CEF - MATEMÁTICA - 2 - 2012 - Free Download PDF Ebook

CEF – MATEMÁTICA (TÉC.BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 1 JUROS SIMPLES Consideremos os seguintes fatos: • Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24 000,00 de juros. • O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se eu comprar essa mesma televisão em 10 presta- ções, vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar R$750,00 de juros. No 1.°fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em dinheiro que se recebe por emprestar uma quantia por determinado tempo. No 2.°fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinheiro que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo. Assim:  Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compen- sação em dinheiro.  Quando pedimos emprestada certa quantia por determinado tempo, pagamos uma compensação em dinheiro.  Quando compramos uma mercadoria a prazo, pagamos uma compensação em dinheiro. Pelas considerações feitas na introdução, podemos dizer que : Juro é uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se paga. Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomina-se capital. O porcentual denomina-se taxa e representa o juro recebido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano. O período de depósito ou de empréstimo denomina-se tempo. A compensação em dinheiro denomina-se juro. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES Vejamos alguns exemplos: 1.°exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, durante 5 anos. De acordo com os dados do problema, temos: 25% em 1ano ¬ 125% (25 . 5) em 5 anos 125% = 100 125 = 1,25 Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema: Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai: x = 125% de 720 000 = 1,25 . 720 000 = 900 000. Resposta: Os juros produzidos são de R$ 900.000,00 2.° exemplo: Apliquei um capital de R$ lo 000,00 a uma taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse capital me renderá de juros? 1,8% em 1 mês ¬ 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses 10,8% = 100 8 , 10 = 0,108 Dai: x = 0,108 . 10 000 = 1080 Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00. 3.° exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 3 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? De acordo com os dados do problema: 1,2% em 1 mês ¬ 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses 7,2% = 100 2 , 7 = 0,072 Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema: 3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x. Dai: 3600 = 0,072 . x ¬0,072x = 3 600 ¬ x = 072 , 0 3600 x = 50 000 Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00. 4.°exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado durante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a taxa (em %) ao mês? De acordo com os dados do problema: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 2 x% em 1 mês ¬ (6x)% em 6 meses Devemos, então, resolver o seguinte problema: 4 800 representam quantos % de 80 000? Dai: 4 800 = 6x . 80 000 ¬ 480 000 x = 4 800 x = 000 480 800 4 ¬ x = 800 4 48 ¬ x = 0,01 0,01 = 100 1 = 1 % Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. Resolva os problemas: - Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? - Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à taxa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? - Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)? - Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho. - A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 meses, rendeu juros de R$ 31 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicação - Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou compra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara juros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todas elas são iguais. - Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados? Respostas R$ 4 400,00 R$ 70 000,00 R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00 R$ 5 220,00 1,1% R$ 1 075,00 e R$ 215,00 R$ 109 600,00 2,5% JUROS COMPOSTOS 1. Introdução O dinheiro e o tempo são dois fatores que se encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e dos negócios. Quando são gerados excedentes de fundos, as pessoas ou as empresas, aplicam-no a fim de ganhar juros que aumentem o capital original disponível; em outras ocasiões, pelo contrário, tem-se a necessidade de recursos financeiros durante um período de tempo e deve-se pagar juros pelo seu uso. Em período de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como já se viu, os juros simples. Já em períodos de longo-prazo, utiliza-se, quase que exclusivamente, os juros compostos. 2. Conceitos Básicos No regime dos juros simples, o capital inicial sobre o qual calculam-se os juros, permanece sem variação alguma durante todo o tempo que dura a operação. No regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vão sendo gerados, vão sendo acrescentados ao capital inicial, em períodos determinados e, que por sua vez, irão gerar um novo juro adicional para o período seguinte. Diz-se, então, que os juros capitalizam-se e que se está na presença de uma operação de juros compostos. Nestas operações, o capital não é constante através do tempo; pois aumenta ao final de cada período pela adição dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada. Esta diferença pode ser observada através do seguinte exemplo: Exemplo 1: Suponha um capital inicial de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 30.0 % a.a. por um período de 3 anos a juros simples e compostos. Qual será o total de juros ao final dos 3 anos sob cada um dos rearmes de juros? Pelo regime de juros simples: J = c . i . t = R$ 1.000,00 (0,3) (3) = R$ 900,00 Pelo regime de juros compostos: ( ) J C i o n = + ÷ ¸ ( ¸ ( 1 1 = ( ) | | 00 , 197 . 1 $ 1 3 , 1 00 , 000 . 1 $ 3 R R J = ÷ = Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou com os cálculos, temos: Ano Juros simples Juros Compostos 1 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 2 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.300,00(0,3) = R$ 390,00 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 3 3 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.690,00(0,3) = R$ 507,00 R$ 900,00 R$1.197,00 Vamos dar outro exemplo de juros compostos: Suponhamos que você coloque na poupança R$ 100,00 e os juros são de 10% ao mês. Decorrido o primeiro mês você terá em sua poupança: 100,00 + 10,00 = 110,00 No segundo mês você terá:110,00 + 11,00 =111,00 No terceiro mês você terá: 111,00 + 11,10 = 111,10 E assim por diante. Para se fazer o cálculo é fácil: basta calcular os juros de cada mês e adicionar ao montante do mês anterior. JUROS COMPOSTOS Conceito Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são somados ao capital cons- tituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte. Seja, por exemplo, um capital de 1.000 unidades mone- tárias colocado a 20% a.a. durante 4 anos. No fim do primeiro ano o juro é igual a 200, que é capitalizado, isto é, é somado ao capital 1000 para, assim, o novo capital, 1200, produzir juros no segundo ano. Ao final deste, o juro será de 240, ou seja, 20% de 1200. O capital a produzir juro no terceiro ano é de 1.440 (1.200 + 240). O juro será 288. No quarto ano o juro será de 20% sobre o capital 1.728 (1.440 + 288), ou seja, 345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano será de 2.073,60 unidades de capital. O gráfico abaixo mostra os juros calculados no fim de cada período e os respectivos montantes. Comparando os juros compostos com os juros simples, verifica-se que os primeiros crescem em progressão geo- métrica, enquanto os juros simples são constantes em todos os períodos, pois são calculados sempre sobre o capital inicial. No problema citado, os juros simples são iguais a 200 unidades monetárias em todos os anos. Assim, o montante do capital de 1.000, a juros simples de 20% a.a., cresce numa progressão aritmética de razão 200, enquanto o montante a juros compostos cresce em progressão geomé- trica de razão 1,2. O quadro abaixo apresenta a evolução dos montantes a juros simples e compostos. Anos 0 1 2 3 4 Montante a Juros simples 1000 1200 1400 1600 1800 Montante a Juros compostos 1000 1200 1440 1780 2073,6 Representando graficamente, temos: Pode-se verificar, pelo gráfico acima, que, para n 1, os juros compostos e os juros simples são iguais; para n < 1, os juros simples são maiores que os juros compostos e, para n > 1, os juros compostos sempre excedem os juros simples. CÁLCULO DO MONTANTE (CN) No problema anterior, calculou-se o montante do capital de 1.000, em 4 anos, a 20% a.a., resolvendo quatro problemas de juros simples, ou seja, calculando os juros em cada ano a partir do montante constituído no ano anterior. Pode-se, entretanto, deduzir uma fórmula para o cálculo do montante em função do capital inicial, da taxa do juro e do tempo de aplicação. Os juros foram calculados, em cada ano, aplicando-se a fórmula j = Ci (n = 1) e os resultados obtidos estio resumidos no quadro abaixo: Capital Juros Montante 1°ano 1000 200 1200 2°ano 1200 240 1440 3°ano 1440 288 1728 4°ano 1780 345,6 2073,6 Representando literalmente os valores do quadro acima, temos: Capital Juros Montante n =1 C j1 C1 n =2 C1 J2 C2 n =3 C2 j3 C3 n =4 C3 j4 C4 Seja CN, o montante do capital C, à taxa i, no fim de n CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 4 períodos. Resolvendo literalmente o problema anterior, temos: • para n =1¬ C1 = C+ j1 como j1 = Ci C1 =C + Ci = C(1+i) • para n =2 ¬ C2 = Ci + j2 C2 = C1 +C1i = C1 (1+i) = C (1+i) (1+i) =C (1 +i) 2 • para n = 3 ¬ C3 = C2+j3 C3 = C2 + C2i = C2 (1+i) = C (1 +i) 2 (1+ i) = C(1 +j) 3 • para n=4 ¬C4 = C3+j4 C4 = C3 +C3 i = C3 (1 +i) = C(1+i) 3 (1 +i) = C (1+j) 4 Analogamente: C5 =C (1 + i) 5 C6 = C (1+i) 6 Finalmente, para n qualquer, C n = C ( 1+i) n Obs.: Nessa fórmula, como em todas as demais da ma- temática financeira, a taxa unitária i e o número de perío- dos n devem referir-se d mesma unidade de tempo. Assim, se i é taxa anual, n deverá expressar número de anos; se lã taxa semestral. n será número de semestres etc. EXEMPLOS 1. Calcular o montante do capital de 10.000 unidades monetárias, a 10% a.a., em 3 anos. C = C(1+i) N C = 10.000 C = 0,1 (10%a.a.) n = 3(anos) C3 = 10.000(1+0,1) 3 C3 = 10.000 x 1,1 3 C3 = 10.000 x 1,331 C3= 13.310 2. Determinar o montante de 3.000 unidades monetárias, a 2% ao mês, no fim de 2 anos. Cn = C (1 +i) n C = 3.000 i = 0,02 (2% ao mês) n = 24 (meses) C24 = 3.000(1 +0,02) 24 = 3.000x 1,02 24 O valor de 1,02 24 é fornecido por tábua financeira (Tá- bua 1) e é igual a 1,608437. C24 = 3.000 x 1,608437 C24 = 4.825,31 TÁBUAS FINANCEIRAS Na aplicação da fórmula do montante deve-se calcular o valor da potência (1 + j) n . Por isso, foi colocada no fim deste livro (apêndice) a Tábua financeira 1, que fornece os valores da expressão (1 + i) n para vários valores de i e n. Para localizar, na Tábua 1, determinado valor, procurase na primeira linha a taxa centesimal correspondente a / e, na primeira coluna, o valor de n. É na intersecção da linha dos períodos com a coluna da taxa que ele se encontra. Convém recordar aqui que se estiver tomando uma taxa anual, n estará representando o número de anos; se a taxa for trimestral, n será o número de trimestres etc. EXEMPLOS: 1. Se o problema envolve uma taxa mensal de 2% por um ano e 6 meses, então: (1 +i) n =(1 + 0,02) 18 1,428246 2. Para taxa trimestral de 5% em 2 anos, temos: (1 +i) n =(1 + 0,05) 8 1,477455 CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS Na constituição do montante, os juros podem ser calculados no fim de cada ano, semestre, trimestre ou mês. Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente, semestralmente, trimestralmente ou mensalmente. Geralmente, com referência ao período de capitaliza- ção, a taxa de juros é anual. EXEMPLOS 1. Juros de 18% á.a. capitalizados semestralmente. 2. Juros de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. 3. Juros de 12% a.a.‘capitalizados mensalmente. Nesses casos, ao calcular o valor da expressão (1 + i) n emprega-se a taxa proporcional, ou seja: no exemplo 1, a taxa semestral proporcional a 18% a.a. é de 9%; no exemplo 2 a taxa proporcional é de 5% ao trimestre; e, no e- xemplo 3, a taxa a ser utilizada é de 1% ao mês. Entretan- to, às vezes, usa-se a taxa equivalente, conforme se verá mais à frente. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 5 EXEMPLOS 1. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., no fim de 2 anos, com juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmente? Cn = C (1 +i) n i = 0,06 (6% ao trimestre) n = 8 (trimestres) C8 = 500 (1 +0,06) 8 (1 + 0,06) 8 1,593848 C8 = 500 x 1,593848 C8 = 796.92 u.m. 2. O capital de 120 u.m. foi colocado a juros de 20% a.a capitalizados semestralmente. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses? Cn = C (1 +i) n i = 0,1 (10% ao semestre) n = 5 (semestres) C5 = 120 (1 +0,1) 5 (1 + 0,1) 5 1,610510 C5 = 120 x 1,610510 C5 = 193,26 u.m. Em meses: Cn = C (1 +i) n i = 0,02 (2% ao mês) n = 20 (meses) C20 = 3.000 (1 +0,02) 20 (1 + 0,02) 20 1,485947 C20 = 3.000 x 1,485947 C20 = 4.457,84 u.m. CÁLCULO DO VALOR DE (1 + i) n NÃO TABELADO Quando o valor da expressão (1 + i) n não for fornecido diretamente pela tábua financeira, isto 6, a tábua não tiver a taxa do problema ou n for um número que não conste na tábua, pode-se achar o valor dessa expressão com auxílio de logaritmos ou fazendo interpolação dos valores tabelados. Obviamente, se se dispuser de uma calculadora que faça potenciação, o cálculo será bem simplificado. Cálculo de (1 +i) n com emprego de logaritmos Fazendo: x = (1 +i) n Log x = log (1 +i) n Log x = n log(1 +i) x = antilog [n log (1+i)] EXEMPLOS 1. Se a taxa é de 5,5% ao trimestre e o prazo de aplicação é de 2 anos, entro: (1 +i) n =(1 + 0,055) 8 Por hipótese, a tabela não fornece a taxa de 5,5%, pode-se calcular o valor de (1 + 0,055) 8 com auxílio de logaritmos. Assim: x = (1 + 0,055) 8 log x = log(1 + 0,055) 8 log x = 8log 1,055 log x = 8 x 0,0232525 log x = 0,18602 x = antilog 0,18602 x = 1,534687 Portanto, (1 + 0,055) 8 = 1,534687 (veja Tábua 1) 2. Admita-se que um capital é colocado por 2 anos e 2 meses a juros de 20% a.a. capitalizados semestralmente. Neste problema, a taxa é de 10% ao semestre e n é igual a 4 2/6 = 4 1/3 (semestres). Então: 3 13 0,1) ( 1 0,1) ( 1 n i) ( 1 3 1 4 + = + = + 3 13 0,1) ( 1 x + = 3 13 0,1) log( 1 x log + = log1,1 3 13 x log = 0,413927 3 13 x log - = CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 6 log x = 0,1793683 x = antilog 0,1793683 x = 1,511361 portanto 511361 , 1 = + 3 1 4 0,1) ( 1 INTERPOLAÇÃO DE VALORES TABELADOS Nos dois exemplos anteriores, os valores da expressão (1 + 1)” podem também ser calculados fazendo-se interpo- lação linear dos valores aproximados, fornecidos pela tá- bua financeira. Para o cálculo do valor de (1 + 0,055) 8 , procuram-se na tábua as taxas mais próximas de 5,5%, que são 5% e 6%. Na linha correspondente a 8 períodos, os valores da fun- ção (1 + i) n , para estas taxas, são 1,477455 e 1,593848, respectivamente. Estabelecendo uma regra de três calcula- se o valor da função para a taxa de 5,5%. 5% 6% 8 1,477455 1,593848 Para um acréscimo da taxa de 1% (6% — 5%), a fun- ção tem um acréscimo de 0,116393 (1,593848 — 1,477455); então, um acréscimo de 0,5% (5,5% — 5%) corresponde a um acréscimo de x no valor da função. Por- tanto: 1% 0,116393 0,5% x x 0,116393 0,5 1 = x = 0,5 x 0,116393 x = 0,058196 Somando-se esse valor ao da função correspondente à taxa de 5% e 8 períodos, tem-se o valor da expressão (1 + 0,055) 8 . Dessa forma: (1+0,055) 8 = 1,535651(1,477455+0,058196) Entretanto, deve-se observar que os valores de (1 + i) n obtidos por interpolação linear da taxa serão sempre um pouco maiores que os valores reais, pois estes crescem na forma exponencial e, pela interpolação linear considera-se um segmento de reta entre dois pontos da exponencial. Podemos observar melhor a superestimação de (1+ i) n , pela interpolação linear, através da representação gráfica abaixo. Neste exemplo, verifica-se que o valor calculado para (1 + 0,055) 8 com auxílio de logaritmos, 1,534687 (valor real), é menor que 1,535651, calculado por interpolação linear. Assim, sempre que o cálculo exigir precisão deve-se evitar a interpolação linear. No segundo exemplo, onde 3 1 4 = n e a taxa é de 10%, interpolando os valores tabelados, temos: Acréscimo no n Acréscimo da função 1 0,149510(1,610510 – 1,461000) 3 1 x x = 3 1 x 0,149510 x = 0,049836 Portanto: 3 1 4 0,1) ( 1+ = 1,510836 Comparando este valor com aquele obtido com auxílio de logaritmos (1,511361) verifica-se que a interpolação linear subestima o valor real de (1 +i) n Isto ocorre pois, como foi visto anteriormente, em 3 1 de período os juros simples (interpolação linear) são maiores que os juros compostos (exponencial). Este tipo de interpolação não será empregado, pois, nesses casos, o cálculo do montante é feito através do sistema de capitalização mista. CAPITALIZAÇÃO MISTA Como vimos, quando n < 1 os juros simples são maiores que os compostos, por isso, sendo n um número misto, na prática, calcula-se o montante a juros compostos na parte inteira de n e, em seguida, calculam-se os juros simples desse montante na parte fracionária de n. Esse sistema de cálculo denomina-se capitalização mista. EXEMPLO Determinar o montante de 900 unidades monetárias, a 24% a.a. capitalizados semestralmente, em 2 anos e 2 meses. Ci = C(1+i) n i = 0,12(12% ao mestre) CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 7 3 1 4 = n (semestre) Pela capitalização mista, calcula-se o montante a juros compostos em 4 penodose, em seguida, calcula-se os juros simples desse montante em 2 meses. C4= 900 (1+ 0,12) 4 (1+ 0,12) 4 1,573519 C4= 900 . 1,573519 C4= 1.416,17 Aplicando agora a fórmula do montante a juros simples, Cn = C(l + i n), onde: C= 1.416,17 i = 0,02(2% ao mês) n = 2 (meses) C2 = 1.416,17(1+0,02x2) C2 = 1.472,81 Portanto, o montante pela capitalização mista é de 1.472,81 unidades monetárias. Esse mesmo resultado é obtido se resolvermos o problema fazendo a interpolação linear para o cálculo do valor de (1 + i) n . Vejamos: C n = C(1+i) n C = 900 i = 0,12(12% ao mestre) 3 1 4 = n (semestre) C 3 1 4 = 900(1+0,12) 3 1 4 n 12% 4 1,573519 5 1,762341 1 0,188822(1,762341 – 1,573519) 3 1 x x = 3 1 x 0,188822 x = 0,062941 C 3 1 4 = 1.472,81 SISTEMA PRICE Quando um capital é colocado a juros compostos capitalizados mensalmente a uma taxa anual, convencionou-se chamar esse sistema de capitalização de Price, e as tabuas financeiras, que fornecem taxas anuais de juros e o número de períodos de capitalização em meses, de tabelas Price. No apêndice, apresenta-se uma amostragem das tabelas Price (Tábuas VI a X). EXEMPLO 1. Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo- netárias, por 2 anos, a 12% a.a. capitalizados mensalmente. i = (1 + i k ) k – 1 i k = 0,005 k = 12 i = (1 + 0,005) 12 – 1 (1 + 0,005) 12 1,061678 i = 1,061678 – 1 i = 0,06167 ou 6,167% a.a. JUROS COMPOSTOS CONTÍNUOS Os juros compostos são denominados contínuos quando o número de capitalizações tende para infinito. Considere-se o seguinte problema: calcular o montante de 1.000 unidades monetárias, por 3 anos, a 10% a.a. capitalizados: a) anualmente b) semestralmente c) trimestralmente, e d) mensalmente 1.348,18 1,348181 1000 36 0,00833) 1000( 1 3 d) C 1.344,89 1,344889 1000 12 0,025) 1000( 1 3 c) C 1.340,10 1,340095 1000 6 0,5) 1000( 1 3 b) C 1,331 1,331000 1000 3 0,1) 1000( 1 3 a) C = × = + = = × = + = = × = + = = × = + = Verifica-se, através desse problema, que, à medida que aumenta o número de capitalizações. o montante também CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 8 aumenta. Quando n tende para infinito, os juros compostos são contínuos. CÁLCULO DO MONTANTE O problema de juros compostos contínuos consiste em calcular o limite para o qual tende o montante quando o número de capitalizações tende para infinito. Pode-se verificar, no exemplo anterior, que o montante não cresce proporcionalmente ao número de capitaliza- ções. Dessa forma, a curva correspondente aos montantes de um certo capital, a uma determinada taxa, em função do número de capitalizações, num tempo constante, tem concavidade para baixo, conforme o gráfico seguinte: C n é o limite para o qual tende o montante quando n tende para infinito Seja k ÷ · o número de capitalizações em 1 ano, e n o número de anos. Teremos a fórmula geral do montante: Cn = C (1+i) n Substituindo i por k 1 : kn k C n C ) 1 1 ( + = Dividindo 2 termos da fração por i: kn i k C C n ) 1 1 ( + = Seja k’ = i k ;portanto, k = k’i in k k i C C n ' ) ' 1 ( + = Calculando o limite quando k’ ÷·, n i k k n ' ) ' 1 1 ( k' C lim k' C lim + · ÷ = · ÷ n i k n k ' ) ' 1 1 ( k' lim k' C lim k' C lim ' ( ¸ ( ¸ + · ÷ - · ÷ = · ÷ Sendo Cn e C constantes; n n C ' k C lim = · ÷ C ' k C lim = · ÷ A expressão lim(1+ i k ) k’ é um dos limites fundamentais da álgebra e é igual a e = 2,718. Portanto: K’÷· C n =C e in Obs: O valor da expressão e in terá de ser calculado com calculadora eletrônica ou com o auxílio de logaritmos. EXEMPLO Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo- netárias, em 3 anos, com juros de 10% a.a. capitalizados continuamente. C n = C .e in C = 1000 e = 2,718 i = 0,1 n = 3 C3 = 1000 x 2,718 0,1 x 3 C3 = 1000 x 2,718 0,3 Fazendo x = 2,718 0,3 e calculando com auxílio de logaritmos, logx = log2,718 0,3 logx = 0,3log2,718 logx = 0,3 x 0,432495 logx = 0,13027485 x = antilog 0,13027485 x = 1,34981 C3 = 1,34981 C3 = 1000 x 1,34981 C3 = 1,349,81 Taxa instantânea A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea. Taxa anual equivalente à taxa instantânea CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 9 Seja i a taxa anual e ii a taxa instantânea equivalente. Então, um capital C, em n anos, produzirá o mesmo montante à taxa i e à taxa ii. Os montantes são: C n = C (1 + i) n (capitalização anual) C n = C . e iin (capitalização contínua) C(1+i) n = C x e i i 1+ i = e i i Dessa igualdade, pode-se deduzir i em função de ii e em função de i. No primeiro caso, temos: 1 ÷ = i i e i Para deduzir a expressão do valor de ii em função de i aplicam-se logaritmos à igualdade. ) 1 log( 4342495 , 0 1 ) 1 log( log 1 log ) 1 log( log ) 1 log( 1 i i i e i e i i e i e i i i i i i i i + × = + × = = + = + = + i i = 2,3028 log (1+i) EXEMPLO 1. Qual a taxa anual equivalente á taxa instantânea de 10%? a.a 10,51% ou 0,10551 i 1 1,10551 i 1,1051 x 0,04342495 logx 0,4342495 0,1 logx 8 0,1log2,71 logx 0,1 2,718 x 1 0,1 2,718 i 0,1 i i 2,718 e 1 i ei i = ÷ = = = × = = = ÷ = = = ÷ = 2. Qual a taxa de instantânea equivalente a 10% a.a? % 53 , 9 0953 , 0 0413927 , 0 3028 , 2 ) 1 , 0 1 log( 3028 , 2 1 , 0 ) 1 log( 3028 , 2 ou i i i i i i i i i i = × = + = = + = PROBLEMAS RESOVIDOS 1. Calcular os juros do capital de 1000 unidades monetárias, colocado por 4 anos, a 20% a.a. capitalizados semestralmente. J = Cn - C Cn = C (1+i) n J = C (1+i) n – C J = C[(1+i) n – 1] i = 0,1 (10% ao semestre) n = 8 (semestre) J = 1.000 [(1 + 0,1) 8 – 1] (1 + 0,1) 8 2,143588 (Tábua I) J = 1.000 [2,143588– 1] J = 1.000 x 1,143588 J = 1.143,59 2. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., a 10% a.a. capitalizados mensalmente, em 2 anos? Cn = C (1 + i) n i = 0,00833... (0,833... % ao mês) n = 24 (meses) C24 = 500 (1 + 0,00833...) 24 (1 + 0,00833...) 24 1,220390 (Tábua VI) C24 = 500 x 1,220390 C24 = 610,20 3. Um empréstimo de 2000 unidades monetárias deverá ser resgatado no fim de 3 anos com juros de 15% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate? 12 12 n n 0,0375) 2000(1 C s) (trimestre 12 n trimestre) ao (3,75% 0,0375 i i) C(1 C + = = = + = CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 10 Interpolados os valores da Tábua I, correspondente a (1+i) n para3,5% e 4%, temos: n 3 , 5 % 4 % 12 1,511069 1,601032 0,5% 0,089963 0,25% x 5 , 0 x0,089963 0,25 x = Portanto: (1+0,0375) 12 = 1,511069+0,044982 = 1,556051 C12 = 2000 x 1,556051 C12 = 3.122,10 4. Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao mês. Taxa nominal = 2% x 12 = 24% a.a. Taxa efetiva: i =(1 +í k ) k -1 ik = 0,02 k = 12 i = (1+0,02) 12 -1 i = 1,268242-1 i = 0,268242 ou 26,824%a.a. 5. Com relação ao ano-base de 1964,o índice de preços no ano de 1966 foi de 149, passando para 212 em 1968. Considerando os Índices referidos ao mês de dezembro, calcular a taxa mensal média de inflação nesse período de 24 meses. Log(1+i) = log P n - log P n Pn = 212 P =149 n = 24 log(1+i) = log212 – log149 24 log(1+i) = 2,32633586 – 2,17318627 24 6. O capital de 1.000 unidades monetárias produziu o montante de 1.70P unidades monetárias em 1 ano e 9 meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros? Cn = C (1+i) n Cn = 1700 C = 1000 n = 7(trimestralmente) 1700 = 1000 (1+i) 7 (1+i) 7 = 1700 1000 (1+i) 7 =1,7 Implementando: n 7% 8% 7 1,605781 1,713824 O valor de (1 + i) 7 = 1,7 está na tábua entre as taxas de 7% e 8%. 0,108043 1% 0,094219 x x = 0,094219 0,108043 x = 0,87% x = 7,87% ao trimestre EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS Def.: Dois capitais são ditos diferidos se têm vencimentos em datas diferentes. Def.: Dois ou mais capitais são ditos equivalentes se, em certa época, seus valores atuais forem iguais. Problemas de equivalência de capitais diferidos têm uma importância muito grande pois permitem a substituição de títulos que vencem em datas diferentes. Mas, para resolver problemas assim, devemos: 1º) Estabelecer uma data de comparação. No caso de juros simples, esta deve ser a data em que a dívida foi contraída (data zero). 2º) Calcular o Valor Atual de todos os títulos envolvidos no problema na data de comparação. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 11 3º) Comparar os valores calculados. Se o resultado for uma igualdade, esses capitais diferidos são equivalentes podendo, portanto, ser trocados. PROBLEMAS PROPOSTOS 01. Calcular o montante de 1.000 u.m. no fim de 3 anos, a 16% a.a. capitalizados semestralmente. 02. Qual o juro de 2.000 u.m. no fim de 2 anos e meio, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente? . 03. O capital de 1.500 u.m. foi colocado a 12% a.a. durante 4 anos. Qual o tante? 04. O capital de 1.000 u.m. produziu o montante de 1.695,881 u.m. em 3 anos. Qual a taxa trimestral do juro? 05. Em quanto tempo um capital dobrará de valor a 18% a.a. capitalizados trimestralmente? 06. Determinar o montante de 1.200 u.m. no fim de 4 anos, a 12% a.a. capitalizados mensalmente. 07. Qual a taxa anual de juros que, capitalizados semestralmente, faz com que o capital de 2.500 u.m. produza 2.000 u.m. de juros em 3 anos e 6 meses? 08 Durante quanto tempo 2.500 u.m. produzem 1.484,621 u.m. de juros, a 24% a.a. capitalizados trimestralmente? 09 O capital de 4.000 u.m. é colocado a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e o de 7.000 u.m. é colocado a 10% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de quanto tempo os montantes serão iguais? 10 Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizados trimestral-mente e o restante, a 20% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de 2 anos e 6 ‗meses retirou o montante de 2.061,877 u.m. Qual foi o capital aplicado? 11 Uma instituição financeira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestral-mente. Qual a taxa efetiva? 12. Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a.a.? 13. Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente? 14. Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a.a.? 15. O capital de 1.000 u.m. foi aplicado durante 1 ano e 3 meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse de 2% ao mês os juros seriam maiores em 69,58 7 u.m. Qual a taxa de aplicação? Respostas: 01- 1.586,874 u.m. 02- 1.257,79 u.m. 03- 2.360,279 u.m. 09- 5 anos, 8 meses e 23 dias. 10- 1.323,07 u.m. 11- 26,24%a.a. 04- 4,5% ao trimestre. 05- 3 anos, 11 meses e 6 dias. 06- 1.934,671 u.m. 07- 17,52% a.a. 08- 2 anos. 12- 5,11% ao trimestre. 13- 19,56% a.a. 14- 1,532% ao mês. 15- 5% ao trimestre. EXERCÍCIO RESOVIDOS – MATEMÁTICA 01. Quanto é 13% de 200? Solução: Taxa = 13% = 100 13 , 0 Principal = 200 Porcentagem = taxa - principal Porcentagem = 0,13 - 200 = 26 Resposta: 13% de 200 é 26. 02. Calcular 250% de 32. Solução: Taxa = 250% = 100 250 = 2,5 Principal = 32 Porcentagem = taxa - principal Porcentagem = 2,5 - 32 = 80 Resposta: 250% de 32 é 80. 03. Obter 3,5% de $4 500,00. Solução: Taxa = 3,5% = 100 5 , 3 = 0,035 Principal 4 500 Porcentagem = taxa - principal Porcentagem = 0,035 - 4 500 = 157,5 Resposta: 3,5% de $4 500,00 é $ 157,50. 04. Qual é o principal que à taxa de 20% resulta uma porcentagem de 36? Solução CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 12 Taxa = 100 20 = 0,2 Porcentagem = 36 Porcentagem = taxa - principal 36 = 0,2 - principal Principal = 2 , 0 36 = 180 Resposta: O principal é 180. 05. Qual é a taxa que, aplicada num capital de $720 000,00, resulta uma porcentagem de $21 600,00? Solução Principal = 720 000 Porcentagem = 21 600 Porcentagem = taxa - principal 21 600 = taxa - 720 000 Taxa = 720000 21600 21600 = 0,3 = 100 3 = 3% Resposta: A taxa é de 3%. 06. Por quanto devo vender um carro que comprei por $ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra? Solução Preço de venda = (1 + 0,05) • 40000 Preço de venda = 1,05 • 40000 Preço de venda = 42 000 Resposta: Devo vender por $ 42 000,00. 07. A quanto devo vender um objeto que comprei por $ 1900,00 para lucrar 5% sobre a venda? Solução: Preço de venda: ) 05 , 0 1 ( 1900 ÷ Preço de venda = 95 , 0 1900 Resposta: O preço de venda será de $ 2000,00. 08. Uma fatura de $ 5000,00 sofrerá descontos sucessivos de 5% e mais 8%. Por quanto será liquidada? Solução: Valor líquido = 5000 • (1 - 0,05) • (1 - 0,08) Valor líquido 5 000 • 0,95 • 0,92 Valor líquido 5 000 • 0,8740 Valor Líquido 4 370 Resposta: A fatura será liquidada por $ 4370,00. 09. Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o pre- ço de venda, ou seja, $200,00. Qual foi o preço de custo? Solução: Se foram ganhos 5% sobre a venda, podemos dizer que o custo corresponde a 95%, pois: 95% + 5% = 100% custo lucro venda Numa regra de três, teremos: 5% 200 95% x Então:x = 5 200 95- =3 800 Resposta: O objeto foi comprado por $3 800,00. 10. Certo comerciante vendeu mercadorias compradas por $1800,00 com o lucro de 10% sobre a venda. Quanto ganhou? Solução: Já que o lucro foi de 10% sobre a venda, o preço de custo corresponde a 90%. pois 90% + 10% = 100%. Numa regra de três, teremos: 90% 1 800 10% x x = 90 1800 10 = 200 Resposta: O comerciante ganhou $ 200,00 na transa- ção. 11. Qual é o juro simples que um capital de $ 30000,00 produz, quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (lê-se ―ao mês‖)? Solução: J = C • i • n ¬ J = 30000 • 0,035 • 5 J = 5 • 250 Resposta: O juro é de $ 5250,00. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 13 12. Qual é o juro simples que um capital de $ 2500,00 rende quando aplicado durante um ano, à taxa mensal de 2%? Solução: J = C • i • n • J = 2500 • 0,02 • 12 J = 600 Resposta: O juro é de $ 600,00. 13. Um capital de $ 10000,00, investido a juros simples de 63% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, a contar da data do investimento. Qual foi o juro? Solução: Na resolução desse problema é importante tomar cuidado com as unidades de tempo. Assim: 3 meses e 10 dias = 100 dias J = C • i • n • J = 10000 • 0,63 • 360 100 Observe que o período n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o número de dias por 360, que é o ano comercial. J = 10000 • 0,63 • 360 J = 1750 Resposta: O juro é de $1750,00. O mesmo efeito seria obtido se fizéssemos: J = 10000 • 0,63 • 12 3 1 3 Veja que, nesse caso, utilizamos o tempo em meses, pois 3 meses e 10 dias = 3 1 3 meses. 14. Qual é a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de $ 5000,00 para que este em quatro meses e meio, renda $ 720,00? Solução: J = C • i • n ¬ 720 = 5000 • i • 4,5 5 , 4 • 5000 720 = i Resposta: A taxa deverá ser de 3,2% ao mês. 15. Que capital inicial, em cinqüenta dias, a uma taxa simples de 0,5% a.d. (lê-se ―ao dia‖) rende $ 2000,00? Solução J = C • i • n ¬ 2000 = C • 0,005 • 50 C 50 • 005 , 0 2000 = C = 8000 Resposta: O capital inicial é de $ 8 000,00. 16. Qual taxa mensal de juros simples deve incidir num capital para que ele duplique de valor em um ano? Solução: Neste caso, o juro é igual ao próprio capital. J = C • i • n ¬ C = C • i • 12 ... 0833 , 0 12 1 i i 12 • C C = = ¬ = A taxa, portanto, será de 8,33% ao mês. Esta mesma taxa, se calculada anualmente, se tornaria, evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portan- to: 8,33% a.m. 100% a.a. 17. Qual é o montante resultante de uma aplicação de $ 29800,00 à taxa de 12% a.m. durante 6 meses? Solução: Como o capital aplicado é de $ 29 800,00 precisamos saber os juros. J = C • i • n ¬ 29800 • 0,12 • 6 J = 21 456 Como os juros são de $ 21456,00, o montante é de: $29 800,00 + $21 456,00 = $51 256,00 Poderíamos também resolver esse problema, usando a fórmula: M = C • (1+ i • n) Assim, temos: M = 29 800 (1 + 0,12 • 6) M = 29800 • 1,72 Resposta: De qualquer maneira que se resolva esse problema, o montante será de $ 51 256,00. 18. Coloquei uma certa quantia em um banco a 120% a.a. e retirei, depois de 4 anos, $ 928000,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples? Solução: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 14 Temos neste problema: M = 928000, i = 1,2 e n = 4 Como J = C • i • n, então: J = C • 1,2 • 4 J = 4,8C Mas, como M = C + J, então: 928 000 C + 4,8C 928 000 = 5,8C 8 , 5 928000 C = C = 160 000 O capital investido foi, portanto, de $ 160 000,00. Para achar os juros, basta subtrair o montante do capital: M = C + J ¬ J = M - C J = 928000 - 160000 J = 768 000 Poderíamos também resolver o problema usando as fórmulas M = C (1 + i • n) ou 4 • 2 , 1 1 M C + = Nessas fórmulas, substituindo as letras pelos valores, temos: 160000 C 8 , 5 928000 C 4 • 2 , 1 1 928000 C = = + = Resposta: De qualquer maneira, os juros serão de $768 000,00, pois M = C + J ¬ J = M - C = 928 000 - 160 000. 19. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um título de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimen- to? Solução N = 750, n = 2 meses e 10 dias = 70dias i = 0,05 D = N • 1 • n ¬ D = 750 • 50 , 87 70 • 30 05 , 0 = Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87,50. 20. Um título no valor de $ 1200, 00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a taxa mensal usada? Solução: N = 1200 n = 5 meses L = 900 Vamos resolver este problema de dois modos. Primeiro modo: usando o cálculo de desconto D = N • j • n D = N - L = 1200 - 900 = 300 300 = 1200 • 5. i = 05 , 0 5 • 1200 300 = A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao mês. Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido L = N (1 - in) 900 000 = 1200000 • (1 – i • 5) 5%a.m. ou 05 , 0 6000 300 i 1200 300 i 5 1200 900 1 i 5 i 5 1 1200 900 = = = ÷ = ¬ ÷ = Resposta: A taxa mensal foi de 5%. 21. Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4400,00, calculado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissória? Solução D = 4400 i = 0,06 Consultando a tabela 1, obtemos a informação: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 15 Resposta: O valor nominal da promissória era de $40000,00. - JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA - DESCONTO E TAXAS DE DESCONTO Por definição, juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial, ou principal, sendo diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado. Pelo regime de capitalização simples o fator de proporcionalidade é a taxa de juros por período, i. JURO SIMPLES ORDINÁRIO Como o período financeiro mais comum é o ano, e pelo costume vigente, as operações com prazos superiores a um ano são, na maior parte das vezes, avaliadas pelo regime de capitalização composta, resulta que a fórmula do juro simples: J = C . i . n (1) Onde C = capital inicial ou principal; i = taxa de juros do período e n = prazo de aplicação (é a mais utilizada para períodos n menores do que um ano) Nessa hipótese, deve-se observar duas normas financeiras comuns: O ANO CIVIL - considera-se o ano civil como base de cálculo, isto é, o ano com 365 dias ou 366 dias, conforme seja bissexto ou não. Desse modo, um dia eqüivale, conforme o caso, à fração 1/365 ou 1/366 do ano. O ANO COMERCIAL - considera-se o ano comercial como base de cálculo, isto é, o ano de 360 dias, subdividido em 12 meses de 30 dias cada. Assim, um dia equivale à fração 1/360 do ano e um mês equivale à fração 1/ 12 do ano. JURO SIMPLES EXATO Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro, deve- se contar o tempo em seu número exato de dias. Exemplo: O juro de um capital aplicado de 17.3.19XI a 25.6.19XI, é calculado sobre 100 dias, número exato de dias decorridos entre as duas datas. Sendo n o número exato de dias durante os quais um capital C é colocado a juros simples, à taxa i, obtém-se o juro calculando n/365, na fórmula (1) : J = C . i . n/365 ou J = C . i . n/366. O juro assim calculado, é chamado de juro simples exato. JURO SIMPLES COMERCIAL Adotando-se a convenção do ano comercial, deve-se computar o prazo de acordo com a mesma convenção, isto e, considerando-se cada mês como tendo 30 dias. Assim, por exemplo, de 17.3.Xl a 25.6.Xl deve-se contar 98 dias, da seguinte maneira: De 17.3 a 17.6 ...... 90 dias (3 meses) De 17.6 a 25.6 ...... 8 dias 98 dias Representando por n o número de dias de corridos entre as duas datas e, calculando pelo processo acima temos que, um capital C aplicado à taxa i durante esse prazo, é obtido calculando n/360 na fórmula (1), resultando em J = C . i . n/360 (2) Denominaremos o juro, assim calculado, de juro simples ordinário ou usual. Como há tabelas que fornecem diretamente o número e- xato de dias decorridos entre duas datas, na prática bancária, onde as operações, raramente, são realiza das a prazo superior a 120 dias, usa-se, freqüentemente, a fórmula (2), tomando-se, contudo, para n, o número exato de dias. Fórmulas Derivadas Considerando a fórmula básica (1) para o cálculo do juro em regime simples de capitalização, podemos, por simples transformação algébrica, encontrar o quarto termo ou valor da fórmula, desde que sejam dados os outros três, assim: a) Para calcular o capital inicial: C = J / i . n b) Para calcular a taxa de juros: i = J/C . n c) Para calcular o prazo: n = J/C . i OBSERVAÇÕES: Supõe-se que o juro e o principal são devidos apenas no fim do prazo de aplicação, a não ser que haja mudança de convenção. O prazo de aplicação (n) deve estar expresso na mesma unidade de tempo, na fórmula, a que se refere a taxa (i) considerada. Exemplo 1 - Caso uma aplicação seja por 2 anos mas, a taxa de juros seja expressa em semestre, devemos converter o prazo para semestres. 2. Taxa Percentual e Taxa Unitária FORMA PERCENTUAL - Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100. A fórmula (1) tomaria, então, as seguintes formas: J = C . i/100.n ou J = C/100 . i . n ou J = C . i . n/100 ou o que é o mesmo que: J = C . i . n/100 (3) a partir da qual chega-se à expressão do montante ou va- CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 16 lor futuro, como soma do capital e juros: M = C + C . i . n/100 Exemplo 1 - Calcular o juro que rende um capital de $10.000 aplicado por um ano à taxa de juros de 10% a.a. Resolução: Utilizando a fórmula (3), temos: J x x = = 10 000 10 1 100 000 . $1. b) FORMA UNITÀRIA Agora a taxa refere-se à unidade do capital, isto é, calcula- se o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo a uma dada taxa. Exemplo 2 - Se tivermos uma taxa de 0,24% a.a., então a aplicação de $1,00 por ano, gera um juro de $0,24. Exemplo 3 - No exemplo 1, com a taxa na forma unitária (0,10% a.a.). Resolução: J = 10.000 x 0,10 x 1 = J = $1.000,00 Pode-se observar que para transformar a forma percentual em unitária, basta dividir a taxa expressa na forma percentual por 100. E, o inverso, transformar a forma unitária em percentual, basta apenas multiplicar a forma unitária por 100. OBSERVAÇÃO: A fim de diferenciar, simbolicamente, a taxa de juro percentual da taxa de juro decimal ou unitária, podemos convencionar que: A notação r signifique a taxa de juros efetiva em cada pe- ríodo de capitalização, dada em porcentagem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada. Exemplo: r = 15% ao ano. A notação i signifique a taxa de juros efetiva em cada perí- odo, dada em fração decimal. Exemplo: i = r/100 = 0,15 a.a. A taxa i será usada no desenvolvimento de todas as fórmulas, enquanto, r será usada na fixação os juros. 3. Taxa Nominal e Taxa Efetiva Por definição, a taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere, ou seja, é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal, normalmente, é dada em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser diários, mensais, trimestrais, ou semestrais. Exemplo 1 - São exemplos de taxas nominais: a) 6% a.a. capitalizados trimestralmente; b) 30% a.a. capitalizados mensalmente; c) 18% a.a. capitalizados semestralmente. No mercado financeiro, encontramos a taxa nominal sendo muito utilizada como referência, mas não sendo usada nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva. Esta, por estar embutida na taxa nominal, é a taxa que realmente interessa, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização. Exemplo 2 - Aproveitando os mesmos dados do Exemplo 1 vamos demonstrar como se calcula as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais: - 6% a.a., capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de: - 6% a.a./4 trimestres =1,5% a.t. - 30% a.a., capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de: - 30% a.a./12 meses = 2,5 a.m. - 18% a.a., capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de: 18% a.a./2 semestres = 9% a.s. Uma vez encontradas as taxas efetivas, devemos abandonar as taxas nominais e efetuar todos os cálculos com as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1,5% a.t., 2,5% a.m. e 9% a.s. Devemos ter em mente que a obtenção da taxa efetiva contida na taxa nominal é feita no regime de juros simples, e que, neste regime, as taxas nominais serão sempre taxas efetivas. Ainda, por convenção, a taxa efetiva, que é aquela a ser considerada na aplicação de fórmulas, correspondente a uma dada taxa nominal é a taxa que, relativa ao período de capitalização mencionado, lhe seja proporcional. Concluíndo, podemos definir taxa efetiva ou real como sendo aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitaliza- ção. Considerando o exemplo 2 , dizemos 1,5% a,t., simplesmente, ao invés de dizermos, 1,5% a.t., capitalizados trimes- traImente . 4. Taxas Proporcionais Pelo regime de juros simples, duas ou mais taxas de juros são consideradas proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado, ao final daquele período. Donde se conclui que, o conceito de taxas proporcionais, está estritamente vinculado ao regime de juros simples. Exemplo 1- Calcular o montante acumulado (VF), no final de três anos, considerando um capital inicial (VP) de $1.000,00, pelo regime de juros simples, para cada uma das seguintes taxas de juros: a) 36% ano ano; b) 18% ao semestre; c) 9% ao trimestre; d) 3% ao mês; e, e ) 0,1% ao dia. Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n) a) VP= $1.000,00; ia = 0,36; n= 3 anos; VF = ? VF= 1.000 (1 + 0,36 x 3) = 1.000(1 + 1,08) = CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 17 VF= 1.000 (2,08) = 2.080 b) VP= $1.000; is= 0,18; n= 6 semestres; VF= VF= 1.000(1 + 0,18 x 6) = 1.000(1 + 1,08) = VF= 1.000(2,08) = 2.080 c) VP= $1.000,00; it= 0,09; n= 12 trimestres; VF = ? VF= 1.000(1 + 0,09 x 12) = 1.000(1+1,08) = VF= 1.000(2,08) = 2.080 d) VP= $1.000,00; im= 0,03; n= 36 meses; VF=? VF= 1.000(1 + 0,03 x 36) = 1.000(1+1,08) = VF= 1.000(2,08) = 2.080 e) VP= $1.000,00;id= 0,001; n= 1.080 dias VF= 1.000(1 + 0,001 x 1.080) = VF= 1.000(1 + 1,08) - 1.000(2,08) = 2.080 Podemos concluir que, as taxas 36% a.a.;18%a.s.; 9% a.t.; 3% a.m.; e, 0,1% a.d., são proporcionais, porque aplicadas sobre um mesmo capital inicial e um mesmo prazo total, resultaram em um mesmo montante acumulado. Se considerarmos o ano comercial, ou seja, o ano com 360 dias, as fórmulas, a seguir, conduzem ao cálculo dessas taxas proporcionais: i i i i i a s t m d = · = · = · = · 2 4 12 360 5. Taxas Equivalentes Pelo regime de juros simples, duas taxas são consideradas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, ambas gerarem o mesmo montante acumulado no final daquele prazo. Exemplo 1 - Seja um capital inicial de $20.000,00 que pode ser aplicado, alternativamente, à taxa de 3% a.m. ou de 36% a.a. Considerando um prazo de aplicação de 3 anos, certificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n), temos: a) VP= $ 20 .000; ia = 0,36 ao ano; n= 3 anos; VF = ? VF= 20.000(1 + 0,36 x 3) = 20.000(2,08) = VF= 41.600 b) VP= $20.000,00; im= 0,03 ao mês; n= 36 meses; VF = ? VF= 20.000(1 + 0,03 x 36) = 20.000(2,08) = VF= 41.600 Através desse exemplo, certificamos que, o montante acumulado (VF) é igual nas duas hipóteses e, dessa maneira, constatamos que a taxa de 3% a.m. é equivalente à taxa de 36% a.a. Podemos, então, concluir que, pelo regime de juros simples, as taxas proporcionais de juros são igualmente equivalentes, e que tanto faz, falarmos que duas taxas de juros são proporcionais ou são equivalentes. 6. Prazo, Taxa e Capital Médios Quando os prazos de diversos capitais não são os mesmos e as taxas de juros diferem entre si, recorremos ao expediente de calcular a média para cada caso. Vamos utilizar exemplos ilustrativos como a forma mais objetiva de expor os conceitos: PRAZO MÉDIO DE VENCIMENTO DE DIVERSOS CAPITAIS CASO 1 - TAXAS IGUAIS Pode-se determinar o prazo médio de vencimento de diversos capitais empregados a tempos diferentes. O critério é considerar os capitais como pesos. A fórmula será, pois, chamando n1, n2, n3 :. os tempos dados, supostas as taxas iguais: Prazo médio (PMe) = C n C n C n C C C 1 1 2 2 3 3 1 2 3 + + + + + + ... ... Exemplo: O Sr. Elesbão deve a um terceiro, os seguintes capitais a 10% a.a.; $2.000 a 45dias; $5.000 a 60 dias e $1.000 a 30 dias. Quando poderá pagar tudo de uma só vez, de modo que desta unificação de vencimentos não advenha prejuízo nem para o devedor nem para o credor? Resolução: Aplicando a fórmula acima, temos: ( ) ( ) ( ) PMe x x x = + + + + 2000 45 5 000 60 1000 30 2000 5 000 1000 . . . . . . PMe = = 420 000 8 000 525 . . , dias Ao fim deste prazo, a contar da data da operação, pode ser feito o pagamento integral dos capitais devidos, disso não resultando, prejuízo algum, nem para o devedor nem para o credor. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 18 CASO 2 - TAXAS DIFERENTES Quando isto acontece, o critério a adotar-se é o mesmo do caso dos, tempos diferentes para a taxa média, escrevendose PMe C i n C i n C i n C i C i C i = + + + + + + 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 . . . . . . funcionando agora, como pesos, os produtos dos capitais pelas respectivas taxas. Exemplo: Calcular o prazo médio de vencimento, para pagamento de uma só vez dos seguintes capitais: $ 20.000 por 6 meses a 6% a.a. e $ 50.000 por 4 meses a 12% a.a. Resolução: utilizando a fórmula acima, temos: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) PMe = | \ | . | + | \ | . | + 20 000 6 6 12 50 000 12 4 12 20 000 6 50 000 12 . . . . PMe = = 260 000 720 000 0 36 . . , do ano ou 4 meses e 9 dias. OBSERVAÇÃO: Quando os capitais forem iguais, deve-se tomar, como pesos, as taxas dadas, vindo pois: PMe i n i n i n i i i = + + + + + + 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ... ... b) JUROS DE DIVERSOS CAPITAIS CASO 1 - TAXA ÚNICA Quando vários capitais são empregados em tempos diferentes e todos a uma só taxa, o total dos juros produzidos é dado, a partir da fórmula: J = C . i . n, pela soma; Juros Totais = C1in1 + C2in2 + C3in3 + ... na qual i é a taxa única, C1 , C2, C3 . . . os capitais dados e n1, n2, n3 ... os tempos correspondentes. Exemplo: A Sra. Pancrácia da Silva deve os seguintes capitais, a 12% a.a.; $1.500 em 30 d; $5.000 em 90 d; $2.400 em 60 d. Calcular o total dos juros devidos. Resolução: Exprimindo-se os tempos em frações do ano comercial, tem-se, de acordo com a fórmula acima: JT = 0,12[(1.500x30/360)+(5.000x90/360)+ (2.400x60/360)] JT = $ 213,00 c) TAXA MÉDIA É a operação que tem por objetivo determinar uma taxa de juros capaz de substituir várias outras relativas a capitais empregados. É uma aplicação da média ponderada. CASO 1 - TEMPOS IGUAIS Para a dedução da fórmula, consideremos os capitais C1, C2, C3, ...colocados respectivamente, às taxas i1, i2, i3, ...anuais e todos pelo mesmo prazo. Tomando-se os capitas como pesos, pode-se escrever: Taxa Média = TMe C i C i C i C C C = + + + + 11 2 2 3 3 1 2 3 ... ... Exemplo: Um comerciante deve os seguintes capitais: $1.500 a 10% a.a.; e, $5.000 a 12% a.a. Calcular a taxa mé- dia de juros anuais. Resolução: Multiplicando-se os capitais pelas respectivas taxas e dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais, obtém- se: ( ) ( ) TMe x x = + + = 1500 010 5 000 012 1500 5 000 0115 . , . , . . , ou seja, na base percentual, 11,5% OBSERVAÇÃO: Se os capitais fossem iguais, a solução do problema recairia sobre o princípio da média aritmética simples, bastando que se calculasse a média das taxas. CASO 2 - TEMPOS DIFERENTES O método a ser adotado é o da média ponderada, porém, funcionando como pesos, os produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Temos assim: TMe C i n C i n C i n C n C n C n = + + + + 11 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 ... ... Exemplo: Sinfrônio e sua noiva contraíram as seguintes dívidas para poderem realizar o casamento deles: $ 2.000 a 12% a.a. por 2 meses; $ 5.000 a 8% a.a. por 3 meses; e, $10.000 a 10% a.a. por 1 mês. Calcular a taxa média anual. Resolução: Utilizando a fórmula anterior, temos: Tme x x x x x x x x x = | \ | . | + | \ | . | + | \ | . | | \ | . | + | \ | . | + | \ | . | 2000 012 2 12 5 000 0 08 3 12 10 000 01 1 12 2000 2 12 5 000 3 12 10 000 1 12 . , . , . , . . . TMe = = 223 33 2416 66 0 092 , . , , ou 9,2 a.a. 7. Equivalência de Capitais CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 19 A necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras, é muito frequente. Às vezes, precisamos substituir um título por outro ou um título por vários. Podemos, também, ter vários títulos que precisamos substituir por um único. Tais situações dizem respeito, geralmente, à equivalência de valores distintos relacionadas com datas distintas. Dois capitais são equivalentes numa certa época, se, nessa época seus valores presentes são iguais. O problema de equivalência de capitais diferidos aplica-se quando existe a substituição de um título por outro(s), com data(s) diferente ( s ) . Seja VN o valor nominal de um título para n dias. O problema consiste em encontrar um valor VN' de um outro título, equivalente ao primeiro, com vencimento para n' dias. D VN n = · A Obs.: VN = VF = valor do Resgate do Título Seja VP o valor presente do 1.º título e VP' o do 2.º; temos: VP VF VF n = ÷ · A e VP VF VF n ' ' ' ' = ÷ · A Como VP = VP', vem: VF VF n VF VF n = · = ÷ · A A ' ' ' ( ) = ÷ ¬ · = · ÷ n Δ VF n' ΔVF' n VF ΔVF ( ) ( ) n Δ n Δ VF VF' n' Δ VF' ÷ ÷ = ÷ Exemplo 1 - Um Comerciante deseja trocar um título de $10.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento de 5 meses. Considerando a taxa de juros contratada de 3% a.m. para esta transação, calcular o valor nominal do novo titulo. Resolução: VF = 10.000; n = 90 dias; n'= 150 dias; A = = 36 000 36 1000 . . Utilizando a fórmula anterior, temos: ( ) VF' . . . $10. , = ÷ ÷ = 10 000 1000 90 1000 150 705 80 O valor nominal do 2.º título ($10.705,80) é equivalente ao valor nominal do 1.º ($10.000). 8. Montante O montante composto é o resultado que se obtém ao incrementar o capital inicial com o valor dos juros compostos. Se se dispõe de um capital C e aplica-se em um banco e deseja-se saber o montante M do qual se disporá ao final de um período n, basta apenas agregar-lhe o juros J ganho. Assim: M = C + J, porém J = C . i . t, quando t = 1, J = C . i, assim M = C + C . i que fatorando: M = C (1 + i) Como pode-se ver, o montante de um capital ao final de um período se obtém multiplicando este pelo fator ( 1 + i ) . Desta maneira, ao final do segundo período, temos: M = C ( 1 + i ) ( 1 + i ) = C ( 1 + i ) 2 Ao final do terceiro período, temos: M = C ( 1 + i ) 2 ( 1 + i ) = C ( 1 + i ) 3 e assim sucessivamente. Esta sucessão de montantes forma uma progressão geométrica cujo n-ésimo termo é igual a: M = C ( 1 + i ) n Esta equação é conhecida como a fórmula do montante pelo regime de juros compostos. Exemplo 1 - Um investidor aplica a prazo fixo, em um banco, a quantia de $500.000,00 à taxa de 48,0% a.a. capitalizável mensalmente. Qual será o montante acumulado em 2 anos? Resolução: M = C ( 1 + i ) n Como já observamos, o período de cálculo deve ser o mesmo para i e para n. Assim, para calcular a taxa de juros mensal, divide-se a taxa anual entre a frequência de conversão: i = taxa de juros anual frequencia de conversao = 18 12 = 0,04 ou i = 4,0 % a. m. Para determinar n, multiplica-se o lapso em anos pela frequência de conversão: n = 2 (12) = 24 assim M = 500.000 ( 1 + 0,04 ) 24 ou M = 500.000 ( FVFPU ) Fator de Valor Futuro de Pagamento Único (FVFPU ) FVFPU = (1 + 0,04) 24 Neste momento surge a pergunta: como calcular? Existem quatro alternativas : Utilizar papel e lápis e realizar a operação 24 vezes. Resolver a equação utilizando logaritmos. Utilizar de tabelas financeiras existentes nos livros de finanças. Empregar calculadoras financeiras. Este é o meio mais prático. FVFPU = (1, 04) 24 = 2,5633 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 20 M = 500.000 ( 2,5633 ) = 1.281.650 Em dois anos, a aplicação de $500.000 transformar-se-á em um montante de $1.281.650,00 pela geração de um juro composto de $781.650,00. Exemplo 2 - Um indivíduo obtém um empréstimo bancário de $1.500.000 a ser pago dentro de um ano e com juros de 52,0% conversível trimestralmente. Qual é o montante que deverá ser liquidado? Resolução: Primeiramente, determina-se a taxa de juros por período de conversão: 1 = .54/2 = .13 n = 12 / 3 = 4 M = C ( 1 + i ) n = 1.500.000 ( 1,13 ) 4 = M = 1.500.000 ( 1,6305 ) = 2.445.750 A quantia a ser liquidada será de 52.445.750 8. Valor Atual, Valor Presente ou Principal O valor atual, presente ou principal de um pagamento simples, ou único, é o valor de um mon tante a ser pago ou recebido daqui a n anos, descontado a uma taxa que determine o seu valor hoje, no momento zero. Para calcula-lo, vamos utilizar a fórmula do montante ou valor futuro: M = C ( 1 + i ) n Como C indica o capital no momento zero, temos: ( ) ( ) = n i + 1 M = n i + 1 M = C ÷ ( ) FVAPU) ( M = n i + 1 1 M ( ¸ ( ¸ FVAPU = Fator de Valor Atual de Pagamento Único Generalizando, podemos dizer que conhecendo 3 das 4 variáveis envolvidas: M, C, n, i, podemos calcular a quarta. Exemplo 1 – Quanto se deve depositar em um banco se desejar obter um montante de $ 5.000.00 dentro de 3 anos a uma taxa de juros de 20,0% a.a., capitalizável semestralmente? Resolução: Pela fórmula: M = C ( 1 + i ) n , temos: M = 5.000.000; i = 10.0% a.s.; n = 6 semestres Calculando o FVAPU = 1/(1,10) 6 = 1 / 1,7716 C = 5.000.000 / (1,10) 6 = 5.000.000 / 1,7716 = C = 2.822.307,52 Deve-se depositar $2.822,307,52 Exemplo 2 - José Elesbão deseja adquirir uma casa pelo valor de $15.000.000,00. O vendedor pediu-lhe 50,0% de entrada e 50,0% em um ano e meio, quando do término da construção da casa e entrega do imóvel. Quanto Elesbão deve depositar num banco hoje para poder garantir a liquidação de sua dívida, se a taxa de juros vigente é de 7,0% a.m.? Resolução: José Elesbão paga neste momento $7.500.000,00 (50.0% na operação e, deve pagar outro tanto daqui a 18 meses). Para calcular a quantidade de dinheiro que deve depositar hoje, vamos a fórmula do valor atual : M = C ( 1 + i ) n ( ) = 18 1,07 1 7.500.000 ( ( ¸ ( ¸ 37 2.218.979, = 3,3799 1 7.500.000 | . | \ | A fim de garantir o pagamento de sua dívida, Elesbão deve depositar $2.218.979,37 já para ter os $7.500.000,00 restantes daqui a um ano e meio. Como se pode ver nestes exemplos, C é o valor presente, atual ou principal de M. Isto é, pode-se considerar que o capital C e o montante M são dois valores equivalentes de uma determinada taxa de juros i e um período determinado n. Exemplo 3 - A Cia de Modas Messeder, planeja realizar um investimento de $2.000.000,00 para produzir um artigo de moda do qual espera uma receita total de $5.000.000 dentro de dois anos. Considerando uma inflação média anual de 50,0%, e que os juros real i, seja igual a 5.0% a.a., convém à C.M.M, investir? Resolução: Comparam-se os $2.000.000,00 que se devem investir no momento zero com $5.000.000,00 que se espera receber em 2 anos. Para fazer essa comparação, é necessário que ambas as quantidades de dinheiro sejam equivalentes. Em primeiro lugar, devemos calcular a taxa nominal de juros: i = taxa nominal; r = taxa real de juros; d = taxa de inflação. i = ( 1 + r ) ( i + d ) - 1 i = ( 1,05 ) ( 1,50 ) - 1 = 0,575 ou 57,5% a.a. ( ) C = M 1 1,575 = 5.000.000 1 2,4806 = 2 ¸ ( ¸ ( ( | \ | . | C = 2.015.641,38 Conforme apuramos, $2.015.641,38 é maior que $2.000.000,00. Portanto, a C.M.M, deve investir, por que CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 21 além de descontar a inflação de 50,0% a.a., a empresa será remunerada à taxa de 5,0% a.a., que é a taxa de mercado e, ainda vão sobrar $ 15.641,38 Exemplo 4 - Uma companhia de mineração descobriu uma jazida de manganês e deve decidir sobre a conveniência ou não de sua exploração. A fim de poder beneficiar o mineral, é necessário realizar uma inversão de $350.000.000,00 Seus analistas financeiros estimam que a jazida tem minério suficiente para 3 anos de exploração e, de acordo com os preços vigentes do metal, as entradas de caixa seriam os seguintes: Ano 1 = $100.000.000,00; Ano 2 = $200.000.000,00; Ano 3 = $300.000.000,00; Estimando que a taxa de inflação, em média, seja de 30.0% a.a. e que a taxa de juros real desejada pela empresa seja de 10,0% a.a., deve a companhia aprovar o projeto? Resolução: C = $350.000.000,00 Entradas de Caixa = Ecx1 = $100.000.000,00 = Ecx2 = $200.000.000,00 = Ecx3 = $300.000.000,00 d = 30,0% a. a. ; r =10,0% a.a.; i = ? i = (1 + d) (1 + r) - 1 = (1,3) (1,1) - 1 = i = 1,43 - 1 = 0,43 = 43,0% a.a. Valor Presente das Entradas de Caixa = VPECx ( ) ( ) VPECx = ECx 1 + i = 200.000.000 1,43 = 97.804.294,* 2 2 n 2 ( ) ( ) VPECx = ECx 1 + i = 100.000.000 1,43 = 69.930.070,* 1 1 n 1 ( ) ( ) VPECx n 3 3 = ECx 1 + i = 300.000.000 1,43 = 102.591.916 * 2 * (centavos arredondados) ¿ VPECx = somatório das ECx descontadas = VPECx1 + VPECx2 + VPECx3 ¿ VPECx = 69.930.070 + 97.804.294, + 102.591.916, = VPECx = 270.326.280, Observamos que, o total do valor presente das entradas de caixa ($270.326.280) é menor que o investimento inicial necessário para sua exploração ($350.000.000,). Portanto, a companhia não deve explorar a jazida, a menos que o preço do metal se eleve e com ele, elevem-se as entradas de caixa. 9. Desconto Racional Composto É o desconto obtido pela diferença entre o VALOR NOMINAL e o VALOR PRESENTE de um compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento, calculando o valor presente à taxa de desconto. Sendo : - N = valor nominal ou montante do compromisso em sua data de vencimento. - n = número de períodos compreendido entre a data de desconto e a data de vencimento. - i = taxa de juros utilizada na operação. - Dr= desconto racional composto - Vr= valor descontado racional composto na data de desconto, calculado à taxa de desconto. A fórmula utilizada, é: ( ) V r n = N 1 1 + i ¸ ( ¸ ( ( ( Podemos reparar que, essa fórmula do valor descontado, é a mesma do valor presente calculado no regime de juros compostos, onde: Vr = C e N = M O desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor descontado: ( ) ( ) D = N - V N - N 1 + i = N 1 - 1 1 + i r r = ¸ ( ¸ ( ( ( n n Exemplo 2 - Um título no valor de $100.000,00 foi saldado seis meses antes do vencimento. O possuidor do título obteve uma taxa de desconto de 2,0% a.m. Calcular o desconto racional e a quantia recebida. Resolução: N = 100.000; i = 2,0% a.m.; n = 6 meses Utilizando a fórmula, temos: ( ) ( ) D r n = ¸ ( ¸ ( ( ¸ ( ¸ ( ( N 1- 1 1+ i = 100.000 1 - 1 1,02 6 | | D r = 100.000 0,1121 = 11.210 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 22 E a quantia recebida: Vr = N – Dr = 100.000 - 11.210 = 88.790 Observe que, se aplicarmos o valor descontado (Vr) por 6 meses à taxa de juros compostos de 2,0% a.m., obteremos: N = C6; Vr = C0 ¬ C6 = C0 ( 1 + i ) 6 = N = 88.790 (1,02) 6 = 88.790 ( 1,1262 ) ~ 100.000 E os juros devidos são dados por: J C 6 0 = C = 100.000 - 88.790 = 11.210 J = D 6 6 r ÷ Fica evidenciado que o desconto racional composto é igual ao juro devido no período de antecipação, desde que seja calculado à taxa de desconto. Exemplo 3 - Um título de valor nominal de $ 30.000,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 5,0% a.m. Calcule o desconto racional concedido. Resolução: Para simplificar a notação, passaremos a indicar: ( ) 1 1 + i n por ( 1 + i ) -n , assim a fórmula fica: Dr = N [ 1 - (1 + i) -n ] N = 30.000; 1 = 5.0% a.m.; n = 4 meses; Dr =? Dr = 30.000 [1- (1,05) 4 ] =30.000 ( 1-0,8227 ) Dr = 30.000 (0,1773) ~ 5.319 Exemplo 4 - A Financeira Desconta Tudo informou, ao descontar uma Nota Promissória no valor de $10.000,00 que, sua taxa de desconto racional era de 36,0% a.a.. Se o desconto fosse realizado 3 meses antes do vencimento, qual se ria o valor do resgate (valor líquido) a ser recebido pelo possuidor do título? Resolução: N = 10.000; i = 36.0% a.a.; n = 3 meses; Vr = ? Vr = N (1+ 1) -n = 10.000 [ ( 1,36 ) 1 / 12 ] -3 = Vr = 10.000 [ 1,0259 ] -3 = 10.000 [ 0,9262 ] = Vr = $ 9.261,58 Exemplo 4 - O Sr. Leôncio Armando, numa operação de desconto recebeu $ 10.000,00 como valor de resgate. Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o desconto de $ 1.401,75, calcule a taxa de juros anual utilizada na operação. Resolução: Vr = 10.000; Dr = 1.401,75; n = 6 meses; i = ? Vendo Vr = N - Dr deduzimos que, N = Vr + Dr N = 10.000 + 1.401,75 = 11.401,75 Utilizando a fórmula, vem: Vr = N ( i + 1 ) -n ou N = Vr ( i + 1 ) n Substituindo os termos, temos: 10.000 = 11.401,75 (1+i) -6 / 12 (considerando-se i anual) ( ) ( ) 1 + i = 11.401,75 10.000,00 = i + 1 = 1,140175 6 12 1 2 ( ) | | ( ) 1,30 = i + 1 = 2 1,140175 = 2 2 1 i + 1 i = 0,30 ou 30,0 % a. a. Exemplo 5 - O Sr. Cristiano José descontou um título no valor nominal de $6.500,00 e o desconto concedido foi de $835,63. Considerando que a taxa de juros de mercado era de 3,5%a.m. Calcular o prazo de antecipação. Resolução: N = 6.500; D r = 835,63; i = 3,5% a,m.; n = ? Utilizando a fórmula: Dr = N [ 1 - (1 + i) -n ] , temos: 835,63 = 6.500 [ 1 - (1,035) ] -n ( ) ( ) 835 63 6 500 , . = 1 - 1,035 0,128558 = 1 - 1,035 ÷ ÷ n n ( ) = 0,871442 n 1,035 0,128558 1 = ÷ = ÷ ( ) ( ) n 1,035 0,871442 1 = n 1,035 1 = ( ) 1,147524 = 1,035 n As opções para encontrar n são três: 1) utilizar uma máquina calculadora de boa qualidade; 2) procurar em tabelas financeiras para i = 3,5%; e 3) empregar logaritmos. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 23 Vamos utilizar a opção prática de demonstrar os cálculos, que é através de logaritmos: log 1,147524 = n log 1,035 procurando na tabela de logaritmos, encontramos: ( ) 0 059762 0 01494 , , = n 0,1494 n = 0,059762 = 4 meses Exemplo 6 - Caso a antecipação seja de 8 meses, o valor de um compromisso é de 5 vezes o desconto racional. Qual é o seu valor nominal, sabendo-se que o valor líquido (valor de resgate) é de $1.740,00? Resolução: Vr = 1.740; n = 8; N = 5Dr Sendo N = 5 Dr , temos: N / Dr = 5 e Dr / N = 1/ 5 = 0,20 Utilizando a fórmula Dr = N [ 1 - ( i + 1 ) -n ], vem: ( ) ( ) D N r n = 1 - 1 + i 1 + i ÷ ÷ = = ÷ 0 20 1 8 , ( ) ( ) 1 8 8 - 0,20 = 1 + i = 0,80 = 1 + i ÷ ÷ ( ) ( ) 1 0 80 8 8 , = 1 + i = 1,25 = 1 + i i = ~ 0,028286 ou i 2,83 a. m. substituindo a taxa encontrada na fórmula: N = Vr ( 1 + i ) n , vem: N = 1.740 (1,028286) 8 N = 1.740 ( 1,25 ) N = $ 2,175 CAPITAIS EQUIVALENTES Como já foi visto neste trabalho, o dinheiro tem um valor diferente no tempo; não é a mesma coisa ter $1.000,00 neste momento e dentro de um ano depois, dependendo da taxa de inflação vigente, este verá reduzido seu valor em maior ou menor grau. Conceitualmente, dois ou mais valores nominais, referentes a datas de vencimentos determinadas, se dizem equivalentes quando seus valores, descontados para uma mesma data, à mesma taxa em condições idênticas, produzirem valores iguais. Isto pode ser demonstrado de forma simbólica, assim: Os capitais C1, C2, C3..., Cn‘ , com vencimentos nas datas t1, t2, t3,...,tn‘, respectivamente, considerados a partir da data de referência t0, são ditos equivalentes se os seus respectivos valores presentes na data focal t0, considerada a taxa de juros i, forem iguais; ou seja, esses capitais serão equivalentes se: ( ) ( ) ( ) ( ) C 1 + i = C 1 + i = C 1 + i = . . . = C 1 + i 1 2 3 n t t t n 1 2 3 em que 1 é a taxa periódica de juros (mensal, trimestral, anual) e t é prazo (em meses, trimestres, anos) . Exemplo 1 - Dados dois capitais $ 33.335,22 vencível de hoje a 6 meses e $ 39.702,75 vencível daqui a 9 meses, verificar se são equivalentes, na data de hoje, à taxa de juros de 6.0% a.m. Resolução: Esses dois capitais serão equivalentes se: ( ) 33 335 22 6 . , 1 + i ( ) 3970275 9 . , 1 + i Efetuando os cálculos, temos: 33 335 22 168948 . , , = 23.500 3970275 168948 . , . = 23.500 Portanto, esses dois capitais são equivalentes. Depois de haver demonstrado que, dois ou mais capitais são equivalentes em determinada data focal, para determinada taxa, esses mesmos capitais, serão equivalentes em qualquer data tomada como focal, à mesma taxa de juros ou de desconto racional composto. Porém, se considerarmos qualquer outra taxa, a equivalência não se verificará. Exemplo 2 - A fim de comprovar o que foi afirmado acima vamos desenvolver, com os dados acima, os cálculos do valor dos dois capitais no final de 12 meses, a partir de hoje. Resolução: Para determinar o valor do capital de $ 33.335,22, no final de 12 meses, basta capitalizá-lo por mais 6 meses, a uma taxa de 6% a.m. E para o capital de $ 39.702,75, capitaliza-lo por mais 3 meses, à mesma taxa. Aplicando a fórmula do valor futuro: M = C ( 1 + i ) n , temos: 33.335,22 (1,06) 6 =33.335,22 (1,41852) = 47.286,68 39.702,75 (1,06) 3 = 39.702,75 (1,19102) =47.386,61 23.500,00 (1,06) 12 = 23.500,00 (2,01220) = 47.286,62 Nos cálculos acima, incluímos o capital inicial de $23.500,00, para ratificarmos o que foi dito sobre equivalência de capital. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 24 Exemplo 3 - O Sr. João das Bottas trocou um título com o valor nominal de $10.200,00, com vencimento para 5 meses, por outro de $ 8.992,92, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 6,5 % a.m., houve vantagem? Resolução: A nossa tarefa é comparar esses dois capitais para verificar se são equivalentes ou não. A equivalência será feita através da taxa de juros. Como os capitais encontram-se em momentos diferentes de tempo, devemos compara-los numa mesma data focal. A fim de reforçar as características que conduzem à equivalência, vamos considerar três datas focais: zero, três e cinco. a) Data focal zero: ( ) ( ) V C 1 + i = 8.992,92 1,065 = 10.200 1,20795 = $ 7.444,79 3 3 = 3 3 ( ) ( ) V = C 1 + i = 10.200 1,065 = 10.200 1.37009 = $ 7.444,79 5 5 2 5 Como V3 = V5 = $ 7.444,79, constatamos que não houve vantagem alguma na troca dos títulos. a) Data focal três: ( ) ( ) V = C 1 + i = 10.200 1,065 = 10.200 1.13423 = $ 8.992,92 ' 3 5 2 2 Constatamos que V3‘ = C3 = $ 8.992,92 b) Data focal cinco: ( ) ( ) V 5 2 2 ' = C 1 + i = 8.992,92 1,065 = 3 ( ) V 5 ' = 8.992,92 1,1423 = $ 10.200,00 Exemplo 4 - A Casa Kreira Ltda lançou uma campanha promocional vendendo tudo a prazo, em três vezes sem acréscimo. Sendo o preço a vista dividido por 3 e a primeira parcela é dada como entrada. Considerando que a taxa da loja é de 11,5% a.m., calcule o desconto sobre o preço a vista de uma mercadoria que é de $600,00. Primeiramente, vamos calcular o valor das parcelas: $600,00 / 3 = $200,00 A seguir, devemos esboçar o diagrama do tempo e dinheiro: A terceira etapa é encontrar X = preço a vista da CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 25 mercadoria, ou seja, o valor presente das parcelas, ou ainda, o preço com desconto: ( ) ( ) X = 200 + 200 1,115 + 200 1,115 2 X = 200 + 179,37 + 160,87 ( ) 24323 , 1 200 + 1,115 200 + 200 = X X = $ 540,24 DESCONTOS WalterSpinelli 1. Introdução Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é muito comum o devedor oferecer ao credor um documento denominado titulo, que é o comprovante dessa operação. De posse do titulo, que é usado para formalizar uma dí- vida que não será paga imediatamente, mas dentro de um prazo estipulado, o credor poderá negociar o pagamento antecipado da dívida através de um banco. Vamos tratar, neste capítulo, desse tipo de operação bancária. 2. Títulos Há três tipos de títulos bastante usados: nota promissória, duplicata e letra de câmbio. Nota promissória — Pode ser usada entre pessoas físicas, ou ainda entre pessoas físicas e instituições financeiras. Trata-se de um título de crédito, que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vão especificados: valor nominal ou quantia a ser paga (que é a dívida inicial, normalmente acrescida de juros), data de vencimento do título (em que a dívida deve ser paga), nome e assinatura do devedor, nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. Duplicata — E usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). Na duplicata deve constar o aceite do cliente, o valor nominal, a data de vencimento, o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita tendo por base da nota fiscal. Letra de câmbio — É um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma letra de câmbio tem especificados: valor de resgate (que é o valor nominal acrescido de juros), data de vencimento do título e quem deve pagar. O credor Marcelo dos Santos de posse da nota promissória, conforme o modelo apresentado na página 96, deseja resgatar a dívida em 01/01/88. Você deve ter notado que, na verdade, Marcelo dos Santos quer receber a dívida 2 meses antes da data proposta na promissória. Do mesmo modo que no valor nominal da nota incluem-se os juros pela postergação do pagamento, podemos aceitar o fato de que o adiantamento do mesmo também deverá vir acompanhado de juros, mas agora no sentido contrário, ou seja, descontados do valor nominal. Supondo uma taxa de 1,4% a.m. para o desconto, em dois meses de adiantamento, teremos sobre os $ 100 000,00 o seguinte cálculo: Desconto = 100 000 . 0,014 . 2 Desconto = 2 800 Marcelo dos Santos deverá receber, então: $100 000,00 — $ 2 800,00 = $ 97 200,00 Chamemos, então, de desconto de título ao abatimento dado sobre o valor nominal, pela antecipação do pagamento. O desconto bancário é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal. O desconto bancário é também conhecido como comercial ou por fora. As fórmulas que utilizaremos para calcular o desconto bancário são bem semelhantes às de juros simples. Chamando: D = desconto N = valor nominal L = valor líquido recebido após o desconto I = taxa n = período de tempo, teremos: D = N .i . n L = N — D ou L = N — N . i . n, então: L = N . (1—in) 1. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um título de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento? Solução: N=750, n=2 meses e 10 dias=70 dias i = 0,05 D=N.i.n= ¬ D=750. 30 05 , 0 .70=87,50 Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87,50. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 26 2. Um título no valor de $ 1.200,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a taxa mensal usada? Solução: N = 1200 n = 5 meses L = 900 Vamos resolver este problema de dois modos. Primeiro modo: usando o cálculo de desconto D = N i n D = N — L = 1 200 — 900 = 300 300 = 1.200 • 5. i i = 5 1200 300 · = 0,05 A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao mês. Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido L = N (1 — in) 900.000 = 1.200.000 . (1 — i . 5) 200 . 1 900 = 1 – 5i =1 — 200 . 1 900 5i = 200 . 1 300 i = 000 . 6 300 =0,05 ou 5% a.m. Resposta: A taxa mensal foi de 5%. 3. Resgatei, em 16 de abril, uma nota pro- missória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4 400,00, calculado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissória? Solução D = 4400 i = 0,06 Consultando a tabela 1, obtemos a informação: 161 — 106 = 55 = n D = N . i . n 4.400 = N · · 30 06 , 0 55 ¬ N= 55 0,06 30 4.400 · · N = 40 000 Resposta: O valor nominal da promissória era de $40 000,00. DESCONTO RACIONAL O desconto racional é também conhecido como desconto por dentro. Trata-se, nesse caso, de usar uma taxa sobre um valor não conhecido, situação semelhante à analisada em lucros sobre a venda. O desconto racional é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor líquido. O desconto racional, Dr, calculado sobre o líquido, é dado por: Dr = L . i . n Mas, também, é fato que: L + Dr = N Podemos, pois, calcular o líquido fazendo: L + L . i . n = N L (1 + i . n) = N in 1 N L + = No caso de querermos o desconto diretamente, substituiremos L por in 1 N + na expressão Dr = L . i . n. Ficaremos com: Dr = L . i . n = in 1 N + . i . n in 1 n i N D r + · · = 1 Exercícios Resolvidos 1. Calcular o desconto por dentro de um tí- tulo de $ 6 864,00, à taxa de 12% ao mês, 1 mês e 6 dias antes do vencimento. Solução: N = 6864 i = 0,12 n = 1 mês e 6 dias = 36 dias L = in 1 N + = 36 30 12 , 0 1 6864 · + L= 144 , 0 1 6864 + = 6000 O desconto foi, portanto, de: $6864,00 —$ 6000,00 = $ 864,00 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 27 O mesmo problema pode ser resolvido aplicando diretamente a fórmula do desconto: in 1 n i N D r + · · = = 36 30 12 , 0 1 36 30 12 , 0 6864 · + · · Dr = $ 864,00 Resposta: O desconto foi de $ 864,00. 2. Um título com valor nominal de $ 2.000.000,00, à taxa de 9% ao mês, vai ser descontado 8 meses antes do vencimento. Calcular a diferença entre os descontos bancário e racional. Solução Desconto bancário D = N . i . n D = 2.000.000 . 0,09 . 8 D = 1.440.000 Desconto racional in 1 n i N D r + · · = 8 0,09 1 8 0,09 2.000.000 D r · + · · = Dr = 837.209,30 Diferença: D — Dr = 602.790,70 Por esse problema, percebe-se que o desconto bancário não é apropriado para prazos muito longos. Resposta: A diferença é de $ 602 790,70. 3. Calcular a taxa a ser aplicada, por dentro, numa duplicata de $ 1 800,00, para que ela, dois meses e meio antes do vencimento, se reduza a $ 1 000,00. Solução N = 1.800.000 L=1000 n = 2,5 m L = in 1 N + ¬1.000 = 2,5 i 1 1800 · + 1000(1+ 2,5i) = 1800 ¬1+2,5i = 1000 1800 1 +2,5i = 1,8 ¬ 2,5i= 1,8 —1 ¬ i= 5 , 2 8 , 0 i = 0,32 Resposta: A taxa deve ser, portanto, de 32% a.m. 1. Determinar o desconto bancário sofrido por uma promissória de $ 1 000,00, à taxa de 8% a.m., 3 meses antes do seu vencimento. 2. A que taxa anual, uma duplicata de $ 3 000,00, em 6 meses, dá $ 600,00 de desconto por fora? 3. Em que prazo um título de $ 2 500,00, descontado por fora, à taxa de 6% a.m., dá $ 600,00 de desconto? 4. Encontrar o valor nominal de um título que, descontado por fora, à taxa de 4% a.m., três meses e meio antes do seu vencimento, teve um desconto de $ 28000,00. 5. Um título, com vencimento em 15 de agosto, foi descontado por fora em 13 de junho precedente, a uma taxa de 6% a.m. Se o valor nominal do título era de $ 3 600,00, qual ficou sendo o seu valor atual? 6. Um título, no valor de $ 1 800,00, ficou reduzido a $1 200,00 quando descontado por fora 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa mensal do desconto? 7. A que taxa anual uma nota promissória de $ 420,00, em um mês e meio, dá $ 5,25 de desconto por fora? 8. Determinar o desconto por fora sofrido por uma letra de $ 2 400,00, à taxa de 4,5% a.m., 6 meses antes de seu vencimento. 9. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada por fora, 3 meses e 10 dias antes de seu vencimento, à taxa de 10% a.m., produziu o desconto de $ 400,00. 10. Uma letra de câmbio pagável em 19 de agosto, descontada por fora à taxa de 12% a.m. no dia 3 de maio precedente, produziu $ 20 726,00 de líquido. Qual é o valor nominal dessa letra? 11. Determinar o desconto por dentro sofrido por uma letra de 1 1 000,00, descontada à taxa de 3% a.m., 6 meses antes de seu vencimento. 12. Uma letra de $ 900,00, descontada por dentro, 20 dias antes de seu vencimento, sofreu um desconto de $ 100,00. Qual foi a taxa mensal usada na operação? 13. Determinar o líquido produzido por uma letra que, descontada por dentro, 60 dias antes do seu vencimento, à taxa de 9% a.m., produziu $ 140,00 de desconto. 14. Uma pessoa vai a um banco e desconta por fora uma nota promissória 85 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.m. Sabendo-se que o líquido para a pessoa foi de $ 1 992,00, qual era o valor da promissória? 15. Determinar a diferença entre os descontos por fora e por dentro de uma nota promissória de $ 2 000,00 quando descontada 1 mês e 10 dias antes do vencimento, à taxa mensal de 9%. 16. Calcular o desconto por dentro de uma letra com vencimento para daqui a 8 anos, no valor nominal de $ 1 000,00, se descontada hoje à taxa anual de 20%. O valor encontrado é razoável? Repita o cálculo, verificando o desconto por fora. 17. Duas letras, uma de $ 15 000,00, pagável em 6 meses, e outra de $ 14 700,00, pagável em 30 dias, foram apresentadas a desconto por fora, recebendo o portador da primeira $ 313,75 a mais do que o portador da segunda. Qual foi a taxa anual usada nas operações? CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 28 PRAZO MÉDIO Um banco deseja resgatar 3 títulos de $ 10 000,00 cada, de um mesmo devedor, todos à mesma taxa de 6% a.m., com vencimentos para 30, 60 e 90 dias. Caso seja do interesse do banco e do devedor, esses 3 títulos poderão ser substituídos por um único que não cause ônus a nenhuma das partes. Esse título único terá de, num determinado prazo, à mesma taxa, oferecer o mesmo desconto que a soma dos descontos produzidos pelos 3 títulos. Esse prazo é chamado de prazo médio. Vamos ver como se faz para encontrar esse prazo. Em primeiro lugar, faremos o cálculo dos descontos em separado: Tempo Desconto 30 dias = 1 mês 10000 . 0,06 . 1 60 dias = 2 meses 10000 . 0,06 . 2 90 dias = 3 meses 10000 . 0,06 . 3 (Lembre-se de que D = N . i . n para o desconto bancário.) Portanto, o desconto total é de: D = 10000 • 0,06 • 1 + 10000 • 0,06 • 2 + 10000 • 0,06 • 3 D = 10000 • 0.06(1 + 2 + 3) Vamos, agora, encontrar o tempo T, que produziria, no total dos 3 títulos, à mesma taxa, o mesmo desconto. D = 30 000 • 0,06 • T Comparando-se os descontos, vem: 10000 • 0,06(1 + 2 + 3)= 30000 • 0,06 • T T 0,06 30000 3) 2 0,06(1 10000 = · + + T 3 3 2 1 = + + ou T = 2 meses Deste modo, um título único de $ 30 000,00 produzirá em 2 meses, à mesma taxa de 6%, o mesmo desconto que a soma dos descontos dos 3 títulos. O prazo médio T = 2 meses, como se pode perceber, foi obtido através da média aritmética dos prazos dos 3 títulos. Generalizando. teremos: Quando os valores nominais forem iguais, e as taxas também, o prazo médio será a média aritmética dos prazos. Um segundo problema seria o de determinar o prazo médio no caso de termos taxas iguais, mas valores nominais diferentes. Vamos fazer o cálculo desse prazo para três títu- los, nas seguintes condições: Título Nominal ($) Taxa Vencimento (dias) 1 1000,00 10% a.m. 40 2 2000,00 10% a.m. 50 3 3000,00 10% a.m. 60 Vamos, primeiramente, fazer o cálculo dos descontos individuais: Título Desconto 1 40 30 1 , 0 1000 · · 2 50 30 1 , 0 2000 · · 3 60 30 1 , 0 3000 · · Lembre-se de que D = N h n. O desconto será, portanto: 60 30 0,1 3000 50 30 0,1 2000 40 30 0,1 1000 D · · + · · + · · = 60) 000 3 50 000 2 40 (1000 30 0,1 D · + · + · = Agora vamos calcular o desconto produzido num título único, à mesma taxa, num prazo T, no valor que é a soma dos valores nominais de cada um dos 3 outros títulos. T 30 0,1 3000) 2000 000 (1 D · + + = Comparando os dois cálculos dos descontos, vem: = · · + + T 30 0,1 3000) 2000 000 (1 · + · 000 2 40 (1000 30 0,1 60) 000 3 50 · + 3000 2000 1000 60 000 3 50 000 2 40 000 1 T + + · + · + · = = 53 dias (aproximadamente) O prazo médio seria, nessa situação, 53 dias. Perceba que ele foi obtido calculando a média ponderada dos três prazos e utilizando os respectivos valores nominais como pesos. Generalizando, temos: Quando os valores nominais forem diferentes e as taxas iguais, o prazo médio será a média ponderada dos prazos, com os respectivos valores nominais como pesos. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 29 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Tenho três letras iguais de $ 480,00, a prazos de 20, 25 e 35 dias, respectivamente. Como a taxa de desconto é de 1,2% a.m., qual é o prazo médio de vencimento das três letras? Solução Como temos o mesmo valor nominal e a mesma taxa para as três letras, podemos considerar o prazo médio como média aritmética dos 3 prazos. Assim: 3 80 3 35 25 20 T = + + = ou aproximadamente 27 dias. Vamos verificar a validade dessa resposta, lembrandose de que D = N • i • n e i = 0,012. Tempo (dias) Desconto ($) 20 3,84 30 1152 0,012 30 20 480 = = · · 25 4,80 30 1440 0,012 30 25 480 = = · · 35 6,72 30 2016 0,012 30 35 480 = = · · Então: desconto total = 3,84 + 4,80 + 6,72 =15,36 ou $ 15,36. Considerando N = 3 • $ 480,00 = $ 1440,00, vamos calcular D, usando o prazo médio calculado. T 30 0,012 1440 D · · = Nesta expressão, 3 80 T = (prazo médio calculado). Dessa forma, temos: 36 , 15 90 40 , 1382 3 80 30 0,012 1440 D = = · · = ou $ 15,36. Portanto, o prazo médio está correto. Resposta: O prazo médio é de 27 dias. 2. Uma pessoa tinha três títulos a receber: um de $ 250,00 com prazo de 20 dias, outro de $ 350,00 com prazo de 40 dias e outro de $ 400,00 com prazo de 25 dias. A taxa era de 8% a.m., para todos os títulos. Qual seria, então, o tempo em que a soma desses valores nominais, à mesma taxa, daria os mesmos descontos? Solução Como agora, à mesma taxa, há uma variação dos valores nominais e dos prazos, sabemos que o prazo médio deverá ser feito com uso da média ponderada. Assim: = + + · + · + · = 400 350 250 25 400 40 350 20 250 T 29 1000 10000 14000 5000 = + + O prazo médio é de 29 dias. Vamos fazer a verificação, lembrando-nos de que i = 0,08. Tempo (dias) Desconto ($) 20 30 400 0,08 30 20 250 = · · 40 30 1120 0,08 30 20 350 = · · 25 30 800 0,08 30 25 400 = · · Então, desconto total = 30 2320 30 800 30 1120 30 400 = + + ou, aproximadamente, $ 77,33. Considerando N = 250 + 350 + 400 = 1.000 ou N = $ 1.000,00, vamos calcular o desconto com prazo médio calculado anteriormente. T 30 0,08 1000 D · · = Nessa expressão, T = 29 (que é o prazo médio). 30 2320 29 30 0,08 000 1 D = · · = ou $ 77,33, aproximadamente. Portanto, está correto o prazo médio. Resposta: O prazo médio é de 29 dias. TAXA MÉDIA O problema agora é substituir vários títulos, com taxas diferentes, por um único que, quando descontado, não cause ao credor ou ao devedor nenhum ônus. Vamos estudar três desses casos. Em todos eles, desejaremos sempre encontrar uma taxa média. Primeiro caso: Valores nominais e prazos iguais Titulo Taxa (a.m.) Valor Nominal($) Prazos Desconto ($) 1 2% 1000 4 1000 • 0,02•4 2 3% 1000 4 1000 • 0,03•4 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 30 O desconto total será: D = 1000 • 0,02 • 4 + 1000 • 0,03 • 4 D = 1000 • 4 • (0,02 + 0,03) Calculando agora o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, temos: D = 2 000 • i • 4 Comparando os dois descontos, obtemos: 2 000 • i • 4 = 1000 • 4 • (0,02 + 0,03) 4 2000 0,03) (0,02 4 1000 i · + · · = 0,025 2 0,03 0,02 i = + = A taxa média será, portanto, a média aritmética das taxas dos dois títulos. Quando os valores nominais e os prazos forem iguais, a taxa média será a média aritmética das taxas. Segundo caso: Valores nominais diferentes e prazos iguais Título Taxa (a.m.) Valor Nominal($) Prazo (meses) Desconto ($) 1 2% 1000 4 1000•0,02•4 2 3% 2000 4 2000•0,03•4 O desconto total será: D = 1000 • 0,02 • 4 + 2000 • 0,03 • 4 Agora, calcularemos o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, a uma taxa média i. D = (1 000 + 2000) • i • 4 Comparando os dois descontos: (1 000 + 2000) • i • 4 = 1000 • 0,02 • 4 + 2000 • 0,03 • 4 4 000) 2 (1000 4 0,03) 2000 0,02 (1000 i · + · · + · = 000 2 1000 0,03 2000 0,02 1000 i + · + · = = 0,0266 A taxa média i = 0,0267, ou 2,67% a.m., aproximadamente, foi obtida calculando-se a média ponderada das taxas, utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos. Generalizando: Quando os valores nominais forem diferentes mas os prazos iguais, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos. Terceiro caso: Valores nominais diferentes e prazos diferentes Titulo Taxa(a.m.) Valor Nominal ($) Prazo (m) Desconto ($) 1 3% 1200 2 1200•2•0,03 2 5% 1500 4 1500•4•0,05 O desconto total será: D = 1200 •2 • 0,03 + 1500 • 4 • 0,05 Calculando o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, e com uma só taxa i, obtemos: D = 1200 • 2 • i + 1 500 • 4 • i = (1200 • 2 + 1500 • 4)i Comparando os dois descontos: 1200 • 2 • 0,03 + 1500 • 4 • 0,05 = (1200 • 2 + 1500 • 4) i Então: 8400 372 4 1500 2 1200 0,05 4 1500 0,03 2 1200 i = · + · · · + · · = ¬ ¬ i ~ 0,0442 A taxa média i é aproximadamente 0,0442 ou 4,42% a.m. Este valor foi obtido calculando-se a média ponderada das taxas e utilizando-se o produto dos valores nominais pelos respectivos prazos como pesos. Generalizando: Quando os valores nominais e os prazos forem diferentes, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se como pesos, os respectivos dos valores nominais pelos prazos. Observação importante: Taxas e prazos médios poderão ser calculados não só em descontos, mas também em juros. 1. Dois capitais iguais de $ 800,00 foram colocados a render juros durante três meses, à taxa de 10% a.m. e 12% a.m. Qual é a taxa média de juros? Solução Como temos capitais iguais, colocados a render juros no mesmo prazo, a taxa média poderá ser calculada pela média aritmética das taxas. Assim: 2 0,12 0,10 i + = - 0,11 ou 11% a.m. Vamos fazer a verificação: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 31 Capital ($) Taxa (a.m.) Prazo (m) Juros ($) 800 10% 3 800• 0,1• 3 = 240 800 12% 3 800• 0,12•3 = 288 Juro total = 240 + 288 = 528 ou $ 528,00 Calculando o juro com a taxa média obtida, temos: J = 2 • 800 • 3 • 0,11= 528 ou $ 528,00 Portanto, a taxa média está correta. Resposta: A taxa média é de 11% a.m. 2. Três capitais iguais a $ 1200,00 são colocados a render juros; o primeiro a 4% a.m., durante 2 meses; o segundo a 6% a.m., durante 3 meses e o terceiro, a 8% a.m., durante 4 meses. Calcular a taxa média de juros. Solução Como temos o mesmo capital, com prazos variáveis, a taxa média deverá ser calculada pela média ponderada das taxas, usando os prazos como pesos. Assim: 0,064 9 0,58 4 3 2 4 0,08. 3 0,06 2 0,04 i = = + + · + · + · = Então, a taxa média é, aproximadamente, 0,064 ou 6,4% a.m. Vamos fazer a verificação: Capital ($) Taxa (a.m.) Prazo (m) Juros(S) 1200 4% 2 1200 • 0,04 • 2 = 96 1200 6% 3 1200 • 0,06 • 3 = 216 1200 8% 4 1200 • 0,08 • 4 = 384 Juro total 96 + 216 + 384 = 696 ou $696,00 Calculando o juro com a taxa média obtida, temos: J = 1200 • i • 2 + 1200 • i • 3 + 1200 • i • 4= = 1200 • i • (2 + 3 + 4) = 1 200 • i • 9 Como i = 9 0,58 ,temos então: J = 1200 • 9 0,58 • 9 = 696 ou $ 696,00, o que confirma o valor da taxa média. Resposta: A taxa média é de, aproximadamente, 6,4% a.m. 3. Tenho três títulos a resgatar: o primeiro, de $ 6 000,00, tem prazo de vencimento de 3 meses à taxa de 10% a.m.; o segundo, de $ 5 000,00, tem prazo de 4 meses à taxa de 15% a.m., e o terceiro, de $ 8 000,00, tem prazo de 3 meses a 12% a.m. Qual a taxa média para os descontos? Solução Como temos, agora, valores nominais diferentes e prazos diferentes, vamos calcular a taxa média, utilizando a média ponderada das taxas, com pesos determinados pelos produtos dos valores nominais pelos respectivos prazos. Assim: 3 8000 4 5000 3 6000 0,12 3 8000 0,15 4 5000 0,1 3 6000 i · + · + · · · + · · + · · = 0,1239 62000 7680 24000 20000 18000 2880 3000 1800 ~ = + + + + = ou 12,39%a.m. Resposta: A taxa média dos descontos é de 12,39% a.m. Deixaremos a verificação como exercício para você resolver. 18. Devo $ 60 000,00. Tenho de pagar a metade desse valor à vista, a terça parte em 6 meses e o restante, em 1 ano. Em que prazo poderei liquidar a dívida toda? 19. Qual o prazo médio de três letras de $ 200,00 cada uma, emitidas a 60 dias 120 dias e 180 dias de prazo, à taxa de 5% a.m.? 20. Tenho cinco letras de $ 500,00 cada uma, para pagar em prazos de 60, 80, 25, 60 e 50 dias, à taxa comum de 10% a.m. O credor propôs trocar as cinco letras por um único título de $ 2 500,00 num prazo de 45 dias. O prazo proposto é conveniente, comparado com o prazo médio das 5 letras que tenho? 21. Determine o prazo médio das letras: $ 200,00 a 30 dias, $ 120,00 a 45 dias e $ 400,00 a 60 dias, numa taxa comum de 5% a.m. 22. Qual a data de vencimento de uma letra destinada a substituir, em 6 de junho, duas letras: uma de $ 1 000,00, com vencimento em 3 de agosto, e outra, de 1 600,00, com vencimento em 15 de julho do mesmo ano, à taxa de 15% a.m.? 23. Uma letra de $ 50 000,00 vence em 30 dias, e outra, de $ 75 000,00, vence em prazo desconhecido. Sabendo- se que o prazo médio delas é de 32 dias, qual é o prazo da segunda letra? 24. Determinar a taxa média de três letras de $ 1 000,00 cada, à taxa de 5% a.a., 6% a.a. e 7% a.a., todas com um prazo de 3 meses. 25. Qual a taxa média de duas letras: uma de $ 2 000,00 à taxa de 5% a.m. e outra de $ 2 500,00 à taxa de 4% a.m. em 20 dias? 26. Qual a taxa média das seguintes letras: uma de $ 400,00 em 50 dias, a 6% a.m., outra de $ 200,00 em 30 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 32 dias, a 3% a.m., e finalmente uma de $ 300,00 em 45 dias, à taxa de 5% a.m.? 27. Qual a taxa média de quatro letras de $ 1 200,00 cada uma, à taxa de 3% a.m., 4% a.m., 5% a.m. e 6% a.m., todas durante 25 dias? 28. Determinar a taxa média das seguintes letras: $ 500,00 a 12% a.m., $ 600,00 a 8% a.m. e $ 2 000,00 a 6% a.m., todas no prazo de 40 dias. 29. Emprestei uma quantia á taxa de 12% a.a. Depois de 10 meses, baixei a taxa para 8% a.a., e depois de 6 meses recebi $ 12 500,00 de capital e juros. Usando a taxa média, qual foi o capital emprestado? 30. Tenho três letras de $ 6 000,00, $ 8 000,00 e $ 5 000,00, emitidas em prazos de 40 dias, 15 dias e 20 dias, respectivamente. A primeira e a segunda letras estão a 8% e a 10% a.m., respectivamente, e a taxa média é de 10% a.m. Qual a taxa da terceira letra? Respostas dos exercícios propostos 1. $ 240,00 2. i = 0,4 ou 40% 3. 4 meses 4. $200.000,00 5. $ 3146,40 6. 11,11 %a.m. 7. 10% a.a. 8. $ 648,00 9. $ 1200,00 10. $ 36 489,44 11. $ 152,54 12. 18,75% a.m 13. $ 777,78 14. $ 2400,00 15. $ 25,66 16. Dr = $ 615,38 D = $ 1600,00 Não é razoável. 17. 5%a.a. 18. 4 meses e meio 19. 120 dias 20. Não convém aceitar a proposta. 21. 49 dias 22. 51 dias. A data é 27 de julho. 23. 33 dias 24. 6%a.a. 25. 4,4% a.m. 26. 5,2% a.m. 27. 4,5% a.m. 28. 7,35% a.m. 29. $ 10 964,91 30. 0,148 ou 14,8% DESCONTO COMPOSTO 1. INTRODUÇÃO Ao fazermos o estudo de descontos simples, diferenciamos o desconto bancário do racional. No primeiro, as taxas incidiam sobre o valor nominal, enquanto, no segundo, o cálculo do desconto era feito com taxas incidindo sobre o valor líquido. O desconto composto é calculado sempre com taxas sobre o valor nominal. 2. VALOR ATUAL Suponha um título, cujo valor nominal N é de $ 10 000,00, resgatável depois de 6 meses, à taxa mensal de juros compostos de 10% a.m. Qual é o capital que aplicado a essa taxa, durante o mesmo período, resultaria N? O cálculo que devemos fazer é o do montante para juros compostos. Como M = C (1 +i) n , então N = C (1 +i) n . Mas como N = 10000, i = 10% ou 0,1 e n = 6 meses, então: 10 000 = C(1 + 0,1) 6 ¬ C = 6 0,1) (1 10000 + ¬ C = ~ 771561 , 1 10000 5644,74 O capital é de $ 5 644,74, que é chamado de valor atual do título. Valor atual (Va) de um título de valor nominal N, resgatável após um período n à taxa i de juros compostos, é aquele que aplicado durante o período n, à taxa i, se transforma em N. Podemos escrever isso usando as fórmulas: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 33 N = Va(1+ i ) n ¬ n a i) (1 N V + = Nessas fórmulas: Va: valor atual N: valor nominal n: período i: taxa a juros compostos Podemos escrever também: V a = N • v n Nessa fórmula, v = i + 1 1 Obs.: O símbolo v representa um valor tabelado. (Consulte a tabela 6 no final do livro.) 3. DESCONTO COMPOSTO Qual será o desconto que um título de 1 8 000,00, à taxa de 8% a.m., sofre ao ser descontado dois meses antes do seu vencimento? Sabemos que N = 8 000. Vamos fazer então o cálculo do valor atual para o resgate: = + · = · = 0,08) (1 1 8000 v N V n a 8000 • 0,8573388 ~ 6858,72 Como o valor do título era de $ 8000,00 e o valor atual é de $ 6868,72, então o desconto é de $ 1141,28. Para calcular o desconto composto (Dc), basta apenas determinar a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Assim: Dc = N - Va Nessa fórmula, N é o valor nominal do título e Va é o valor atual. É útil escrever a fórmula de desconto composto de outra maneira. Veja: Dc = N - Va Mas como Va = N • v n , então Dc = N - N • v n = N • (1 - v n ). Temos então: D c = N • (1 - v n ) EXERCICIOS RESOLVIDOS 1. Calcule o valor atual de um título de $ 12000,00 à taxa de 9% a.m. disponível em 8 meses. Solução Como Va = N • v n e N = 12000, n = 8 e i = 9% ou 0,09, podemos escrever: 12 000 8 a 0,09) (1 12000 V + = = 12000 • 0,5018663 ~ 6022,40 Resposta: O valor atual é de $ 6022,40. 2. Calcule os três tipos de descontos possí- veis, para um título de $ 9 000,00, à taxa de 5% a.m., resgatado 5 meses antes do vencimento. Solução Vamos ver primeiro os descontos feitos a juros simples. a. Desconto bancário: Sabemos que D = N • i • n. Como N = 9 000, i = 0,05 e n = 5, temos: D = 9 000 • 0,05 • 5 = 2 250 O desconto bancário é de $ 2 250,00. b. Desconto racional: Sabemos que Dr = L • i • n. Nessa fórmula, L é o valor líquido do título (Nominal — Desconto). in 1 n i N D r + · · = = 1800 25 , 1 2250 5 0,05 1 5 0,05 9000 = = · + · · O desconto racional é de $ 1 800,00. Agora faremos o cálculo do desconto composto: Dc = N • (1 - v n ) e 5 n 0,05) (1 1 v + = = 0,7835262 Dc = 9 000 • (1 — 0,7835262) = 9 000 • 0,2164738 Dc ~ 1 948,26 O desconto composto é de, aproximadamente, $ 1 948,26. Resposta: O desconto bancário foi de $ 2 250,00, o desconto racional, de $ 1 800,00 e o desconto composto, de $ 1 948,26. Obs.: Você deve ter notado que o desconto bancário é o maior que existe, enquanto o racional é o menor, e o desconto composto está entre os dois, desde que seja usada a mesma taxa. 3. Uma duplicata, no valor de $ 120.000,00, com vencimento em 4 anos, por quanto será paga hoje, se sofrer um desconto composto de 84% a.a.? CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 34 Solução Sabendo que n a i) (1 N V + = e que N = 120.000, n = 4 e i = 0,84 temos: 8 a 0,84) (1 120000 V + = Usando logaritmos, vem: Log Va log 4 (1,84) 120000 = log 120000 - log(1,84) 4 = log 120000 – 4 log 1,84 = 5,079181 - 4 • 0,2648178 ¬ ¬ log Va= 5,079181 - 1,0592713 - 4,0199097 ¬ ¬ Va ~ 10469,00 Resposta: A duplicata será paga por $ 10469,00. 4. Que taxa de desconto composto sofreu um título de $ 20 000,00 que, pago 5 meses antes do prazo, se reduziu a $ 14 950,00? Solução O valor nominal, o atual e o período nós conhecemos. Devemos apenas calcular a taxa. Sabendo que n a i) (1 N V + = e que Va = 14950, N = 20000 e n = 5, temos: 1,34 1,3378 14950 2000 i) (1 i) (1 20000 14950 5 5 ~ ~ = + ¬ + = Usando logaritmo, vem: log (1 +i) 5 = log 1,34 5 log(1 +i) = log 1,34¬ log(1 +i) = 5 0,127105 = 0,02541 Como log (1 + i) ~ 0,02542, então 1 + i ~ 1,06 ¬ i ~ 0,0599 Resposta: A taxa é de, aproximadamente, 5,99% a.m. Obs.: (1 + i) 5 = 1,3378 tem i ~ 5,99%, o que pode ser achado lendo a tabela 5 e fazendo uma aproximação. Resolver um problema por meio de logaritmos ou da tabela é uma escolha que deve ser definida a partir dos valores obtidos. Para isso, você deve ver qual das tabelas (tabela 4, de logaritmos, ou tabela 5, de (1 + j)fl) dá a melhor aproximação. No caso de ser necessária uma melhor aproximação, use o artifício da interpolação. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Devo pagar uma duplicata de $ 150000,00 com vencimento em 3 anos Quanto pagarei hoje, com um desconto composto de 90% a.a.? 2. A que taxa foi descontada, a juros compostos, uma dívida de $ 70 000,00 que, paga 4 meses antes do vencimento, reduziu seu valor para $ 50 000,00? 3. Qual foi o desconto composto obtido ao saldar uma dívida de $ 80 000,00 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 12% a.m.? 4. Calcular o valor atual de uma duplicata de $ 250 000,00 com prazo de 6 meses de vencimento, à taxa de 10% a.m. 5. Calcular o valor atual de um título de $ 125 000,00 a 8% a.m. pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento. 6. Uma letra paga 3 meses antes do vencimento, se reduziu à metade. Que taxa de desconto composto foi aplicada? 7. Uma letra paga 4 meses antes do vencimento, com um desconto composto de 9% a.m., se reduziu a $ 75600,00. Qual era o valor da letra? 8. Um título disponível ao fim de 8 meses foi descontado a juros compostos de 11%a.m. e se reduziu a $ 12700,00. Qual o valor do título? 9. Qual o desconto composto obtido no resgate de um título de $ 85000,00, 5 meses antes do vencimento, a 8% a.m.? 10. Em quanto tempo foi antecipado o pagamento de $ 35000,00, sabendo que descontado a juros compostos de 7% a.m. seu valor se reduziu a $ 14000,00? 11. Devia pagar um título em 23 de junho, mas resolvi fazê- lo em 16 de abril. Seu valor nominal era de $ 70 000,00 e obtive um desconto composto de 8% a.m. Quanto tive que desembolsar? 12. De posse de algumas letras no valor de $ 80 000,00 com vencimento em 7 meses, quero resgatá-las hoje. Para efetuar tal operação, tive três ofertas: a. desconto bancário com taxa de 10%; b. desconto racional com taxa de 13%; c. desconto composto com taxa de 11 ,5%. Qual será a operação mais vantajosa? 13. Complete a tabela com os valores neces- sários: Valor nominal ($) Taxa (%a.m.) Período (meses) Desconto composto ($) 12000,00 12 3 ........ 16000,00 10 2 ........ 15000,00 8 ....... 12000,00 10 4 15000,00 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 35 20000,00 ....... 5 16000,00 14. Um titulo de $ 25 000,00, descontado 5 meses antes do prazo a 7% a.m., deu o mesmo desconto que outro, descontado 4 meses antes do prazo de vencimento a 9% a.m. Qual o valor do segundo título? Respostas: 1. $ 21 869,07 2. i = 8,77% 3. $16 204,08 4. Va = $ 141 118,48 5. Va = $ 104 453,08 6. i = 26% a.m. 7. N = $ 106 779,66 8. N = $ 29 267,63 9. $ 27200,00 10. n 13 meses e 16 dias. 11. $ 58 945,64 12. a) $ 56000,00 b) $ 38115,18 c) $ 42640,00 d) Logo, o desconto bancário oferece mais vantagem. 13. Valor nominal ($) Taxa (%a.m.) Período (meses) Desconto composto ($) 3458,63 2776,85 20 meses e 27 dias 47318.61 37,97 14. $ 24 573,11 TAXAS TAXAS DE JUROS O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. O governo quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a inflação, diminue a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos. Assim, a remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga, desmotivando-o a consumir imediatamente e atraente para quem tem o dinheiro, estimulando-o a poupar. Na época de inflação alta, quando a caderneta de pou- pança pagava até 30% ao mês, alguns tinham a falsa im- pressão de que logo ficariam ricos, com os altos juros pagos pelo banco. O que não percebiam é que, dependendo do desejo de consumo, ele poderia ficar cada vez mais distante, subindo de preço numa proporção maior que os 30% recebidos. A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui, além de ítens como o risco e o tempo de empréstimo, a expectativa de inflação para período. Esta taxa, quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo de formação dos juros (capitali- zações), é chamada de taxa nominal. Ex.: 15% ao ano, cujos juros são pagos mensalmente. Nestes casos precisamos calcular a taxa efetiva, que será a taxa nominal dividida pelo número de capitalizações que inclui, acumulada pelo prazo de transação. A remuneração real, ou taxa real de uma aplicação se- rá calculada excluindo-se o percentual de inflação que a taxa efetiva embute. Taxa Efetiva. É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É a taxa utilizada nas calculadoras financeiras, como a HP-12C. Uma taxa de 10 % ao ano, capitalizados anualmente, é uma taxa efetiva. Taxas proporcionais. São taxas de juros dadas em u- nidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal (capital) durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. Taxas equivalentes. São taxas de juros dadas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. Taxa nominal. É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. A taxa nominal, mesmo sendo bastante usada no mercado, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. No entanto, toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita. Por e- xemplo: uma taxa nominal de 12% ao ano capitalizados CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 36 mensalmente corresponde a uma taxa efetiva de 12% : 12 = 1% ao mës. A taxa aparente (chamada de nominal nas transações financeiras e comercial) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: onde i = taxa aparente i r = taxa real I = taxa da inflação ( 1 + i ) = ( 1 + i t ) × ( 1 + I ) A Taxa Interna de Retorno (IRR) de um fluxo de caixa é um objeto matemático que fornece a taxa real de juros em uma operação financeira, conhecidos os lançamentos nos seus devidos momentos de realização. TAXA DO JURO E TAXA DO DESCONTO Se, por exemplo, o capital de 100 unidades monetárias for emprestado a uma taxa de 2% ao mês, por 5 meses, o montante será de 110, se, entretanto, o credor do título recebido pelo em préstimo o descontar imediatamente, à mesma taxa, o valor atual do título será igual a 99 unidades monetárias, conforme os cálculos abaixo. C n = C ( 1 + i . n ) C5 = 100 ( 1 + 0,02 x 5 ) = 110 A5 = N ( 1 - i . n ) A5 = 110 ( 1 - 0,02 x 5 ) = 99 Através desse exemplo, verifica-se que o capital emprestado e o valor atual do título recebido como garantia não são iguais, pois uma pessoa está emprestando 100 e recebendo em troca um título que vale 99. Isso ocorre porque as taxas do juro e do desconto são iguais, mas calculadas sobre valores diferentes - o juro é calculado sobre o capital inicial (100) e o desconto, sobre o valor nominal do título (110). Obviamente, o desconto é maior do que o juro quando emprega a mesma taxa para esse tipo de operação. Para que haja igualdade entre o capital emprestado e o valor atual do título é necessário que a taxa do juro seja maior que a taxa do desconto. Pode-se então estabelecer uma relação de correspondência entre a taxa do juro e a taxa do desconto comercial que satisfaça essa condição. TAXAS PROPORCIONAIS Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem, elas são proporcionais. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, a taxa de 1,39% ao mês é equivalente à taxa de 18% ao ano, pois um capital colocado a 1,39% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 18% ao ano. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim de um ano são maiores do que a taxa oferecida. Por exemplo, se um capital de 100 for colocado a 20% a.a. capitalizado semestralmente por um ano, temos: 100 110 121 10% 10% 0 1 2 sem J = 10 J = 11 Assim, os juros realmente pagos no ano são de 21%. A taxa de 20% a.a. é denominada nominal e a de 21% é a taxa efetiva dos juros. TAXA INSTANTÂNEA A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea. TAXA DE DESCONTO REAL E BANCÁRIO Comparando os fatores de atualização de um capital: ( 1 + i ) n e ( 1 – i ) n com os descontos real e bancário, verifica-se que, para um determinado valor de i e de n, a expressão (i + 1) n é maior que ( i - 1 ) n , e, portanto, o desconto real é menor que o bancário. Para que os descontos real e bancário de um título para n períodos sejam iguais é necessário que as taxas sejam diferentes (taxa do desconto real maior que a taxa do desconto bancário) . TAXA DE ATRATIVIDADE A taxa de atratividade de um investimento é a taxa mí- nima de juros por que convém o investidor optar em determinado projeto de investimento. Corresponde, na prática, à taxa oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital, como a caderneta de pou- pança. Open market, depósitos a prazo fixo etc. Assim, se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento dessas formas de aplicação de capital, ele não será atrativo ao investidor. MÉTODO DA TAXA DE RETORNO A taxa de retorno de um investimento é a taxa de juros CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 37 que anula a diferença entre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa análise de investimentos, a escolha recai na alternativa de maior taxa de retorno. Uma alternativa de investimento é considerada, vantajosa quando a taxa de retorno é maior que a taxa mínima de atratividade. RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma divida. Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósi- tos constituem os termos (T) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e 1 a taxa unitária dos juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se, entretanto, seu objetivo for amortizar uma divida, o valor dessa divida será o valor atual (ou valor presente da renda). As rendas podem ser certas ou aleatórias. Rendas certas são aquelas em que o número de termos, os vencimen- to dos termos e seus respectivos valores podem ser previamente fixados. Quando pelo menos um desses elementos não puder ser determinado com antecedência, a renda é chamada aleatória. A grande maioria das rendas são certas; é o caso do conjunto das prestações para pagar uma mercadoria comprada a prazo, onde o valor das prestações, os seus respectivos vencimentos e número são previamente conhecidos. O exemplo mais típico de renda aleatória ê o conjunto dos pagamentos de prêmios de um seguro de vida, pois o número de pagamentos não pode ser fixado antecipadamente. RENDAS ANTECIPADAS (an ) Uma renda é antecipada se, tendo a renda n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de n-1 períodos. Isto e, os depósitos ou os pagamentos se realizam no principio de cada período. a n = u - 1 iu n n - 1 RENDAS POSTECIPADAS OU IMEDIATAS (an ) Uma renda denomina-se postecipada ou imediata quando os depósitos ou os pagamentos se efetuam no fim de cada período e, portanto, o vencimento do último termo, tende a renda n termos, ocorre no fim de n períodos. a n = u - 1 iu n n Para tal cálculo usamos a tabela V RENDAS DIFERIDAS (mlan ) A renda é dita diferida de m períodos se o vencimento do primeiro pagamento se dá no fim de n + 1 período e, tendo a renda n períodos, o vencimento do último se dará no fim de m + n períodos. Isto quer dizer que os depósitos ou os pagamentos começarão a se efetuar depois de decorridos m períodos. CAPITALIZAÇÃO (Sn ) m a n = a - a m +n m O montante de uma renda unitária e temporária é a soma dos montantes de cada termo, constituído durante o tempo decorrido do seu vencimento ao vencimento do último termo. S n = u - 1 i n Tal valor é encontrado na Tabela III. AMORTIZAÇÃO (a) Para o valor atual de uma renda periódica e temporária de termos constantes e iguais a a, teríamos: 1) antecipada: 2) postecipada: 3) diferida: a · ÷ u 1 iu n n - 1 a · u - 1 iu n n a u - 1 iu n m + n · CÁLCULO DO MONTANTE Se Sn e o montante de n termos unitários, o montante de rendas constantes e temporárias será, sendo a o termo: a . Sn ou, representando por M o montante: M = a u - 1 i n · CÁLCULO DO TERMO, DO NÚMERO DE TERMOS E DA TAXA Para o cálculo de cada um desses elementos, no problema de rendas, precisamos considerar se ela é antecipada, postecipada ou diferida. Resolveremos problemas considerando cada caso. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Após essa breve pincelada teórica sobre rendas, passamos a resolver problemas. Em cada um deles daremos a fórmula a ser usada. Podemos resolver tais problemas usando Tábuas Financeiras ou logaritmos. Usaremos os dois sistemas, aplicando sempre o que for mais conveniente. EXERCÍCIO 1 Depositando anualmente R$ 2.000,00 em um banco; a juros compostos de 5% a.a., que capital teremos no fim de CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 38 8 anos? Solução: Pela tábua III: M = a u - 1 i n · 105 8 , - 1 0,05 = 9,549.108.9 M = 2000 x 9,549,108.9 M = R$ 19.098,20 Por logaritmos, teremos: log 1,05 8 = 8 x log 1,05 = 8 x 0,0021 . 2 = 0,169.6 1,05 8 = 1,478 M = 2000 x 2,05 0,05 = 8 ÷ 1 = 2.000 x 9,560 M = 19. 129,00 EXERCÍCIO 2 Calcular o valor atual de uma renda anual imediata de 20 termos iguais a R$ 2.000,00, a 8% a.a. Solução Usamos a tabua V: v = a u - 1 iu n n · 108 0 08 20 , , - 1 x 1,08 = 9,818.147.4 20 v = 2000 x 9.818.147.4 v = R$ 19.636,00 EXERCÍCIO 3 Qual a prestação anual que se deve pagar para, a 8% a.a., saldar a divida de R$ 19.636,30, em 20 anos? Solução: Pela tábua V temos: v = a u - 1 iu n n · a 8%, em 20 anos, a tábua V nos fornece 9,818.147. Portanto: 19.636,30 = a . 9,818.147.4 a = 19.636,30 9.818.147.4 = R$ 2.000,00 aproximadamente EXERCICIO 4 Calcular o valor atual de uma renda anual de 18 (os i- guais a R$ 800,00, diferida de 7 termos, a 5%. Solução: Pela tábua V teremos: m a n = a - a m +n m 7/a18 = a25 – a7 = 14,093.944.6 - 5.786.373.4 7/a18 = 8.307.571.2 V = 800 x 8,307.571.2 V = R$ 6.646,00 VALOR ATUAL DAS RENDAS IMEDIATAS Sendo T o termo de uma renda imediata e A n| i seu valor atual , temos: A n|i = T . a n |i EXERCICIO 5 Calcular o valor atual de uma renda mensal de 1000 unidades monetárias, de 12 termos, a 1% ao mês. Solução: A n|i = T . a n |i T = 1.000 A 12 | 0,01 = 1.000 x 11,255077 A 12 | 0,01 = 11.255,77 u.m. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 39 EXERCÍCIO 6 Que divida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de 5.000 u.m, com juros de 20% a.a.? Solução: A n | i = T . a n | i T = 5.000 A20 | 0,1 = 5.000 x 8.513.563 A20 | 0,1 = 42.567.815 u.m. MONTANTE DE RENDAS IMEDIATAS T = termo de uma renda imediata: S n | i = seu montante S n | i = T . s n | i EXERCICIO 7 Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada se mestre, a importância de 1.000 u,m., a 20% a.a. Quanto terá no fim de 4 anos? Solução: S n | i = T . s n | i T = 1.000 S8 | 0,1 = 1.000 x 11,435888 = 11.435.888 u.m. EXERCÍCIO 8 Realizando depósitos trimestrais imediatos de 500 u.m., obteve-se no fim de 3 anos, o montante de 7.732,01 u.m. Qual a taxa do juro? Solução: Sn | i = T . sn | i s = S T n | i n | i S12 | 1 = 7.732.016 T = 500 s 12 | 1 7.732.016 500 = s12 | 1 = 15.464032 Na tábua III, o valor 15.464032, para 12 períodos corresponde à taxa de 4,5%, portanto a taxa de aplicação é de 4,5% ao trimestre. EXERCÍCIO 9 Qual a prestação trimestral antecipada necessária para amortizar, com 12 pagamentos, um financiamento de 10.000 u.m. com juros de 5% ao trimestre? Solução: A = T . a n|i n |i T = A a n | i n | i A 12 | 0,05 = 10 000 . a 12 | 0,05 11 | 0,05 1 + a = 1 + 8.306414 = 9,306.414 (T.V) T = 10.000 9,306414 T = 1.074,528 u.m. MONTANTE DAS RENDAS ANTECIPADAS S = T . s n | i n | i Sendo T = o termo de uma renda antecipada e S n | i seu montante. EXERCÍCIO 10 Calcular o montante de uma renda antecipada de 18 termos mensais de 1.000 unidades monetárias, à taxa de 1% o mês. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 40 solução: S = T . s n | i n | i T = 1.000 S 18 1 | 0,01 18 | 0,01 s = = ÷ 20,810895 – 1 = 19,810895 S 18 | 0,01 1.000 x 19,810895 = S 18 | 0,01 19.810.895 u.m. = VALOR ATUAL DAS RENDAS DIFERIDAS m A T m a n | i n | i = · T = termo de uma renda diferida e m/An | i o seu valor atual. EXERCÍCIO 11 Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de 200 u.m, com 9 meses de carência, à taxa de 5% ao trimestre. Solução : m A T m a n | i n | i = · T = 200 3 10 a | 0,05 13 | 0,05 3 | 0,05 a - a = = 9,393573 - 2,723248 = 6,670325 3 A = = 200 x 6,670325 10 | 0,05 = 1.334,065 u.m. EXERCÍCIO 12 Calcular o valor de uma renda anual antecipada de termos iguais a R$ 30,00 a 6% a.a. Solução: v = u 1 iu n n - 1 ÷ u 1 iu = a n n - 1 n ÷ a n = 1 + a n - 1 Pela tábua V: a n = 1 + a 14 = 1 + 9,294.983.9 = = 10,294.983.9 v = 30 x 10,294.983.9 v = R$ 308,85 EXERCÍCIO 13 Qual a anuidade capaz de, a 6% a.a., e 15 prestações anuais, saldar a divida de R$ 30.884,95, sendo a primeira prestação paga no ato do empréstimo? Solução: v = u 1 iu n n -1 ÷ Pela tábua v: u 1 iu = 1 + 9,294.483.9 = n n - 1 ÷ = 10,294.483.9 30.884,95 = a . 10,294.483.9 a = 30.884,95 10,294.483.9 a = R$ 3.000,00 aproximadamente EXERCÍCIO 14 Qual o capital constituído com depósitos semestrais de R$ 25,00, a 6% a.a. capitalizados semestralmente, durante 20 anos? Solução: Aplicando a tábua III: M = 25 x 1,03 - 1 0,03 40 A taxa semestral proporcional a 6% a.a., em 20 anos será 3% em 40 semestres. M = 2.500 x 47,575.42 = 11,463.88 = R$ 13.637,62 Por não constar em nossas tábuas o tempo de 40 anos lançamos mão de dois números: 47,575.42, correspondente a 30 anos, e 11,463.88, correspondente a 10 anos. E calculamos em 5 decimais, apenas. EXERCÍCIO 15 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 41 Para resgatar uma divida de 26.930,98 u.m. serão ne- cessários 8 pagamentos trimestrais de 4.000 u.m. Qual a taxa de juros? Solução : A n | i = T . a n | i a A n | n | i i T = A8 | i = 26.930,98 T = 4.000 a 8 | i 26.930,98 4.000 = a 8 | i = 6,732745 Na Tábua V, o valor 6,732745, para 8 períodos, corresponde à taxa de 4% a.a. Portanto, a taxa do problema e de 4% ao trimestre. EXERCICIO 16 Um empréstimo de 100.000 u.m. vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais em 2 anos de carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao trimestre. Solução: m A T m a n | i n | i = · T = m A m a n | i n | i 8 /A12 | 0,045 = 100.000 8/a12 | 0,045 = a20 | 0,045 = a8 | 0,045 = = 13,007936 - 6,595886 = 6,412050 T = 100.000 6,412.050 T = 15.595.636 u.m. EXERCÍCIO 17 Que divida se amortizaria, pagando-se no principio de cada ano a prestação de R$ 3.000,00, durante 15 anos a 6% a.a.? Solução: Vamos resolver este exercício por logaritmos. v = a u 1 iu n n - 1 · ÷ log 1,06 14 = 14 . log 1,06 = 14 . 0,025.3 = ú,35Í 1,06 14 = 2,260 1,06 15 = 2,395.6 v = 3.000 x 1,06 x 1,06 15 14 ÷ 1 0 06 , v = 3.000 x x 2,26 1395 6 0 06 , . , v = R$ 30.876,00 EXERCÍCIO 18 Que divida poderia ser amortizada com 20 prestações iguais a R$ 2.000,00 à taxa de 8% a.a.? Solução: Vamos usar novamente logaritmos: v = a u 1 iu n n - 1 · ÷ log 1,08 20 = 20 . log 1,08 = 20 . 0,033.4 = 0,668. 1,08 20 = 4,656 v = 2.000 1,08 - 1 0,08 x 1,08 20 20 · v = 2000 . v = 2.000 x 9,815.3 v = R$ 19.631,00 EXERCÍCIO 19 Calcular o valor do montante da aplicação de R$ 150,00 por 10 meses, a uma taxa mensal de 1%. Solução: C = 150, n = 10, i = 1% M = C . S n | i M = 150 . S10 | 10 Pela tabela: S10 | = 10,46222125 Portanto: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 42 M = 150 . 10,4622125 . M = R$ 1.569,33 EXERCICIO 20 Calcular o valor das prestações mensais que, aplicado por 1 ano, à taxa de 2% a.m., dá um total capitalizado de R$ 50.000,00. Solução: M = 50.000, n = 12, i = 2% M = C . Sn | i C = M S n | i C = 50.000 S 12 | 2 Procurando na tabela encontramos o número 13,4120897 C = 50.000 13,4120987 Resposta: As parcelas mensais deverão ser iguais a R$ 3.727,98. EXERCÍCIO 21 Na porta de um banco lê-se a propaganda de um investimento que diz: "Deposite mensalmente R$ 100,00 e, em 24 meses, retire R$ 3.442,65". Qual é a taxa mensal de juro composto do investimento? Solução: M = 3.442,65 C = 100 n = 24 M = C . Sn | i 3.442,65 = 100 . S24 | i 3.442,65 100 = S 24 | i 3.442,65 = S24 | i Recorrendo à tabela S n | i, para n = 24, encontraremos - em i = 3% o valor 34,4264702, que, nesse caso, é o próxi- mo. Resposta: A taxa é de, aproximadamente, 3% ao mês. EXERCÍCIO 22 Calcular o montante produzido por 12 prestações de R$ 1.000,00 colocados mensalmente a juros de 3% a.m. sendo a primeira parcela antecipada. Solução: C = 1.000 n = 12 1 = 3% M = C antecipado . ( 1 + i ) . S n | i M =1.000 . (1+ 0,03) . S12 | 3 M =1.000 . 1,03 . 14,1920296 M = 14 617,79 Resposta: R$ 14.617,79 EXERCÍCIO 23 Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financiamento feito a base de 6% a.m., que divida estarei amortizando? Solução: C = 300 i = 6% n = 20 M = C . a n | i = 300 . a 20 | 6 Procurando a20 |6 na tabela, encontramos o valor 11,469921. Portanto: M = 300 . 11,469921 = 3.440,97 Resposta: a quantia total amortizada é de R$ 3.440,97 EXERCÍCIO 24 Em quantas prestações de R$ 796,80 quitarei uma divida de R$ 10.000,00, se o financiamento foi feito à base de 4% a.m.? Solução: M = 10.000 C = 796,80 i = 4% Como M = C . a n | i temos 10.000 = 796,80 . a n | 4 10.000 796,80 = a a 12,550201 n | 4 n | 4 = Procurando i = 4 na tabela de an | i encontraremos em n = 18 o fator 12,659270, que aceitaremos como o mais CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 43 próximo. Portanto, devera ser 18 o número de prestações mensais iguais. Resposta: A divida será quitada em 18 prestações. EXERCÍCIO 25 Calcular o valor atual de uma divida de 8 termos iguais a R$ 800,00, sendo a taxa no período de 2%. Solução: C = 800 i = 2 n = 8 O valor atual é o total da divida (M). M = C . a n | i M = 800 . a 8 | 2 M = 800 . 7,3254814 M = 5.860,38 Resposta: O valor atual e de R$ 5.860,38. EXERCICIO 26 Qual é o valor atual de uma renda antecipada de 9 às 19uais a R$ 1.200,00 com taxa, no período, de 2,6%. Solução: C = 1200 i = 2,6 n = 9 O valor atual é o total da divida (M) M = (1 + i ) . C . a n | i M = (1 + 0,026) . 1200 . a9 | 2,6 M = 1,026 . 1200 . 7,7334088 = 9 767,61 Resposta: O valor atual é de R$ 9.767,61. EXERCÍCIO 27 Uma amortização constante de 20 parcelas mensais de R$ 860,00 tem carência de 6 meses e taxa mensal de 2%. Qual o valor do financiamento na ocasião do contrato? Solução: C = 860 i = 2% carência = 6 n = 20 M = C . (a26 | 2 - a6 | 2) Consultando a tabela, temos: M = 860 . (20,12103576 - 5,60143089) M = 860 . 14,519604 M = 12 486,86 Resposta: 0 financiamento é de, aproximadamente, R$ 12.486,86. EXERCICIO 28 Calcular o valor atual de uma renda mensal de 12 termos iguais a R$ 2.000,00 com carência de 4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de juros. Solução: C = 2000 i = 5 n = 12 carência = 4 M = C . (a16 | 5 – a4 | 5) M = 2000 . (10,8377696 - 3,5459505) M = 2000 . 7,291819 M = 14.583,65 Resposta: o valor atual é de R$ 14.583,64. PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO 1. INTRODUÇÃO Os empréstimos de grandes quantias por parte das financeiras para compra de imóveis vêm, em geral, acompanhados de prazos dilatados para o pagamento. São os empréstimos a longo prazo. No caso deste tipo de empréstimo é importante estudarmos as maneiras mais comuns de quitação da dívida. São os chamados sistemas de amortização. Trataremos aqui dos sistemas em que a taxa de juros é constante e calculada sempre sobre o saldo devedor. O que difere um sistema de amortização do outro é, basicamente, a maneira como são obtidas as parcelas. Elas podem ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo compostas sempre por duas partes: juros e amortização propriamente dita. 2. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO Nesse sistema, as prestações são sempre fixas. O que varia é a sua composição, ou seja, variam a parte correspondente aos juros e a parte correspondente à amortização da dívida inicial. Normalmente, os juros vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo, ao inverso da amortização, que vai aumentando, CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 44 Vejamos, por exemplo, como poderiam ser algumas parcelas de um financiamento desse tipo ; Parcela Juros Amortização Prestação 10.ª 11.ª 12.ª 792,00 548,00 284,60 3 049,40 3 293,30 3 556,80 3 841,40 3 841,40 3 841,40 O gráfico apresentado a seguir esclarece melhor esta situação: Observe que a prestação fixa é obtida adicionando-se juros e amortização, que variam na ordem inversa. Ou seja, os juros vão diminuindo e a amortização vai aumentando. Este sistema pode ser também acompanhado de prazo de carência. Nesse caso, os juros podem ser pagos durante o prazo de carência ou capitalizados no saldo devedor. 2.1. Sistema Francês sem Prazo de Carência Consideremos, como exemplo, um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago, sem carência, em 8 parcelas à base de 5% a.m. de juros. A parcela constante nesse caso pode ser obtida através da fórmula: M a C n i · = ÷ 1 1000 1 1547 22 8 5 · = ¬ = ÷ a C C , Que parte corresponde aos juros? Que parte amortiza a dívida? Incidindo a taxa de 5% sobre o saldo devedor inicial, teremos: Juros = 0,05 X 10.000 = 500 A parte referente aos juros na primeira prestação será de $ 500,00. Como a prestação total é de $ 1547,22 o valor que amortiza a dívida é: Amortização = 1 547,22 - 500,00 Amortização = 1 047,22 O saldo devedor passa agora a ser : Saldo = 10.000,00 - 1 047,22 Saldo = 8 952,78 Ao final do primeiro período, teremos então o seguinte: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 1 8.952,78 1.047,22 500,00 1.547,22 O processo se repete agora para o segundo período : Juros = 0,05 . 8 952,78 = 447,64 Amortização = 1 547,22 - 447,64 = 1 099,58 Saldo devedor = 8 952,78 - 1 099,58 = 7 853,20 Teremos, então, ao final do segundo período a seguinte situação: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 2 7.853,20 1.099,58 477,64 1.547,22 Repetindo o processo até a quitação total da dívida, obteremos um plano completo, apresentado na tabela que segue: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 8.952,78 1.047,22 500,00 1.547,22 2 7.853,20 1.099,58 447,64 1.547,22 3 6.698,64 1.154,56 392,66 1.547,22 4 5.486,35 1.212,29 334,93 1.547,22 5 4.213,45 1.272,90 274,32 1.547,22 6 2.876,90 1.336,55 210,67 1.547,22 7 1.473,53 1.403,37 143,85 1.547,22 8 - 1.473,53 73,66 1.547,22 TOTAL 10.000,00 2.377,73 12.377,76 Podemos observar pela linha total, salvo aproximação, que : Amortização + Juros = Total das prestações CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 45 2.2. Sistema Francês com prazo de carência e pagamento dos juros Neste caso, é dado ao credor um prazo durante o qual ele pagará apenas os juros da dívida, sem, no entanto, amortizá-la durante essa carência. Tomemos o exemplo de um financiamento de $ 10.000,00 a 5% a.m. durante 8 meses, com carência de 3 meses. Os juros sobre o saldo devedor inicial serão de : Juros = 10.000,00 . 0,05 = 500 Este valor será pago nos três primeiros períodos. Desse modo, ficaremos com o seguinte esquema: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 10.000,00 - 500,00 500,00 2 10.000,00 - 500,00 500,00 A partir do mês seguinte, inicia-se a amortização. A prestação fixa será dada agora por : C M a n i = · ÷ 1 c a C = · ¬ = ÷ 10 000 1 1547 22 8 5 . . , Os juros e as amortizações serão, daqui para a frente, calculados do mesmo modo que o já mostrado no caso sem carência. O plano completo será, então, o seguinte: Períod o Saldo Devedor Amortizaçã o Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 10.000,00 - 500,00 500,00 2 10.000,00 - 500,00 500,00 3 8.952,78 1.047,22 500,00 1.547,22 4 7.853,20 1.099,58 447,64 1.547,22 5 6.698,64 1.154,56 392,66 1.547,22 6 5.486,35 1.212,29 334,93 1.547,22 7 4.213,45 1.272,90 274,32 1.547,22 8 2.876,90 1.336,55 210,67 1.547,22 9 1.473,53 1.403,37 143,85 1.547,22 10 - 1.473,53 73,66 1547,22 TOTAL 10.000,00 3.377,73 13.377,76 2.3. Sistema Francês com Carência e Capitalização de Juros Neste caso, durante o período de carência, o devedor não paga os juros da dívida, que são capitalizados no saldo devedor. Vamos considerar o mesmo exemplo do financiamento de $ 10.000,00, em 8 parcelas mensais, carência de 3 meses, taxa mensal de juros de 5% e capitalização dos juros no saldo devedor. Os três primeiros períodos podem ser observados no quadro abaixo: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 10.500,00 - - - 2 11.025,00 - - - Perceba que ao saldo devedor foram sendo acrescentados os juros não pagos. A partir do período seguinte começam a ser cobradas as parcelas referentes à amortização e aos juros. Da soma dessas parcelas resultará a prestação que, agora, deverá ser calculada a partir do saldo devedor atual ($ 11 025,00). C M a C a C n i = · ¬ = · ¬ = ÷ ÷ 1 11025 1 1705 81 8 5 . . , Os juros de 5% no primeiro período serão calculados sobre $11 025,00. Juros = 11.025 . 0,05 = 551,25 Amortização = Prestação - Juros Amortização = 1 705,81 - 551,25 = 1.154,56 Saldo devedor = Saldo devedor anterior - Amortização Saldo devedor = 11.025,00 – 1.154,56 = 9.870,44 O esquema, agora, fica assim: Período Saldo Devedor Amortizaçã o Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 10.500,00 - - - 2 11.025,00 - - - 3 9.870,44 1.154,56 551,25 1.705,8 1 Para o próximo período, os juros de 5% serão calculados sobre o saldo devedor de $ 9.870,44. Juros = 9 870,44 . 0,05 = 493,52 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 46 Amortização = 1 705,81 - 493,52 = 1 212,29 Saldo devedor = 9 870,44 - 1 212,29 = 8 658,15 O plano completo de amortização nesse caso ficará: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 10.500,00 - - - 2 11.025,00 - - - 3 9.870,44 1.154,56 551,25 1.705,81 4 8.658,15 1.212,29 493,52 1.705,81 5 7.385,25 1.272,90 432,91 1.705,81 6 6.048,70 1.336,55 369,26 1.705,81 7 4.645,33 1.403,37 302,44 1.705,81 8 3.171,79 1.473,54 232,27 1.705,81 9 1.624,57 1.547,22 158,59 1.705,81 - TOTAL 11.025,00 2.621,47 13.646,48 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBURGUÊS Nesse caso, as prestações são variáveis, a amortização é fixa e os juros, em geral, vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo. O gráfico apresentado a seguir, esclarece melhor esta situação: Observe que a amortização é fixa e que os juros decrescem juntamente com a prestação. SAC - Sem Prazo de Carência Vamos supor um financiamento de $ 2.000,00 à taxa de 3% a.m., com um prazo de 8 meses. A parcela fixa da amortização é obtida dividindo o valor financiado ($ 2.000,00) pelo número de prestações. No financiamento que tomamos como exemplo, o número de prestações é 8. 2 000 8 250 . = A parcela de juros vai variar em função do saldo devedor, tomado no período anterior. Vamos fazer os cálculos referentes à primeira parcela: Saldo devedor = 2 000 Juros = 2 000 . 0,03 = 60 Amortização = 250 Prestação = 250 + 60 = 310 Então, no final do período, teremos: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 1 1.750,00 250,00 60,00 310,00 Agora, vamos fazer os cálculos referentes à segunda parcela: Saldo devedor = 1 750 Juros = 1 750 . 0,03 = 52,50 Amortização = 250 Prestação = 250 + 52,50 = 302,50 Então, no final do período teremos: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 2 1.500,00 250,00 52,50 302,50 Repetindo esse processo até a quitação total da dívida, teremos o seguinte plano: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 2.000,00 - - - 1 1.750,00 250,00 60,00 310,00 2 1.500,00 250,00 52,50 302,50 3 1.250,00 250,00 45,00 295,00 4 1.000,00 250,00 37,50 287,50 5 750,00 250,00 30,00 280,00 6 500,00 250,00 22,50 272,50 7 250,00 250,00 15,00 265,00 8 - 250,00 7,50 257,50 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 47 TOTAL 2.000,00 270,00 2.270,00 Obs.: Os juros e as prestações são funções de 1.º grau: J = 0,03 . (2 000 - 250 . n) Nessa expressão, n é o período e J os juros. P = J + 250 = 0,03 . (2 000 - 250 . n) + 250 Nessa expressão, P é a prestação do período. SAC com Prazo de Carência e Pagamento de Juros Neste caso, durante o período de carência é feito apenas o pagamento dos juros, não havendo nenhuma amortização. Vejamos um exemplo : Consideremos um financiamento de $ 2 000,00, à taxa de 8% a.m., com um período de carência de 3 meses. O plano de amortização fica como mostra a tabela: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 2.000,00 - - - 1 2.000,00 - 60,00 60,00 2 2.000,00 - 60,00 60,00 3 1.750,00 250,00 60,00 310,00 4 1.500,00 250,00 52,50 302,50 5 1.250,00 250,00 45,00 295,00 6 1.000,00 250,00 37,50 287,50 7 750,00 250,00 30,00 280,00 8 500,00 250,00 22,55 272,50 9 250,00 250,00 15,00 265,00 10 - 250,00 7,50 257,50 TOTAL 2.000,00 390,00 2.390,00 SAC com Prazo de Carência e Juros Capitalizados no Saldo Neste caso, durante a carência, o devedor não paga absolutamente nada. Os juros desse período vão servir para aumentar o saldo devedor. Vejamos um exemplo : Para o financiamento de $ 2.000,00, a 3% a.m., durante 8 meses e com período de carência de 3 meses, podemos começar calculando o saldo capitalizado. Assim, depois de um período, temos: Saldo 1 = 2 000 . 1,03 = 2 060 Depois de dois períodos, temos: Saldo2 = 2 060 . 1,03 = 2 121,80 Para calcular a parcela fixa de amortização é necessário dividir 2.121,80 por 8. 212180 8 265 23 . , , = Daqui para a frente, o processo é o mesmo. A tabela com todo o plano fica assim: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 2.000,00 - - - 1 2.060,00 - - - 2 2.121,80 - - - 3 1.856,57 265,23 63,65 328,88 4 1.591,34 265,23 55,70 320,93 5 1.326,11 265,23 47,74 312,97 6 1.060,88 265,23 39,78 305,01 7 795,65 265,23 31,83 297,06 8 530,42 265,23 23,87 289,10 9 265,19 265,23 15,91 281,14 10 - 265,19 7,96 273,15 Total 2.121,80 286,44 2.408,24 Obs.: Comparando as tabelas dos planos de carência com pagamento ou não dos juros no período, você pode ver que usando o segundo sistema, paga-se mais. Isso ocorre porque o que deveria ser juros passa a ser principal. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Este é um sistema mais moderno, que não apresenta nenhuma dificuldade teórica aos que já foram estudados, uma vez que ele é simplesmente a média aritmética entre o Sistema Francês de Amortização e o SAC. O gráfico ao lado compara a evolução das prestações nesses três sistemas. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 48 Suponha dois planos de financiamento de $ 10.000,00 em 5 meses, à taxa de 5% a.m., primeiro pelo SAC e depois pelo Sistema Francês. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 8.000,00 2.000,00 500,00 2.500,00 2 6.000,00 2.000,00 400,00 2.400,00 3 4.000,00 2.000,00 300,00 2.300,00 4 2.000,00 2.000,00 200,00 2.200,00 5 - 2.000,00 100,00 2.100,00 TOTAL 10.000,00 1.500,00 11.500,00 SISTEMA FRANCÊS Perío do Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 - - - 1 8.190,25 1.809,75 500,00 2.309,75 2 6.290,01 1.900,24 409,51 2.309,75 3 4.294,76 1.995,25 314,50 2.309,75 4 2.199,75 2.095,01 214,74 2.309,75 5 - 2.199,75 109,99 2.309,75 10.000,00 1.548,74 11.548,75 O mesmo plano calculado com base no SAM ficaria assim: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 - - 1 8.095,20 1.904,80 500,00 2.404,88 2 6.145,08 1.950,12 404,76 2.354,88 3 4.147,45 1.997,63 307,25 2.304,88 4 2.099,94 2.047,51 207,37 2.254,88 5 - 2.099,94 105,00 2.204,88 10.000,00 1.524,38 11.524,40 Perceba tanto pelas prestações, como pelos juros ou pelo saldo devedor, que, em cada período, os valores no SAM são, com exceção da aproximação, a média aritmética entre o valor do SAC e o do Sistema Francês. CÁLCULO FINANCEIRO CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FI- NANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO A Inflação e correção monetária A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços à disposição da sociedade; quando ocorre o fenômeno inverso, tem-se a deflação. Com o objetivo de minimizar ou mesmo neutralizar as distorções causadas pela inflação na economia, foi institucionalizado no Brasil o princípio da correção monetá- ria. Através desse princípio, os valores monetários (preços de bens e serviços, salários, empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos etc.) poderiam ser reajustados com base na inflação ocorrida no período anterior, medida por um índice de preços calculado por uma entidade credenciada, normalmente pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). O que é um indexador lndexador, tal como usado pelo mercado financeiro, pode ser entendido como qualquer valor ou índice utilizado como parâmetro para atualizar o valor da unidade monetá- ria, depreciado em função da elevação sistemática dos ní- veis gerais de preços. Construção de um indexador e sua utilização Para facilitar a compreensão do leitor, vamos tomar como exemplo o cálculo do valor do BTN, criado em fevereiro de 1989 e extinto em fevereiro de 1991. Esse indexador foi construído com base na variação mensal dos preços ao consumidor, calculado pelo IBGE. Para os cinco primeiros meses, de fevereiro até junho, essas variações foram, respectivamente, de 3,60%, 6,09%, 7,31%, 9,94% e 24,83%. Seu valor inicial, na data de 01-02-89, foi fixado em NCzS 1,00 (um cruzado novo). Para a obtenção do valor do mês seguinte, adicionou-se a variação de 3,60% do mês de fevereiro, obtendo-se NCzS 1,0360; o valor do BTN de abril foi obtido adicionando-se 6,09% ao valor do mês anterior e assim sucessivamente. Com esse procedimento, obtém-se os seguintes valores para os cinco primeiros meses de nosso exemplo, válidos para o primeiro dia de cada mês: Mês Variação mensal (%) BTN Fevereiro/89 Março Abril 3,60 6,09 7,31 1 ,0000 1 ,0360 1 ,0991 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 49 Maio Junho 9,94 24,83 1 ,1794 1 ,2966 O quadro mostra que o valor do BTN se constituía, na verdade, num índice de preços, como também se constitu- íam, no passado, a ORTN, a OTN e o fator acumulado da TR; atualmente, temos como exemplos a UFIR, a UPF (Unidade Padrão de Financiamento) e as Unidades Fiscais dos estados e municípios. A utilização de um índice de preços, isto é, de um indexador, é uma prática generalizada no Brasil. A partir de seus valores, obtém-se facilmente a variação dos preços ocorrida entre duas datas quaisquer, ou o valor atualizado de um empréstimo, de uma aplicação financeira ou de um bem ou serviço. Para a obtenção da variação, basta dividir o índice referente à data atual pelo índice correspondente à data anterior (a partir da qual se pretende determinar a variação), e subtrair 1. Assim, no caso de nosso exemplo, a variação de 10 de março a 10 de junho é calculada como segue: variação = 0360 , 1 2966 , 1 - 1 = 0,2515444 ou 25,15444 % Essa variação corresponde às variações acumuladas dos meses de março, abril e maio. Para se corrigir monetariamente um valor, ou seja, incorporar ao preço inicial a variação correspondente à infla- ção do período, basta dividir esse valor pelo índice correspondente à data do inicio do período (a partir da qual se pretende corrigir) e multiplicar pelo índice referente à data do fim do período. No caso do exemplo anterior, um valor inicial de $ 100.000,00 seria corrigido como segue: Valor corrigido = 0360 , 1 00 , 000 . 100 x 1,2966 = 125.154,44 A partir deste exemplo, podemos apresentar uma fór- mula genérica para atualização monetária de valores e que será utilizada ao longo de todo este capítulo. Para tanto, vamos chamar de principal o preço inicial de uma mercadoria ou serviço, ou o valor inicial de um empréstimo ou de uma aplicação financeira, e de indexador qualquer índice utilizado com a finalidade de corrigir monetariamente um valor. A fórmula é a seguinte: v o c I x I P P = em que Pc é o principal corrigido, P o principal inicial, lo o indexador correspondente à data inicial (data do contrato) e lv o indexador da data do vencimento, pagamento ou resgate. Nos casos em que somente a variação do indexador é conhecida, a atualização se fará como segue: Pc= P x (1 + v1) x ( 1 + v2) x ( 1 + v3) x ..... x (1 + vn) em que v representa a variação (diária, mensal ou anual) do indexador e os índices 1, 2, 3, ....., n, o número de ordem do período unitário (dia, mês ou ano). lndexador utilizado neste capítulo A parte final do breve histórico apresentado sobre a in- dexação no Brasil dá ao leitor uma idéia das dificuldades que enfrentamos para escrever este capitulo. Nos exercí- cios com rendas e encargos pós-fixados apresentados na primeira tiragem da quarta edição,, utilizamos a URV como principal indexador por entender que a TR, até então a mais utilizada para atualizar os valores das aplicações e dos empréstimos, fosse extinta pelo governo logo após a criação do REAL. Entretanto, isso não ocorreu! E embora o governo esteja propondo-se a desindexar a economia a partir do inicio deste ano de 1995 (época em que estamos revisando a quinta edição deste livro), não é provável que o faça tão cedo. Assim, não nos resta outra alternativa a não ser adotar essa taxa referencial como indexador, em que pese a todas as restrições que fazemos a ela. A TR é uma taxa mensal calculada e divulgada diariamente pelo Banco Central, sendo utilizada para corrigir valores monetários desde o dia a que se refere (dia em que é calculada) até igual dia do mês seguinte. Assim, a TR de 2,61% referente ao dia 19 de janeiro de 1995 corrige um empréstimo no valor de S 1.000,00, obtido nesse dia, para S 1.026, 1º no dia 19 de fevereiro. APLICAÇÕES FINANCEIRAS COM RENDA FIXA Vamos considerar como aplicações financeiras de renda fixa todas aquelas realizadas em títulos e valores mobi- liários, inclusive cadernetas de poupança e fundos de investimentos. Denomina-se renda fixa por garantir ao aplicador determinado rendimento, fixado no dia da aplicação, isto é, o investidor seguramente receberá no vencimento um valor maior que o desembolsado, o que pode não acontecer com as aplicações em renda variável. As aplicações com renda fixa podem ser pré e pós-fixadas. É prefixada quando o valor de resgate é conhecido no dia da aplicação e pós quando esse valor somente é determinado no dia (ou alguns dias antes) do vencimento. As aplicações com renda pósfixada pagam juros calculados sobre o principal corrigido, ou seja, sobre o valor da aplicação adicionado da correção monetária do período. Os exemplos seguintes facilitarão o entendimento do leitor. Aplicações com renda prefixada Vamos tratar de aplicações nos seguintes títulos e valores mobiliários: a) Certificados de Depósitos Bancários (CDB). São tí- tulos emitidos pelos bancos comerciais, de investimentos ou desenvolvimento, e pelas caixas eco- nômicas; é o instrumento mais utilizado para a cap- tação de recursos normalmente destinados ao financiamento de capital fixo e de giro das empresas. O prazo mínimo de emissão tem variado muito nos últimos anos, sendo atualmente de 30 dias. O prazo máximo não é fixado. b) Recibos de Depósitos Bancários (RDB). São recibos de depósito a prazo fixo, emitidos pelas mesmas instituições financeiras, com a mesma finalidade e com os mesmos prazos. c) Letras de Câmbio (LC): são títulos emitidos pelas chamadas "Financeiras", as Sociedades de Crédi- to, Financiamento e Investimento, para captação de recursos destinados ao financiamento de bens e serviços, para pessoas físicas ou jurídicas, opera- ção conhecida no mercado por "crédito direto ao consumidor". Os prazos de emissão são idênticos aos do CDB e RDB. Com a intensificação do processo de transformação de Financeiras em bancos múltiplos, o volume de emissão de Letras de Câm- bio tem se reduzido muito nos últimos anos. A ten- CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 50 dência natural é sua extinção a médio prazo. d) Bônus do Banco Central (BBC). São títulos de cur- to prazo emitidos pelo Banco Central do Brasil para a captação de recursos destinados ao atendimento das necessidades de caixa do Tesouro Nacional; pane substancial das emissões é adquirida pelas instituições financeiras para lastreamento das ope- rações de open market e para compor as carteiras dos fundos de investimentos em renda fixa, variá- vel e de commodities. São sempre emitidos numa quarta-feira e com vencimento também numa quarta, portanto, com prazos múltiplos de 7; atualmente são mais comuns os de 28, 35 e 42 dias. e) Letras do Tesouro Nacional (LTN). São títulos idên- ticos ao anterior. A única diferença é que são emitidos pelo Tesouro Nacional. Todas as aplicações financeiras estão sujeitas à inci- dência do Imposto de Renda na fonte. Até 31 de dezembro de 1994, o Imposto de Renda, descontado na fonte, incidia apenas sobre o chamado rendimento real (também chamado de ganho de capital), correspondente ao rendimento que excedesse ao valor da correção monetária calculada com base na UFJR (Unidade Fiscal de Referência), ou seja, sobre o valor que ultrapassasse ao principal corrigido por esse indexador. A partir de 1° de janeiro de 1995, o Imposto de Renda pago na fonte passou a ser cobrado a razão de 10% sobre o rendimento bruto, ou seja, sobre o rendimento total obtido, independentemente do prazo da aplicação. A fim de facilitar o entendimento dos exemplos apresentados a seguir, vamos estabelecer as seguintes convenções: - P = principal ou valor aplicado: valor desembolsado pelo aplicador; - Pc = principal corrigido: valor da aplicação adicionado da correção monetária; - VR =valor de resgate: valor de resgate da aplicação ou do título antes do desconto do Imposto de Renda; - VRL = valor de resgate líquido: valor de resgate menos o Imposto de Renda; - RB = rendimento total ou bruto: dado pela diferença entre o valor de resgate e o valor aplicado; - RL = rendimento líquido: é o valor do rendimento bruto menos o valor do Imposto de Renda; - n = prazo (normalmente em número de dias); - i = taxa utilizada pelo mercado para explicitar o rendimento bruto a ser pago, seja ele pré ou pós- fixado; normalmente é informada para um período de 30 dias (taxa mensal) ou de 360 dias (taxa anual) ; - TEB = taxa efetiva bruta: dada pela divisão do rendimento bruto pelo valor da aplicação (ou pela divi- são do valor de resgate pelo valor da aplicação, menos 1); - TEL = taxa efetiva líquida: dada pela divisão do rendimento líquido pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo valor da a- plicação, menos 1); - TRB = taxa real bruta: dada pela divisão do rendimento real pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate pelo principal corrigido, menos 1); - TRL = taxa real líquida: dada pela divisão do rendimento real líquido pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo principal corrigido, menos 1); - a = alíquota do Imposto de Renda, Exemplos com CDB, RDB ou LC (O exemplo para um tipo de aplicação é válido para todos, já que os três têm as mesmas características) A) Um investidor aplica S 36.000,00 num Certificado de Depósito Bancário (CDB), com 30 dias de prazo. Sabendo- se que o Banco emitente paga uma taxa de 39% ao ano, determinar o valor de resgate, o valor do lmposto de Renda e o valor de resgate líquido dessa aplicação. Solução: a) Cálculo do valor de resgate VR = 360 n a ) i 1 ( P + em que ia é a taxa anual e n o prazo em dias. VR = 36.000,00 x (1 + 39%) 30/360 VR = 36.000,00 x (1,39) 30/360 = 37.001,59 b) Cálculo do valor do Imposto de Renda IR = a x RB RB = 37.001,59 - 36.000,00 = 1.001,59 IR =10% x 1.001,59 = 100,16 c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL = VR - IR = 37.001,59 - 100,16 = 36.901,43 Exemplo com BBC e LTN Na negociação desses dois títulos, os agentes do mercado partem de um valor de resgate hipotético de $ 1.000,00. E, considerando o prazo e a taxa de juros, determinam seu valor de compra ou venda, denominado de PU (preço unitário). Embora o mercado brasileiro, no caso CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 51 dessas operações, esteja atualmente trabalhando com o prazo representado por número de dias úteis, vamos considerar sempre dias corridos. Essa decisão deve-se ao fato de a utilização de dias corridos ser uma norma universal, e porque considero esse critério o mais correto. B. Em um leilão efetuado pelo Banco Central, um Ban- co adquire BBCS com prazos de 28 e 35 dias, ambas cotadas a uma taxa de juros de 37% ao ano. Calcular, para os dois prazos mencionados, o preço pago pelo Banco para cada $ 1.000,00 de resgate. Solução: a) para o prazo de 28 dias A partir da fórmula do montante para juros compostos, tem-se que: ( ) 360 n a i 1 VR P + = ( ) 81 , 975 00 , 000 . 1 P 360 28 ,37 1 = = O valor presente P = $ 975,81 constitui-se no chamado PU (preço unitário). Assim, no caso deste exemplo, o PU nada mais é do que o valor atual do título para cada $ 1.000,00 de resgate, A "unidade", que neste caso é igual a $ 1.000,00, poderia ser de $ 1,00, $ 10,00, $ 100,00 ou qualquer outro valor. b) para o prazo de 35 dias ( ) 86 , 969 00 , 000 . 1 P 360 35 ,37 1 = = Aplicações com renda pós-fixada Neste subitem temos uma grande variedade de aplica- ções. Vamos tratar somente das mais importantes: cadernetas de poupança, CDBS, RDBS, Letras de Câmbio, Notas do Tesouro Nacional (NTN), Debêntures e os fundos de investimentos. A tributação é idêntica à das aplicações em renda prefixada mostrada no subitem anterior, ou seja, Imposto de Renda de 10% sobre o rendimento total. Vamos tratar inicialmente das aplicações em CDB, RDB e LC, cujas características já foram mencionadas no subitem anterior; as diferenças dessas aplicações em relação àquelas com rendimentos prefixados é que nestes casos o prazo mínimo de emissão dos títulos é atualmente de 120 dias e os rendimentos são calculados com base no principal corrigido pelo indexador adotado. E como já mencionamos no início deste capítulo, vamos adotar a TR (Taxa Referencial de Juros) como principal indexador. Exemplo com CDB, RDB e LC C. Calcular o valor de resgate líquido já descontado o Imposto de Renda) de uma aplicação em CDB com renda pós-fixada no valor de $ 5.000,00, pelo prazo de 120 dias, sabendo-se que o Banco paga juros de 16% ao ano. A aplicação foi feita no dia 5 de janeiro para resgate no dia 5 de maio do mesmo ano. Admitir que as TR referentes aos dias 5 dos meses de janeiro, fevereiro, março e abril tenham sido de 2,21%, 1,96%, 2,13% e 2,37% respectivamente. Solução: a) Cálculo do valor de resgate VR = 360 n a c ) i 1 ( P + Pc= 5.000,00 x 1,0221 x 1,0196 x 1,0213 x 1,0237 = 5.447,78 VR = 5.447,78 x ( ) 360 120 16 , 1 = 5.724,08 b) Cálculo do Imposto de Renda IR = 10% x RB = 0,10 x RB RB = VR - P= 5.724,08 - 5.000,00 = 724,08 IR = 0,10 x 724,08 = 72,41 c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL = VR - IR = 5.724,08 - 72,41 = 5.651,67 Operações com Cadernetas de Poupança As cadernetas de poupança constituem a forma mais popular de aplicação de recursos no Brasil. Tradicional- mente, elas vêm rendendo correção monetária calculada com base num indexador, mais juros de 0,5% ao mês (e- quivalente a 6,168% ao ano) incidente sobre o valor do depósito acrescido da correção monetária; caso haja algum saque durante o mês, contado desde o dia do depósito até o dia anterior ao do crédito, valerá o menor saldo do mês para efeito de cálculo do rendimento. Nas aplicações feitas por pessoas físicas, o rendimento é creditado mensalmente no dia do chamado "aniversário" ou data-base, isto é, no dia do mês do crédito correspondente ao mesmo dia do mês em que foi aberta. Assim, se uma caderneta é aberta no dia 3 de janeiro, os rendimentos serão creditados no dia 3 dos meses subseqüentes. Entretanto, há exceções: se a conta for aberta nos dias 29, 30 ou 31, considerar-se-á aberta no dia 1°do mês seguinte. No caso das aplicações feitas por pessoas jurídicas, os rendimentos são creditados trimestralmente, calculados à razão de 1,5% sobre o valor do depósito corrigido pelo indexador utilizado. Em caso de movimentação da conta durante o trimestre, os rendimentos serão calculados com base no menor saldo existente nesse trimestre. De acordo com a legislação atual, incide Imposto de Renda de 10% sobre o total dos rendimentos. Esse fato praticamente inviabiliza a caderneta de poupança para pessoas jurídi- cas. Considera-se mês, no caso das cadernetas de poupança, o período compreendido entre o dia do depósito e o dia do "aniversário" no mês seguinte. No momento em que estamos revisando este capítulo, CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 52 o indexador oficial utilizado para corrigir os depósitos de poupança continua sendo a TR. E é esse que vamos utilizar. A correção monetária calculada com base nesse indexador é chamada também de atualização monetária. D. O Sr. W. Vilan abriu uma caderneta de poupança no dia 13-09-94 com um depósito de $ 4.500,00. Sabendo-se que a TR desse dia foi de 2,57%, calcular os valores da correção monetária e dos juros creditados em 13- l 0-94. Como se sabe, a taxa de juros é de 0,5% ao mês. Solução: - Valor da correção monetária CM = 2,57% x 4.500,00 = 11 5,65 - Valor dos juros Juros = 0,5% x (4.500,00 + lis,65) = 23,08 - Saldo da conta em 13-10-94 Saldo = 4.500,00 + 115,65 + 23,08 = 4.638,73 O saldo dessa conta poderia também ser obtido como segue: Saldo = 4.500,00 x 1,0257 x 1,005 = 4.638,73 Caso o Sr. Vilan tivesse sacado $ 1.500,00 em qualquer dia entre o dia do depósito e o dia útil anterior à data do crédito, os valores da correção monetária e dos juros seriam calculados com base no saldo de $ 3.000,00. Operações com Notas do Tesouro Nacional (NTN) A NTN é um título emitido pelo Tesouro Nacional com características idênticas às do CDB pós-fixado. Atualmente tem prazo mínimo de emissão de 120 dias; até dezembro de 1994 esse prazo mínimo era de 90 dias. Existem três tipos: a NTN com correção cambial, a NTN corrigida com base na variação do IGPM (Índice Geral de Preços do Mercado) e a NTN corrigida com base na TR. No caso das duas primeiras, o Tesouro Nacional paga 6% ao ano sobre o principal corrigido, e no caso da última, o rendimento total acima da TR é dado via deságio. As NTNS são colocadas no mercado através de leilões periódicos (pelo menos um por mês) efetuados pelo Banco Central. Como regra geral, são emitidas com data do primeiro dia de cada mês, e vencimento também no primeiro dia do mês de resgate. Caso uma das datas (de emissão ou de resgate) ocorra em um dia não útil, a liquidação ocorrerá no dia útil subseqüente. No caso das NTNS cambiais, a correção é calculada tomando-se como base a cotação do dólar no dia imediatamente anterior ao dia da emissão e do resgate (ou do pagamento dos juros). Os juros de 6% ao ano são pagos semestralmente, ou no vencimento do título, caso seu prazo seja de até seis meses. Para proporcionar uma rentabilidade superior a 6% ao ano, o Banco Central normalmente coloca esses títulos no mercado com deságio. Para efeito de negociação, o preço unitário do título - o chamado PU - é calculado com base num valor de emissão hipotético de S 1.000,00 e apresentado com seis casas decimais. Os exemplos a seguir facilitarão o entendimento. Embora o governo não tenha colocado no mercado nenhum título corrigido pelo IGPM após a implantação do REAL, vamos apresentar exemplos envolvendo os três tipos. Através de um leilão realizado pelo Banco Central, uma instituição financeira adquire NTNS cambiais emitidas em 01-11-93 e com vencimento em 01-02-94 (prazo de três meses). Sabendo-se que esse título paga juros de 6% ao ano, que foi adquirido com uma rentabilidade efetiva de 18% ao ano e que as cotações do dólar comercial de venda no dia anterior ao dia da emissão e ao dia do resgate foram respectivamente de CR$ 174,000 e CR$ 458,660, calcular: a) o PU, ou seja, o preço pago para cada CR$ 1.000,00 de emissão; b) o valor de resgate (incluindo os juros). Solução: a) Cálculo do PU VR = 1.000,00 x (1,06) 4 1 = 1.014,673846 em que o número 4, do expoente 1/4, representa o número de trimestres contidos em 1 ano. ( ) 213807 , 973 18 , , 1 673846 , 014 . 1 PU 365 92 = = em que 0,18 é taxa efetiva ao ano e 92 o número de dias decorridos entre o dia da compra e do resgate. b) Cálculo do valor de resgate (incluindo os juros) 11 2.635,9770 174,000 458,660 x 1.000,00 Pc = = Taxa trimestral de juros = (1,06) 4 1 - 1 = 0,01467385 ou 1 ,467385% Juros = 0,01467385 x 2.635,977011 = 38,679931 Valor de resgate = 2.635,977011 + 38,679931 = 2.674,656942 O valor de resgate também pode ser determinado atualizando-se monetariamente o valor de resgate obtido inicialmente, como segue: 42 2.674,6569 174,000 458,660 x 46 1.014,6738 VR = = Operações com Fundos de Investimentos em Renda Fixa Este Fundo de Investimentos tem uma carência de 28 dias para saques sem perda de rendimentos, contados desde o dia da aplicação ou desde o último dia em que se CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 53 completou o ciclo de 28 dias. Trata-se de um fundo administrado por uma instituição financeira em que os recursos captados junto aos clientes são aplicados em títulos de renda fixa, pré ou pós-fixados. O investidor adquire cotas do fundo, cuja rentabilidade reflete a rentabilidade média dos títulos que compõem a carteira. Sobre o rendimento total obtido na aplicação, o investidor paga Imposto de Renda, correspon dente a 10%, calculado de forma idênti- ca aos cálculos já mostrados para os títulos de renda fixa. Exemplo E. Um investidor aplica $ 6.000,00 num Fundo de Renda Fixa no dia 11-0l -95 e resgata $ 3.700,00 no dia 08-02-95, 28 dias depois. Sabendo-se que o valor da cota era de $ 3,498039 no dia da aplicação e de $ 3,602403 no dia do resgate, calcular: a) o número de cotas adquiridas; b) o número de cotas resgatadas; c) a valorização da cota no período; d) o valor do Imposto de Renda pago e o valor líquido creditado na conta do aplicador; e) o saldo em número de cotas e em S. Solução: a) Número de cotas adquiridas n°de cotas = 1.715,248 498039 , 3 00 , 000 . 6 = cotas b) Número de cotas resgatadas nº de cotas = 1.027,092 602403 , 3 00 , 700 . 3 = cotas c) Valorização da cota no período Valorização = 0298 , 0 1 498039 , 3 602403 , 3 = ÷ ou 2,984% d) Valor do Imposto de Renda e valor líquido creditado - Valor de aplicação das cotas resgatadas Valor = 1.027,092 x 3,498039 = 3.592,81 - Valor do Imposto de Renda Corresponde a10% sobre o rendimento obtido no perí- odo, ou seja, sobre o valor de resgate menos o valor de aplicação das cotas resgatadas, calculado como segue: IR = 10% x (3.700,00 - 3.592,81) = 10,72 - Valor líquido creditado na conta do aplicador Valor líquido = 3.700,00 - 10,72 = 3.689,28 - Saldo em número de cotas e em S Saldo em n°de cotas = 1.715,248 - 1.027,092 = 688,156 - Saldo em $ = 688,156 x 3,602403 = 2.479,02 Operações com Fundos de Aplicações Financeiras (FAF) As aplicações neste Fundo, também conhecido por "fundão", representam uma das únicas formas de aplicação de recursos no curto prazo. Funciona de maneira semelhante ao Fundo de Renda Fixa visto no item anterior. Os recursos captados pela instituição financeira que administra o Fundo são aplicados de forma bem diversificada, sendo uma parte superior a 20% obrigatoriamente depositado no Banco Central, uma fatia ainda maior aplicada títulos públicos federais, 10% em Títulos de Desenvolvi- mento Econômico (TDE) e 3% no Fundo de Desenvolvi- mento Social (FDS); apenas cerca de 42% dos recursos captados podem ser livremente utilizados pela instituição financeira para aplicação em outros títulos de renda fixa, públicos ou privados. O rendimento proporcionado por este Fundo também paga 10% de Imposto de Renda na fonte. Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 no FAF e resgatou tudo no dia seguinte. Sabendo-se que o valor da cota subiu 0,116%, calcular o valor líquido resgatado. Solução: Valor do rendimento = 0,116% x 50.000,00 = 58,00 Valor do IR = 10% x 58,00 = 5,80 Valor líquido resgatado = 50.000,00 + 58,00 - 5,80 = Valor líquido resgatado = 50.052,20 AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO Engenharia econômica é o estudo dos métodos e técni- cas usados para a análise econômico-financeira de investimentos. Esses métodos e técnicas devem ser baseados cientificamente e encontram na matemática financeira as suas justificativas. A necessidade de analisar investimentos propõe os problemas, a engenharia econômica apresenta as técnicas de solução e a matemática financeira justifica essas técnicas. A análise de investimentos compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos para escolha do melhor, mas também a análise de um único investimento com a finalidade de se julgar de seu interesse ou não. Na análise de investimentos só serão levados em conta CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 54 os fatores quantificáveis, isto é, que puderem ser expressos em unidades de capital. Se fatores não quantificáveis vão influir na tomada de decisão, essa análise n não pode- rá ser feita com um estudo matemático. Assim, na escolha entre dois equipamentos para aquisição de um deles, por exemplo, não teria sentido uma análise matemática que envolvesse preços, capacidade de produção, custos operacionais, durabilidade etc., se a pretensão é adquirir o mais estético ou o de menor porte. Também não tem sentido analisar investimentos que não apresentam viabilidade de escolha por falta de recursos financeiros ou de quaisquer outras condições. Quando apenas um investimento é analisado para que se estude a sua rentabilidade, costuma-se fazer uma com- paração entre a sua taxa de renda e uma taxa ideal, isto é, aquela que o investidor estabelece como sendo a taxa mínima de renda para que o investimento seja considerado atraente do ponto de vista financeiro. Essa taxa ideal se chama taxa mínima de atratividade ou apenas taxa de atratividade do investidor.É comum adotar como taxa de atratividade a taxa de mercado, isto é, a taxa à qual qualquer capital pode ser aplicado sem dificuldade. MÉTODOS EXATOS DE ANALISE DE INVESTIMEN- TOS Existem muitos métodos para análise de investimentos, mas apenas os chamados métodos exatos são dignos de credibilidade, pois apenas estes se baseiam nos princípios de equivalência de capitais. São eles: o método do valor presente líquido, o método do valor periódico uniforme e o método da taxa interna de cetorno. Esses três métodos são equivalentes e, se forem aplicados com propriedade, conduzirão ao mesmo resultado. Dependendo do tipo de análise que se quer fazer, pode acontecer de um dos métodos ser mais apropriado do que os outros ou simplesmente mais cômodo por envolver menos cálculos. Algumas observações que serão feitas e a prática indicarão como fazer essa escolha. Método do valor presente líquido O método do valor presente líquido, ou, simplesmente, método do valor presente, consiste em calcular o valor presente líquido NPV do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento que está sendo analisado, usando a taxa de atratividade do investidor. Se o valor encontrado NPV for zero, significa que a taxa i de renda do investimento coincide exatamente com a taxa ia de atratividade que foi utilizada. Se o valor encontrado NPV for positivo, esse valor representa o quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa ia isto é, significa que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa de atratividade. Neste caso, o investimento analisado interessa ao investidor. Se o valor encontrado NPV for negativo, esse valor representa o quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda desejada, isto é, significa que a taxa de renda que o investimento porporciona é menor que a taxa de atratividade. Neste caso, o investimento analisado não interessa ao investidor. Resumindo: NPV = 0 ¬ i = ia NPV > 0 ¬ i > ia NPV < 0 ¬ i < ia Quando vários investimentos estão sendo analisados, pode ocorrer que todos eles sejam interessantes ou que todos eles sejam desinteressantes ou que alguns sejam interessantes e outros não. Em qualquer dos casos, o investimento mais interessante é aquele que apresenta o maior NPV. É claro que, se o problema é comparar custos de em- préstimos, serviços ou equipamentos, a melhor alternativa é aquela que apresenta o menor NPV, isto é, a que tem a menor taxa de custo. Exemplo 1: Numa época em que a taxa de mercado é 6,2% a.m., qual é o melhor retorno para uma aplicação de R$ 500.000,00: receber R$ 700.000,00 no fim de seis meses, receber duas parcelas trimestrais de R$ 330.000,00, receber três parcelas bimestrais de R$ 210.000,00 ou receber seis parcelas mensais de R$ 100.000,00? Solução: 1.ª alternativa: NPV = 700.000 (1 +O,062) 6 - 500.000 = - 12.077,39 2.ª alternativa: NPV = 330.000 19777 , 0 1,19777 - 1 2 - 500.000 = 5.532,57 3.ª alternativa: NPV = 210.000 0,127844 1,127844 - 1 -3 - 500.000 = - 2.337,08 4.ª alternativa: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 55 NPV = 100.000 0,062 1,062 - 1 -6 - 500.000 = - 11.342,41 Resposta: A melhor alternativa é a segunda. (E a única em que a taxa de rendimento é maior que a taxa de atratividade.) E preciso algum cuidado no uso desse método do valor presente, pois, quando as alternativas têm vidas diferentes, não se podem tirar conclusões sem antes analisar se essas alternativas podem ou não ser renovadas nas mesmas condições. Se isso for possível, os investimentos devem, então, ser repetidos, tomando-se, como vida de todos, um múltiplo comum do número de períodos das vidas de cada um. Veja-se o exemplo a seguir. Exemplo 2: Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e para isso está analisando dois tipos. O tipo A tem vida útil de dois anos, custa R$ 150.000,00 e dá um lucro mensal de ‗R$ 12.000,00. O tipo 6 tem vida útil de três anos, um custo de R$ 180.000,00 e dá um lucro de R$ 14.000,00. Ambos têm valor residual nulo. Qual o equipamento que deve ser adquirido se a taxa de atratividade é de 5% a.m.? Solução: Esses investimentos podem ser repetidos, pois se supre que, terminada a vida útil do equipamento, a empresa poderá adquirir um novo. Toma-se o menor múltiplo comum entre 2 e 3:6. Considera-se o equipamento A repetido três vezes e o equipamento B repetido duas vezes. Consi- derando a repetição, tem-se os diagramas: NPVA = 232.485,46 - 210.931,50 = 21.913,96 NPVB = 271.653,04 - 211.078,33 = 60.574,71 Resposta: A segunda alternativa é melhor. O método do valor presente pode ser aplicado à análise de investimentos cujos capitais iniciais são diferentes. O método é válido nesse caso, porque, se a diferença desses valores for considerada como um investimento adicional ou investimento incremental, e for aplicada à taxa de atratividade, seu valor presente líquido, calculado com essa mesma taxa, será nulo. Portanto, se esse investimento incremental for acrescentado ao investimento de menor capital inicial, em nada afetará o NPV desse investimento. Exemplo 3: Considerar, no exemplo 2, um investimento incremental de R$ 30.000,00, para ser acrescentado à alternativa A, como se fosse um capital aplicado à taxa de atratividade de 5% a.m. e verificar se o valor presente líquido é o mesmo. Solução: Acrescentando esse investimento incremental à alternativa A, tem-se o seguinte diagrama: NPV = 232.845,46 + 42.186,30 - 253.117,80 = 21.913,96 Resposta: Sim, é o mesmo. Método do valor periódico uniforme O método do valor periódico uniforme consiste em calcular o termo VPU da renda imediata que seja equivalente ao fluxo de caixa do investimento analisado, usando a taxa CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 56 de atratividade do investidor. Esse termo representa o custo periódico ou a receita periódica desse investimento e, quando são comparados vários investimentos, deve-se optar por aquele que apresenta o menor custo periódico ou a maior receita periódica. Esse custo periódico ou receita periódica calculados podem eventualmente ser o custo anual ou a receita anual. Daí o motivo de ser esse método conhecido também pelos nomes de método do valor anual uniforme ou método do custo anual uniforme, nomes que não se aplicam bem ao caso geral. Exemplo 4: Uma indústria de brinquedos costuma comprar certa peça de uma firma que a fornece. Vê, agora, possibilidade de adquirir uma máquina com a qual essa peça poderá ser fabricada na própria indústria. Deve, então, estudar as vantagens e desvantagens da aquisição e os dados para esse estudo são os seguintes: se continuar usando os serviços da firma que já os prestava, terá um gasto de R$ 5.800,00 por mês. Se adquirir a máquina, terá custo inicial de R$ 55.000,00 e gastos operacionais anuais de R$ 18.000,00. A vida útil da máquina é de três anos, no final da qual terá um valor residual de R$ 8.000,00. Qual deve ser a opção da indústria se a taxa de mercado está em torno de 7% a.m.? Solução: Alternativa A (comprar a peça): Alternativa B (fabricar a peça): Resposta: É melhor comprar a máquina e fabricar a pe- ça (o custo será menor). O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para comparar investimentos de vidas diferentes que podem ser repetidos, uma vez que a comparação não é feita pelo valor total, mas pelo valor periódico que, com repeti- ção ou sem repetição, é o mesmo. Mas se os investimentos não podem ser repetidos, para a alternativa que apresenta a vida mais curta, deve-se considerar, no período incremental, os recursos aplicados à taxa de atratividade. O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para analisar investimentos com capitais iniciais diferentes, pois, da mesma forma que ocorreu com o método do valor presente líquido, se for considerado um investimento incremental aplicado à taxa de atratividade, o valor periódico uniforme desse investimento será nulo. Os exemplos a seguir esclarecem essas afirmações: Exemplo 5: Os diagramas a seguir representam dois investimentos, A e 6, para escolha de um investidor. Analisar qual é a melhor opção com a taxa de atratividade de 10% a.m., supondo que os investimentos possam ser repetidos. Solução: Alternativa A: Alternativa B: Resposta: A melhor opção é a alternativa A. Exemplo 6: Mostrar que, se o investimento A do exemplo 5 for repetido para ter a mesma vida de quatro anos do investimento 8, o diagrama ficará alterado, mas o VPU será o mesmo. Solução: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 57 VPU = 80.000 - 57.619,04 = 22.380,95 Exemplo 7: Considerar os mesmos investimentos do exemplo 5 e analisar qual o melhor com a mesma taxa de atratividade de 1 0% a.m. supondo, agora, que os investimentos não possam ser repetidos. Solução: Nesse caso, deve-se calcular o valor presente líquido NPV do investimento A e ―distribuí-lo‖ uniformemente pelos quatro anos (dois anos do investimento A e dois anos do investimento incremental) com a taxa de atratividade de 10% a.m. O investimento 6 não sofre alteração. Resposta: A melhor opção é a alternativa B. Exemplo 8: Considerar, ainda, os mesmos investimentos do exemplo 5, acrescentar em A um investimento incrementa de R$ 50.000,00 aplicado à taxa de atratividade de 10% a.m., fazer o novo diagrama do investimento total e mostrar que o valor periódico uniforme não se altera. Solução: Método da taxa interna de retomo O método da taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento que está sendo analisado. Essa taxa é chamada taxa interna de retorno do investimento e é indicada por IRR. Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno é maior que ou igual à taxa de atratividade do investidor ia. Se vários investimentos são comparados, o melhor é o que tem a maior taxa interna de retorno. Se são emprésti- mos que estão sendo analisados, o melhor é o que tem a menor taxa interna de retorno. Exemplo 9: Um investidor aplicou um capital de R$ 650.000,00 e recebeu rendimentos parcelados conforme o diagrama a seguir: Qual a taxa interna de retorno desse investimento? Solução: A taxa i que anula o valor presente liquido desse fluxo de caixa é a taxa que torna verdadeira a igualdade: 160.000(1 + i) -3 + 160.000 (1 + i) -4 + 200.000(1 + i) - 6 + 490 000(1 + i) -9 = 650.000 e que não pode ser calculada algebricamente. Deve, então, ser calculada por ensaio e erro. Tenta-se uma taxa, se possível, com valor provável. A partir dela, fazem-se aproximações sucessivas até que se chegue a valores próximos. Finalmente, calcula-se a taxa por proporção, com o auxílio de uma regra de três: O valor presente líquido positivo significa que a taxa do investimento é maior que 5% a.m. Tenta-se, então, uma taxa maior. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 58 A taxa de 6% a.m. ainda é baixa. Tenta-se 7% a.m. e obtém-se NPV = 2.466,86. O valor encontrado para NPV já está bem baixo em re- lação aos dados do problema; deve-se tentar taxas mais próximas, pois, quanto mais próximas as taxas, melhor será o resultado em sua aproximação. Tenta-se 7,1% e obtém-se NPV = - 1.330,12,0 que mostra que 7,1% já ultrapassa a taxa interna de retorno i. Relacionando os valores obtidos, calcula-se da seguinte forma: Resposta: A taxa interna de retorno do investimento é 7,065% a.m. Quando se comparam, pelo método da taxa interna de retorno, dois investimentos com capitais iniciais diferentes, é necessário que se considere, para o investimento que tem o capital inicial menor, um investimento incremental aplicado à taxa de atratividade. A taxa interna de retorno do investimento total (original mais incremental) terá um valor intermediário entre a taxa de atratividade e a taxa interna de retorno do investimento original. Exemplo 10. Um investidor tem duas alternativas para uma aplicação de capital durante um ano. A primeira requer um capital inicial de R$ 100.000,00 e tem retornos mensais de R$ 18.000,00 e a segunda requer um capital inicial de R$ 150.000,00 e tem retornos trimestrais de R$ 85.000,00. Qual a melhor aplicação numa época em que a taxa de mercado é 8% a.m.? Solução: Sem considerar o investimento incremental, tem-se: A análise feita sem levar em consideração o investimento incremental faria com que o investidor optasse pela primeira alternativa. No entanto, deve-se observar que, ao optar pela primeira alternativa, o investidor deixa de aplicar os R$ 50.000,00, diferença entre os dois investimentos, que serão aplicados à taxa de mercado de 8% a.m., com o seguinte retorno final: A seguir apresenta-se o investimento total (inicial mais incremental) representado em diagrama e o cálculo da sua taxa interna de retorno: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 59 Resposta: O melhor investimento é o segundo, com taxa interna de retorno igual a 12,71% a.m. O método da taxa interna de retorno deve ser usado com restrições quando o fluxo de caixa tem mais de uma inversão de sinal de entradas e saídas. Esses fluxos de caixa podem não ter solução para taxa interna de retorno ou ter múltiplas soluções. O exemplo seguinte mostra um fluxo de caixa que tem duas taxas internas de retorno: Exemplo 11: Mostre que o fluxo de caixa, representado a seguir, se anula para as taxas de 10% a.a. e 1.000% a.a. Solução: A título de orientação sobre a escolha de que método usar em cada caso, são reproduzidas, no quadro a seguir, as restrições que cada método oferece, para que se escolha, sempre que possível, o método que não oferece restri- ções ao caso que se quer analisar: Solução: CASOS + MÉTO- DOS ÷ NPV VPU lRR vidas diferentes repetí- veis REPE- TIR - - não repetir - CONSIDE- RAR PERÍO- DO INCRE- MENTAL - capitais iniciais diferentes - - CONSIDE- RAR INVES- TIMENTOIN- CREMENTAL fluxo com mais de uma mudança de sinal - - PODE NÃO TER OU TER MAIS DE UMA SOLU- ÇÃO USO DA CALCULADORA As calculadoras HP-12C, EL-533 e BA-54 têm teclas próprias para calcular o valor presente líquido (net present value) NPV e a taxa interna de retorno (interneI rate of return) IRR. São as seguintes: Em qualquer das calculadoras, devem ser introduzidos o fluxo de caixa do investimento que se quer analisar e a taxa de atratividade do investidor; após isso, as teclas NPV e IRA fornecem, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno do investimento. A introdução do fluxo de caixa nas calculadoras se faz da seguinte forma: HP—12C: A taxa de atratividade é introduzida atra- vés da tecla i ; o valor que está no foco zero é introduzido através da tecla CFo e os demais valores são introduzidos, pela ordem, através da tecla CFj . Quando n valores sucessivos são iguais, basta introduzir o primeiro deles na tecla CFj e, em seguida, digitar n N j EL -633: A taxa de atratividade é introduzida atra- vés da tecla i e os valores são introduzidos, pela ordem, através da tecla CFi . Quando n valores sucessivos são iguais, basta digitar n N i e, em seguida, introduzir o primeiro deles atra- vés da tecla CFi . BA-54: A taxa de atratividade é introduzida atra- vés da tecla i ; o valor que está no foco zero é introduzido através da tecla PV e os m demais valores são introduzidos, pela ordem, nas memórias, através das teclas STO 1, STO 2, ..., STO m. Quan- do n valores sucessivos são iguais, basta introduzir o primeiro deles e, em seguida, digitar Frq n e introduzir na mesma me- mória em que foi introduzido o valor correspondente a essa freqüência. Em todas essas calculadoras, quando os valores que compõem o fluxo de caixa são sardas, eles devem ser introduzidos com o sinal negativo e, para os períodos sem valor, devem ser introduzidos zeros. A taxa de atratividade só precisa ser introduzida quando se quer calcular NPV, não sendo necessária sua introdução para o cálculo de IRR. Todas essas calculadoras têm limites para o número de entradas de valores diferentes e também para a freqüência de valores iguais. Esses limites são os seguintes para cada uma delas: HP-12C; 20 valores diferentes com freqüência até 99. EL -533: 20 valores diferentes com freqüência até 99. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 60 BA-54: 10 valores diferentes com freqüência até 999. Exemplo 12: Calcular o NPV com taxa de 15% a.m. e a taxa interna de retorno do investimento cujo fluxo de caixa tem o seguinte diagrama: Solução: Resposta: O valor presente líquido é 5.479,11 e a taxa interna de retorno é 17,72% a. m. Exemplo 13: Calcular as duas taxas internas de retorno do investimento do exemplo 11. Solução: As taxas internas de retorno desse investimento podem ser calculadas com o auxílio da HP -12C. Quando se procede normalmente, introduzindo o fluxo de caixa nessa calculadora e solicitando a taxa interna de retorno, aparece no visor uma mensagem de erro. Introduz-se, então, uma taxa provável, que se supre próxima da resposta e, em seguida, digita-se RCL g R/S. Repetindo-se esse procedimento, é possível obter cada resposta: Resposta: As taxas são 10% a.a. e 1.000% a.a. EXERCÍCIOS 01. Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e deve escolher entre duas marcas com as seguintes características e previsões: Equipamen- to A Equipamen- to B Custo inicial 28.000.000 23.000.000 Valor venal após cinco anos de uso 12.000.000 3.000.000 Custo operacional anual 4.000.000 3.000.000 Receita adicional anual 12.000.000 10.000.000 Determine a melhor alternativa com taxa de atratividade de 20% a.a. Pelo método do valor presente líquido. Pelo método do valor anual uniforme. Pelo método da taxa interna de retorno (neste caso, deve ser considerado, na segunda alternativa, um investimento incremental de 5.000.000 colocado a 20% a.a.). 02. No início de 1985, uma pessoa fez um depósito de R$ 150.000,00 numa Caderneta de Poupança que pagou 0,5% a.m. de juros e atualizações monetá- rias mensais que atingiram no ano a taxa acumulada de 228%. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital e resgatasse mensalmente R$ 23.100,00 durante um ano? 03. Qual a melhor forma de receber o retorno de um investimento de R$ 10 milhões, aplicado por um ano: um pagamento final de R$ 13.000.000,00, dois pagamentos semestrais de R$ 6.200.000,00 cada um ou doze pagamentos mensais de R$ 950.000,00 cada um? Justifique. 04. Uma empresa paga R$ 600.000,00 por mês para uma companhia transportadora fazer as entregas de seus produtos. Está, agora, estudando a compra de um caminhão por R$ 15.000.000,00, calculando que daqui a cinco anos ele poderá ser vendido por R$ 2.000.000,00 e que seu dispêndio a- nual será de R$ 3.600.000,00. a) Usando a taxa de 15% a.a., estude, pelo método CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 61 do valor presente, se será vantajoso a compra do caminhão ou se será melhor continuar usando os serviços da transportadora. b) Calcule, com a mesma taxa de 15% a.a., os custos anuais de transporte em cada caso. 05. Fui comprar um aparelho de televisão cujo preço a vista é R$ 98.960,00. A loja exibe uma propaganda oferecendo esse aparelho com uma entrada de R$ 10.000,00 e 12 pagamentos mensais de R$ 9.160,00. Numa época em que as taxas giram em torno de 2% a.m., é mais vantajoso comprar essa IV a vista ou a prazo? 06. Uma pessoa tinha um capital de R$ 11.000.000,00 e o empregou na compra de um apartamento que ficou dois meses fechado, dando despesas de R$ 21.300,00 por mês. A partir do início do terceiro mês conseguiu alugá-lo por R$ 80.000,00 pagos no início de cada mês. Um ano após a compra, vendeu-o para o inquilino por R$ 30.000.000,00, quantia livre de despesas. Teria feito melhor ne- gócio se aplicasse seu capital durante esse ano a 8,8% a.m.? Justifique. 07. Calcule, com a taxa de 3% a.m., o custo mensal de um equipamento que foi adquirido por R$ 100.000,00, teve um custo operacional mensal de R$ 3.500,00 e foi avaliado em R$ 80.000,00 após um ano de uso. 08. Um capitalista investiu R$ 2.800.000,00 na insta- lação de uma pequena loja. Suas despesas mensais, durante um ano foram de R$ 180.000,00 de aluguel e R$ 120.000,00 para uma pessoa tomar conta do negócio. No final desse ano, passou o ponto para um comerciante interessado, tendo recebido R$ 3.000.000,00 pela transferência. Duran- te esse ano, sua receita líquida mensal foi de R$ 400.000,00 nos seis primeiros meses e R$ 600.000,00 nos seis últimos meses. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital a 7% a.m., que era a taxa de mercado na época? 09. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 30.000,00 e três pagamentos de R$ 20.000,00 cada um, realizados no fim de três, quatro e circo meses, respectivamente. Calcule o custo anual dessa máquina à taxa de 20% a.a., sabendo que no fim de três anos ela poderá ser vendida por R$ 40.000,00. 10. Uma firma adquiriu um novo equipamento por R$ 45.000.000, prevendo que seu valor residual após dois anos de uso será R$ 30.000.000. O uso desse equipamento vai aumentar de R$ 6.500.000 a receita mensal da firma e de R$ 1.500.000 o custo mensal. Represente essa situação com um diagrama de fluxo de caixa e calcule o valor mensal uniforme (lucro líquido mensal) com a taxa de 2% a.m., considerando ainda um imposto de renda de 25% calculado sobre lucro menos depreciação. Para efeito de IR, tanto o lucro quanto a deprecia- ção são também calculados linearmente, isto é, La = 12 (65.000.000 - 1.500.000) e Da = 2 30.000.000 - 45.000.000 Uma empresa fabrica e vende determinada peça que pode ser produzida pela máquina A ou pela máquina B que estão sendo analisadas para compra por essa empresa. Foram obtidos os seguintes dados: Máquina A Máquina B Custo inicial 80.000 120.000 Valor residual após cinco anos 20.000 35.000 Gasto anual de manutenção 6.000 8.000 Gasto anual de energia 1.000 800 Número de operadores 2 1 Preço/hora da mão-de-obra de cada operador 10 25 Tempo de execução da peça 60 mm. 40 mm. Sabe-se, ainda, que cada peça tem um custo de 30 de matéria-prima e pode ser vendida a 70; as máquinas trabalharão 2.200 horas por ano, a taxa de atratividade do empresário é 30% a.a. e o Im- posto de Renda (calculado sobre lucro menos de- preciação) é de 30%, pago anualmente. Supondo que, no caso da compra da máquina A, o empre- sário investe os 40 mil restantes à taxa de 30% a.a., determine o melhor investimento por qualquer método. 11. Uma pessoa está estudando a compra de um terreno para explorar um estacionamento de carros. Prevê uma renda mensal de R$ 1.200.000 e despesas anuais de R$ 2.500.000. Terá ainda uma despesa inicial de R$ 1.500.000 que serão gastos com equipamentos de valor residual nulo após três anos. Quanto o investidor estará disposto a pagar pelo terreno se sua taxa de atratividade é de 5% a.m. e se o terreno poderá ser vendido por R$ 50.000.000 no fim de três anos? 12. Um motorista tem uma renda liquida mensal de R$ 250.000,00 com seu táxi e sabe que poderá vendê-lo daqui a um ano por R$ 1 .500.000,00. Poderá também vendê-lo já e aplicar o capital a- purado a 8,9% a.m. durante um ano, com renda mensal. Um seu amigo deseja comprar o carro e tem capital suficiente empregado a 160% a.a. Qual o preço que poderá ser atrativo a ambos? 13. Uma estrada foi construída por R$ 8,6 milhões o km e requer um custo anual de manutenção de R$ 1,5 milhões por km. Para construir essa estrada, o Governo emitiu bônus que produzirão juros de 5% ao trimestre e a taxa de pedágio foi fixada em R$ 12 por km. Qual o número mínimo de veículos que deverão utilizar-se dessa estrada mensalmente para que o investimento se auto financie em um ano? CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 62 14. Um equipamento foi adquirido por uma indústria com três pagamentos semestrais antecipados de R$ 3.000.000,00. No fim de dois anos foi vendido por R$ 2.000.000,00. Durante esse tempo, o lucro da indústria teve um aumento mensal de R$ 450.000,00. a) A taxa interna de retorno desse investimento é maior ou menor que 5% a.m.? b) Determine a taxa interna de retorno. 15. Usando a taxa de 10% a.a., calcule o valor de x para que o valor presente líquido do fluxo abaixo seja nulo: 16. Calcule o valor de x no diagrama abaixo, para que a taxa interna de retorno seja de 10% a.a.: 17. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, calcule: a) O valor presente liquido, usando a taxa de 5% a.m. b) O valor mensal, com essa mesma taxa de 5% a.m. c) Se a taxa que anula o valor presente líquido é maior ou menor que 5% a.m. 18. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo: a) Calcule seu valor presente líquido usando a taxa de 5,5% a.m. b) Sabendo que o valor presente líquido com a taxa de 6% a.m. é de - 1.126,59, calcule a taxa que o anula (taxa interna de retorno). 19. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, determine: a) Seu valor presente líquido com taxa de 8% a.s. b) Sua taxa interna de retorno. RESPOSTAS 1. a) Equipamento A, pois NPVA = 747.427,98 eNPVB - 860.082,30. b) Equipamento A, pois VPUA = 249.924,75 e VPUB - 287.594,06. c) Equipamento A, pois iA = 21,05% a.a. e = 18,83% a.a. 2. Teria, pois a taxa da CP foi de 10,96% a.m. e a outra foi de 11% a.m. 3. Em dois pagamentos (as taxas mensais são 2,21%, 2,45% e 2,08%, respectivamente). 4. a) É melhor continuar usando os serviços da transportadora, pois NPVT = 25.752.974,63 e NPVC = 26.073.404,88. b) VPUT = 7.682.512,85 e VPUC = 7.778.102,18 5. É melhor comprar a vista, pois a taxa da loja é maior que 2% a.m. (i = 3,42% a.m.) (ou: as pres- tações seriam de R$ 8.412,02). 6. Não, pois NPV = 342.213,82 com i = 8,8% a.m., o que indica taxa maior que 8,8% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de 9,08% a.m.). 7. R$ 7.909,24 8. Sim, pois NPV = - 38.466,16, negativo, o que indica taxa menor que 7% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de 6,85% a.m.). 9. R$ 30.058,82 10. VPU = 2.628.338,84 11. A segunda alternativa é melhor. Pelo método do valor presente líquido, NPVA - 2.764,11 e NPV6 = 18.122,02. Pelo método do valor periódico uniforme, VPUA —1.134,89 e VPU8 7.440,57. Pelo mé- CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 63 todo da taxa interna de retorno, iA = 29,1% a.a. e iB 37,2% a.a. 12. R$ 24.390.185,92 13. Ë o preço P, tal que 2.338.443,55 < P < 2.433.131,40. 14. 75.787 carros 15. a) Menor que 5% a.m., pois NPV = - 79.633,82 < 0 b) 4,82% a.m. 16. x = 376,61 17. x = 214,36 18. a) - 26.408,32 b) - 3.420 c) Menor 19. a) 785,37 b) 5,70% a.m. 20. a) - 22.112,19 b) 7,38% a.s. AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVA DE INVESTIMENTO Toda e qualquer instituição tem como propósito crescer, ampliar seu raio de ação ou conquistar novos espaços. Para tanto necessita de investimentos, realizar ações que possibilite o crescimento. Mas como investir no mundo de incertezas e flutuações? São perguntas que necessitam de respostas precisas, pois nenhum centavo investido pode ser perdido, é a lógica da sociedade capitalista e do mundo empresarial. Mas o que se entende por investimento? Muitos consideram as aplicações financeiras como tal, outros não, consideram, as aplicações financeiras como apenas uma forma de poupança. Para os objetivos deste nosso estudo adotaremos como investimento, toda e qualquer ação da empresa que eleve sua capacidade produtiva. Desde a aquisição de novos equipamentos até um treinamento de pessoal, consideramos como alternativas de investimento. TIPOS DE INVESTIMENTO. -Compra de novos equipamentos. -Substituição de um equipamento por outro. -Campanha publicitária. -Informatização do controle de produção. -Compra de patente sobre processo de produção. -Construção de uma nova fabrica. -Lançamento de novos produtos. -Ampliação de unidade de produção. -Implantação de programa de qualidade. -Treinamento de pessoal. Cada decisão de investimento deve ser acompanhada por um projeto especifico, definindo todos os passos para implantação. O primeiro passo e mais importante, pois tem a finalidade de quantificar as necessidades de recursos, é a elaboração do fluxo de caixa, a determinação das entradas e saídas de recursos do projeto. Esta etapa é decisiva, pois uma projeção errada da entrada ou saída dos recursos, altera definitivamente a analise do projeto. MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA. Na projeção do fluxo de caixa, deve-se considerar apenas as entradas e saídas de recursos relacionados especificamente com o projeto em observação, não podendo de forma alguma computar valores relacionados com outros projetos, isto alteraria positivamente ou negativamente as entradas ou saídas. As entradas e saídas não devem corresponder especificamente com os valores contábeis, muitos destes valores são apenas registros e não entrada ou saída de recursos. O resultado por período deve ser considerado após o calculo do Imposto de Renda, pois o mesmo representa uma saída de recursos. Não se deve considerar as despesas financeiras, como pagamento de juros. Tais despesas são opcionais e não estão diretamente relacionadas como o projeto, a opção de financiamento é uma decisão pessoal e não uma necessidade do projeto. TIPOS DE FLUXO DE CAIXA. 1- Despesas de investimento. Compreende os gastos que serão incorporados ao ativo fixo da empresa.(maquinas, equipamentos e etc.). 2- Despesas operacionais. Custos necessários ao funcionamento normal do que esteja previsto no projeto em cada período. 3- Receitas Operacionais. Decorrentes das vendas de produtos ou serviços, da execução do projeto. 4- Receitas eventuais. Possível liquidação do investimen- to, ou seja, valor residual. EXEMPLO DE PROJETO. Uma empresa do ramo de calçados, resolve lançar um novo produto no mercado. Caso isto ocorra o novo produto terá vida útil de 5 anos, após o que será retirado de produ- ção. EFEITOS ORIGINADOS PELO LANÇAMENTO DO NOVO PRODUTO. DESPESAS CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 64 Elevação nos custos dos produtos vendidos pela empresa, incluindo depreciação de R$ 20.000,00 R$ 150.000,00 Despesas administrativas, incluindo atribuição de R$ 15.000,00 de outros produtos vendidos pela empresa e demais departamentos já existentes. R$ 30.000,00 Compra de maquinas e equipamentos R$ 200.000,00 Investimento adicional em contas a receber R$ 25.000,00 Redução da margem de contribui- ção dos outros produtos. R$ 5.000,00 RECEITAS Primeiro ano R$ 190.000,00 Segundo ano R$ 230.000,00 Terceiro ano R$ 350.000,00 Quarto ano R$ 270.000,00 Quinto ano R$ 220.000,00 OBS. Supõe-se que ao final do quinto ano, quando terminara a vida útil do produto, restara uma receita residual de R$ 85.000,00. MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA. Primeiro passo. Identificação das despesas e receitas do projeto. DESPESAS. Despesas de investimento. Compra de equipamentos R$ 200.000,00 Investimento em contas a receber R$ 25.000,00 Despesas operacionais. Custos dos produtos vendidos R$ 150.000,00 Despesas administrativas. R$ 15.000,00 Redução da margem. R$ 5.000,00 RECEITAS Primeiro ano R$ 190.000,00 Segundo ano R$ 230.000,00 Terceiro ano R$ 350.000,00 Quarto ano R$ 270.000,00 Quinto ano R$ 220.000,00 Valor Residual R$ 85.000,00 FLUXO DE CAIXA ANO1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 ANO 5 Receita de vendas 190.000 230.000 350.000 270.000 220.000 Custos dos produtos vendidos 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000 Despesas administrativas 15.000 15.000 15.000 15.000 15.000 Redução da margem 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 Lucro Liquido Antes do I.R. 20.000 60.000 180.000 100.000 50.000 Imposto de Renda 7.000 21.000 63.000 35.000 17.500 Lucro liquido depois do Imposto de renda 13.000 39.000 117.000 65.000 32.500 Depreciação 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 Entrada Liqui- da 33.000 59.000 137.000 85.000 52.500 METODOS DE ANALISE 1) PAY-BACK. Período de recuperação do Investimento. 2) T.M.R. Taxa Média de Retorno. 3) Valor Presente Liquido. 4) Taxa Interna de Retorno. 5) Índice de Rentabilidade. Métodos de Fluxo de Caixa Descontado. 3, 4 e 5. Métodos de Fluxo de Caixa Não Descontado. 1 e 2. PAYBACK - Período de recuperação do investimento. É talvez o método mais simples e fácil de avaliação, é definido como sendo o numero de meses ou anos em que o investimento inicial é recuperado. Em termos técnicos, é o espaço de tempo em que o fluxo de caixa acumulado CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 65 torna-se positivo. Embora seja um método pratico e fácil, tem como deficiência, não levar em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo, sendo desta forma um método de fluxo não descontado. Período Fluxo de Caixa no Período Fluxos Acumu- lados 0 -225.000,00 -225.000,00 1 +33.000,00 -192.000,00 2 +59.000,00 -133.000,00 3 +137.000,00 +4.000,00 4 +85.000,00 +89.000,00 5 +137.500,00 +226.500,00 Podemos observar que a recuperação do investimento inicial, se dá no terceiro ano, mas em mês deste ano? O período exato pode ser calculado da seguinte forma: Período = Fluxo acumulado anterior ao período que ocorre a recuperação x 12 / Fluxo de caixa do período que ocorre a recuperação. Período = 133.000,00 x 12 / 137.000,00 = 11,64. Desta forma a recuperação se dá no 11 o mês do terceiro ano e o Payback em dois anos e onze meses. Payback = 2.11 2- A TAXA MÉDIA DE RETORNO - T.M.R. Este método também não leva em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo, fornece a recuperação média do capital investido. Etapas da T.M.R. Determinação do fluxo liquido médio, dividindo-se o fluxo liquido total pelo numero de períodos; Dividir o fluxo liquido médio pelo investimento inicial. Fluxo liquido total 451.500,00 Períodos 5 Fluxo Liquido médio 90.300,00 Investimento Inicial 225.000,00 T.M.R 0,4013 ( 40.13%) 3- O VALOR PRESENTE LIQUIDO - VPL V.P.L. = V.P.E – V.P.S. V.P.E. = Valor Presente das Entradas V.P.S. = Valor Presente das Saídas. V.P. = V.F./ (1 + i ) V.P.E. = VP1 + VP2 + VP 3 + VP4 + VP5 n VP1 = VF1/(1+ i) VP1 = 33.000 / 1.10 = 30.000 Seguindo este modelo teremos: Vp2 = 48.760,33 VP3 = 102.930,12 VP4 = 58.060,10 VP5 = 85.350,71 VPE = 325.123.28 VPS = 225.000,00 VPL = 100.123.28 A TAXA INTERNA DE RETORNO. É a taxa que igual a o VPE ao VPS, tornando o VPL igual a zero. Por tentativa já que, a uma taxa de 10%, encontramos um VPL = 100.123.28, utilizando taxas maiores chegaremos a 23.07%, como sendo a taxa em que o VPE = VPS. Esta taxa deverá ser confrontada ao custo de capital da empresa, o projeto deverá ser aceito, enquanto a TIR superar o custo de capital. ÍNDICE DE RENTABILIDADE. Serve como comparação entre o VPE e o VPS. I.R.= V.P.E / V.P.S. SANVICENTE, Antonio Zoratto TAXA INTERNA DE RETORNO A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 66 com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos, significa a taxa de retorno de um projeto. Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver umaTMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja "tentativa e erro", ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo. A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo. A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:  Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo.  Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.  Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno. Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento. A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto. Método Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação: A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores). A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva. Quando a TIR calculada é superior à taxa efetiva de reinvestimento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, às vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equivalente ao do projeto de investimento. Exemplo Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros: Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20% Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado. Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor. Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os casos de alteração freqüente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER). Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesquisas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins. Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 67 RETORNO SOBRE INVESTIMENTO Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Em finanças, retorno sobre investimento (em inglês, return on investment ou ROI), também chamado taxa de retorno (em inglês, rate of return ou ROR),taxa de lucro ou simplesmente retorno, é a relação entre o dinheiro ganho ou perdido através de um investimento, e o montante de dinheiro investido. Existem três formulações possíveis de taxa de retorno, são elas:  retorno efectivo;  retorno exigido e;  retorno previsto. O retorno efectivo serve como medida de avaliação do desempenho de um investimento, aferido a posteriori. O retorno previsto serve como medida ex ante do desempenho de um investimento; é a sua taxa implícita ou interna de retorno, aquela que iguala o valor do investimento do seu preço ou custo. A taxa de retorno exigida é a que permite determinar o valor de um investimento. De facto, o valor de um investimento é o equivalente actual dos seus cashflowsfuturos, sendo estes convertidos em equivalente actual (ou actualizados) justamente à taxa de retorno exigida. Assenta na ideia de que qualquer investimento deve proporcionar uma taxa de retorno igual a uma taxa sem risco acrescida de um prémio de risco função do grau de incerteza que afecta os cash-flows futuros do investimento. A taxa de retorno prevista é função do preço (ou custo) do investimento e do fluxo de cash-flows futuros atribuíveis ao investimento. Sendo incertos estes cash-flows, resulta que a taxa de retorno prevista é também incerta, apresentando-se mesmo como uma variável aleatória. Aqui reside o seu risco, que terá que ser medido, para ser tido em conta na estimação dos prémios de risco a incluir nas taxas de retorno exigidas. O montante de dinheiro ganho ou perdido pode ser referido como juros, lucros ou prejuízos, ganhos ou perdas ou ainda rendimento líquido ou perdas líquidas. O dinheiro investido pode ser referido como ativo, capital, principal ou custo básico do investimento. O ROI é geralmente expresso como percentagem A concretização das estratégias organizacionais de uma empresa está dependente da gestão adequada de projectos, programas e portfólios. Nesse sentido, a responsabilidade financeira aumenta permanentemente e a sua mensuração é obrigatória. Embora hoje, o uso desta ferramenta de análise seja generalizado a todo o tipo de investimentos, o cálculo do ROI não é contudo uma ―moda‖ recente. Já em 1920 a Harvard Business Review referia o ROI como a medida de análise essencial para conhecer o valor do resultado de investimento de capital. O seu conhecimento antecipado tem um impacto importante não só no seio da organização que gere o processo de investimento, como também junto de potenciais investidores. Para além da ―venda‖ interna e externa do projecto, é fundamental para o seu acompanhamento dando de uma forma clara o impacto no negócio face às metas pré-definidas. Metodologias de cálculo O cálculo do ROI possui diversas metodologias, algumas simples, outras nem tanto. Cada metodologia varia em função da finalidade ou do enfoque que se deseja dar ao resultado. A seguir estão algumas das mais conhecidas e facilmente encontradas em livros de Contabilidade, Economia e Finanças. ROI=(Lucro Líquido÷Vendas)×(Vendas÷Total de ativos) representa a relação entre a lucratividade e o giro dos estoques. ROI=Lucro líquido÷Total de ativos Representa o retorno que o ativo total empregado oferece. Utilizado geralmente para determinar o retorno que uma empresa dá. ROI=Lucro líquido÷Investimentos representa o retorno que determinado investimento oferece. Geralmente é utilizado para determinar o retorno de investimentos isolados. Invertendo-se a relação (ROI=Investimento÷Lucro Líquido), obtém-se o tempo necessário para se reaver o capital investido. Há também a Rentabilidade do Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Investimento Total Taxa=[(Lucro Líquido do Exercício)/(Vendas Líquidas)]*[(Vendas Líquidas)/ATM]*100=[(Lucro Líquido do Exercício)/ATM]*100 ATM=Ativo Total Médio=(Ativo Inicial+Ativo Final)/2 Chamada ―Taxa de Retorno‖ Em matéria exibida pela Rede Globo nos programas ―Jornal hoje‖ e no ―Jornal Nacional‖, os consumidores foram alertados da prática ilegal de uma cobrança conhecida por poucos, a chamada ―Taxa de Retorno‖. Essa taxa nada mais é do que uma ―comissão‖ que as instituições financeiras cobram e repassam às revendas, normalmente de veículos, que conseguem fechar o contra- to de financiamento com o cliente. Tal prática consiste na ocultação da cobrança da co- missão que é diluída nas parcelas do financiamento e o consumidor sequer toma conhecimento de sua existência e acaba sendo lesado ao beneficiar, sem saber, a revenda que acaba ―abocanhando‖ esse percentual. Vários são os entendimentos de que o pagamento da Taxa de Retorno pelo consumidor configura prática abusiva, já que os contratos não deixam claro, nem poderiam, a inclusão da cobrança nas prestações dos financiamentos. O Código de Defesa do Consumidor dispõe em seu artigo 6º que são diretos básicos do consumidor: I - ( ... ) CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 68 II - ( ... ) III – a informação adequada e clara sobre os diferentes produtos e serviços, com especificação correta de quantidade, características, composição, qualidade e preço, bem como sobre os riscos que apresentam.; (Negritei). Como visto acima a informação de preço esta plenamente amparada pelo Código de Defesa do Consumidor, valendo salientar que por ―preço‖ a de se entender pela composição discriminada de todos os valores que perfazem o importe da parcela a ser paga. O Decreto nº 5.903, de 20 de setembro de 2006, que regulamentou a Lei nº 10.962 de 11/10/04, assim preceitu- a: Art. 3o O preço de produto ou serviço deverá ser informado discriminando-se o total à vista. Parágrafo único. No caso de outorga de crédito, como nas hipóteses de financiamento ou parcelamento, deverão ser também discriminados: I - o valor total a ser pago com financiamento; II - o número, periodicidade e valor das prestações; III - os juros; e IV - os eventuais acréscimos e encargos que incidirem sobre o valor do financiamento ou parcelamento. Seguindo o preceito estabelecido na legislação acima citada, o consumidor deve, antes de firmar um contrato de financiamento, pesquisar de forma inequívoca, item a item, a composição do que perfaz o preço da parcela. Nos dias atuais, com a crise financeira mundial que vem assolando diversos setores da economia, vale lembrar que a concorrência esta cada vez mais estimulada, oferecendo ao consumidor melhores opções de preços, inclusive de financiamentos, cabendo a ele pesquisar as melhores taxas (uma a uma) antes de fechar um negócio. Consumidor, fique atento as cláusulas do contrato e demais condições, principalmente com relação à composi- ção do valor total do financiamento para que futuramente não haja necessidade de exigir seus direitos na justiça. Leia abaixo a matéria exibida pela Rede Globo no Jor- nal Nacional de 24/04/09: Uma reportagem de muita utilidade para quem pretende comprar um carro. Preste atenção, porque o mesmíssimo carro, comprado com o mesmo prazo de financiamento, exatamente com a mesma financeira, pode ter preços diferentes, dependendo do vendedor que o atender. Quem explica são os repórteres Guacira Merlin e Giovani Grizotti. Sem conseguir pagar as prestações do automóvel, Jo- ana entrou na Justiça para rediscutir a dívida. Só então descobriu as taxas embutidas no valor do financiamento. ―Tem que ser tudo esclarecido antes de pagar. Porque daí é certo que eu aceitei‖. Nem sempre o cliente tem essa escolha. Com uma câ- mera escondida, visitamos num único dia dez revendas. Pedimos um financiamento de R$ 15 mil para a compra de um carro 2006 em 36 vezes. Numa, o vendedor informou o valor de cada pagamen- to. Em outra loja, o valor, com a mesma financeira, caiu R$ 49. A diferença seria por causa da taxa de retorno, uma espécie de comissão que muitos bancos e financeiras oferecem às revendas como prêmio para quem fechar contratos. Mas o advogado Peri Fernandes Corrêa, especializado em finanças, explica que, sem saber, é o comprador quem paga o bônus. ―Não há nada errado em um banco comissionar revenda para angariar financiamento para eles. O problema é que o banco repassa o custo deste comissionamento para o consumidor‖. Um vendedor explica que a taxa de retorno é calculada pelos próprios funcionários, e fica para a loja. ―A financeira dá uma possibilidade da loja ganhar uma comissão sobre o financiamento. Eu posso usar até 0,3%, 0,4% de retorno para mim‖. Sem a cobrança do ágio, a parcela seria de R$ 593. Ele calculou também a prestação com a maior taxa de retorno: R$ 672. O comprador, que tivesse financiado R$ 15 mil, pagaria R$ 21.348 mil sem a taxa de retorno. Já com a cobrança da comissão, o total subiria para R$ 24.192. No final do contrato, o cliente pagaria R$ 2.844 a mais para a revenda. Muita gente só se dá conta desse abuso bem tempos depois, quando fica difícil manter em dia a prestação. Por isso, o Procon recomenda que o consumidor pesquise e exija que as revendas expliquem o que se está sendo cobrado em cada mensalidade. ―Qualquer taxa de retorno para a empresa que vende o carro é uma lesão ao consumidor, porque é um benefício que o consumidor está pagando que não é próprio, é para a revenda‖, explicou Adriana Burguer, coordenadora do Procon (RS). Fonte: Jornal Nacional – Edição de 24/04/09 Autor : Bueno e Costanze Advogados TABELAS TABELA 1 — CONTAGEM DOS DIAS Dia do Mês Jan. Fev Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Dias do Mês 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 69 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 275 307 337 3 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28 29 29 — 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29 30 30 — 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30 31 31 — 90 — 151 — 212 243 — 304 — 365 31 TABELA 2— DIVISORES FIXOS (Valores da expressão i 360 Δ = ano comercial e taxa anual.) Taxa (%) A Taxa(%) A Taxa (%) A 5 7200 40 900 75 480 10 3600 45 800 80 450 15 2400 50 720 85 423,53 20 1800 55 654,55 90 400 25 1440 60 600 95 378,95 30 1 200 65 553,85 100 360 35 1 028,57 70 514,29 105 342,86 TABELA 3 — JUROS SIMPLES Período diário Taxa mensal 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 1 0,0020 0,0023 0,0027 0,0030 0,0033 0,0037 0,0040 0,0043 2 0,0040 0,0047 0,0053 0,0060 0,0067 0.0073 0.0080 0,0087 3 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,0100 0.0110 0,0120 0,0130 4 0,0080 0,0093 0,0107 0,0120 0,0133 0,0147 0,0160 0,0173 5 0,0100 0,0117 0,0133 0,0150 0,0167 0,0183 0,0200 0,0217 6 0,0120 0,0140 0,0159 0,0180 0,0200 0.0220 0,0240 0,0260 7 0,0140 0,0163 0,0187 0.0210 0.0233 0,0257 0,0280 0,0303 8 0,0160 0.0187 0,0213 0,0240 0,0267 0,0293 0,0320 0,0347 9 0,0180 0.0210 0,0239 0,0270 0,0300 0,0330 0,0360 0.0390 10 0,0200 0,0233 0,0266 0,0300 0,0333 0,0367 0,0400 0.0433 11 0,0220 0,0257 0,0293 0.0330 0,0367 0,0403 0,0440 0,0477 12 0,0240 0,0280 0,0319 0,0360 0,0400 0.0440 0,0480 0.0520 13 0,0260 0,0303 0,0347 0,0390 0.0433 0,0477 0,0520 0.0563 14 0,0280 0,0327 0,0373 0,0420 0,0467 0,0513 0,0560 0,0607 15 0,0300 0,0350 0.0399 0,0450 0,0500 0,0550 0.0600 0,0650 16 0,0320 0,0373 0,0427 0,0480 0,0533 0.0587 0,0640 0.0693 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 70 17 0,0340 0,0397 0,0453 0.0510 0,0567 0,0623 0.0680 0,0737 18 0,0360 0,0420 0,0478 0,0540 0,0600 0,0660 0.0720 0,0780 19 0,0380 0,0443 0.0507 0,0570 0,0633 0,0697 0,0760 0,0823 20 0,0400 0,0467 0,0532 0,0600 0,0667 0,0733 0.0800 0,0867 21 0,0420 0.0490 0,0561 0,0630 0,0700 0,0770 0,0840 0,0910 22 0,0440 0,0513 0,0586 0,0660 0,0733 0.0807 0,0880 0,0953 23 0.0460 0.0537 0,0613 0,0690 0,0767 0,0843 0,0920 0,0997 24 0,0480 0,0560 0,0640 0,0720 0,0800 0,0880 0,0960 0.1040 25 0,0500 0.0583 0,0666 0,0750 0,0833 0.0917 0,1000 0,1083 26 0,0520 0,0607 0,0694 0,0780 0,0867 0,0953 0,1040 0,1127 27 0,0540 0.0630 0,0720 0,0810 Q,0900 0,0990 0,1080 0,1170 28 0,0560 0,0653 0,0747 0.0840 0.0933 0,1027 0,1120 0,1213 29 0,0580 0,0677 0,0773 0,0870 0,0967 0.1063 0,1160 0,1257 30 0,0600 0,0700 0,0800 0,0900 0,1000 0,1100 0,1200 0,1300 TABELA — JUROS COMPOSTOS Valores de (1 + i ) n n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 1,0100000 1,0200000 1,0300000 1,0400000 1,0500000 1,0600000 1,0700000 1,0800000 2 1,0201000 1,0404000 1,0609000 1,0816000 1.1025000 1,1236000 1,1449000 1,1664000 3 1,0303010 1,0612080 1,0927270 1,1248640 1.1576250 1.1910160 1.2250430 1,2597120 4 1,0406040 1,0824322 1,1255088 1,1698586 1,2155063 1,2624770 1.3107960 1,3604890 5 1,0510101 1,1040808 1,1592741 1,2166529 1,2762816 1,3382256 1,4025517 1,4693281 6 1,0615202 1,1261624 1.1940523 1,2653190 1,3400956 1,4185191 1,5007304 1,5868743 7 1,0721354 1,1486857 1,2298739 1,3159318 1.4071004 1,5036303 1,6057815 1,7138243 8 1,0828567 1,1716594 1,2667701 1.3685691 1,4774554 1,5938481 1,7181862 1,8509302 9 1,0936853 1,1950926 1,3047732 1,4233118 1,5513282 1,6894790 1.8384592 1,9990046 10 1,1046221 1,2189944 1,3439164 1.4802443 1,6288946 1,7908477 1,9671514 2,1589250 11 1,1156684 1,2433743 1,3842339 1,5394541 1.7103394 1,8982986 2,1048520 2,3316390 12 1,1268250 1,2682418 1,4257609 1,6010322 1,7958563 2,0121965 2,2521916 2,5181701 13 1,1380933 1,2936066 1,4685337 1,6650735 1,8856491 2,1329283 2,4098450 2,7196237 14 1,1494742 1,3194788 1,5125897 1,7316765 1,9799316 2.2609040 2,5785342 2,9371936 15 1,1609690 1,3458683 1.5579674 1,8009435 2.0789282 2.3965582 2,7590315 3,1721691 16 1,1725786 1,3727857 1,6047064 1,8729813 2,1828746 2,5403517 2.9521638 3,4259426 17 1,1843044 1,4002414 1,6528476 1,9479005 2,2920183 2,6927728 3,1588152 3,7000181 18 1,1961475 1,4282463 1,7024331 2,0258165 2,4066192 2,8543392 3.3799323 3.9960195 19 1,2081090 1,4568112 1.7535061 2.1068492 2.5269502 3,0255995 3,6165275 4.3157011 20 1,2201900 1,4859474 1,8061112 2,1911231 2,6532977 3.2071355 3,8696845 4.6609571 21 1,2323919 1,5156663 1.8602946 2,2787681 2,7859626 3,3995636 4,1405624 5,0338337 22 1,2447159 1,5459797 1,9161034 2.3699188 2,9252607 3,6035374 4,4304017 5,4365404 23 1,2571630 1,5768993 1,9735865 2,4647155 3,0715238 3,8197497 4,7405299 5,8714637 24 1,2697347 1,6084373 2,0327941 2,5633042 3,2250999 4,0489346 5.0723670 6,3411807 25 1,2824320 1,6406060 2,0937779 2,6658363 3,3863549 4,2918707 5,4274326 6,8484752 26 1,2952563 1,6734181 2,1565913 2,7724698 3,5556727 4,5493830 5,8073529 7,3963532 27 1,3082089 1,7068865 2.2212890 2,8833686 3.7334563 4,8223459 6,2138676 7,9880615 28 1,3212910 1,7410242 2,2879277 2,9987033 3,9201291 5,1116867 6,6488384 8,6271064 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 71 29 1,3345039 1,7758447 2,3565655 3,1186515 4,1161356 5,4183879 7,1142571 9,317274 30 1,3478489 1,8113616 2,4272625 3,2433975 4,3219424 5,7434912 7,6122550 10,06265 TABELA AMORTIZAÇÃO Valores de 1 i) (1 i) i(1 n n ÷ + + n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,0100000 1,0200000 1,0300000 1,0400000 1,0500000 1,0600000 1,0700000 1,0800000 1,0900000 1,1000000 2 0,5075124 0,5150495 0,5226108 0,5301961 0,5378049 0,5454369 0,5530918 0,5607692 0,5684689 0,5761905 3 0,3400221 0,3467547 0,3535304 0,3603485 0,3672086 0,3741098 0,3810517 0,3880335 0,3950548 0,4021148 4 0,2562811 0,2626238 0,2690271 0,2754901 0,2820118 0,2885915 0.2952281 0,3019208 0,3086687 0,3154708 5 0,2060398 0,2121584 0,2183546 0,2246271 0,2309748 0,2373964 0,2438907 0,2504565 0.2570925 0.2637975: 6 0,1725484 0,1785258 .0,1845975 0,1907619 0,1970175 0,2033626 0,2097958 0,2163154 0,2229198 0,2296074 7 0,1486283 0,1545120 0,1605064 0,1666096 0,1728198 0,1791350 0,1855532 0,1920724 0,1986905 0,2054055 8 0,1306903 0,1366098 0,1424564 0,1485278 0,1547218 0,1610359 0,1674678 0,1740148 0.1906744 0,1874440 9 0,1167404 0,1225154 0,1284339 0,1344930 0,1406901 0,1470222 0,1534865 0,1600797 0,1667988 0,1736405. 10 0,1055821 0,1113265 0,1172305 0,1232909 0,1295046 0,1358680 0.1423775 0,1490295 0,1558201 0,1627454 11 0,0964541 0,1021779 0,1141490 0.1203889 0,1267929 0,1333569 0,1400763 0,1469467 0,1539631 0,1080775 12 0,0888488 0,0945596 0,1004621 0,1065522 0,1128254 0.1192770 0,1259020 0,1326950 0.1396507 0,1467633 13 0,0824148 0,0882404 0,0940295 0,1001437 0,1064558 0,1129601 0,1196509 0,1265218 0,1335666 0,1407785 14 0,0769012 0,0826020 0,0885263 0,0946690 0,1010240 0,1075849 0,1143449 0.1212969 0,1284332 0,1357462 15 0,0721238 0,0778255 0,0837666 0.0899411 0,0963423 0,1029628 0,1097946 0,1168295 0,1240589 0,1314738 16 0,0679446 0,0736601 0,0796109 0.0858200 0.0922699 0,0989521 0,1058577 0,1129769 0,1202999 0,1278166 17 0,0642581 0,0699698 0,0759525 0,0821985 0,0886991 0.0954448 0,1024252 0,1096294 0,1170463 0,1246641 18 0,0609821 0,0667021 0,0727087 0,0789933 0.0855462 0,0923565 0,0994126 0,1067021 0,1142123 0,1219302 19 0,0580518 0,0637818 0,0698139 0,0761386 0,0827450 0,0896209 0,9967530 0,1041276 0.1117304 0,1195469 20 0,0554153 0,0611567 0,0672157 0,0735818 0,0802426 0,0871846 0,0943929 0,1018522 0.1095465 0,1174596 21 0,0530308 0,0587848 0,0648718 0,0712801 0,0779961 0.0850046 0,0922890 0,0998323 0,1076166 0,1156244 22 0,0508637 0,0566314 0,0627474 0,0691988 0,0759705 0,0830456 0.0904058 0,0980321 0,1059050 0,1140051 23 0,0488858 0,0546681 0,0608139 0,0673091 0,0741368 0,0812785 0,0887139 0,0964222 0.1043819 0.1125718. 24 0,0470735 0,0528711 0,0590474 0,0655868 0,0724709 0,0796790 0,0871890 0.0949780 0.1030226 0,1112998 25 0,0454068 0,0512204 0,0574279 0,0640120 0,0709525 0,0782267 0.0858105 0,0936788 0,1018063 0.1101681 26 0,0438689 0,0496992 0,0559383 0,0625674 0,0695643 0,0769044 0,0845610 0,0925071 0,1007154 0,1091590 27 0,0424455 0,0482931 0,0545642 0,0612385 0.0682919 0,0756972 0,0834257 0.0914481 0,0997349 0,1082576 28 0,0411244 0,0469897 0,0532932 0,0600130 0,0671225 0,0745926 0,0823919 0,0904889 0.0988521 0,1074510 29 0,0398950 0,0457784 0,0521147 0,0588799 0.0660455 0,0735796 0,0814487 0,0896185 0.0980557 0,1067281 30 0,0387481 0,0446493 0,0510193 0,0578301 0,0650514 0,0726489 0.0805854 0,0888274 0,0973364 0,1060793 TÁBUA DE LOGARITMOS N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa 00 50807 100 00000 100 17009 200 20103 260 30794 300 47712 350 54407 400 00200 460 00021 1 00000 51 70757 101 00432 151 17898 201 30320 251 39967 301 47857 351 54531 401 60314 451 65418 2 30103 52 71600 102 00860 152 18184 202 30535 252 40140 302 48001 352 54654 402 60423 452 65514 3 47712 53 72428 103 01284 153 18469 203 30750 253 40312 303 48144 353 54777 403 60531 453 65610 4 60206 54 73239 104 01703 154 18752 204 30963 254 40483 304 48287 354 54900 404 60638 454 65706 5 69897 55 74036 105 02119 155 19033 205 31175 255 40654 305 48430 355 55023 405 60746 455 65801 6 77815 56 74819 106 02531 156 10312 206 31387 256 40824 306 48572 356 55145 406 60853 456 65896 7 84510 57 75587 107 02938 157 19590 207 31597 257 40993 307 48714 357 55267 407 60959 457 65992 8 90309 58 76343 108 03342 158 19866 208 31806 258 41162 308 48855 358 55388 408 61066 458 66087 9 95424 59 77085 109 03743 159 20140 209 32015 259 41330 309 48996 359 55509 409 61172 459 66181 10 00000 00 77515 110 04170 100 20412 210 32382 260 41407 310 49130 300 86530 410 61278 400 86276 11 04139 61 78533 111 04532 161 20683 211 32428 261 41664 311 49275 361 55751 411 61384 461 66370 12 07918 62 79239 112 04922 162 20952 212 32634 262 41830 312 49415 362 55871 412 61490 462 66464 13 11394 63 79934 113 05308 163 21219 213 32838 263 41996 313 49554 363 55991 413 61595 463 66558 14 14613 64 80618 114 05690 164 21484 214 33041 264 42160 314 49693 364 56110 414 61700 464 66652 15 17609 65 81291 115 06070 165 21748 215 33244 265 42325 315 49831 365 56229 415 61805 465 66745 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 72 16 20412 66 81954 116 06446 166 22011 216 33445 266 42488 316 49969 366 56348 416 61909 466 66839 17 23045 67 82607 117 06819 167 22272 217 33646 267 42651 317 50106 367 56467 417 62014 467 66932 18 25527 68 83251 118 07188 168 22531 218 33846 268 42813 318 50243 368 56585 418 62118 468 67025 19 27875 69 83885 119 07555 169 22789 219 34044 269 42975 319 50379 369 56703 419 62221 469 67117 20 30103 70 85410 120 07918 170 23045 220 34242 270 43136 320 50515 370 56820 420 62325 470 67210 21 32222 71 85126 121 08279 171 23300 221 34439 271 43297 321 50651 371 56937 421 62428 471 67302 22 34242 72 85733 122 08636 172 23553 222 34635 272 43457 322 50786 372 57054 422 62531 472 67394 23 36173 73 86332 123 08991 173 23805 223 34830 273 43616 323 50920 373 57171 423 62634 473 67486 37 56820 87 93952 137 13672 187 27184 237 37475 287 45788 337 52763 387 58771 437 64048 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546 73719 596 77525 646 81023 696 84261 746 87274 796 90091 846 92737 896 95231 946 97589 996 99826 547 73799 597 77597 647 81090 697 84323 747 87332 797 90146 847 92788 897 95279 947 97635 997 99870 548 73878 598 77870 648 81158 698 84386 748 87390 798 90200 848 92840 898 95328 948 97681 998 99913 549 73957 599 77743 649 81224 699 84448 749 87448 799 90255 849 92891 899 95376 949 97727 999 99957 550 74938 600 77015 650 81291 700 34510 750 07506 000 80309 850 92942 900 98424 950 97772 1000 00000 TABELA 6— VALORES ATUAIS (DESCONTO COMPOSTO) CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 73 Valores de n n v i) (1 1 = + n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 0,9900990 0,9803922 0,9708738 0,9615385 0,9523810 0,9433962 0,9345794 0,9259259 2 0,9802961 0,9611688 0,9425959 0.9245562 0,9070295 0,8899964 0.8734387 0.8573388 3 0,9705902 0,9423223 0.9151417 0,8889964 0,8638376 0,8396193 0,8162979 0,7938322 4 0,9609803 0,9238454 0,888487 1 0,8548042 0,8227025 0,7920937 0,7628952 0,7350299 5 0,9514657 0,9057308 0.8626088 0,8219271 0,7835262 0,7472582 0,7129862 0,6805832 6 0,9420452 0,8879714 0,8374843 0,7903145 0,7462154 0,7049605 0,6663422 0.6301696 7 0,9327181 0,8705602 0,8130915 0,7599178 0,7106813 0,6650571 0,6227497 0,5834904 8 0,9234832 0,8531904 0.7894092 0,7306902 0,6768391 0,6274124 0,5820091 0,5402689 9 0,9143398 0,8367553 0,7664167 0,7025867 0,6446089 0,5918985 0,5439337 0,5002490 10 0,9052870 0,8203483 0,7440939 0,6755642 0,6139133 0,5583948 0,5083493 0,4631935 11 0,8963237 0,8042630 0,7224213 0,6495809 0,5846793 0,5267875 0,4750928 0,4288829 12 0,8874492 0,7884932 0,7013799 0,6245971 0,5568374 0,4969694 0,4440120 0,3971138 13 0,8786626 0,7730325 0.6809513 0,6005741 0,5303214 0,4688390 0,4149645 0,3676979 14 0,8699630 0,7578750 0,6611178 0,5774751 0,5050680 0,4423010 0,3878172 0,3404610 15 0,8613495 0,7430147 0,6418620 0,5552645 0,4810171 0,4172651 0.3624460 0,3152417 16 0,8528213 0,7284458 0,6231669 0,5339082 0,4581115 0,3936463 0.3387346 0,2918905 17 0,8443775 0,7141626 0.6050165 0,5133733 0.4362967 0.3713644 0,3165644 0,2702690 18 0,8360173 0,7001594 0.5873946 04936281 0,4155207 0,3503438 0,2958639 0,2502490 19 0,8277399 0,6864308 0,5702860 0,4746424 0,3957340 0,3305130 0,2765083 0,2317121 20 0,8195445 0,6729713 0,5536758 0,4563870 0,3768895 0,3118047 0,2584190 0.2145482 21 0,8114302 0,6597758 0.5375493 0,4388336 0,3589424 0,2941554 0,2415131 0,1986558 22 0,8033962 0,6468390 0.5218925 0,4219554 0,3418499 0.2775051 0,2257132 0,1839405 23 0,7954418 0,6341559 0.5066918 0,4057263 0,3255713 0.2617973 0,2109469 0.1703153 24 0,7875661 0,6217215 0,4919337 0,3901215 0,3100679 0.2469786 0,1971466 0,1576993 25 0,7797684 0,6095309 0,4776056 0,3751168 0,2953028 0.2329986 0,1842492 0,1460179 26 0,7720480 0,5975793 0,4636947 0,3606892 0,2812407 0,2198100 0,1721955 0,1352018 27 0,7644039 0,5858620 0,4501891 0,3468166 0,2678483 0,2073680 0,1609304 0.1251868 28 0,7568356 0,5743746 0,4370768 0,3334775 0,2550936 0,1956301 0.1504022 0.1159137 29 0,7493421 0,5631123 0,4243464 0,3206514 0,2429463 0,1845567 0,1405628 0,1073275 30 0,7419229 0,5520709 0,41 19868 0,3088187 0,2313775 0.1741 101 0,1313641 0.0993773 TABELA 7 — CAPITALIZAÇÃO Valores de n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1.0000000 1,0000000 1.0000000 2 2,0100000 2,0200000 2,0300000 2,0400000 2,0500000 2,0600000 2,0700000 2,0800000 3 3,0301000 3,0604000 3,0909000 3,1216000 3,1525000 3,1836000 3,2149000 3,2464000 4 4,0604010 4,1216080 4.1836270 4,2464640 4,3101250 4.3746160 4,4399430 4,5061120 5 5,1010050 5,2040402 5,3091358 5,4163226 5,5256313 5,6370930 5,7507390 5.8666010 6 6,1520151 6,3081210 6,4684099 6,6329755 6,8019128 6.9753185 7,1532907 7,3359290 7 7,2135352 7,4342834 7,6624622 7,8982945 8,1420085 8,3938377 8,6540211 8,9228034 8 8,2856706 8,5829691 8,8923361 9,2142263 9,5491089 9,8974679 10,2598026 10.6366276 9 9,3685273 9,7546284 10,1591061 10,5827953 11,0265643 11,4913160 11,9779888 12,4875578 10 10,4622125 10,9497210 11,4638793 12,0061071 12,5778925 13,1807949 13,8164480 14.4865625 11 11,5668347 12,1687154 12,8077957 13,4863514 14,2067872 14,9716426 15,7835993 16.6454875 12 12,6825030 13,4120897 14,1920296 15,0258055 15,9171265 16,8699412 17,8884513 18,9771265 13 13,8093280 14,6803315 15,6177905 16,6268377 17,7129829 18,8821377 20,1406429 21,4952966 14 14,9474213 15,9739382 17,0863242 18,2919112 19,5986320 21,0150659 22,5504879 24.2149203 15 16,0968955 17,2934169 18,5989139 20.0235876 21,5785636 23,2759699 25,1290220 27,1521139 16 17,2578645 18,6392853 20,1568813 21,8245311 23,6574918 25,6725281 27,8880536 30,3242830 17 18,4304431 20,0120710 21,7615877 23,6975124 25,8403664 28.2128798 30,8402173 33,7502257 18 19,6147476 21,4123124 23,4144354 25,6454129 28.1323847 30,9056526 33,9990325 37,4502437 19 20,8108950 22,8405587 25,1168684 27,6712294 30,5390039 33,7599917 37,3789648 41,4462632 20 2Z0190040 24,2973698 26,8703745 29,7780786 33,0659541 36,7855912 40,9954923 45,7619643 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 74 21 232391940 257833172 28,6764857 31,9692017 35,7192518 39,9927267 44,8651768 50.4229214 22 244715860 27:2989835 30,5367803 34,2479698 38.5052144 43.3922903 49,0057392 55.4567552 23 25>163018 28,8449632 32,4528837 36,6178886 41,4304751 46,9958277 53,4361409 60,8932956 24 26,9734649 30,4218625 34,4264702 39,0826041 44,5019989 50,8155774 58,1766708 66,7647592 25 28,2431995 32,0302997 36,4592643 41,6459083 47,7270988 54,8645120 63.2490377 73,1059400 26 29,5256315 33,6709057 38,5530423 44,3117446 51,1134538 59,1563827 68,6764704 79,9544152 27 30,8208878 35.3443238 40,7096335 47,0842144 54,6691265 63,7057657 74,4838232 87,3507684 28 32,1290967 37,0512103 42.9309225 49,9675830 58,4025828 68.5281116 80,6976909 95,3388298 29 33,4503877 38,7922345 45,2188502 52,9662863 62,3227119 73,6397983 87,3465293 103,9659362 30 34,7848915 40,5680793 47,5754157 56,0849378 66.4388475 79.0581862 94,4607863 113,2832111 TABELA 8 — VALORES ATUAIS (RENDAS CERTAS) Valores de n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 0,9900990 0,9803921 0,9708738 0,9615385 0,9523810 0,9433962 0,9345794 0.9259259 2 1,9703951 1,9415609 1,9134697 1,8860947 1,8594104 1,8333927 1,8080182 1,7832648 3 2,9409852 2,8838833 2.8286114 2,7750910 2,7232480 2,6730120 2,6243160 2,5770970 4 3.9019656 3,8077287 3,7170984 3,6298952 3,5459505 3,4651056 3,3872113 3,3121268 5 4,8534312 4,7134595 4,5797072 4,4518223 4,3294767 4,2123638 4,1001974 3,9927100 6 5,7954765 5,6011431 5,4171914 5,2421369 5,0756921 4,9173243 4,7665397 4,6228797 7 6,7281945 6,4719911 6,2302830 6,0020550 5;7863734 5,5823814 5,3892894 5,2063701 8 7,6516778 7,3254814 7,0196922 6,7327449 6,4632128 6,2097938 5,9712985 5,7466389 9 8,5660176 8,1622367 7.7861090 7,4353316 7,1078217 6.8016923 6,5152323 6,2468879 10 9,4713045 8,9825850 8,5302028 8,1108958 7,7217349 7,3600871 7,0235815 6,7100814 11 10,3676283 9,7868481 9,2526241 8,7604767 8,3064142 7,8868746 7,4986743 7,1389643 12 11,2550775 10,5753412 9,9540040 9,3850738 8,8632516 8,3838439 7,9426863 7,5360780 13 12,1337401 11,3483738 10,6349553 9,9856475 9,3935730 8,8526830 8,3576507 7,9037759 14 13,0037030 12,1062488 11,2960731 10,5631229 9,8986409 9,2949839 9,0138423 8,2442370 15 13,8650525 12,8492635 11,9379351 11,1183874 10,3796580 9,7122490 9,1079140 8,5594787 16 14,7178738 13,5777093 12,5611020 11,6522956 10,8377696 10,1058953 9,4466486 8.8513692 17 15,5622513 14,2918719 13,1661185 12,1656689 11,2740663 10,4772597 9,7632230 9,1216381 18 16,3982686 14,9920313 53,7535131 12,6592970 11,6895869 10,8276035 10,0590869 9,3718871 19 17,2260085 15,6784620 14,3237991 13,1339394 12,0853209 11,1581165 10,3355952 9,6035992 20 18.0455530 16,3514333 14,8774749 13,5903263 12,4622103 11,4699212 10,5940143 9,8181474 21 18,8569831 17,0112092 15,4150241 14,0291600 12,8211527 11,7640766 10,8355273 10,0168031 22 19,6603793 17,6580482 15,9369166 14,4511153 13,1630026 12,0415817 11,0612405 10,2007437 23 20,4558211 18,2922041 16,4436084 14,8568417 13,4885739 12,3033790 11,2721874 10,3710590 24 21,2433873 18,9139256 16,9355421 15,2469631 13,7986418 12,5503575 11,4693340 10,5287583 25 22,0231557 19,5234565 17,4131477 15,6220799 14,0939446 12,7833562 11,6535832 10,6747762 26 22,7952037 20,1210358 17,8768424 15,9827692 14,3751853 13,0031662 11,8257787 10,8099780 27 23,5596076 20,7068978 18,3270315 16,3295858 14,6430336 13,2105341 11,9867090 10,9351648 28 24,3164431 21,2812724 18,7641082 16,66~0632 14,8981273 13,4061643 12,1371113 11,0510785 29 25,0657853 21,8443847 19,1884546 16,9837146 15,1410736 13,5907210 12,2776471 11,1584060 30 25,8077082 22,3964556 19,6004414 17,2920333 15,3724510 13,7648312 12,4090412 11,2577833j TABELA 9— AMORT IZAÇÃO Valores de n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,0100000 1,0200000 1,0300000 1,0400000 1,0500000 1,0600000 1,0700000 1,0800000 1.0900000 1,1000000 2 0,5075124 0,5150495 0,5226108 0,5301961 0,5378049 0,5454369 0,5530918 0,5607692 0,5684689 0,5761905 3 0,3400221 0,3467547 0.3535304 0,3603485 0,3672086 0,3741098 0.3810517 0,3880335 0,3950548 0,4021148 4 0,2562811 0,2626238 0.2690271 0.2754901 0,2820118 0,2885915 0,2952281 0,3019208 0.3086687 0,3154708 5 0,2060398 0,2121584 0,2183546 0,2246271 0,2309748 0,2373964 0,2438907 0.2504565 0.2570925 0,2637975 6 0,1725484 0,1785258 0,1845975 0,1907619 0.1970175 0,2033626 0,2097958 0.2163154 0.2229198 0,2296074 7 0,1486283 0,1545120 0,1605064 0,1666096 0,1728198 0.1791350 0,1855532 0,1920724 0,1986905 0,2054055 8 0,1306903 0,1365098 0,1424564 0,1485278 0,1547218 0,1610359 0,1674678 0,1740148 0.1906744 0,1874440 9 0,1167404 0,1225154 0,1284339 0,1344930 0.1406901 0,1470222 0,1534865 0,1600797 0.1667988 0.1736405 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 75 10 0,1055821 0,1113265 0,1172305 0,1232909 0,1295046 0.1358680 0,1423775 0,1490295 0,1558201 0,1627454 11 0,0964541 0,1021779 0,1080775 0,1141490 0,1203889 0.1267929 0,1333569 0,1400763 0.1469467 0,1539631 12 0,0888488 0,0945596 0,1004621 0,1065522 0,1128254 0.1192770 0,1259020 0.1326950 0,1396507 0,1467633 13 0,0824148 0,0882404 0.0940295 0,1001437 0,1064558 0,1129601 0,1196509 0,1265218 0,1335666 0,1407785 14 0,0769012 0,0826020 0,0885263 0.0946690 0.1010240 0,1075849 0,1143449 0,1212969 0,1284332 0,1357462 15 0,0721238 0,0778255 0,0837666 0.0899411 0,0963423 0,1029628 0,1097946 0,1168295 0,1240589 0,1314738 16 0,0679446 0,0736501 0.0796109 0,0858200 0.0922699 0.0989521 0,1058577 0,1129769 0,1202999 0,1278166 17 0,0642581 0,0699698 0,0759525 0,0821985 0,0886991 0,0954448 0,1024252 0,1096294 0,1170463 0,1246641 18 0,0609821 0,0667021 0,0727087 0,0789933 0,0855462 0,0923565 0,0994126 0,1067021 0,1142123 0,1219302 19 0,0580518 0,0637818 0.0698139 0,0761386 0.0827450 0,0896209 0,9967530 0,1041276 0,1117304 0,1195469 20 0,0554153 0,0611567 0,0672157 0,0735818 0,0802426 0,0871846 0,0943929 0,1018522 0,1095465 0,1174596 21 0,0530308 0,0587848 0,0648718 0,0712801 0,0779961 0,0850046 0,0922890 0,0998323 0,1076166 0,1156244 22 0,0508637 0,0566314 0,0627474 0,0691988 0,0759705 0,0830456 0,0904058 0,0980321 0,1059050 0.1140051 23 0,0488858 0,0546681 0,0608139 0,0673091 0,0741368 0.0812785 0,0887139 0,0964222 0,1043819 0,1125718 24 0,0470735 0,0528711 0,0590474 0,0655868 0,0724709 0,0796790 0,0871890 0,0949780 0,1030226 0,1112998 25 0,0454068 0,0512204 0,0574279 0,0640120 0.0709525 0,0782267 0,0858105 0,0936788 0,1018063 0,1101681 26 0,0438689 0,0496992 0,0559383 0.0625674 0,0695643 0,0769044 0,0845610 0,0925071 0,1007154 0,1091590 27 0.0424455 0,0482931 0,0545642 0,0612385 0,0682919 0.0756972 0,0834257 0,0914481 0,0997349 0,1082576 28 0,0411244 0,0469897 0,0532932 0,0600130 0,0671225 0.0745926 0,0823919 0,0904889 0,0988521 0,1074510 29 0,0398950 0,0457784 0,0521147 0,0588799 0,0660455 0,0735796 0,0814487 0.0896185 0,0980557 0,1067281 30 0,0387481 0,0446493 0,0510193 0,0578301 0.0650514 0,0726489 0,0805864 0,0888274 0,0973364 0,1060793 QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA I 1. Qual a quantia que aplicada a 4,7% ao mês produz os mesmos juros simples que R$52.000,00 à taxa de 2,35% também ao mês, durante o mesmo prazo? Resposta: C = R$26.000,00 , para " n " = 1. 2. O preço de um bem em janeiro era R$500,00. Calcu- lar seu preço ao final de junho, sabendo-se que as correções monetárias mensais nesse período foram, respectivamente: 1,07% , 0,99% , 1,30% , 1,22% e 0,88% . Resposta: S = R$527,90 3. Se desejo ter poupado R$10.000,00 em um ano, qual a quantia inicial que preciso depositar, sabendo que a rentabilidade é de 0,5% ao mês? Resposta: C = R$9.419,05 4. Se o custo de oportunidade é de 14,47% a.a., qual a quantia mínima que você pode aceitar hoje para abrir mão de receber R$12.000,00 daqui a 3 anos? Resposta: C = R$8.000,30 5. A inflação em um determinado país atingiu, em janeiro, 25,83% no mês. Se essa taxa se repetir em todos os meses do ano, de quanto será a inflação acumulada no período? Resposta: i = 1.475,47% ao ano 6. O preço atual de um bem é R$50.700,00. Deflacionar esse preço, sabendo-se que ele sofreu as seguintes correções monetárias: 1,5% , 2,2% , 1,8% e 1,6% . Resposta: C = R$47.255,19 7. Uma empresa constatou através de seus registros que vem obtendo, em média, uma lucratividade sobre o Patrimônio Líquido de 6,0% ao ano. Deseja-se saber em quantos anos conseguirá recuperar, integralmente, seu investimento próprio, caso seja mantida essa rentabilidade. Resposta: n = 11,9 anos 8. Uma indústria orçou em termos anuais uma despesa de R$120.000,00 para aquisição de combustível. Su- pondo um consumo constante e um aumento de 4,0% ao mês no litro do produto, calcular os valores mensais a serem alocados nessa rubrica. Resposta: R1 = R$ 7.986,26 9. Uma pessoa deseja constituir uma poupança em 3 anos. Para isso, faz depósitos mensais antecipados de R$200,00 no 1o ano, R$300,00 no 2o ano e R$400,00 no 3o ano. Calcular o montante, sabendo- se que os juros são de 0,5% ao mês. Resposta: S = R$11.643,97 10. O capital de R$6.000,00 foi aplicado à taxa de 12,0% ao semestre, pelo prazo de 3 anos. O montante cons- tituído ao fim de cada semestre sofreu as seguintes correções monetárias: 0,8% , 0,9% , 0,8% , 1,0% , 0,9% e 1,0%. Qual o valor resgatado? Resposta: S = 12.496,99 11. Comprei um imóvel por R$80.000,00. Paguei 30,0% à vista e financiei o restante em 180 prestações mensais e consecutivas à taxa de 10,5% a.a. Quanto pagarei a cada mês? Resposta: R = R$602,68 12. Determine a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 32,38% ao ano, capitalizada semestralmente. Resposta: i = 35,00% a.a. 13. Apliquei hoje R$2.000,00 a 3,5% ao mês. No fim de 10 meses qual será a quantia resgatada? Resposta: S = R$2.821,20 14. Quatro promissórias de R$3.200,00 têm de ser pagas em 30, 60, 90 e 120 dias. O banco propõe um único pagamento hoje a uma taxa de desconto de 7,0% ao mês. Calcular o valor necessário para quitar as pro- missórias. Resposta: C = R$10.839,07 15. Calcule a taxa mensal equivalente a 36,10% ao ano. Resposta: i = 2,60% a.m. Calcular as seguintes incógnitas: 16. C = R$750,00 ; i = 10,0% am ; n = 13 meses; S=? R$2.589,20 17. S = R$1.800,00 ; i = 15,0% am ; n = 9 meses; C=? R$511,67 18. C = R$9.500,00 ; i = 7,8% am ; n = 7 meses ; R=? R$1.812,23 19. R = R$1.500,00 ; i = 6,0 % am ; n = 6 meses ; S= ? R$10.462,98 20. C = R$1.800,00 ; i = 4,0% am ; S = R$5.838,12 ; n=? 30 meses 21. R = R$3.000,00 ; i = 12,0% am ; n = 8 meses ; C=? R$14.902,92 22. Se pretendo poupar R$20.000,00 em um ano, qual o valor mensal que preciso depositar, sabendo que a rentabilidade é de 0,7% ao mês? Resposta: R = R$1.603,47 23. Uma empresa contraiu um empréstimo de R$25.000,00 para pagar em 5 anos. Sabendo que o CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 76 juro cobrado é de 17,00% ao ano, com capitalização mensal, qual a prestação a ser paga? Resposta: R = R$605,34 24. Daqui a 15 meses pretendo comprar um veículo de R$18.000,00. Atualmente já possuo R$7.500,00. Man- tendo este recurso e os depósitos mensais que pretendo fazer aplicados à taxa constante de 0,9% ao mês, quanto preciso depositar mensalmente? Resposta: R = R$589,45 25. Com uma prestação fixa de R$350,00, qual a quantia que posso financiar por 6 meses, consideranto uma taxa de juros de 3,5% ao mês? Resposta: C = R$1.864,99 26. Uma televisão custa R$1.200,00 . Para adquirí-la em 12 parcelas de R$100,00, à taxa de 4,0% ao mês, quanto precisarei dar de entrada? Resposta: C = R$261,49 27. Calcular o prazo necessário para triplicar, em termos reais, um valor depositado em caderneta de poupança (juros de 0,5% ao mês). Resposta: n = 220,3 meses 28. Se um banco trabalha com uma taxa de juros do cheque especial de 9,80% ao mês, qual a sua taxa bruta real, cobrada do cliente, se a inflação anual é de 8,5%? Resposta: i = 9,06% ao mês 29. Supondo que sua empresa empresta dinheiro, e sabendo que o Conselho de Política Monetária - CO- POM fixou a Taxa Básica de Juros do Banco Central em 49% ao ano e que deseja um juro real de 2% ao mês nas suas operações financeiras, qual a taxa mensal de juros a ser praticada? Resposta: i = 5,45% ao mês 30. Qual o SPREAD de um banco que empresta dinheiro à taxa de 4,5% ao mês, considerando que seu custo de captação é de 45% ao ano? Resposta: i = 1,31% ao mês 31. Uma empresa tem como taxa de atratividade, em termos reais, 45% ao ano. Entretanto, é necessário para determinado negócio que seja estabelecida uma taxa pré-fixada. O gerente financeiro consulta dois bancos a respeito das taxas praticadas: Banco A Banco B => Pré-fixada: 70% ao ano 65% ao ano => Pós-fixada: 3,8% a.m. + TR 3,5% a.m. + TR Supondo que a variação da TR corresponda a inflação e que seria razoável trabalhar com a média da previ- são da TR pelos dois bancos, qual seria a taxa de a- tratividade pré-fixada pela empresa? Resposta: 57,94% ao ano 32. O reajuste dos juros pelo Banco Central elevou o custo de captação do dinheiro para a sua empresa, que empresta dinheiro, para 4,47% ao mês. Sabendo que seus acionistas exigem rentabilidade anual de 15%, qual a taxa de juros mensal que sua empresa deve praticar, desprezando-se os demais custos? Resposta: i = 5,69% ao mês 33. Qual a taxa mensal mínima para aplicar em CDB que seria melhor do que a taxa da poupança, considerando TR de 13% ao ano? (2 pontos) Resposta: i = 1,53% a.m. 34. Qual o SPREAD mensal de um banco que empresta dinheiro em Hot Money à taxa de 2,50% ao mês e capta em CDB a 17,82% ao ano? Resposta: i = 1,11% a.m. 35. Qual o valor à vista de um imóvel anunciado sob as seguintes condições de pagamento: 30% de entrada; 180 prestações mensais de R$780,00 e 10 balões semestrais de R$5.000,00? Considere juros mensais de 1,2%. Resposta: C = R$131.219,71 36. Considerando que a TR dos meses de janeiro a junho foi de 0,25%, 0,42%, 0,33%, 0,41%, 0,29% e 0,50%. Qual a taxa da Poupança acumulada no semestre? Resposta: i = 5,33% a.s. 37. Qual a taxa de desconto que uma loja deve oferecer nas suas vendas à vista, para que seja indiferente vender à vista ou a prazo, sabendo que o seu custo de oportunidade é de 4,5% ao mês e suas vendas a prazo acontecem na modalidade "1 + 4 vezes" ? Resposta: i = 8,25% 38. Qual a melhor opção de compra, considerando taxa de atratividade de 3% ao mês? a. à vista, com 10% de desconto; b. a prazo, com uma entrada de 30%, mais duas parcelas iguais; ou c. sem entrada, em dois pagamentos iguais. Resposta: à vista, pois vpl de a = 90 ; b = 96,97 ; c = 95,67 38. Qual a taxa mensal de juros, líquida, de uma loja que financia seus produtos ao consumidor à taxa de 80% ao ano, e desconta seus cheques pós-datados à taxa de 4,5% ao mês? Resposta: i = 0,50% a.m. 39. Qual a taxa de desconto a ser concedida na venda à vista de um produto que pode ser comprado a prazo com R$150,00 de entrada, mais 4 parcelas mensais de R$150,00. Considere que a loja tem um custo de oportunidade de 5% ao mês. Resposta: i = 9,08% EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA II 1. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de $ 4.000, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de $ 10.000 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais $ 600 que o primeiro. A taxa é de: a) 8,0% a.a. b) 7,5% a.a. c) 7,1% a.a. d) 6,9% a.a. e) 6,2% a.a. 2. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento com juros simples, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em: a) 20% b) 60% c) 40% d) 50% e) 70% 3. Calcular o juro em $ e o montante em $ de uma apli- cação de $ 1.000.000 durante 3 meses, à taxa de juros simples de 10% a.m. a) 300.000 e 1.330.000 b) 300.000 e 1.300.000 c) 900,000 e 1.900.000 d) 1.300.000 e 330.000 e) NDA 4. Calcular os juros simples que um capital de $ 10.000 rende em um ano e meio, se aplicado à taxa de 6% a.a. Os juros em $ serão de: a) 700 b) 1.000 c) 1.600 d) 600 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 77 e) 900 5. Duas pessoas fizeram aplicações em dinheiro na mesma data. Uma aplicou $ 192.000 à taxa de juros simples de 25% ao ano e a outra aplicou $ 240.000 à taxa de juros simples de 15% ao ano. Após quanto tempo os montantes das aplicações serão iguais? a) 48 meses b) 44 meses c) 38 meses d) 24 meses e) 18 meses 6. Um produto é vendido por $ 600.000 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $ 542.880 após 30 dias. Qual a taxa de juros simples mensal envolvida na operação? a) 5% b) 12% c) 15% d) 16% e) 20% 7. Em quanto tempo triplicará um capital aplicado à taxa de juros simples de 5% a.a. ? a) 10 anos b) 20 anos b) 40 anos c) 60 anos d) 80 anos 8. Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25 % a.a. durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a. durante 2 anos e 4 meses. Juntos, renderam juros de $ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo capital é o dobro do primeiro, e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital será de: a) 30.210 b) 10.070 c) 20.140 d) 15.105 e) 05.035 9. Um capital no valor de $ 50 aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% a.a., atinge, em 20 dias, um montante de: a) 51,00 b) 51,20 c) 52,00 d) 53,60 e) 68,00 10. Se em 5 meses o capital de $ 250.000 rende $ 200 .000 de juros simples à taxa de 16% a.m., qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% a.a.? a) 6 meses b) 7 meses c) 8 meses d) 9 meses e) 10 meses 11. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de vender este estoque por $ 3.000 a saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 2.400 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro em $, na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitali- zação simples. a) 1.050.000 b) 1.240.000 c) 1.300.000 d) 2.400,000 e) 3.000.000 12. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal de $ 700.000, que vence daqui a 4 meses, considerando o desconto racional simples a uma taxa de 36% a.a.? a) 700.000 b) 625.000 c) 600.000 d) 525.000 e) 500.000 13. O Sr. Haddad obteve um empréstimo de $ 1.090.000.000 à taxa de juros simples de 12% a.a. Al- gum tempo depois encontrou um amigo que poderia lhe emprestar $ 150.000.000 à taxa de juro simples de 11% a.a. Sendo assim, liquidou o empréstimo anterior e contraiu a nova dívida. Dezoito meses após ter con- traído o primeiro empréstimo, saldou o segundo e observou que pagou, em juros, um total de $ 22.500.000. Sendo assim, qual foi o prazo do primeiro empréstimo ? a) 3 meses b) 6 meses c) 9 meses d) 12 meses e) 18 meses 14. A aplicação de um capital é feita à taxa anual simples de 60%, segundo dois processos para o cálculo de taxa de juros diários e o volume de juros. Pode-se afirmar que, nesses dois processos utilizados (o primeiro usando juros comerciais e o segundo usando juros exatos): a) taxa de juros exata diária é de 11,1% b) a relação entre os juros totais obtidos pelos dois processos para um mesmo prazo de aplicação é: juros exatos / juros ordinários = 73 / 72 c) a taxa de juros diária exata é de 0,11% d) para um mesmo prazo total de aplicação, os juros ordinários são aproximadamente 1,4% superiores aos juros exatos. 15. Qual o capital que acrescido dos seus juros simples durante 3 meses resulta em $ 1.300, e que acrescido aos seus juros simples durante 5 meses resulta em 1.500 ? a) 300 b) 500 c) 800 d) 1.000 e) 1.200 16. Um determinado capital produz um montante em 3 meses de $ 1.360 e um montante em 5 meses de $ 1.600. Qual a taxa simples aplicada sobre este capital ? CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 78 a) 10% a.m. b) 12% a.m. c) 14% a.m. d) 20% a.m. e) 30% a.m. 17. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de $ 20.000 para ser devolvido em 2 anos. Sabendo-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 24% a.a. com capitalização trimestral, o montante a ser pago no vencimento será de: a) 30.572 b) 31.876 c) 37.018 d) 32.125 e) 32.572 18. José aplicou $ 500.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 10% a.a. Paulo aplicou $ 450.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 18% a.a. Pode-se afirmar que: a) José obteve 19.000 de rendimento a mais do que Paulo; b) Paulo obteve 19.000 de rendimento a mais do que José; c) José obteve 31.000 de rendimento a mais do que Paulo; d) Paulo obteve 31.000 de rendimento a mais do que José; e) Ambos obtiveram os mesmos rendimentos. 19. Com referência à taxa de juros compostos de 10% a.a., pode-se dizer que o pagamento de $ 100.000 fei- to daqui a um ano é equivalente financeiramente ao pagamento de: a) 89.000 na data atual b) 150.000 daqui a dois anos c) 146.410 daqui a cinco anos d) 82.640 na data atual e) NDA 20. Um investidor aplicou $ 2.000.000 no dia 06-jan-xx, a uma taxa composta de 22,5% a.m. Esse capital terá um montante de $ 2.195.000: a) 5 dias após sua aplicação b) após 130 dias de aplicação c) em 15-mai-xx d) em 19-jan-xx e) 52 dias após a aplicação 21. Um investidor depositou um quarto do seu capital à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente, e o restante a 30% a.a., capitalizados semestralmente. Ao final de três anos retirou um montante de $ 331.192,29. Nessas condições, o capital empregado foi de aproximadamente: a) 146.798 b) 202.612 c) 146.925 d) 146.985 e) 147.895 22. Uma nota promissória com valor de $ 1.000.000 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatada hoje. A uma taxa de Juros compostos de 10% a.a. o valor do resgate é $: a) 748.563 b) 729.000 c) 750.000 d) 751.314,80 e) 700.000 23. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal $ 600.000, que vence daqui a 2 meses, considerando o desconto comercial simples a uma taxa de 24% a.a.? a) 600.000 b) 576.000 c) 524.000 d) 500.000 e) NDA 24. Utilizando-se desconto racional, o valor que deverei pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 29.500, e eu deseje ganhar 36% a.a., será de: a) 24.000 b) 25.000 c) 27.500 d) 18.880 e) 24.190 25. O valor atual racional de um título é igual à metade de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado em 5 meses. a) 200% a.a. b) 20% a.m. c) 25% a.m. d) 28% a.m. e) 220% a.a. 26. O valor do desconto real ou racional composto de uma nota promissória, que vence em três anos, é de $ 11.388,19. Admitindo-se que a taxa nominal de desconto utilizada na operação seja 24% a.a., com capi- talização trimestral, o valor nominal do titulo será de: a) 22.420 b) 22.500 c) 22.630 d) 22.907 e) NDA 27. O desconto racional composto de um título de $ 50.000 foi de $ 12.698,22. Sendo 5% a taxa de juros mensal cobrada, o prazo de antecipação foi de: a) 4 meses b) 5 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 8 meses 28. Um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa composta de 26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $ 18.266,67, qual seria seu valor nominal ? a) 18.000 b) 20.000 c) 22.000 d) 24.000 e) NDA CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 79 29. Uma financeira deseja obter, uma taxa de juros efetiva de 40% a.a. em uma operação de 3 meses. Nessas condições, a empresa deve cobrar a taxa de juros a- nual de desconto comercial simples de: a) 38,06% a.a. b) 37,05% a,a. c) 38,50% a.a. d) 36,36% a.a. e) NDA 30. Qual o valor pago pelo resgate de um título no valor de $ 13.600 dois meses antes do vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 3% a.m.? a) 903,76 b) 12.796,24 c) 6.938,88 d) 12.546,36 e) NDA 31. Qual o valor nominal de um título, sabendo-se que o desconto racional composto é de $ 126.982,20, e que a taxa de desconto cobrada é 5% a.m., com uma an- tecipação de 6 meses ? a) 428.000 b) 500.000 c) 550.000 d) 600.000 e) NDA 32. O preço de um produto à vista é $ 106.617,33. Sa- bendo-se que foi vendido em prestações mensais e iguais de $ 15.000, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra, qual o número de prestações, se a taxa de juros compostas utilizada foi de 5% a.m.? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 33. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será igual ao capital inicial aplicado mais $: a) 20,32 b) 19,61 c) 19,20 d) 18,17 e) 18,00 34. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de $ 20.000 no inicio do primeiro ano, um desembolso de $ 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano. a) 24.940,86 b) 11.363,22 c) 05.830,21 d) 04.940,84 e) 01.340,86 35. Um equipamento é vendido em 6 prestações mensais iguais de $ 6.000.000, vencendo a primeira um mês após a compra. Se o vendedor opera com uma taxa de juros de 3% a.m., qual o preço à vista do equipamento? a) 32.503.146 b) 35.203.146 c) 35.503.146 d) 36.000.000 e) 36.503.146 36. Um equipamento é vendido por $ 1.000.000 a vista ou em 8 prestações mensais e iguais a $ 161.036 cada, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Qual a taxa efetiva de juros compostos nesse financiamento? a) 3% b) 4% c) 5% d) 6% e) 7% 37. Qual o montante final de uma série de 10 pagamentos mensais iguais a $ 100.000 cada um, à taxa de juros compostos de 8% a.m.? a) 1.331.000 b) 1.448.656 c) 1.645.683 d) 1.753.607 e) 1.800.000 38. Qual será o montante final de uma aplicação de 5 pagamentos mensais de $ 1.000.000, sendo a taxa composta de 3% a.m., após o último pagamento? a) 5.309.140 b) 5.340.410 c) 5.468.410 d) 5.680.410 e) 6.000.000 39. Uma peça é vendida em quatro prestações iguais de $ 150.000 sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de juros composto é de 3% a.m., qual o preço à vista dessa peça ? a) 424.291,65 b) 574.291,65 c) 600.000,00 d) 598.671,65 e) 599.761,65 40. Um imóvel é vendido em quatro parcelas iguais a $ 150.000.000, sendo que a primeira parcela vence um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 7% a.m., qual o valor à vista do imó- vel ? a) 508.081.500 b) 615.029.550 c) 714.980.850 d) 800.000.000 e) 900.000.000 42. O preço à vista de um equipamento é $ 250.000. Uma pessoa o comprou com uma entrada de $ 50.000 e o saldo financiado em 5 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 48.779,14. Nessas condições, a taxa anual efetiva cobrada nesse financiamento foi de: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 80 a) 125,2% a.a. b) 151,8% a.a. c) 084,3% a.a. d) 101,2% a.a. e) 096,1% a.a. 42. Um capital de $ 900.000, disponível em 40 dias, é equivalente a um outro capital, disponível em 100 dias, à taxa de 60% ao ano de desconto simples comercial. Qual o valor do outro capital? a) 1.008.000 b) 1.010.000 c) 1.240.000 d) 1.320.000 43. Qual o valor do capital, disponível em 80 dias, equivalente a $ 800.000, disponível em 60 dias à taxa de 50% a.a. de desconto simples comercial? a) 780.000 b) 845.200 c) 825.000 d) 860.500 44. Qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a $ 600.000, disponível em 75 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional? a) 680.200 b) 651.428 c) 705.800 d) 701.000 45. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias, equivalente a $ 840.000, vencível em 30 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional? a) 866.250 b) 905.400 c) 868.400 d) 890.500 46. Um título de $ 1.000.000 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 85% ao ano, qual será o valor do novo titulo? a) 890.700 b) 945.200 c) 780.204 d) 910.503 47. Um comerciante deve pagar, ao final de 60 dias, uma conta de $ 900.000. Porém, ele somente poderá efetuar o pagamento ao final de 120 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 100% ao ano, qual será o valor do novo pagamento? a) 1.025.000 b) 1.125.000 c) 1.240.000 d) 1.105.000 48. Qual o valor do pagamento, ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: $ 1.820.000 ao final de 60 dias, e $ 230.000 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 180% ao ano? a) 403.836 b) 520.546 c) 390.500 d) 391.720 49. Qual o valor do título, vencível em 30 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: $ 400.000 em 60 dias, $ 600.000 em 75 dias, e $ 500.000 em 80 dias, se a taxa de desconto simples bancária é de 50% ao ano? a) 1.520.400 b) 1.407.246 c) 1.380.560 d) 1.480.200 50. Um comerciante deveria efetuar os seguintes pagamentos: $ 400.000 em 60 dias, $ 670.000 em 90 dias e $ 300.000 em 120 dias. O comerciante pretende saldar seus débitos por meio de dois pagamentos iguais, o primeiro à vista e o segundo em 150 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples racional vigente é 60% ao ano? a) 764.580 b) 802.580 c) 746.234 d) 664.580 51. A série de pagamentos: $ 300.000 em 30 dias, $ 600.000 em 90 dias e $ 200.000 em 150 dias, deverá ser substituída por uma outra com dois pagamentos iguais: o primeiro à vista e o segundo em 120 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples comercial vigente é 90% ao ano? a) 510.294 b) 580.325 c) 560.115 d) 602.400 52. O capital de $ 700.000, vencível em 40 dias, é equivalente ao capital de $ 800.000 à taxa de 75% ao ano, com desconto simples comercial. Quando o capital de $ 800.000 estará disponível? a) em 64 dias b) em 95 dias c) em 82 dias d) em 78 dias 53. Os capitais de $ 500.000 e de $ 700.000, com vencimentos respectivos em 90 e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa de desconto simples racional vigente? a) 70,50% a.a. b) 72,45% a.a. c) 80,72% a.a. d) 61,54% a.a. 54. O valor comercial de um título de $ 800.000 é hoje de $ 720.000. Daqui a 30 dias o valor atual comercial do CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 81 mesmo título será de $ 760.000. Qual a taxa de desconto simples comercial? a) 40% a.a. b) 52% a.a. c) 35% a.a. d) 60% a.a. 55. Um título de $ 900.000 foi descontado 45 dias antes de seu vencimento. Se o título tivesse sido descontado 9 dias antes, o valor do desconto teria sido $ 250 maior. Calcular a taxa de desconto comercial simples aplicada. a) 75,0% a.a. b) 84,6% a.a. c) 89,5% a.a. d) 90,0% a.a. 56. Um título descontado por dentro à taxa simples de 90% a.a. sofreu $ 90.000 de desconto. Se o desconto tivesse sido comercial seu valor seria $ 103.500. Qual o valor nominal do titulo? a) 820.000 b) 710.000 c) 690.000 d) 580.400 57. Calcular a taxa de desconto comercial simples abatida de um titulo cujo valor atual é igual a quatro quintos do seu valor nominal. A antecipação do seu vencimento foi de 5 meses. a) 8,0% a.m. b) 4,0% a.m. c) 7,5% a.m. d) 3,5% a.m. 58. Uma empresa devedora de dois títulos de $ 30.000, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja resgatar a divida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse pagamento, empregando a taxa simples comercial de 1,5% ao mês. a) 72.328,50 b) 65.482.73 c) 61.459,50 d) 94.600,00 59. Quanto sofrerá de desconto um título de $ 700.000, 3 meses antes de seu vencimento, se for descontado a 5% ao mês de desconto racional composto? a) 95.311 b) 101.400 c) 88.542 d) 90.243 60. Uma nota promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 4,5% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória $ 670.000, qual o valor $ do desconto concedido? a) 180.215 b) 172.326 c) 155.510 d) 150.520 61. Em um título de valor nominal $ 6.500, o desconto racional composto sofrido foi de $ 835,63. Se a taxa de juros de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação? a) 8 meses b) 4 meses c) 5 meses d) 6 meses 62. Determinar o valor do título, vencivel em 30 dias, capaz de substituir $ 400.000 vencivel em 60 dias, $ 300.000 vencivel em 90 dias e $ 1.000.000 vencivel em 180 dias, à taxa de juros compostos de 6% ao mês. a) 1.391.756 b) 1.245.500 c) 1.400.050 d) 1.300,000 63. Um capital no valor de $ 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de: a) 51 b) 51,2 c) 52 d) 53,6 e) 68 64. A uma taxa de 25% por período, uma quantia de $ 100 no fim do período (t), mais uma quantia de $ 200 no fim do período (t+2), são equivalentes, no fim do período (t+1), a uma quantia de: a) 406,2 b) 352,5 c) 325,0 d) 300,0 e) 285,0 65. Um "comercial paper" com valor de face de US$ 1.000.000 e vencimento daqui a três anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros composto de 10 % ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor de resgate, em US$: a) 751.314,80 b) 750.000,00 c) 748.573,00 d) 729.000,00 e) 700.000,00 66. Uma aplicação é realizada no primeiro dia de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitaliza- ção diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20,324% b) 19,615% c) 19,196% d) 18,174% e) 18,000% 67. O pagamento de um empréstimo no valor de $ 1.000 será efetuado por Intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do emprésti- mo. O valor da referida prestação será: CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 82 a) 1.000 / 6 b) 1.000 / 2,31306 c) 1.000 / 3,784482 d) 1.000 / 8,753738 e) 1.000 / 2,31306 68. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de $ 12.000 ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito no fim do primeiro mês? a) 12,000 / 15,025805 b) 12.000 / (12 x 1,48) c) 12.000 / 9.385074 d) 12.000 / (12 x 1,601032) e) 12.000 / 12 69. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de $ 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de $ 20.000 no fim do primeiro ano, e dez entradas liquidas anuais e consecutivas de $ 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor a- tual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano. a) 24.940,86 b) 11.363,22 c) 05.830,21 d) 04.940,86 e) 01.340,86 70. O prazo de aplicação para que um capital, aplicado à taxa simples de 18% a.m., quadruplique o seu valor, é: a) 2 anos e 7 meses b) 1 ano, 7 meses e 25 dias c) 1 ano, 4 meses e 25 dias d) 1 ano e 6 meses e) NDA 71. Um capital foi aplicado a 75% a.a., juros simples, e, após 5 meses, acrescido de seus rendimentos, foi reaplicado a 81% a.a., juros simples. Ao final do nono mês de aplicação, o valor do capital acumulado era de $ 1.000.125. Qual o valor do capital aplicado? a) 540.142,50 b) 385.200,00 c) 610.194,30 d) 600.000,00 e) NDA 72. Dois capitais, um de $ 400.000 e outro de $ 250.000, estiveram aplicados durante 3 anos. Calcular a taxa mensal a que esteve aplicado o segundo capital, sabendo-se que o primeiro o foi à taxa de 45,6% a.a., e rendeu $ 259.200 a mais que o segundo. a) 38,4% a.m. b) 18,5% a.m. c) 03,2% a.m. d) 28,8% a.m. e) NDA 73. Dois capitais estão entre si assim como 5 está para 7. Se o menor for aplicado a uma taxa 40% superior à do maior, esses capitais produzirão juros simples iguais, quando o prazo de aplicação do maior for: a) 15% superior ao do menor b) 25% superior ao do menor c) 30% superior ao do menor d) 05% superior ao do menor e) igual ao do menor 74. Qual é o capital que, acrescido dos seus juros simples produzidos em 270 dias, à taxa de 4,5% a.a., se eleva para $ 450.715 ? a) 436.000 b) 410.000 c) 458.400 d) 340.280 e) NDA 75. A que taxa simples mensal deveria estar aplicada a quantia de $ 250.000 para que acumulasse em um ano, 4 meses e 18 dias, um montante de $ 474.100 ? a) 25,2% b) 18,5% c) 15,6% d) 05,4% e) NDA 76. A uma taxa simples de 30% ao período, uma quantia de $ 50 no fim do período (t), e uma quantia de $ 160,55 no fim do período (t+3), são equivalentes, no fim do período (t+2), a uma quantia de: a) 190,5 b) 196,6 c) 240,6 d) 250,4 e) NDA 77. Um investidor aplicou três oitavos do seu dinheiro a 2% a.m., juros simples, e o restante a 9% ao trimestre, nas mesmas condições. Calcular o seu capital, sabendo-se que após um ano recebeu $ 151.200 de juros. a) 480.000 b) 360.000 c) 410.600 d) 520.800 e) NDA 78. Utilizando-se desconto simples racional, o valor que deverei pagar por um titulo com vencimento daqui a 84 dias, se o seu valor nominal for de $ 124.500, e eu desejar ganhar 54% ao ano, será de $: a) 132.184,50 b) 110.568,38 c) 142.615,70 d) 122.415,80 e) NDA 79. Um título, cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento, foi negociado à taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual racional simples recebido foi de $ 192.195? a) 185.000 b) 202.400 c) 210.000 d) 252.500 e) NDA 80. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada "por fora" 3 meses e 10 dias antes CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 83 de seu vencimento, à taxa simples de 10% a.m. produziu o desconto de $ 4.000. a) 24.600 b) 18.500 c) 20.080 d) 12.000 e) NDA 81. Um título de $ 600.000 foi resgatado antes do seu vencimento por $ 500.000. Calcular o tempo de ante- cipação do resgate, sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 42% ao ano. a) 8 meses e 10 dias b) 4 meses e 26 dias c) 5 meses e 15 dias d) 7 meses e 05 dias e) NDA 82. O desconto comercial de um título, com vencimento em 06-set-xx, excede o desconto racional em $ 9.000, caso esse título seja resgatado em 18-jul-xx. Saben- do-se que a taxa de desconto é de 30% a.m., pode-se afirmar que o valor de face desse título é de: a) 45.000 b) 48.600 c) 54.000 d) 65.000 e) NDA 83. Calcular a taxa de desconto comercial simples de um título cujo valor atual é igual a sete oitavos de seu valor nominal, sabendo-se que a antecipação foi de 2 meses e meio. a) 5,0% a.m. b) 7,5% a.m. c) 4,5% a.m. d) 6,5% a.m. e) NDA 84. O valor atual de uma nota promissória é de $ 180,000 tendo sido adotada a taxa de 20% a.a.. Se o desconto racional for de $ 7.500 então o prazo de antecipação será de: a) 40 dias b) 50 dias c) 75 dias d) 80 dias e) NDA 85. O montante produzido por um capital de $ 420.000 à taxa de juros compostos de 8% ao trimestre, durante 2 anos e meio, é de $: a) 850.400,00 b) 906.748,00 c) 945.020,00 d) 810.168,50 e) 895.420,00 86. Calcular o montante de uma aplicação de $ 540.000 a juros compostos, aplicados à taxa de 4,5% ao mês, durante 3 anos e 8 meses. a) 2.850.200,00 b) 3.055.128,50 c) 3.542.748,82 d) 3.745.506,34 e) 2.956.432,50 87. O montante gerado por um capital de $ 160.400, ao fim de 5 anos, com juros compostos de 40% a.a. capitalizados trimestralmente, é de: a) 1.079.090,84 b) 1.250.352,40 c) 1.512.028,32 d) 1.321.652,50 e) 1.411.715,78 88. Durante quanto tempo $ 250.000 produzem $ 148.462,10 de juros compostos a 24% a.a. capitalizados trimestralmente? a) 18 meses b) 20 meses c) 24 meses d) 26 meses e) 30 meses 89. O capital de $ 340.000 foi aplicado a 5% a.m., juros compostos. Após 7 meses de aplicação a taxa de juros foi elevada para 8% a.m., juros compostos. Nes- tas condições, o valor do montante final, após 17 meses de aplicação, será de $: a) 1.320.460,08 b) 1.032.860,25 c) 1.125.600,18 d) 0.998.945,70 e) 1.245.712,70 90. O prazo para que uma aplicação de $ 140.000 à taxa composta de 32% a.a., produza um montante de $ 561.044,99 é de: a) 3 anos b) 4 anos e meio c) 3 anos e 5 meses d) 5 anos e) 50 meses 91. Coloquei $ 780.000 aplicados a juros compostos de 8% a.m. e recebi $ 1.559.223,12. Logo o meu dinheiro ficou aplicado durante: a) 3 anos b) 4 anos e meio c) 3 anos e 5 meses d) 5 anos 92. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa composta de 3% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 19 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais $: a) 64,19 b) 72,19 c) 75,35 d) 76,35 e) 68,58 93. Considerando-se a convenção linear, o montante gerado por um capital de $ 90.000 a 20% a.a. capitalizado semestralmente em 2 anos e 2 meses, desprezando-se os centavos, será de $: a) 136.177 b) 148.500 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 84 c) 162.340 d) 175.100 e) 158.345 94. A diferença entre os montantes calculados pela con- venção linear e exponencial, a partir da aplicação de $ 600.000 por 126 dias à taxa de 4% a.m. é, aproximadamente, de $: (Dado: 1,04 x 45 = 19,007875 a) 42,35 b) 55,82 c) 70,19 d) 69,25 e) 81,40 95. Uma letra de câmbio no valor nominal de $ 131.769 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi o valor do resgate, se a taxa de juros compostos de mercado foi de 10% a.m.? (Considerar desconto racional) a) 99.000 b) 78.600 c) 98.150 d) 92.730 e) 95.300 96. Para um título no valor nominal de $ 65.000, o desconto racional sofrido foi de $ 8.356,30. Se a taxa de juros compostos de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação? a) 60 dias b) 45 dias c) 120 dias d) 70 dias e) 80 dias 197. Um equipamento está a venda por $ 2.000.000 de entrada e $ 3.000.000 após 7 meses. Um comprador propõe pagar $ 5.000.000 como segunda parcela, o que somente será feito após 10 meses. Nestas condi- ções, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros compostos de mercado for de 4,5% a.m. ? a) 850.425,80 b) 984.830,39 c) 902.100,00 d) 1.125.020,00 e) 915.632,70 98. Cláudio contraiu uma divida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos: o 1º de $ 25.000 e o 2º, 6 meses após o 1º, de $ 85.000. Não dispondo de dinheiro no vencimento da primeira parcela, Cláudio propôs o adiamento de sua divida, nas seguintes con- dições: faria um pagamento de $ 60.000 daí a 2 meses e o saldo em 10 meses. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 4 % a.a., qual o valor do saldo em $ ? a) 53.078 b) 62.420 c) 58.030 d) 49.340 e) 50.385 99. O preço à vista de equipamento é de $ 500.000. O vendedor facilita a transação, propondo o seguinte esquema: $ 100.000 como entrada, mais duas parcelas semestrais de $ 200.000 a 3% a.m. Quando será o último pagamento? a) 5 meses após a parcela 1 b) 6 meses após a parcela 2 c) 1 ano após a entrada d) 8 meses após a parcela 2 e) 18 meses após a parcela 1 100. Qual é o preço à vista de um equipamento cujas 1+11 prestações mensais, iguais e sucessivas, à taxa de juros compostos de 10% ao mês, são de $ 110.000 ? a) 785.540,15 b) 824.456,71 c) 800.100,20 d) 810.415,35 e) 850.513,80 101. Uma loja vende uma mercadoria por $ 640.000 à vista ou financia em 8 meses, a juros compostos de 6% a.m. Se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês, o valor da prestação mensal será de: a) 105.600,00 b) 098.546,35 c) 120.238,20 d) 103.063,00 e) 110.418,30 102. Em quantas prestações trimestrais de $ 185.500 poderei quitar uma dívida de $ 1.641.928,95, se o financiamento foi feito à base de 8 % ao trimestre ? a) 16 b) 20 c) 15 d) 18 e) 22 103. Uma empresa comprou um equipamento cujo preço à vista era de $ 1.389.970,05, pagando-o em 12 presta- ções mensais de $ 175.000. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? a) 3,5% b) 5,5% c) 7,0% d) 8,0% e) 9,0% 104. Uma amortização constante de 15 parcelas mensais de $ 110.000 tem carência de 4 meses e taxa mensal de 4,5%. Qual é o valor do financiamento, na ocasião do contrato? a) 1.105.000,02 b) 1.350.315,75 c) 920.618,35 d) 890.500,00 e) 990.634,48 105. A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Com- pre tudo e pague em 12 meses. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses. Se a taxa de financiamento é de 5% a.m., qual é o valor da prestação de um blusão de couro cujo preço à vista é de $ 1.148? a) 150,77 b) 130,25 c) 142,80 d) 125,47 e) 148,33 CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 85 106. Um terreno foi vendido por $ 2.500.000 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 285.000. Qual é o preço à vista aproximado do terreno, se nestas opera- ções for usual utilizar-se a Tabela Price com 26,6% a.a.? (26,6% / 12)% a.m. a) 8.550.000 b) 6.920.400 c) 7.760.471 d) 7.500.000 e) 7.345.680 107. Qual será o capital acumulado de 8 parcelas mensais de $ 250.000,00 aplicados à taxa de juros compostos de 10% a.m.? (aproximadamente) a) 2.280.850 b) 2.858.972 c) 2.480.750 d) 2.900.000 e) 2.790.500 108. Um Banco oferece a seus clientes uma poupança programada com prazo de 2 anos, à taxa de 10% a.m. Quanto deverá ser a quota mensal de um depositante para que ele acumule, ao final do período, um montante de $ 2.141.655,10 ? a) 45.500 b) 40.500 c) 48.000 d) 35.500 e) 50.300 109. Qual o montante, no final do 15º mês, resultante da aplicação de 12 depósitos mensais, iguais e consecutivos de $ 150.000, à taxa de juros compostos de 5% a.m., sabendo-se que aplicação é feita na data de assinatura do contrato? (aproximado) a) 2.902.105 b) 2.945.200 c) 2.750.400 d) 2.890.650 e) 2.985.800 GABARITO 01. B 11. A 21. B 31. E 02. C 12. B 22. D 32. E 03. A 13. B 23. E 33. B 04. E 14. D 24. B 34. D 05. A 15. D 25. B 35. A 06. D 16. B 26. E 36. C 07. C 17. C 27. E 37. B 08. A 18. A 28. E 38. C 09. B 19. E 29. C 39. B 10. A 20. D 30. B 40. A 41. D 51. A 61. B 71. D 42. A 52. B 62. A 72. C 43. C 53. D 63. B 73. E 44. B 54. D 64. E 74. A 45. A 55. D 65. D 75. D 46. D 56. C 66. B 76. E 47. B 57. B 67. C 77. A 48. A 58. C 68. A 78. B 49. B 59. A 69. E 79. C 50. D 60. C 70. C 80. D 81. E 91. A 101. D 82. C 92. C 102. A 83. A 93. A 103. C 84. C 94. B 104. D 85. B 95. A 105. C 86. D 96. C 106. C 87. A 97. B 107. B 88. C 98. A 108. D 89. B 99. B 109. C 90. D 100. B CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO x% em 1 mês  (6x)% em 6 meses Devemos, então, resolver o seguinte problema: 4 800 representam quantos % de 80 000? Dai: 4 800 = 6x . 80 000  480 000 x = 4 800 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos R$ 109 600,00 2,5% JUROS COMPOSTOS 1. Introdução O dinheiro e o tempo são dois fatores que se encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e dos negócios. Quando são gerados excedentes de fundos, as pessoas ou as empresas, aplicam-no a fim de ganhar juros que aumentem o capital original disponível; em outras ocasiões, pelo contrário, tem-se a necessidade de recursos financeiros durante um período de tempo e deve-se pagar juros pelo seu uso. Em período de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como já se viu, os juros simples. Já em períodos de longo-prazo, utiliza-se, quase que exclusivamente, os juros compostos. 2. Conceitos Básicos No regime dos juros simples, o capital inicial sobre o qual calculam-se os juros, permanece sem variação alguma durante todo o tempo que dura a operação. No regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vão sendo gerados, vão sendo acrescentados ao capital inicial, em períodos determinados e, que por sua vez, irão gerar um novo juro adicional para o período seguinte. Diz-se, então, que os juros capitalizam-se e que se está na presença de uma operação de juros compostos. Nestas operações, o capital não é constante através do tempo; pois aumenta ao final de cada período pela adição dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada. Esta diferença pode ser observada através do seguinte exemplo: Exemplo 1: Suponha um capital inicial de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 30.0 % a.a. por um período de 3 anos a juros simples e compostos. Qual será o total de juros ao final dos 3 anos sob cada um dos rearmes de juros? Pelo regime de juros simples: J = c . i . t = R$ 1.000,00 (0,3) (3) = R$ 900,00 Pelo regime de juros compostos: x= 4 800 48  x=  x = 0,01 480 000 4 800 1 =1% 100 0,01 = Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. Resolva os problemas: Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à taxa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)? Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho. A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 meses, rendeu juros de R$ 31 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicação Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou compra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara juros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todas elas são iguais. Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados? - - - - - - Respostas R$ 4 400,00 R$ 70 000,00 R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00 n J  Co 1  i  1 =     J  R$1.000,00 1,3  1  R$1.197,00 3   Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou com os cálculos, temos: Ano Juros simples Juros Compostos R$ 300,00 R$ 390,00 R$ 5 220,00 1 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.000,00(0,3) = 1,1% 2 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.300,00(0,3) = R$ 1 075,00 e R$ 215,00 Matemática 2 A Opção Certa Para a Sua Realização CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 3 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.690,00(0,3) = R$ 900,00 R$ 507,00 R$1.197,00 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Anos Montante a 1000 1200 1400 1600 1800 Juros simples Montante a 1000 Juros compostos 1200 1440 1780 2073,6 0 1 2 3 4 Vamos dar outro exemplo de juros compostos: Suponhamos que você coloque na poupança R$ 100,00 e os juros são de 10% ao mês. Decorrido o primeiro mês você terá em sua poupança: 100,00 + 10,00 = 110,00 No segundo mês você terá:110,00 + 11,00 =111,00 No terceiro mês você terá: 111,00 + 11,10 = 111,10 E assim por diante. Para se fazer o cálculo é fácil: basta calcular os juros de cada mês e adicionar ao montante do mês anterior. Representando graficamente, temos: JUROS COMPOSTOS Conceito Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte. Seja, por exemplo, um capital de 1.000 unidades monetárias colocado a 20% a.a. durante 4 anos. No fim do primeiro ano o juro é igual a 200, que é capitalizado, isto é, é somado ao capital 1000 para, assim, o novo capital, 1200, produzir juros no segundo ano. Ao final deste, o juro será de 240, ou seja, 20% de 1200. O capital a produzir juro no terceiro ano é de 1.440 (1.200 + 240). O juro será 288. No quarto ano o juro será de 20% sobre o capital 1.728 (1.440 + 288), ou seja, 345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano será de 2.073,60 unidades de capital. O gráfico abaixo mostra os juros calculados no fim de cada período e os respectivos montantes. Pode-se verificar, pelo gráfico acima, que, para n 1, os juros compostos e os juros simples são iguais; para n < 1, os juros simples são maiores que os juros compostos e, para n > 1, os juros compostos sempre excedem os juros simples. CÁLCULO DO MONTANTE (CN) No problema anterior, calculou-se o montante do capital de 1.000, em 4 anos, a 20% a.a., resolvendo quatro problemas de juros simples, ou seja, calculando os juros em cada ano a partir do montante constituído no ano anterior. Pode-se, entretanto, deduzir uma fórmula para o cálculo do montante em função do capital inicial, da taxa do juro e do tempo de aplicação. Os juros foram calculados, em cada ano, aplicando-se a fórmula j = Ci (n = 1) e os resultados obtidos estio resumidos no quadro abaixo: Capital 1° ano 2° ano 3° ano 4° ano 1000 1200 1440 1780 Juros 200 240 288 345,6 Montante 1200 1440 1728 2073,6 Representando literalmente os valores do quadro acima, temos: Comparando os juros compostos com os juros simples, verifica-se que os primeiros crescem em progressão geométrica, enquanto os juros simples são constantes em todos os períodos, pois são calculados sempre sobre o capital inicial. No problema citado, os juros simples são iguais a 200 unidades monetárias em todos os anos. Assim, o montante do capital de 1.000, a juros simples de 20% a.a., cresce numa progressão aritmética de razão 200, enquanto o montante a juros compostos cresce em progressão geométrica de razão 1,2. O quadro abaixo apresenta a evolução dos montantes a juros simples e compostos. Capital n =1 n =2 n =3 n =4 C C1 C2 C3 Juros j1 J2 j3 j4 Montante C1 C2 C3 C4 Seja CN, o montante do capital C, à taxa i, no fim de n Matemática 3 A Opção Certa Para a Sua Realização CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO períodos. Resolvendo literalmente o problema anterior, temos: • para n =1 C1 = C+ j1 como j1 = Ci C1 =C + Ci = C(1+i) • para n =2  C2 = Ci + j2 C2 = C1 +C1i = C1 (1+i) = C (1+i) (1+i) =C (1 +i)2 • para n = 3  C3 = C2+j3 C3 = C2 + C2i = C2 (1+i) = C (1 +i)2 (1+ i) = C(1 +j)3 • para n=4 C4 = C3+j4 C4 = C3 +C3 i = C3 (1 +i) = C(1+i)3 (1 +i) = C (1+j)4 Analogamente: C5 =C (1 + i) C6 = C (1+i) 5 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos n = 24 (meses) C24 = 3.000(1 +0,02) 24 24 = 3.000x 1,02 24 O valor de 1,02 é fornecido por tábua financeira (Tábua 1) e é igual a 1,608437. C24 = 3.000 x 1,608437 C24 = 4.825,31 TÁBUAS FINANCEIRAS Na aplicação da fórmula do montante deve-se calcular n o valor da potência (1 + j) . Por isso, foi colocada no fim deste livro (apêndice) a Tábua financeira 1, que fornece os valores da expressão (1 + i)n para vários valores de i e n. Para localizar, na Tábua 1, determinado valor, procurase na primeira linha a taxa centesimal correspondente a / e, na primeira coluna, o valor de n. É na intersecção da linha dos períodos com a coluna da taxa que ele se encontra. Convém recordar aqui que se estiver tomando uma taxa anual, n estará representando o número de anos; se a taxa for trimestral, n será o número de trimestres etc. EXEMPLOS: 1. Se o problema envolve uma taxa mensal de 2% por um ano e 6 meses, então: n 18 6 Finalmente, para n qualquer, Cn = C ( 1+i) n Obs.: Nessa fórmula, como em todas as demais da matemática financeira, a taxa unitária i e o número de períodos n devem referir-se d mesma unidade de tempo. Assim, se i é taxa anual, n deverá expressar número de anos; se lã taxa semestral. n será número de semestres etc. EXEMPLOS 1. Calcular o montante do capital de 10.000 unidades monetárias, a 10% a.a., em 3 anos. C = C(1+i)N C = 10.000 C = 0,1 (10%a.a.) n = 3(anos) C3 = 10.000(1+0,1)3 C3 = 10.000 x 1,1 3 (1 +i) =(1 + 0,02) 1,428246 2. Para taxa trimestral de 5% em 2 anos, temos: (1 +i)n =(1 + 0,05)8 1,477455 CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS Na constituição do montante, os juros podem ser calculados no fim de cada ano, semestre, trimestre ou mês. Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente, semestralmente, trimestralmente ou mensalmente. Geralmente, com referência ao período de capitalização, a taxa de juros é anual. EXEMPLOS 1. Juros de 18% á.a. capitalizados semestralmente. 2. Juros de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. 3. Juros de 12% a.a.‘capitalizados mensalmente. Nesses casos, ao calcular o valor da expressão (1 + i)n emprega-se a taxa proporcional, ou seja: no exemplo 1, a taxa semestral proporcional a 18% a.a. é de 9%; no exemplo 2 a taxa proporcional é de 5% ao trimestre; e, no exemplo 3, a taxa a ser utilizada é de 1% ao mês. Entretanto, às vezes, usa-se a taxa equivalente, conforme se verá mais à frente. C3 = 10.000 x 1,331 C3= 13.310 2. Determinar o montante de 3.000 unidades monetárias, a 2% ao mês, no fim de 2 anos. Cn = C (1 +i) C = 3.000 i = 0,02 (2% ao mês) n Matemática 4 A Opção Certa Para a Sua Realização a.5% ao trimestre e o prazo de aplicação é de 2 anos.610510 log x = 0. se se dispuser de uma calculadora que faça potenciação.02) 20 20 4 n 3 (1 i)  (1 0.06 (6% ao trimestre) n = 8 (trimestres) x = (1 +i)n Log x = log (1 +i) n C8 = 500 (1 +0.000 (1 +0. po8 de-se calcular o valor de (1 + 0.055) com auxílio de logaritmos.1) 3  (1 0. Admita-se que um capital é colocado por 2 anos e 2 meses a juros de 20% a.26 u.a capitalizados semestralmente. Obviamente. pode-se achar o valor dessa expressão com auxílio de logaritmos ou fazendo interpolação dos valores tabelados. a tábua não tiver a taxa do problema ou n for um número que não conste na 3 log x  log(1 0.02) 1.534687 Portanto. a taxa é de 10% ao semestre e n é igual a 4 2/6 = 4 1/3 (semestres). Neste problema.1)5 1. no fim de 2 anos. foi colocado a juros de 20% a. entro: (1 +i)n =(1 + 0. CÁLCULO DO VALOR DE (1 + i)n NÃO TABELADO Quando o valor da expressão (1 + i)n não for fornecido diretamente pela tábua financeira. Se a taxa é de 5.1 log x   0.485947 3 x  (1 0.055)8 log x = log(1 + 0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO EXEMPLOS 1. Assim: x = (1 + 0.m. 2.534687 (veja Tábua 1) Em meses: Cn = C (1 +i) n 8 x = antilog [n log (1+i)] 2. O capital de 120 u.1)    13 (1 + 0.055)8 Por hipótese.84 u.0232525 1.1)  log x  13 3 13 3 log1.m.055)8 = 1.18602 C5 = 120 x 1. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses? Cn = C (1 +i)n i = 0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.593848 EXEMPLOS C8 = 500 x 1.92 u.055 log x = 8 x 0.m. capitalizados semestralmente.485947 C20 = 4.1)5 (1 + 0. (1 + 0.18602 x = 1.06) 1.413927 Matemática 5 A Opção Certa Para a Sua Realização .1)  13 C20 = 3. x = antilog 0. a tabela não fornece a taxa de 5. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.1 (10% ao semestre) n = 5 (semestres) C5 = 120 (1 +0. Cálculo de (1 +i) com emprego de logaritmos Fazendo: n i = 0.02 (2% ao mês) n = 20 (meses) C20 = 3. com juros de 24% a..06) 8 8 Log x = n log(1 +i) (1 + 0.610510 C5 = 193. Então: 1 13 i = 0.055) log x = 8log 1.457.593848 C8 = 796.5%.000 x 1.a.m. isto 6.m. o cálculo será bem simplificado. capitalizados trimestralmente? Cn = C (1 +i) n A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos tábua. os valores da expressão (1 + 1)” podem também ser calculados fazendo-se interpolação linear dos valores aproximados. Podemos observar melhor a superestimação de (1+ i) . respectivamente.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. fornecidos pela tábua financeira. capitalizados semestralmente. é menor que 1.116393  0.12(12% ao mestre) Matemática 6 A Opção Certa Para a Sua Realização . BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO log x = 0.049836 x Portanto: (1 0. 4 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos INTERPOLAÇÃO DE VALORES TABELADOS Nos dois exemplos anteriores. Para o cálculo do valor de (1 + 0.511361 1 3  1 511361 portanto (1 0. No segundo exemplo.055) . em seguida. 1 como foi visto anteriormente. pela interpolação linear. pois estes crescem na forma exponencial e. por isso. quando n < 1 os juros simples são maiores que os compostos. deve-se observar que os valores de (1 + i) obtidos por interpolação linear da taxa serão sempre um pouco maiores que os valores reais. onde n4 1 e a taxa é de 10%. então.535651. calcula-se o montante a juros compostos na parte inteira de n e.477455 6% Acréscimo no n 1. para estas taxas. sendo n um número misto. calculam-se os juros simples desse montante na parte fracionária de n.610510 – 1. CAPITALIZAÇÃO MISTA n 4 1 x = 0.593848 — 1. 1. em de período os juros 3 simples (interpolação linear) são maiores que os juros compostos (exponencial).116393 x = 0.1)  .535651(1.461000) x 1 x 0. nesses casos.534687 (valor real). os valores da funn ção (1 + i) . temos: Acréscimo da função 0. sempre que o cálculo exigir precisão deve-se evitar a interpolação linear. 5% 8 1. através da representação gráfica abaixo. 3 interpolando os valores tabelados. Ci = C(1+i) n i = 0. Estabelecendo uma regra de três calculase o valor da função para a taxa de 5. Portanto: 1% 0.149510(1.a.116393 (1.5 x 0.5%. pela interpolação linear considera-se um segmento de reta entre dois pontos da exponencial.5 x 8 Neste exemplo. em 2 anos e 2 meses. procuram-se na tábua as taxas mais próximas de 5. Na linha correspondente a 8 períodos.5%. Dessa forma: (1+0. Este tipo de interpolação não será empregado. Esse sistema de cálculo denomina-se capitalização mista.058196) Entretanto.593848.5% 1 0.5% — 5%) corresponde a um acréscimo de x no valor da função. o cálculo do montante é feito através do sistema de capitalização mista.055) com auxílio de logaritmos. que são 5% e 6%.1793683 x = 1.055) .593848 1 Para um acréscimo da taxa de 1% (6% — 5%). tem-se o valor da expressão (1 + 8 0. na prática.477455).510836  Comparando este valor com aquele obtido com auxílio de logaritmos (1.1793683 x = antilog 0. a função tem um acréscimo de 0.5% (5. verifica-se que o valor calculado para 8 (1 + 0.055) = 1. EXEMPLO Determinar o montante de 900 unidades monetárias. calculado por interpolação linear.477455+0. pois.116393 x = 0.511361) verifica-se que a interpolação n linear subestima o valor real de (1 +i) Isto ocorre pois. a 24% a. um acréscimo de 0. n 8 Como vimos.058196 Somando-se esse valor ao da função correspondente à taxa de 5% e 8 períodos.149510 3 1 3 x= 0. Assim.477455 e 1. são 1.1)3 = 1. 005 k (1+ 0. que. à medida que aumenta o número de capitalizações.1)  1000  1.000 unidades monetárias.5)  1000  1. capitalizados mensalmente. Calcular o montante do capital de 1.331  3 6 b)C  1000(1 0. Considere-se o seguinte problema: calcular o montante de 1.81 Portanto.573519 1. calcula-se os juros simples desse montante em 2 meses. e as tabuas financeiras.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.12) 3 n 4 5 12% 1.416. que fornecem taxas anuais de juros e o número de períodos de capitalização em meses.000 unidades monetárias.a.416. apresenta-se uma amostragem das tabelas Price (Tábuas VI a X). 1.00833)  1000  1. No apêndice.472. capitalizados: a) anualmente b) semestralmente c) trimestralmente.340.348. através desse problema. Esse mesmo resultado é obtido se resolvermos o problema fazendo a interpolação linear para o cálculo do valor de (1 + i)n. EXEMPLO 1.061678 i = 1.17 i = 0.348181  1. a 10% a. e d) mensalmente C 4 1 = 900(1+0. i = (1 + ik) – 1 ik = 0.762341 – 1.81 3 Pela capitalização mista. convencionou-se chamar esse sistema de capitalização de Price.573519 C4= 900 .188822(1. por 3 anos.17(1+0.a.188822 3 x= 3 a)C  1000(1 0.02x2) i = (1 + 0.12) 4 SISTEMA PRICE Quando um capital é colocado a juros compostos capitalizados mensalmente a uma taxa anual. por 2 anos.416. C4= 900 (1+ 0.167% a.10  3 12 c)C  1000(1 0.17 Aplicando agora a fórmula do montante a juros simples. em seguida.344889  1.18  3 x = 0.a.005)12 – 1 C2 = 1.573519 C4= 1.12(12% ao mestre) JUROS COMPOSTOS CONTÍNUOS 1 n  4 (semestre) 3 4 1 3 n (1 + 0.340095  1.344. onde: C= 1. calcula-se o montante a juros compostos em 4 penodose. Os juros compostos são denominados contínuos quando o número de capitalizações tende para infinito. a 12% a. Cn = C(l + i n).005)12 1.062941 Verifica-se.81 unidades monetárias. Vejamos: Cn = C(1+i) C = 900 i = 0.472.061678 – 1 i = 0.02(2% ao mês) n = 2 (meses) k = 12 C2 = 1.573519) x 1 x 0.331000  1.472. o montante também Matemática 7 A Opção Certa Para a Sua Realização .89  3 36 d)C  1000(1 0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO n4 1 (semestre) 3 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos C 4 1 = 1.06167 ou 6.762341 1 1 3 0. o montante pela capitalização mista é de 1. de tabelas Price.12) 4 1.025)  1000  1. com juros de 10% a.portanto.718 ritmos.13027485 x = antilog 0.1 x 3 C3 = 1000 x 2. a curva correspondente aos montantes de um certo capital.718 in Seja k   o número de capitalizações em 1 ano. 1 lim C n  lim C (1  )k 'i n k' k' k' 1   lim C n  lim C   lim (1  )k '  k'  k' k' k' 'i n Matemática 8 A Opção Certa Para a Sua Realização . Quando n tende para infinito. no exemplo anterior.7180.a. Cn = C . BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO aumenta. os juros compostos são contínuos.3 1 : k Substituindo i por Fazendo x = 2.3 e calculando com auxílio de loga- Cn  C(1  1 kn ) k logx = log2.3log2. Taxa anual equivalente à taxa instantânea Calculando o limite quando k’ . EXEMPLO Calcular o montante do capital de 1.718 Dividindo 2 termos da fração por i: logx = 0.1 n=3 C3 = 1000 x 2.34981 C3 = 1. capitalizados continuamente.34981 Cn  C(1  C3 = 1000 x 1.000 unidades monetárias. Dessa forma.13027485 x = 1.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.3 logx = 0. que o montante não cresce proporcionalmente ao número de capitalizações. CÁLCULO DO MONTANTE O problema de juros compostos contínuos consiste em calcular o limite para o qual tende o montante quando o número de capitalizações tende para infinito. tem concavidade para baixo.e C = 1000 e = 2. 0.349. Portanto: A expressão lim(1+ K’ Cn=C e in in Obs: O valor da expressão e terá de ser calculado com calculadora eletrônica ou com o auxílio de logaritmos.81 Taxa instantânea A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea.34981 C3 = 1. em 3 anos. em função do número de capitalizações. Teremos a fórmula geral do montante: Cn = C (1+i) n i = 0. lim C n  C n k ' lim C  C k ' k k’ ) é um dos limites fundamentais i da álgebra e é igual a e = 2. e n o número de anos. num tempo constante. k = k’i i i k 'in ) k' logx = 0.3 x 0.432495 1 C n  C(1  )kn k i Seja k’ = k .718. conforme o gráfico seguinte: Cn é o limite para o qual tende o montante quando n tende para infinito A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Sendo Cn e C constantes.7180.718 0. a uma determinada taxa. Pode-se verificar. 4342495 logx  0.a. J = C (1+i)n – C J = C[(1+i) – 1] i = 0..1 i i  2. temos: i  e i 1 i A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos i i  2.a. ei (capitalização contínua) C(1+i) = C x e i 1+ i = e i Dessa igualdade.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.143588 J = 1. em n anos.3028 log(1  0.000 [2.53% PROBLEMAS RESOVIDOS 1.a 2.04342495 x  1.0413927 i i  0. colocado por 4 anos.718 logx  0.1 0.59 EXEMPLO 1. pode-se deduzir i em função de ii e em função de i. Qual a taxa anual equivalente á taxa instantânea de 10%? 2.75% ao trimestre) n  12 (trimestre s) C12  2000(1  0.C Cn = C (1+i) n n in n i i Para deduzir a expressão do valor de ii em função de i aplicam-se logaritmos à igualdade.718 ii  0.1) i i  2.. No primeiro caso.00833.0375)12 x  2.1 i  2.1 1 i = 0. capitalizados mensalmente..718 0.0375 (3. (0.3028 log (1+i) n = 8 (semestre) J = 1.. Qual o valor do resgate? Cn  C(1 i)n i  0. capitalizados semestralmente.a.000 x 1. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.)24 (1 + 0.220390 (Tábua VI) logx  0. um capital C.. Os montantes são: Cn = C (1 + i) (capitalização anual) Cn = C .000 [(1 + 0. em 2 anos? Cn = C (1 + i)n i  eii  1 e  2.3028 log(1  i ) i  0..1log2.220390 C24 = 610.143588 (Tábua I) J = 1.1 1.833.1)8 – 1] (1 + 0.10551 ou 10. Qual a taxa de instantânea equivalente a 10% a.51% a. produzirá o mesmo montante à taxa i e à taxa ii.0953ou 9. Então.1 (10% ao semestre) n 1  i  e ii log(1  i )  log e ii  ii log(1  i )  i i log e 1  log(1  i ) log e 1 ii   log(1  i ) 0.718 0. a 10% a.10551  1 i  0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Seja i a taxa anual e ii a taxa instantânea equivalente.)24 C24 = 500 x 1.143.a? Matemática 9 A Opção Certa Para a Sua Realização . a 20% a... Um empréstimo de 2000 unidades monetárias deverá ser resgatado no fim de 3 anos com juros de 15% a. J = Cn . Calcular os juros do capital de 1000 unidades monetárias.00833. % ao mês) n = 24 (meses) C24 = 500 (1 + 0.4342495 ii = 2.1)8 2.20 3. capitalizados trimestralmente.m.1051 i  1.00833.3028  0..143588– 1] J = 1. : Dois capitais são ditos diferidos se têm vencimentos em datas diferentes.5 0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Interpolados os valores da Tábua I. 0.87% ao trimestre EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS Def. 1% x Matemática 10 A Opção Certa Para a Sua Realização .094219 x = 0.556051 C12 = 3.5% 0.17318627 24 6.089963 0.511069+0.268242 ou 26. correspondente a n (1+i) para3.0375) 12 = 1. seus valores atuais forem iguais.122.32633586 – 2. Mas. esta deve ser a data em que a dívida foi contraída (data zero).044982 = 1.o índice de preços no ano de 1966 foi de 149.10 4.25 x0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.556051 (1+i)7 =1. temos: 3 .713824 n C12 = 2000 x 1.601032 n % A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos log(1+i) = 2.70P unidades monetárias em 1 ano e 9 meses. No caso de juros simples.25% x 0.089963 x C = 1000 n = 7(trimestralmente) 1700 = 1000 (1+i) (1+i)7 = 1700 1000 7 Portanto: (1+0. para resolver problemas assim. passando para 212 em 1968. Problemas de equivalência de capitais diferidos têm uma importância muito grande pois permitem a substituição de títulos que vencem em datas diferentes. em certa época.511069 1. 2º) Calcular o Valor Atual de todos os títulos envolvidos no problema na data de comparação.108043 0.605781 7 Taxa nominal = 2% x 12 = 24% a.02)12 -1 i = 1.log P n Pn = 212 P =149 n = 24 log(1+i) = log212 – log149 24 k O valor de (1 + i) = 1.000 unidades monetárias produziu o montante de 1. Log(1+i) = log Pn. Considerando os Índices referidos ao mês de dezembro. Taxa efetiva: i =(1 +ík) -1 ik = 0. Com relação ao ano-base de 1964.7 Implementando: 7% 8% 1. Calcular a taxa nominal correspondente a 2% ao mês. devemos: 1º) Estabelecer uma data de comparação.268242-1 i = 0.87% x = 7.7 está na tábua entre as taxas de 7% e 8%.a.5% e 4%. Qual foi a taxa trimestral dos juros? Cn = C (1+i) Cn = 1700 n 0. 4 O capital de 1.02 k = 12 i = (1+0.a.094219 0.824%a.108043 x = 0. 5. 5 % 12 1. e a efetiva anual 7 1.: Dois ou mais capitais são ditos equivalentes se. Def. calcular a taxa mensal média de inflação nesse período de 24 meses. no fim de 2 anos e meio.a. Calcular 250% de 32.586. Determinar o montante de 1.00. Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a.a.532% ao mês. capitalizados trimestralmente? 09 O capital de 4.279 u.79 u. 03. 02.671 u. capitalizados trimestralmente? 06.1. produzem 1. portanto. capitalizados semestralmente.m.5 anos. Solução: Taxa = 3.5% ao 12.000 u.5% ao trimestre. 07.934. Quanto é 13% de 200? Solução: Taxa = 13% = Principal = 200 Porcentagem = taxa  principal Porcentagem = 0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Qual a taxa de aplicação? Respostas: 01.500 u.500 u. Um capital foi aplicado a 1.m.200 u.a. produza 2. Qual é o principal que à taxa de 20% resulta uma porcentagem de 36? Solução 3.07 u.5% de $4 500.m.500 u. 06. 03.1. Obter 3. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 3º) Comparar os valores calculados. Em quanto tempo um capital dobrará de valor a 18% a.484.a. Calcular o montante de 1. 11 13. ser trocados. Qual a taxa anual equivalente? 14.000 u. 07.000 u.695.881 u. Qual o juro de 2. capitalizados semestralmente. 02.m. é colocado a 20% a.874 u.061. 15.1.a.11% ao trimestre.13 100 Matemática 11 A Opção Certa Para a Sua Realização . capitalizados mensalmente.257.m.m. esses capitais diferidos são equivalentes podendo.a. O capital de 1. capitalizados semestralmente.56% a.m. No fim de 2 anos e 6 ‗meses retirou o montante de 2. no fim de 4 anos.m.000 u.m. 10. foi colocado a 12% a.17.50. Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a. em 3 anos.000 u.m. capitalizados trimestral-mente e o restante. 14.? 15. 03. a 20% a.5% ao mês. capitalizados trimestralmente e o de 7. No fim de quanto tempo os montantes serão iguais? 10 Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a. Solução: Taxa = 250% = Principal = 32 Porcentagem = taxa  principal Porcentagem = 2.a.m.5% de $4 500.a. Qual a taxa trimestral do juro? 05. a 16% a.00 é $ 157.1. Se o resultado for uma igualdade.5 Resposta: 3.a.035  4 500 = 157. 053 anos.5 = 0.5 100 0.5. 08.52% a. durante 4 anos. 02.m.m.035 100 250 = 2.621 u.24%a. a 20% a.4.m.m. meses e 6 dias.? 13.a. O capital de 1. no fim de 3 anos.m. Qual o tante? 04. 1126. produziu o montante de 1.a.000 u.2 anos.360.000 u.5  32 = 80 Resposta: 250% de 32 é 80.a.877 u. de juros em 3 anos e 6 meses? 08 Durante quanto tempo 2. capitalizados semestralmente.5% = Principal 4 500 Porcentagem = taxa  principal Porcentagem = 0. de juros. capitalizados trimestral-mente.m.m. capitalizados trimestralmente? .58 7 u. é colocado a 10% a. PROBLEMAS PROPOSTOS 01.2. 04.a. a 24% a.323.m. Se a taxa fosse de 2% ao mês os juros seriam maiores em 69. faz com que o capital de 2.m. trimestre. Qual a taxa efetiva? 12. 09. a 12% a.a.13  200 = 26 Resposta: 13% de 200 é 26.a. O capital de 1.1. Qual foi o capital aplicado? 11 Uma instituição financeira paga juros de 24% a.19. 8 meses e 23 dias. Qual a taxa anual de juros que. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 04.a. EXERCÍCIO RESOVIDOS – MATEMÁTICA 01. foi aplicado durante 1 ano e 3 meses a uma taxa trimestral de juros. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. podemos dizer que o custo corresponde a 95%. 08.00.2 100 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Valor líquido 5 000 • 0. ou seja.2 Resposta: O principal é 180. pois: 95% + 5% = 100% custo lucro venda Numa regra de três. 09.05) Resposta: O comerciante ganhou $ 200.m.5% a. Solução: 05.00 se desejo lucrar 5% sobre a compra? Solução Preço de venda = (1 + 0.00. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Taxa = 20 = 0. Quanto ganhou? Solução: Já que o lucro foi de 10% sobre a venda. teremos: 90% 10% 10 1800 = 200 90 1 800 x 1900 (1  0.05) • (1 . A quanto devo vender um objeto que comprei por $ 1900. aplicada num capital de $720 000. 11.0.00.95 Resposta: O preço de venda será de $ 2000. (lê-se ―ao mês‖)? Solução: Preço de venda = 1900 0. resulta uma porcentagem de $21 600. pois 90% + 10% = 100%. 07. o preço de custo corresponde a 90%. 06. quando aplicado durante cinco meses.2  principal Principal = 36 = 180 0.00.00 para lucrar 5% sobre a venda? Solução: x= Preço de venda: Resposta: O objeto foi comprado por $3 800. teremos: 5% 95% Então:x = 95  200 =3 800 5 200 x Resposta: A taxa é de 3%.00 produz. 10. Certo comerciante vendeu mercadorias compradas por $1800.00 sofrerá descontos sucessivos de 5% e mais 8%. Qual é o juro simples que um capital de $ 30000. a uma taxa de 3.05 • 40000 Preço de venda = 42 000 Resposta: Devo vender por $ 42 000.00. Qual foi o preço de custo? Porcentagem = 36 Porcentagem = taxa  principal 36 = 0.035 • 5 J = 5 • 250 Resposta: O juro é de $ 5250. Por quanto devo vender um carro que comprei por $ 40 000.05) • 40000 Preço de venda = 1.0.8740 Valor Líquido 4 370 Resposta: A fatura será liquidada por $ 4370.3 = = 3% 720000 100 Se foram ganhos 5% sobre a venda. Matemática 12 A Opção Certa Para a Sua Realização .08) J = C • i • n  J = 30000 • 0.95 • 0. Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o preço de venda. $200. Uma fatura de $ 5000. Numa regra de três.00.00 com o lucro de 10% sobre a venda. Por quanto será liquidada? Solução: Valor líquido = 5000 • (1 .00.00? Solução Principal = 720 000 Porcentagem = 21 600 Porcentagem = taxa  principal 21 600 = taxa  720 000 Taxa = 21600 3 21600 = 0. Qual é a taxa que.00 na transação.92 Valor líquido 5 000 • 0. será de 8. 100% a.005 • 50 2000 C 0. durante 6 meses? Solução: Como o capital aplicado é de $ 29 800. investido a juros simples de 63% ao ano.00 Poderíamos também resolver esse problema. o capital dobrou!). depois de 4 anos.m. evidentemente... Qual é o montante resultante de uma aplicação de $ 29800. o juro é igual ao próprio capital. 17. se calculada anualmente. temos: M = 29 800 (1 + 0. O mesmo efeito seria obtido se fizéssemos: 1 3 J = 10000 • 0. à taxa mensal de 2%? Solução: J = C • i • n • J = 2500 • 0.00.00.63 • 360 J = 1750 Resposta: O juro é de $1750. utilizamos o tempo em meses.005 • 50 C = 8000 Resposta: O capital inicial é de $ 8 000. Qual é o juro simples que um capital de $ 2500. que é o ano comercial. uma vez que dividimos o número de dias por 360.72 14.02 • 12 J = 600 Resposta: O juro é de $ 600. o montante é de: 1 meses. Qual taxa mensal de juros simples deve incidir num capital para que ele duplique de valor em um ano? Solução: Neste caso. J = C • i • n  C = C • i • 12 C 1 ii  0.5 720 =i 5000 • 4. C • 12 12 A taxa. Qual foi o juro? Solução: Na resolução desse problema é importante tomar cuidado com as unidades de tempo.33% ao mês.0833. J = 10000 • 0. se tornaria. a contar da data do investimento. Coloquei uma certa quantia em um banco a 120% a.00 precisamos saber os juros.00. (lê-se ―ao dia‖) rende $ 2000.5 Resposta: A taxa deverá ser de 3.a.00. e retirei.00? Solução: J = C • i • n  720 = 5000 • i • 4. portanto.m. Qual é a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de $ 5000.00 + $21 456.00. 16. Um capital de $ 10000.33% a. $ 928000. 18. nesse caso.12 • 6) M = 29800 • 1.00 para que este em quatro meses e meio.63 • 3 12 Veja que. o montante será de $ 51 256. Esta mesma taxa.2% ao mês. Quanto recebi de juros.00. Que capital inicial.a.00 à taxa de 12% a. a uma taxa simples de 0.5% a. pois 3 meses e 10 dias = 3 J = 21 456 Como os juros são de $ 21456. 15. renda $ 720. 100% (afinal.00 = $51 256.00? Solução Resposta: De qualquer maneira que se resolva esse problema.00 rende quando aplicado durante um ano. sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples? Solução: Matemática 13 A Opção Certa Para a Sua Realização .d. foi sacado após três meses e dez dias. Portanto: 8.63 • 100 360 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos J = C • i • n  2000 = C • 0. 13. 3 $29 800.12 • 6 Observe que o período n foi reduzido a anos.00. Assim: 3 meses e 10 dias = 100 dias J = C • i • n • J = 10000 • 0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 12. usando a fórmula: M = C • (1+ i • n) Assim. em cinqüenta dias. J = C • i • n  29800 • 0. 2 e n = 4 Como J = C • i • n.8C 928 000 = 5.50. Para achar os juros. Um título no valor de $ 1200. n = 2 meses e 10 dias = 70dias i = 0.900 = 300 300 = 1200 • 5. então: 928 000 C + 4.05 • 70  87.06 928000 1  1. Qual foi a taxa mensal usada? Solução: N = 1200 L = 900 Vamos resolver este problema de dois modos. 00. basta subtrair o montante do capital: M=C+JJ=M-C 300  0. de $ 160 000.00. então: J = C • 1.8C Mas. calculado com uma taxa mensal de 6%.160 000. os juros serão de $768 000. de $ 87. 19.in) J = 928000 . i = 1. ficou reduzido a $ 900. i= n = 5 meses C 928000 5. pois M = C + J  J = M . portanto.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.8 C = 160 000 O capital investido foi. sobre um título de $ 750.05 ou 5%a. Qual era o valor nominal da promissória? Solução D = 4400 i = 0. temos: 900 900  1  5i  5i  1  1200 1200 300 5i  1200 300 i  0.. Obtive um desconto de $4400. obtemos a informação: 0. Nessas fórmulas. como M = C + J.00.50 30 Resposta: O desconto foi.m. portanto. 6000 Resposta: A taxa mensal foi de 5%. pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento? Solução N = 750. 21. Primeiro modo: usando o cálculo de desconto D=N•j•n D = N . pago 5 meses antes do vencimento. a 5% a.8C A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 20. portanto.00.00. substituindo as letras pelos valores. Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido L = N (1 . BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Temos neste problema: M = 928000.05 D = N • 1 • n  D = 750 • Consultando a tabela 1. Matemática 14 A Opção Certa Para a Sua Realização .160000 J = 768 000 Poderíamos também resolver o problema usando as fórmulas M = C (1 + i • n) ou C  900 000 = 1200000 • (1 – i • 5) M 1  12 • 4 .05 1200 • 5 A taxa aplicada foi.8 C  160000 C Resposta: De qualquer maneira. uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Resgatei.2 • 4 J = 4.2 • 4 928000 C 5. em 16 de abril.m.L = 1200 .00.C = 928 000 . Qual o desconto. de 5% ao mês. conforme o caso. A fórmula (1) tomaria. Como há tabelas que fornecem diretamente o número exato de dias decorridos entre duas datas. O prazo de aplicação (n) deve estar expresso na mesma unidade de tempo.6..3 a 17. JURO SIMPLES COMERCIAL Adotando-se a convenção do ano comercial. à fração 1/365 ou 1/366 do ano. n J = C . conforme seja bissexto ou não. da o que é o mesmo que: J = C .6. Exemplo 1 . i Por definição. financeiras comuns: deve-se observar duas normas O ANO CIVIL .6 .Xl a 25. subdividido em 12 meses de 30 dias cada. n/366.Neste caso. raramente.3. i = taxa de juros do período e Considerando a fórmula básica (1) para o cálculo do juro em regime simples de capitalização. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Resposta: O valor nominal da promissória era de $40000. por simples transformação algébrica. onde as operações.19XI.. i/100.3. Desse modo. um capital C aplicado à taxa i durante esse prazo. isto é. o ano de 360 dias. então. um dia equivale à fração 1/360 do ano e um mês equivale à fração 1/ 12 do ano. a fórmula (2). 8 dias CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 98 dias DESCONTO E TAXAS DE DESCONTO Representando por n o número de dias de corridos entre as duas datas e. na maior parte das vezes. juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial. o ano com 365 dias ou 366 dias. i . sendo diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado. na fórmula (1) : J = C . Taxa Percentual e Taxa Unitária FORMA PERCENTUAL . isto e. ou principal..6 . são realiza das a prazo superior a 120 dias. devemos converter o prazo para semestres. n/100 ou ou ou n = J/C . Sendo n o número exato de dias durante os quais um capital C é colocado a juros simples.Xl deve-se contar 98 dias. usa-se. e pelo costume vigente. i . o número exato de dias. JURO SIMPLES ORDINÁRIO Como o período financeiro mais comum é o ano. as operações com prazos superiores a um ano são.. é obtido calculando n/360 na fórmula (1). na prática bancária. Assim. a taxa diz-se aplicada a centos do capital. n/100 (3) a partir da qual chega-se à expressão do montante ou va- Matemática 15 A Opção Certa Para a Sua Realização . na fórmula. n/360 (2) Denominaremos o juro.6 a 25. tomando-se. n (1) Onde C = capital inicial ou principal.. i . n/365 ou J = C . obtém-se o juro calculando n/365. ao que se obtém após dividir-se o capital por 100.Caso uma aplicação seja por 2 anos mas.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. devese contar o tempo em seu número exato de dias.n J = C/100 . resultando em J = C . considerando-se cada mês como tendo 30 dias.    A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos seguinte maneira: De 17. a que se refere a taxa (i) considerada. Pelo regime de capitalização simples o fator de proporcionalidade é a taxa de juros por período.. i . n b) Para calcular a taxa de juros: i = J/C . de 17. isto é. i.. resulta que a fórmula do juro simples: n = prazo de aplicação (é a mais utilizada para períodos n menores do que um ano) Nessa hipótese. encontrar o quarto termo ou valor da fórmula. assim calculado. a não ser que haja mudança de convenção. um dia eqüivale. é calculado sobre 100 dias.19XI a 25.considera-se o ano civil como base de cálculo. i . podemos.. desde que sejam dados os outros três. i . contudo. Fórmulas Derivadas J = C . n c) Para calcular o prazo: OBSERVAÇÕES: Supõe-se que o juro e o principal são devidos apenas no fim do prazo de aplicação. Exemplo: O juro de um capital aplicado de 17. assim: a) Para calcular o capital inicial: C = J / i . O juro assim calculado. i . 90 dias (3 meses) JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES De 17.. à taxa i. a taxa de juros seja expressa em semestre. para n.considera-se o ano comercial como base de cálculo. deve-se computar o prazo de acordo com a mesma convenção. número exato de dias decorridos entre as duas datas. é chamado de juro simples exato. de juro simples ordinário ou usual. 2. O ANO COMERCIAL . freqüentemente. por exemplo. as seguintes formas: J = C . avaliadas pelo regime de capitalização composta. Assim.. calculando pelo processo acima temos que. JURO SIMPLES EXATO Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro.00. ou seja. t. transformar a forma unitária em percentual.s. que é aquela a ser considerada na aplicação de fórmulas. 1.t. OBSERVAÇÃO: A fim de diferenciar.. está estritamente vinculado ao regime de juros simples.t.). Resolução: J = 10. temos: 10. podemos definir taxa efetiva ou real como sendo aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa i será usada no desenvolvimento de todas as fórmulas. Exemplo 1 . 30% a.36 x 3) = 1.24% a.     Uma vez encontradas as taxas efetivas.a.5% a.000.a. n) a) VP= $1.36. Concluíndo.a.5 a. calculase o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo a uma dada taxa. capitalizados trimestralmente../2 semestres = 9% a. a taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. enquanto. n/100 Exemplo 1 . BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO lor futuro. ou seja.000 (1 + 0.São exemplos de taxas nominais: 6% a.t.Calcular o juro que rende um capital de $10.a. por convenção.00. é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. ao invés de dizermos.5% a.a. Exemplo 2 .000 aplicado por um ano à taxa de juros de 10% a. como soma do capital e juros: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos c) 18% a. capitalizados semestralmente. capitalizados trimestralmente.Se tivermos uma taxa de 0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. VF= 1. durante um mesmo prazo. mensais. no final de três anos. n= 3 anos. duas ou mais taxas de juros são consideradas proporcionais quando. considerando um capital inicial (VP) de $1. capitalizados mensalmente. Taxas Proporcionais Pelo regime de juros simples.No exemplo 1..m.a. Exemplo: r = 15% ao ano. Exemplo 3 .a.m. significa uma taxa efetiva de: 6% a.5% a. a taxa efetiva. produzirem um mesmo montante acumulado. A notação i signifique a taxa de juros efetiva em cada período. Donde se conclui que. e que. dizemos 1.000.5% a.Aproveitando os mesmos dados do Exemplo 1 vamos demonstrar como se calcula as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais:  M = C + C .00.24. 18% a. podemos convencionar que: A notação r signifique a taxa de juros efetiva em cada período de capitalização. ou seja.a.a. ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial. E.15 a.. 2. 100 b) FORMA UNITÀRIA Agora a taxa refere-se à unidade do capital. Considerando o exemplo 2 . pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização./12 meses = 2. No mercado financeiro. A taxa nominal. c) 9% ao trimestre. isto é. para cada uma das seguintes taxas de juros: a) 36% ano ano. lhe seja proporcional. devemos abandonar as taxas nominais e efetuar todos os cálculos com as taxas efetivas correspondentes. i . pelo regime de juros simples. com a taxa na forma unitária (0. e ) 0. VF = ? a) 6% a. capitalizados semestralmente. simplesmente. neste regime.00 Pode-se observar que para transformar a forma percentual em unitária.s. gera um juro de $0. encontramos a taxa nominal sendo muito utilizada como referência.10% a.08) = b) 30% a.. trimestrais. por não representar uma taxa efetiva. é dada em termos anuais. Exemplo 2 . as taxas nominais serão sempre taxas efetivas. basta apenas multiplicar a forma unitária por 100. b) 18% ao semestre./4 trimestres =1. capitalizados trimestraImente . Esta..00 por ano. r será usada na fixação os juros. Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . 1. ia = 0. significa uma taxa efetiva de: 18% a. ou semestrais. 3. e 9% a. ao final daquele período. normalmente. e sempre mencionando a unidade de tempo considerada.000(1 + 1. relativa ao período de capitalização mencionado.10 x 1 = J = $1. e os períodos de capitalização podem ser diários. dada em porcentagem.5% a. Matemática 16 A Opção Certa Para a Sua Realização .000 x10 x1 J  $1000 .1% ao dia.a. basta dividir a taxa expressa na forma percentual por 100. Devemos ter em mente que a obtenção da taxa efetiva contida na taxa nominal é feita no regime de juros simples. o inverso.a. 4. o conceito de taxas proporcionais. simbolicamente.000 x 0. mas não sendo usada nos cálculos. Ainda. correspondente a uma dada taxa nominal é a taxa que.a.. Exemplo 1. então a aplicação de $1. por estar embutida na taxa nominal. Taxa Nominal e Taxa Efetiva Por definição. é a taxa que realmente interessa.000.a. capitalizados mensalmente. dada em fração decimal. e. a taxa de juro percentual da taxa de juro decimal ou unitária. d) 3% ao mês. significa uma taxa efetiva de: 30% a. Exemplo: i = r/100 = 0.Calcular o montante acumulado (VF). Resolução: Utilizando a fórmula (3). 000. 2. Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i .080 d) VP= $1.000(2.03 ao mês. Exemplo 1 . o ano com 360 dias.03 x 36) = 1. duas taxas são consideradas equivalentes quando.000.08) = VF= 1.000  52.08) = 2.09. Taxas Equivalentes Pelo regime de juros simples.001 x 1.000  5. 0. Elesbão deve a um terceiro.000(1 + 1.1% a. VF = ? VF= 1.080 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos VF= 41.a. supostas as taxas iguais: c) VP= $1. 6. Podemos. as taxas 36% a. A fórmula será.000(2. as fórmulas. constatamos que a taxa de 3% a.03.. concluir que. alternativamente. n). Matemática 17 A Opção Certa Para a Sua Realização . n= 6 semestres. VF = ? VF= 20. im= 0.a.18. os seguintes capitais a 10% a.1. pode ser feito o pagamento integral dos capitais devidos.000.080 VF= 41.00. $2.000(1 + 0.. e que tanto faz. n= 12 trimestres. os tempos dados.TAXAS IGUAIS VF= 1. à taxa de 3% a. chamando n1.00. e. n= 1. a contar da data da operação. 9% a.000(2.000(2. Se considerarmos o ano comercial.id= 0. certificar se as taxas são equivalentes. as taxas proporcionais de juros são igualmente equivalentes... certificamos que.. dessa maneira.000 (2.03 x 36) = 20.000 Ao fim deste prazo. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO VF= 1. ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial.000(1 + 0. 3% a.000. n= 36 meses. n3 :.08) .000. temos: PMe  .d.08) = VF= 1. falarmos que duas taxas de juros são proporcionais ou são equivalentes.000.08) = b) VP= $20.00 que pode ser aplicado. é equivalente à taxa de 36% a.000(2.000(1+1.080 Podemos concluir que.000(1+1. Considerando um prazo de aplicação de 3 anos. VF=? VF= 1.18 x 6) = 1. Quando poderá pagar tudo de uma só vez.5 dias 8.08) = 2. $5.a. nem para o devedor nem para o credor.t. Prazo. PMe  420.a.08) = 2.m.36 ao ano.. prejuízo algum.000x45  5. ia  is  2  it  4  im  12  id  360 5. VF= VF= 1.000(1 + 0. ou de 36% a.18%a.000(2.000(1 + 0.000. C1  C2  C3 .. im= 0. Taxa e Capital Médios Quando os prazos de diversos capitais não são os mesmos e as taxas de juros diferem entre si. ambas gerarem o mesmo montante acumulado no final daquele prazo. a seguir. ia = 0.Seja um capital inicial de $20.m.000 a 30 dias. is= 0. são proporcionais. porque aplicadas sobre um mesmo capital inicial e um mesmo prazo total. recorremos ao expediente de calcular a média para cada caso. n= 36 meses.001.36 x 3) = 20. pois.m. pelo regime de juros simples. O critério é considerar os capitais como pesos.000(1 + 1.000x60  1000x30 2.080) = Prazo médio (PMe) = C1n1  C2n2  C3n3 .000 a 60 dias e $1.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. disso não resultando.000 a 45dias.00.08) = 2.00. resultaram em um mesmo montante acumulado. conduzem ao cálculo dessas taxas proporcionais: Pode-se determinar o prazo médio de vencimento de diversos capitais empregados a tempos diferentes. temos: a) VP= $ 20 .600 b) VP= $1. então. Vamos utilizar exemplos ilustrativos como a forma mais objetiva de expor os conceitos: PRAZO MÉDIO DE VENCIMENTO DE DIVERSOS CAPITAIS CASO 1 . de modo que desta unificação de vencimentos não advenha prejuízo nem para o devedor nem para o credor? Resolução: Aplicando a fórmula acima..080 e) VP= $1. durante um mesmo prazo..08) = VF= 1.000(1 + 0.09 x 12) = 1. VF = ? VF= 20.000(1 + 0..600 Através desse exemplo. o montante acumulado (VF) é igual nas duas hipóteses e. ou seja.08) = Exemplo: O Sr.s. n= 3 anos.080 dias VF= 1.08) = 2.000  1000 . it= 0. n2. CASO 1 . i3..000 x0. tem-se. Exemplo: A Sra.. i C1  C2  C3 .416..36 do ano ou 4 meses e 9 720.a. C1i1  C 2i 2  C 3 i 3 . n3 . para pagamento de uma só vez dos seguintes capitais: $ 20..a.. C3 . Temos assim: i n  i n  i n . OBSERVAÇÃO: Quando os capitais forem iguais.000 x   12   12  TMe  223. funcionando como pesos. os tempos correspondentes. Calcular a taxa média anual. o critério a adotar-se é o mesmo do caso dos. os produtos dos capitais pelos respectivos tempos. C2. Equivalência de Capitais Matemática 18 A Opção Certa Para a Sua Realização .66 7.000x0. Calcular o total dos juros devidos. Tomando-se os capitas como pesos. Exemplo: Calcular o prazo médio de vencimento. temos: Taxa Média = TMe  C11  C2i2  C3i3.. e $ 50. $5. na base percentual. i2.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. PMe  1 1 2 2 3 3 i1  i 2  i 3 .000 a 12% a.0006 12   50.500x30/360)+(5. 2.115 1500  5.0006  50.12x    12  2   2. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO CASO 2 . os produtos dos capitais pelas respectivas taxas.000 x0. i C1n1  C2n2  C3n3.a. pode-se escrever: PMe  C1i1n1  C 2i 2n 2  C 3 i 3 n 3 . 11. C3.10  5.2 a.a.5% OBSERVAÇÃO: Se os capitais fossem iguais.000 em 90 d. obtémse: 260. Resolução: PMe  20. $10.a. a partir da fórmula: J = C . e. vindo pois: TMe  . Juros Totais = C1in1 + C2in2 + C3in3 + . Resolução: utilizando a fórmula acima.000 dias. deve-se tomar.. CASO 2 ..00012 12          6 4 20.000 x0.. Exemplo: Um comerciante deve os seguintes capitais: $1.TEMPOS DIFERENTES O método a ser adotado é o da média ponderada. $5. $1..500 a 10% a.a. na qual i é a taxa única. . as taxas dadas.000 por 6 meses a 6% a.000 a 10% a. $2..500 em 30 d. pela soma..TAXAS DIFERENTES Quando isto acontece.anuais e todos pelo mesmo prazo. Resolução: Utilizando a fórmula anterior. $ 5..092 ou 9.12  0. . a 12% a. escrevendose A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos juros capaz de substituir várias outras relativas a capitais empregados. às taxas i1.TEMPOS IGUAIS Para a dedução da fórmula.TAXA ÚNICA Quando vários capitais são empregados em tempos diferentes e todos a uma só taxa.a.. Pancrácia da Silva deve os seguintes capitais.000 .00012 Multiplicando-se os capitais pelas respectivas taxas e dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais.. os capitais dados e n1.colocados respectivamente.33  0.000 a 8% a.1x   12   12  3  1    5. . b) JUROS DE DIVERSOS CAPITAIS CASO 1 . Resolução: TMe  C11n1  C2i2n2  C3i3n3 .400 em 60 d..000x90/360)+ Tme  2   2..000 PMe   0. Calcular a taxa média de juros anuais.. C1 . o total dos juros produzidos é dado.000 x   12  3  1   5.000 x    10. . de acordo com a fórmula acima: JT = (2. por 2 meses. . como pesos. por 1 mês. i . e... bastando que se calculasse a média das taxas. como pesos. n2. porém. a solução do problema recairia sobre o princípio da média aritmética simples. ou seja.. Exemplo: Sinfrônio e sua noiva contraíram as seguintes dívidas para poderem realizar o casamento deles: $ 2.12[(1. funcionando agora. tempos diferentes para a taxa média. C2. n. É uma aplicação da média ponderada.000 a 12% a.400x60/360)] JT = $ 213. por 3 meses..a. temos: Exprimindo-se os tempos em frações do ano comercial..08 x    10. 1500x0..00 c) TAXA MÉDIA É a operação que tem por objetivo determinar uma taxa de 0.a. consideremos os capitais C1.000 por 4 meses a 12% a. . Às vezes. Exemplo 1 .º ($10.5633 Utilizando a fórmula anterior. Assim: M = C + J. Dois capitais são equivalentes numa certa época. divide-se a taxa anual entre a frequência de conversão: i = taxa de juros anual 18 = = 0. porém J = C . a quantia de $500. Desta maneira. n = 90 dias. Resolver a equação utilizando logaritmos. o período de cálculo deve ser o mesmo para i e para n. com vencimento para n' dias.º. Considerando a taxa de juros contratada de 3% a.  $10. Qual será o montante acumulado em 2 anos? Resolução: M = C ( 1 + i ) n Como já observamos. O problema consiste em encontrar um valor VN' de um outro título.04 ou i = 4. vencível em 3 meses.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. para esta transação.: VN = VF = valor do Resgate do Seja VP o valor presente do 1. Assim. 36 Fator de Valor Futuro de Pagamento Único (FVFPU ) FVFPU = (1 + 0. m.0001000  90 .0 % a. o montante de um capital ao final de um período se obtém multiplicando este pelo fator ( 1 + i ) . multiplica-se o lapso em anos pela frequência de conversão: n = 2 (12) = 24 assim M = 500.705. Resolução: VF = 10. temos: VF'  10. vem: VF  VF  n VF'n'  VF'   ΔVF  VF  n  ΔVF'n'  VFΔ  n  VF' Δ  n'  VF'  VFΔ  n Δn Exemplo 1 . Podemos.80) é equivalente ao valor nominal do 1.m. i .000.Um investidor aplica a prazo fixo. é muito frequente. nessa época seus valores presentes são iguais. para calcular a taxa de juros mensal. 1000  150 .000  1000 . A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos deseja-se saber o montante M do qual se disporá ao final de um período n. O problema de equivalência de capitais diferidos aplica-se quando existe a substituição de um título por outro(s). à equivalência de valores distintos relacionadas com datas distintas.000. também. precisamos substituir um título por outro ou um título por vários. ao final do segundo período.000. n'= 150 dias. Esta sucessão de montantes forma uma progressão geométrica cujo n-ésimo termo é igual a: 2 D Título VN  n  Obs. i que fatorando: M = C (1 + i) Como pode-se ver.0% a. em um banco. J = C . se. Montante O montante composto é o resultado que se obtém ao incrementar o capital inicial com o valor dos juros compostos. capitalizável mensalmente. equivalente ao primeiro. 8. t. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras. ter vários títulos que precisamos substituir por um único. Para determinar n. Seja VN o valor nominal de um título para n dias. basta apenas agregar-lhe o juros J ganho. por outro com vencimento de 5 meses.04 ) 500. assim M = C + C .Um Comerciante deseja trocar um título de $10. temos: M = C ( 1 + i )2 ( 1 + i ) = C ( 1 + i )3 e assim sucessivamente. temos: VP  VF  VF  n VF'n' e VP'  VF'   M=C(1+i)n Esta equação é conhecida como a fórmula do montante pelo regime de juros compostos. com data(s) diferente ( s ).000 ( FVFPU ) 24 ou M =   36. frequencia de conversao 12 Como VP = VP'. Se se dispõe de um capital C e aplica-se em um banco e Matemática 19 A Opção Certa Para a Sua Realização .80 O valor nominal do 2. Empregar calculadoras financeiras. geralmente. Tais situações dizem respeito. calcular o valor nominal do novo titulo.04)24 Neste momento surge a pergunta: como calcular? Existem quatro alternativas : Utilizar papel e lápis e realizar a operação 24 vezes. quando t = 1.º título e VP' o do 2. i.º título ($10. 04)24 = 2.000 ( 1 + 0. FVFPU = (1.000). Utilizar de tabelas financeiras existentes nos livros de finanças.00 à taxa de 48.705. temos: M = C(1+i) (1+i)= C(1+i ) Ao final do terceiro período. Este é o meio mais prático.a. Quanto Elesbão deve depositar num banco hoje para poder garantir a liquidação de sua dívida. descontado a uma taxa que determine o seu valor hoje. Exemplo 1 – Quanto se deve depositar em um banco se desejar obter um montante de $ 5. vamos a fórmula do valor atual : M=C(1+i) n M = C ( 1 + i ) = 1. a aplicação de $500.000.10)6 = 5. temos: C= M 7.00 que se devem investir no momento zero com $5. Qual é o montante que deverá ser liquidado? Resolução: Primeiramente.10) = 1 / 1.M.m.000 / (1.. Portanto. Valor Presente ou Principal O valor atual.445.3799 A fim de garantir o pagamento de sua dívida.Um indivíduo obtém um empréstimo bancário de $1. determina-se a taxa de juros por período de conversão: 1 = . presente ou principal de um pagamento simples. Elesbão deve depositar $2.37 já para ter os $7.000. i = 10.M.500.000.281..50 ) .000. Em primeiro lugar.52 6 n i = ( 1.00.00 restantes daqui a um ano e meio.5% a. i.000.281.000. Para calcular a quantidade de dinheiro que deve depositar hoje.0% conversível trimestralmente. seja igual a 5. C.07     1  1  37  = 2. quando do término da construção da casa e entrega do imóvel.979.M.218.750 8. deve pagar outro tanto daqui a 18 meses).979.José Elesbão deseja adquirir uma casa pelo valor de $15.000   = 18   1.0% de entrada e 50. Isto é.a.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.307..650 Em dois anos.00 dentro de 3 anos a uma taxa de juros de 20.54/2 = . Exemplo 3 .000.6305 ) = 2.641.0% a. temos: M = 5.307. Para calcula-lo. investir? Resolução: Comparam-se os $2. r = taxa real de juros.0% a.500. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO M = 500.822.M.0% na operação e.000.000. Considerando uma inflação média anual de 50.000 n 4 7. Como se pode ver nestes exemplos.00 (50.0%. deve investir.445. no momento zero.000 ( 2.000 ( 1.650. convém à C.500. pode-se considerar que o capital C e o montante M são dois valores equivalentes de uma determinada taxa de juros i e um período determinado n.218.000 transformar-se-á em um montante de $1.000 / 1.7716 = C = 2.000.575 ou 57. O vendedor pediu-lhe 50.00 que se espera receber em 2 anos.00.500.500.4806  1. ou único.500. n.00.A Cia de Modas Messeder. é necessário que ambas as quantidades de dinheiro sejam equivalentes.000.015.000 dentro de dois anos.000.13 n = 12 / 3 = 4 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Exemplo 2 . Para fazer essa comparação. e que os juros real i. n = 6 semestres Calculando o FVAPU = 1/(1. é o valor de um mon tante a ser pago ou recebido daqui a n anos. Valor Atual.0% a.0% a.05 ) ( 1. i= (1+r) (i + d) -1  1+ i n = M  1 + i n = M  1   n  = M ( FVAPU)   1 + i  FVAPU = Fator de Valor Atual de Pagamento Único Generalizando.52 Deve-se depositar $2. devemos calcular a taxa nominal de juros: i = taxa nominal.641. capitalizável semestralmente? Resolução: Pela fórmula: M = C ( 1 + i ) . planeja realizar um investimento de $2. podemos calcular a quarta.000    = 2  2.000 a ser pago dentro de um ano e com juros de 52.000.000.? Resolução: José Elesbão paga neste momento $7.0% em um ano e meio.a.822. Exemplo 2 .1 = 0.13 ) = M = 1.00 pela geração de um juro composto de $781. se a taxa de juros vigente é de 7.750 A quantia a ser liquidada será de 52.650.  C = M     1   = 5.  3.38 é maior que $2. C é o valor presente. podemos dizer que conhecendo 3 das 4 variáveis envolvidas: M. por que Matemática 20 A Opção Certa Para a Sua Realização . $2.s.015.000.5633 ) = 1. vamos utilizar a fórmula do montante ou valor futuro: M=C(1+i)n Como C indica o capital no momento zero.00 para produzir um artigo de moda do qual espera uma receita total de $5.000 ( 1.500. atual ou principal de M.000.000.575  1 C = 2. d = taxa de inflação.a.7716 C = 5.000.000. a C.38 Conforme apuramos. 326.000.*  1.02   1 VPECx = 270.804. i = 2.000. Desconto Racional Composto É o desconto obtido pela diferença entre o VALOR NOMINAL e o VALOR PRESENTE de um compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento.000.000 0.000 = 69. 9. Observamos que. deve a companhia aprovar o projeto? Resolução: C = $350.a.1121 = 11.930.000.43 = 43.0% a.0% a.000. em média. seja de 30..00   A fórmula utilizada.326.1 = 0.280.43  3 = 102.000  1.280) é menor que o Dr = 100..000.000.000. Ano 3 = $300. Ano 2 = $200. temos: n = 6 meses * (centavos arredondados)   VPECx = somatório das ECx descontadas = VPECx1 + VPECx2 + VPECx3 VPECx = 69.a.000. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO além de descontar a inflação de 50. Resolução: VPECx 3 = ECx 2 1 + i n =  1.000.* Exemplo 2 .294.591.000.38 Exemplo 4 .00 d = 30. a menos que o preço do metal se eleve e com ele.1  = 100. as entradas de caixa seriam os seguintes: Ano 1 = $100. n = número de períodos compreendido entre a data de desconto e a data de vencimento.916.00.43 1 300.000. essa fórmula do valor descontado..00 foi saldado seis meses antes do vencimento.000. + 102.0% a. o total do valor presente das entradas de caixa ($270.0% a.916 * N = 100. Sendo :  N = valor nominal ou montante do compromisso em sua data de vencimento.3) (1. O desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor descontado: N  = N 1      n 1 + i   1 Valor Presente das Entradas de Caixa = VPECx VPECx2 = ECx2 + i = 200.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.Um título no valor de $100. calculado à taxa de desconto. =    1. onde: Vr = C e N =M i = (1 + d) (1 + r) .Vr  N - 1 + i n  1  n VPECx1 = 1 ECx1 + i   n = 100.a.070..a. calculando o valor presente à taxa de desconto. ainda vão sobrar $ 15. Dr= desconto racional composto Vr= valor descontado racional composto na data de desconto.000.000. é necessário realizar uma inversão de $350.591.. e que a taxa de juros real desejada pela empresa seja de 10. Portanto.000.000. r =10. .0% a.00 = Ecx3 = $300.0% a.804.00.641.070 + 97.210 21 Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização .m.00 Entradas de Caixa = Ecx1 = $100.00.a.1 = i = 1. Calcular o desconto racional e a quantia recebida.43 2 Dr = N . A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos investimento inicial necessário para sua exploração ($350. Utilizando a fórmula. A fim de poder beneficiar o mineral. é:   1  Vr = N  n  1 + i     = Ecx2 = $200.43 . que é a taxa de mercado e.000. elevem-se as entradas de caixa.   Estimando que a taxa de inflação.000.294.0% a.Uma companhia de mineração descobriu uma jazida de manganês e deve decidir sobre a conveniência ou não de sua exploração.000. i=? Podemos reparar que.1) .930. a empresa será remunerada à taxa de 5.a. a.).00 Seus analistas financeiros estimam que a jazida tem minério suficiente para 3 anos de exploração e.000 = 97.000.000. i = taxa de juros utilizada na operação.m.0% a.000.1 = (1. é a mesma do valor presente calculado no regime de juros compostos. O possuidor do título obteve uma taxa de desconto de 2. de acordo com os preços vigentes do metal.0% a.000 1 Dr  N n    1+ i      6 1. a companhia não deve explorar a jazida. 8227 ) Dr = 30.O Sr.0% a.75.790 ( 1. i = 3. à taxa de 5.000.(1.0% a.m.a.63 = 6.500.75 = 11.500 -n Exemplo 4 .401...128558   1.871442 n  1.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.000 [ 1.035   = 1.401. n=? -n  5.05) ] =30. obteremos: N = C6. Vr = C0 6 = 10.000. Exemplo 3 .000.(1 + i) ] . qual se ria o valor do resgate (valor líquido) a ser recebido pelo possuidor do título? Resolução: N = 10.m.00  1+ i 1 2  2 2 =  1.02) = 88. e 3) empregar logaritmos.790 = 11. calcule a taxa de juros anual utilizada na operação.000 (0. Dr= 835.401.00 e o desconto concedido foi de $835.75 12 = i + 1 = 1. temos: 835. Matemática 22 A Opção Certa Para a Sua Realização .63.63. Exemplo 4 .0% a. passaremos a indicar: 1 + i 6 12 = 11.000 .000 .210 = 88. Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o desconto de $ 1. 1 1 + i n por ( 1 + i ) . numa operação de desconto recebeu $ 10.5% a.36 ) -3 ] -3  1.88.m.58 = 10.500.O Sr. Resolução: Para simplificar a notação.a.000 (considerando-se i J6 = C 6  C 0 = 100.m. 2) procurar em tabelas financeiras para i = 3. n = 6 meses.401. Calcular o prazo de antecipação. i=? Vendo Vr = N .871442= n = 3 meses.790 (1.035   n n 1  0.30 i = 0.0% a.000 [ ( 1.63 = 1 6.261.00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento. i = 36.319 Utilizando a fórmula: Dr = N [ 1 .30 ou 30. Dr = 1.000 ( 1-0..147524 = Vr = 10.000.210  J6 = Dr Fica evidenciado que o desconto racional composto é igual ao juro devido no período de antecipação.035   n  0.75 (1+i) -6 / 12 N = 88.000 + 1.500 [ 1 .035 n= 1 0.(1.m. vem: Vr = N ( i + 1 ) -n ou N = Vr ( i + 1 ) n  C6 = C0 ( 1 + i ) = 6 Substituindo os termos.140175  = 1 + i = 1..035 n As opções para encontrar n são três: 1) utilizar uma máquina calculadora de boa qualidade.1773) 4 -n N = 6. Exemplo 5 . desde que seja calculado à taxa de desconto. 1 = 5.000.00 como valor de resgate. Leôncio Armando.000 anual) = 11.000.(1 + i) ] N = 30..9262 ] =  1.75 Utilizando a fórmula.0 % a. Vr = N (1+ 1) -n  1.Dr deduzimos que. assim a fórmula fica: Resolução: -n Dr = N [ 1 .000 [ 0.035) ] 835. n = 4 meses.75. se aplicarmos o valor descontado (Vr) por 6 meses à taxa de juros compostos de 2.Um título de valor nominal de $ 30.5%.000 [1. Se o desconto fosse realizado 3 meses antes do vencimento.11. ao descontar uma Nota Promissória no valor de $10. Dr =? Dr = 30.035   0. Considerando que a taxa de juros de mercado era de 3. a.000. N = Vr + Dr N Observe que. Cristiano José descontou um título no valor nominal de $6.790 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Resolução: Vr = 10. sua taxa de desconto racional era de 36.1262 ) E os juros devidos são dados por:  100. temos: 10. Calcule o desconto racional concedido.0259 ] Vr = $ 9.A Financeira Desconta Tudo informou.401.00 que. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO E a quantia recebida: Vr = N – Dr = 100.128558 = 1 -  1.401.140175 10.5%a. Vr = ? 1 / 12 1 = 10.0% a. capitaliza-lo por mais 3 meses. Cn‘ .500. os cálculos do valor dos dois capitais no final de 12 meses.m. não é a mesma coisa ter $1. com vencimentos nas datas t1. a uma taxa de 6% a.tn‘. esses capitais serão equivalentes se: C1 = C2 t 1 + i2 = C3 t 1 + i3 = . anos) .335. temos: 33. descontados para uma mesma data.20  1   1 + i  8 1 . Exemplo 1 ... Exemplo 2 . serão equivalentes em qualquer data tomada como focal.00 (2.500.035 procurando na tabela de logaritmos.75 (1. considerados a partir da data de referência t0. à mesma taxa de juros ou de desconto racional composto.Caso a antecipação seja de 8 meses.335.62 Nos cálculos acima. são ditos equivalentes se os seus respectivos valores presentes na data focal t 0. Qual é o seu valor nominal..61 23. 39.1494  n = 0.500. assim: Os capitais C1. que é através de logaritmos: log 1. para ratificarmos o que foi dito sobre equivalência de capital. vem: N = 1.00 neste momento e dentro de um ano depois.175 CAPITAIS EQUIVALENTES Como já foi visto neste trabalho. t2. temos: N / Dr = 5 Dr / N = 1/ 5 = 0.22. com os dados acima.22 39.20 =  1 + i  8 = 0. se dizem equivalentes quando seus valores.740 ( 1. vem: 33. ou seja.740.80 =  1 + i  8 1 0. C3. produzirem valores iguais.75 (1. para determinada taxa..01220) = 47.06)6 =33.75 = 23..059762 = n  0. temos: Utilizando a fórmula Dr = N [ 1 .702.335. este verá reduzido seu valor em maior ou menor grau.Dados dois capitais $ 33.740. .335. Aplicando a fórmula do valor futuro: M = C ( 1 + i ) .335.702. anual) e t é prazo (em meses. Depois de haver demonstrado que.75 1 + i 6  1 + i 9 Sendo N = 5 Dr . trimestral.( i + 1 )-n ]. verificar se são equivalentes.335.. no final de 12 meses. encontramos: 0.740 (1.19102) =47. 3 n Matemática 23 A Opção Certa Para a Sua Realização . incluímos o capital inicial de $23.A fim de comprovar o que foi afirmado acima vamos desenvolver.147524 = n log 1. i  0.702. Isto pode ser demonstrado de forma simbólica.75 vencível daqui a 9 meses.702. n = 8.m.06)12 = 23. referentes a datas de vencimentos determinadas.00 (1. t3. C2. considerada Para determinar o valor do capital de $ 33. na data de hoje.500 168948 . E para o capital de $ 39.20 Efetuando os cálculos. = Cn 1 + i  1 + i 1 t    n em que 1 é a taxa periódica de juros (mensal. à taxa de juros de 6.286.68 39.386. Portanto.286. Conceitualmente. dependendo da taxa de inflação vigente. sabendo-se que o valor líquido (valor de resgate) é de $1. N = 5Dr e 33. dois ou mais valores nominais.22 (1.41852) = 47.702. dois ou mais capitais são equivalentes em determinada data focal. trimestres. basta capitalizá-lo por mais 6 meses. forem iguais.00? Resolução: Vr = 1. esses mesmos capitais. à mesma taxa em condições idênticas.25 ) n 8  N = $ 2.059762 = 4 meses 0.83 a.06) = 39.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.22 = 23. respectivamente.75.01494 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos a taxa de juros i.702.000. .0.500 168948 . Porém. a equivalência não se verificará.028286 substituindo a taxa encontrada na fórmula: N = Vr ( 1 + i ) .22 vencível de hoje a 6 meses e $ 39.0% a.80 =  1 + i  8 = 1. Resolução: Esses dois capitais serão equivalentes se: Exemplo 6 . à mesma taxa. se considerarmos qualquer outra taxa. a partir de hoje. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Vamos utilizar a opção prática de demonstrar os cálculos.25 =  1 + i  8 ou i  2.. o valor de um compromisso é de 5 vezes o desconto racional. o dinheiro tem um valor diferente no tempo. m.028286) N = 1.22 (1. Resolução: Dr N = 1 -  1 + i  n  0.00. esses dois capitais são equivalentes. 79. João das Bottas trocou um título com o valor nominal de $10. a) Data focal três: A terceira etapa é encontrar X = preço a vista da Matemática 24 A Opção Certa Para a Sua Realização . Considerando que a taxa da loja é de 11..92. por outro de $ 8.444.92  1.79 1.00. V5 ' = C3  1 + i a) Data focal zero: 2 = 8.992. vamos considerar três datas focais: zero.92 1.00. calcule o desconto sobre o preço a vista de uma mercadoria que é de $600.992.992.A Casa Kreira Ltda lançou uma campanha promocional vendendo tudo a prazo. A fim de reforçar as características que conduzem à equivalência.00 / 3 = $200.992.200  1.00 Exemplo 4 . devemos compara-los numa mesma data focal.065 2 = V5 ' = 8.200 = $ 8. A equivalência será feita através da taxa de juros.13423 Constatamos que V3‘ = C3 = $ 8.92  1.00 A seguir. vamos calcular o valor das parcelas: $600.5% a..CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 6.O Sr.200 = $ 7. houve vantagem? Resolução: A nossa tarefa é comparar esses dois capitais para verificar se são equivalentes ou não.065  10.m.m. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Exemplo 3 .065  2 = 10. Sendo o preço a vista dividido por 3 e a primeira parcela é dada como entrada.200 3 = 10. Primeiramente.37009 Como V3 = V5 = $ 7.200 = $ 7.065  5 = 10.92 b) Data focal cinco: Como os capitais encontram-se em momentos diferentes de tempo.200. três e cinco.992.1423  = $ 10.20795 V5 = C5 1 + i  2 =  1.992.92  1.200.79 1. com vencimento para 3 meses. constatamos que não houve vantagem alguma na troca dos títulos. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos V '3 = C5 1 + i 2 = 10. devemos esboçar o diagrama do tempo e dinheiro: V3  C3 1 + i  3 = 8. em três vezes sem acréscimo.5 % a.444. com vencimento para 5 meses.444. Marcelo dos $100 000. ou ainda entre pessoas físicas e instituições financeiras.00.37 + 160.m. Introdução Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro. desse tipo de operação bancária.50 30 Resposta: O desconto foi. Letra de câmbio — É um título ao portador. de $ 87. nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento? Solução: N=750. data de vencimento do título e quem deve pagar. i . a 5% a. a data de vencimento. Qual o desconto. Vamos tratar. para o desconto. O desconto bancário é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal. pela antecipação do pagamento. então: X = 200 +  200 1. o valor presente das parcelas. O credor Marcelo dos Santos de posse da nota promissória. duplicata e letra de câmbio. conforme o modelo apresentado na página 96. o valor nominal. descontados do valor nominal.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.115  2 X = 200 + 179. de desconto de título ao abatimento dado sobre o valor nominal. Duplicata — E usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). que é usado para formalizar uma dívida que não será paga imediatamente. normalmente acrescida de juros). Do mesmo modo que no valor nominal da nota incluem-se os juros pela postergação do pagamento.70=87.05 D=N.00 = $ 97 200. As fórmulas que utilizaremos para calcular o desconto bancário são bem semelhantes às de juros simples. é muito comum o devedor oferecer ao credor um documento denominado titulo. ou seja. teremos sobre os $ 100 000.4% a..115  1. Títulos Há três tipos de títulos bastante usados: nota promissória. que é o comprovante dessa operação. o credor poderá negociar o pagamento antecipado da dívida através de um banco. o preço com desconto: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Santos quer receber a dívida 2 meses antes da data proposta na promissória.i .n=  D=750. ou ainda. Trata-se de um título de crédito. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO mercadoria. n=2 meses e 10 dias=70 dias i = 0. mas agora no sentido contrário. em dois meses de adiantamento.24323 X = $ 540. 2. em que vão especificados: valor nominal ou quantia a ser paga (que é a dívida inicial. Supondo uma taxa de 1. Na duplicata deve constar o aceite do cliente. Você deve ter notado que. neste capítulo.00 Chamemos. teremos: D = N . na verdade. podemos aceitar o fato de que o adiantamento do mesmo também deverá vir acompanhado de juros.00 — $ 2 800. o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem deverá pagar. mas dentro de um prazo estipulado.00 o seguinte cálculo: Desconto = 100 000 .50. então: L = N . Nota promissória — Pode ser usada entre pessoas físicas.014 . n. emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. 2 Desconto = 2 800 Marcelo dos Santos deverá receber. Matemática 25 A Opção Certa Para a Sua Realização .05 .24 DESCONTOS WalterSpinelli 1. sobre um título de $ 750. Chamando: D = desconto N = valor nominal L = valor líquido recebido após o desconto I = taxa n = período de tempo.115  + 200  1. nome e assinatura do devedor. O desconto bancário é também conhecido como comercial ou por fora. De posse do titulo. portanto. (1—in) 1. Uma duplicata só é legal se for feita tendo por base da nota fiscal. Uma letra de câmbio tem especificados: valor de resgate (que é o valor nominal acrescido de juros). então.i. data de vencimento do título (em que a dívida deve ser paga). 0. deseja resgatar a dívida em 01/01/88.87 X = 200 + 200 200 +  1. 0.m. que corresponde a uma promessa de pagamento. n L = N — D ou L = N — N . ou seja. 5) 900 900 = 1 – 5i =1 — 1.400  30 0.200. Dr  3. Resgatei.i. pago 5 meses antes do vencimento.200 1.n 4. n = N .00. O desconto racional.12 1  36 30 L= 6864 = 6000 1  0.06 Nin 1  in 1 Exercícios Resolvidos 1. Qual era o valor nominal da promissória? Solução D = 4400 i = 0. Solução: N = 6864 i = 0. Qual foi a taxa mensal usada? Solução: N = 1200 n = 5 meses L = 900 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Resposta: O valor nominal da promissória era de $40 000. i i= 300 = 0. calcular o líquido fazendo: L+L . de usar uma taxa sobre um valor não conhecido. portanto. Primeiro modo: usando o cálculo de desconto D=Nin D = N — L = 1 200 — 900 = 300 300 = 1. calculado sobre o líquido. 1  in Ficaremos com: Dr = L .05 ou 5% a. também.00 = $ 864. 1 mês e 6 dias antes do vencimento.00.n=N L (1 + i . situação semelhante à analisada em lucros sobre a venda. calculado com uma taxa mensal de 6%. Obtive um desconto de $4 400. ficou reduzido a $ 900.200 • 5.06  55 30 N = 1  in 6864 0. n. Um título no valor de $ 1.200. uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano.06  55  N= 0.000 = 1.000 Resposta: A taxa mensal foi de 5%. 6. pois. n) = N L N 1  in Vamos resolver este problema de dois modos. é dado por: Dr = L .00 —$ 6000. é fato que: L + Dr = N Podemos.00.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.n 1  in i= 300 =0.200 5i = 300 1.000 . de 5% ao mês.400 = N  4. (1 — i .00 N = 40 000 Matemática 26 A Opção Certa Para a Sua Realização .i.i. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 2. i . i . obtemos a informação: n = 1 mês e 6 dias = 36 dias L= 161 — 106 = 55 = n D=N. nesse caso. Dr. Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido L = N (1 — in) 900. N substituiremos L por na expressão Dr = L .00.200 No caso de querermos o desconto diretamente. DESCONTO RACIONAL O desconto racional é também conhecido como desconto por dentro. portanto.05 1200  5 A taxa aplicada foi. n Mas. i .144 O desconto foi. à taxa de 12% ao mês.00.m. em 16 de abril. Trata-se. de: $6864.12 Consultando a tabela 1. Calcular o desconto por dentro de um título de $ 6 864. O desconto racional é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor líquido. se reduza a $ 1 000. dá $ 5.00.00 de desconto por fora? 3.12 1  in 1  36 30 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos fora.00. uma de $ 15 000.000. descontada à taxa de 3% a.5i) = 1800 1+2. qual ficou sendo o seu valor atual? 6.m.30 Diferença: D — Dr = 602.00 quando descontada 1 mês e 10 dias antes do vencimento. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO O mesmo problema pode ser resolvido aplicando diretamente a fórmula do desconto: 0. Determinar o desconto bancário sofrido por uma promissória de $ 1 000.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. percebe-se que o desconto bancário não é apropriado para prazos muito longos. Qual é o valor nominal dessa letra? 11.m. por dentro. qual era o valor da promissória? 15..00. A que taxa anual.m.12 6864   36 Nin 30 = Dr  0. Qual foi a taxa mensal do desconto? 7. 20 dias antes de seu vencimento. à taxa de 10% a.00. Se o valor nominal do título era de $ 3 600. Calcular a diferença entre os descontos bancário e racional. Duas letras. Qual foi a taxa mensal usada na operação? 13.09  8 1  0. produziu o desconto de $ 400. dá $ 600.70. 12. à taxa de 9% ao mês. teve um desconto de $ 28000. à taxa de 6% a. Uma letra de $ 900.32 Resposta: A taxa deve ser. Um título.00 de desconto? 4. Determinar o líquido produzido por uma letra que.m.00 de líquido. sofreu um desconto de $ 100.00.440.209. 14.000. Solução N = 1.5% a. de 32% a.00. 0.000 Dr  2. 3.00.00. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que. Qual foi a taxa anual usada nas operações? Dr = $ 864. 6 meses antes de seu vencimento.5 m 1800 N L= 1. à taxa de 8% a.8  2. Um título. pagável em 6 meses. produziu $ 140. pagável em 30 dias. Calcular o desconto por dentro de uma letra com vencimento para daqui a 8 anos. vai ser descontado 8 meses antes do vencimento. no valor de $ 1 800...00.m.000.25 de desconto por fora? 8. 8 D = 1. se descontada hoje à taxa anual de 20%.75 a mais do que o portador da segunda.m.000 L=1000 n = 2. com vencimento em 15 de agosto. Determinar o desconto por fora sofrido por uma letra de $ 2 400.5 1 +2.8 2.790. A que taxa anual uma nota promissória de $ 420.09  8 Desconto racional Dr  Nin 1  in Dr = 837. Sabendo-se que o líquido para a pessoa foi de $ 1 992. em um mês e meio. 10.000  0. numa duplicata de $ 1 800. 1. 9. 5. portanto. no valor nominal de $ 1 000. descontada por fora. 3 meses antes do seu vencimento.5i= 1.m. descontado por Matemática 27 A Opção Certa Para a Sua Realização .70 Por esse problema.00. à taxa mensal de 9%.00.000 = 1  i  2. descontado por fora. Resposta: A diferença é de $ 602 790. descontada por fora à taxa de 12% a.. Em que prazo um título de $ 2 500.00 Resposta: O desconto foi de $ 864. foi descontado por fora em 13 de junho precedente..800. para que ela. Determinar a diferença entre os descontos por fora e por dentro de uma nota promissória de $ 2 000. a uma taxa de 6% a. foram apresentadas a desconto por fora. Determinar o desconto por dentro sofrido por uma letra de 1 1 000.00 quando descontado por fora 3 meses antes de seu vencimento. Calcular a taxa a ser aplicada. à taxa de 4. três meses e meio antes do seu vencimento. verificando o desconto por fora.000. dá $ 600.00 de desconto.000 . 16.5 1  in 1000(1+ 2.5i = 1.m. à taxa de 6% a.00.5i = 1800 1000 0. ficou reduzido a $1 200.n D = 2.i. 2.00.00. uma duplicata de $ 3 000.m.m. Uma letra de câmbio pagável em 19 de agosto. recebendo o portador da primeira $ 313. descontada por dentro. 6 meses antes de seu vencimento. 3 meses e 10 dias antes de seu vencimento.8 —1  i= i = 0. produziu $ 20 726. e outra de $ 14 700. dois meses e meio antes do vencimento.00. em 6 meses. Uma pessoa vai a um banco e desconta por fora uma nota promissória 85 dias antes do vencimento. Encontrar o valor nominal de um título que. 2.00. à taxa de 9% a. Um título com valor nominal de $ 2.00. no dia 3 de maio precedente.00.09 .00.. à taxa de 4% a. 60 dias antes do seu vencimento..m. descontada por dentro.00. Solução Desconto bancário D=N. O valor encontrado é razoável? Repita o cálculo. 17. 1 T 30 10000 • 0. o mesmo desconto que a soma dos descontos dos 3 títulos.1  40  2000   50  3000   60 30 30 30 D 0.00 Taxa 10% a. 60 e 90 dias. oferecer o mesmo desconto que a soma dos descontos produzidos pelos 3 títulos. Vamos ver como se faz para encontrar esse prazo. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO PRAZO MÉDIO Um banco deseja resgatar 3 títulos de $ 10 000. num determinado prazo. primeiramente.00 3000. 0. o prazo médio será a média ponderada dos prazos.1 (1000  40  2 000  50  3 000  60) 30 Agora vamos calcular o desconto produzido num título único.m.06 • T Comparando-se os descontos.06 • 3 D = 10000 • 0. o prazo médio será a média aritmética dos prazos. todos à mesma taxa de 6% a. com vencimentos para 30. num prazo T. portanto: D  1000  2000  3000  (Lembre-se de que D = N . e as taxas também. esses 3 títulos poderão ser substituídos por um único que não cause ônus a nenhuma das partes.. agora. teremos: Quando os valores nominais forem iguais. à mesma taxa. à mesma taxa.06 . no valor que é a soma dos valores nominais de cada um dos 3 outros títulos. faremos o cálculo dos descontos em separado: Tempo 30 dias = 1 mês 60 dias = 2 meses 90 dias = 3 meses Desconto 10000 . como se pode perceber. Matemática 28 A Opção Certa Para a Sua Realização . nas seguintes condições: Título Nominal ($) 1 2 3 1000. vem: (1 000  2000  3000)  0.1  60 30 2 10000 .06 • 1 + 10000 • 0. 10% a.1 0.m. Esse título único terá de. que produziria. Generalizando. 53 dias.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.06 • 2 + 10000 • 0. O prazo médio T = 2 meses. com os respectivos valores nominais como pesos. Caso seja do interesse do banco e do devedor.1 T  (1000  40  2 000  30 30 1 2  3  T ou T = 2 meses 3 50  3 000  60) Deste modo. n para o desconto bancário.m.06(1  2  3) T 30000  0.1  40 30 0. o mesmo desconto. vem: 0. um título único de $ 30 000.) Portanto. mas valores nominais diferentes. Vencimento (dias) 40 50 60 Vamos. Generalizando. à mesma taxa.00 cada.m.06 • T 10000 0.06 Comparando os dois cálculos dos descontos. fazer o cálculo dos descontos individuais: Título 1 Desconto 1000  0.1 0. 0. temos: Quando os valores nominais forem diferentes e as taxas iguais.00 2000. 2 10000 . 1 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Um segundo problema seria o de determinar o prazo médio no caso de termos taxas iguais. nessa situação. 3 3 Lembre-se de que D = N h n. de um mesmo devedor.06 .1 0. encontrar o tempo T. D  (1 000  2000  3000) 0. O desconto será.1  50 30 0. foi obtido através da média aritmética dos prazos dos 3 títulos. D = 30 000 • 0. 10% a.00 produzirá em 2 meses. o desconto total é de: D = 10000 • 0. no total dos 3 títulos.06 .06(1 + 2 + 3)= 30000 • 0. 0. Perceba que ele foi obtido calculando a média ponderada dos três prazos e utilizando os respectivos valores nominais como pesos.06(1 + 2 + 3) Vamos. Esse prazo é chamado de prazo médio. i . à mesma taxa de 6%. Em primeiro lugar. Vamos fazer o cálculo desse prazo para três títulos. 1000  40  2 000  50  3 000  60 = 53 dias 1000  2000  3000 (aproximadamente) T O prazo médio seria. 2.08.40    15.00. com taxas diferentes. Vamos estudar três desses casos.  29  30 30 aproximadamente. T  Dessa forma. não cause ao credor ou ao devedor nenhum ônus. Assim: 1 2 3% 1000 4 Matemática 29 A Opção Certa Para a Sua Realização . $ 77. para todos os títulos.84 + 4. Tempo (dias) 20 Desconto ($) 250  20 400  0.00 = $ 1440.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. quando descontado. A taxa era de 8% a. usando o prazo médio calculado.08  30 30 Então. Uma pessoa tinha três títulos a receber: um de $ 250. Em todos eles.36 ou $ 15. Considerando N = 3 • $ 480. aproximadamente.08 T 30 25 480  35 480  35 2016  0. Como a taxa de desconto é de 1. 25 e 35 dias. Portanto. outro de $ 350.012 T 30 80 (prazo médio calculado). 3 Nessa expressão.) 2% Valor Desconto Prazos Nominal($) ($) 1000 4 1000 • 0.02•4 1000 • 0.00 com prazo de 25 dias. Vamos verificar a validade dessa resposta. a prazos de 20. sabemos que o prazo médio deverá ser feito com uso da média ponderada. D  1 000  Nesta expressão. há uma variação dos valores nominais e dos prazos.00.36.80 + 6.08 2320 ou $ 77. Resposta: O prazo médio é de 29 dias. Primeiro caso: Valores nominais e prazos iguais Titulo Taxa (a. TAXA MÉDIA O problema agora é substituir vários títulos.m.012   4.08  30 30 ou aproximadamente 27 dias.. daria os mesmos descontos? Solução Como agora. lembrando-nos de que i = 0.012 80 1382. desejaremos sempre encontrar uma taxa média.80 30 30 25 800  0. temos: D  1440  Portanto.012   6. o tempo em que a soma desses valores nominais.m. 40 350  25 Tempo (dias) 20 480  400  Desconto ($) 20 1152  0.m. D  1440  0. D  1000  0. o prazo médio está correto. por um único que. Considerando N = 250 + 350 + 400 = 1.84 30 30 25 1440  0. então. Resposta: O prazo médio é de 27 dias. vamos calcular o desconto com prazo médio calculado anteriormente.03•4 0. T = 29 (que é o prazo médio).36. lembrandose de que D = N • i • n e i = 0.000. 0.33. à mesma taxa. qual é o prazo médio de vencimento das três letras? Solução Como temos o mesmo valor nominal e a mesma taxa para as três letras.000 ou N = $ 1.00 com prazo de 20 dias.00 com prazo de 40 dias e outro de $ 400. Vamos fazer a verificação..36 30 3 90 ou $ 15. Tenho três letras iguais de $ 480.33. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.00.2% a.012   3.08  30 30 20 1120  0.012. podemos considerar o prazo médio como média aritmética dos 3 prazos. vamos calcular D. respectivamente. à mesma taxa. Assim: T 20  25  35 80  3 3 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 250  20  350  40  400  25  250  350  400 5000  14000  10000  29 1000 T O prazo médio é de 29 dias. Qual seria.72 30 30 Então: desconto total = 3. desconto total = 400 1120 800 2320    30 30 30 30 ou.72 =15. está correto o prazo médio. 0266 1000  2 000 A taxa média i = 0.02 • 4 + 2000 • 0. e com uma só taxa i. obtemos: D = 1200 • 2 • i + 1 500 • 4 • i = (1200 • 2 + 1500 • 4)i Comparando os dois descontos: i A taxa média será.) Valor Nominal ($) Prazo (m) Desconto ($) 1 2 3% 5% 1200 1500 2 4 1200•2•0.05 372   1200  2  1500  4 8400  i  0.05 Calculando o desconto sobre um título único. Qual é a taxa média de juros? Solução Como temos capitais iguais. D = (1 000 + 2000) • i • 4 Comparando os dois descontos: (1 000 + 2000) • i • 4 = 1000 • 0.03)  4 (1000  2 000)  4 i 1000  0. no mesmo prazo.03  1500  4  0. portanto.00 foram colocados a render juros durante três meses. obtemos: 2 000 • i • 4 = 1000 • 4 • (0.0442 A taxa média i é aproximadamente 0. temos: D = 2 000 • i • 4 Comparando os dois descontos. no mesmo prazo. mas também em juros.02 + 0.03) i 1000  4  (0.05 O desconto total será: D = 1200 •2 • 0.m. 2 Vamos fazer a verificação: Matemática 30 A Opção Certa Para a Sua Realização . calcularemos o desconto sobre um título único.10  0.m.03 • 4 i (1000  0. a taxa média será a média ponderada das taxas.m.m. a taxa média será a média aritmética das taxas. colocados a render juros no mesmo prazo.03 + 1500 • 4 • 0..67% a. Assim: O desconto total será: D = 1000 • 0.0267. utilizando-se como pesos.0442 ou 4. a média aritmética das taxas dos dois títulos.02 • 4 + 1000 • 0.m.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.03 + 1500 • 4 • 0. Generalizando: Quando os valores nominais e os prazos forem diferentes.03 • 4 D = 1000 • 4 • (0.02 • 4 + 2000 • 0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO O desconto total será: D = 1000 • 0.m. no mesmo prazo. Observação importante: Taxas e prazos médios poderão ser calculados não só em descontos. os respectivos dos valores nominais pelos prazos.0.11 ou 11% a.02  0.03•4 1200 • 2 • 0. à taxa de 10% a. utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos.03) 2000  4 0. e 12% a. 1. a taxa média poderá ser calculada pela média aritmética das taxas.02  0.42% a.03 1500•4•0. a taxa média será a média ponderada das taxas.02  2000  0. Quando os valores nominais e os prazos forem iguais. aproximadamente. Dois capitais iguais de $ 800.m. a uma taxa média i. Terceiro caso: Valores nominais diferentes e prazos diferentes Titulo Taxa(a.025 2 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Quando os valores nominais forem diferentes mas os prazos iguais.12 .03) Calculando agora o desconto sobre um título único.) 2% 3% Valor Nominal($) 1000 2000 Prazo (meses) 4 4 Desconto ($) 1000•0. Este valor foi obtido calculando-se a média ponderada das taxas e utilizando-se o produto dos valores nominais pelos respectivos prazos como pesos. Generalizando: i 0. Segundo caso: Valores nominais diferentes e prazos iguais Título 1 2 Taxa (a.03 • 4 Agora.02•4 2000•0.05 = (1200 • 2 + 1500 • 4) i Então: i  1200  2  0. utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos.02  2000  0.03 = 0.02 + 0.03  0. foi obtida calculando-se a média ponderada das taxas. ou 2. valores nominais diferentes e prazos diferentes. e outra de $ 2 500. à taxa de 5% a.) Prazo (m) 800 800 10% 12% 3 3 Juros ($) 800• 0. Tenho de pagar a metade desse valor à vista.15  8000  3  0. agora. Tenho três títulos a resgatar: o primeiro. durante 4 meses.00 em 50 dias.a. à taxa de 15% a.11= 528 ou $ 528. aproximadamente. Em que prazo poderei liquidar a dívida toda? 19.m.temos então: 9 0.12•3 = 288 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos a..00 à taxa de 5% a.m. utilizando a média ponderada das taxas.00 cada. Resposta: A taxa média dos descontos é de 12. com pesos determinados pelos produtos dos valores nominais pelos respectivos prazos. Sabendose que o prazo médio delas é de 32 dias.12 6000  3  5000  4  8000  3 Juro total = 240 + 288 = 528 ou $ 528.00. emitidas a 60 dias 120 dias e 180 dias de prazo.m.00.m.? 20..08.064 234 9  1800  3000  2880 7680   0.. comparado com o prazo médio das 5 letras que tenho? 21. a 6% a.00.00 cada uma. J = 1200 • Resposta: A taxa média é de. 60 e 50 dias. com vencimento em 3 de agosto.. Determine o prazo médio das letras: $ 200. temos: J = 1200 • i • 2 + 1200 • i • 3 + 1200 • i • 4= = 1200 • i • (2 + 3 + 4) = 1 200 • i • 9 Como i = 0. 3. de $ 8 000.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Capital ($) Taxa (a.m.a. o primeiro a 4% a. de $ 5 000. O credor propôs trocar as cinco letras por um único título de $ 2 500. usando os prazos como pesos. durante 2 meses.00 Calculando o juro com a taxa média obtida. vamos calcular a taxa média. de $ 75 000.m.08 • 4 = 384 Juro total 96 + 216 + 384 = 696 ou $696. e 7% a. 22.m.m.1  5000  4  0.) 4% 6% 8% Prazo (m) 2 3 4 Juros(S) 1200 • 0.00. aproximadamente. Calcular a taxa média de juros.00 são colocados a render juros.58 . outra de $ 200. Resposta: A taxa média é de 11% a.? 23.1• 3 = 240 800• 0.00. tem prazo de vencimento de 3 meses à taxa de 10% Matemática 31 A Opção Certa Para a Sua Realização .00 a 30 dias.m.00 a 45 dias e $ 400.06 • 3 = 216 1200 • 0. tem prazo de 4 meses à taxa de 15% a..m.4% a.m.58 • 9 = 696 ou $ 696. Três capitais iguais a $ 1200. 18. em 6 de junho.064 ou 6. duas letras: uma de $ 1 000. para pagar em prazos de 60.m. o segundo a 6% a.06  3  0. de 1 600. Qual a data de vencimento de uma letra destinada a substituir.00 a 60 dias. o segundo. de $ 6 000. durante 3 meses e o terceiro.00 Calculando o juro com a taxa média obtida. a 8% a. a taxa média deverá ser calculada pela média ponderada das taxas.4% a. 0..m. Qual o prazo médio de três letras de $ 200. com vencimento em 15 de julho do mesmo ano. e o terceiro. vence em prazo desconhecido.00.00 num prazo de 45 dias.  4 0. temos: J = 2 • 800 • 3 • 0. 25. a taxa média está correta. Qual a taxa média de duas letras: uma de $ 2 000. Vamos fazer a verificação: Capital ($) 1200 1200 1200 Taxa (a. com prazos variáveis. à taxa de 5% a.a. numa taxa comum de 5% a.00. em 1 ano. em 20 dias? 26..m.00 cada uma.m. Assim: i 6000  3  0. Uma letra de $ 50 000. o que confirma 9 o valor da taxa média. Assim: i 0.00 vence em 30 dias. 6.00 Portanto.1239 18000  20000  24000 62000 ou 12.00 em 30 Então..m. $ 120. 25.39% a. Deixaremos a verificação como exercício para você resolver.00 à taxa de 4% a. Determinar a taxa média de três letras de $ 1 000.04 • 2 = 96 1200 • 0.m.00. a terça parte em 6 meses e o restante. Tenho cinco letras de $ 500. qual é o prazo da segunda letra? 24. 2.58   0.m.m.39%a. Devo $ 60 000. a taxa média é.04  2  0. 6% a. à taxa comum de 10% a. Qual a taxa média das seguintes letras: uma de $ 400. e outra. Qual a taxa média para os descontos? Solução Como temos. tem prazo de 3 meses a 12% a. todas com um prazo de 3 meses. 80. Solução Como temos o mesmo capital.m. e outra. O prazo proposto é conveniente. 00 15. durante o mesmo período.78 14. 7.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. $ 8 000. todas no prazo de 40 dias.74 1771561 .00 de capital e juros. A data é 27 de julho. 23. Não convém aceitar a proposta.a. 28. 3. resgatável depois de 6 meses.00. INTRODUÇÃO i = 0. e $ 2 000. 8. 2. as taxas incidiam sobre o valor nominal.1 e n = 6 meses.m. 5. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO dias.1)6 C= 10000  5644. que é chamado de valor atual do título.44 11. enquanto. 29. 26. 5%a. 51 dias. Dr = $ 615.00. a 3% a.66 16. Qual a taxa da terceira letra? Respostas dos exercícios propostos A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 21. 29. então N = C (1 +i) .00 cada uma.000. Determinar a taxa média das seguintes letras: $ 500. à taxa i. e depois de 6 meses recebi $ 12 500.m. Tenho três letras de $ 6 000.5% a.00 1. VALOR ATUAL Suponha um título.4 ou 40% 4 meses $200. o cálculo do desconto era feito com taxas incidindo sobre o valor líquido.m. $ 25.00. $ 777. 6. 120 dias 20.? 27. 18.. Podemos escrever isso usando as fórmulas: 19. resultaria N? O cálculo que devemos fazer é o do montante para juros compostos.m.00 e $ 5 000.8% DESCONTO COMPOSTO 1. e finalmente uma de $ 300. $ 600.75% a..11 %a. respectivamente.m.m.. 10% a. No primeiro. $ 152. Valor atual (Va) de um título de valor nominal N.00 $ 3146. $ 10 964. Como M = C (1 +i) .91 30.. à taxa de 5% a.m. 25.00 a 6% a. 4.40 11. 4 meses e meio 10000 (1  0.m. é aquele que aplicado durante o período n. resgatável após um período n à taxa i de juros compostos. A primeira e a segunda letras estão a 8% e a 10% a. à taxa mensal de juros compostos de 10% a. 9.. O desconto composto é calculado sempre com taxas sobre o valor nominal. 27.1)  C = 6 n n 10.m. $ 2400. 7. Mas como N = 10000.2% a. no segundo.00 a 8% a.m. 33 dias 24. 15 dias e 20 dias.m 13. 4. $ 648. Qual a taxa média de quatro letras de $ 1 200. diferenciamos o desconto bancário do racional.a.m. 49 dias 22.00 Ao fazermos o estudo de descontos simples. Matemática 32 A Opção Certa Para a Sua Realização .54 12.74. i = 10% ou 0. O capital é de $ 5 644. 4. 5.00 Não é razoável.38 D = $ 1600. Qual é o capital que aplicado a essa taxa. respectivamente.a.a. Emprestei uma quantia á taxa de 12% a..m.00 a 12% a.m.m. $ 240. e 6% a.m.m.35% a... 2. 5% a. então: 10 000 = C(1 + 0. 4% a. cujo valor nominal N é de $ 10 000. 18.m. Usando a taxa média. 6%a. 17. 0. se transforma em N. $ 36 489. emitidas em prazos de 40 dias. Depois de 10 meses. baixei a taxa para 8% a.00 $ 1200. qual foi o capital emprestado? 30.a.00 em 45 dias. e a taxa média é de 10% a.4% a. à taxa de 3% a.148 ou 14. todas durante 25 dias? 28. ) 3. a.05  5 =   1800 1  0.05 e n = 5.00. 2. enquanto o racional é o menor. Solução Vamos ver primeiro os descontos feitos a juros simples. de $ 1 800. v = 1 1 i Obs.: Você deve ter notado que o desconto bancário é o maior que existe. temos: D = 9 000 • 0. Calcule o valor atual de um título de $ 12000.09. podemos escrever: 12 000 Va  12000 (1  0.vn) EXERCICIOS RESOLVIDOS 1. à taxa de 8% a.00 e o desconto composto.5018663  6022.05)5 = 0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.Va Mas como Va = N • v .00 e o valor atual é de $ 6868. Obs. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO N = Va(1+ i )n  Va  N (1  i) n A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Solução Como Va = N • v e N = 12000. para um título de $ 9 000.26 O desconto composto é de. i = 0. resgatado 5 meses antes do vencimento.2164738 Dc  1 948. à taxa de 5% a.00.08) 8000 • 0.m. o desconto racional. por quanto será paga hoje. Vamos fazer então o cálculo do valor atual para o resgate: Va  N  vn  8000  1  (1  0. então o desconto é de $ 1141. Nessa fórmula.vn) e vn  1 (1  0.09)8 n Nessas fórmulas: Va: valor atual N: valor nominal n: período i: taxa a juros compostos Podemos escrever também: = 12000 • 0. Uma duplicata. sofre ao ser descontado dois meses antes do seu vencimento? Sabemos que N = 8 000.72 Como o valor do título era de $ 8000.40. Agora faremos o cálculo do desconto composto: Dc = N • (1 . se sofrer um desconto composto de 84% a. desde que seja usada a mesma taxa. Para calcular o desconto composto (Dc).N • v = N • (1 v ).00.8573388  6858.40 Resposta: O valor atual é de $ 6022. então Dc = N . É útil escrever a fórmula de desconto composto de outra maneira. n = 8 e i = 9% ou 0.00.Va Nessa fórmula.? Dc = N • (1 . N é o valor nominal do título e Va é o valor atual. Dr  2250 N  i  n 9000  0.05 • 5 = 2 250 O desconto bancário é de $ 2 250. com vencimento em 4 anos. 3. e o desconto composto está entre os dois.05  5 125 . Desconto racional: Sabemos que Dr = L • i • n. aproximadamente. Veja: Dc = N .000.26.26. Assim: Dc = N . b.72.7835262 Dc = 9 000 • (1 — 0. DESCONTO COMPOSTO Qual será o desconto que um título de 1 8 000. Desconto bancário: Sabemos que D = N • i • n. (Consulte a tabela 6 no final do livro.: O símbolo v representa um valor tabelado.m. Calcule os três tipos de descontos possíveis. L é o valor líquido do título (Nominal — Desconto). de $ 1 948.7835262) = 9 000 • 0. disponível em 8 meses. $ 1 948.00 à taxa de 9% a. basta apenas determinar a diferença entre o valor nominal e o valor atual.28. Temos então: n n n O desconto racional é de $ 1 800.00. 1  in V a = N • vn Nessa fórmula..m. Como N = 9 000.00.a.. no valor de $ 120. Resposta: O desconto bancário foi de $ 2 250. Matemática 33 A Opção Certa Para a Sua Realização . a.00 com prazo de 6 meses de vencimento. paga 4 meses antes do vencimento. N = 2000  1..1. o que pode ser achado lendo a tabela 5 e fazendo uma aproximação. a 8% a.3378  1. Devemos apenas calcular a taxa.00 16000. mas resolvi fazêlo em 16 de abril.m. Uma letra paga 4 meses antes do vencimento.00 Complete a tabela com os valores neces- Resolver um problema por meio de logaritmos ou da tabela é uma escolha que deve ser definida a partir dos valores obtidos.m. Devo pagar uma duplicata de $ 150000.84 = 5. Sabendo que Va  N (1  i) n 20000 e n = 5.34 5 log(1 +i) = log 1.02542. Qual o desconto composto obtido no resgate de um título de $ 85000. desconto composto com taxa de 11 .00 Resposta: A duplicata será paga por $ 10469. 5 meses antes do vencimento.5%.00 15000. .? 2.m. Devia pagar um título em 23 de junho. desconto bancário com taxa de 10%. Calcular o valor atual de um título de $ 125 000..84)4 = log 120000 – 4 log 1. com um desconto composto de 9% a. Que taxa de desconto composto foi aplicada? 7. 12000. use o artifício da interpolação.. Qual o valor do título? 9.99%.079181 . 4. pago 5 meses antes do prazo. Obs. quero resgatá-las hoje. a juros compostos.m. o atual e o período nós conhecemos.. sários: Valor nominal ($) 12000. reduziu seu valor para $ 50 000. pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento.00 Taxa (%a. Em quanto tempo foi antecipado o pagamento de $ 35000. a uma taxa de 12% a. Quanto tive que desembolsar? 12.079181 . 6.. De posse de algumas letras no valor de $ 80 000... 5. se reduziu a $ 75600. 5.84)4 = log 120000 . BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Solução Sabendo que Va  i = 0.00.m.3378 tem i  5.? 4. de logaritmos.) 12 10 8 10 Período (meses) 3 2 ..00? 11. Matemática 34 A Opção Certa Para a Sua Realização .log(1.02541 5 Como log (1 + i)  0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.84 temos: Va  120000 (1  0. ou tabela 5.84)8 N (1  i) n A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos EXERCÍCIOS PROPOSTOS e que N = 120.34 log(1 +i) = 0..00? Solução O valor nominal.000... Uma letra paga 3 meses antes do vencimento. Um título disponível ao fim de 8 meses foi descontado a juros compostos de 11%a..00 que.127105 = 0.2648178   log Va= 5..0199097   Va  10469.m. Qual foi o desconto composto obtido ao saldar uma dívida de $ 80 000. uma dívida de $ 70 000.0599 Resposta: A taxa é de.m.00.: (1 + i) = 1.. temos: 14950  20000 (1  i)5  (1  i)5  e que Va = 14950. Para isso.. Que taxa de desconto composto sofreu um título de $ 20 000.m.00 a 8% a. Calcular o valor atual de uma duplicata de $ 250 000. desconto racional com taxa de 13%. Seu valor nominal era de $ 70 000. então 1 + i  1. você deve ver qual das tabelas (tabela 4. aproximadamente. n = 4 e 1. c. Usando logaritmos..4. 4 Desconto composto ($) . Qual era o valor da letra? 8.? 10. b.00. Para efetuar tal operação. A que taxa foi descontada.00 com vencimento em 7 meses..0592713 . sabendo que descontado a juros compostos de 7% a..00 2 meses antes do vencimento.99% a. tive três ofertas: a.m.00 15000.00? 3.00. com um desconto composto de 90% a. No caso de ser necessária uma melhor aproximação. 5 Qual será a operação mais vantajosa? 13...4 • 0.. seu valor se reduziu a $ 14000. e se reduziu a $ 12700.00 com vencimento em 3 anos Quanto pagarei hoje. se reduziu à metade. se reduziu a $ 14 950.00 e obtive um desconto composto de 8% a.m.00 que. à taxa de 10% a.34 14950 Usando logaritmo.00. de (1 + j)fl) dá a melhor aproximação. vem: log (1 +i)5 = log 1. vem: Log Va log 120000 (1.06  i  0. a expectativa de inflação para período. com os altos juros pagos pelo banco. Qual o valor do segundo título? Respostas: 1. Valor nominal ($) Taxa (%a. ao serem aplicadas a um mesmo principal (capital) durante um mesmo prazo. $ 24 573.63 9. Va = $ 104 453..00 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos quantia suficiente para adquirir seu desejo.00 . 11.m. no regime de juros compostos.63 2776. toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita. no regime de juros simples. N = $ 29 267.97 14.. diminue a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos. Um titulo de $ 25 000. e está disposta a pagar um preço por isto. i = 8. descontado 5 meses antes do prazo a 7% a.61 37. O que não percebiam é que. é chamada de taxa nominal. São taxas de juros dadas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo. no regime de juros compostos. como a HP-12C. É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração.00 d) Logo. n 13 meses e 16 dias. não deve ser usada nos cálculos financeiros. Taxas equivalentes.48 5. mesmo sendo bastante usada no mercado.00 b) $ 38115. quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo de formação dos juros (capitalizações). a remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga.18 c) $ 42640. i = 26% a. Assim. é uma taxa efetiva.: 15% ao ano. subindo de preço numa proporção maior que os 30% recebidos. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais. deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco.11 TAXAS TAXAS DE JUROS O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. desmotivando-o a consumir imediatamente e atraente para quem tem o dinheiro. N = $ 106 779.00. Taxa Efetiva. trimestrais.64 12. 13..66 8. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 20000. dependendo do desejo de consumo.07 2. $ 21 869. menos paciente.m. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato. acumulada pelo prazo de transação. Por exemplo: uma taxa nominal de 12% ao ano capitalizados 14. descontado 4 meses antes do prazo de vencimento a 9% a. No entanto. alguns tinham a falsa impressão de que logo ficariam ricos. Va = $ 141 118. O governo quando quer diminuir o consumo. $ 58 945. Taxa nominal.08 6. Uma taxa de 10 % ao ano. quando a caderneta de poupança pagava até 30% ao mês. quem for capaz de esperar até possuir a Matemática 35 A Opção Certa Para a Sua Realização .00 10. mais conhecida como taxa de juros. É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. capitalizados anualmente. mensais ou diários.m. $ 27200. A taxa nominal.08 4. que será a taxa nominal dividida pelo número de capitalizações que inclui. além de ítens como o risco e o tempo de empréstimo. ou taxa real de uma aplicação será calculada excluindo-se o percentual de inflação que a taxa efetiva embute.85 20 meses e 27 dias 47318. ele poderia ficar cada vez mais distante. tentando com isso conter a inflação. 5 16000. Nestes casos precisamos calcular a taxa efetiva. deu o mesmo desconto que outro.) Período (meses) Desconto composto ($) 3458. O tempo.. Por outro lado.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. São taxas de juros dadas em unidades de tempo diferentes que. o desconto bancário oferece mais vantagem. Ex.. a) $ 56000. $16 204. produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo. Esta taxa. 7.m. A remuneração real. É a taxa utilizada nas calculadoras financeiras. Taxas proporcionais. A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui. estimulando-o a poupar. que a operação envolver.. e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém. cujos juros são pagos mensalmente.. Na época de inflação alta. e os períodos de capitalização podem ser semestrais.77% 3. TAXA DE ATRATIVIDADE A taxa de atratividade de um investimento é a taxa mínima de juros por que convém o investidor optar em determinado projeto de investimento.a. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO mensalmente corresponde a uma taxa efetiva de 12% : 12 = 1% ao mës. Cn=C(1+i. se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento dessas formas de aplicação de capital. entretanto. à mesma taxa. A taxa de 20% a. n ) A5 = 110 ( 1 .02 x 5 ) = 99 Através desse exemplo. o credor do título recebido pelo em préstimo o descontar imediatamente. o montante será de 110.o juro é calculado sobre o capital inicial (100) e o desconto. a expressão (i + 1) n é maior que ( i . ele não será atrativo ao investidor.39% ao mês é equivalente à taxa de 18% ao ano. capitalizado semestralmente por um ano.1 ) . TAXA DE DESCONTO REAL E BANCÁRIO Comparando os fatores de atualização de um capital: ( 1 + i )n e ( 1 – i )n com os descontos real e bancário. elas são proporcionais. os juros obtidos no fim de um ano são maiores do que a taxa oferecida.39% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 18% ao ano. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais. Por exemplo. por exemplo. é denominada nominal e a de 21% é a taxa efetiva dos juros. A taxa aparente (chamada de nominal nas transações financeiras e comercial) é aquela que vigora nas operações correntes. a taxa de 1. sobre o valor nominal do título (110). TAXA INSTANTÂNEA A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea. As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: onde i = taxa aparente i r = taxa real I = taxa da inflação (1+i)=(1+it)×(1+I) A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos períodos de tempo diferentes. se. à taxa oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital. e. o capital de 100 unidades monetárias for emprestado a uma taxa de 2% ao mês. TAXA DO JURO E TAXA DO DESCONTO Se. Assim. como a caderneta de poupança. em mesmo intervalo de tempo. conhecidos os lançamentos nos seus devidos momentos de realização. o desconto é maior do que o juro quando emprega a mesma taxa para esse tipo de operação.02 x 5 ) = 110 A5 = N ( 1 . se um capital de 100 for colocado a 20% a. Isso ocorre porque as taxas do juro e do desconto são iguais. fazem com que um capital produza o mesmo montante.i . verifica-se que o capital emprestado e o valor atual do título recebido como garantia não são iguais. temos: 100 110 121 A Taxa Interna de Retorno (IRR) de um fluxo de caixa é um objeto matemático que fornece a taxa real de juros em uma operação financeira. o desconto real é menor que o bancário. referindo-se a 0 10% 1 J = 10 10% 2 sem J = 11 Assim. pois um capital colocado a 1. mas calculadas sobre valores diferentes .a. conforme os cálculos abaixo. portanto. por 5 meses.0. verifica-se que. para n um determinado valor de i e de n. TAXAS PROPORCIONAIS Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem. Para que haja igualdade entre o capital emprestado e o valor atual do título é necessário que a taxa do juro seja maior que a taxa do desconto. A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. Open market. Por exemplo. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são equivalentes quando. Corresponde.n) C5 = 100 ( 1 + 0. pois uma pessoa está emprestando 100 e recebendo em troca um título que vale 99. o valor atual do título será igual a 99 unidades monetárias. MÉTODO DA TAXA DE RETORNO A taxa de retorno de um investimento é a taxa de juros Matemática 36 A Opção Certa Para a Sua Realização . depósitos a prazo fixo etc. os juros realmente pagos no ano são de 21%.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Pode-se então estabelecer uma relação de correspondência entre a taxa do juro e a taxa do desconto comercial que satisfaça essa condição. na prática. Para que os descontos real e bancário de um título para n períodos sejam iguais é necessário que as taxas sejam diferentes (taxa do desconto real maior que a taxa do desconto bancário) . Obviamente. CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO que anula a diferença entre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa análise de investimentos, a escolha recai na alternativa de maior taxa de retorno. Uma alternativa de investimento é considerada, vantajosa quando a taxa de retorno é maior que a taxa mínima de atratividade. RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma divida. Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos constituem os termos (T) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e 1 a taxa unitária dos juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se, entretanto, seu objetivo for amortizar uma divida, o valor dessa divida será o valor atual (ou valor presente da renda). As rendas podem ser certas ou aleatórias. Rendas certas são aquelas em que o número de termos, os vencimento dos termos e seus respectivos valores podem ser previamente fixados. Quando pelo menos um desses elementos não puder ser determinado com antecedência, a renda é chamada aleatória. A grande maioria das rendas são certas; é o caso do conjunto das prestações para pagar uma mercadoria comprada a prazo, onde o valor das prestações, os seus respectivos vencimentos e número são previamente conhecidos. O exemplo mais típico de renda aleatória ê o conjunto dos pagamentos de prêmios de um seguro de vida, pois o número de pagamentos não pode ser fixado antecipadamente. RENDAS ANTECIPADAS (an ) Uma renda é antecipada se, tendo a renda n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de n-1 períodos. Isto e, os depósitos ou os pagamentos se realizam no principio de cada período. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos do primeiro pagamento se dá no fim de n + 1 período e, tendo a renda n períodos, o vencimento do último se dará no fim de m + n períodos. Isto quer dizer que os depósitos ou os pagamentos começarão a se efetuar depois de decorridos m períodos. CAPITALIZAÇÃO (Sn ) m an = am +n - am O montante de uma renda unitária e temporária é a soma dos montantes de cada termo, constituído durante o tempo decorrido do seu vencimento ao vencimento do último termo. un - 1 Sn = i Tal valor é encontrado na Tabela III. AMORTIZAÇÃO (a) Para o valor atual de uma renda periódica e temporária de termos constantes e iguais a a, teríamos: 1) antecipada: 2) postecipada: 3) diferida: a  un  1 iun - 1 a  un - 1 iun a  un - 1 ium + n CÁLCULO DO MONTANTE Se Sn e o montante de n termos unitários, o montante de rendas constantes e temporárias será, sendo a o termo: a . Sn ou, representando por M o montante: un - 1 M = a  i CÁLCULO DO TERMO, DO NÚMERO DE TERMOS E DA TAXA Para o cálculo de cada um desses elementos, no problema de rendas, precisamos considerar se ela é antecipada, postecipada ou diferida. Resolveremos problemas considerando cada caso. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Após essa breve pincelada teórica sobre rendas, passamos a resolver problemas. Em cada um deles daremos a fórmula a ser usada. Podemos resolver tais problemas usando Tábuas Financeiras ou logaritmos. Usaremos os dois sistemas, aplicando sempre o que for mais conveniente. an = un - 1 iu n - 1 RENDAS POSTECIPADAS OU IMEDIATAS (an ) Uma renda denomina-se postecipada ou imediata quando os depósitos ou os pagamentos se efetuam no fim de cada período e, portanto, o vencimento do último termo, tende a renda n termos, ocorre no fim de n períodos. un - 1 an = iun Para tal cálculo usamos a tabela V RENDAS DIFERIDAS (mlan ) A renda é dita diferida de m períodos se o vencimento EXERCÍCIO 1 Depositando anualmente R$ 2.000,00 em um banco; a juros compostos de 5% a.a., que capital teremos no fim de Matemática 37 A Opção Certa Para a Sua Realização CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 8 anos? Solução: Pela tábua III: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Portanto: 19.636,30 = a . 9,818.147.4 a = M = a  un - 1 i 19.636,30 = R$ 2.000,00 9.818.147.4 aproximadamente 105 8 - 1 , = 9,549.108.9 0,05 M = 2000 x 9,549,108.9 M = R$ 19.098,20 Por logaritmos, teremos: log 1,05 = 8 x log 1,05 = 8 x 0,0021 . 2 = 0,169.6 1,058 = 1,478 8 EXERCICIO 4 Calcular o valor atual de uma renda anual de 18 (os iguais a R$ 800,00, diferida de 7 termos, a 5%. Solução: Pela tábua V teremos: m an = a m +n - a m 7/a18 = a25 – a7 = 14,093.944.6 - 5.786.373.4 7/a18 = 8.307.571.2 M = 2000 x 2,05  1 = 0,05 8 V = 800 x 8,307.571.2 V = R$ 6.646,00 = 2.000 x 9,560 M = 19. 129,00 EXERCÍCIO 2 Calcular o valor atual de uma renda anual imediata de 20 termos iguais a R$ 2.000,00, a 8% a.a. Solução Usamos a tabua V: VALOR ATUAL DAS RENDAS IMEDIATAS Sendo T o termo de uma renda imediata e A n| i seu valor atual , temos: A n|i = T . an |i EXERCICIO 5 Calcular o valor atual de uma renda mensal de 1000 unidades monetárias, de 12 termos, a 1% ao mês. Solução: A n|i = T . an |i T = 1.000 v = a  un - 1 iu n = 9,818.147.4 10820 - 1 , 0,08 x 1,0820 v = 2000 x 9.818.147.4 v = R$ 19.636,00 EXERCÍCIO 3 Qual a prestação anual que se deve pagar para, a 8% a.a., saldar a divida de R$ 19.636,30, em 20 anos? Solução: Pela tábua V temos: v = a  un - 1 iun A 12 | 0,01 = 1.000 x 11,255077 A 12 | 0,01 = 11.255,77 u.m. a 8%, em 20 anos, a tábua V nos fornece 9,818.147. Matemática 38 A Opção Certa Para a Sua Realização CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO EXERCÍCIO 6 Que divida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de 5.000 u.m, com juros de 20% a.a.? Solução: T = 5.000 A20 | 0,1 = 5.000 x 8.513.563 An| i = T . a n|i A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos sn | i = S12 | 1 = T = 500 Sn | i T 7.732.016 s12 | 1  s12 | 1 = 7.732.016 500 15.464032 A20 | 0,1 = 42.567.815 u.m. Na tábua III, o valor 15.464032, para 12 períodos corresponde à taxa de 4,5%, portanto a taxa de aplicação é de 4,5% ao trimestre. MONTANTE DE RENDAS IMEDIATAS T = termo de uma renda imediata: Sn | i = seu montante EXERCÍCIO 9 Qual a prestação trimestral antecipada necessária para amortizar, com 12 pagamentos, um financiamento de 10.000 u.m. com juros de 5% ao trimestre? Solução: Sn | i = T . sn | i EXERCICIO 7 Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada se mestre, a importância de 1.000 u,m., a 20% a.a. Quanto terá no fim de 4 anos? Solução: Sn | i = T . T = 1.000 A n|i = T . a n |i An | i an | i T = sn | i A 12 | 0,05  10.000 a12 | 0,05  1 + a11 | 0,05 1 + 8.306414 = 9,306.414 (T.V) T 10.000 9,306414 T = 1.074,528 u.m. S8 | 0,1 = 1.000 x 11,435888 = 11.435.888 u.m. MONTANTE DAS RENDAS ANTECIPADAS EXERCÍCIO 8 Realizando depósitos trimestrais imediatos de 500 u.m., obteve-se no fim de 3 anos, o montante de 7.732,01 u.m. Qual a taxa do juro? Solução: Sn | i = T . sn | i Sn | i = T . s n | i Sendo T = o termo de uma renda antecipada e Sn | i seu montante. EXERCÍCIO 10 Calcular o montante de uma renda antecipada de 18 termos mensais de 1.000 unidades monetárias, à taxa de 1% o mês. Matemática 39 A Opção Certa Para a Sua Realização CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO solução: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos an = 1 + a14 = 1 + 9,294.983.9 = = 10,294.983.9 v = 30 x 10,294.983.9 v = R$ 308,85 Sn | i = T . s n | i T = 1.000 S18 | 0,01  s18 | 0,01  1 = 20,810895 – 1 = 19,810895 S18 | 0,01  1.000 x 19,810895 EXERCÍCIO 13 Qual a anuidade capaz de, a 6% a.a., e 15 prestações anuais, saldar a divida de R$ 30.884,95, sendo a primeira prestação paga no ato do empréstimo? S18 | 0,01  19.810.895 u.m. VALOR ATUAL DAS RENDAS DIFERIDAS m An | i  T  m an | i T = termo de uma renda diferida e m/An | i o seu valor atual. EXERCÍCIO 11 Solução: v = un  1 iun -1 Pela tábua v: Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de 200 u.m, com 9 meses de carência, à taxa de 5% ao trimestre. Solução : un  1 iun - 1 = 1 + 9,294.483.9 = m An | i  T  m an | i T = 200 = 10,294.483.9 30.884,95 = a . 10,294.483.9 3 a10 | 0,05  a13 | 0,05 - a 3 | 0,05 = 9,393573 - 2,723248 = 6,670325 a = 30.884,95 10,294.483.9 a = R$ 3.000,00 aproximadamente EXERCÍCIO 14 Qual o capital constituído com depósitos semestrais de R$ 25,00, a 6% a.a. capitalizados semestralmente, durante 20 anos? Solução: Aplicando a tábua III: 3 A 10 | 0,05 = = 1.334,065 u.m. = 200 x 6,670325 EXERCÍCIO 12 Calcular o valor de uma renda anual antecipada de termos iguais a R$ 30,00 a 6% a.a. Solução: 1,03 40 - 1 M = 25 x 0,03 A taxa semestral proporcional a 6% a.a., em 20 anos será 3% em 40 semestres. M = 2.500 x 47,575.42 = 11,463.88 = R$ 13.637,62 v = un  1 iun - 1 un  1 = an iun - 1 an  1 + an - 1 Pela tábua V: Por não constar em nossas tábuas o tempo de 40 anos lançamos mão de dois números: 47,575.42, correspondente a 30 anos, e 11,463.88, correspondente a 10 anos. E calculamos em 5 decimais, apenas. EXERCÍCIO 15 Matemática 40 A Opção Certa Para a Sua Realização Solução: EXERCÍCIO 18 Que divida poderia ser amortizada com 20 prestações iguais a R$ 2.930.06 x 2.1 0.6 .815.08 20 v = 2000 .000 x 9.08 20 .000 x 1395.? Solução: Vamos usar novamente logaritmos: v = a  log 1.3 v = R$ 19.a.0614 = 14 .000  1. a taxa do problema e de 4% ao trimestre.0820 = 4.412. Calcular o valor das prestações à taxa de 4.98 u. Qual a taxa de juros? Solução : An| i = T . a uma taxa mensal de 1%. EXERCÍCIO 17 Que divida se amortizaria.6 14 an | i  A8 | i An | i T v = 3.00 T = 100.668.? Solução: M = 150 .045 = = 13.26 v = R$ 30.033.045 = 100.412050 v = 2.732745 Na Tábua V. serão necessários 8 pagamentos trimestrais de 4.06 = 14 .395.6.m.00 por 10 meses. vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais em 2 anos de carência. para 8 períodos. M=C.Sn|i n = 10.06 = 2.06 15  1 0. 0.876.a.631. log 1. a n|i A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos log 1.1 m A n | i  T  m an | i = 20 .06 14 a8 | i  26.260 1. EXERCICIO 16 Um empréstimo de 100.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.m.a.000 1.00 a 8 | i = 6.000.00.98 4.000.732745. Portanto.m.930.025.1 Portanto: S10 | = 10.06 x 1. Pela tabela: un  1 v = a  iun .045 = a20 | 0.000 v = 3.08 20 un  1 iun . 0.0615 = 2. v = 2. 1.5% ao trimestre. log 1.000 u.98 T = 4.045 = a8 | 0.3 = ú. durante 15 anos a 6% a. pagando-se no principio de cada ano a prestação de R$ 3.000 u. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Para resgatar uma divida de 26.000 6.050 EXERCÍCIO 19 Calcular o valor do montante da aplicação de R$ 150.930.46222125 Matemática 41 A Opção Certa Para a Sua Realização . S10 | 10 Vamos resolver este exercício por logaritmos.m.000 x = 26. corresponde à taxa de 4% a. Solução: C = 150.08 x 1.35Í 1.000 8/a12 | 0.595. i = 1% T = 15.4 = 0.00 à taxa de 8% a.656 m An | i T = m an | i 8 /A12 | 0. 0.595886 = 6.08 = 20 .007936 . o valor 6.636 u. 3% ao mês.000 796.469921 = 3. Portanto: na tabela. dá um total capitalizado de R$ 50. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO M = 150 .80 quitarei uma divida de R$ 10. 1. Sn | i 3.? Solução: 3. a n | i temos 10. i = 2% M = C antecipado .1920296 M = 14 617.65 M = C . que divida estarei amortizando? Solução: C = 300 i = 6% n = 20 C = 50.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. (1+ 0.550201 Procurando i = 4 na tabela de an | i encontraremos em n = 18 o fator 12.000 C = S12 | 2 Procurando 13.727. que. a 20 | 6 Procurando a20 |6 11.00 colocados mensalmente a juros de 3% a..m.00 num financiamento feito a base de 6% a. nesse caso.m.000 C = 796. S12 | 3 M =1. encontramos o valor M = 300 . 11. Qual é a investimento? Solução: M = 3. EXERCÍCIO 21 Na porta de um banco lê-se a propaganda de um investimento que diz: "Deposite mensalmente R$ 100.97 Resposta: a quantia total amortizada é de R$ 3.4264702.442.79 M = C . n = 12. à taxa de 2% a. que aceitaremos como o mais Matemática 42 A Opção Certa Para a Sua Realização . para n = 24. a n | i = 300 .000. S24 | i C = 100 n = 24 taxa mensal de juro composto do M = C . encontraremos em i = 3% o valor 34. retire R$ 3. Solução: M = 50.03) .00 e.442. Sn | i C = M Sn | i 50.m.617.440. é o próximo.79 Resposta: R$ 14.65".65 = 100 .98. ( 1 + i ) .000 = 796.80 i = 4% Como M = C . S n | i M =1.33 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos EXERCÍCIO 22 Calcular o montante produzido por 12 prestações de R$ 1. aplicado por 1 ano.4120897 na tabela encontramos o número EXERCÍCIO 23 Pagando 20 prestações de R$ 300.442.440. Resposta: A taxa é de. aproximadamente.m.000. sendo a primeira parcela antecipada.65 = S 24 | i 100 3.000 n = 12 1 = 3% EXERCICIO 20 Calcular o valor das prestações mensais que. 10. Solução: C = 1.03 .4120987 Resposta: As parcelas mensais deverão ser iguais a R$ 3.569..000 13.97 EXERCÍCIO 24 Em quantas prestações de R$ 796. se o financiamento foi feito à base de 4% a.000 . 10.4622125 . 14. a n | 4 Recorrendo à tabela Sn | i.469921.659270.442.000. M = R$ 1.00.80 .80 = a n | 4  a n | 4  12. em 24 meses.442.000 .65 = S24 | i M = 10.000.00. PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO 1.61.86 Resposta: 0 financiamento é de.486. sendo 5% a. sendo a taxa no período de 2%. O valor atual é o total da divida (M). (a16 | 5 – a4 | 5) M = 2000 . aproximadamente. a9 | 2. C . variáveis ou até únicas.860. Solução: C = 1200 i = 2. que vai aumentando.00 com carência de 4 meses. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO próximo. de 2.86.5. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO EXERCÍCIO 27 Uma amortização constante de 20 parcelas mensais de R$ 860.767. a n | i M = (1 + 0. as prestações são sempre fixas.12103576 . EXERCÍCIO 25 Calcular o valor atual de uma divida de 8 termos iguais a R$ 800.7334088 = 9 767.8377696 .583. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos M = 860 . O que varia é a sua composição. os juros vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo. Elas podem ser constantes.3254814 M = 5.38 Resposta: O valor atual e de R$ 5.38. sendo compostas sempre por duas partes: juros e amortização propriamente dita. no período.a6 | 2) Consultando a tabela.00. variam a parte correspondente aos juros e a parte correspondente à amortização da dívida inicial. O que difere um sistema de amortização do outro é. a 8 | 2 M = 800 .026 . ou seja. São os chamados sistemas de amortização. 7.65 Resposta: o valor atual é de R$ 14. (10. No caso deste tipo de empréstimo é importante estudarmos as maneiras mais comuns de quitação da dívida.a n|i M = 800 .000.5459505) EXERCICIO 26 Qual é o valor atual de uma renda antecipada de 9 às 19uais a R$ 1. acompanhados de prazos dilatados para o pagamento.3. 2. Portanto.60143089) n = 20 Nesse sistema. 1200 .61 Resposta: O valor atual é de R$ 9. O valor atual é o total da divida (M) M = (1 + i ) .CEF – MATEMÁTICA (TÉC.291819 M = 14.6 M = 1. basicamente. Matemática 43 A Opção Certa Para a Sua Realização . Qual o valor do financiamento na ocasião do contrato? Solução: C = 860 i = 2% carência = 6 M = C . Trataremos aqui dos sistemas em que a taxa de juros é constante e calculada sempre sobre o saldo devedor.583.860.6%. M=C. (a26 | 2 . Solução: C = 2000 i=5 n = 12 carência = 4 M = C . temos: M = 860 .00 com taxa.6 n= 9 M = 2000 .64.026) .200. Resposta: A divida será quitada em 18 prestações.m. devera ser 18 o número de prestações mensais iguais. INTRODUÇÃO Os empréstimos de grandes quantias por parte das financeiras para compra de imóveis vêm. 1200 . 14. R$ 12.519604 M = 12 486. a maneira como são obtidas as parcelas. EXERCICIO 28 Solução: C = 800 i=2 n=8 Calcular o valor atual de uma renda mensal de 12 termos iguais a R$ 2. (20. 7. em geral. Normalmente. São os empréstimos a longo prazo. ao inverso da amortização. 7. a taxa de juros.00 tem carência de 6 meses e taxa mensal de 2%. Como a prestação total é de $ 1547. sem carência.473.85 73.55 1.853.00 284. Nesse caso.22 3 841. obteremos um plano completo.047.20 Teremos.37 1.90 1. A parcela constante nesse caso pode ser obtida através da fórmula: Período Saldo Devedor 7.64 Amortização = 1 547.58 = 7 853.20 6.099.ª 11.ª 12.547.00 Amortização = 1 047.00 548.64 392.272.64 Saldo devedor = 8 952.45 2. em 8 parcelas à base de 5% a.377.40 O saldo devedor passa agora a ser : 3 841.22 1.58 = 1 099.22 Repetindo o processo até a quitação total da dívida.58 1.00 . que variam na ordem inversa. um empréstimo de $ 10.22 1.853.05 X 10. que : Amortização + Juros = Total das prestações Matemática 44 A Opção Certa Para a Sua Realização .547.32 210.547.547.58 477.35 4.547.22 1.00 8.66 334. Ou seja.22 12.486. como poderiam ser algumas parcelas de um financiamento desse tipo .22 1.78 = 447. ao final do segundo período a seguinte situação: Observe que a prestação fixa é obtida adicionando-se juros e amortização.78 O gráfico apresentado a seguir esclarece melhor esta situação: Ao final do primeiro período.154.64 1. 8 952.22 3 841. teremos: Juros = 0. Este sistema pode ser também acompanhado de prazo de carência.1 047.40 Saldo = 8 952.698.1. 2.500.22 1.93 274.22 .67 143.547.000.90 1.952.547.000 = 500 A parte referente aos juros na primeira prestação será de $ 500.00 447.1 099.78 Amortização Juros Prestação 1 1.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. os juros podem ser pagos durante o prazo de carência ou capitalizados no saldo devedor.547.000.53 10.336.64 5.80 Prestação A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos que amortiza a dívida é: Amortização = 1 547.22 1.047.403.29 1.000. por exemplo. então.212.22 1.40 Saldo = 10.22 1.000. os juros vão diminuindo e a amortização vai aumentando.05 .53 TOTAL Amortização Juros Prestação 0 1 2 3 1.00. de juros. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Vejamos.547.78 .56 1.m.473. teremos então o seguinte: Período Saldo Devedor 8.20 Amortização Juros Prestação 2 1.377.40 3 293.22 500. Sistema Francês sem Prazo de Carência Consideremos. como exemplo.66 2.00 a ser pago.00 1.876.547.22 o valor Podemos observar pela linha total.22 O processo se repete agora para o segundo período : Juros = 0.73 1.952.447.099.78 7.22 Que parte corresponde aos juros? Que parte amortiza a dívida? Incidindo a taxa de 5% sobre o saldo devedor inicial.00 500.213.22 .60 Amortização 3 049.76 M 1000  1 a8 5 1 ani C 4 5 6 7 8  C  C  1547 . apresentado na tabela que segue: Período Saldo Devedor 10. salvo aproximação.ª Juros 792. Parcela 10.30 3 556. 547. no entanto.56 Saldo devedor = Saldo devedor anterior .55 1.377.025.81 .551. daqui para a frente.00.2. deverá ser calculada a partir do saldo devedor atual ($ 11 025.212.403.22 Os juros de 5% no primeiro período serão calculados sobre $11 025.047.00 - foram sendo A partir do mês seguinte.213.154.00 10.25 = 1.64 5.56 1.25 Amortização = Prestação .000.952.52 Matemática 45 A Opção Certa Para a Sua Realização .22 .000.00 10.22 1. A prestação fixa será dada agora por : Perceba que ao saldo devedor acrescentados os juros não pagos.000.00 .67 143. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 2.22 1.00 11. Sistema Francês com Carência e Capitalização de Juros Neste caso.00 10.473.73 Para o próximo período. Os juros e as amortizações serão.154. Juros = 11. agora. os juros de 5% serão calculados sobre o saldo devedor de $ 9.44.547.000.00 1.00 11.698.336. 0. 0. em 8 parcelas mensais.099.154. agora.53 Juros 500.22 1.547.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.473. com carência de 3 meses. Desse modo.32 210. durante o período de carência.025. Os juros sobre o saldo devedor inicial serão de : Juros = 10.00 1 500.547.547.76 10.00 8.  C  1547 .025.00 2 500.44 1.000.05 = 493.93 274.81 .25 1. C M c  10.00 – 1.05 = 500 Este valor será pago nos três primeiros períodos.870. ficaremos com o seguinte esquema: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 2.05 = 551.22 1. então.53 TOTAL Amortizaçã o 1. Sistema Francês com prazo de carência e pagamento dos juros Neste caso.58 1.500.Juros Amortização = 1 705.00. 0.025 . o devedor não paga os juros da dívida.00).853. Juros = 9 870. Os três primeiros períodos podem ser observados no quadro abaixo: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 0 1 2 10.29 1. é dado ao credor um prazo durante o qual ele pagará apenas os juros da dívida.486. 1 a85  C  1705.000. inicia-se a amortização. que são capitalizados no saldo devedor.45 2.154.44 .000. Tomemos o exemplo de um financiamento de $ 10.870.90 1.85 73.8 1 1 2 3 10.78 7.377. durante 8 meses.37 1.870.00 10.000.64 392. amortizá-la durante essa carência.000.000.00 a 5% a.Amortização Saldo devedor = 11.00 3.00 10.20 6.22 1547.66 334. sem.66 Prestação 500.705.m.000. O plano completo será.00 500. taxa mensal de juros de 5% e capitalização dos juros no saldo devedor. calculados do mesmo modo que o já mostrado no caso sem carência. carência de 3 meses.876.272.56 = 9.00 500. o seguinte: Períod o 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saldo Devedor 10. Vamos considerar o mesmo exemplo do financiamento de $ 10.44 O esquema. C M 1 ani  C  11025  .00 500.00 500. Da soma dessas parcelas resultará a prestação que.22 1.90 1.22 13.35 4.00 447.00 10.22 1.00 500.00 10.00 9. fica assim: Período Saldo Devedor Amortizaçã Juros o Prestação 0 1.500.547.000.3.56 551.000  1 a8 5 1 a ni A partir do período seguinte começam a ser cobradas as parcelas referentes à amortização e aos juros.547. 00 - Saldo devedor = 2 000 Juros = 2 000 .50 280. esclarece melhor esta situação: Amortização = 250 Prestação = 250 + 52.000.81 302.645.50 295.00 11.00 1.00 250.750.91 1. teremos o seguinte plano: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 1 Observe que a amortização é fixa e que os juros decrescem juntamente com a prestação.00) pelo número de prestações.81 2.000.048.47 13.50 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBURGUÊS Nesse caso.22 11.493.00 287.00 750.624.79 1. no final do período teremos: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 2 1.705. tomado no período anterior.00 250.03 = 52. o número de prestações é 8.00 10.385.00 500.33 3.81 158. no final do período.25 6.48 Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Então.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.00 1.50 Repetindo esse processo até a quitação total da dívida. 2 3 4 5 6 A parcela fixa da amortização é obtida dividindo o valor financiado ($ 2.00 250.000.56 1.00 - 250.000  250 8 A parcela de juros vai variar em função do saldo devedor. SAC .25 1. O gráfico apresentado a seguir.15 O plano completo de amortização nesse caso ficará: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 2. as prestações são variáveis.00 1.55 1.57 TOTAL 1. teremos: 1 1.00 Agora.50 30.1 212.54 1.646.00 272.52 = 1 212.000..500.212.81 Prestação = 250 + 60 = 310 493.00 52.00 à taxa de 3% a.81 432.500.705.621.00 60.00 9.81 .81 369.705. com um prazo de 8 meses.50 15.00 22. vamos fazer os cálculos referentes à segunda parcela: Saldo devedor Juros = 1 750 = 1 750 .29 Saldo devedor = 9 870.500.000.50 = 302.00 1. Vamos fazer os cálculos referentes à primeira parcela: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 10. vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo.00 250.750. No financiamento que tomamos como exemplo.00 257. 0. 0.50 265.00 310.50 Então.705.44 .336.705. 7 8 2.03 = 60 Amortização = 250 551.705.473.00 250.26 1.547. a amortização é fixa e os juros.44 1.870.154.15 7.37 1.50 Matemática 46 A Opção Certa Para a Sua Realização .81 232.m.29 = 8 658.403.00 250.00 250.59 1.44 8.00 302.025.50 302. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Amortização = 1 705.50 310.00 250.90 1.00 37.29 1.00 250.272.250.Sem Prazo de Carência Vamos supor um financiamento de $ 2.52 1.00 52.025.658. em geral.00 60.00 7.50 45.705.00 250.27 1.70 4.171. 00 1.65 530. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Este é um sistema mais moderno. à taxa de 8% a.88 795.000.14 273. P = J + 250 = 0.00 1. o devedor não paga absolutamente nada.390. a 3% a.121.121.50 30.57 1.50 9 295.03 = 2 060 Depois de dois períodos.23 265.m.270.00 2.856.00 Obs.00 250.65 55.01 297.00 60.00 TOTAL 250.00 250. n) + 250 Nessa expressão.00 22. que não apresenta nenhuma dificuldade teórica aos que já foram estudados.44 328. SAC com Prazo de Carência e Juros Capitalizados no Saldo Neste caso.m.00 60.15 2.250 .00 6 60.00.250 . Os juros desse período vão servir para aumentar o saldo devedor.00 250. n é o período e J os juros.00 257.93 312. uma vez que ele é simplesmente a média aritmética entre o Sistema Francês de Amortização e o SAC.00 8 302. o processo é o mesmo.97 305. durante a carência.00 2.000.00 250.87 15.00 250.70 47.88 320.50 45.23 265.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.00 10 287. (2 000 .060. SAC com Prazo de Carência e Pagamento de Juros Neste caso. 2.00 1.00 2. depois de um período. com um período de carência de 3 meses.74 39.91 7.00 272.23 265.00 2.00 250.408.19 2. durante 8 meses e com período de carência de 3 meses. temos: Obs. (2 000 .23 265.80 Para calcular a parcela fixa de amortização é necessário dividir 2.00 7 310.23 265. temos: Matemática 47 A Opção Certa Para a Sua Realização . 1.96 286.19 Total 265.42 265.24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.00 500.060.23 8 Daqui para a frente.06 289. A tabela com todo o plano fica assim: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 1 2 3 4 2..500.80  265.591.00 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Saldo1 = 2 000 .10 281. Vejamos um exemplo : Consideremos um financiamento de $ 2 000. Vejamos um exemplo : Para o financiamento de $ 2. n) Nessa expressão.00 2.00 52. Isso ocorre porque o que deveria ser juros passa a ser principal.23 265.80 1.000.78 31. O plano de amortização fica como mostra a tabela: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo2 = 2 060 .326.121.00 250.000.50 2.55 15.23 265.83 23.00 2. não havendo nenhuma amortização.: Comparando as tabelas dos planos de carência com pagamento ou não dos juros no período.000.000.50 280. P é a prestação do período.: Os juros e as prestações são funções de 1. Assim.03 = 2 121.00 750..121. paga-se mais.34 1.00 5 60.03 . 1. você pode ver que usando o segundo sistema.00 37.03 . BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO TOTAL 2.º grau: J = 0.80 63.000.80 por 8.50 390.250. O gráfico ao lado compara a evolução das prestações nesses três sistemas.50 265.750. durante o período de carência é feito apenas o pagamento dos juros.00.00 250.00 1.00 270. podemos começar calculando o saldo capitalizado.00 60.11 1.00 7.000. 40 10. aplicações financeiras. à taxa de 5% a.0360 1 . tem-se a deflação.00 2..99 1. Com esse procedimento.00 2. 7.60%. 9. medida por um índice de preços calculado por uma entidade credenciada.74 109.00 400.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. depreciado em função da elevação sistemática dos níveis gerais de preços.) poderiam ser reajustados com base na inflação ocorrida no período anterior. calculado pelo IBGE.09%. empréstimos.000.145.88 11.75 11.095.904.00 CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO.00 CÁLCULO FINANCEIRO 2. EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO A Inflação e correção monetária A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços à disposição da sociedade. foi institucionalizado no Brasil o princípio da correção monetária.000.000.88 Matemática 48 A Opção Certa Para a Sua Realização .294.000.09 7. válidos para o primeiro dia de cada mês: Mês Fevereiro/89 Variação mensal (%) 3.25 6. Para a obtenção do valor do mês seguinte. na data de 01-02-89. O que é um indexador 10.75 lndexador.000.00 1.01 4.00 300.74 2.25 2.08 4.51 314.00 2. impostos etc.354.00 (um cruzado novo).60% do mês de fevereiro.047.88 2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 5 2. com exceção da aproximação.290.31 1 . essas variações foram. pode ser entendido como qualquer valor ou índice utilizado como parâmetro para atualizar o valor da unidade monetária.548.147.12 1.00 2.000. salários.000.254. Esse indexador foi construído com base na variação mensal dos preços ao consumidor.76 307.80 1. que.199. em cada período.75 2.38 Perceba tanto pelas prestações.31%.304. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Suponha dois planos de financiamento de $ 10.88 2. respectivamente. de 3.00 2.950. o valor do BTN de abril foi obtido adicionando-se 6.00 2. criado em fevereiro de 1989 e extinto em fevereiro de 1991.88 2. de fevereiro até junho. Através desse princípio. como pelos juros ou pelo saldo devedor.099.00 SISTEMA FRANCÊS Perío Saldo do Devedor Amortização Juros Prestação 0 1 2 3 4 5 10.25 207. vamos tomar como exemplo o cálculo do valor do BTN.200.900.500.809. a média aritmética entre o valor do SAC e o do Sistema Francês.00 8.00 500.309.00 409.400.000.75 2.00 TOTAL 2. 6.00 404. financiamentos.099.00 8.997.00 1. Seu valor inicial.0360.01 2. Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 1 2 3 4 5 10.76 2.37 2.00 2.83%.20 6.75 2.60 6.404.75 2.000. normalmente pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).24 1.000. os valores no SAM são.00 em 5 meses.500. obtém-se os seguintes valores para os cinco primeiros meses de nosso exemplo. obtendo-se NCzS 1.94 1.548.00 500.300.524.00 6.00 8.000.94 105.63 2.00 4. foi fixado em NCzS 1.309.100.0991 Março Abril BTN O mesmo plano calculado com base no SAM ficaria assim: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 1 2 3 4 10.000.00 100. tal como usado pelo mercado financeiro. os valores monetários (preços de bens e serviços. Com o objetivo de minimizar ou mesmo neutralizar as distorções causadas pela inflação na economia.00 2.190.00 2.309.94% e 24.199.75 10. quando ocorre o fenômeno inverso.309.000.309.995.095.00 2.51 500. Construção de um indexador e sua utilização Para facilitar a compreensão do leitor. Para os cinco primeiros meses.00 200. adicionou-se a variação de 3.75 - 1.000.524.500.000.0000 1 .50 214.000.204.75 1.09% ao valor do mês anterior e assim sucessivamente.m. primeiro pelo SAC e depois pelo Sistema Francês.00 11.45 2. As aplicações com renda fixa podem ser pré e pós-fixadas. x (1 + vn) em que v representa a variação (diária.44 10360 . Nos casos em que somente a variação do indexador é conhecida. isto é. A partir deste exemplo.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. de uma aplicação financeira ou de um bem ou serviço. as Sociedades de Crédito. No caso do exemplo anterior. fosse extinta pelo governo logo após a criação do REAL. em que pese a todas as restrições que fazemos a ela. incorporar ao preço inicial a variação correspondente à inflação do período. podemos apresentar uma fórmula genérica para atualização monetária de valores e que será utilizada ao longo de todo este capítulo. Para tanto. e pelas caixas econômicas. o volume de emissão de Letras de Câmbio tem se reduzido muito nos últimos anos. Recibos de Depósitos Bancários (RDB). até então a mais utilizada para atualizar os valores das aplicações e dos empréstimos. Com a intensificação do processo de transformação de Financeiras em bancos múltiplos.. ou o valor atualizado de um empréstimo. A fórmula é a seguinte: Vamos tratar de aplicações nos seguintes títulos e valores mobiliários: a) Certificados de Depósitos Bancários (CDB). emitidos pelas mesmas instituições financeiras.000. a ORTN. A utilização de um índice de preços. abril e maio. no passado. não nos resta outra alternativa a não ser adotar essa taxa referencial como indexador.000.00 seria corrigido como segue: Valor corrigido = 100. Os prazos de emissão são idênticos aos do CDB e RDB. ou seja.83 1 . o investidor seguramente receberá no vencimento um valor maior que o desembolsado. sendo atualmente de 30 dias. Entretanto. Nos exercícios com rendas e encargos pós-fixados apresentados na primeira tiragem da quarta edição. basta dividir esse valor pelo índice correspondente à data do inicio do período (a partir da qual se pretende corrigir) e multiplicar pelo índice referente à data do fim do período. obtido nesse dia. A ten- Pc  P x Iv Io b) em que Pc é o principal corrigido. Assim. ou seja. Assim. e de indexador qualquer índice utilizado com a finalidade de corrigir monetariamente um valor. Assim. basta dividir o índice referente à data atual pelo índice correspondente à data anterior (a partir da qual se pretende determinar a variação).1794 1 . 1º no dia 19 de fevereiro. e subtrair 1.000. Letras de Câmbio (LC): são títulos emitidos pelas chamadas "Financeiras".94 24. de um indexador. P o principal inicial.154.0360 Essa variação corresponde às variações acumuladas dos meses de março.. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Maio Junho 9. lndexador utilizado neste capítulo A parte final do breve histórico apresentado sobre a indexação no Brasil dá ao leitor uma idéia das dificuldades c) Matemática 49 A Opção Certa Para a Sua Realização . l o o indexador correspondente à data inicial (data do contrato) e lv o indexador da data do vencimento.. As aplicações com renda pósfixada pagam juros calculados sobre o principal corrigido. A TR é uma taxa mensal calculada e divulgada diariamente pelo Banco Central. pagamento ou resgate. para S 1.61% referente ao dia 19 de janeiro de 1995 corrige um empréstimo no valor de S 1. n. Os exemplos seguintes facilitarão o entendimento do leitor. 2. a TR de 2.00 x 1. mensal ou anual) do indexador e os índices 1. na verdade. com a mesma finalidade e com os mesmos prazos. o que pode não acontecer com as aplicações em renda variável.. fixado no dia da aplicação. utilizamos a URV como principal indexador por entender que a TR. como também se constituíam. atualmente.026. para pessoas físicas ou jurídicas. o número de ordem do período unitário (dia. isso não ocorreu! E embora o governo esteja propondo-se a desindexar a economia a partir do inicio deste ano de 1995 (época em que estamos revisando a quinta edição deste livro). ou o valor inicial de um empréstimo ou de uma aplicação financeira. São recibos de depósito a prazo fixo.1 = 0.00. inclusive cadernetas de poupança e fundos de investimentos. é o instrumento mais utilizado para a captação de recursos normalmente destinados ao financiamento de capital fixo e de giro das empresas. um valor inicial de $ 100. vamos chamar de principal o preço inicial de uma mercadoria ou serviço. .. a UPF (Unidade Padrão de Financiamento) e as Unidades Fiscais dos estados e municípios. não é provável que o faça tão cedo. a atualização se fará como segue: Pc= P x (1 + v1) x ( 1 + v2) x ( 1 + v3) x . temos como exemplos a UFIR. sobre o valor da aplicação adicionado da correção monetária do período.. O prazo máximo não é fixado. APLICAÇÕES FINANCEIRAS COM RENDA FIXA Vamos considerar como aplicações financeiras de renda fixa todas aquelas realizadas em títulos e valores mobiliários. no caso de nosso exemplo.2966 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos que enfrentamos para escrever este capitulo. Financiamento e Investimento.. Denomina-se renda fixa por garantir ao aplicador determinado rendimento. para captação de recursos destinados ao financiamento de bens e serviços. 3.15444 % 1. operação conhecida no mercado por "crédito direto ao consumidor". São títulos emitidos pelos bancos comerciais. A partir de seus valores. É prefixada quando o valor de resgate é conhecido no dia da aplicação e pós quando esse valor somente é determinado no dia (ou alguns dias antes) do vencimento.2966 = 125. Para se corrigir monetariamente um valor.2515444 ou 25. O prazo mínimo de emissão tem variado muito nos últimos anos. obtém-se facilmente a variação dos preços ocorrida entre duas datas quaisquer. de investimentos ou desenvolvimento. Aplicações com renda prefixada O quadro mostra que o valor do BTN se constituía. num índice de preços.. mês ou ano). a OTN e o fator acumulado da TR.. a variação de 10 de março a 10 de junho é calculada como segue: variação = 1 2966 . é uma prática generalizada no Brasil.. Para a obtenção da variação. . sendo utilizada para corrigir valores monetários desde o dia a que se refere (dia em que é calculada) até igual dia do mês seguinte. isto é. 00 x (1 + 39%)30/360 VR = 36.59      b) Cálculo do valor do Imposto de Renda IR = a x RB RB = 37.000.000. i = taxa utilizada pelo mercado para explicitar o rendimento bruto a ser pago.59 IR =10% x 1. seja ele pré ou pósfixado. n = prazo (normalmente em número de dias). o Imposto de Renda.43 Exemplo com BBC e LTN Na negociação desses dois títulos.001.36. RB = rendimento total ou bruto: dado pela diferença entre o valor de resgate e o valor aplicado. o valor do lmposto de Renda e o valor de resgate líquido dessa aplicação. denominado de PU (preço unitário). d) Bônus do Banco Central (BBC).   e)  Exemplos com CDB. independentemente do prazo da aplicação.001. descontado na fonte. incidia apenas sobre o chamado rendimento real (também chamado de ganho de capital). determinar o valor de resgate. São sempre emitidos numa quarta-feira e com vencimento também numa quarta. no caso  Matemática 50 A Opção Certa Para a Sua Realização .001. Embora o mercado brasileiro.00 num Certificado de Depósito Bancário (CDB). os agentes do mercado partem de um valor de resgate hipotético de $ 1. normalmente é informada para um período de 30 dias (taxa mensal) ou de 360 dias (taxa anual) .16 c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL = VR .001.901.IR = 37. pane substancial das emissões é adquirida pelas instituições financeiras para lastreamento das operações de open market e para compor as carteiras dos fundos de investimentos em renda fixa. RL = rendimento líquido: é o valor do rendimento bruto menos o valor do Imposto de Renda. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO dência natural é sua extinção a médio prazo. VRL = valor de resgate líquido: valor de resgate menos o Imposto de Renda. menos 1). A única diferença é que são emitidos pelo Tesouro Nacional. São títulos idênticos ao anterior. RDB ou LC (O exemplo para um tipo de aplicação é válido para todos.001. atualmente são mais comuns os de 28.39) 30/360 = 37. já que os três têm as mesmas características) A) Um investidor aplica S 36. Sabendose que o Banco emitente paga uma taxa de 39% ao ano. com 30 dias de prazo.000.100. A partir de 1° de janeiro de 1995. menos 1). n Todas as aplicações financeiras estão sujeitas à incidência do Imposto de Renda na fonte. ou seja. Solução: a) Cálculo do valor de resgate VR = P ( 1  ia ) 360 em que ia é a taxa anual e n o prazo em dias. sobre o valor que ultrapassasse ao principal corrigido por esse indexador.00.000.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. TEB = taxa efetiva bruta: dada pela divisão do rendimento bruto pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate pelo valor da aplicação. Letras do Tesouro Nacional (LTN). sobre o rendimento total obtido.59 = 100. variável e de commodities.00 = 1. a = alíquota do Imposto de Renda. TRL = taxa real líquida: dada pela divisão do rendimento real líquido pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo principal corrigido. 35 e 42 dias. o Imposto de Renda pago na fonte passou a ser cobrado a razão de 10% sobre o rendimento bruto. Até 31 de dezembro de 1994. E. VR = 36. portanto. A fim de facilitar o entendimento dos exemplos apresentados a seguir. menos 1).000.59 . VR =valor de resgate: valor de resgate da aplicação ou do título antes do desconto do Imposto de Renda.16 = 36. Pc = principal corrigido: valor da aplicação adicionado da correção monetária. considerando o prazo e a taxa de juros. TRB = taxa real bruta: dada pela divisão do rendimento real pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate pelo principal corrigido. correspondente ao rendimento que excedesse ao valor da correção monetária calculada com base na UFJR (Unidade Fiscal de Referência).00 x (1. com prazos múltiplos de 7. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos  TEL = taxa efetiva líquida: dada pela divisão do rendimento líquido pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo valor da aplicação. São títulos de curto prazo emitidos pelo Banco Central do Brasil para a captação de recursos destinados ao atendimento das necessidades de caixa do Tesouro Nacional. determinam seu valor de compra ou venda. ou seja. menos 1). vamos estabelecer as seguintes convenções:    P = principal ou valor aplicado: valor desembolsado pelo aplicador.59 . Solução: a) Cálculo do valor de resgate VR = Pc ( 1  ia ) 360 Pc= 5.78 VR = 5.67 Operações com Cadernetas de Poupança As cadernetas de poupança constituem a forma mais popular de aplicação de recursos no Brasil. março e abril Matemática 51 A Opção Certa Para a Sua Realização . Vamos tratar somente das mais importantes: cadernetas de poupança. E como já mencionamos no início deste capítulo.00 = 724. A "unidade". incide Imposto de Renda de 10% sobre o total dos rendimentos. Imposto de Renda de 10% sobre o rendimento total. tem-se que: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos tenham sido de respectivamente.00 x 1.00 de resgate. o período compreendido entre o dia do depósito e o dia do "aniversário" no mês seguinte. Vamos tratar inicialmente das aplicações em CDB. os rendimentos serão creditados no dia 3 dos meses subseqüentes. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO dessas operações. os rendimentos são creditados trimestralmente. que neste caso é igual a $ 1. o preço pago pelo Banco para cada $ 1.00. ambas cotadas a uma taxa de juros de 37% ao ano.08 .0221 x 1.724.00 ou qualquer outro valor.08 = 72. RDBS.13% e 2. o rendimento é creditado mensalmente no dia do chamado "aniversário" ou data-base.447.21%. Considera-se mês. Solução: a) para o prazo de 28 dias A partir da fórmula do montante para juros compostos. vamos considerar sempre dias corridos.96%. $ 100.00  975.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.81 P  1. RDB e LC. No caso das aplicações feitas por pessoas jurídicas. Em um leilão efetuado pelo Banco Central.000.81 constitui-se no chamado PU (preço unitário).37  28 360 RB = VR . No momento em que estamos revisando este capítulo. os rendimentos serão calculados com base no menor saldo existente nesse trimestre. calculados à razão de 1. De acordo com a legislação atual. no dia do mês do crédito correspondente ao mesmo dia do mês em que foi aberta.00  1. A aplicação foi feita no dia 5 de janeiro para resgate no dia 5 de maio do mesmo ano.000. 120 360 2. pelo prazo de 120 dias.0213 x 1.72.08 IR = 0. considerar-se-á aberta no dia 1° do mês seguinte. valerá o menor saldo do mês para efeito de cálculo do rendimento.00. poderia ser de $ 1. Assim. B. Debêntures e os fundos de investimentos. Admitir que as TR referentes aos dias 5 dos meses de janeiro. no caso das cadernetas de poupança. A tributação é idêntica à das aplicações em renda prefixada mostrada no subitem anterior.37% n = 5. Nas aplicações feitas por pessoas físicas. o PU nada mais é do que o valor atual do título para cada $ 1.000. Exemplo com CDB. fevereiro.5% ao mês (equivalente a 6. e porque considero esse critério o mais correto.41 = 5. vamos adotar a TR (Taxa Referencial de Juros) como principal indexador.000.86 Aplicações com renda pós-fixada Neste subitem temos uma grande variedade de aplicações.10 x RB P VR  1  ia  n 360 1.P= 5. $ 10. esteja atualmente trabalhando com o prazo representado por número de dias úteis. para os dois prazos mencionados. ou seja.651. P 1. há exceções: se a conta for aberta nos dias 29.000. b) para o prazo de 35 dias c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL = VR . isto é. Esse fato praticamente inviabiliza a caderneta de poupança para pessoas jurídicas.00 de resgate.00. elas vêm rendendo correção monetária calculada com base num indexador. Assim. caso haja algum saque durante o mês.37  35 360  969.08 .000. cujas características já foram mencionadas no subitem anterior. um Banco adquire BBCS com prazos de 28 e 35 dias. Letras de Câmbio.000. no caso deste exemplo. Essa decisão deve-se ao fato de a utilização de dias corridos ser uma norma universal. Calcular o valor de resgate líquido já descontado o Imposto de Renda) de uma aplicação em CDB com renda pós-fixada no valor de $ 5.0237 = 5. Notas do Tesouro Nacional (NTN). as diferenças dessas aplicações em relação àquelas com rendimentos prefixados é que nestes casos o prazo mínimo de emissão dos títulos é atualmente de 120 dias e os rendimentos são calculados com base no principal corrigido pelo indexador adotado.724.00.0196 x 1. Entretanto. 30 ou 31. 2.168% ao ano) incidente sobre o valor do depósito acrescido da correção monetária. se uma caderneta é aberta no dia 3 de janeiro. mais juros de 0.08 b) Cálculo do Imposto de Renda IR = 10% x RB = 0. sabendo-se que o Banco paga juros de 16% ao ano. contado desde o dia do depósito até o dia anterior ao do crédito. RDB e LC C.5. Tradicionalmente.447. CDBS.000.5% sobre o valor do depósito corrigido pelo indexador utilizado.724.10 x 724. 1. Calcular.78 x 116 . Em caso de movimentação da conta durante o trimestre.41 O valor presente P = $ 975.IR = 5. 673846 1. No caso das NTNS cambiais.08 = 4.000 Taxa trimestral de juros = (1. os valores da correção monetária e dos juros seriam calculados com base no saldo de $ 3. Vilan abriu uma caderneta de poupança no dia 13-09-94 com um depósito de $ 4.73 O saldo dessa conta poderia também ser obtido como segue: Saldo = 4.635.500. Os exemplos a em que o número 4.674.014.1892 365  973.014.638. Para proporcionar uma rentabilidade superior a 6% ao ano. As NTNS são colocadas no mercado através de leilões periódicos (pelo menos um por mês) efetuados pelo Banco Central. ou seja.656942 O valor de resgate também pode ser determinado atualizando-se monetariamente o valor de resgate obtido inicialmente.635. O Sr.000 Operações com Fundos de Investimentos em Renda Fixa Este Fundo de Investimentos tem uma carência de 28 dias para saques sem perda de rendimentos.467385% VR  1.57% x 4. Embora o governo não tenha colocado no mercado nenhum título corrigido pelo IGPM após a implantação do REAL. Operações com Notas do Tesouro Nacional (NTN) A NTN é um título emitido pelo Tesouro Nacional com características idênticas às do CDB pós-fixado. E é esse que vamos utilizar.0257 x 1. do expoente 1/4.6569 42 174.01467385 ou 1 .18 é taxa efetiva ao ano e 92 o número de dias decorridos entre o dia da compra e do resgate.660  2.660.000..00 + 115.00 em qualquer dia entre o dia do depósito e o dia útil anterior à data do crédito. a NTN corrigida com base na variação do IGPM (Índice Geral de Preços do Mercado) e a NTN corrigida com base na TR.500. Como regra geral.977011 + 38.635.674.65) = 23.660  2.679931 = 2.5% ao mês. Sabendo-se que a TR desse dia foi de 2.1 = 0. Vilan tivesse sacado $ 1.l 0-94. caso seu prazo seja de até seis meses.500. até dezembro de 1994 esse prazo mínimo era de 90 dias. Como se sabe. o rendimento total acima da TR é dado via deságio.00 x 1. a liquidação ocorrerá no dia útil subseqüente.00 + lis. Solução:  Valor da correção monetária CM = 2. uma instituição financeira adquire NTNS cambiais emitidas em 01-11-93 e com vencimento em 01-02-94 (prazo de três meses).500. calcular: a) o PU.000. como segue: 1 4 .00 de emissão. a taxa de juros é de 0.000. Os juros de 6% ao ano são pagos semestralmente.00 e apresentado com seis casas decimais.57%. o preço unitário do título . contados desde o dia da aplicação ou desde o último dia em que se Matemática 52 A Opção Certa Para a Sua Realização . Para efeito de negociação.638. o preço pago para cada CR$ 1. calcular os valores da correção monetária e dos juros creditados em 13.977011 = 38. b) Cálculo do valor de resgate (incluindo os juros) Pc  1.000 e CR$ 458.9770 11 174.73 Caso o Sr. Atualmente tem prazo mínimo de emissão de 120 dias.005 = 4.000.é calculado com base num valor de emissão hipotético de S 1.6738 x 46 458.65  Valor dos juros Juros = 0.01467385 x 2.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. W. PU  1. o Tesouro Nacional paga 6% ao ano sobre o principal corrigido. que foi adquirido com uma rentabilidade efetiva de 18% ao ano e que as cotações do dólar comercial de venda no dia anterior ao dia da emissão e ao dia do resgate foram respectivamente de CR$ 174. b) o valor de resgate (incluindo os juros). o Banco Central normalmente coloca esses títulos no mercado com deságio.213807 em que 0.o chamado PU .5% x (4.000. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos seguir facilitarão o entendimento. Existem três tipos: a NTN com correção cambial. Através de um leilão realizado pelo Banco Central. No caso das duas primeiras.679931 Valor de resgate = 2.06) Juros = 0. são emitidas com data do primeiro dia de cada mês.06) 1 4 D.00. Caso uma das datas (de emissão ou de resgate) ocorra em um dia não útil. ou no vencimento do título. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO o indexador oficial utilizado para corrigir os depósitos de poupança continua sendo a TR. e no caso da última.65 + 23.00 = 11 5.08  Saldo da conta em 13-10-94 = 1. Sabendo-se que esse título paga juros de 6% ao ano.673846 Saldo = 4. vamos apresentar exemplos envolvendo os três tipos. representa o número de trimestres contidos em 1 ano. a correção é calculada tomando-se como base a cotação do dólar no dia imediatamente anterior ao dia da emissão e do resgate (ou do pagamento dos juros).00.00 x (1. e vencimento também no primeiro dia do mês de resgate.014.00x 458. Solução: a) Cálculo do PU VR = 1. A correção monetária calculada com base nesse indexador é chamada também de atualização monetária.500.500. cuja rentabilidade reflete a rentabilidade média dos títulos que compõem a carteira. Esses métodos e técnicas devem ser baseados cientificamente e encontram na matemática financeira as suas justificativas. calcular: a) b) c) d) o número de cotas adquiridas.602403 = 2. Um investidor aplica $ 6. 28 dias depois.00 .20 e) Solução: a) Número de cotas adquiridas n° de cotas = 6.498039 no dia da aplicação e de $ 3.498039 d) Valor do Imposto de Renda e valor líquido creditado  Valor de aplicação das cotas resgatadas AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO Valor = 1.3.81  Valor do Imposto de Renda Engenharia econômica é o estudo dos métodos e técnicas usados para a análise econômico-financeira de investimentos. apenas cerca de 42% dos recursos captados podem ser livremente utilizados pela instituição financeira para aplicação em outros títulos de renda fixa.80 Valor líquido resgatado = 50. a engenharia econômica apresenta as técnicas de solução e a matemática financeira justifica essas técnicas.000.00 .248 cotas 3.00 no dia 08-02-95. sobre o valor de resgate menos o valor de aplicação das cotas resgatadas.02 Operações com Fundos de Aplicações Financeiras (FAF) As aplicações neste Fundo.602403 c) Valorização da cota no período Valorização = 3. Exemplo E.700. Solução: Valor do rendimento = 0.602403  1  0. Uma pessoa aplicou $ 50.498039 b) Número de cotas resgatadas nº de cotas = 3. correspon dente a 10%.00  1.715.000. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO completou o ciclo de 28 dias.498039 = 3. sendo uma parte superior a 20% obrigatoriamente depositado no Banco Central.027. 10% em Títulos de Desenvolvimento Econômico (TDE) e 3% no Fundo de Desenvolvimento Social (FDS).00 .027.116% x 50. o saldo em número de cotas e em S. uma fatia ainda maior aplicada títulos públicos federais.000. o valor do Imposto de Renda pago e o valor líquido creditado na conta do aplicador.092 x 3. calculado de forma idêntica aos cálculos já mostrados para os títulos de renda fixa.000.984% 3.5.00 = 58.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.027. A necessidade de analisar investimentos propõe os problemas.72  Valor líquido creditado na conta do aplicador Valor líquido = 3.092 cotas 3.052.0298 ou 2. o investidor paga Imposto de Renda. Funciona de maneira semelhante ao Fundo de Renda Fixa visto no item anterior.00 + 58.00 Valor do IR = 10% x 58. também conhecido por "fundão". Na análise de investimentos só serão levados em conta Corresponde a10% sobre o rendimento obtido no período. calcular o valor líquido resgatado.715.00 no FAF e resgatou tudo no dia seguinte. O investidor adquire cotas do fundo. Sabendo-se que o valor da cota era de $ 3.479.81) = 10. a valorização da cota no período. calculado como segue: IR = 10% x (3.700. mas também a análise de um único investimento com a finalidade de se julgar de seu interesse ou não.72 = 3. ou seja.116%.602403 no dia do resgate. Os recursos captados pela instituição financeira que administra o Fundo são aplicados de forma bem diversificada.156 x 3. representam uma das únicas formas de aplicação de recursos no curto prazo.00 = 5.092 = 688. pré ou pós-fixados. O rendimento proporcionado por este Fundo também paga 10% de Imposto de Renda na fonte.592. o número de cotas resgatadas.700.156  Saldo em $ = 688. Trata-se de um fundo administrado por uma instituição financeira em que os recursos captados junto aos clientes são aplicados em títulos de renda fixa. Sobre o rendimento total obtido na aplicação.10.00 num Fundo de Renda Fixa no dia 11-0l -95 e resgata $ 3.1.28  Saldo em número de cotas e em S Matemática 53 A Opção Certa Para a Sua Realização .80 = Valor líquido resgatado = 50.689. A análise de investimentos compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos para escolha do melhor.700.248 . A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Saldo em n° de cotas = 1. Sabendo-se que o valor da cota subiu 0.00  1.000.592. públicos ou privados. qual é o melhor retorno para uma aplicação de R$ 500. conduzirão ao mesmo resultado. significa que a taxa de renda que o investimento porporciona é menor que a taxa de atratividade.57 0.500.2% a.127844 0. usando a taxa de atratividade do investidor. pode acontecer de um dos métodos ser mais apropriado do que os outros ou simplesmente mais cômodo por envolver menos cálculos.ª alternativa: 6 NPV = 330. se a pretensão é adquirir o mais estético ou o de menor porte..000.m.ª alternativa: NPV = 210.00: receber R$ 700. se forem aplicados com propriedade. simplesmente. método do valor presente.000 (1 +O.062) .000. Esses três métodos são equivalentes e. Exemplo 1: Numa época em que a taxa de mercado é 6. aquela que o investidor estabelece como sendo a taxa mínima de renda para que o investimento seja considerado atraente do ponto de vista financeiro.127844 . capacidade de produção. Se o valor encontrado NPV for positivo.08 4.39 2. que puderem ser expressos em unidades de capital.000 = 5. isto é. Dependendo do tipo de análise que se quer fazer. significa que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa de atratividade.É comum adotar como taxa de atratividade a taxa de mercado.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. a taxa à qual qualquer capital pode ser aplicado sem dificuldade. isto é. Quando apenas um investimento é analisado para que se estude a sua rentabilidade. se o problema é comparar custos de empréstimos.000 = . na escolha entre dois equipamentos para aquisição de um deles.1. pode ocorrer que todos eles sejam interessantes ou que todos eles sejam desinteressantes ou que alguns sejam interessantes e outros não. costuma-se fazer uma comparação entre a sua taxa de renda e uma taxa ideal.1. o investimento analisado interessa ao investidor.500.000 1 . essa análise n não poderá ser feita com um estudo matemático.500.00 ou receber seis parcelas mensais de R$ 100. não teria sentido uma análise matemática que envolvesse preços.12. Neste caso. serviços ou equipamentos. Algumas observações que serão feitas e a prática indicarão como fazer essa escolha. durabilidade etc. Assim. isto é. a melhor alternativa é aquela que apresenta o menor NPV. Essa taxa ideal se chama taxa mínima de atratividade ou apenas taxa de atratividade do investidor. Se o valor encontrado NPV for zero. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO os fatores quantificáveis. ou. Também não tem sentido analisar investimentos que não apresentam viabilidade de escolha por falta de recursos financeiros ou de quaisquer outras condições. isto é.00? Solução: 1.00 no fim de seis meses. isto é. o método do valor periódico uniforme e o método da taxa interna de cetorno.000. Se o valor encontrado NPV for negativo. pois apenas estes se baseiam nos princípios de equivalência de capitais. receber duas parcelas trimestrais de R$ 330.00.000 = - Matemática 54 A Opção Certa Para a Sua Realização . esse valor representa o quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa ia isto é. custos operacionais. Neste caso.000. por exemplo. Se fatores não quantificáveis vão influir na tomada de decisão. o investimento mais interessante é aquele que apresenta o maior NPV. consiste em calcular o valor presente líquido NPV do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento que está sendo analisado. São eles: o método do valor presente líquido.. Resumindo: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos NPV = 0  i = ia NPV > 0  i > ia NPV < 0  i < ia Quando vários investimentos estão sendo analisados.077. o investimento analisado não interessa ao investidor. MÉTODOS EXATOS DE ANALISE DE INVESTIMENTOS Existem muitos métodos para análise de investimentos.000 2. a que tem a menor taxa de custo.ª alternativa: NPV = 700.ª alternativa: -3 1 . receber três parcelas bimestrais de R$ 210.197772 . Método do valor presente líquido O método do valor presente líquido. Em qualquer dos casos.337.532. significa que a taxa i de renda do investimento coincide exatamente com a taxa ia de atratividade que foi utilizada. É claro que. mas apenas os chamados métodos exatos são dignos de credibilidade.19777 3.000. esse valor representa o quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda desejada. Considerando a repetição. se a diferença desses valores for considerada como um investimento adicional ou investimento incremental. Toma-se o menor múltiplo comum entre 2 e 3:6.913.253. a empresa poderá adquirir um novo. seu valor presente líquido.574.46 . calculado com essa mesma taxa.00 e dá um lucro de R$ 14. (E a única em que a taxa de rendimento é maior que a taxa de atratividade.m.845. é o mesmo.? Solução: Esses investimentos podem ser repetidos. Solução: Resposta: A melhor alternativa é a segunda. NPVA = 232.50 = 21.000.000. Exemplo 3: Considerar. terminada a vida útil do equipamento. os investimentos devem.342.500. O método do valor presente pode ser aplicado à análise de investimentos cujos capitais iniciais são diferentes. e for aplicada à taxa de atratividade. em nada afetará o NPV desse investimento.80 = 21.078.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.00. para ser acrescentado à alternativa A.653. pois se supre que. se esse investimento incremental for acrescentado ao investimento de menor capital inicial. Veja-se o exemplo a seguir.000. no exemplo 2. porque. Exemplo 2: Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e para isso está analisando dois tipos. pois.00 e dá um lucro mensal de ‗R$ 12. não se podem tirar conclusões sem antes analisar se essas alternativas podem ou não ser renovadas nas mesmas condições.062-6 . um investimento incremental de R$ 30. tomando-se.000. e verificar se o valor presente líquido é o mesmo.00. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos NPV = 100.1. O método é válido nesse caso.) E preciso algum cuidado no uso desse método do valor presente.30 . tem-se os diagramas: Acrescentando esse investimento incremental à alternativa A. O tipo 6 tem vida útil de três anos. Considera-se o equipamento A repetido três vezes e o equipamento B repetido duas vezes.00. usando a taxa Matemática 55 A Opção Certa Para a Sua Realização . como se fosse um capital aplicado à taxa de atratividade de 5% a. O tipo A tem vida útil de dois anos. como vida de todos. será nulo.04 .913.96 Método do valor periódico uniforme O método do valor periódico uniforme consiste em calcular o termo VPU da renda imediata que seja equivalente ao fluxo de caixa do investimento analisado.210.000 1 . um custo de R$ 180.000 = .186.062 NPVB = 271.211.485. Ambos têm valor residual nulo. quando as alternativas têm vidas diferentes. Qual o equipamento que deve ser adquirido se a taxa de atratividade é de 5% a.71 Resposta: A segunda alternativa é melhor. então.000. um múltiplo comum do número de períodos das vidas de cada um. Se isso for possível.96 Resposta: Sim. tem-se o seguinte diagrama: NPV = 232.11.41 0.33 = 60.m.931.117. ser repetidos. custa R$ 150.46 + 42. Portanto. o valor periódico uniforme desse investimento será nulo. Esse termo representa o custo periódico ou a receita periódica desse investimento e.000.m. A e 6. no final da qual terá um valor residual de R$ 8.00 por mês.. Analisar qual é a melhor opção com a taxa de atratividade de 10% a. os recursos aplicados à taxa de atratividade. para a alternativa que apresenta a vida mais curta. se for considerado um investimento incremental aplicado à taxa de atratividade. Solução: Matemática 56 A Opção Certa Para a Sua Realização . terá um gasto de R$ 5. supondo que os investimentos possam ser repetidos.m.00 e gastos operacionais anuais de R$ 18. A vida útil da máquina é de três anos. deve-se considerar. então. Exemplo 4: Uma indústria de brinquedos costuma comprar certa peça de uma firma que a fornece. Daí o motivo de ser esse método conhecido também pelos nomes de método do valor anual uniforme ou método do custo anual uniforme. uma vez que a comparação não é feita pelo valor total.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. se o investimento A do exemplo 5 for repetido para ter a mesma vida de quatro anos do investimento 8. da mesma forma que ocorreu com o método do valor presente líquido. com repetição ou sem repetição. Solução: Alternativa A: Alternativa B: Alternativa B (fabricar a peça): Resposta: A melhor opção é a alternativa A. nomes que não se aplicam bem ao caso geral.800. é o mesmo. para escolha de um investidor.000.? Solução: Alternativa A (comprar a peça): A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Resposta: É melhor comprar a máquina e fabricar a peça (o custo será menor). mas o VPU será o mesmo. Esse custo periódico ou receita periódica calculados podem eventualmente ser o custo anual ou a receita anual. o diagrama ficará alterado. estudar as vantagens e desvantagens da aquisição e os dados para esse estudo são os seguintes: se continuar usando os serviços da firma que já os prestava. Deve. agora. Mas se os investimentos não podem ser repetidos. Qual deve ser a opção da indústria se a taxa de mercado está em torno de 7% a. Vê. no período incremental. deve-se optar por aquele que apresenta o menor custo periódico ou a maior receita periódica.000. terá custo inicial de R$ 55. mas pelo valor periódico que.00. Exemplo 6: Mostrar que.00. possibilidade de adquirir uma máquina com a qual essa peça poderá ser fabricada na própria indústria. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO de atratividade do investidor. pois. Se adquirir a máquina. O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para analisar investimentos com capitais iniciais diferentes. quando são comparados vários investimentos. O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para comparar investimentos de vidas diferentes que podem ser repetidos. Os exemplos a seguir esclarecem essas afirmações: Exemplo 5: Os diagramas a seguir representam dois investimentos. então. que os investimentos não possam ser repetidos.000(1 + i) + -9 490 000(1 + i) = 650. o melhor é o que tem a menor taxa interna de retorno..619. O investimento 6 não sofre alteração. Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno é maior que ou igual à taxa de atratividade do investidor ia.m. Método da taxa interna de retomo O método da taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento que está sendo analisado. supondo. A partir dela.380. fazer o novo diagrama do investimento total e mostrar que o valor periódico uniforme não se altera. Exemplo 9: Um investidor aplicou um capital de R$ 650. Exemplo 8: Considerar. ainda.m. se possível.000 (1 + i) + 200. uma taxa maior. com valor provável.000(1 + i) + 160. VPU = 80. ser calculada por ensaio e erro. o melhor é o que tem a maior taxa interna de retorno. com o auxílio de uma regra de três: Resposta: A melhor opção é a alternativa B.00 e recebeu rendimentos parcelados conforme o diagrama a seguir: O valor presente líquido positivo significa que a taxa do investimento é maior que 5% a. deve-se calcular o valor presente líquido NPV do investimento A e ―distribuí-lo‖ uniformemente pelos quatro anos (dois anos do investimento A e dois anos do investimento incremental) com a taxa de atratividade de 10% a. Qual a taxa interna de retorno desse investimento? Solução: A taxa i que anula o valor presente liquido desse fluxo de caixa é a taxa que torna verdadeira a igualdade: 160.000.m.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.000 e que não pode ser calculada algebricamente. Solução: Nesse caso. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos é chamada taxa interna de retorno do investimento e é indicada por IRR. fazem-se aproximações sucessivas até que se chegue a valores próximos. Deve.000. agora. os mesmos investimentos do exemplo 5.m.00 aplicado à taxa de atratividade de 10% a. Se são empréstimos que estão sendo analisados. então. Tenta-se. Tenta-se uma taxa. calcula-se a taxa por proporção. acrescentar em A um investimento incrementa de R$ 50. Essa taxa Matemática 57 A Opção Certa Para a Sua Realização . Finalmente. Solução: -3 -4 -6 Se vários investimentos são comparados.57.000 .95 Exemplo 7: Considerar os mesmos investimentos do exemplo 5 e analisar qual o melhor com a mesma taxa de atratividade de 1 0% a.04 = 22. O valor encontrado para NPV já está bem baixo em relação aos dados do problema. deve-se observar que.1% já ultrapassa a taxa interna de retorno i.1. tem-se: A seguir apresenta-se o investimento total (inicial mais incremental) representado em diagrama e o cálculo da sua taxa interna de retorno: Matemática 58 A Opção Certa Para a Sua Realização . melhor será o resultado em sua aproximação.m. calcula-se da seguinte forma: A análise feita sem levar em consideração o investimento incremental faria com que o investidor optasse pela primeira alternativa.m.000.00 e tem retornos trimestrais de R$ 85. que serão aplicados à taxa de mercado de 8% a. deve-se tentar taxas mais próximas. dois investimentos com capitais iniciais diferentes. Um investidor tem duas alternativas para uma aplicação de capital durante um ano. pois. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos A taxa de 6% a. No entanto. pelo método da taxa interna de retorno.m. um investimento incremental aplicado à taxa de atratividade.12.330.m. Quando se comparam. diferença entre os dois investimentos. para o investimento que tem o capital inicial menor.000.1% e obtém-se NPV = . Tenta-se 7% a. Tenta-se 7. quanto mais próximas as taxas.0 que mostra que 7. e obtém-se NPV = 2. com o seguinte retorno final: Resposta: A taxa interna de retorno do investimento é 7.000.? Solução: Sem considerar o investimento incremental. é necessário que se considere. A taxa interna de retorno do investimento total (original mais incremental) terá um valor intermediário entre a taxa de atratividade e a taxa interna de retorno do investimento original.00. ao optar pela primeira alternativa.000.m.86. ainda é baixa.466.00 e a segunda requer um capital inicial de R$ 150. Relacionando os valores obtidos. o investidor deixa de aplicar os R$ 50.065% a. A primeira requer um capital inicial de R$ 100.00.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Exemplo 10.00 e tem retornos mensais de R$ 18.000.. Qual a melhor aplicação numa época em que a taxa de mercado é 8% a. digitar n N j A taxa de atratividade é introduzida através da tecla i e os valores são introduzidos.a. Esses fluxos de caixa podem não ter solução para taxa interna de retorno ou ter múltiplas soluções. basta digitar n N i e. introduzir o primeiro deles através da tecla CFi . sempre que possível. as teclas NPV e IRA fornecem. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos USO DA CALCULADORA As calculadoras HP-12C. devem ser introduzidos o fluxo de caixa do investimento que se quer analisar e a taxa de atratividade do investidor. Esses limites são os seguintes para cada uma delas: HP-12C. Quando n valores sucessivos são iguais. o método que não oferece restrições ao caso que se quer analisar: Solução: EL -633: BA-54: CASOS  vidas diferentes MÉTODOS  NPV VPU lRR repetíveis não repetir REPETIR - - - CONSIDERAR PERÍODO INCREMENTAL - capitais iniciais diferentes - CONSIDERAR INVESTIMENTOINCREMENTAL PODE NÃO TER OU TER MAIS DE UMA SOLUÇÃO Em todas essas calculadoras. através das teclas STO 1. pela ordem.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. digitar Frq n e introduzir na mesma memória em que foi introduzido o valor correspondente a essa freqüência. A taxa de atratividade é introduzida através da tecla i . eles devem ser introduzidos com o sinal negativo e. STO m. representado a seguir. o valor que está no foco zero é introduzido através da tecla CFo e os demais valores são introduzidos. Todas essas calculadoras têm limites para o número de entradas de valores diferentes e também para a freqüência de valores iguais. Quando n valores sucessivos são iguais. através da tecla CFi.000% a. EL -533: 20 valores diferentes com freqüência até 99. nas memórias. fluxo com mais de uma mudança de sinal - - Matemática 59 A Opção Certa Para a Sua Realização . através da tecla CFj ..m. respectivamente..a. se anula para as taxas de 10% a. o valor que está no foco zero é introduzido através da tecla PV e os m demais valores são introduzidos. basta introduzir o primeiro deles na tecla CFj e. O método da taxa interna de retorno deve ser usado com restrições quando o fluxo de caixa tem mais de uma inversão de sinal de entradas e saídas. para os períodos sem valor. e 1. . pela ordem. STO 2. A introdução do fluxo de caixa nas calculadoras se faz da seguinte forma: HP—12C: A taxa de atratividade é introduzida através da tecla i . O exemplo seguinte mostra um fluxo de caixa que tem duas taxas internas de retorno: Exemplo 11: Mostre que o fluxo de caixa.71% a. em seguida. são reproduzidas. as restrições que cada método oferece. A taxa de atratividade só precisa ser introduzida quando se quer calcular NPV. não sendo necessária sua introdução para o cálculo de IRR.. EL-533 e BA-54 têm teclas próprias para calcular o valor presente líquido (net present value) NPV e a taxa interna de retorno (interneI rate of return) IRR. pela ordem. basta introduzir o primeiro deles e. no quadro a seguir. Quando n valores sucessivos são iguais. quando os valores que compõem o fluxo de caixa são sardas. para que se escolha. Solução: A título de orientação sobre a escolha de que método usar em cada caso. devem ser introduzidos zeros. o valor presente líquido e a taxa interna de retorno do investimento. com taxa interna de retorno igual a 12. em seguida. 20 valores diferentes com freqüência até 99. em seguida. São as seguintes: Em qualquer das calculadoras. após isso. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Resposta: O melhor investimento é o segundo. na segunda alternativa.000 colocado a 20% a.000. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Exemplo 12: Calcular o NPV com taxa de 15% a.000.000. um investimento incremental de 5.000.a. então.000.00.a. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital e resgatasse mensalmente R$ 23.000% a. Pelo método do valor anual uniforme. 04.600.479. introduzindo o fluxo de caixa nessa calculadora e solicitando a taxa interna de retorno.000.000.11 e a taxa interna de retorno é 17.m. agora. Exemplo 13: Calcular as duas taxas internas de retorno do investimento do exemplo 11. No início de 1985. m.00 cada um ou doze pagamentos mensais de R$ 950.000 12. aplicado por um ano: um pagamento final de R$ 13. Está. aparece no visor uma mensagem de erro.00 por mês para uma companhia transportadora fazer as entregas de seus produtos. e 1. e a taxa interna de retorno do investimento cujo fluxo de caixa tem o seguinte diagrama: Resposta: As taxas são 10% a.000 10. EXERCÍCIOS Solução: 01.000.00.72% a.000. Resposta: O valor presente líquido é 5. em seguida. Repetindo-se esse procedimento. Quando se procede normalmente. estude. de juros e atualizações monetárias mensais que atingiram no ano a taxa acumulada de 228%.000 3.000.a.000. uma taxa provável.000.000. é possível obter cada resposta: 02.000 12.00. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO BA-54: 10 valores diferentes com freqüência até 999.000. a) Usando a taxa de 15% a.000 4.000.000.000 3.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.000 Determine a melhor alternativa com taxa de atratividade de 20% a. pelo método Matemática 60 A Opção Certa Para a Sua Realização .000. Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e deve escolher entre duas marcas com as seguintes características e previsões: Equipamento A Custo inicial Valor venal após cinco anos de uso Custo operacional anual Receita adicional anual 28. que se supre próxima da resposta e. Pelo método da taxa interna de retorno (neste caso.m.200. calculando que daqui a cinco anos ele poderá ser vendido por R$ 2.100. uma pessoa fez um depósito de R$ 150. Pelo método do valor presente líquido. dois pagamentos semestrais de R$ 6.00 durante um ano? 03. Introduz-se.).000.00 cada um? Justifique. digita-se RCL g R/S.000 Equipamento B 23.a. deve ser considerado. Solução: As taxas internas de retorno desse investimento podem ser calculadas com o auxílio da HP -12C.00 numa Caderneta de Poupança que pagou 0.000.000.a. Qual a melhor forma de receber o retorno de um investimento de R$ 10 milhões. estudando a compra de um caminhão por R$ 15. Uma empresa paga R$ 600..5% a.00 e que seu dispêndio anual será de R$ 3. 500.00 pela transferência..00.000. Uma pessoa tinha um capital de R$ 11.000.00 nos seis últimos meses.000.000.9% a.1. A loja exibe uma propaganda oferecendo esse aparelho com uma entrada de R$ 10. dando despesas de R$ 21.. Calcule. durante um ano foram de R$ 180..00 para uma pessoa tomar conta do negócio.. Uma firma adquiriu um novo equipamento por R$ 45. quantia livre de despesas.000) e Da = Máquina A Máquina B Custo inicial Valor residual após cinco anos Gasto anual de manutenção Gasto anual de energia Número de operadores Preço/hora da mão-de-obra de cada operador Tempo de execução da peça 80. Durante esse ano.000 6. 10. Prevê uma renda mensal de R$ 1.00 na instalação de uma pequena loja. com renda mensal. Foram obtidos os seguintes dados: 05. quatro e circo meses. no caso da compra da máquina A. se será vantajoso a compra do caminhão ou se será melhor continuar usando os serviços da transportadora.00 pagos no início de cada mês.. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital durante esse ano a 8.000. e se o terreno poderá ser vendido por R$ 50. Fui comprar um aparelho de televisão cujo preço a vista é R$ 98. Qual o número mínimo de veículos que deverão utilizar-se dessa estrada mensalmente para que o investimento se auto financie em um ano? 45. Sabe-se. tanto o lucro quanto a depreciação são também calculados linearmente.000.. Um motorista tem uma renda liquida mensal de R$ 250.00.000. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital a 7% a.000 no fim de três anos? 12.000. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO do valor presente.000.m.00 e o empregou na compra de um apartamento que ficou dois meses fechado.5 milhões por km.500.00 e 12 pagamentos mensais de R$ 9. com a mesma taxa de 15% a.960. que cada peça tem um custo de 30 de matéria-prima e pode ser vendida a 70.000.000.000 35. passou o ponto para um comerciante interessado. Um ano após a compra.000.000 800 1 25 60 mm. Suas despesas mensais. Uma estrada foi construída por R$ 8. ainda.30.00. Calcule o custo anual dessa máquina à taxa de 20% a.00 e três pagamentos de R$ 20. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos que pode ser produzida pela máquina A ou pela máquina B que estão sendo analisadas para compra por essa empresa.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.000 2 10 120. No final desse ano.200.? Justifique. o Governo emitiu bônus que produzirão juros de 5% ao trimestre e a taxa de pedágio foi fixada em R$ 12 por km. 40 mm. Um capitalista investiu R$ 2. Poderá também vendê-lo já e aplicar o capital apurado a 8. durante um ano. que era a taxa de mercado na época? 09.000. Uma pessoa está estudando a compra de um terreno para explorar um estacionamento de carros. Um seu amigo deseja comprar o carro e tem capital suficiente empregado a 160% a.00 por mês.300.000.000 1.500.000.000.00 após um ano de uso.000.000.000 8.500.000. O uso desse equipamento vai aumentar de R$ 6.00. teve um custo operacional mensal de R$ 3. A partir do início do terceiro mês conseguiu alugá-lo por R$ 80. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 30.a.000 .000 o custo mensal. considerando ainda um imposto de renda de 25% calculado sobre lucro menos depreciação. tendo recebido R$ 3.000. 08.000.a. pago anualmente.000. vendeu-o para o inquilino por R$ 30.000 2 Uma empresa fabrica e vende determinada peça Matemática 61 A Opção Certa Para a Sua Realização .000.m.000.800.00.200 horas por ano. sabendo que no fim de três anos ela poderá ser vendida por R$ 40.00 cada um.00 e foi avaliado em R$ 80. Para efeito de IR.000 e despesas anuais de R$ 2.m. realizados no fim de três.160. o empresário investe os 40 mil restantes à taxa de 30% a. Represente essa situação com um diagrama de fluxo de caixa e calcule o valor mensal uniforme (lucro líquido mensal) com a taxa de 2% a. Numa época em que as taxas giram em torno de 2% a.00 de aluguel e R$ 120. 07.000 20.000.00 nos seis primeiros meses e R$ 600. a taxa de atratividade do empresário é 30% a.000 a receita mensal da firma e de R$ 1. com a taxa de 3% a.000.8% a.500.000. os custos anuais de transporte em cada caso. as máquinas trabalharão 2. respectivamente.500. é mais vantajoso comprar essa IV a vista ou a prazo? 06.6 milhões o km e requer um custo anual de manutenção de R$ 1. prevendo que seu valor residual após dois anos de uso será R$ 30.500.000 que serão gastos com equipamentos de valor residual nulo após três anos. 11. o custo mensal de um equipamento que foi adquirido por R$ 100.. Supondo que.00.m.00 com seu táxi e sabe que poderá vendê-lo daqui a um ano por R$ 1 .m. sua receita líquida mensal foi de R$ 400. e o Imposto de Renda (calculado sobre lucro menos depreciação) é de 30%. Quanto o investidor estará disposto a pagar pelo terreno se sua taxa de atratividade é de 5% a. Para construir essa estrada.000. determine o melhor investimento por qualquer método.a. Terá ainda uma despesa inicial de R$ 1. isto é.000.a.000. b) Calcule.a. La = 12 (65.m.m. Qual o preço que poderá ser atrativo a ambos? 13. 00. b) 15. pois iA = 21. 2.000. b) Equipamento A. pois NPVA = 747.06.00. calcule o valor de x para que o valor presente líquido do fluxo abaixo seja nulo: b) 16.82 com i = 8.02.89 e VPU8 7.000.102.000. a) A taxa interna de retorno desse investimento é maior ou menor que 5% a. 3.m.m.594..42% a.412.628. c) Equipamento A.a. Teria.404.96% a.000.082.05% a. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo.75 e VPUB .1.338.m. a) É melhor continuar usando os serviços da transportadora. 2. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo: 8. A segunda alternativa é melhor.82 17. Durante esse tempo.752.287. 18.63 e NPVC = 26.440.08%.45% e 2.? Determine a taxa interna de retorno.5% a.83% a. Pelo método do valor presente líquido.m.m. calcule: a) O valor presente liquido.88.427. O valor mensal. Em dois pagamentos (as taxas mensais são 2.058. b) VPUT = 7.08% a. pois a taxa da loja é maior que 2% a.57. b) 10. pois VPUA = 249.21%. e a outra foi de 11% a. (ou: a taxa interna de retorno é de 9. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 19.m. respectivamente). 7. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo.98 eNPVB .a.m. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 14.764.24 Sim.860.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.000. Calcule o valor de x no diagrama abaixo. usando a taxa de 5% a. Sabendo que o valor presente líquido com a taxa de 6% a.85 e VPUC = 7.: RESPOSTAS 1.) (ou: as prestações seriam de R$ 8.85% a. 9. (i = 3.m. pois NPV = 342.909.00. c) 6.m. No fim de dois anos foi vendido por R$ 2. VPUA —1. pois NPVT = 25. NPVA .a.84 11. a) Equipamento A.59.16. com essa mesma taxa de 5% a. pois NPV = .m. o lucro da indústria teve um aumento mensal de R$ 450. calcule a taxa que o anula (taxa interna de retorno).512.11 e NPV6 = 18.924.).30. Se a taxa que anula o valor presente líquido é maior ou menor que 5% a.8% a.m.122. o que indica taxa maior que 8. VPU = 2. Pelo mé- Matemática 62 A Opção Certa Para a Sua Realização . e = 18.213. (ou: a taxa interna de retorno é de 6. negativo. Usando a taxa de 10% a.38.s. Não.m..682. É melhor comprar a vista. o que indica taxa menor que 7% a. é de .m. a) Calcule seu valor presente líquido usando a taxa de 5.18 5. para que a taxa interna de retorno seja de 10% a.8% a.974.778. pois a taxa da CP foi de 10.126. Um equipamento foi adquirido por uma indústria com três pagamentos semestrais antecipados de R$ 3.m.02).466. Sua taxa interna de retorno. b) 4.).m. determine: a) Seu valor presente líquido com taxa de 8% a. Pelo método do valor periódico uniforme. R$ 7.073.2. R$ 30.134.a. iA = 29. consideramos como alternativas de investimento.m. O primeiro passo e mais importante.70% a. -Lançamento de novos produtos.443. 19.a. tal que 2. é a lógica da sociedade capitalista e do mundo empresarial.37 b) 5. Compreende os gastos que serão incorporados ao ativo fixo da empresa.92 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos -Construção de uma nova fabrica. R$ 24. pois tem a finalidade de quantificar as necessidades de recursos.408. pois o mesmo representa uma saída de recursos.82 < 0 b) 4. As entradas e saídas não devem corresponder especificamente com os valores contábeis. a) b) c) .26. resolve lançar um novo produto no mercado. consideram. ampliar seu raio de ação ou conquistar novos espaços.m.1% a.Receitas Operacionais. 14. EFEITOS ORIGINADOS PELO LANÇAMENTO DO NOVO PRODUTO. EXEMPLO DE PROJETO.633.61 17.3. a) Menor que 5% a.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. altera definitivamente a analise do projeto. 20. Possível liquidação do investimento. toda e qualquer ação da empresa que eleve sua capacidade produtiva. isto alteraria positivamente ou negativamente as entradas ou saídas.. AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVA DE INVESTIMENTO Toda e qualquer instituição tem como propósito crescer. x = 214. -Compra de novos equipamentos. 12. Para os objetivos deste nosso estudo adotaremos como investimento. e iB 37. Custos necessários ao funcionamento normal do que esteja previsto no projeto em cada período. valor residual.55 < P < 2. como pagamento de juros.22. as aplicações financeiras como apenas uma forma de poupança. -Compra de patente sobre processo de produção.38% a. Uma empresa do ramo de calçados. Não se deve considerar as despesas financeiras. Caso isto ocorra o novo produto terá vida útil de 5 anos. 2.338. Tais despesas são opcionais e não estão diretamente relacionadas como o projeto. Mas como investir no mundo de incertezas e flutuações? São perguntas que necessitam de respostas precisas.40.32 . a opção de financiamento é uma decisão pessoal e não uma necessidade do projeto. -Substituição de um equipamento por outro.Receitas eventuais. Decorrentes das vendas de produtos ou serviços. a determinação das entradas e saídas de recursos do projeto. após o que será retirado de produção. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO todo da taxa interna de retorno. pois uma projeção errada da entrada ou saída dos recursos. -Treinamento de pessoal.390. equipamentos e etc.2% a. O resultado por período deve ser considerado após o calculo do Imposto de Renda. é a elaboração do fluxo de caixa. não podendo de forma alguma computar valores relacionados com outros projetos. DESPESAS Matemática 63 A Opção Certa Para a Sua Realização . Ë o preço P. 75. definindo todos os passos para implantação. 16. x = 376. a) . MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA.79. Mas o que se entende por investimento? Muitos consideram as aplicações financeiras como tal. -Informatização do controle de produção.185.36 18.Despesas de investimento.). -Campanha publicitária.a. 1. 13. TIPOS DE FLUXO DE CAIXA. realizar ações que possibilite o crescimento. da execução do projeto. Cada decisão de investimento deve ser acompanhada por um projeto especifico.(maquinas.112. a) 785. Na projeção do fluxo de caixa.m. pois NPV = .433. muitos destes valores são apenas registros e não entrada ou saída de recursos.420 Menor -Implantação de programa de qualidade. Para tanto necessita de investimentos.131. 3. ou seja.s.19 b) 7. outros não. -Ampliação de unidade de produção.787 carros 15.Despesas operacionais. 4. Esta etapa é decisiva. deve-se considerar apenas as entradas e saídas de recursos relacionados especificamente com o projeto em observação. pois nenhum centavo investido pode ser perdido. Desde a aquisição de novos equipamentos até um treinamento de pessoal. TIPOS DE INVESTIMENTO.82% a. 000. 3.000 5.000 15.00 R$ 230.00 R$ 220. Despesas operacionais.00 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Terceiro ano Quarto ano Quinto ano R$ 30. incluindo atribuição de R$ 15.000. Taxa Interna de Retorno. Custos dos produtos vendidos Despesas administrativas.M. Compra de equipamentos R$ 200. Redução da margem. R$ 150. Período de recuperação do Investimento.000 5.000.000.00 Métodos de Fluxo de Caixa Descontado.000.00 FLUXO DE CAIXA R$ 5.000.000.000. é o espaço de tempo em que o fluxo de caixa acumulado Matemática 64 A Opção Certa Para a Sua Realização .000 150. DESPESAS.000.000.000 5.000 60.000. 1 e 2.000.000 63. Primeiro passo.00 R$ 230.00 Receita de vendas Custos dos produtos vendidos Despesas administrativas Redução da margem ANO1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 ANO 5 R$ 350.000 15.000 17. Primeiro ano Segundo ano R$ 190.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. RECEITAS PAYBACK .000 220.00 R$ 25.00.000 85. Índice de Rentabilidade.000. Métodos de Fluxo de Caixa Não Descontado.000.000 15.000 15.000 350.000 150.00 R$ 350. T.00 R$ 25.00 Lucro Liquido Antes do I.000.00 R$ 85.00 R$ 220.000 52.00 Valor Residual R$ 200.000 21.000.000 20.000 15. é definido como sendo o numero de meses ou anos em que o investimento inicial é recuperado.000 OBS.00 de outros produtos vendidos pela empresa e demais departamentos já existentes.000. MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA. RECEITAS Primeiro ano Segundo ano Terceiro ano Quarto ano Quinto ano R$ 190.000 39.000. Compra de maquinas e equipamentos Investimento adicional em contas a receber Redução da margem de contribuição dos outros produtos.R. Imposto de Renda Lucro liquido depois do Imposto de renda Depreciação Entrada Liquida 20. quando terminara a vida útil do produto.000 5.000.000.00 2) 3) 4) 5) R$ 5.000.000 270.500 20.000 35. Em termos técnicos.Período de recuperação do investimento.00 R$ 15.000 100.000 150. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Elevação nos custos dos produtos vendidos pela empresa.000 20. 4 e 5.00 190. Taxa Média de Retorno. Identificação das despesas e receitas do projeto.000.000.00 R$ 270. Despesas de investimento.000 32.000 33.500 59.00 R$ 270.000 50.000 230.000 137.00 É talvez o método mais simples e fácil de avaliação.00 depreciação de R$ 20.000 150.000. Valor Presente Liquido.000 Investimento em contas a receber METODOS DE ANALISE 1) PAY-BACK.000 5.000 65.500 13.00 Despesas administrativas.000 180.000 20. restara uma receita residual de R$ 85. Supõe-se que ao final do quinto ano.000 117. incluindo R$ 150.R.000 150.000 7.000 20. 000.00 +226.E – V.M.00 5 Liquido 90. = V.00 x 12 / 137.10 = 30.00 -133.000.500. = V.000 / 1.350.300. utilizando taxas maiores chegaremos a 23. Esta taxa deverá ser confrontada ao custo de capital da empresa.000.00 +4. Payback = 2.000.P.123.28 VPS = 225.060. se dá no terceiro ano.00 +89.S.000. Dividir o fluxo liquido médio pelo investimento inicial. a uma taxa de 10%. o projeto deverá ser aceito. = Valor Presente das Entradas V. Desta forma a recuperação se dá no 11 mês do terceiro ano e o Payback em dois anos e onze meses.000.P. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO torna-se positivo. Período = 133.33 VP3 = 102. encontramos um VPL = 100. como sendo a taxa em que o VPE = VPS.R 0. sendo desta forma um método de fluxo não descontado.P.P.71 VPE = 325.00 +137. Determinação do fluxo liquido médio.A TAXA MÉDIA DE RETORNO .10 VP5 = 85.000 Podemos observar que a recuperação do investimento inicial. enquanto a TIR superar o custo de capital. Período Fluxo de Caixa no Fluxos AcumuPeríodo lados 0 1 2 3 4 5 -225.500.00 SANVICENTE.00 Investimento Inicial T.P./ (1 + i ) V. Antonio Zoratto TAXA INTERNA DE RETORNO Fluxo total Períodos Fluxo médio liquido 451.00 +59.500.M.S. Etapas da T. Este método também não leva em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo. Por tentativa já que.P. mas em mês deste ano? O período exato pode ser calculado da seguinte forma: Período = Fluxo acumulado anterior ao período que ocorre a recuperação x 12 / Fluxo de caixa do período que ocorre a recuperação.07%.E / V.O VALOR PRESENTE LIQUIDO .E.00 VPL = 100. 225.R.123. I.00 +85.28 A TAXA INTERNA DE RETORNO.4013 ( 40. V.28.00 +33.000.T.000.00 -192.R. tem como deficiência.000. ÍNDICE DE RENTABILIDADE.L. não levar em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo. Serve como comparação entre o VPE e o VPS.S.000.M.930.R. fornece a recuperação média do capital investido.00 = 11.123.000.P.P.E.000.11 2.64. = VP1 + VP2 + VP 3 + VP4 + VP5 n VP1 = VF1/(1+ i) VP1 = 33.P. é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) Matemática 65 A Opção Certa Para a Sua Realização . em inglês IRR (Internal Rate of Return).= V.00 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 3.000.000. V.12 VP4 = 58. tornando o VPL igual a zero. = Valor Presente das Saídas. dividindo-se o fluxo liquido total pelo numero de períodos. É a taxa que igual a o VPE ao VPS.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.00 -225.00 +137.F.VPL V. Embora seja um método pratico e fácil.13%) A Taxa Interna de Retorno (TIR). o Seguindo este modelo teremos: Vp2 = 48.760. Utilizando uma calculadora financeira.TER). mensal. recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR. este investimento não deve ser realizado.custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios . Para os casos de alteração freqüente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno . serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada. também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa.) Nota: recorrendo ao uso Matemática 66 A Opção Certa Para a Sua Realização . Exemplo Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana. Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. ou seja. Entre vários investimentos. ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo. Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima. contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor. a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores). através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero. constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo. No caso do Excel. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo.  Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamente. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento. Assim. ou seja "tentativa e erro". A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva. Quando a TIR calculada é superior à taxa efetiva de reinvestimento dos fluxos de caixa intermediários. é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios . Contudo.  Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno. pesquisas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto. calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação: A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. semestral. pode sugir. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto.2 = 20% Como uma ferramenta de decisão. Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente. uma expectativa irreal de retorno anual equivalente ao do projeto de investimento. trimestral. Sendo usada em análise de investimentos. Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas. os vários retornos que o investimento trará. às vezes de forma significativa. deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento. A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento. e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise. se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA). anual. a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo. ou seja. onde i corresponde à taxa de juros: Para VPL = 0 temos i = TIR = 0. A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. ou vice-versa) durante o período de análise. A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo.00. etc. Método Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno. pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver umaTMA menor do que 15% ao ano. significa a taxa de retorno de um projeto.  Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo. e sim apenas através de iterações. a TIR é utilizada para avaliar investimentos alternativos.00 e uma entrada no período 1 de R$120. valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros. até ao último período a considerar. encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. é fundamental para o seu acompanhamento Representa o retorno que o ativo total empregado oferece. Tal prática consiste na ocultação da cobrança da comissão que é diluída nas parcelas do financiamento e o consumidor sequer toma conhecimento de sua existência e acaba sendo lesado ao beneficiar. Essa taxa nada mais é do que uma ―comissão‖ que as instituições financeiras cobram e repassam às revendas. ROI=(Lucro Líquido÷Vendas)×(Vendas÷Total de ativos) representa a relação entre a lucratividade e o giro dos estoques. aquela que iguala o valor do investimento do seu preço ou custo. Para além da ―venda‖ interna e externa do projecto. e o montante de dinheiro investido. é a sua taxa implícita ou interna de retorno. a responsabilidade financeira aumenta permanentemente e a sua mensuração é obrigatória. ) Matemática 67 A Opção Certa Para a Sua Realização . sem saber. normalmente de veículos. ROI=Lucro líquido÷Investimentos representa o retorno que determinado investimento oferece. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos dando de uma forma clara o impacto no negócio face às metas pré-definidas. a chamada ―Taxa de Retorno‖. apresentando-se mesmo como uma variável aleatória. retorno sobre investimento (em inglês. o cálculo do ROI não é contudo uma ―moda‖ recente. o valor de um investimento é o equivalente actual dos seus cashflowsfuturos. Utilizado geralmente para determinar o retorno que uma empresa dá. Economia e Finanças. O dinheiro investido pode ser referido como ativo. Existem três formulações possíveis de taxa de retorno.( . Vários são os entendimentos de que o pagamento da Taxa de Retorno pelo consumidor configura prática abusiva. Assenta na ideia de que qualquer investimento deve proporcionar uma taxa de retorno igual a uma taxa sem risco acrescida de um prémio de risco função do grau de incerteza que afecta os cash-flows futuros do investimento. outras nem tanto. a revenda que acaba ―abocanhando‖ esse percentual. O retorno efectivo serve como medida de avaliação do desempenho de um investimento. A taxa de retorno exigida é a que permite determinar o valor de um investimento. Cada metodologia varia em função da finalidade ou do enfoque que se deseja dar ao resultado. ganhos ou perdas ou ainda rendimento líquido ou perdas líquidas. return on investment ou ROI). que conseguem fechar o contrato de financiamento com o cliente. a inclusão da cobrança nas prestações dos financiamentos. sendo estes convertidos em equivalente actual (ou actualizados) justamente à taxa de retorno exigida. algumas simples.. rate of return ou ROR). que terá que ser medido. obtém-se o tempo necessário para se reaver o capital investido. Embora hoje. Geralmente é utilizado para determinar o retorno de investimentos isolados. De facto. lucros ou prejuízos. capital. O seu conhecimento antecipado tem um impacto importante não só no seio da organização que gere o processo de investimento. já que os contratos não deixam claro. O retorno previsto serve como medida ex ante do desempenho de um investimento. Sendo incertos estes cash-flows. também chamado taxa de retorno (em inglês.  retorno previsto. aferido a posteriori. Já em 1920 a Harvard Business Review referia o ROI como a medida de análise essencial para conhecer o valor do resultado de investimento de capital. resulta que a taxa de retorno prevista é também incerta.. ROI=Lucro líquido÷Total de ativos  retorno efectivo. Há também a Rentabilidade do Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Investimento Total Taxa=[(Lucro Líquido do Exercício)/(Vendas Líquidas)]*[(Vendas Líquidas)/ATM]*100=[(Lucro Líquido do Exercício)/ATM]*100 ATM=Ativo Total Médio=(Ativo Inicial+Ativo Final)/2 Chamada ―Taxa de Retorno‖ Em matéria exibida pela Rede Globo nos programas ―Jornal hoje‖ e no ―Jornal Nacional‖. o uso desta ferramenta de análise seja generalizado a todo o tipo de investimentos. O Código de Defesa do Consumidor dispõe em seu artigo 6º que são diretos básicos do consumidor: I .taxa de lucro ou simplesmente retorno. O ROI é geralmente expresso como percentagem A concretização das estratégias organizacionais de uma empresa está dependente da gestão adequada de projectos. os consumidores foram alertados da prática ilegal de uma cobrança conhecida por poucos. Metodologias de cálculo Em finanças. a enciclopédia livre. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO RETORNO SOBRE INVESTIMENTO Origem: Wikipédia. Aqui reside o seu risco. programas e portfólios.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. para ser tido em conta na estimação dos prémios de risco a incluir nas taxas de retorno exigidas.  retorno exigido e. O montante de dinheiro ganho ou perdido pode ser referido como juros. A seguir estão algumas das mais conhecidas e facilmente encontradas em livros de Contabilidade. nem poderiam. são elas: O cálculo do ROI possui diversas metodologias. principal ou custo básico do investimento. Invertendo-se a relação (ROI=Investimento÷Lucro Líquido). A taxa de retorno prevista é função do preço (ou custo) do investimento e do fluxo de cash-flows futuros atribuíveis ao investimento. é a relação entre o dinheiro ganho ou perdido através de um investimento. como também junto de potenciais investidores. Nesse sentido. (Negritei). com especificação correta de quantidade. Seguindo o preceito estabelecido na legislação acima citada. de 20 de setembro de 2006.903. Porque daí é certo que eu aceitei‖. O Decreto nº 5.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Só então descobriu as taxas embutidas no valor do financiamento. uma espécie de comissão que muitos bancos e financeiras oferecem às revendas como prêmio para quem fechar contratos. 91 92 Mai. e IV . porque o mesmíssimo carro. Como visto acima a informação de preço esta plenamente amparada pelo Código de Defesa do Consumidor. que tivesse financiado R$ 15 mil. ―Qualquer taxa de retorno para a empresa que vende o carro é uma lesão ao consumidor. 244 245 Out. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO II . 182 183 Ago. Ele calculou também a prestação com a maior taxa de retorno: R$ 672. 213 214 Set.os juros. comprado com o mesmo prazo de financiamento. a composição do que perfaz o preço da parcela. Eu posso usar até 0. e fica para a loja. periodicidade e valor das prestações. Um vendedor explica que a taxa de retorno é calculada pelos próprios funcionários. o cliente pagaria R$ 2. qualidade e preço.( .os eventuais acréscimos e encargos que incidirem sobre o valor do financiamento ou parcelamento. o valor. 305 306 Dez. como nas hipóteses de financiamento ou parcelamento. é para a revenda‖. fique atento as cláusulas do contrato e demais condições. o Procon recomenda que o consumidor pesquise e exija que as revendas expliquem o que se está sendo cobrado em cada mensalidade.4% de retorno para mim‖. a parcela seria de R$ 593. 274 275 Nov. Nem sempre o cliente tem essa escolha. é o comprador quem paga o bônus. visitamos num único dia dez revendas.348 mil sem a taxa de retorno. 1 2 Fev 32 33 Mar. deverão ser também discriminados: I . principalmente com relação à composição do valor total do financiamento para que futuramente não haja necessidade de exigir seus direitos na justiça. 152 153 Jul. Quem explica são os repórteres Guacira Merlin e Giovani Grizotti. Mas o advogado Peri Fernandes Corrêa. III . assim preceitua: Art. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Sem conseguir pagar as prestações do automóvel. 335 336 Dias do Mês 1 2 Matemática 68 A Opção Certa Para a Sua Realização . o total subiria para R$ 24. oferecendo ao consumidor melhores opções de preços. Sem a cobrança do ágio.o valor total a ser pago com financiamento. 0. O problema é que o banco repassa o custo deste comissionamento para o consumidor‖.844 a mais para a revenda. II . antes de firmar um contrato de financiamento. cabendo a ele pesquisar as melhores taxas (uma a uma) antes de fechar um negócio. ) III – a informação adequada e clara sobre os diferentes produtos e serviços. Em outra loja.192. porque é um benefício que o consumidor está pagando que não é próprio. Leia abaixo a matéria exibida pela Rede Globo no Jornal Nacional de 24/04/09: Uma reportagem de muita utilidade para quem pretende comprar um carro. o consumidor deve. ―A financeira dá uma possibilidade da loja ganhar uma comissão sobre o financiamento. Fonte: Jornal Nacional – Edição de 24/04/09 Autor : Bueno e Costanze Advogados TABELAS TABELA 1 — CONTAGEM DOS DIAS Dia do Mês 1 2 Jan.962 de 11/10/04. Consumidor. 121 122 Jun. com a mesma financeira. Nos dias atuais. Já com a cobrança da comissão. características. caiu R$ 49. ―Tem que ser tudo esclarecido antes de pagar. que regulamentou a Lei nº 10. dependendo do vendedor que o atender. item a item.o número.. vale lembrar que a concorrência esta cada vez mais estimulada. 60 61 Abr. Parágrafo único. Por isso. explica que. explicou Adriana Burguer. Joana entrou na Justiça para rediscutir a dívida. exatamente com a mesma financeira. o vendedor informou o valor de cada pagamento. pagaria R$ 21. No caso de outorga de crédito. bem como sobre os riscos que apresentam. sem saber. pesquisar de forma inequívoca. Muita gente só se dá conta desse abuso bem tempos depois. Com uma câmera escondida. Preste atenção. ―Não há nada errado em um banco comissionar revenda para angariar financiamento para eles. A diferença seria por causa da taxa de retorno..3%. inclusive de financiamentos.. quando fica difícil manter em dia a prestação. Pedimos um financiamento de R$ 15 mil para a compra de um carro 2006 em 36 vezes. composição. 3o O preço de produto ou serviço deverá ser informado discriminando-se o total à vista. O comprador. com a crise financeira mundial que vem assolando diversos setores da economia. coordenadora do Procon (RS). especializado em finanças. valendo salientar que por ―preço‖ a de se entender pela composição discriminada de todos os valores que perfazem o importe da parcela a ser paga. Numa. No final do contrato. pode ter preços diferentes. 0293 0.0183 0.0550 0.0260 0.0053 0.0217 0.0587 12% 0.0400 0.0400 0.0133 0.0467 0.0020 0.0347 0.0133 0.0300 0.0390 0.0060 0.0303 0.0060 0.0650 0.0520 0.0180 0.0563 0.0047 0.0233 0.0450 0.0427 0.0187 0.0300 0.0300 0.0320 0.0159 0.0480 0.0330 0.0600 0.0270 0.0257 0.0160 0.0117 0.0280 0.0500 0.0303 0.0187 0.0280 0.95 360 342.55 600 553.0480 0.0240 0.0120 0.0100 0.0027 0.0090 0.0073 0.0080 0.0023 0.0213 0.0693 Matemática 69 A Opção Certa Para a Sua Realização .0520 0.0266 0.0399 0.0033 0.0200 0.0043 0.0330 0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 — — — 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 — 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 — A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 — 275 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 — 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 TABELA 2— DIVISORES FIXOS (Valores da expressão Taxa (%) 5 10 15 20 25 30 35  7200 3600 2400 1800 1440 1 200 1 028.0347 0.0040 0.0390 0.0560 0.0093 0.0373 0.0420 0.0167 0.0030 0.0130 0.0477 0.0080 0.0293 0.0173 0.0607 0.53 400 378.0233 0.0260 0.0150 0.0210 0.0267 0.0240 0.0070 0.0477 0.0240 0.0200 0.0107 0.0140 0.0327 0.0403 0.85 514.) Taxa (%) 75 80 85 90 95 100 105  480 450 423.0067 0.0319 0.0350 0.0100 0.0120 0.86 Taxa(%) 40 45 50 55 60 65 70 Período diário 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6% 0.0220 0.0360 0.0110 0.0200 0.0180 0.0440 0.0367 0.0160 0.0210 0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.0433 0.0087 0.57 Δ 360 i  900 800 720 654.0640 13% 0.0257 0.0120 0.0080 0.0373 TABELA 3 — JUROS SIMPLES Taxa mensal 8% 9% 10% 0.0280 0.0220 0.0320 7% 0.0433 0.29 ano comercial e taxa anual.0360 0.0163 0.0513 0.0140 0.0533 11% 0.0037 0.0440 0.0333 0.0239 0.0040 0.0367 0.0147 0. 3439164 1.0607 0.0697 0.5633042 2.0880 0.6532977 2.2323919 1.0760 0.0586 0.7024331 1.9201291 1.0600000 1.6927728 2.0400000 1.1160 0.6528476 1.0340 0.9161034 1.0489346 4.4071004 1.8602946 1.1609690 1.2250999 3.8384592 1.7410242 TABELA — JUROS COMPOSTOS n Valores de (1 + i ) 3% 4% 5% 6% 1.0667 0.2071355 3.2212890 2.6035374 3.0460 0.2189944 1.8509302 1.7724698 2.0720 0.0953 0.3212910 2% 1.0453 0.2521916 2.2433743 1.1156684 1.3604890 1.2166529 1.2571630 1.0833 0.0360 0.1120 0.1100 0.4802443 1.4025517 1.1000 0.2653190 1.2155063 1.0532 0.1576250 1.1449000 1.3157011 4.0840 0.3963532 7.0900 0.7068865 1.4185191 1.0440 0.1040 0.5768993 1.0937779 2.5513282 1.7405299 5.7859626 2.1592741 1.2138676 6.7138243 1.3685691 1.0927270 1.5785342 2.7000181 3.1200 0.2879277 1.8833686 2.9521638 3.9799316 2.5036303 1.0500 0.1257 0.0338337 5.6650735 1.1068492 2.6488384 8% 1.4066192 2.0653 0.0997 0.9735865 2.0990 0.5459797 1.2920183 2.0255995 3.3082089 1.0570 0.0700 0.0910 0.4685337 1.4282463 1.0800000 1.2201900 1.8982986 2.0900 0.6288946 1.0773 0.0258165 2.0660 0.4774554 1.2250430 1.3799323 3.0917 0.0623 0.0867 0.0560 0.0327941 2.0953 0.0733 0.4257609 1.1494742 1.3107960 1.0201000 1.4568112 1.1040808 1.3411807 6.5156663 1.7181862 1.0780 0.1725786 1.0380 0.1213 0.1255088 1.5938481 1.5181701 2.8009435 1.0540 0.0490 0.3995636 3.0843 0.8223459 5.0500000 1.3965582 2.3727857 1.4693281 1.0807 0.0630 0.0720 0.1248640 1.4304017 4. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.0100000 1.4259426 3.1405624 4.1911231 2.3842339 1.9371936 3.9990046 2.0800 0.2762816 1.2787681 2.0583 0.9880615 8.0303010 1.1589250 2.0767 0.0630 0.2667701 1.6047064 1.0480 0.8856491 1.6609571 5.2952563 1.0420 0.6084373 1.0121965 2.1063 0.1588152 3.1048520 2.7590315 2.4859474 1.0633 0.4365404 5.6658363 2.0715238 3.0660 0.0867 Q.0400 0.4647155 2.1300 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1% 1.0700000 1.0537 0.1380933 1.1486857 1.0933 0.4002414 1.1083 0.0443 0.0840 0.0810 0.3047732 1.0561 0.3458683 1.1950926 1.1843044 1.8484752 7.5403517 2.0540 0.8073529 6.1961475 1.1116867 7% 1.9479005 2.0510 0.1721691 3.1940523 1.6271064 Matemática 70 A Opção Certa Para a Sua Realização .1236000 1.0720 0.2824320 1.2918707 4.5125897 1.5556727 3.1000 0.2697347 1.2682418 1.0747 0.8543392 3.0507 0.1565913 2.0666 0.2609040 2.0936853 1.8729813 1.0828567 1.6165275 3.0694 0.0780 0.8197497 4.8696845 4.1127 0.1664000 1.1170 0.0300000 1.0520 0.0723670 5.0680 0.8061112 1.1040 0.5394541 1.7958563 1.1329283 2.0580 0.0733 0.0824322 1.2597120 1.0406040 1.1828746 2.6894790 1.0870 0.7908477 1.7334563 3.0920 0.7316765 1.5493830 4.0600 0.3699188 2.4098450 2.0510101 1.0600 0.2624770 1.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.0700 0.1716594 1.1025000 1.1027 0.0567 0.5269502 2.0613 0.6734181 1.0800 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 0.3194788 1.0560 0.9960195 4.5579674 1.4274326 5.4233118 1.0800 0.0615202 1.1910160 1.0750 0.9987033 1.5868743 1.0737 0.0960 0.0640 0.0823 0.0789282 2.2936066 1.3382256 1.0677 0.0967 0.7103394 1.3400956 1.1046221 1.1268250 1.0478 0.9671514 2.0420 0.0816000 1.1261624 1.1080 0.2447159 1.1698586 1.6406060 1.0721354 1.5007304 1.0467 0.0770 0.0397 0.0880 0.3159318 1.8714637 6.0513 0.3863549 3.7535061 1.6010322 1.0690 0.9252607 3.6057815 1.0404000 1.0600 0.7196237 2.2298739 1.0200000 1.2081090 1.3316390 2.0612080 1.0609000 1. 0769012 0.2885915 0.0827450 0.3603485 0.5454369 0.0735796 0.0871890 0.0826020 0.2562811 0.1064558 0.1785258 0.1627454 0.1725484 0.0756972 0.1196509 0.1001437 0.1000000 0.0546681 0.0989521 0.1396507 0.0699698 0.3086687 0.0510193 4% 1.2754901 0.0796790 0.1096294 0.0545642 0.0100000 0.3478489 1.9967530 0.0896185 0.1278166 0.5150495 0.0642581 0.0814487 0.0900000 0.1186515 3.1065522 0.1156244 0.1424564 0.0904889 0.1539631 0.0470735 0.0745926 0.2373964 0.1906744 0.2246271 0.2183546 .1728198 0.1141490 0.0735818 0.1284332 0.1076166 0.0438689 0.0580518 0.3467547 0.0660455 0.0578301 5% 1.0954448 0.0590474 0.0446493 3% 1.0936788 0.0736601 0.0887139 0.0588799 0.0834257 0.1074510 0.1192770 0.5378049 0.1547218 0.3154708 0.0574279 0.0845610 0.0724709 0.0648718 0.0882404 0.1314738 0.1605064 0.0871846 0.7434912 7.1041276 0.1067021 0.0858105 0.0761386 0.0779961 0. 0.0700000 0.3345039 1.0387481 2% 1.0837666 0.2433975 4.2060398 0.1029628 0.1970175 0.0671225 0.0411244 0.1486283 0.0530308 0.1091590 0.1059050 0.1326950 0.0980321 0.0650514 i(1 i)n (1  i)n  1 6% 1.0200000 0.0759525 0.0488858 0.1907619 0.1080775 0.1610359 0.0922890 0.0695643 0.1067281 0.5226108 0.2626238 0.3741098 0.1010240 0.1095465 0.0800000 0.1112998 0.0899411 0.3565655 2.1406901 0.0855462 0.1018522 0.2438907 0.0608139 0.0964222 0.1470222 0.2229198 0.5530918 0.1043819 0.0528711 0.5301961 0.0973364 10% 1.1030226 0.0823919 0.0300000 0.1161356 4.0943929 0.1674678 0.0778255 0.0712801 0.1060793 TÁBUA DE LOGARITMOS N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N 00 50807 100 00000 100 17009 200 20103 260 30794 300 1 00000 51 70757 101 00432 151 17898 201 30320 251 39967 301 2 30103 52 71600 102 00860 152 18184 202 30535 252 40140 302 3 47712 53 72428 103 01284 153 18469 203 30750 253 40312 303 4 60206 54 73239 104 01703 154 18752 204 30963 254 40483 304 5 69897 55 74036 105 02119 155 19033 205 31175 255 40654 305 6 77815 56 74819 106 02531 156 10312 206 31387 256 40824 306 7 84510 57 75587 107 02938 157 19590 207 31597 257 40993 307 8 90309 58 76343 108 03342 158 19866 208 31806 258 41162 308 9 95424 59 77085 109 03743 159 20140 209 32015 259 41330 309 10 00000 00 77515 110 04170 100 20412 210 32382 260 41407 310 11 04139 61 78533 111 04532 161 20683 211 32428 261 41664 311 12 07918 62 79239 112 04922 162 20952 212 32634 262 41830 312 13 11394 63 79934 113 05308 163 21219 213 32838 263 41996 313 14 14613 64 80618 114 05690 164 21484 214 33041 264 42160 314 15 17609 65 81291 115 06070 165 21748 215 33244 265 42325 315 Mantissa 47712 47857 48001 48144 48287 48430 48572 48714 48855 48996 49130 49275 49415 49554 49693 49831 N 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 300 361 362 363 364 365 Mantissa 54407 54531 54654 54777 54900 55023 55145 55267 55388 55509 86530 55751 55871 55991 56110 56229 N Mantissa N Mantissa 400 00200 460 00021 401 60314 451 65418 402 60423 452 65514 403 60531 453 65610 404 60638 454 65706 405 60746 455 65801 406 60853 456 65896 407 60959 457 65992 408 61066 458 66087 409 61172 459 66181 410 61278 400 86276 411 61384 461 66370 412 61490 462 66464 413 61595 463 66558 414 61700 464 66652 415 61805 465 66745 Matemática 71 A Opção Certa Para a Sua Realização .0945596 0.0885263 0.3810517 0.8113616 2.1142123 0.0796109 0.0964541 0.1920724 0.1667988 0.0727087 0.1295046 0.0805854 8% 1.0904058 0. 0.2820118 0.0609821 0.0721238 0.1845975 0.0398950 0.2309748 0.1344930 0.0949780 0.1874440 0.0612385 0.1558201 0.1113265 0.1129769 0.0821985 0.1117304 0.0789933 0.0637818 0.1219302 0.0850046 0.0896209 0.4272625 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 3.0673091 0.1306903 0.0424455 0.0914481 0.1128254 0.1024252 0.0600130 0.0923565 0.0400000 0.1490295 0.5761905 0.0830456 0.2637975: 0.0611567 0.0508637 0.1358680 0.0469897 0.1202999 0.0997349 0.1666096 0.1004621 0.1366098 0.1740148 0.1167404 0.0769044 0.3672086 0.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.2163154 0.1140051 0.1055821 0.0587848 0.1469467 0.1018063 0.2952281 0.0741368 0.1129601 0.4183879 5.0988521 0.0998323 0.1259020 0.1600797 0.0532932 0.1791350 0.1021779 0.1082576 0.1058577 0.0521147 0.3880335 0.2504565 0.1125718.0946690 0.0759705 0.5075124 0.2690271 0.1335666 0.0500000 0.7758447 1.317274 10.0457784 0.2570925 0.0886991 0.0672157 0.1855532 0.0922699 0.1357462 0.1423775 0.0655868 0.0782267 0.0482931 0.2296074 0.0679446 0.0726489 7% 1.0824148 0.3219424 5.0625674 0.0600000 0.0554153 0.0512204 0.1467633 0.3950548 0.0559383 0.0925071 0.1172305 0.1400763 0.1485278 0.0888274 9% 1.1333569 0.2054055 0.0980557 0.1101681 0.0812785 0.5607692 0.0698139 0.0667021 0.1168295 0.3400221 0.0994126 0.0.0888488 0.06265 TABELA AMORTIZAÇÃO Valores de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1% 1.1170463 0.1143449 0.1534865 0.6122550 9.1284339 0.1075849 0.0691988 0.0940295 0.1142571 7.0454068 0.0566314 0.0802426 0.1246641 0.0709525 0.1736405.3019208 0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 29 30 1.1174596 0.1986905 0.1407785 0.0496992 0.1195469 0.1265218 0.1203889 0.0963423 0.3535304 0.1240589 0.1225154 0.1212969 0.5684689 0.0627474 0.1232909 0.0682919 0.0858200 0.2121584 0.2097958 0.0640120 0.1097946 0.1267929 0.4021148 0.1545120 0.1007154 0.2033626 0. 904 95617 954 97955 505 70329 555 74429 605 78176 655 81624 705 84819 755 87795 805 90580 855 93197 905 95666 955 98000 506 70415 556 74507 606 78247 656 81690 706 84880 756 87852 806 90634 856 93247 906 96713 956 98046 507 70501 557 74586 607 78319 657 81757 707 84942 757 87910 807 90687 857 93298 907 95761 957 98091 508 70586 558 74663 608 78390 658 81823 708 85003 758 87967 808 90741 858 93349 908 95809 958 98137 509 70672 559 74741 609 78462 659 81889 709 85065 759 88024 809 90795 859 93399 909 95856 959 98182 510 70757 560 74819 610 79533 000 81954 710 85128 700 98081 810 90849 960 93450 910 95904 960 98227 511 70842 561 74896 611 78604 661 82020 711 85187 761 88138 811 90902 861 93500 911 95952 961 98272 512 70927 562 74974 612 78675 662 82086 712 85248 762 88195 812 90956 862 93551 912 95999 962 98318 513 71012 563 75051 613 78746 663 82151 713 85309 763 88252 813 91009 863 93601 913 96047 963 98363 514 71096 564 75128 614 78817 664 82217 714 85370 764 88309 814 91062 864 93651 914 96095 964 98408 515 71181 565 75205 615 78888 665 82282 715 85431 765 88366 815 91116 885 93702 915 96142 965 98453 516 71265 566 75282 616 78958 666 82347 716 85491 766 88423 816 91169 866 93752 916 96190 966 98498 517 71349 567 75358 617 79029 667 82413 717 85552 767 88480 817 91222 867 93802 917 96237 967 98543 518 71433 568 75435 618 79099 668 82478 718 85612 768 88536 818 91275 868 93852 918 96284 968 98588 519 71517 569 75511 619 79169 669 82543 719 85673 769 88593 819 91328 869 93902 919 96332 969 98632 520 71600 570 75587 620 79339 670 92607 720 85733 770 89049 020 91381 870 93952 920 96379 970 98677 521 71684 571 75664 621 79309 671 82672 721 85794 771 88705 821 91434 671 94002 921 96426 971 98722 522 71767 572 75740 622 79379 672 82737 722 85854 772 88762 822 91487 872 94052 922 96473 972 98767 523 71850 573 75815 623 79449 673 82802 723 85914 773 88818 823 91540 873 94101 923 96520 973 98811 524 71933 574 75891 624 79518 874 82866 724 85974 774 88874 824 91593 874 94151 924 96567 974 98856 525 72016 575 76967 625 79588 675 82930 725 86034 775 88930 825 91645 875 94201 925 96614 975 98900 526 72099 576 76042 626 79657 676 82995 726 86094 776 88986 826 91698 876 94260 926 96661 976 98945 527 72181 577 76118 627 79727 677 83059 727 86153 777 89042 827 91751 877 94300 927 96708 977 98989 528 72263 578 76193 628 79796 678 83123 728 86213 778 89098 828 91803 878 94349 928 96755 978 99034 529 72346 579 76268 629 79865 679 83187 729 86273 779 89154 829 91855 879 94399 929 96802 979 99078 530 72420 590 35343 530 79934 890 53251 730 86332 790 90209 830 91908 880 94448 930 96848 990 99123 531 72509 581 76418 631 80003 681 83315 731 86392 781 89265 831 91960 881 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94988 941 97359 991 99607 542 73400 592 77232 642 80754 692 84011 742 87040 792 89873 842 95531 892 95036 942 97405 992 99651 543 73480 593 77305 643 80821 693 84073 743 87099 793 89927 843 92583 893 95085 943 97451 993 99595 544 73560 594 77379 644 90889 694 84136 744 87157 794 89982 844 92634 894 95134 944 97497 994 99739 545 73640 595 77452 645 80956 695 84198 745 87216 795 90037 845 92686 895 95182 945 97543 995 99782 546 73719 596 77525 646 81023 696 84261 746 87274 796 90091 846 92737 896 95231 946 97589 996 99826 547 73799 597 77597 647 81090 697 84323 747 87332 797 90146 847 92788 897 95279 947 97635 997 99870 548 73878 598 77870 648 81158 698 84386 748 87390 798 90200 848 92840 898 95328 948 97681 998 99913 549 73957 599 77743 649 81224 699 84448 749 87448 799 90255 849 92891 899 95376 949 97727 999 99957 550 74938 600 77015 650 81291 700 34510 750 07506 000 80309 850 92942 900 98424 950 97772 1000 00000 TABELA 6— VALORES ATUAIS (DESCONTO COMPOSTO) Matemática 72 A Opção Certa Para a Sua Realização .CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 16 17 18 19 20 21 22 23 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 20412 23045 25527 27875 30103 32222 34242 36173 56820 57978 99106 60206 61278 62325 63347 64345 65321 66276 67210 68124 69020 69897 66 67 68 69 70 71 72 73 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 81954 82607 83251 83885 85410 85126 85733 86332 93952 94448 94939 95424 95904 96379 96848 97313 97772 98227 98677 99123 99564 00000 116 117 118 119 120 121 122 123 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 06446 06819 07188 07555 07918 08279 08636 08991 13672 13988 14301 14613 14922 15229 15534 15836 16137 16435 16732 17026 17319 17600 166 167 168 169 170 171 172 173 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 22011 22272 22531 22789 23045 23300 23553 23805 27184 27416 27646 37843 28103 28330 28556 28780 29003 29226 29447 29667 29885 30168 216 217 218 219 220 221 222 223 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 33445 33646 33846 34044 34242 34439 34635 34830 37475 37658 37840 38021 38202 38382 38561 38739 38917 39094 39270 39445 39620 39704 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 266 267 268 269 270 271 272 273 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 42488 42651 42813 42975 43136 43297 43457 43616 45788 45939 46090 46240 46389 46538 46687 46835 46982 47129 47276 47422 47567 47712 316 317 318 319 320 321 322 323 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 49969 50106 50243 50379 50515 50651 50786 50920 52763 52892 53020 53148 53275 53403 53529 53656 53782 53908 54033 54158 54283 54407 366 367 368 369 370 371 372 373 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 56348 56467 56585 56703 56820 56937 57054 57171 58771 58883 58995 00106 59218 59329 59439 59550 59660 59770 59879 59988 60097 60206 416 417 418 419 420 421 422 423 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 61909 62014 62118 62221 62325 62428 62531 62634 64048 64147 64248 64345 64444 64542 64640 64738 64836 64933 65031 65128 65225 65321 466 467 468 469 470 471 472 473 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 66839 66932 67025 67117 67210 67302 67394 67486 68753 68842 68931 69020 69108 69197 69285 69373 69461 69548 69636 69723 69810 69897 N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa 500 69907 550 74036 600 77815 650 81291 700 84510 750 87506 800 90309 850 92942 900 95424 950 97772 501 69964 551 74115 1601 77887 651 81358 701 84572 751 87564 801 90363 851 92993 901 95472 951 97818 502 70070 552 74194 602 77960 652 81425 702 84634 752 87622 802 90417 852 93044 902 95521 952 97864 503 70157 553 74273 603 78032 653 81491 703 84696 753 87679 803 90472 853 93095 903 95569 953 97909 504 70243 554 74351 604 78104 654 81558 704 84757 754 87737 804 90526 654 93146 . 0000000 2.8786626 0.8703745 6.4144354 25.4636947 0.5083493 0.1460179 0.8077957 14.4631935 0.1839405 0.5827953 12.2678483 0.1532907 8.2149000 4.8360173 0.2067872 15.7472582 0.6495809 0.2142263 10.4502437 41.5491089 11.0100000 3.7628952 0.5267875 0.3789648 40.8548042 0.5303214 0.8923361 10.5568374 0.9238454 0.6227497 0.1986558 0.8162979 0.0000000 2.2958639 0.7224213 0.4810171 0.9523810 0.4684099 7.1703153 0.0000000 2.2759699 25.9474213 16.9420452 0.8108950 2Z0190040 2% 1.7599178 0.8227025 0.3165644 0.8974679 11.0301000 4.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.7462154 0.4149645 0.0000000 2.4913160 13.0000000 1.7440939 0.3751168 0.5520709 3% 0.2953028 0.2550936 0.4057263 0.0968955 17.5536758 0.2502490 0.6729713 0.2040402 6.7546284 10.6329755 7.3768895 0.1836000 4.7884932 0.2109469 0.1251868 0.4155207 0.4750928 0.9779888 13.3404610 0.8405587 24.0120710 21.1216000 4.6050165 0.3101250 5.4501891 0.2135352 8.6418620 0.2584190 0.3971138 0.9611688 0.5975793 0.1405628 0.1290220 27.2257132 0.1845567 0.6370930 6.8195445 0.4563870 0.6597758 0.5743746 0.7903145 0.2934169 18.3118047 0.4746424 0.2702690 0.7920937 0.8874492 0.5061120 5.0800000 3.6177905 17.1525000 4.1971466 0.6274124 0.5050680 0.9143398 0.7797684 0.4423010 0.2198100 0.4865625 16.8033962 0.6392853 20.7284458 0.9708738 0.3589424 0.7599917 36.2464640 5.5439337 0.8093280 14.8277399 0.4440120 0.6139133 0.3901215 0.2429463 0.4288829 0.4622125 11.2812407 0.9245562 0.7615877 23.8528213 0.7780786 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1% 1.7835993 17.5390039 33.1956301 0.5829691 9.0000000 2.0200000 3.0400000 3.3359290 8.8626088 0.6095309 0.2145482 0.6468390 0.5918985 0.7835262  vn 6% 0.7419229 2% 0.0000000 2.9990325 37.7720480 0.2973698 5% 1.9705902 0.9052870 0.5002490 0.41 19868 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 1 n (1  i) 4% 5% 0.6809513 0.3713644 0.9259259 0.3746160 5.6147476 20.4243464 0.0500000 3.4875578 14.3081210 7.7001594 0.4969694 0.8402173 33.1521139 30.6611178 0.2919112 20.7507390 7.6454129 27.3685273 10.0061071 13.5218925 0.1609304 0.7129862 0.8899964 0.9716426 16.5375493 0.5834904 0.9345794 0.1591061 11.9070295 0.1168684 26.4304431 19.4342834 8.8573388 0.4219554 0.4776056 0.8219271 0.8367553 0.8666010 7.3242830 33.0000000 2.5133733 04936281 0.6803315 15.5552645 0.8699412 18.0993773 0.1520151 7.8638376 0.7664167 0.2128798 30.3387346 0.2313775 TABELA 7 — CAPITALIZAÇÃO Valores de 3% 4% 1.6755642 0.7502257 37.4581115 0.6712294 29.1920296 15.4399430 5.0909000 3.7013799 0.2149203 27.0700000 3.8613495 0.4163226 6.9497210 12.6454875 18.5668347 12.5820091 0.7954418 0.3305130 0.9425959 0.9514657 0.8203483 0.8531904 0.5873946 0.1836270 4.8880536 30.8245311 23.2918905 0.8734387 0.7493421 0.3957340 0.7938322 0.2469786 0.5785636 23.3206514 0.0863242 18.9327181 0.9771265 21. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO Valores de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1% 0.6650571 0.5846793 0.5066918 0.9753185 8.8019128 8.6231669 0.9151417 0.3091358 5.2765083 0.8884513 20.3152417 0.8164480 15.3936463 0.6725281 28.0659541 6% 1.3938377 9.3624460 0.3878172 0.9171265 17.7730325 0.5256313 6.6301696 0.1313641 8% 0.6663422 0.4120897 14.7619643 Matemática 73 A Opção Certa Para a Sua Realização .2578645 18.4863514 15.1504022 0.6574918 25.7350299 0.9234832 0.8821377 21.5858620 0.1576993 0.4462632 45.2617973 0.7644039 0.9615385 0.0300000 2.1568813 21.9900990 0.8699630 0.1420085 9.7106813 0.4370768 0.5402689 0.7568356 0.3418499 0.5774751 0.0235876 21.4123124 22.1216080 5.8130915 0.0600000 3.7875661 0.0604010 5.0150659 23.1842492 0.6245971 0.7025867 0.3100679 0.1323847 30.6864308 0.0604000 4.8889964 0.3334775 0.8963237 0.9057308 0.1807949 14.5583948 0.5504879 25.3255713 0.9954923 8% 1.888487 1 0.1721955 0.6005741 0.4362967 0.3088187 0.7129829 19.7894092 0.9803922 0.1741 101 7% 0.7141626 0.6268377 18.8114302 0.9802961 0.4638793 12.4388336 0.8374843 0.5339082 0.7306902 0.1159137 0.7430147 0.1687154 13.6341559 0.8396193 0.5989139 20.8443775 0.6540211 10.2317121 0.0258055 16.5986320 21.1352018 0.7855912 7% 1.3503438 0.2464000 4.5702860 0.9228034 10.4172651 0.3606892 0.6825030 13.8705602 0.2073680 0.8879714 0.9609803 0.8042630 0.6975124 25.1010050 6.3676979 0.2598026 11.8982945 9.2329986 0.0265643 12.6446089 0.7049605 0.7578750 0.3468166 0.2941554 0.6768391 0.6805832 0.4688390 0.9433962 0.8403664 28.6366276 12.9423223 0.4952966 24.4919337 0.1073275 0.2415131 0.1406429 22.6217215 0.5778925 14.2775051 0.5631123 0.6624622 8.2856706 9.9056526 33.9739382 17. 5607692 0.1600797 9% 1.8651768 49.1485278 0.2183546 0.3237991 14.8099780 10.5684689 0.3270315 18.8449632 30.7604767 8.9345794 1.8513692 9.7861090 8.1791350 0.1674678 0.7986418 14.1785258 0.9856475 9.2922041 18.5754157 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 31.2526241 8.4171914 6.4388475 39.2260085 18.5770970 3.7100814 7.9426863 8.6730120 3.1766708 63.3254814 8.0600000 0.1059400 79.4558211 21.0612405 11.4061643 13.0756921 5.2309748 0.3467547 0.4353316 8.9827692 16.1667988 10% 1.1339394 13.7122490 10.4528837 34.8932956 66.1845975 0.4150241 15.1284339 4% 1.2105341 13.3741098 0.8181474 10.5660176 9.1563827 63.7647592 73.5680793 28.5052144 41.4622103 12.2952281 0.0057392 53.3483738 10.9433962 1.7192518 38.7327449 7.9675830 52.0300000 0.0800000 0.1058953 10.0200000 0.1079140 9.5459505 4.8838833 3.6580482 18.1406901 6% 1.2820118 0.6004414 11.5226108 0.2570925 0.2007437 10.0500000 0.3465293 94.4518223 5.9540040 9.8276035 11.0196922 7.2637975 0.1920724 0.5761905 0.1001974 4.5454369 0.1470222 7% 1.2690271 0.8377696 11.3443238 37.6349553 9.8492635 11.5797072 5.1656689 12.0291600 14.6220799 15.0939446 14.9708738 1.8645120 59.0900000 0.8981273 15.6709057 35.9867090 12.1740148 0.1534865 8% 1.6397983 79.6747762 10.6178886 39.6784620 16.5281116 73.6228797 5.6592970 13.3751853 14.6011431 6.6603793 20.8080182 2.4699212 11.3935730 12.7068978 21.5777093 14.8211527 13.6298952 4.2920333 10.6976909 87.0302997 33.5378049 0.8568417 15.9369166 16.5622513 16.9958277 50.9703951 2.1337401 13.1855532 0.9173243 5.4218625 32.2302830 7.6243160 3.0657853 25.1610359 0.3950548 0.7952037 23.5256315 30.1736405 Matemática 74 A Opção Certa Para a Sua Realização .3576507 9.2121584 0.5594787 8.6430336 14.3850738 8.4885739 13.5503575 12.2431995 29.3982686 17.6764857 30.2246271 0.7833562 13.9019656 4.8257787 11.9139256 19.0842144 49.8650525 14.1581165 11.2949839 9.1424564 0.7281945 7.9355421 17.6895869 12.3796580 13.8768424 18.4838232 80.2776471 12.3064142 10.1725484 0.3514333 17.3724510 TABELA 9— AMORT IZAÇÃO Valores de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1% 1.9615385 1.2885915 0.4090412 8% 0.5152323 7.66~0632 16.3121268 3.2812724 21.0415817 12.1584060 11.3880335 0.3710590 10.2504565 0.0031662 13.1906744 0.6535832 11.5631229 9.3019208 0.3117446 47.1545120 0.6035992 9.1365098 0.9309225 45.5075124 0.4511153 14.1874440 0.4592643 38.3676283 11.7170984 4.7848915 257833172 27:2989835 28.1884546 19.5530423 40.3400221 0.2097958 0.8016923 7.0100000 0.4025828 62.5596076 24.9659362 113.1078217 7.8286114 3.3892894 5.4713045 10.6764704 74.1630026 13.1486283 0.8077082 2% 0.1306903 0.7057657 68.9037759 8.5367803 32.5360780 7.0231557 22.0853209 12.3672086 0.1728198 0.3154708 0.7922345 40.2562811 0.0590869 10.7217349 6% 0.9259259 1.0826041 41.7232480 3.1225154 3% 1.1371113 12.4651056 4.6516778 8.4264702 36.9692017 34.2490377 68.1216381 9.0400000 0.2468879 6.2960731 10.7134595 5.3227119 66.1290967 33.2438907 0.3507684 95.9734649 28.3872113 4.1547218 0.4436084 16.4131477 17.5530918 0.5150495 0.5823814 6.5302028 4% 0.0455530 18.5907210 13.2740663 11.6691265 58.2229198 0.9920313 15.8632516 11.1970175 0.3964556 12.2188502 47.4229214 55.3086687 0.1183874 10.3295858 16.5903263 14.5234565 20.6522956 12.2442370 8.7665397 5.3718871 9.3033790 12.2469631 15.9409852 3.7863734 6.8986409 12.5940143 10.8333927 2.0512103 38.7832648 2.3603485 0.1666096 0.1108958 5% 0.9803921 1.2832111 TABELA 8 — VALORES ATUAIS (RENDAS CERTAS) Valores de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1% 0.5301961 0.3838439 8.4986743 7.0037030 13.4693340 11.2479698 36.2433873 22.7535131 14.7954765 6.1410736 15.7640766 12.4503877 34.8355273 11.7641082 19.2373964 0.8534312 5.4021148 0.9415609 2.1622367 8.1134538 54.4772597 10.4607863 50.2097938 6.9351648 11.2421369 6.7750910 3.1605064 0.0700000 0.7632230 10.0168031 10.9662863 56.1389643 7.0020550 6.4361409 58.9134697 2.2626238 0.7178738 15. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 232391940 244715860 25>163018 26.5753412 9.3922903 46.1167404 2% 1.1000000 0.9523810 1.2296074 0.4304751 44.0510785 11.2163154 0.0849378 35.9927100 4.1986905 0.8594104 2.9379351 11.3388298 103.2577833j 9.9825850 3% 0.1062488 11.0581862 44.2550775 12.8077287 4.9837146 17.8526830 9.2918719 14.2060398 0.1210358 20.8774749 15.3294767 5.3535304 0.5611020 13.9544152 87.3810517 0.2721874 11.5019989 47.7868481 9.3355952 10.6459083 44.7648312 7% 0.1907619 0.2063701 5.2054055 0.0138423 9.8155774 54.0112092 17.5287583 10.7096335 42.9900990 1.0235815 7.8569831 19.3164431 25.7466389 6.8868746 8.8443847 22.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.2123638 4.4632128 7.4567552 60.4719911 7.9712985 6.8860947 2.1661185 53.9927267 43.2033626 0.1344930 5% 1.8208878 32.4466486 9.3600871 7.2754901 0.7270988 51. 6% .0387481 0.000.0554153 0.1469467 0.0% ao ano.000.0721238 0.0482931 0.0609821 0.83% no mês. 4.00 .00 no 2o ano e R$400.0964541 0. pelo prazo de 3 anos.0695643 0.90 Se desejo ter poupado R$10.8% am .1265218 0. O montante constituído ao fim de cada semestre sofreu as seguintes correções monetárias: 0.5% ao mês. Quanto pagarei a cada mês? Resposta: R = R$602.0821985 0. uma lucratividade sobre o Patrimônio Líquido de 6.0973364 0.8% e 1.0590474 0.0457784 0.00 .1043819 0. qual a quantia inicial que preciso depositar.68 12.00. C=? R$511.1095465 0.1314738 0.9% .1096294 0.1212969 0.00 a 3.0588799 0.97 10.0789933 0. qual o valor mensal que preciso depositar.500. 9.255.0988521 0.30 A inflação em um determinado país atingiu.0682919 0.0691988 0.1075849 0. n = 13 meses.1423775 0. n = 9 meses.88% . Resposta: S = R$11. i = 12.0627474 0.0488858 0.1018063 0.1058577 0.0671225 0.800.99 11.0446493 0.0779961 0.1558201 0. i = 15. qual a quantia mínima que você pode aceitar hoje para abrir mão de receber R$12. 2. caso seja mantida essa rentabilidade.0532932 0.1326950 0.0470735 0.0699698 0.0824148 0.0608139 0.2% .47% a.603.0%. Resposta: C = R$47. n=? 30 meses 21.98 20. em janeiro. 8.0% à vista e financiei o restante em 180 prestações mensais e consecutivas à taxa de 10.0530308 0.1007154 0.00 à taxa de 2.902.000.0886991 0. Comprei um imóvel por R$80. Resposta: i = 2.5% ao mês? Resposta: C = R$9.0508637 0.1143449 0.1024252 0. sabendo-se que ele sofreu as seguintes correções monetárias: 1.838.0640120 0.000. 7. calcular os valores mensais a serem alocados nessa rubrica.1174596 0.0858200 0.0398950 0. respectivamente: 1.10% ao ano. C=? R$14.07% . O banco propõe um único pagamento hoje a uma taxa de desconto de 7. Se essa taxa se repetir em todos os meses do ano.m.000. 1.0814487 0.0998323 0.0896185 0. 0.419.00 .0735796 0.1030226 0.1219302 0.35% também ao mês.0424455 0.0899411 0.000.1172305 0.8% .1156244 0.0802426 0.0566314 0.643.1112998 0.1018522 0.1055821 0.1170463 0.0997349 0.0611567 0. O capital de R$6.1467633 0. i = 7.22% e 0.0896209 0.0759525 0.0% ao mês no litro do produto.47% ao ano O preço atual de um bem é R$50.00 no 1o ano. C = R$750.0980557 0.1246641 0.1067021 0.1357462 0.1001437 0.1168295 0.0625674 0.0805864 0. 0.0769012 0.700. C = R$1.1113265 0.9 anos Uma indústria orçou em termos anuais uma despesa de R$120.1076166 0.8% .200. Resposta: R1 = R$ 7.0823919 0.1396507 0.67 18. R=? R$1. 1.7% ao mês? Resposta: R = R$1.0521147 0.47 23.00 em um ano.000.1358680 0.0882404 0.1407785 0. O preço de um bem em janeiro era R$500.0989521 0. Sabendo que o Matemática 75 A Opção Certa Para a Sua Realização .0672157 0. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.38% ao ano.1195469 0.0673091 0.1064558 0.. 60.0741368 0.0845610 0.1259020 0. S= ? R$10.0936788 0.1059050 0.0512204 0.0% ao mês.0726489 0.1129601 0. No fim de 10 meses qual será a quantia resgatada? Resposta: S = R$2.0850046 0.23 19.0574279 0.0660455 0. Deseja-se saber em quantos anos conseguirá recuperar. seu investimento próprio.99% .1240589 0.0827450 0. R = R$3.0994126 0.0724709 0.1091590 0. Calcule a taxa mensal equivalente a 36. 1. 25. 2.0745926 0.0454068 0.0782267 0.12 . R$300.60% a. sabendose que os juros são de 0. integralmente.0945596 0.0812785 0. 0.0545642 0.0 % am .1203889 0.1202999 0.0923565 0.0834257 0.00% a.00. Para isso.0650514 0.000.0943929 0.1295046 0.0888274 0. Apliquei hoje R$2.00 para aquisição de combustível.0648718 0.0888488 0. n = 6 meses .20 17.1060793 1.0587848 0. Se pretendo poupar R$20.0940295 0.00 em um ano.00.475.1074510 0.0496992 0.0% am .0580518 0.821.0904889 0. S = R$1.1335666 0.1539631 0.000.0778255 0.1101681 0.1284332 0. Calcular seu preço ao final de junho.1232909 0.0769044 0.800.1010240 0.0871890 0.0438689 0.0528711 0.462.0637818 0.00 .00 .1129769 0.0837666 0.0796790 0. 0.0855462 0. Deflacionar esse preço.0642581 0. para " n " = 1.a.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.1082576 0.00 daqui a 3 anos? Resposta: C = R$8.500.0761386 0.00 no 3o ano. 6.1067281 0.1128254 0.0600130 0.1196509 0.0946690 0.0922699 0.0904058 0.5% ao mês.0667021 0.1117304 0. Paguei 30.0858105 0.0830456 0.0679446 0.00 foi aplicado à taxa de 12. i = 6.1041276 0.0612385 0. 90 e 120 dias. Resposta: i = 35.1627454 0.00 .0578301 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 0.0% am .1278166 0.92 22.00 .1029628 0.a. sabendo-se que as correções monetárias mensais nesse período foram. Calcular as seguintes incógnitas: 16.1141490 0.0759705 0.5% a.0% . Quatro promissórias de R$3.30% .496.0% ao semestre.0510193 0. Qual o valor resgatado? Resposta: S = 12.0887139 0.839. Resposta: S = R$527.1140051 0.1021779 0.9967530 0.0727087 0. S = R$5.0914481 0.1400763 0.1097946 0. Resposta: C = R$10.0949780 0.0709525 0.0546681 0.0736501 0.0735818 0.0411244 0. Uma empresa contraiu um empréstimo de R$25.0871846 0.0925071 0.000. durante o mesmo prazo? Resposta: C = R$26. Supondo um consumo constante e um aumento de 4.1142123 0. capitalizada semestralmente.0963423 0. Determine a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 32. em média. S=? R$2. 3.0469897 0.0980321 0.986.0% am .7% ao mês produz os mesmos juros simples que R$52. sabendo que a rentabilidade é de 0. QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA I Qual a quantia que aplicada a 4. n = 7 meses .0826020 0.1333569 0.1192770 0.1004621 0.0954448 0.5% .1490295 0.000. sabendo que a rentabilidade é de 0. 13. Calcular o montante.1125718 0.812. n = 8 meses . de quanto será a inflação acumulada no período? Resposta: i = 1.000. Calcular o valor necessário para quitar as promissórias.1267929 0.00 têm de ser pagas em 30. faz depósitos mensais antecipados de R$200.1065522 0.07 15.9% e 1. Resposta: n = 11.0698139 0.05 Se o custo de oportunidade é de 14.0964222 0. C = R$9.19 Uma empresa constatou através de seus registros que vem obtendo.0559383 0.0922890 0.a.00 para pagar em 5 anos.0885263 0. 1.0756972 0. i = 10.20 14. R = R$1. 5.589. i = 4.1080775 0.0796109 0.26 Uma pessoa deseja constituir uma poupança em 3 anos.0712801 0.0% am .0655868 0. em dois pagamentos iguais.000. Sabendo que seus acionistas exigem rentabilidade anual de 15%. qual a taxa mensal de juros a ser praticada? Resposta: i = 5.00.000 durante 3 meses. é necessário para determinado negócio que seja estabelecida uma taxa pré-fixada.50% a. 31.00 de entrada. ou c.2%.000 rende em um ano e meio.94% ao ano O reajuste dos juros pelo Banco Central elevou o custo de captação do dinheiro para a sua empresa.000 e 1. 7. Qual a melhor opção de compra.000 fosse aplicado durante o mesmo tempo. 0.m. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. mais duas parcelas iguais.08% EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA II 1. à taxa de juros simples de 10% a.45% ao mês Qual o SPREAD de um banco que empresta dinheiro à taxa de 4.000 NDA Calcular os juros simples que um capital de $ 10. com capitalização mensal. em termos reais.45 Com uma prestação fixa de R$350.50%.COPOM fixou a Taxa Básica de Juros do Banco Central em 49% ao ano e que deseja um juro real de 2% ao mês nas suas operações financeiras. Para adquirí-la em 12 parcelas de R$100.06% ao mês Supondo que sua empresa empresta dinheiro.a.5%? Resposta: i = 9. 180 prestações mensais de R$780.864.00. durante 3 anos. quanto preciso depositar mensalmente? Resposta: R = R$589. 0. 35. renderia mais $ 600 que o primeiro. b.a. a juros simples de 5% a.9% a. 300. sem entrada.8% a.000 1.000.300. desprezando-se os demais custos? Resposta: i = 5.5% ao mês). Resposta: n = 220.000 e 1.0% ao mês. seja obtido o mesmo rendimento com juros simples.5% ao mês.1% a.m.m. em período de tempo igual.. 25.71 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 36. Resposta: C = R$131. c = 95. 33.a. + TR Supondo que a variação da TR corresponda a inflação e que seria razoável trabalhar com a média da previsão da TR pelos dois bancos.53% a.82% ao ano? Resposta: i = 1.34 Daqui a 15 meses pretendo comprar um veículo de R$18.97 . qual a prestação a ser paga? Resposta: R = R$605. considerando que seu custo de captação é de 45% ao ano? Resposta: i = 1. com uma entrada de 30%. 32.a. Os juros em $ serão de: 700 1. Considerando que a TR dos meses de janeiro a junho foi de 0.300.00. sabendo que o seu custo de oportunidade é de 4. considerando taxa de atratividade de 3% ao mês? a.42%. b = 96.5% a. Entretanto. Resposta: i = 9. Atualmente já possuo R$7.25% 38.29% e 0. um valor depositado em caderneta de poupança (juros de 0.s. líquida. 26.2% a.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Resposta: à vista.50% ao mês e capta em CDB a 17. sabendo-se que se um capital de $ 10.219. consideranto uma taxa de juros de 3. de uma loja que financia seus produtos ao consumidor à taxa de 80% ao ano.a.m. à taxa de 4. a) b) c) d) e) 2. Qual o valor à vista de um imóvel anunciado sob as seguintes condições de pagamento: 30% de entrada. para 4. a) b) c) d) e) 4.5% ao mês? Resposta: C = R$1. para que seja indiferente vender à vista ou a prazo. 0.a. se a inflação anual é de 8. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO juro cobrado é de 17. 6.a. qual a sua taxa bruta real. pois vpl de a = 90 .000 900.000 e 1.67 38. A taxa é de: 8.99 Uma televisão custa R$1. a) b) c) d) Matemática 76 A Opção Certa Para a Sua Realização . Qual a taxa da Poupança acumulada no semestre? Resposta: i = 5. O gerente financeiro consulta dois bancos a respeito das taxas praticadas: Banco A Banco B => Pré-fixada: 70% ao ano 65% ao ano => Pós-fixada: 3. 37. + TR 3. Qual a taxa mensal de juros. 27.00? Considere juros mensais de 1.000. à vista. Para que. considerando TR de 13% ao ano? (2 pontos) Resposta: i = 1.330.47% ao mês.33% a.000 1.500. e desconta seus cheques pós-datados à taxa de 4.00 e 10 balões semestrais de R$5. a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em: 20% 60% 40% 50% 70% Calcular o juro em $ e o montante em $ de uma aplicação de $ 1.9% ao mês. 28.000 e 330.m.0% a.00. 7. se aplicado à taxa de 6% a.00 .000 300. que empresta dinheiro. qual seria a taxa de atratividade pré-fixada pela empresa? Resposta: 57. 6. Qual a taxa de desconto a ser concedida na venda à vista de um produto que pode ser comprado a prazo com R$150. 45% ao ano.49 Calcular o prazo necessário para triplicar.00. com 10% de desconto. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de $ 4.33%. Considere que a loja tem um custo de oportunidade de 5% ao mês. Qual a taxa de desconto que uma loja deve oferecer nas suas vendas à vista. 34.5% ao mês? Resposta: i = 0.5% ao mês e suas vendas a prazo acontecem na modalidade "1 + 4 vezes" ? Resposta: i = 8. 39. 29.80% ao mês. 30. Mantendo este recurso e os depósitos mensais que pretendo fazer aplicados à taxa constante de 0. a) b) c) d) e) 3.200. qual a taxa de juros mensal que sua empresa deve praticar.25%.00% ao ano.69% ao mês Qual a taxa mensal mínima para aplicar em CDB que seria melhor do que a taxa da poupança. mais 4 parcelas mensais de R$150.41%. e sabendo que o Conselho de Política Monetária . em termos reais. a prazo.11% a.5% a.31% ao mês Uma empresa tem como taxa de atratividade.000. 0.600 600 24. cobrada do cliente.3 meses Se um banco trabalha com uma taxa de juros do cheque especial de 9. qual a quantia que posso financiar por 6 meses. Qual o SPREAD mensal de um banco que empresta dinheiro em Hot Money à taxa de 2. quanto precisarei dar de entrada? Resposta: C = R$261.900.m. 400 a saca. um total de $ 22.60 68. atinge. que vence daqui a 4 meses. saldou o segundo e observou que pagou.11% para um mesmo prazo total de aplicação.400.. Qual o capital que acrescido dos seus juros simples durante 3 meses resulta em $ 1. Um determinado capital produz um montante em 3 meses de $ 1.090.000.80. Se em 5 meses o capital de $ 250.a. na expectativa de alta de preço do produto.00 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Três meses mais tarde.000 525.000. o valor do terceiro capital será de: 30..000 rende $ 200 . renderam juros de $ 27.000 3. liquidou o empréstimo anterior e contraiu a nova dívida. Juntos.210 10. os juros ordinários são aproximadamente 1.000 1. Sendo assim. O Sr.6% a.300. qual foi o prazo do primeiro empréstimo ? a) b) c) d) e) 3 meses 6 meses 9 meses 12 meses 18 meses a) b) c) d) e) 9.a.4% superiores aos juros exatos.a.000 600.000 a saca.000. A aplicação de um capital é feita à taxa anual simples de 60%. 900 Duas pessoas fizeram aplicações em dinheiro na mesma data.050.360 e um montante em 5 meses de $ 1. a) b) c) d) e) 10.000 625. o segundo a 24% a.20 52. em 20 dias.000 a) b) c) d) e) 7. durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a. 14. Após quanto tempo os montantes das aplicações serão iguais? 48 meses 44 meses 38 meses 24 meses 18 meses Um produto é vendido por $ 600.000 de juros simples à taxa de 16% a.000 à taxa de juros simples de 15% ao ano.a. forçado pelas circunstâncias. a) b) b) c) d) 8.000 à taxa de juros simples de 25% ao ano e a outra aplicou $ 240.140 15. Dezoito meses após ter contraído o primeiro empréstimo.300.591.000 a) b) c) d) e) 6.000.000.1% a relação entre os juros totais obtidos pelos dois processos para um mesmo prazo de aplicação é: juros exatos / juros ordinários = 73 / 72 a taxa de juros diária exata é de 0. Algum tempo depois encontrou um amigo que poderia lhe emprestar $ 150.070 20.? a) b) c) d) e) 6 meses 7 meses 8 meses 9 meses 10 meses 15.880 após 30 dias.000 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $ 542.000 1.a.000 1.a.00 53. e que o terceiro é o triplo do segundo. durante 2 anos e 4 meses. 13. considerando o desconto racional simples a uma taxa de 36% a.000 2. recusa a oferta de vender este estoque por $ 3. um montante de: 51.a. vende o estoque por $ 2. utilizando o regime de capitalização simples. qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% a. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 5% a. Haddad obteve um empréstimo de $ 1.. Pode-se afirmar que. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal de $ 700. Sendo assim.a. a) b) c) d) e) 1. 12. segundo dois processos para o cálculo de taxa de juros diários e o volume de juros. Uma aplicou $ 192. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO e) 5.000 à taxa de juros simples de 12% a..600.00 51.240.m. durante 4 anos. 16. Um fazendeiro possui um estoque de 1.? a) b) c) d) e) 700. em juros. e que acrescido aos seus juros simples durante 5 meses resulta em 1.500. ? 10 anos 20 anos 40 anos 60 anos 80 anos Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25 % a.035 Um capital no valor de $ 50 aplicado a juros simples a uma taxa de 3.200 11. na data da venda da mercadoria.m. Qual a taxa simples aplicada sobre este capital ? Matemática 77 A Opção Certa Para a Sua Realização .CEF – MATEMÁTICA (TÉC.a.000 à taxa de juro simples de 11% a. Sabendo-se que o segundo capital é o dobro do primeiro. calcule o prejuízo real do fazendeiro em $.105 05.500 ? a) b) c) d) e) 300 500 800 1.000 500. Qual a taxa de juros simples mensal envolvida na operação? 5% 12% 15% 16% 20% Em quanto tempo triplicará um capital aplicado à taxa de juros simples de 5% a.000 sacas e. nesses dois processos utilizados (o primeiro usando juros comerciais e o segundo usando juros exatos): a) b) c) d) taxa de juros exata diária é de 11. 000: a) b) c) d) e) 5 dias após sua aplicação após 130 dias de aplicação em 15-mai-xx em 19-jan-xx 52 dias após a aplicação 27.876 37.190 25. 14% a.m. é de $ 11. Paulo obteve 31. que vence daqui a 2 meses.a. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de $ 20.80 700.420 22. a) b) c) d) e) 200% a. 220% a. Paulo obteve 19.m. Ambos obtiveram os mesmos rendimentos.000 20. sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado em 5 meses.018 32. será de: a) b) c) d) e) 24.192.000. o capital empregado foi de aproximadamente: a) b) c) d) e) 146.410 daqui a cinco anos 82.m.a.000 NDA 22.000 25. José obteve 31. à taxa de 18% a.000 750. Esse capital terá um montante de $ 2. 12% a. 20% a.000 a juros compostos durante um ano. José aplicou $ 500.000 524. Um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa composta de 26% a.388.000 foi de $ 12.m.000 a juros compostos durante um ano.000 de rendimento a mais Paulo.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.000 na data atual 150. Admitindo-se que a taxa nominal de desconto utilizada na operação seja 24% a. e eu deseje ganhar 36% a. com capitalização trimestral. 20% a. Sabendo-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 24% a. Um investidor aplicou $ 2. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos a) b) c) d) e) 748.22.000 no dia 06-jan-xx.698. qual seria seu valor nominal ? a) b) c) d) e) 18. o montante a ser pago no vencimento será de: a) b) c) d) e) 30.000 24. 25% a.m. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal $ 600.572 31.500. capitalizados trimestralmente. o valor que deverei pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses. Com referência à taxa de juros compostos de 10% a.a.a. Pode-se afirmar que: a) b) c) d) e) José obteve 19. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO a) b) c) d) e) 10% a. A uma taxa de Juros compostos de 10% a.a.798 202.000 576.880 24.895 28.. se o seu valor nominal for de $ 29.a. Paulo aplicou $ 450.195.000 de rendimento a mais Paulo. O valor atual racional de um título é igual à metade de seu valor nominal. 28% a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $ 18. 30% a. o valor nominal do titulo será de: a) b) c) d) e) 22. à taxa de 10% a.000.572 23. o prazo de antecipação foi de: a) b) c) d) e) 4 meses 5 meses 6 meses 7 meses 8 meses 21.907 NDA 20.000 daqui a dois anos 146. Nessas condições. Sendo 5% a taxa de juros mensal cobrada.612 146.5% a. Uma nota promissória com valor de $ 1. Utilizando-se desconto racional. com capitalização trimestral.m.a.19.a.000 para ser devolvido em 2 anos. Ao final de três anos retirou um montante de $ 331.? a) b) c) d) e) 600.. 19.m.925 146. a uma taxa composta de 22.000 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatada hoje.630 22.a.985 147.500 22..000 de rendimento a mais José. considerando o desconto comercial simples a uma taxa de 24% a.000 22. O desconto racional composto de um título de $ 50.000 feito daqui a um ano é equivalente financeiramente ao pagamento de: a) b) c) d) e) 89.a. capitalizados semestralmente.m..a.67.000 NDA 18.a.29.000 de rendimento a mais José.640 na data atual NDA 26..266. e o restante a 30% a.314.000 17.500 18.m. Calcular a taxa de desconto.000.000 500. que vence em três anos.a. pode-se dizer que o pagamento de $ 100. o valor do resgate é $: Matemática 78 A Opção Certa Para a Sua Realização .125 32. O valor do desconto real ou racional composto de uma nota promissória.563 729. do que do que do que do que 24.000 751.000 27. Um investidor depositou um quarto do seu capital à taxa de juros compostos de 24% a. 000 33..20.00 598..000 550. à taxa de juros compostos de 8% a.32 19.683 1.000 no inicio do primeiro ano.m.600 dois meses antes do vencimento.000 600.761. Um equipamento é vendido em 6 prestações mensais iguais de $ 6. obtenha o valor atual desse fluxo de caixa.000.24 6.309. O preço à vista de um equipamento é $ 250.? a) b) c) d) e) 903.331.340.22 05. Sabendo-se que a taxa de juros composto é de 3% a.500 615. NDA A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 35.081. 38.86 11. Se o vendedor opera com uma taxa de juros de 3% a. rendendo uma taxa de 1% ao dia.000.680.61 19.a. Sabendo-se que foi vendido em prestações mensais e iguais de $ 15.550 714.796.503. A uma taxa de 18% a.50% a. qual o preço à vista do equipamento? a) b) c) d) e) 32. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis.000.029. em uma operação de 3 meses.05% a. com capitalização diária.410 5.000. a empresa deve cobrar a taxa de juros anual de desconto comercial simples de: a) b) c) d) e) 38. vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês.607 1.000.65 599.000.000.m.146 35.a.33.140 5. se a taxa de juros compostas utilizada foi de 5% a.830.000 sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Nessas condições.036 cada. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de $ 20.546.000 cada um. Qual o valor nominal de um título.20 18. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 7% a. Qual o valor pago pelo resgate de um título no valor de $ 13.? a) b) c) d) e) 5 6 7 8 9 38.340. no fim do mês o montante será igual ao capital inicial aplicado mais $: a) b) c) d) e) 20.000.000 e o saldo financiado em 5 prestações mensais.656 1.. com a primeira prestação vencendo um mês após a compra.000 32.000.000.21 04.000.. O preço de um produto à vista é $ 106.a.a.000 500.000 a partir do fim do segundo ano. vencendo a primeira um mês após a compra. sendo a taxa composta de 3% a. Uma financeira deseja obter. Qual o montante final de uma série de 10 pagamentos mensais iguais a $ 100.800.17 18.65 34.938. qual o preço à vista dessa peça ? a) b) c) d) e) 424. e que a taxa de desconto cobrada é 5% a.779. iguais e consecutivas de $ 48.410 5..CEF – MATEMÁTICA (TÉC. inclusive. uma taxa de juros efetiva de 40% a.36% a. Qual será o montante final de uma aplicação de 5 pagamentos mensais de $ 1.203.850 800.146 36.000 900. sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 3% a.000 no fim do primeiro ano e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de 10.000. a) b) c) d) e) 24.940.m.000 36. Qual a taxa efetiva de juros compostos nesse financiamento? a) b) c) d) e) 3% 4% 5% 6% 7% 31.000. após o último pagamento? a) b) c) d) e) 5.982.671.503.000 NDA 37. sabendo-se que o desconto racional composto é de $ 126.291.m. no fim do primeiro ano.980. Uma peça é vendida em quatro prestações iguais de $ 150.000 42. 37.363.a.m.617.88 12.000 a vista ou em 8 prestações mensais e iguais a $ 161.000 1. Um equipamento é vendido por $ 1. sendo que a primeira parcela vence um mês após a compra. um desembolso de $ 20.65 600. Nessas condições.146 30.76 12. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 29.753.448.36 NDA 36.65 574.14. 36. qual o número de prestações.146 35.m.a.84 01..00 39. Um imóvel é vendido em quatro parcelas iguais a $ 150.? a) b) c) d) e) 1.645.m.291. Uma pessoa o comprou com uma entrada de $ 50.468.410 6.06% a. qual o valor à vista do imóvel ? a) b) c) d) e) 508.940.503.86 40. a taxa anual efetiva cobrada nesse financiamento foi de: Matemática 79 A Opção Certa Para a Sua Realização .m. com uma antecipação de 6 meses ? a) b) c) d) e) 428.000. 010. $ 670. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos a) b) c) d) 403.000 em 75 dias. 80. se a taxa de desconto simples racional vigente é 60% ao ano? a) b) c) d) 764.72% a. $ 600. deverá ser substituída por uma outra com dois pagamentos iguais: o primeiro à vista e o segundo em 120 dias. e $ 500.a.820. de desconto simples racional? a) b) c) d) 866.000 em 90 dias e $ 300. Qual o valor do título.320. 72.200 43.45% a.54% a. é equivalente a um outro capital.700 945.000 e de $ 700.560 1. O comerciante pretende saldar seus débitos por meio de dois pagamentos iguais. equivalente a $ 800.000.000 ao final de 60 dias.407.503 52.428 705.000.294 580.a.a. ao final de 90 dias.400 46.000 ao final de 120 dias. 151.000 em 60 dias.234 664.204 910.000.000 em 80 dias.025. de desconto simples comercial? a) b) c) d) 780.008. qual será o valor do novo pagamento? a) b) c) d) 1.000 1.000.105.500 44.580 802.250 905. O valor comercial de um título de $ 800. disponível em 40 dias. 61. 084.a.500 51. é equivalente ao capital de $ 800. Qual o valor do outro capital? a) b) c) d) 1.000 em 60 dias. ele somente poderá efetuar o pagamento ao final de 120 dias.000 com vencimento para 120 dias. disponível em 75 dias. e $ 230.a.000 à taxa de 75% ao ano. Um comerciante deveria efetuar os seguintes pagamentos: $ 400. ao final de 60 dias.a.a. disponível em 100 dias.380. vencível em 30 dias. Qual o valor de cada pagamento. com desconto simples comercial. capaz de substituir os seguintes pagamentos: $ 400.115 602.246 1.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. qual será o valor do novo titulo? a) b) c) d) 890.000 em 30 dias. Daqui a 30 dias o valor atual comercial do Matemática 80 A Opção Certa Para a Sua Realização .200 651.000 estará disponível? a) b) c) d) em 64 dias em 95 dias em 82 dias em 78 dias 47.200 780.240. se a taxa de desconto simples bancária é de 50% ao ano? a) b) c) d) 1.325 560. Quando o capital de $ 800.400 1. de desconto simples racional? a) b) c) d) 680.000 1.000 é hoje de $ 720. 48. 101. Qual a taxa de desconto simples racional vigente? a) b) c) d) 70.000.50% a. Qual o valor do capital disponível em 120 dias.125. A série de pagamentos: $ 300. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO a) b) c) d) e) 125. 096.240. vencível em 40 dias.720 42.500 391. se a taxa de desconto simples comercial vigente é 90% ao ano? a) b) c) d) 510.2% a. deve ser substituído por outro título. Um comerciante deve pagar.000 em 150 dias. o primeiro à vista e o segundo em 150 dias.a.580 45.400 868.000 em 120 dias. disponível em 60 dias à taxa de 50% a.a. à taxa de 80% a. Porém. equivalente a $ 840. Um título de $ 1.000 49.000 53.2% a.a.000 860.000 1.000.000 1. O capital de $ 700. Qual o valor do capital.3% a.580 746. com vencimento para 90 dias. à taxa de 60% ao ano de desconto simples comercial. disponível em 80 dias.1% a. com vencimentos respectivos em 90 e 360 dias. uma conta de $ 900. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 100% ao ano. Um capital de $ 900.836 520.000 50. Qual o valor do pagamento. capaz de substituir os seguintes pagamentos: $ 1.546 390. equivalente a $ 600.520.000 1.a.000 1. se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 180% ao ano? 54. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 85% ao ano. vencível em 45 dias. Qual o valor do capital.000.480.200 825. $ 600. Qual o valor de cada pagamento. à taxa de 80% a.a.800 701. Os capitais de $ 500.000. vencível em 30 dias.400 890. são equivalentes.8% a.000 em 90 dias e $ 200.000.000 845. 63. deseja resgatar a divida com um único pagamento no fim de 5 meses. atinge. vencíveis em 3 e 4 meses. Um capital no valor de $ 50.6% ao mês. Qual o valor nominal do titulo? a) b) c) d) 820. A uma taxa de 25% por período.a. obtenha o valor de resgate.5% ao mês de desconto composto.300. Um título de $ 900. a uma taxa de 15% ao semestre.400.000. rendendo uma taxa de 1% ao dia útil. $ 300.615% 19. a) b) c) d) 1. vencivel em 30 dias. 3 meses antes de seu vencimento. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis. Qual a taxa de desconto simples comercial? a) b) c) d) 40% a.500.m.0% a. 84. 64.573. mais uma quantia de $ 200 no fim do período (t+2).510 150.000.000 vencivel em 90 dias e $ 1.000 será efetuado por Intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais.000.000.520 61. uma quantia de $ 100 no fim do período (t).000 vencivel em 180 dias. O pagamento de um empréstimo no valor de $ 1.243 66.0% a.756 1. 89. 35% a. no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) b) c) d) e) 20.000. Calcular a taxa de desconto comercial simples aplicada.000. A uma taxa de juros composto de 10 % ao ano e considerando o desconto racional.000 e vencimento daqui a três anos.600.5% ao mês. no fim do período (t+1).00 748. Determinar o valor do título.a. Se o título tivesse sido descontado 9 dias antes.00 700. capaz de substituir $ 400.000 56.a.500.215 172.m.000 vencivel em 60 dias.5% ao mês. Em um título de valor nominal $ 6. a) b) c) d) 72. O valor da referida prestação será: Matemática 81 A Opção Certa Para a Sua Realização . Calcular o valor desse pagamento. o valor do desconto teria sido $ 250 maior.000% 60. em 20 dias. Uma nota promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 4.5 325. 60% a. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO mesmo título será de $ 760. sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo.0% a. aplicado a juros simples a uma taxa de 3.5% a.000 710.482.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.00 65. em US$: a) b) c) d) e) 751.000 690.50 65.50 94.500 1.2 52 53. qual o valor $ do desconto concedido? a) b) c) d) 180.00 729.400 63. são equivalentes.050 1. sofreu $ 90.174% 18. Uma aplicação é realizada no primeiro dia de um mês.391. à taxa de juros compostos de 6% ao mês.000 de desconto.a.328. A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos de juros de mercado for de 3. Quanto sofrerá de desconto um título de $ 700. Um título descontado por dentro à taxa simples de 90% a. 62. 7. qual deverá ser o prazo da antecipação? a) b) c) d) 8 meses 4 meses 5 meses 6 meses 55. 3. 52% a.73 61.311 101.314. Uma empresa devedora de dois títulos de $ 30.5% a. Calcular a taxa de desconto comercial simples abatida de um titulo cujo valor atual é igual a quatro quintos do seu valor nominal.459.324% 19.2 352. a) b) c) d) 75. 4.6 68 57.m.a.0% a.a. 90.000.a.000. empregando a taxa simples comercial de 1. com capitalização diária. a uma quantia de: a) b) c) d) e) 406. o desconto racional composto sofrido foi de $ 835. Se o desconto tivesse sido comercial seu valor seria $ 103. se for descontado a 5% ao mês de desconto racional composto? a) b) c) d) 95.0 58.0 285. Se a taxa 67.0 300.5% a.326 155. um montante de: a) b) c) d) e) 51 51. A antecipação do seu vencimento foi de 5 meses.196% 18. Um "comercial paper" com valor de face de US$ 1.00 59. deve ser resgatado hoje.a.6% a.542 90. Sendo o valor nominal da promissória $ 670.a.400 88.000 580.245.80 750.000. a) b) c) d) 8.000 foi descontado 45 dias antes de seu vencimento.m. foi reaplicado a 81% a.30 600.363. o valor do capital acumulado era de $ 1. inclusive. juros simples. quando o prazo de aplicação do maior for: a) 15% superior ao do menor 80.000 410. obtenha o valor atual desse fluxo de caixa.000 ao fim de um ano. A que taxa simples mensal deveria estar aplicada a quantia de $ 250.195? a) b) c) d) e) 185. e o restante a 9% ao trimestre.000 / 15. NDA 79.31306 1..142. cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento.a.940.568.000 / 9.48) 12..800 NDA 71.00 NDA 78.100 ? a) b) c) d) e) 25. 4 meses e 18 dias..400 210.715 ? a) b) c) d) e) 436.385074 12.4% NDA 69. é: a) b) c) d) e) 2 anos e 7 meses 1 ano.000 410. esses capitais produzirão juros simples iguais.22 05.86 76.000 / 8. e rendeu $ 259.200 de juros. a uma quantia de: a) b) c) d) e) 190.. juros simples. acrescido dos seus juros simples produzidos em 270 dias.a.000. 18.86 01.025805 12.80 NDA 72.m.6 240. Um título.70 122.5 196.184. a) b) c) d) e) 24.5% 15.000 / 6 1.784482 1.50 385.940.000.5% a. uma vez que o valor atual racional simples recebido foi de $ 192. será de $: a) b) c) d) e) 132.000 e outro de $ 250.340. sabendo-se que o primeiro o foi à taxa de 45. descontada "por fora" 3 meses e 10 dias antes Matemática 82 A Opção Certa Para a Sua Realização . um montante de $ 474. Um capital foi aplicado a 75% a. Calcular a taxa mensal a que esteve aplicado o segundo capital.500.000 / (12 x 1.m.000. A uma taxa simples de 30% ao período. Utilizando-se desconto simples racional.280 NDA 75.m. um de $ 400. e uma quantia de $ 160. O prazo de aplicação para que um capital. Dois capitais. acrescido de seus rendimentos. a) b) c) d) e) 480. Se o menor for aplicado a uma taxa 40% superior à do maior. a) b) c) d) e) 38.. após 5 meses.31306 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos b) c) d) e) 25% superior ao do menor 30% superior ao do menor 05% superior ao do menor igual ao do menor 68. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que. um desembolso de $ 20.400 340.000 / 2.200 a mais que o segundo.CEF – MATEMÁTICA (TÉC.21 04.86 11. e.2% 18.4% a. juros simples. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de $ 20. no fim do período (t+2).500 NDA 73.6% a.. quadruplique o seu valor. para obter um montante de $ 12.8% a. Ao final do nono mês de aplicação. Um investidor aplicou três oitavos do seu dinheiro a 2% a. mensalmente. e dez entradas liquidas anuais e consecutivas de $ 10.000 no fim do primeiro ano.4 NDA 70.m. são equivalentes. foi negociado à taxa de 23% a.000 / 2. e eu desejar ganhar 54% ao ano.a.000 458. 28. Calcular o seu capital. 4 meses e 25 dias 1 ano e 6 meses NDA 77.55 no fim do período (t+3).000 202.200. no fim do primeiro ano.000 para que acumulasse em um ano. nas mesmas condições.000 a partir do fim do segundo ano. sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito no fim do primeiro mês? a) b) c) d) e) 12.000 no início do primeiro ano.a. se eleva para $ 450.6 250.830. uma quantia de $ 50 no fim do período (t).000 / 12 74.5% a. Qual é o capital que.m. Qual o valor do capital aplicado? a) b) c) d) e) 540.2% a.6% 05.000 / (12 x 1. estiveram aplicados durante 3 anos.600 520. se o seu valor nominal for de $ 124. sabendo-se que após um ano recebeu $ 151. aplicado à taxa simples de 18% a.615..415. A uma taxa de 18% a. Quanto devo depositar.000 360.a. Dois capitais estão entre si assim como 5 está para 7.00 610.a. Qual era o valor nominal do título.753738 1.50 110.194. 03. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO a) b) c) d) e) 1. à taxa de 4. 7 meses e 25 dias 1 ano.601032) 12.38 142. o valor que deverei pagar por um titulo com vencimento daqui a 84 dias.000 / 3.125.m.000 252. 400.m.128. O montante produzido por um capital de $ 420. O valor atual de uma nota promissória é de $ 180.50 87.12.559.500 20.080 12. juros compostos. com vencimento em 06-set-xx.00 810. é de: a) b) c) d) e) 1. durante 3 anos e 8 meses.m.10 de juros compostos a 24% a.5% a.000 à taxa de juros compostos de 8% ao trimestre.956. O desconto comercial de um título. é de $: a) b) c) d) e) 850.600 18. pode-se afirmar que o valor de face desse título é de: a) b) c) d) e) 45.a.462. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês.5% ao mês. Se o desconto racional for de $ 7..000.34 93. O montante gerado por um capital de $ 160. caso esse título seja resgatado em 18-jul-xx.000 a 20% a.m.18 0.a. juros compostos.000 a juros compostos.35 76. capitalizados trimestralmente.998.00 945.055. Um título de $ 600.748.600 54.245.000 NDA A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos e) 2. Coloquei $ 780.400.850. 6.079.044.321. à taxa simples de 10% a. no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais $: a) b) c) d) e) 64. Considerando que o referido mês possui 19 dias úteis.58 86.99 é de: a) b) c) d) e) 3 anos 4 anos e meio 3 anos e 5 meses 5 anos 50 meses 84..0% a. Após 7 meses de aplicação a taxa de juros foi elevada para 8% a.a.000. Calcular o montante de uma aplicação de $ 540.432.712.500 Matemática 83 A Opção Certa Para a Sua Realização .715.000 48.70 83. Logo o meu dinheiro ficou aplicado durante: a) b) c) d) 3 anos 4 anos e meio 3 anos e 5 meses 5 anos 85.028.19 75.000.5% a.000 aplicados a juros compostos de 8% a.. capitalizados trimestralmente? a) b) c) d) e) 18 meses 20 meses 24 meses 26 meses 30 meses 82.542. sabendo-se que a antecipação foi de 2 meses e meio.a..200. rendendo uma taxa composta de 3% ao dia útil.50 1. e recebi $ 1.250. com juros compostos de 40% a.320.223.177 148. Calcular a taxa de desconto comercial simples de um título cujo valor atual é igual a sete oitavos de seu valor nominal.000 foi aplicado a 5% a. Durante quanto tempo $ 250. ao fim de 5 anos. será de $: a) b) 136. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO de seu vencimento. aplicados à taxa de 4. durante 2 anos e meio. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 30% a.745.945.652.032.020. 7.08 1.25 1.352. O prazo para que uma aplicação de $ 140.00 3. a) b) c) d) e) 24. a) b) c) d) e) 8 meses e 10 dias 4 meses e 26 dias 5 meses e 15 dias 7 meses e 05 dias NDA 88. a) b) c) d) 2.m. após 17 meses de aplicação. produziu o desconto de $ 4.00 92.m.70 1.000 foi resgatado antes do seu vencimento por $ 500.600. a) b) c) d) e) 5.35 68.19 72.m.78 81. NDA 90.125. excede o desconto racional em $ 9..000 tendo sido adotada a taxa de 20% a.a.000 produzem $ 148.500 então o prazo de antecipação será de: a) b) c) d) e) 40 dias 50 dias 75 dias 80 dias NDA 91.860. O capital de $ 340. desprezando-se os centavos. 4.40 1. capitalizado semestralmente em 2 anos e 2 meses.411.000 65. Nestas condições.82 3. o montante gerado por um capital de $ 90. Calcular o tempo de antecipação do resgate.m.168.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. com capitalização diária.000 NDA 89.00 906.506. sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 42% ao ano.512.420.84 1.5% a.090. Considerando-se a convenção linear.32 1.m.748.50 895. produza um montante de $ 561.460. será de $: a) b) c) d) e) 1.50 3.000 à taxa composta de 32% a.m. o valor do montante final. 48 105. de $ 85. Cláudio propôs o adiamento de sua divida.75 920.71 800.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. Qual é o preço à vista de um equipamento cujas 1+11 prestações mensais.5% ao mês. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 4 % a.000 78.540. mais duas parcelas semestrais de $ 200.125. Se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês.513.m.80 984. Uma loja vende uma mercadoria por $ 640.02 1.456.000 ? a) b) c) d) e) 785. O preço à vista de equipamento é de $ 500. A diferença entre os montantes calculados pela convenção linear e exponencial.300 101.000 após 7 meses. na ocasião do contrato? a) b) c) d) e) 1.000. a partir da aplicação de $ 600.5% 7.000 por 126 dias à taxa de 4% a.35 55.389. à taxa de juros compostos de 10% ao mês.5% 5.000 como entrada.a.00 915.00 1.30 96.425. Qual é o valor do financiamento. a juros compostos de 6% a. 6 meses após o 1º.632.970.39 902. A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Compre tudo e pague em 12 meses. propondo o seguinte esquema: $ 100.546.100.000.5% a. Nestas condições.19 69.35 890.340 175.000.000. O vendedor facilita a transação. Um equipamento está a venda por $ 2. o que somente será feito após 10 meses.000 daí a 2 meses e o saldo em 10 meses. pagando-o em 12 prestações mensais de $ 175. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? a) b) c) d) e) 3. nas seguintes condições: faria um pagamento de $ 60. Quando será o último pagamento? Matemática 84 A Opção Certa Para a Sua Realização . BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO c) d) e) 162.? (Considerar desconto racional) a) b) c) d) e) 99.00 110.25 81.356.000.238. se o financiamento foi feito à base de 8 % ao trimestre ? a) b) c) d) e) 16 20 15 18 22 197. qual o valor do saldo em $ ? a) b) c) d) e) 53.80 125. Para um título no valor nominal de $ 65.000 de entrada e $ 3. Uma letra de câmbio no valor nominal de $ 131.70 103. qual deverá ser o prazo da antecipação? a) b) c) d) e) 60 dias 45 dias 120 dias 70 dias 80 dias 102. Não dispondo de dinheiro no vencimento da primeira parcela.315.15 824.47 148.00 990. qual é o valor da prestação de um blusão de couro cujo preço à vista é de $ 1.5%.340 50.105.00 098.020. Uma empresa comprou um equipamento cujo preço à vista era de $ 1.000.000.500..m.0% 8.418.600.000 e o 2º.420 58.77 130.063. aproximadamente. de $: (Dado: 1.000 a 3% a.95.m. são de $ 110.35 120.40 100.000 tem carência de 4 meses e taxa mensal de 4.618.80 95.641. é.0% 98.148? a) b) c) d) e) 150. o valor da prestação mensal será de: a) b) c) d) e) 105.33 99.20 810. Um comprador propõe pagar $ 5.634. iguais e sucessivas.730 95. comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos: o 1º de $ 25.415.m.150 92.500 poderei quitar uma dívida de $ 1. se a taxa de juros compostos de mercado for de 4.100. Em quantas prestações trimestrais de $ 185.m. Cláudio contraiu uma divida. Qual foi o valor do resgate. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses.007875 a) b) c) d) e) 42. Se a taxa de financiamento é de 5% a.30. o desconto racional sofrido foi de $ 8.0% 9.04 x 45 = 19.385 104.m.25 142.35 850.20 103..600 98.100 158.000 à vista ou financia em 8 meses.078 62. quanto deverá dar de entrada.830.769 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento.350. ? a) b) c) d) e) 850.928.030 49.000. se a taxa de juros compostos de mercado foi de 10% a.000 como segunda parcela.82 70. Se a taxa de juros compostos de mercado for de 3.05.345 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos a) b) c) d) e) 5 meses após a parcela 1 6 meses após a parcela 2 1 ano após a entrada 8 meses após a parcela 2 18 meses após a parcela 1 94. Uma amortização constante de 15 parcelas mensais de $ 110. C 101.890. B 40. B 61.985. B 02. D 23. D 107.655.750 2. D 105.500 40. D 07. C 80.CEF – MATEMÁTICA (TÉC. B 62.105 2. E 05. B 11.972 2. E 82.480.00 aplicados à taxa de juros compostos de 10% a. A 36. C 08. A 99.000 de entrada mais 24 prestações mensais de $ 285. B 48. D 109. A 41. A 78. B 65. A 06. A 88. A Matemática 85 A Opção Certa Para a Sua Realização . A 69. D 47. D 72.10 ? a) b) c) d) e) 45.m. D 35. D 21. E 32.550. A 49.800 GABARITO 01. B 64.858. A 63.750. C 75. C 39.400 7. Um terreno foi vendido por $ 2. C 59. B 108. C 83.000 6. C 91. D 66. no final do 15º mês. a) b) c) d) e) 8.m. Quanto deverá ser a quota mensal de um depositante para que ele acumule. C 30. Um Banco oferece a seus clientes uma poupança programada com prazo de 2 anos.6% / 12)% a. E 28. iguais e consecutivos de $ 150. B 17. B 14. C 106.000. D 55.500.000 7. C 18.m. B 53. A 04.500 48. B 90. C 03. C 57. B 86. E 29. A 19. A 09.760. A 103. ao final do período. A 92. BANCÁRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPÇÃO 106. E 77. Qual o montante.000.650 2. A 71.6% a.920. D 81.200 2. C 93. E 74. C 104.500 50.141. C 44. D 15. A 96.? (26.400 2. A 84. B 98.280. B 22.345. C 97.000 35. C 89. C 68. B 95. à taxa de juros compostos de 5% a. D 76. D 42. B 79. E 20. A 60.945. se nestas operações for usual utilizar-se a Tabela Price com 26. D 16.? (aproximadamente) a) b) c) d) e) 2.000 2. um montante de $ 2. C 85. A 12.300 109.500 108. D 102. B 100.000. E 27.m.. D 87.680 A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 45. D 51. E 70. B 38.471 7.902.500. A 94. E 31.850 2. C 37. Qual é o preço à vista aproximado do terreno. A 43. A 52.900. B 34. D 56. à taxa de 10% a. E 33.a. A 46. B 58. C 73.790. B 13. sabendo-se que aplicação é feita na data de assinatura do contrato? (aproximado) a) b) c) d) e) 2. C 107. B 25. B 26. E 24. Qual será o capital acumulado de 8 parcelas mensais de $ 250. B 50. D 54. B 10. resultante da aplicação de 12 depósitos mensais. B 67.

CEF - MATEMÁTICA - 2 - 2012

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