HyperfréquencesChapitre 2 : Paramètres S Doc.Ing. IMANE HALKHAMS Hyperfréquences 1 Plan 1- La matrice [S] 2- Matrices [S] élémentaires 3- Propriétés de la matrice [S] Hyperfréquences 2 Plan 1- La matrice [S] 2- Matrices [S] élémentaires 3- propriétés de la matrice [S] Hyperfréquences 3 comme nous le verrons. Les paramètres S. ont un lien direct entre les transferts de puissance entrée↔sortie d’un quadripôle et la puissance est le paramètre le plus facile à mesurer en hyperfréquence. matrice de répartition ou (( scattering matrix )).Matrices impédances et admittances La matrice [S]. I1 I2 V1 Quadripôle V2 Tensions et courants appliqués à un quadripôle. L’intérêt pratique est donc considérable puisque c’est aussi presque exclusivement des optimisations de transfert de puissance qui sont recherchées dans les systèmes hyperfréquences. Hyperfréquences 4 . est l’outil de base pour l’étude des quadripôles ou des multipôles linéaires en hyperfréquence. c’est à dire des fonctions électriques liant un port d’entrée à un port de sortie. Dans ce qui suit nous considérerons des quadripôles tels que celui montré ci- dessous. ou tension-courant.1) La connaissance de l’une de ces deux matrices définit totalement la fonction. pour un quadripôle linéaire. I1 I2 V1 Quadripôle V2 Tensions et courants appliqués à un quadripôle. Il subsiste toutefois un problème de taille : Comment mesurer les paramètres qui interviennent dans ces matrices ? Hyperfréquences 5 . la Matrice Admittance. c’est-à-dire : (1. Une méthode usuelle pour connaître la fonctionnalité d’un quadripôle est de connaître sa matrice de transformation courant-tension. la Matrice Impédance. En hyperfréquences. on en déduit aisément une procédure de mesure mettant en jeu successivement des mesures en circuits ouverts pour la matrice impédance [Z] — respectivement en court-circuit pour la matrice admittance [Y ]—afin d’en déduire les éléments. la matrice [S] qui aura l’avantage d’être mesurable sur entrée et sortie adaptées. Nous sommes amenés à définir une nouvelle matrice. (1. ce qui résoudra tous ces problèmes. afin de réaliser les conditions d’annulation de courant et/ou de tension. et d’un bon Court-Circuit dans le cas de la matrice [Y ]. usuellement 50 Ω. Ceci pose toutefois le problème essentiel de la disponibilité d’un bon Circuit Ouvert dans le cas de la matrice [Z]. Hyperfréquences 6 .2) ce qui se lit par exemple [( Z11 égale le rapport de V1 sur I1 lorsque I2 est nul )]. La charge complexe ZL est branchée aux bornes de la source de tension E d’impédance interne Z0. Il vient alors : (1. d’une façon analogue à ce que l’on fait en Optique. Ceci présuppose toutefois que l’on découpe le courant et la tension en une Composante Incidente et une Composante Réfléchie.3) Hyperfréquences 7 . I Z0 V ZL + E - Générateur d’impédance interne Z0 chargé par ZL.Coefficients de réflexion en tension et en courant Définissons dans un premier temps les coefficients de réflexion en tension et en courant d’un réseau à un accès représenté Ci-dessous. soit : (1.8) Hyperfréquences 8 .6) Des deux relations précédentes.5) De même la Tension Incidente est la tension aux bornes de ZL à l’adaptation : (1. (1.4) Alors le Courant Incident est le courant à l’adaptation. on déduit directement : (1. (1.7) Le Courant Réfléchi et la Tension Réfléchie sont alors les différences par rapport aux courant et tension calculés aux bornes de ZL.On dit qu’il y a Adaptation lorsque l’impédance de charge est conjuguée de l’impédance de source. 9) et de la tension réfléchie : (1.12) Hyperfréquences 9 .Soit l’expression du courant réfléchi : (1.11) Il apparaît de façon évidente que si Z0 est réelle alors ces deux coefficients sont égaux et on a : (1.10) cela implique que et donc De ces relations nous déduisons directement les expressions des coefficients de réflexion en courant et en tension : (1. 13) on obtient alors : (1.14) Ondes incidentes et réfléchies On définit l’Onde Incidente par la relation : (1. De plus on utilisera souvent l’Impédance Réduite z telle que (1.Bien évidemment nous nous placerons en permanence dans ce cas pour des raisons de simplicité. on obtient : (1.15) Seule R0 partie réelle de Z0 subsiste.16) Hyperfréquences 10 . v. i .19) Ceci permet d’introduire naturellement la Tension Réduite. par (1.17) on aura : (1. [A] [Ω]1/2 pour i.20) Les variables réduites v et i possèdent donc une dimension qui est [V ] [Ω]-1/2 pour v. et le Courant Réduit.18) Alors ces définitions impliquent : (1. Hyperfréquences 11 .De manière similaire on définit l’Onde Réfléchie : (1. Matrice [S] Considérons à présent le Multipôle à n accès de la figure suivante : Ej Z0j 1 2 n-1 n Multipôles Schéma générique d’un multipôle.21) Hyperfréquences 12 . Nous pouvons généraliser la notion d’ondes incidentes et réfléchies avec les vecteurs (a) et (b) par : (1. 22) La matrice [S] est alors définie par la relation de passage : (1. et (1. a1 a2 Quadripôle b1 b2 Schématisation d’un quadripôle Hyperfréquences 13 . on a b = S.24) S : représente le coefficient de réflexion de la charge considérée.a en grandeur scalaire et donc : (1.23) Dans le cas particulier où n = 1. Hyperfréquences 14 . si a1 = 0. on a alors affaire à un quadripôle.Dans le cas particulier où n = 2. De même. pour lequel on écrit : (1. alors S22 = b2/a2 est le coefficient de réflexion vu à la sortie et S12 = b1/a2 est le coefficient de transmission de la sortie vers l’entrée. ce qui signifie que la sortie du quadripôle est adaptée. ce qui signifie que l’entrée du quadripôle est adaptée.25) En conséquence si a2 = 0. alors S11 = b1/a1 est le coefficient de réflexion vu à l’entrée et S21 = b2/a1 est le coefficient de transmission de l’entrée à la sortie. Conditions de mesure des paramètres S: On supposera dans toute la suite que l’impédance de référence vaut 50 Ω Hyperfréquences 15 . Conditions de mesure des paramètres S: Hyperfréquences 16 . La matrice [S] 2.propriétés de la matrice [S] Hyperfréquences 17 . Plan 1.Matrices [S] élémentaires 3. Considérons une impédance z en série dans une ligne.Matrice d’une impédance série Z i1 i2 a1 a2 v2 b1 v1 b2 Impédance série sur une ligne.1) En utilisant les définitions des ondes incidentes et réfléchies de (1. Calculer la matrice [S ]de ce quadripôle.20). Les lois de Kirchoff et d’Ohm donnent : (2. Hyperfréquences 18 . 3) Hyperfréquences 19 .20). En utilisant les définitions des ondes incidentes et réfléchies de (1. on trouve aisément : (2.2) et donc la matrice [S] d’une impédance série s’écrit : (2.Matrice d’une impédance série Z i1 i2 a1 a2 v2 b1 v1 b2 Impédance série sur une ligne. Avec les mêmes raisonnements que précédemment calculez la matrice S correspondante: Avec: v = v1 = v2 i=yv i = i1 +i2 Hyperfréquences 20 .Matrice d’une impédance parallèle Considérons à présent une admittance y en parallèle sur un tronçon de ligne. 5) où Ф = (2πl)/λ est la longueur électrique du tronçon de ligne de longueur physique l .Matrice d’un tronçon de ligne : La matrice [S] d’un tronçon de ligne se détermine simplement en appliquant les définitions des paramètres S issues de (1.25) Ainsi. Hyperfréquences 21 . nous obtenons : (2.25) : (1. alors a2 = 0 et : Hyperfréquences 22 .Ф1 Tronçon de ligne ajouté en entrée d’un quadripôle de matrice [S] connue Imaginons un tronçon de Ligne placé en entrée d’un quadripôle de matrice [S] connue. Ce tronçon de ligne apporte un déphasage Ф1 lié à la propagation. Si l’on suppose tout d’abord que la sortie est adaptée.Changement du plan de référence aux accès d’un quadripôle : ligne [S] Z0. – le coefficient de transmission de la sortie vers l’entrée subit une fois le déphasage. cela conduit à : (2. donc : En résumé.6) –le coefficient de transmission de l’entrée vers la sortie subit une fois le déphasage. – le coefficient de réflexion en entrée subit deux fois le déphasage. donc : (2.7) Hyperfréquences 23 . alors a1 = 0 et : – le coefficient de réflexion vu de la sortie ne change pas. donc Si l’on suppose à présent que l’entrée est adaptée. Plan 1.Matrices [S] élémentaires 3.propriétés de la matrice [S] Hyperfréquences 24 .La matrice [S] 2. S31 = .Matrice S et puissance: Considérons le composant à 4 ports suivant: b2 a2 On suppose qu’il existe une onde incidente sur le port 1. S41 = 𝑎1 𝑎1 𝑎1 Hyperfréquences 25 . alors que a1 b3 toutes les autres ondes incidentes sont nulles: a2=a3=a4=0 b1 a3 a4 b4 𝑏2 𝑏3 𝑏4 Les paramètres sont alors calculés: S21 = . alors an=0. b1 a3=0 a4=0 b4 Si les ports sont terminés par des impédances adaptées. ZL =Zo.Matrice S et puissance: Comment s’assurer que toutes les autres ondes incidentes sont nulles? b2 a2=0 Broncher à la a1 b3 terminaison des ports une impédance adaptée. Hyperfréquences 26 . En d’autres termes. terminer un port c’est s’assurer qu’aucune onde incidente n’existera sur ce port. 𝑉𝑚 =am+bm Et puisqu’il n’y a pas d’onde incidente.Matrice S et puissance: Remarquez que pour les ports chargés par une impédance adaptée. la tension est égale à la somme des ondes incidentes et réfléchies. (ex: S21. S13) Hyperfréquences 27 . S43. alors: 𝑉𝑚 =0 + bm Ainsi. nous pouvons exprimer les paramètres S d’un port par: 𝑉𝑚 𝑆𝑚𝑛 = 𝑎𝑛 Ceci peut servir pour déterminer les paramètres S quand m≠n. si les autres ports ne sont pas chargés par des impédances adaptées ? La sortie à n’importe quel port est égale à la somme des ondes transmises vers ce port. an Hyperfréquences 28 . Ainsi. 𝑎2+ 𝑆31. 𝑎1 D’une manière générale: bm= ∑ Smn. 𝑎4 + 𝑆33.Matrice S et puissance: Maintenant. 𝑎3+ 𝑆32. pour le port 3 par exemple: b3 = 𝑆34. et que les autres ports sont chargés par des impédances adaptées également. pour tout m. Am = 0. Nous remarquons donc qu’un port adapté représentera toujours une matrice S dont la diagonale est nulle. veut dire que l’impédance d’entrée de chaque port est égale à Zo. Ex: Hyperfréquences 29 . En conséquence. pour tout port m adapté.Matrice S et puissance: Composant adapté. Ainsi: Smm = 0. réciproque: Un composant adapté. En d’autres termes: bm= Smm. le coefficient de réflexion à chaque port est nul. la puissance n’est pas absorbée par le réseau pas de transformation en chaleur.Matrice S et puissance: Composant adapté. toute la puissance délivrée à un port devrait éventuellement en sortir !! An d’autres termes. réciproque: Pour un composant sans pertes. La puissance incidente sur un port m est reliée à l’amplitude de l’onde incidente à ce port: 2 |𝑎𝑚| 𝑃+ 𝑚 = 2𝑍𝑜 Tandis que de la puissance l’onde réfléchie est définie par: |𝑏𝑚| 2 𝑃− 𝑚 = 2𝑍𝑜 La puissance absorbée par le composant est donc: |𝑎𝑚|2 |𝑏𝑚|2 ∆𝑃 = 𝑃+ 𝑚 − 𝑃− 𝑚 = − 2𝑍𝑜 2𝑍𝑜 Hyperfréquences 30 . Hyperfréquences 31 .7 𝑆(𝑤 = 𝑤𝑜) = 𝑗0. .La puissance absorbée par le quadripôle. Nous supposons que l’impédance connectée au port 2 est adaptée. L’expression de l’onde incidente sur le port 1 est donnée par: 𝑎1 = -j 2 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 Avec 𝛽𝑧=0. .1 𝑗0.7 −0.Les courants I1 et I2.Les tensions V1 et V2.2 Avec Zo=50𝛺.Exercice: Considérons le quadripôle avec la matrice suivante: 0. Calculez: . Et le produit des colonnes similaires est nul. c’est-à-dire que ses colonnes sont orthogonales: .Matrice S et puissance: Composant adapté. 𝑁 ∗ 𝑚=1 𝑆𝑛𝑖. 𝑆𝑛𝑗 =0 Hyperfréquences 32 . réciproque: Pour un composant sans pertes. la puissance à l’entrée est égale à la puissance à la sortie: 𝑃+𝑚 = 𝑃−𝑚 ∆𝑃 = 𝑃+ 𝑚 − 𝑃− 𝑚 = 0 Comment reconnaître la matrice S d’un quadripôle sans pertes? La matrice S d’un quadripôle sans pertes est dite unitaire. 𝑁 2 𝑚=1 |𝑆𝑚𝑛| =1 .La somme de ses colonnes est égale à 1. On suppose qu’il existe une onde incidente sur le port1 et que tous les autres ports sont terminés par des impédances adaptées. |2 . |2 +|𝑆31. 𝑃+ 1+|𝑆31. La puissance incidente sur le port 1est donc: + |𝑎𝑚|2 𝑃 𝑚= 2𝑍𝑜 La puissance de l’onde réfléchie est définie par: − |𝑏𝑚|2 |𝑆𝑚1. 𝑃+ 1 Et puisque le composant est sans pertes. 2 + |𝑆21. |2 . 𝑎𝑚|2 𝑃 𝑚= = =|𝑆𝑚1. |2 +|𝑆21. |2 +|𝑆31. 𝑃+ 1 2𝑍𝑜 2𝑍𝑜 La puissance totale sortant du composant est: 𝑃− = 𝑃− 1 + 𝑃− 2 + 𝑃− 3 = |𝑆11. |2 . 𝑃+ 1 + |𝑆21. |2 ). |2 . alors la puissance à l’entrée est égale à la puissance à la sortie.Matrice S et puissance: Composant adapté: Considérons par exemple un composant sans pertes à 3 pôles. D’où: 𝑆11. |2 = 1 Hyperfréquences 33 . 𝑃+ 1 = (|𝑆11. |2 = 1 En d’autres termes. Un exemple d’une matrice S unitaire: Hyperfréquences 34 . + |𝑆22. |2 +|𝑆32. |2 = 1 𝑆13. 2 + |𝑆23. les colonnes de la matrice S doivent avoir l’amplitude unité.Matrice S et puissance: Composant adapté: Si l’onde incident existe sur les autres ports : 2 𝑆12. |2 +|𝑆33. Matrice S et puissance: Exercice: Soit un composant réciproque à 3 ports avec les paramètres S suivants: 𝑆11=1/2 𝑆31 =1/ 2 𝑆33 =0 Trouvez les 6 paramètres restants. Hyperfréquences 35 . Matrice S et puissance: Exercice: Soit un composant réciproque à 3 ports avec les paramètres S suivants: 𝑆11=1/2 𝑆31 =1/ 2 𝑆33 =0 Nous avons: 1/2 𝑆12 𝑆13 𝑆= 𝑆21 𝑆22 𝑆23 1/ 2 𝑆32 0 Puisque le composant est réciproque. alors: 𝑆21 =𝑆12 𝑆13=𝑆31 = 1/ √2 𝑆32 =𝑆23 La matrice devient: 1/2 𝑆12 1/ √2 𝑆= 𝑆21 𝑆22 𝑆32 1/ 2 𝑆32 0 Hyperfréquences 36 . + |𝑆22. |2 = 1 2 1/ √2 + |𝑆32. 𝑆13.Matrice S et puissance: Exercice: Soit un composant réciproque à 3 ports avec les paramètres S suivants: 𝑆11=1/2 𝑆31 =1/ 2 𝑆33 =0 Puisque le composant est sans pertes alors: 𝑆11. 2 + |𝑆 |2 +|𝑆 |2 = 1 22. |2 +|𝑆32. 32. |2 +|0|2 = 1 Hyperfréquences 37 . |2 +|1/ 2|2 = 1 1/2 2 + |𝑆21. |2 = 1 2 𝑆12. 2 + |𝑆21. |2 = 1 𝑆21. |2 +|𝑆31. |2 +|𝑆33. 2 + |𝑆23. Matrice S et puissance: Exercice: Soit un composant réciproque à 3 ports avec les paramètres S suivants: 𝑆11=1/2 𝑆31 =1/ 2 𝑆33 =0 La matrice est donc: 1/2 1/2 1/ √2 𝑆= 1/2 1/2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 Hyperfréquences 38 .