G.Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.1 34. CILINDRI IN PRESSIONE Equazioni del problema elastico In questo capitolo è esposto il problema elastico relativo a solidi geometricamente assialsimmetrici di forma cilindrica, spessore h costante, soggetti a carichi agenti parallelamente al piano ortogonale all’asse di simmetria. La geometria si presta ad essere descritta in coordinate cilindriche r, θ e l con il sistema di riferimento disposto come in fig.1. Un’ipotesi semplificativa è quella di considerare il problema come piano anche se in genere l’ipotesi è realmente verificata solo nel caso di elementi sottili (rapporto h/r e basso, con r e raggio esterno). Le equazione principali del problema elastico in coordinate cilindriche possono essere ottenute da quelle in coordinate cartesiane mediante una trasformazione di coordinate. Le equazioni di equilibrio e di compatibilità nel piano r-θ diventano rispettivamente: 1 0 r r r r F r r r θ θ σ σ τ σ θ − ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ 1 2 0 r r F r r r θ θ θ θ τ σ τ θ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ (34.1) r u r ε ∂ = ∂ 1 u v r r θ ε θ ∂ = + ∂ 1 r v v u r r θ γ θ θ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ (34.2) essendo σ r e σ θ le tensioni normali agenti in direzione radiale e circonferenziale (o tangenziale), τ rθ le tensioni tangenziali nel piano r-θ, ε r , ε θ e γ rθ le corrispondenti deformazioni, u e v gli spostamenti radiali e circonferenziali. In generale possono essere presenti anche tensioni e/o deformazioni longitudinali σ l ed ε l . Le equazioni costitutive nel caso assialsimmetrico possono essere derivate direttamente dalle (3.7) relative ad assi cartesiani sostituendo direttamente le componenti di deformazione (ε r , ε θ , γ rθ ) e di tensione (σ r , σ θ , τ rθ ) corrispondenti. Una ulteriore semplificazione può essere ottenuta nel caso in cui il problema elastico sia assialsimmetrico nel suo complesso, ipotesi che risulta verificata se: • la geometria dell’elemento è assialsimmetrica, • il materiale è isotropo o ortotropo assialsimmetrico, • il carico è assialsimmetrico. Nell’ipotesi di assialsimmetria tutte le grandezze emisimmetriche devono essere considerate nulle (τ rθ =γ rθ =v=0) e le altre risultano funzioni della sola variabile r. In molti casi la teoria esposta, basata sullo stato piano, può essere accettata per elementi con spessore leggermente variabile con legge h(r). La presenza di piccole irregolarità, come fori, attacchi ecc, rende l’ipotesi di geometria assialsimmetrica meno realistica, ma, in molti casi, ancora accettabile. Il teorema di Mitchell consente di affermare che, in assenza di forze di massa e sollecitazioni termiche, le ipotesi di tensioni e deformazioni piane portano a soluzioni coincidenti. Determinazione diretta dell'equazione di equilibrio radiale L’equazione dell’equilibrio radiale nel caso assialsimmetrico può essere ottenuta direttamente considerando l’equilibrio di un elementino delimitato da due archi di circonferenza di lunghezza rispettiva rdθ e (r+dr)dθ, con lati di lunghezza dr e altezza h costante. Nel caso di elementi in pressione l’unica forza di massa è il peso che può essere trascurato, per cui le forze agenti sono: 1. forze in direzione radiale dovute alle tensioni σ r : per r+dr: ( ) 1 r a r d dF dr r dr hd dr σ σ θ | | = + + | \ ¹ = (34.3) = r r r r d d h r d h dr d h r dr d h dr dr d dr dr σ σ σ θ σ θ θ θ + + + per r: 1 b r dF h r d σ θ = (34.4) Considerando positiva la direzione radiale uscente e attribuendo il segno negativo alla dF 1b , trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, la risultante delle forze dovute alle tensioni radiali è 1 r r d dF h dr d h r dr d dr σ σ θ θ = + (34.5) 2. forze in direzione radiale dovute alle tensioni σ θ : 2 2 sin 2 dF h dr d θ σ θ = (34.6) essendo sen dθ/2≈dθ/2 si ha: G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.2 2 dF h dr d θ σ θ = (34.7) Sommando tutte le forze col segno appropriato e dividendo per dV h r dr dθ = si ottiene 0 r r d dr r θ σ σ σ − + = (34.8) Determinazione diretta delle equazioni di compatibilità Nel caso assialsimmetrico le equazioni di compatibilità dipendono dall’unica funzione di spostamento diversa da 0, lo spostamento radiale u(r) e possono essere ricavate direttamente. Se u è lo spostamento di un punto a distanza r dal centro del cilindro, l'incremento del raggio coincide con esso e la deformazione radiale risulta data da: r du dr ε = (34.9) A seguito della deformazione tutti i punti appartenenti ad una circonferenza di raggio r, di lunghezza iniziale 2πr, si spostano in direzione radiale della stessa quantità u e la nuova lunghezza della circonferenza risulta 2π(r+u). La variazione di lunghezza della circonferenza risulta quindi essere 2π(r+u)−2πr=2πu e la deformazione circonferenziale ε θ , costante lungo la circonferenza stessa per l’ipotesi di assialsimmetria, può essere espressa, a sua volta, come rapporto tra la variazione e lunghezza iniziale: ( ) 2 2 2 r u r u r r θ π π ε π + − = = (34.10) L'allungamento circonferenziale può essere espresso come 2πrε θ . e l'incremento del raggio può essere espresso in funzione della deformazione circonferenziale invertendo la (10): = u r θ ε (34.11) L'equazione di congruenza interna mette in relazione ε θ ed ε r ed è data dalla seguente espressione: ( ) r d r du d r dr dr dr θ θ θ ε ε ε ε = = = + (34.12) Equazioni costitutive Le equazioni costitutive possono essere scritte in base alle due ipotesi possibili di stato di tensione piano e stato di deformazione piano. La prima ipotesi è adatta al problema dei dischi nei quali lo spessore longitudinale non è elevato. In questo caso, essendo nulla la tensione agli estremi, si può considerare tale anche lungo lo spessore, mentre il piccolo spessore permette la presenza di deformazioni longitudinali. La legge di Hooke per materiale omogeneo ed isotropo nel caso piano di tensione per σ l =0 fornisce: ( ) T E r α νσ σ ε θ θ + − = 1 ( ) T E r r α νσ σ ε θ + − = 1 (34.13,14) essendo α il coefficiente di dilatazione termica e T la variazione di temperatura. In forma matriciale le equazioni (13-14) assumono la forma: r θ l z y x P σθ σr+dσr σθ σr dθ Fm r r+dr Fig.34.1 – Sistema di coordinate cilindriche ed equilibrio dell’elementino di volume nel piano r-θ. σθ σθr dθ/2 r dθ/2 G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.3 1 1 1 1 1 r r T E θ θ ε σ ν α ε σ ν − ( ( ( ( = + ( ( ( ( − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ (34.15) La deformazione longitudinale per σ l =0 è data dalla seguente equazione indipendente ( ) l r T E θ ν ε σ σ α = − + + (34.16) Il caso di deformazione assiale nulla risulta verificata se essa è impedita da vincoli posti nelle sezioni di estremità che impediscono gli spostamenti longitudinali o nel caso di elementi di grosso spessore (longitudinale) ed elevati gradienti di tensione. In questo caso la tensione longitudinale è data dalla seguente espressione ( ) l r E T θ σ ν σ σ α = + − (34.17) Utilizzando la (17), il legame deformazioni-sforzi tra le variabili principali σ r , σ θ ed ε r , ε θ risulta espresso dalle seguenti equazioni: ( ) 1 1 r E T E θ θ ν ε νσ ν σ α + ( = − + − + ¸ ¸ ( ) 1 1 r r E T E θ ν ε ν σ νσ α + ( = − − + ¸ ¸ (34.18,b) In forma matriciale le equazioni (18) assumono la forma: ( ) 1 1 1 1 1 1 r r T E θ θ ε σ ν ν ν ν α ε σ ν ν − − ( ( ( ( + = + + ( ( ( ( − − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ (34.19) Soluzione La soluzione consiste nel determinare σ r , σ θ ed u funzioni di r. Per la determinazione delle tensioni abbiamo a disposizione l'equazione di congruenza (12) e l'equazione di equilibrio radiale (8); la funzione degli spostamenti può essere ottenuta successivamente mediante l’eq.(11). Per la determinazione delle tensioni è opportuno ricondursi ad un’equazione differenziale in una sola incognita. Utilizzando la formulazione agli spostamenti: • con le equazioni costitutive e le equazioni di congruenza si esprimono le tensioni in funzione degli spostamenti σ=σ(u); • si introducono le espressioni ottenute nell’equazione di equilibrio che, in questo modo, risultano espresse in funzione degli spostamenti. Formulazione alle tensioni (equazioni di Michell-Beltrami) Utilizzando la formulazione alle tensioni: 1. si scrive l’equazione di congruenza interna (12) in funzione delle tensioni sostituendo alle deformazioni le espressioni (15) o (19), 2. dall’equazioni di equilibrio (8) si ottiene l’espressione della tensione circonferenziale in funzione della tensione radiale e della sua derivata, 3. si sostituisce anche questa espressione nell’equazione di compatibilità ottenendo un’equazione in funzione della sola σ r che può essere risolta agevolmente. Stato di tensione piano Nel caso di stato di tensione piano si sostituiscono le espressioni delle deformazioni in funzione delle tensioni (13- 14) nell'equazione di congruenza (12) che viene così riscritta in termini di tensioni ( ) ( ) ( ) 1 1 1 r r r d E T E T r E T E E dr E θ θ θ σ νσ α σ νσ α σ νσ α − + − + = + − + (34.20) da cui ( )( ) 1 0 r r d d dT r r Er dr dr dr θ θ σ σ σ σ ν ν α − + + − + = (34.21) In assenza di variazioni di temperatura la (21) diventa ( )( ) 1 0 r r d d r r dr dr θ θ σ σ σ σ ν ν − + + − = (34.21b) Una di queste equazioni accoppiata all’equazione di equilibrio (8) fornisce un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle incognite σ r e σ θ . G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.4 Stato di deformazione piano Nel caso di stato di deformazione piano si sostituiscono le espressioni delle deformazioni in funzione delle tensioni (18a,b) nell'equazione di congruenza (12) che viene così riscritta in termini di tensioni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 r r r d E T E T r E T E E dr θ θ θ νσ ν σ α ν ν ν σ νσ α νσ ν σ α ¦ ¹ ( − + − + + + ¦ ¦ ¸ ¸ ( − − + = − + − + ´ ` ¸ ¸ ¦ ¦ ¹ ) (34.22) da cui ( ) 0 1 = + − − + − dr dT r E dr d r dr d r r r α σ ν σ ν σ σ θ θ (34.23) In assenza di variazioni di temperatura la (23) diventa ( ) ( ) 0 1 = − − + − dr d r dr d r r r σ ν σ ν σ σ θ θ (34.23b) Una did queste equazioni accoppiata all’equazione di equilibrio (8) fornisce un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle incognite σ r e σ θ . Soluzione per spessore costante in assenza di forze di massa e dilatazione termica Il caso di spessore costante, assenza di forze di massa e dilatazione termica è utile a descrivere il caso di cilindri sottoposti a pressione interna ed esterna. L’equazione differenziale che si ottiene è l’omogenea associata alle equazioni che si ottengono nei casi in cui sono presenti forze di massa e dilatazioni termiche. In questo caso le soluzioni (le funzioni σ r e σ θ ) per stato di tensione e deformazione piano coincidono. Le equazioni a disposizione per la soluzione in termini di tensione sono l’equazione di congruenza in termini di tensioni (21b) o (23b) e l’equazione di equilibrio (8). Per la soluzione è opportuno scrivere l'equazione di congruenza (21b) in termini della sola σ r con i due seguenti passaggi: 1. si ottiene σ θ dall'equazione di equilibrio (8), 2. si sostituisce l’espressione ottenuta nell'equazione di congruenza (21b). Portando la σ θ al primo membro della (8) e moltiplicando ambo i membri per r si ottiene dr d r r r σ σ σ θ + = (34.24) Sostituendo la tensione (24) nella (21b) si ottiene: 0 3 2 2 = + dr d r dr d r r σ σ (34.25) La (25) è una equazione omogenea a variabili separabili; ponendo f=dσ r /dr si può scrivere 3 d f f dr r = − , r dr f df 3 − = (34.26,27) ottenendo C r dr d r + − = ln 3 ln σ ln 3ln 3ln r d r C r C dr e e e e σ − + − = = 3 C r d e r dr σ − = (34.28a-c) Integrando ulteriormente si ottiene 3 1 3 1 C r r e A σ − + = + − + 2 1 2 C r e A r σ = − (34.29a,b) Infine, ponendo B=e C /2 nella (29b) e sostituendo l’espressione ottenuta nella (24) si ottiene rispettivamente: 2 r B A r σ = − 2 B A r θ σ = + (34.30,31) Si osserva che la somma delle tensioni radiali e circonferenziali è ovunque costante (σ r +σ θ =2A): questo implica che in caso di stato piano di tensione, la deformazione assiale (16) risulta costante in tutti i punti del piano. Le costanti A e B possono essere determinate nei vari casi imponendo che le (30,31) rispettino le equazioni di equilibrio al contorno, cioè assumano valori opportuni ai raggi interno ed esterno. G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.5 Cilindri in pressione Le equazioni presentate nei seguenti paragrafi sono valide per tubi e serbatoi cilindrici soggetti a pressione interna e/o esterna. Introducendo le tensioni espresse mediante le (30-31) nella (16) è possibile vedere che la deformazione longitudinale ottenuta è costante al variare del raggio, cioè tutti punti del cilindro, a causa delle sole tensioni radiali e circonferenziali, sono soggetti alla stessa deformazione longitudinale. In questo caso, nonostante lo spessore longitudinale possa essere elevato, poiché non vi sono zone indeformate che si oppongano alla deformazione longitudinale delle zone più sollecitate nel piano, in assenza di sollecitazioni esterne o di vincoli in direzione longitudinale, la σ l risulta nulla e si verifica lo stato piano di tensione. Nel caso dei tubi si considera l’elemento come indefinito nel senso della lunghezza e la presenza di una σ l dipende solitamente da eventuali vincoli posti sulle sezioni estreme. Nel caso dei serbatoi la presenza dei fondi crea una tensione longitudinale costante σ l nello spessore, indipendente da quella radiale e circonferenziale. Il problema elastico rimane piano per la determinazione di σ r e σ θ (variabili principali del problema) e la tensione σ l può essere determinata a parte. La geometria viene descritta dai seguenti parametri: • r e raggio esterno, • r i raggio interno, • β=r i /r e , con β<1, • ρ=r/r e , essendo β ≤ ρ ≤ 1. In particolare la variabile adimensionale ρ sarà utilizzata al posto di r, in modo da rendere β l’unico parametro necessario a descrivere la geometria del cilindro. Nelle espressioni ottenute nel seguito, la pressione agente deve essere introdotta utilizzando come unità di misura il Megapascal [MPa=N/mm 2 ]. In appendice è riportata una tabella di conversione tra le unità di misura più utilizzate per quantificare la pressione. Tensione longitudinale L'equazione di equilibrio tra la forza dovuta alle tensioni longitudinali agenti nello spessore (r e −r i ) e la forza agente su uno dei fondi è: ( ) ( ) 2 2 2 2 e e i i i e i e l r p r p r r r r − = − | ¹ | \ | + π π σ (34.32) da cui si ricava 2 2 1 β β σ − − = e i l p p (34.33) Pressione esterna Nel caso di pressione esterna agente le condizioni al contorno da imporre alle (30,31) sono le seguenti: σ r =−p e r=r e (ρ=1) σ r =0 r=r i (ρ=β) (34.34) Imponendo tali condizioni nelle (30,31) e p A B − = − 2 0 β B A− = (34.35) si ottiene 2 1 1 e A p β = − − 2 2 1 e B p β β = − − (34.36,37) Le espressioni delle tensioni al variare di ρ (fig.2a) sono date da: | | ¹ | \ | − − − = 2 2 2 1 1 1 ρ β β σ e r p | ¹ | \ | + − − = 2 2 2 1 1 1 ρ β β σ θ e p 2 1 1 β σ − − = e l p (34.38-40) Tutte le tensioni agenti risultano negative e la tensione massima è quella circonferenziale agente al bordo interno. G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.6 Tensioni massime ed equivalenti Le tensioni radiali e circonferenziali massime agenti nello spessore del cilindro sono: σ r e p = − r=r e , 2 1 2 β σ θ − − = e p r=r i . (34.41,42) Il punto critico in genere si trova sul diametro interno (ρ=β) dove le tensioni sono: σ r = 0 2 1 2 β σ θ − − = e p 2 1 1 β σ − − = e l p (34.43-45) Considerando che la massima tensione principale è la σ θ e che la tensione tangenziale massima agisce nel piano θ-r, il criterio di Navier per i materiali fragili e il criterio di Tresca per i duttili, forniscono la stessa tensione equivalente 2 1 2 β σ σ θ − = = e e p (34.46) Introducendo la tensione ammissibile σ am è possibile determinare il valore di progetto da assegnare a β: 2 1 e am p β σ = − (34.47) In alternativa, il criterio di Von Mises per materiali duttili e tensioni longitudinali diverse da 0 fornisce: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 2 1 1 1 1 e e p σ β β β β ( | | | | | | = + + − + + + ( | | | − − − − ( \ ¹ \ ¹ \ ¹ ¸ ¸ 2 3 1 e p β = − (34.48) Dalla (48) può essere ricavato il seguente valore di progetto per β: 1.732 1 e am p β σ = − (34.49) Spostamenti radiali La funzione degli spostamenti radiali può essere ricavata dalle (11) e (13) ( ) r r u r E θ θ ε σ νσ = = − (34.50) dalla quale, introducendo le (38) e (39), si ottiene: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 e e u p r E ρ β ν ν ρ β ( = − − + + ( − ¸ ¸ (34.51) Pressione interna Operando come nel caso precedente, cioè imponendo le opportune condizioni al contorno (σ r =−p i per ρ=β e σ r =0 per ρ=1), si ottengono le seguenti espressioni delle tensioni al variare di ρ per pressione interna: 2 2 2 1 1 1 r i p β σ β ρ | | = − − | − \ ¹ 2 2 2 1 1 1 i p θ β σ β ρ | | = + | − \ ¹ 2 2 1 l i p β σ β = − (34.52-54) In fig.2b è mostrato l’andamento delle tensioni radiali e tangenziali normalizzate al valore della pressione interna p i , insieme alla tensione equivalente di Tresca per il caso di β=0.625. E’ facile notare come la tensione circonferenziale risulti positiva e maggiore in valore assoluto rispetto a quella radiale, con valore massimo al contorno interno. In fig.3 sono mostrati andamenti delle tensioni radiali e circonferenziali normalizzate al valore della pressione interna p i al variare del raggio r per cilindri con r i =1 e diversi valori di β. È possibile notare come le tensioni circonferenziali crescano notevolmente al crescere di β e quindi al diminuire dello spessore del cilindro, mentre per le tensioni radiali si ha sempre −1<σ r /p i <0 dovendo essere rispettate le condizioni al contorno. G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.7 Tensioni massime ed equivalenti Le massime tensioni in valore assoluto si hanno sulla superficie interna dove ρ=β e le loro grandezze sono: σ r i p = − 2 2 1 1 β β σ θ − + = i p 2 2 1 β β σ − = i l p (34.55-57) La σ θ al bordo interno risulta sempre la massima tensione per qualsiasi valore di β. Essa tende al valore p i per β→0 (spessore→∞) e ad infinito per β→1 (spessore→0) (fig.4). La tensione tangenziale massima agisce nel piano r-θ, essendo le tensioni circonferenziali e radiali di segno opposto. Per materiali duttili, il criterio di Tresca (fig.2b) fornisce la seguente tensione equivalente al bordo interno 2 2 2 1 2 1 1 e r i i i p p p θ β σ σ σ β β + = − = + = − − (34.58) Introducendo la tensione ammissibile σ a , è possibile determinare il valore di progetto da assegnare a β: 2 1 i a p β σ = − (34.59) Il criterio di Von Mises, per tensioni longitudinali diverse da 0, fornisce la seguente tensione equivalente ( ( ¸ ( ¸ | | ¹ | \ | + − + + | | ¹ | \ | + − + | | ¹ | \ | − − − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 β β β β β β β β σ i e p 2 1 3 β − = i p (34.60) che consente di determinare il valore di progetto da assegnare a β con la seguente espressione: 1.732 1 i am p β σ = − (34.61) Nel caso dei materiali fragili la tensione equivalente di Navier al bordo interno coincide con la sola σ θ (56) e l’equazione di progetto diventa am i am i p p σ β σ − = + (34.62) Spostamenti radiali La funzione degli spostamenti radiali può essere ottenuta operando come nel caso precedente: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 i e u p r E ρ β ν ν ρ β ( = − + + ( − ¸ ¸ (34.63) 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Circonferenziale Radiale Tresca 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Circonferenziale Radiale Tresca (a) (b) Fig.34.2 - Tensioni normalizzate (σ/pi) radiali, circonferenziali ed equivalenti di Tresca in cilindri soggetti a pressione esterna (a) ed interna (b) nel caso di β=0.625. σ/p e σ/p e ρ ρ σ e =|σ θ | σ e =|σ θ −σ r | σ r σ θ σ θ σ r β β G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.8 Pressione esterna ed interna In caso di simultanea presenza di pressione esterna ed interna le tensioni radiali e circonferenziali possono essere ottenute mediante la sovrapposizione degli effetti, ottenendo le seguenti espressioni: ( ) 2 2 2 2 1 1 i e r i e p p p p β σ β β ρ ( − = − − ( − ¸ ¸ ( ) 2 2 2 2 1 1 i e i e p p p p θ β σ β β ρ ( − = − + ( − ¸ ¸ (34.64,65) La tensione radiale al raggio interno e al raggio esterno è data da: i r p − = σ (ρ=β) e r p − = σ (ρ=1) (34.66a,b) La tensione circonferenziale ai raggi interno ed esterno è data rispettivamente da: ( ) 2 2 1 2 1 i e p p θ β σ β + − = − ( ) 2 2 2 1 2 1 e i p p θ β β σ β + − = − − (34.67a,b) Lo spostamento radiale vale: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 i e e i e p p r u p p E β ρ ν β ν ρ β ( − = − − + + ( − ¸ ¸ (34.68) Cerchiatura Nel caso di pressione elevata l'aumento dello spessore non è sempre sufficiente ad evitare la crisi del materiale al bordo interno del cilindro. Nel caso di pressione interna, la relazione (61) non fornisce soluzioni se p i >σ a /1.732 e valori della pressione vicini a tale livello a producono valori di β tendenti a 0 (cioè r e →∞). In fig.4 è possibile osservare l’andamento delle tensioni circonferenziali e di Tresca (normalizzate rispetto alla pressione), agenti al bordo interno di un cilindro sollecitato a pressione interna, al variare del rapporto β. Si nota come, per β→0 (r e →∞), la tensione circonferenziale non scende al di sotto di p i e, conseguentemente, la σ e di Tresca al di sotto di 2p i . Elevate pressioni interne possono essere sopportate mediante la cosiddetta cerchiatura che consiste nel forzare un cilindro esterno sul primo. Con riferimento alla fig.5, il cilindro esterno (2) deve avere un raggio interno r i2 leggermente inferiore al raggio esterno del cilindro interno (1) r e1 (cioè r e1 >r i2 ); la differenza tra tali raggi δ=r e1 −r i2 è definita interferenza. Per eseguire l’operazione di forzamento si genera una differenza di temperatura fra i due cilindri che rende temporaneamente r e1 <r i2 . Dopo il montaggio e il successivo raggiungimento dell'equilibrio termico i due raggi diventano coincidenti (cioè r e1 =r i2 ): il cilindro interno risulta contratto e quello esterno dilatato. Tale deformazione è legata ad una pressione p f al contatto tra i cilindri (tipicamente tale da rendere praticamente impossibile lo smontaggio; questo è lo stesso metodo con il quale si calettano i mozzi sugli alberi). La pressione p f viene vista come pressione esterna dal cilindro interno e viceversa; nel cilindro interno, in particolare, le tensioni circonferenziali dovute al forzamento sono di compressione e si sottraggono a quelle dovute alla pressione (interna) di esercizio rendendo lo stato tensionale meno severo. I punti critici dell’accoppiamento sono ai raggi interni di entrambi i cilindri, poiché la pressione di forzamento può risultare eccessiva per il cilindro esterno. Per il massimo sfruttamento del materiale, il forzamento deve essere effettuato in modo che le tensioni equivalenti in detti punti siano uguali tra loro e pari alla tensione ammissibile. In aggiunta alle ipotesi formulate è necessario assumere che i due cilindri abbiano la stessa lunghezza. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 β σ/pi σe σθ 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 0 2 4 6 8 10 β=0.91 β=0.88 β=0.81 β=0.63 σ/pi r Fig.34.3 – Tensioni radiali e circonferenziali normalizzate in funzione Fig.34.4 – Tensioni di Tresca e circonferenziali per pressione interna di r per diversi valori di β con ri=1. σθ linea continua, σr linea per ρ=β, al variare di β. punteggiata. G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.9 Interferenza e pressione di forzamento Siano r i1 ed r e1 i raggi interno ed esterno del cilindro interno (1) ed r i2 , r e2 i raggi interno ed esterno del cilindro esterno (2). Come detto l’interferenza δ provoca una pressione di forzamento p f fra i due cilindri al raggio r e1 =r i2 che viene vista come esterna dal cilindro interno e viceversa. Ci si propone di determinare la relazione tra p f e δ. Siano: • δ e1 la diminuzione del raggio esterno del cilindro interno in base all’eq.(51) ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 f e e p r u E β δ ν β | | + = = − − | − \ ¹ (34.69) • δ i2 l'incremento del raggio interno del cilindro esterno in base all’eq.(68) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 f e i p r u E β β δ ν β | | + = = + | − \ ¹ (34.70) l'interferenza δ è: 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 i e f e p r E E β β δ δ δ ν ν β β ( | | | | + + = − = + + − ( | | − − \ ¹ \ ¹ ¸ ¸ (34.71) In queste equazioni E 1 ed E 2 e ν 1 e ν 2 sono, rispettivamente, i moduli di elasticità e i coefficienti di Poisson dei materiali dei due cilindri; se i materiali sono uguali la relazione si semplifica in ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 f e p r E β β δ β β − = − − (34.72) L’inversa consente di ottenere la pressione assegnata l’interferenza ( )( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 f e E p r β β δ β β − − = − (34.73) In fase di progetto i parametri geometrici da determinare per il forzamento sono β 1 , β 2 e δ. Quest’ultimo viene ricavato dalla (72) una volta determinata la pressione di forzamento p f con le relazione mostrate nel seguito. δe1 δi2 2 1 re1 ri2 re2 ri1 Fig.34.5 – Dimensioni dei cilindri nella cerchiatura. G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.10 Tensioni ai raggi interni Le tensioni agenti in corrispondenza del raggio interno dei due cilindri a causa del solo forzamento si ottengono rispettivamente dalle (43,44) e (55,56), ponendo rispettivamente β=β 1 e β=β 2 : 1 0 rf σ = 1 2 1 2 1 f f p θ σ β = − − (34.74,75) 2 rf f p σ = − 2 2 2 2 2 1 1 f f p θ β σ β + = − (34.76,77) Le analoghe tensioni dovute alla sola pressione interna si ottengono considerando i due cilindri come un unico cilindro di raggio interno r i1 e raggio esterno r e2 , avente, quindi, β=r i1 /r e2 =(r i1 /r e1 )(r e1 /r e2 )=β 1 β 2 . In particolare al raggio interno si ottengono dalle (55,56) ponendo β=β 1 β 2 , mentre al raggio interno del cilindro esterno si ottengono dalle (52,53) ponendo β=β 1 β 2 e ρ=β 2 : i ri p − = 1 σ 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 i i p θ β β σ β β + = − (34.78,79) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 ri i p β β σ β β − = − − ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 i i p θ β β σ β β + = − (34.80,81) Gli 8 valori di tensione (74-81), relativi ai 2 cilindri e alle sole pressioni di esercizio e di forzamento, sono visualizzati in fig.6. Le tensioni dovute alla presenza simultanea del forzamento e della pressione interna per i due cilindri si ottengono sommando i singoli contributi (o dalle 64-67): 1 1 1 r ri rf i p σ σ σ = + = − 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 i f i f p p θ θ θ β β σ σ σ β β β + = + = − − − (34.82,83) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 r ri rf i f p p β β σ σ σ β β − = + = − − − ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 i f i f p p θ θ θ β β β σ σ σ β β β + + = + = + − − (34.84,85) Considerando materiali duttili, le tensioni di Tresca agenti in corrispondenza del raggio interno dei due cilindri, dovute alla presenza simultanea del forzamento e della pressione di esercizio, sono, in base alle (82,83) e (84,85): 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 e r i f p p θ σ σ σ β β β = − = − − − (34.86) 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 e r i f p p θ β σ σ σ β β β = − = + − − (34.87) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ten. Eq. complessiva Ten. Eq. pressione Ten. Eq. forzamento Fig.34.6 – Tensioni normalizzate (σ/pi) nella cerchiatura nel caso di ri=50mm, pi=100 MPa, σam=200 MPa. I valori ottimali di progetto risultano β=β1=β2=0.707. a) tensioni radiali e circonferenziali dovute al solo forzamento (σrf e σθf) e alla sola pressione interna (σri e σθi); b) tensioni equivalenti dovute al solo forzamento (σef), alla sola pressione interna (σei) e tensioni equivalenti totali di esercizio (σe). σ/p σθi σθf2 σrf2 σrf1 σθf1 σri r σ/p σei σe1 σe2 σef1 σef2 r a) b) G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.11 Scelte di progetto Nel caso più generale i parametri da determinare sono 3, cioè β 1 , β 2 e p f , mentre le equazioni disponibili sono 2, cioè la (86) e la (87). Come anticipato, si deve operare in modo che le tensioni equivalenti di esercizio al raggio interno dei due cilindri risultino uguali e pari alla tensione ammissibile, cioè si abbia σ e1 =σ e2 =σ am . Affinché si abbia σ e1 =σ e2 la pressione di forzamento deve assumere valori appropriati. Uguagliando i termini di destra delle (86) e (87) ed esplicitando rispetto a p f , si ottiene: ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 f i p p β β β β β β β − − − = − − + − (34.88) Questa relazione permette di ricavare il valore della pressione di forzamento necessaria a rendere uguali le tensioni σ e1 e σ e2 , assegnati i valori di β 1 e β 2 . Un’altra equazione di progetto può essere ottenuta imponendo che le tensioni equivalenti di esercizio a raggi interni siano pari alla tensione ammissibile, cioè si abbia σ e1 =σ am e/o σ e2 =σ am . Ad esempio, utilizzando l’espressione (86) della σ e1 e sostituendo p f con la (88), si ottiene: ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 i e am p σ σ β β = = − + − (34.89) Poiché le incognite sono 3 e le equazioni 2, l’operazione più opportuna consiste nell’assegnare il valore di β 1 o β 2 determinando l’altro tramite la (89) e determinare la p f con la (88). Ottenuta p f , l’interferenza δ da assegnare ai cilindri si determina mediante la (72). Al variare del valore di β prescelto si ottengono differenti valori del prodotto β 1 β 2 che determina lo spessore complessivo dei cilindri accoppiati. Scelta ottimale Si può dimostrare che i valori più bassi dello spessore complessivo dei cilindri (corrispondenti a più alti valori di β=β 1 β 2 ) si ottengono se si impone β 1 =β 2 =β 0 . In questo caso la (89) consente di determinare l’unica incognita β 0 e da essa β=β 0 2 0 1 i am p β σ = − ; 2 0 1 i am p β β σ = = − (34.90,91) La (88) e la (72) si trasformano rispettivamente in 2 0 2 0 1 2 1 i f p p β β − = + 2 1 0 2 0 2 1 1 f e p r E β δ β + = − (34.92,93) Sostituendo la (92) nella (93), inoltre, si ha 1 i e p r E δ = (34.94) In fig.6 è mostrato un esempio dell’andamento delle tensioni che si ottengono utilizzando le (90-94), mentre in fig.7 è mostrato un confronto tra i valori del diametro esterno ottenuti con la (61) per singolo cilindro e (91) per coppia di cilindri forzati. Fig.34.7- Andamenti del rapporto tra raggio esterno ed interno (re/ri=1/β) determinati con l’eq.(59) per cilindro normale e l’eq.(91) per coppia di cilindri forzati (β1=β2=β0), al variare del rapporto tra la pressione interna pi applicata e la tensione ammissibile σam. Si osserva come tale rapporto diverga per pi/σam=0.5 per cilindro normale. Con linea tratteggiata è indicato il rapporto tra i raggi esterni ottenuti con la (59) (cilindro normale) e la (97) (cilindro forzato); ovviamente l’andamento ha significato sino al valore pi/σam=0.5 oltre il quale non è possibile dimensionare il cilindro singolo. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 pi/σam ren/rec cerchiato normale r e / r i = 1 / β G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.12 Soluzione in presenza di dilatazione termica Utilizzando le equazioni (23) e (24) e operando in modo analogo al caso di assenza di dilatazione termica si ottiene la seguente equazione differenziale: ( ) 2 2 3 0 1 r r d d E dT d d d σ σ α ρ ρ ρ ν ρ ρ + + = − (34.95) Nella (95) compare la derivata prima della temperatura rispetto all’ascissa ρ, da cui si deduce che variazione uniforme di temperatura, per materiale isotropo, non provoca alcuna alterazione dello stato tensionale. Come già visto, la soluzione dell’omogenea associata alla (99), cioè la (25), è data dalla (30) qui riscritta: 2 r B A r σ = − (34.30) Per ottenere la soluzione completa della (95) è necessario ricavarne una soluzione particolare conoscendo l’andamento della temperatura in funzione del raggio. I due casi di principale interesse sono il caso in cui la funzione temperatura è di tipo logaritmico e il caso in cui è esprimibile come polinomio di grado n. Transitori termici Nei transitori di temperatura è necessario conoscere la funzione T(ρ) in funzione del tempo e risolvere, conseguentemente, la (95) istante per istante. Se si provoca una variazione termica istantanea al bordo interno o esterno, cui corrisponde il massimo gradiente teorico di temperatura, cioè lo shock termico, il materiale che si trova ancora alla temperatura iniziale impedisce al materiale che ha subito la variazione di temperatura di deformarsi in direzione circonferenziale ed assiale. Le corrispondenti tensioni possono essere calcolate ponendo ε l =ε θ =σ r =0 nelle equazioni costitutive complete, ottenendo: ( ) 1 1 S l E T T β θ α σ σ σ ν − = = = − − (34.96) nella quale σ S è la tensione di shock termico, che verrà utilizzata nel seguito come valore di riferimento. Questa espressione può essere utilizzata per verificare se il tubo è in grado di sopportare transitori termici onerosi. T(ρ ρρ ρ) di tipo logaritmico Nel caso di flusso termico stazionario, dovuto a differenza di temperatura tra raggio interno ed esterno costante nel tempo, la distribuzione della temperatura lungo il raggio è di tipo logaritmico: ( ) ( ) 1 1 ln ln T T T T β ρ ρ β = − − (34.97) La cui derivata della (97) può essere espressa come ( ) 1 1 ln dT T T d β ρ ρ β = − − (34.98) La (95) diventa ( ) ( ) 2 1 2 2 3 1 0 ln 1 r r E T T d d d d β α σ σ ρ ρ ρ ρ β ν − + + = − (34.99) Una soluzione particolare della (99), ricordando la (96), è data in questa forma: ( ) ( ) 1 ln ln 2 1 ln 2 ln S r E T T β α σ ρ ρ σ ν β β − = = − − (34.100) La soluzione generale si ottiene sommando questa funzione alla soluzione relativa all’omogenea associata (30) e imponendo le condizioni al contorno. Nel caso di sola variazione di temperatura, quindi in assenza di pressione, le condizioni al contorno prevedono che sia σ r =0 sia per ρ=β che per ρ=1. In definitiva, ricordando la (96), le espressioni delle tensioni dovute a gradiente di temperatura nel caso stazionario (fig.8) sono date da: G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.13 2 2 2 2 1 ln 2 1 ln S r σ β ρ ρ σ β ρ β | | − = − + | − \ ¹ 2 2 2 2 1 ln 1 2 1 ln ln S θ σ β ρ ρ σ β ρ β β | | + = − + + | − \ ¹ (34.101,102) Al contrario di quanto visto nel caso della sola pressione agente, la somma delle tensioni radiali e circonferenziali (101) e (102) non risulta costante nel piano e, in base alla (16), anche la deformazione assiale, in assenza di vincoli, avrebbe tale caratteristica. Per elementi di piccolo spessore (longitudinale) tale deformazione è trascurabile, mentre, per elementi piani di grosso spessore, essa darebbe luogo a notevoli ingobbamenti delle superfici di estremità. Poiché si osserva che la deformazione assiale ε l in questi casi risulta praticamente costante sulla superficie, cioè tende a rispettare l’ipotesi di stato piano, a sufficiente distanza dalle estremità, deve essere presente una tensione longitudinale opportunamente variabile rispetto al raggio che compensi gli effetti della variabilità rispetto a ρ delle (101) e (102) e della dilatazione termica derivante direttamente dalla distribuzione di temperatura (97). In base a questa considerazione è possibile dimostrare che, per cilindro libero alle estremità, la tensione longitudinale a sufficiente distanza dalle estremità risulta data dalla somma della σ r e della σ θ (fig.8): 2 2 ln 1 2 2 2 1 ln ln S l r θ σ β ρ σ σ σ β β β ( = + = − + + ( − ¸ ¸ (34.103) In fig.9 sono riportate la deformazione longitudinale complessiva (costante) e le varie componenti. Nel caso di cilindro incastrato alle estremità, viceversa, un’eventuale deformazione longitudinale costante rispetto al raggio, ammessa nello stato di deformazione piano, verrebbe impedita e, essendo ε l =0, in base alla (17), l’andamento della tensione longitudinale (fig.8) risulta data da 2 . 1 2 ln 2 2 2 1 ln ln S l ET σ νβ ν ρ σ α β β β ( = − − + + ( − ¸ ¸ (34.104) 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Fig.34.8 – A sinistra l’andamento della temperatura di tipo logaritmico nello spessore per il caso di Tβ=220°, T1=20° e β=0.5, a destra le tensioni termiche nello spessore per cilindro in acciaio (E=210.000 N/mm 2 , α=11 10 −6 ). La σl tracciata con linea a tratto e punto è quella relativa al cilindro vincolato agli estremi (eq.104). Le tensioni sono normalizzate rispetto al modulo della tensione per gradiente massimo espressa dall’eq.(96) e pari, in questo caso, a 641.7 N/mm 2 . Fig.34.9 – Deformazioni longitudinali nel cilindro di grosso spessore soggetto a variazione di temperatura di tipo logaritmico. εl deformazione totale, ε1 deformazione termica, ε2 deformazione dovuta alle tensioni nel piano, ε3 deformazione dovuta alla tensione longitudinale. 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 -3 ρ ε ε3=αΤ(ρ) εl=ε1+ε2+ε3=cost ε2=−ν(σr+σθ)/E ε1=σl/E σ/|σ S | ρ ρ T σ r σ θ σ l σ l G. Petrucci “Lezioni di Costruzione di Macchine” 34.14 Soluzione per il caso generico La soluzione completa della (95) per il caso generico considerando, pressione interna ed esterna nulle, ha la seguente forma: ( ) 1 2 2 2 2 1 1 r E T d T d ρ β β α ρ β σ ρ ρ ρ ρ ν ρ β ( − = − ( − − ( ¸ ¸ ∫ ∫ (34.99) da cui ( ) 1 2 2 2 2 2 1 1 E T d T d T ρ θ β β α ρ β σ ρ ρ ρ ρ ρ ν ρ β ( + = − − ( − − ( ¸ ¸ ∫ ∫ , (34.100) ( ) 1 2 2 1 1 l E T d T β α σ ρ ρ ν β ( = − ( − − ( ¸ ¸ ∫ (34.101) Conoscendo la funzione T(ρ) è possibile valutare gli integrali nelle (99-101) in forma chiusa o numerica. Appendice A.1 La formula di Mariotte La formula di Mariotte è una formula semplificata per il dimensionamento di contenitori e tubi cilindrici di piccolo spessore. Nel caso di cilindri soggetti a pressione interna, il valor medio della distribuzione della tensione circonferenziale (52) si ha per ρ β = e può essere espresso come segue 2 2 2 1 1 1 1 1 i i i i e i p R p p R R θ β β σ β β β | | + | = + = = | − − − \ ¹ (A1) Introducendo lo spessore del cilindro s=R e −R i , la (A1) può essere riscritta come segue 1 2 i i i i i p R p D p s s θ β σ β = = = − (A2) Nel caso in cui lo spessore del cilindro è sufficientemente piccolo rispetto alle dimensioni (i raggi interno e/o esterno), cioè per β≥0.9, l’errore commesso considerando la tensione circonferenziale costante e pari alla tensione media risulta inferiore al 5% e la tensione radiale diventa trascurabile. Il numeratore a destra della (A2) è pari alla spinta che la pressione interna esercita su metà del cilindro considerato di altezza unitaria. Tale spinta tenderebbe a separare le due metà del cilindro tra loro ed è equilibrata dalla tensione circonferenziale agente sulle 2 sezioni del cilindro stesso. La (A2) è nota come formula di Mariotte ed è largamente utilizzata per il calcolo dello spessore di tubi e contenitori cilindrici di piccolo spessore; introducendo la tensione ammissibile σ am ed esplicitando rispetto allo spessore si ottiene: 2 i i am p D s σ = (A3) A.2 Fattori di conversione delle unità di misura della pressione Fattori di conversione delle unità di misura di pressione 1 MPa 1 at 1 psi 1 Pascal 1 bar 1 atm 1 Torr MPa [N/mm 2 ] 1 10,2 145,038 100 10 9,87 7506 at [kg/cm 2 ] 0,0981 1 14,2 98 100 0,981 0,968 736 psi [lbf/in 2 ] 6,89×10 -3 7,02×10 -2 1 6,89×97 6,89×10 -2 6,8×10 -2 51,71 Pa [N/m 2 ] 10 -6 0,96×10 -4 1,45×10 -4 1 10 -5 0,987×10 −5 0,0075 bar [daN/cm 2 ] 0,1 1,02 14,5 100 000 1 0,987 750 atm [760 torr] 0,953 1,0332 14,7 95 325 1,013 1 760 torr 1,33×10 −4 1,36×10 -3 1,93×10 -2 133 0,00133 0,00132 1 Tab.A2.1 - Tabella dei fattori di conversione delle unità di misura della pressione. Utilizzare i fattori nella prima colonna per ottenere la pressione in MPa a partire da valori di pressione indicati nelle varie unità di misura (at=atmosfera tecnica, psi=pound square inch, atm=atmosfera fisica).