UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMERICAINVESTIGACION OPERATIVA (ANEXOS) Docente: Ing. Nikolay Artieda Quito - Ecuador 2011 PROBLEMA #1 Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y - 1 0 ; 0 x 3 ; 0 y 2. ¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? PROBLEMA #2 Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto. b) Maximizar la función Z = 3x - 6y sujeta a las restricciones del recinto. PROBLEMA #3 Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y 8 ; x + y 4 ; x + 2y 6 a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. PROBLEMA #4 a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x + 2y 10 ; x + y 2 ;x 8; x 0; y 0 b) Hallar el máximo y el mínimo de F(x,y) = x - 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior. PROBLEMA #5 Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: x - 4y - 4 ; x + 2y - 4 0; x 0 ; y 0 Se pide: a) Dibujarlo y hallar sus vértices. b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x,y)= x + 2y . c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza. PROBLEMA #6 La compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry. determine él consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Cada televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. cuantos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? PROBLEMA #8 Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento. un televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. le paga 7 bolívares por impreso. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Aplicando el método gráfico. por cada impreso repartido y la empresa B. La empresa A le paga 5 Bs. en la que caben 100. Aderezo Ingredientes (Onzas/Bot) HB1 Curry Pimentón Disponibilidad (Onzas) 5 2 10000 HB2 3 3 8500 Demanda (Botellas) 1500 Ilimitada Precio de Venta por botella ($) 2750 1300 PROBLEMA #7 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0. a saber en gránulos y polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa. Utilizando el método gráfico. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. utilizando el Método Gráfico. PROBLEMA #9 SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV. Su ganancia es £4 por la bolsa para el cemento granulado y £3 por la bolsa para el cemento en polvo. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 día de la hora. mientras que para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares. en la que caben 120. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Debido a restricciones del proceso. con folletos más grandes. El problema de SONY es . y otra para los impresos B. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A. 5 para el trigo y US$ 6. Utilizando el Método Gráfico. según se indica: Mes Consumo m3 / Hcta Trigo Octubre Noviembre 900 1. El capital total disponible es de US$ 2.000 libras. PROBLEMA #10 Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio.25 US$/Km. PROBLEMA #11 Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones.500. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. En una semana debe transportar la empresa 400. la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el máximo beneficio. Dos procesos están disponibles. y 5 camiones de 30. ¿Utilizando el Método Gráfico. cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a 30 Bs/Km y el B a 40 Bs/Km? PROBLEMA #12 Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad 40.determinar utilizando el Método Gráfico. ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones descritas? PROBLEMA #13 La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. los precios vigentes por Tm son de US$ 4. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. En cambio si siembra cebada. también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre. su gasto es de US$ 40 por hectárea. Este perfume requiere de químicos y trabajo para su producción.0 para la cebada. Por otra parte.200 Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso.30 US$/Km y los pequeños de 0. Los camiones grandes tienen un costo de 0.000 libras. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo y 2 unidades de químico . Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada.900 115. Utilizando el método gráfico.000 libras en un recorrido de 800 millas.200 Consumo m3 / Hcta Cebada 650 850 Disponibilidad m3 57. Por cada unidad de A que elabora gana 80 Bs. se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.000.800. en energía (electricidad y gasoil). INTEL les ha asignado solamente 10.000 unidades de químico para este período de planificación. determine el volumen óptimo de la producción y venta del perfume. 1. A COMPAQ les gustaría saber cuántos de dichos productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer trimestre del 2003. y 50 Bs. en salarios y 1.. 1. por cada unidad de B. Hay varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la computadora portátil como la de escritorio: 1.000 onzas de perfume. Para estimular la demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una modelo famosa a quien se le pagará Bs. y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla: A Costo B 200 100 Costo energético 100 300 Utilizando el método gráfico. 50.000 unidades de trabajo y un máximo de 35. La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. hasta por un máximo de 25 horas.000 y cada unidad de químico le cuesta Bs. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1.000 Bs. Mientras toda sus líneas productivas incluyen una gran variedad de artículos de computación. Se tiene una disponibilidad máxima de 20. Como máximo. 60. Utilizando el método Gráfico.en 3 onzas de perfume. PROBLEMA #15 La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricación de su me zcla de productos. Cada onza de Versay se vende a Bs. solamente se considerará un problema más simple con sólo dos productos: las computadoras portátiles y las computadoras del escritorio. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y 3 unidades de químico en 5 onzas de perfume. Cada hora que la modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de Versay en 200 onzas. PROBLEMA #14 Cada mes una empresa puede gastar.000 Bs. Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL Bs.000 la hora. 1.500.000 unidades trimestrales. El costo salarial. . Debido a la escasez de estos productos en el mercado.Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador..500. El Plan A garantiza que por cada dólar invertido. esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3 minutos para una computadora de escritorio. El Plan B garantiza que por cada dólar invertido. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K). Por ello. hasta las otras preguntas. La memoria viene en 16MB por tarjeta. en qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K.70 al final de un año (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). donde se da el precio del paquete.000 minutos de tiempo de ensamblaje por fallas en una de sus máquinas? ¿Que ganancia se requiere para justificar la fabricación de una computadora portátil con 32 MB de RAM? PROBLEMA #16 Podemos comprar paquetes de abono A o B. se obtendrán $2. pero de interés para la Gerencia de la Empresa. 23 de P y 6 de N? PROBLEMA #17 Un ejecutivo de una empresa tiene $100. la perdida de 1. entre ellas. fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla. Marca K P N Precio A B 4 6 1 15 24 1 10 6 ¿Utilizando el método gráfico. menos obvias. Una computadora portátil requiere 16MB de memoria instalada (es decir.2. requiere 2 tarjetas RAM). costos de los materiales y sistema productivo. se obtendrán $0.Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Hay 25. aplicando el método Gráfico. Hay muchas preguntas que COMPAQ podría hacer. Tiene dos inversiones: A y B. Debido a las estrechas tolerancias para ensamblar una computadora portátil.000 minutos disponibles de tiempo de ensamblaje para el próximo trimestre Bajo las actuales condiciones del mercado. la venta de cada computadora portátil genera US$ 750 de ganancia y cada computadora de escritorio produce $1000 ganancia. COMPAQ dispone en inventario 15.000 para invertir. determinar la respuesta desde la más obvia que es ¿Cuántos computadoras de cada tipo debe fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para maximizar sus beneficios?. 3..000 tarjetas RAM para el próximo trimestre.. necesita 1 tarjeta RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 32MB (ó sea.Cada computadora requiere de memoria RAM. ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria RAM adicional? ¿Qué efecto tiene sobre la ganancia .00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede fraccionarse . Dada la diferente capacidad y calidad. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0. 6000 Bs.este lapso de tiempo). . el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 Bs. determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio. PROBLEMA #18 La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas. y el de cada uno de los pequeños. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones: La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La utilidad neta es la siguiente: 0. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. asesore al ejecutivo para obtener el mejor rendimiento por su dinero durante un período de tres años.20$ por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. cuantos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? PROBLEMA #20 A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No de be tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.2 libras. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. 12 Tm y 24 Tm de petróleo de calidad alta. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. se producen 10 kg. utilizando el método SIMPLEX: a) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas? b) ¿Y el más pobre en calorías? PROBLEMA #21 Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. y si sólo se produce B. La compañía tiene dos refinerías. ¿Utilizando el Método SIMPLEX. pero sólo de 9 conductores para ese día. 3 Tm y 4 Tm de calidades alta. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. se producen 15 kg. PROBLEMA #22 Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm. Utilizando el Método SIMPLEX. No debe incluir más de 100 g de A Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías. Y si se producen conjuntamente. La refinería A produce diariamente 1 Tm. Aplicando el método SIMPLEX. media y baja respectivamente. La producción total es tal que si sólo se produce A. determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's. PROBLEMA #19 Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión.15 por cada hamburguesa con queso. Aplicando el método SIMPLEX. la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. 1. 800 por kilo. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno. Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas. b) Utilizando el Método SIMPLEX. PROBLEMA #23 Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco contenga al menos 4 unidades de vitamina A.000. ¿Utilizando el Método SIMPLEX. 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. el gramo. y le cuesta a la tienda Bs. El expendio no desea que el contenido de grasa de un kilo de hamburguesa preparada sea superior al 25%.000 de Bs. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada.media y baja respectivamente. determine cuál será la solución óptima del empresario y el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades. 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre. PROBLEMA #25 Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos respectivamente. Para suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 100 Bs. 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 160 Bs. sin limitación. ¿Utilizando el método SIMPLEX. por gramo que contiene 1 unidad de vitamina A. y le cuesta Bs. El coste diario de cada una de las refinerías es de 20. por otra parte. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda para preparar un kilo de hamburguesas a fin de minimizar los costos?. 600 el kilo. La ley laboral. cuántos gramos de cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el costo? PROBLEMA #24 Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. a) Formule el problema en términos de programación lineal. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa. El empresario que espera maximizar sus beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre. . el cual contiene 4 unidades de vitamina A. Aplicando el métdo SIMPLEX. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa. 10 de B y 6 de C.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9 meses/hombre. cuántos días debe de trabajar cada refinería para que el costo sea mínimo?. La refinería B produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre. Utilizando el método SIMPLEX. determínar el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana. La primera salsa. La primera salsa le produce un beneficio de 40 Bolívares por jarra y la segunda 50 bolívares. hace en sus ratos domésticos libres dos tipos de salsa de tomate que vende en jarras de barro al supermercado de la zona. haciendo uso del programa de factibilidad. estando especializada en dos productos: Camisas con endurecimiento superficial mediante . PROBLEMA #26 Una ama de casa. Además.c) Formule el programa dual correspondiente y luego. determinar los precios a los que estaría dispuesta a pagar el tomate y el vinagre la ama de casa a otro comerciante de la economía informal. típico ejemplo de la economía informal. en dos grados. para minimizar sus costos. el mineral de cada una se separa. establezca la primera solución básica. Utilizando el método SIMPLEX. produzca como mínimo 3 jarras de salsa a la • Que le compre como máximo 24 kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la semana. Sabiendo que una botella de vinagre equivale a 16 tazas y que el supermercado monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región. si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo. El supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales (no sabemos con qué beneficio relativo) le impone a la ama de casa las siguientes condiciones: • Que semana. antes de embarcarse. La segunda requiere 5 Kg de tomates y 2 tazas de vinagre. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los siguientes: Mineral de Grado alto ton/día 4 6 1 Mineral de grado bajo Ton/día 4 4 6 Costo de operación miles/día 20 22 18 Mina I Mina II Mina III La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana.A. requiere utilizar 3 Kg de tomates y 4 tazas de vinagre por jarra de salsa. PROBLEMA #28 La empresa Batisa S. tiene contratos que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. fabrica camisas para ejes. PROBLEMA #27 La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz. d) Indicar justificadamente cual sería el punto optimo de producción. c) Justificar adecuadamente el valor del “coste de oportunidad” de las horas de mecanizado. Las 92 horas se reparten 32 en el departamento de mecanizado y 60 en el departamento de Acabado. Tanto el tratamiento térmico como el recubrimiento cerámico se realizan en el mismo departamento (Departamento de Acabado). productos de alta aceptación en el mercado por su alto rendimiento a la abrasión. b) Plantear y resolver el problema dual en función del resultado del problema Primal. Al ser necesario un mejor acabado superficial para recibir el tratamiento térmico. La plantilla de la empresa está compuesta por 4 personas que trabajan en conjunto 92 horas semanales. El acuerdo de suministro de material con nuestro proveedor garantiza el aprovisionamiento de 50 kg de material a la semana. Su línea de fabricación contempla tres productos : Lápices. PROBLEMA #29 La empresa Polipen S. destacando su división de útiles de escritura. . Bolígrafos y Plumas. tiene como objeto la fabricación de material de oficina. si el precio de las camisas tipo 1 subiera 50 € y el de las camisas tipo 2 bajara 5 €. Ambos productos se producen mediante el mecanizado de una aleación denominada Inconel. utilizando el programa SOLVER: a) Plantear y resolver el problema de Programación lineal que maximice el beneficio de la compañía.A. siendo necesarias 3 y 2 horas respectivamente. siendo necesario 1 kg de material para fabricar una camisa tipo 1 y 2 kg de aleación para las camisas tipo 2.tratamiento térmico (Camisa tipo 1) y camisas con recubrimiento cerámico (Camisa tipo 2).25 €) y que los precios de venta de las camisas tipo 1 y 2 es 3920 € y 3700 € respectivamente: Se pide. El coste de estas personas es de 400 € /hora siendo su contrato en función de la carga de trabajo pudiendo ser rescindido a discreción de la empresa Conociendo que el kg de Inconel cuesta 800 $ ( 1$=1. las camisas tipo 1 necesitan un tiempo de mecanizado de 4 horas por pieza mientras que las camisas tipo 2 se mecanizan en 2 horas. cuyos salarios son de 400 €/ hora y 450 €/hora respectivamente. bolígrafos y plumas es respectivamente de 506 €/unidad. Se ha llegado a un acuerdo con el comité de empresa para dotar de flexibilidad a la plantilla de forma que se permite contratar al personal de la línea de empaquetado en función de la carga de trabajo.Se quiere negociar el aumentar la capacidad de empaquetado hasta un máximo de 550 horas a la semana. Su coste es de 500 €/hora para un máximo de 200 horas de trabajo contratadas por semana. ¿Cuántas horas aumentaría? ¿Cuál sería el punto óptimo en ese caso? ¿Cuál sería el salario máximo que estaría dispuesto a negociar? 3.¿Cuál es el aumento de precio necesario para que merezca la pena invertir recursos en fabricar plumas? 4.. La tabla siguiente indica el número de minutos necesarios para ensamblar y empaquetar cada uno de los productos: Lápices Ensamblaje 300 Empaquetado 60 Bolígrafos 240 240 Plumas 120 180 El precio de venta de los lápices. El horario de la fábrica es de Lunes a Viernes de 8:30 a 13:30 por la mañana y de 15:00 a 18:00 por la tarde... 2010 €/unidad y 1505 €/unidad respectivamente 1.El esquema de fabricación se indica a continuación: La línea de ensamblaje está compuesta por 5 operarios a jornada completa y 15 operarios a media jornada.Plantear y resolver con el Programa SOLVER.. . el problema de Programación Lineal que optimice la producción de la compañía 2. Todo el personal de este departamento tiene un contrato de trabajo fijo.Indicar cual es la bajada de precios que se puede soportar en los lápices sin que varíe el punto óptimo. Los compromisos actuales a distribuidores exigen a la compañía producir 10. por lo menos. las especificaciones del producto requieren a lo siguiente: regular . y 10. 100 gramos de fibras. y a lo sumo 20% de Componente 3.000 galones están disponibles de Componente 2 con costo de $0. Proteínas y Minerales .30 por el galón. quiere determinar cómo mezclar los 3 componentes en los 2 productos de gasolina para alcanzar el máximo de ganancias.54 por el galón. La gasolina regular se vende a $0. Cinco mil galones están disponibles de Componente 1 cuyo costo es de $0. PROBLEMA #31 Una empresa proveedora de alimentos balanceados generadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con. 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. La empresa utilizando el programa SOLVER. La refinería fabrica los productos mezclando 3 componentes de petróleo. a lo sumo 40% de Componente 2.a lo sumo 30% de Componente 1. produce gasolina tipos regular y primera.PROBLEMA #30 La Refineria Isla C. y por lo menos 30% de Componente 3. la de primera .000 galones están disponibles de Componente 3 que cuesta $0. por lo menos 40% de Componente 2.25 por el galón. 10. Además.000 galones de gasolina regular por lo menos.42 por el galón. PRODUCTO 1 20% 60% 9% $10 2 30% 50% 8% $15 3 5% 38% 8% $8 Utilizando el programa SOLVER.A. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características: CONTENIDO DE: FIBRAS PROTEÍNAS MINERALES PRECIO POR KG.50 por el galón y la de primera se vende a $0.por lo menos 25% de Componente 1.. determine: a) ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ? b) ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3. DELL COMPUTER tiene la capacidad productiva y los componentes . El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas. su montaje y pintura. se muestra en la tabla anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. 15. puede vender todas las unidades que fabrica.PROBLEMA #32 La empresa MADERAS C. Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto) Producto 1 A B C D 10 6 5 2 Máquina 2 5 3 4 4 3 3 8 3 2 4 6 4 3 1 Demanda Máxima 100 400 500 150 PROBLEMA #34 DELL COMPUTER necesita satisfacer la demanda de computadoras portátiles de su Cliente Corporativo (PDVSA). la máxima utilidad que puede obtener la empresa.000 Disponibilidad mensual de HH Corte 1 2 2 3 200 Ensamblado 2 4 4 7 298 Pintura 4 4 0 5 148 PROBLEMA #33 Una Empresa metalmecánica.000 $ 10. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas. es un fabricante de muebles independiente. 10. Utilizando los datos indicados. DELL COMPUTER dispone en inventario de 5. Aplicando el método SOLVER de Excel.000 computadoras portátiles.A. B.. El costo de material es de $1 para cada kilogramo de los productos B. La producción da cada producto requiere emplear las cuatro máquinas. A. y 8.000.000 $ 25. el modelo B se puede vender sin pintar. MADERAS C. Requerimiento de Horas Hombre por mesa Modelo A B B sin pintar C Utilidad por mesa $ 17. aplicando SOLVER de Excel..500 $ 20. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. C y D. para los próximos cuatro trimestres. C y D se pueden vender a $8. respectivamente.000.000. puede fabricar cuatro productos diferentes (A. La demanda esperada de computadoras portátiles para cada uno de los trimestres es la siguiente. así como de sus Clientes del Sector Educativo (USM). C. $6. C. D) en cualquier combinación. Hace tres estilos diferentes de mesas. 7. Es más. B. $5 y $4 por kilogramo. determine la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa. B.000 respectivamente.A. Los productos A. 000. PROBLEMA #36 Un restaurante de autoservicio. Para este fin.000. 15 JUE. el número de empleados requeridos en un día particular se da como sigue: DIA No. Aplicando el método SOLVER de Excel. Siendo una institución de servicios integrales. así mismo. El banco tiene. DELL COMPUTER . a un costo unitario de $2000 por el computadora ensamblada.000 computadoras portátiles en cada trimestre.requeridos para fabricar 10. OBREROS LUN. se asigna un máximo de $12. una política que especifica que el porcentaje total de pagos irrecuperables no debe exceder el 4%. determine las condiciones para las cuales se optimizan las ganancias netas de la institución bancaria. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos. 18 11 De acuerdo a la norma laboral. debe otorgar préstamos a todos los tipos de clientes.500 computadoras portátiles trimestrales pero a un costo de $2200 cada una ó también pueden disponerse de computadoras fabricadas en un trimestre para satisfacer la demanda de otro trimestre . Cada computadora portátil en inventario genera un sobre costo de almacenamiento y despacho de $100 la unidad almacenada. Aplicando el programa SOLVER. TIPO DE PRÉSTAMO Personal Automóvil Casa Agrícola Comercial TASA DE INTERÉS 14% 13% 12% 12. 13 MIE. DOM. 2 PROBLEMA #35 Una institución bancaria se encuentra en proceso de formular su política de préstamos para el próximo mes. Usando horas extras de sobretiempo. está abierto los siete días de la semana. con dos días de descanso. la tasa de interés que cobra el banco y la cantidad porcentual de pagos no cubiertos estimado por experiencia. . Basado en la experiencia del pasado. repitiéndose este proceso para todos los obreros. indicar como puede DELL COMPUTER satisfacer la demanda de sus clientes al mínimo costo. pudiera fabricar adicionalmente hasta 2. La competencia con otras instituciones bancarias exige que cuando menos el 40% de la asignación de fondos sea para préstamos agrícolas y comerciales. 19 SAB. 16 VIE. manteniendo las mismas en inventario .5% 10% PORCENTAJE DE PAGOS NO CUBIERTOS 10% 7% 3% 5% 2% Se supone que los pagos no cubiertos son irrecuperables y por lo tanto no producen ingresos por concepto de interés. 14 MAR. cada obrero trabaja cinco días consecutivos. 000 900. el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente. un modelo de PL donde las variables de decisión sean las fracciones de cada proyecto que se debe llevar a cabo. A cada uno de estos proyectos se le pueden asignar fondos en cualquier nivel fraccional menor o igual al 100%.000 450. En la la tabla anexa.2)(9) + (0.Aplicando el programa SOLVER indicar como se puede minimizar el número de obreros requeridos por el restaurante? PROBLEMA #37 Una firma financiera tiene $500.8.5)(4) = 3. Por ejemplo. Supóngase que el riesgo es aditivo. La inversora sabe que existe un riesgo considerable asociado con la inversión en la bolsa X. ha determinado que no invertirá más de un cuarto de su inversión total en la bolsa X. También la cantidad total invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X. Por lo tanto.000 400. Proyectos de inversión Proyecto Monto de la inversión (US$) 550.000 550.000 Riesgo Centros Comerciales Aceite Edificios de Oficinas Viviendas para Bajos Ingresos 6 9 4 2 PROBLEMA #39 En la empresa PROLINEAL C.000 puede ser invertido en bonos del tipo Y.000 600.A. Los retornos netos anuales son: Bolsa X Bolsa Y Bonos X Bonos Y 20% 10% 9% 11% PROBLEMA #38 Una compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un presupuesto de inversión fijo de US$1.000 disponible para invertir y aplicando el programa SOLVER. Además.. la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de sus inversiones en las bolsas. en el lapso de un año. La compañía requiere de un rendimiento mínimo del 25% y desea minimizar el riesgo.500.000 500.000 Retorno estimado (US$) 700. busca determinar cuánto de esa cantidad debe ser invertida en cada una de las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X. el riesgo de asignar fondos para aceites al 20% y para edificio de oficinas al 50% será (0. se obtiene como máximo una . Elabore y resuelva utilizando el programa WINQSB.000. Un máximo de $105.000 puede ser invertido en bonos de tipo X y un máximo de $100. bonos X y bonos Y. bolsa Y. se muestran la inversión neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12. el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B. 10% de B y 0. lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto. En cambio. respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes. dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir. desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. resuelva el modelo de programación lineal para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos diarios a un costo mínimo. soya. le pide que. avena y alfalfa. el bien 3. PROBLEMA #41 Al gerente de cartera de un fondo de pensiones se le ha pedido invertir $1. para obtener una unidad de este bien. respectivamente.000. utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A. Nutriente Proteína (mg) Calcio (mg) Grasas (mg) Maíz 15 40 20 Soya 30 10 50 Avena 15 40 8 Alfalfa 7 45 25 Necesidades diarias Mínimo 50 mg Mínimo 150 mg Mínimo 25 mg Máximo 120 mg Calorías Costo por Libra ($) 850 70 1500 45 1200 40 4000 90 Mínimo 5000 calorías 2.5% de C. $1 y $3. Utilizando el programa WINQSB. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es. (por ejemplo. convendrá ofrecerlas en alquiler. que bajo las circunstancias. en cambio. El gerente técnico opina. El Departamento de Investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuales con estrategias . aplicando la herramienta WINQSB. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo. En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería. cuya información dietética se muestra en la Tabla anexa.producción de 200 unidades del mismo. PROTINAL está estudiando el uso de maíz. obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B. PROBLEMA #40 La empresa avicola PROTINAL. que requiere 2% de capacidad de A. en miligramo por libra de oleaginosa. no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C.000 en un gran fondo de pensiones. 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). que vende a sus estaciones de servicio a 120 y 140 Bs/litro respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la proporción 1:2.000 20. La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1. determine los fondos mutuales que maximicen el beneficio al final del período PROBLEMA #42 Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina. resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados. · · · Aplicando el método SOLVER de Excel.de inversión variables. como se resume en la tabla siguiente. normal y super. · La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre el 20% y el 30% de la cartera. Ambos tipos de gasolina se realizan mezclando combustible nacional y extranjero de sus almacenes y debe cumplir las siguientes especificaciones: Presión de Vapor Máxima NORMAL SUPER 23 23 88 93 Octanaje Mínimo Demanda Máxima Despachos Mínimos (Lts/semana) (Lts/semana) 100.2 debe estar en relación proporcional de 1:2.000 5.000 . FONDOS 3 15 Retorno (%) Categoría de riesgo 1 30 2 20 4 12 5 10 6 7 Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo La administración ha especificado las siguientes pautas: · La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre el 50% y el 75% de la cartera.000 50. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser de al menos el 5% de la cartera. $0. El precio por kilogramo de estos ingredientes es. calcio y grasa.20. Estos ingredientes contienen los siguientes nutrientes: vitaminas.Las características del combustible disponible en el almacén son: Presión de Vapor NACIONAL IMPORTADA 25 15 Octanaje Mínimo 86 98 Almacén (litros) 40. 10 tons de piedra caliza.6 y 8 tons métricas de los tres tipos de alimentos. 4 tons de soja y 5 tons de harina de pescado.12. Los contenidos de los nutrientes en cada kg de los ingredientes se resumen en la tabla: Nutriente Ingrediente Maíz Soja Harina de Pescado 8 10 4 Piedra caliza 6 Vitamina 10 5 12 8 Proteína Calcio 6 10 6 6 Grasa 8 6 6 9 El industrial es contratado para producir 10. Las unidades máximas y mínimas de nutrientes permitidas por kg de alimento se detallan en la siguiente tabla: .000 60.000 Costo (Bs/Lit) 80 150 Utilizando el Programa WINQSB.24 y $0. Debido a escasez. respectivamente. piedra caliza.12. $0. Esto se hace mezclando los siguientes ingredientes: maíz. determinar: ¿Qué cantidades de combustible nacional y extranjero deben mezclarse para producir las dos gasolinas y obtener los máximos beneficios semanales? NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de acuerdos a su porcentaje en la mezcla. $0. proteína. concretamente: 6 tons de maíz. PROBLEMA #43 Un industrial agrícola fabrica alimentos para vacas. una cantidad limitada de los ingredientes está disponoble. ovejas y pollos. soja y harina de pescado. 50 1 3 0.60 1 1 4 4 Costo de compra a Japón ($/metro) 6 6 7 A B 12 4. Como sólo se dispone de 40 hrs.500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11. 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Después de la producción.000 A. Para la siguiente semana. oveja Al. PROBLEMA #44 Una compañía produce tres tamaños de tubos: A. se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0. $4 y $4 por metro de los tubos A. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5.000 C 9 5. la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes. A Usted como Gerente del Departamento de producción. respectivamente en $10.45 0. que son vendidos. pollo 6 6 4 6 max PROTEÍNA min 6 6 6 max CALCIO min 7 6 6 max GRASA min 4 4 4 max 8 6 6 Utilizando el programa SOLVER determinar la composición del alimento que minimice su costo total. Formule el modelo de PL . requiere 1 kg de material de soldar.6 minutos. El costo total se estima en $3. cada metro de tubo. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. que totalizan 2000 metros de tubo A. $12 y $9 por metro.Nutriente VITAMINA PRODUCTO min Al. B y C respectivamente. sin importar el tipo. vaca Al. B y C. Cada metro del tubo B requiere de 0. la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A.000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción. Tabla 1: Datos referentes al problema: Tubo tipo Precio de Venta ($/metro) 10 Demanda (metros) 2. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1.000 Tiempo de Material Costo de para soldar Producción Máquina (min/metro) (kg/metro) ($/metro) 0. 1 0. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones técnicas para controlar las cantidades de azufre y fósforo en la gasolina: * Cada galón debe tener a lo más 0. 2.45 galón de producto final. cada galón de petróleo de Argentina da lugar a 0.35 galón de producto final.3 galón de producto final.0045 gr. mantequilla o queso.55 Indonesia 0.5 MANTEQUILLA QUESO . obtiene 4 tipos de petróleo crudo de sus reservas en Argentina. Norte de África. Utilizando el programa WINQSB. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final.0025 y 0.45 Aditivo A 0.07% de azufre.08 0.07 0. de fósforo. Desarrollar el modelo Matemático y resuelvalo por medio del programa WINQSB PROBLEMA #45 La empresa REPSOL-YPF.2 0. * La cantidad total de aditivos no puede exceder del 20% de la mezcla.06 0. PROBLEMA #46 La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada.08 Aditivo B 0.4 galón de producto final y cada galón de Oriente Medio da lugar a 0.47 África 0. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre y fósforo.5 1. según se muestra en la tabla adjunta: Argentina AZUFRE (%) FÓSFORO (%) COSTO (US$/galon) 0. cada galón de Norte de Africa da lugar a 0. 1.025 0. * Cada galón debe tener entre 0. Plantee un modelo de programación lineal que le permita determinar un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.15 Debido a los residuos e impurezas.020 0. resuelva el modelo planteado por Usted.33 Oriente 0.B. Indonesia y Oriente Medio. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: LECHE DESCREMADA MAQUINA #1 (min/galón) 0. cada galón de Indonesia da lugar a 0. 3 0.000 bolívares. utilizando el programa WINQSB. respectivamente. y por lo menos deben localizarse 50.2 0.500 bolívares por barril. formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada. utilizando el programa WINQSB.MAQUINA #2 (min/galón) GANANCIA NETA (US$/Galon) 0.22 0.500 bolívares y 3.000 $3.) periodico semanal periodico domingo Radio (30 sec.72 Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente.500 Maximo disponible 15 Expectativa de compra 65 TV-de dia (1 min. los precios de compra de los dos tipo de crudo son de 4. Los dos tipos de gasolina difieren en su indice de octano y en su contenido en azufre. cada una de ellas mezclando dos tipos de crudo (Liviano y Pesado). (30 sec.500 $400 25 40 2. respectivamente. Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisión. como Gerente del Departamento de Administración . ¿Dado los datos incluidos en la Tabla anexa. 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso.7 0.000 4 60 300 $100 30 20 PROBLEMA #48 La empresa Sunco Oil produce dos tipos de gasolina (NORMAL y SUPER).) TV-tarde. un máximo de $18. PROBLEMA #47 Considere un presupuesto de publicidad de $30.500 $1. También. determinar el plan de medios de comunicación de publicidad óptimo que aumentará al máximo las compras esperadas? Tipo de medio Familias Encuestadas 1.000 barriles de cada crudo diarios.000 para un nuevo producto ligeramente caro. Se pueden comprar hasta 5. Por su parte.000 Bolívares y 6. La mezcla .38 1.000 Costo Por aviso $1.000 compradores potenciales durante la campaña.000 10 90 1. Los precios de venta de cada barril de gasolina son 7.000 pueden gastarse los anuncios en la televisión.) 2. 1=100 barriles). determinar cuántas entrevista de cada tipo debe hacerse para minimizar los costos del estudio de mercado? . por lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños. aumenta la demanda de gasolina Super en 1000*0.5% Crudo PESADO: Octano=6 Azufre=2% La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 400 Bolívares. La mezcla que se obtiene para la gasolina NORMAL ha de tener un índice promedio de octano de por lo menos 8 y a lo sumo un 2% de azufre. La empresa debe dirigir 1. Los costes de la entrevista son $20 durante niño-día.000 barriles de la gasolina Normal y 2. Los índices de octano y el contenido en azufre de los dos tipos de crudo son Crudo LIVIANO: Octano=12 Azufre=0. 4. por lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños. Sin embargo. y larefinería de Sunco puede producir diariamente. Además. aumenta la demanda diaria de ese tipo de gasolina en 0. 2.000 de la gasolina Super. hasta 9. ¿Utilizando el programa WINQSB.1 barriles (si por ejemplo gasta 1000 pesetas en la gasolina Super. de modo que cadabolívar invertido en la publicidad de cada tipo de gasolina. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda mediante la publicidad.000 entrevistas bajo las pautas siguientes: 1. 3. 5. $25 por niño-tarde. por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la tarde. Los clientes de Sunco actualmente demandan 3. Formular el problema de programación lineal que permita a Sunco maximizar sus ganancias diarias y resolver el mismo aplicando el programa WINQSB.A. el número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el número total de entrevistas del día.del petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina SUPER ha de tener un índice de octano promedio de al menos 10 y a lo sumo un 1% de azufre. $18 durante ningún niño-día. las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de trabajo de la casa.000 barriles de gasolina. y $20 durante ningún niño-tarde. PROBLEMA #49 Knoxville Survey S. se ha contratado para dirigir la puerta-apuerta las entrevistas personales para obtener la información de ambas casas con y sin niños para un estudio de mercado. por lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la tarde. \\\\\\\\\\\\\\\\ .