CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOSDINÁMICA 2015-I CINEMÁTICA PLANA DE CUERPOS RIGIDOS EXPERIENCIA CURRICULAR DINÁMICA DOCENTE LIC. WALTER PEREZ TERREL ESTUDIANTES YENI ROCSANA VASQUEZ HUARANGA CARLA CUBA CURO ZAVALA MOYA BEATRIZ GULIANA GARCIA PISCO AULA 112 TURNO MAÑANA CICLO 2015 - I CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I “Los hombres construimos demasiados muros y no suficientes puentes” José García – Aranda Ángel CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I DEDICATORIA A todos los juventud estudiantil, que con sus ideas y su actitud desean cambiar el mundo en que vivimos. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I AGRADECIMIENTO Expresamos nuestro agradecimiento Al Lic. WALTER PEREZ TERREL y esposa por orientarnos en nuestro trabajo. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I ÍNDICE I. II. III. IV. Epígrafe Dedicatoria Agradecimiento Introducción 1.1Movimiento plano de un cuerpo rígido 1.2Traslación 1.3Rotación alrededor de un eje fijo 1.4Análisis del movimiento de un punto 1.5Análisis del movimiento relativo: velocidad 1.6Centro instantáneo de velocidad cero 1.7Análisis del movimiento relativo: aceleración 1.8Análisis del movimiento relativo por medio de ejes rotatorios V. Conclusiones INTRODUCCIÓN El presenta trabajo de investigación del campo de la dinámica que estudia, aplicación de la cinemática, la cinemática plana de un cuerpo rígido. Todo cuerpo rígido se ve representado por las acciones de fuerzas que se ejerce sobre esta, pero que no evidencia deformaciones ya que posee un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. El estudio de la Cinética de los cuerpos rígidos en el plano, analiza los correspondientes movimientos de traslación y rotación en un determinado plano compuesto de fuerzas que se proyectan sobre esta cabe recordar que dicho plano posee un centro de masa. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I En el caso de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita una ecuación más para especificar el estado de rotación del cuerpo. Así pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesitará dos ecuaciones de fuerza y una de momentos, o sus equivalentes .Es decir se estudiará las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento producido. Por motivo de ello se representará en este informe, aplicaciones de problemas de la actualidad de este modo no solo se pretenderá conocer las bases teóricas sino también métodos analíticos, en las cuales se ve afectada una partícula. Además el movimiento de todo cuerpo rígido que tenga dimensiones apreciables en dirección perpendicular al plano del movimiento pero que sea simétrico alrededor de dicho plano respecto del centro de masa puede tratarse como un problema de movimiento plano. Para los propósitos de este informe, se debe considerar la importancia de los análisis que se deben realizar a un cuerpo ya sea en el plano bidimensional como tridimensional, para con ello obtener muestras y resultados en un sistema general de puntos de material. Por consiguiente se debe tener como base primordial las aplicaciones directas de los principios de la cinemática (cálculo de aceleraciones y velocidades). 1.2 Movimiento plano paralelo del cuerpo sólido. Por movimiento plano paralelo (o simplemente plano) se entiende el movimiento del cuerpo sólido durante el cual todos sus puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo. Figura 9: movimiento plano paralelo de un sólido rígido, respecto al plano . CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Biela-manivela Muchas piezas de mecanismos y máquinas efectúan un movimiento plano, por ejemplo, una rueda móvil sobre un segmento de vía rectilínea, una biela de un mecanismo de Biela – manivela; etc. El movimiento de rotación de un cuerpo sólido, es un caso particular del movimiento plano. Examinaremos la sección S del cuerpo situada en un plano OXY paralelo al plano . (Figura 9) Si tenemos un movimiento plano, todos los puntos del cuerpo situados sobre la recta MM’ perpendiculares a la sección S, es decir, al plano , se desplazan de un modo idéntico. Por eso, para el estudio del movimiento de todo el cuerpo es suficiente estudiar el movimiento de una sección S en el plano OXY. En la figura (10) haremos coincidir el plano OXY con el plano del dibujo y en ves del cuerpo entero representaremos solamente su sección S. Y YA Figura 10: sección S de un sólido rígido incluido en el plano OXY paralelo al plano. B A X XA Es evidente que la posición de la sección S en el plano OXY se determina por la posición de un segmento cualquiera AB de la sección (figura 10). A su vez, la AB posición del segmento puede ser determinada si se conoce las coordenadas en XA y YA del punto A y en ángulo formado por el eje X con el AB segmento medido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Al punto A, lo llamamos polo. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Durante el movimiento los valores de Xa, Ya y varían. Para saber la ley de movimiento del cuerpo, hay que conocer: Xa f1(t ) Ya f 2 (t ) f3 (t ) (13) Llamadas ecuaciones del movimiento plano del cuerpo sólido. Demostraremos que el movimiento plano se compone de movimientos de traslación y rotación. De traslación, haciendo que la sección S siempre siga paralela al plano (traslación) y que el eje de rotación sea perpendicular al Y plano o sea a la sección S (rotación). B A XA Figura 11: movimiento plano paralelo como composición de movimiento de traslación y rotación. Mediante una traslación curvilínea, paralela al plano , o sea en el plano OXY, pasamos de la posición inicial P1 a la posición final de la traslación curvilínea P1’ y luego con una rotación alrededor de un eje perpendicular a y que pasa por A2 , llegaremos a la posición final P2. Sabemos que en el espacio siempre podemos pasar de una posición inicial a la final mediante la traslación conveniente y una rotación conveniente. En el movimiento plano: la traslación es paralela a un plano y la rotación alrededor de un eje es perpendicular al plano. Y Determinación de la trayectoria de los puntos del cuerpo. b Estudiaremos ahora el movimiento de diferentes puntos del cuerpo sólido, es decir, determinaremos sus B trayectorias, velocidades y aceleraciones. A YA Y X XA X Figura 12: posición de un punto de sección S en un movimiento plano en un instante determinado. YA CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Comencemos por definir las trayectorias. Examinaremos el punto M del cuerpo cuya posición en la sección S se termina por la distancia b = AM del polo A y por el ángulo BAM = (figura 12). Las ecuaciones de las coordenadas X e Y del punto M son: X X A b cos Y YA b sen (14) Donde YA, XA y son funciones del tiempo t conocidas por las ecuaciones (13). Las igualdades (14), que determinan la ley del movimiento del punto M, en el plano OXY, dan simultáneamente la ecuación de la trayectoria de este punto en forma paramétrica. Para obtener una ecuación ordinaria rectangular, eliminaremos en (14) el tiempo t.(despejando t de una de ellas y reemplazando ese valor t en la otra) Determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo. Repetimos, el movimiento plano del cuerpo sólido se compone de un movimiento de traslación, cuando en cada instante todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad instantánea vA del polo y un movimiento de rotación alrededor de ese polo. Demostraremos que la velocidad de cualquier punto M del cuerpo es la suma geométrica de las velocidades correspondientes a cada uno de estos movimientos. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Figura 13: posición y velocidad de un punto de la sección S en un movimiento plano en un instante determinado. Él vector posición del punto M en el instante t, respecto al sistema de referencia es: r rA r ' vM vA dr drA dr ' dt dt dt drA dt Es decir, la magnitud es la velocidad del polo A; la magnitud es la velocidad del punto M con respecto a A. dr ' vM / A dt r' Cuando es constante en magnitud pero no en dirección, porque el cuerpo gira respecto del polo. vM v A vM / A Entonces: vM / A En este caso, la polo A, será: del punto M en su movimiento de rotación alrededor del CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I v .r v M / A MA (Recordar v M / A MA Siendo: y donde ) es la velocidad angular de rotación del cuerpo. De este modo, la velocidad de todo punto M del cuerpo es la suma geométrica de la velocidad de otro punto cualquiera A, tomando como polo y de la velocidad de rotación del punto M, alrededor de este polo y la aceleración aM / A dv M / A dt Ejemplo: Hallar la velocidad del punto M de la llanta de una rueda, que se desplaza (trasladándose y rotando, sin resbalar) sin rozamiento sobre un riel, si la vC velocidad de traslación del centro C de la rueda es igual a = creciendo desde OK y el ángulo OKM Figura 14: posición y velocidad del punto M de la llanta de una rueda animada de movimiento plano. Tomando como polo el punto C, cuya velocidad de traslación es conocida, hallaremos que: vM vC vMC vMC C M Donde y en módulo v MC C M r Siendo r, el radio de la rueda CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I El valor de la velocidad angular lo hallaremos teniendo en cuenta que el punto K de la rueda no resbala por el riel, y por lo tanto, en el instante en que vK 0 la rueda toca el riel en el punto K, la velocidad de K es nula: Por otra parte, lo mismo que para el punto M: . vK vC vKC v KC r Donde vK vC Ya que para el punto K, y vK 0 entonces, como contrario. están dirigidas a lo largo de la misma recta, vKC vC será de donde, tienen igual módulo y sentido Entonces: v C r Observando la figura 14, el triángulo KCM es isósceles, pues tiene dos lados iguales, que son los radios de la circunferencia y el ángulo externo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. vC v MC Además, el ángulo formado por los vectores y es igual a pues sus lados son respectivamente perpendiculares y como v MC . r v MC vC v MC v K / C vC vC deducimos que los vectores vMC y tienen los mismos módulos. Según la vC propiedad geométrica del rombo, los ángulos entre también son iguales a . vM y vMC y entre vM y Como las diagonales del rombo son recíprocamente perpendiculares, tenemos: vM 2 vC cos el extremo superior del diámetro vertical (en O) tenemos la v o 2 vC 0 velocidad absoluta ya que vC K C vM K M Y observemos que y y cos 0 = 1 y entonces CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Es decir en el punto K se cortan KM KC y y las velocidades absolutas (suma vM vC geométrica de las velocidades puras de rotación y traslación) y son perpendiculares a sus direcciones. El punto K, que permanece fijo en ese instante, puede considerarse como un centro instantáneo de rotación (o eje perpendicular al plano de traslación). Podemos estudiar el caso de movimiento plano, desde otro punto de vista. Volvemos al comienzo. Siempre se puede descomponer el movimiento plano en una traslación y una rotación. Estudiaremos el caso de una circunferencia que está rotando sin resbalar sobre un riel rectilíneo. Veremos que este movimiento puede considerarse como una serie de rotaciones puras instantáneas, alrededor de centros instantáneos (ejes instantáneos) de rotación. r r C C C r r C C + r C Figura 15: movimiento plano como descomposición de una Estudiaremos primero la rotación pura. Si conocemos r y w, entonces: v= y si conocemos v y r, entonces: r v r v MC r En el punto M: vCA A C r M v MC w r Figura 16: posición y velocidad en una rotación pura. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I vCA w r1 En el punto A: Como segundo paso consideramos la traslación pura. Tenemos: vA vC A r r v KC M C wvC v MC D vC vCA vC K vM Figura 17: posición y velocidad en una traslación pura. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I vMC w r vKC w r vCA w r1 vC Velocidad de traslación del punto C = w . r , porque una rueda sin resbalar (sin deslizarse), cuando da una vuelta completa, el ángulo de rotación será: = 2 . Radianes y el punto C (como también el K de la figura) se habrá trasladado un distancia 2 . . r y la velocidad de traslación de C será vC vKC 2 r T siendo T el período o sea el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Entonces, como: 2 w T vC vKC w r Entonces: (15) Como los dos módulos son iguales y los sentidos de los dos vectores son contrarios, entonces el punto K, en ese instante, permanecen en equilibrio. Además por las consideraciones anteriores: KM vM KA v A KC vC Velocidades absolutas (totales) O sea que podemos considerar, en ese instante, como si todos los puntos están rotando alrededor del centro instantáneo de rotación K, que cambia de posición constantemente. Ejemplo: Sea de nuevo una llanta que rueda con movimiento rectilíneo. Determinar directamente la velocidad absoluta del punto M, con ayuda del centro instantáneo de rotación. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I vM vD vC C w K w v KC D vC M Figura 18: velocidades del punto M y del punto K en el movimiento de una llanta. Solución: el punto K de contacto, es el centro instantáneo de rotación, porque vK 0 . CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I vM K M Por consiguiente . Ya que el ángulo KDM es recto, abarca el diámetro vm KD, y el vector circunferencia). pasa por el punto D (lo mismo para todos los puntos de la Pero: por (15) vC w r w KC vKC w r w KC Observando la figura 18 se ve que la velocidad lineal del punto C es el producto de la velocidad angular instantánea por el radio de giro de C respecto a K. vC winst KC vC w KC winst w Comparando con: , se obtiene que: Entonces en el centro instantáneo de rotación K, toda rotación instantáneamente tiene velocidad angular w. Observando la figura 18: w K M vM w K C vC K M 2 r cos Pero: vM 2 r cos w Queda: Despejando w: vM 2 cos v w C r w vM v C 2 cos r vM 2 vC cos vM Dónde: es la velocidad del punto M. Curva Base y Curva Ruleta El centro instantáneo de rotación K de un cuerpo rígido, describe en el espacio una curva llamada BASE y con respecto a la superficie sobre la que se mueve, describe otra curva llamada RULETA. Ambas curvas son tangentes en K, en un instante determinado. Puede interpretarse: CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Figura 19: Curva Base y Curva Ruleta de un sólido rígido que rueda sobre una superficie tal como que la cuerva Ruleta “rueda” sobre la curva Base. En el caso de una circunferencia que rueda sobre un riel, la curva BASE es el propio riel, fijando las sucesivas posiciones del centro k en el espacio y la curva RULETA, o sea, las sucesivas posiciones de k fijándolas con respecto a la rueda, es la propia circunferencia. Si consideramos la placa unida fijamente a la ruleta y hacemos rotar la ruleta sobre la base, obtenemos el movimiento total de la chapa en el espacio 1.2 Traslación. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, eeste se mantiene siempre paralelo a sí mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los demás puntos materiales describirán trayectorias equidistantes entre sí. Si la traslación es rectilínea, las trayectorias son rectas y paralelas entre sí (equidistantes), y si la traslación es curvilínea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o alabeadas equidistantes entre sí. Ejemplos: Traslación rectilínea. Z B B A A Figura 1: traslación rectilínea Y X Traslación curvilínea. Z B A Y B X A Z B rB / A A rA rB X Y Figura 2: traslación curvilínea CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Figura 3: vector posición en una traslación En un movimiento de traslación rectilínea o curvilínea según se muestra en la figura 3, el vector posición del punto B es: rB r A rB A (1) rB A A lo llamaremos “vector de B con respecto a A” y es constante. Derivando la (1) tenemos: drB dt drB dr A A dt dt 0 vB v A (2) Es decir en un instante dado la velocidad de B es igual, a la velocidad de A y a la de cualquier otro punto material del sólido rígido (ya sea un movimiento de traslación rectilínea o curvilínea). Si derivamos la (2) con respecto al tiempo: dv B dv A dt dt aB a A (3) Es decir que la aceleración del punto B es la misma que la del punto A y a la de cualquier otro punto material del sólido rígido. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Figura 4: vectores velocidad y aceleración en una traslación. Conclusión: en un sólido en movimiento de traslación todos sus puntos tienen la misma velocidad instantánea y la misma aceleración instantánea. 1.3 Movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo (que lo atraviesa). Considerando un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje Z coincide con el eje e de rotación del sólido rígido. i , j , k Considerando la base ortogonal O( ) CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Z d ds B v P r w j k i Y o X Figura 5: sólido rígido girando alrededor de un eje fijo. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Z v B h P r Y X Siendo: h BP ds v dt h r sen y ds BP . d ; pero BP h v BP . d dt v r . . sen sen BP r . sen d dt r Entonces Esta expresión es el módulo del producto vectorial entre él vector velocidad angular de rotación y el radio vector posición del punto P. Entonces de la relación entre velocidades: CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I dr v r dt La velocidad angular es la misma para todos los puntos materiales del cuerpo r rígido y él vector posición depende de la posición del punto material con respecto al punto O. Todos los puntos materiales del cuerpo giran describiendo circunferencias alrededor del eje de rotación, en planos paralelos y en un mismo plano son circunferencias concéntricas. Cada punto tiene su propia velocidad lineal. k d k dt Además: (5) Por lo tanto la velocidad angular es un vector que esta sobre el eje Z, que es el eje de rotación. Derivando la ecuación (5) con respecto al tiempo tenemos: d r d v d d r a r dt dt dt dt Pero: d a y dt d r v r dt Entonces: d v a r dt at r an (6) a a . r . sen 2 . r . sen Resolviendo: Recordando que en una circunferencia se cumple: Siendo h = r. sen CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I a h io 2 h no (7) Haciendo h = r de cada circunferencia, se puede comparar las expresiones (6) y (7). Se observa que: r r es la aceleración tangencial y centrípeta de cada punto del sólido rígido. es la aceleración normal o Por otro lado: a k d d 2 k k 2 dt dt a Es decir que él vector rotación. aceleración angular está también sobre el eje de 1.3.1 Ecuaciones que definen el movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo, Pueden referirse directamente a la descripción del punto del cuerpo. Sabemos que para un movimiento circular: o t to t d dt m (8) Siendo m la velocidad angular media y la instantánea: am o t to t d a dt (9) CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Siendo am la aceleración angular media y a la aceleración angular instantánea. En el caso de movimiento de rotación uniforme: = cte. m = . De (8) obtenemos: = o + . ( t - to) y si to = 0 = o + . t espacio medido en función del ángulo recorrido en movimientos circular Si el movimiento de rotación uniformemente acelerado: = cte. am = w. De (9) = o + . ( t - to) y si to = 0 w = wo + . t velocidad angular en función del tiempoen movimientos circular Conocido el ángulo descrito; entonces se expresa: 1 o t t 2 2 Y si 0, entonces: o o t 1 t2 2 Espacio medido en función del ángulo de barrido y del tiempo. v 2 v 2 o 2 . a e eo Recordando que en MRUA 2 2 o 2 o Podemos deducir la ecuación velocidad angular en función del ángulo descripto CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I 1.3.2 Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo de cada uno de los puntos de un sólido rígido. Depende de la posición del cuerpo. Vemos en la figura 5 que el punto n es un punto que se encuentra a una BP h distancia del eje de rotación. Durante la rotación del cuerpo, el punto P describe una circunferencia de radio n, que se encuentra en un plano perpendicular al eje de rotación “e”, cuyo centro B se encuentra en el mismo eje. Entonces sabemos que la velocidad lineal de P tiene como módulo v= .h (10) Ya que en un instante dado, tiene el mismo valor para todos los puntos del cuerpo, resulta, de la formula (10), que el módulo de las velocidades lineales de los puntos del cuerpo en rotación son proporcionales a sus distancias al eje de rotación. v1 h Figura 6: vector velocidad lineal para cada punto de un sólido rígido en un instante determinado. Para hallar la aceleración total del punto P, sabemos que: at h y an 2 h a a 2t a 2n 2 h 2 4 h a h 2 4 aceleración lineal total en función de la aceleración y la velocidad angular CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I (11) La desviación del vector de la aceleración total respecto al radio de la circunferencia que describe el punto es: a at an h B P Figura 7: posición del vector aceleración total del punto P de un sólido en rotación. tg at at h an y an 2 h Pero: tg Entonces: 2 (12) Como en un instante dado y tienen el mismo valor para todos los puntos del cuerpo, de las formulas (11) y (12) se deduce que las aceleraciones de CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I todos los puntos de un cuerpo sólido en rotación son proporcionales a sus distancias al eje de rotación y forman en el instante dado el mismo ángulo con los radios hi de las circunferencias que describen los puntos. a h. 2 2 siendo cte , cte En un instante dado a Figura 8: vector aceleración total de un sólido rígido en un instante determinado. Las formulas (10), (11) y (12) permiten determinar la velocidad y la aceleración lineal de cualquier punto del cuerpo si se conoce la ley de rotación del cuerpo, es decir, la velocidad angular , la aceleración angular y la distancia entre el punto dado y el eje de rotación hi. Recíprocamente, si se conoce el movimiento de un punto del cuerpo, sobre la base de las mismas formulas es posible determinar el movimiento de todos los otros puntos del cuerpo, así como todas las características del movimiento del cuerpo completo. Se pueden determinar y . Ejemplo: Un árbol que gira a n = 90 r.p.m. (revoluciones por minuto), después de desconectar el motor adquiere un movimiento uniforme retardado y se detiene al cabo de t1 = 40seg. Determinar el número de revoluciones efectuadas por el árbol durante ese tiempo. Solución: como el árbol está en rotación uniformemente retardada, entonces: 1 wo t t 2 2 w wo t Y (b) (a) CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Sabemos que la velocidad angular que tenía antes de desconectar el motor, a sea la velocidad angular inicial es: wo 2 n rev 60 seg wo n 30 En el instante en que el árbol, t = t1 la velocidad angular w1 = 0. Poniendo estos valores en (b), tenemos: 0 n t1 30 0 n 30 t1 Si representamos el número de revoluciones hechas por el árbol hasta que se detiene por N (n son las revoluciones por minuto), el ángulo de rotación en el mismo período de tiempo será a 1 = 2 . . N. Usando la (a): .n 1 .n t1 t12 30 2 30 t1 .n .n .n 2 .N t1 t1 t1 30 60 60 2 .N Entonces: N n t1 90 40 30 revoluciones 120 120 1.3.3 Rotación Alrededor de un Eje Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto P localizado en él se desplaza a lo largo de una proyección circular. Para estudiar este movimiento es necesario analizar primero el movimiento angular del cuerpo Fig.1.a alrededor del eje. Movimiento angular- Como un punto no tiene dimensiones, no puede tener movimiento angular. Solamente las líneas o cuerpos experimentan movimiento angular .Por ejemplo considere el cuerpo en la figura y el movimiento angular de una línea radial r, localizada en el plano sombreado. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Posición angularEn el instante en que se muestra, la posición angular de está definida por el ángulo referencia fija hasta r θ r , medida desde una línea de . Desplazamiento angularEl cambio de la posición angular, el cual puede medirse como una diferencial dθ , se llama desplazamiento angular. La magnitud de este vector es dθ .Medida en grados, radianes o revoluciones donde 1rev= 2 πrad . Como el movimiento es un torno a un eje fijo, la dirección de d θ siempre es a lo largo de este eje .Específicamente la dirección se determinara con la regla de la mano derecha: es decir, los dedos de mano derecha se curvan en el sentido de la rotación, de modo que en este caso el pulgar, o d θ , apunta hacia arriba Fig.1.a. En dos dimensiones, como se muestra en la vista desde arriba del plano sombreado, fig 1.b tanto θ como d θ , están en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y por tanto el pulgar apunta hacia afuera de la página. Velocidad angularEl cambio dθ con respecto al tiempo de la posición angular se conoce como velocidad angular ω (omega) como ocurre durante un instante de tiempo dt , entonces: dθ =ω dt (+ CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I (1.a La magnitud de este vector se suele medir en rad/s .Aquí ) esta expresada de forma escalar, puesto que su dirección también va a lo largo del eje de rotación, fig1.a. Cuando se indica el movimiento angular en el plano sombreado, fig1.b, podemos referirnos al sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj .En este caso elegimos arbitrariamente las rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivas y esto se indica por medio del bucle que aparece entre paréntesis al lado de la ecuación (1.a) .Cuando se indica el movimiento angular en el plano sombreado,fig.1.b, podemos referirnos al sentido de la rotación como en sentido de las manecillas del reloj .En este caso elegimos arbitrariamente las rotaciones en sentido contrario de las manecillas del reloj como positivas y esto se indica por medio del bucle que aparece entre paréntesis al lado de la ecuación (1.a).Se debe tener en cuenta que el sentido direccional de ω es hacia afuera. Aceleración angular - es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra y se la calcula: (1.2) Con la ecuación (1.2) también se es posible expresar α La línea de acción de es la misma que la de sentido de dirección depende de si dirección se opone a como: (1.3) d2θ α= 2 dt decerece, entonces α α ω ω ω (fig1.a), sin embargo su se incrementa o decrece. Si ω se llama desaceleración angular y por consiguiente su . Al eliminar dt de las ecuaciones (1.1)y(1.2), obtenemos una relación diferencial entre la aceleración angular , la velocidad angular y el desplazamiento angular, es decir. (1.4 α dθ=ω dω CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I La similitud entre las relaciones diferenciales del movimiento angular y las desarrolladas para movimiento rectilíneo de una partícula ( v= ds dv , a= y a . ds=v . dv dt dt ) debe ser aparente. Aceleración angular constante Si la aceleración angular del cuerpo es constante , α=α c , entonces cuando se integran las ecuaciones 1.1,1.2 y1.3, se obtiene un conjunto de fórmulas que relacionan la velocidad angular de un cuerpo y el tiempo. Estas ecuaciones son semejantes a las ecuaciones que se utilizan para movimiento rectilíneo. Los resultados son : ω=ω 0+ α c t (1.5) 1 θ=θ 0+ ω0 t+ α c t 2 (1.6) 2 ω2 =ω20 +2 α c ( θ−θ0 ) (1.7) Aceleración Angular Constante En este caso, θ0 y ω0 son los valores iniciales de la posición angular y la velocidad angular del cuerpo, respectivamente. 1.4 Movimiento de un Punto Cuando el cuerpo rígido de la figura (1.c) gira, el punto P se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en el punto O. Esta trayectoria está contenida en el plano sombreado de la vista superior, fig (1.d). Posición y Desplazamiento La posición de P está definida por el vector de posición cual se extiende desde O hasta P. Si el cuerpo gira entonces P se desplazara ds=r dθ . r , el dθ Fig-1.c CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Velocidad La magnitud de la velocidad de P se calcula al dividir ds=r dθ dt entre de modo que v =ωt (1.8) Fig – Como se muestra en las figuras (1.c)y (1.d) , la dirección de v es tangente a la trayectoria circular. Tanto la magnitud como la dirección de v también pueden v tenerse en cuenta si se utiliza el producto vectorial de ω también pueden tenerse en cuenta si se utiliza el producto vectorial de v p . En este caso la dirección rp y es de cualquier punto sobre el eje de rotación al punto P , figura(1.c). Tenemos v =ω ×r p (1.9) El orden de los vectores en esta formulación es importante, puesto que el producto vectorial no es conmutativo, es decir, ω × r p≠ r p×ω figura (1.c) como se establece la dirección correcta de .Observe en la v , la cual es tangente a la trayectoria en la dirección del movimiento. De acuerdo con la ecuación (1.8), la magnitud de v puesto que en la ecuación (1.9) es r=r p sin ∅ , fig(1.c), entonces v =ωr v =ω ×r p sin ∅ , la cual concuerda con la ecuación (1.8) . Como un caso especial, el vector de posición elegirse para rp . Aquí, r Aceleración r puede queda en el plano del movimiento y de nueva cuenta de velocidad del punto P es v =ω ×r ( 1.10) ,y CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I La aceleración de P puede expresarse en función de sus componentes normal at = y tangencial. Como α= dω dt dv dt y an = v2 p donde p=r , v =ωr y , tenemos; at =ωr (1.11) an =ω2 r (1.12) El componente tangencial de la aceleración de las figuras (1.c) y(1.f), representa el cambio con respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad . Si la rapidez de P se incrementa, entonces v a actua con la misma dirección que , y finalmente, si permanece constante, a es cero. La componente normal de la aceleración representa el cambio con respecto al tiempo de la dirección. La dirección opuesta de an siempre es hacia O, el centro de la trayectoria circular (fig1.c)y (fig1.f). Al igual que la velocidad la aceleración del punto P puede expresarse en función del producto vectorial (producto cruz). Si consideramos la derivada con respecto del tiempo de la ecuación (1.9), tenemos. a= dr dv dw = ×r p +r p+ ω × v dt dt dt Si se recuerda que Fig-1.e α =α × r p +ω × d rp (1.13) dt Por la definición del producto vectorial, la magnitud del primer término de la derecha es at =α r p sin ∅ ,= αr está en la dirección de at , y por la regla de la mano derecha, α ×rp ,fig (1.e) . Asimismo la magnitud del segundo CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I 2 2 an =ω r p sin∅=w r término es , y al aplicar la regla de la mano derecha dos veces, primero para determinar el resultado v p =ω ×r p entonces se ve que este resultado está en la misma dirección que an ω×vp , , como se muestra en la figura (1.e). Si observamos que esta también es la misma dirección que expresar an −r , la cual queda en el plano del movimiento, podemos en una forma mucho más simple que an =−w2 r .Por consiguiente, la ecuación (1.13) puede identificarse por sus dos componentes como a=at + an ¿ α × r−ω 2 r (1.14 ) at Puesto que y an , son perpendiculares entre si , se requiere , la magnitud de la aceleración puede determinarse con el teorema de Pitágoras , es decir , a=√ an2 +at 2 , fig (1.f). 1.5 Análisis Del Movimiento Relativo El movimiento plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de traslación y rotación, Para ver estos movimientos “componentes” por separado utilizaremos un análisis de movimiento relativo que implica dos conjuntos de ejes de coordenadas ' x ,y ´' coincida con el “punto base “Ha seleccionado, el cual por lo general tiene un movimiento conocido. Los ejes de este sistema de coordenadas se trasladan con respecto al marco fijo pero no giran con la barra. Fig1-f.a Posición CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I El vector de posición r A , en la (fig-2.a), especifica la ubicación del “punto base” A y el vector de posición relativa rB A localizado el punto B con respecto al punto A .Mediante adición vectorial, la posición de B es por tanto r B =r A + r B A Desplazamiento Durante un instante de tiempo desplazamientos dr A y dr B dt , los puntos A y B experimentan los como se muestra en la figura (2.b).Si consideramos el movimiento plano vertical por sus partes componentes entonces toda la barra primero se traslada una cantidad dr A de modo que A, el punto base, se mueve a su posición final y el punto B. B rB desplazamiento relativo rotación sobre A, A dr B =r B dθ A A Experimenta un y se mueve a su posición final B .Debido a la y el desplazamiento de B es d r B =d r A +d r B A Dónde: d r B =Se debe a latraslacion y rotacion d r A=Debido ala traslacion de A d r B =Debido ala rotacionalrededor de A A ' CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Velocidad Para determinar la relación entre las velocidades de los puntos Ay B es necesario considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuación del a posición o simplemente dividir la ecuación de desplazamiento entre dt . De esto resulta drB drB drA = + A dt dt dt Los términos drB Vb dt = Y drA =V A , se miden con respecto a los ejes dt fijos x e y y representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, respectivamente. Como el desplazamiento relativo provoca una rotación, la dr B magnitud del tercer término es = A dt rB A dθ =r B θ=r B ω , donde dt A A ω es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado .denotaremos este vB término como la velocidad relativa A , puesto que representa la velocidad de B con respecto a A medida por un observador fijo en los ejes trasladantes ' ' x , y .Dicho de otra manera , la barra parece moverse como si girara con una velocidad angular ω con respecto al eje consiguiente la magnitud de perpendicular rB A vB A es z' que pasa por A . Por v B =ω r B . Por consiguiente tenemos A A y su dirección es CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I v B=v A +v B (1.15) A Donde v B=Velocidad del punto B v A =Velovidad del puntobase A v B =Velocidad de B con respecto a A A Fig2 Lo que esta ecuación establece es que la velocidad de B ,(fig2.d), se determina al considerar que toda la barra se traslada con una velocidad de y que gira alrededor de A con una velocidad angular vectorial de estos dos efectos aplicada a B, resulta vB v A ,(fig3.e) ω ,(fig2.f). La adicción como se muestra en la (fig2.g). Como la velocidad relativa vB A representa el efecto del movimiento circular, alrededor A, este término puede expresarse por medio del producto vectorial vB A = ωr B A (ec-1.9).Po consiguiente para su aplicación mediante un análisis vectorial cartesiano, también podemos escribir la ecuación (1.15) como CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I v B=v A +ω × r B (1.16) A Donde: v B=Velocidad de B v A =Velocidad del puntobase A ω=Velocidad angular del cuerpo r B =Vector de posicion dirigido de Aa B A La ecuación de la velocidad (1,15)y (1,16) puede usarse de una manera práctica para estudiar el movimiento plano en general de un cuerpo rígido el cual esta o conectado por pasador, o en contacto con otros cuerpos en movimiento. Cuando se aplica esta ecuación, los puntos Ay B en general deben seleccionarse , como puntos en el cuerpo , o como puntos en contacto con cuerpos adyacentes que tienen un movimiento conocido .Por ejemplo, el punto A en el eslabón AB en la figura (2.2-a)debe moverse a lo largo de una trayectoria circular. Por consiguiente pueden establecerse las direcciones de vA y vB puesto que siempre son tangentes a sus trayectorias de movimiento (fig2,2-b).En el caso de la rueda mostrada (2.39.la cual sin deslizarse, el punto A en ella puede seleccionarse en el suelo. Aqui, la velocidad de A es cero (momentáneamente) puesto que en el suelo no se mueve .Además el centro de la rueda, B, se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal de modo que v B es horizontal. Procedimiento Para el Análisis La ecuación de la velocidad relativa puede aplicarse mediante análisis vectorial cartesiano o bien si se escriben directamente las ecuaciones de componentes escalares x Yy, Para su aplicación se sugiere el siguiente procedimiento. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Análisis Vectorial Diagrama Cinemático 1. Establezca las direcciones de las coordenadas x, y fijas y trace un diagrama cinemático del cuerpo .Indique en el las velocidades v A , v B de los puntos A y B, la velocidad angular ω posición relativa rB A 2. Si las magnitudes de , y el vector . v A , vB o ω son incógnitas pueden suponerse el sentido de estos vectores. Ecuación de Velocidad 1. Para aplicar v B=v A +ω × r B A , exprese los vectores en forma cartesiana y sustitúyalos en la ecuación. Evalué el producto vectorial y luego evalúelos componentes i, j respectivamente para obtener dos ecuaciones escalares. 2. Si la solución resulta en una respuesta negativa para una magnitud desconocida, indica que el sentido del vector es opuesto al que se muestra en el diagrama cinemático 1.6 Centro instantáneo de velocidad cero La velocidad de cualquier punto B localizado en un cuerpo rigido puede obtenerse de una manera muy directa al seleccionar el punto base A como un punto de velocidad cero en el instante considerado. En este caso, V A=0 v b v a * rB / A y por consiguiente la ecuación de velocidad, , se vuelve v b v a * rB / A . En el caso de un cuerpo que tenga movimiento plano general, el punto A asi seleccionado se llama centro instantáneo de velocidad cero (CI) y se ubica en el eje instantáneo de velocidad cero.Este eje siempre es perpendicular al plano de movimiento y la intersección del CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I eje con el plano define la ubicación del CI. Como el punto A coincide con el v b v a * rB / A CI, entonces , y por tanto el punto B se mueve momentáneamente alrededor del CI en una trayectoria circular, expresado de otra manera, el cuerpo parece girar alrededor del eje instantáneo, La v b rB / CI magnitud de VB es simplemente , donde es la velocidad angular del cuerpo. Debido al movimiento circular, la direccion de V B rB / CI siempre debe ser perpendicular a . Por ejemplo, el CI de la rueda de la bicicleta está en el punto de contacto con el suelo. Allí los rayos son un tanto visibles, mientras que en la parte superior de rueda se ve en borrosos, Si nos imaginamos que la rueda esta momentáneamente fija por medio de un pasador en este punto, se pueden v r determinar las velocidades de varios puntos con . Aquí las distancias radiales mostradas se deben determinar mediante la geometría de la rueda. Localización del CI. Para localizar el CI podemos partir del hecho de que la velocidad de un punto en el cuerpo siempre es perpendicular al vector de posición relativa dirigido desde el CI hacia el punto. Se presenta varias posibilidades: La velocidad VA de un punto A en el cuerpo y la velocidad angular del cuerpo se conocen, figura 16-18 a. En este caso, el CI se encuentra a lo largo de la línea trazada perpendicular a V A en A, de modo que la rA / CI VA / distancia de A al CI es observe que el CI queda arriba a la derecha de A puesto que VA debe provocar una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del CI. Las líneas de acción de dos velocidades no paralelas V A y VB se conocen. Figura 16-18b, Trace en los puntos A y B segmentos de línea perpendicular a VA y VB. . Al extender estas perpendiculares hasta su punto de intersección como se muestra, se localiza el CI en el instante considerado. La magnitud y dirección de dos velocidades paralelas V A y VB se conocen. En este caso, la ubicación del CI se determina por medio de triángulos proporcionales. En las figuras 16-18c y d se muestran algunos rA / CI V A / ejemplos. En ambos casos rB / CI VB / y . Si d es una CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I distancia conocida entre los puntos A y B. entonces en la figura 16-18c. rA / CI rB / CI d rA / CI rB / CI d y en la figura 16-18d. Cuando la tabla se desliza hacia abajo a la izquierda experimenta un movimiento plano general. Como las direcciones de las velocidades de sus ectremos A y B son conocidas el CI se localiza como se muestra. En este instante la tabla girará momentáneamente alrededor de este punto. Dibuje la tabla en otras varias posiciones y establezca el CI en cada caso. Dese cuenta que el punto seleccionado como el centro instantáneo de velocidad cero del cuerpo sólo puede ser utilizado en el instante considerado puesto que el cuerpo cambia de posición de un instante al siguiente. El lugar geométrico de los puntos que definen la ubicación del CI durante el movimiento del cuerpo se llama centroidal , figura 16-18ª, y por tanto cada punto en la centroidal actúa como el CI del cuerpo sólo por un instante. Aun cuando el CI puede ser utilizado con mucho provecho para determinar la velocidad de cualquier punto de un cuerpo, por lo general no tiene aceleración cero y en consecuencia no se le debe utilizar para determinar las aceleraciones de los puntos de un cuerpo. Procedimiento para el análisis La velocidad de un punto de un cuerpo sometido a movimiento plano general puede determinarse con referencia a su centro instantáneo de velocidad cero siempre que primero se establezca la ubicación del CI mediante uno de los tres métodos antes descritos. Como se muestra en el diagrama cinemático de la figura 16-19, nos imaginamos el cuerpo como “extendido y fijo por medio de un pasador” en el CI de modo que, en el instante considerado, gira alrededor de este pasador con su velocidad angular. La magnitud de la velocidad de cada uno de los puntos arbitrarios A, B y C en el cuerpo puede determinarse por medio de la ecuación V r , donde r es la distancia radial del CI a cada punto. La línea de acción de cada vector de velocidad v es perpendicular a su línea radial asociada r, y la velocidad tiene un sentido de dirección que tiende a mover el punto de una manera consistente con la rotación angular , de la línea radial, figura 16-19. Movimiento plano de un cuerpo rígido: CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I El análisis de este tema es importante ya que se aplicara en el diseño de engranajes, levas y mecanismos utilizados en muchas operaciones mecánicas. Es de gran importancia entender bien sobre cinemática, para poder aplicar las ecuaciones de movimiento, para identificar la relación de las fuerzas que actuantes con la velocidad del cuerpo en movimiento. El movimiento de un cuerpo rígido se da cuando todas sus moléculas se desplazan en un plano que contiene al centro de la masa, al que llamamos plano de movimiento. Existen tres tipos de movimiento plano de un cuerpo rígido, en orden de complejidad creciente, los cuales son: movimiento de traslación, movimiento de rotación y movimiento plano general. 1.1. Movimiento de traslación: Este tipo de movimiento ocurre cuando toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento. En la traslación de todas las moléculas que forman parte del cuerpo se mueven en trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas el movimiento se llama traslación rectilínea; si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea. En el caso de traslación rectilínea, todas las partículas del cuerpo se mueven a lo largo de líneas rectas paralelas, por tanto todos los puntos del cuerpo tendrán la misma velocidad y la misma aceleración durante el movimiento completo. 1.2. Movimiento de rotación: En este movimiento las moléculas que forman el cuerpo rígido realizan trayectorias circunferenciales cuyos centros están ubicados a lo largo del eje de rotación. Las únicas partículas que permanecen en el eje de giro no describen trayectorias circunferenciales. Por ejemplo se muestra un disco que experimenta movimiento rotacional respecto del eje indicado, de tal manera que el objeto sobre ella describe circunferencias respecto del eje, el cual pertenece fijo. Entonces decimos que el objeto experimenta un movimiento circunferencial. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I 1.3. Movimiento traslacional (movimiento plano general): Se da cuando un cuerpo rígido experimenta una combinación de traslación y rotación. El movimiento de traslación acurre dentro de un plano de referencia y el movimiento de rotación sobre un eje perpendicular al plano de referencia, por ejemplo: una rueda que gira sobre una pista recta, a lo largo de cierto intervalo, dos puntos dador P y O se habrán movido. Análisis de movimiento relativo: velocidad El movimiento plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de traslación y rotación. Para ver estos componentes por separado utilizaremos un análisis de movimiento relativo que implica dos conjunto de ejes de coordenadas. Es un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos. Una partícula se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. De estas definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos. Posición: Si rA es el vector posición referencia móvil medido desde el observador fijo, y r B es el vector posición del evento B, medido también desde el observador fijo, entonces también es posible localizar el evento desde el observador móvil, y el vector que localiza el evento es rB A , se lee "vector posición relativa de B medido por A". Consideremos dos partículas, A y B, que se mueven en el espacio y sean r A y r B sus vectores de posición con respecto al origen O de un CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I referencial dado. Los vectores de posición (relativa) de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por: r B / A=r B +r A Velocidad: La velocidad relativa entre dos cuerpos es el valor de la velocidad de un cuerpo tal como la mediría un observador situado en el otro. Denotaremos al valor la velocidad relativa del cuerpo B respecto al cuerpo A como v BA , la velocidad de dicha partícula se puede calcular con la derivada de su posición con respecto del tiempo. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial serán: - dr B dr A dr B / A = + dt dt dt - v A= dr A dt - v B= dr B dt CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I dr B - v B= A A dt v B=v A +v B A dr B El miembro v B= A vA A dt corresponde velocidad relativa representa una suma vectorial. La velocidad a la traslación del punto con A, mientras que la vB A se asocia con rotación de la placa en torno a Ayse mide con respecto a ejes centrados en A de orientación fija.Al denotar mediante ωk rB / A la velocidad angular orientación fija. - - el vector de posición de B relativo a A, y por v B =ω K x r B / A A v B =r ω A v B=v A +ω K x r B / A del punto con respecto a los ejes de CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I APLICACIONES 1. Un ferrocarril se mueve con velocidad constante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente está sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con un velocidad, relativa al ferrocarril, de 8 km/h. ¿Cuál es la velocidad absoluta del pasajero? vt = 25 CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Resolución vp : Velocidad absoluta del pasajero vt 8 : Velocidad absoluta del tren vp/t : Velocidad relativa del pasajero respecto al tren. vp = vp/t + vt Dibujaremos un diagrama de vectores que represente la ecuación anterior. La magnitud de la velocidad del pasajero es: v: √ 252+ 82 vp: 26.2 km/ h Y su dirección tan ∅= 8 25 ∅=17.7 ° 2. Un avión A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avión, B, viaja en línea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razón de 30 ft/s . Determine la velocidad y aceleración relativas del avión A respecto al B. V A=800 V B =500 V A/B Resolución La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B más la velocidad absoluta de B. vA = vA/B + Vb CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Con el diagrama de vectores que representa la ecuación anterior se muestra que: vA/B ¿ 1300 ft / s La aceleración de A es normal a la velocidad y su magnitud es 2 aA= V P 2 , aA= ft /¿s a A =85.4 ¿ 800 8000 , a A =80 ↓ 80 tan ∝= 30 2 B ; a B=30 → ∝=69.4 ° 3. Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30. ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil respecto al motociclista? 30 m/s 60° 100m Resolución Velocidad absoluta del automóvil Velocidad absoluta del motociclista Velocidad relativa del automóvil respecto al motociclista CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Por la ley de cosenos 2 2 v m =30 +40 −2 ( 30 ) 40cos 60° Por la ley de senos sen ∝ sen 60 = 30 v a/m ∝=46.0 ° ; 90 °−46° =44 ° 4. La banda de la figura es flexible, inex-tensible y no se desliza sobre ninguna de la poleas. La polea A, de 3 in de radio, gira a 120 rpm. Calcule la rapidez de una partícula cualquiera de la banda y la velocidad angular de la polea B, de 5 in de radio. Resolución v = w×r Donde : w= 120 × 2π 60 rad s = 4π rad s v= 37.7 in/ Como la expresión v = w×r puede emplearse con cualquiera de las poleas: wArA rpm = w B rB wB = wA r A rB = 120 × 3 5 wB = 72 CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I 5. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posición mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B. Resolución Como el disco se mueve con rotación pura: vA = w×r v A = 12 × 40 = 480 cm s La barra AB tiene movimiento plano general y su geometría se muestra en la figura. vB vB = vB +v A A = 40 cm w 1 ×r B A + 40 c vA 12 rad/s vB = w1k × ( 103.9 i−60 j )−480 j v B i = 60w i + 103.9 w1 j - 480 j A Que es una igualdad de dos vectores. Igualando las Componentes verticales se tiene: 60 cm 0= 103.9 w 1 - 480 30° w 1 = 4.62 rad ↑ s v B = 60 × 4.66 103.9 cm v B =277 cm/s B CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I 6. El collarín A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cuáles son, en ese mismo instante, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B. Resolución Para encontrar la posición del centro instantáneo de rotación, hacemos tanto en A como en B rectas perpendiculares a las velocidades de esos puntos; su intersección es el centro buscado. La velocidad angular de la barra es: v w= A = 30/12 rA w=2.5 rad → s Y la velocidad de B v B=w× r B v B=2.5 ×16 v B=40∈¿ s → 7. La rueda de la figura pertenece a una locomotora que viaja hacia la derecha a 72 km/h. Sabiendo que la rueda no patina sobre los rieles, determine su velocidad angular y las velocidades lineales de los puntos O, A, B y C. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Resolución Convertimos la velocidad a m/s 72 km 7.2 m m = =20 h 3.6 s s Como el punto o se mueve junto con la locomotora v 0 =20 A m s B 0 v 0 =20i Y la velocidad angular de la rueda es w= v 0 20 = r 0.4 w=50 rad s Utilizamos la ecuación de la velocidad relativa para determinar las velocidades de A, B y C v A =w × r A + v O O v A =40 m s v A =−50 k ×0.4 j+ 20i v A =20 i+ 20i = 40 i CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I v B=w× r B + v O v B=−50 k ×0.4 i+20 i O v B=√ 202 ×2 tan β= = 28.3 v C =w ×r C + v O 20 20 v B=−20 j+20 i β=45 ° v C =−50 k ×(−0.4 j)+20 i O v C =−20 i+20 i v C =0 8. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posición mostrada en la figura, la aceleración angular de la barra AB y la aceleración lineal del collarín B. Resolución Como la rapidez del disco es constante, la partícula A tiene una aceleración igual a su componente normal. a A =5760 a A =w 2 × r cm 2 s w =12 Utilizamos la ecuación del movimiento relativo a B=a B +a A 0.4m A 40cm 2 a B=a × r B −w1 ×r B + a A A A la velocidad angular de la barra, es 4.62 2 a B i= βk × ( 103.9i−60 j )−4.62 ( 103.9 i−60 j )−5760 i a B i=60 β +103.9 βj−2218 i+ 1281 j−5760 i aA A rad s CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I a B i=60 β −798i+103.9 β+ 1281 j Igualando las componentes en dirección del eje de las y . a1 w1 60cm 0=103.9 β +1281 β= −1281 =−12.33 103.9 β=12.33 rad s2 103.9cm aB B E igualando las componentes en dirección x a B=60 (−12.33 )−7978=−8720 a B=8720 cm s2 9. El collarín A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cuáles son, en ese mismo instante, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B. Resolución v B=v B +v A v B=w× r B + v A A v B i=wk × ( 12i−16 j )−30 j v B i=16 wi+12 wj−30 j A CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Igualando las componentes verticales 0=12 w−30 v B=16 ×2.5 w= 30 12 w=2.5 rad s v B=40 ¿ s 10. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posición mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B. Resolución La velocidad de A es vertical y se dirige hacia abajo, la de B, horizontal y hacia la derecha. El centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de las perpendiculares levantadas en A y B. Calculamos la magnitud de la velocidad de A. v A =w × r w A . B= vA 720 = r A 60 √ 3 v A =w A . B ×r B v B=416 cm s v A =12 ×60=720 w A . B=6.93 v B=6.93 ×60 rad s CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I 11. Un avión A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avión, B, viaja en línea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razón de 30 ft/s2. Determine la velocidad y aceleración relativas del avión A respecto al B. Resolución La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B más la velocidad absoluta de B. v A =v A +v B B Con el diagrama de vectores que representa la ecuación anterior se muestra que: ft V A =1300 s B La aceleración de A es normal a la velocidad y su magnitud es: aA= V2 ρ aA= 800 2 ; a =80↓ 8000 A Y la de B es: a B=30 → Entonces: a A = a A + aB B De la figura que representa la ecuación: CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I a A =√ 302 +802 B tanθ= 80 30 a A =85.4 B ft ; 69.4 ° s2 12. Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30. ¿Cuál es la velocidad relativadel automóvil respecto al motociclista? Resolución: v A =velocidad absoluta del automovil v M =velocidad absoluta delmotociclista v A =¿ M Velocidad relativa del automóvil respecto al motociclista v A = v A + vM M Como se trata de solo tres vectores, dibujamos un diagrama que represente la ecuación anterior: Por la ley de cosenos v A 2=302 +40 2−2 ( 30 ) cos 60° M CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I v A =36.1 M Por ley de senos senα sen 60 ° = 30 vA M α =46.0 ° ; 90 °−46.0°=44.0 ° v A =36.1 M m ; 44 ° s 13. Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30; el motociclista aumenta su rapidez a razón de 8 ft/s2 , mientras que el automóvil la reduce 5 m/s cada s. Calcule la aceleración relativa del automóvil respecto al motociclista. Resolución: Para determinar la aceleración relativa del automóvil respecto al motociclista, elegiremos un sistema de referencia como el de la figura; entonces: a A = ( a A )n + ( a A )t aA= 302 ( −isen30 °− jcos30 ° ) +5(icos 30 °− jsen30 °) 100 a A =−4.5 i−4.5 √3 j+2.5 √ 3 i−2.5 j CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I a A =−0.1699 i−10.29 j a M = ( aM ) n+ ( a M )t 2 aM= −40 i+8 j 100 a M =−16 i+ 8 j Aceleración relativa: a A = a A + aM M −0.1699i−10.29 j= a A −16 i+8 j M a A =15.83 i−18.29 j M a A =24.2 M m ; 49.1° 2 s 14. Una rueda gira con una aceleración angular constante de velocidad angular de la rueda es de En 2 rad seg . t 0=0 seg . a) Que ángulo barre la rueda durante 2 seg. 1 θ=w0∗t+ a∗t 2 2 3.5 rad seg2 . Si La CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I ( θ= 2 rad 1 rad ∗2 seg + 3.5 ∗ (2 seg )2 2 seg 2 seg ) θ=4+ ( ) 1 rad 3.5 ∗4 seg 2 2 2 seg ( ) θ=4 rad +7 rad θ=11 rad 360 ° → 2 π rad x → 11 rad x= 11 rsd∗360 ° =360.25 ° 2π b) cual es la velocidad angular en t= 3 seg w=w 0+ a∗t w=2 rad rad + 3.5 ∗3 seg seg seg 2 w=2 rad rad + 10.5 seg seg ( w=12.5 ( ) ) rad seg 15. La carga B se conecta a una polea doble mediante uno de los dos cables inextensibles que se muestra. El movimiento de la polea se controla mediante CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I el cable C, el cual tienes una aceleración constante de velocidad inicial de 10 5 pul seg2 y una pulg seg , ambas dirigidas hacia la derecha. Determine a) El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3 seg, B) la velocidad y el cambio de posición de la carga B después de 2 seg, y c) la aceleración del punto D sobre el borde de la polea interna cuando t=0. V =r ⋅ w0 pulg seg ( V D )0 = ( V C ) ¿ 0=¿10 10 pulg =( 3 pulg ) . w 0 seg 0=¿ 3.33 rad seg w¿ a=r ⋅ α ( a D )t =aC¿ 5 5 pulg seg 2 pulg =( 3 pulg ) .α 2 seg α =1.667 rad 2 seg a) El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3 seg w=w 0+ αt=3.33 rad rad rad + 1.667 ( 3 seg ) =8.331 2 seg seg seg ( ) CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I w=8.331 rad seg 1 rad 1 rad θ=w0∗t+ α∗t 2= 3.33 ( 3 seg ) + 1.667 ( 3 seg )2=17.49 rad 2 2 seg 2 seg ( ) ( ) θ=17.49 rad ⋕ de revoluciones=( 17.49 rad ) ( 21πrevrad )=8.75 rev B) la velocidad y el cambio de posición de la carga B después de 3 seg, ( V B =r ⋅w=( 5 pulg ) 8.331 V B =41.66 rad pulg =41.66 seg seg ) pulg seg ∆ Y B=r . θ=( 5 pulg )( 17.49 rad )=87.45 pulg ∆ Y B=87.45 pulg hacia arriba c) la aceleración del punto D sobre el borde de la polea interna cuando t=0 . ( a D )t =aC¿ 5 pulg seg 2 rad 2 pulg ( ) =33.27 ( a D )t =r D . w = 3 pulg 3.33 seg seg2 ( 2 0 pulg 33.27 ( seg ) tan ∅= 2 5 pulg seg 2 = 6.66 ) CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I ∅=81.46 ° a D . sin 81.46° =33.27 a D=33.64 pulg seg 2 pulg seg 2 Problema 16 Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M= -2·t Nm. Determinar la aceleración angular en función del tiempo la velocidad angular en función del tiempo el ángulo girado en función del tiempo. El momento angular inicial y en el instante t=18 s. Representar el momento M en función del tiempo. Comprobar que el impulso angular∫0tM⋅dt (área) es igual a la variación de momento angular. CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I La velocidad, aceleración tangencial y normal de un punto de la periferia del disco en dicho instante. Representar estas magnitudes. Resolución I - Momento de inercia I=12100⋅0.62=18 kgm2 Ecuación de la dinámica de rotación I·α=M, α=-t/9 rad/s2 la aceleración angular no es constante II- Calculamos la velocidad angular ω y el desplazamiento angular θ. Momento angular, L=Iω t=0, ω=175, L=3150 kgm2/s t=18, ω=157, L=2826 kgm2/s Impulso angular L−L0=∫t0tM⋅dt L−3150=∫0t(−2t)⋅dt L=3150−t2 kg⋅m2/s En el instante t=18 s, L=2826 kgm2/s La representación del momento M en función del tiempo t es una recta. El area del triángulo de la figura es −18⋅362=−324 Que es el impulso angular, igual a la diferencia entre el momento angular final e inicial Para t=18 s Aceleración Tangencial: at =α × R= ( −189 )× 0.6=−1.2 ms 2 Aceleración normal an =ω2 × R=1572× 0.6=−14789.6 m s2 CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I En la figura, se representa la velocidad, tangente a la trayectoria circular, la aceleración tangencial de signo contrario a la velocidad, y la aceleración normal dirigida hacia el centro. Problema 17 Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable. ¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno? ¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno? ¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor? .Calcular el trabajo Resolución: Velocidad constante del bloque v=0.08 m s Tensión de la cuerda, es el peso del bloque: F=2000·9.8=19600 kg Momento, M= F ×r M =19600·0.3 M =5880 N·m v Velocidad angular, ω= r CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I ω =0.08/0.3 ω 4 −1 = 15 ×rad . s Potencia, P= M × ω 4 P=¿ 5880 × 15 P=¿ 1568 W Trabajo, W= M × ϑ w=P .t w =1568·10 w =15680 J Problema 18 El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo. La velocidad angular de la polea en ese instante. Las tensiones de la cuerda. El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo. (Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético) Resolución: CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Escribimos las ecuaciones del movimiento Del movimiento cada uno de los bloques Del movimiento de rotación del disco 30⋅9.8−T1=30⋅a ( f =m. a , para el bloque de 20 kg ∑ ¿¿ T2−20⋅9.8=20⋅a ( f =m. a , para el bloque de 30 kg ∑ ¿¿ T1⋅0.1−T2⋅0.1=(125⋅0.12)α ( ∑ t=I × α ) La relación entre la aceleración de los bloques a y la aceleración angular α del disco es: a=α·0.1 Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.87 m/s2 Si el bloque de 30 kg cae 2 m partiendo del reposo. 1 2 2= a t 2 v =a .t v=2.73 m/s Balance energético En la figura se compara la situación inicial y la final y aplicamos el principio de conservación de la energía Emi=Emf 30⋅9.8⋅2=20⋅9.8⋅2+1220v2+1230v2+12(125⋅0.12)ω2 CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Relacionamos la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω del disco, v=ω·0.1 El resultado es v=2.73 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 19 Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace girar mediante una cuerda que pasa a través de una polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De la cuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como se muestra en la figura. El disco gira alrededor de un eje vertical en cuyo extremo hay una varilla de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitud perpendicular al eje y en cuyos extremos se han fijado dos esferas iguales de 2 kg de masa y 5 cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivo comienza a girar. Calcular: El momento de inercia del dispositivo. La aceleración del bloque. La velocidad del bloque cuando ha descendido 2 m partiendo del reposo (resolver este apartado por energías). Resolución Momento de inercia del dispositivo I=120.2⋅0.12+1120.75⋅0.22+2(252⋅0.052+2⋅ 2)=0.0475 kg⋅m2 Ecuación de movimiento de cada uno de los cuerpos T 2 ×0.1=Iα 2 ×T 1. .0 .07−T 2 ×0.07 0.1 CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I ( 120.5× 0.072 ) α ×13.9 .8−T 1=3 a Relación entre la aceleración a del bloque y las aceleraciones angulares del disco y de la polea a=α1·0.07= α2·0.1 El sistema de ecuaciones se reduce a T 2 =4.75 a T 1 − T 2 =0.25a29.4− T 1 =3 a a=3.675 m/s2 Si el cuerpo de 3 kg desciende 2 m partiendo del reposo 2=12at 2v=at v=3.83 m/s Balance energético CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I Principio de conservación de la energía Emi=Emf 3 ⋅9.8⋅2=123⋅v2+12Iω22+12(120.5⋅0.072 ) × ω2 Relación entre la velocidad v del bloque y las velocidades angulares del disco y de la polea Para el problema 01 B C u A v=ω1·0.07= ω2·0.1 El resultado es v=3.83 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica Problema 20 Un sistema mecánico está compuesto de una pieza que efectuá un movimiento de translación con una velocidad “u” y una barra AB de largo L y masa M, unida con esta pieza por medio de un eje que pasa por A. La barra gira alrededor del eje A en el sentido indicado con una velocidad angular Determinar la velocidad del centro geométrico C de la barra para una posición definida por el ángulo . RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I La barra efectúa un movimiento compuesto (planoparalelo). La velocidad del punto C se vrel compone de la velocidad “u” y la velocidad relativa cuyo módulo es L 2 vrel .R . La velocidad relativa del punto C respecto del punto A es perpendicular a la barra AB. r r v rel y u Los vectores forman entre si un ángulo . Aplicando el método del paralelogramo para adicionar dos vectores que forma entre su un ángulo 2 vc u 2 vrel 2.u.vrel .Cos 2 .L2 .L vc u 2.u. .Cos 4 2 2 B u C vrel A vC Resolución 01 2 .L2 vc u u..L.Cos 4 2 Observación: La velocidad del punto C depende de la medida del ángulo AB con la línea vertical, en cada que forma la barra instante de tiempo . CINEMÁTICA DE CUERPOS RIGIDOS DINÁMICA 2015-I