Cinetica de La Particula

Universidad Nacional Agraria La MolinaFacultad de Ingeniería Agrícola Departamento de Mecanización Agrícola Guía de Estudio Solucionario de algunos problemas propuestos en el libro Ingeniería Mecánica – Dinámica de R. C. Hibbeler Cinética de la Partícula Elaborado por : Ing° Hugo D. Pachas Luna La Molina, Enero del 2002 Contenido Pág Cinética de la Partícula .................................................................. 1 I. Fuerza y Aceleración ............................................................. 1 I.1. Componentes Rectangulares ........................................ 2 Ejemplo 1.1.1. .................................................................. 2 Ejemplo 1.1.2. .................................................................. 3 Ejemplo 1.1.3. .................................................................. 3 Ejemplo 1.1.4. .................................................................. 4 Ejemplo 1.1.5. .................................................................. 4 Ejemplo 1.1.6. .................................................................. 5 Ejemplo 1.1.7. .................................................................. 6 Ejemplo 1.1.8. .................................................................. 6 Ejemplo 1.1.9. .................................................................. 7 I.2. Componentes Normales y Tangenciales ...................... 8 Ejemplo 1.2.1. .................................................................. 8 Ejemplo 1.2.2. .................................................................. 9 Ejemplo 1.2.3. .................................................................. 9 Ejemplo 1.2.4. .................................................................. 10 Ejemplo 1.2.5. .................................................................. 10 Ejemplo 1.2.6. .................................................................. 11 Ejemplo 1.2.7. .................................................................. 11 Ejemplo 1.2.8. .................................................................. 12 Ejemplo 1.2.9. .................................................................. 13 I.3. Componentes Cilíndricas ................................................ 14 Ejemplo 1.3.1. .................................................................. 14 Ejemplo 1.3.2. .................................................................. 15 Ejemplo 1.3.3. .................................................................. 16 Ejemplo 1.3.4. .................................................................. 16 Ejemplo 1.3.5. .................................................................. 17 Ejemplo 1.3.6. .................................................................. 17 Ejemplo 1.3.7. .................................................................. 18 Ejemplo 1.3.8. .................................................................. 18 Ejemplo 1.3.9. .................................................................. 19 Ejemplo 1.3.10. ................................................................ 20 II. Trabajo y Energía ................................................................... 21 II.1. Principio del Trabajo y la Energía .................................. 22 Ejemplo 2.1.1. .................................................................. 23 Ejemplo 2.1.2. .................................................................. 24 Ejemplo 2.1.3. .................................................................. 24 Ejemplo 2.1.4. .................................................................. 24 Ejemplo 2.1.5. .................................................................. 25 Ejemplo 2.1.6. .................................................................. 25 Ejemplo 2.1.7. .................................................................. 26 Ejemplo 2.1.8. .................................................................. 26 Ejemplo 2.1.9. .................................................................. 27 Ejemplo 2.1.10. ................................................................ 27 II.2. Potencia y Eficiencia ...................................................... 28 Ejemplo 2.2.1. .................................................................. 29 Ejemplo 2.2.2. .................................................................. 29 Ejemplo 2.2.3. .................................................................. 30 Ejemplo 2.2.4. .................................................................. 30 Ejemplo 2.2.5. .................................................................. 31 Ejemplo 2.2.6. .................................................................. 31 Ejemplo 2.2.7. .................................................................. 31 Ejemplo 2.2.8. .................................................................. 32 Ejemplo 2.2.9. .................................................................. 32 II.3. Energía Potencial ............................................................ 33 Conservación de la Energía .......................................... 34 Ejemplo 2.3.1. .................................................................. 34 Ejemplo 2.3.2. .................................................................. 35 Ejemplo 2.3.3. .................................................................. 35 Ejemplo 2.3.4. .................................................................. 35 Ejemplo 2.3.5. .................................................................. 37 Ejemplo 2.3.6. .................................................................. 37 Ejemplo 2.3.7. .................................................................. 38 Ejemplo 2.3.8. .................................................................. 38 Ejemplo 2.3.9. .................................................................. 39 Ejemplo 2.3.10. ................................................................ 39 Ejemplo 2.3.11. ................................................................ 40 Ejemplo 2.3.12. ................................................................ 40 III. Impulso y Momento Lineales ................................................ 41 III.1. Principio del Impulso y Momento Lineales ................. 41 Ejemplo 3.1.1. .................................................................. 42 Ejemplo 3.1.2. .................................................................. 42 Ejemplo 3.1.3. .................................................................. 43 Ejemplo 3.1.4. .................................................................. 43 Ejemplo 3.1.5. .................................................................. 44 III.2. Conservación del Momento Lineal ............................... 44 Ejemplo 3.2.1. .................................................................. 45 Ejemplo 3.2.2. .................................................................. 45 Ejemplo 3.2.3. .................................................................. 46 Ejemplo 3.2.4. .................................................................. 46 III.3. Impacto ............................................................................ 47 Ejemplo 3.3.1. .................................................................. 48 Ejemplo 3.3.2. .................................................................. 49 Ejemplo 3.3.3. .................................................................. 49 Ejemplo 3.3.4. .................................................................. 50 Ejemplo 3.3.5. .................................................................. 50 Ejemplo 3.3.6. .................................................................. 51 Ejemplo 3.3.7. .................................................................. 52 Ejemplo 3.3.8. .................................................................. 52 Ejemplo 3.3.9. .................................................................. 52 Ejemplo 3.3.10. ................................................................ 53 Ejemplo 3.3.11. ................................................................ 54 Ejemplo 3.3.12. ................................................................ 54 Ejemplo 3.3.13. ................................................................ 55 Ejemplo 3.3.14. ................................................................ 55 Ejemplo 3.3.15. ................................................................ 56 Ejemplo 3.3.16. ................................................................ 56 IV. Impulso y Momento Angulares IV.1. Principio del Impuso y Momento Angulares ................ 57 Ejemplo 4.1.1. .................................................................. 58 Ejemplo 4.1.2. .................................................................. 58 Ejemplo 4.1.3. .................................................................. 59 Ejemplo 4.1.4. .................................................................. 59 Ejemplo 4.1.5. .................................................................. 60 Bibliografía ...................................................................................... 61 Mecánica II Página 1 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Cinética de la Partícula I. Fuerza y Aceleración La cinética estudia los efectos provocados por fuerzas no equilibradas que actúan sobre una partícula. De acuerdo con la segunda ley de Newton una partícula sobre la que actúa una fuerza no equilibrada F experimenta una aceleración a con la misma dirección que la fuerza y con una magnitud directamente proporcional a la fuerza. Esta constante de proporcionalidad m es un valor escalar positivo, conocido como masa de la partícula, la cual nos da una medición cuantitativa de la resistencia de la partícula a un cambio de velocidad. Unidades S.I. Británico Fuerza Masa Aceleración Newton (N) Kilogramo (Kg) metros/s² (m/s²) libra (lb) slug pies/s² (p/s²) 1 N = 21.62 lb 1 p = 0.3048 m ) C ( . . . a m F = ∑ Algunas fuerzas típicas: El peso (W) de una partícula es la fuerza de atracción que ejerce sobre ésta el planeta Tierra. Luego W = m g, donde g es la aceleración de la gravedad, medida en un punto de la superficie terrestre, a nivel del mar y a una latitud de 45°. El peso siempre está dirigido hacia el centro de la Tierra. Según el sistema de unidades empleado: W g = 9.81 m/s² (Sistema Internacional de Unidades) N g = 32.2 p/s² (Sistema Británico de Unidades) La fuerza normal (N) es la fuerza de reacción que ejerce una superficie sólida sobre la cual está apoyada la partícula. Esta fuerza siempre está dirigida en forma perpendicular al plano de contacto, hacia el centro de la partícula. La fuerza de fricción (F f ) es la fuerza de reacción que ejerce una superficie áspera sobre la partícula como resultado del movimiento. Esta fuerza siempre se opone al movimiento de la partícula en relación con la superficie con la que está en contacto, siendo paralela a ésta. La magnitud de la fuerza de fricción depende de la fuerza normal N y del coeficiente de fricción cinético µ k entre la partícula y la superficie de contacto. Es decir: F f = µ k N. v v f F v Si la partícula en estudio se encuentra en reposo, se debe calcular la fuerza de fricción utilizando el µ estático (µ s ), es decir F f = µ s N, siempre oponiéndose a la tendencia al movimiento y paralela al plano de contacto con la superficie. Mecánica II Página 2 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula La fuerza de resorte (F s ) es la fuerza de reacción que ejerce un resorte elástico como resultado de una variación de su longitud de equilibrio. La magnitud de la fuerza de resorte depende de la rigidez del resorte k y su distancia estirada o comprimida s. Es decir : F s = k s. x y z x y z P ∑ y F ∑ x F ∑ z F Para la resolución de los ejercicios planteados debe plantearse siempre el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la partícula en estudio, ubicando todas las fuerzas que actúan sobre dicha partícula. Comprimida Estirada No deformada F s F s s s I.1. Componentes Rectangulares En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado fijo x, y, z. z z y y x x a m F a m F a m F = = = ∑ ∑ ∑ Cabe mencionar que si la partícula se desplaza en un solo plano sólo se necesitan las ecuaciones referentes a ese único plano. Ejemplos : 1.1.1. Al utilizar un plano inclinado para retardar el movimiento de un objeto que cae y, por lo tanto, poder realizar observaciones más precisas, Galileo pudo determinar de manera experimental que la distancia que recorre un objeto en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo necesario para realizar tal recorrido. Demuestre que si éste es el caso, es decir s = f (t²), al determinar los tiempos t B , t C y t D necesarios para que un bloque de masa m, partiendo del reposo en A, se deslice hasta los puntos B, C y D, respectivamente. Ignore los efectos de la fricción. m 2 s B = m 4 s C = m 9 s D = A B C D ° 20 at² s 2.3162 t : m 9 s para s 1.5441 t : m s para s 1.0919 t : m 2 s para t² 1.6776 s t² 20 sen g t v s D D C C B B 2 1 2 1 0 = = = = = = = ° = + = Rpta. Rpta. 4 Mecánica II Página 3 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.1.2. Cada uno de los bloques A y B tiene una masa m. Determine la máxima fuerza horizontal P que es posible aplicar a B de manera que A no se mueva en relación con B. Todas las superficies son lisas. P B θ A θ = | . | \ | θ θ = θ = → = θ = θ = → = θ = ∑ ∑ tan g m sen cos g m m sen N a a m sen N a m F cos mg N g m cos N 0 F B B x x B B y A A DCL B N θ g m θ = = = ∑ tan g m 2 P a m 2 P a m F x x P A B AB DCL Rpta. 1.1.3. Un paracaidista, con una masa m, abre el paracaídas desde el reposo a una gran altitud. Si la resistencia atmosférica al avance es F D = kv 2 , donde k es constante, determine la velocidad que alcanza después de caer durante un tiempo t. ¿Cuál es la velocidad en el momento del aterrizaje? Esta velocidad terminal se obtiene cuando t → ∞. F D v ∫ ∫ ∑ = − α → = α = | . | \ | − → − = = t 0 v 0 2 2 2 2 y y dt v dv k m k g m si dt v k g m k dv m v k g m dt dv m a m F θ α 2 2 v − α v θ sen θ cos v d sen dv cos v 2 2 2 2 2 2 2 α = α − α = − α θ θ α − = → θ α = v 0 2 2 v 0 2 2 v v Ln sen cos 1 Ln d cosec v dv − α + α = ( ¸ ( ¸ θ θ + = θ θ − = − α ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )( ) v v v v v v v v e v v e 0 v v Ln k m t : do Reemplazan 2 2 2 m kt 2 2 2 m kt 2 2 − α + α = − α + α + α + α = − α + α = → − α + α = → ( ( ¸ ( ¸ − − α + α = Mecánica II Página 4 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula ( ) B D C A θ C B 10 lb A Finalmente ( ) ( ) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ + − = + − α = + = − α → + α = − α 1 e 1 e k mg 1 e 1 e v : e 1 v 1 e v e v m 2kt m 2kt m 2kt m 2kt m 2kt m 2kt m 2kt Rpta. k mg 1 1 k mg v Lim : terminal Velocidad 1 1 0 t = ( ¸ ( ¸ + − = ∞ ∞ → Rpta. 1.1.4. Determine el tiempo necesario para jalar de la cuerda en B hacia abajo 4 pies, iniciando del reposo, cuando se aplica una fuerza de 10 lb a dicha cuerda. El bloque A pesa 20 lb. Ignore la masa de las poleas y las cuerdas. T 4 W a Rpta. ( ) s 2494 . 0 8 . 128 4 2 a s 2 t ² t a t v s ² s p 8 . 128 a 4 a ² s p 2 . 32 a a 2 . 32 20 20 10 4 a m W T 4 a m F B 2 1 0 A B A A A A A y y ≅ × = = + = = = = = − = − = ∑ 1.1.5. La caja B tiene una masa m y es liberada del reposo cuando se encuentra en la parte más elevada del carro A, que tiene una masa 3m. Determine la tensión necesaria en la cuerda CD para impedir que el carro se mueva cuando B se desliza hacia abajo. Ignore la fricción. θ θ = θ = = ∑ cos sen g m F sen N F : 0 F B X B N θ g m 3 F A N A A DCL Rpta. B B N θ g m B DCL θ = = ∑ cos g m N : 0 F B n Mecánica II Página 5 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula F A 20 lb B 30 lb 1.1.6. El bloque B descansa sobre una superficie lisa. Si los coeficientes de fricción estática y cinética son µ s = 0.4 y µ k = 0.3, respectivamente, determine la aceleración de cada bloque si alguien empuja el bloque A en forma horizontal con una fuerza de (a) F = 6 lb, y (b) F = 50 lb. Para F = 6 lb, No hay desplazamiento de A con respecto a B A A W B N F fr F ( ) lb 8 20 4 . 0 lb 20 W N 0 W N a m F s A B A B y y = = µ = = = − = ∑ Para F = 50 lb, A se desplaza con respecto a B ( ) ² s p 8640 . 3 a a 2 . 32 30 20 6 a m F x x x x ≅ + = = ∑ F A A W B W B ( ) ² s p 44 . 6 a a 2 . 32 30 6 a m F : B bloque ² s p 84 . 70 a a 2 . 32 20 6 50 a m F : A bloque lb 6 20 3 . 0 N F x B x B x B B x x B x A x A A x B k fr = = = = = − = = = µ = ∑ ∑ Rpta. Rpta. Rpta. B B W B N fr F A A W B N F fr F Mecánica II Página 6 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.1.7. El cilindro B tiene una masa m y es levantado utilizando un sistema de cuerdas y poleas que se ilustra. Determine la magnitud de la fuerza F como función de la posición vertical y del bloque de tal forma que cuando se aplica F, el bloque se eleva con una aceleración constante a B . Ignore la masa de la cuerda y las poleas. d F y a B B 1.1.8. La masa del elevador E es de 500 kg y la del contrapeso en A es de 150 kg. Si el motor proporciona una fuerza constante de 5 kN sobre el cable en B, determinar la rapidez del elevador en t = 3 s a partir del reposo. Ignorar la masa de las poleas y el cable. L L DCL DCL Reemplazan m (150) → v ( ) ( ) y 4 d y 4 g a m F a m g m 4 d y y F 2 a m F 2 2 B B 2 2 y y + + = = − + + ↓ = ∑ Rpta. E B A (2) . . . N 5000 T donde , a m g m - T T : (1) . . . a m - g m T a -m a m g m - T : -a a a S S S S B E E E B A E E A A A E A A A A A A E B A B E 2 E A 1 = = + = → = = = = → + = + = s m 7.23 (2.41)(3) 0 t a v m/s 2.41 a a (500) (9.81) (500) - 5000 (150)a - (9.81) a m g m - 5000 a m - g : (1) en (2) do 0 f E E E E E E E A A = + = + = = = + = + Rpta. E A T B T g m E A A T g m A Mecánica II Página 7 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.1.9. El bloque A tiene una masa m A y se encuentra sobre la placa B, que tiene una masa m B . Ambos se encuentran en reposo sobre un resorte con una rigidez k y que a su vez está adherido al suelo en el fondo de la placa. Determine la distancia d que es preciso empujar hacia abajo la placa desde la posición de equilibrio y luego soltarla desde el reposo de modo que el bloque se separe de la superficie de la placa en el instante en que el resorte regresa a su posición no deformada. (m F W - -W : m F : (hacia = + = ( ) k m m g d g m - g m - d k d k - g m g m : (2) (1) Igualando (2) . . . a ) m a arriba) (1) . . . a ) m (m F - W W : a m F : abajo) (hacia B A B A B A B A s B A y y B A s B A y y + = → = + = + + = + = A B y d k Rpta. Mecánica II Página 8 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula I.2. Componentes Normales y Tangenciales En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado móvil n – t : t a v v t O + = 2 t 2 1 O O t a t v s s + + = ( ) O t 2 O 2 s s a 2 v v − + = Debe recordarse que y v a t & = ρ = 2 n v a . ∑ b F ∑ t F ∑ n F P 0 F a m F a m F b n n t t = = = ∑ ∑ ∑ Si la aceleración tangencial es constante, se pueden usar las ecuaciones de cinemática simplificadas. Si la trayectoria se expresa en coordenadas x – y, de tal modo que y = ƒ(X), el radio de curvatura ρ puede calcularse a partir de la expresión ( ) | | 2 2 2 3 2 dx y d dx dy 1+ = ρ Ejemplos : 1.2.1. La lenteja del péndulo tiene una masa m y se le suelta desde el reposo cuando θ = 0°. Determine la tensión en la cuerda como una función del ángulo de descenso θ. Ignore el tamaño de la lenteja. L θ Rpta. θ = θ + θ = θ = + = = θ − = ∑ sen g m 3 T L sen L g m 2 sen g m T sen L g 2 h g 2 V V L V m sen g m T a m F 2 o 2 2 n n Mecánica II Página 9 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 4 m b 6 m θ t n 1.2.2. Determine la rapidez constante de los pasajeros en el juego en el parque de diversiones si se observa que los cables de soporte se dirigen hacia θ = 30° con respecto de la vertical. Cada silla, incluyendo el pasajero, tiene una masa de 80 kg. También, ¿cuáles son las componentes de la fuerza en las direcciones n, t y b que la silla ejerce sobre un pasajero de 50 kg durante el movimiento? ( )( ) ( ) ( ) 3 89 . 22 80 2 3 2 . 523 7 m 30 sen T 7 v 7 v m 30 sen T : a m F 3 2 . 523 30 cos 81 . 9 80 T 0 g m 30 cos T : a m F T 2 2 T n n T t t = = = = ° = = ° = = − ° = ∑ ∑ ° 30 T W T W b N n N Rpta. ( ) ( ) N 1903 . 283 3 5 . 163 7 3 89 . 22 50 7 ² v 50 N : a m F 0 N : 0 F N 5 . 490 81 . 9 50 W N : 0 F n n n t t b b ≅ = = = = = = = = = = ∑ ∑ ∑ Rpta. Rpta. 1.2.3. Al cruzar una esquina, un motociclista encuentra un leve peralte, o abultamiento, provocado por el camino que intersecta. Si la cresta del peralte tiene un radio de curvatura ρ = 50 p, determine la rapidez máxima constante a la que puede desplazarse si abandona la superficie del camino. En el cálculo, ignore el tamaño de la motocicleta y del tripulante. Éstos tienen una masa total de 450 kg. s p 1248 . 40 2 . 32 50 v v m g m a m F 2 n n = × = ρ = = ∑ ρ = 50 p Rpta. Mecánica II Página 10 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.2.4. El hombre tiene una masa de 80 kg y se sienta a 3 m de distancia del centro de la plataforma giratoria. Debido a ala rotación, su rapidez se incrementa desde el reposo por = 0.4 m/s². Si el coeficiente de fricción estática entre la ropa del hombre y la plataforma es de µ v& s = 0.3, determine el tiempo necesario para que comience a deslizarse hacia el borde. m 10 m 3 ( ) s 4284 . 7 v v t dt dv v 8290 . 8 ² v 3 ² v 81 . 9 3 . 0 ² v m g m a m F n n ≅ = → = = → = ρ = µ = ∑ & & N mg N µ mg N = Rpta. ( ) ( )( ) ( ) ( ) lb 9032 . 4 350227 . 0 14 s k F m 350227 . 0 s 0 450 s 1127 s 8 . 450 225 2 s s 5 . 2 2 . 32 14 s 5 . 2 15 2 . 32 2 s k a m F s 5 . 2 15 v a s p 15 v 2 2 n n 2 2 G G = = = = = − + = + + = = + = ρ = = ∑ 3 p d G k = 14 lb/p Rpta. 1.2.5. El perno cilíndrico con peso de 2 lb tiene libertad para moverse dentro de los límites de un tubo liso. El resorte tiene una rigidez k = 14 lb/p, y cuando no existe movimiento, la distancia d = 0.5 p. Determine la fuerza del resorte sobre el perno cuando éste se encuentra en reposo con respecto del tubo. El perno se desplaza con una rapidez constante de 15 p/s, a causa de la rotación del tubo en torno del eje vertical. Mecánica II Página 11 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.2.6. El bloque tiene un peso de 2 lb y presenta libertad para moverse sobre la ranura lisa del disco giratorio. El resorte tiene una rigidez de 2.5 lb/p y una longitud no estirada de 1.25 p. Determine la fuerza del resorte sobre el bloque y la componente tangencial de la fuerza que ejerce la ranura sobre los lados del bloque, cuando éste se encuentra en reposo con respecto del disco y éste se desplaza con una rapidez constante de 12 p/s. ∑ k 80 ρ F v ( ) ( ) 0 a m F " constante " lb 4176 . 3 25 . 1 k p 61705 . 2 0 288 625 . 100 5 . 12 2 . 32 2 25 . 1 v m F : a m F t t s 2 2 2 s n n = = → = = − ρ = = = − ρ − ρ ρ = − ρ ρ = = k = 2.5 lb/pie Rpta. Rpta. 1.2.7. El bloque de 2 lb se suelta desde el reposo en A y se desliza sobre una superficie cilíndrica lisa. Si el resorte anexo tiene una rigidez k = 2 lb/p, determine la longitud no estirada de tal manera que no permita que el bloque se despegue de la superficie hasta θ = 60°. A θ 2 pies k = 2 lb/p = ( ) 2 g ω ω 0.5 1 g : Integral dω ω 2 θ sen g dω ω dθ α 2 θ sen g α r α a θ sen g a a m θ sen g m a m F : t Eje 2 ω 0 3 π 0 t t t t t = → = − = → = = → = → = = ∫ ∫ ∑ ( ) pies 0.5 k 2 g m s s k 2 g m 2 g m g m F 2 2ω m 60 cos g m F a m F : n Eje r 2 r n n = = = = − = = ° + = ∑ n t mg Fr 60° Longitud no estirada = 2 - s = 1.5 p Rpta. Mecánica II Página 12 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.2.8. Si la bicicleta y el ciclista tienen un peso total de 180 lb, determine la fuerza normal resultante que actúa sobre la bicicleta cuando se encuentra en el punto A mientras se desliza en movimiento libre a v A = 6 p/s. Asimismo, calcule el incremento en la rapidez del ciclista en este punto. Ignore la resistencia debida al viento y el tamaño de la bicicleta y el ciclista. y v A = 6 p/s 5p 20 p x 20 x cos 20 y = x ² s p 1597 . 32 2 . 32 180 sen 180 a a m sen W : a m F lb 0052 . 9 ² 6 2 . 32 180 cos 180 N ² v m N cos W : a m F p 8924 . 30934 ² dx y ² d dx dy 1 1344 . 87 dx dy tan arc 2587 . 0 ² dx y ² d , 9780 . 19 dx dy : p 5 x para 20 x cos 20 x 20 x sen 2 ² dx y ² d 20 x sen x 20 x cos 20 20 x cos 20 20 x sen 20 x 20 dx dy x 20 x cos 20 y t t t t n n 2 3 2 = θ = = θ = = ρ | . | \ | − θ = ρ = − θ = − = ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + = ρ ° = | . | \ | = θ − = = = | . | \ | − | . | \ | − = | . | \ | − | . | \ | = | . | \ | + | . | \ | | . | \ | − = = ∑ ∑ θ θ W N Rpta. Rpta. Mecánica II Página 13 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula θ 0.5 m B A 1.2.9. El bloque B, de 2 kg, tiene una velocidad v A = 2 m/s cuando llega al punto A. Determine la rapidez v del bloque y la fuerza normal N B del plano sobre el bloque, como una función de θ. Trace estos resultados como v contra θ y N B contra θ, y especifique el ángulo en el cual la fuerza normal es máxima. Ignore la fricción y el tamaño del bloque en el cálculo. ( ) s m 81 . 5 cos 81 . 9 v 2 ² v 1 cos 905 . 4 ² v cos r g dv v sen r g dv v sen r g dv v d r a dv v ds a a m sen g m a m F 2 1 v 4 2 1 0 v 4 0 v 4 0 t t t t t − θ = − = − θ = θ = θ − = θ − = θ − = − − = θ − = θ θ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ( ) 24 . 23 cos 86 . 58 81 . 5 cos 81 . 9 5 . 0 2 cos 60 . 19 r ² v 2 cos 62 . 19 N a m cos g m N a m F B n B n n − θ = − θ + θ = + θ = = θ − = ∑ v 2 ° 6830 . 53 θ 0 ° = θ = 0 para lb 62 . 36 N máx Rpta. B N 62 . 35 ° 6830 . 53 θ 62 . 11 0 Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. B N g m θ + Mecánica II Página 14 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula I.3. Componentes Cilíndricas ∑ z F ∑ θ F ∑ r F P O z r θ En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado móvil r, θ, z : z z r r a m F a m F a m F = = = ∑ ∑ ∑ θ θ En el DCL de la partícula, cuando se va a realizar la sumatoria de fuerzas es conveniente conocer el ángulo que hace la tangente de la trayectoria en el punto P (partícula) y el eje r, de tal manera que podamos hallar la dirección de la fuerza normal (perpendicular a la tangente, dirigida al centro de curvatura) y la fuerza de rozamiento (paralela a la tangente, en sentido opuesto al movimiento). El ángulo que hace la tangente a la trayectoria y el eje r, se conoce como ψ (psi). El valor de ψ se calcula mediante la siguiente expresión : θ u ˆ P v v N r F O θ ψ r v trayectoria r = f (θ ) tangente Cuando se trabaja en tres dimensiones, el ángulo ψ es el que hace la proyección de la trayectoria sobre el plano r – θ, y el eje r. θ = ψ d dr r tan Ejemplos : 1.3.1. Una partícula, que tiene una masa de 1.5 kg, se desplaza sobre una trayectoria tridimensional que se define por las ecuaciones r = (4 + 3t) m, θ = (t² - 2) rad y z = (6 – t³) m, donde t se expresa en segundos. Determine las componentes r, θ y z de la fuerza que ejerce la trayectoria sobre la partícula cuando t = 2 s. N 18 a m F N 66 a m F N 240 a m F s m 12 z a s m 44 θ r 2 θ r a s m 160 θ r r a 12 6t z 12 3t z 2 t 6 z 2 θ 4 2t θ 2 2 t θ 0 r 3 r 10 3t 4 r z Z θ θ r r 2 z 2 θ 2 2 r 2 3 2 − = = = = − = = − = = = + = − = − = − = − = − = − = − = − = = = = = − = = = = + = & & & & & & & & & & & & & & & & & & Rpta. Mecánica II Página 15 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula z = 0.1 sen θ C z 0.2 p A B & = 6 rad/s k = 12 lb/p θ 1.3.2. El rastreador incorporado a un resorte AB tiene un peso de 0.75 lb y se desplaza hacia adelante y hacia atrás a medida que su extremo se mueve sobre la superficie irregular de la leva, donde r = 0.2 p y z = (0.1 sen θ) p. Si la leva gira con una rapidez constante de 6 rad/s, determine las fuerzas máxima y mínima que ejerce el rastreador sobre la leva si el resorte está comprimido 0.2 p cuando θ = 90°. ( ) 0 6 sen cos 1 . 0 z cos 1 . 0 z sen 1 . 0 z 2 = θ = θ θ θ − θ θ = θ θ = θ = & & & & & & & & & & Fs N N F − = z 1 . 0 s 1 . 0 s , 0 z : 0 para 2 . 0 s , 1 . 0 z : 90 para + = ) ` ¹ = = ° = θ = = ° = θ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 1 2 . 32 sen 34 . 41 sen 2 . 1 2 . 1 2 . 32 sen 7 . 2 sen 1 . 0 1 . 0 k 36 sen 1 . 0 2 . 32 75 . 0 F z m Fs F a m F z z + θ = θ + + θ = θ + + θ − − = = + = ∑ & & Rpta. lb 4839 . 2 F : 90 Para 0 F : 8222 . 290 Para máx mín ≅ ° = θ = ° = θ Rpta. Mecánica II Página 16 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula A s rad 2 = θ & r 0.5 m θ O P r 1.3.3. Una partícula tiene una masa de 0.5 kg y se encuentra confinada a moverse en la ranura horizontal lisa debida a la rotación del brazo OA. Determine la fuerza de la barra sobre la partícula y la fuerza normal de la ranura sobre la partícula cuando θ = 0°. La barra gira con una velocidad angular constante s ( ) N 9050 . 4 81 . 9 5 . 0 g m N 0 F 0 F 0 a 0 r 2 r a 0 4 5 . 0 2 r r a 0 , 2 , 0 para 2 tan sec 5 . 0 tan sec sec 5 . 0 r 0 tan sec 5 . 0 r 5 . 0 sec 5 . 0 r r 2 r 2 2 3 = × = = → = = → = ) ` ¹ = θ − θ = = × − = θ − = → = θ = θ = θ = θ θ θ + θ θ θ + θ = = θ θ θ = = θ = ∑ θ & & & & & & & & & & & & & & & & & rad 2 = & θ . Suponga que la partícula tiene contacto con sólo un lado de la ranura en cualquier instante. Rpta. Rpta. 1.3.4. La partícula partícula lisa tiene una masa de 80 g. Está unida a una cuerda elástica que se extiende de O a P y, debido al brazo ranurado de guía, se mueve sobre la trayectoria circular horizontal r = (0.8 sen θ) m. Si la cuerda tiene una rigidez k = 30 N/m y una longitud no estirada de 0.25 m, determine la fuerza de la guía sobre la partícula cuando θ = 60°. La guía tiene una velocidad angular constante = 5 rad/s. θ & 0.4 m = 5 rad/s θ & θ O r r ² s m 20 r 2 r ² s m 3 20 3 10 3 10 r r ² s m 3 10 sen 8 . 0 r s m 2 cos 8 . 0 m 3 4 . 0 sen 8 . 0 2 r 2 = θ + θ = − = − − = θ − = − = θ θ − = = θ θ = = θ = θ & & & & & & & & & & & & a a F W ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) N 4547 . 8 3 5 . 2 7848 . 12 F 6 . 1 3924 . 0 3 5 . 2 7924 . 10 F 20 08 . 0 cos W cos N F : a m F N 3 5 5848 . 21 N 3 6 . 1 3 3924 . 0 5 . 7 3 12 2 N 3 3 20 08 . 0 sen W F sen N : a m F s r r ≈ − = → = − − − = θ − θ − = − = → − = − − − − = θ − − θ = θ θ θ θ θ θ − ° 90 θ − ° 90 W θ s F N θ F ( ) ( ) N 7848 . 0 81 . 9 08 . 0 N 5 . 7 3 12 25 . 0 r 30 s k s = = − = − = = Rpta. Mecánica II Página 17 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula P A r r C θ O 1.3.5. El brazo OA guía la bola de 0.5 lb por una trayectoria circular vertical. Si el brazo tiene una velocidad angular = 0.4 rad/s y una aceleración angular = 0.8 rad/s² en el instante θ = 30°, determine la fuerza del brazo sobre la bola. Ignore la fricción y el tamaño de la bola. Establezca r θ & θ & & c = 0.4 p. m 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) lb 2997 . 0 2 . 32 3 34 . 5 4 . 0 F 3 128 . 0 48 . 0 2 . 32 5 . 0 60 Wsen 30 Nsen F a m F 1 . 16 16 . 0 3 646 . 2 3 1 . 16 3 16 . 0 938 . 7 N 2 . 32 3 16 . 0 112 . 0 2 5 . 2 3 N 3 32 . 0 224 . 0 2 . 32 5 . 0 60 cos W 30 cos N a F 3 128 . 0 48 . 0 4 . 0 3 16 . 0 2 8 . 0 6 . 0 r 2 r a 3 32 . 0 224 . 0 4 . 0 6 . 0 3 32 . 0 128 . 0 r r a 3 32 . 0 128 . 0 2 sen 8 . 0 2 2 cos 8 . 0 r 3 16 . 0 2 2 sen 4 . 0 r 6 . 0 5 . 0 1 4 . 0 2 cos 1 r r 8 . 0 4 . 0 30 r r 2 2 r 2 C ≅ + = − = ° − ° + = − = − = − − = − − − = ° − ° = − = − + = θ + θ = − − = − − − = θ − = − − = θ θ − θ θ − = − = θ θ − = = + = θ + = = θ = θ ° = θ θ θ θ ∑ ∑ & & & & & & & & & & & & & & & & & F ° 30 ° 30 ° 60 ° 30 r W N Rpta. 1.3.6. Un muchacho que se encuentra de pie en tierra firme hace girar a la niña sentada en el trineo o “plato” redondo con una trayectoria circular de radio r o = 3 m, de tal forma que la rapidez angular de rotación de la niña es θ = 0.1 rad/s. Si el cable que los une, OC, se recoge hacia adentro con una velocidad constante = –0.5 m/s, determine la tensión que ejerce sobre el trineo en el instante r = 2 m. La masa total del trineo y la niña es de 50 kg. Ignore el tamaño de éstos y los efectos de la fricción entre el trineo y el hielo. o & r& O r = 2 m 1 m θ r o = 3 m C Mecánica II Página 18 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula ( ) ( ) ( ) ( )( ) N 5.66 5 2 0.225 2 50 α cos θ r m T θ r r m α cos T a m F s rad 0.225 4 0.9 r C θ : modo mismo del 0.9 0.1 9 C 0.1 θ 3, r para donde , C θ r : Integrando 0 dt θ r d r 1 a : que demostrar puede Se 2 2 2 r r 2 0 0 2 2 θ = = = − = = = = = = × = → = = = = = ∑ & & & & & & & & θ = 1 . 0 e 2 . 0 r r F = 6 N θ ° = ψ − ° = ° = ψ → = = θ = ψ = = = = = θ θ ∑ 7106 . 5 90 ángulo 2894 . 84 10 e 02 . 0 e 2 . 0 d dr r tan s m 12 5 . 0 6 m F a a m F : a m F 1 . 0 1 . 0 2 t t t t Rpta. Rpta. θ = 1 . 0 e 2 . 0 r r F = 6 N θ ( ) ° = ψ − ° = = ° × − = = ψ − = ° = ψ → = = θ = ψ θ θ 7106 . 5 90 ángulo s m 0239 . 11 5 . 0 2894 . 84 cos 81 . 9 5 . 0 6 a m cos W F : a m F 2894 . 84 10 e 02 . 0 e 2 . 0 d dr r 2 t t t t 1 . 0 1 . 0 ∑ a tan 1.3.7. Utilizando la presión del aire, se fuerza a la bola de 0.5 kg a atravesar el tubo que se encuentra en el plano horizontal, que tiene la forma de una espiral logarítmica r . Si la fuerza tangencial, debida al aire que se ejerce sobre la bola es de 6 N, determine el ritmo del incremento de la rapidez de la bola en el instante θ = π/2. ¿En qué dirección actúa, medida a partir de la horizontal? θ 1 . 0 e 2 . = 0 θ 2 5 α ψ ψ F horizontal Rpta. 1 1.3.8. Utilizando la presión del aire, se fuerza a la bola de 0.5 kg a atravesar el tubo que se encuentra en el plano vertical, que tiene la forma de una espiral logarítmica r . Si la fuerza tangencial, debida al aire que se ejerce sobre la bola es de 6 N, determine el ritmo del incremento de la rapidez de la bola en el instante θ = π/2. ¿En qué dirección actúa, medida a partir de la horizontal? = 1 . 0 e 2 . 0 ψ ψ F horizontal W Rpta. Rpta. Mecánica II Página 19 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.3.9. La barra en forma de horquilla se emplea para mover la partícula lisa de 2 lb sobre la trayectoria horizontal en la forma de caracol, r = (2 + cos θ) pies. Si en todo momento = 0.5 rad/s, determine la fuerza que ejerce la barra sobre la partícula en el instante θ = 60°. La horquilla y la trayectoria hacen contacto con la partícula en sólo un lado. θ & θ θ & a a tan ψ ∑ N N ∑ N N ( ) ( ) lb 01076 . 0 cot 4 . 64 3 4 3 2 . 32 2 cos N a m a m cos N a m F lb sen 4 . 64 3 csc 4 3 2 . 32 2 a m sen a m F 8934 . 70 3 3 5 sen r d dr r ² s p 4 3 5 . 0 4 3 2 r 2 r ² s p 4 3 ² 5 . 0 5 . 2 8 1 ² r r 8 1 sen ² cos r 4 3 sen r 5 . 2 cos 2 r 0 5 . 0 60 G B G B G r G r r r − = ψ + | | . | \ | − = ψ − = = ψ + = ψ − = ψ | . | \ | − = = ψ = ° = = θ − = θ = ψ − = | | . | \ | − = θ + θ = − = − − = θ − = − = θ θ − θ θ − = − = θ θ − = = θ + = = = ° = θ θ θ θ θ & & & & & & & & & & & & & & & & 2 p r θ & θ 3 p θ ψ − ° 90 Rpta. ψ r B N G N tangente Mecánica II Página 20 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1.3.10. La barra en forma de horquilla se emplea para mover la partícula lisa de 2 lb sobre la trayectoria horizontal en la forma de caracol, r = (2 + cos θ) p. Si θ = (0.5 t²) rad, donde t se expresa en segundos, determine la fuerza que ejerce la barra sobre la partícula en el instante t = 1 s. La horquilla y la trayectoria hacen contacto con la partícula en un solo lado. r + = ( ) ( ) lb 1630 . 0 sen N 2 . 32 5 . 0 sen 4 5 . 0 cos 2 4 F 5 . 0 sen 2 5 . 0 cos 2 2 . 32 2 sen N F a m F cos 2 . 32 5 . 0 sen 2 5 . 0 cos 4 4 N 5 . 0 sen 5 . 0 cos 2 2 2 . 32 2 cos N a m F r r ≅ φ − − + = − + = φ + = φ − − − = − − − = φ θ θ ∑ ∑ Rpta. F N r uˆ θ uˆ φ ψ tangente 5 . 0 sen 2 5 . 0 cos 2 r 2 r a 5 . 0 sen 5 . 0 cos 2 2 5 . 0 cos 2 5 . 0 sen 5 . 0 cos r a 5 . 0 sen 5 . 0 cos sen cos r 5 . 0 sen sen r 5 . 0 cos 2 cos 2 r ² s rad 1 1 s rad 1 t rad 5 . 0 ² t 5 . 0 2 r 2 − + = θ θ = − − − = − − − − = θ − = − − = θ θ − θ θ − = − = θ θ − = + = θ + = = = θ = = θ = = θ θ & & & & & & & & & & & & & & & & & 2 p r θ & θ 3 p ψ + π = φ − ≅ ψ − + = θ = ψ 2 rad 4057 . 1 5 . 0 sen 5 . 0 cos 2 d dr r tan ) radianes en ángulos ( Mecánica II Página 21 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula II. Trabajo y Energía Trabajo (U) El trabajo de una fuerza es el producto escalar de la componente de dicha fuerza en dirección del desplazamiento, por el desplazamiento mismo. Unidades S.I. Británico Trabajo Fuerza Desplazamiento Joule (J) Newton (N) Metro (m) Libra.pie (lb.p) Libra (lb) Pies (p) ento desplazami ) ( imo mín − 0 U = 0 U = ( ) + U ( ) + U ( ) − U ( ) − U P F F F F F F F F ) ( U imo máx + U Se debe remarcar que no todas las fuerzas producen trabajo, y una misma fuerza puede producir trabajos distintos, dependiendo del ángulo que hace con el desplazamiento de la partícula. h ∆ N Luego : ... (T) ∫ • = − 1 2 r r 2 1 r d F U v v ... (T) ∫ θ = − 1 2 s s 2 1 ds cos F U y si F es constante : ( ) 1 2 2 1 s s cos F U − θ = − Trabajo de algunas fuerzas típicas : El trabajo del peso (U W ) es el producto de la magnitud del peso de la partícula por su desplazamiento vertical. Si la partícula se eleva, el trabajo del peso será negativo. Si la partícula se desplaza hacia abajo, el trabajo del peso será positivo. F v r d v θ s ds r d F dU v v • = h W U W ∆ = θ = cos ds F dU La fuerza normal no genera trabajo porque, al asumir que toda partícula y las superficies de contacto sólidas son indeformables, el movimiento de toda partícula queda limitado por las superficies de contacto sólidas, y no puede haber movimiento a través de ellos. Mecánica II Página 22 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula El trabajo de la fuerza de fricción (U f ) es el producto de la magnitud de la fuerza de fricción por el desplazamiento. En este caso, como existe desplazamiento, la fuerza de fricción se expresa utilizando el coeficiente de fricción cinético, es decir F f = µ k N. Cabe mencionar que, como la fuerza de fricción siempre va en sentido opuesto al movimiento, el trabajo de la fuerza de fricción es siempre negativo. s N U k f ∆ µ − = v v f F v s ∆ N El trabajo de la fuerza de resorte (U s ) es el producto de la fuerza de resorte por el desplazamiento de la partícula sujeta al resorte por uno de los extremos de éste. En este caso, como la fuerza del resorte se incrementa con su estiramiento, la fuerza de resorte se debe obtener por integración. Cabe mencionar que, como el resorte siempre se opone al movimiento, el trabajo que realiza es siempre positivo. s s F F deformada No Estirada Comprimida ento desplazami ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 s s s s s 2 1 s k s k U ds s k ds F U 2 1 2 1 − − = = = − − ∫ ∫ II.1. Principio del Trabajo y la Energía La expresión del trabajo de una fuerza puede hallarse a partir de la expresión (C), de la segunda ley de Newton, la que quedaría: r d a m r d F a m F v v v v v v ⋅ = ⋅ = ∑ ∑ Como las fuerzas normales no generan trabajo, ya que el movimiento de una partícula es siempre tangencial a la trayectoria, sólo se considera a las fuerzas tangenciales: ∑ t F v ∑ n F v s trabajo genera trabajo genera no r v x y z r d v Mecánica II Página 23 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 1 K 2 K 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t E E U v m v m U dv v m r d F ds a m r d a m r d F − = − = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ − − v v v v v v Esta última ecuación representa el principio del trabajo y la energía de una partícula, en donde es el trabajo realizado por la sumatoria de fuerzas que actúan sobre la partícula mientras se desplaza desde el punto 1 al punto 2, y es la energía cinética que posee la partícula en un punto dado, 1 ó 2. ∑ −2 1 U K E La energía cinética ( 2 2 1 v m ) es siempre un valor escalar positivo, cuyas unidades son las mismas que para el trabajo, es decir Joules o lb.p. El principio del trabajo y la energía es también representada por la siguiente expresión: ∑ − + = 2 1 1 K 2 K U E E Lo cual significa que si a una partícula, con una energía cinética inicial se le aplica un trabajo ∑ , al final la partícula tendrá una energía cinética . 1 K E −2 1 U 2 K E Ejemplos: 2.1.1. Una bala que se desplaza con una rapidez de 1000 pies/s experimenta una reducción de ésta a 900 pies/s al atravesar una tabla. Determine la cantidad de tablas que penetrará antes de detenerse. ( ) ( ) ( ) . ta 6 la en marca una hace y tablas 5 atraviesa sólo , Luego 5 100 v , 24 100 v , 43 100 v , igualmente 62 100 v 95000 900 m v m : U E E " constante " U m 95000 1000 m 900 m E E U 5 4 3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 k 2 k 2 2 1 2 2 1 0 k 1 k 1 0 = = = = − = + = = = − = − = − = − Rpta. Mecánica II Página 24 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Rpta. 2.1.2. El peso del bloque A es de 60 lb y el del bloque B es de 10 lb. Si el coeficiente de ficción cinética entre el plano y el bloque es de µ k = 0.2, determine la rapidez del bloque A después de deslizarse 3 pies por una pendiente, comenzando desde el reposo. Desprecie la fricción y la masa de la cuerda y las poleas. 2.1.2. El peso del bloque A es de 60 lb y el del bloque B es de 10 lb. Si el coeficiente de ficción cinética entre el plano y el bloque es de µ k = 0.2, determine la rapidez del bloque A después de deslizarse 3 pies por una pendiente, comenzando desde el reposo. Desprecie la fricción y la masa de la cuerda y las poleas. B A 5 3 4 = ( ) s pies 5164 . 3 V 2 . 19 V 4 2 . 32 10 2 1 V 2 . 32 60 2 1 : V 2 V 6 10 3 6 . 9 60 5 3 0 0 V m 2 1 V m 2 1 : U E E lb 6 . 9 N fr lb 48 N 60 5 4 N : 0 F A 2 A 2 A A B 2 B B 2 A A 2 1 K 2 k k y 1 = → = + = − | . | \ | − + + = + + = = µ = → = → = − ∑ s m 4294 . 4 62 . 19 2 81 . 9 2 86 . 58 h g 2 v v h g m v m v m : U E E s m 6720 . 7 86 . 58 3 81 . 9 2 h g 2 v h g m 0 v m : U E E B 2 C B B 2 B 2 1 2 C 2 1 C B B K C K A C A 2 C 2 1 C A A K C K ≅ = × × − = − = + = + = ≅ = × × = = + = + = − − A B 3 m 2 m C 2.1.3. Las canicas, que tienen una masa de 5 g, caen desde el reposo en A a través del tubo de vidrio y se acumulan en el bote en C. Determine la ubicación R del bote, con respecto del extremo del tubo, y la rapidez con que las canicas caen dentro de aquél. Desprecie el tamaño del bote. 2.1.3. Las canicas, que tienen una masa de 5 g, caen desde el reposo en A a través del tubo de vidrio y se acumulan en el bote en C. Determine la ubicación R del bote, con respecto del extremo del tubo, y la rapidez con que las canicas caen dentro de aquél. Desprecie el tamaño del bote. R Rpta. Rpta. 0.5m 0.45m k B k A C A B 2.1.4. La barra de acero, cuya masa es de 1800 kg, se desplaza por una banda transportadora con una rapidez de v = 0.5 m/s cuando chocó con un par de resortes “anidados”. Si la rigidez del resorte externo es k A = 5 kN/m, determine la rigidez del resorte interior requerida k B para que la barra se detenga cuando el frente C de la barra se encuentre a 0.3 m del muro. 2.1.4. La barra de acero, cuya masa es de 1800 kg, se desplaza por una banda transportadora con una rapidez de v = 0.5 m/s cuando chocó con un par de resortes “anidados”. Si la rigidez del resorte externo es k A = 5 kN/m, determine la rigidez del resorte interior requerida k B para que la barra se detenga cuando el frente C de la barra se encuentre a 0.3 m del muro. Mecánica II Página 25 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula ( )( ) ( )( ) ( ) m N 1111 . 11111 9 100000 k 0 k 01125 . 0 100 225 0 3 . 0 45 . 0 k 3 . 0 5 . 0 5000 5 . 0 1800 0 s k s k ² v m E U E B B 2 B 2 1 2 2 1 2 2 1 2 B B 2 1 2 A A 2 1 2 1 2 K 2 1 1 K ≅ = = − − = − − − − = − − = + − Rpta. v A = 10 p/s A 3 pies k = 400 lb/p 1 pie 2.1.5. El cilindro de 5 lb cae desde A, con una rapidez v A = 10 p/s, a una plataforma. Determine el desplazamiento máximo de la plataforma causado por la colisión. El resorte tiene una longitud no estirada de 1.75 pies y originalmente se encuentra comprimido gracias a los cables de 1 pie de longitud unidos a la plataforma. Desprecie la masa de la plataforma y el resorte y cualquier energía que se pierda durante la colisión. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pies 0735032 . 0 d : o resolviend 0 22.763975 d 295 - d² 200 - d 75 . 0 ² 75 . 0 400 d 3 5 2 . 32 2 ² 10 5 0 s k s k h h W v m v m U E E 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 - 1 1 K 2 K = = + + − + + + × × = − + − + = + = Rpta. T A B 2.1.6. El camión T arrastra la piedra de 100 kg por una superficie lisa. Si el cable de arrastre pasa por una pequeña polea en A, determine la rapidez de la piedra cuando θ = 60°. Dicha piedra está en reposo cuando θ = 30° y el camión ejerce una fuerza constante F = 500 N sobre el cable B. 8 m C θ ( ) ( ) ( ) ( ) s m 2234 . 8 3 3 1 m F 32 v 2 v m U E U E 3 3 1 F 16 30 csc 60 csc F 8 csc F 8 d csc cot F 8 d csc 8 cos F ds F U d csc 8 ds cot 8 s 2 2 K 2 1 1 K 60 30 60 30 60 30 2 2 = − = → = = + − = ° − ° − = θ − = θ θ θ − − = θ θ θ = = θ θ = θ = − ° ° ∫ ∫ ∫ Rpta. Mecánica II Página 26 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 2.1.7. El ciclista se dirige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez v A = 8 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y el hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta. 2.1.7. El ciclista se dirige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez v A = 8 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y el hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta. y C x 1/2 + y 1/2 = 2 4 m B y = x 45° A x 4 m 4 m N 78.54 N x x 2 tan arc cos g m N V m cos g m N x x 2 dx dy tan 2 2 = | | . | \ | − = ρ = θ − − = = θ θ θ mg N Rpta. ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 K 2 1 K x 2 y m 0.0376 y 2 x m 3.2620 g 2 V h V m h g m V m E U E 2 1 − = = − = = = = − = + − Rpta. 2 t s m 7539 . 9 x x 2 tan arc sen g a a m sen g m = | | . | \ | − = → = θ Rpta. 2.1.8. El ciclista de la pregunta anterior se dirige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez v A = 4 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y del hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta. 2.1.8. El ciclista de la pregunta anterior se dirige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez v A = 4 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y del hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta. ( ) ( ) ( ) ( ) ² s p 2349 . 6 a sen 81 . 9 sen g a a m sen g m a m F lb 0304 . 568 N cos 81 . 9 75 cos W N 0 m cos W N a m F 4623 . 39 x 2 x dx dy tan x 2 y 2033 . 1 y 2 x m 8155 . 0 81 . 9 2 16 g 2 v y y g m v m 0 U E E t t t t t 2 n n 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 k 2 k − = θ = θ = = θ = = θ = θ = ρ = θ − = ° − = θ − = = θ − = ≅ − = ≅ × = = − = + = ∑ ∑ − Rpta. Rpta. Rpta. θ θ W N Mecánica II Página 27 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula A B 8 m 8 m θ 16 m C D R 2.1.9. El hombre de la ventana A desea lanzar al suelo el saco de 30 kg. Para esto, desde el reposo lo hace oscilar de B a C; luego suelta la cuerda a θ = 30°. Determine la rapidez con la que golpea el suelo y la distancia R que recorre. + v A k P 1.5 p 5 p A s m 71779 . 17 81 . 9 2 4 v 2 v 30 81 . 9 30 16 0 E U E s m 65896 . 11 81 . 9 4 v 2 v 30 81 . 9 30 cos 8 0 E U E D 2 D k D B k 2 3 C 2 C k C B k D B C B = × = = × × + = + = × = = × × θ = + − − Rpta. m 98511 . 32 t 30 cos v 30 sen 8 8 R : x Eje s 07836 . 2 t 0 16 3 4 t 65896 . 11 t 905 . 4 t g t 30 sen v 30 cos 8 16 ) ( t a t v h Libre Caída : y Eje : D C Tramo C 2 1 2 2 2 1 C 2 2 1 O = ° + ° + = = → = − + × − + ° − = ° − + ↓ + = → − Rpta. 2.1.10. El resorte tiene una rigidez k = 50 lb/p y longitud no estirada de 2 p. Como se ilustra, está confinado entre la placa P y el muro por medio de cables, de modo que su longitud es de 1.5 p. Determine la rapidez v A del bloque de 4 lb cuando se encuentra en A, de modo que se deslice sobre el plano horizontal, golpee la placa y la empuje hacia delante 0.25 p antes de detenerse momentáneamente. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es µ k = 0.2. Desprecie la masa de la placa y del resorte, así como la pérdida de energía entre la placa y el bloque durante la colisión. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) s p 9069 . 13 40125 . 193 v 0 25 . 5 4 2 . 0 ² 5 . 0 ² 75 . 0 50 v 2 . 32 4 0 25 . 5 W s k s k v m E U E A 2 1 2 A 2 1 A 2 1 2 1 2 2 2 1 2 A A 2 1 2 K 2 1 1 K ≅ = = − − − | . | \ | = µ − − − = + − Rpta. Mecánica II Página 28 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula II.2. Potencia y Eficiencia La potencia es la cantidad de trabajo realizada por unidad de tiempo, es decir: Unidades S.I. Británico Potencia Watt (W = J/s) 1 Horse Power (HP = 550 lb.p/s) 1 HP = 746 W dt dU P = 1 Si expresamos el trabajo dU como F : r d v v ⋅ v F dt r d F dt dU P v v v v ⋅ = ⋅ = = La eficiencia mecánica (ε m ) es la relación entre la potencia proporcionada por un sistema y la potencia recibida por dicho sistema. Asimismo, la pérdida mecánica (P m ) es la relación entre las pérdidas de potencia en un sistema y la potencia recibida por dicho sistema. ) P ( entrada de potencia e entrada de potencia salida de potencia m = ε sistema pérdidas entrada de potencia pérdidas P m = Luego : ε m + P m = 1 ) P ( salida de potencia s Si las cantidades de las potencias de entrada y de salida son evaluadas en el mismo intervalo de tiempo, la eficiencia también puede expresarse como una relación de energías, dado que P = dU/dt. entrada de energía salida de energía f = ε 1 En el sistema métrico también se suele usar el caballo de fuerza (Pferdestärke (PS)), o caballo de vapor (CV), ambos equivalentes a 75 kgf·m/s = 735.5 N·m/s = 735.5 W Mecánica II Página 29 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Ejemplos : ( )( ) ( )( ) ( )( ) HP 74 . 647 W K 2141 . 483 68 . 0 6 . 328585 P W 6 . 328585 28 2 . 11735 v F P 2 . 11735 5 2300 28 3 . 0 F a m F F : a m F ) motor ( e s 2 D x ≈ = = = = = = + = = − = ∑ F D 2.2.1. El automóvil deportivo mostrado tiene una masa de 2.3 Mg y mientras se desplaza a 28 m/s, el conductor causa una aceleración de 5 m/s². Si la resistencia al avance del carro, opuesta por el viento es F D = (0.3 v²) N, donde v es la velocidad en m/s, determine la potencia proporcionada al motor en ese instante. Dicho motor tiene una eficiencia de operación ε m = 0.68. Rpta. M E 2.2.2. Se utiliza el motor M para izar el elevador de 500 kg con una velocidad constante V E = 8 m/s. Si el motor consume 60 KW de potencia eléctrica, determinar su eficiencia. Despreciar la masa de las poleas y el cable. E W E T T 2 ( ) ( )( ) % 4 . 65 654 . 0 60 24 . 39 P P 24 . 39 8 1635 3 v T 3 v F P 1635 3 81 . 9 500 3 W T T 3 W e s m s E E = = = = ε = = = = = = = = Rpta. Mecánica II Página 30 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 2.2.3. El collarín de 10 libras se encuentra en reposo cuando de pronto es elevado al aplicar una fuerza horizontal F = 25 libras a la cuerda. Si la barra es lisa, determine la potencia que desarrolla la fuerza en el instante θ = 60°. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) HP 22866 . 0 550 60 cos v F P 3 6 . 257 4 . 547 3 40 85 5 2 . 32 v 2 2 . 32 v 10 2 v m E U E 3 40 85 U U U 4 3 10 w 3 4 U 3 2 5 25 3 5 3 3 2 F 3 37 csc 60 csc F 3 csc F 3 d csc cot F 3 d csc 3 cos F ds F U d csc 3 ds cot 3 s 2 2 2 K 2 1 1 K w F w 60 37 60 37 60 37 2 F 2 = ° = − = − = → × = = = + − = + = − = − − = − = − − = ° − ° − = θ − = θ θ θ − − = θ θ θ = = θ θ = θ = − ° ° ∫ ∫ ∫ θ F w 3 p F 4 p θ A U Rpta. M 2.2.4. La caja tiene una masa de 150 kg y se encuentra en reposo sobre una superficie cuyos coeficientes de fricción estática y cinética son µ s = 0.3 y µ k = 0.2, respectivamente. Si el motor M proporciona una fuerza al cable de F = (8 t² + 20) N, donde t se expresa en segundos, determine la potencia de salida que desarrolla el motor cuando t = 5 s. 0 0 − ( ) ( ) 89375 . 15 8 20 F t 15 . 147 3 5 . 1471 3 . 0 3 N F N F 3 : F 5 . 1471 81 . 9 150 g m N : F : mueva se bloque el que para t 1 s s x y 1 = = = = µ = → µ = = = = = = ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) W 9680 . 1124 Pot F v 3 Pot 220 20 5 8 F 7045 . 1 t 562 . 1 t 16 . 0 v dv dt 562 . 1 t 16 . 0 dv dt a dt dv a 2 5 t 3 3 1 v 0 5 t 2 v 0 5 t 1 1 1 ≅ × = = + = ≅ − = = − = → = ∫ ∫ ∫ ∫ Rpta. ( ) ( ) 562 . 1 t 16 . 0 a a 150 5 . 1471 2 . 0 20 t 8 3 a m N F 3 : a m F 2 2 k x − = = − + = µ − = ∑ N g m N µ F 2 F Mecánica II Página 31 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 2.2.5. La carga de 50 libras es levantada por medio de un sistema de poleas y un motor M. Si el motor ejerce una fuerza constante de 30 libras sobre el cable, determine la potencia que es preciso proporcionar al motor si la carga fue elevada s =10 pies iniciando desde el reposo. El motor tiene una eficiencia ε m = 0.76. ( )( ) HP 1.6290 550 0.76 v 60 : entrada de Potencia v 60 v T : salida de Potencia B B M M = = Rpta. M B s ( ) B M B B B 2 0 2 B 2 B B B B M v 2 v , 128.8 v s a 2 v v : m 10 s para s pies 6.44 50 32.2 50 60 a a m W T 2 a m F = = + = = = − = = − = ∑ 2.2.6. Un carro tiene una masa m y acelera sobre una trayectoria rectilínea horizontal, partiendo del reposo, tal que la potencia es siempre una cantidad constante P. Determine la distancia d que debe recorrer para alcanzar una rapidez v. P 3 v m d 3 v m d P dv v m ds P v ds dv v m P ds dv v a dv v ds a , v F P 3 3 v 0 2 d 0 = → = = → × = = → = × = ∫ ∫ 2.2.7. Una bola de béisbol, con una masa de 0.4 kg, es lanzada de modo que la fuerza que actúa sobre ella varía con el tiempo, según se muestra en la primera gráfica. Asimismo, la velocidad de la bola, que actúa en la misma dirección que la fuerza, varía con el tiempo, según se ilustra en la segunda gráfica. Determine la potencia máxima que desarrolla durante el lapso de 0.3 s. Rpta. ] s m [ v 20 ] s [ t 3 . 0 ] N [ F 800 ] s [ t 2 . 0 3 . 0 3 . 0 t 2 . 0 para 3 ² t 1600000 t 160000 P 2 . 0 t 0 para 3 t 160000 P 3 t 200 v 3 . 0 t 2 . 0 para t 8000 2400 F 2 . 0 t 0 para , 800 F : s expresione siguientes las según varían velocidad la y fuerza la de valores Los < < − = < < = = < < − = < < = Mecánica II Página 32 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula V ( ) ( ) W 6667 . 10666 3 32000 3 ² t 1600000 2 . 0 160000 P W 6667 . 10666 3 32000 3 2 . 0 160000 P velocidad la de pendiente la que mayor y negativa será F de pendiente la después que ya s, 2 . 0 t cuando producirá se P donde , F P máx ≅ = − = ≅ = = = = Rpta. v T 2.2.8. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es µ k = 0.20. Si el motor proporciona un impulso constante T = 150 KN, determine la potencia de salida del motor como una función del tiempo. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire. 2.2.8. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es µ k = 0.20. Si el motor proporciona un impulso constante T = 150 KN, determine la potencia de salida del motor como una función del tiempo. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire. ( ) ( ) ( ) KW t 7 . 5330 t 5380 . 35 150 v T P t 5380 . 35 t a v ² s m 5380 . 35 a a 4 24 . 39 2 . 0 150 a m N T : x Eje 24 . 39 81 . 9 4 g m N : y Eje s K = = = = = = → = − = µ − = = = g m N N K µ T Rpta. v T 2.2.9. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal lisa de tal manera que mantiene una potencia de salida constante de 60 kW. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire, hallar la distancia que debe recorrer para alcanzar una rapidez de v = 60 m/s. 2.2.9. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal lisa de tal manera que mantiene una potencia de salida constante de 60 kW. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire, hallar la distancia que debe recorrer para alcanzar una rapidez de v = 60 m/s. m 7200 60 60000 ² 60 4000 s v P F donde , s F 0 v m U E E 2 1 2 2 1 2 1 1 k 2 k = × = = × + = + = − Rpta. Mecánica II Página 33 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula II.3. Energía Potencial Es una medida del trabajo que puede realizar una fuerza o conjunto de fuerzas para desplazar una partícula desde un nivel de referencia hasta un nivel determinado, sin pérdida ni ganancia de energía desde o hacia el exterior. Las unidades son las mismas que para la energía cinética o el trabajo. En este apartado se tomarán en cuenta la energía potencial debida al peso (energía potencial gravitacional) y al resorte elástico (energía potencial elástica). La Energía Potencial Gravitacional (E PG ) es el producto de la magnitud del peso de la partícula (W) por su distancia por encima del nivel de referencia. De esto se deduce que, si la partícula se encuentra por debajo del nivel de referencia, su energía potencial gravitacional será negativa. Asimismo, se infiere que si la partícula se encuentra sobre el nivel de referencia, su E PG será cero. Otra forma de interpretar esta idea es evaluar el trabajo que requerirá hacer el peso para llevar la partícula hacia el nivel de referencia. h ∆ h ∆ referencia de Nivel ( ) h W E G P ∆ − = ( ) h W E G P ∆ = 0 E G P = La Energía Potencial Elástica (E PE ) es equivalente al trabajo requerido por un resorte elástico para retornar a su punto de no deformación (nivel de referencia), y, por consiguiente, su valor es siempre un escalar positivo. s s F F deformada No Estirada Comprimida 2 2 1 E P s k E = 0 E E P = 2 2 1 E P s k E = Mecánica II Página 34 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Conservación de la Energía Se puede expresar en forma genérica la ecuación de la conservación de la energía como: ( ) 2 P 2 K vas conservati no 2 1 1 P 1 K E E U E E + = + + ∑ − donde es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas desde el punto 1 hasta el punto 2. ( ) vas conservati no 2 1 U ∑ − Las fuerzas no conservativas son aquéllas que provocan un incremento o disminución de la energía del sistema de partículas. Son fuerzas no conservativas las de resistencia al avance (fuerza de rozamiento, ocasionan una pérdida de energía) y las fuerzas externas (ocasionan, ya sea una ganancia de energía, si aceleran la partícula, o una pérdida de energía, si desaceleran la partícula). Si sobre el sistema de partículas no actúan fuerzas no conservativas, entonces se dice que la energía mecánica se conserva, por lo que: 2 P 2 K 1 P 1 K E E E E + = + Ejemplos : 2.3.1. El collarín tiene un peso de 8 lb. Si se le suelta desde el reposo, a una altura h = 2 p, desde la parte superior de un resorte no comprimido, determine la rapidez del collarín después de caer y comprimir el resorte 0.3 p (k = 30 lb/p). h k = 30 lb/p ( ) ( )( ) s p 7155 . 11 2525 . 137 2 . 32 8 3 . 0 30 3 . 2 8 v m s k h W v s k v m h W 0 E E E E 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 P 2 K 1 P 1 K ≅ = | . | \ | − = − = + = + + = + Rpta. Mecánica II Página 35 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 50 mm 50 mm 240 mm 2.3.2. Cada una de las ligas de hule de la resortera tiene una longitud no deformada de 200 mm. Si son jaladas hasta la posición que se ilustra y se sueltan desde el reposo, determine la altura máxima que alcanzará la munición de 25 g si es disparada en forma vertical hacia arriba. Desprecie la masa de las bandas de hule y el cambio de elevación de la munición mientras se halla constreñida en ellas. Cada una tiene una rigidez k = 50 N/m. ( ) ( ) m 4157 . 0 h h 81 . 9 025 . 0 0 0 s 50 2 E E E E 2 . 0 05 . 0 24 . 0 s 2 2 1 2 P 2 K 1 P 1 K 2 2 = + = + + = + − + = Rpta. 2 m 2 m h k = 40 N/m k = 40 N/m 2.3.3. Si se suelta el cilindro de 20 kg desde el reposo en h = 0, determine la rigidez k requerida para cada resorte de modo que el movimiento se detenga cuando h = 0.5 m. Cada resorte tiene una longitud no deformada de 1 m. ( ) ( ) ( )( ) ( ) m N 0839 . 773 25 . 4 2 25 . 4 1 . 98 1 1 25 . 4 5 . 0 81 . 9 20 s s h g m k s k 2 h g m 0 s k 2 0 E E E E 1 5 . 0 2 s 1 2 s 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 P 2 K 1 P 1 K 2 2 2 1 ≅ − = − − = − = + − = + + = + − + = − = Rpta. 2.3.4. Sólo por divertirse, dos estudiantes de Ingeniería, A y B, de 100 lb cada uno, intentan lanzarse, desde el reposo, de un puente utilizando una cuerda elástica (cuerda bungee) que tiene una rigidez k = 80 lb/p. Desean llegar sólo a la superficie del río, cuando A, unido a la cuerda, suelta a B en el momento que tocan el agua. Determine la longitud no deformada de la cuerda adecuada para hacerlo, y calcule la aceleración máxima del estudiante A y la altura máxima que alcanza sobre el agua después de rebotar. A partir de los resultados, comente la factibilidad de realizar este salto. Mecánica II Página 36 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 120 p A B ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) p 3305 . 206 h L 120 h 80 h 100 0 L 120 80 0 L 120 p 240 h h 100 0 L 120 80 0 máxima altura 3 , agua 2 , E E E E ² s p 7886 . 598 2 . 32 6 6 . 257 100 L 120 80 m W s k a a m W s F : a m F p 5051 . 95 6 10 120 L L 120 80 0 120 200 0 agua 2 , puente 1 , E E E E max 2 max 2 1 max 2 2 1 máx max 2 2 1 3 P 3 K 2 P 2 K 2 . 32 100 A A A A A A A A A 2 2 1 2 P 2 K 1 P 1 K ≅ − − + + = − + + > = + = − + = = + = + ≅ − = − − = − = = − = ≅ − = − + = + = = + = + ∑ Rpta. Rpta. No es recomendable hacer este salto, pues el estudiante A rebotará en el aire, una vez alcanzada la altura máxima, y caerá con fuerza al puente. Rpta. Mecánica II Página 37 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 2.3.5. La bola tiene un peso de 15 libras y está unida a la barra cuya masa es despreciable. Si se suelta desde el reposo cuando θ = 0°, determine el ángulo θ en el que la fuerza de compresión de la barra llega a cero. θ 3 p ( ) ( ) ( ) ° = = θ → = θ θ + θ = θ + = + = + θ = → = θ ρ = θ = ∑ 1897 . 48 3 2 cos arc 3 2 cos cos 3 2 . 32 cos 6 . 96 2 . 32 3 cos 3 g m v m g m 3 E E E E cos 6 . 96 v 3 v cos 2 . 32 v m cos g m a m F 2 1 2 2 1 2 P 2 K 1 P 1 K 2 2 2 n n w θ Rpta. 2.3.6. Si el carro de la montaña rusa tiene una rapidez v A = 5 pies/s cuando se encuentra en A y desciende por la pista gracias a la sola inercia, determine la rapidez v B que alcanza cuando llega al punto B; también, la fuerza normal que un pasajero de 150 libras ejerce sobre el carro cuando está en B. En este punto, la pista sigue una trayectoria definida por y = x²/200. Desprecie los efectos de la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño del carro. y A 200 ² x y = 150 pies B x dx ( ) ( ) ( ) | | lb 1646 . 601 100 2 . 32 9685 150 150 ² v m W N ² v m W N : a m F 100 ² dx y ² d dx dy 1 100 1 ² dx y ² d , 100 x dy s p 4124 . 98 9685 v v 150 2 . 32 ² 5 0 g m v m h g m v m E E E E n n 0 x 2 3 2 B 2 B 2 1 2 1 2 B 2 1 2 A 2 1 2 p 2 k 1 P 1 k ≅ × × + = ρ + = ρ = − = = + = ρ = = ≅ = = + + = + + = + ∑ = Rpta. Mecánica II Página 38 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula B A 2.3.7. El ensamble consiste en dos bloques A y B cuyas masas son de 20 kg y 30 kg, respectivamente. Determine la rapidez de cada bloque cuando B desciende 1.5 m. Los bloques se sueltan desde el reposo. Desprecie la masa de las poleas y las cuerdas. 3 ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ↓ = − = ↑ = = → − = − + + = + + + = + + = + ↑ = ↓ = → − = ∑ ∑ ∑ s m 4.6164 v 3 v s m 1.5388 145 343.35 v v v g 45 10 v 15 v 10 0 h g m h g m v m v m 0 0 E E E E m 0.5 s , m 1.5 s para v v A B A B A 2 B 2 A B B A A 2 B B 2 1 2 A A 2 1 P K P K A B B A 2 2 1 1 Rpta. 3 2.3.8. Se utiliza el tope de doble resorte para detener la barra de acero de 1500 libras en la banda de rodillos. Determine la rigidez k = k 1 = k 2 de cada resorte, de modo que no se compriman más de 0.2 pie después de ser golpeados por una barra que se desplaza con una rapidez de 8 pies/s. Desprecie la masa de los resortes, rodillos y las placas A y B. v = 8 pies/s B k 2 A k 1 ( ) ( ) p klb 2671 . 37 2 . 0 2 . 32 48000 k ² s k 2 8 2 . 32 1500 ² s k ² s k 0 0 v m E E E E 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 p 2 k 1 p 1 k = = = + + = + + = + Rpta. Mecánica II Página 39 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lg pu 0476 . 19 21 400 8 h pide se , 21 232 h g 2 g 21 464 0 : h g 2 v 21 g 464 7 g 2 6 12 20 14 12 20 8 7 v g 7 6 k 0 6 y k y E E E 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 K 2 P 1 K 1 P ≅ = + = − = − = = | . | \ | − + − = + = + + + − + = + 2.3.9. Cuatro cables no elásticos C se encuentran unidos a la placa P y mantienen el resorte de 20” con una compresión de 6”, cuando no actúa compresión alguna sobre la placa. Si el bloque B, que tiene un peso de 7 libras, es colocado sobre la placa, ésta sufre un empuje hacia abajo y = 8” y se suelta desde el reposo, determine la altura a la que se eleva el bloque desde el punto en que se libere. Desprecie la masa de la placa. El resorte tiene una rigidez k = 20 lb/pie. B P y 14” C E W v v Rpta. h B P y 14” C 2.3.10. Un pistón es diseñado para disparar un bloque de 3 lb a 2 p en el aire, medido con respecto del punto en que el bloque es empujado hacia abajo, y = 5”, y se suelta desde el reposo. Si la rigidez del resorte es k = 30 lb/p, determine la longitud no comprimida de éste que es preciso utilizar en el instrumento. Cuatro cables no elásticos C mantienen en su lugar a la placa P, cada uno de los cuales tiene una longitud de 14”. ( ) ( ) ( ) ( ) " 46 . 18 p 5833 . 1 3 615 . 4 3 115 . 1 12 14 def. no long. 3 115 . 1 s 8 . 128 2 . 32 3 s 30 5 s 30 5 3 v m s k 0 0 y s k y W E E E E 8 . 128 v 2 3 v 2 . 32 3 0 h W v m 0 E E E E 2 1 2 2 1 2 12 1 2 1 12 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 K 2 P 1 K 1 P 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 1 3 K 3 P 2 K 2 P = ≅ = + = = → | . | \ | + = + + − + + = + + + + = + = → = | . | \ | + = + + = + Rpta. Mecánica II Página 40 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula A 50 m v B B 4 m s C 30° 2.3.11. El esquiador arranca desde el reposo en A y desciende por la rampa. Si es posible despreciar la fricción y la resistencia del aire, determine la rapidez v B al llegar a B. También, calcule la distancia s que recorrerá para aterrizar en C, si realiza el salto desplazándose en dirección horizontal en B. Desprecie el tamaño del esquiador, que tiene una masa de 70 kg. ( )( ) m 2036 . 130 3 667 8 184 s 0 2944 s 368 ² s 3 s 92 736 ² s 81 . 9 s 8 52 . 902 30 cos s t v s : x Eje 81 . 9 s 8 t ² t 81 . 9 s 8 ² t 81 . 9 30 sen s 4 ² t a t v s : y Eje s m 0420 . 30 52 . 902 v v m 46 81 . 9 m 0 : E E E E 4 3 x x 2 1 2 1 0 y B 2 B 2 1 B P B K A P A K ≅ + = = − − + = + = ° = + = → = + = ° + + = ≅ = → = + + = + Rpta. Rpta. 2.3.12. El bloque tiene una masa de 20 kg y se suelta desde el reposo cuando s = 0.5 m. Si se desprecia la masa de los topes A y B, determine la deformación máxima de cada resorte debida a la colisión. Rpta. ( )( ) ( ) ( ) | | m 0.63828 s m .02125 1 s 0 196.2 s .65 637 s 812.5 s 800 500 s .65 637 196.2 s s s k s k : F F s k s k s s 392.4 196.2 s k s k 0 s s 0.5 9.81 20 0 E E E E B A A 2 A 2 A 2 8 5 A A 8 5 B B B A A r A r 2 B B 2 A A B A 2 B B 2 1 2 A A 2 1 B A 2 P 2 K 1 P 1 K B = = → = − − + = + = → = = + = + + + + = + + + + = + ∑ ∑ ∑ ∑ k A = 500 N/m s = 0.5m B A k B = 800 N/m Mecánica II Página 41 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula III. Impulso y Momento Lineales III.1. Principio del Impulso y Momento Lineales Con el propósito de analizar el movimiento en el que una fuerza es aplicada durante un determinado tiempo, debemos expresar la expresión (C), de la segunda ley de Newton, de la siguiente manera: 1 2 t t v v t t v m v m dt F v d m dt F dt v d m a m F 2 1 2 1 2 1 v v v v v v v v − = = = = ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∑ Esta ecuación, escrita de la siguiente manera: , 1 t v m v Unidades S.I. Británico ∑ ∫ 2 t dt F v N·s lb·s kg·m/s slug·p/s 2 t t 1 v m dt F v m 2 1 v v v = + ∑ ∫ se conoce como el principio del impulso y momento lineales. Como puede demostrarse, las unidades del Impulso y del Momento lineales son equivalentes. El Impulso Lineal ( ∑ ) es una cantidad vectorial que mide el efecto de la fuerza durante el tiempo en que ésta actúa. Este vector tiene la misma dirección y sentido que el vector F. ∫ 2 1 t t dt F v v El Momento Lineal ( m ) es una cantidad vectorial que mide el movimiento de una partícula. Este vector tiene la misma dirección y sentido que el vector y es conocido también como cantidad de movimiento. v v v v 1 v m v ∑ ∫ 2 1 t t dt F v 2 v m v + = 1 v m v 2 v m v ∑ ∫ 2 1 t t dt F v Lineales Momento y Impulso del Principio Mecánica II Página 42 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Si se descompone el movimiento de la partícula en sus componentes rectangulares, se puede descomponer los vectores Impulso y Momento Lineales en sus componentes x, y y z: 2 z t t z 1 z 2 y t t y 1 y 2 x t t x 1 x v m dt F v m v m dt F v m v m dt F v m 2 1 2 1 2 1 v v v v v v v v v = + = + = + ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ Ejemplos : s p 18 v A = ° 30 A B 3.1.1. Se lanza una bola de 2 lb en la dirección que aparece en la figura con una rapidez inicial v A = 18 p/s. Determine el tiempo necesario para que alcance el punto más alto B y la rapidez a la que se desplaza en dicho punto B; use el principio del impulso y el momento para resolver el problema. ( )( ) ( ) s p 5885 . 15 3 9 18 30 cos v v : x Eje s 2795 . 0 2 . 32 9 t 0 t 2 18 2 . 32 2 0 dt W 30 sen v m : y Eje v m dt F v m 2 3 B 2 1 t 0 2 1 ≅ = = ° = ≅ = = + = + ° = + ∫ ∑ ∫ v v v Rpta. Rpta. (v B ) 1 (v T ) 1 B T 3.1.2. Si se requieren 35 s para que el remolcador de 50 Mg incremente su rapidez de manera uniforme hasta 25 km/h, desde el reposo, determine la fuerza de la cuerda sobre el remolcador. La hélice proporciona una fuerza de propulsión F que da al remolcador un impulso hacia delante, en tanto que la barcaza se mueve libremente. Asimismo, determine F que actúa sobre el remolcador. La barcaza tiene una masa de 75 Mg. Mecánica II Página 43 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula ( ) ( )( ) ( ) N 5873 . 24801 F 18 5 25 50000 35 T F 0 v m dt F v m : molcador Re N 9524 . 14880 T 18 5 25 75000 T 35 0 v m dt F v m : Barcaza 2 35 0 1 2 35 0 1 = = − + = + = = + = + ∫ ∫ Rpta. Rpta. 3.1.3. El bloque de 5 kg cae con una velocidad v 1 = 2 m/s cuando se encuentra a 8 m de la superficie de la arena. Determine el impulso necesario de la arena sobre el bloque para frenar su movimiento. Desprecie la distancia que el bloque se hunde en la arena y suponga que no rebota. Desprecie el peso del bloque durante el impacto con la arena. s m 2 v 1 = m 8 ( )( ) s N 4350 . 63 96 . 160 5 v m dt F 0 dt F v m 96 . 160 8 81 . 9 2 2 v h g 2 v v 2 2 2 2 2 1 2 2 ⋅ ≅ = = = − = + = + = ∑ ∫ ∑ ∫ A v B 1 = 3 p/s B Rpta. 3.1.4. El bloque A pesa 10 lb y el bloque B, 3 lb. Si B se mueve hacia abajo con una velocidad v B 1 = 3 pies/s en t = 0, determine la velocidad de A cuando t = 1 s. Suponga que el plano horizontal es liso. Desprecie la masa de las poleas y la cuerda. s p 49 . 10 215 2256 v 2 . 32 v 5 . 21 3 2 . 32 129 : ) b ( ) a ( 2 Sumando ) b ( ... 2 . 32 v 5 . 1 T 2 3 2 . 32 9 2 . 32 v 3 T 2 3 2 . 32 3 3 v m dt F v m : B Bloque ) a ( ... 2 . 32 v 10 T 2 . 32 60 2 . 32 v 10 T 2 . 32 6 10 v m dt F v m : A Bloque 2 1 2 B B 1 B B 2 A A 1 A A ≅ = = + + = − + = − + × = + = + × = + × = + ∫ ∫ Rpta. Mecánica II Página 44 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula ( ) ( ) ( ) ( ) s m 9055 . 6 2 2 . 3 38 . 2 v v 50 t 120 t 5 . 9 100 v 50 dt 81 . 9 50 t 120 500 2 50 v m dt F v m 2 2 2 0 3 3 2 2 2 0 2 1 ≅ + = = + + = − + + = + ∫ ∫ B v 3.1.5. El bloque B de 50 kg se eleva por medio del arreglo de motor y cables de la figura. Si el bloque asciende a una velocidad v 1 = 2 m/s cuando t = 0 y el motor desarrolla una tensión sobre la cuerda de T = (500 + 120 ) N, donde t se expresa en segundos, determine la velocidad del bloque cuando t = 2 s. Desprecie la masa de las poleas y el cable. t T W v Rpta. III.2. Conservación del Momento Lineal Cuando se tiene un sistema de partículas con movimiento interdependiente, es decir, unidas por contacto o por cables, en los cuales el movimiento de una de las partículas ocasiona un movimiento inminente en la otra, los impulsos de acción y reacción se anulan, por ser iguales en magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta anulación de los impulsos externos hace que la ecuación del impulso y momento lineales se simplifique: ∑ ∑ = 2 1 v m v m v v Hay que tomar en cuenta que si las fuerzas externas son relativamente grandes y el tiempo en que éstas actúan sobre el sistema de partículas es muy pequeño, no pueden anularse los impulsos que generan. lineal momento del ón conservaci de Casos Mecánica II Página 45 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Ejemplos : M B 3.2.1. El hombre M pesa 150 lb y salta a la lancha B, que originalmente está en reposo. Si el hombre tiene una componente horizontal de velocidad de 3 p/s un instante antes de entrar a la lancha, determine el peso de la embarcación si adquiere una velocidad de 2 p/s una vez que el hombre ha entrado. ( ) ( ) ( ) ( ) lb 75 150 2 3 150 m 2 2 . 32 m 150 0 2 . 32 m 3 2 . 32 150 v m v m 2 1 = − × = + = + = ∑ ∑ Rpta. (v B ) 1 (v T ) 1 B T 3.2.2. Un remolcador T, con una masa de 19 Mg está atado a una barcaza B que tiene una masa de 75 Mg. Si la cuerda es "elástica" de tal manera que tiene una rigidez k = 600 kN/m, determine el estiramiento máximo en la cuerda durante el arrastre inicial. Originalmente el remolcador y la barcaza se mueven en la misma dirección con rapidez (v T ) 1 = 15 km/h y (v B ) 1 = 10 km/h, respectivamente. Desprecie la resistencia del agua. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m 22076 . 0 s s 600000 v 75000 19000 0 18 5 10 75000 18 5 15 19000 E E E E s m 058510 . 3 v v 75000 19000 18 5 10 75000 18 5 15 19000 v m v m v m v m 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 P 2 K 1 P 1 K 2 2 2 T 2 B 1 B B 1 T T = + + = + | . | \ | × + | . | \ | × + = + = → + = | . | \ | × + | . | \ | × + = + Rpta. Mecánica II Página 46 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula A 15 p 5 3 4 B 3.2.3. La rampa en deslizamiento libre tiene un peso de 120 lb. La caja, cuyo peso es de 80 lb, se desliza desde el reposo en A, 15 p por la rampa hasta B. Determine la rapidez de la rampa cuando la caja llega a B. Suponga que la rampa es lisa y desprecie la masa de las ruedas. = − = 38 = ( ) ( ) 4 . 38 64 sen N F 64 80 cos W N 5 3 x 5 4 = = θ = = = θ ( ) 592 . 11 18 76 . 25 v 6 25 v v 2 . 32 48 v 2 . 32 200 592 . 11 18 4 . 38 v 2 . 32 W v 2 . 32 W W t 4 . 0 v m dt F v m r c c r c 5 3 C r r c 2 x x 1 x − − = − + = + = + ∑ ∫ ∑ ( ) 592 . 11 18 a s 2 t ² t a t v s 592 . 11 64 80 a a g W cos N W a m F y y 2 1 0 y 5 4 80 2 . 32 y y c c y c y = = → + = − = → = θ = ∑ θ θ θ W N − x F ( ) s p 4109 . 10 v 0 59248 v 592 . 11 18 3 51520 v 9 13580 v 120 592 . 11 18 76 . 25 v 6 25 80 23184 v 120 v 80 23184 v 2 . 32 120 v 2 . 32 80 0 0 9 80 E E E E r r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 c 2 r 2 c 2 K 2 P 1 K 1 P = = + − + | | . | \ | − = + = + + = + + = + Rpta. 3.2.4. Los bloques A y B tienen masas de 40 y 60 kg, respectivamente. Están colocados en una superficie lisa y el resorte que los une está estirado 2 m. Si se los libera desde el reposo, determine la rapidez de ambos bloques en el instante en que el resorte pierde su estiramiento. s m 1909 . 2 8 . 4 v v s m 2863 . 3 8 . 10 v v v 2 36 v 3 v 2 36 v 60 v 40 ² 2 180 v m v m ² s k E E E E v v v 60 v 40 0 v m v m A 3 2 B A 2 A 3 4 2 A 2 B 2 A 2 B 2 A 2 B B 2 1 2 A A 2 1 2 1 2 p 2 k 1 p 1 k A 3 2 B B A 2 1 = = = = = + = + = + = × + = + = + = − = = ∑ ∑ Rpta. Mecánica II Página 47 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula III.3. Impacto Cuando dos partículas colisionan libremente entre sí, se conservan los momentos lineales del sistema. Para facilitar el análisis del impacto, se definen la línea de impacto y el plano de contacto entre ambas partículas. contacto de Plano impacto de Línea A B La línea de impacto es la línea que une los centros de masa de las partículas en colisión y siempre es perpendicular al plano de contacto. El plano de contacto es el plano que forma la deformación natural de las partículas en colisión al chocar entre sí. A B y x 1 A v v 2 A v v 1 B v v 2 B v v 1 θ 2 θ 2 φ 1 φ Si llamamos eje x a la línea de impacto y eje y a una línea del plano de contacto que corte a la línea de impacto, podemos analizar el movimiento en cada eje por separado. Eje x : A lo largo de la línea de impacto se va a producir una conservación del momento lineal del sistema, de tal manera que: 2 x B B 2 x A A 1 x B B 1 x A A v m v m v m v m + = + Además, podemos hallar una relación entre las velocidades de ambas partículas, según el tipo de impacto, haciendo uso del coeficiente de restitución (e). 1 x B 1 x A 2 x A 2 x B v v v v e − − = Para ambas ecuaciones, es importante notar que las velocidades deben ser colocadas con su signo, dependiendo de su sentido. El coeficiente de restitución e está relacionado con el tipo de impacto y su valor está comprendido entre 0 y 1. El impacto elástico (e = 1) se produce cuando la colisión entre las dos partículas es perfectamente elástica. En este caso no existe pérdida de energía durante la colisión, porque la suma de las velocidades de las partículas del sistema se mantiene. Este es un caso ideal, imposible de reproducir en la práctica. El impacto plástico (e = 0) se produce cuando, después de la colisión, las partículas se mantienen pegadas, manteniendo una velocidad común. En este caso existe una pérdida máxima de energía, producida por la deformación permanente (plástica) de las partículas. Mecánica II Página 48 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Eje y : Al no existir ningún impulso a lo largo del plano de contacto en ninguna de las partículas que colisionan los momentos lineales de cada partícula se van a conservar, de tal manera que: Eje y : Al no existir ningún impulso a lo largo del plano de contacto en ninguna de las partículas que colisionan los momentos lineales de cada partícula se van a conservar, de tal manera que: 2 y A A 1 y A A v m v m = 2 y A A 1 y A A v m v m = y y 2 y B B 1 y B B v m v m = 2 y B B 1 y B B v m v m = En este capítulo no vamos a considerar la pérdida de masa de ninguna de las partículas en colisión, podemos simplificar las últimas expresiones como: En este capítulo no vamos a considerar la pérdida de masa de ninguna de las partículas en colisión, podemos simplificar las últimas expresiones como: 2 y A 1 y A v v = 2 y A 1 y A v v = y y 2 y B 1 y B v v = 2 y B 1 y B v v = En los casos especiales en que las velocidades, tanto de entrada como de salida, de las partículas en colisión son perpendiculares a la línea de impacto, éste se conoce como impacto central y sólo se analiza el movimiento en el eje x, .ya que las velocidades en el eje y valen cero. En los casos especiales en que las velocidades, tanto de entrada como de salida, de las partículas en colisión son perpendiculares a la línea de impacto, éste se conoce como impacto central y sólo se analiza el movimiento en el eje x, .ya que las velocidades en el eje y valen cero. m 0568 . 2 3 81 . 9 5986 4 . 0 4 t 2 R 3 81 . 9 5986 2 . 0 2 81 . 9 48 . 78 t t 905 . 4 t 2 4 t 81 . 9 0 30 tan R 4 t g v h : y Eje t 2 t v R : x Eje 3 4 3 3 2 2 3 1 2 2 1 2 2 1 y o ≅ + = = + = + + = = + + = ° + + = = = A v A = 2 m/s 4 m 30° B B R R Ejemplos : Ejemplos : 3.3.1. El tubo A expulsa una bola de 0.5 kg con una velocidad horizontal v A = 2 m/s. Determine la distancia horizontal R a la que golpea el plano inclinado liso. Si el coeficiente de restitución es e = 0.6, determine la rapidez con que rebota en el plano. 3.3.1. El tubo A expulsa una bola de 0.5 kg con una velocidad horizontal v A = 2 m/s. Determine la distancia horizontal R a la que golpea el plano inclinado liso. Si el coeficiente de restitución es e = 0.6, determine la rapidez con que rebota en el plano. 3 5986 2 . 0 2 t 81 . 9 0 t g v v y 0 y + = + = + = Rpta. 5986 1 . 0 30 sen v 30 cos v v 3 3 5986 1 . 0 1 30 cos v 30 sen v v x y n x y t = ° − ° = + + = ° + ° = ( ) s m 2139 . 8 5986 06 . 0 3 3 5986 1 . 0 1 v v v v 6 . 0 v v v v v v v 6 . 0 e 2 2 2 2 n 2 2 t n 2 n n 2 n n piso piso 2 n ≅ + | | . | \ | + + = + = − = → − = − − = = Rpta. x v y v n v t v ° 30 ° 30 Mecánica II Página 49 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 4 pies A d B 3 5 4 3.3.2. La bola se suelta desde el reposo y cae una distancia de 4 pies antes de golpear el plano liso en A. Si e = 0.8, determine la distancia d a la que golpea de nuevo en el plano e A v A 3 p C B d velocidad horizontal de 8 p/s, determine la distancia d de manera que la pelota rebote una vez en la superficie suave y después caiga en la taza en C. Tome e = 0.8. n B. .3.3. Si la niña lanza la pelota con una 1 . 16 5 12 v v 1 . 16 5 16 v v 1 5 3 1 t 1 5 4 1 n 1 = = = = 1 . 16 4 4 2 . 32 2 h g 2 v = × × = = t 1 . 16 125 432 d t v x 125 76 v v v 125 432 v v v 1 . 5 4 x y t y n y x t x n x → = = ∆ = + = = + = ( ) ( ) ( ) ( ) p 5709 . 8 d 0 135 d 62 11664 ² d 625 11664 ² d 625 135 d 19 d ² 1 . 16 108 d 25 2 . 32 1 . 16 108 d 25 1 . 16 125 76 d ² t a t v y 1 . 16 108 d 25 t 1 . 16 1 . 16 1 . 16 25 36 1 . 16 5 12 v 1 . 16 25 48 1 . 16 5 12 v 1 . 16 125 256 1 . 16 25 64 v 1 . 16 125 192 1 . 16 25 64 v : v y v endo Descomponi 16 25 64 1 . 16 5 16 8 . 0 v e v v v v v v v e 5 3 2 1 5 3 2 1 0 y 5 3 y t 5 4 x t 5 4 y n 5 3 x n 2 t 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 p 1 n 2 n 2 p = → = + − = | . | \ | − | . | \ | = + = ∆ = − = = = = = = = = = × = = = − − = − Rpta. 2 n v 1 n v 2 t 1 t v v = 4 3 4 3 1 v 3 : B A Tramo − ( ) 2 . 193 8 . 0 v 8 . 0 v v v v v v v 8 . 0 e , 1 . 16 3 8 t v d : x Eje 2 . 193 1 . 16 3 2 . 32 t g v , 1 . 16 3 2 . 32 3 2 g h 2 t : y Eje y 2 y y 2 y y piso piso 2 y A 1 y − = − = ⇒ − = − − = = = = = = = = = = Mecánica II Página 50 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula T : C B ramo − ( ) ( ) ( ) p 9786 . 8 1 . 16 92 . 1 16 1 . 16 3 8 d d 1 . 16 92 . 1 16 1 . 16 92 . 1 8 2 t v 2 d : x je 1 . 16 92 . 1 2 . 32 92 . 1 2 g h 2 t , ) subida ( 92 . 1 2 . 32 2 648 . 123 g 2 v h : y je 2 1 A 2 2 2 y ≅ + = + = = = = = = = = = = Rpta. E E D L L θ L φ 3 A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ − − = φ φ − + = + θ − + = + θ − = = − = − = − − = θ − = + = θ − + cos 1 e 1 cos arc cos L L g m 0 0 cos 1 L g 2 e m E E E E cos 1 L g 2 e v e v v : pero , v v v v v v e cos 1 L g 2 v 0 v m cos L L g m 0 2 2 2 1 4 C P 4 C K 3 C P 3 C K 2 A 3 A 3 C 2 A 3 A 2 B 2 A 3 A 3 B A 2 2 A 2 1 2 A P 2 A K 1 A P 1 A K 2 Rpta. A C 6 p D E B .3.4. Las tres pelotas tienen la misma masa m. Si .3.5. Se suelta la maleta A, de 20 lb, desde el reposo en C. Después de eso, se s es el de regresar al reposo. se suelta a A desde el reposo en θ, determine el ángulo φ que forma C después de la colisión. El coeficiente de restitución entre cada bola es e. = + E + E E E 3 desliza por una rampa lisa y golpea a la maleta B, de 10 lb, que se encuentra originalmente en reposo. Si el coeficiente de restitución entre las maleta e = 0.3 y coeficiente de fricción cinética entre el piso DE y cada maleta es µ k = 0.4, determine: (a) la velocidad de A un instante antes del impacto, (b) las velocidades de A y B un instante después del impacto, y (c) la distancia que se desliza B antes Mecánica II Página 51 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula .3.6. El hombre A tiene un peso de 175 lb y salta desde ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) p 2550 . 11 2898 32617 4 . 0 10 2 . 32 2 v 10 0 s N v 2 . 32 10 E U s p 0361 . 17 3 4 . 386 6 . 2 v s p 1390 . 11 3 4 . 386 7 . 1 v v 2 4 . 386 2 4 . 386 3 . 0 v v 0 4 . 386 v v 3 . 0 , v v v v v 10 v 20 0 4 . 386 v m v m v m v s p 6571 . 19 4 . 386 20 20 6 2 2 B 2 2 B 2 3 K 3 2 2 K 2 B 2 A 2 A 2 A 2 B 2 A 2 B 1 B 1 A 2 A 2 B 2 B 2 A B 2 A A 1 B B 1 A A 1 ≅ = = = µ + = + ≅ = ≅ = − = + = ¦ ) ¦ ` ¹ − − = − − = + = + + = + ≅ = + + − Rpta. Rpta. Rpta. A h P el reposo, a una altura h = 8 pies, sobre una E 0 P + ( )v 2 . 32 0 0 E E E 2 1 2 1 1 K 1 P 0 K = + = v m 2 B 20 e E 1 s 3 plataforma P que pesa 60 lb. La plataforma está montada en un resorte cuya rigidez es k = 200 lb/p. Determine: (a) las velocidades de A y P un instante después del impacto, y (b) la compresión máxima que experimenta el resorte por el impacto. Suponga que el coeficiente de restitución entre el hombre y la plataforma es e = 0.6 y que el hombre permanece rígido durante el movimiento. 2 . 515 8 2 . 32 2 h g 2 = × × = ( ) s p 0444 . 27 47 56 2 . 515 6 . 0 235 2 . 515 139 v s p 4256 . 13 235 2 . 515 139 v 2 . 515 6 . 0 v 60 v 175 0 2 . 515 175 v m v m v m v m 2 . 515 6 . 0 v v 2 . 515 v v 6 . 0 2 P 2 A 2 A 2 A 2 P P 2 A A 1 P P 1 A A 2 A 2 P 2 A 2 P = + = ≈ = + + = + + = + + = → − = Rpta. v 1 A = 2 . 515 ≈ Rpta. m E E E E 2 2 3 P 3 K 2 P 2 K + = + Rpta. p 9276 . 2 s : solviendo Re 0 2209 1505280 s 60 s 100 s 100 s 60 47 2 . 515 56 4 . 64 60 s k 0 s w v 2 2 2 2 1 P 2 P P 2 1 ≈ = − − = + | | . | \ | + = + Mecánica II Página 52 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula A h B k A el coeficiente de restitución entre A y B es e = 0.6, determine la velocidad del bloque justo después de la colisión. El resorte tiene una rigidez k = 30 N/m. h g 2 1 A = = h B k A una pelota de tamaño de le y v o A B d d .3.7. El bloque A, que tiene una masa m, se suelta desde el reposo, cae una distancia h, y golpea la .3.8. El bloque A, que tiene una masa de 2 kg una distancia h = 0.5 m, y golpea la placa B que tiene una masa de 3 kg. Si 3.3.9. masa m se le aplica una velo e v o lpea A. ee A, rebote, golpee después B, 3 placa B, que tiene una masa 2 m. Si el coeficiente de restitución entre A y B es e, determine la velocidad de la placa un instante después de la colisión. El resorte tiene una rigidez k. m v m 1 y = ∑ ∑ h g 2 v 2 A + = estando en el centro del carro, cuya masa es M y originalmente se encuentra en reposo. Si el coeficiente de restitución entre la pelota y los muros A y B es de e, determine la velocidad de la bola y del carro justo después de que la pelota go tiempo total necesario para que la bola golp rebote y regrese al centro del carro. Desprecie la fricción. 3 , se suelta desde el reposo, cae B 2 B v h g 2 3 1 e v v h g 2 e h g 2 v 2 v v v 2 v m v m 2 v m v 2 B 2 B B 2 A 1 A B 2 A 2 B 1 A 2 y + = − + = + = + − = − A 1 A v 2 A v + Rpta. v 0 1 2 A 2 A 2 B v v e − − − = h g 2 v 1 A = 2 B 1 A 2 A 2 B 2 A 1 A 1 A v v e v v v v e v − = + = s m 1253 . 0 25 81 . 9 v v 3 v 2 0 81 . 9 2 v m v m v m v m 81 . 9 6 . 0 v v 81 . 9 v v 6 . 0 81 . 9 5 . 0 81 . 9 2 v 2 A 2 B 2 A 2 B B 2 A A 1 B B 1 A A 2 A 2 B 2 A 2 B ≈ = + = + + = + + = → − = = × × Rpta. spreciab cidad d También, determine el Mecánica II Página 53 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula A v A 3.3.10. Se observa que una pelota de ( ) ( ) ( ) ( ) 2 O O 2 O O O B B A A O O 2 3 C 3 P O B O 2 P 2 C B A O A O O 2 3 C 3 P O O 3 C 3 P 2 P 2 C 3 C 3 P O O 2 P 2 C O 2 P O 2 P 2 P O 2 C 2 P O 2 C C 2 P P 1 C C 1 P P O e 1 1 v d t v e d v e d 2 v d t t t t t v e d v v d t v e d 2 v v d 2 t v t v e v v M m e M m v M m e 1 m v v v v v v v e M m m v v e v v M m e M m v v v e v M v m v m v M v m 0 v m v m v m v m v m v | . | \ | + = + + = + + = = − = = − = = = − + − − + + − = − − = + = + = + − = + + = + = + + = + → → → → → → Rpta. Rpta. Rpta. O 2 P 2 C 2 P 2 C d v e v v v v e = − → − = ( ) e 1+ 7.5 p v B 20 p B tenis, cuando se sirve en forma a la cancha en B. Tom 0.7. θ e e e = horizontal a 7.5 pies por encima de la cabeza, golpea el piso liso en B a 20 pies de distancia. Determine la velocidad inicial v A de la pelota y la velocidad v B (y θ) de la pelota justo después de que golp 483 5 . 7 2 . 32 2 h g 2 v y = × × = = 48 7 . 0 v e v v v v v e s p 3030 . 29 483 2 . 32 20 t e v v 2 . 32 483 g v t 1 y 2 y P 1 y 2 y P x A 1 y − = − = → − − = ≈ × = = = = = Rpta. 1 3 + = j ˆ v i ˆ v v 2 y x B v Rpta. ( ) ° ≅ θ = × × = = θ ≈ = + × = 6995 . 27 525 . 0 2 . 32 20 483 7 . 0 v v tan s p 0959 . 33 483 61 . 529047 v 483 ² 7 . 0 483 ² 2 . 32 ² 20 v X 2 y B B Rpta. Mecánica II Página 54 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula A v A 7.5 p v B 20 p B θ v = 15 p/s k 2 p 3.3.11. Se golpea la pelota de tenis con una velocidad horizontal v A , choca con el piso en B y rebota hacia arriba formando un ángulo θ = 30°. Determine la velocidad inicial v A , la velocidad final v B y el coeficiente de restitución entre la bola y el suelo. ( )( ) ( ) 7698 . 0 9 3 4 483 45 2 . 32 20 v 30 sen v e s p 8362 . 33 45 2 . 32 30 cos v v v m 30 cos v m s p 3030 . 29 15 2 . 32 20 t e v : x Eje 2 . 32 15 g v t , 483 5 . 7 2 . 32 2 h g 2 v : y Eje y B A B A B A y y ≅ = = ° = ≅ ° = ⇒ = ° ≅ = = = = = = = Rpta. Rpta. 40 = 3.3.12. La caja de 20 lb se desliza sobre una superficie lisa a Rpta. v = 15 p/s cuando golpea la placa de 10 lb. Determine la rigidez necesaria en el resorte si se le permite comprimirse un máximo de 4". Tome e = 0.8 entre la caja y la placa. v m v m B B 1 A A + v m v m 2 B B 2 A A 1 + = ( ) 30 v v 2 v 10 v 20 15 20 v W v W 0 v W 2 B 2 A 2 B 2 A 2 B B 2 A A 1 A A = + → + = + = + 12 v v v v v v 8 . 0 e 2 A 2 B 2 A 2 B = − → − = − = = 0 15 v v 1 B 1 A − − 18 v : o Resolviend 2 B = 2 A 2 B ( ) ( ) p lb 5901 . 905 2 . 32 29160 3 1 2 . 32 18 10 s v g W k 0 ² ks v m 0 2 2 2 2 B B 2 1 2 B B 2 1 ≅ = = = + = + E E E E 3 K 3 P 2 K 2 P + = + Rpta. Mecánica II Página 55 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 3.3.14. Dos discos lisos A y B 3.3.14. Dos discos lisos A y B ( ) ( ) s p 7663 . 0 v 8 . 0 v s p 2981 . 0 3 1 3 8 . 0 2 . 2 v v 3 4 . 0 1 . 1 v v 3 4 . 0 3 . v v 4 . 0 4 . 0 30 sen v 45 cos v 30 cos 8 . 0 5 . 0 v m v m 30 cos v 45 sen v 30 sen 8 . 0 5 . 0 2 2 2 B 2 3 2 A 2 B 2 B 2 3 1 2 B 2 1 2 A 2 2 2 B 2 3 2 A 2 2 2 B 2 A 5 3 2 y 1 y 2 B 2 A 5 4 ≅ − = ≅ + − = = + − − = + − − − = − − ° − ° = ° + − = ° − ° − = ° − − + ∑ ∑ y v A1 = 6 m/s x B 5 3 4 A v B1 = 4 m/s 3.3.13. Dos monedas lisas A y B, con la misma masa, se deslizan sobre una superficie tienen cada uno una masa 3.3.13. Dos monedas lisas A y B, con la misma masa, se deslizan sobre una superficie tienen cada uno una masa 2 + lisa moviéndose como se ilustra. Determine la rapidez de cada moneda después de la colisión si se separan sobre las trayectorias punteadas. lisa moviéndose como se ilustra. Determine la rapidez de cada moneda después de la colisión si se separan sobre las trayectorias punteadas. y v A 2 v A 1 = 0.5 p/s A 45° 5 3 A 30° O 4 x B 30° v B 1 = 0.8 p/s v B 2 B v m v m 2 x 1 x = ∑ ∑ 0 de 0.5 kg. Si ambos se desplazan cuando chocan con las velocidades que se ilustran, determine las velocidades finales un instante después de la colisión. El coeficiente de restitución es e = 0.75. de 0.5 kg. Si ambos se desplazan cuando chocan con las velocidades que se ilustran, determine las velocidades finales un instante después de la colisión. El coeficiente de restitución es e = 0.75. : x Eje Rpta. ( ) ( ) 35 . 1 v 95 . 4 v 6 . 3 v v 3 . 6 v v 4 6 v v 75 . 0 v m v m v m v m e 6 . 3 v v 4 6 v m v m v m v m 2 x A 2 x B 2 x A 2 x B 2 x A 2 x B 5 3 2 x A 2 x B 1 x B B 1 x A A 2 x A A 2 x B B 2 x B 2 x A 5 3 x B B 2 x A A 1 x B B 1 x A A = − = ) ` ¹ − = + − = − − − − = − − = − = + = + − = + ( ) 2 . 3 4 v v 0 v v : y Eje 5 4 1 y B 2 y B 1 y A 2 y A = = = = = s m 8943 . 5 v v v s m 35 . 1 v v 2 y 2 B 2 x 2 B 2 B 2 x A 2 A ≅ − = = = Rpta. Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna Página 56 Cinética de la Partícula y (v A ) 1 = 6 m/s x B 5 4 A 3 (v B ) 1 = 4 m/s Dos discos lisos A y B tienen las Dos discos lisos A y B tienen las 01131449 . 0 4 6 2 . 3 6 . 3 2 . 3 v v v v e 2 . 3 4 30 tan v 30 tan v v v 6 . 3 v v v 4 6 5 3 3 3 3 3 1 x B 1 x A 2 x A 2 x B 3 3 3 3 5 4 1 y B 2 y B 2 x B 2 x B 2 x A 2 x B 2 x A 5 3 = × − − − + − = − − = = × × − = ° − = ° − = + − = → + = × + − y 13 12 A A = 7 m/s x v B = 3 m/s B 3.3.15. ada uno 3.3.16. velocidades iniciales que se indican un = 3 m/s B 3.3.15. ada uno 3.3.16. velocidades iniciales que se indican un Dos discos lisos A y B tienen c una masa de 0.5 kg. Si ambos se locidad s Dos discos lisos A y B tienen c una masa de 0.5 kg. Si ambos se locidad s desplazan con las ve e que se ilustran, cuando chocan, determine el coeficiente de restitución entre los discos si después de la colisión B se desplaza 30° sobre una línea, en sentido opuesto a las manecillas del reloj, a partir del eje y. desplazan con las ve e que se ilustran, cuando chocan, determine el coeficiente de restitución entre los discos si después de la colisión B se desplaza 30° sobre una línea, en sentido opuesto a las manecillas del reloj, a partir del eje y. v m v m v m 2 x A 1 x B 1 x A = + v m 2 x B + Rpta. 5 v O instante antes de chocar en O. Si sus masas son m A = 10 kg y m B = 8 kg, determine sus velocidades justo después del impacto. El coeficiente de restitución es e = 0.4. instante antes de chocar en O. Si sus masas son m A = 10 kg y m B = 8 kg, determine sus velocidades justo después del impacto. El coeficiente de restitución es e = 0.4. 1 n B B 1 n A A m v m v = + 10 2 n A 2 n B 13 13 1 n B 1 n A v v 13 20 − = − , 117 35 v : o Resolviend 2 n A − = 2 n B 2 n A 2 n B 2 n A 13 13 v 8 v 10 13 230 v 8 v 10 3 8 7 + = − + = + − 5 5 2 n A 2 n B 2 n A 2 n B ) ( 3 ) ( 7 v v v v v v 4 . 0 e − − − = − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 2 n B B 2 n A A v m v m + 117 215 v 2 n B − = 7 35 12 2 2 | | − | | | | s m 3235 . 3 117 151201 117 215 13 12 3 v v v 117 117 13 2 2 2 n 2 B 2 t 2 B 2 B 2 n A 2 t A 2 A ≅ = | . | \ | − + | | . | \ | | . | \ | = + = . \ | . \ . \ Rpta. s m 4685 . 6 11689 7 v v v 2 2 ≅ = | + | | = + = Mecánica II Página 57 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula IV. Impulso y Momento Angulares to Angulares edor del punto O, está efinido por la siguiente ecuación: = brazo de palanca del impulso lineal = brazo de palanca del momento lineal del Impulso y del Momento ngulares son equivalentes. ) es una cantidad vectorial que resulta de la integración en el tiem una pa O que resulta el producto vectorial del tícula, por su brazo de compone el movimiento de la partícula en sus componentes ctangulares, y si el movimiento de la partícula se produce sólo en el plano x-y, IV.1. Principio del Impulso y Momen El principio del Impulso y Momento Angulares, alred d t 1 O H v v v + z b d Como puede demostrarse, las unidades v m v ∑ ∫ dt F v r v ∑ ∫ dt M , H O v v O x y d b Unidades S.I. Británico ∑ 2 t v ∫ 1 t O dt M N·m·s lb·p·s O H v kg·m²/s slug·p²/s 2 O t O H dt M 2 1 = ∑ ∫ A El Impulso Angular ( ∑ ( ) ∑ ∫ ∫ × = 2 1 2 1 t t t t O dt F r dt M v v v po de todas las or su brazo de palanca co fuerzas que actúan sobre rtícula, multiplicadas p n respecto a un punto . Este vector es perpendicular al plano formado por los vectores r v y F v . El Momento Angular ( v m r H O v v s × = ) es una cantidad vectorial d momento lineal de una par to O. Este v palanca con respecto a un pun ector es perpendicular al plano formado por los vectores r v y v v . Si se des re se puede descomponer los vectores Impulso y Momento Lineales en sus componentes cartesianos: 2 O t t O 1 O 2 y t t y 1 y 2 x t t x 1 x H dt M H v m dt F v m v m dt F v m 2 1 2 1 2 1 v v v v v v v v v = + = + = + ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ Mecánica II Página 58 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula 0.4 m 0.4 m M z 60 N 5 4 0.75 m 3 v C M = (8 t² + 5) N·m En el caso de que no existan impulsos angulares, ya sea por la inexistencia de impulsos externos o porque el impulso angular sea dirigido hacia el punto O, el momento angular se conservará, quedando simplificad uación del impulso y momento angulares, como sigue: .1.1. Dos esferas, cada una con una masa de 3 kg, están unidos a una varilla de masa despreciable. Determine el tiempo en que el torque M = (8 t) N·m, t se expresa en segundos, debe aplicarse a la varilla, de modo 4.1.2. una fuerza de 60 N, que siempre está dirigida a la ec 2 O 1 O H H v v = O y si se tiene un conjunto de partículas con movimiento angular interdependiente, podemos escribir: ∑ ∑ = 2 1 O H H v v Ejemplos : 4 donde que cada esfera logre una rapidez de 3 m/s a partir del reposo. ( )3 2 3 4 . 0 t 4 v m r dt t 8 0 H dt M H 2 t 0 1 t 0 O O → × = = + = + ∫ ∑ ∫ x en la forma que se ilustra, determine la rapidez del cilindro cuando t = 2 s. El cilindro tiene una rapidez v O = 2 m/s cuando t = 0. ( ) v m r dt 75 . 0 60 5 t 8 v m r H dt M H 2 3 1 t 0 O O = × × + + + = + ∫ ∑ ∫ El pequeño cilindro C tiene una masa de 10 kg y está unido al extremo de una varilla cuya masa puede despreciarse. Si la estructura está sujeta a un par M = (8 t² + 5) N·m, donde t se expresa en segundos, y el cilindro está sujeto a s 34164 . 1 8 . 1 t = = Rpta. s m 37778 . 13 45 602 v v 10 75 . 0 t 32 3 t 8 2 10 75 . 0 1 1 3 0 5 = = × × = + + × × Rpta. 1 O Mecánica II Página 59 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula .1.4. Un pequeño bloque, que tiene una masa de .1.4. Un pequeño bloque, que tiene una masa de s 7394 . 0 2 v t s p 5213 . 1 ² 2 ² 12 6 3 v v r r r 2 1 1 2 ≅ = = ≈ − × = = r 1 = 500 mm v 1 = 0.4 m/s h r 2 θ v 2 30° 4.1.3. a es jalada a través de un 0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal 4.1.3. a es jalada a través de un 0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal Una bola B de 4 lb se desplaza alrededor de un círculo, cuyo radio es r 1 = 3 pies, con una rapidez v B 1 = 6 pies/s. Si la cuerd Una bola B de 4 lb se desplaza alrededor de un círculo, cuyo radio es r 1 = 3 pies, con una rapidez v B 1 = 6 pies/s. Si la cuerd agujero en el centro del círculo, con una rapidez constante v r = 2 pies/s, determine el tiempo necesario para que la bola alcance una rapidez de 12 pies/s. ¿A qué distancia r 2 del agujero se encuentra la bola cuando esto ocurre? Desprecie la fricción y el tamaño de la bola. agujero en el centro del círculo, con una rapidez constante v r = 2 pies/s, determine el tiempo necesario para que la bola alcance una rapidez de 12 pies/s. ¿A qué distancia r 2 del agujero se encuentra la bola cuando esto ocurre? Desprecie la fricción y el tamaño de la bola. r r v r m v r m : H 2 2 1 1 2 O − − = = B r 1 = 3 p v B 1 = 6 p/s v r = 2 p/s 140 18 3 H 2 1 1 O Rpta. 4 4 v 1 = 0.4 m/s cuando r 1 = 500 mm. Se desliza por una superficie cónica lisa. Cuando desciende a h = 100 mm, determine su rapidez y el ángulo de caída θ, es decir, el ángulo medido desde la horizontal a la tangente de la trayectoria. v 1 = 0.4 m/s cuando r 1 = 500 mm. Se desliza por una superficie cónica lisa. Cuando desciende a h = 100 mm, determine su rapidez y el ángulo de caída θ, es decir, el ángulo medido desde la horizontal a la tangente de la trayectoria. E 1 v v = ( ) s m 4567 . 1 122 . 2 1 . 0 81 . 9 2 ² 4 . 0 h g 2 v v h g 2 0 v m h g m v m 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 ≅ + = + = = + + = + E E E 2 2 2 P 2 K 1 P 1 K + = + 5 . 0 r 1 = 2 r ° 60 1 . 0 3 5 . 0 60 tan r 1 = ° 5 . 0 r 3 5 . 0 5 . 0 2 = = 3 1 . 0 3 1 . 0 3 5 . 0 − − r 2 ( ) 3 1 . 0 5 . 1 6 . 0 1 . 0 3 5 . 0 3 4 . 0 5 . 0 r v r v v r m v r m 2 1 1 h 2 h 2 2 1 1 − = − = = = ( ) ° ≅ − = 9144 . 71 122 . 2 3 1 . 0 5 . 1 6 . 0 cos arc v 2 Rpta. = θ v cos arc h 2 θ Rpta. H H 2 O 1 O = Mecánica II Página 60 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula r 1 = 500 mm v 1 = 0.4 m/s h r 2 θ v 2 30° .1.5. Un pequeño bloque, que tiene una masa de 0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal 4 v 1 = 0.4 m/s cuando r 1 = 500 mm. Se desliza por una superficie cónica lisa. Determine la distancia h que debe descender para alcanzar una rapidez de v 2 = 2 m/s. Asimismo, ¿cuál es el ángulo de descenso θ, es decir, el que se toma entre la horizontal y la tangente de la trayectoria? ( ) m 1957 . 0 327 64 81 . 9 2 16 . 0 4 g 2 v v h v h g 2 v 0 v m h g m v m 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 ≅ = − = − = = + + = + 1 r 2 r ° 60 1 . 0 ° 60 tan r 1 Rpta. E E E E 2 2 2 P 2 K 1 P 1 K + = + 1962 3 128 981 3 3 5 . 0 r r r 327 64 2 2 1 − = − = h 60 tan r 60 tan r 1 1 − ° = ° ( ) 3 1 . 0 5 . 1 6 . 0 1 . 0 3 5 . 0 3 4 . 0 5 . 0 r v r v v r m v r m 2 1 1 h 2 h 2 2 1 1 − = − = = = ( ) ° ≅ − = 9144 . 71 122 . 2 3 1 . 0 5 . 1 6 . 0 cos arc v 2 = θ v cos arc h 2 θ Rpta. H H 2 O 1 O = Mecánica II Página 61 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula Bibliografía Los ejemplos resueltos fueron propuestos en el libro Ingeniería Mecánica – Dinámica de R. C. Hibbeler, 7ma edición, Capítulos 12, 14 y 15, siendo entregados como solucionario a los alumnos de Ingeniería Agrícola, no habiendo ninguna disconformidad con los desarrollos planteados. El desarrollo de los ejemplos, así como la exposición teórica al principio de cada capítulo son de responsabilidad del autor de este trabajo. Bibliografía Adicional Recomendada J.L. Meriam – DINÁMICA. Editorial Reverté. Harry R. Nara – MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. VOLUMEN II: DINÁMICA – 1ra Edición. Editorial Limusa. Ferdinand L. Singer – MECÁNICA PARA INGENIEROS: DINÁMICA – 3ra Edición. Editorial Harla.