Cinematica Del Robot

March 26, 2018 | Author: Rodrigo Lpz | Category: Space, Systems Science, Physics, Physics & Mathematics, Systems Theory


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TEMA 4: CINEMÁTICA DEL ROBOTIngeniería de Sistemas y Automática Control de Robots y Sistemas Sensoriales Robótica Industrial ISA.- Ingeniería de Sistemas y Automática Cinemática del robot Cinemática directa Cinemática Inversa Matriz Jacobiana Robotica Industrial- Cinemática del robot 2 El problema cinemático de un robot s Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia – Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo – Relaciones localización del extremo del robot-valores articulares s Problema cinemático directo: Determinar la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot Problema cinemático inverso: Determinar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot s s Robotica Industrial- Cinemática del robot 3 γ) Cinemática Inversa Robotica Industrial.β.z.y.….q2.Cinemática del robot 4 .Relación entre cinemática directa e inversa Cinemática Directa Valor de las coordenadas articulares (q1.α.qn) Posición y orientación del extremo del robot (x. q4 . q6 ) Robotica Industrial. q5 . q3 . q5 . q5 . q2 . q4 . q5 . q3 . q2 . q4 . q3 . q2 . q3 . q2 . q2 .Resolución del problema cinemático directo con matrices de transformación homogéneas s Objetivo: Encontrar una matriz de transformación homogénea T que relacione posición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistema de referencia fijo situado en su base x = f x (q1 . q5 . q5 . q6 ) z = f z (q1 .Cinemática del robot 5 . q3 . q3 . q2 . q6 ) β = fβ (q1 . q4 . q6 ) α = fα (q1 . q6 ) γ = f γ (q1 . q4 . q4 . q6 ) y = f y (q1 . Modelo cinemático directo de un robot planar de 2 gdl x = l1 cos q1 + l 2 cos (q1 + q2 ) y = l1 sen q1 + l 2 sen (q1 + q2 ) Robotica Industrial.Cinemática del robot 6 . Cinemática del robot 7 .Las matrices de transformación AyT s s Matriz i-1Ai : matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot Conexión de matrices A: 0 A 3 = 0 A11 A 2 2 A 3 s Matriz T : matriz 0An cuando se consideran todos los grados de libertad del robot T= 0 A 6 = 0 A1 1 A 2 2 A 3 3 A 4 4 A 5 5 A 6 Robotica Industrial. 0. vector ai (0.Convenio de conexión de elementos contiguos de Denavit-Hartenberg s Transformaciones básicas de paso de eslabón: ‚ Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo θi ƒ Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di . d i ) T (a i .di) „ Traslación a lo largo de xi una distancia ai .Sα i Cα i 0 0 0 = 0  1 Robotica Industrial.0) T ( x .0.ai) … Rotación alrededor del eje xi un ángulo αi i-1 A i = T ( z.0. vector di (0. θ i ) T (0.0. α i ) Cθ i  Sθ i i −1 Ai =   0   0 Cθi  Sθ i =  0   0 − Sθ i Cθ i 0 0 0 0 1 0 − Cα i Sθi Cα i Cθi Sα i 0 0 0  1 0 0  0  1 d i  0  0 1  0 Sα i Sθi ai Cθi  − Sα i Cθi ai Sθi   Cα i di   0 1  0 1 0 0  0 0  1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 a i  1 0 0 0  0 Cα i  1 0  0 Sα i  0 1  0 0 0 .Cinemática del robot 8 . αi) – Dos distancias (di. ai) Robotica Industrial.Cinemática del robot 9 .Parámetros de Denavit-Hartenberg (I) s s s s Definen el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente Sólo dependen de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente (no dependen de la posición del robot) Definen las matrices A que permiten el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente y por tanto definen las matrices T Son 4: – Dos ángulos (θi. En el caso de articulaciones prismáticas. utilizando la regla de la mano derecha. medido en un plano perpendicular al eje xi. ai: Es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intersección del eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo.Parámetros de Denavit-Hartenberg (II) s s s s θi: Es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi medido en un plano perpendicular al eje zi-1. di: Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el eje xi. utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias. Robotica Industrial.Cinemática del robot 10 . se calcula como la distancia más corta entre los ejes zi-1 y zi. αi: Es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi. en el caso de articulaciones giratorias. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas. Cinemática del robot 11 .Parámetros de Denavit-Hartenberg para un eslabón giratorio Robotica Industrial. n (n=número de gdl).Cinemática del robot 12 .zi) donde i=1.2.…..yi.. Cada sistema de coordenadas corresponderá a la articulación i+1 y estará fijo en el elemento i ƒ Encontrar los parámetros D-H de cada una de las articulaciones „ Calcular las matrices Ai … Calcular la matriz Tn = 0A1 1A2 . n-1An Robotica Industrial.Obtención del modelo cinemático directo de un robot ‚ Establecer para cada elemento del robot un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (xi. el eje será su propio eje de giro. será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0.Algoritmo de Denavit-Hartenberg (I) s s s s s D-H 1. Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0 Robotica Industrial. Si ésta es rotativa..Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n D-H 3.Cinemática del robot 13 . D-H 5. Si es prismática..Localizar el eje de cada articulación... D-H 2.Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). D-H 4. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1 D-H 7. D-H 11.Cinemática del robot 14 .Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos...Para i de 1 a n-1.Obtener di como la distancia. situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi.. D-H 10.. medida a lo largo de zi-1..Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi . D-H 9. que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn .Algoritmo de Denavit-Hartenberg (II) s s s s s s D-H 6.. Robotica Industrial.Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi D-H 8. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}..Obtener las matrices de transformación i-1Ai DH 15.Cinemática del robot 15 ..Algoritmo de Denavit-Hartenberg (III) s s s s s DH 12. DH 14..Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremo del robot T = 0A1 1A2 . para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}..Obtener αi como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1).La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares Robotica Industrial. DH 16.... DH 13. n-1An. Modelo cinemático directo de un robot cilíndrico (I) Articulación 1 2 3 4 θ q1 90º 0 q4 d l1 d2 d3 l4 a 0 0 0 0 α 0 90º 0 0 Robotica Industrial.Cinemática del robot 16 . Cinemática del robot .Modelo cinemático directo de un robot cilíndrico (II) C1 S 1 0 A1 =  0  0 1 0 2 A3 =  0  0 − S1 C1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0  l1   1 0 1 1 A2 =  0  0 C4 S 4 3 A4 =  0  0 0 0 1 0 1 0 0 0  0 d2   0 1 − S4 0 C4 0 0 1 0 0 0 0 0 0  1 d3   0 1 0 0  l4   1 − S1C4  CC 1 4 T = 0 A11 A 2 2 A 3 3 A 4 =   S4   0 S1S 4 − C1S4 C4 0 C1 C1 ( d3 + l4 ) S1 S1 ( d3 + l4 )   0 d 2 + l1   0 1  17 Robotica Industrial. Modelo cinemático directo de un robot ABB IRB 6400C (I) Articulación 1 2 3 4 5 6 θ θ1 θ2 θ3-90 θ4 θ5 θ6 d 0 l1 0 l3 0 l4 a 0 0 -l2 0 0 0 α -90 90 90 -90 90 0 Robotica Industrial.Cinemática del robot 18 . Cinemática del robot .Modelo cinemático directo de un robot ABB IRB 6400C (II) C1 S 1 0 A1 =  0  0  S3 − C 3 2 A3 =   0   0 0 − S1 0 C1 0 0  − 1 0 0  0 0 1 0 − C3 0 − S3 1 0 0 0 − l2 S3  l2C3   0   1  C 2 S 2 1 A2 =  0  0 C4 S 4 3 A4 =  0  0 0 S2 0 − C2 1 0 0 0 0 − S4 C4 0 −1 0 0 0 0 0  l1   1 0 0  l3   1 C5 S 5 4 A5 =  0  0 0 S5 0 − C5 1 0 0 0 0 0  0  1 C6 S 6 5 A6 =  0  0 − S6 C6 0 0 0 0  l 1 4  0 1 0 0 19 Robotica Industrial. Modelo cinemático directo de un robot ABB IRB 6400C (III)  nx n y 0 1 2 3 4 5 T = A1 A 2 A 3 A 4 A5 A 6 =   nz  0 ox oy oz 0 ax ay az 0 px  py   pz   1 n x = ( C1 C2 S3 + S1C3 )( C4C5C6 − S4 S6 ) + C1S2 ( S 4C5C6 + C4 S6 ) + ( − C1C2C3 + S1S3 ) S5C6 n z = ( − S2 S3 )( C4C5C6 − S 4 S6 ) + C2 ( S4C5C6 + C4 S6 ) + S2C3S5C6 n y = ( − S1C 2 S3 + S1C3 )( C4C5C6 − S4 S6 ) + S1S2 ( S4C5C6 + C4 S6 ) + ( − S1C2C3 − C1S3 ) S5C6 ox = ( C1 C2 S3 + S1C3 )( − C4C5C6 − S4 S6 ) + C1S 2 ( − S4C5C6 + C4 S6 ) + ( − C1C2C3 + S1S3 )( − S5C6 ) oz = ( − S2 S3 ) ( − C4C5C6 − S4 S 6 ) + C2 ( − S4C5C6 + C4 S6 ) + S 2C3 ( − S5C6 ) oy = ( − S1C2 S3 + S1C3 )( − C4C5C6 − S4 S6 ) + S1S2 ( − S4C5C6 + C4 S6 ) + ( − S1C2C3 − C1S3 )( − S5C6 ) p x = ( C1 C 2 S3 + S1C3 )( l4C4 S5 ) + C1S2 ( l4 S4 S5 ) + ( C1 C2C3 + S1S3 )( − l4C5 + l3 ) + py = pz = (− l C C S − l S C − l S ) ( − S C S − C C )(l C S ) + S S ( l S S ) + ( − C C C − C S )( − l C (− l S C S − l C C + l C ) (.S S )(l C C ) + C (l S S ) + S C ( − l C + l ) + l S S 2 1 2 3 2 1 3 1 1 1 2 3 1 3 4 4 5 1 2 4 4 5 1 2 3 1 3 4 2 1 2 3 3 2 1 3 1 1 2 3 4 4 5 2 4 4 5 2 4 5 3 2 2 3 5 + l3 ) + Robotica Industrial.Cinemática del robot 20 . – Condiciones suficientes para que exista: ( ( Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en un punto (robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre sí (robot Elbow) Robotica Industrial.Cinemática Inversa s s s s Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial La resolución no es sistemática Depende de la configuración del robot (soluciones múltiples) No siempre existe solución en forma cerrada.Cinemática del robot 21 . z.γ).Cinemática del robot 22 .α. k = 1.….y.n Posibilidad de resolución en tiempo real ( Posibilidad de selección de la solución más adecuada ( Posibilidad de simplificaciones ( No siempre es posible ( Robotica Industrial.β.Posibilidades de solución del problema cinemático inverso ‚ ƒ Procedimiento genérico a partir de los parámetros D-H Método iterativo ( Problemas de velocidad y convergencia ( Búsqueda de solución cerrada: qk = fk (x. cuaterniones duales..Métodos de solución del problema cinemático inverso ‚ Métodos geométricos – Se suele utilizar para las primeras variables articulares – Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos) ƒ Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea – Despejar las n variables qi en función de las componentes de los vectores n. „ Desacoplamiento cinemático – En robots de 6 GDL – Separación de orientación y posicionamiento … Otros: álgebra de tornillo.Cinemática del robot 23 ..métodos iterativos. o. Robotica Industrial. a y p. Cinemática del robot 2 2 2 2 px + py + pz − l2 2 − l3 2l2l3 24 .Ejemplo de resolución de la cinemática inversa por métodos geométricos (I)  py  q1 = arctg   px  2 2 + py r 2 = px 2 2 = l2 r 2 + pz 2 + l 3 + 2l 2 l 3cos q 3   ⇒   cos q 3 = 2 2 2 2 + py + pz − l2 px 2 − l3 2l 2 l 3 sen q 3 = ± 1 − cos 2 q 3  ± 1 − cos2q  3 q3 = arctg   cos q3   con cos q3 = Robotica Industrial. Ejemplo de resolución de la cinemática inversa por métodos geométricos (II) q2 = β − α   pz  β = arctg  = arctg  ±  r   l sen q3  α = arctg 3   l 2 + l3 cos q3    2 2  px + py  pz  q2 = arctg ±   l 3 sen q 3   − arctg   2 2  l l c os q +  + py px 2 3 3  pz Robotica Industrial.Cinemática del robot 25 . Cinemática del robot 26 .Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partir de las matrices de transformación homogénea (I) A r tic . 1 2 3 θ q1 q2 0 d l1 0 q3 a 0 0 0 α 90º -9 0 º 0 C1 S 1 0 A1 =  0  0 0 S1 0 − C1 1 0 0 0 − S1 C1 0 0 C1C2 S C 1 2 0 A2 =   S2   0 0 0  l1   1 − C1S 2 − S1S2 C2 0 C2 S 2 1 A2 =  0  0 0 0  l1   1 0 0  0  1 C1C2 − S1 S C C1 1 2 T = 0 A3 =   S2 0  0  0 0 − S2 C2 0 −1 0 0 0 1 0 0 0  0 1 0 0  2  A3 =  0 0 1 q3    0 0 0 1  − C1S2 − q3C1S2  − S1S2 − q3S1S2   C2 q3C2 + l1   0 1  Robotica Industrial. Cinemática del robot 27 .Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partir de las matrices de transformación homogénea (II) C1 S1 0 0 −1 0 0 1 2 ( A1 ) T3 = A2 A3 =   S1 − C1  0 0 A3 T= 2 A3 ( A ) T= A ( A) ( A) 0 −1 1 1 1 −1 0 2 1 T = 0 A1 1 A 2 2 A 3 2 2 −1 C 2 S 2 = 0  0 0 − S2 0 C2 −1 0 0 0 0 1 0 0  0 0  1  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0   nx ox ax px  1 − l1   ny oy a y py  =  0 0   nz oz az pz    0 1  0 0 0 1  0  C2 0 − S2 − S2q3  C2 C2q3  0   S2 0  = q3   0 − 1 0 0     0 0 1  1  0  `py  S1 px − C1 py = 0 ⇒ tan ( q1 ) =    px  ⇒  ` py  q1 = arctan    px  q2 = arctan 2 2 + py px l1 − pz 2 2 + py q3 = C 2 ( pz − l1 ) − S2 px Robotica Industrial. α.y.Matriz Jacobiana Jacobiana Directa Velocidad de las articulaciones (q1.β.γ) .qn) Jacobiana Inversa Matriz Jacobiana: permite conocer las velocidades del extremo del robot a partir de las velocidades de cada articulación Robotica Industrial.q2.Cinemática del robot 28 velocidades del extremo del robot (x.z.…. q ) n 1 n ∂f  = ∑ xq i x 1 ∂qi n =∑ α 1 n ∂fα  q ∂qi i ∂f y  =∑ q i y 1 ∂qi n ∂f β  i β=∑ q 1 ∂qi n =∑ z ∂fz i q 1 ∂qi n ∂fγ  i γ =∑ q 1 ∂qi n 1   q x   y        z J = ⋅     α       β      n  γ q    ∂fx  ∂q  1  con J =      ∂fγ  ∂q  1    ∂fx  ∂qn        ∂fγ  ∂qn   Robotica Industrial. q ) β = f ( q . q ) x = fx ( q1 . q ) n 1 n z = f z ( q1 . . .Cinemática del robot 29 . q ) γ = f ( q . γ .Relaciones diferenciales . β . . q ) α = f ( q . α 1 n n y = f y ( q1 . Cinemática del robot 30 .Jacobiana de un robot SCARA x = l3C12 + l 2C1 y = l3S12 + l 2S1 z = l1 − q3 x   − ( l3S12 + l 2S1 ) − l3S12      =  l3C12 + l 2C1 l 3C12 y    0 0 z    q 1    2   q  3  − 1   q 0 0 Robotica Industrial. α . y .Cinemática del robot 31 . γ ) 1   q x          = J −1            n  q  γ    ∂f1  ∂x    J −1 =       ∂fn  ∂x  ∂f1  ∂γ             ∂fn     ∂γ      Robotica Industrial. β .Métodos de cálculo de la Jacobiana inversa s Inversión simbólica de la matriz jacobiana – Gran complejidad (matriz 6x6) s Evaluación numérica de J e inversión numérica – Necesidad de recómputo continuo – En ocasiones J no es cuadrada – En ocasiones | J | = 0 matriz pseudoinversa s A partir del modelo cinemático inverso q1 = f1 ( x . β . y . z . γ )  qn = fn ( x . α . z . Configuraciones singulares s s s s Aquellas en las que | J | = 0 (Jacobiano nulo) Incremento infinitesimal coordenadas cartesianas implica incremento infinito coordenadas articulares Implica pérdida de algún grado de libertad Tipos – Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot – Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot s Requieren su estudio y eliminación Robotica Industrial.Cinemática del robot 32 .
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