Cinemática de FluidosLínea, trayectoria tubo de corriente Flujo potencial Función de corriente Red de corriente Variable de Cauchy - Rieman 12 Flujo rotacional Flujo con variable compleja Ejemplos de aplicación Alumnos: • Neira Torres Kinberling • Urbano Macedo Greyg • Carrera Gonzales Leydi • Guerrero Crispin Alex • Giraldo Diaz Brayan LINEA DE CORRIENTE Las líneas de corriente son líneas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de fluidos. Debe observarse que la tangente en un punto a la línea de corriente nos da la dirección instantánea de la velocidad de las partículas del fluido, en dicho punto. Líneas de corriente Dos líneas de corriente nunca se cruzan entre si, cuando ocurre produciría un flujo inestable y turbulento. En la Figura. se muestra la forma de algunas líneas de corriente al colocarse diversos sólidos del flujo de fluidos . LINEA DE CORRIENTE Debido a que la velocidad en dirección normal a la línea de corriente no existe. entonces en la dirección perpendicular a la línea de corriente no existe flujo. TUBO DE CORRIENTE Es la parte de un fluido limitado por un haz de líneas de corriente. De igual forma ninguna partícula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo. Todas las partículas que se hallan en una sección de un tubo de corriente. al desplazarse continúan moviéndose por su sección sin salirse del mismo. . ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos permanente y unidimensional. en un tubo de corriente. unidimensional y compresible. mientras que en la sección (2) el área de la sección es A2 y la densidad es ρ2. Consideremos un sistema físico conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente. el área de la sección es A1 y la densidad ρ1. en tanto que la superficie de control coincide con las paredes del tubo . nos da la ecuación de continuidad. El volumen de control está representado por las letras I y R. Cerca de la sección (1) del tubo. como se muestra a través del tubo para un flujo permanente. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER. la ecuación de Bernoulli. la ecuación de la energía. La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de las partículas de un fluido . Otra de las ecuaciones que describen el movimiento de fluidos es la ecuación de Euler. la energía debida a la presión y la energía potencial gravitatoria debida a la elevación. Ecuación de Bernoulli Es una ecuación de importancia en la mecánica de los fluidos ideales (se desprecia las fuerzas de rozamiento. esto es 2 p1 v 2 p2 v 2 p v z1 1 z2 2 z H Cte 2g 2g 2g . el flujo debe ser estable e incompresible) y constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética debida al movimiento. Se obtiene integrando la ecuación de Euler. . Tubo Venturi Este medidor mostrado en la figura consiste en un tubo con un estrechamiento en forma gradual y un aumento también gradual practicado con la finalidad de evitar la formación de remolinos quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario (permanente). . asegurando que el campo de velocidades (que es un campo vectorial) del flujo de un fluido es igual al gradiente de una función potencial que determina el movimiento de dicho fluido: donde el campo de velocidades queda definido como: El signo menos en la ecuación de arriba es sólo una convención de signos sobre la definición de ∅ Puede definirse sin el signo menos. y la formulación que se obtendría sería la misma.Flujo potencial La teoría de flujo potencial pretende describir el comportamiento cinemático de los fluidos basándose en el concepto matemático de función potencial. que da lugar a un flujo potencial. A un fluido que se comporta según esta teoría se le denomina fluido potencial. y. Flujo bidimensional y sistema coordenado cartesiano Las componentes de la velocidad se pueden expresar mediante una función escalar (x.Función de corriente Ecuación de continuidad para un flujo incompresible: ·V=0.z) tal que: Reemplazando . Líneas de corriente son los puntos o líneas del flujo para los cuales la función de corriente es constante d=0 Relación usada para definir una línea de corriente. . Función de corriente satisface también la ecuación de Laplace. Aplicando continuidad al flujo entro dos líneas de corriente Expresando las componentes de la velocidad en función de la función de corriente Integrando El caudal (por u. . de profundidad) que pasa entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia del valor de la función de corriente asociada. Pendiente de una línea de corriente en un punto cualquiera: Pendiente de las líneas equipotenciales (=cte) se obtiende de d=0 Expresando las componentes de la velocidad en función de la función potencial . Esta condición se utiliza para representar un flujo gráficamente mediante una malla. .Multiplicando ambas pendientes: Las líneas decorriente y las equipotencialesse intersectan formando un ángulo recto. Las fuerzas elásticas han de ser consideradas cuando se modelan flujos de modelos compresibles. RELACIÓN DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS ELÁSTICAS (NÚMERO DE CAUCHY) Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes que un observador percibe en un sistema de referencia no-inercial. . Esta es la única diferencia a la hora de modelar flujos compresibles e incompresibles. NUMERO DE CAUCHY El número de Cauchy. C es un número sin dimensiones en dinámica de fluidos es utilizado en el estudio de flujos compresibles. Se obtiene a partir de: . Ecuaciones de Cauchy-Riemann Son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja. . y)=f(x+iy)=u(x. con z=x+iy. 𝑦0 = −𝑣𝑧 𝑥0 . 𝑦0 = 𝑣𝑦 𝑥0 . Descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v. f(z)=f(x. 𝑦0 . Sea una función compleja f(z). 𝑦0 𝑢𝑦 𝑥0 . Si la función f(z) es derivable en un punto 𝑍0 = 𝑋0 + 𝑖𝑌0 entonces deben verificarse: 𝑢𝑥 𝑥0 .y)+iv(x.y). 𝑦0 = 𝑣𝑦 𝑥0 . debe ser: 𝑓 ′ 𝑧0 = 𝑢𝑥 𝑥0 . 𝑦0 . 𝑦0 − 𝑖𝑢𝑦 𝑥0 . de existir. 𝑦0 + 𝑖𝑣𝑥 𝑥0 .Además se cumple que el valor de la derivada en el punto. para las velocidades ordinarias el movimiento del agua es rotacional El esquema muestra el diagrama de velocidades en un canal..Flujo rotacional Flujo rotacional e irrotacional. .Un flujo es rotacional si en su seno el campo de vectores rot v adquiere valores distintos de cero. para cada situación. En la práctica. . FLUJO ROTACIONAL. . Son ejemplos de este tipo los huracanes. Aquel flujo que presenta vórtices. Fluidos y variable compleja Un fluido estacionario en 2D se representa como dijimos por un campo de velocidades U (u. y v. Pero entonces (1) implica que (4) xx yy 0 O sea que ( x. y. ) Suponemos la condición de incompresibilidad (1) ux vy 0 y también la de no vorticidad (2) u y vx Esta implica que existe un potencial ( x. y ). v( x. v) con u ( x. y ) es una función armónica Además su armónica conjugada ( x. 24 . y ) también lo es. y ) tal que (3) x u. compleja se tiene F 1 (7) F ' ( z) i i x x x i y y 25 . y ) tal que (6) F ( z ) ( x. y ) y ( x. y ) i ( x. y ) son funciones armónicas. y ) Para la derivación real vs. Se llaman función potencial y función de corriente. Fluidos y variable compleja Tenemos pues que ( x. El hecho de que son conjugadas quiere decir que (5) y y x x y Estas son las condiciones de Cauchy-Riemann para que exista una función analítica de variable compleja F ( z ) F ( x. compleja se tiene dF F ' ( z )dz (a bi )( dx idy ) adx bdy i (bdy adx) luego cuando dy 0 se tiene dF F ' ( z )dx ( x ix )dx ( x i y )dx (u iv )dx. (u. el potencial complejo. y ) y ( x. u) (u. y ( x. y ) son funciones armónicas. Fluidos y variable compleja Tenemos pues que F (z ) es una función analítica. La velocidad conjugada es una función analítica 26 . v) (v. v) Para la derivación real vs. y ) tiene gradiente perpendicular al de ( x. y ) ( y . v) ux vy 0 Las trayectorias circulan por las lineas ( x. u ) (10) d (u. Fluidos y variable compleja Tenemos que ( x. x ) (v. y ) de forma que (9) (x . y ) constante 27 . incompresible e irrotacional. Fluidos y variable compleja Toda función analítica compleja tiene asociado un flujo bidimensional. F Re F . La correspondencia es biunívoca si el dominio es simplemente conexo. ) w F ( z ) 28 . v) Además toda función analítica compleja realiza una transformación conforme De un dominio del plano en su imagen sii no es singular. y ) z ( . U (u. F ' ( z) 0 ( x. . Ejemplos de aplicación AERODINAMICA Rama de la mecánica de fluidos que se ocupa del movimiento del aire y otros fluidos gaseosos. El investigador Fernández Larrañaga dice: "La aerodinámica es la principal aplicación de la mecánica de fluidos inducidos hacia el campo de los flujos con rozamiento. . y de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos que se mueven en dichos fluidos.lograr englobar todos estos conceptos y sus aplicaciones . y por lo tanto . con gases específicamente". las fuerzas que el viento ejerce sobre una estructura o el funcionamiento de un molino de viento.enfocados hacia la mecánica de fluidos. Algunos ejemplos del ámbito de la aerodinámica son el movimiento de un avión a través del aire. Todos los temas que se mencionaron anteriormente y que se relacionan con la aerodinámica. son las ramas que se derivan de la misma y que se deben de revisar para lograr un estudio amplio y completo de los fenómenos aerodinámicos .