CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ETMETIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT ___________ " BETON ARME " Chapitre 6 : Flexion composée ELU-ELS (Code CCV109) Enseignants : F. GUILLEMARD / J. PAÏS 2007 – 2008 CNAM CCV109 – Béton armé 2 Sommaire 6. CALCUL EN FLEXION COMPOSEE ........................................................................................ 3 6.1. GENERALITES ........................................................................................................................... 3 6.2. PRISE EN COMPTE FORFAITAIRES DES EFFETS DE SECOND ORDRE .............................................. 4 6.3. SECTIONS ENTIEREMENT TENDUES (ELU ET ELS) ..................................................................... 6 6.3.1. Définition ............................................................................................................................ 6 6.3.2. Calcul des armatures ......................................................................................................... 6 6.3.3. Section minimale ............................................................................................................... 7 6.4. EXERCICE 1: SECTION ENTIEREMENT TENDUE A L'ELU ............................................................... 8 6.4.1. Caractéristiques des matériaux ......................................................................................... 8 6.4.2. Vérification si section entièrement tendue......................................................................... 8 6.4.3. Calcul des excentricités. .................................................................................................... 9 6.4.4. Calcul des armatures ......................................................................................................... 9 6.4.5. Pourcentage minimal ......................................................................................................... 9 6.4.6. Schéma de ferraillage...................................................................................................... 10 6.5. EXERCICE 2: SECTION ENTIEREMENT TENDUE A L'ELS.............................................................. 11 6.5.1. Caractéristiques des matériaux ....................................................................................... 11 6.5.2. Vérification si section entièrement tendue....................................................................... 11 6.5.3. Calcul des excentricités. .................................................................................................. 12 6.5.4. Calcul des armatures ....................................................................................................... 12 6.5.5. Pourcentage minimal ....................................................................................................... 12 6.5.6. Schéma de ferraillage...................................................................................................... 13 6.6. SECTIONS RECTANGULAIRES PARTIELLEMENT TENDUES ........................................................... 14 6.6.1. Définition .......................................................................................................................... 14 6.6.2. Méthode de calcul des armatures ................................................................................... 16 6.6.3. Valeur de Mua.................................................................................................................. 16 6.6.4. Technique du calcul ......................................................................................................... 17 6.6.5. Pourcentage minimal d'armatures ................................................................................... 18 6.7. SECTIONS EN T PARTIELLEMENT TENDUES ............................................................................... 18 6.7.1. Dimensionnement des armatures si Mua > Mtu .............................................................. 18 6.7.2. Technique du calcul ......................................................................................................... 20 6.7.3. Pourcentage minimal d'armatures ................................................................................... 20 6.8. EXERCICE 3: SECTION PARTIELLEMENT TENDUE AVEC EFFORT DE COMPRESSION . .................... 21 6.8.1. Caractéristiques des matériaux ....................................................................................... 21 6.8.2. Calcul des sollicitations.................................................................................................... 21 6.8.3. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELU. ..................................... 22 6.8.4. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELS. ..................................... 23 6.8.5. Vérification si section partiellement tendue ..................................................................... 24 6.8.6. Dimensionnement des armatures en flexion simple........................................................ 24 6.8.7. Armatures en flexion composée ...................................................................................... 25 6.8.8. Vérification du pourcentage minimum ............................................................................. 25 6.9. EXERCICE 4: SECTION PARTIELLEMENT TENDUE AVEC EFFORT DE TRACTION . ........................... 26 6.9.1. Caractéristiques des matériaux ....................................................................................... 26 6.9.2. Calcul des sollicitations.................................................................................................... 26 6.9.3. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELU. ..................................... 26 6.9.4. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELS. ..................................... 27 6.9.5. Vérification si section partiellement tendue ..................................................................... 27 6.9.6. Dimensionnement des armatures en flexion simple........................................................ 28 6.9.7. Armatures en flexion composée ...................................................................................... 28 6.9.8. Vérification du pourcentage minimum ............................................................................. 28 6.10. SECTIONS ENTIEREMENT COMPRIMEES .................................................................................... 29 6.10.1. Définition...................................................................................................................... 29 6.10.2. Calcul des armatures à L'E.L.S ................................................................................... 30 6.10.3. Définition des courbes d'interactions à l'E.L.U ............................................................ 31 6.10.4. Dimensionnement des aciers E.L.U par les diagrammes d'interactions. .................... 35 6.10.5. Exemples d’abaques. .................................................................................................. 41 CNAM CCV109 – Béton armé 3 6. Calcul en flexion composée 6.1. généralités Une section est sollicitée en flexion composée à partir du moment ou elle est soumise simultanément à : • Un effort normal noté N. o N sera compté positif dans le cas d'une compression. o • N sera compté négatif dans le cas d'une traction. Un moment de flexion au centre de gravité (de la section de béton seule) noté Mg0. Ce torseur (M,N) revient à appliquer un effort N au point C, appelé « centre de pression ». la distance de C au centre de gravité de la section de béton est appelé « excentricité » et est notée e0. e0 a pour valeur : e0 = ère En flexion composée, la 1 e0 = M G0 N étape consiste donc la position du point C en fonction de l'excentricité M G0 . N Le signe de Mg0 fournit une indication sur la position des aciers tendus: CNAM CCV109 – Béton armé 4 En fonction du signe de N et de la valeur de e0, on distingue plusieurs cas de figure : Si N est négatif (traction) et que le point C est situé entre les deux nappes d’armatures longitudinales, on est dans le cas d’une section entièrement tendue. Si N est négatif (traction) et que le point C est situé à l’extérieur des deux nappes d’armatures longitudinales, on est dans le cas d’une section partiellement tendue. Si N est positif et que le point C est situé à l’extérieur des deux nappes d’armatures longitudinales, on est dans le cas d’une section partiellement comprimée. Si N est positif (compression) et que le point C est situé entre les deux nappes d’armatures longitudinales, on est dans le cas d’une section entièrement comprimée. Les conditions d'une section partiellement tendue (ou comprimée) peuvent également se traduire en comparant la position de l'axe neutre par rapport à la section de béton. Evidemment, les cas d’une section partiellement comprimée ou partiellement tendue sont traités de la même façon, seul le signe de N change et aura tendance à majorer ou à minorer les aciers issus du dimensionnement en flexion simple. Le cas de la section « entièrement comprimée » fait appel à un calcul basé sur des abaques ou un calcul itératif basé sur les diagrammes d’interaction. Le moment Mg0 est issu du calcul de RDM. Pour dimensionner la section de béton, il convient de majorer les efforts en tenant compte des effets du second ordre. Sous certaines conditions, on peut déterminer les effets du second ordre de façon forfaitaire. 6.2. Prise en compte forfaitaires des effets de second ordre La prise en compte des effets du second ordre a pour but de majorer les efforts issus du calcul RDM. Pour cela, on détermine une excentricité du second ordre. Cette excentricité du 2nd ordre viendra se cumuler à l'excentricité du 1er ordre pour majorer les efforts en conséquence. ATTENTION, la prise en compte forfaitaire des effets du second ordre n'est valable que dans le cas d'un dimensionnement à l'ELU. Dans le cas d'un dimensionnement à l'ELS, seule l'excentricité M/N sera prise en compte. Notation Lf: longueur de flambement de la pièce H: hauteur de la section droite dans le plan de flambement. L: longueur libre de la pièce. er Excentricité du 1 ordre. On note: e0 = ∑γ M ∑γ N J jG 0 i i 2cm ea = max l =excentricité additionnelle 250 on doit vérifier la pièce à l'état limite ultime de stabilité de forme h h lf (voir chapitre correspondant). on distingue 2 cas de figure: Si e > Max 15. on détermine l'excentricité du 2nd ordre de façon forfaitaire. on peut déterminer les sollicitations corrigées: Nu Mu = (e1 + e2 ) NU . le coefficient α peut s'écrire plus simplement: α= MG MG + MQ Connaissant la valeur de e2.20 1 . L'excentricité e2 est définie par la formule: e2 = 3l 2f 10 4 h [2 + αϕ ] Avec: ϕ=2 M (G + ∑ψ 2i Qi ) α = M (G + Q1 + ∑ψ 0i Qi ) Les moments sont évalués à l'ELS. Dans le cas d'un élément soumis à des charges G et Q. Si e ≤ Max 15.CNAM CCV109 – Béton armé 5 er L'excentricité du 1 ordre à l'ELU a pour valeur: e1 = e0 + ea Excentricité du second ordre Pour déterminer l'excentricité du second ordre. sans coefficient de pondération.20 1 . h h lf comme détaillé ci-dessous. 3. Calcul des armatures ATTENTION. on en déduit la valeur de A2: A2 = N × e A1 (e A1 + e A 2 )σ s 2 e A1 e A2 . dans le cas d'un dimensionnement en section entièrement tendue. C tombe entre les armatures 6.3. 6 Sections entièrement tendues (ELU et ELS) 6.3.1. la section est considérée entièrement tendue (à l'ELU comme à l'ELS) si: N est une traction (N < 0). Définition Comme nous l'avons vu précédemment.CNAM CCV109 – Béton armé 6. Le dimensionnement de la section se fait à partir du schéma suivant: On écrit l'équilibre de la section par rapport au centre de poussée: A1σ s1 + A2σ s 2 = N Equilibre des forces: Equilibre des moments: ( A2σ s 2 )e A 2 = ( A1σ s1 )e A1 => A2σ s 2 = ( A1σ s1 ) On a donc: e A1 =N e A2 ( A1σ s1 )e A 2 + ( A1σ s1 )e A1 = Ne A 2 N × e A2 A1 = (e A1 + e A 2 )σ s1 A1σ s1 + ( A1σ s1 ) De l'équation d'équilibre des forces.2. il n'y a pas lieu de majorer les efforts appliqués par les excentricités ea et e2. la section minimale d'armature à mettre en œuvre vaut: A1 + A2 = A ≥ A min = B Ft 28 Fe En général.CNAM CCV109 – Béton armé 7 En résumé.3. les armatures minimales sont placées symétriquement dans la section de béton. . Seule la contrainte maxi sur les aciers tendus change: Calcul à l'ELU: on est en pivot A et donc Calcul à l'ELS: on a 6. σ s1 = σ s 2 = Fed = Fe γs σ s1 = σ s 2 = σ s Section minimale Dans le cas d'une section entièrement tendue. on a donc les sections d'aciers définies par: A1 = N × e A2 (e A1 + e A 2 )σ s1 A2 = N × e A1 (e A1 + e A 2 )σ s 2 Ce principe de dimensionnement est valable aussi bien à l'ELU qu'à l'ELS.3. Caractéristiques des matériaux Béton Fc28= 25 Mpa => Acier Fe500 : 6. on se propose de déterminer les armatures sur la section suivante: A’ 60cm A Sollicitations : o Ng= -200 KN et Mg= 20 KN.85 Fe γs = Fc 28 25 = 0.50 × 200) Pour que le point C soit situé entre les deux nappes d’armatures longitudinales.55 − = 0. .35 × 20 + 1.35 × 200 + 1. Matériaux : o Fc28= 25 Mpa o Fe500 Hauteurs utiles : o d= 55 cm o d’= 5cm 30cm 6.CNAM CCV109 – Béton armé 6. on doit avoir : e0 u < d − h 0.4.50 × 20) = −0.17 Mpa θ ×γ b 1.15 Vérification si section entièrement tendue.1. Le centre de pression C est situé entre les nappes d’armatures. On est dans le cas d’une section « entièrement tendue » si : N est une traction. Fissuration peu préjudiciable.25m 2 2 On est donc bien dans le cas d’une section entièrement tendue.60 = 0.2. La position du point C est donnée par la valeur de l’excentricité e0 : e0 u = M g 0u NU = (1.4.78Mpa 1.4. 8 Exercice 1: section entièrement tendue à l'ELU Dans cet exercice.m La durée d’application des charges est supérieure à 24 heures => θ= 1. Fed = Fbu = 0.00.85 = 14.5 500 = 434.10m − (1.m o Nq= -200 KN et Mq= 20 KN. On a donc : A1 + A2 = 3.4.15m 2 6.4.78 6.10 −4 m² = 3.17 = 13.30 × 0.93. Calcul des armatures Pour la nappe supérieure : A1 = N u × e A2 0.17.15 = = 3.10 = 0. Pourcentage minimal Il est rappelé que le % mini pour une section entièrement tendue est : A min = B × Ft 28 Fe La section Amin est à comparer avec la section totale A1 + A2 car on est dans le cas d’une section entièrement tendue.78 Pour la nappe inférieure : A2 = N u × e A1 0.570 × 0.15) × 434.05 + 0.30 − 0.15) × 434.60) × 2.10 = 0.10cm² > A min = La vérification est OK.35 + 0. (0.10 − 4 m² = 9.570 × 0.56cm² 500 .CNAM CCV109 – Béton armé 6.4.17cm² (e A1 + e A 2 ) × Fed (0.4.1 = 7.93cm² (e A1 + e A 2 ) × Fed (0. 9 Calcul des excentricités.30 − 0.35m 2 e A2 = h − (h − d ) − e0u = 0.93 + 9.5.05 − 0.35 = = 9. Le calcul des excentricités nous donne : e A1 = h − d '+ e0u = 0.35 + 0.3. 4.CNAM CCV109 – Béton armé 6. Schéma de ferraillage 10 .6. 6 Fc 28 = 0.m La durée d’application des charges est supérieure à 24 heures => θ= 1.1 = 201.255m 2 2 On est donc bien dans le cas d’une section entièrement tendue.5 Fe = min max max 110 1.5.5. on doit avoir : e0 < d − h 0.00. 11 Exercice 2: section entièrement tendue à l'ELS Dans cet exercice. on a 2 Fe 333.58 − = 0. La position du point C est donnée par la valeur de l’excentricité e0 : e0 = M g0 N = (22 + 25) = −0. On est dans le cas d’une section « entièrement tendue » si : N est une traction.63 110 η × F tj 6. Caractéristiques des matériaux σ bc = 0.5.2.6 × 2.m o Nq= -230 KN et Mq= 25 KN.098m − (250 + 230) Pour que le point C soit situé entre les deux nappes d’armatures longitudinales.CNAM CCV109 – Béton armé 6. .33 3 250 σ s = min = 250 Mpa 0. Le centre de pression C est situé entre les nappes d’armatures.1. on se propose de déterminer les armatures sur la section suivante: A’ 65cm A Sollicitations : o Ng= -250 KN et Mg= 22 KN. Fissuration préjudiciable.65 = 0. Vérification si section entièrement tendue. Matériaux : o Fc28= 30 Mpa o Fe500 Hauteurs utiles : o d= 58 cm o d’= 5cm 25cm 6.6 × 30 = 18Mpa La compression maxi sur le béton est de Contrainte maxi sur les aciers : en fissuration préjudiciable. 5.177 = = 6.99. 37 + 0 .05 − 0.098 = 0. Calcul des armatures Pour la nappe supérieure : A1 = N ser × e A 2 0.098 = 0.480 × 0.37 m 2 e A2 = h − (h − d ) − e0 = 0.05 + 0.5.21cm² > A min = La vérification est OK.37 + 0. Le calcul des excentricités nous donne : e A1 = h − d '+ e0 = 0. 177 ) × 250 (e A1 + e A 2 ) × σ s 6.3.CNAM CCV109 – Béton armé 6. On a donc : A1 + A2 = 6.25 × 0.325 − 0. 12 Calcul des excentricités.21 + 13 = 19.5.65) × 2.21cm² (e A1 + e A 2 ) × σ s (0.325 − 0.10 −4 m² = 13cm² ( 0 .37 = = 12.21.4. Pourcentage minimal Il est rappelé que le % mini pour une section entièrement tendue est : A min = B × Ft 28 Fe La section Amin est à comparer avec la section totale A1 + A2 car on est dans le cas d’une section entièrement tendue. (0.480 × 0.5.4 = 7.177 m 2 6.10 −4 m² = 6.8cm² 500 .177) × 250 Pour la nappe inférieure : A2 = N ser × e A1 0. CNAM CCV109 – Béton armé 6. Schéma de ferraillage 13 .5.6. L.CNAM CCV109 – Béton armé 6.6.333b0 d ²σ bc 2 3 b°) Si N est une traction (Nser < 0) => le point C doit être à l'extérieur des armatures. Définition Les critères de détermination d'une section partiellement tendue s'expriment différemment selon que l'on est en dimensionnement E.U a°) Si N est une compression (Nu > 0).L.L. nous allons déterminer le moment réduit qui correspond à une section yu = h .S.S La section est partiellement tendue si: a°) Si N est une compression (Nser >0) => l'axe neutre de la section y1 doit être dans la section de béton. 14 Sections rectangulaires partiellement tendues 6. on a donc: y1 ≤ h . Attention.6. ce qui M serA ≤ 1 1 1 − b0 d ²σ bc = 0. A l'E. on peut écrire: 1 h 1 h 1 h y1 ≤ h => M serA ≤ M ser lim = σ bc b0 h d − = 1 − × b0 d ²σ bc 2 3 2 d 3 d avec MserA qui représente le moment fléchissant de service par rapport aux aciers tendus. le moment de service qui correspond à y1 = h . si y1 s'exprime par: ≤ d . avec e0=e1 + e2. on doit avoir yu ≤ h De façon analogue à la justification ELS. cela veut dire qu'il faut mettre en place au moins un lit d'aciers tendu.U ou E.L. A l'E.1. Si on note Mserlim. ce qui se traduit par: µ bu = M ua h h ≤ µ BC = 0.CNAM CCV109 – Béton armé 15 En considérant la section sans acier comprimé.4h M BC = Fbc × z M BC = 0. Avant de déterminer si la section est entièrement ou partiellement comprimée. il faut donc calculer ces excentricités. il est impératif de prendre en compte les er nd excentricités du 1 et du 2 ordre (car flexion composée). on a: Fbc = 0. pour le calcul du moment réduit.8 (1 − 0.4 ) b0 d ² Fbu d d ATTENTION . Si yu ≤ d . il suffit donc de calculer le moment réduit de la section et de le comparer à la valeur de µ BC . .8 h h (1 − 0.8b0 h(d − 0.8 × b0 × h × Fbu z = d − 0.8(1 − 0.4h) Fbu Le moment Mbc correspond au moment de flexion qu’il faut appliquer à la section pour qu’elle soit entièrement comprimée (Pivot C).4 )b0 d ² Fbu d d d'où: µ BC = M BC h h = 0.8 (1 − 0.4) = 0. On a donc: M BC = 0. ce qui s'exprime par: µ bu = M ua ≤ µ B 0 = 0.480 b0 d ² Fbu b°) Si N est une traction (Nu < 0) => le point C doit être à l'extérieur des armatures. avec yu=h. cela veut dire qu'il faut mettre en place au moins un lit d'aciers tendu.4 ) b0 d ² Fbu d d En pratique. pour savoir si la section est entièrement ou partiellement comprimée. 2. le moment Mua est le moment par rapport au centre de gravité des aciers tendus.CNAM CCV109 – Béton armé 6.6.3. Il est donc impératif de calculer Mua. le moment par rapport au centre de gravité des aciers . on obtient les relations suivantes: A' = A' A= A− 6. L'équilibre de la section se traduit par le schéma suivant: Si on considère le cas général d'une section ayant une section d'aciers tendus A et une section d'aciers comprimés A'. lorsque l'on détermine le moment Mu=(e1+e2)Nu.6. Or. N σs Valeur de Mua Dans les formules que nous venons d'appliquer. il s'agit d'un moment par rapport au centre de gravité de la section de béton seul. 16 Méthode de calcul des armatures Par la suite. l'équilibre de la section s'écrit: Equilibre des moments: o M UA = N × e A Equilibre des efforts: o = A' σ sc z s + Fbc zb N N = Fbc + A' σ sc − Aσ s <=> Fbc + A' σ sc − A + σs σ s = 0 Les équations d'équilibre d'une même section soumise au moment Mua en flexion simple seraient: Equilibre des moments: o M UA = A' σ sc z s Equilibre des efforts: o Fbc + A' σ sc − + Fbc zb Aσ s = 0 Par identification. on supposera qu'il y a au moins une nappe d'armature tendue. Technique du calcul La technique de dimensionnement d'une section partiellement tendue en flexion composée est la suivante: On calcul le moment Ma (à l'ELU ou ELS) par rapport aux aciers tendus. on a: h M ua = M G 0 + N (d − ) 2 N étant pris avec son signe. l'effort normal N doit être considéré avec sa valeur algébrique: Si N est une compression (N > 0) => on a une diminution de la section d'aciers trouvée en flexion simple.6. car la compression est favorable. car la traction est défavorable. On détermine les aciers de flexion composée à partir de: o A' = A' o A = A –N/σs ATTENTION. Si N est une traction (N < 0) => on a une augmentation de la section d'aciers trouvée en flexion simple. On en déduit les sections A et A' par un dimensionnement en flexion simple.4. .CNAM CCV109 – Béton armé 17 Dans le cas d'une section rectangulaire. 6. CNAM CCV109 – Béton armé 6. l'excentricité e doit être prise en compte à l'ELS et avec le même signe que l'effort normal N.1. Dimensionnement des armatures si Mua > Mtu Le schéma d'équilibre de la section est le suivant: .5. en flexion composée. Les critères de vérification si la section est effectivement partiellement tendue restent inchangés et ne s'appliquent qu'à la nervure. et on se ramène au dimensionnement d'une section rectangulaire de largeur b. le pourcentage minimal d'armatures vaut: Amin = 0. et soumise à (Mua et Nu) Mua > Mtu => calcul en section en T. en flexion simple. la seule nuance concerne la détermination des armatures.7. ATTENTION.185d On remarque que si e tend vers l'infini.6. 18 Pourcentage minimal d'armatures Pour une section rectangulaire en flexion composée partiellement tendue. 6. On a deux cas de figure possibles: Mua < Mtu => la table de compression est surabondante. Sections en T partiellement tendues Par rapport aux sections rectangulaires. 6.45d b0 d Fe e − 0.23 Ft 28 e − 0. on retrouve le pourcentage minimum de la flexion simple.7. 8b0 yu Fbu (d h0 ) 2 − 0.4 yu ) N uR = 0.8b0 yu Fbu + (b − b0 )h0 Fbu − Aσ s h0 ) 2 On se rend compte que ces équations intègrent les termes liés à un dimensionnement en flexion simple.4 yu h Fbc 2 = (b − b0 )h0 Fbu et z b 2 = d − 0 2 Fs = Asσ s d'où: M uA = 0.4 yu ) + (b − b0 )h0 Fbu (d − N u = 0.8b0 yu Fbu (d − 0. on pose: M uR = M uA − (b − b0 )h0 Fbu (d − N uR = N u − (b − b0 )h0 Fbu Ce qui nous donne: M uR = 0. Pour les mettre en évidence.8b0 yu Fbu et z b1 = d − 0. on obtient les relations suivantes: A' = A' A = A− N uR σs .8b0 yu Fbu − Aσ s Par identification.CNAM CCV109 – Béton armé 19 L'équilibre de la section s'écrit: Equilibre des moments: o M UA = N × e A = Equilibre des efforts: o N = Fbc1 + Fbc 2 avec: Fbc1 z b1 + Fbc 2 z b 2 − Fs Fbc1 = 0. 6. On détermine les aciers de flexion composée à partir de: o A' = A' o A = A –Nur/σs ATTENTION. 20 Technique du calcul La technique de dimensionnement d'une section partiellement tendue en flexion composée est la suivante: On calcul le moment Ma (à l'ELU ou ELS) par rapport aux aciers tendus.7.7. on en déduit les sections A et A' par un dimensionnement en flexion simple. On détermine si la table de compression est surabondante. calcul en section rectangulaire => voir paragraphe précédent. l'effort normal N doit être considéré avec sa valeur algébrique: Si Nur est une compression (Nur > 0) => on a une diminution de la section d'aciers trouvée en flexion simple. avec Mur et Nur. le pourcentage minimal d'armatures vaut: Amin F = B t 28 × Fe h0 3 × h0 Bev − I d− 3 I e − v'+ ATTENTION.2. Si non. car la traction est défavorable. Si oui. Pourcentage minimal d'armatures Pour une section en T en flexion composée partiellement tendue.CNAM CCV109 – Béton armé 6. Si Nur est une traction (Nur < 0) => on a une augmentation de la section d'aciers trouvée en flexion simple. car la compression est favorable. l'excentricité e doit être prise en compte à l'ELS et avec le même signe que l'effort normal N.3. . Caractéristiques des matériaux Béton: Fbu = 0. Considérons le poteau suivant : Poteau Encastré – Articulé.15 Calcul des sollicitations ELU Mu=1.2.85 = 14.35*60 + 1.m Nu= 1.m Nser= 110 + 125= 0. ELS Mser= 60 + 75= 0.45m o d’= 0.m= 0. 6.1.6 + 0.8.m et Ng=110 KN o Surcharges d’exploitations : Mq= 75 KN.8.194MN.336 MN.50*75= 193.5 o Fc28= 25 Mpa => o Ft28= 0.78Mpa 1.06 x 25= 2.5 KN. Hauteur libre du poteau : 3.50*125= 0.06Fc28= 0.8. 21 Exercice 3: Section partiellement tendue avec effort de compression .05m 20cm Le but est de déterminer les armatures en pied de poteau.1 Mpa Acier Fe500 : 6.CNAM CCV109 – Béton armé 6.17 Mpa θ ×γ b 1.85 Fc 28 25 = 0.235 MN .00m Section du poteau : 20*50cm A’ 50cm A Sollicitations : o Charges permanentes : Mg= 60 KN.m et Ng= 125 KN Durée d’application des charges : supérieure à 24h Matériaux : o Béton: Fc28= 25Mpa o Acier: Fe500 Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non préjudiciable Densité du béton : 25KN/m3 Hauteurs utiles : o d= 0.135 MN.6 + 0.35*110 + 1. Fed = Fe γs = 500 = 434. 20 ≤ max 15. 3 × l 2f e2 = α= ϕ=2 e2 = 10 4 h [2 + α × ϕ ] MG 60 = = 0.60m à l’ELU Nu 0.10 20e1 20 × 0. = = 24 = 24 0.m Nu= 336 KN.70*3=2.50 La vérification est OK.336 Calcul de lf/h Dans le cas d’un poteau encastré-articulé.2cm = 2cm 250 250 1cm er Excentricité du 1 ordre e1 = Mu 0. Excentricité du second ordre e2 (par la méthode forfaitaire). Excentricité additionnelle 2cm l 300 ea = max = = 1. A l’ELU.194MN.444 M G + M Q 60 + 75 3 × 2. on a lf=0.7l Dans notre cas. les sollicitations sont les suivantes : Mu= 0.60 = 4.02 = 0. er Excentricité du 1 ordre à l’ELU.444 × 2] = 0.0076m 10 4 × 0. on peut donc estimer forfaitairement l’excentricité du second ordre. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELU. Il nous faut donc déterminer : Excentricité additionnelle ea.3.10m On doit vérifier lf h = 2.8. la longueur de flambement vaut lf=0.50 22 .194 + ea = + 0.CNAM CCV109 – Béton armé 6.10² [2 + 0.50 h 0. 50/2)= 0.4.CNAM CCV109 – Béton armé 23 Sollicitations corrigées.182 MN.574 + (0.235 MN Mser= 0. A l’ELS.204 MN. Les sollicitations corrigées.774= 0.272MN. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELS. on a : Mser= 60 + 75= 0. sont : Nu= 0.60 + 0. ces valeurs sont calculées par rapport au centre de gravité de la section de béton seule. à prendre en compte pour le calcul en flexion composée.336*0.45 − ) = 0.8.336= 0.336MN Mu= (e1 + e2) * Nu= (0.336 MN Mu= 0.0076) + (0.m Nser= 110 + 125= 0.50 e Aser = e0 ser + (d − ) = 0.235 MN e0ser= 0.m 6.574m Il faut également ramener cette excentricité au centre de gravité des aciers tendus: h 0.235 * 0.774m 2 2 et donc Maser= 0.135 MN.272 MN.m .81m Et Mua= 0.81=0.m Les sollicitations corrigées (ELS) sont donc : Nser= 0.182 MN.m ATTENTION. il est impératif de ramener le moment au centre de gravité des aciers tendus pour pouvoir dimensionner les armatures: Le moment Mua vaut donc : Mua= Nua *eA Avec eA= (e1 + e2) + (d-h/2)= (0.235= 0.60 + 0.m Les sollicitations corrigées (ELU) sont donc: Nu= 0.135/0.0076) * 0.45 – 0. il est nécessaire de calculer la valeur de µlim qui est fonction de fc28.297 × 0.U.4α ) = 0.45 On est donc bien en section partiellement tendue.49 => µ lim = 0.494 0.m bd ² Fbu [ ] α lim = 1.272 = = 0. Cette valeur peut être déterminée à partir des tables ou des formules approchées si Fc28 ≤ 30 Mpa.25 1 − (1 − 2 × 0.17 µ BC : h d h d µ BC = 0.8 0. Dans notre cas (acier Fe500).297 0. θ et γ. Dimensionnement des armatures en flexion simple On est en fissuration peu préjudiciable. on peut utiliser la formule : 10 4 µ lim = 3220 × θ × γ + 51 FC 28 θ − 3100 avec γ = Mu Mser On a donc : γ = On a donc 0.182 µ bu > µ lim => mise en place d’aciers comprimés.20 × 0.449 Calcul du bras de levier zb : o z b = d (1 − 0.50 (1 − 0.4 × 0.272 = 1.4 ) = 0.20 × 0. 24 Vérification si section partiellement tendue On calcul le moment réduit : µ bu = Puis on calcul Mu 0.5.449) = 0.L.297) = 0.8. Calcul des aciers tendus (section A1) Le calcul des aciers tendus doit être mené avec un moment correspond à µlim : µ lim = Calcul de αlim : o M lim => M lim = µ lim bd ² Fbu = 0.6.45m Moment réduit : µ bu = 0. 6. on fait donc un dimensionnement à l'E.45 0. Hauteur utile : d=0.170 MN .8.CNAM CCV109 – Béton armé 6.45(1 − 0.474 Pour vérifier la présence ou non d’aciers comprimés.45² × 14.50 0.8 (1 − 0.474 bd ² Fbu 0.17 = 0.4 ) = 0.45² × 14.369m . 5 3. Vérification du pourcentage minimum Ft 28 e − 0.170 = = 5.8.45 = 0.8.78 On est dans le cas ε sc > ed = = 0.45 F 434.23 0.CNAM CCV109 – Béton armé Calcul de la section d’armatures : A1 = o M lim 0.66cm ² 500 0.7.20 × 0.86cm² σe 434.185d 2 .45 Amin = 0. on a donc : A’= A’ -4 A= A – N/Fed= 16.45 = 0.60cm² z b Fed 0.10 – 0.574 − 0.170 = = 10.449 × 0.45 × 0.369 × 434. Armatures en flexion composée En flexion composée.05) = 0.78 = 7.5 (α lu d − d ' ) = (0.78= 8.73cm² 6.78Mpa On prend donc Calcul des aciers comprimés : A' = o Calcul des aciers A2 pour équilibrer A’ : A2 = A' o M u − M ul 0.86cm² (d − d ' )σ sc (0.449 × 0.0026 1000 × α lu × d 1000 × 0.46.8.08 = 5.86cm² A= 8.05) × 434.272 − 0.46cm² en partie inférieure (aciers tendus) o A’=5.45d b0 d Fe e − 0.73 cm² A’= 5.78 σ sc 434.78 Section totale à mettre en œuvre o A=A1+A2=16.185 × 0.23 Amin 25 .1 0.574 − 0.45 − 0.45 − 0.00217 E 200000 ε sc = σ sc = Fed = 434.336/434.78 Calcul des aciers comprimés (section A’) Calcul de l’allongement des aciers comprimés : 3.86cm² en partie supérieure (aciers comprimés) 6. 9. et e2.m= 0.474 MN On est dans le cas du dimensionnement d'une poutre.60m o d’= 0. à l'ELU.m Nu= 1. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELU.335 MN 6.50*70= 226.6 + 0.160 MN.m et Ng= -145 KN Durée d’application des charges : supérieure à 24h Matériaux : o Béton: Fc28= 25Mpa o Acier: Fe500 Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non préjudiciable Densité du béton : 25KN/m3 Hauteurs utiles : o d= 0.06Fc28= 0.06 x 25= 2.9.1.85 = 14.35*(-190) + 1.5 KN.CNAM CCV109 – Béton armé 6.9. les sollicitations sont les suivantes : Mu= 0.05m On souhaite dimensionner les armatures tendues de la poutre.145= -335 KN= -0.50*(-145)= -474 KN= -0.m et Ng=-190 KN o Surcharges d’exploitations : Mq=70 KN.35*90 + 1. Caractéristiques des matériaux Béton: Fbu = 0. A l’ELU.5 θ ×γ b o Fc28= 25 Mpa => o Ft28= 0. ELS Mser= 90 + 70= 160 KN.2.78Mpa 1.m Nser= -190 .9.474 . Considérons la section de poutre suivante: 65cm A 40cm Sollicitations : o Charges permanentes : Mg= 90 KN.227 = = −0. 6.3.m Nu= -0. par conséquent. Fed = Fe γs = 500 = 434. 26 Exercice 4: Section partiellement tendue avec effort de traction .474 MN.227 MN.17 Mpa 1.227 MN. On a donc: e0 = Mu 0.m= 0.15 Calcul des sollicitations ELU Mu=1.479m Nu − 0. on ne prendra pas en compte les excentricités ea.6 + 0.1 Mpa Acier Fe500 : 6.85 Fc 28 25 = 0. m Les sollicitations corrigées (ELS) sont donc : Nser= .160 MN.160/.097 = = 0.474 MN MuA= 0.097 MN. 097MN.0.479 – 0.60 0. Vérification si section partiellement tendue On calcul le moment réduit : µ bu = Puis on calcul Mu 0.8 (1 − 0.0475 bd ² Fbu 0. les valeurs précédemment déterminées sont calculées par rapport au centre de gravité de la section de béton seule. h/2 G0 A d . on a : Mser= 0.9. il est impératif de ramener le moment au centre de gravité des aciers tendus pour pouvoir dimensionner les armatures: Mg0 ≈ G0 N e0 eA N Le moment Mua vaut donc : h M uA = N u × e A = N u × ( e0 − (d − )) 2 Mua= 0.65 (1 − 0.m 6.60 + 0.068 MN.335 MN e0ser= 0.m Nser= -0.4 ) = 0.335 x (0.4. A l’ELS.478 – 0.068 MN.65/2)= 0.17 µ BC : h d h d µ BC = 0.m 6.335 MN Mser= 0.CNAM CCV109 – Béton armé 27 Sollicitations corrigées.m Les sollicitations corrigées (ELU) sont donc: NuA= .335= 0. Détermination des excentricités et sollicitations corrigées ELS.40 × 0.60 On est donc bien en section partiellement tendue.0.60 + 0.9.5.65 0.60² × 14. ATTENTION.4 ) = 0.65/2)= 0.8 0.0.478 m Il faut également ramener cette excentricité au centre de gravité des aciers tendus: h M serA = N ser × e A = N ser × ( e0 ser − (d − )) 2 Mua= 0.491 0.474 x (0. on peut utiliser la formule : 10 4 µ lim = 3220 × θ × γ + 51 FC 28 θ − 3100 avec γ = Mu Mser On a donc : 0.097 = = 3.585 × 434.10 + 0.81.278 0.71 cm² A’= 0 cm² A= 14.CNAM CCV109 – Béton armé 6.25 1 − (1 − 2 × 0.45d b0 d Fe e − 0.60 Amin = 0.23 0.0475 Calcul de α : [ ] α = 1.4 × 0.L.0475) = 0.068 γ= On a donc µ bu < µ lim => pas d'aciers comprimés.60(1 − 0.23 Amin .71 cm² 6.478 − 0.60m Moment réduit : µ bu = 0.60 = 0. 28 Dimensionnement des armatures en flexion simple On est en fissuration peu préjudiciable.185d 2 .60 = 2. θ et γ.94cm ² 500 − 0.6.061 o Calcul du bras de levier zb : o z b = d (1 − 0. on fait donc un dimensionnement à l'E.U.40 × 0.097 = 1.478 − 0.78 Armatures en flexion composée En flexion composée. il est nécessaire de calculer la valeur de µlim qui est fonction de fc28. M uA 0. Vérification du pourcentage minimum Ft 28 e − 0.81cm ² zb Fed 0.4α ) = 0.78= 14.474 / 434.9.9. Cette valeur peut être déterminée à partir des tables ou des formules approchées si Fc28 ≤ 30 Mpa.8.1 − 0.585m Calcul de la section d’armatures : Au = o 6.9. Hauteur utile : d=0. Dans notre cas (acier Fe500).45 × 0.061) = 0. on a donc : A’= A’= 0 -4 A= A – N/Fed= 3.0475 Pour vérifier la présence ou non d’aciers comprimés.7.185 × 0. Calcul des aciers tendus µ u = 0.43 => µ lim = 0. le dimensionnement des armatures est assez complexe et itératif.S: Nser est une compression: Nser > 0 M serA − A'σ sc (d − d ' ) > avec: σ sc = 15σ bc h − d' h 1h 1 h (1 − × )b0 d ²σ bc 2d 3 d A l'E.U: Nu est une compression: Nu > 0 h h M uA − A' Fed (d − d ' ) > 0. Cette condition s'est traduite de la façon suivante: A l'E. à savoir que le point C doit se trouver à l'intérieur des armatures.L.L.10. Dans ce cas.1.L.L. Définition Nous avons vu précédemment qu'une section rectangulaire peut être considérée partiellement tendue (ou partiellement comprimée) si le point C se trouvait à l'extérieur des armatures. on retranche le moment du aux aciers comprimés de façon à pouvoir comparer directement le moment sollicitant et le moment ultime d’une section entièrement comprimée. de nombreuses d’abaques de dimensionnement ont été établies pour des géométries données => on appelle ces abaques les « diagrammes d’interaction ». A l'E.CNAM CCV109 – Béton armé 29 6.8 (1 − 0. Sections entièrement comprimées 6.4 )b0 d ² Fbu d d Dans les deux critères précédents. le critère qui permet de dire qu'une section est entièrement comprimée est le critère inverse. .U: M uA 1 σ bc b0 h d − 2 h h ≤ 0.8 (1 − 0.10. Pour simplifier les choses.S: M serA A l'E.4 )b0 d ² Fbu d d ≤ M ser lim = h 1 h 1 h = 1 − × b0 d ²σ bc 3 2 d 3 d Par conséquent. avec: 4cm² / m de périmètre B A min = max 0.L.L. est défini par le schéma suivant: Le dimensionnement à l'E.2.2 100 . Calcul des armatures à L'E.CNAM CCV109 – Béton armé 30 6. à l'E. .S L'équilibre. de façon à respecter deux conditions: σ bc max ≤ σ bc La contrainte maximum sur le béton doit respecter: Le centre de poussée C doit rester dans le noyau central. ère Pour la 1 itération. La contrainte maximum sur le béton est calculée à partir de la formule: σ bc max = N ser M serG × v' + ≤ σ bc B0 I0 B0 et I0 représentent les caractéristiques géométriques de la section homogène: B0 = B + 15( A1 + A2 ) I0: inertie de la section B0 par rapport à G. on se fixe A1 + A2= Amin. d'une section en flexion composé entièrement comprimée.S est mené par itération sur les sections d'aciers A1 et A2.S.10.L. B représente la section de béton. L.S présente donc une infinité de solutions. L’utilisation des abaques de dimensionnement permet un dimensionnement plus rapide. les diagrammes d'interactions sont fixés à l'E.3. Définition des courbes d'interactions à l'E. le noyau central correspond à un losange de hauteur h/6 de part et d'autre de l'axe de symétrie de la section de béton.10. y h/6 h z G b/6 b On voit bien qu’un dimensionnement à l’E. dans le cas d’une section rectangulaire. De façon générale. 6. mais rien n'empêche de les établir à l'E. on part du schéma suivant : .S.L. Pour définir l'équilibre d'une section en flexion composée.U.CNAM CCV109 – Béton armé 31 Pour rappel.L.L.U Les courbes d'interactions sont des diagrammes d'interaction « moment-effort normal » qui permettent de dimensionner ou de vérifier rapidement une section dont les dimensions et les armatures sont connues. An : armature la plus éloignée de la zone comprimée.259d vue en flexion simple en considérant une valeur négative pour « dn ». on obtient un diagramme des déformations qui suit un des 3 pivots (voir cours de flexion simple) : Si y ≤ 0. on en déduit les contraintes suivantes: σcξ = contrainte de la fibre de béton à la profondeur ξ. v': fibre extrême comprimée de la section. Lorsque l'on fixe arbitrairement une valeur de y. εsj = déformation de l'armature Aj. on obtiendra les déformations suivantes : εcξ = raccourcissement de la fibre de béton à la profondeur ξ. x et y sont des axes de symétrie de la section. . A partir de ces déformations. dj: distance au centre de gravité de l'armature considérée.CNAM CCV109 – Béton armé 32 Les notations de ce schéma sont les suivantes: G0: centre de gravité de la section de béton seule. Cette distance est comptée positive dans le sens ascendant. le point de coordonnées N1(y) et M1(y) décrit une courbe C1 appelée courbe d'interaction. Pour une section donnée d'armatures.259(v − d n ) => pivot A Si 0. B: aire de la section de béton seule.259(v − d n ) » vient de l’expression y=0. si on fait varier l'axe neutre y.259( v − dn ) < Si y > h => pivot C L’expression « y ≤ h => pivot B y ≤ 0. v: fibre extrême tendue de la section. σsj = contrainte de l'armature Aj La résultante en force et en moment de ces forces par rapport à G0 nous donne: Y N N ( y ) = b d + σ ξ 1 ∫0 ξ cξ ∑1 A jσ sj Y N M ( y ) = b σ (v'−ξ )dξ + A σ d ∑1 j sj j ∫0 ξ cξ 1 Lorsque « y » varie. par itération. on obtient le contour C0 définissant le domaine de sécurité d'une section sans armature. on part de la section minimum d'armatures puis on itère pour satisfaire la condition précédente. pour plusieurs valeurs de y. Tout au plus. Si la section ne comporte pas d'armatures : M T = 0 PT = NT = 0 Aj=0 quelque soit j => P = M C = 0 C N C = Bf bu En faisant varier le contour C0. En général. Les deux courbes C1 et C2 forment un contour fermé appelé courbes d'interaction. manuellement. peut-on vérifier certains points particuliers. on inverse le sens de la flexion et on obtient la courbe C2. pour une section d'armatures imposées. . Ce contour représente une multitude d'efforts résistants. Il constitue le "domaine de sécurité" dans lequel doit se trouver le point représentatif des sollicitations agissantes. Cette méthode se prête très bien au développement informatique et permet facilement d'obtenir. la section d'armature nécessaire pour que le torseur soit situé à l'intérieur de ces courbes. le calcul est long et fastidieux. Par contre.CNAM CCV109 – Béton armé 33 En changeant le sens des moments. On a donc: ε sj = 2 / 1000 ⇒ σ sj = E s × ε sj ≤ Fed σ cξ = Fbu Le point correspondant sur la courbe Pc a les coordonnées suivantes: Y N N N1 (+∞) = N C = ∫ bξ σ cξ dξ + ∑ A jσ sj = B × Fbu + Fed ∑ A j 1 1 0 Y N N M (+∞) = b σ (v'−ξ )dξ + A σ d = F ∑1 j sj j ed ∑1 A j d j 1 ∫0 ξ cξ Cas ou Ni=0 Dans ce cas. Le point correspondant sur la courbe Pt a les coordonnées suivantes: N N σ N ( −∞ ) = N = A = − F ∑1 j sj 1 T ed ∑ A j 1 N N M 1 (−∞) = M T = ∑ A jσ sj d J = − Fed ∑ A j d j 1 1 Cas où on a y= +∞ Dans ce cas.CNAM CCV109 – Béton armé 34 Points particuliers de ces courbes Cette courbe présente un certain nombre de caractéristiques et points particuliers intéressants. Cas où on a y= -∞ Dans ce cas. la section est entièrement comprimée et on est à la verticale du pivot C (compression simple). la section est entièrement tendue et on est à la verticale du pivot A (traction simple). . on obtient le point PMF1 qui correspond au moment de flexion simple. ATTENTION. ce qui fait varier ρ et nous permet d'obtenir un réseau de courbes appelées diagrammes d'interactions. on fait varier leur sections. Chaque diagramme est défini pour une section donnée (béton.L. armatures. B × Fbu Mi µ= : moment fléchissant réduit en G0 (h représente la hauteur de la section dans BhFbu v= le plan de flexion).U par les diagrammes d'interactions. il est rappelé qu’une valeur positive de v= Ni correspond à un effort de B × Fbu compression. position des aciers). Pour dimensionner manuellement une section en flexion composée. Dimensionnement des aciers E. On calcul les sollicitations Ni et Mi (sollicitations au centre de gravité) en partant des formules que nous avons vu précédemment: Y N N1 ( y ) = ∫ bξ σ cξ dξ + ∑ A jσ sj 1 0 Y N M ( y ) = b σ (v'−ξ )dξ + A σ d ∑1 j sj j ∫0 ξ cξ 1 A partir des ces sollicitations Ni et Mi. on définit les paramètres suivants: Ni : effort normal réduit. on utilisera des diagrammes d'interactions.4. Pour une position donnée des armatures. .CNAM CCV109 – Béton armé 35 6.10. ρ= (∑ A j ) Fed BFbu : pourcentage mécanique des armatures. pour une section rectangulaire armée symétriquement (issu des abaques de dimensionnement du CEB) : .CNAM CCV109 – Béton armé 36 Voici un exemple de diagramme d’interaction. 0) et de pente K. d'origine (0. En effet. on a: F ed µ = − BhF M T = − Fed ∑ A j d j bu => F ed N T = − Fed ∑ A j v = − BF bu ∑ ∑ A jd j => Aj µ v = ∑A d h∑ Aj j j =K On se rend compte que le point PT se déplace sur une droite ∆T. Isolons une de ces courbes : Si on prend le point PT0 correspondant à la traction pure.CNAM CCV109 – Béton armé 37 Les différentes courbes. lorsque l'on fait varier la section d'armature. sont disposés à intervalle constant suivant les droites correspondantes à un rapport de déformations et donc une valeur constante de y. correspondant à différentes valeurs de ρ. passant par le point PT0. Il faut donc faire l'interpolation linéaire en direction de ces droites. on le fait proportionnellement pour toutes les armatures Aj. . on a les valeurs suivantes: Y N N N1 ( y ) = ∫ bξ σ cξ dξ + ∑ A jσ sj = BFbu +Fed ∑ A j 1 1 0 Y N N M ( y ) = b σ (v'−ξ )dξ + A σ d = F ∑1 j sj j ed ∑1 A j d j ∫0 ξ cξ 1 puis N BFbu + ∑ A jσ sj v= Ni = B × Fbu µ= F Mi = ed BhFbu BhFbu ρ= (∑ A j ) Fed BFbu 1 BFbu N = 1+ Fed ∑ A j 1 BFbu .1) et de pente K L'interpolation linéaire doit donc se faire entre les différentes valeurs de ρ. soit en dimensionnement. N ∑A d j j 1 : pourcentage mécanique des armatures. Ces diagrammes d'interactions peuvent être utilisés soit en vérification de sections. et en suivant la direction des droites ∆. il est important de retenir que pour une section entièrement comprimée. Pour la suite.CNAM CCV109 – Béton armé 38 Si on prend le point PC correspondant à la compression pure. on a: F µ = ed ∑ A j d j M C = Fed ∑ A j d j BhFbu => BF F A F A N C = BFbu + Fed ∑ A j v = bu + ed ∑ j = 1 + ed ∑ j BFbu BFbu d'où: µ v −1 = ∑A d h∑ A j j = K et le point PC se déplace sur une droite ∆C passant par le point PC0 de j coordonnée (0. . sur le diagramme d'interaction correspondant aux couples εbc et εs. le pourcentage mécanique d’armatures ρ. Puis on calcul les armatures nécessaires en les disposant symétriquement: ρ= (∑ A) Fed b0 hFbu => Fbu ∑A= ρ F ed b0 h .85 Fc 28 Caractéristiques des matériaux: Nu et MuGo (MuG0=Nu(e1 + e2)) Dimensions de la section de béton: b0 et h θγ b et Fed = Fe γs On calcul les quantités suivantes: Nu b0 × h × Fbu M uG 0 µ= b0 × h ² × Fbu v= On détermine ensuite.CNAM CCV109 – Béton armé 39 Utilisation des diagrammes d'interactions en dimensionnement d'une section Les données du problème sont: Fbu = 0. CNAM CCV109 – Béton armé 40 Utilisation des diagrammes d'interactions en dimensionnement d'une section Les données du problème sont: Fbu = 0.85 Fc 28 Caractéristiques des matériaux: Nu et MuGo (MuG0=Nu(e1 + e2)) Dimensions de la section de béton:b0 et h Quantités et position des armatures: ∑A θγ b et Fed = Fe γs On calcul les quantités: Nu b0 × h × Fbu Mu µ= b0 × h ² × Fbu v= ρ= (∑ A) Fed b0 hFbu On vérifie sur le diagramme que le point se trouve à l'intérieur ou sur la courbe correspondante au pourcentage d'armature. . 5. 41 .10.CNAM CCV109 – Béton armé 6. Exemples d’abaques. CNAM CCV109 – Béton armé 42 . CNAM CCV109 – Béton armé 43 . CNAM CCV109 – Béton armé 44 . CNAM CCV109 – Béton armé 45 . CNAM CCV109 – Béton armé 46 . CNAM CCV109 – Béton armé 47 . CNAM CCV109 – Béton armé 48 .