FACULTAD DE INGENIERÍAINGENIERÍA CIVIL Curso: ESTÁTICA Docente: MARIO R. CARRANZA LIZA Tema: CENTROIDE DE FIGURAS COMPUESTAS Integrantes: 1. 2. 3. 4. LEON RABANAL, JAIME SAUL. LESCANO NARRO, ROSA ANDREA. LEYVA COJAL, DEYVIS ALEXANDER. LUZON PAREDES, OSCAR PAUL SANTIAGO. Cajamarca, 9 de junio 2015 CENTROIDE DE FIGURAS COMPUESTAS la densidad o el peso específico serán constantes en todo el cuerpo. en las que cada parte tienen una forma geométrica particular. como un rectángulo. volumen. Las fórmulas resultantes definen al centroide de un cuerpo. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Cada término debe ser coherente con lo que representa. no podemos llamar centro de masa a lo que es un centro de área. pero se diferencian por lo que representan. porque los centroides de figuras geométricas comunes ya se conocen y se encuentran tabulados. tampoco podemos llamar centro de área al centro de presión o al centro de gravedad. Ejemplos de tales áreas compuestas son las secciones transversales de vigas y columnas que usualmente consisten en elementos rectangulares. presión o gravitacional. si el material del que está compuesto un cuerpo es uniforme u homogéneo. son puntos. son ejemplos de ellos. el centro de presión y el centro de gravedad. un círculo o un cuadrado. la cual denominamos peso. Todos se parecen porque tienen coordenadas y. El Centroide es un punto que de define el centro geométrico de un objeto. Por lo tanto. sin embrago con frecuencia necesitamos localizar los centroides de áreas compuestas de varias partes. En ocasiones es usado como sinónimo para no repetir constantemente la misma palabra. masa. ya que son independientes del peso del cuerpo. Existen diversos conceptos centroidales que son usados en la ingeniería: El centro de masa. el centroide es un término más neutro y el puede ser área.CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN En los trabajos de ingeniería rara vez se tiene que localizar centroides por integración. El centro de masa es solo para los cuerpos que tienen masa. El centro de presión es el punto donde actúa la resultante de un sistema de fuerzas y el centro de gravedad es donde actúa la fuerza gravitacional. Sin embargo. En particular. además. OBJETIVOS . Objetivo Específico Determinar el centroide a partir de cálculos estáticos haciendo uso de secciones transversales. Conocer el punto de concentración de todas las fuerzas de una figura compuesta. Propiedades. Determinar las coordenadas centroidales de cada figura mediante AutoCAD. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA Aplicar cálculos estáticos y determinar el centroide de las figuras compuestas mediante fórmulas teóricas y comprobarlo experimentalmente. mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. el objeto debe tener densidad uniforme. o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades. tales como simetría. . el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. Para que el centroide coincida con el centro de masa. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Diseñar figuras compuestas para poder determinar su centroide es decir el punto donde se concentran todas las fuerzas del cuerpo. CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO CONCEPTO DE CENTROIDE Es un concepto puramente geométrico. entonces mediante el cálculo de su centroide esto se haga posible. HIPÓTESIS Si un cuerpo puede mantenerse en equilibrio. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad.Objetivo General Determinar los centroides de las figuras compuestas. círculo. rectángulo. elipsoide. En nuestros estudios de Ingeniería Civil se asume que el cuerpo se encuentra en “condición ideal”. elipse. viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante. el centroide geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos los hiperplanos de simetría. obviamente. Centro geométrico (Centroide) y centro de masa: El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema es simétrico. esfera. son conceptualmente diferentes. se trata de un punto fijo de todas las isometrías en su grupo de simetría. Si el centro de gravedad se define. etc) puede ser determinada por este principio. se encuentra en la central de vacío del objeto. El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. el c. Así.El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. superelipse. superelipsoide. Un objeto A-convexa no puede tener un centro de gravedad que está fuera de la propia figura. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que. El centro de gravedad de muchas figuras (polígono regular. En otras palabras. el campo gravitatorio e uniforme y el objeto motivo de estudio es homogéneo. además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que. Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme. de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. poliedro regular. El centro de gravedad de un anillo o un tazón de fuente. En física. es decir. aunque pueden coincidir con el centro de gravedad. el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. cilindro. por ejemplo. es decir. EL CENTRO DE GRAVEDAD. rombo. no pertenece al cuerpo. En particular. . CENTRO DE MASA Y CENTROIDE Es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo.g. el centroide para el área superficial de un boleto.luego el centro de gravedad. el centro de masa y el centroide coinciden en un mismo punto. X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA " dvA " dA " dA LINEA. Se consideran tres casos específicos. CENTROIDE El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. como una palanca o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de área en torno a los ejes de coordenadas a saber. Los dos métodos más utilizados para el cálculo del CENTROIDE de una figura geométrica plana son el Método de las áreas y el Método de integración directa. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre. VOLUMEN Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv. En los . toma la forma de una línea. Si una figura geométrica posee un eje de simetría. el centroide de la figura coincide con este eje. la manera de encontrar su centroide es el siguiente: X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL " dL " dL " dL NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no está necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetría. la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. De manera semejante. Las fórmulas que resultan son: X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv “dv " dv " dv AREA. la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto no dimensional. Por este motivo.casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de la forma estará lo largo del eje. incluyendo el método de la plomada. Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide . mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura. sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. al calcular el centroide de una figura en particular. Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexo yace dentro del objeto. el método de descomposición geométrica y el método de integración. CÁLCULO DE LOS CENTROIDES En Matemáticas. El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales. Entre todos. Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular. el centroide también se denomina como centro geométrico. los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes. Por lo tanto. el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura. Asimismo. un centroide se refiere al centro del objeto geométrico. Si se establece físicamente. Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx. Por lo tanto. la fórmula puede ser modificada a Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1. . respectivamente. calculando la coordenada y del centroide.mediante calcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y. Supongamos que el ancho del rectángulo. el cual está dibujado dentro de la curva de arriba. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión. la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total Área total = Del mismo modo. 0) dx (x3 .6 Del mismo modo. y = x3.Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x.0) dx = x4 dx x3 dx = [x5 / 5]02 [x4 / 4]02 = 32 / 5 16 / 4 = 1. buscando la coordenada y . Aquí a = 0. . y1 = 0 y y2 = x3 x (x3 . b = 2. x = 2 será encontrado. etc…) Después se debe ocupar las ecuaciones para encontrar el centroide en XC y en YC cuyas formulas son: XC= (A1*X1)+(A2*X2)+…/ A1+A2+…. c= 0 y d =8.29) Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un objeto bidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de la media ponderada al centro del objeto dado. Aquí x2 = 2. YC= (A1*Y1)+(A2*Y2)+…/ A1+A2+…. x1 = y 1/3. .Aplicando la fórmula. obtenemos = y (2 – y1/3)dy (2 – y1/3) dy = (2y – y4/3 ) dy (2 – y1/3) dy = [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08 = 16 – 3/7(32) = 2. Ahora. 2.29 Por tanto. rectángulo.6. En segundo lugar es de ver si la figura consta de formas geométricas definidas. triangulo. En resumen: Método de cálculo En primer lugar se debe identificar la figura a la cual se le buscara el centroide. el centroide de la figura es (1. circulo. Después se le sacara el área a cada forma geométrica encontrada. (En este caso se ocuparan las fórmulas de área del cuadrado. 10. Situar el tablero y fijarlo con tornillo de pivote en una de las perforaciones 2. 2. Un hilo de 30cm. 5. Realizamos el paso anterior usando otra esquina de la pieza. Trace una recta por la cuerda uniendo el punto de suspensión y la marca. exteriores. procediendo a marcar con un lápiz el lugar por donde pasa el hilo sobre la figura en suspensión. porque cada forma geométrica tiene su fórmula. Una masa mayor o igual a 5g. Tornillos de pivote P1. Y2 van a depender de la forma geométrica de cada área encontrada. 4. Papel milimetrado. Ahora que se tiene estas dos líneas. Marcar las posiciones de las tres cuerdas con punto de lápiz sobre el papel. CAPITULO 4: PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. Enganchar la plomada en el tornillo de pivote delante de la placa. Y1. para el cual se utilizarán los ejes: X (horizontal) e Y (vertical). Colocar el gancho. Tomando el alfiler. 8. se habrá formado un punto de intersección el cual será la ubicación del centroide. 1 alfiler. La intersección de las dos rectas trazadas corresponden al centroide del área compuesta de dicha placa. Después de haber realizado todo este procedimiento en las figuras. Sostener el cordón frente a una hoja de papel milimetrado adherida al tablero. X2. APARTE 1. Sobre el papel milimetrado establezca el sistema de coordenadas centroidales de área compuesta. 7. Un tablero de dibujo panel E2. 4.Bueno las X1. Con ayuda de un hilo atamos a uno de los extremos con un alfiler y en el otro una pequeña pesa para luego incrustar dicho alfiler en algunas de las esquinas de las figuras dadas. deje oscilar hasta que el péndulo llegue a su posición de equilibrio. CAPITULO 3: MATERIALES Y HERRAMIENTAS 6 recortes de figuras geométricas compuestas de cartón cartulina. Colocar una hoja de papel en el tablero. 3. 9. 3. Colocar una cuerda en el tornillo de pivote delante de la placa acrílica. procedemos a hallar las ubicación del centroide. Una regla. . Repita los pasos anteriores suspendiendo las placas de otro agujero. Una plomada. Placas de acrílico (superficies geométricas). de modo que la placa de acrílico no toque con el panel. dejamos en suspensión la figura y la pesa. 6. 5. 11. El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura.00. CAPITULO 7: CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES .00. Alfiler: S/. el cual se puede ver como su punto de equilibrio. Repita el ensayo con las otras placas de acrílico.5.00.10.12. bajo ciertas circunstancias.00. En geometría. el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiper planos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiper plano. El centroide es utilizado en muchas ramas de la matemática y la variación de números en los que se pueden utilizar en muchos casos. el centroide puede. El centroide de una figura geométrica es el centro de simetría de la misma. Hilo: S/.2. y es donde se concentras la masa de todo el cuerpo. Informalmente. es el promedio de todos los puntos de X. Masa de acero: S/. CAPITULO 6: CONCLUSIONES Centroide es lo mismo si habláramos de Centro de Gravedad o Centro de Masa.1. CAPITULO 5: COSTOS Cartón: S/. coincidir con el centro de masas del cuerpo material y con el centro de gravedad del mismo. En la Física. hMKfmY9 6.com/wiki/Archivo:Centro_de_mas arciasanchezj.com/ centroide.com es.com/igestion/Main/CalculoDeCentroides#sthash.dpuf calculointegralquintosemestre.rincondelvago.htm Presentación del proyecto FECHA .hMKfmY9 6.org/wiki/Centroide html.wikipedia.wikia.com/igestion/Main/CalculoDeCentroides#sthash.blogspot.CAPITULO 8: BIBLIOGRAFÍA ACTIVIDAD Avance del anteproyecto Elaboración completa del anteproyecto Presentación del anteproyecto Corrección del anteproyecto Presentación del anteproyecto corregido RESPONSABLES Sábado 23 de mayo Alumnos Sábado 6 de junio Alumnos Martes 9 de junio Alumnos Miércoles 10 de junio Alumnos Jueves 11 de junio Alumnos Martes 30 de junio/Jueves Alumnos 2 de julio http://mitecnologico.dpuf http://mitecnologico.