Le principal objectif de ce cours est de permettre à l’étudiant d’acquérirdes connaissances de base de l’électronique numérique. Il permet à l’étudiant de comprendre le fonctionnement de circuits logiques combinatoires et séquentiels qui sont à la base de l’architecture des ordinateurs. 1 Descriptif et contenu Systèmes binaires et algèbre de Boole Portes: ET, OU inclusif/ exclusif , porte NON , NON ET et NON OU, Porte à Trois Etats Théorèmes de Morgan Résumé des identités booléennes de base Ecritures canoniques d'une fonction logique (Somme canonique de produits, Produit canonique de sommes) Simplification de l'écriture des fonctions logiques (Simplification algébrique, Tableaux de Karnaugh) Addition binaire (Demi additionneur, Additionneur, Addition en parallèle, Addition séquentielle) Soustraction (Demi soustracteur, Additionneur-soustracteur, Comparaison) Contrôle de parité Décodage (Décodeur DCB-décimal) Multiplexage (Démultiplexeur, Multiplexeur, Conversion parallèle-série) Encodage Unité arithmétique et logique Logique séquentielle asynchrone et synchrone Bascules: RST ou RS Clock, JK, D et T Registres: mémorisation, décalage Compteurs : asynchrones, synchrones 2 CHAPITRE I : Algèbre Booléenne et simplification logique 3 4 . Elle a été publiée en 1847.INTRODUCTION : L’algèbre de Boole doit son nom au mathématicien Anglais Georges BOOLE (1815 – 1864). L'algèbre de Boole des fonctions logiques permet de modéliser des raisonnements logiques. l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques. en exprimant un « état » en fonction de conditions. L’algèbre booléenne permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs de la logique des propositions. Cette algèbre a été mise en place pour formaliser les règles de la logique des propositions. Aujourd'hui. 5 .INTRODUCTION : Exemple : Communication = Émetteur ET Récepteur Communication est « VRAI » Si Émetteur actif ET Récepteur actif (c'est une fonction logique dépendant des variables Émetteur et Récepteur) Décrocher = ( Décision de répondre ET Sonnerie ) OU décision d'appeler Décrocher est « VRAI » Si on entend la sonnerie ET que l'on décide de répondre OU si l'on décide d'appeler. CONCEPTS DE BASE 1. qui peut être soit vraie. 0 et 1 sont des notations facilitant la lisibilité mais ne désignant pas les réels 0 et 1 ! 6 . soit fausse.II. (P2) La température du four est supérieure à 400° Par convention on notera vrai = 1 et faux = 0. Prédicat On appelle prédicat ou proposition logique une « phrase ». Exemples : (P1) Il neige. OU ) composé d'un ensemble B = {0. ET . CONCEPTS DE BASE 2.OU ∈ BxB B appelés → respectivement multiplication logique et addition logique. d'un opérateur unaire NON ∈ B B appelé complémentation. de deux opérateurs binaires ET .II. un quadruplet (B. NON . Définition On appelle algèbre de Boole. OU 7 . ET. → Nous pouvons définir les opérateurs : NON. 1} . Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a NOT a 0 1 ✔ ET ou multiplication logique ( a AND b.b). a.II. CONCEPTS DE BASE 2. a ). Définition ✔NON ou complémentation logique ( NOT a. Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a.b 8 . Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a+b 9 . Définition ✔ OU ou addition logique ( a OR b. a+b ). CONCEPTS DE BASE 2.II. II. CONCEPTS DE BASE 3. Propriétés de base Une algèbre de Boole vérifie les axiomes suivants : 10 . CONCEPTS DE BASE 4. Théorèmes Une algèbre de Boole vérifie les théorèmes suivants : 11 .II. a⊕b).b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a⊕ ⊕b 12 . ⊕ il correspond à l'équation suivante : a⊕b = a .II. Opérateurs ou fonction complémentaires ✔ OU exclusif ( a XOR b.b + a . CONCEPTS DE BASE 5. II. Opérateurs ou fonction complémentaires L'opérateur OU exclusif vérifie les propriétés suivantes : 13 . CONCEPTS DE BASE 5. il correspond à l'équation suivante : a NANDb = a .II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires ✔NON ET ou NAND ( a NANDb ). b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a NANDb 14 . CONCEPTS DE BASE 5.II. Opérateurs ou fonction complémentaires ✔NON ET ou NAND Remarques : 15 . CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires ✔NON OU ou NOR ( a NORb ).II. il correspond à l'équation suivante : a NORb = a + b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a NORb 16 . Opérateurs ou fonction complémentaires ✔NON OU ou NOR Remarques : 17 . CONCEPTS DE BASE 5.II. Opérateurs ou fonction complémentaires ✔Implique (a⇒b). il correspond à l'équation suivante : a⇒b ⇒ = a +b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a⇒ ⇒b 18 . CONCEPTS DE BASE 5.II. Opérateurs ou fonction complémentaires ✔Equivalent ( a⇔b ).b = a ⊕ b = aXORb Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a⇔ ⇔b 19 . CONCEPTS DE BASE 5. il correspond à l'équation suivante : a⇔b ⇔ = a.b + a.II. il correspond à l'équation suivante : a|b =a + b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b 0 0 0 1 1 0 1 1 a|b 20 . Opérateurs ou fonction complémentaires ✔Inhibe ( a|b).II. CONCEPTS DE BASE 5. y.OU ) où B est l'ensemble B = {0. Exemple : f (x.an) ∣ ai ∈ ∈B} avec ∣∣Bn∣ = 2n On appelle fonction booléenne de n variables....ET .. . toute application de Bn dans B. Définition Soit une algèbre de Boole constituée du quadruplet (B. FONCTIONS BOOLÉENNES 1.. 1}.z + x( y + z ) 21 .a2 . NON .III. Soit Bn = {(a1 .. z) = x. La table de vérité d'une fonction de n variables est composée de n + 1 colonnes et de 2n lignes. On donne donc la valeur de la fonction pour chaque combinaison des n variables booléennes.III. FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Table de vérité Une fonction booléenne de n variables est entièrement définie par la liste de ses valeurs. 2 variables ==> 3 colonnes et 4 lignes 3 variables ==> … colonnes et … lignes 4 variables ==> … colonnes et … lignes 22 . On obtient ainsi la table de vérité de la fonction. z) = peut-être définie par la table de vérité ci-dessous : X y z f (x. y. z) 23 .III. FONCTIONS BOOLÉENNES 2. y. Table de vérité Exemple : La fonction f (x. III. FONCTIONS BOOLÉENNES 3. Une fonction booléenne f de n variables booléennes Bn dans B est une application qui a tout n-uplet de B fait correspondre un élément B construit à l’aide des opérations booléennes Exemple : f(a. NON . b. Formes canoniques d’une fonction booléenne 3. d)= abc + ab + dc + b 24 . c.OU ) une algèbre de Boole. c)= a + a b + b c g(a.1 Fonction booléenne Soit (B. b.ET . Formes canoniques d’une fonction booléenne 3. c et d quatre variables booléennes. abcd. a bc d et abcd sont trois mintermes construit à partir des variables a.III. chaque facteur correspondant à une variable donnée ou à son complémentaire. a + b + c + d et a + b + c + d sont trois maxtermes construit à partir des variables a. b. Exemple : Soit a.2 Mintermes et maxtermes Un « minterme » de n variables est un produit comportant n facteurs. chaque terme correspondant à une variable donnée ou à son complémentaire. b. a + b + c + d . b. c et d. Un « maxterme » de n variables booléennes est une somme comportant n termes. c et d. FONCTIONS BOOLÉENNES 3. Remarque : A partir de n variables booléennes on peut élaborer 2n mintermes et 2n maxtermes 25 . Exemple : Considérons la fonction booléenne : = a b On a : (1 est un élément neutre de la multiplication) f (a. FONCTIONS BOOLÉENNES 3.c) = ab .b.III. Formes canoniques d’une fonction booléenne 3. Ce produit est appelé « forme conjonctive : PDS » de f. il est possible d’écrire f sous la forme d’un produit de maxtermes.(c + c) = abc + abc (distributivité) 26 . Il est possible d’écrire f de façon unique sous la forme d’une somme de mintermes.1 (principe du tiers exclus) = ab.3 Forme canoniques disjonctive et conjonctive d’une fonction booléenne Soit f une fonction booléenne de Bn dans B. De façon analogue. Cette somme est appelée « forme disjonctive : SDP» de f . définie par sa table de vérité non partirons de la forme canonique disjonctive de la fonction booléenne pour en établir une forme simplifiée. Cette méthode. On obtient ainsi un polynôme contenant un minimum de variable. est fastidieuse et hasardeuse. utilisable dans des cas simples. Définition Une fonction étant. en générale. Simplification par calcul En utilisant les axiomes et les théorèmes de l'algèbre de Boole.IV. 1. 27 . SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 1. nous pouvons obtenir la forme simplifiée d'une fonction booléenne. 1 Définition Un tableau de Karnaugh est une table de vérité dans lequel chaque case représente un Minterme. Simplification par tableau de Karnaugh 2. Exemple : Tableau de Karnaugh à 4 variables 28 . Les cases du tableau sont ordonnées suivant un code binaire réfléchi (le code GRAY (ci-dessous)) de tel sorte que pour passer d'une case à une autre seule une variable change d'état. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2.IV. Simplification par tableau de Karnaugh Exemple : Tableau de Karnaugh à 4 variables 29 . SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2.IV. 2 Méthodologie a) Remplissage du tableau ✔ Ecrire 1 dans chaque case (Minterme) correspondant à une valeur vraie de la fonction booléenne. 30 . Simplification par tableau de Karnaugh 2. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. ✔ Ecrire 0 dans chaque case (Minterme) correspondant à une valeur fausse de la fonction booléenne.IV. ✔ Ecrire X dans chaque case (Minterme) correspondant à une valeur non définie de la fonction booléenne. ✔ Le terme correspondant à chaque groupe est le produit des variables qui restent inchangées sur l'ensemble des cases constituant le regroupement. On appelle ce terme un impliquant premier 31 .2 Méthodologie b) Regroupement ✔ Regrouper les cases adjacentes contenant des 1 ou des X par puissances de 2 en formant les plus grands groupes possibles. Simplification par tableau de Karnaugh 2. 16. .. 2n cases). 4. 8. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. • Aucune case contenant un 0 n'est incluse dans un regroupement. 2. • Chaque groupe est de taille maximale (1. ✔ Vérifier que : • Chaque case contenant un 1 appartient au moins à un regroupement.IV.. Simplification par tableau de Karnaugh 2. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2.2 Méthodologie c) Fonction booléenne simplifiée La fonction booléenne simplifiée est la somme de tous les impliquants premiers. 32 . Remarque : La méthode de simplification par tableau de Karnaugh reste limitée aux fonctions booléennes ne comportant pas plus de 5 à 6 variables.IV. z) = xyz + xyz + xyz + xyz + + x yz Nous pouvons établir le tableau de Karnaugh suivant : D'où la forme simplifiée de la fonction f (a. y. Simplification par tableau de Karnaugh Exemple 1 :Diagramme de Karnaugh d’une SDP non standard Soit la fonction f ( x. y + x( y + z ) dont la forme canonique disjonctive est égale à f ( x. c) = xz + y 33 . SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. z ) = x.IV. y. b. ( A + B + D).IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. C . Simplification par tableau de Karnaugh Exemple 2 :Diagramme de Karnaugh d’une PDS non standard Soit la fonction PDS minimisé g suivante g ( A.( A + B + C ) La combinaison des valeurs binaires sont : (x+x+0+0)(0+0+x+0)(1+0+0+x) CD 00 AB 00 0 01 0 11 0 10 0 01 11 10 0 PDS standard ? SDP standard ? SDP minimisé ? 0 34 . D) = (C + D). B. démontrer les équivalences suivantes : T 1 ≡ ( a + b )( a + c ) ≡ ac + ab T 2 = ( a + b )( a + c )(b + c ) ≡ ( a + b )( a + c ) EXERCICE 2: Ecrire les tables de vérités des fonctions suivantes : ab.Applications EXERCICE 1: Deux fonctions sont équivalentes si elles ont la même forme canonique . ab + ab. ab Montrer qu’elles permettent de comparer a et b 35 . SCHÉMATISATION DES OPÉRATEURS LOGIQUES 1. Notation Française 36 .V. SCHÉMATISATION DES OPÉRATEURS LOGIQUES 2.V. Notation Américaine 37 .