Cinemática MECANICA Campo de la Física que estudia el movimiento de los objetos y conceptos afines de fuerza y energía. CINEMATICA DINAMICA Es la descripción de cómo se mueven los objetos Estudia la fuerza y las causas que provocan que los objetos de muevan como lo hacen En este capitulo trataremos: La descripción de un objeto que se mueve SIN ROTACION (movimiento de traslación) a lo largo de una trayectoria en línea recta. Se escogerá un marco de referencia. Elegiremos el eje x como línea a lo largo del cual se llevara a cabo el movimiento. Si el movimiento es vertical, como para los objetos que caen, escogeremos el eje y. POSICION La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t). La posición de la partícula en cada instante está determinada por un vector que la señala. A medida que la partícula cambia de posición en el tiempo, el vector se desplaza con ella. La dependencia de r en el tiempo, se indica r = f (t). DISTANCIA.- Longitud de la trayectoria recorrida por un objeto. DESPLAZAMIENTO.- Es el cambio de posición de un objeto, es decir, que tan lejos esta el objeto de su punto de partida o referencia. La distancia es un ESCALAR El desplazamiento es un VECTOR. DISTANCIA ≠ DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENT O La posición del objeto está definida por su desplazamiento medido desde un punto O, u origen. El desplazamiento Δx puede relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional Δx=f(t) y ¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento? P, ti Trayectoria de ∆ r la partícula ri rf Q, tf El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de P a Q en ∆ t = tf -ti es igual al vector: O x ∆ r = r f - ri . A t 1 ∆r B t No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de 2 tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo Una persona camina 70 m hacia el este y luego da la vuelta y camina de regreso (oeste) una distancia de 30 m. ¿Cuál es la distancia total recorrida ? y ¿Cuál es el desplazamiento? Distancia Total = 100 m y Desplazamiento = 40m 70m Oeste o 40 m 30m X Este y Ejercicio № 2 Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 10m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=30m. ¿ Cual es el desplazamiento del objeto? ∆X = X₂- X₁ DESPLAZAMIENTO ∆x = 30 – 10 = 20 m X₁ o 10 20 X₂ 30 X (m) y Ejercicio № 3 Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 30m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=10m. ¿ Cual es el desplazamiento del objeto? ∆X = X₂- X₁ DESPLAZAMIENTO ∆x = 10 – 30 = -20 m X₂ o 10 20 X₁ 30 X (m) RAPIDEZ. MEDIA- Es la distancia total recorrida por un objeto a lo largo de su trayectoria, dividida por el tiempo que le toma recorrer esa distancia. VELOCIDAD MEDIA- Es el desplazamiento de un objeto dividido para el tiempo transcurrido durante el mismo. RAPIDEZ ≠ VELOCIDAD La Rapidez es un ESCALAR La Velocidad es un VECTOR. Vector velocidad media Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como: ∆r r( t 2 ) − r( t1 ) m Vm = = s ∆t t 2 − t1 y A La velocidad apunta en la t1 dirección del desplazamiento media misma vector r(t1) Vm r(t 2 ) ∆r B x Vm //∆r t2 Rapidez media La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado. ~ = distancia recorrida = ∆l vm tiempo empleado ∆t v m ≠ Vm • La rapidez media NO es un vector. • La rapidez media NO es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo). Δl Y(m) t1 t2 ∆r Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2] Δl : x(m) Ejemplo № 4 Una persona camina 70 m hacia el este y luego da la vuelta y camina de regreso (oeste) una distancia de 30 m. Asumir que la caminata tardó 70s en completarse. ¿Cuál es la rapidez promedio ? y ¿Cuál es la velocidad y promedio? Rapidez promedio = 100 m/70s = 1.4 m/s Magnitud velocidad promedio = 40m/70s= 0.57m/s 70m Oeste o 40 m 30m X Este Ejercicio № 5 Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 10m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=30m. ¿ Cual es la velocidad promedio del objeto, si ∆t = 10s? y ṽ= X₁ o 10 20 X₂ 30 X₂- X₁ t₂- t₁ V = 2 m/s hacia el Este VELOCIDAD PROMEDIO X (m) La dirección de la velocidad promedio es siempre la misma que la dirección del desplazamiento La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad media, ∆ r/∆ t, conforme ∆ t tiende a cero. Dirección Instantánea: de Velocidad El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula en el punto P. La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo y ∆r dr V ≡ lim = dt ∆t → 0 ∆t Dirección de v en P ∆ r3 Q’’ ∆ r2 ∆ r1 Q’ Q P x O Rapidez instantánea ∆r dr ~ = lim v(t) = ∆t →0 ∆t dt Δl t 1 t ∆r La rapidez 2 instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea ~ v(t) = v ( t ) ∆l dr ~ = lim v (t) = =v ∆t →0 ∆t dt Δl t1 ∆r t2 Si Δt →0 dr ∆l = ∆r La distancia que falta por recorrer para llegar a Durham es de 18 km medida a lo largo de la carretera, desde el punto en que aparece el letrero. El odómetro de un auto registra la rapidez instantánea que lleva el vehículo en un instante de tiempo. Ejemplo: Un muchacho se desliza con su patineta sobre la pista circular, desde O hasta B, como se indica en la figura 2.29. Si le toma 1,41 s recorrer su trayectoria, determine la velocidad media hasta este punto y la longitud de la trayectoria recorrida durante este tiempo OB ∆ r = 3 i - 3 j. m O R=3m B ∆r 3 3 v= = i− j ∆t 1.41 1.41 π r 3π S= = m 2 2 O 3m B ACELERACION MEDIA Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad ∆ v=v'-v y el intervalo de tiempo ∆ t=t'-t. La aceleración de un cuerpo es una función del tiempo. am V(t 2 ) −V(t 1 ) = t 2 −t1 m s 2 La aceleración instantánea, a, se define como el límite de la razón, ∆ v/∆ t, cuando ∆ t tiende a cero: La aceleración se produce por: 1.- Cambio en la magnitud del vector velocidad. 2.- Cambio en la dirección del vector velocidad. 3.- Cambio en la magnitud y dirección del vector velocidad. ∆v dv a ≡ lim = dt ∆t →0 ∆t La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t. a (t) = dV d( vτ) ˆ = dt dt v2 an = ρ 2 aτ 2 + an dv dτ ˆ a =τ +v ˆ dt dt a = a ττ + a n n ˆ ˆ dv aτ = dt dv v a= τ +v n ˆ ˆ dt ρ a= Movimiento rectilíneo a v ρ=∞ v2 an = =0 ρ dv a = aτ = τ ˆ dt aτ = 0 Movimiento circular uniforme v = v = cte a R ρ = R = cte v2 a = an = n = cte ˆ R v2 an = = cte R MOVIMIENTO RECTILINEO Se denomina movimiento rectilíneo, aquél movimiento cuya trayectoria es una línea recta. En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen. Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h durante los primeros 30 min de su trayectoria recta; luego aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30 s, su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un obstáculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s y se detiene. Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento hasta que se detiene. ∆t1 = 30 min = 30 min × 1h 1 = h 60 min 2 x = 100m = 100m× ∆t 2 = 30 s = 30 s × ∆t = 30 s = 30 s × 1 km 1 = km 3 10 m 10 v= ∆x desplazamiento total = ∆t tiempo total 1h 1 = h 3600 s 120 1h 1 = h 3600 s 120 v1 × ∆t1 + v2 × ∆t2 − x v= ∆t1 + ∆t2 + ∆t (10 km h ) (1 / 2 h) + (12 km h ) (1/120 h ) − (1 / 10 km ) v= 1 1 1 h+ h+ h 2 120 120 = 9.7 km/ h MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME La posición x del móvil en el instante t lo podemos ver en la representación de v en función de t. La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función velocidad Por tanto el desplazamiento será x ( t ) = x0 + v . t Donde x0 será la posición inicial del móvil. El gráfico adjunto representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si al tiempo t=0, la partícula se encuentra en la posición x= -100 m, ¿cuál es la posición de la partícula a los 15 s? Los gráficos mostrados representan el movimiento de una partícula en línea recta. ¿Cuál es la posición de la partícula a t=0? PROBLEMA Un auto A realiza un viaje de 200km a una rapidez media de 40 km/h. Otro auto B sale una hora mas tarde y llega al mismo lugar y al mismo tiempo que el auto A, Calcule la rapidez media del segundo Auto. SOLUCION t = DISTANCIA / VEL. tA =200/40= 5h tB = 5h - 1h= 4h VB = 200 / 4= 50 km/h. Un ciclista cruza un semáforo con una velocidad constante de 15 km/h. Después de 15 minutos un segundo ciclista pasa por el mismo semáforo pero a una velocidad de 40 km/h, en dirección a la meta situada a 10 km en línea recta a partir del semáforo. ¿Después de qué tiempo los dos ciclistas se encontrarán?. ¿Después de qué tiempo a partir de la llegada del primero que arribe a la meta llegará el siguiente? 1 / 4 h × 40 km h 2 t = t′ = = = h km ( 40 - 15) h 5 v 2 − v1 t p × v2 x m 10 km 2 t1 = = = h km v1 15 h 3 t2 = xm + v2 × t p v2 10 km + 40 km h × 1 / 4 h 1 = = h 40 km h 2 ∆ t = t1 - t2 = 0,67 h - 0,50 h = 0,17 h = 10 min Movimiento a Acelerado Pendiente = 0 a a O Uniformemente υ Pe n ie nd te = a at t υ 0 t υ υ 0 x(t) xo Ο pendiente = v(t) t v (t) = v o + at Pendiente = v0 t 1 2 x (t) − x o = v o t + at 2 Movimiento 0 Uniforme MRU a : dato 0 V = V0 + at at 2 x = x0 + V0t + 2 ax = 0 0 Rectilíneo a V V0 x x0 t t t Movimiento Parabólico MRU ay = −g V y = V0 y − gt 2 gt y = y0 + V0 y t − 2 x = x0 + V0 x t Eje x Vx = V0 x MRUV Eje y a -g a = −gˆ j v0 v tv/2 t x tv -v0 t H v = v 0 − gt tv t 1 2 y = y 0 + v 0 t − gt 2 M.R.U.A. Movimiento en línea recta en donde se produce un cambio del vector velocidad. M.R.U.A. Movimiento en línea recta en donde se produce un cambio del vector velocidad. Calculo de distancia recorrida, desplazamiento, rapidez y velocidad media en un MRUA v (m/s) v1 A1 t1 -v2 A3 A2 t2 t3 t (s) Distancia recorrida d =Σ Áreas (sin considerar signos) d= A1 + A2 + A3 d= v1t1 + ½(t2 –t1)v1 +½(t3 –t2)v2 Desplazamiento resultante D =Σ Áreas (considerar signos) D= A1 + A2 - A3 D= v1t1 + ½(t2 –t1)v1 -½(t3 –t2)v2 Rapidez media r = d/t =Σ Áreas (sin considerar signos) t Velocidad media v = D/t =Σ Áreas (considerar signos) t 3.-Dos cuerpos se mueven de acuerdo a la siguiente gráfica, partiendo desde el origen, encuentre que tiempo transcurre para que la separación entre ellos sea de 60 metros. X (m) a)14 s. b)1 min. c)0.5 min. d) 2 min. e) 50 s. 8 2 10 t(s) A B dA –dB = AA – AB = ½t(hA) -½t(hB)= ½t[vAt –vBt]= ½t2[vA-vB] =½t2[mA-mB] = 60 =½t2[8/10- 2/10] = 60 ⇒ t =[60(2)(10/6)]½= 14.14 s Aceleración en gráficas x vs t La gráfica x vs t tiene forma parabólica cuando se trata de un movimiento acelerado. La velocidad de la partícula se calcula en base a la pendiente de la línea tangente a la curva para un tiempo t. La aceleración media de la partícula se calcula en base a la expresión: Vmdia = ∆ v = vf –vo e ∆t ∆t Lo cual corresponde a la diferencia de los valores de pendiente entre dos puntos de la curva. Aceleración media vs aceleración instantánea El área representa la velocidad media en el intervalo de 0 a t x = vot + ½at2 Vf = vo + at Ecuaciones cinemáticas x= vot + ½at2 Vf = vo + at vf2= vo2 + 2ax vp = (vo + vf)/2 X = vpt (1) (2) (3) (4) (5) TIRO PARABÓLICO v= vxî +vyĵ v= voCosθ î +(vosenθ - gt) ĵ Vector Posición r r= vox t î + (voy t - ½gt2)ĵ r= (vocosθ )t î + (vosenθ t - ½gt2)ĵ Alcance y altura máxima Tiempo de subida ts Vy =0 en el punto máximo Vy = voy -gt ts= Voy /g Altura máxima Vy2 =voy 2 – 2gh hmx = voy 2 a 2g Tiempo de caída tc Es igual al tiempo de subida si el cuerpo llega al mismo nivel desde donde se lanzó tiempo de vuelo tv= ts + tc = 2ts Alcance R = vox tv Alcance máximo Ejercicio: Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resitencia del aire, determine el valor del ángulo de tiro α . Movimiento horizontal Vox = vo cos α = 240 cos α x = (240 cos α ) t 3600=(240 cos α ) t t= 3600 = 15 . 240 cos α cos α Movimiento vertical Y = voy t - ½gt2 ⇒ 600= 240sen α t - ½(9.81)t2 ⇒600= 240sen α (15) - ½(9.81) (15)2 cos α cos2 α ⇒ 1104 tg2 α - 3600tg α + 1704 = 0 tg α = 0.575 y tg α = 2.69 y α = 69.6º α = 29.9º