CINEMÁTICAObjetivos de aprendizaje Resultado al que aporta - Concluir que el carácter del movimiento es independiente de la interacción de los cuerpos. - Los estudiantes aplican conocimientos actuales y emergentes de ciencia, matemática y tecnología. - Evaluar la relación existente entre el desplazamiento, velocidad y tiempo a partir del sistema de referencia elegido. - Los estudiantes aplican conocimientos actuales y emergentes de ciencia, matemática y tecnología - Concluir que la aceleración es el resultado de la variación de velocidad en un tiempo determinado - Los estudiantes identifican y analizan problemas, proponen y desarrollan soluciones. - Describir la relación entre desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo - Los estudiantes identifican y analizan problemas, proponen y desarrollan soluciones. - Resolver problemas diversos aplicados al movimiento aplicando el cálculo diferencial e integral. - Los estudiantes identifican y analizan problemas, proponen y desarrollan soluciones. Cinemática • Describe el movimiento ignorando los agentes causantes del movimiento • Por ahora, consideramos movimiento en una dimensión – A lo largo de una línea recta • Usaremos el modelo de partícula – Una partícula es un punto como un objeto, tiene masa infinitesimal Programa de Formación Regular 2 Posición • Definido en términos de un sistema de referencia – Unidimensional, generalmente los ejes x o y • La posición del objeto esta localizado con respecto al sistema de referencia Programa de Formación Regular 3 Grafica Posición-Tiempo • La grafica posición- tiempo muestra el movimiento de la partícula • La curva suave es una suposición como la que pasa entre los puntos de los datos Programa de Formación Regular 4 Desplazamiento • Definido como el cambio en la posición durante un intervalo de tiempo – Representado como Ax Ax = x f - x i – Las unidades en el SI son metros (m) Ax puede ser positivo o negativo • Diferente que la distancia – la longitud de un camino seguido por la partícula Programa de Formación Regular 5 Programa de Formación Regular 6 Vectores y Escalares • La cantidad vectorial necesita una magnitud (medida o valor numérico) y dirección para ser completamente descrito – Usaremos los signos + y – para indicar la dirección del vector • La cantidad escalar están completamente descrita solo por la magnitud Programa de Formación Regular 7 Velocidad Promedio • La velocidad promedio de la partícula se define como la razón de su desplazamiento y el intervalo de tiempo • Las dimensiones son longitud / tiempo [L/T] • Las unidades en el SI son m/s • Es también la pendiente de la grafica posición – tiempo f i promedio x x x v t t ÷ A = = A A Programa de Formación Regular 8 Rapidez promedioo • La rapidez es una cantidad escalar – Tiene las mismas unidades de la velocidad – Distancia total / tiempo total • La rapidez promedio no es (necesariamente) la magnitud de la velocidad promedio Programa de Formación Regular 9 Velocidad Instantánea • Es igual al valor limite del desplazamiento entre el intervalo de tiempo, conforme el intervalo de tiempo tiende a cero • La velocidad instantánea indica que esta pasando en cada instante de tiempo Programa de Formación Regular 10 Ecuación de la Velocidad Instantánea • La ecuación general para la velocidad instantánea es: • La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa, o cero 0 lim x t x dx v t dt A ÷ A = = A Programa de Formación Regular 11 Grafica de la Velocidad Instantánea • La velocidad instantánea es la pendiente de la línea tangente en la curva x vs. t • Eso seria la línea verde • Las líneas azules muestran como cuando At se hace mas pequeño, estas se aproximan a la línea verde Programa de Formación Regular 12 Rapidez instantánea • La rapidez instantánea es la magnitud de la velocidad instantánea • Recuerde que la rapidez promedio no es la magnitud de la velocidad promedio Programa de Formación Regular 13 Aceleración Promedio • La aceleración es la razón del cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo • Las dimensiones son L/T 2 • Las unidades en el SI son m/s² xf xi x x v v v a t t ÷ A = = A A Programa de Formación Regular 14 Aceleración Instantánea • La aceleración instantánea es el limite de la aceleración promedio conforme At se aproxima a cero 2 2 0 lim x x x t v dv d x a t dt dt A ÷ A = = = A Programa de Formación Regular 15 Grafica aceleración instantánea • La pendiente de la grafica velocidad vs. tiempo es la aceleración • La línea verde representa la aceleración instantánea • La línea azul es la aceleración promedio Programa de Formación Regular 16 • Partícula moviéndose a lo largo de una línea es decir realiza un movimiento rectilíneo. • Posición de la coordenada de una partícula es definida una distancia positiva o negativa desde el origen sobre una línea recta. • El movimiento de una partícula es conocida si la posición de coordenada es conocido para todos los valores del tiempo t. El movimiento de la partícula puede ser expresada en la forma de una función. Ejemplo. 3 2 6 t t x ÷ = Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración. Programa de Formación Regular 17 • La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa. La magnitud de la velocidad es conocida como su rapidez. • Considere una partícula el cual ocupa la posición P en el tiempo t y P’ en t+At, t x v t x t A A = = A A = ÷ A 0 lim Velocidad promedio Velocidad instantánea • Desde la definición de una derivada, dt dx t x v t = A A = ÷ A 0 lim 2 3 2 6 12 3 dx x t t v t t dt = ÷ = = ÷ Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración. Programa de Formación Regular 18 • Considere una partícula con velocidad v en el tiempo t y v’ en t+At, Aceleración instantánea t v a t A A = = ÷ A 0 lim 2 2 0 2 lim 12 3 12 6 t v dv d x a t dt dt dv v t t a t dt A ÷ A = = = A = ÷ = = ÷ • From the definition of a derivative, • La aceleración instantánea puede ser: Positiva: incrementa su velocidad positiva O decrece su velocidad negativa Negativa: decrece su velocidad positiva O incrementa su velocidad negativa. Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración. Programa de Formación Regular 19 Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración. • Consideremos una partícula con un movimiento dado por: 3 2 6 t t x ÷ = 2 3 12 t t dt dx v ÷ = = t dt x d dt dv a 6 12 2 2 ÷ = = = • en t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s 2 • en t = 2 s, x = 16 m, v = v max = 12 m/s, a = 0 • en t = 4 s, x = x max = 32 m, v = 0, a = -12 m/s 2 • en t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s 2 Programa de Formación Regular 20 Determinación del movimiento de una partícula • El movimiento de una partícula es conocido si la posición es conocida para todos los tiempos t. • Las condiciones de movimiento son especificadas por el tipo de aceleración experimentada por la partícula. Determinación de la velocidad y posición requiere dos integraciones sucesivas. • Tres clases de movimiento puede ser definido como: - Dado la aceleración como función del tiempo, a = f(t) - Dado la aceleración como función de la posición, a = f(x) - Dado la aceleración como función de la velocidad, a = f(v) Programa de Formación Regular 21 Determinación de movimiento de una partícula • Aceleración como función del tiempo, a = f(t): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } } } } } } = ÷ = = = = ÷ = = = = t t t x x t t t v v dt t v x t x dt t v dx dt t v dx t v dt dx dt t f v t v dt t f dv dt t f dv t f a dt dv 0 0 0 0 0 0 0 0 • Aceleración como una función de la posición, a = f(x): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } } } = ÷ = = = = = = = x x x x x v v dx x f v x v dx x f dv v dx x f dv v x f dx dv v a dt dv a v dx dt dt dx v 0 0 0 2 0 2 1 2 2 1 or or Programa de Formación Regular 22 • Aceleración como una función de la velocidad, a = f(v): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } } } } } } = ÷ = = = = = = = = = t v v t v v t x x t v v t t v v v f dv v x t x v f dv v dx v f dv v dx v f a dx dv v t v f dv dt v f dv dt v f dv v f a dt dv 0 0 0 0 0 0 0 Determinación de movimiento de una partícula Programa de Formación Regular 23 Movimiento rectilíneo uniforme Para una partícula en movimiento rectilíneo uniforme, la aceleración es cero y su velocidad es constante. 0 0 0 0 constante x t x dx v dt dx v dt x x vt x x vt = = = ÷ = = + } } Programa de Formación Regular 24 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Para una partícula en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la aceleración de la partícula es constante. 0 0 0 0 constante v t v dv a dv a dt v v at dt v v at = = = ÷ = = + } } ( ) 2 2 1 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 at t v x x at t v x x dt at v dx at v dt dx t x x + + = + = ÷ + = + = } } ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 1 0 0 2 2 2 0 0 constante 2 v x v x dv v a v dv a dx v v a x x dx v v a x x = = = ÷ = ÷ = + ÷ } } Programa de Formación Regular 25 Grafica del movimiento-desplazamiento-tiempo • La pendiente de la curva es la velocidad • La línea curvada indica que la velocidad esta cambiando – Por consiguiente, ahí existe una aceleración Programa de Formación Regular 26 Grafica del movimiento-velocidad-tiempo • La pendiente da la aceleración • La línea recta indica aceleración constante Programa de Formación Regular 27 Grafica de movimiento-aceleración-tiempo • La pendiente cero indica una aceleración constante Programa de Formación Regular 28 Movimeinto de varias partículas: movimiento relativo • Para partículas moviéndose a lo largo de la misma línea, el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial y los desplazamientos deberán ser medidos desde el mismo origen en la misma dirección. = ÷ = A B A B x x x Posición relativa de B con respecto a A A B A B x x x + = = ÷ = A B A B v v v Velocidad relativa de B con respecto a A A B A B v v v + = = ÷ = A B A B a a a Aceleración relativa de B con respecto a A A B A B a a a + = Programa de Formación Regular 29 Problema 01 Un cohete que lleva un satélite acelera verticalmente alejándose de la superficie terrestre. 1.15 s después del despegue, el cohete libra el tope de su plataforma de lanzamiento, a 63 m sobre el suelo; y después de otros 4.75 s, está a 1.00 km sobre el suelo. Calcule la magnitud de la velocidad media del cohete en a) la parte de 4.75 s de su vuelo; b) los primeros 5.90 s de su vuelo. Programa de Formación Regular 30 Problema 02 Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x de un letrero de alto está dada en función del tiempo t por la ecuación ��� ��� = ������ 2 −������ 3 , donde ��� = 1.50 ���/��� 2 y ��� = 0.0500���/��� 3 . Calcule la velocidad media del auto para los intervalos a) t = 0 a t = 2.00 s; b) t = 0 a t = 4.00 s; c) t =2.00 s a t = 4.00 s. Programa de Formación Regular 31 Problema 03 Un automóvil está parado ante un semáforo. Después viaja en línea recta y su distancia con respecto al semáforo está dada por ��� ��� = ������ 2 − ������ 3 , donde ��� = 2.40���/��� 2 y ��� = 0.120���/��� 3 . a) Calcule la velocidad media del auto entre el intervalo t = 0 a t = 10.0 s. b) Calcule la velocidad instantánea del auto en t = 0; t = 5.0 s; t = 10.0 s. c) ¿Cuánto tiempo después de arrancar el auto vuelve a estar parado? Programa de Formación Regular 32 Problema 04 Una pelota se mueve en línea recta (el eje x). En la figura se muestra la velocidad de esta pelota en función del tiempo. a) ¿Cuáles son la rapidez media y la velocidad media de la pelota durante los primeros 3.0 s? b) Suponga que la pelota se mueve de tal manera que el segmento de la gráfica después de 2.0 s era -3.0 m/s en vez de +3.0 m/s. En este caso, calcule la rapidez media y la velocidad media de la pelota. Programa de Formación Regular 33 Problema 05 Una tortuga camina en línea recta sobre lo que llamaremos eje x con la dirección positiva hacia la derecha. La ecuación de la posición de la tortuga en función del tiempo es ��� ��� = 50.0 ������ + 2.00 ������ ��� ��� − 0.0625 ������ ��� 2 ��� 2 . a) Determine la velocidad inicial, posición inicial y aceleración inicial de la tortuga. b) ¿En qué instante t la tortuga tiene velocidad cero? c) ¿Cuánto tiempo después de ponerse en marcha regresa la tortuga al punto de partida? d) ¿En qué instantes t la tortuga está a una distancia de 10.0 cm de su punto de partida? ¿Qué velocidad (magnitud y dirección) tiene la tortuga en cada uno de esos instantes? e) Dibuje las gráficas: x-t, v-t y a-t para el intervalo de t = 0 a t = 40.0 s. Programa de Formación Regular 34 Problema 06 La posición del frente de un automóvil de pruebas controlado por microprocesador está dada por ��� ��� = 2.17 ��� + 4.80 ��� ��� 2 ��� 2 − 0.100 ��� ��� 6 ��� 6 . a) Obtenga su posición y aceleración en los instantes en que tiene velocidad cero. b) Dibuje las gráficas x-t, v-t y a-t para el movimiento del frente del auto entre t = 0 y t = 2.00 s. Programa de Formación Regular 35 Problema 07 Según datos de pruebas efectuadas recientemente, un automóvil recorre 0.250 millas en 19.9 s, partiendo del reposo. El mismo auto, viajando a 60.0 mph y frenando en pavimento seco, se detiene en 146 ft. Suponga una aceleración constante en cada parte del movimiento, pero no necesariamente la misma aceleración al arrancar que al frenar. a) Calcule la aceleración del auto al arrancar y al frenar. b) Si su aceleración es constante, ¿con qué rapidez (en mi/h) debería estar viajando el auto después de acelerar durante 0.250 mi? La rapidez real medida es de 70.0 m/h; ¿qué le dice esto acerca del movimiento? c) ¿Cuánto tarda este auto en detenerse cuando viaja a 60.0 mi/h? Programa de Formación Regular 36 Problema 08 Un gato camina en línea recta en lo que llamaremos eje x con la dirección positiva a la derecha. Usted, que es un físico observador, efectúa mediciones del movimiento del gato y elabora una gráfica de la velocidad del felino en función del tiempo. a) Determine la velocidad del gato en t = 4.0 s y en t = 7.0 s. b) ¿Qué aceleración tiene el gato en t = 3.0 s? ¿En t = 6.0 s? ¿En t = 7.0 s? c) ¿Qué distancia cubre el gato durante los primeros 4.5 s? ¿Entre t = 0 y t = 7.5 s? d) Dibuje gráficas claras de la aceleración del gato y su posición en función del tiempo, suponiendo que el gato partió del origen. Programa de Formación Regular 37 Problema 09 La gráfica de la figura muestra la velocidad de un policía en motocicleta en función del tiempo. a) Calcule la aceleración instantánea en t = 3 s, en t = 7 s y en t = 11 s. b) ¿Qué distancia cubre el policía en los primeros 5 s? ¿En los primeros 9 s? ¿Y en los primeros 13 s? Programa de Formación Regular 38 Problema 10 La aceleración de un autobús está dada por ��� ��� = ������, donde ��� = 1.2 ���/��� 3 . a) Si la velocidad del autobús en el tiempo t = 1.0 s es 5.0 m/s, ¿cuál será en t = 2.0 s? b) Si la posición del autobús en t = 1.0 s es 6.0 m, cuál será en t = 2.0 s? c) Dibuje las gráficas: ax-t, vx-t y x-t para el movimiento. Programa de Formación Regular 39 Problema 11 La aceleración de una motocicleta está dada por ��� ��� ��� = ������ −������ 2 , con ��� = 1.50 ���/��� 3 y ��� = 0.120 ���/��� 4 . La motocicleta está en reposo en el origen en t = 0. a) Obtenga su posición y velocidad en función de t. b) Calcule la velocidad máxima que alcanza. Programa de Formación Regular 40 Problema 12 La posición de una partícula entre t = 0 y t = 2.00 s está dada por ��� ��� = 3.00 ��� ��� 3 ��� 3 − 10.0 ��� ��� 2 ��� 2 + 9.00 ��� ��� ���. a) Dibuje las gráficas x- t, vx-t y ax-t para la partícula. b) ¿En qué instante(s) entre t = 0 y t = 2.00 s está instantáneamente en reposo la partícula? ¿Coincide el resultado numérico con la gráfica vx-t del inciso a)? c) En cada instante calculado en el inciso b), ¿la aceleración de la partícula es positiva o negativa? Demuestre que en cada caso la misma respuesta se deduce de ax(t) y de la gráfica vx-t. d) En qué instante(s) entre t = 0 y t = 2.00 s no está cambiando la velocidad instantánea de la partícula? Ubique este punto en las gráficas vx-t y ax-t del inciso a). e) ¿Cuál es la distancia máxima de la partícula con respecto al origen (x = 0) entre t = 0 y t = 2.00 s? f ) ¿En qué instante(s) entre t = 0 y t = 2.00 s la partícula está aumentando de rapidez a mayor ritmo? ¿En qué instante( s) entre t = 0 y t = 2.00 s la partícula se está frenando a mayor ritmo? Ubique esos puntos en las gráficas vx-t y ax-t del inciso a). Programa de Formación Regular 41 Problema 13 Una pelota rígida que viaja en línea recta (el eje x) choca contra una pared sólida y rebota repentinamente durante un breve instante. En la figura, la gráfica vx-t muestra la velocidad de esta pelota en función del tiempo. Durante los primeros 2.00 s de su movimiento, obtenga a) la distancia total que se mueve la pelota, y b) su desplazamiento. c) Dibuje una gráfica ax-t del movimiento de esta pelota. d) ¿En los 5.00 s la gráfica que se muestra es realmente vertical? Explique su respuesta. 42 Programa de Formación Regular Problema 14 La posición de una partícula a lo largo de una línea recta es dado por ��� ��� = 1.5 ��� 3 −13.5 ��� 2 + 22.5 ��� ������ , donde t está en segundos. Determine la posición de la partícula cuando t=6 s y la distancia total durante el intervalo de 6 s. Programa de Formación Regular 43 Problema 15 La aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es dado por ��� ��� = 2��� −1 ���/��� 2 , donde t está en segundos. Si s=1 m y v=2 m/s cuando t=0 s, determine la velocidad de la partícula y la posición cuando t= 6 s. También, determine la distancia total de la partícula durante este intervalo de tiempo. Programa de Formación Regular 44