Universidad Nacional de Ingenierı́aFacultad de ingenierı́a Civil Departamento Académico de Hidráulica e Hidrologı́a Mecánica de Fluidos I — HH223-I Laboratorio No 1 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes Apellidos y Nombres Código CÁRDENAS BARRIGA, Pablo Gonzalo 20120017B CLEMENTE BRICEÑO, Ricardo Raul 20120125J GOMERO TORIBIO, Edwin Moises 20120051F PAREDES ABANTO, Dustin Linnar 20122030F Instructor de Laboratorio: Ing. Julio Montenegro Gambini Fecha de Presentación: 2 de mayo de 2014 2014 – I 1 Índice Página Resumen 2 Introducción 3 Teorı́a 4 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 8 1. Métodos y Materiales (o Equipos) ..................................................................... 8 2. Procedimiento del Experimento ....................................................................... 9 3. Resultados y Discusión ........................................................................................ 10 3.1. Otros Datos ........................................................................................... 10 3.2. Presentación de Resultados .................................................................... 10 4. Cuestionario ............................................................................................................17 5. Conclusiones...........................................................................................................17 Apéndice 1.A. Cálculo del Centroide .......................................................................... 18 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 20 1. Métodos y Materiales (o Equipos) ..................................................................... 20 2. Procedimiento del Experimento ....................................................................... 20 3. Resultados y Discusión ........................................................................................ 21 3.1. Otros Datos ........................................................................................... 21 3.2. Procedimiento de Cálculo ....................................................................... 22 4. Cuestionario ............................................................................................................23 5. Conclusiones...........................................................................................................29 Referencias 30 Informe de Laboratorio N◦ 1 2 Resumen Para la realización de este ensayo se tomará un cuadrante cilı́ndrico pivotado en su centro geométrico balanceado por un contrapeso y rı́gidamente conectado a un elemento de pesa deslizante sumergido en agua, en donde la pesa se deslizará cada distancia y para contrarrestar la inestabilidad del sistema se proporcionara agua al recipiente en donde tomaremos datos de la distancia deslizada como en desnivel de agua. Se tomaran los datos de distancias y desniveles para hacer tablas en donde mediante fórmulas y gráficos tendremos dichas variaciones y comparaciones de nuestro ensayo de laboratorio. Informe de Laboratorio N◦ 1 3 Introducción Las fuerzas distribuidas de la acción del fluido sobre un área finita pueden remplazarse convenientemente por una fuerza resultante. Nosotros como futuros ingenieros debemos calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder diseñar satisfactoriamente las estructuras que los contienen. Es muy importe, calcular la magnitud de la fuerza re- sultante y su lı́nea de acción (centro de presión). El centro de presión, es un concepto de gran importancia, ya que su determinación es básica para evaluar los efectos que ejerce la presión de un fluido sobre una superficie plana determinada. Por ejemplo: cuando se quiere determinar el momento que está actuando sobre una compuerta o para estudiar la estabilidad de una presa de gravedad, o el caso de un barco en reposo. Informe de Laboratorio N◦ 1 4 Teorı́a En estática de fluidos, o hidrostática, no hay movimiento relativo entre las partı́culas de fluido, es decir, no existen esfuerzos cortantes, el único esfuerzo presente es un esfuerzo normal, la presión. Todos los puntos ubicados en un mismo plano horizontal, dentro de un mismo fluido, tienen la misma presión. La superficie libre de un lı́quido En realidad es concéntrica con la tierra pero en dimensiones reducidas (comparadas con las de la tierra) es prácticamente horizontal Presión en un punto La presión promedio se calcula al dividir la fuerza normal que empuja contra un área plana entre dicha área. La presiones en un punto es el lı́mite de la razón de fuerza normal al área, a medida que el área se aproxima a cero en el punto. En un punto, un fluido en reposo tiene la misma presión en todas las direcciones. Para fluidos que se pueden considerar homogéneos e incomprensibles γ es constante, entonces la ley de la hidrostática de variación de presión se escribe de la forma p = γh En la cual h se mide verticalmente hacia abajo. Fuerza sobre superficies planas Superficies horizontales Una superficie plana en posición horizontal dentro de un fluido en reposo está sujeta a una presión constante. La magnitud de la fuerza que actúa a un lado de la superficie es ∫ ∫ p dA = p dA = pA Y dicha fuerza resultante pasa a través del centroide del área. Superficies inclinadas En la figura 1 se representa una superficie que esta inclinada θ con respecto a la horizontal. Informe de Laboratorio N◦ 1 Teorı́a 5 Figura 1: Presión en superficie inclinada Fuente: [4], pág. 41, Figura 2.11 La magnitud de la fuerza F que actúa sobre un lado del área es ∫ F = p dA = γ sen θȳA = γh̄A Esto quiere decir que la magnitud de la fuerza es equivalente al producto del área y la presión en su centroide. Centro de presión La lı́nea de acción de la fuerza resultante tiene su punto de incidencia en la superficie en un punto llamado centro de presión con coordenadas (xp ,yp ).A diferencia del caso de un superficie horizontal, el centro de presiones de una superficie inclinada no está en el centroide. Para hallar el centro de presión, los momentos F · xp y F yp se igualan al momento de las fuerzas distribuidas respecto al eje x y eje y, obteniéndose. · Ixy x = + x̄ p ȳA Cuando cualquiera de los eje x o y es un eje de simetr´ıa para la superficie, entonces el valor de Ixy es cero y el centro de presión cae sobre x = x. Ig y = + ȳ p ȳA Este resultado nos indica que el centro de presiones siempre estará debajo del cen- troide de la superficie. El gráfico de presiones El gráfico de presiones nos muestra la distribución de la presión sobre una superficie en contacto con un fluido (principalmente se aplica al caso de un líquido). Una superficie curva en contacto con un líquido experimentará una fuerza hidrostáti- ca que suele ser analizada según sus componentes horizontal y vertical. Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes Teorı́a 6 La componente horizontal de la resultante de las presiones Esta componente que el l´ıquido ejerce sobre una superficie curva es igual en magnitud y de sentido contrario a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de la superficie sobre un plano vertical y tiene la misma lı́nea de acción, es decir, pasa por el centro de presión de dicha proyección. La componente vertical de la resultante de las presiones Esta componente que el l´ıquido ejerce sobre una superficie curva es igual al peso del volumen de l´ıquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el nivel de la superficie libre. Fuerza de flotación Es la fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido estático, en el cual está sumergido o flotando, se denomina fuerza de flotación, esta fuerza siempre actúa verticalmente hacia arriba. FB = Vγ La fuerza de flotación actúa a través del centroide del volumen de fluido desplazado. Estabilidad de cuerpos flotantes y sumergidos Un cuerpo puede flotar en equilibrio estable, inestable o neutro. Cuando un cuerpo está en equilibrio inestable, cualquier desplazamiento angular pequeño establece un par que tiende a aumentar el desplazamiento angular. Figura 2: Tipos de Equilibrios Fuente: [4], pág. 59, Figura 2.28 Determinación de la estabilidad rotatoria de objetos flotantes Cualquier objeto flotante con centro de gravedad debajo de su centro de flotación (centroide de volumen desplazado) flota en equilibrio estable. Ciertos objetos flotan- tes, sin embargo están en equilibrio estable cuando su centro de gravedad está arriba del centro de flotación. La intersección de la fuerza de flotación y la lı́nea central se llama metacentro, designado por M. Cuando M está arriba de G, el cuerpo permaneces estable; cuando está debajo de G es inestable y cuando está en G, está en equilibrio neutro. La distancia MG se llama altura metacéntrica y es una medida directa de la estabilidad de un cuerpo. Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes Teorı́a 7 Figura 3: Estabilidad de un cuerpo flotante Fuente: [4], pág. 60, Figura 2.30 Sabiendo que B es el centro de flotación, se obtiene la relación. I M ¯G = + G¯B V Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes 8 Experimento N◦ 1 DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 1. Métodos y Materiales (o Equipos) Sistema basculante Consiste en un cuadrante cilı́ndrico de color celeste, pivotado en su centro geométri- co balanceado por un contrapeso y r´ıgidamente conectado a un elemento de pesa deslizante. En la parte superior del cuadrante cil´ındrico esta adherido un nivel tubular (color amarillo). Figura 1.1: Sistema Basculante Recipiente con agua Un recipiente transparente de plástico, el cual en la parte lateral inferior está co- nectada una manguera que suministra agua y otra manguera para la evacuación, ambas controladas por una llave. En la parte inferior del recipiente se observan dos niveles tubulares instalados trans- versalmente , el cual puede ser regulado por los tornillos nivelantes de la base del recipiente. Informe de Laboratorio N◦ 1 EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 9 Figura 1.2: Materiales del experimento Regla De metal, mide en centı́metros (cm) y pulgadas (in) hasta 30cm y precisión hasta el mil´ımetro. Método de medición Medición directa, al realizar las mediciones de las alturas de agua utilizando la regla. 2. Procedimiento del Experimento En primer lugar el recipiente con agua fue nivelado con ayuda de los tornillos nive- lantes, luego la pesa deslizante fue ubicada indicando la longitud d0 = 10cm, la superficie horizontal del anillo basculante no se encontró horizontal, para colocarlo horizontal se niveló usando el contrapeso. Luego de esto la llave de ingreso de agua fue abierta para empezar e llenado del recipiente. Una vez que la superficie del agua sobrepaso por menos de 4 cm. la base del cuadrante se procedió a nivelarlo, y a partir de este momento se midió el valor de h0 y el valor de D. Luego se continuó llenando un poco más el recipiente y nivelando nuevamente medimos distintos valores de h0 y D, se recopilo 10 pares de datos y finalmente se formó el cuadro 1.1 Figura 1.3: Modelo del Experimento d do D Contrapeso Nivel de Burbuja H ho ho Nivel de Referencia Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 10 Cuadro 1.1: Datos obtenidos H D (m) (m) 0.030 0.025 0.036 0.033 0.044 0.050 0.053 0.069 0.059 0.087 0.082 0.154 0.087 0.175 0.094 0.198 0.105 0.242 0.113 0.281 3. Resultados y Discusión 3.1. Otros Datos Aparte de los datos obtenidos del procedimiento en el cuadro 1.1, se incluye estos datos proporcionados por el instructor del laboratorio (cuadro 1.2). Cuadro 1.2: Otros Datos Magnitud Notacion Medida Masa de la pesa deslizante m 0.605 Kg Longitud perpendicular al dibujo B 0.115 m Radio exterior del cuadrante cil´ındrico R 0.250 m Peso de la pesa deslizante W =mg 5.935 N 3.2. Presentación de Resultados 1. Deducir las expresiones para el cálculo las componentes horizontales, Fh , y vertical, Fv , de la fuerza hidrostática que ejerce el agua sobre la superficie curva en función del radio exterior R, el ancho B y la carga de agua H. En la Teorı́a, se vió que la componente horizontal es igual en magnitud (pero en sentido contrario) a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de la superficie sobre un plano vertical (pág. 6). En la figura 1.4, se observa que la proyección de la superficie sobre un plano vertical es un rectángulo con lados D y H. Entonces, la fuerza horizontal es la presión en el centroide del rectángulo multiplicada por su área. . Σ Fh = H2ρg HB = 12H 2 Bρg (1.1) En la Teorı́a, se vió que la componente vertical es igual al peso del volumen de l´ıquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 11 nivel de la superficie libre.(pág. 6). Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 12 En la figura 1.4, se observa que el volumen sumergido tiene forma cil´ındrica cuya base es la diferencia de una sección circular y un triángulo rectángulo. Área de la sección circular Área del triangulo rectángulo ¸ Σ˛ ¸ xs. . xs . ˛ R − H Σ2 Áreabase = 1 R2 arc cos − 1 (R − H) R2 − R − H 2 R 2 Una vez hallado el área de la base,la fuerza es el peso del volumen ubicado verti- calmente por encima de la curva. Fv = Áreabase Bρg . . Σ . Σ R−D . Σ2 Fv = R arc cos 1 2 − (R − D) R − R − D 1 2 Bρg (1.2) 2 R 2 Fuerza equivalente a la masa total del sistema y la masa movil d0 H fuerza horizontal sobre la superficie plana componente horizontal de la (Fh) fuerza sobre la superficie curva (Fh) componente vertical de la fuerza X cp sobre la superficie curva (Fv) Figura 1.4: D.C.L. 1 Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y las componentes horizontal y vertical de la fuerza sobre la superficie curva 2. Deducir las expresiones teóricas para hallar la ubicación del centro de pre- siones Xcp y Ycp (función de R y H). En la Teorı́a, se vió que la componente horizontal tiene la misma lı́nea de acción que la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de la superficie sobre un plano vertical, es decir, pasa por el centro de presión de dicha proyección. En la figura 1.4, se observa que la proyección de la superficie sobre un plano vertical es un rectángulo con lados D y H. Entonces, se halla la posición del centro de presión en función del momento de inercia de la proyección, posición del centroide, y el área de la proyección. Iproy Ycp = Yc + AproyYc BH 3 H Ycp = (R − H ) + 12 = R− (1.3) 2 (BH) H2 3 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 13 En la Teorı́a, se vió que la componente vertical tiene su punto de aplicación ubicado en el centro de gravedad del volumen ubicado verticalmente por encima de la curva. En la figura 1.4, se observa que el volumen sumergido tiene forma cil´ındrica cuya base es la diferencia de una sección circular y un triángulo rectángulo. En el Apéndice 1.A, se obtiene la posición horizontal del centroide de dicha base. I x dA (Apén. 1.A) H2 (3R − H) 6 R−H Xcp = I dA = 1 R2 arc cos . Σ . (1.4) R . Σ2 2 − 21(R − H) R2 − R −H 2 3. Calcular los valores de Fh y Fv para cada valor de H utilizando las expre- siones deducidas en 1. En 1. , se hallaron Fv y Fh en función de H, R y B en las ecuaciones (1.1) y (1.2). Para cada valor de H del cuadro 1.1, se halló sus respectivos Fv y Fh por medio de las ecuaciones, y se formo el cuadro 1.3 Cuadro 1.3: Fv y Fh hallados mediante (1.1) y (1.2) H Fh Fv (m) (N) (N) 0.030 0.507668 2.070364 0.036 0.731041 3.054431 0.044 1.092049 5.764181 0.053 1.584487 9.229591 0.059 1.963545 12.91091 0.082 3.792840 28.98330 0.087 4.269484 34.54684 0.094 4.984167 40.81843 0.105 6.218927 53.12202 0.113 7.202674 64.09864 4. Calcular los correspondientes valores de Xcp e Ycp experimentales La componente vertical actuará a una distancia Xcp del pivote. La pesa deslizante tiene un peso W que ha sido desplazado una distancia D desde su posición inicial para equilibrar estas fuerzas hidrostáticas. La carga de agua que ejerce presión sobre las superficies es H puesto que por debajo de ho no hay contacto con las superficies. Tomando momentos respecto al pivote (figura 1.4) tendr´ıamos la siguiente ecuación: Fv Xcp = W D ya que la componente horizontal de la fuerza hidrostática sobre la superficie curva se cancela con la fuerza horizontal sobre la superficie plana pues ambas tienen el Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 14 mismo valor y la misma ubicación. Los pesos del cuadrante, del contrapeso, etc. Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 15 estaban equilibrados al inicio de la experiencia, de modo que también se cancelan. Entonces: WD Xcp = (a) Fv Utilizando las mediciones efectuadas (cuadro 1.1) y con el peso de la masa desli- zante (cuadro 1.2), podemos determinar los Xcp experimentalmente con la ecua- ción (a). Ası́ se formó el cuadro 1.4 Cuadro 1.4: Xcp hallados experimentalmente H D Xcp (m) (m) (m) 0.030 0.025 0.07166676 0.036 0.033 0.06315059 0.044 0.050 0.05148217 0.053 0.069 0.04437016 0.059 0.087 0.03999325 0.082 0.154 0.03153533 0.087 0.175 0.03006451 0.094 0.198 0.02878944 0.105 0.242 0.02703742 0.113 0.281 0.02601848 La componente horizontal actuará a una distancia Ycp del pivote. La fuerza ho- rizontal sobre la superficie curva, Fh , es igual en magnitud y ubicación que la actuante sobre la superficie plana vertical. Fuerza equivalente a la masa total del sistema y la masa movil d0 Y cp H fuerza horizontal sobre la superficie plana (Fh) fuerza ejercida por la presión Nivel de Referencia Figura 1.5: D.C.L. 2 Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y la distribución de presiones en la superficie curva. Nuevamente, tomando momentos respecto al pivote tendr´ıamos la siquiente ecua- Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 16 ción: Fh Ycp = W D ya que distribución de presiones genera fuerzas que pasan por el pivote de modo que no generan momento. Entonces: WD Ycp = (b) Fh Utilizando las mediciones efectuadas (cuadro 1.1) y el peso de la masa deslizante, podemos determinar Ycp experimentalmente con la ecuación (b). Ası́ se formó el cuadro 1.5 Cuadro 1.5: Ycp hallados experimentalmente H D Ycp (m) (m) (m) 0.030 0.025 0.29227053 0.036 0.033 0.26385534 0.044 0.050 0.27173913 0.053 0.069 0.25845497 0.059 0.087 0.26296791 0.082 0.154 0.24097975 0.087 0.175 0.24326917 0.094 0.198 0.2357746 0.105 0.242 0.23095337 0.113 0.281 0.23154583 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 17 5. Graficar Xcp vs H e Ycp vs H (6 puntos). Con ayuda de los datos obtenidos en el cuadro 1.4 se grafica la Figura 1.6 0.09 Gráfica Xcp vs H bC 0.085 bC bC 0.08 bC Cb 0.075 Xcp (m) 0.07 bC Experimental 0.065 Cb bC 0.06 0.055 Cb 0.05 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 H (m) Figura 1.6: Grafica Xcp experimental vs H Con ayuda de los datos obtenidos en el cuadro 1.5 se grafica la Figura 1.7 0.3 Gráfica Ycp vs H 0.29 Experimental 0.28 0.27 bC Ycp (m) 0.26 bC bC bC 0.25 0.24 Cb 0.23 Cb bC 0.22 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 H (m) Figura 1.7: Gráfica Ycp experimental vs H Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 18 6. Superponer las expresiones teóricas deducidas en 2 (lı́nea recta o curva según corresponda). Con las ecuación (1.4), se graficó la curva teórica que debe seguir 0.1 Gráfica Xcp vs H 0.09 bC bC bC bC 0.08 bC 0.07 bC Cb 0.06 bC Experimental Xcp (m) Cb Cb Teorico 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 H (m) Figura 1.8: Gráfica Xcp vs H incluyendo los valores teóricos Con las ecuación (1.3), se graficó la curva teórica que debe seguir 0.4 Gráfica Ycp vs H 0.35 Experimental 0.3 Cb Teorico Cb bC bC bC 0.25 bC bC Cb Cb Cb Ycp (m) 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 H (m) Figura 1.9: Gráfica Ycp vs H incluyendo los valores teóricos Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 19 4. Cuestionario 1. Comente el ajuste obtenido de los resultados experimentales con los teóri- cos en los gráficos Xcp vs H y Ycp vs H. En las gráficas Xcp vs H se observa que la gráfica experimental se asemeja mucho en su concavidad a la gráfica teórica, pero ambas no se llegan a cortar. En la gráfica Ycp vs H experimental se observa que para los 4 primeros valores de H no existe una tendencia en los puntos puesto que forman un especie de zigzag, luego en los siguientes 6 la curva llega a asemejarse mucho más a la teórica, pero sin embargo existe un pequeño desfase entre las curvas como en la primera gráfica. 2. ¿Existen puntos absurdos que deben ser eliminados? El primer punto que se tomó de H, pues se observa que se aleja mucho del comportamiento de los demás puntos y se deberı́a a que en estos casos las Fv y Fh son mı́nimas y no influyen mucho. 3. ¿Qué fuentes de error podrı́an estar afectando sus mediciones y resulta- dos? Una posible fuente de error podrı́a ser que el recipiente que contiene el agua no este del todo nivelado. Al hacer las mediciones de las alturas puede existir un error producto de la visual de quien mide. 4. ¿Al hacer la última medición de, nuevamente para d=d0=10cm, logra medir nuevamente el mismo valor de h=h0? ¿Por qué sı́ o por qué no? Si porque el cuadrante cilı́ndrico esta balanceado por un contrapeso y está en equilibrio para d=10 y h=h0. 5. Indique tres casos de estructuras en las cuales requerirı́a calcular las componentes vertical y horizontal de la fuerza sobre una superficie curva y su punto de aplicación. Existe un tipo de presas denominada como presas en arco las cuales son estructuras curvas de concreto con convexidad hacia aguas arriba En un submarino es necesario conocer los valores de las fuerzas que actúan sobre sus paredes. En la construcción de reservorios de agua. 5. Conclusiones De las gráficas se observa un desfase en ambas curvas la cual podrı́a ser producto del valor de la masa puesto que este fue el único dato que no fue verificado, se comprobó que para un valor de la masa de 550gr las gráficas tanto experimental y teórica coinciden perfectamente debido a que con este cambio, los puntos de la gráfica experimental se desplazan un poco verticalmente hacia abajo , coincidiendo ası́ con la teórica. Los valores de H pequeños se podrı́an despreciar puesto que la fuerza, tanto vertical como horizontal, producida por estos es m´ınima y no afectar´ıan considerablemente al equilibrio. Al incrementar el nivel de agua la única fuerza que debemos compensar moviendo la masa deslizante es la fuerza horizontal producida sobre la superficie plana, puesto que la fuerza en la superficie curva pasa por el eje y no genera momento. Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 20 Apéndice 1.A Cálculo del Centroide R-y' dA H y' x R²-(R-y')² Figura 1.10: Cálculo del centroide Se determinará el Xcp de región señalada en la figura 1.10 mediante la siguiente fórmula I x dA Xcp = I dA H Primero, se halla dA. Área de la sección circular Área del triangulo rectángulo I ¸ Σ˛ ¸ xs. . xs . ˛ R − H Σ 2 dA = Área = 1 R2 arc cos − 1 (R − H) R2 − R − H 2 R 2 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES 19 H Luego, se halla xdA √ H R2−(R−yj) I ∫ ∫ x dA = x dxdyj 0 0 ∫H R2 − (R − yj)2 j = dy 2 0 H ∫ 2Ryj yj2 − = dy 2 0 H2 1 H3 H2 =R − = (3R − H) 2 23 6 Finalmente, I x dA H2 (3R − H) Xcp = I = . R−H Σ 6 . . Σ2 dA R arc cos 1 2 2 R − 21(R − H) R2 − R −H 2 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes 20 Experimento N◦ 2 ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 1. Métodos y Materiales (o Equipos) Consta de una barcaza de metal de forma rectangular que flota libremente, en agua y de un vástago vertical soportado por cuerdas del que pende un hilo con plomada, que permite leer en grados el ángulo de carena de la barcaza logrado, mediante el desplazamiento de una masa de 200gr. A lo largo de un riel horizontal a la barcaza. El centro de gravedad puede ser variado por medio de una masa deslizable (de posición) de 500 g que puede colocarse en diferentes posiciones a lo largo del vástago. Figura 2.1: Equipo Utilizado 2. Procedimiento del Experimento Como puede observarse, el equipo consta de la barcaza, masa deslizante por un eje vertical y masa deslizante por un eje horizontal. La masa deslizante vertical sirve para modificar la posición del centro de gravedad del cuerpo flotante. La masa horizontal es la que nos dará la variación de la posición del centro de empuje. Es obvio que el centro de gravedad pasa por el eje de simetr´ıa del sistema. Ahora detallamos el procedimiento que se siguió: Informe de Laboratorio N◦ 1 EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 21 Se definió un sistema de coordenadas localizado en el cruce de los ejes de desli- zamiento de las masas. Se ha denominado X el deslizamiento Horizontal y Y el deslizamiento Vertical desde este punto. Cada posición del centro de gravedad del cuerpo flotante o sistema se fijó con la pesa que se desliza por la barra vertical (perpendicular a la base del cuerpo). Se ha denominado este desplazamiento distancia Y la cual se mide desde el origen antes definido. Se colocó la masa vertical en una determinada posición, anotando el valor de Y , y se coloca la masa horizontal en el origen de coordenadas. El ángulo que forma el péndulo en el transformador o ángulo de carena debe de ser cero para esta posición, de no ser ası́ se deberá girar un poco la masa vertical sobre su eje hasta conseguir. Se deslizó la masa horizontal hasta colocarla en una determinada posición, con ayuda de las gradaciones del eje horizontal. Luego se anota la posición X y el ángulo de carena θ una vez que el cuerpo alcanza el equilibrio. Se Repitió el paso anterior variando X desde 0 hasta 8cm. con desplazamientos de 2 cm cada uno. Finalmente, Se cambio la posición del centro de gravedad deslizando la masa vertical desde 0 hasta 10cm. con desplazamientos de 2cm. cada uno, midiendo nuevamente sus respectivos ángulos de carena. Cuadro 2.1: datos obtenidos θ X Y (m) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.02 0.8 1.0 1.6 1.2 1.1 2.8 0.04 1.3 1.8 2.5 2.2 2.2 4.05 0.06 2.0 2.6 3.2 3.2 3.3 5.4 0.08 3.0 3.5 4.1 4.15 4.5 6.8 3. Resultados y Discusión 3.1. Otros Datos Aparte de los datos obtenidos del procedimiento en el cuadro 2.1, se incluye estos datos proporcionados por el instructor del laboratorio (cuadro 2.2). Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 22 Cuadro 2.2: Otros Datos Magnitud Notación Medida Masa de la barcaza MB 3.545 Kg Masa de la pesa deslizante horizontal Mh 0.0988 Kg Masa de la pesa deslizante vertical Mv 0.7177 Kg Ancho de la barcaza DB 0.212 m Largo de la barcaza LB 0.370 m Masa de la barcaza más las pesas Ms 4.362 Kg Peso de la barcaza más las pesas Ws 42.786 N Peso de la pesa deslizante horizontal Wh 0.9692 N Peso de la pesa deslizante vertical Wv 7.0406 N 3.2. Procedimiento de Cálculo Primero se halla MG tomando momentos en el centro de empujes (para eliminar la componente de flotación o empuje de agua). l · Ws = a · Wh pero por la geometr´ıa en la figura 2.2 l = M G sen θ l Wh X ⇒ MG= = · (2.1) sen θ Ws sen θ BM se halla con una fórmula conocida (ver teorı́a pág. 6): I BM = V donde V es el volumen sumergido de la barca Ms VB = ρ = 0,0044m3 agua LB · DB3 − 4 IB = = 2,9378 × 10 m4 12 2,9378 × 10−4m4 ⇒ BM = = 0,0674m 0,0044m3 BC se halla como la mitad del calado VB Calado = = 0,0556m LB · D B 0,0556m ⇒ BC = = 0,02778m 2 La ubicación del centro de gravedad (CG) se halla restando segmentos CG = BM − GM − BC (2.2) Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 23 O M O G l G' Wh P C P B B B' E n r a Nivel de Referencia Figura 2.2: D.C.L. de la Barcaza 4. Cuestionario a) Ver sección 3 pág. 21 b) Realice la deducción de las fórmulas necesarias • Cuerpo flotante Puede decirse que un cuerpo flota cuando se encuentra parcialmente sumergido, o sea parte de su volumen está fuera de fluido. Un objeto flota si su densidad media es menor que la densidad del agua. Si éste se sumerge por completo, el peso del agua que desplaza (y, por tanto, el empuje) es mayor que su propio peso, y el objeto es impulsado hacia arriba y hacia fuera del agua hasta que el peso del agua desplazada por la parte sumergida sea exactamente igual al peso del objeto flotante. • Plano de flotación El plano del agua donde flota un buque se interseca con el casco definiendo una superficie que se denomina superficie de flotación. En la figura se observa ésta para tres estados diferentes de carga F1, F2 y F3. Estas superficies se consideran siempre paralelas unas a otras y paralelas a su vez a la l´ınea base (LB) o l´ınea de la quilla. Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 24 Figura 2.3: Planos de Flotación • Lı́nea de flotación La lı́nea de flotación es la lı́nea formada por la intersección del plano formado por la superficie del agua con el casco de un barco; separando la parte sumergida (obra viva), de la que no lo está (obra muerta). Es variable en función de la carga, de las caracterı́sticas del agua, de la estiba y de otros factores. En términos coloquiales, la expresión ”lı́nea de flotación”suele referirse a aquello sobre lo que se asienta un concepto o un sistema determinado. • Centro de flotación Al inclinarse un buque longitudinalmente, lo hace girando sobre un eje que pasa por el centro de gravedad del plano de flotación. Dicho centro se llama “centro de flotación”. El centro de flotación no tiene por qué estar en la vertical del centro de gravedad ni coincidir con él. Si cargamos un peso en la vertical del centro de flotación no se altera la diferencia de calados, es decir, el asiento. • Desplazamiento Es el peso del l´ıquido desplazado por el flotador (igual al em- puje hidrostático sobre la superficie de la carena). • Carena Carena se denomina al volumen limitado por el casco y por la superficie de flotación en un buque. También puede denominarse carena al volumen sumergido. • Centro de carena Centro de carena es el centro de gravedad del volumen de agua desplazado por un flotador, para una condición dada. También se conoce con el nombre de centro de empuje, ya que es con fines de estabilidad donde se considera aplicada dicha fuerza. • Empuje Se conoce como fuerza de flotación a la fuerza resultante que ejerce un fluido sobre un cuerpo sumergido (total o parcialmente), la cual actúa siempre en forma vertical y hacia arriba. La fuerza de flotación actúa a través del centroide del fluido desplazado y es igual al peso del volumen del fluido desplazado y es igual al peso del volumen del fluido desplazado por el sólido c) Graficar para cada posición: X vs. H en una sola gráfica. Que conclusiones puede obtener de la gráfica? Primero, usando la ecuación 2.1 se halla la altura metacéntrica para cada caso, y se obtiene el cuadro 2.3 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 25 Cuadro 2.3: Cálculo de la Altura Metacéntrica X H Y (m) (m) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.02 0.03245 0.02596 0.01622 0.02163 0.02360 0.00926 0.04 0.03993 0.02883 0.02075 0.02359 0.02359 0.01280 0.06 0.03892 0.02993 0.02431 0.02431 0.02357 0.01438 0.08 0.03458 0.02963 0.02528 0.02498 0.02303 0.01520 Téoricamente, en la figura 2.4 tiene que haber lineas horizontales distanciadas WWvs · 2cm. Aunque en general no se parece, en Y = 0,8m se aproxima mucho a una linea horizontal (H = 0,0236), por tal motivo lo tomaremos como dato para poder hallar el centro de gravedad del sistema en la siguiente pregunta 0.04 Gráficas X vs H bC bC 0.035 bC 0.03 0.025 H (m) 0.02 bC 0.015 Y = 0.00 0.01 Y = 0.02 Y = 0.04 Y = 0.06 0.005 Y = 0.08 Y = 0.10 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 X (m) Figura 2.4: Gráfica Ycp experimental vs H d) Podrı́a ubicar para cada caso el Centro de Gravedad del Sistema? Como se dijo anteriormente, tomaremos los datos de Y = 0,08m porque son los ”mejores”datos. Hallaremos CG por medio de la ecuación (2.1). CG = 0,0674 − GM − 0,0278 pero como vamos a usar Y = 0,08m ,entonces GM = 0,0236 CG = 0,0674 − 0,0236 − 0,0278 CG = 0,0160 ese CG es para y = 0,08m para un Y general, CG será: Wv CG = 0,0160m + · (Y − 0,08m) Ws CG = 0,0160m + 0,1646 · (Y − 0,08m) CG = 0,0028m + 0,1646Y (2.3) Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 26 Como C es un punto fijo, ya está definido el centro de gravedad (G) para cada posición de Y. e) Traficar la familia de curvas Y vs. H para diferentes desplazamientos X en una sola gráfica. ¿Qué puede decir de este gráfico? Para hacer la gráfica Y vs H se usan los datos de la tabla 2.3. Teóricamente, en la figura 2.5 todos los trazos deben coincidir en una misma linea oblicua. Aunque no se parece, en Y = 0,8m todos los trazos tienden a concurrir en un punto (0.08,0.0236). Este es otro motivo por el cual usamos Y = 0,08 para iniciar los cálculos. 0.04 Gráficas Y vs H bC X = 0.02 0.035 X = 0.04 X = 0.06 bC X = 0.08 0.03 0.025 H (m) Cb bC 0.02 bC 0.015 bC 0.01 0.005 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Y (m) Figura 2.5: Gráfica Ycp experimental vs H f) ) ¿Cuáles son las aplicaciones en el campo en la Ingenierı́a Civil que se le puede dar a la ubicación de la altura metacéntrica? Las principales aplicaciones de la altura metacéntrica en ingenierı́a civil son en las obras que se realizan en el agua, por ejemplo, puentes flotantes como el de Kelowna, y obras como aeropuertos flotantes como el de Kansai en Osaka Japón. En estas obras es muy importante conocer si la altura metacéntrica es positiva, ósea si el metacentro está por encima del centro de gravedad ya que esto dará estabilidad a la estructura. Dado que en este tipo de obras existirán perturbaciones, en el caso de puentes los veh´ıculos que circularan en ellos y en el caso de aeropuertos los aviones que aterrizaran en ellos, el diseño deberá basarse en que el metacentro siempre este por encima del centro de gravedad de la estructura. g) Diga Ud. Cuál es el lı́mite de un cuerpo estable e inestable El l´ımite entre el cual un cuerpo se encuentra en equilibrio estable y equilibrio inestable es el equilibrio neutro en el cual M G = 0 , es decir, CG = CM . En este caso, usando Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 27 la ecuación (2.3) CM = CG = 0,0028m + 0,1646Y BM − BC = 0,0028m + 0,1646Y 0,0674m − 0,0278m = 0,0028m + 0,1646Y Y = 0,2236m Por lo tanto, cuando la masa deslizante vertical este en Y = 22,36cm, de dice que el sistema está en equilibrio neutro h) Conclusiones Ver sección 5 pág. 29 j) Graficar la variación del radio metacéntrico vs. el ángulo de carena en abscisas y en grados sexagesimal para diferentes posiciones del centro de gravedad. Para hallar el radio metacéntrico se asumirá que se conoce la altura del centro de gravedad (CG) en cada deslizamiento de la masa vertical por la ecuación (2.3) Sumando segmentos en la figura 2.2, se tiene BM = BC + CG + GM Wh X BM = 0,0278m + 0,0028m + 0,1646Y + · Ws sen θ X BM = 0,0206m + 0,1646Y + 0,0227 · (2.4) sen θ Luego, con la ecuación 2.4, se hace el cuadro 2.4. Cuadro 2.4: Cálculo del Radio Metacéntrico X Radio Metacéntrico (m) Y (m) (m) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.02 0.06252 0.05931 0.05284 0.06155 0.06682 0.05575 0.04 0.07002 0.06220 0.05740 0.06353 0.06682 0.05932 0.06 0.06903 0.06332 0.06098 0.06428 0.06683 0.06093 0.08 0.06470 0.06304 0.06198 0.06497 0.06631 0.06180 y finalmente con los datos del cuadro , se forma la figura 2.6 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 28 0.08 Gráficas θ vs BM 0.07 bC Cb Cb Cb Cb Cb Cb bC Cb bC bC Cb bC bC Cb Radio Metacéntrico (m) b 0.06 C bC bC Cb 0.05 bC bC C 0.04 C bC 0.03 C Y = 0.00 bC 0.02 Y = 0.02 Y = 0.04 Y = 0.06 0.01 Y = 0.08 Y = 0.10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Ángulo de Carena (◦ ) Figura 2.6: Grafica Ángulo de Carena vs Radio Metacéntrica k) Graficar la curva de la distancia metacéntrica vs. el ángulo de carena para condiciones similares al del caso anterior. Por la ecuación 2.1 La distancia metacéntrica se halla de la siguiente manera Wh X MG = · Ws sen θ X M G = 0,0227 · (2.5) sen θ Luego, con la ecuación 2.5, se hace el cuadro Cuadro 2.5: Cálculo del la Distancia Metacéntrica X Distancia Metacéntrica(m) Y (m) (m) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.02 0.03245 0.02596 0.01622 0.02163 0.02360 0.00926 0.04 0.03993 0.02883 0.02075 0.02359 0.02359 0.01280 0.06 0.03892 0.02993 0.02431 0.02431 0.02357 0.01438 0.08 0.03458 0.02963 0.02528 0.02498 0.02303 0.01520 y finalmente con los datos del cuadro 2.5 , se forma la figura 2.7 Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes EXPERIMENTO N◦ 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 29 0.05 Gráficas θ vs H 0.045 Y = 0.00 Y = 0.02 0.04 Distancia Metacéntrico (m) = 0.04 Y = 0.06 0.035 = 0.08 Y = 0.10 bC 0.03 Y Cb Y 0.025 Cb bC bC 0.02 bCbC bC bC 0.015 Cb bC bC 0.01 Cb bC 0.005 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Ángulo de Carena (◦ ) Figura 2.7: Grafica Ángulo de Carena vs Distancia Metacéntrica 5. Conclusiones De las figuras 2.5 se observan desfases en cada trazo. Sin embargo, a simple vista, estos desfases tienen un patrón. Este patrón pudo haber sido ocasionado por la suposición de un ángulo de carena pequeño . Los valores de X pequeños se podrı́an despreciar, puesto que en la ecuación 2.1 la división se acerca al 00 , es decir, no habrı́a suficiente variación del centro de gravedad para que el sistema gire un ángulo apreciable. En la figura 2.6, se puede observar que el radio metacéntricos permanece relativamente constante con respecto al ángulo de carena. En general, el radio metacéntrico deberı́a permanecer constante para todo angulo de carena pequeño (< 10◦ ), por tal razón recibió el nombre de radio metacéntrico Determinación del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes 30 Referencias [1] McDonald Alan T. Fox Robert W. Introducción a la Mecánica de los Fluidos. McGraw - Hill, USA 1995. [2] Wiggert David C. Potter Merle C. Mechanics of Fluids. 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