 R1 1.5kΩ R2 2.5kΩ R3 750Ω C1 1.5uF 2 3 5 0 Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 38 70. Los capacitores del circuito mostrado en la figura están inicialmente descargados cuando el interruptor S se encuentra abierto. Determine: (a) el valor de la corriente inicialmente suministrada por la batería inmediatamente después de cerrado el circuito, (b) la intensidad de corriente a través de la batería después de un tiempo muy grande de haber cerrado S y (c) las cargas finales sobre cada uno de los capacitores. 71. En el circuito RC mostrado en la figura los capacitores están inicialmente descargados cuando el interruptor K se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la corriente a través de cada una de las resistencias inmediatamente después de cerrado el interruptor S?. ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de cada resistencia después de un tiempo muy grande de haber cerrado el interruptor?. (c) Cuál es la carga final sobre cada uno de los capacitores?. 72. En el circuito mostrado en la figura el capacitor está inicialmente descargado y el interruptor abierto. Determine: (a) la corriente que pasa a través del resistor de 1000 Ω, justo después de cerrar el interruptor y (b) la corriente en el resitor de 1000 Ω, 1 hora después de cerrar el interruptor. 73. En el circuito mostrado en la figura determine: (a) La intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito, (b) La carga en cada uno de los capacitores cuando se cargan completamente. 74. En el circuito mostrado, determine: (a) la intensidad de corriente a través de cada una de las resistencias, (b) la carga sobre cada uno de los capacitores. 75. En el circuito mostrado en la figura la batería tiene una fem de 100 V. ¿Cuál es la lectura del voltímetro si su resistencia interna es de 2 kΩ?. Desprecie la resistencia interna de la batería. 76. En el circuito mostrado en la figura la fem de la batería es de 110 V y su resistencia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 39 77. En el circuito mostrado en la figura la fem de la batería es de 110 V y su resistencia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro. 78. En el circuito mostrado en la figura la fem de la batería es de 110 V y su resistencia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro. 79. En el circuito mostrado en la figura la fem de la batería es de 120 V y su resistencia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 2 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro. 80. Si el voltímetro tiene una resistencia interna de 1000 Ω. Determine la indicación de este instrumento cuando se le instala en el circuito tal como se muestra en la figura. 81. En el circuito mostrado en la figura, determine la lectura del amperímetro. Se desprecian las resistencias internas de las baterías y del amperímetro, 82. ¡Qué intensidad de corriente marca el amperímetro de la figura si su resistencia es de 200 Ω. Desprecie la resistencia interna de las baterías. 83. En el circuito mostrado en la figura, determine la lectura del amperímetro. Se desprecian las resistencias internas de las baterías y del amperímetro. 84. En la figura V 1 y V 2 son dos voltímetros cuyas resistencias internas son R 1 = 3000Ω y R 2 = 2000Ω, respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros y de los amperímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería y de los amperímetros Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 40 85. En la figura V 1 y V 2 son dos voltímetros cuyas resistencias internas son R 1 = 3000Ω y R 2 = 2000Ω, respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería. 86. En el estado estacionario la carga sobre el capacitor de 5 μF del circuito mostrado en la figura es de 1000 μC. Determine: (a) la corriente a través de la batería y (b) los valores de las resistencias R 1 , R 2 y R 3 . 87. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la corriente que fluye a través de cada una de las fuentes, (b) la potencia liberada en cada resistor y (c) la energía liberada en el resistor de 3 Ω en un intervalo de tiempo de 5 minutos. 88. Considere que los medidores del circuito mostrado en la figura son perfectos. Determine: (a) La resistencia equivalente, (b) La intensidad de corriente I 1 , (c) Las lecturas del amperímetro y del voltímetro y (d) la potencia disipada por la resistencia de 2 Ω. 89. En el circuito mostrado en a figura cuando el interruptor K se abre el amperímetro marca 100 mA. Determine: (a) e valor de la resistencia desconocida R (b) la intensidad de corriente en cada una de las resistencias y c) la diferencia de potencial entre los puntos B y C. 90. En el circuito RC mostrado R = 540 MΩ y C = 120 μF. El interruptor es cerrado en t = 0. (a) ¿En qué tiempo alcanzarán el 36% de su máximo valor las siguientes cantidades: (a) la energía almacenada y (b) la potencia liberada en R?. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 41 91. En el circuito RC mostrado en la figura, la batería tiene una fem de 4 V y una resistencia interna de 1Ω. Sabiendo que R 1 = 3Ω y R 2 = 2Ω, C 1 = 2 μF; C 2 = 8 μF; C 3 = 4 μF; y C 4 = 6 μF. Determine: (a) La intensidad de corriente a través de la resistencia R 1 , (b) Las cargas en las armaduras de cada uno de los capacitores después de un tiempo muy grande y (c) la potencia entregada al circuito por la batería. 92. En el circuito mostrado en la figura, determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b. 93. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. la batería tiene una fem = 5 y una resistencia interna de = 1. Las resistencias son R 1 = 3 Ω, R 2 = 4 Ω y R 3 = 2 Ω. Determine las cargas en cada una de las placas de cada uno de los capacitores 94. En el circuito RC de la figura se coloca el interruptor K en la posición A en el instante t = 0 s y después de una constante de tiempo (1τ) se pasa a la posición B. Determine: (a) el régimen transitorio completo de corriente y (b) el régimen transitorio de carga. Desprecie las resistencias internas de las baterías. 95. En el circuito mostrado cada uno de los resistores tienen el mismo valor R = 6 Ω Y la batería de resistencia interna despreciable tiene una fem = 6 . Determine: (a) la resistencia equivalente del sistema, Las corrientes I 1 , I 2 e I 3 . 96. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) Las corrientes en cada una de las ramas, (b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) La potencia disipada en la resistencia de 5 Ω. 97. En el circuito mostrado en la figura el amperímetro ideal indica el paso de una intensidad de corriente de 3A dirigida de a hacia b. Encuentre: (a) la intensidad de corriente que pasa a través de los resistores de 8 Ω y 3 Ω y (b) la lectura del voltímetro ideal. 98. Los condensadores del circuito mostrado en la figura están inicialmente descargados. El interruptor S se cierra primero y después se cierra el interruptor K. (a) ¿Cuál es la corriente en la batería inmediatamente después de cerrar S?. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente de la batería un tiempo largo después de cerrar ambos interruptores?. (c) ¿Cuáles son los voltajes finales a través los condensadores? Y (d) Después de un tiempo prolongado se abre el interruptor K. ¿Cuál sería la corriente en el resistor de 150 Ω en función del tiempo?. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 42 99. Para el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) La lectura del amperímetro y del voltímetro considerando a estos instrumentos ideales, (b) la potencia disipada en las resistencias de 100 Ω y 50 Ω, respectivamente y (c) la potencia entregada por las baterías. 100. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) Las corrientes en cada una de las ramas, (b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) La potencia disipada en la resistencia de 15 Ω. 101. En el circuito mostrado en la figura, determine la intensidad de corriente a través de la fuente de tensión. 102. Halle la resistencia equivalente entre los bornes x e y de la red mostrada en la figura. 103. Un tetraedro regular es una pirámide con su base triangular. Si en cada una de sus aristas se encuentran instaladas resistencias iguales de R = 20 Ω con uniones en su cuatro vértices. Una batería de 24 V es instalada a dos de sus vértices de la base del tetraedro. (a) ¿Cuál sería la resistencia equivalente entre dos vértices del tetraedro?. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la batería?. 104. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo suficientemente largo para que el capacitor se cargue por completo. Determine: (a) la intensidad de corriente en estado estacionario en cada uno de los resistores y (b) la carga Q del capacitor. (c) Ahora el interruptor se abre en t = 0. Escriba una ecuación para la intensidad de corriente a través de la resistencia de 15 Ω como función del tiempo y (d) determine el intervalo de tiempo necesario para que la carga del capacitor se reduzca a un quinto de su valor inicial. 105. El circuito mostrado en la figura contiene dos resistencias R 1 = 2 kΩ y R 2 = 3 kΩ, si como dos capacitores, C 1 = 2 μF y C 2 = 3 μF, conectados a una batería cuya fem es = 120 . Antes de cerrar el interruptor S los capacitores se encuentran completamente descargados. Determine la carga q 1 q 2 , en cada uno de los capacitores después de cerrar los interruptores en función del tiempo. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 43 106. El interruptor S ha estado cerrado durante mucho tiempo de tal manera que el circuito eléctrico mostrado en la figura lleva una corriente constante. Considerando que C 1 = 3 μF, C 2 = 6 μF, R 1 = 4 kΩ y R 2 = 7 kΩ y la potencia entregada a R 2 es de 2,4 W. (a) Determine la carga en cada uno de los capacitores, (b) Suponga que ahora se abre el interruptor. Después de varios milisegundos, ¿Cuánto ha cambiado la carga en C 2 ?. 107. El circuito muestra el modelo de un circuito para la transmisión de señal eléctrica, como por ejemplo televisión por cable, a un gran número de usuarios. Cada usuario conecta una resistencia de carga R L entre la línea de transmisión y la tierra. Supuestamente la tierra se encuentra a potencial cero y es capaza de conducir corriente de cualquier tamaño entre cualquier conexión a tierra con una resistencia despreciable. Determine la resistencia equivalente entre los terminales del origen de la señal. 108. Tres bombillas de 60 W, 120 V, están conectadas a una fuente de potencia de 220, como se muestra en la figura. Determine: (a) la potencia total entregada a las tres bombillas y (b) el voltaje aplicado a cada una de las bombillas. Suponer que la resistencia de cada bombilla es constante (aun cuando la resistencia varía considerablemente con la temperatura). 109. (a) Usando argumentos de simetría muestre que la intensidad de corriente a través d cualquier resistor del circuito mostrado es I/3 o I/6. (b) Si cada uno de los resistores tienen una resistencia R, muestre que la resistencia equivalente entre los bornes a y b es R eq = (5/6)R. 110. Un galvanómetro, el cual requiere de una intensidad de corriente de 1 mA para una deflexión de la escala completa, que tiene una resistencia interna de 60 Ω, puede ser utilizado para medir intensidades de corriente mucho mayores. Para permitir que un operador pueda medir corrientes elevadas sin dañar el galvanómetro, se conecta a éste una resistencia muy pequeña (resistencia Shunt) en paralelo como se muestra en la figura permitiendo de esta forma que la mayoría de corriente fluya por la resistencia Shunt. Determine el valor de la resistencia Shunt a utilizar si se quiere medir corrientes de 10 A para una deflexión completa de la escala. 111. El galvanómetro descrito en el problema anterior puede ser utilizado para medir voltajes. En este caso se conecta en serie con el galvanómetro un resistor grande R p como se muestra en la figura. El efecto es limitar la corriente que pase por el galvanómetro cuando se apliquen voltajes elevados. La mayor parte de caída de potencial ocurre en el resistor en serie R P . Determine el valor de R P que permita medir al galvanómetro medir un voltaje aplicado de 100 V con una deflexión de escala completa. 112. Un galvanómetro con una sensibilidad a escala completa de 1 mA requiere de un resistor de 900 Ω en serie para construir un voltímetro cuya lectura a escala completa sea de 1,00 V cuando sus terminales son conectados. ¿Qué resistencia es requerida para convertir al galvanómetro en un voltímetro que permita leer un voltaje de 50,0 V?. Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 44 113. Suponiendo que un galvanómetro tiene una resistencia interna de 60 Ω y requiere una intensidad de corriente de 0,5 mA para producir una deflexión de la escala completa. ¿Qué resistencia R sh debería conectarse en paralelo con el galvanómetro si la combinación debería utilizarse como un amperímetro el cual permite leer una intensidad de corriente de 100 mA para una deflexión de la escala completa?. 114. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa para 1 V ; 10 V y 50 V, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 50 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 1 mA. 115. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa para 200 mV, 2 V ; 20 V y 600 V, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 10 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 0,5 mA. 116. El galvanómetro tiene una resistencia interna de 20 Ω y requiere de 2 mA para una deflexión de la escala completa. ¿Cuáles serán los valores de las resistencias shunt necesarias para los tres rangos indicados. 117. Diseñe un amperímetro rango múltiple capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa para 20 mA, 200 mA y 10A, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 10 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 1 mA. 118. En el circuito mostrado en la figura, encuentre: (a) la corriente inicial que fluye a través de cada uno de los resistores cuando el interruptor es cerrado, (b) la corriente de régimen estacionario en cada resistor y (c) la energía final almacenada en capacitor y (d) la constante de tiempo capacitiva cuando el interruptor es abierto. 119. El puente de Wheatstone mostrado en la figura es utilizado para hacer medidas precisas de resistencias de alambres de conexión. Si R 3 = 1 kΩ y el puente se encuentra balanceado mediante el ajuste de R 1 tal que R 1 = 2,5 R 2 . Determine el valor de la resistencia desconocida R x . 120. Suponga que el puente de Wheatstone mostrado en la figura del problema anterior se encuentra no balanceado. Determine la intensidad de corriente que pasa a través del galvanómetro cuando R x = R 3 = 7 Ω, R 2 = 21 Ω y R 1 = 14 Ω. Suponga que la batería de resistencia interna despreciable proporciona una fem de 70 V y que la resistencia interna del galvanómetro es despreciable. 121. El circuito mostrado en la figura corresponde a un potenciómetro. Cuando se utiliza una batería Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 45 estándar con una fem de 1,0186 V en el circuito y la resistencia entre a y d es de 36 Ω, el galvanómetro marca cero. Si la batería estándar es remplazada por una batería cuya fem es desconocida, el galvanómetro no registra el paso de corriente alguna cuando la resistencia entre a y d es ajustada a 48 Ω. Determine el valor de la fem . 122. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia interna del voltímetro y del amperímetro so R V = 1 kO; R A = 0,1 O. El resistor R tiene una resistencia de 10 O. (a) ¿Cuáles son los valores de la corriente y la diferencia de potencial a través del resistor?. (b) cuales son la corriente y la diferencia de potencial medidas por el los medidores?. 123. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia interna del voltímetro y del amperímetro so R v = 1kO; R A = 0,1 O. El resistor R tiene una resistencia de 10 O. (a) ¿Cuáles son los valores de la corriente y la diferencia de potencial a través del resistor?. (b) cuales son la corriente y la diferencia de potencial medidas por el los medidores?. 124. Sea el circuito eléctrico mostrado en la figura. Se conocen: r = 1 Ω, R = 10Ω, la resistencia del voltímetro es Rv = 200 Ω. Calcular el error relativo de las indicaciones del voltímetro, el cual se obtiene al suponer que el voltímetro tiene una resistencia infinitamente grande y que por lo tanto no introduce distorsión alguna en el circuito. 125. Cada una de las celdas del circuito mostrado tiene una fem de 0,6 V una resistencia interna de r = 0,6O. (a) ¿Cuál es la fem neta del circuito?, (b) ¿Cuál es la resistencia interna total de las baterías del circuito?. (c) ¿Cuál es la resistencia neta de carga del circuito?, (d) ¿Cuál es el voltaje V5 a través del resistor R5?, (e) ¿Cuál es la potencia disipada en el resistor R7?. 126. ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente en el galvanómetro del puente de Wheatstone no balanceado, mostrado en la figura?. Considere que la resistencia de la fuente de fem es despreciable y la resistencia interna del galvanómetro es 20Ω. 127. En la figura ε es una batería con una femde 120 V; R 1 = 10 Ω, R 2 es la espiral del calentador eléctrico y R 3 es una lámpara de iluminación la cual disipara Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 46 una potencia de 1200 W. Si al cerrar el interruptor S el amperímetro indica 12 A. (a) ¿Cuáles son las intensidades de corriente que fluyen por la lámpara y por la espiral del calentador?. (b) ¿Cuáles es el valor de la resistencia de la lámpara de iluminación (c) ¿Cuál es el valor la resistencia de la espiral?. (d) ¿Cuánto tiempo demorará en hervir 500 g de agua en el calentador K si su temperatura inicial es 20°C. Considere que en el calentamiento del agua se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. Desprecie la resistencia del la fuente y del amperímetro. (c e,w = 4186 J/kg.°C) 128. ¿Cuáles son las lecturas del amperímetro y del voltímetro ideales cuando: (a) el interruptor está abierto, (b) el interruptor está cerrado?. 129. En el circuito mostrado en la figura V 1 = 20 V y V 2 = 15 V y las resistencias toman los valores siguientes: R 1 = R 2 = 10O; R 3 = 15O y R 4 = R 5 = 20 O. Determine: (a) la corriente en cada una de las partes del circuito, (b) la potencia en el resistor R 1 . 130. En la figura ε es una batería con una f.e.m. de 110 V y una resistencia interna de 5 Ω, K es un calorímetro con 500 g de kerosene. El amperímetro marca 2A, y el voltímetro, 10,8 V. (a) ¿A qué es igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿A qué es igual el calor específico del kerosene, si a los 5 minutos de fluir la corriente por la espiral R 1 el kerosene se ha calentado 5ºC?. Considere que en el calentamiento del keroseno se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. (c) ¿A qué es igual la resistencia del reóstato R?. El voltímetro y el amperímetro son ideales. 131. Complete la tabla de valores para el circuito mostrado en la figura 132. Complete la tabla de valores en el circuito mostrado Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Optaciano Vásquez García 47 133. Complete la tabla de valores en el circuito mostrado. Si el voltímetro indica 2,233 V. 134. En el circuito mostrado en la figura, obtenga la carga en cada uno de los capacitores cuando se ha alcanzada el régimen permanente. 135. En el circuito mostrado en la figura: (a) ¿Cuál debe ser la fem c de la batería para que fluya una corriente de 2 A a través de la batería de 5 V, como se muestra?. Es correcta la polaridad de la batería que se indica?. (b) ¿cuánto tiempo toma producir 60 J de energía térmica en el resistor de 10 O?. 136. En el circuito mostrado. (a) Determine el voltaje a través del condensador. (b) Si la batería se desconecta, exprese la corriente del condensador en función del tiempo. (c) ¿Cuánto tiempo tardará en descargarse el condensador hasta que la diferencia de potencial a su través sea de un voltio?. (d) Si el condensador se reemplaza por una resistencia de 30 Ω ¿Cuáles son las intensidades de corriente que fluyen por las resistencias. 137. En el circuito eléctrico mostrado en la figura y bajo las condiciones de régimen estable. Determine: (a) las intensidades de corriente I 1 , I 2 e I 3 , (b) la carga en el capacitor V1 10 V V2 20 V R1 500Ω R2 200Ω 3 R3 800Ω C1 1uF C2 1uF C3 3uF 1 4 C4 2uF 5 C5 1uF 6 C6 2uF 2 7