Cinética de Partículas (Compilacion)

Cinética de laspartículas: Compilación de métodos. Estrategias para la solución de problemas Si se toma en cuenta que tanto los métodos de la energía como los de la cantidad de movimiento, disponibles para la solución de problemas en cinética de las partículas, fueron obtenidos a partir de la segunda ley de Newton del movimiento, se concluye que puede existir más de una manera de resolver un problema particular. En este capítulo se repasan y comparan los diferentes métodos y se analiza el procedimiento para la selección del mejor método para resolver un problema particular. En los tres capítulos previos todos los problemas al final de una sección fueron resueltos utilizando el método presentado en esa sección. En este capítulo los problemas que requieren la utilización de diferentes métodos aparecen sin orden determinado a través del capítulo, de tal manera que el estudiante obtenga un criterio para GENERALI DADES seleccionar el método más eficiente. Muchos problemas comprenden diferentes pasos para los cuales sólo un método de solución es el correcto. Entender la mejor estrategia para la solución de estos problemas es importante en el desarrollo de ingenieros calificados. OBJET IVOS DEL ESTUDI O se analiza más efectivamente utilizando el principie de la conservación de la cantidad de movimiento angular. Cuando las únicas fuerzas que actúan sobre una partícula intersec-tan un eje o son paralelas a ese eje.RESUMEN DEL ANÁLISIS DE LA CINÉTICA DE PARTÍCULAS Segunda Ley de Newton El principio fundamental de la cinética es la segunda ley de Newton del movimiento. tal como es el movimiento de los satélites y planetas en órbita. Si ninguna fuerza externa actúa sobre la partícula. sin una evaluación de las aceleraciones. es el único método práctico para emplearse en problemas de impacto en los que interviene una colisión entre dos cuerpos. el desplazamiento y el tiempo son el punto principal de interés. . la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento lineal es utilizada. o si la única fuerza que actúa sobre dos partículas es una fuerza mutua entre ellas. La ecuación de la conservación de la energía es utilizada frecuentemente cuando las fuerzas que intervienen son debidas a la gravedad o a resortes. En problemas de movimiento en un plano. la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento angular con respecto a ese eje es utilizada. Otros métodos están basados en esta ecuación y son desarrollados por conveniencia en la solución de problemas en los cuales otras variables como la velocidad. Métodos de la energía Los métodos de la energía son empleados cuando el problema requiere un análisis de las fuerzas relacionadas con cambios de velocidades y desplazamientos. La segunda ley de Newton se utiliza en todos los problemas donde se requiera el análisis de las aceleraciones. Para una partícula. La conservación de la cantidad de movimiento lineal. En la figura 16-1 se resumen los diferentes métodos. la ecuación del principio del impulso y la cantidad de movimiento es frecuentemente la más eficiente. El movimiento baje la acción de una fuerza central. El principio del trabajo y la energía debe ser utilizado cuando el problema incluye fuerzas no conservativas tal como la fricción. el eje es un punto alrededor de! cual se conserva la cantidad de movimiento angular. Métodos de la cantidad de movimiento Cuando un problema implica un cambio en velocidad debido a la aplicación de fuerzas externas sobre una masa durante un intervalo de tiempo. conjuntamente con la ecuación del coeficiente de restitución. FIGURA 16-1 Tabla de ecuaciones para ¡os métodos de cinética . Utilizando la ecuación 12-12 se obtiene: Separando variables. y (2) la velocidad puede calcularse directamente por el método del trabajo y la energía. MÉTODOS DE SOLUCIÓN La cantidad desconocida en este problema es la velocidad. las direcciones tangencial y transversa] son iguales. Para la solución dos métodos están disponibles: (1) la velocidad puede calcularse integrando la aceleración tangencial obtenida por medio de un análisis cinético. A continuación se describen los dos métodos para fines de comparación.La rampa de una torre para competencias de esquí tiene la forma de un arco circular como se muestra en la figura 16-2. y las cantidades conocidas son la fuerza de la gravedad y la distancia recorrida. resulta: Un problema surge aquí debido a que no se conoce cómo 6 varía con el tiempo. de tal manera que la ecuación no puede ser integrada. Sumando fuerzas en la dirección tangencial para una posición general se obtiene: Nótese que esta aceleración es independiente del peso del competidor. SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CINÉTICA Y CINEMÁTICA El diagrama de cuerpo libre del competidor se muestra en la figura 16-2b. Sin embargo. Los competidores inician su movimiento desde el reposo en e! punto A y se lanzan al aire en el punto B. Utilizando componentes transversales de la ecuación 12-22 se obtiene: . Calcule la velocidad del salto v si r = 60 m y 6 = 40° para un competidor de peso W. ya que la trayectoria es circular. Suponga que en la rampa no hay fricción. \mo\. resulta: Las condiciones iniciales requieren que w = O para 6 = 0°. Puesto que el competidor inicia su movimiento desde el reposo. Nótese que la ecuación 14-15 permitió una solución .Para tomar en cuenta la aplica la regla de la cadena ecuación.7\. T\ = jmv] = 0. el cual es positivo de acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la figura 14-4. El trabajo hecho sobre el competidor es el trabajo efectuado por la gravedad. esto es: separación de las variables se al lado derecho de esta Integrando. La energía cinética final es T2 . U12 = Wh = mgh. Por lo tanto: que concuerda con el resultado anterior. £/12 = T2 . Por lo tanto: De la ecuación 12-14 se obtiene: SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA Utilizando la figura 16-2c y la ecuación 14-15. y (b) la distancia D recorrida por el automóvil antes de detener su movimiento. Sin embargo. En general. llegando al reposo en el punto B (Fig. CONSIDERACIÓN DE LOS MÉTODOS Y SUGERENCIAS Es obvio del análisis anterior que el método del trabajo y la energía es el más eficiente. Utilizando el diagrama de cuerpo libre d la figura 16-3b y la ecuación 15-23 para la componente de la velocidad normal a 1 pendiente. se obtiene: . en casos donde la fuerza no es constante o no es función del desplazamiento.mucho más rápida. uno debe empezar leyendo cuidadosamente el enunciado del problema buscando indicios de estas circunstancias. el método del impulso y la can tidad de movimiento es también válido. Utilizando la ecuación 13-5b se obtiene: MÉTODO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO: Puesto que est problema comprende velocidad. Cuando los problemas incluyen un cambio en velocidad. 163a). el método de la cinética y la cinemática debe ser utilizado. (Gráficas basadas en esta ecuación para la distancia D son útiles para la policía en la investigación de un accidente). EJEMPLO 16-2 Un automóvil de peso W desliza hacia abajo en una pendiente. fuerzas y tiempo. (a) SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CINÉTICA Y CINEMÁTICA: El diagrama de cuerpo libre del automóvil se muestra en la figura 16-3b. el método del trabajo y la energía deberá siempre utilizarse primero. fuerzas y desplazamientos. La velocidad del automóvil en el punto A es rfl y el coeficiente de fricción cinética n es constante en toda la distancia recorrida. Calcule: (a) el tiempo is requerido para que el automóvil deslice hasta el reposo. (b) SOLUCÍON POR EL MÉTODO DE CINÉTICA Y CINEMÁTICA: cuando el automóvil se detiene en t = ts = D. resulta: .Nótese que la ecuación ∑ Fy = mÿ = O con la que se obtuvo la ecuación (a). uno puede mezclar los métodos para simplificar la solución. Para la componente de la velocidadparalela a la pendiente se obtiene: Puesto que el integrando es constante: Por lo tanto: FIGURA 16-3 Análisis del movimiento de un automóvil utilizando métodos alternos Nótese que ts es independiente de W. Puesto que x = ∫ v dt + C2 : Sustituyendo la ecuación (d) para t. en la ecuación (e). y que ts es mayor para el deslizamiento hasta el reposo hacia abajo (sen θ > 0) que para el desplazamiento hacia arriba (sen θ < 0). pe dría haber sido utilizada aquí también. Esto implica que en casos especiales como éste. De igual manera. como se podía esperar por experiencia propia. .Solución alterna: El enunciado de la parte (b) busca una relación entre "cambio en posición" y "cambio en velocidad" para la cual la forma a = v(dv/dx) es frecuentemente preferible a la relación a . Utilizando la ecuación (c) anterior se obtiene: Nótese que D es también independiente del peso W. CONSIDERACIÓN DE LOS MÉTODOS Ninguna de las partes de este problema requirió la determinación de la aceleración. situación en la cual el método del trabajo y la energía es ideal. y por esto el método del trabajo y la energía y el de la cantidad de movimiento son más directos.dv/dí. La fuerza normal N no realiza trabajo debido a que es perpendicular al desplazamiento. Esto no es casualidad puesto que el método del trabajo y la energía se obtuvo separando variables de una manera muy similar. y que para una velocidad inicial dada vo el deslizamiento es mayor hacia abajo (sen θ > 0) que hacia arriba (sen θ < 0). mientras que el método del impulso y la cantidad de movimiento es el más fácil de utilizar. uno puede rápidamente seleccionar el método de solución más eficiente. Esta última es más adecuada para relacionar un "cambio en velocidad" con el tiempo. el enunciado de la parte (b) pide relacionar un cambio en velocidad con un cambio en posición. leyendo cuidadosamente el enunciado del problema. Resolviendo para D se obtiene: Nótese que la solución por el método del trabajo y la energía es muy similar a la "solución alterna" anterior en la cual se utilizó a = u (dv/dx) en la integración. Nótese una vez más que. MÉTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA: Desde A hasta B el trabajo es realizado por el peso W y por la fricción F = uN. el método del trabajo y la energía no sería adecuado. Puesto que el enunciado de la parte (a) del problema claramente pide relacionar un cambio en velocidad con un intervalo de tiempo. Utilizando la ecuación 14-15 se obtiene. Puesto que la fuerza normal no está incluida en el análisis del trabajo y la energía. (a) Sea P la posición genérica para un ángulo S dado. donde la suma de fuerzas más conveniente será en la dirección normal al movimiento circular descrito. La forma de la parte superior de la colina desde A hasta Ces circular con un radio R (de 8 = 0° a 8 = 60°). en consecuencia la selección más lógica es el método del trabajo y la energía. con la referencia en el punto A. El competidor deja de hacer contacto con la colina en el punto B y se estrella en el suelo en el punto D. De la ecuación 14-29. se obtiene: . debido a que la aceleración normal es función de la velocidad (la cual es común a los dos métodos). la fuerza normal no realiza trabajo y por lo tanto el principio de la conservación de la energía rige. Despreciando la fricción y la resistencia del aire calcule: (a) la velocidad del competidor en una posición general 9 antes de alcanzar el punto 5.EJEMPLO 16-3 Un competidor de esquí de peso W inicia su movimiento desde el reposo en la cima de una colina y desliza con fricción despreciable hacia abajo (Fig. (b) el ángulo 6B en el cual el competidor deja de tener contacto con la colina (punto B). SOLUCION Las partes (a) y (c) de este problema piden que se determine la velocidad para un peso y desplazamiento dados.60 ft. Del diagrama de cuerpo libre de la figura 16-4b. El análisis del trabajo y la energía se acopla bien a una suma de fuerzas en la dirección normal. 16-4a). en esta parte se deberá utilizar la segunda ley de New-ton. la parte (b) requiere determinar el punto donde la fuerza normal vale cero. Sin embargo. y (c) la velocidad con la cual el competidor se estrella en el suelo en el punto D para una altura h . En problemas de dinámica frecuentemente se encuentran casos de situaciones límite como ésta. es decir: (c) El principio de la conservación de la energía también puede aplicarse desde el punto A hasta el punto D. cesando el contacto de éste a colina. esto es: SUGERENCIA" 1 Nótese que el principio de la conservación de la energía podría haberse aplicado primero desde A hasta B para calcular la velocidad en B. resulta una expresión general de la magnitud de la fuerza normal N para cualquier posición θ. y segundo. Sin embargo requiere menos cálculos sí se trabaja con una sola etapa. . se obtiene: Sustituyendo la ecuación para v2 obtenida en la parte (a). desde B hasta D para calcular la velocidad en D. lo cual se representa con N = O.FIGURA 16-4 V =√ 2gR (1 – COS θ) para una posición genérica θ (b) Utilizando !a ecuación 13-6a con el diagrama de cuerpo libre de la figura 16-4b. como se hizo aquí. SUGERENCIA* 2 Nótese que en la parte (b) la fuerza normal se iguala a cero para obtener la solución de la posición límite del contacto entre el competidor y la colina. esto es: En la posición S = 6B el competidor se lanza al aire. desde A hasta D. 07 kg se dispara a una velocidad n sobre una bolsa con arena de 10 kg (Fig. Calcule la velocidad inicial v¡ de la bala si el ángulo máximo de recorrido de la bolsa es θ = 25°. debido a que en esta dirección no existen fuerzas externas que actúen sobre el "sistema" (Fig. El único trabajo realizado es el de los pesos moviéndose verticalmente hacia arriba una distancia hmáx = 2 (1 — cos 25°). La bala se incrusta en la arena de la bolsa la cual está suspendida por medio de una cuerda sin masa. FIGURA 16-5 SOLUCIÓN Considere este problema en dos fases: FASE I: Durante el tiempo del impacto (medido desde el instante en que la bala golpea la bolsa hasta que se aloja en la arena) la conservación de la cantidad de movimiento lineal es aplicable en la dirección horizontal. compuesto de la masa de la bolsa con arena más la masa de la bala (Fig. por lo tanto: En la ecuación (a). Las fuerzas de impacto entre A y B son internas al sistema y son iguales y opuestas. 16-5a). 16-5b). inicia su movimiento de oscilación con una velocidad vB2 hasta llegar al reposo en una posición angular θ = 25° recorriendo un arco circular de 2 m de radio. El principio del trabajo y la energía es ideal para relacionar este "cambio en velocidad" con un "cambio en posición". 16-5b). el sistema. pues la bala se queda alojada en la arena). Para medir la velocidad de la bala se utiliza la máxima altura alcanzada hmíf.EJEMPLO 16-4 Una bala de masa igual a 0. VA2 = vB2 debido a que e = O (impacto perfectamente plástico para el cual la "velocidad relativa de separación" es cero. De la ecuación (a) se obtiene: FASE II: Después del impacto. Utilizando la ecuación 14-15 se obtiene: . sino que también se conservó la cantidad de movimiento angular alrededor del punto O. EJEMPLO 16-5 El martillo A de un sistema de forja pesa 1000 Ib y se deja caer. es decir: . para los movimientos previo y posterior al impacto. no sólo se conservó la cantidad de movimiento lineal. debido a que el peso de la bala y la bolsa crea un momento alrededor del punto O.Sustituyendo este resultado en la ecuación (b) resulta: SUGERENCIA Nótese que en la fase I de este problema. de tal manera que es ideal utilizar el método del trabajo y la energía con la ecuación de la conservación de la energía. y sólo se necesita calcular velocidades. La cantidad de movimiento angular alrededor del punto O no se conserva en la fase II. estando inicial-mente en reposo. esto es: FIGURA 16-6 FASE I: Utilizando T1 + V1 = T2 + V2 durante la caída libre del martillo A.000 Ib/ft. Calcule la altura h a la cual el martillo A rebota después del impacto con el yunque B y la máxima deflexión y de los resortes. El coeficiente de restitución entre el martillo y el yunque es e = 0. y (III) después del impacto. Sin embargo. desde una altura de 2 ft sobre un yunque B que pesa 8000 Ib (Fig. 16-6a). únicamente están en juego las fuerzas de la gravedad y de los resortes. SOLUCIÓN Como este problema comprende un impacto entre dos cuerpos. conjuntamente con la ecuación del coeficiente de restitución.5. Durante la colisión se pierde energía debido a ondas elásticas y sonoras y al calor generado. (II) durante el impacto. el único método práctico para resolverlo es el del impulso y la cantidad de movimiento. Este problema se analiza más fácilmente si se identifican tres fases del movimiento: (I) antes del impacto. El yunque B está soportado por un sistema de resortes con una rigidez combinada k = 20. es decir: . esto es: Resolviendo las ecuaciones (a) y (b) se obtiene: FASE III: Utilice T1 + V1 = T2 + V2 para calcular la altura h del rebote de A y la máxima compresión y que ejerce el yunque B sobre los resortes después del impacto. con (b) la definición del coeficiente de restitución.FASE II: Utilice (a) la conservación de la cantidad de movimiento lineal durante el tiempo de impacto ∆t. de tal manera que el acróbata se mueve en una nueva trayectoria circular de radio r2. con una velocidad inicial i. las fuerzas sobre el acróbata o intersectan o son paralelas al eje y. como se muestra en la figura 16-7a. a una velocidad v2 con un ángulo de la cuerda de 30°.6 Ib mostrado está colgado de sus tobillos en el extremo de una cuerda que está soportada por un eslabón giratorio (puede girar alrededor del eje vertical y) en el punto O. Inicialmente el acróbata se mueve en una trayectoria circular de 5 ft de radio y la longitud de la cuerda es de 30 ft medida desde el punto O. SOLUCIÓN Por inspección del diagrama de cuerpo libre de la figura 16-7b. y (b) el radio r2. el ayudante del acróbata tira de la parte de la cuerda OP muy gradualmente provocando que el ángulo θ aumente desde el valor θ 1 hasta un nuevo valor igual a 30°. en todo el movimiento.EJEMPLO 16-6 El acróbata de circo de 96. Por lo tanto.. Para la configuración 1 y la configuración 2 se obtiene: . la velocidad v2 y la tensión de la cuerda T2 para la trayectoria circular final del acróbata. la cantidad de movimiento angular del acróbata alrededor del eje y se conserva. Cuando esto está sucediendo. Calcule: (a) la velocidad v1 y la tensión de la cuerda T1 para el movimiento inicial. una suma de fuerzas en la dirección normal al movimiento involucrará también el radio r y la velocidad v (es decir. Del diagrama de cuerpo libre de la figura 16-7b se obtiene: FIGURA 16-7 Acróbata de circo . Puesto que se puede suponer que el acróbata se mueve en un movimiento circular en cada configuración. por lo tanto se requieren dos ecuaciones más para poder obtener la solución. no se añaden más incógnitas).En esta ecuación se tienen tres incógnitas. Nótese que para calcular las fuerzas en tales problemas.SUGERENCIA Esle ejemplo es típico de los problemas de péndulos cónicos (movimiento circular en un plano horizontal) para los cuales se conserva la cantidad de movimiento angular. se requiere establecer sumas de fuerzas en las direcciones normal y vertical. . La caja B está en reposo y en contacto con el resorte mostrado. 16. el ingeniero quiere que la altura h sea lo suficientemente grande para que el carro ejerza una fuerza hacia arriba sobre los rieles de 5000 N cuando se encuentre en el punto B en el extremo superior del bucle.1 En el diseño del juego mecánico de la figura.5 kg. El carro inicia su movimiento desde el reposo en el punto A.3 Un dispositivo sencillo para medir la velocidad de lanzamiento de pelotas u otros proyectiles se conoce como un péndulo balístico. y oscila junto con la pelota como se muestra. . La constante del resorte es k = 600 Ib/ft.2 Las cajas A y B pesan cada una 64. 16.6. calcule la altura h requerida si e¡ radio del bucle es r = 10 m y la masa del carro y los pasajeros es de 500 kg. el cual no está deformado inicial-mente.15 m. La caja A inicia su movimiento desde el reposo y desliza bajando por la rampa sin fricción hasta golpear la caja B. Calcule la velocidad inicial de la pelota si el péndulo oscila con ésta hasta una altura h = 0. El peso de la barra es despreciable.4 Ib y el coeficiente de restitución entre ellas es e = 0. La masa del péndulo es de 30 kg y la masa de la pelota es de 0.PROBLEMAS 16. Calcule la máxima deformación del resorte inmediatamente después del impacto. Despreciando la fricción. Este dispositivo captura ¡a pelota u objeto lanzado estando colgado y en reposo. La longitud sin deformación del resorte es de 8 ft. La máquina niveladora genera con el suelo una fuerza de tracción constante de 4000 Ib cuando está empujando la roca. Calcule: (a) la distancia d que la roca debe ser empujada. La máquina niveladora {bulldozer) que pesa 6440 Ib inicia su movimiento desde el reposo empujando una roca que pesa 644 Ib una distancia d desde el punto O hasta el punto A.5. calcule la fuerza normal ejercida sobre la flecha AB en el punto B justo antes del impacto. . un ingeniero civil decide limpiar el terreno en la cima de una montaña (para evitar accidentes en la autopista de la figura) empujando las rocas para que caigan por ¡os lados de la montaña. El peso de 161 Ib se libera desde el reposo en el punto A y es tirado por el resorte de rigidez k = 100 Ib/ft. y (b) la magnitud de la fuerza F ejercida por la máquina niveladora sobre la roca según la máquina acelera desde O hasta A. Para la roca que desliza desde O hasta B el coeficiente de fricción es /t = 0. 16.5 Para reducir los costos de construcción.16.4 Se utiliza un sistema de masa y resorte para triturar el material en C por una carga de impacto en B. En el punto A la máquina niveladora se detiene abruptamente y la roca continúa su movimiento deslizando una distancia de 5 ft desde A hasta B. Despreciando la fricción. para que la roca libre la autopista en el punto C. Calcule la velocidad final de P en θ = 0.75.16. En θ = 60°.7 En la clasificación de esferas metálicas para rodamientos la altura de rebote h y la distancia horizontal d de la figura se miden electrónicamente.5 m. 16. Calcule h y d para la colocación aproximada de los sensores si la plancha de impacto está fija y el coeficiente de restitución es e=0. Suponga que en 6 = O el gimnasta aplica una gran fuerza para que repentinamente la longitud cambie a l = 5. .6 Un gimnasta de 70 kg que efectúa ejercicios en las argollas puede representarse como una partícula P. l = 6 m y P no tiene velocidad. 8 Un fabricante de pelotas de tenis las clasifica de acuerdo con sus características de rebote.11 En un dispositivo mecánico de un parque de diversiones las personas viajan sentadas en compartimientos montados sobre brazos de longitud constante r = 6.5 y 0. Las personas aterrizan a una velocidad de 6 ft/s sobre una plataforma soportada por cuatro resortes. 16. como se muestra.9 Resuelva el problema 16-8 utilizando e = 0. Grafique d como función de e y explique la tendencia general observada.16. 16. Calcule la distancia del recorrido horizontal d si el coeficiente de restitución con la raqueta fija es e = 0. .10 En un parque de diversiones la gente puede saltar en paracaídas el cual es guiado hasta el suelo por medio de unos cables verticales.6. Suponga que una persona de 70 kg está sentada en cada compartimiento a una distancia R = 8 m y desprecie la masa de los brazos y compartimientos. Calcule el trabajo realizado por la fuerza ejercida por cada pistón hidráulico A al cambiar el ángulo <¿ de ambos brazos a 60°.5 m.4.5. La rigidez de cada resorte es k = 7. Los brazos giran libremente a una velocidad angular uz = 2 rad/s cuando <j) = 30° para ambos brazos. ¿Cuánto espacio deberá permitirse para el desplazamiento vertical de la plataforma suponiendo que una persona de 250 Ib puede aterrizar sobre ella? 16. 0.5 Ib/in y la plataforma pesa 50 Ib. Desprecie la fricción. 16.13 En una operación automática de empaque un. y (b) la magnitud de la fuerza promedio ejercida por el suelo sobre el pilote si se observa que detiene su movimiento en 2 s.12 El cabezal de 300 kg de un mecanismo hincador de pilotes se deja caer sobre un pilote de 700 kg desde una altura de 2 m por encima de éste. Calcule: (a) la altura sobre el punto de impacto hasta la cual rebota el cabezal. El coeficiente de restitución entre el cabezal y el pilote es e -0. suponiendo que la caja no rebota al caer sobre el recipiente con una velocidad \ A = (3i .5.4j) ft/s. caja de 20 Ib se deja caer sobre una charola d< 40 Ib que puede deslizarse libremente sobre rodillos en la dirección horizontal. recipiente antes de llegar al reposo. . incrustándolo en suelo suave. 16. Calcule qué tanto desliza la caja sobre e.3. El coeficientí de fricción cinética entre la caja y el recipiente es 0. calcule la magnitud de la máxima fuerza normal que actúa sobre la rampa y la posición donde ocurre para una caja de 322 Ib. Por lo tanto.16.15 Un ingeniero diseña una rampa y un mecanismo de frenado para que los trabajadores puedan deslizar cajas por la rampa para bajarlas a una excavación. Calcule la distancia horizontal medida desde la pared hasta donde la pelota tocará el suelo después de rebotar contra la pared. El coeficiente de restitución entre la pelota y la pared es 0. la deformación máxima permitida del resorte está limitada a 1 ft. Para que las cajas no se caigan al llegar al final de la rampa. 16. (a) Calcule la rigidez requerida del resorte k si una caja de 322 Ib inició su movimiento desde el reposo en A. . Suponga que el efecto de la fricción es despreciable. Las cajas son detenidas por un resorte el cual inicialmente no tiene deformación. La pelota tiene una velocidad inicial v0 = 20 m/s a un ángulo θ = 70°. (b) Existe siempre la posibilidad de que la estructura que soporta la rampa pueda derrumbarse debido a cargas dinámicas.7.14 Una persona lanza una pelota a 2 m sobre el suelo y a 7 m de una pared. Calcule la máxima tensión en el cable que soporta la esfera si ésta se libera desde el reposo en un .0.16 Un automóvil A se está moviendo a una velocidad de 45 mi/h cuando golpea al automóvil B. el cual está en reposo y con sus frenos aplicados. el cual se movía hacia el norte.0. 16. Suponga que la bala es detenida instantáneamente en el momento del impacto. y (b) calcule aproximadamente el coeficiente de restitución entre los vehículos. Con estas mediciones: (a) calcule aproximadamente la velocidad de cada automóvil antes del impacto despreciando la fricción durante éste. El coeficiente de restitución entre A y B es e = 0.17 El automóvil A que pesa 3000 Ib se movía hacia el este al llegar a un cruce cuando fue golpeado lateralmente por el automóvil B que pesa 4000 Ib.19 La esfera de demolición de 1000 kg se balancea en un plano vertical. Después del impacto el automóvil A desliza en la dirección mostrada 40 ft hasta detenerse sobre una superficie con un coeficiente de fricción ¡i . y el automóvil B desliza 25 ft sobre el pavimento donde \i . y el coeficiente de fricción entre B y el pavimento es /^ = 0.18 Reconsidere el ejemplo 15-6 y la figura 15-13. 16.1. A pesa 4000 Ib y B pesa 3000 Ib.6.16.5. y (b) el tiempo ts para que B deslice hasta el reposo después del impacto. Calcule: (a) la distancia D requerida para que B deslice hasta el reposo después del impacto. Suponga que el eje v es aproximadamente la línea de impacto y que el eje x está sobre el plano de contacto.5. Calcule la distancia d que la plataforma recorre después del impacto de la bala en A. 16. 20 Reconsidere el problema 15-78 y calcule el impulso que debe ser aplicado al satélite de masa m en el apogeo de la órbita A para provocar que sea transferido a una órbita circular de radio rA = 30.ángulo 9 = 30°.21 Un trineo impulsado por cohetes se mueve sobre una pista sin fricción a una velocidad de 100 ft/s. ¿Cuál es la distancia que recorrerá el trineo antes de que su velocidad se reduzca a 50 ft/s? . 16.360 mi.004 r. La fuerza aerodinámica de arrastre que se opone al movimiento del trineo puede aproximarse por FD = 0. 16. I = 10 m. Si el peso del trineo es de 5000 Ib. 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