Semana 04Separata 04 GEOMETRÌA TEMA: PROPORCIONALIDAD.-SEMEJANZA.-RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO.-RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA.-POLÍGONOS REGULARES. 1. En la figura mostrada, las rectas L1, L2, L3 proposiciones verdaderas I. y L4 son paralelas. Indique las a x n m b d a x z e c e m x II. III. az mc a. Sólo I c. II y III e. Todas a b. I y II d. I y III b c x m d n e z L1 L2 L3 L4 2. En un triángulo ABC recto en B, se dibuja una semicircunferencia tangente a los lados AB y BC en los puntos P y Q, y el diámetro de la semicircunferencia está contenido en el lado AC . Si AP 2u y PB 6 u , entonces la longitud (en u) de BC es a. 16 b. 18 c. 20 d. 22 e. 24 SEDE SUR: Av. Armendáriz 497 – Miraflores Telefax: 445-2308 / 446-2593 SEDE NORTE: Av. Honorio Delgado 430 Urb. Ingeniería – SMP Teléfono: 481-4639 SEDE ESTE: Av. José Antonio 310 – La Molina Teléfono: 444-8685 Web: www.upch.edu.pe/vracad/cfpu - Email:
[email protected] Pre UPCH Cayetano 3. En un trapecio ABCD AB // CD , las diagonales AC y BD se intersectan en el punto M. Si AB 10 u , AM 2u y MC 3 u , entonces la longitud (en u) de la base DC es a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 18 4. En la figura mostrada , su r su r suur L 1 // L 2 // L 3 . Si AC x 2 , CE x 5 , BD x y DF x 1, entonces la longitud de BD es a. 1 b. 2 A B C c. 3 L1 D L2 d. 4 e. 5 5. En un triángulo ABC, E F se traza la bisectriz interior BD tal que BC AB 2u ,entonces la longitud (en u) de AB es a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 L3 AD 3 . Si DC 4 e. 8 6. En un trapecio ABDC de bases AB y CD , las diagonales AD y BC se intersectan en Q. Se traza una recta paralela a las bases, que intersecta a QC y AQ QN QD . Si QD en los puntos M y N, respectivamente, tal que: 2 3 4 BC 45 u , entonces la longitud (en u) de QB es a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 7. En la figura mostrada ,: AE // BF y AF // BG . Si OE a y EF b , entonces FG es ab a) 2 G b) ab F b c) a b E a a d) a b O b A e) a2 b2 B En un triángulo ABC. al lado BC en Q y a la prolongación de AB en el punto P. se ubican los puntos R y Q sobre BC y PC . Si AB 6 cm y BC 12 cm . entonces la suma de las longitudes de los tres segmentos resultantes es A) 8 D) 15 B) 10 E) 18 C) 12 11.5 13. Si BN 3 u y NC 4 u .5 D) 5 B) 4 E) 5.5 C) 4. PC=9m y PO=8m. se trazan las cevianas AP y BQ que concurren en el punto O tal que BP=6m. se inscribe un rombo BMNT. En un triángulo ABC. Entonces.5 c) 3 d) 4 e) 4.Pre UPCH Cayetano 8. se traza una recta que pasa por el vértice D e intercepta a AC en R . entonces la longitud (en m) de QC es A) 3. respectivamente. entonces la longitud (en u) de AC es: . Si BC=10m. se divide en cuatro partes congruentes. El lado AC de un triángulo ABC .5 9. Si QR=3m y RD=4m. entonces la longitud (en m) de PQ es A) 2 B) 4 3 C) 5 3 D) 3 E) 7 3 12. La prolongación de AP intersecta al lado BC en el punto N. la longitud (en m) de AO es A)2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 10. En un paralelogramo ABCD . Luego. tal que AB // PR y BP // RQ . En un triángulo acutángulo ABC. Si AP=3m y PQ=2m. Tres segmentos de recta paralelos a BC . En un triángulo ABC. Se ubica el punto medio R del lado AC tal que PR // BQ . se trazan la mediana BM y la bisectriz interior CD que se intersectan en el punto P. se traza la ceviana BP . se dibujan desde los puntos de división hasta intersectar al lado AB . entonces la longitud (en cm) de MN es a) 2 b) 2. Si AE n . En el triángulo ABC sus lados miden: AB 6 u . En un triángulo ABC. I es el incentro y E el excentro relativo a BC . Si AB 20 u y BC 15 u . y AC 10 u . En un triángulo ABC la mediana AM y la bisectriz interior BE se intersectan perpendicularmente. Si I es el incentro y por I se traza MN paralelo a AC M en AB y N en BC .Pre UPCH Cayetano a) 20 2 b) 24 5 c) 30 7 d) 28 3 e) 29 2 15. El segmento que une el incentro con el baricentro de la región triangular ABC es paralela al lado AC . En un triángulo ABC recto en B. Entonces. En un rectángulo ABCD. Calcule AC a) 2 n b) 3 n c) 2 n d) 3 n e) 4n 21. la longitud de AC es a) ac b) 2 ac c) ac 2a c 3 d) ac a 2c 5 e) 19. I es el incentro que divide a la bisectriz BF en la relación BI 3 . AB c y BC a . suur La recta AE intersecta a BC en D. Si AC 24 u . Si AI 8 u y DE 12u . entonces la longitud (en u) de AE es a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 . BC 2 AB AC 5 u. M es punto medio de BC y E es el punto de intersección de AC y MD . Se tiene el triángulo ABC. BC 9 u . entonces el perímetro (en u) del triángulo ABC IF 2 es: 171 173 173 175 171 a) b) c) d) e) 5 3 5 4 5 23. entonces la longitud (en u) de MN es : a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 20. entonces la longitud (en u) de DI es a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 4. En un triángulo ABC Calcular AB BC a) 7 b) 8 se verifica que: mA 2mC . c) 9 d) 10 e) 11 22.5 16. Si m DAC m CAB .5 d) 11 e) 12 26. entonces la longitud (en u) de PQ es: a) 9 b) 10 c) 10. PC 18 u y AC 32u . III.Pre UPCH Cayetano 24. BC 7 u y AC 8 u . Diga el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. En un triángulo ABC se tiene que AB 5 u . Se trazan la mediana BR y la bisectriz del ángulo BAC. Toda recta secante a un triángulo y paralela a uno de los lados. AB 16 u . Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente. En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que AD DC y BC DC . II. Si AD 9 u BC 18 u y PC 12u . entonces la longitud (en u) de DP es: a) 10 b) 12. sobre el cateto BC se ubica el punto P y sobre AC el punto Q.5 d) 14 e) 15 28. Si CE 9 u . y AC AB 5 u . a) VFF b) VFV c) FVV d) FFV e) VVV 29. determina dos triángulos semejantes. En un triángulo ABC recto en B. por dicho punto se traza una recta paralela al lado AC que intersecta al lado BC en el punto Q. Toda recta perpendicular a la hipotenusa de un triángulo determina dos triángulos semejantes. entonces la longitud (en u) de BE es: 15 15 15 15 a) b) 5 c) d) e) 2 6 7 4 27. En un trapecio ABCD las diagonales se intersectan en el punto E. Por un punto exterior T a una circunferencia se traza la tangente TA y la secante TBC. Entonces la longitud (en u) PQ es: a) 2 5 b) 3 4 c) 8 3 d) 4 3 e) 5 2 30.5 c) 13. Sobre la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC se construye el triángulo DC 3 rectángulo ACD. Si AB 6 u . BC 6 u y AC 8 u . entonces la longitud (en u) de la tangente TA es: a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 . En el lado DC se ubica un punto P tal que m APB 90º . AE 12u y ED 15 u . entonces la CB 2 longitud (en u) de AB es: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 25. las cuales se intersectan en el punto P. Si PQ AC . En un triángulo ABC. Si F AB tal que BF= 6 u y AC mide 48 u. entonces la distancia (en u) de F a AB es: a) 5.4 P b) 5. entonces la longitud (en u) de RS es: B a) 5.48 d) 5. entonces la longitud (en u) de QR es: a) 4.8 d) 7.0 D R e) 6.76 b) 5. QE Entonces.0 e) 8.92 e) 5. entonces la longitud (en u) del inradio del triángulo ABC es: a) 5 2 b) 3 c) 8 3 d) 7 2 35. Si BN = 3u y NA = 84. en AD y CD se ubican los puntos medios E y F respectivamente. Si AB =6 u e) 12 36. Dos circunferencias congruentes y tangentes exteriores cuyos radios miden 2 cm. Sí AC = 5 u y CQ = 4 u. En un triángulo ABC la bisectriz exterior del ángulo B intersecta a la prolongación de AC en R .Pre UPCH Cayetano 31. están inscritas en un triángulo ABC de modo que ambas circunferencias son tangentes al lado AC y a los lados AB y BC respectivamente. entonces la longitud (en u) de IE es: a) 9 b) 8 c) 7 d) 10 e) BC 9 2 . los segmentos AF y BE se intersectan en el punto Q. b) 5 c) 6. En el gráfico mostrado: ABCD es un paralelogramo PQ 3 u . entonces la longitud (en u) de BC es: a) 65 b) 66 c) 55 d) 67 e) 63 33. En una circunferencia se tiene el ángulo ABC inscrito. se traza una t recta paralela a L que intersecta a AB en N.72 c) 5.6 C Q c) 5. I es el incentro y E es el excentro relativo a AC=10u y AI = 5 u. Por el punto medio M de BC . QR 4 u y RD 3AR . En un paralelogramo ABCD. La mediatriz de BR intersecta a CR en Q.84 37.0 34.2 S 32. por el vértice B se traza la su r recta tangente L a la circunferencia.8 A d) 6. Si AC = 16u. Un triángulo ABC acutángulo está inscrito en una circunferencia de 25 u de radio. es: BQ . Dos circunferencias secantes C1 y C2 de centros O y A cuyos radios miden r y R (r > R) respectivamente. AR BC Q y AR BD P . entonces la distancia (en cm) trazada desde el vértice B a dicha recta. entonces la longitud (en u) de AM ES: a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 39. están ubicadas de modo que A C1 . tal que la recta MN es tangente en B a la circunferencia C2. Si AQ 6 u y AB 10 u . En la circunferencia C1 se traza la cuerda MN . Los segmentos PQ y BO se intersectan en el punto M. Halle el valor de (AM )(AN) es: a) 2Rr b) Rr 3 c) 4 Rr 3 d) 5 Rr 3 e) 7 Rr 3 40. se ubica el punto R en la prolongación del lado DC . El ángulo ABC del triángulo escaleno BAC mide 120°. En un triángulo ABC. entonces la longitud (en u) de OM es: a) 6 7 b) 2 3 c) 4 9 d) 3 5 e) 3 4 38. Si: AD DE EC y QM 2u . y la mediana AM que intersecte a las cevianas en los puntos P y Q respectivamente. Si la bisectriz interior 1 1 mide 4 u. a) 2 3 b) 7 3 c) 5 3 d) 8 3 e) 10 3 39.Pre UPCH Cayetano a) 1 3 b) 1 2 c) 1 5 d) 1 4 e) 1 8 38. En un paralelogramo ABCD. por el baricentro G se traza una recta secante que intersecta a los lados AB y BC . En un triángulo rectángulo ABC se traza una semicircunferencia con diámetro PB (P en AB ) y tangente a la hipotenusa AC en Q. a) 16 b) 10 c) 24 d) 25 e) 34 41. Si PQ = 4 u y AC = 10 u. Si las distancias trazadas desde los vértices A y C a dicha recta miden 16 cm y 9 cm. se trazan las cevianas DB y BE . de modo que el segmento PQ es paralelo a la hipotenusa AC. entonces la longitud (en u) de QR es:. entonces es: AB BC a) 1 3 b) 1 5 c) 1 4 d) 2 5 e) BD 3 8 40. Si AP 4 u y PQ 3 u . En un triángulo ABC. En un triángulo ABC se trazan las cevianas AP y CQ concurrentes en el punto O. entonces la longitud (en u) de BC es: . T es punto de tangencia. para que el nuevo triángulo sea un triángulo rectángulo. Se traza con centro en A y radio AB el arco BD .5 45. Entonces.5 b) 2 c) 2.5 c) 3 e) 3. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide a . Se tiene un rectángulo ABCD. Entonces. se ubica un punto interior P y se traza PQ BC . ABCD es un cuadrado cuyo lado mide a . En la figura mostrada . En la figura mostrada.5 u . la longitud del lado cuadrado EFLJ es a) 2 a 5 A E J D puntos BAD y del . Si m APD 90º .Pre UPCH Cayetano a) 18 3 b) 17 3 c) 16 3 d) 18 5 e) 18 7 42. halle el valor de x (en m) que se le debe restar a cada lado. BQ 4. 43 m y 44 m. Se ubica el punto F en CD y centro de una circunferencia que pasa por C y es tangente al arco BD. la longitud del radio de la circunferencia es B C a a a P a) b) c) 4 5 6 a a 5 d) e) L F 8 2 46. entonces la longitud de PD ( en u) es: a) 8 b) 10 c) 10. Si AT 8 u y TC 2u . QC 8 u . Los lados de un triángulo miden 12 m.5 43. Los A y D son centros de los cuadrantes ADC. entonces la longitud (en u) del radio de la circunferencia es a) 2 O b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 T A 8 C 2 44. a) 1.5 d) 12 e) 12. a la semicircunferencia en H y a la prolongación de CA en F. inscrito en una circunferencia. entonces R (en m) es 3 23 24 27 a) b) 4 c) d) c) 4 5 5 5 49. Se tiene un cuadrado DEFG. Si RQ = a unidades y QM b unidades. sobre el arco DE se ubica el punto M. calcule DH. AB = AC = 10 cm y AD es el diámetro de la circunferencia. En la figura mostrada . Se traza la cuerda BA y por un punto D de OC se traza una perpendicular que intersecta a AB en E. .Pre UPCH Cayetano 3 a 5 a c) 2 2 a d) 3 3 a e) 2 b) 47. entonces la medida del segmento SQ es: a) a(a b) 2 b) b(a b) 2 c) 1 b(a b) 2 d) 1 a(a b) e) 2 2b(a b) 51. En un triángulo rectángulo RST (recto en S). Se tiene una semicircunferencia de diámetro BC y centro O. la bisectriz interior RM es intersectada por la altura SN relativa a la hipotenusa en Q. Un trapecio rectángulo está circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide R. Si DE 4 m y EF 5 m . (en m) a) 3 2m b) 6 2m c) 4 2m d) 6 m e) 3 3m 50. En un triángulo isósceles (AB = BC). a) 4 2 b) 6 2 c) 8 d) 8 2 e) 4 3 52. Si AC 8 2 m. Si DM = 3 2 u y EM = 4 u calcule MG (en u). Se traza la altura AH y se ubica en ella el punto F tal que m BFC 90º . Entonces. la longitud (en cm) de MN es a) 5 3 5 b) c) d) e) B 2(3 5) 4(3 5) 5(2 2) 4(2 2) M C A N D 48. Si las bases miden 8m y 12 m. hallar la longitud (en m) de FC . Entonces AC mide (en u). Hallar la longitud (en dm) de la cuerda MN . la altura relativa a la hipotenusa determina en ella segmentos cuyas longitudes están en la relación de 1 a 3. En un triángulo rectángulo. del punto B se traza una perpendicular a AC bisecando a la cuerda AD . Si: BC = CD = 2 u. B y D puntos de la semicircunferencia. Uno de los ángulos agudos del triángulo mide: a) 15° b) 18° c) 7° 30’ d) 30° e) 45° 58. Hallar la diagonal del trapecio (en m) a) 12 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21 57. Determinar la longitud (en dm) de la cuerda AB . Se tiene un diámetro AB en una semicircunferencia de centro O. 3 2 a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 2 3 e) 2 56. Las bases de un trapecio isósceles miden 14 m y 50 m. Calcule la longitud de la proyección del lado AB sobre AC (en u). BC 9 u . a) 11 4 b) 11 5 c) 11 6 d) 11 / 7 e) 11 / 8 59. entonces la medida de la diagonal (en m) del trapecio es: a) 40 b) 50 c) 60 d) 20 e) 30 . AB = 3 u. además se trazan OC y OD intersectando a la semicircunferencia en los puntos M y N respectivamente.Pre UPCH Cayetano a) 6 b) 8 c) 20 d) 5 e) 10 53. En un triángulo ABC cuyos lados miden AB 6 u . AC 10 u . Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de diámetro AD = 8 u. En un triángulo ABC se traza la altura BH en la cual se ubica el punto P tal que el ángulo APQ es recto. AC = CD. Halle : AB (en u) a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 63. si los lados no paralelos miden 30 m. Por los extremos de dicho diámetro se trazan las perpendiculares BC y AD de modo que CD sea tangente a la semicircunferencia. Sea AC diámetro de una semicircunferencia. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 64. Dado el cuadrilátero ABCD. a) 2 3 b) 3 2 c) 4 2 d) 3 3 e) 6 54. Si BC 2 dm y AD 3 dm . Cuánto mide BD (en u) a) 8 b) 62 c) 65 d) 4 3 e) 3 3 la 65. siendo Q el punto medio del lado AC. m ABC mACD 90º . BC = 4 u. En un trapecio isósceles la suma de las bases es 30 m y su altura es 8 mts. si AD = 4 dm. AC = BC. Si AP = 5 u. En un cuadrante de circunferencia AOB de centro O. Halle la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilineo APO. CD 19 u . BQ PC . entonces la longitud de proyección (en m) del menor lado sobre el lado intermedio es: a) 7. Halle AB (en m) a) 10 b) 12 c) 9 BC d) 11 . se ubica M punto medio de MD 13m . Si uno de los lados no paralelos mide 15 m. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 71.8 c) 8.8 d) 0. En un trapecio. BC 10 u . 7m.5 70. .1 67.4 d) 4.2 e) 4.1 d) 4. e intersecta al radio la circunferencia menor (en u) a) 3. 30 m y 40 m. Si los lados de un triángulo miden 6m.Se tiene un trapecio ABCD. Halle la distancia (en m) del punto medio del lado mayor al pie de la altura trazada a dicho lado. En un triángulo rectángulo ABC se traza la ceviana CP . AB=BC=a. Se tiene un rombo ABCD. las bases miden 12m y 16 m. BQ = 8 u y AP = 6 u entonces AQ mide (en u) a) 17 b) 2 17 c) 3 17 d) 17 3 e) 17 2 72. con centro en B se traza el arco OP. respectivamente. Si MA 9m . y 8m. Se tiene un triángulo isósceles ABC. Si los lados no paralelos del trapecio miden 5 u y 7u. a) 1 b) 1.2 b) 3. AO=r. . Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB. si Q es punto medio de PC.6 e) 1.4 68. Las bases de un trapecio miden 4u y 10 u . entonces la longitud de la mediana relativa al lado BC es: a) ab 2 b) a2 b2 2 c) 3a 2 2b 2 2 d) a 2 2b 2 2 c) a2 b2 4 73. AC=b. Hallar la longitud de la distancia entre los puntos medios de sus bases (en u).5 b) 16.2 c) 0. O en el punto medio de AB . AB 13 u .Pre UPCH Cayetano 66. entonces la longitud (en m) de la altura del trapecio es a) 8 b) 4 c) 2 6 d) 3 3 e) 4 2 74.8 c) 4. AD 32u . c) 14 69.2 e) 2. BC // AD . Si los lados de un triángulo miden 14 m. entonces el radio de la circunferencia inscrita (en m) es a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 75. se traza una circunferencia de modo que sea tangente al arco AB en P y al radio OA e S. Halle QR. En un triángulo ABC se tiene d) 4.Pre UPCH Cayetano a) r 5 b) r 3 8 c) r 3 4 d) r 2 4 e) r 2 8 76.75 e) 5 que AB=5. BC=7 y AC=9. Halle la longitud de la altura (en m). a) 5. 17 6 15 D) 8 A) B) 13 9 C) E) 19 6 12 7 . La distancia entre centros de dos circunferencias es 14 u y sus respectivos radios miden 7 u y 5 u.92 b) 6 c) 6. la cual intercepta al segmento QC en el punto R.5 u.5 d) 6 e) 8 78. hallar la distancia (en u) del punto exterior a la recta que une los centros. luego por el punto P se traza una recta paralela a la bisectriz BQ. a) 10 b) 9 c) 7. a) 12 b) 10 c) 13 d) 11 e) 14 77. sus diagonales miden 10 y 17 u y su mediana 10. se trazan las bisectrices interiores AP y BQ.2 35. En un trapecio escaleno. Calcular la longitud de la altura del trapecio (en u). Si un punto exterior dista de cada circunferencia 8 u. Las bases de un trapecio miden 8 m y 5 m y sus diagonales miden 11 m y 7 m. AB=L. AC = b y AB = c. Halle AC A) L 4 5 1 B) L 2 C) L 4 5 1 D) L 5 L1 2 6 2 E) 5 1 AF 2 y AB+BC=30.5 B) 3. Si AB=7. BC=9 y AC=8. Calcule la distancia del incentro al baricentro de la región triangular ABC. FC 3 B A C F A) 10 D) 15 B) 12 E) 16 C) 14 39. 38. En la circunferencia mayor se traza la cuerda AC que es tangente a la otra circunferencia en el Punto P. BF es bisectriz del ángulo ABC.Pre UPCH Cayetano 37 Se tiene el triángulo isósceles ABC. Halle: AP A) 2. se traza la bisectriz interior CM. Halle: AB.Dos circunferencias son tangentes una interior a la otra en el punto B.5 D) 5. Calcule CM 2ac ab ac D) ac A) ab ac ac E) ab B) C) ab bc 41. la m B=36º. Se tiene el triángulo ABC.5 C) 4. si BC = a. BC=7 y AC=6. En un triángulo ABC sus lados miden AB=5.5 E) 6.5 40. . A) 25 B) 30 C) 32 D) 36 E) 42 . AB=18 y AD=2. si AC I BP Q . En un sector circular AOB de centro O y radio R. m ABF m AFD mFBC. 48. a2 2b A) a a2 B) b a 2 b2 D) b b2 a2 E) a a2 b 2 C) b Los lados AB y BC de un rectángulo ABCD miden 56u y 42u. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 46. se traza una paralela a la tangente de la circunferencia en el punto B ésta paralela interceptan a la prolongación del lado BC en el punto D.Pre UPCH Cayetano 1 3 4 D) 5 A) B) 1 E) C) 3 2 6 5 45. Halle AF. A) D) 2Rr R r 4Rr R r B) Rr R r E) Rr R r C) 3Rr R r 47. Calcule CD. se inscribe una circunferencia de radio r. Se ubica el punto F interior al triángulo ABC y el punto D en AC tal que: m DFC 90 . Halle QC (en u). Calcule la longitud de la cuerda AB . Por el vértice A de un triángulo ABC inscrito en una circunferencia. En CD se ubica P tal que 4DP=DC. si AB=a y BC=b. en el arco BC toma un punto P. Cuánto mide MN . En el siguiente gráfico: NM=NP. H y S puntos de tangencia) K S d NQ P HL M d 3 2d D) 3 A) d 2 3d E) 4 B) C) d 4 . En un triángulo ABC. la distancia de Q a AB mide 3. Se construye exteriormente a la semicircunferencia de diámetro BC el cuadrado ABCD. Halle la distancia trazada de Q a AC . por el incentro se trazan dos paralelas una al lado AB y la otra al lado BC. Dado el triángulo ABC. Calcule AH (en u) A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 50. los segmentos AP y DP . AB=10. A) 9 4 D) 9 8 B) 2 C) 3 E) 5 52. dichas paralelas interceptan al lado AC en M y N. BC=14 y AC=12. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 53. la mB mC 90 . En AM se ubica el punto Q. Si MK=d.Pre UPCH Cayetano 49. 51. La altura AH determina que HC= 36u y BC=27u. En un triángulo ABC se traza la mediana AM. entonces QL es: (Q. si AB=9 y AC=12. si BQ=a y RC=b. calcule x. Cuánto mide QR . En el siguiente gráfico. En la figura mostrada. AEB es un triángulo rectángulo y ABCD es un cuadrado. Si AE=a y BE=b.Pre UPCH Cayetano interceptan al lado BC en los puntos Q y R. x a b A) ab B) 2 ab D) a(a b) E) C) 3 ab b(a b) 55. entonces la longitud de EC es E b A B D C . A) ab ab B) 2 ab D) ab 2 E) b2 a2 C) 2ab ab 54. entonces la longitud (en m) del segmento que une los puntos medios de PQ y AC es A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 58. desde el punto B se traza la tangente BF a la semicircunferencia. En un triángulo ABC recto en B. entonces la longitud del inradio del triángulo AHB es A) t 4 B) t 2 D) 3t 8 E) 2t 3 C) t 59. Si AB–AH=AH–BH=t. En un triángulo ABC recto en B. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.EF=72 u 2. se trazan la bisectriz interior AF y la altura BH que se interceptan en el punto E. considerando como diámetro el lado AD se dibuja interiormente al cuadrado una semicircunferencia. calcule AF. se traza la altura BH . Si AB=a. Dado el cuadrado ABCD. P AB y Q BC . A) 2 a 5 B) 2 a 3 3 D) 2a 7 7 E) 4 a 5 C) 2 a 5 5 . entonces la longitud (en u) de BE es A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 E) 9 57. Si (AP)2+ (QC)2 =36m2 .Pre UPCH Cayetano A) 2 a2 b2 C) 2a2 2ab b2 E) B) 2a2ab 2b 2 D) a2 ab b2 a2 2ab 2b2 56. Si AF. Calcule AD (en u). A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 68. si BC=7u y AC=20u. Se tiene el cuadrante AOB donde AO mide R. si perpendiculares y trazamos la recta entonces la longitud de MS es: A) R 10 3 B) R 10 D) R 10 4 E) 5R 10 2 C) R 10 2 PQ y MN son diámetros MS. se inscribe una semicircunferencia de diámetro OB. Si 66. En un triángulo rectángulo ABC se traza MN AM=6u y CN=8u. 2 3 B) R 3 E) A) R D) R 5 C) R 4 5 R 8 61. Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita entre los arcos AB. entonces la longitud (en u) del segmento AF es: A) 4. donde BC // AD de manera que la m ACD=90. OB y radio OA. En una circunferencia de radio R. Si AB=8u y BC=6u. entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de MN y AC es (en u). Se tiene el trapecio isósceles ABCD.5 B) 5 C) 5.Pre UPCH Cayetano 60.5 69. .5 D) 6 E) 6. siendo S el punto medio de QN . A)24 B) 25 C) 30 D)50 E) 81 M AB y N BC . En un triángulo (recto en B) la perpendicular trazada por el vértice A al lado AC intercepta a la bisectriz del ángulo BCA en el punto F. 75 B) 1. interceptando al segmento MC en el punto N.0 C) 1. A) 3 3 2 B) 3 2 2 D) 3 3 8 E) 2 2 C) 2 3 72. Si AB=BC=CD. Calcule el radio de la circunferencia tangente a OB .0 71. En el siguiente gráfico.75 E) 2. Con centro en A se traza un arco que pasa por el punto O y que intercepta a la semicircunferencia en C. Si M es punto medio de NC mide. En una semicircunferencia de diámetro AB.Pre UPCH Cayetano 70. donde AB=3 y centro O. se tiene dos circunferencias concentricas.25 D) 1. AB. con centro en A se traza un arco de radio AB . al arco OC y al arco BC. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2 5 . cuyos radios miden a y b (a<b). entonces la longitud de AC es A B C D . entonces A) 0. ABCD es un trapecio cuyas bases BC y AD miden 4m y 10m respectivamente. la medida del ángulo BAD es A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º 74. En una circunferencia cuyo radio mide 5m. BC= 15m y AC=14m.5 C) 9 D) 9.5 D) 3. un arco cuya medida es 2 º está determinado por una cuerda de 6m de longitud. la longitud (en m) de la cuerda que determina un arco cuya medida es º es A) 3 B) 10 C) 3. Si M es el punto medio del lado AC . AD=5m y AC=7m.33 E) 10.33 . AB=3m. considerando como diámetro AC se traza una semicircunferencia que intersecta en el punto F al lado AB . Si AC=b y BC=a .4 75.2 E) 1. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC). entonces la longitud de AF es 2b2 2a2 a2 A) B) C) a b 2b 2 2 b a D) E) 2a 4b 76. La recta mediatriz del lado AC intersecta al lado BC en el punto N. entonces la longitud (en m) de MN es A) 8 B) 8.5 B) 0. En un triángulo ABC. AB=13m. Entonces.6 E) 3.75 C)1 D) 1. Entonces.65 77. Si AB=7m y CD=5m.Pre UPCH Cayetano A) b2 a2 8 C) 4 b 2 a2 8 B) 2 b2 a2 8 D) 6 b2 a2 8 b2 a2 E) 3 8 73. En un paralelogramo ABCD. entonces la longitud (en m) de la proyección de CD sobre el lado AD es A) 0. se ubican los puntos consecutivos A. 79. Si FC=5m. En el interior de un rectángulo ABCD . miden 2u y hipotenusa (en u). Si AB. se ubica un punto O . OB=4m. y OC=5m . se trazan las alturas AF y CH . Si OA=3m.FC=28u2. entonces la longitud (en m) de OM es B O F M C A 5 2 7 D) 2 A) B) 5 3 E) 6 C) 7 3 82. A) 2 5 B) 5 C) 3 5 D) 4 5 E) 5 triángulo rectángulo a los extremos Calcule la longitud de la 8 u. Las distancias del incentro de un de la hipotenusa. B y C. el triángulo ABC es equilátero cuyo lado mide 4m. la longitud (en m) de OD es A) 3 2 B) 2 3 C) 6 D) 3 2 E) 2 3 83. En la figura mostrada. entonces la longitud (en u) de AC es A) 2 10 B) 10 C) 3 10 D) 5 10 E) 10 81.Pre UPCH Cayetano 78. En una línea recta L. En un mismo semiplano con relación a la . En un triángulo ABC. tales que: AB=2a y BC=2b. O es el centro de la semicircunferencia de diámetro AB y M es el punto medio de FC .AH=12u2 y BC. se construyen los triángulos equiláteros APB y BQC. perpendicular a BM .sabiendo que las medianas miden 9u. tal que mAEC 90º . 12u y 15u . Se ubica el punto Q interior al triángulo equilátero ABC. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 . En un triángulo ABC (AB>BC). Si la proyección de EC sobre el lado AC mide 1m y el cateto AB mide 7m. La suma de los cuadrados de las longitudes de los lados de un 2 triángulo escaleno es 48u . Calcule la longitud (en u) del menor lado de un triángulo.5 E) 3. se trazan la mediana BM y MN es N AB mACB 2m AMN y AB2–BC2=50. Si M es el punto medio de PC .0 D)3. Si QC=b y BC=a. entonces la longitud de AM es A) a2 b2 B) 2a2 b2 C) a2 b2 ab D) a2 3b 2 ab E) 3a2 b2 3ab 84. Entonces. entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CQ es A) ab B) a2 b2 2 C) a2 b2 2 D) 2a2 b2 2 E) ab ab 85. tal que: mAQB 90º .Pre UPCH Cayetano recta L dada.75 C) 3.5 B)2. la suma de las longitudes (en u 2) de los cuadrados de las medianas del triángulo es A) 6 B) 7 C) 36 D) 49 E) 63 87. entonces la longitud (en m) de EC es A)2.75 86. En un triángulo rectángulo ABC. Si entonces la longitud de BM es 5 2 A) 5 2 B) 5 C) 10 D) 2 10 E) 2 89. se prolonga la bisectriz interior AD hasta el punto E. UPCH Cayetano Pre .