Carlo Cellucci La Filosofia Della Matematica Del Novecento

Carlo CellucciLa filosofia della matematica del Novecento I matematici hanno altrettanto bisogno di essere filosofi quanto i filosofi di essere matematici. Leibniz 1965, I, p. 356. Premessa Questo libro non è una storia della filosofia della matematica, ma un esame filosofico delle concezioni della matematica del Novecento, e ne offre un bilancio. Il cap. I discute il punto di vista prevalente sulla filosofia della matematica. Il cap. II esamina le tre più importanti scuole di filosofia della matematica della prima metà del Novecento – logicismo, formalismo e intuizionismo – limitatamente ai fondatori, Frege, Hilbert e Brouwer, perché il contributo dei loro continuatori è filosoficamente minore. Viene tralasciato anche Wittgenstein, perché le sue frammentarie e anche incoerenti osservazioni sui fondamenti della matematica non configurano una compiuta concezione della matematica. Il cap. III esamina le più significative scuole di filosofia della matematica della seconda metà del Novecento – neologicismo, platonismo, implicazionismo, strutturalismo, finzionalismo, internalismo, costruttivismo, congetturalismo, empirismo e cognitivismo. Il cap. IV delinea alcuni caratteri che la filosofia della matematica dovrebbe avere per evitare i difetti delle scuole di filosofia della matematica del Novecento. Il cap. V espone i teoremi di incompletezza di Gödel ed altri risultati limitativi. Essi vengono trattati in un capitolo a parte per separare gli aspetti tecnici da quelli filosofici, ma lo studio di questo capitolo è essenziale per la comprensione degli altri capitoli del libro. I rimandi interni sono indicati tra parentesi quadre. Per esempio, [V.4.2.] rimanda al par. 4.2 del cap. V. 3 dal 1884 è stata un grande argomento. L’ortodossia prevalente 1. è che per essa la filosofia della matematica è nata con la pubblicazione delle Grundlagen der Arithmetik di Frege. Per esempio. Questo atteggiamento critico deriva dal fatto che molti matematici ritengono che la filosofia della matematica si occupi di questioni irrilevanti per l’impresa reale del fare matematica.I Filosofia e matematica 1. p. che sembrano non fare alcuna differenza per l’impresa reale.1. Gowers afferma: «Supponiamo che domani venga pubblicato un articolo che dia un argomento nuovo e molto convincente per una certa posizione di filosofia della matematica».2. Quale effetto avrebbe sulla matematica? Io affermo che non ne avrebbe quasi nessuno. e che esso «faccia sì che molti filosofi abbandonino le loro vecchie credenze e abbraccino un -ismo completamente nuovo. Ma questa opinione contrasta con l’atteggiamento critico di molti matematici nei suoi confronti. questo sviluppo passerebbe virtualmente inosservato»1. Kenny afferma che «la misura della grandezza di Frege come filosofo della matematica sta nel fatto che la sua opera rese 1 2 Gowers 2006. Filosofia della matematica contro tradizione filosofica La ragione per cui. 1. 4 . di nuovo Gowers afferma: «Le questioni considerate fondamentali dai filosofi sono questioni strane. interna del fare matematica»2. Matematica contro filosofia della matematica La filosofia della matematica è un argomento antico e. Per esempio. secondo l’ortodossia prevalente. 198. Per esempio. Ibid. esterne. la filosofia della matematica dal 1884 è stata un grande argomento. secondo l’ortodossia prevalente. 5 Dummett 1981. Hobbes. Leibniz. secondo l’ortodossia prevalente. 2. Aristotele. La nuova filosofia «è scritta da persone a cui i principi basilari della rappresentazione delle proposizioni nella forma quantificazionale che è il linguaggio della logica matematica sono familiari quanto l’alfabeto»8. La nuova filosofia si fonda su quell’analisi «della struttura generale dei nostri pensieri» che «sta alla base della logica matematica moderna e che fu iniziata da Frege»6. la filosofia della matematica è stata sviluppata come una disciplina autonoma. È vero che. 8 Ivi. 2. 7 Ibid. e che Frege è stato «il primo filosofo della matematica a tempo pieno»9.completamente antiquato tutto quanto era stato scritto prima»3. 2-3. Perciò «chiedere quanto la logica matematica abbia contribuito alla filosofia è porre la domanda sbagliata»7. almeno alcuni di essi. p. 141. Kant. Pascal. Frege ha prodotto una rivoluzione in filosofia che ha cambiato l’aspetto della disciplina. Ibid. 211. Ma questo non significa che 3 4 Kenny 1995. 9 Hersh 1997. Innanzitutto. Hume. p. basandosi sulla logica matematica da lui creata come strumento della filosofia della matematica. però. a partire da Frege. affermare che la filosofia della matematica è nata con Frege è ingiustificato. essi appartengono alla preistoria della filosofia della matematica. appaiono scarsamente fondate. tanto che «oggi nessuno può prendere sul serio l’opera neppure dei più grandi autori precedenti sull’argomento»4. Addirittura. Berkeley. Anche se altri autori prima di Frege hanno considerato la matematica da un punto di vista filosofico. 5 . Limiti dell’ortodossia prevalente 2. Dummett afferma che Frege «ha realizzato una rivoluzione» in filosofia perché ha fatto del suo approccio alla filosofia «il punto di partenza per l’intera disciplina»5. Proclo. Locke. per non menzionarne che alcuni – non appartengono alla preistoria della filosofia della matematica ma.1. Mill. Per esempio. Platone. 6 Dummett 1991a. p. pp. I numerosi filosofi che che si sono occupati della natura della matematica prima di Frege – i Pitagorici. Limiti dell’autonomia della filosofia della matematica Queste tesi dell’ortodossia prevalente. pp. Descartes. Bolzano. 665-666. sono pietre miliari nella sua storia. essere un filosofo della matematica a tempo pieno significa avere una visione unilaterale ed impoverita della matematica. e alla fine si è rivelato inaccettabile. né che essere un filosofo della matematica a tempo pieno sia una buona cosa. 2. Questo non significa che Frege. mente. perché quale matematica facciamo dipende essenzialmente da quale apparato percettivo. Hilbert e Brouwer non abbiano aggiunto nulla di nuovo alla tradizione filosofica. 293.sviluppare la filosofia della matematica come una disciplina autonoma sia una buona idea. Tale affermazione intende essere polemica verso la tradizione filosofica precedente. il contributo di Frege alla filosofia è stato abbastanza modesto. ecc. In realtà. Ma si tratta di un’assunzione ingiustificata. p. perché le principali idee filosofiche di Frege sulla matematica furono da lui mutuate dalla tradizione filosofica. lungi dall’aver dato origine ad un nuovo tipo di filosofia che ha cambiato l’aspetto della disciplina. Limiti della polemica contro la tradizione filosofica È anche ingiustificato affermare che. la mente.2. Inoltre. Frege ha prodotto una rivoluzione in filosofia che ha cambiato l’aspetto della disciplina. 10 Frege 1969. Anch’essi mutuarono le loro principali idee sulla matematica dalla tradizione filosofica. Lo stesso vale per Hilbert e per Brouwer che. ecc. non filosofica. abbiamo.. sono gli zii della filosofia della matematica.. secondo l’ortodossia prevalente. Frege dice che «un filosofo che non abbia alcuna familiarità con la geometria è solo un filosofo dimezzato»10. Ma si tratta di una polemica ingiustificata. Pensare che si possa sviluppare la filosofia della matematica come una disciplina autonoma si basa sull’assunzione che la natura della matematica possa essere indagata senza impegnarsi in questioni concernenti la percezione. 6 . così come Frege ne è il padre. Ma ciò che vi hanno aggiunto è essenzialmente di natura tecnica. Ma nello stesso modo si può dire che un filosofo della matematica a tempo pieno è solo un filosofo dimezzato. basandosi sulla logica matematica da lui creata come strumento della filosofia della matematica. frazionari e complessi»5. Per porre rimedio a questa situazione non basta «una pura e semplice persuasione morale. Si deve perciò chiarire il concetto di numero. È necessaria. ha rivelato la loro vera natura»4. 3 Ibid. «chiamando le verità della geometria sintetiche e a priori. p. invece. riuscirà ben più difficile spiegare con perfetta chiarezza i numeri negativi. 4 . per l’aritmetica. L’aritmetica «è una branca della logica». il compito della filosofia della matematica è indagare il fondamento della certezza della matematica. II. Le motivazioni di Frege Secondo Frege (1848-1925). Frege 1. il fondamento della certezza dell’aritmetica è la logica.2. 4 Ivi. perciò «non ha bisogno di 1 2 Frege 1961. 5 Ivi. fondata sul gran numero di applicazioni riuscite»3. «se non si è fatta completa luce sul fondamento stesso dell’edificio aritmetico. a cominciare da quello di numero naturale perché. 1. perché il suo fondamento è stato definitivamente chiarito da Kant che. 1. pp. La necessità di una tale indagine deriva dal fatto che la matematica si è «allontanata per qualche tempo dal rigore euclideo»1. La mancanza di rigore si accentuò con la scoperta dell’analisi matematica.1. p. contro ogni tentativo di esporre l’analisi in forma rigorosa»2. Occorre un’indagine sui fondamenti della matematica Un’indagine del genere non è necessaria per la geometria. sul cui fondamento Kant si è sbagliato.II La filosofia della matematica di ieri 1. Ibid. Il programma di Frege Secondo Frege. 101-102. quasi insormontabili. nella quale «parvero elevarsi difficoltà gravi. 3. per mostrare che le verità aritmetiche sono verità logiche. Per Kant una proposizione è analitica se e solo se in essa «il predicato B appartiene al soggetto A come qualcosa che è contenuto (occultamente) in tale concetto A». 104. al concetto del soggetto. 6. una proposizione è analitica se e solo se è deducibile da un insieme finito di verità primitive logiche. Quindi «non esiste un modo di inferenza peculiarmente aritmetico che non possa essere ridotto ai modi di inferenza generali della logica»12. p.prendere alcun fondamento della dimostrazione né dall’esperienza né dall’intuizione»6. cioè quella capacità di ragionare che ogni essere umano possiede. Quindi. p. p. 33 (B 10-11). per analisi. Frege 1961. Frege usa il termine ‘analitico’ in un senso diverso da di Kant. Dunque. essendo «in conflitto col requisito della ragione di una completa perspicuità dei primi fondamenti»10. Nel dire che le verità aritmetiche sono analitiche. mediante il predicato. p. 11 Frege 1990. una proposizione è analitica se e solo se può essere dimostrata a partire da «verità primitive» logiche facendo «uso solo di leggi logiche generali e di definizioni»9. 12 Ivi. p. In definitiva. limitandosi a dividere. è analitica se e solo se può essere dedotta da verità primitive logiche. Per Frege. le verità aritmetiche sono verità logiche in quanto sono deducibili da un insieme finito di verità primitive logiche. 1. perciò. 4. 8 Kant 1900–. III. 10 Ivi. quindi se e solo se non aggiunge «nulla. si potrebbe affermare che «non si può tracciare alcun confine netto tra la logica e l’aritmetica» ma esse «insieme costituiscono una scienza unificata»11. occorre mostrare che esse sono deducibili da un insieme finito di verità primitive logiche. Quindi sono verità logiche. I. p. Se esso fosse realizzabile. Questo è il ‘programma logicista’ di Frege. 1. 9 Frege 1961. Queste devono essere in numero finito. 103. il concetto» del soggetto «nei suoi concetti parziali. invece. La concezione della logica di Frege Ma che cos’è la logica per Frege? Non è la logica naturale. che erano già stati pensati in esso (sebbene confusamente)»8. Pertanto. perché questa 6 7 Frege 1962. perché «questa ipotesi di infinite verità primitive indimostrabili» è «incongrua e paradossale». 5 . p. 118. Le «verità aritmetiche sono analitiche»7. . È invece la scienza del pensiero. 1 (= vero) e 0 (= falso). 1) Da Kant... ma 13 Frege 1969. F (a1 . Quanto alle verità logiche primitive. an .. La principale innovazione è che egli tratta un concetto come una funzione unaria F ( x ) a due valori. Frege tratta una relazione n-aria come una funzione n-aria F ( x1 . Perciò la logica si occupa delle leggi dell’esser vero – non dell’esser vero in ambiti particolari. tale che. 1. ci dice come dobbiamo pensare se non vogliamo contravvenire alla verità.. infatti. la Begriffsschrift pubblicata nel 1879 – innova rispetto alla tradizione logica precedente. 158... o la logica della ragione comune (sensus communis).. che è oggetto delle singole scienze. an ) = 1 se a1 . ma delle leggi più generali dell’esser vero. ma di come arriviamo a giustificare verità già trovate. inferendole da altre verità che stanno a fondamento.. aveva detto che «la logica naturale.. an stanno in quella relazione... ma è normativa.. per ogni a. Il debito di Frege verso Kant e Leibniz Nel formulare il suo programma. Così egli supera le difficoltà della tradizione logica precedente nel trattare le relazioni.. Non essendo descrittiva. non è propriamente una logica. inteso non come un processo della mente ma come ciò che trova espressione in una proposizione. F ( a ) = 0 altrimenti.. Per esempio. F ( a ) = 0 altrimenti. F ( a ) = 1 se a cade sotto quel concetto. tranne due che egli mutua da Leibniz. Più in generale. la logica non si occupa di come arriviamo a scoprire nuove verità nelle singole scienze. cioè le verità che stanno a fondamento... F (a1 . per ogni a1 . p. cioè a dar loro il più solido fondamento.4. an ) = 0 altrimenti. il concetto di uomo è la funzione unaria F ( x ) tale che per ogni a. Kant. esse non possono essere giustificate dalla logica ma ci sono date dall’intuizione intellettuale. Nel trattare la logica Frege – nella sua prima opera. non descrive come di fatto pensiamo. 6 . Frege mutua l’idea che la logica non è la logica naturale. perché «ciò che è naturale per l’uno può essere innaturale per l’altro»13. xn ) tale che...non è propriamente una logica dal momento che ciò che è naturale per l’uno può non esserlo per l’altro. Inoltre essa non è descrittiva. Frege mutua le sue principali idee sulla logica e sulla matematica da Kant. Perciò la logica è strettamente legata al linguaggio.. F ( a ) = 1 se a cade sotto il concetto di uomo. la quale non è propriamente una logica. Solo «la logica artificiale o scientifica merita questo nome quale scienza delle regole necessarie e universali del pensiero. 4. 23 Frege 1969. Ivi. p. aveva detto che la logica è «la scienza che si occupa del pensiero in generale. pp. p. I. Kant. p. p. Pensieri sono. IX. la quale perciò non ha assolutamente alcuna influenza sul canone dell’intelletto»20. perché è necessaria una proposizione per la quale si può indicare «l’esistenza di giudizi universali da cui la proposizione può essere dedotta»18. 13. 7 . i fatti storici: tutti quanti trovano espressione negli enunciati assertori»23. p. mentre «in logica non si tratta di regole contingenti ma necessarie»21. 17. Altrimenti queste sarebbero puramente contingenti. XXIX. 20 Kant 1900–. 17. Kant. IX.una scienza antropologica che ha solo principi empirici»14. 22 Ivi. Frege mutua l’idea che la logica è la scienza del pensiero. XIV. III. 24 Ivi. 190. p. Perciò si deve evitare la «nociva intrusione della psicologia nella logica»19. p. inteso non come un processo della mente ma come ciò che trova espressione in «un enunciato assertorio. 76-77 (B 78). XXIV. 16 Ivi. le leggi naturali. mentre esse sono necessarie. 694. 18 Frege 1964. 21 Ivi. 19 Frege 1962. ad esempio. indipendentemente dall’uso naturale in concreto dell’intelletto e della ragione »15. 14. 2) Da Kant. 3) Da Kant. Frege mutua l’idea che. 25 Kant 1900–. 77 (B 78). «nessuna indagine psicologica può giustificare le leggi della logica»17. infatti. 288. 142. aveva detto che la logica «non desume nulla dalla psicologia. III. p. Il nostro 14 15 Kant 1900–. le leggi della logica sarebbero «leggi puramente contingenti». le leggi matematiche. Dunque la logica è strettamente legata al linguaggio. le quali possono e devono essere conosciute a priori. IX. Tale logica si dice scientifica perché è «un corpo di dottrina dimostrata»16. infatti. Perciò «il nostro pensiero è strettamente legato al linguaggio»24. p. p. indipendentemente dall’oggetto»25. 17 Frege 1969. Perciò «ogni osservazione psicologica deve essere esclusa dalla logica»22. poiché la logica non è la logica naturale. p. Se i principi della logica venissero basati sulla psicologia. VII. 14. 139. di cui il giudizio deve avvalersi se non vuole lasciarsi sfuggire la verità»30. di come si arriva ad una convinzione». IX. p. 31. Frege mutua l’idea che la logica non è descrittiva ma è «una scienza normativa. p. IX. XXIX. aveva detto che nella logica non si tratta «di come pensiamo ma di come dobbiamo pensare»32. Kant. 192. 29 Frege 1969. p. Il «linguaggio significa il pensiero e. p. come l’etica»29. La logica deve insegnarci il retto uso dell’intelletto»33. aveva detto che la logica non è «un’indicazione della maniera in cui una determinata conoscenza deve essere ottenuta»36. 31. I. In essa «noi non vogliamo sapere come l’intelletto è e pensa e come ha proceduto finora nel pensare. 4) Da Kant.pensiero è strettamente legato al linguaggio perché «noi pensiamo con parole»26. perché astrae da ogni contenuto della conoscenza. p. Per «leggi logiche» si devono intendere «quelle che prescrivono come si deve pensare»31. p. 13. non può occuparsi di come arriviamo a scoprire verità. 279. p. 33 Ibid. Essa «non può essere una euristica. infatti. ma sono «prescrizioni per il giudicare. 28 Ivi. III. 31 Frege 1962. 5) Da Kant. 34 Ivi. Kant. 37 Kant 1998. 8 . XXIX. XVI. 30 Ivi. Essa è come «l’etica pura. la quale non contiene altro che le leggi morali necessarie di una volontà libera in generale»34. p. 77 (B79). La «forma del linguaggio e la forma del pensiero sono parallele l’una all’altra e sono simili»28. 157. II. p. infatti. Dunque la logica è strettamente legata al linguaggio. 36 Kant 1900–. ma come dovrebbe procedere nel pensare. p. cioè di come «siamo arrivati gradualmente ad una data proposizione»35. Ivi. dall’altro lato. il mezzo par excellence della significazione intellettuale è il linguaggio»27.37 26 27 Ivi. non essendo descrittiva ma normativa. 32 Kant 1900–. Frege mutua l’idea che la logica. Perciò non può produrre nuova conoscenza». p. 35 Frege 1964. IX. Le leggi logiche non sono descrizioni di «come effettivamente si svolge il pensiero. 139. «arriviamo a darle il più solido fondamento»42. p. cioè di come. 43 Kant 1900–. Kant. serve a «costituire la possibilità di quest’ultima»44. 41 Ivi. IX. ma «delle leggi più generali dell’esser vero»46. Essa ha una funzione di fondazione trascendentale della conoscenza. infatti. III. ma si occupa di «ciò che vi è di più generale. I. 9) Da Kant. p. p. aveva detto che la logica è una scienza delle «leggi necessarie del pensiero. aveva detto che la logica non può servire «ad ampliare la nostra conoscenza. p. 279. p. 13. 7) Da Kant. 42 Frege 1964. p. 16. ma non riguardo a oggetti particolari. Kant. di valido in tutti i campi del pensiero»38. Frege mutua l’idea che la logica in particolare non può occuparsi di come arriviamo a scoprire verità nelle singole scienze. Essa «concerne l’intelletto. perché contiene le regole necessarie di ogni verità (formale)»47. 9 . p. bensì a tutti gli oggetti in generale»39. 48 Frege 1962. Non dell’esser vero in ambiti particolari. IX. Frege mutua l’idea che «la logica tratta delle leggi dell’esser vero»45. Frege mutua l’idea che la logica si occupa solo di come giustifichiamo verità già trovate. o lavare la pelliccia senza 38 39 Frege 1969. «astrae da ogni contenuto della conoscenza intellettuale e dalla varietà dei suoi oggetti. 16. perché cercare di giustificarle mediante la logica sarebbe «come tentare di uscir fuori della propria pelle»48. 40 Ivi. infatti. Kant 1900–. 139. IX. p. 76 (B 78). Frege mutua l’idea che le verità logiche primitive non possono essere giustificate dalla logica. O «giudicare senza giudicare. Kant. 75 (B 76). p. 46 Ivi. XVII. p. ma semplicemente a vagliarla e a correggerla»43. non trattando che della semplice forma del pensiero»41.6) Da Kant. infatti. IX. 8) Da Kant. III. 44 Ivi. a prescindere dalla varietà degli oggetti a cui esso può essere rivolto»40 Infatti. 161. 47 Kant 1900–. 45 Frege 1969. IV. quindi non si addentra «nella specificità delle singole discipline e dei loro oggetti». aveva detto che la logica «è anche giustamente chiamata logica della verità. per ogni verità già trovata. p. ed ogni proposizione dell’aritmetica è una legge della logica. 276. Kant. da parte a parte. p. 57 Frege 1990. I. p. Ci si deve domandare invece «come esse sono possibili»55. p. XVII. 60 Frege 1961. 11) Da Kant. p. 40 (B 20). infatti. 99. infatti. Frege mutua l’idea che «gli elementi di tutte le costruzioni geometriche sono intuizioni. perché esse «sono date a sufficienza. ma dall’intuizione»59. p. Frege mutua l’idea che la matematica è assolutamente certa ma. 10) Da Kant. p. una certezza apodittica. 2. 280. infatti. per aver tentato invano di spostarla. p. Frege 1962. 56 Ibid. Kant. Kant.bagnarla»49. aveva detto che «tutti i principi geometrici. III. 50. p. IV. 53 Kant 1900–. rispetto alle verità logiche primitive. aveva detto che la matematica è «una grande e verificata conoscenza». che «ha in sé. Cioè. né a priori né empiricamente»51. e domandare come è possibile questa conoscenza»56. sebbene derivata»60. 51 Kant 1900–. 12) Da Leibniz. 58 Ivi. p. «una volta convinti dell’immobilità di una roccia. Essa «si basa su assiomi che derivano la loro validità dalla natura della nostra facoltà intuitiva»58. p. p. 10 . Perciò. cioè una assoluta necessità»53. e la geometria si rivolge all’intuizione come alla fonte di tutti i suoi assiomi»57. quale sia il suo fondamento. e certo con una realtà di incontestabile certezza»54. non sono mai derivati dai concetti generali di linea e di triangolo. 36. 59 Kant 1900–. III. Perciò non ci deve domandare se le conoscenze matematiche «sono possibili». XXIV. Si deve cioè «indagare il fondamento di tale possibilità. 694. 52 Frege 1961. la logica «dovrà rimanere debitrice della risposta»50. aveva detto che i principi logici. Le «leggi 49 50 Frege 1961. «non possono essere dimostrati affatto. 55 Ivi. IV. per esempio che in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo. 54 Ivi. ci si può chiedere che cosa la sostenga con tanta saldezza»52. 1. Frege mutua l’idea che l’aritmetica è «semplicemente uno sviluppo della logica. 53 (B 39). Deviazioni da Leibniz A differenza di Leibniz. VII. se le verità aritmetiche sono verità logiche. 355. 11 . invece. senza cadere perciò in autocontraddizione quando procediamo alle nostre deduzioni. p. dall’intuizione intellettuale. 66 Ivi. p. 355. 67 Frege 1990. «c’è una notevole differenza tra la geometria e l’aritmetica nel modo in cui esse fondano i loro principi»67. 1. Per Frege. che però risultano infondate. e quindi nell’aritmetica intesa come la scienza del numero in generale. nonostante il conflitto tra le nostre assunzioni e la nostra intuizione». 65 Leibniz 1965. Perciò. aveva detto che le verità logiche primitive sono «sufficienti per dimostrare tutta l’aritmetica»63. «che io chiamo col nome generico di identiche»65. Leibniz. 63 Leibniz 1965. Gli argomenti di Frege contro Kant Frege motiva la sua affermazione che Kant si sbaglia riguardo all’aritmetica. 99. muovendogli alcune obiezioni. p. però. 102. 1. infatti. Cioè. 50. Ivi. VII. Per Leibniz i principi logici sono «sufficienti per dimostrare tutta l’aritmetica e tutta la geometria. Dunque «Kant si sbagliò riguardo all’aritmetica»62. 298. 13) Da Leibniz. le verità geometriche si basano sull’intuizione sensibile pura.5. V. p. infatti.6. Frege mutua l’idea che le verità logiche primitive sono date dalla «fonte conoscitiva logica»64. Frege non è un logicista assolutamente coerente. p. 61 62 Ivi p. Leibniz. cioè tutti i principi matematici»66. 343. p. aveva detto che «le verità primitive che si conoscono per mezzo dell’intuizione» comprendono in primo luogo le verità logiche primitive. Ma a partire da Descartes si sa che la geometria euclidea può essere interpretata nella teoria dei numeri reali. 1) Frege obietta che noi «possiamo sempre assumere l’opposto di questo o di quell’assioma geometrico. Mentre le verità aritmetiche sono leggi logiche. anche le verità geometriche lo sono. 64 Frege 1969.aritmetiche sono giudizi analitici»61. 68 69 Frege 1961. p. a differenza delle proposizioni fondamentali su cui si basa la geometria. con la conseguenza che cade «tutto in confusione»69. si può negare ogni singolo assioma dell’aritmetica senza cadere in autocontraddizione. E avrebbe potuto ammettere anche la possibilità di aritmetiche basate su assiomi contraddittori con quelli dell’aritmetica ordinaria se assiomi per l’aritmetica ordinaria fossero stati noti alla sua epoca. p. gli eventi come i corpi. p.perciò «gli assiomi geometrici sono indipendenti tra loro». 12 . e «di conseguenza sono sintetici»68. 70 Kant 1900–. I. euclidei e non euclidei. pp. 103. 2) Frege obietta che. si può «contare quasi tutto ciò che può essere oggetto del pensiero: l’ideale come il reale. 74 Ibid. anche secondo Kant si può assumere l’opposto di questo o di quell’assioma geometrico senza cadere in autocontraddizione. Kant afferma che «una scienza di tutti questi tipi possibili di spazio». ma essi sarebbero stati formulati solo successivamente. 25. 71 Ivi. le proposizioni fondamentali «su cui si basa l’aritmetica non possono applicarsi semplicemente ad un’area limitata. le cui peculiarità esse esprimono così come gli assiomi della geometria esprimono le peculiarità di ciò che è spaziale»72. i metodi come i teoremi»73. Anzi. «sarebbe indubbiamente la più alta geometria che un intelletto finito potrebbe intraprendere»70. 20-21. le entità spaziali come quelle temporali. anche se «spazi siffatti non apparterrebbero affatto al nostro mondo ma dovrebbero costituire universi propri». Invece. Infatti. «è anche molto probabile che Dio le abbia realmente collocate da qualche parte». 73 Ibid. Perciò le proposizioni fondamentali su cui si basa l’aritmetica «devono estendersi a tutto il pensabile. 21. 72 Frege 1990. benché eventualmente «collegati col nostro»71. dunque. «la negazione di una qualsiasi» delle «leggi fondamentali della scienza del numero» ci fa cadere in autocontraddizione quando procediamo alle nostre deduzioni. e una proposizione generalissima siffatta la si attribuisce molto a buon diritto alla logica»74. Infatti. Infatti. Ma non è così. Kant. p. Ivi. 24. ammette la possibilità di geometrie basate su assiomi contraddittori con quelli di Euclide. I. i concetti come gli oggetti. Inoltre. «se è possibile che si diano estensioni di altre dimensioni» oltre le tre della geometria euclidea. l’obiezione assume che per Kant un concetto geometrico come quello di triangolo possa essere rappresentato da un’immagine particolare. che lo rende valido per ogni triangolo. e resterebbe sempre circoscritta a una parte soltanto di questa sfera»78. sia esso rettangolo o di un altro genere. una particolare immagine di numero. Cellucci 2007. 13 . è comprensibile che «i punti. Ma – egli avrebbe aggiunto – le proposizioni fondamentali applicate a ciò che non può essere dato nell’intuizione non ci danno conoscenza sul nostro mondo. eventualmente solo su un qualche altro mondo possibile. III. 19-20. «non hanno propriamente alcuna particolarità. Inoltre. in quanto si estendendono a tutto il pensabile. il quale afferma che «nessuna immagine sarebbe mai adeguata al concetto di triangolo in generale. Ma non è così. Perciò «alla base dei nostri concetti sensibili 75 76 Frege 1961. Cioè. per i quali non vale il principio del terzo escluso. se si assume che gli oggetti su cui vengono condotte le dimostrazioni della geometria non sono oggetti particolari ma sono oggetti generali. Le leggi della logica di Frege non si estendendono a tutto il pensabile. p. anche Kant avrebbe potuto affermare che le proposizioni fondamentali su cui si basa l’aritmetica si estendono a tutto il pensabile. per esempio cinque punti. Infatti l’immagine non potrebbe in nessun caso accedere alla generalità del concetto. cioè le immagini che li rappresentano. Ivi. pp. mentre una particolare immagine di triangolo può rappresentare l’universalità del concetto di triangolo. si ottiene una contraddizione 77. Ma «con i numeri le cose stanno in modo differente: ciascuno di essi ha la sua particolarità. possano attribuirsi alla logica. 77 V. i piani intuiti».Ma non è così. per esempio non si estendono agli oggetti della matematica intuizionista. Non è affatto vero che le proposizioni fondamentali su cui si basa l’aritmetica. 3) Frege obietta che. 136 (B 180). 78 Kant 1900–. p. Inoltre. non può rappresentare l’universalità del concetto di numero. Ma questo è negato da Kant. e dove invece entri in gioco il suo carattere particolare. Infatti. non può essere stabilito senz’altro»76. anche a ciò che non può essere dato nell’intuizione. le linee. 20. poiché «nella geometria le proposizioni generali derivano dall’intuizione». per esempio a enti immaginari. In che misura un determinato numero possa rappresentare tutti gli altri. e perciò possono servire come rappresentati del loro intero genere»75. che questa immagine stessa. Allora.. p. in base ad un certo concetto. III. «in un’intuizione». 84 Frege 1961. basta mostrare la possibilità di farlo in linea di principio. se «dispongo di seguito cinque punti: . 135 (B 179). Per «schema di un concetto» si intende «la rappresentazione del procedimento generale mediante il quale l’immaginazione fornisce al concetto la sua immagine»80. .. dando la regola per farlo. Similmente Kant si esprime sull’aritmetica.. Ibid.puri non vi sono le immagini degli oggetti ma gli schemi»79. Ma. questo gli pone il problema: «Come può esserci dato un numero se non possiamo averne alcuna rappresentazione o intuizione?»84. III. La realizzazione del programma gli richiede innanzitutto di definire il concetto di numero naturale. p. mille) in un’immagine. 81 Ivi. nella sua seconda opera. Se invece soltanto penso un numero in generale. una regola per rappresentare una molteplicità in un’immagine. da un insieme finito di verità logiche primitive. 73. 135 (B 179-180).. la quale. sarebbe difficilmente esaminabile interamente e raffrontabile col concetto»82. questa è un’immagine del numero cinque. Per esempio. 37 (B 16). riguardo alla quale afferma che. p. questo pensiero è più la rappresentazione di un metodo per rappresentare una molteplicità (per esempio. è sufficiente mostrare «la possibilità di esibire il concetto di un chiliagono». poiché per Frege il fondamento della certezza dell’aritmetica non è l’intuizione sensibile pura. 83 Ivi. in questo caso.. 82 Ivi. XI. tutte le verità aritmetiche note. la costruzione dell’oggetto può essere prescritta completamente»81. infatti. 1. cioè un poligono di mille lati. che sia cinque o cento. 14 . Il principio di Hume Frege avvia la realizzazione del suo programma di dedurre. p. Tale pensiero è cioè uno schema.7. è quanto basta per «fondare la possibilità di questo oggetto in matematica. 46. pubblicata nel 1884. come si vede dal fatto che Kant afferma che essa «diventa tanto più evidente quanto più grandi sono i numeri presi in considerazione»83. Si ha così una situazione simile a quella del chiliagono. le Grundlagen der Arithmetik. p. La risposta di Frege fa appello al ‘principio del contesto’: «Solo nel 79 80 Ibid. Ma l’immagine non deve essere effettivamente prodotta. dando la regola secondo la quale questo può essere fatto. p. Infatti un’affermazione su un numero è sempre un’affermazione sul numero che appartiene ad un concetto. Tale proposizione. Ibid. Perciò la si deve riformulare «senza far uso dell’espressione ‘il numero che appartiene al concetto F ’ » 90. Infatti non chiarisce di quali proposizioni in cui compare un numerale occorra spiegare il senso. «dobbiamo definire il senso della proposizione ‘il numero che appartiene al concetto F è lo stesso del numero che appartiene al concetto G’»89. 91 Hume 1978. il nome di un numero. 85. Perciò. cioè hanno un’identità che ne consente «il riconoscimento sempre di nuovo»88. 15 . per definire il concetto di numero. Poiché tale definizione si ispira a Hume. il quale afferma che «quando due numeri sono combinati in modo tale che l’uno ha sempre un’unità corrispondente ad ogni unità dell’altro. l’affermazione che Giove ha quattro lune è l’affermazione che quattro è il numero che appartiene al concetto ‘lune di Giove’. Cioè. però. 71. 90 Ibid. per dare un criterio per decidere se un numerale è lo stesso di un altro numerale. assume però che siamo già in grado di decidere se un numerale è lo stesso di un altro numerale. A tale scopo. Perciò Frege definisce ‘il numero che appartiene al concetto F è lo stesso del numero che appartiene al concetto G ’ come ‘Esiste una corrispondenza biunivoca R tra gli oggetti che cadono sotto F e gli oggetti che cadono sotto G ’ . Frege si ispira a Hume. con il suo articolo determinativo. Per farlo. 87 Ibid.contesto di una proposizione le parole hanno un significato»85. Perciò. secondo Frege. Per chiarirlo. che egli abbrevia in « ‘Il concetto F è equinumeroso al concetto G ’ »92. p. 89 Ibid. 88 Ibid. 85 86 Ibid. Per esempio. «lascia ancora molto spazio all’arbitrio»87. «occorre spiegare il senso di una proposizione in cui compare un numerale»86. dobbiamo definire il senso della proposizione ‘il numero che appartiene al concetto F è lo stesso del numero che appartiene al concetto G’. Questo richiede di dare un criterio per decidere se un numerale è lo stesso di un altro numerale. Questo. 92 Frege 1961. Frege afferma che i numerali sono «oggetti autosussistenti». essa va sotto il nome di ‘principio di Hume’. li dichiariamo eguali»91. Indicando ‘il numero che appartiene al concetto F ’ con NxF ( x ) , e ‘F è equinumeroso a G ’ con F ≈ G , il principio di Hume è: (HP) NxF ( x ) = NxG ( x ) ↔ F ≈ G , che esprime ‘Il numero che appartiene al concetto F è eguale al numero che appartiene al concetto G se e solo se F è equinumeroso a G’. F ≈ G è definito, senza far uso dell’espressione NxF ( x ) , da: (1) ∃R (∀x ( F ( x ) → ∃! y (G ( y ) ∧ R ( x , y ))) ∧ ∀y (G ( y ) → ∃! x ( F ( x ) ∧ R ( x , y )))) , che esprime ‘Esiste una relazione R che fa corrispondere, a ogni oggetto che cade sotto F, un unico oggetto che cade sotto G, e viceversa, a ogni oggetto che cade sotto G, un unico oggetto che cade sotto F’, dunque esprime ‘Esiste una corrispondenza biunivoca R tra gli oggetti che cadono sotto F e gli oggetti che cadono sotto G ’ . Mentre F ≈ G è definito esplicitamente da (1), NxF ( x ) è definito da (HP) solo contestualmente. Tra definizioni esplicite e definizioni contestuali vi è una sostanziale differenza. Una definizione esplicita permette di sostituire l’espressione definita con l’espressione definente in ogni contesto in cui l’espressione definita occorre. Per esempio, la definizione di F ≈ G data da (1) permette di sostituire l’espressione definita F ≈ G con l’espressione definente (1) in ogni contesto in cui F ≈ G occorre. Invece una definizione contestuale non permette di sostituire l’espressione definita con l’espressione definente in ogni contesto in cui l’espressione definita occorre, ma solo in contesti di una particolare forma. Per esempio, (HP) permette di sostituire l’espressione definita NxF ( x ) con l’espressione definente F ≈ G solo in contesti della forma NxF ( x ) = NxG ( x ) . Per mezzo di (HP) si può sviluppare l’aritmetica dei numeri naturali. Così, 0 è definito da Nx ( x ≠ x ) , che esprime: «Il numero che appartiene al concetto ‘non identico a se stesso’»93. La relazione binaria ‘y è il successore di x ’ , scritta S ( x , y ) , è definita da: ∃F (NwF ( w ) = y ∧ ∃z ( F ( z ) ∧ Nw( F ( w ) ∧ w ≠ z ) = x )) , 93 Ivi, p. 87. 16 che esprime ‘Esiste un concetto F tale che y è il numero che appartiene a F ed esiste un z tale che z cade sotto F e x è il numero che appartiene al concetto ‘cade sotto F ma è diverso da z’. La proprietà N(w), che esprime ‘w è un numero naturale’, è definita da: ∀F ( F (0) ∧ ∀x∀y ( F ( x) ∧ S ( x, y ) → F ( y )) → F ( w)) , che esprime ‘w cade sotto ogni concetto F tale che 0 cade sotto F e, se x cade sotto F, anche il successore y di x cade sotto F ’ . Con queste definizioni, da (HP) si possono dedurre gli assiomi dell’aritmetica di Peano. Questo risultato va sotto il nome di ‘teorema di Frege’. 1.8. Il problema di Cesare Tuttavia (HP) va incontro alla difficoltà che esso non permette di decidere se una proposizione della forma NxF ( x ) = q è vera o falsa quando q non ha la forma NxG ( x ) , per esempio quando q è ‘Giulio Cesare’. Infatti, per stabilire NxF ( x ) = q , occorrerebbe stabilire ∃G (NxG ( x ) = q ∧ F ≈ G ) , ma questo richiederebbe che si potesse stabilire NxG ( x ) = q , il che darebbe luogo ad un rimando all’infinito. Questa difficoltà va sotto il nome di ‘problema di Cesare’. Essa costituisce un serio problema per Frege perché, come abbiamo visto, egli introduce (HP) allo scopo di dare un criterio per decidere se un numerale è lo stesso di un altro numerale. Non permettendo di decidere se una proposizione della forma NxF ( x ) = q è vera o falsa quando q non ha la forma NxG ( x ) , (HP) non fornisce un tale criterio. Per superare questa difficoltà Frege considera la possibilità di dare una definizione esplicita di NxF ( x ) . La definizione che egli dà è in termini della nozione di estensione di un concetto F. Se indichiamo l’estensione di F con {x : F ( x )} , allora egli definisce NxF ( x ) come {X : X ≈ F } . Infatti afferma: «Io perciò definisco: Il numero che appartiene al concetto F è l’estensione del concetto ‘equinumeroso al concetto F ’ »94. Con questa definizione di NxF ( x ) , (HP) diventa: (HP ') {X : X ≈ F } = { X : X ≈ G} ↔ F ≈ G , 94 Ivi, pp. 79-80. 17 che esprime: «L’estensione del concetto ‘equinumeroso al concetto F ’ è la stessa dell’estensione del concetto ‘equinumeroso al concetto G ’ » se e solo se «il concetto F è equinumeroso al concetto G»95. 1.9. La difficoltà di definire l’estensione di un concetto Definendo NxF ( x ) come { X : X ≈ F } , Frege pensa di poter risolvere il problema di Cesare, ma non è così. Tale definizione, infatti, permette decidere se Giulio Cesare è il numero appartenente ad un concetto solo se è già stato deciso se Giulio Cesare è l’estensione di un concetto. Questo presuppone che si sappia che cos’è l’estensione di un concetto, ma Frege, nelle Grundlagen der Arithmetik, non spiega che cosa sia, si limita a dire che in questa definizione egli suppone «noto il senso dell’espressione ‘estensione di un concetto’ si suppone noto»96. Cioè, egli suppone «che si sappia che cos’è l’estensione di un concetto»97. Ma questo è insoddisfacente, e lo stesso Frege è consapevole che «non ci si può aspettare che questo modo di superare la difficoltà incontri un’approvazione universale»98. Nondimeno dichiara: «Io non attribuisco alcuna importanza decisiva al far intervenire l’estensione di un concetto»99. Invece avrebbe dovuto attribuirgli un’importanza decisiva, perché, senza far intervenire l’estensione di un concetto, il problema di Cesare non può considerarsi risolto. Ma spiegare che cos’è l’estensione di un concetto costituisce una difficoltà per Frege, perché egli non è in grado di dare una definizione esplicita dell’estensione di un concetto. Nella tradizione logica precedente l’estensione di un concetto era definita esplicitamente come «la quantità delle cose contenute sotto il concetto»100. Cioè, come l’insieme degli oggetti che cadono sotto il concetto. Ma Frege non può definire l’estensione di un concetto in questo modo, perché egli definisce un insieme come l’estensione di un concetto. Per lui un insieme non può essere definito come un ‘aggregato’, perché un aggregato è una riunione di oggetti in un tutto, e, «se ci è dato un tutto, non è ancora determinato quali debbano essere considerate le sue parti», mentre quando è dato un insieme, «è 95 96 Ivi, p. 85. Ivi, p. 117. 97 Ivi, p. 80, nota. 98 Ivi, p. 117. 99 Ibid. 100 Kant 1900–, XXIV, p. 911. 18 Egli lo fa mediante il quinto assioma dell’ideografia. per lo stesso argomento x. I. I. 105 Ivi. Ma questo è inessenziale qui. Perciò un insieme deve essere definito come l’estensione di un concetto. Da (LF5) e dagli altri assiomi dell’ideografia si possono dedurre gli assiomi di Peano. p. Frege non risolve il problema di Cesare. p. 102 101 19 . la cosiddetta ‘legge fondamentale 5’: (LF5) {x : F ( x )} = {x : G ( x )} ↔ ∀x ( F ( x ) ↔ G ( x )) . Frege – nei due volumi. «deve considerarsi una legge logica»104. 1. Frege non può definire l’estensione di un concetto come l’insieme degli oggetti che cadono sotto il concetto. cioè del suo sistema logico – ne dà solo una definizione contestuale. Tale legge. della sua terza e più importante opera. L’acme del programma di Frege Non essendo in grado di dare una definizione esplicita dell’estensione di un concetto. che esprime ‘Due concetti F e G hanno la stessa estensione se e solo se. 14. Frege 1962. che contiene la formulazione finale della sua ‘ideografia’. pp. Ma. Per questo motivo egli non è in grado di dare una definizione esplicita dell’estensione di un concetto. i Grundgesetze der Arithmetik. pubblicati rispettivamente nel 1893 e nel 1903. per Frege. 104 Frege 1962. II. Ne segue che. F e G hanno lo stesso valore. definendo NxF ( x ) come { X : X ≈ F } . definendo un insieme come l’estensione di un concetto. Perciò Frege afferma di aver dato. e in effetti «ciò che i matematici chiamano insieme non è altro che l’estensione di un concetto»102. «la deduzione delle leggi più semplici dei numeri mediante mezzi puramente logici»105. 222-223. un oggetto x cade sotto F se e solo se cade sotto G’ 103.10. cioè. 1. 103 La formulazione originaria di Frege è un po’ più generale. perché ciò darebbe luogo ad un circolo. Di essa Frege era così convinto da dichiarare: «Come confutazione riconoscerei soltanto che qualcuno mi Frege 1976. p. La validità di tale deduzione dipende naturalmente dalla verità degli assiomi dell’ideografia. perché considera non solo concetti ma funzioni qualsiasi. gli assiomi dei numeri reali e degli altri tipi di numeri. nelle Grundgesetze der Arithmetik. 148.determinato quali oggetti appartengano ad esso»101. Ma ovviamente non ogni oggetto può essere identificato col suo insieme unità. come l’estensione di un concetto sotto cui cade solo quell’oggetto. come l’estensione del concetto ‘vincitore di Pompeo a Farsalo’. mentre questa idea «è possibile per ogni oggetto che non ci sia già dato» come l’estensione di un concetto. In effetti lo è perché. se un oggetto non è l’estensione di un concetto. I. ogni oggetto viene identificato col suo insieme unità. ogni oggetto che non sia l’estensione di un concetto viene identificato col suo insieme unità. che cosa sia un oggetto dipende dal modo in 106 107 Ivi. ogni oggetto che non ci sia già dato come l’estensione di un concetto viene identificato col suo insieme unità. In base a tale idea. 18. Ma. p. 1.11. XXVI. Questo a sua volta suggerisce di sostituire questa idea con l’ulteriore idea di considerare ogni oggetto che non ci sia già dato come l’estensione di un concetto. Tanto per cominciare. in base a tale idea. I. 108 Ibid. In base a tale idea. Ma questo non riuscirà a nessuno»106. il che è contraddittorio. Ancora il problema di Cesare Ma (LF5) va incontro a grosse difficoltà. il suo insieme unità. nota 1. per esempio. Frege parte dall’idea di considerare ogni oggetto «come l’estensione di un concetto sotto il quale cade solo quell’oggetto»107. perché allora Giulio Cesare potrebbe essere concepito. come lo stesso Frege sottolinea. Ivi. 20 . specificamente nessun insieme che abbia più di un elemento può essere identificato con esso. Ma allora. Per risolvere tale problema. cioè con l’insieme il cui solo elemento è quell’oggetto. in base ad essa. non risolve il problema di Cesare. nel caso di un oggetto che ci sia già dato come l’estensione di un concetto «si pone il problema» se questa idea «non sia contraddittoria»108. esso è l’estensione di un concetto. Ma anche questa idea è inadeguata perché. Questo risolverebbe il problema di Cesare. p.mostrasse con i fatti che un edificio migliore e più duraturo può essere costruito sopra convinzioni fondamentali differenti. Questo suggerisce di sostituire l’idea in questione con quella di considerare ogni oggetto che non sia l’estensione di un concetto come l’estensione di un concetto sotto cui cade solo quell’oggetto. oppure che qualcuno mi mostrasse che i miei principi conducono a conseguenze palesemente false. allora. Chiediamoci: y appartiene a se stesso? Sia la risposta affermativa che quella negativa danno luogo ad una contraddizione. allora a y appartiene un insieme che appartiene a se stesso. come Frege riconosce. 21 . 1. «lo stesso oggetto ci può essere dato in molti modi differenti»109.12. Sia y l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi. Quindi (LF5) non risolve il problema di Cesare. Tale contraddizione fu comunicata da Russell a Frege con una lettera datata 16 giugno 1902. contraddicendo la scelta di y in virtù della quale a y appartengono solo insiemi che non appartengono a se stessi. Allora: ↔ ↔ x∈ y x ∈ {x : F ( x )} ∃X ({ ∀x z( == X{ (z z )) ∧( X ( x∧ ))X ( x )) :F F((zx))} :X z )} per per (1) (LF5) 109 Ibid. Il paradosso di Russell Ma (LF5) va incontro ad una difficoltà ancor più grave: da essa si può dedurre una contraddizione. contraddicendo la scelta di y in virtù della quale a y appartengono tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi. allora y contiene come membri tutti e solo quegli oggetti x che cadono sotto F ’ . mentre Frege stava per pubblicare il secondo volume dei Grundgesetze der Arithmetik. allora a y non appartiene un insieme che non appartiene a se stesso. Se ne conclude che la nostra apprensione delle estensioni di concetti come oggetti non può essere spiegata unicamente in termini di (LF5). se y appartiene a se stesso. Formalmente il paradosso di Russell può essere dedotto da (LF5) nel modo seguente. Informalmente il paradosso di Russell può essere ottenuto nel modo seguente. e perciò va sotto il nome di ‘paradosso di Russell’. Dimostriamo innanzitutto: (2) cioè che ‘Se y è l’estensione del concetto F. Per dimostrare (2) assumiamo y = {x : F ( x )} . Infatti. y = {x : F ( x )} → ∀x ( x ∈ y ↔ F ( x )) . Se invece y non appartiene a se stesso.cui quell’oggetto ci è dato. Definiamo l’appartenenza x ∈ y come: (1) ∃X ( y = {z : X ( z )} ∧ X ( x )) . e. 22 . implica che il programma di Frege non è realizzabile. 282. banalmente T è una teoria RE [V. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. Perciò «ho dovuto abbandonare la mia idea che l’aritmetica sia una branca della logica»112. p. Dunque tale enunciato fornisce un esempio di verità aritmetica che non è deducibile da LT. Il crollo del programma di Frege Che il primo teorema di incompletezza di Gödel implichi che il programma di Frege non è realizzabile può essere visto nel modo seguente. Supponiamo che tutte le verità aritmetiche siano verità logiche in quanto sono deducibili da un insieme finito LT di verità logiche primitive. Per alcuni anni egli tentò di modificare (LF5) in modo che da essa non si potesse più dedurre una contraddizione pur rimanendo una legge logica. poiché l’insieme LT è finito. Inoltre. p. 298.↔ F ( x) . T è coerente. Sia T la teoria tutti i cui assiomi sono costituiti da LT. invece. E ancora. Frege 1969. da cui segue in particolare y ∈ y ↔ y ∉ y . p.4. Fu dovuto. Il paradosso di Russell fu un duro colpo per Frege perché scosse «uno dei fondamenti del suo edificio»110. 112 Ivi.9]. Poiché tutte le verità aritmetiche sono deducibili da LT. cioè l’estensione del concetto ‘x non appartiene a se stesso’. esiste un enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) . Sia allora y = {x : x ∉ x} . Prendendo in (2) x ∉ x come F ( x ) si ottiene ∀x ( x ∈ y ↔ x ∉ x ) . II. poiché LT contiene solo verità logiche. dove f è una funzione ricorsiva primitiva.7. Ma 110 111 Ivi. perciò banalmente T è una teoria sufficientemente potente in senso esteso [V. al fatto che il primo teorema di incompletezza di Gödel. Il fallimento dei tentativi di Frege non fu dovuto a suoi limiti: anche i tentativi fatti da altri. che è una contraddizione. Ma allora.3]. Dunque ∀x ( x ∈ y ↔ F ( x )) . che è vero ma non è deducibile da LT. pubblicato nel 1931. ma alla fine riconobbe: «I miei sforzi di chiarire ciò che si vuole chiamare ‘numero’ sono finiti in un completo fallimento»111.3. ovvero l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi. 1. da Russell a Ramsey. fallirono. V.2].4. Si è così dimostrato (2). tutte le verità aritmetiche sono dimostrabili in T. 253.13.2. p. 116 Ivi. è RE. questo equivale a dire che esso è logicamente valido. 4. Ora.per ipotesi tutte le verità aritmetiche sono deducibili da LT. Perciò tale enunciato può benissimo essere una verità logica e non essere dimostrabile in T.6]. per un corollario del teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine [V. e deve respingere. se l’enunciato dato dal primo teorema di incompletezza di Gödel è una verità logica. 4-5. l’enunciato in questione può benissimo essere una verità logica. il risultato di incompletezza di Gödel non ha alcuna specifica rilevanza per il progetto logicista»116. Perciò sarebbe una petizione di principio trarre dal risultato di Gödel «la conclusione che non tutte le verità aritmetiche sono verità logiche. e questa è un’identificazione che il logicista fregeano respinge. pur non essendo deducibile da LT. Infatti «la verità logica si sottrae ad una caratterizzazione deduttiva completa»114. per ogni insieme finito LT di verità logiche primitive esista un enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) .7. pp. che è vero ma non è deducibile da LT. Anche con la formulazione più impegnativa del logicismo» come la tesi che «si può vedere che tutte le verità aritmetiche sono verità logiche. nota 5. 5. 23 . Hale e Wright hanno però obiettato che essa è «semplicemente un errore. In breve. 113 114 Hale-Wright 2001. tale risultato non fa nascere «alcuno speciale problema per lui. in ogni caso»115. perché. Se «il logicista è autorizzato a considerare la logica come comprendente la logica del secondo ordine». nota 5. Contraddizione. è per lo meno opinabile che il teorema di Gödel ne segnali il fallimento»113. p. Se ne conclude che non tutte le verità aritmetiche sono deducibili da LT. nella teoria T i cui assiomi sono costituiti da LT e che. L’obiezione di Hale e Wright è che il fatto che. non sono dimostrabili tutti gli enunciati logicamente validi del linguaggio di T. non prova che tale enunciato non è una verità logica. come abbiamo visto. Infatti. per il primo teorema di incompletezza di Gödel. Contro l’affermazione che il primo teorema di incompletezza di Gödel implichi che il programma di Frege non è realizzabile e perciò «era destinato al fallimento fin dal principio». dove f è una funzione ricorsiva primitiva. e dunque che non tutte le verità aritmetiche sono verità logiche. Ibid. nota 5. se non si restringe la logica alla logica del primo ordine. 115 Ivi. perché ciò richiederebbe l’identificazione della logica con la logica del primo ordine. per il teorema di completezza della logica del primo ordine [V. 299. propriamente. avendo la forma ∀x ( f ( x ) = 0) . geometria. anche l’aritmetica mutua il suo «fondamento dimostrativo dall’intuizione». Lo scopo logico di Frege di mostrare che le verità aritmetiche sono verità logiche era funzionale al suo scopo epistemologico di mostrare il fondamento della certezza della matematica. Dal fatto che tale enunciato non è dimostrabile in T. 1. Questo dipese dal fatto che la logica matematica era per Frege solo un mezzo rispetto al fine di mostrare che le verità aritmetiche sono verità logiche. «e quindi l’intera matematica. è un enunciato del primo ordine. Quando l’assunzione che il fondamento della certezza dell’aritmetica era la logica si rivelò insostenibile. Una volta rivelatosi irraggiungibile tale fine. e gli assiomi logici e le regole di deduzione logica di T comprendono quelli della logica del primo ordine. Ora. pure. 297. dove per intuizione si intende «la fonte conoscitiva geometrica». Dunque. il primo teorema di incompletezza di Gödel davvero implica che il programma di Frege non è realizzabile. se l’enunciato in questione fosse una verità logica. tutti gli enunciati del primo ordine logicamente validi sono dimostrabili in T mediante gli assiomi logici e le regole di deduzione logica di T. 24 . Infatti. Frege la sostituì con quella che tale fondamento fosse la geometria. La matematica appare così perfettamente unitaria nella sua essenza»117. p.1. e quindi un enunciato logicamente valido. il mezzo perse interesse. lui aveva creato. p. fa solo uso del teorema di completezza della logica del primo ordine. scaturiscono da un’unica fonte conoscitiva. esso dovrebbe essere dimostrabile in T.14. e quindi ha una rilevanza assolutamente specifica per il progetto logicista. l’enunciato dato dal primo teorema di incompletezza di Gödel. cioè quella geometrica»118. contrariamente a quanto affermano Hale e Wright.5]. Come la geometria. Ivi. L’aritmetica e la geometria. Le verità aritmetiche sono verità geometriche.Ma l’obiezione di Hale e Wright è fallace. e perciò «tutta la matematica è. L’abbandono fu così totale che in seguito Frege non mostrò alcun interesse per gli sviluppi di quella logica matematica che. Perciò. ne segue che esso non può essere una verità logica. Questa conclusione non presuppone l’identificazione della logica con la logica del primo ordine. cioè 117 118 Frege 1969. La reazione finale di Frege La reazione finale di Frege al paradosso di Russell fu l’abbandono dell’idea che le verità aritmetiche sono verità logiche. 298. quando si confrontano due segmenti con il metodo di Frege e si fa corrispondere al loro rapporto un punto del piano.l’intuizione sensibile pura spaziale. per cui «la definizione di numero in senso stretto. Ad ogni modo. e la cui unica relazione primitiva è: «Il punto A è simmetrico al punto B rispetto alla linea l»122. 121 Frege 1969. 104. la disciplina si ridurrebbe alla geometria»120. la mossa di Frege era disperata. sebbene di tipo anomalo perché. invece di costruire il campo dei numeri partendo dai numeri naturali e passando poi ai numeri negativi. Perciò Frege definisce un numero complesso come un rapporto tra due segmenti in un dato piano. p. Infatti. cioè ai numeri complessi»121. Questo contraddice la precedente assunzione di Frege. p. ad ogni rapporto di due segmenti in un dato piano corrisponde un unico punto C nel piano. Filosoficamente. Frege afferma che esse si basano solo sull’intuizione spaziale. Frege 1990. il punto dipenderà anche dall’angolo con cui i segmenti sono orientati l’uno 119 120 Ivi. 25 . perché la nozione di rapporto in termini della quale egli definisce i numeri complessi non può essere quella usuale. come un rapporto tra lunghezze o superfici» in quanto questo «presuppone come già conosciuti i concetti di grandezza e di rapporto tra grandezze». sarà tutt’altro che superflua»123 Matematicamente. che la base concettuale dell’aritmetica «non può essere l’intuizione spaziale. p. p. p. 122 Ivi. 123 Frege 1961. 300. Frege si dirige «direttamente alla meta finale. Per mostrare che le verità aritmetiche sono verità geometriche. In esso si può dimostrare che. che si fonda sul confronto tra grandezze. così. Lo fa senza sentire il bisogno di spiegare perché non consideri più valida la sua precedente affermazione che non si può definire «il numero geometricamente. Tutti gli altri tipi di numeri saranno definiti in termini dei numeri complessi. anche l’assunzione che le verità aritmetiche sono verità geometriche era funzionale allo scopo epistemologico di mostrare il fondamento della certezza della matematica. 25. Egli introduce un sistema i cui concetti primitivi «sono linea e punto». mentre per Kant le proposizioni aritmetiche si fondano sull’intuizione spaziale e temporale. frazionari e complessi. questa mossa di Frege era un ritorno a Kant. 299. Un numero complesso può essere identificato con tale punto. infatti. che è «quella fonte conoscitiva da cui derivano gli assiomi della geometria»119. di numero cardinale. E dove si può trovare altrove sicurezza e verità se persino il pensiero matematico viene meno?»127. In definitiva. p. p. Questo lo convinse a ritornare a Kant. Addirittura Brouwer ha preteso che si dovesse rinunciare a parti sostanziali della matematica. tranne due. una contraddizione scoperta da Zermelo e Russell ebbe un effetto addirittura catastrofico quando divenne nota nel mondo matematico»124. Hilbert 1929. Si pensi: nella matematica. 128 Hilbert 1929. che però dava luogo anch’essa a paradossi. la situazione creata dalla contraddizione scoperta da Zermelo e Russell «non può essere sopportata a lungo. dovunque «ci si 124 125 Hilbert 1926. Dedekind e Cantor diedero una fondazione del calcolo infinitesimale. in questo modello di sicurezza e di verità. 26 . Frege mutuò le sue principali idee sulla natura della logica e della matematica da Kant. p. p 9. dunque. e il suo unico contributo originale alla filosofia della matematica − che era di natura non filosofica ma tecnica: il progetto di dedurre le verità aritmetiche da un insieme finito di verità logiche − si risolse in un fallimento. Perciò due coppie di segmenti che hanno lo stesso rapporto nel senso usuale non avranno lo stesso rapporto nel senso di Frege. L’esigenza di una tale indagine è nata col calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz. «i paradossi della teoria degli insiemi. 127 Hilbert 1926. Le motivazioni di Hilbert Anche secondo Hilbert (1862-1943) il compito della filosofia della matematica è indagare il fondamento della certezza della matematica. corriamo il pericolo di perdere una gran parte dei nostri più prezioni tesori»126. che egli mutuò da Leibniz. Ma allora non è chiaro che cosa si guadagni definendo i numeri complessi come rapporti tra segmenti. 169. Hilbert 2.rispetto all’altro. In particolare. «seguendo questi riformatori. Ad ogni modo. Per eliminarli Weierstrass. 170. sebbene in un modo filosoficamente anomalo e matematicamente disperato. se nemmeno nella matematica ci fosse una verità sicura?»128. che ne sarebbe dell’esistenza e del progresso della scienza. Che «ne sarebbe della verità della nostra conoscenza. le concettualizzazioni e le inferenze che tutti imparano. insegnano e adoperano portano ad assurdità. 159. 126 Hilbert 1970b.1. Perciò. che dava luogo a paradossi. Ma. 2. p. A causa di essa la matematica è stata «colpita per due decenni come da un incubo»125. 2. La matematica finitaria è una parte abbastanza ristretta della matematica infinitaria. c per segni numerici»133. E ancora. …»131. che si basa unicamente sull’intuizione sensibile pura e corrisponde grosso modo alla matematica sviluppata dall’antichità fino ai primi decenni dell’Ottocento. tenendo conto delle abbreviazioni adoperate. 42. dunque sta per una disgiunzione infinita. detta ‘matematica finitaria’. dove p indica il più grande numero primo attualmente noto. consolidarli e renderli passibili di impiego»129. perché non contiene già parti rilevanti dell’aritmetica. dal punto di vista della matematica 129 130 Hilbert 1926. 131 Hilbert 1926. dunque «i metodi finitari sono già compresi» come parte propria «nell’aritmetica usuale»130. ||. ||||. integrazioni che comportano l’uso di oggetti e metodi astratti. e perciò. 3. I. Esso. Ma già un enunciato come ‘Esiste un numero primo > p ’. sta per «‘ p + 1 oppure p + 2 oppure p + 3 … oppure … in infinitum’ è un numero primo». 2.2. una sua parte. 171. Nella matematica finitaria «abbiamo i segni numerici |. Così 2 + 3 = 3 + 2 serve per comunicare che. infatti. 133 Ibid. 134 Ibid. 4. Esse servono per lo stesso scopo. p. noi vogliamo esaminare accuratamente tutte le concettualizzazioni e i ragionamenti fecondi. all’interno della matematica. Hilbert-Bernays 1968-70. cioè |||||»132. 170. Così a + b = b + a serve per comunicare che « a + b è lo stesso di b + a »134. Matematica finitaria e matematica infinitaria A tale scopo Hilbert distingue. |||. 2. Quest’ultima «si basa in modo sostanziale su principi di ragionamento aggiuntivi» di tipo infinitario. perciò la matematica finitaria è una parte propria dell’aritmetica. b. 132 Ibid. La matematica nel suo complesso consiste dalla matematica finitaria più le integrazioni introdotte da Weierstrass. Perciò la matematica nel suo complesso può essere detta ‘matematica infinitaria’. abbiamo «lettere a. Inoltre abbiamo i segni +. 2 + 3 e 3 + 2 sono lo stesso segno numerico. … .presenti anche solo una minima speranza. p. e specificamente dell’infinito attuale. p. Dedekind e Cantor per dare una fondazione del calcolo infinitesimale. Essi vengono indicati con 1. non appartiene alla matematica finitaria. 27 . = e altri «che servono per comunicare asserzioni. ma solo «come una designazione di un principio guida metodologico che. 72. è «privo di senso»135. mentre gli enunciati della matematica finitaria sono relativi ad oggetti che possono essere dati nell’intuizione sensibile pura. 162. I. dove f è una funzione ricorsiva primitiva. e perciò possono essere detti «enunciati ideali»138. 28 .2]. quindi non esistono in un senso reale. Solo gli enunciati della matematica finitaria hanno propriamente un contenuto. 175. e perciò possono essere detti «enunciati reali». 361. Egli stesso dichiara di usare ‘finitario’ non «come un termine nettamente delimitato». Ciò implica che tutti gli enunciati della matematica finitaria possono essere espressi nella forma ∀x ( f ( x ) = 0) .2. p. p. 362. quindi esistono in un senso reale. p. Si ammettono «come enunciati finitari solo quegli enunciati che possono essere espressi nel formalismo dell’aritmetica ricorsiva primitiva»141.3. non possono essere dati nell’intuizione sensibile pura. 2. Sono «semplicemente un modo di dire»137. è vero. Infatti. Dunque. 137 Ivi. p. 141 Ivi. che cosa Hilbert intenda per ‘matematica finitaria’ è chiaro. II. La descrizione di Hilbert della matematica finitaria non è molto precisa. Dunque per Hilbert la matematica finitaria è quella formalizzata dall’aritmetica ricorsiva primitiva PRA [V. p. ma non fornisce una linea di divisione precisa tra quelli che soddisfano i requisiti dei metodi finitari e quelli che non li soddisfano»139. mentre quelli della matematica infinitaria «in sé non significano niente»136. gli enunciati della matematica infinitaria sono relativi ad oggetti che. 138 Hilbert 1928. ci permette di riconoscere conclusivamente certi tipi di formazioni di concetti e di inferenze come finitari. certi altri come non finitari. p. sono solo cose ideali. comportando un riferimento all’infinito attuale. Nondimeno. 224.finitaria. 173. perché egli dichiara che «la teoria dei numeri contenutistica finitaria» è «formalizzata mediante l’aritmetica ricorsiva primitiva»140. 139 Hilbert-Bernays 1968-70. Ivi. 140 Ivi. p. L’intento di Hilbert 135 136 Ivi. II. già quantificando esistenzialmente un enunciato della matematica finitaria si può andare oltre la matematica finitaria. p. diventa un patrimonio di formule»145. 162. nell’ambito della matematica. Col passo 1) del programma della conservazione.7]. è importante per la fondazione dell’analisi infinitesimale di Weierstrass. p. i paradossi della teoria degli insiemi mostrano che è proprio «l’operare astratto con estensioni di concetti e contenuti di concetti generali» che «è risultato difettoso e insicuro»142. cosicché la matematica propriamente detta. e perciò non siano veri. cioè la matematica infinitaria. Il programma della conservazione Per mostrarlo Hilbert formula un programma. non si possono dimostrare enunciati reali che non siano dimostrabili senza di esso. 144 Ivi. mediante l’uso di enunciati ideali. 489. 2) Dimostrare nella matematica finitaria che T è esternamente coerente [V. Per esserlo si deve mostrare che. «in primo luogo. e perciò di semplificare e concludere la teoria.4. detto ‘programma della conservazione’. viene «rigorosamente formalizzato. 145 Hilbert 1931a. Essa comprende. tutto ciò che costituisce la matematica nel senso corrente. Si deve però essere sicuri che. 162. Per questo motivo Hilbert afferma: «Nessuno deve poterci mai scacciare dal paradiso che Cantor ha creato per noi»143. Infatti. e in particolare la teoria degli insiemi. è che egli la considera assolutamente certa in quanto basata sull’intuizione sensibile pura. p. la quale ammette operazioni astratte su estensioni di concetti e contenuti di concetti generali che comportano un riferimento all’infinito attuale. p. o matematica in senso stretto. 170. Hilbert 1926. 29 . Dedekind e Cantor. Mostrarlo assicurerebbe che «i modi inferenziali basati sull’infinito» possono essere «sostituiti con processi finiti che danno esattamente gli stessi risultati»144. non si possano dimostrare enunciati reali falsi. mediante l’uso di enuciati ideali. perché gli enunciati ideali permettono di abbreviare le dimostrazioni degli enunciati reali. la matematica finitaria.La ragione per cui Hilbert distingue.4. cioè non siano dimostrabili nella matematica finitaria. che consta dei seguenti due passi: 1) Formalizzare la matematica infinitaria mediante una teoria T. I dubbi possono nascere solo riguardo alla matematica infinitaria. Tuttavia la matematica infinitaria. 2. le 142 143 Hilbert 1970b. In effetti «non è per nulla ragionevole la richiesta generale che ogni singola formula» che compare in una dimostrazione «sia interpretabile per se stessa.3]. 79. Ivi. in virtù della proprietà delle teorie RE [V. La formalizzazione ci evita di dover ricorrere all’intuizione e al significato. a) T deve permettere di esprimere tutti i concetti della matematica infinitaria. che quindi non significano niente. alle formule che esprimono enunciati ideali. 149 Hilbert 1970b. 146 147 Hilbert 1926. 148 Hilbert 1928. E le dimostrazioni formali contenenti formule che esprimono enunciati ideali sono successioni finite di formule. la teoria T che formalizza la matematica infinitaria innanzitutto deve essere RE perché. La necessità di formalizzare la matematica infinitaria nasce dal fatto che. È perciò necessario formalizzare le operazioni logiche e anche le stesse dimostrazioni matematiche. Cioè esprimono enunciati ideali. quindi sono oggetti concreti che esistono intuitivamente. 165. Infatti le formule che esprimono enunciati ideali sono stringhe di segni-base di un linguaggio segnico. Formalizzare la matematica infinitaria ci evita di dover assegnare un’interpretazione agli enunciati ideali. altre formule che non significano niente e che sono i costrutti ideali della nostra teoria»146. Per assicurare che le dimostrazioni formali siano oggetti concreti che esistono intuitivamente.formule a cui corrispondono comunicazioni contenutistiche di enunciati finitari». p. 176. pp. «in secondo luogo. 175-176. perché con essa la matematica infinitaria si trasforma in qualcosa che ha lo stesso carattere degli oggetti della matematica finitaria. essa deve soddisfare anche altre condizioni. e. quindi sono oggetti concreti che esistono intuitivamente. Ma perché la teoria T possa considerarsi una formalizzazione adeguata della matematica infinitaria. questo assicura che si possa riconoscere nella matematica finitaria che una dimostrazione formale è una dimostrazione. cioè esprimono enunciati reali. corrisponde invece alla natura di una teoria il fatto che noi non dobbiamo ricorrere all’intuizione o al significato nel suo sviluppo»148. 30 . p.3. «non si possono applicare contenutisticamente le operazioni logiche e anche le stesse dimostrazioni matematiche. ciò richiede che le relazioni logiche siano tradotte in formule»147. Questo assicura che tutti «i concetti matematici sono inclusi nell’edificio della matematica come componenti formali»149. p. Tali regole devono essere quelle della logica del secondo ordine. 154 Ibid. p. perciò l’assunzione c) è solo un caso particolare di tale principio. il principio della solubilità di ogni problema matematico non si riferisce solo alla solubilità per mezzo degli assiomi di una teoria RE data. Infatti. 155 Hilbert 1926. 153 Ivi. se è dimostrabile o non è dimostrabile in T. 31 . dell’analisi. Solo così si può avere «la completezza dei sistemi di assiomi per la teoria dei numeri e per l’analisi». se è dimostrabile o non è dimostrabile in T. 297. il quale aveva affermato che lo scienziato non può limitarsi a 150 151 Hilbert 1929. In effetti Hilbert asserisce il principio della solubilità di ogni problema matematico non in relazione al programma della conservazione. Hilbert 1970a. per ogni enunciato. che T debba permettere di decidere. pp. Questo assicura che si può dare una risposta affermativa alla «questione della decidibilità mediante un numero finito di operazioni»151. 7-8. Questo assicura che «le regole formalizzate del ragionamento logico sono comunque sufficienti» per dimostrare tutte «le asserzioni logiche universalmente valide»152. o riuscendo a dare una soluzione alla questione posta oppure mostrando l’impossibilità di una sua soluzione e quindi la necessità dell’insuccesso di ogni tentativo»156. perché la formalizzazione della matematica infinitaria richiede quantificazioni su «specie superiori di variabili»153. non va confusa con un’altra sua assunzione. 152 Hilbert 1929. Si noti che l’assunzione c) di Hilbert. p. 6. 7. il ‘principio della solubilità di ogni problema matematico’. 155. per ogni enunciato. Cioè. secondo cui «ogni problema matematico è suscettibile di soluzione»155. ma in polemica con du BoisReymond. 156 Hilbert 1970c. c) T deve permettere di decidere. rispettivamente. è «suscettibile di una rigorosa sistemazione. p. d) T deve permettere di dimostrare tutti gli enunciati logicamente validi.b) T deve permettere di dimostrare tutti gli enunciati veri della matematica finitaria. anche se essa va stabilita con un’argomentazione differente dalla «usuale argomentazione con cui si mostra che due realizzazioni qualsiasi del sistema di assiomi della teoria dei numeri. 180. che «non soddisfa i requisiti del rigore finitario»154. Questo assicura che le regole di T sono «sufficienti nell’ambito della teoria dei numeri»150. devono essere isomorfe». ma alla solubilità con qualsiasi mezzo. p. p. 164 Hilbert 1926. 387. perché «l’operare con l’infinito può essere reso sicuro solo mediante il finito»164. p. 160 Hilbert 1928. Ciò appare evidente dal fatto che Hilbert riassume il principio della solubilità di ogni problema matematico nel motto: «In matematica non esiste alcun ‘ignorabimus’»159. con un’aria da filosofi e con tono di superiorità profetizzano il tramonto della cultura e si compiacciono dello ‘ignorabimus’»158. 190. la dimostrazione del fatto che ogni enunciato esprimente un enunciato reale dimostrabile in T è vero deve essere data nella matematica finitaria. Hilbert 1970e. p. decidersi per il verdetto molto più duro da pronunciare: ignorabimus»157.5. infatti. 2) Dimostrare nella matematica finitaria che T è coerente. I. detto ‘programma della coerenza’. In questo modo. p.dire ‘ignoramus’ ma «deve. Inoltre. p. 2. 162. p. E in polemica con coloro «che oggi. 82. 162 Hilbert-Bernays 1968-70. 163 Hilbert 1970b. 44. 32 . si assicura che ogni enunciato ideale «può essere eliminato da una dimostrazione» di un enunciato reale. 51. Col passo 2) del programma della conservazione si dimostra. p. 157 158 du Bois-Reymond 1967. p. 159 Hilbert 1926. 161 Ivi. Dimostrarlo è essenziale perché solo così «l’estensione mediante aggiunta di elementi ideali è ammissibile»160. che consta dei seguenti due passi: 1) Formalizzare la matematica infinitaria mediante una teoria T. una volta per sempre. 73. E perciò che «le asserzioni matematiche sono realmente verità incontestabili e definitive»163. Così si è certi che gli assiomi infinitari «non possono mai portare ad un risultato dimostrabilmente falso»162. 180. p. con i metodi assolutamente certi della matematica finitaria. Il programma della coerenza Secondo Hilbert. «nel senso che le figure composte con esso possono essere rimpiazzate da segni numerici in modo tale che le formule» che costituiscono gli enunciati reali «si trasformano con questi rimpiazzamenti in formule ‘vere’»161. per realizzare il programma della conservazione basta realizzare un programma strettamente connesso con esso. che ogni enunciato esprimente un enunciato reale dimostrabile in T è vero. la matematica infinitaria viene rigorosamente formalizzata. 74. 167 Hilbert 1976. 66. con tutte le loro conseguenze. con i metodi assolutamente certi della matematica finitaria. dimostrare che T è coerente non serve soltanto per garantirsi che in T non si possono dimostrare enunciati contraddittori tra loro. La dimostrazione del fatto che T è coerente deve essere data nella matematica finitaria.2. 168 Hilbert 1931b. Infatti. che in T non si possono dimostrare enunciati contraddittori tra loro. pp. ha anche una valenza positiva: la coerenza è una condizione necessaria e sufficiente per la verità degli assiomi di T.6. 122-123.Col passo 1) del programma della coerenza. «con l’introduzione di costrutti ideali. Infatti. 2. Allora banalmente il passo 1) del programma della conservazione è realizzabile perché coincide col passo 1) del 165 166 Hilbert 1928. 33 . come afferma Hilbert. e parimenti «’falso’ e ‘portante ad una contraddizione’ sono identici»168. p. ¬A»165. di nuovo. Hilbert 1905. E vale anche l’inverso. 217. per realizzare il programma della conservazione basta realizzare quello della coerenza. Mentre il programma della conservazione richiede di mostrare che tutti gli infiniti enunciati esprimenti enunciati reali dimostrabili in T sono veri. 169 Hilbert 1928. Ma. p. Sufficienza del programma della coerenza Mostriamo che. Supponiamo che i passi 1) e 2) del programma della coerenza siano realizzabili.3]. 74. di nuovo perché l’operare con l’infinito può essere reso sicuro solo mediante il finito. allora essi sono veri»167. Questo è importante perché in una teoria incoerente «possiamo dimostrare la falsità di ogni enunciato corretto»166. p. Dimostrarlo è essenziale perché così si assicura che. Col passo 2) del programma della coerenza si dimostra. per l’equivalenza tra coerenza e indimostrabilità di 0 = 1 [V. non possono venir fuori due enunciati che si contrappongono logicamente l’uno all’altro A. Dunque «‘non contraddittorio’ è identico a ‘vero’». il programma della coerenza ha il vantaggio che esso richiede solo di mostrare che un singolo enunciato «non è una formula dimostrabile»169. «se assiomi arbitrariamente stabiliti non sono in contraddizione tra loro. per Hilbert. per mostrare la coerenza di T basta mostrare che 0 = 1 non è dimostrabile in T. p. nella matematica finitaria si può stabilire che f ( m ) ≠ 0 . Ivi. Se ne conclude che l’enunciato ∀x ( f ( x ) = 0) non può essere falso. Supponiamo che esso non sia realizzabile. dal fatto che ∀x ( f ( x ) = 0) è dimostrabile in T. p. 175 Hilbert 1970b. Il debito di Hilbert verso Kant Hilbert mutua le sue principali idee sulla natura della matematica da Kant. 159.programma della coerenza. «dovunque emergano concetti matematici». 2. Serve invece per mostrare il fondamento della loro certezza. «una scienza come la matematica non può sostenersi su credenze. Contraddizione. D’altra parte. sorge «il compito di indagare i principi che stanno alla base di questi concetti»173. f ( m ) ≠ 0 è dimostrabile anche in T. Pertanto il passo 2) del programma della conservazione è realizzabile. Allora qualche enunciato reale. Ma allora. Ma. T è coerente. 170 171 Ivi. p. e quindi deve essere vero. p. Inoltre si può «ottenere questa equazione come formula dimostrabile. Questo significa che. 173 Hilbert 1970d. per quanto forti esse siano.2]. quindi della forma ∀x ( f ( x ) = 0) dove f è una funzione ricorsiva primitiva [V. 157. e «la dimostrazione della coerenza mostra» questo «in modo finitario»171. p. Infatti. 174 Hilbert 1931a. è dimostrabile in T ma è falso. Cioè. Mostriamo che anche il passo 2) del programma della conservazione è realizzabile. f ( m ) ≠ 0 è dimostrabile nella matematica finitaria. 172 Hilbert 1970b. 295.2. Perciò T è incoerente. 79. per il passo 1) del programma della coerenza.7. 34 . Tale chiarificazione non serve «per consolidare singole teorie matematiche»175. p. ma ha il dovere di una chiarificazione totale»174. 488. 78. Hilbert mutua l’idea che nella matematica «domina una completa sicurezza del ragionamento e un manifesto accordo tra tutti i risultati»172. esprimendo la determinazione» della differenza tra f ( m ) e 0 «sotto forma di una dimostrazione»170. Tuttavia. per qualche numero naturale m. per il passo 2) del programma della coerenza. 1) Da Kant. segue in particolare che f ( m ) = 0 è dimostrabile in T. p. p. aveva detto che «ci è possibile avere conoscenza di un oggetto» solo «in quanto oggetto dell’intuizione sensibile»177. 190. p. Hilbert mutua l’idea che ci è possibile avere conoscenza matematica solo di oggetti che possono essere dati «in modo immediatamente intuitivo»176. permettendo così di «semplificare e concludere la teoria»178. infatti. Kant 1900–. 180 Kant 1900–. perché ciò garantisce che «nel vecchio dominio sono sempre valide le relazioni che risultano per i vecchi oggetti eliminando gli oggetti ideali»182. 162. infatti. si intende un concetto della ragione che trascende ogni esperienza e per mezzo del quale il concreto viene completato in una totalità»179. tuttavia per mezzo di esse l’intelletto. Kant. III. Tali enunciati ideali. 255 (B 385).4]. p. 16 (B XXVI). p. Tali idee non servono ad estendere «la nostra conoscenza oltre gli oggetti dell’esperienza possibile». infatti. che sono utili in quanto indirizzano meglio e più a fondo nel dimostrare enunciati reali. 255 (B 385). 4) Da Kant. 181 Ivi. «nella conoscenza» degli oggetti conoscibili. 178 Hilbert 1970c. Kant. aveva detto che la matematica è conoscenza dotata di certezza apodittiche. 445 (B 702-703). 176 177 Ivi. secondo l’accezione di Kant. III. «è indirizzato meglio e più a fondo»180. 183 Kant 1900–. infatti. non servono ad estendere la nostra conoscenza oltre gli oggetti reali ma svolgono «il ruolo di una idea. se per idea. p. 2) Da Kant.Kant. ma ci si deve domandare come questo sia possibile e indagare il fondamento di tale possibilità [II.1. Hilbert mutua l’idea che l’uso degli enunciati ideali è giustificato nella misura in cui per mezzo di essi non si può dimostrare alcun nuovo enunciato reale non dimostrabile senza di essi. III. III. 3) Da Kant. 73. aveva detto che le idee della ragion pura sono utili in quanto. anche se «per mezzo di esse non può essere determinato alcun oggetto». e i concetti che intervengono in essi. Hilbert mutua l’idea che nondimeno nella matematica si possono usare enunciati ideali. bensì «ad esprimere l’unità sistematica che deve farci da guida nell’uso empirico della ragione»181. 35 . p. 182 Hilbert 1928. p. 187. 179 Hilbert 1926. p. aveva detto che l’uso delle idee della ragion pura è giustificato nella misura in cui per mezzo di esse «l’intelletto non può conoscere alcun oggetto oltre quelli conoscibili con i suoi concetti»183. Kant. «e questa è la dimostrazione della non contraddittorietà»184. né dell’intuizione originaria di Brouwer. p. «per il fatto che la risposta deve essere desunta dalle fonti stesse della domanda. III. di assiomi dell’infinito. p. 188 Ivi. nell’insieme di tutte le possibilità. per giustificare l’uso delle idee della ragion pura. ossia purché il mio concetto sia un pensiero possibile. basta dimostrarne la coerenza. 332 (B 508). Hilbert mutua l’idea che si possa dare una risposta affermativa alla questione della «decidibilità di un problema matematico mediante un numero finito di operazioni»186. 330 (B 504). né dell’assunzione di una particolare capacità del nostro intelletto sintonizzata col principio di induzione completa. 179. in particolare «per la sua fondazione non ha bisogno né del buon Dio. come Poincaré.8. p. aveva detto che. per giustificare l’uso degli enunciati ideali. Deviazioni da Kant Hilbert. come Russell e Whitehead. ma dovendosi in ogni caso fornire una soluzione»187. Hilbert mutua l’idea che. 6) Da Kant. «è implicito che ogni questione da esse sollevata debba poter ottenere immediatamente una risposta a partire da ciò che si sa». 36 . perché «c’è una condizione. interpreta alcune delle idee che egli mutua da Kant in modo deviante rispetto a Kant. e neppure infine. 2. Kant. 187 Kant 1900–. di riducibilità o di 184 185 Hilbert 1926. però. il compito di indagare il fondamento della certezza della matematica non può essere realizzato dalla filosofia ma solo dalla matematica. p. perché «io posso pensare ciò che voglio purché non mi contraddica. alla quale è collegato l’uso» degli enunciati ideali. quantunque io non possa garantire che. assiomi o teoremi. III. come Kronecker. esclusivamente soluzioni certe. senza dunque che sia lecito appellarsi ad una irrimediabile ignoranza. rispetto a tutte le questioni che rientrano nel suo ambito (quaestiones domesticae). infatti. Kant. 1) Per Hilbert. 186 Hilbert 1970a. basta dimostrare che esse sono non contraddittorie.5) Da Kant. p. 17 nota (B XXVI nota). cioè dai dati. Kant 1900–. gli corrisponda anche un oggetto»185. anche se per il momento non ancora disponibili»188. III. una sola ma assolutamente necessaria. 153. infatti. perché quest’ultima non dipende da alcuna autorità esterna. aveva detto che. Perciò la matematica può «richiedere e aspettarsi. nella natura di scienze come la matematica. p. il compito di indagare il fondamento della certezza della matematica deve essere realizzato della filosofia. Nella «soluzione del suddetto problema è contenuta nello stesso tempo la possibilità dell’uso puro della ragione nel fondare e nell’edificare tutte le scienze che contengono una conoscenza teoretica a priori di oggetti. 7 (A VII). III. III. 387. 195 Hilbert 1970e. p. 194 Kant 1900–.completezza»189. «al posto dello stolto ‘ignorabimus’. perché oltrepassano tutti i suoi poteri»196 2. p. ma sono costruzioni di concetti matematici. perché «qualcosa ci è già dato in anticipo nella rappresentazione. gli oggetti matematici ci sono dati dall’intuizione. 469 (B 741). p. Aspettative sulla realizzabilità dei programmi Hilbert era convinto che i suoi programmi fossero realizzabili. perché rientra nel «problema vero e proprio della ragion pura» che «è contenuto nella domanda: Come sono possibili giudizi sintetici a priori?»191. per Kant. 191 Kant 1900–. III. la nostra parola d’ordine è invece: noi dobbiamo sapere. e in uno scritto pubblicato nel 1931 addirittura dichiara: «Credo di aver 189 190 Hilbert 1928. si deve far uso della logica matematica. 85 Hilbert 1970b. 39 (B 19). 2) Per Hilbert. 486.9. 37 . Invece. p. per indagare il fondamento della certezza della matematica. una metamatematica»190. 40 (B 20). 196 Kant 1900–. 192 Ivi. Specificamente. cioè esibizioni di concetti matematici nell’intuizione. per Kant. «la ragione umana ha il peculiare destino di essere tormentata da problemi che non può evitare. gli oggetti matematici non ci sono dati dall’intuizione. 193 Hilbert 1931a. noi sapremo»195. dove «costruire un concetto significa esibire a priori l’intuizione ad esso corrispondente»194. perché «la conoscenza matematica è conoscenza razionale per costruzione di concetti». p. Invece. p. III. cioè la risposta alle domande: Come è possibili la matematica pura? Come è possibile la fisica pura?»192. p 174. Invece. per Kant. che è una branca della matematica creata specificamente a tale scopo e con la quale alla «matematica vera e propria si aggiunge una matematica in certo senso nuova. 3) Per Hilbert. ma a cui tuttavia non è in grado di dare soluzione. perché le sono imposti dalla sua stessa natura. cioè certi oggetti concreti extra-logici che esistono intuitivamente come esperienze immediate prima di ogni pensiero»193. p. se è dimostrabile o non è dimostrabile in T.4]. per il teorema di indefinibilità della verità insiemistica [V.6. per ogni enunciato di T. avrebbe segnato il crollo dei programmi di Hilbert.4]. ossia quello di insieme dei numeri di Gödel di tali enunciati. se T è coerente. che è vero in N ma non è dimostrabile in T. Dunque la condizione b) non può essere soddisfatta. p. se T è coerente. l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati del linguaggio di T che sono veri nella gerarchia cumulativa V [III. V.5. esiste un enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) . Gödel aveva già annunciato quel suo primo teorema di incompletezza che. Per il teorema di indecidibilità [V. Per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. dove f è una funzione ricorsiva primitiva. dove f è una funzione ricorsiva primitiva. dunque un enunciato della matematica finitaria. che «(sotto l’ipotesi della coerenza della matematica classica) si possono dare persino esempi di asserzioni» che «sono contenutisticamente vere» ma non sono dimostrabili nel sistema formale della matematica classica»198. tale che né esso né la sua negazione sono dimostrabili in T.10. Dunque la condizione a) non può essere soddisfatta.2.5. quindi un enunciato della matematica finitaria.2] non può essere definito in V da alcuna formula di tale linguaggio.2. insieme ad altri risultati limitativi. 38 . V. Ma. esiste un enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) .d) di [II.4.4]. V.2. Il passo 1) del programma della coerenza richiede di formalizzare tutta la matematica infinitaria mediante una teoria T che sia RE e soddisfi le condizioni a) . Anche prescindendo dalla nozione di verità in N. Perciò T non permette di esprimere un concetto della matematica infinitaria.4. durante una discussione ad un convegno tenuto a Königsberg.4. I. Gödel 1986-2002.9]. T non permette di decidere.5.2. Ma il 7 settembre 1930. 2. Il crollo del programma della coerenza I teoremi di incompletezza di Gödel e altri risultati limitativi implicano che nessuno dei passi dei programmi di Hilbert è realizzabile.9]. 494. Aveva detto.raggiunto completamente ciò che volevo e avevo promesso: il problema dei fondamenti della matematica in quanto tale è stato con ciò definitivamente eliminato»197. infatti. 202. Dunque la condizione c) non può essere 197 198 Hilbert 1931a. per il teorema di incompletezza di Rosser [V. se T è coerente.4. Dunque T non permette di determinare tutti i suoi enunciati. 3]. Addirittura.4]. Senza tale requisito. lo stesso vale per gli assiomi logici e regole di deduzione logiche della logica del primo ordine. per il passo 1) del programma della coerenza. Il passo 2) del programma della coerenza richiede di dimostrare nella matematica finitaria che T è coerente. 199 200 Ivi.4.d). a maggior ragione ConT non è dimostrabile nella matematica finitaria. se T è coerente. p. Poiché il requisito di dimostrare nella matematica finitaria che T è coerente non può essere soddisfatto.7. per il teorema di indecidibilità della logica del secondo ordine [V. 39 . anche di sistemi T molto forti. Ma questa condizione non può essere soddisfatta perché.4. l’enunciato ConT che esprime canonicamente la coerenza di T non è dimostrabile in T. «la coerenza (nel senso della indimostrabilità di una proposizione e della sua negazione).5.9]. L’obiezione di Detlefsen Questa conclusione si fonda sul secondo teorema di incompletezza di Gödel.11. ma il fatto che non possa essere soddisfatta nessuna di esse lo stabilisce ad abundantiam.3]. 34 Ivi. T deve contenere tutta la matematica infinitaria. per il teorema di Church [V. ne segue che il passo 2) del programma della coerenza non può essere realizzato. Non essendo dimostrabile in T. II. Infatti. Per stabilirlo basterebbe che non potesse essere soddisfatta una delle condizioni a) . Quindi la condizione d) non può essere soddisfatta.7.soddisfatta. 2. per il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V.4. la cui validità dipende in modo essenziale dal requisito che l’enunciato ConT che esprime la coerenza di T la esprima canonicamente [V. può essere dimostrabile in T»200. e. Per dimostrarlo c’è «sempre bisogno di qualche metodo dimostrativo che trascende il sistema»199. perché quest’ultima è una parte propria della matematica infinitaria e. non esiste alcun insieme di assiomi logici e regole di deduzione logiche della logica del secondo ordine che sia RE e tale che tutti gli enunciati logicamente validi siano dimostrabili per mezzo di tali assiomi logici e regole di deduzione logiche. Ne segue che il passo 1) del programma della coerenza non può essere realizzato. p. 305. V. Per un corollario del teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine [V.4.6]. gli assiomi logici e le regole di deduzione logiche della logica del secondo ordine non permettono di decidere se un enunciato del secondo ordine è logicamente valido. III. perché quest’ultima è una parte propria della matematica infinitaria e. 2. Contro questa conclusione non si può dunque avanzare un’obiezione simile a quella di Detlefsen [II. Ma questa condizione non può essere soddisfatta perché. La condizione che l’enunciato ConT che esprime la coerenza di T debba esprimerla canonicamente non è «qualcosa a cui l’hilbertiano è impegnato dalla natura della sua impresa» perché «non esiste alcuna ragione» per supporlo. questo non salverebbe il programma della coerenza dal crollo. Perciò Gödel afferma che il terzo teorema di incompletezza è «la versione migliore e più generale dell’indimostrabilità della coerenza nel sistema»202. senza far uso del secondo teorema di incompletezza di Gödel. l’enunciato ExtConT che esprime la coerenza esterna di T non è dimostrabile in T.11].5]. 345. perché coincide col passo 1) del programma della 201 202 Detlefsen 1990. per il terzo teorema di incompletezza di Gödel [V. a maggior ragione ExtConT non è dimostrabile nella matematica finitaria. II. 40 .7].4. però. anche se l’obiezione di Detlefsen fosse valida. Il crollo del programma della conservazione Si può infatti dimostrare che il passo 2) del programma della conservazione non può essere realizzato. i quali sono dimostrabili in T [V. La validità del terzo teorema di incompletezza di Gödel non dipende da alcuno speciale requisito su ExtConT. T deve contenere tutta la matematica infinitaria.12.′ che esprimono la coerenza di T ma non esistono enunciati ConT canonicamente.2. Non essendo dimostrabile in T. per il passo 1) del programma della conservazione. p. Poiché il requisito di dimostrare nella matematica finitaria che T è esternamente coerente non può essere soddisfatto. D’altra parte neppure il passo 1) del programma della conservazione può essere realizzato. Gödel 1986-2002. se T è coerente. ne segue che il passo 2) del programma della conservazione non può essere realizzato. Come vedremo. Il passo 2) del programma della conservazione richiede di dimostrare nella matematica finitaria che T è esternamente coerente.4. e perciò non si può dire che il secondo teorema di incompletezza di Gödel «si applichi al programma di Hilbert in sé»201. 305. Detlefsen ha perciò obiettato che il secondo teorema di incompletezza di Gödel non prova conclusivamente che il passo 2) del programma della coerenza non può essere realizzato. E Gödel sottolinea che. Ma Hilbert non aveva bisogno di Gödel per rendersi conto di questo.2. se in essa «sostituiamo il termine ‘geometrico’ con ‘matematico’ o ‘insiemistico’.4. per realizzare il programma della conservazione. V. Pertanto il programma della conservazione non può essere realizzato. perché. per il teorema dell’esistenza di teorie coerenti false [V. come abbiamo visto.9] mostrano che nessuna teoria T mediante la quale si formalizzi la matematica infinitaria può essere giustificata mediante i 203 204 Kant 1900–. V. 2.9] mostra che nessuna teoria T mediante la quale si formalizzi la matematica infinitaria permette di dimostrare tutte le verità matematiche. sebbene questa affermazione di Kant sia «scorretta se presa alla lettera». ma «attraverso una catene di inferenze che è sempre guidata dall’intuizione»203.5].4. come abbiamo visto. 1) Il primo teorema di incompletezza di Gödel [V.4. p. Ma allora neppure il programma della coerenza può essere realizzato. 385. 2) Il secondo e il terzo teorema di incompletezza di Gödel [V. Inadeguatezza della coerenza Un ulteriore limite dei programmi di Hilbert è che. Infatti. non può essere realizzato. Dunque nella dimostrazione di teoremi geometrici abbiamo bisogno dell’intuizione. Ma questo è smentito dal fatto che. III. Le ragioni di Kant I teoremi di incompletezza di Gödel segnano il crollo dei programmi della conservazione e della coerenza.7.14. che.4.3]. cioè se riferita alla geometria.4. p. allora diventa una proposizione dimostrabilmente vera»204. basta realizzare il programma della coerenza. la coerenza non è una condizione sufficiente per la verità degli assiomi di T.coerenza. Gödel 1986-2002. e perciò una deduzione puramente logica di ogni teorema geometrica da assiomi è impossibile. nondimeno. V. secondo Hilbert. indipendentemente da essi. 471 (B 745-746). già Kant aveva affermato che nella geometria il matematico «arriva ad una soluzione del problema illuminante e nello stesso tempo generale» non semplicemente deducendo conseguenze dagli assiomi.2. 41 . la coerenza è una condizione necessaria e sufficiente per la verità degli assiomi di T [II.4. 2. Ma.4.13. già alcuni indizi avrebbero permesso ad Hilbert di rendersi conto dell’intrinseca debolezza dei suoi programmi. perché usa tale termine nel senso dei giuristi. Infatti. «un nostro giudizio può essere esente da contraddizioni e tuttavia unire i concetti in un modo contrastante con l’oggetto. III. Ivi.4. già Kant aveva sottolineato che «è certamente una condizione logica necessaria» che un dato concetto «non debba contenere alcuna contraddizione.3]. ‘deduzione’»206. Ma Hilbert non aveva bisogno di Gödel per rendersi conto di questo. e ciò appunto perché non si tratta che di idee»205. III. 99 (B 116). 42 . p.metodi della matematica finitaria. 209 Ivi. IV. 210 Ivi. Per ‘deduzione’ Kant intende qui ‘giustificazione’ e ‘legittimazione’. Infatti. p. 259 (B 393). Perciò gli enunciati ideali e i concetti che intervengono in essi – che corrispondono a ciò che Kant chiamava le idee della ragion pura – non ammettono alcuna giustificazione assoluta. III. 187 (B 267-268). 3) Il teorema dell’esistenza di teorie coerenti false [V. 208 Ibid. mostra che la coerenza non è una condizione sufficiente per la verità degli assiomi di una teoria T mediante la quale si formalizzi la matematica infinitaria. Dunque. in quanto la fonte delle idee»209. p. 439 (B 691-692). Ma Hilbert non aveva bisogno di Gödel per rendersi conto di questo. Di esse si può dare solo «una deduzione soggettiva»208. a priori o a posteriori. già Kant aveva sottolineato che «non è propriamente possibile alcuna deduzione oggettiva» delle idee della ragion pura. p. Infatti. «ma solo per mezzo di un’indagine soggettiva sulla ragione stessa. 207 Ivi. Le idee della ragion pura vengono assunte solo «come principi euristici. Un’eventuale fallacia che si annidi in esse «non può venir contenuta nei suoi limiti per mezzo di alcuna indagine oggettiva e dogmatica delle cose» perché una tale indagine è impossibile. e dunque può unirli anche se manca un fondamento che giustifichi. i quali chiamano la prova «che deve dimostrare la legittimità o anche la pretesa giuridica. che è un corollario del primo teorema di incompletezza di Gödel. Kant vuole dire che per esse non è possibile alcuna giustificazione assoluta. 329. perché esse «non intrattengono alcun rapporto con un qualsiasi oggetto che possa essere dato in modo adeguato. affermando che per le idee della ragion pura non è propriamente possibile alcuna deduzione oggettiva. 205 206 Kant 1900–. ma questo non è affatto sufficiente a garantire la realtà oggettiva del concetto. III. p. ossia la possibilità dell’oggetto che viene pensato mediante il concetto»210. e senza che si pretenda di poterne dare una deduzione trascendentale»207. p. II. esisterà comunque un enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) . V. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V.1. 141 (B 190). Brouwer 3. Le motivazioni di Brouwer 211 212 Ivi. e il suo unico contributo originale alla filosofia della matematica – che era di natura tecnica: il progetto di dimostrare nella matematica finitaria la coerenza di una formalizzazione di tutta la matematica – si risolse in un fallimento.4. Hilbert-Bernays 1968-70. basta ammettere che la matematica finitaria vada oltre quella formalizzata nell’aritmetica ricorsiva primitiva PRA. vero ma non dimostrabile in T. «per lo sviluppo della dimostrazione di coerenza.4].4. Da essi segue soltanto che. VII. A tale scopo basta «estendere la precedente delimitazione del punto di vista finitario»214. Ma non è così. che sarà comunque una parte di quella formalizzata da T. Infatti. pur essendo esente da ogni contraddizione interna. Cioè. dove f è una funzione ricorsiva primitiva. p. si deve utilizzare il punto di vista finitario in un modo più acuto di quanto è richiesto dalla trattazione di formalismi elementari»213. se T è coerente. 214 Ivi. 213 Ibid. e tale enunciato ovviamente sarà finitario anche nel senso esteso. In tal caso il giudizio. 43 . per il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V.tale giudizio. I. Egli infatti dichiarò che «si è dimostrata errata l’opinione temporaneamente accolta che da certi nuovi risultati di Gödel segua l’impraticabilità della mia teoria»212. e per questi non vi è alcuna possibilità di salvezza. cioè nella matematica infinitaria. Hilbert mutuò le sue principali idee sulla matematica da Kant. l’enunciato ConT che esprime canonicamente la coerenza di T non sarà dimostrabile in T.9].4. VII. e quindi neppure nella matematica finitaria nel senso esteso. p. Dunque i risultati di Gödel segnano davvero il crollo dei programmi di Hilbert. se la teoria T mediante la quale si formalizza la matematica infinitaria è coerente.15. III. può essere falso o infondato»211. La reazione finale di Hilbert La portata distruttiva dei risultati di Gödel per i programmi di Hilbert non venne riconosciuta da Hilbert. 3. 2. dunque.2. Inoltre. In definitiva. Non essendo semplicemente una restrizione della matematica classica ma avendo oggetti e metodi suoi 215 216 Brouwer 1975. 52. visti i risultati di certe indagini degli ultimissimi decenni. alternativa a quella classica. Dedekind e Cantor hanno introdotto oggetti e metodi astratti che non possono essere dati dall’intuizione. ma questa speranza «non è mai stata soddisfatta e oggi. e riconoscere che «non può esistere alcuna matematica che non sia stata costruita intuitivamente»216. p. per il ruolo che vi dovrà avere l’intuizione. e nelle dimostrazioni hanno fatto uso del principio del terzo escluso che non può essere giustificato dall’intuizione. e nelle dimostrazioni si usino solo principi che possono essere giustificati dall’intuizione.Anche secondo Brouwer (1881-1966) il compito della filosofia della matematica è indagare il fondamento della certezza della matematica. 218 Ivi. perché non si possono ammettere «verità prima che tali verità siano state esperite»218. perché l’unico «possibile fondamento della matematica va ricercato in questa costruzione»217. Un oggetto o metodo è legittimo se e solo se si può darne una costruzione basata sull’intuizione. 412. Alcuni. «abbandonata»215. Dedekind e Cantor. 44 . Ivi. sembra. In particolare. 3. hanno sperato che «la scienza matematica eretta secondo i loro principi sarebbe stata coronata un giorno da una dimostrazione di non contraddittorietà». è stata». un enunciato matematico è vero se e solo se si può darne una dimostrazione. cioè la matematica risultante dalla fondazione di Weierstrass. la quale. p. Weierstrass. p. 219 Ivi. 508. 217 Ibid. si deve dare una nuova fondazione dell’analisi infinitesimale in cui si usino solo oggetti e metodi che possono essere dati dall’intuizione. come Hilbert. Questo dipende dal fatto che. p. Si deve perciò lasciar perdere la ‘matematica classica’. per dare una fondazione dell’analisi infinitesimale. Il programma di Brouwer Abbandonare la matematica classica comporta ricostruire «daccapo parecchie teorie della matematica vera e propria con incrollabile certezza»219. Ma per lui la matematica esistente non è assolutamente certa nella sua totalità. può dirsi ‘matematica intuizionista’. 488. Parimenti. Si deve quindi sviluppare una nuova matematica.2. mediante una costruzione. o si può dimostrarla oppure si può mostrare che la supposizione che si possa dimostrarla porta ad un’assurdità. ‘Ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi’. della congettura di Goldbach. e che negare al matematico l’uso di tale principio «sarebbe come vietare all’astronomo il telescopio o al pugile l’uso dei pugni»223. ricostruendo daccapo parecchie teorie della matematica classica in base ai suoi principi. o si può dimostrarla oppure si può mostrare che la supposizione che si possa dimostrarla porta ad un’assurdità. per alcuni decenni. Si dirà che tale principio «non ha mai prodotto il minimo errore». Cioè. il che per Brouwer significa che ogni supposizione. Questo è il programma di Brouwer. 552. Questo viene sottolineato da Brouwer dicendo che «la questione della validità del principio del terzo escluso è equivalente alla questione se possano esistere problemi matematici insolubili»222. Tale principio «asserisce che ogni supposizione è vera o falsa». si è ottimisti sulle capacità umane e si ritiene che ogni problema matematico è suscettibile di soluzione.4]. la matematica intuizionista non sarà confrontabile con quella classica. che egli cercò di realizzare. sotto l’influenza di Brouwer. è equivalente al principio di Hilbert della solubilità di ogni problema matematico [II. p. Infatti. 109. e che. ed effettivamente realizzò. Se. E ci si meraviglierà del fatto che «un matematico possa dubitare della rigorosa validità» del principio in questione. ad esempio. 220 221 Ivi. equivale a dire che ogni problema matematico è solubile. Il rifiuto del principio del terzo escluso Uno degli aspetti più noti del programma di Brouwer è il rifiuto del principio del terzo escluso. 3.3. 223 Hilbert 1928. Tale è il caso. all’arresto del processo»220. 45 . 109.2. 222 Ivi. Ma allora «ogni asserzione matematica» che non è stata dimostrata. «dà luogo ad una confutazione del principio del terzo escluso»221. dire che ogni supposizione. allora il principio del terzo escluso sarà ammissibile. Ivi. 80. inteso come lo intende Brouwer. come Hilbert. e per la quale non si sa mostrare che la supposizione che essa sia dimostrabile porta ad un’assurdità. p. Il principio del terzo escluso. p.propri. p. in particolare «non ha la minima colpa per la comparsa dei noti paradossi della teoria degli insiemi». o «si può» stabilirla «mediante una costruzione oppure si può arrivare. «un’intera comunità di matematici si sia oggi ritrovata a fare questo», il che mostra che «la capacità di suggestione di un singolo uomo, dotato di un forte carattere e ricco ingegno, riesce ad esercitare la più improbabili ed eccentriche influenze»224. Se invece, come Brouwer, si è pessimisti sulle capacità umane e si ritiene che «non vi è ombra di prova per la convinzione» che «non esistano problemi matematici insolubili», allora il principio del terzo escluso non sarà ammissibile, non essendo «affidabile come principio di ragionamento»225. Si dirà che la credenza nella validità di tale principio è «un fenomeno della storia della civiltà dello stesso tipo della credenza di un tempo nella razionalità di π o nella rotazione del firmamento su un asse passante per la terra»226. 3.4. La nozione intuizionista di dimostrazione Se il rifiuto del principio del terzo escluso è uno degli aspetti più noti del programma di Brouwer, la nozione di dimostrazione di Brouwer è uno degli aspetti meno noti e meno compresi di tale programma. Secondo un’opinione diffusa, Brouwer rifiuterebbe il metodo assiomatico riducendo la dimostrazione matematica ad un’illuminazione. Ma tale opinione è contraddetta dal fatto che Brouwer definisce la «matematica intuizionista» come una matematica che «deduce teoremi», sebbene li deduca «esclusivamente per mezzo della costruzione introspettiva»227. Cioè, la matematica intuizionista è una matematica che deduce teoremi da assiomi basati sull’intuizione, mediante deduzioni basate sull’intuizione. Ciò che Brouwer rifiuta non è dunque il metodo assiomatico, ma solo il metodo assiomatico formale di Hilbert, che deduce teoremi mediante dimostrazioni formali le quali possono contenere formule che non significano niente, e perciò non poggiano sull’intuizione. Secondo Brouwer, per assicurare l’affidabilità dei ragionamenti matematici, si deve partire da assiomi basati sull’intuizione e proseguire mediante inferenze deduttive anch’esse basate sull’intuizione. È quanto fanno le dimostrazioni di Euclide, che accompagnano «il passaggio, per mezzo di una catena di tautologie, da relazioni (cioè, sottostrutture) chiaramente percepite» mediante l’intuizione, «a nuove relazioni che non sono percepite immediatamente»228. 224 225 Ivi, pp. 80-81. Brouwer 1975, p. 109. 226 Ivi, p. 492. 227 Ivi, p. 488. 228 Ivi, p. 76. 46 In generale, in una dimostrazione matematica «si comincia costruendo una struttura che soddisfa parte delle relazioni richieste», cioè, costruendo assiomi basandosi sull’intuizione, «poi si cerca di dedurre da queste relazioni, per mezzo di tautologie, altre relazioni» sempre basandosi sull’intuizione, «in modo che queste nuove relazioni, combinate con quelle che non sono ancora state usate, diano luogo ad un sistema di condizioni adatto come punto di partenza per la costruzione della struttura richiesta»229. Dunque per Brouwer le dimostrazioni matematiche sono dimostrazioni assiomatiche, sebbene assiomatiche non nel senso di Hilbert ma nel senso di Euclide. Questo è confermato da Heyting – il principale allievo e continuatore di Brouwer – il quale afferma che «il metodo assiomatico è», nella matematica intuizionista, «uno strumento altrettanto importante che nella matematica classica»230. A condizione, naturalmente, che esso venga usato, come Euclide, per descrivere oggetti matematici che sono considerati esistenti in quanto basati sull’intuizione, e non, come Hilbert, per introdurre oggetti matematici che non hanno alcuna base nell’intuizione, perché nella matematica intuizionista «un oggetto matematico viene considerato esistente solo dopo la sua costruzione», e perciò «non può essere portato in essere da un sistema di assiomi»231. 3.5. I due atti dell’intuizionismo Secondo Brouwer, l’intuizionismo si basa su due assunzioni fondamentali o «atti»232. Il primo atto dell’intuizionismo «riconosce che la matematica intuizionista è un’attività essenzialmente alinguistica della mente che ha la sua origine nella percezione di un passaggio di tempo, cioè nello scindersi di un momento di vita in due cose distinte, una delle quali cede il passo all’altra, ma è conservata dalla memoria»233. Se «la duità così nata viene spogliata di tutte le qualità, rimane la forma vuota del sostrato comune di tutte le duità», ed «è questo sostrato comune, questa forma vuota, che è l’intuizione base della matematica»234. Dunque «il fenomeno base» della matematica «è la semplice intuizione del tempo»235. 229 230 Ibid. Heyting 1962, p. 240. 231 Ivi, p. 239. 232 Brouwer 1975, p. 509. 233 Ivi, p. 510. 234 Ibid. 235 Ivi, p. 53. 47 Il primo atto dell’intuizionismo «crea non solo i numeri uno e due, ma anche tutti i numeri ordinali finiti, in quanto uno degli elementi della duità può essere pensato come una nuova duità, e questo processo può essere ripetuto indefinitamente»236. Perciò il primo atto dell’intuizionismo sta alla base dell’aritmetica dei numeri naturali. Col primo atto dell’intuizionismo si possono generare però solo «successioni infinite predeterminate che, come quelle classiche, procedono in modo che il loro m-esimo termine è fissato dall’inizio per ogni m»237. Questo potrebbe far temere che «la matematica intuizionista debba necessariamente essere povera e anemica, e in particolare che in essa non vi sia posto per l’analisi» matematica, «ma non è così; al contrario, un campo di sviluppo molto più ampio, che comprende l’analisi, e in molto punti va ben oltre le frontiere della matematica classica, viene aperto dal secondo atto dell’intuizionismo»238. Il secondo atto dell’intuizionismo «riconosce la possibilità di generare nuovi enti matematici: in primo luogo, sotto forma» di successioni di scelte, cioè «di successioni che proseguono all’infinito» i cui «termini sono scelti più o meno liberamente tra enti matematici precedentemente acquisiti»; e, «in secondo luogo, sotto forma di specie matematiche, cioè di proprietà ipotizzabili per enti matematici precedentemente acquisiti», che «si dicono elementi della specie»239. Il secondo atto dell’intuizionismo «crea la possibilità di introdurre il continuo intuizionista come la specie delle successioni infinite convergenti di numeri razionali che proseguono più o meno liberamente»240. Vedremo in seguito come il secondo atto dell’intuizionismo crei tale possibilità. 3.6. Il debito di Brouwer verso Kant Anche Brouwer mutua le sue principali idee sulla natura della matematica da Kant. 1) Da Kant, Brouwer mutua l’idea che non può esistere alcuna matematica che non sia stata costruita intuitivamente, in particolare che «una costruzione logica della matematica, indipendente dall’intuizione matematica, è impossibile»241. 236 237 Ivi, pp. 127-128. Ivi, p. 511. 238 Ibid. 239 Ibid. 240 Ivi, pp. 511-512. 241 Ivi, p. 97. 48 Brouwer 1975. 283. 247 Ivi. perché «non esiste una psicologia razionale come dottrina capace di incrementare la conoscenza»246. infatti. per quanto interessanti. aveva detto che la matematica «riesce a costruire i suoi concetti di numero mediante una successiva aggiunta delle unità nel tempo»244. aveva detto che la costruzione di concetti in cui consiste la matematica non ha nulla di psicologico. che crea i numeri naturali. 248 Ivi. «come il loro stesso nome sta a significare. sicché «l’apriorità del tempo» qualifica «le proprietà dell’aritmetica come giudizi sintetici a priori»243. porre dinanzi agli occhi. 482 (B 763). p. IV. 245 Brouwer 2004. p. Brouwer mutua l’idea che la dimostrazione matematica parte da verità immediate (assiomi) basate sull’intuizione. p. perciò «le interpretazioni psicologistiche della matematica intuizionista. 4) Da Kant. III. III. 3) Da Kant. 470 (B 743-744). è l’intuizione temporale. perché «non è possibile che essa proceda di un passo se le manca l’intuizione pura»248. Che ogni passo di una dimostrazione si fondi sull’intuizione mostra che le dimostrazioni. E prosegue con inferenze deduttive immediate fondate sull’intuizione. Perciò esso può essere usato in senso proprio e reale solo per prove in cui l’oggetto viene presentato 242 243 Kant 1900–. p. Brouwer mutua l’idea che la costruzione intuitiva della matematica non ha nulla di psicologico. p.3.Kant. 128. aveva detto che la dimostrazione parte da assiomi che sono proposizioni fondamentali le quali «possono essere esibite nell’intuizione»247. p. e si volge subito all’intuizione per considerarvi il concetto in concreto»242. IV. 110. 274 (B 421). infatti. Dunque le dimostrazioni matematiche sono dimostrazioni assiomatiche. 76. Dunque le dimostrazioni matematiche sono dimostrazioni assiomatiche [II. 2) Da Kant. 49 . infatti. infatti. III. p.4]. 249 Ivi. e prosegue per mezzo di inferenze deduttive basate sull’intuizione. Kant. 246 Kant 1900–. 283. IX. Brouwer mutua l’idea che l’intuizione base della matematica. Il nome ‘dimostrazione’ «viene da ‘monstrare’. 244 Kant 1900–. Kant. non possono mai essere adeguate»245. procedono nell’intuizione dell’oggetto»249. aveva detto che la matematica «non può concludere nulla col semplice concetto. Kant. mostrare. «si limita a dire che. 355 (B 547). 254 Kant 1900–. p. 1) Per Brouwer. la successione procedente all’infinito dei numeri naturali»251. Brouwer 1975. 137 (B 182). 354 (B 546). Perciò non determina l’oggetto nella sua totalità. 894. XXIV. 258 Ivi. III. ad un membro più remoto»256. 357 (B 551). per Kant. III. 257 Ivi. III. p. perciò «non è altro che l’unità della sintesi del molteplice di una intuizione omogenea in generale. non ci è mai lecito ammettere un limite assoluto»257. III. p. il numero non è generato dall’intuizione temporale. 523. per Kant. in quanto condizionato.nell’intuizione e in cui la verità viene conosciuta non solo in modo discorsivo ma anche intuitivo»250. Invece. 355 (B 547). p. È solo un processo «continuato indeterminatamente (in indefinitum)»255. p. 253 Brouwer 1975. e «consiste in una rappresentazione che abbraccia la successiva aggiunta di uno ad uno (omogenei)». l’intuizione temporale «genera successivamente ciascun numero naturale. III. Essendo uno schema. p. 356 (B 549). 255 Ivi. 50 . 250 251 Ivi. p. interpreta alcune delle idee che egli mutua da Kant in modo deviante rispetto a Kant. 523. Tale processo obbedisce sì «ad una regola. Invece. una successione che procede in indefinitum non può mai essere data «nell’intuizione (come un tutto)»254. la quale porta da qualsiasi membro della successione. III. 252 Kant 1900–. p. però. 2) Per Brouwer. cioè il carattere aperto del futuro. perché lo sviluppo delle successioni di scelte non è predeterminato ma ad ogni passo i loro «termini sono scelti più o meno liberamente tra enti matematici precedentemente acquisiti»253. p. il numero è «lo schema puro della quantità». Le deviazioni da Kant Anche Brouwer. 3. per il fatto che io genero il tempo stesso nell’apprensione dell’intuizione»252. Per questo motivo lo sviluppo di una tale successione non può essere «dato in un’intuizione collettiva»258. per quanto possiamo aver proceduto nella serie delle condizioni empiriche. le successioni di scelte sono date nell’intuizione temporale in quanto incorporano una delle caratteristiche centrali di quest’ultima.7. Ma essa non conduce ad uno sviluppo ben determinato. 256 Ivi. 3. 262 Ivi. Invece. 127. 265 Kant 1900–. 259 260 Brouwer 1975. 477. per Kant. perché alla scoperta della geometria non euclidea si può rispondere solo «abbandonando l’apriorità dello spazio di Kant e aderendo ancor più risolutamente all’apriorità del tempo»259. il principio del terzo escluso non vale perché ogni asserto matematico che non è stato dimostrato vero né è stato dimostrato falso. 263 Brouwer 1975. Il continuo intuizionista Vediamo ora come il secondo atto dell’intuizionismo crei la possibilità di introdurre il continuo intuizionista come la specie delle successioni infinite convergenti di numeri razionali che proseguono più o meno liberamente. così come i giudizi di cui fanno parte. 53. che «sono stati costruiti tutti i sistemi matematici. 5) Per Brouwer. p. perché «senza parole noi non giudicheremmo affatto»265. 116. cioè che l’opposto sia falso – per giudizi apodittici»262. Invece. Ivi. il principio del terzo escluso vale perché è su di esso che «si fonda la necessità (logica) di una conoscenza – il fatto che la si debba giudicare necessariamente così e non altrimenti. 73. perché è conoscenza razionale per costruzione di concetti. per Kant. si basano in modo essenziale sul linguaggio. 261 Kant 1900–. Le parole di una «dimostrazione matematica semplicemente accompagnano una costruzione matematica che è effettuata senza parole»264. IX.3) Per Brouwer. p. XXIV. p. p. inclusi gli spazi con le loro geometrie»260. dà luogo ad una confutazione del principio del terzo escluso [II. 283. Invece. 266 Ivi. indipendente dall’esperienza».3]. e per il quale non conosciamo alcun metodo che permetta di dimostrare che è vero oppure che è falso. p.3. la matematica «è una costruzione mentale essenzialmente indipendente dal linguaggio»263. per Kant. Infatti. «la geometria pone a fondamento l’intuizione pura dello spazio»261. 264 Ivi. l’intuizione temporale è il fondamento non solo dell’aritmetica ma anche della geometria. IX. la matematica è un’attività che si basa sul linguaggio. 934. e i concetti. 4) Per Brouwer. È «da questa intuizione del tempo. p. IV. p. 109. «come potete pensare i giudizi senza parole?»266. p. 51 .8. avranno tra loro una distanza minore di 2 − k .. 1. Ogni successione fondamentale r1 .42... r3 . r3 . perciò è resa possibile dal secondo atto dell’intuizionismo. 1.... ad esempio.415. 1.4142..4143.. r2 ... determina un numero reale r. 1. nel senso già definito. 1. r3 . Diciamo che due successioni fondamentali r1 ... avranno tra loro una distanza minore di 2 − k .. r2 ..41421.5. s2 .. 1. i membri della successione r1 . r3 ... r3 . la successione fondamentale 2. r3 . Questa definizione del continuo intuizionista si basa sulle nozioni di successione di scelte e di specie. di numeri razionali tale che ∀k ∃n∀m∀p( rn + m − rn + p < 2 − k ) . .. con la successione fondamentale precedente. ‘coincidono’ se e solo se ∀k ∃n∀m ( rn + m − sn + m < 2 ) .4. r3 . e s1 .41422. Cioè il continuo intuizionista è la proprietà di essere un numero reale. 1... .. r2 . per ogni k. da un certo punto n in poi. sono tali che. cioè la specie delle successioni fondamentali che coincidono con tale successione fondamentale. … perché essa coincide.. che è la specie delle successioni fondamentali che coincidono con tale successione fondamentale. −k Cioè r1 ..414.Chiamiamo ‘successione fondamentale’ una successione di scelte r1 . 1. r2 . s3 .. determina il numero reale 2 . s3 . r2 .. s2 . r2 .. e s1 .. i membri corrispondenti delle successioni r1 .. 52 . per ogni k. Cioè un numero reale è la proprietà di coincidere con una data successione fondamentale. s2 . e s1 . Chiamiamo ‘continuo intuizionista’ la specie dei numeri reali. 1. Per esempio la successione fondamentale 1. Chiamiamo ‘numero reale’ la specie delle successioni fondamentali che coincidono con una data successione fondamentale.. è tale che. 1.41. da un certo punto n in poi. s3 . Cioè r1 . A questa specie appartiene anche.. r2 ... Tale teorema non vale nella matematica classica. nella matematica intuizionista non esistono certi oggetti matematici che sono importanti per la fisica. Ivi. 53 . o privi di senso. nella quale esistono funzioni definite ovunque e discontinue. 489. Un esempio è dato dal teorema di Bolzano-Weierstrass Ne segue che la matematica intuizionista e la matematica classica non sono confrontabili tra loro. 3. 488. per esempio «non esiste alcuna funzione definita ovunque» 267 268 Brouwer 1975. Viceversa. p. non perché egli non sia riuscito a realizzarlo. Il teorema di continuità asserisce allora che tutte le funzioni definite ovunque sui numeri reali sono continue.10. vi sono teoremi che valgono nella matematica classica ma non in quella intuizionista.3. I limiti del programma di Brouwer Anche il programma di Brouwer di costruire un nuovo tipo di matematica è fallito. Una prova di ciò è data dal fatto che. La loro non confrontabilità dipende dal fatto che la matematica intuizionista non applica il principio del terzo escluso. p. ma «si limita a successioni infinite predeterminate per le quali l’n-esimo elemento è fissato dall’inizio per ogni n»268. Il teorema di continuità Un risultato fondamentale della matematica intuizionista è il teorema di continuità. Una funzione f dai numeri reali ai numeri reali si dice ‘continua’ se soddisfa la condizione: ∀k ∀x∃m∀y ( x − y < 2 −m → f ( x) − f ( y) < 2 ) . −k Dunque una funzione continua è una funzione il cui grafico è dato una curva che non presenta interruzioni né salti. nel senso che «enti matematici riconosciuti» sia dalla matematica intuizionista sia da quella classica «soddisfano teoremi che per l’altra scuola sono o falsi. ma perché la matematica intuizionista non costituisce una valida alternativa alla matematica classica. Quindi il teorema di continuità fornisce un esempio di teorema che vale nella matematica intuizionista ma non in quella classica. o anche in un certo modo contraddittori»267. e viceversa la matematica classica «applica il principio del terzo escluso».9. ma ammette successioni che proseguono all’infinito i cui termini sono scelti più o meno liberamente. y f(x) 0 x la curva che costituisce il grafico di f presenta un salto nel punto x = 0 . Ciò segue dal teorema di continuità. Facciamo vedere che. ∀nA( n ) esprime la congettura di 269 270 Ivi. come mostra la seguente figura. Che nella matematica intuizionista non esistano funzioni definite ovunque sui numeri reali e discontinue può essere anche visto. Per esempio. Sia A(n ) una proprietà dei numeri naturali tale che. ⎩1 se x ≠ 0 Tale funzione f è discontinua nel punto x = 0 perché. Tuttavia in essa non esistono funzioni definite ovunque sui numeri reali e discontinue. perciò non si può decidere ∀nA( n ) ∨ ¬∀nA( n ) . mediante il seguente controesempio. la funzione f non esiste. si può prendere come A(n ) la proprietà ‘ 2 n + 4 è la somma di due numeri primi’ perché. p. si sa se vale A(n ) ma non se vale ∀nA( n ) . In essa «si possono considerare funzioni che sono definite su sottospecie ovunque dense del continuo» e che «possono benissimo essere discontinue»270. per ogni numero reale x. 54 . nella matematica intuizionista.sui numeri reali e «discontinua»269. Questo non significa che nella matematica intuizionista non esistano funzioni discontinue. per tale A(n ) . Sia f la funzione definita da: ⎧0 se x = 0 f ( x) = ⎨ . per ogni n. Ibid. 558. Infatti. senza ricorrere al teorema di continuità. supponiamo che f esista. per il quale tutte le funzioni definite ovunque sui numeri reali sono continue. r2 . Definiamo allora una successione r1 .. perciò. cioè la specie delle successioni fondamentali che coincidono con r1 . r2 . Perciò in particolare si può calcolare il valore di f ( r ) . Ma allora si può decidere f ( r ) = 0 ∨ f ( r ) = 1 . Se ne conclude... è una successione fondamentale. che sono importanti per la fisica. per la definizione di r1 . allora ovviamente r = 0 .. r3 .. r3 .1 2 . r2 ..1 / 2 . ‘Ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi’.. si può calcolare il valore di f ( x ) per ogni numero reale x. se r = 0 ... Poiché la funzione f esiste. per tutti gli n.. di numeri razionali nel modo seguente: rn = ⎧ ⎪2. r3 . cioè ∀nA( n ) .. Per tale numero reale r vale: (1) r = 0 ↔ ∀nA( n ) . la funzione f non esiste.1 3. r3 .Goldbach. L’estetismo di Brouwer Che nella matematica intuizionista non esistano certi oggetti matematici. ma se ad un certo punto si trova un k tale che ¬A(k ) ... r2 . .. Ma.1 3. e perciò.11. r3 .1 2 . è tale che. r3 . come le funzioni definite ovunque sui numeri reali e discontinue. viceversa.. r3 . r2 .. non si può decidere ∀nA( n ) ∨ ¬∀nA( n ) .. Contraddizione.. determina un numero reale r. r2 . Dunque r1 .n se ∀k ≤ nA( k ).... nella matematica intuizionista. che.1 4. è 1. r2 . perciò r1 .1 / 2 .. è k k k Cioè 1.1 / 2 .. perché egli non solo non è interessato all’uso 55 .1 4.. allora r1 . se ∀nA( n ) . per la scelta di A( n ) . r1 ..... Perciò per la definizione di f si può decidere r = 0 ∨ r ≠ 0 .. . e quindi per (1) si può decidere ∀nA( n ) ∨ ¬∀nA( n ) .. se vale ∀nA( n ) . ⎨ -k ⎪ ⎩2 se ¬A( k ) ∧ k ≤ n ∧ ∀m < kA( m ). È facile vedere che ∀n ≥ m( rn − rm < 2 − m ) . rn +1 < 2 − n . . allora necessariamente... Infatti. r2 . allora r1 . non preoccupa minimamente Brouwer. r3 . 3... per tutti gli n. A( n ) . Ibid. 273 Ivi. p ) in T. un enunciato dell’aritmetica è vero se e solo si può darne una dimostrazione in un certa teoria T. considerare la matematica intuizionista ricerca del bello non è credibile. Come abbiamo visto. tale che. per ogni numero naturale k e p.4]. p ) in T. Ma «la bellezza più piena del costruire è la bellezza introspettiva della matematica. e quindi dalla finitezza e dalla responsabilità. è facile vedere che la funzione corrispondente prf T [V.3. Brouwer assume che un enunciato matematico è vero se e solo se si può darne una dimostrazione. Ora. 271 272 Ivi. p) = 1 allora si può dare una dimostrazione di A( k . per tale teoria T. che appare talora quando l’attività del costruire cose viene esercitata per gioco»273. Il crollo del programma di Brouwer Che nella matematica intuizionista non esistano certi oggetti matematici che sono importanti per la fisica non è l’unica prova dell’inadeguatezza del programma di Brouwer. invece di elementi di azione causale fatta per gioco. Per Brouwer la matematica è ricerca del bello. perciò le sue armonie introspettive possono raggiungere ogni grado di ricchezza e chiarezza»274. 483. 274 Ibid. y ) di T contenente come sue uniche variabili individuali libere x e y. È piena di distinzioni scarsamente perspicue. Ma queste affermazioni di Brouwer sono ingiustificate perché la matematica intuizionista è esteticamente povera. p. 484. Un’altra prova è la seguente. 3. mentre in una matematica che serva da strumento per l’allargamento del dominio umano sulla natura «non si troverà bellezza»272. dove per dimostrazione si intende una dimostrazione assiomatica [II.3] non può essere aritmetica. p) = 0 allora si può dare una dimostrazione di ¬A( k . Perciò. La bellezza è soprattutto «bellezza del costruire. se prfT (k. allora.3. nella quale. 56 .della matematica nella fisica ma «rifiuta l’allargamento del dominio umano sulla natura»271. l’intuizione base della matematica viene lasciata dispiegarsi liberamente. nel senso che non può esistere alcuna formula A( x. Tale dispiegarsi non è vincolato dal mondo esterno.12. In particolare. p. è farraginosa e poco lineare. mentre se prfT (k. una dimostrazione matematica parte da assiomi basati sull’intuizione e prosegue con una deduzione basata sull’intuizione. Crolla così uno dei capisaldi della concezione della matematica di Brouwer. La tradizione filosofica precedente avrà avuto i suoi difetti. Se ne conclude che l’assunzione di Brouwer. t ) è vero. Contraddizione. In definitiva. è insostenibile.1] alla formula ∀x¬A( x. t ) è vero ma non se ne può dare una dimostrazione in T. Con una dimostrazione del tutto simile a quella del primo teorema di di incompletezza di Gödel [V. ma Frege. secondo Brouwer. Conclusioni sulla filosofia della matematica di ieri L’analisi dei programmi di Frege. otteniamo un termine chiuso t tale che si può dare una dimostrazione di t = ∀x¬A( x. 4. Applicando il teorema del punto fisso [V. che era di natura tecnica. Brouwer mutuò le sue principali idee sulla matematica da Kant. t ) in T. 6. 275 Heyting 1956. Hilbert e Brouwer mostra che l’affermazione dell’ortodossia prevalente. non filosofica. Dunque la proprietà di essere una dimostrazione in T non può essere molto astratta. polemica verso la tradizione filosofica precedente. alla fine si è rivelato insostenibile. Ma. Contraddizione. perciò essa «deve essere così immediata per la mente e il suo risultato così chiaro da non richiedere assolutamente alcun fondamento»275. Hilbert e Brouwer non crearono un’alternativa ad essa. supponiamo che prf T sia aritmetica. poiché ∀x¬A( x. dunque. e ciò che vi aggiunsero. p.4.2] si vede allora che l’enunciato ∀x¬A( x. e il suo unico contributo originale alla filosofia della matematica – che era di natura tecnica: il progetto di sviluppare una matematica alternativa alla matematica classica – si risolse in un fallimento. che Frege abbia prodotto una rivoluzione in filosofia che ha cambiato l’aspetto della disciplina. è insostenibile. Al contrario.4. Ma. 57 . Che la funzione prfT non possa essere aritmetica implica che la proprietà di essere una dimostrazione in T deve essere molto astratta. per l’assunzione su T questo significa che se ne può dare una dimostrazione in T.Infatti. che un enunciato matematico è vero se e solo se si può darne una dimostrazione. presero a prestito da essa le loro principali idee filosofiche. Se ne conclude che la funzione prfT non può essere aritmetica. y ) . III La filosofia della matematica oggi 1. Due reazioni mancate 1.1. Una reazione matematica mancata Come abbiamo visto, i risultati di Gödel svolgono un ruolo decisivo nel mostrare l’insostenibilità dei programmi di Frege, Hilbert e Brouwer. In particolare, il primo teorema di incompletezza di Gödel [V.4.2] confuta un’assunzione che non solo sta alla base di tali programmi ma è condivisa dalla stragrande maggioranza dei matematici, cioè che il metodo della matematica è il metodo assiomatico. Ci si sarebbe potuto aspettare che ciò inducesse i matematici ad abbandonare questa assunzione, ma non è stato così. Presumibilmente questo è dipeso dal fatto che la stragrande maggioranza dei matematici ritiene che i teoremi di incompletezza di Gödel sono qualcosa che riguarda solo i programmi fondazionali di Frege, Hilbert e Brouwer, e non l’impresa reale del fare matematica. Ma questa opinione è ingiustificata perché, come si è detto, la stragrande maggioranza dei matematici assume che il metodo della matematica è il metodo assiomatico, perciò il primo teorema di incompletezza di Gödel li riguarda anche loro, e li riguarda in pieno. 1.2. Una reazione filosofica mancata Ancor più sorprendente è che il primo teorema di incompletezza di Gödel non abbia indotto molte scuole di filosofia della matematica della seconda metà del Novecento – neologicismo, platonismo, implicazionismo, strutturalismo, finzionalismo, internalismo, costruttivismo – ad abbandonare l’assunzione che il metodo della matematica è il metodo assiomatico. Ciò deriva dal fatto che tali scuole sono variazioni su temi di Frege, Hilbert e Brouwer. In particolare, il neologicismo e il platonismo sono variazioni su temi di Frege, l’implicazionismo, lo strutturalismo, il finzionalismo e l’internalismo su temi di Hilbert, il costruttivismo su temi di Brouwer. Perciò, per tali scuole, abbandonare l’assunzione che il metodo della matematica è il metodo assiomatico avrebbe significato recidere un legame essenziale con la tradizione su cui esse poggiano. 58 È vero che per altre scuole di filosofia della matematica della seconda metà del Novecento che non sono variazioni su temi di Frege, Hilbert e Brouwer – congetturalismo, empirismo, cognitivismo – l’assunzione che il metodo della matematica è il metodo assiomatico è inessenziale. Ma esse offrono un’analisi insufficiente dell’esperienza matematica, e per questo motivo la loro influenza è stata limitata. In questo capitolo esamineremo le concezioni filosofiche della matematica della seconda metà del Novecento e ne mostreremo i limiti. 2. Le concezioni filosofiche della seconda metà del Novecento 2.1. Neologicismo Il neologicismo sostiene che le verità aritmetiche sono analitiche, non nel senso di Frege [II.1.2], che secondo il neologicismo è troppo restrittivo, ma nel senso che tali verità sono deducibili da proposizioni analitiche primitive, cioè da proposizioni che danno definizioni contestuali dei concetti che intendono spiegare. Nel caso delle verità aritmetiche, la proposizione analitica primitiva da cui esse sono deducibili è il principio di Hume (HP). Questo, pur non essendo una verità logica perché fa intervenire un concetto matematico come NxF ( x ) , è una proposizione analitica primitiva perché dà una definizione contestuale del concetto di numero. La teoria del secondo ordine il cui unico assioma non logico è (HP) è coerente, e perciò non va incontro alla difficoltà dell’ideografia di Frege. Il neologicismo è stato sostenuto soprattutto da Wright e Hale. Secondo Wright (1942–) e Hale, «il risultato dell’aggiunta del principio di Hume» (HP) «alla logica del secondo ordine è un sistema coerente che è sufficiente come fondamento dell’aritmetica, nel senso che tutte le leggi fondamentali dell’aritmetica sono derivabili in esso come teoremi»1. Questo «costituisce una giustificazione del logicismo, in base ad una ragionevole interpretazione di quella tesi»2. Infatti, pur non essendo analitico nel senso di Frege, (HP) «è analitico in quanto determina il concetto che esso con ciò serve a spiegare»3. Cioè, fornisce una definizione contestuale del concetto di numero naturale. Perciò la deducibilità da (HP) «dovrebbe bastare per dimostrare l’analiticità dell’aritmetica»4. Questa va intesa non nel senso che l’aritmetica sia una parte della logica, ma nel senso che essa «trascende la logica solo in quanto fa uso di un principio», cioè (HP), «il cui lato 1 2 Hale-Wright 2001, p. 4. Ivi, pp. 4-5. 3 Ivi, p. 14. 4 Ivi, p. 279. 59 destro impiega solo nozioni logiche», perciò tale posizione «merita ancora di essere descritto come logicismo»5. Il neologicismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. 1. Il neologicismo sostiene che le verità aritmetiche sono analitiche nel senso che sono deducibili da proposizioni analitiche primitive, e precisamente da (HP), dunque sono dimostrabili nella teoria del secondo ordine T il cui unico assioma è (HP). Ma questa affermazione è confutata dal primo teorema di incompletezza di Gödel. Supponiamo, infatti, che tutte le verità aritmetiche siano analitiche nel senso che sono dimostrabili in T. Poiché T ha un unico assioma, banalmente T è RE. Poiché tutte le verità aritmetiche sono dimostrabili in T, T è sufficientemente potente in senso esteso [V.7.2]. Inoltre T è coerente. Perciò per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V.4.2, V.7.2] esiste un enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) , dove f è una funzione ricorsiva primitiva, che è vero ma non è dimostrabile in T. Poiché ∀x ( f ( x ) = 0) esprime una verità aritmetica, esso fornisce un esempio di verità aritmetica che non è dimostrabile in T. Ma per ipotesi tutte le verità aritmetiche sono dimostrabili in T. Contraddizione. Se ne conclude che non tutte le verità aritmetiche sono dimostrabili in T, e perciò che non tutte le verità aritmetiche sono analitiche. Contro la conclusione che l’affermazione che le verità aritmetiche sono analitiche nel senso che sono dimostrabili in T sia confutata dal primo teorema di incompletezza di Gödel, si potrebbe avanzare un’obiezione simile a quella di Hale e Wright [II.1.3]. Cioè, si potrebbe obiettare che l’enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) dato dal primo teorema di incompletezza di Gödel può benissimo essere una verità logica, e quindi essere logicamente valido, pur non essendo dimostrabile in T perché, per un corollario del teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine [V.7.6], gli assiomi logici e le regole di deduzione logica in un linguaggio del secondo ordine possono non essere abbastanza potenti per dimostrare tale enunciato in T, cioè per dedurlo da (HP). Ma questa obiezione è insostenibile perché, per il neologicismo, una verità aritmetica è analitica se e solo se è deducibile da proposizioni analitiche primitive. Per essere analitico, l’enunciato in questione deve quindi essere deducibile da una proposizione che è analitica in quanto fornisce una definizione contestuale del concetto di numero. Ma, secondo il neologicismo, la proposizione che fornisce una definizione contestuale 5 Ivi, p. 280. 60 Lo fa appellandosi al risultato di Boolos secondo cui l’aritmetica di Peano del secondo ordine PA 2 è coerente se e solo se T è coerente 6. ‘Ogni corpo persiste nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fin quando l’azione di una forza non alteri questo stato’. Perciò nulla assicura che. Del resto. Ma così esso dà per scontato che PA 2 sia coerente. Ma allora si dovrebbe considerare analitico. perciò per tale teorema l’enunciato ConT che esprime canonicamente la coerenza di T non è dimostrabile in T. 3. È vero che Hale ha cercato di estenderlo all’analisi 6 7 V. Il neologicismo non riesce ad andare oltre l’aritmetica dei numeri naturali.8]. Ivi. mentre la logica non dovrebbe dire nulla su quali e quanti oggetti concreti esistono. pp. 2. Ora. Ma (HP) lascia indeterminato se NxF ( x ) sia un oggetto concreto come Giulio Cesare [II. Il neologicismo considera (HP) come analitico perché fornisce una definizione contestuale del concetto di numero. Ma nei principi logici non dovrebbero comparire concetti matematici non eliminabili. ad esempio. come abbiamo detto. l’enunciato dato dal primo teorema di incompletezza di Gödel non è deducibile da (HP). 5. Sappiamo davvero che un Russell altamente efficiente del ventitreesimo secolo non farà a noi quello che Russell ha fatto a Frege?»7. 190-196. p. perché fornisce una definizione contestuale del concetto di ‘forza’.4. quindi a maggior ragione non è dimostrabile con alcun metodo assolutamente certo. Il neologicismo considera irrilevante che in (HP) occorra un concetto matematico come NxF ( x ) . Il neologicismo sostiene che (HP) fornisce una definizione contestuale del concetto di numero. anche il principio di inerzia. Ma questo senso dell’analiticità toglie ogni pregnanza filosofica all’affermazione che le verità aritmetiche sono analitiche. 61 . 4. Dunque non vi è alcuna certezza che T sia coerente. e. Boolos 1998. perché in base ad esso anche le leggi fisiche sarebbero analitiche. lo stesso Boolos osserva che «(non è nevrotico pensare che) noi non sappiamo se» PA 2 «è coerente. Il neologicismo assume che la teoria del secondo ordine T il cui unico assioma è (HP) è coerente. V.4. come abbiamo visto.1. (HP) permette di eliminarlo solo da contesti della forma NxF ( x ) = NxG ( x ) . 6.del concetto di numero è (HP). T soddisfa le condizioni del secondo teorema di incompletezza di Gödel [V.9].4. poché (HP) introduce un’infinità di numeri. che non è eliminabile perché. (HP) in questo modo non introduca un’infinità di oggetti concreti. 313. le masse. Ora. p. le relazioni di equivalenza fisica ‘lungo come x’ e ‘pesante come x’ non determinano classi di equivalenza di oggetti concreti identiche tra loro. che è definita da: (i) V0 = ∅ . per esempio. dove le quantità.matematica. 301. p. una delle quali è di alluminio mentre l’altra è di piombo)»13. come abbiamo visto. e perciò dovrebbe essere incorporata in una loro definizione adeguata»9. nella formulazione di Hale. ma «Hale certo non vorrebbe dire che queste due quantità sono identiche o anche che sono intercambiabili in ogni applicazione»12. la ragione per cui esse «non sono identiche né intercambiabili (nonostante il fatto che abbiano strutture logiche identiche) può trovarsi solo nel mondo fisico. Infatti. perché assume che le quantità siano «astrazioni di relazioni e operazioni fisiche su oggetti concreti»11. p. dove P (Vα ) è la 8 9 Hale-Wright 2001. questo modo di introdurre i numeri reali fa assunzioni che sono «del tutto superflue per spiegare le applicazioni di misure di reali»10. Perciò il tentativo di Hale è inadeguato. Inoltre implica che «la natura delle quantità non può essere completamente compresa in totale indipendenza dai fatti del mondo fisico». la lunghezza e la massa «hanno esattamente la stessa struttura logica». Ma. (ii) Vα +1 = P (Vα ) per ogni ordinale α. come la lunghezza o la massa. 62 . ecc. e che.»8. Essi sono dati dalla cosiddetta ‘gerarchia cumulativa’. 297. 13 Ibid. se x è un oggetto concreto. sono ottenute per astrazione da «opportune relazioni di equivalenza sugli oggetti concreti di cui essi sono le lunghezze. 2. Che il neologicismo non riesca ad andare oltre l’aritmetica dei numeri naturali mostra che esso scambia per filosofia di tutta la matematica una filosofia che potrebbe valere tutt’al più per l’aritmetica dei numeri naturali. 403. p. non vale neppure per quella. come osserva Batitsky. 11 Ivi. 12 Ibid.2. introducendo i numeri reali per astrazione come rapporti definiti su un dominio completo ordinato di quantità. Platonismo Il platonismo sostiene che gli oggetti matematici sono gli insiemi. Ivi. 10 Batitsky 2002. (Si pensi a due sbarre della stessa lunghezza. 409. Così facendo Hale si richiama all’idea di Frege che «l’applicazione dei reali come misure di quantità è essenziale per la loro stessa natura. (iii) Vλ = ∪ Vα per ogni allora Vα ⊆ Vβ . tale concetto deve essere rappresentato nell’intuizione. V2 = {∅∪{∅}} . L’intuizione. 63 . 268. Secondo Gödel (1906-1978). 323.. se α ≤ β . che svolge un ruolo strettamente connesso con quello delle categorie dell’intelletto puro di Kant. che esiste indipendentemente dagli atti della mente umana ed è solo percepita da quest’ultima. ordinale limite λ. Inoltre. V1 = {∅} . però. Nondimeno. Attraverso l’intuizione gli insiemi vengono conosciuti con precisione. p. che esiste indipendentemente dagli atti e dalle disposizioni della mente umana. Il platonismo è stato sostenuto soprattutto da Gödel. Infatti. cioè la generazione di unità a partire da molteplicità. α <λ Gli insiemi formano una realtà non sensibile. Ma. e le leggi generali relative ad essi possono essere riconosciute con certezza deducendole dagli assiomi.. «nonostante la loro lontananza dall’esperienza sensoriale. la quale «è sufficientemente chiara da produrre gli assiomi della teoria degli insiemi e una serie aperta di loro estensioni»15. Tale gerarchia si dice ‘cumulativa’ perché. ma ha avuto anche molti altri sostenitori. la verità degli assiomi della teoria degli insiemi può essere colta non solo attraverso l’intuizione ma anche. noi abbiamo una sorta di percezione anche degli insiemi attraverso l’intuizione. considerando le conseguenze verificabili degli assiomi. Infatti V0 = ∅ . . gli oggetti matematici formano «una realtà non sensibile. per avere conoscenza degli insiemi. e le leggi generali 14 15 Gödel 1986-2002. noi abbiamo qualcosa come una percezione anche degli oggetti della teoria degli insiemi» che ci è data dalla «intuizione matematica». e probabilmente percepita molto incompletamente. la funzione di entrambi è la sintesi. e viene soltanto percepita. da Hermite a Penrose. Ivi. Attraverso essa «gli oggetti matematici sono conosciuti con precisione. Tuttavia. dalla mente umana»14.collezione di tutti i sottoinsiemi di Vα . la quale è sufficientemente chiara da produrre gli assiomi della teoria degli insiemi e una serie aperta di loro estensioni. . III. sebbene solo probabilisticamente. Una rappresentazione del concetto di insieme nell’intuizione è possibile perché noi possiamo estendere la nostra conoscenza di tale concetto concentrandoci più attentamente su di esso. II. p. non ci dà una conoscenza immediata degli insiemi ma questa presuppone il concetto di insieme. Ivi. p. in cui descriviamo in dettaglio i concetti basilari che noi usiamo nel nostro pensiero. p. ecc. III. Questo qualcos’altro è il concetto di insieme. studiandone il ‘successo’». p. cioè induttivamente. 261. 268. per ogni assioma della teoria degli insiemi. cioè rendere precisi tali concetti e afferrare in modo comprensivo e sicuro le relazioni fondamentali che sussistono tra essi. Tuttavia. «oltre all’intuizione matematica. C’è «uno stretto rapporto tra il concetto di insieme» e «le categorie dell’intelletto puro nel senso di Kant». II. Dunque. 268. «una decisione probabile circa la sua verità è possibile anche in un altro modo. il concetto di insieme deve essere rappresentato nell’intuizione. Questo «produrrà in noi un nuovo stato di coscienza. II. mediante l’inferenza deduttiva»16. in quanto «la funzione di entrambi è la ‘sintesi’. 21 Ibid. cioè la generazione di unità a partire da molteplicità (per esempio. 312. 385. 19 Ivi. p. in particolare alle conseguenze ‘verificabili’»23.possono essere riconosciute con certezza. per avere conoscenza degli insiemi. cioè. Ma. Il procedimento consisterà «nel concentrarci più attentamente sui concetti considerati. 383. nota 40.»20. 23 Ivi. cioè. Ciò è possibile perché noi possiamo «estendere la nostra conoscenza di questi concetti astratti. ma «noi formiamo le nostre idee» degli oggetti matematici «in base a qualcos’altro che è dato immediatamente»17. però. Così otterremo un «afferrare intuitivo di sempre nuovi assiomi che sono logicamente indipendenti da quelli precedenti»22. 22 Ivi. nota 18. sui nostri atti nell’usare questi concetti. II. non ci dà «una conoscenza immediata degli oggetti considerati». dove per successo si intende «la fruttuosità rispetto alle conseguenze. si può aggiungere. L’intuizione. 20 Ibid. dirigendo la nostra attenzione in un certo modo. esiste un altro criterio (sebbene soltanto probabile) per la verità degli assiomi matematici. 64 . p. semplicemente «coltivando (approfondendo) la conoscenza dei concetti astratti»19. possibilmente anche nella 16 17 Ivi. in Kant l’idea di un oggetto a partire dai suoi vari aspetti)»18. sul nostro potere di effettuare i nostri atti. p. o afferriamo altri concetti basilari finora sconosciuti a noi»21. 18 Ivi. III. III. cioè la loro fruttuosità nella matematica e. cioè gli assiomi che valgono per essi». il che a sua volta è possibile. che è «una rappresentazione generale ovvero una rappresentazione di ciò che è comune a più oggetti. II. in qualche modo sul nostro animo»27. Il platonismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. 50 (B 34). p. a cui si rimedia vedendole a confronto con le. Per esempio. solo se l’oggetto agisce. per noi uomini almeno. in quanto noi ne veniamo affetti»26. 233. Kant afferma che. Il platonismo sostiene che noi abbiamo una sorta di percezione degli insiemi che è data dall’intuizione. III. così nell’intuizione gli oggetti dovrebbero esercitare un’azione causale su di noi. Ma questo va incontro alla difficoltà che. Il platonismo sostiene che l’intuizione è sufficientemente chiara da produrre gli assiomi della teoria degli insiemi e una serie aperta di loro estensioni. Così Kant afferma che «l’intuizione è una rappresentazione singolare». mentre nella sensazione gli oggetti fisici esercitano un’azione causale su di noi attraverso i nostri organi sensoriali. 269. Gödel avanzò l’ipotesi «che sia necessario qualche organo fisico per rendere possibile trattare impressioni astratte (in quanto contrapposte alle impressioni dei sensi). p. 24 25 Ivi. Ma dell’esistenza di un organo sensoriale fisico capace di percepire gli oggetti della teoria degli insiemi non vi è alcuna prova. 28 Wang 1996. 65 . Tale organo sensoriale deve essere strettamente connesso col centro nervoso del linguaggio»28. impressioni dei sensi. come nella percezione sensibile gli oggetti esercitano un’azione causale su di noi. p. Il «caso più semplice di applicazione del criterio in questione si ha quando qualche assioma della teoria degli insiemi ha conseguenze della teoria dei numeri verificabili mediante un computo fino ad un intero qualsiasi dato»25.fisica»24. come potrebbero gli insiemi esercitare un’azione causale su di noi nell’intuizione? Wang ci informa che. 27 Ivi. Ma. la sensazione è «l’effetto di un oggetto sulla capacità rappresentativa. 1. dal momento che noi abbiamo una certa debolezza nel trattare le impressioni astratte. in conversazioni con lui. o in occasione delle. Ibid. p. 49 (B 33). III. e perciò differisce dal concetto. 2. 26 Kant 1900–. l’intuizione è stata concepita come singolare. Ma. Nello stesso modo l’intuizione «si riscontra solo quando l’oggetto è dato. almeno a partire da Kant. secondo Kant. cioè la generazione di unità a partire da molteplicità. 31 Ivi. p. V. oppure (ii) noi siamo in grado riconoscere con certezza la verità degli assiomi di T. farci conoscere gli assiomi della teoria degli insiemi. se la teoria degli insiemi T è RE e coerente. Questo produce la conoscenza delle cose come fenomeni»31. Infatti. e quindi neppure la verità degli assiomi di T.4. per cui T è ingiustificata. 468. p. sebbene per avere conoscenza degli insiemi tale concetto debba essere rappresentato nell’intuizione. attraverso l’intuizione.4. «le funzioni del comporre (della sintesi) vengono prima. Il platonismo sostiene che l’intuizione non ci dà una conoscenza immediata degli insiemi ma tale conoscenza presuppone il concetto di insieme. 4. p. 91 e nota. e allora T è inadeguata perché non consente di dedurre neppure una semplice verità aritmetica come ConT . secondo il platonismo. che sono generali? 3. Ma allora. cioè mediante intuizioni a priori alle quali possono essere applicate. che è una rappresentazione singolare. la funzione del 29 30 Kant 1900–. E. secondo il platonismo. Ivi. III. ma ConT non è dimostrabile in T. l’enunciato ConT che esprime canonicamente la coerenza di T non è dimostrabile in T. gli insiemi sono conosciuti con precisione.4. Nello stesso modo. o (i) noi non siamo in grado di riconoscere con certezza la coerenza di T. 105 (B 126). lo ricevono mediante lo schematizzare.quindi è una rappresentazione in quanto può essere contenuta in diverse altre»29. e perciò a maggior ragione le leggi generali relative agli insiemi non possono essere riconosciute con certezza deducendole dagli assiomi. XIII. solo per mezzo del concetto di insieme diviene in generale possibile pensare un qualunque insieme. Nello stesso modo. che svolge un ruolo strettamente connesso con quello delle categorie dell’intelletto puro di Kant perché la funzione di entrambi è la sintesi. Il platonismo sostiene che. e quindi la coerenza di T. 66 . IX. ma non hanno ancora alcun oggetto. secondo Kant. Come può allora l’intuizione. per il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V. solo per mezzo delle categorie «diviene in generale possibile pensare un qualunque oggetto dell’esperienza»30. Ciò a cui il platonismo si riferisce qui è il fatto che. Ma questo è contraddetto dal fatto che la verità di nessun insieme di assiomi per la teoria degli insiemi può essere riconosciuta con certezza. e le leggi generali relative ad essi possono essere riconosciute con certezza deducendole dagli assiomi.9]. Allora ¬A è vero rispetto a Σ ' . ma non ha ancora alcun oggetto.1. Ma. Per il teorema dell’isomorfismo [V.4. p. nell’intuizione pura. che cosa sia una rappresentazione nell’intuizione del concetto di triangolo è abbastanza chiaro. Perciò. ha un modello. e quindi. Poiché Σ e Σ ' non sono isomorfi.2. attraverso un’intuizione ottenuta attraverso la procedura del concentrarsi più attentamente sul concetto di insieme. Pertanto Σ e Σ ' sono entrambi modelli di T. o. Abbiamo allora due intuizioni differenti. Ora se. diciamo Σ ' . anche sulla carta. lo riceve attraverso lo schematizzare. e questo produce la conoscenza degli insiemi. supponendo che T sia RE. nell’intuizione empirica»32.1. supponiamo che noi riusciamo a riconoscere con certezza la verità degli assiomi della teoria degli insiemi T. nel caso del platonismo. e perciò la loro coerenza [V. diciamo Σ.1. ma A è vero rispetto a Σ e falso rispetto a Σ ' . V. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. viene prima. III. possiamo rappresentare nell’intuizione il concetto di insieme Σ ' . per cui A è falso rispetto a Σ ' . e dunque sono concetti di insieme essenzialmente differenti. e perciò sono entrambi concetti di insieme. Invece. nel caso di Kant. come ci chiede di fare Gödel.6] allora Σ e Σ ' non possono essere isomorfi. cioè mediante intuizioni a priori alle quali tale concetto può essere applicato.9] esiste un enunciato A che è vero rispetto a Σ ma non è dimostrabile in T.4.4]. consiste nel rappresentare «l’oggetto che corrisponde a questo concetto o per mezzo della semplice immaginazione. questo fa nascere il problema: quale di Σ e Σ ' è il genuino concetto di insieme? La 32 Ivi. 5. schematizzare un concetto matematico. 67 .5]. 469. che cosa potrebbe essere una rappresentazione nell’intuizione del concetto di insieme dato dalla gerarchia cumulativa è del tutto oscuro. ossia il concetto di insieme. Ma questo è insostenibile. Infatti. una delle quali ci assicura che il genuino concetto di insieme è Σ.comporre (della sintesi) oggetti in un insieme. concentrandoci più attentamente su di esso. ci concentriamo più attentamente sul modo in cui abbiamo ottenuto Σ ' . basandomi su questa. per esempio quello di triangolo. dunque Σ e Σ ' sono concetti di insieme essenzialmente differenti. Il platonismo sostiene che una rappresentazione del concetto di insieme nell’intuizione è possibile perché noi possiamo estendere la nostra conoscenza di tale concetto. Perciò la teoria T ' = T + ¬A è coerente [V.5]. Allora. per il teorema dell’esistenza di un modello [V. mentre l’altra ci assicura che il genuino concetto di insieme è Σ ' .1. come riconosce lo stesso Gödel. il fatto che un insieme di assiomi abbia conseguenze verificabili – la cui verità può quindi essere accertata concretamente. considerando le conseguenze verificabili degli assiomi.3. Il platonismo sostiene che la verità degli assiomi della teoria degli insiemi può essere colta non solo attraverso l’intuizione ma anche. III. sebbene solo probabilisticamente. perché da assiomi falsi si possono dedurre teoremi veri. e perciò a maggior ragione nessuna procedura fattibile. ma «questa è una procedura non fattibile. 2. perché discernere tutte le possibili conseguenze di una proposizione accettata supera le nostre capacità»35. «inferire la verità di una conoscenza dalla verità delle sue conseguenze sarebbe ammissibile solo se tutte le sue possibili conseguenze sono vere».procedura del concentrarci più attentamente sul concetto di insieme non dà una risposta a tale domanda. che permetta di enumerare tutte le conseguenze degli assiomi di PA 2 . inferire la verità degli assiomi matematici dalla verità delle loro conseguenze è una procedura non fattibile. Potrebbe darsi. Una conferma di ciò è data dal fatto che. 35 Kant 1900–. II. In particolare. perciò. Quindi. 68 . come afferma Kant. 514 (B 818).7]. il criterio della fruttuosità rispetto alle conseguenze «non può ancora essere applicato agli assiomi specificamente insiemistici (quali quelli relativi a grandi numeri cardinali). Ma. Come sottolinea Kant. Implicazionismo L’implicazionismo sostiene che la matematica consiste nel trarre 33 34 Gödel 1986-2002. Inoltre. 6. p. per esempio mediante un computo fino ad un numero intero qualsiasi dato – non ne garantisce neppure probabilisticamente la verità. 269 Ibid. «in base a quanto si sa oggi. per quanto riguarda la fruttuosità rispetto alle conseguenze verificabili. non è possibile rendere ragionevolmente probabile in questo modo la verità di alcun assioma della teoria degli insiemi»34. perché si sa molto poco sulle loro conseguenze in altri campi»33. Non esiste dunque alcuna procedura algoritmica. p. per la non aritmeticità delle conseguenze logiche di PA 2 [V. l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati che sono conseguenze logiche degli assiomi non logici di PA 2 non è ricorsivamente enumerabile. perché discernere tutte le possibili conseguenze degli assiomi supera le nostre capacità.7. che le conseguenze degli assiomi trovate finora siano tutte vere ma che gli assiomi siano falsi. ‘Implicazionismo’ è il nome dato originariamente a tale concezione da Menger 1979. Poiché la nozione di conseguenza logica è definita in termini del concetto di insieme. e neppure che essi siano coerenti. Dopo tutto. 37 Putnam 1975. gli assiomi della teoria dei gruppi). o una congiunzione. L’implicazionismo è stato sostenuto nella seconda metà del Novecento da Putnam. 2. 41. la conclusione. Secondo Putnam (1926–). Cioè. E con ciò? Questa è la situazione. se esiste una struttura che soddisfa certi assiomi (per esempio. «si può considerare compito essenziale del matematico puro far derivare conseguenze logiche da insiemi di assiomi»37. p. 34. secondo l’implicazionismo. 57. Gli assiomi «potrebbero un giorno rivelarsi incoerenti. 20. e noi dobbiamo costantemente affrontare rischi ben più gravi nella vita e nella scienza»39. noi dobbiamo continuamente affrontare rischi ben più gravi nella vita e nella scienza 36. allora quella struttura soddisfa certe altre asserzioni (alcuni teoremi della teoria dei gruppi o altri)»38. 38 Ivi. Ma ciò è contraddetto dal fatto che molte parti della matematica. 20. non consistono in questo. la teoria degli insiemi consta di tutte le asserzioni della forma A → B tali che B è una conseguenza logica di A. Che possano risultare incoerenti è un rischio che dobbiamo correre senza prendere particolari precauzioni. p. Non si richiede che esistano enti di cui essi sono veri. di assiomi e B è un’asserzione. come la teoria dei numeri o la teoria delle equazioni differenziali parziali. dove A è un insieme. 39 Ivi. Non si richiede di sapere che esista una struttura che soddisfa gli assiomi. p. Gli assiomi A sono scelti arbitrariamente. questo implica che la teoria degli insiemi presuppone la nozione di insieme. L’implicazionismo sostiene che la matematica consiste nel trarre conseguenze logiche da assiomi scelti arbitrariamente. 36 69 . perciò presuppone la teoria degli insiemi. L’implicazionismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. Ma. p. Essa consta di tutte le asserzioni della forma A → B tali che B è una conseguenza logica di A. p. ma si basa su idee di Russell. Ma da che cosa è data tale nozione? L’implicazionismo non sa dare una risposta.conseguenze logiche da assiomi scelti arbitrariamente. Essa è anche denominata ‘se-allorismo’ [ifthenism] da Putnam 1975. La nozione di conseguenza logica a cui si riferisce l’implicazionismo è definita in termini del concetto di insieme. 1. è compito del matematico puro «dimostrare che. 4. Per assicurarsi che non si presenti una situazione del genere si dovrebbe dimostrare che gli assiomi A sono coerenti. L’implicazionismo trascura che il fatto che gli assiomi potrebbero risultare incoerenti contraddice la sua assunzione che la matematica consti di asserzioni della forma A → B tali che B è una conseguenza logica di A.4. Strutturalismo 70 .4. E il rimando all’infinito non può essere evitato a causa del secondo teorema di incompletezza di Gödel [V. se ne scelgano alcuni piuttosto di altri. tra gli infiniti insiemi di assiomi possibili. Secondo l’implicazionismo. ad essa apparterrà anche A → (C → B ) per un’asserzione qualsiasi C. dal momento che non fornisce alcun criterio su quali conseguenze logiche trarre e quali no. 4. solo per scoprire alla fine della propria vita di averla sprecata impegnandosi in un’attività insensata. esisterebbero asserzioni C tali che sia C sia ¬C sarebbero una conseguenza logica di A. L’implicazionismo non sa spiegare perché. infatti. Infatti. e così via all’infinito. se gli assiomi A fossero incoerenti. E l’implicazionismo non è in grado di spiegare perché non dovrebbe farlo. dunque che l’asserzione Con A che esprime canonicamente la coerenza di A è una conseguenza logica di un certo insieme di assiomi D. ne trarrerrebe come ulteriore conseguenza logica 0 = 0 → PT . e quindi anche A → ¬A . L’implicazionismo non sa spiegare perché. Per esso. si scelga di trarne alcune piuttosto di altre. Ma. Ma nessun matematico accetterebbe programmaticamente di sprecare la propria vita in questo modo. salvo pochi sconsiderati. per l’implicazionismo. un matematico dovrebbe scegliere in modo arbitrario degli assiomi e trarre conseguenze logiche da essi. V. i più non affrontano i rischi della vita e della scienza senza prendere precauzioni.9]. 6. tra le infinite conseguenze logiche degli assiomi adottati. perciò esso non è in grado di offrire alcun criterio per la scelta degli assiomi. ogni scelta degli assiomi è arbitraria. Ma il problema si riproporrebbe per D. dopo aver dedotto dagli assiomi della geometria di Hilbert il teorema di Pitagora PT. 5. perciò sia A → C sia A → ¬C farebbero parte della matematica.4. se A → B appartiene alla matematica.3. della matematica fanno parte solo le asserzioni della forma A → B tali che B è una conseguenza logica di A. Ma questo è impossibile perché ¬A non è una conseguenza logica di A e. Per esempio. 2. perché gli assiomi erano incoerenti e tutti i teoremi che egli ha così faticosamente dimostrato sono assurdi. Ma nessun matematico. L’implicazionismo sostiene che il fatto che gli assiomi potrebbero rivelarsi incoerenti è un rischio che dobbiamo correre senza prendere particolari precauzioni. Lo strutturalismo afferma che la matematica è lo studio deduttivo delle strutture. 259. Una struttura si ottiene «attraverso un processo di astrazione. la scuola di Göttingen. Lo strutturalismo è stato sostenuto negli ultimi decenni del Novecento soprattutto da Shapiro e. come quelli della teoria dei numeri e della teoria delle equazioni differenziali parziali. Una struttura è ciò che si ottiene da una collezione di oggetti considerando solo le relazioni tra gli oggetti. l’unica cosa «che importa sui numeri naturali è la relazione in cui stanno l’uno con l’altro»42. p. Una struttura può essere definita «come la forma astratta di un sistema. Ma questo è in contrasto col fatto che il lavoro in vari campi della matematica. 259. Più precisamente. in una forma un po’ differente. ignorando quei caratteri degli oggetti che non sono rilevanti per tali relazioni»43. che evidenzia le interrelazioni tra gli oggetti e ignora ogni loro carattere che non incida su come essi stanno in relazione con altri oggetti nel sistema»41. p. 257. ma si basa su idee di Bourbaki e in parte già di Dedekind. attraverso l’opera di Van der Waerden. Lo strutturalismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. e si focalizza l’attenzione sulle relazioni tra gli oggetti. negli ultimi decenni questo tipo di matematica ha attraversato una crisi 40 41 Shapiro 2000. 32. la quale. Secondo Shapiro. p. Per esempio. 44 Ibid. p. «la matematica è lo studio delle strutture»40. Per esempio. nel caso della «struttura dei numeri naturali». Uno studio deduttivo delle strutture consiste nel formulare assiomi per una struttura e nel dedurre conseguenze logiche da essi. non è di questo tipo il lavoro riguardante questioni come la distribuzione dei numeri primi o la trascendenza di π o di e . non consiste nel formulare assiomi per una struttura e dedurre conseguenze logiche da essi. Ivi. 2. «la matematica (pura) è lo studio deduttivo delle strutture in quanto tale»44. 42 Shapiro 2004. quindi ignorando ogni loro carattere che non incida sul modo in cui essi stanno in relazione con gli altri oggetti. influenzò anche Bourbaki. da Resnik. 43 Shapiro 2000.Lo strutturalismo sostiene che la matematica è lo studio deduttivo delle strutture. Si osservano parecchi sistemi con quella struttura. 71 . Lo strutturalismo scambia per reale natura della matematica quella che è solo una caratteristica del tipo di matematica che è stata fatta da una certa scuola. Per la sua astrattezza e mancanza di contatto con la realtà. 1. Moderne Algebra. 248. con la possibile eccezione della teoria della distribuzione. Dunque la matematica non è lo studio delle strutture bensì lo 45 46 Dieudonné 1964. Addirittura Dieudonné. si vede che in essi a due elementi dell’insieme si fa corrispondere «un terzo elemento ben determinato». «neppure uno. e l’insieme delle traslazioni nello spazio euclideo tridimensionale con la composizione delle traslazioni. pp. rivendica che. non definito in termini di quello di insieme. allora il concetto di insieme è primitivo e quello di struttura è definito. l’insieme dei numeri interi con la moltiplicazione modulo un numero primo. 3. Shapiro definisce una struttura come ciò che si ottiene per astrazione da più sistemi considerando le relazioni tra gli oggetti che essi hanno in comune.profonda. ha avuto nulla a che fare con le applicazioni fisiche: e persino nella teoria delle equazioni differenziali parziali. l’accento viene posto oggi molto di più su problemi strutturali ‘interni’ che su questioni aventi un significato fisico diretto»45. Lo stesso fa Bourbaki. Bourbaki 1962. QED’. «tra tutti i sorprendenti progressi» della matematica recente. 38-39. 72 . ed esaminando «le proprietà di questa ‘operazione’ in ciascuno» di essi. Una «struttura di gruppo» è allora un insieme su cui è definita un’operazione «che soddisfa le tre proprietà» precedenti. 40. «si constata che esse presentano un notevole parallelismo». 47 Ivi. e derivarne le conseguenza è fare la teoria assiomatica dei gruppi»47. Dunque definisce il concetto di struttura in termini di quello di insieme. dove un sistema è un insieme di oggetti con certe relazioni tra loro. separata dalla realtà fisica. tali tre proprietà «si dicono gli assiomi delle strutture di gruppo. uno dei più significativi rappresentanti del Bourbaki. il quale afferma che. Lo strutturalismo ha avuto effetti negativi sullo sviluppo della matematica. perché ha portato a trascurare intere sue parti e a considerarla come un’attività autoreferenziale. Ma se si definisce il concetto di struttura in termini di quello di insieme. e un’analisi «porta a disimpegnare un piccolo numero di esse». p. esaminando l’insieme dei numeri reali con l’addizione. 4. cioè l’associatività. Lo strutturalismo è incapace di dare un concetto di struttura primitivo. l’esistenza di un elemento neutro e l’esistenza di un elemento inverso. tanto che il 28 Aprile 1998 il quotidiano francese Liberation pubblicò un articolo dal titolo ‘Bourbaki è morto. p. e a constatare che tutte le altre proprietà dell’operazione in questione «sono conseguenze delle tre precedenti»46. Shapiro 1997. Infatti. la condizione è che gli assiomi siano «un gruppo di enunciati coerente»50. perciò la coerenza nel senso della nozione sintattica di coerenza è un fatto relativo alla struttura dei numeri naturali. 50 Shapiro 2000. il che di nuovo darebbe luogo ad un circolo. 286. p.studio delle relazioni che gli oggetti appartenenti a certi insiemi hanno in comune. equivarrebbe a dire che una struttura che soddisfa gli assiomi esiste sotto la condizione che una struttura che soddisfa gli assiomi esista. p. 370. 5. dire che la struttura dei numeri naturali esiste sotto la condizione che dagli assiomi dell’aritmetica di Peano del secondo ordine PA 2 non siano deducibili contraddizioni. equivarrebbe a dire che la struttura dei numeri naturali esiste sotto la condizione che la struttura dei numeri naturali esista. Perciò «tutto ciò che può essere detto di uno dei due ambiti può essere trasferito all’altro»49. Secondo lo strutturalismo. e la struttura delle stringhe di simboli è isomorfa alla struttura dei numeri naturali. Né Shapiro può intendere ‘coerente’ nel senso della nozione semantica di coerenza (‘Gli assiomi hanno un modello’). e non chiarisce alcuna questione né risolve alcun problema lasciato aperto da quest’ultima. Infatti. Lo strutturalismo è incapace di dire sotto quali condizioni una struttura esiste. 20. Ma sotto quali condizione gli assiomi sono non vuoti. Lo stesso Shapiro ammette che «la gerarchia degli insiemi e il regno delle strutture sono poco più che varianti notazionali l’uno dell’altra»48. p. cioè esiste una struttura che li soddisfa? Per Shapiro. la matematica è lo studio deduttivo delle strutture in quanto consiste nel formulare assiomi per una struttura e nel dedurne le conseguenze logiche. Per evitare questa difficoltà Shapiro formula una teoria assiomatica delle strutture che dovrebbe essere indipendente dalla teoria degli insiemi. Ma allora il concetto di struttura non è indipendente da quello di insieme. Ma allora. Ma Shapiro non può intendere ‘coerente’ nel senso della nozione sintattica di coerenza (‘Dagli assiomi non sono deducibili contraddizioni’). dire che una struttura che soddisfa gli assiomi esiste sotto la condizione che gli assiomi siano coerenti nel senso della nozione semantica di coerenza. 73 . 48 49 Shapiro 2004. Ma essa è del tutto simile alla teoria degli insiemi. una deduzione è una successione di stringhe di simboli. il che darebbe luogo ad un circolo. 54 Ivi. nella matematica la teoria degli insiemi «è la corte di appello finale per le questioni di esistenza. A ragione o a torto. 288. nondimeno «la coerenza della teoria degli insiemi è presupposta da molta dell’attività fondazionale della matematica contemporanea. p. Ibid. Se una struttura è esemplificata da un sistema. pp. Ma l’argomento di Shapiro che dobbiamo accettare la coerenza della teoria degli insiemi in quanto è presupposta da molta dell’attività fondazionale della matematica contemporanea è simile all’argomento che noi dobbiamo accettare l’esistenza di Dio perché è presupposta dall’esistenza del mondo. secondo cui «‘modellare’ una struttura significa trovare un sistema che la esemplifica. secondo Shapiro. 74 . una struttura che soddisfa gli assiomi esiste sotto la condizione che essa possa essere modellata nella gerarchia degli insiemi. e non sono in una posizione migliore (e neppure peggiore) per giustificarlo»54. la teoria degli insiemi o la geometria 51 52 Ivi. e questa «è così grande che pressoché qualsiasi struttura può essere modellata o esemplificata in essa»52. bisogna distinguere tra due tipi di teorie. e forse possiamo convivere con esso»51. Dunque.Shapiro afferma che questo circolo «può non essere vizioso. anche se «non possiamo giustificare la coerenza della teoria degli insiemi modellandola nella gerarchia degli insiemi» perché il «circolo sarebbe troppo sfacciato». Lo strutturalismo è incapace di specificare un’unica struttura come l’oggetto dell’aritmetica. allora sicuramente l’assiomatizzazione è coerente e la struttura è possibile». 6. I dubbi sul fatto se un certo tipo di oggetto matematico esista vengono risolti mostrando che gli oggetti di questo tipo possono essere trovati o modellati nella gerarchia degli insiemi». quelle come l’aritmetica. Infatti. 288-289. ed è altrettanto infondato perché comporta un circolo. 53 Ibid. Ma questo fa nascere il problema: che cosa ci fa pensare che la teoria degli insiemi sia coerente? Secondo Shapiro. Ciò «è in armonia con lo strutturalismo». Secondo lo strutturalismo. e quindi che la sua esistenza possa essere dimostrata nella teoria degli insiemi. e «gli strutturalisti accettano questo presupposto e ne fanno uso come chiunque altro. la matematica presuppone che la soddisfacibilità (nella gerarchia degli insiemi) sia sufficiente per l’esistenza». e quindi per lo strutturalista «essa esiste»53. euclidea. dunque PA è categorica solo relativamente ad un dato modello della teoria degli insiemi. In terzo luogo. Questo implica che non tutti i modelli di PA 2 2 sono isomorfi. e perciò.7. e quelle come la teoria dei gruppi. innanzitutto PA 2 ha modelli non standard. «poiché modelli isomorfi sono equivalenti. che non hanno per oggetto un’unica struttura. Infatti. Ma questo non giustifica tale affermazione. 32. come «la teoria dei gruppi»55. dato un modello qualsiasi M di PA si definisce induttivamente una funzione h e si dimostra che h è un isomorfismo di N 2 su M. p. In secondo luogo. Dunque si assume che tale assioma sia vero quando il dominio delle relazioni unarie di M è P ( ) . Infatti. ma solo quelli appartenenti ad uno stesso modello della teoria degli insiemi.4]. ogni modello va altrettanto bene di qualsiasi altro. e quindi sono isomorfi tra loro. Dunque. in un certo senso. l’insieme di tutti i sottoinsiemi di . per dimostrare che tutti i modelli di PA 2 sono isomorfi a N 2 .4]. cioè tali che il sistema globale dei loro assiomi le determina completamente». Secondo Shapiro. non tutti i modelli di PA 2 sono isomorfi. l’affermazione che l’aritmetica abbia come oggetto un’unica struttura si basa sul fatto che l’aritmetica di Peano del secondo ordine PA 2 è categorica perché. della geometria euclidea di Hilbert». e le teorie non univalenti.7. Specificamente. le proprietà rilevanti di ogni modello dell’assiomatizzazione sono le stesse. Per esempio. modelli isomorfi tra loro non sono realmente la stessa struttura. p.9]. come le assiomatizzazioni «dell’aritmetica di Dedekind e Peano. PA 2 è categorica solo relativamente ad un dato modello della teoria degli insiemi. Bourbaki afferma che bisogna distinguere tra le «teorie univalenti. che hanno per oggetto un’unica struttura. Ma l’insieme P ( ) in un dato modello della teoria degli insiemi è diverso dall’insieme P ( ) in un altro modello della teoria degli insiemi. 45.7. Cioè. per il teorema di categoricità di PA 2 [V. ma solo quelli appartenenti ad uno 2 stesso modello della teoria degli insiemi. Per dimostrarlo si fa uso del fatto che l’assioma di induzione del secondo ordine di PA 2 è vero in M [V. tutti i modelli di PA 2 sono isomorfi a N 2 . Shapiro 2004. cioè modelli deboli non isomorfi a N 2 [V. cioè tali che il sistema globale dei loro assiomi non le determina completamente. tutto ciò che 55 56 Bourbaki 1962. Possiamo studiare la struttura studiando una sua esemplificazione»56. 75 . {∅}. e la definizione di von Neumann. {∅}. 2 76 . l’unica cosa che importa sui numeri naturali è la relazione di appartenenza. oppure (ii) ammettere che le definizioni dei numeri naturali di Zermelo e von Neumann non possono considerarsi entrambe esemplificazioni della struttura dei numeri naturali. {∅}. nel caso della struttura dei numeri naturali. Ma la relazione di appartenenza ha proprietà differenti nelle due esemplificazioni in questione. { } Questo pone di fronte all’alternativa: o (i) rinunciare ad affermare che ogni modello di PA va altrettanto bene di qualsiasi altro. 3. Shapiro definisce una struttura come la forma astratta di un sistema. Ma. {∅}} . tutto ciò che possiamo sapere sulla struttura dei numeri naturali considerando una di queste due esemplificazioni possiamo saperlo considerando l’altra. {∅.… . Perciò. perché nell’esemplificazione di von Neumann si ha che 1 ∈ 3 dal momento che {∅}∈ ∅. Per esempio. {∅. {∅}} . la definizione dei numeri naturali di Zermelo. {∅. perché questa è la relazione in cui i numeri naturali stanno tra loro in tali esemplificazioni. che evidenzia le interrelazioni tra gli oggetti e ignora ogni loro carattere che non incida su come essi stanno in relazione con gli altri. Lo strutturalismo è incapace di specificare un’unica struttura come l’oggetto della teoria degli insiemi. come abbiamo visto. l’unica cosa che importa sui numeri naturali è la relazione in cui stanno tra loro.… . Se ne conclude che modelli isomorfi tra loro non sono realmente la stessa struttura. { } { } mentre nell’esemplificazione di Zermelo si ha che 1 ∉ 3 dal momento che {∅}∉ {{∅}} .possiamo sapere sulla struttura dei numeri naturali. Ma (i) segnerebbe la fine dello strutturalismo. possiamo saperlo considerando una qualsiasi sua esemplificazione. E (ii) farebbe nascere il problema: Quale tra le definizioni dei numeri naturali di Zermelo e von Neumann può considerarsi una esemplificazione della struttura dei numeri naturali? O nessuna delle due? A queste domande lo strutturalismo non sa dare una risposta. che li { } identifica con gli insiemi ∅. Ma allora. {∅}. in base a quanto afferma Shapiro. nelle esemplificazioni della struttura dei numeri naturali di Zermelo e von Neumann in cui i numeri naturali sono identificati con degli insiemi. 7. {{∅}} . … con gli insiemi ∅. Ora. ∅. forniscono due differenti esemplificazioni della struttura dei numeri naturali. 1. che identifica i numeri naturali 0. 2. {∅}}. {{∅}}. perché contraddirebbe il suo assunto fondamentale che possiamo studiare la struttura dei numeri naturali studiando una qualsiasi sua esemplificazione. Perciò credere che 2+2=4 significa credere che «la 57 58 Field 1989. nella matematica «abbiamo una buona storia sui numeri naturali. Poiché gli oggetti matematici sono finzioni. Vα è un modello di ZFC2 se e solo se α è un cardinale inaccessibile. si deve dimostrare che la matematica è conservativa rispetto alla scienza fisica. un’altra buona storia sugli insiemi. e quindi non sono oggetti matematici. Finzionalismo Il finzionalismo sostiene che gli oggetti matematici sono finzioni nello stesso senso in cui lo sono i personaggi di un romanzo. cioè che tutte le conclusioni sul mondo fisico che possono ottenersi usando la matematica potrebbero ottenersi. e che le proposizioni matematiche sono vere nello stesso senso in cui lo sono quelle di un romanzo. Vκ e Vκ ' saranno entrambi modelli di ZFC2 pur non essendo isomorfi tra loro. 22. Ciò segue dal fatto che. Una proposizione come «‘2+2=4’ è vera all’incirca nello stesso senso in cui la proposizione ‘Oliver Twist abitava a Londra’ è vera: quest’ultima è vera solo nel senso che è vera secondo una certa storia ben nota. Ivi. Perciò. Secondo Field (1946–). sarebbe molto strano se la matematica. senza far uso di essa. e la prima è vera solo in quanto è vera secondo la matematica standard»58. Per essere sicuri che ciò non accada.5. e quindi senza fare alcun riferimento ad enti matematici. da sola. 3.Infatti. se κ e κ ' sono cardinali inaccessibili con κ ≠ κ ' . L’esempio paradigmatico è costituito da una versione riscritta dei postulati della fisica newtoniana in cui le variabili variano su punti spazio-temporali e su regioni spazio-temporali. p. p. che sono oggetti concreti. 77 . come è facile verificare. Nondimeno la matematica è utile perché permette di derivare conclusioni sul mondo fisico molto più facilmente di quanto si potrebbe farlo senza il suo aiuto. e così via»57. Il finzionalismo è stato sostenuto da Field. ma le sue principali idee risalgono a Vaihinger. Questo può essere effettivamente dimostrato. sebbene in modo più prolisso. 2. la teoria degli insiemi del secondo ordine di ZermeloFraenkel più assioma di scelta ZFC2 non è categorica. permettesse di dimostrare fatti sul mondo fisico. perché esistono alcune strategie abbastanza generali che possono essere usate per depurare le teorie fisiche di ogni riferimento ad enti matematici. 1. cioè che «le conclusioni a cui arriviamo» aggiungendo la teoria matematica ai postulati di una teoria fisica non contenente riferimenti ad enti matematici. p. 78 . pp. 14. p. «non sono genuinamente nuovi. 62 Ivi. 26. 65 Field 1980. 66 Field 1989. Il finzionalismo considera esempio paradigmatico di depurazione di una teoria fisica da ogni riferimento ad oggetti matematici una versione riscritta dei postulati della fisica newtoniana in 59 60 Ivi. Se si riuscisse a dimostrarlo. sono già derivabili in modo più prolisso» dai postulati della teoria fisica «senza far ricorso ad enti matematici»62. p. perché «noi possiamo usare» la teoria matematica «come mezzo per trarre conclusioni» sul mondo fisico «molto più facilmente di quanto potremmo trarle per mezzo di una dimostrazione diretta»60. L’esempio paradigmatico è costituito da «una versione riscritta della fisica newtoniana» in cui le variabili variano su oggetti concreti. 61 Ivi. 13. p. Il finzionalismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. E si sarebbe «liberi di usare qualsivoglia matematica per dedurre conseguenze». 18. 67 Ivi. che equivale a «formularla senza enti matematici»67. Per essere sicuri che ciò non accada. 63 Ivi. 64 Field 1989. p. p. X. si deve dimostrare che la matematica è conservativa rispetto alla scienza fisica. Field 1980. 3. nota 11. Poiché gli oggetti matematici sono finzioni.matematica standard dice che (o ha come conseguenza che) 2+2=4»59. p. o che la Comune di Parigi venne sconfitta»61. la matematica è utile. Ma sebbene gli oggetti matematici siano solo finzioni e le asserzioni matematiche siano vere solo di finzioni. 18. 28. Questo può essere effettivamente dimostrato. «sarebbe estremamente sorprendente se si scoprisse che la matematica standard implica che nell’universo esistono almeno 106 oggetti non matematici. 10-11. essendo dispensabile «la matematica che si usa»65. si sarebbe sicuri che ogni deduzione «che può essere fatta con l’aiuto della matematica potrebbe essere fatta (di solito in modo più prolisso) senza di essa»63. perché «esistono alcune strategie abbastanza generali che possono essere usate per depurare le teorie» fisiche «di ogni riferimento ad enti matematici»66. p. Si potrebbe allora asserire che «dopo tutto la matematica non è realmente indispensabile»64. allora il problema diventa banalmente solubile. Se. e perciò non risolve il problema di evitare enti astratti. esso è costretto ad attribuire ai punti e alle regioni spazio-temporali proprietà che non appartengono ad oggetti concreti. Questo trova conferma nel fatto che la versione riscritta dei postulati della fisica newtoniana implica che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio-tempo e le quadruple di numeri reali.cui le variabili variano su punti spazio-temporali e su regioni spaziotemporali. Ma così tratta i punti come oggetti matematici piuttosto che come oggetti concreti. lo si fissa in modo che il fisico comprenda l’astratto. e quindi non depura la fisica newtoniana di ogni riferimento ad oggetti matematici ma incorpora la matematica nella teoria dello spazio-tempo. che la sua esistenza non è contingente. La questione è dove si fissa il confine tra l’astratto e il fisico. la completezza di Cauchy)» ma «alla loro astrattezza»68. mentre pretende di eliminare gli oggetti matematici. 31. per effettuare tale riscrittura. Questo vale in generale per tutto il programma del finzionalismo di depurare le teorie fisiche di ogni riferimento ad enti matematici. Ma. ed esistono tanti oggetti fisici quanti sono gli elementi del continuo. p. Perciò lo spazio ha la cioè che lo spazio-tempo è isomorfo a grandezza dell’insieme-potenza del continuo. è costretto ad assumere che un punto non può essere mosso. ma la sua soluzione non dimostra affatto 68 69 4 Field 1980. che non ha massa né estensione. Ma così il finzionalismo ammette che la sua mossa è solo un trucco. Dunque la versione riscritta dei postulati della fisica newtoniana semplicemente sostituisce i numeri reali con i punti dello spazio-tempo. Ibid. Esso chiama enti fisici quelli che in realtà sono enti matematici. come nel caso della versione riscritta dei postulati della fisica newtoniana. che sono oggetti concreti e quindi non sono oggetti matematici. Per esempio. né la costituisce postulare «che questi enti fisici obbediscano ad assunzioni strutturali analoghe a quelle che i platonisti postulano per i numeri reali»69. addirittura che non ha un luogo ma è esso stesso un luogo. 79 . Pertanto. in realtà il finzionalismo introduce i punti e le regioni spazio-temporali come oggetti dotati di proprietà da oggetti matematici piuttosto che come oggetti concreti. . Perciò «postulare un’infinità non numerabile di enti fisici» non costituisce una difficoltà. scomposto o distrutto. l’obiezione contro l’uso dei numeri reali non è dovuta «alla loro cardinalità o alle assunzioni strutturali che tipicamente vengono fatte su di essi (per esempio. Secondo il finzionalismo. come nel programma della conservazione l’uso di I permette di dimostrare A in modo meno prolisso che mediante l’uso di F soltanto. allora A è dimostrabile già in F 70. 2. Ma allora si può mostrare che esiste un enunciato A espresso nel linguaggio di N che è dimostrabile in N + M ma non in N.2. il programma del finzionalismo di depurare qualsiasi teoria fisica di ogni riferimento ad enti matematici è strutturalmente simile al programma della conservazione di Hilbert [II. allora A è dimostrabile già in N. Se F è la matematica finitaria e I è la matematica infinitaria. la classe dei punti dello spazio-tempo del ». perciò «si possono modellare i finzionalismo «è isomorfa a numeri naturali nello spazio tempo. 526. 72 Ibid. L’esistenza di tale enunciato A permette di confutare «nel modo filosoficamente rilevante» l’argomento del finzionalismo «della conservatività della matematica rispetto alla fisica»73. il programma della conservazione di Hilbert richiede di mostrare che. Shapiro 1983. p. perché in tal caso gli enti fisici sono stati introdotti semplicemente come enti matematici. e quindi è un’asserzione rilevante dal punto di vista del finzionalismo. 80 .4]. allora A è vero nello spaziotempo. così nel programma del finzionalismo l’uso di M permette di dimostrare A in modo meno prolisso che mediante l’uso di N soltanto. e in effetti. così anche il programma del finzionalismo non sia realizzabile. la struttura dei numeri naturali è esemplificata nell’universo dello spazio-tempo»71. se un’asserzione A di N è dimostrabile in N + M . Infatti. perciò F + I = I . p. 73 Ivi. Data la somiglianza strutturale del programma del finzionalismo col programma della conservazione di Hilbert. Per dirla in un altro modo. Inoltre. Perciò.che si può depurare qualsiasi teoria fisica di ogni riferimento ad enti matematici. come ha sottolineato Shapiro. perché A «è vero in tutti i modelli di N ma non è deducibile in N»72. il programma del finzionalismo richiede di mostrare che. se la teoria N è una descrizione accurata dello spazio-tempo. Il finzionalismo afferma che si può dimostrare che la matematica è conservativa rispetto alla scienza fisica. c’è da aspettarsi che. se N è una teoria fisica priva di ogni riferimento ad enti matematici e M è la teoria matematica che si aggiunge ad N. ma questo è insostenibile. Similmente. In effetti è così perché. 528. se un’asserzione A di F è dimostrabile in F + I . 70 71 4 In realtà Hilbert assume che F ⊂ I . si può fare l’aritmetica in N. come quest’ultimo non è realizzabile. e non ha bisogno di alcuna giustificazione oltre la dimostrazione e il metodo assiomatico. Secondo Maddy. la matematica M non è conservativa rispetto alla fisica N. Il principio di massimizzazione risponde all’esigenza dei matematici di essere liberi di indagare qualunque cosa attiri il loro interesse. e non ha bisogno di appoggio da alcun punto di vista esterno. ed essi poggiano solo su due sostegni. p. la logica deduttiva e gli assiomi della teoria degli insiemi. e il principio di unificazione (‘Si deve mirare ad un’unica teoria degli insiemi fondamentale’).3. cioè rende necessario garantire che M sia coerente. presunto superiore»76.4. Ma. 2. la matematica deve essere intesa e valutata nei propri termini. Infatti «non esiste alcuna base indipendente per pronunciarsi contro una conclusione dell’intera comunità»75. perciò ci si deve astenere dal criticarla o difenderla da un punto di vista extra-matematico. 184.6. p. come abbiamo appena visto.4. Essa non deve rispondere ad alcun tribunale extra-matematico. Sono questi metodi. Questa deve essere data in base a due principi. Ivi.4. Gli assiomi della teoria degli insiemi. perciò ci si deve astenere dal criticarla o difenderla «da un punto di vista extra-matematico»74. per il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V. 198. infatti. rende necessario assicurarsi che l’uso della matematica M nella fisica N non porti a conclusioni false sul mondo fisico a causa dell’eventuale incoerenza di M. il principio di massimizzazione (‘Gli assiomi insiemistici a partire dai quali si dimostrano i teoremi matematici devono essere quanto più potenti e fruttuosi è possibile’). la logica deduttiva è un processo inferenziale affidabile. non esiste alcun modo affidabile di farlo. V. invece. 76 Ivi. e perciò non richiede ulteriori giustificazioni. Il fatto che. 201. che hanno portato ai notevoli successi della matematica. Ora. ma posizioni simili sono state espresse da vari matematici. p. 81 . richiedono una giustificazione.9]. Ciò che la comunità matematica fa «non deve essere soggetto a critiche. Internalismo Secondo l’internalismo. la matematica «deve essere intesa e valutata nei propri termini». L’internalismo è stato sostenuto da Maddy. La matematica «non deve 74 75 Maddy 1997. Il principio di unificazione risponde all’esigenza di avere un singolo sistema in cui tutti gli oggetti e le strutture della matematica possano essere modellati o esemplificati. p.rispondere ad alcun tribunale extra-matematico. la sostanza della dimostrazione. essa è «indipendente sia dalla filosofia prima sia dalla scienza naturale»78. 1. In particolare. p. 83 Maddy 1984. p. 84 Maddy 1997. e gli assiomi della teoria degli insiemi»82. La deduzione «è un processo inferenziale affidabile»83. Il principio di massimizzazione afferma che «gli assiomi insiemistici a partire dai quali si devono dimostrare i teoremi matematici devono essere quanto più potenti e fruttuosi è possibile»84. e non ha bisogno di alcuna giustificazione» oltre i metodi su cui essa si basa. cioè «la dimostrazione e il metodo assiomatico»77. p. il principio di massimizzazione e il principio di unificazione. 210. 82 . Invece gli assiomi della teoria degli insiemi richiedono una giustificazione. Ibid. 85 Ivi. Lo stesso vale per la scienza naturale. 82 Ivi. «se la nostra spiegazione filosofica della matematica entra in conflitto con la pratica matematica che ha successo. 81 Ibid. 184. Perciò non richiede ulteriori giustificazioni. Tali metodi poggiano «su due sostegni: l’inesorabile logica deduttiva. 49. 201. 86 Ivi. 211. e questa deve essere data basandosi su due principi. struttura e teoria che catturi il loro interesse matematico»85. p. 79 Ivi. dipende dal fatto che «sono quei metodi – i reali metodi della matematica» – che hanno «portato ai notevoli successi della matematica moderna»81. Ciò risponde all’esigenza che «i matematici debbano essere liberi di indagare ogni oggetto. 161. 80 Ivi. 209. se «alla matematica deve essere consentito di svilupparsi liberamente in questo modo e la teoria degli insiemi deve svolgere lo sperato ruolo fondazionale. p. Il principio di unificazione afferma che «si deve mirare ad un’unica teoria degli insiemi fondamentale» perché. Perciò. perché anche quello della «scienza è un punto di vista extra-matematico»80. p. allora la teoria degli insiemi non deve imporre alcuna limitazione»86. p. Che la matematica non abbia bisogno di alcuna giustificazione oltre i metodi su cui essa si basa. è la filosofia che deve cedere»79. cioè la dimostrazione e il metodo assiomatico. Ciò risponde all’esigenza «di fornire un singolo sistema 77 78 Ivi. allora. 83 . che essi perseguono uno scopo matematico legittimo. Un esempio limite di ciò è l’esistenza di due matematiche alternative. perciò ci si deve astenere dal criticarla o difenderla da un punto di vista extra-matematico. i suoi scopi fondamentali. Inoltre. contrasta col fatto che molti problemi matematici hanno origini extra-matematiche. e molti criteri di valutazione delle teorie matematiche riguardano la loro capacità di rispondere alle esigenze extra-matematiche da cui hanno tratto origine. L’unico criterio di validità è ciò su cui la comunità matematica raggiunge il sonsenso. L’internalismo sostiene che la matematica deve essere intesa e valutata nei propri termini. i criteri per giudicare l’importanza del lavoro compiuto nelle sue varie aree. Ma ciò contrasta col fatto che tra i matematici sorgono spesso divergenze circa le assunzioni fondamentali della loro disciplina. La comunità matematica è dunque una corporazione autarchica. come il fatto che la matematica intuizionista non è in grado di trattare funzioni che sono importanti per la fisica. «se i matematici insistessero che non è così. pp. Non vi è spazio per una critica degli scopi che la comunità matematica si pone fatta dall’esterno. la direzione in cui svilupparla.in cui tutti gli oggetti e le strutture della matematica possano essere modellati o esemplificati»87. 208-209. non vi sarebbe alcuna «ragione di 87 Ivi. che tale scopo sopravanza i vari scopi tradizionali». la matematica classica e la matematica intuizionista. In base a quale criterio interno la comunità matematica potrebbe arrivare a decidere quale di questi due tipi di matematica è quella genuina? In realtà l’elemento decisivo è costituito da fattori extra-matematici. 1. tuttavia.3. se «i matematici decidessero di rifiutare la vecchia massima contro l’incoerenza – così che si potrebbero accettare sia ‘ 2 + 2 = 4 ‘ sia ‘ 2 + 2 = 5 ‘ – in base alla considerazione che ciò avrebbe un beneficio sociologico per l’autostima degli scolari». che si dà norme che ne regolano il consenso ed è impervia alle critiche dall’esterno. che non sono confrontabili tra loro [II. molte teorie matematiche rispondono ad esigenze extra-matematiche. anche se «questa potrebbe sembrare una sfacciata invasione di considerazioni non matematiche nella matematica». L’affermazione che la matematica debba essere intesa e valutata nei propri termini viene portata alle estreme conseguenze e ridotta all’assurdo da Maddy quando afferma che. L’internalismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato.9]. «con questa interpretazione. si potrebbe dare un’altra interpretazione in base a cui l’astrologia tratti «di certe vibrazioni sovrannaturali che non interagiscono causalmente con i fenomeni fisici ordinari»92. che invece considera illegittimo. Ma in virtù di che cosa la matematica può ricevere un tale trattamento speciale? Nello stesso modo si potrebbe dire che l’astrologia non deve rispondere ad alcun tribunale extra-astrologico e non ha bisogno di alcuna giustificazione oltre gli almanacchi e i manuali astrologici. p. p. 90 Ibid. Perciò la matematica pura è essenzialmente diversa dalla scienza naturale. L’internalismo sostiene che la matematica non deve rispondere ad alcun tribunale extra-matematico e non ha bisogno di alcuna giustificazione oltre la dimostrazione e il metodo assiomatico. e anche l’astrologia «pone nuovi poteri causali e fa nuove predizioni su eventi spaziotemporali». Ma così la decisione dei matematici sarebbe determinata non da uno scopo matematico bensì da uno scopo extra-matematico. come Maddy stessa ammette. mentre «la matematica pura non ha nulla da dire su tale dominio»90. perciò essa. Per superare questa difficoltà Maddy afferma che la matematica è essenzialmente differente dall’astrologia in quanto «è sbalorditivamente utile. Infatti. che Maddy considera perfettamente legittimo. e quindi va giudicata nei propri termini. apparentemente indispensabile. Con tale interpretazione. L’astrologia fa «affermazioni scientifiche ordinarie. 92 Ibid. 2. nota. A questa obiezione Maddy risponde che «vi sono buone ragioni» per «trattare la matematica diversamente da altre discipline non scientifiche»89. è soggetta a correzioni scientifiche in un modo in cui non lo è la matematica pura»91. l’astrologia sarebbe essenzialmente differente dalla scienza naturale e simile alla matematica. Maddy distingue tra il caso in cui i principi matematici vengano criticati o difesi dai matematici da un punto di vista extra-matematico. 91 Ibid. «il dominio della scienza comprende tutta la realtà spazio-temporale. e il caso in cui essi vengano criticati o difesi dai filosofi o dagli scienziati naturali di nuovo da un punto di vista extra-matematico. 204.protestare»88. per la pratica della scienza 88 89 Ivi. 84 . 198. Ma tale distinzione è immotivata. Ma questa risposta è inaccettabile perché. l’intero ordine causale». Ivi. soggette al consueto esame scientifico». Questo contraddice la sua tesi che la matematica è indipendente dalla scienza naturale. In base a tale principio. diversi dal suo ruolo nella scienza»95. Perciò l’internalismo può «dare una spiegazione accettabile della matematica che non ha alcun parallelo nel caso dell’astrologia.2] coincide con la classe L degli insiemi dati dalla gerarchia degli insiemi costruibili. L’internalismo sostiene che la giustificazione degli assiomi deve essere data in termini del principio di massimizzazione. 3.naturale. Maddy afferma che si devono respingere assiomi che impongono restrizioni sugli insiemi. rivela rapidamente che la matematica moderna ha anche scopi suoi propri. p. p. p. 95 Ivi. 205. anche se ciò potrebbe apparentemente portare a «concludere che noi abbiamo ragione di studiare quella parte della matematica che è realmente o potenzialmente applicata. perché non fornisce alcuna ragione per studiare quelle parti della matematica che non sono realmente applicate né sono potenzialmente applicabili alla scienza naturale. definita da: (i) L0 = ∅ . dove D ( Lα ) è la collezione di tutti quei sottoinsiemi di Lα che sono definibili mediante una formula del 93 94 Ivi. che comprende la matematica pura. comunque questa venga interpretata»94. 85 . Ivi. e non vale per tutta la matematica ma solo per le sue parti realmente applicate o potenzialmente applicabili alla scienza naturale. A questa obiezione Maddy risponde che. 204. come l’assioma di costruibilità V = L che asserisce che la classe V degli insiemi dati dalla gerarchia cumulativa [III.2. Ma così Maddy basa la differenza tra la matematica e l’astrologia sull’indispensabilità della matematica nella scienza fisica. e lo studio dei reali metodi della matematica. non mostra affatto che la matematica è essenzialmente differente dall’astrologia. Dire che la matematica è un’impresa unificata che noi abbiamo ragione di studiare così com’è. mentre l’astrologia non lo è»93. Ma questa non è una risposta. 204-205. (ii) Lα +1 = D ( Lα ) per ogni ordinale α. e non che abbiamo ragione di studiare tutta la matematica contemporanea». nota 15. perché ciò risponde all’esigenza dei matematici di essere liberi di indagare qualunque cosa attiri il loro interesse. in realtà non è così perché la matematica è «un’impresa unificata che noi abbiamo ragione di studiare così com’è. Da questo punto di vista. Ma. 96 97 Ivi. queste affermazioni sono in conflitto con la teoria ZFC+‘0# esiste’. 4. esso servirebbe solo come criterio negativo per decidere quali assiomi non aggiungere a ZFC. In particolare Maddy afferma che in questo modo «la piena potenza dei principi insiemistici più basilari può essere messa in opera in problemi prima insolubili. perché ciò risponde all’esigenza di fornire un singolo sistema in cui tutti gli oggetti e le strutture della matematica possono essere modellati o esemplificati. come lei stessa ammette. il che mostra che «il criterio formale ha bisogno di essere integrato con considerazioni informali di carattere più ampio»99. Ma questo equivale a riconoscere che il criterio formale è inadeguato. mentre in ZFC + V = L non si può dimostrare l’esistenza di alcun insieme non costruibile. p. Per superare questa difficoltà Maddy propone un criterio formale per decidere quando una teoria è restrittiva. minimale. Ma. mentre in ZFC + V = L si può dimostrare che esistono molti ordinali non numerabili. Ivi. p. 98 Ivi. 84. l’assioma di costruibilità « V = L va respinto perché è restrittivo»96. Tale teoria è più potente di ZFC + V = L perché in essa si può dimostrare che esiste un insieme non costruibile. Comunque. dove 0# è un certo insieme non costruibile che codifica informazione su come L differisce da V. e queste cose sono antitetiche alla nozione generale di insieme»97. «nessun modello transitivo di ZFC+‘0# esiste’ può contenere un ordinale non numerabile»98. l’assioma V = L non appare restrittivo. p. allora. 100 Ivi. anche se si riuscisse a trovare una criterio formale adeguato. Esso è «limitante. 99 Ivi. L’internalismo sostiene che la giustificazione degli assiomi deve essere data in termini del principio di unificazione. 232. (iii) Lλ = ∪ Lα per ogni ordinale limite λ. come la stessa Maddy riconosce. 86 . p. 225.linguaggio di ZFC i cui quantificatori sono ristretti a Lα . si possono valutare nuove congetture per la fattibilità della dimostrazione»100. α <λ Secondo Maddy. 28. 214. p. tale criterio formale «classifica come restrittive certe teorie che non sembrano restrittive e non classifica come restrittive certe teorie che sembrano restrittive». e non come criterio positivo per decidere quali assiomi aggiungere a ZFC senza far intervenire considerazioni extra-matematiche. ma. o matematica costruttiva. perché le uniche sue parti applicabili sono quelle che hanno un contenuto costruttivo. riscrivendoli sotto forma di implicazioni della forma TE → A . Il costruttivismo è stato sostenuto soprattutto da Bishop. È vero che anche gli enunciati A della matematica classica privi di validità empirica possono conservare un valore nella matematica costruttiva. Né fornisce alcuna prova del fatto che la varietà dei metodi di dimostrazione adoperati nelle varie branche della matematica possa trovare adeguati omologhi nei metodi di dimostrazione della teoria degli insiemi. Ma la matematica classica è inutile per le applicazioni al mondo fisico.Ma Maddy non fornisce alcuna prova del fatto che problemi della matematica ordinaria possano essere risolti per mezzo di principi insiemistici relativi a livelli molto alti della gerarchia cumulativa. diversamente dalla matematica intuizionista. Certo. Costruttivismo Il costruttivismo sostiene che la matematica in senso proprio. Perciò la matematica costruttiva non comporta l’abbandono della matematica classica. perché nella matematica costruttiva non ci interessano proprietà degli interi positivi che non hanno alcun significato descrittivo per esseri finiti. Si tratta allora di trovare versioni costruttive degli enunciati privi di validità empirica. e precisamente quella parte che può essere sviluppata senza far uso del principio del terzo escluso né delle leggi logiche che dipendono da esso. che non hanno senso dal punto di vista della matematica classica. La matematica costruttiva non contiene tutti i teoremi della matematica classica ma. anzi in essa la matematica classica può essere usata come guida. molti enunciati della matematica classica sono privi di validità empirica. onde ricavarne quell’informazione numerica che la versione originale non fornisce.7. come le successioni di scelte. non contiene nuovi oggetti. si occupa della descrizione precisa di operazioni effettuabili finitamente che si riducono ad operazioni con i numeri interi. Perciò le sue affermazioni sono mere petizioni di principio. per dimostrare che esiste un numero intero avente certe proprietà. dove TE è il principio del terzo escluso. 2. Essa è una parte propria della matematica classica. mentre nella matematica classica la spiegazione di ‘esiste’ non fa riferimento ai poteri di esseri finiti bensì a quelli di un Dio. si deve indicare come trovarlo. Ma nella matematica classica vi sono anche enunciati che hanno validità empirica. la matematica propriamente detta. Così in essa. o ‘matematica costruttiva’. «si occupa della descrizione precisa di operazioni astratte effettuabili finitamente» che «si riducono ad 87 . ma ad esso hanno aderito anche da altri. Secondo Bishop (1928-1983). 105 Ivi. 53. p. Ma la matematica classica è inutile per le applicazioni al mondo fisico. 6. p. 9. 2. Essa non contiene tutti i teoremi della matematica classica ma. che «rendono la matematica così bizzarra che essa diventa inappetibile per i matematici»102. che dicono che certe operazioni effettuabili produrranno certi risultati osservabili»107. 106 Bishop 1985. 88 . 103 Bishop 1970. Il costruttivismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. Nella matematica costruttiva «non ci interessano proprietà degli interi positivi che non hanno alcun significato descrittivo per l’uomo finito. p. al fine di «scoprire utile e incisiva informazione numerica»108. VIII. dove TE è il principio del terzo escluso. molti enunciati della matematica classica sono «privi di validità empirica»104. VIII. diversamente dalla matematica intuizionista. 107 Bishop 1967. perché «l’unica ragione per cui la matematica è applicabile (in fisica) è il suo contenuto costruttivo intrinseco»110. anzi in essa si può «usare la matematica classica. Così «la matematica classica continuerebbe interamente come prima tranne che ogni teorema sarebbe scritto come un’implicazione»109. come guida»103. «egli deve mostrare come trovarlo»105. Ma nella matematica classica «vi sono anche enunciati matematici di immediata validità empirica. 109 Bishop 1975. 511. 108 Bishop 1970. p. Bishop 1967.operazioni con gli interi»101. p. Invece la spiegazione di ‘esiste’ data dalla matematica classica richiede «la considerazione di un essere con poteri non finiti – che lo si chiami Dio o come altro si voglia – in aggiunta ai poteri posseduti dagli esseri finiti»106. Certo. 104 Bishop 1967. 54. Si tratta allora di cercare di trovare versioni costruttive degli enunciati che sono privi di validità empirica. come le successioni di scelte libere. 110 Ivi. non contiene nuovi oggetti. Quando uno dimostra che esiste un intero positivo» avente certe proprietà. almeno inizialmente. 514. p. p. p. 54. È vero che gli enunciati A della matematica classica privi di validità empirica possono conservare un valore nella matematica costruttiva riscrivendoli nella forma TE → A . p. p. Perciò la matematica costruttiva non comporta l’abbandono della matematica classica. 101 102 Bishop 1970. Per esempio.8. Ma questa affermazione è contraddetta dal fatto che vi sono risultati della matematica classica che trovano applicazione nella fisica e di cui non si conosce alcuna versione costruttiva. Il costruttivismo sostiene che nella matematica sono ammesse solo operazioni effettuabili finitamente. e quindi non sono un prodotto della nostra mente. Ora. dove tutte tali operazioni si riducono ad operazioni con gli interi. come Brouwer. 3. si assume che i numeri interi siano creazioni della nostra mente. dire che nella matematica sono ammesse solo operazioni effettuabili finitamente dove tutte tali operazioni si riducono ad operazioni con gli interi. come afferma il costruttivismo sono oggetti astratti indipendenti da noi. 2) la dimostrazione della congettura. perché le uniche sue parti applicabili sono quelle che hanno un contenuto costruttivo. 53. Ma non è così. come potrebbe l’uomo finito accedere ad essi? 2. non se essi. Quando si dice ‘si può trovare un intero tale che’. Cioè va intesa nel senso che i numeri interi sono stati creati da Dio. Nella matematica classica semplicemente si distingue il significato di ‘esiste un intero tale che’ dal significato di ‘si può trovare un intero tale che’. Il costruttivismo sostiene che la matematica costruttiva differisce da quella classica perché in questa la spiegazione di ‘esiste’ non si riferisce ai poteri di un uomo finito bensì a quelli di un Dio. Il costruttivismo sostiene che la matematica classica è inutile per le applicazioni al mondo fisico. gli operatori adoperati nella meccanica quantistica non sono costruttivi. che la scompone in sottocongetture o lemmi. è giustificato solo se. Perciò la differenza che il costruttivismo stabilisce tra gli enunciati dotati di validità empirica e quelli che invece ne sono privi è semplicemente una distinzione tra teoremi all’interno della matematica classica. 2. In tal caso.1. p. 3) l’emergere di controesempi alla congettura primitiva. che consta dei seguenti quattro passi: 1) la congettura primitiva. dove questa affermazione va intesa «nello spirito di Kronecker»111. Congetturalismo Il congetturalismo sostiene che la conoscenza matematica si sviluppa in base al cosiddetto ‘metodo delle dimostrazioni e delle confutazioni’. non si assume che sia dato un tale metodo. infatti. Ma esso considera i numeri interi come oggetti astratti indipendenti da noi. perché afferma che i numeri interi sono un «costrutto matematico irriducibile». si intende dire che è dato un metodo per trovare un intero siffatto. mentre quando si dice ‘esiste un intero tale che’. 89 . 4) il 111 Bishop 1970. Ad essi se ne potrebbero aggiungere anche altri. la conoscenza che possiamo averne può essere solo congetturale. Noi non sappiamo mai. anche se all’inizio i nominalisti sembrano più «vicini alla verità quando affermano che l’unica cosa» che oggetti matematici dello stesso tipo «hanno in comune è il loro nome». Per sottolinearne l’indipendenza da noi. la nostra conoscenza si approssima sempre di più ad essa. con lo svilupparsi della teoria» relativa a tali oggetti. la realtà matematica. perché. l’introduzione di tale lemma come condizione nella congettura primitiva. ma attraverso l’incessante miglioramento delle congetture mediante la speculazione e la critica». facciamo solo congetture. l’emergere di controesempi alla congettura primitiva e il riesame della dimostrazione per individuare il lemma responsabile dei controesempi. La conoscenza matematica è conoscenza di una realtà che esiste indipendentemente da noi. ma. «l’equilibrio cambia a favore del realista»115. 5. Che la nostra conoscenza della realtà matematica sia sempre fallibile dipende dal fatto che. ma l’unico modo che abbiamo di sapere se le abbiamo migliorate è congetturarlo. la conoscenza matematica «non cresce attraverso un aumento monotòno del numero di teoremi indubitabilmente stabiliti. 92. 114 Ivi. 90 . 128. La conoscenza che noi abbiamo della realtà matematica è fallibile. in base al metodo «delle dimostrazioni e delle confutazioni»112. nota 1. che possiamo criticare e migliorare. Per 112 113 Lakatos 1976. p. Tale metodo «è un modello euristico molto generale di scoperta matematica»113. Esso consta di quattro passi.riesame della dimostrazione per individuare il lemma responsabile dei controesempi. cioè la congettura primitiva. Ivi. 115 Ivi. Il congetturalismo è stato sostenuto da Lakatos. «dopo alcuni secoli di dimostrazioni e confutazioni. la dimostrazione della congettura. Secondo Lakatos (1922-1974). tuttavia. ma essi «costituiscono il nucleo essenziale dell’analisi della dimostrazione»114. e questo trasforma la matematica da mero gioco in una seria impresa fallibilista di approssimazione alla verità. poiché la realtà matematica esiste indipendentemente da noi. e la sostituzione della congettura primitiva con la congettura migliorata così ottenuta. si può anche dire che essa è opera di Dio e non umana. p. col metodo delle dimostrazioni e delle confutazioni. La conoscenza matematica è conoscenza di una realtà che esiste indipendentemente da noi. la realtà matematica. p. 127. p. I. nota 2. II. Ibid. Che la nostra conoscenza della realtà matematica sia sempre fallibile dipende dal fatto che. pp. e Popper «ha gettato le basi di una tale logica della scoperta»124. e questo trasforma la matematica «da mero gioco in un esercizio epistemologicamente razionale. la nostra conoscenza della realtà matematica si approssima sempre di più ad essa. Anzi. Ma esso non dice nulla su come la si ottiene. 120 Ivi. si può anche dire che «il grosso della logica e della matematica è opera di Dio e non una convenzione umana»116. 123 Ivi. 1. p. 127. Lakatos dichiara che la speranza di trovare regole in base a cui la congettura primitiva possa essere ottenuta «è stata ora abbandonata: le moderne metodologie o ‘logiche della scoperta’ consistono solo di un insieme di regole» per «la valutazione di teorie pronte. facciamo solo congetture. L’unico senso in cui si può parlare di una «logica della scoperta» è come «logica del progresso scientifico». Ma. 122 Ibid. il cui primo passo è costituito dalla congettura primitiva. trasformare le nostre congetture in congetture criticabili. 103. Perciò la «questione centrale» è: «Come miglioriamo le nostre congetture?»120. e criticarle e migliorarle»119. I.sottolineare che la realtà matematica esiste indipendentemente da noi. L’unica risposta possibile a questa domanda è: «‘Lo congetturo’»122. poiché la realtà matematica esiste indipendentemente da noi. 124 Lakatos 1976. 9-10. la conoscenza che possiamo averne «può essere solo congetturale. è vero. p. 118 Ivi. col metodo delle dimostrazioni e delle confutazioni. pp. p. 143-144. 10. in una – più seria – impresa fallibilista di approssimazione alla verità»118. La conoscenza che noi abbiamo della realtà matematica è fallibile. articolate»123. «l’infaticabile scettico chiederà ancora: ‘Come sai che migliori le tue congetture?’»121. II. pp. 113-114. 119 Ivi. Ma la Lakatos 1978. ma anche nella matematica e nella logica»117. Noi non sappiamo mai. Il congetturalismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. 121 Ibid. da un insieme di spensierate mosse scettiche cercate per divertimento intellettuale. perché si ha fallibilità «non solo nella scienza. Possiamo. Il congetturalismo afferma che la nostra conoscenza matematica cresce in base al metodo delle dimostrazioni e delle confutazioni. 117 116 91 . II. Certo. sono solo congetture. e neppure su quale tra due programmi rivali impegnarsi»125. non dice nulla sull’aspetto più importante dello sviluppo scientifico. 50. Tale passo rimane.logica della scoperta intesa come logica del progresso scientifico si limita ad individuare i passi attraverso cui la matematica cresce. p. Perciò i controesempi non possono essere conclusivi. regole di scoperta. neppure i controesempi sono conoscenza. permette di «dire se hanno progredito oppure no». 92 . che noi non possiamo mai stabilire in modo conclusivo. 174. cioè un controesempio alla congettura primitiva. ma l’unico modo che abbiamo di sapere se le abbiamo migliorate è congetturarlo. letteralmente inspiegabile. Perciò il congetturalismo non è in grado di dire nulla su quello che anche dal suo punto di vista dovrebbe essere il passo più importante dell’attività matematica. se «la matematica alla fine risulterà essere 125 126 Lakatos 1971. alla domanda quale sia «la natura dei falsificatori potenziali delle teorie informali». Ma questo è in conflitto col fatto che. criticare e migliorare. 178. p. In effetti Lakatos afferma che la sua logica della scoperta «semplicemente valuta teorie (o programmi di ricerca) pienamente articolate. p. «abbandona la tua congettura»128. per il congetturalismo. che possiamo. il cui terzo passo è costituito dall’emergere di controesempi. Se noi non sappiamo mai. 127 Ibid. noi non sappiamo mai. e specificamente. cioè la scoperta della congettura primitiva. secondo il congetturalismo. Essa permette di «giudicare quello che» gli scienziati «hanno fatto». 2. Essa non prescrive «al singolo scienziato che cosa cercare di fare in una situazione caratterizzata da due programmi di ricerca progressivi rivali: se cercare di sviluppare l’uno o l’altro o ritirarsi da entrambi e cercare di sostituirli con un grande balzo in avanti dialettico»126. che esso considera conclusivi. né intende fornire. nel primo passo. Infatti Lakatos afferma: «Se hai un controesempio globale». Ivi. è vero. Il congetturalismo sostiene che la nostra conoscenza matematica cresce in base al metodo delle dimostrazioni e delle confutazioni. ma non può né vuole «dar loro consigli – su di che cosa preoccuparsi esattamente e in quale direzione cercare di procedere»127. Su quale sia la natura dei controesempi capaci di portare all’abbandono di una congettura – i cosiddetti ‘falsificatori potenziali’ – Lakatos sembra avere idee vaghe perché. 128 Lakatos 1976. cioè su come. ma non presume di dare consigli allo scienziato su come arrivare a buone teorie. facciamo solo congetture. si scopre la congettura primitiva. Dunque il congetturalismo non fornisce. o «l’intuizione platonistica».9. la nostra conoscenza della realtà matematica si approssima sempre più ad essa. perché il suo scopo è proprio quello di fornire una criterio per la crescita della conoscenza. Il congetturalismo potrebbe ribattere che la nostra conoscenza della realtà matematica si approssima sempre di più a tale realtà anche se noi non possiamo mai saperlo. e il rifugiarsi nell’eclettismo è il sintomo di questa sua incapacità. richiede che si fornisca un criterio per stabilire se si ha una migliore approssimazione alla realtà matematica. risponde che «difficilmente la risposta sarà una risposta monolitica. Ma questo svuoterebbe di senso il metodo delle dimostrazioni e delle confutazioni. 93 . II. è vero. Un attento studio di casi storicocritico porterà probabilmente ad una soluzione sofisticata e composita»129. Come i gas ideali non esistono nella realtà e però i gas reali soddisfano approssimativamente le leggi di un gas ideale. o «la convenzione». che si manifestano nel comportamento degli esseri umani.indirettamente empirica». 129 Lakatos 1978. e. 2. col metodo delle dimostrazioni e delle confutazioni. dal punto di vista del congetturalismo. p. che. Ma queste due tesi sono in conflitto tra loro perché. Il congetturalismo sostiene. di agenti ideali che sono un’idealizzazione degli esseri umani. dall’altro lato. che possiamo. che noi non sappiamo mai. da un lato. La relazione tra la matematica e le operazioni degli agenti reali che esistono nel nostro mondo è simile a quella tra le leggi dei gas ideali e i gas reali che esistono nel nostro mondo. e questo. 3. non soggetti ai limiti biologici di questi ultimi. o meglio. 40. criticare e migliorare. Ma così Lakatos riconosce di non essere in grado di dare una risposta soddisfacente ad una questione che è centrale per la sua concezione. facciamo solo congetture. nulla ci autorizza ad affermare che la nostra conoscenza della realtà matematica si approssima sempre di più a tale realtà. così gli agenti ideali non esistono nella realtà e però le operazioni degli agenti reali soddisfano approssimativamente le operazioni di un agente ideale. Empirismo L’empirismo sostiene che la matematica descrive caratteri strutturali del nostro mondo. ma l’unico modo che abbiamo di sapere se le abbiamo migliorate è congetturarlo. se noi non sappiamo mai. oppure «la sola fonte di verità da iniettare in un’asserto-base matematico» è «la costruzione». Certo. 133 Ibid. 108. D’altra parte. l’aritmetica «descrive quei caratteri strutturali del mondo in virtù dei quali noi siamo in grado di separare e ricombinare oggetti»131. p. analogo al nostro tempo ma ben più ricco di esso. questo significa idealizzare ancora di più rispetto alle nostre operazioni completamente finite. perché la definizione della gerarchia cumulativa [III. Ciò implica che. Si deve dire.2] può considerarsi una descrizione dell’attività costruttiva iterata di un soggetto ideale. 132 Ivi. perciò. Ivi. il cui status come soggetto ideale risiede nella sua libertà da certe limitazioni accidentali a cui siamo sottoposti»134. 109. Ma sarebbe inadeguato dire che i caratteri strutturali del mondo si manifestano interamente «nelle operazioni che noi realmente effettuiamo» perché. Parlare di un soggetto ideale non significa postulare l’esistenza di «un essere misterioso con poteri sovrumani». però. allora l’attività di tale soggetto viene effettuata in un ‘sovratempo’. per esempio quella del separare e ricombinare oggetti. 105. ma tale idealizzazione non è differente in linea di principio da quelle consistenti nell’astrarre dalla nostra mortalità o dalla nostra incapacità di passare in rassegna domini infiniti. se ciascuno degli stadi corrisponde ad un istante di vita del soggetto ideale. 134 Ibid. p. ma solo che le verità aritmetiche sono vere in virtù di operazioni «che in realtà non sono 130 131 Kitcher 1983. le operazioni nelle quali noi realmente ci impegniamo».Questo vale per tutta la matematica. Perciò parlare di un soggetto ideale non significa postulare l’esistenza di un essere misterioso dotato di poteri sovrumani. caratteri che si manifestano nel comportamento di tutti gli abitanti del mondo»130.2. ma alle operazioni ideali effettuate da agenti ideali». «sono limitate»132. «dati i nostri limiti biologici. non possiamo fare certe cose – non va considerato come individuante un qualche tratto strutturale della realtà»133. anche se forme differenti di empirismo sono state formulate anche da altri. che «l’aritmetica deve la sua verità non alle operazioni reali di agenti umani reali. «il fatto che noi non facciamo certe cose – e che. ivi compresa la teoria degli insiemi. Per esempio. 94 . Secondo Kitcher (1947–). p. poiché la successione degli stadi della gerarchia cumulativa è altamente sovranumerabile. L’empirismo è stato sostenuto soprattutto da Kitcher. e che essa può essere considerata come il prodotto «di un soggetto ideale. «la matematica descrive i caratteri strutturali del nostro mondo. nell’arco della vita umana. ed inoltre. Quanto detto per l’aritmetica vale per tutta la matematica. p. tuttavia «i gas reali soddisfano approssimativamente la condizione» P ⋅ V = R ⋅ T . ed inoltre. questo significa «idealizzare ancora di più rispetto alle nostre 135 136 Ivi. Questo «ci spinge ad astrarre da certi caratteri della situazione reale. 141 Ivi. La relazione «tra l’aritmetica e le operazioni reali di agenti umani è parallela a quella tra le leggi dei gas ideali e i gas reali che esistono nel nostro mondo»137. 133. p. 146. Nello stesso modo. p. introducendo la nozione di gas ideale per descrivere come si comporterebbero i gas reali se venissero rimossi i fattori complicanti»139. «se le molecole dei gas avessero una grandezza trascurabile e non esistessero forze intermolecolari. 139 Ibid. 142 Ivi. 140 Ibid. perché la descrizione della gerarchia cumulativa «può considerarsi come un resoconto letterale dell’attività costruttiva iterata del soggetto matematico ideale»141.soddisfatte da nulla ma sono soddisfatte approssimativamente dalle operazioni che noi effettuiamo»135. Il soggetto ideale non è altro che «un’idealizzazione di noi stessi»136. p. Questo ci spinge a specificare «le capacità dell’agente ideale astraendo dalle limitazioni accidentali della nostra pratica del riunire»140. 110. (Chiamiamolo ‘sovratempo’)»143. 147. Certo. 137 Ivi. ivi compresa la teoria degli insiemi. allora «l’attività del soggetto viene effettuata in un mezzo analogo al tempo ma ben più ricco del tempo. p. se gli agenti reali non fossero soggetti ai limiti biologici. se «ciascuno degli stadi corrisponde ad un istante di vita del soggetto costruttivo». I gas ideali non esistono nel nostro mondo. p. Questo richiede di attribuire «al soggetto ideale la capacità di effettuare un’attività di riunione iterata per una successione infinita di stadi»142. 111. 110. allora i gas obbedirebbero» a tale «legge»138. 117. Ciò implica che. le loro operazioni soddisferebbero esattamente tali condizioni. p. Ivi. tuttavia le operazioni del separare e ricombinare oggetti effettuate dagli agenti reali del nostro mondo soddisfano approssimativamente le condizioni di un agente ideale su tali operazioni. 138 Ivi. 143 Ivi. 95 . gli agenti ideali non esistono nel nostro mondo. poiché «la successione degli stadi in cui vengono formati gli insiemi è altamente sovranumerabile». oppure la sua 144 Ivi. e anzi il grado di approssimazione può essere calcolato. Perciò la struttura del sovratempo non sta alla struttura del nostro tempo così come un gas ideale sta ai gas reali. p. L’empirismo sostiene che la descrizione della gerarchia cumulativa può considerarsi una descrizione dell’attività costruttiva iterata di un soggetto ideale. se ciascuno degli stadi corrisponde ad un istante della vita del soggetto ideale. come i gas ideali non esistono nel mondo reale e tuttavia i gas reali soddisfano approssimativamente le leggi di un gas ideale. poiché la successione degli stadi della gerarchia cumulativa è altamente sovranumerabile. allora l’attività del soggetto ideale deve essere effettuata in un ‘sovratempo’ analogo al nostro tempo ma ben più ricco di esso. perché o quest’ultima viene pensata come collocata nel tempo. 147. sotto certi limiti di temperatura e di pressione. Ora.operazioni completamente finite». la mente di un tale agente ideale dovrebbe differire «non solo dalle menti finite. così gli agenti ideali non esistono nel mondo reale e tuttavia le operazioni degli agenti reali soddisfano approssimativamente le condizioni su tali operazioni di un agente ideale. per esempio operazioni infinite. 1. L’idea del soggetto ideale come una idealizzazione di noi stessi non viene meno quando sciogliamo il soggetto dalle limitazioni del nostro tempo»144. sarebbe difficile immaginare quale agente ideale potrebbe generare la gerarchia cumulativa perché. mentre i gas reali soddisfano approssimativamente le leggi di un gas ideale. la struttura del nostro tempo non si approssima in alcun modo alla struttura di tale sovratempo a causa della sovranumerabilità di quest’ultimo. si approssima molto alle leggi di un gas ideale. 96 . ma anche dalla mente divina quale concepita dalla teologia filosofica. Addirittura. ma tale idealizzazione «non è diversa in linea di principio dalle idealizzazioni» in base alle quali «noi astraiamo dalla nostra mortalità o dalla nostra incapacità di passare in rassegna domini infiniti. L’empirismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. L’empirismo sostiene che. 2. e quindi come operante secondo un ordine che ha la stessa struttura di quello in base a cui operano gli esseri finiti. Ma per farlo è costretto a riconoscere che. Invece l’agente ideale si suppone possa effettuare operazioni. Ma così trascura che il comportamento di alcuni gas reali. come sottolinea Parsons. che vanno ben al di là di ciò che un qualsiasi agente reale potrebbe mai fare. Sarebbe invece qualcosa di radicalmente diverso dalla mente umana e. per quanto abbiamo detto sopra. anche dalla mente divina. sarebbe sempre falso perché non esistono gli agenti ideali. non soggetta ai limiti biologici di questi ultimi. L’empirismo sostiene che gli agenti ideali non esistono. cioè. perciò l’enunciato sarebbe vuotamente vero. 3. L’empirismo sostiene che la matematica descrive caratteri strutturali del nostro mondo. dal momento che nel nostro mondo non sono presenti quei poteri. che esprime ‘x è un agente ideale’. Ma questo è ingiustificato. e il suo antecedente I ( x ) .eternità viene interpretata come la liberazione completa da ogni successione»145. perciò parlare di un soggetto ideale non significa postulare l’esistenza di un essere misterioso con poteri sovrumani. quello che 145 146 Parsons 1977. L’empirismo sostiene che considerare la descrizione della gerarchia cumulativa come una descrizione dell’attività costruttiva iterata di un soggetto ideale significa effettuare un’idealizzazione che non è diversa da quella consistente nell’astrarre dalla nostra mortalità o dalla nostra incapacità di passare in rassegna domini infiniti. 97 . come riconosce lo stesso Kitcher. un enunciato matematico avrebbe la forma ∀x ( I ( x ) → A( x )) . Ma. 339. 4. Kitcher cerca di sfuggire a questa difficoltà dicendo che un enunciato matematico si distingue dalla moltitudine di enunciati completamente privi di interesse e vuotamente veri per «il fatto che le stipulazioni sull’agente ideale fanno astrazione dalle limitazioni accidentali degli agenti umani»147. Infatti. p. 147 Ibid. p. Kitcher 1983. così gli enunciati matematici diventano «vuotamente veri»146. Secondo Kitcher. perché i poteri sovrumani e persino sovradivini attribuiti agli agenti ideali non permettono di affermare che il loro comportamento manifesti caratteri strutturali del nostro mondo. nota 18. o meglio. di agenti ideali che sono un’idealizzazione degli esseri umani. Esso sarebbe vuotamente vero anche nel caso in cui A( x ) fosse falso. che si manifestano nel comportamento degli esseri umani. 5. Perciò parlare di un tale soggetto ideale equivarrebbe proprio a postulare l’esistenza di un essere misterioso con poteri sovrumani e persino sovradivini. 117. Ma così trascura che la mente di un agente ideale capace di generare la gerarchia cumulativa non sarebbe semplicemente un’idealizzazione non diversa in linea di principio dalle idealizzazioni in base alle quali noi astraiamo dalla nostra mortalità o dalla nostra incapacità di passare in rassegna domini infiniti. Tali capacità innate rendono conto. Dunque è un meccanismo che ci permette di usare la struttura inferenziale di un dominio concettuale per ragionare su un altro dominio concettuale. solo di una parte molto piccola ed elementare della matematica. 98 . p. Le prime ci permettono di effettuare proiezioni da esperienze quotidiane (per esempio. che nasce «da interessi e attività umane» e «usa le risorse molto limitate e vincolate della biologia umana»148. può dare una risposta alla domanda quale è la natura della matematica. Pertanto solo la scienza cognitiva – cioè lo studio interdisciplinare di mente. perché l’agente ideale I non si ottiene dagli agenti umani facendo astrazione dalle loro limitazioni accidentali. le metafore situate e le metafore di collegamento. perché è un’applicazione tra due domini di cose differenti che conserva le inferenze. Le seconde collegano l’aritmetica con altre branche della matematica (per esempio. La metafora è un meccanismo cognitivo che ci permette di ragionare su una specie di cose come se fosse un’altra cosa. Secondo Lakoff (1941–) e Núñez. cervello e delle loro relazioni – e non la filosofia. come la capacità di riconoscere istantaneamente piccoli numeri di oggetti e la capacità di effettuare le forme più semplici di addizione e sottrazione di piccoli numeri. porre cose in un mucchio) a concetti astratti (per esempio. la scienza cognitiva ci dice che noi abbiamo certe capacità innate. l’addizione). Perciò essa 148 Lakoff-Núñez 2000. Vi sono due tipi di metafore. Cognitivismo Il cognitivismo sostiene che la matematica è un prodotto degli esseri umani. 2.10. che nasce dagli interessi e dalle attività umane ed è concettualizzato dagli esseri umani usando i meccanismi cognitivi del cervello. Il cognitivismo è stato sostenuto soprattutto da Lakoff e Núñez. 351. «la matematica è un prodotto degli esseri umani». Il passaggio alla matematica avanzata avviene concettualizzando concetti astratti in termini concreti attraverso la metafora. Ma questo è ingiustificato. Perciò la matematica è limitata e strutturata dal cervello umano e dalle capacità mentali umane. Ora. dal momento che si suppone che esso abbia poteri non solo sovrumani ma addirittura sovradivini.differenzia un enunciato matematico da una moltitudine di enunciati completamente privi di interesse e vuotamente veri è che in esso l’agente ideale I ha una speciale relazione con gli agenti reali per il fatto che si ottiene da essi facendo astrazione dalle limitazioni accidentali degli agenti umani. concepire i numeri come punti su una retta). però. p. la scienza cognitiva ci dice che noi abbiamo certe capacità matematiche innate. 52-53. p. 154 Ivi. Per esempio. 1. 155 Lakoff-Núñez 1997. Il meccanismo attraverso cui l’astratto è compreso in termini del concreto si dice metafora»152. Vi sono due tipi di metafore. usando idee e modi di ragionamento radicati nel sistema sensorio-motorio. p. 153 Ivi. costruire oggetti. La metafora è «un meccanismo cognitivo che ci permette di ragionare su una specie di cose come se fosse un’altra cosa»153. ci permettono di concettualizzare le operazioni aritmetiche in termini del formare collezioni. 157 Lakoff-Núñez 1997. e le loro relazioni – che possiamo dare una risposta alla domanda: Qual è la natura dell’unica matematica che gli esseri umani conoscono o possono conoscere?»150. cervello. Ivi. Le prime «fondano le idee matematiche sull’esperienza quotidiana. come «quando concepiamo i numeri come punti su una retta»156. 149 150 Ivi. Il passaggio alla matematica avanzata avviene concettualizzando «concetti astratti in termini concreti. 156 Lakoff-Núñez 2000. 5. però. o «la capacità di effettuare le forme più semplici di addizione e sottrazione di piccoli numeri»151. 51. Tali capacità innate rendono conto. Ora. 84. Le seconde «collegano l’aritmetica con altre branche della matematica». come la capacità di «riconoscere istantaneamente piccoli numeri di oggetti». Il cognitivismo afferma che la matematica è un prodotto degli esseri umani che nasce dagli interessi e dalle attività umane. p. 1.«è limitata e strutturata dal cervello umano e dalle capacità mentali umane. Mediante esse «noi concettualizziamo un dominio o un’idea matematica in termini di altri»157. «le metafore situate» e «le metafore di collegamento»154. 3 151 Ivi. pp. Dunque «è solo attraverso la scienza cognitiva – lo studio interdisciplinare di mente. 84. o muoversi attraverso lo spazio»155. 53. Ma non ci dice nulla su qual è il ruolo della matematica nella vita umana. 6. solo di una parte molto piccola ed elementare della matematica. 99 . p. Il cognitivismo ha un certo numero di difetti che lo rendono inadeguato. 152 Ivi. L’unica matematica che conosciamo o possiamo conoscere è una matematica basata su cervello e mente»149. p. p. p. che non possono in alcun modo essere ridotte alla metafora 158. Il cognitivismo trascura che i meccanismi cognitivi del cervello su cui si basa la matematica sono il risultato della selezione naturale. Perciò. nella formazione di ipotesi della matematica avanzata. 100 . Il cognitivismo sostiene che la matematica è tale in quanto è concettualizzata da esseri umani usando i meccanismi cognitivi del cervello. Pertanto la sostituzione dei grandi programmi fondazionali della prima metà del Novecento con i meno ambiziosi programmi della seconda metà del Novecento non ha portato ad alcun reale progresso nella comprensione della natura della matematica. Ma non ci dice nulla su come la matematica avanzata dipende dai meccanismi cognitivi del cervello. per comprendere la natura della matematica. dall’induzione all’analogia all’uso della figura all’ibridazione. Parlare genericamente di metafora non fornisce alcuna informazione al riguardo. mostra che esse sono inadeguate. 3. non basta la scienza cognitiva. intervengono molte altre procedure. se questa avesse avuto luogo in un ambiente completamente differente. 4. Cellucci 2003. Hilbert e Brouwer sia di quelle che non lo sono. occorre anche la scienza dell’evoluzione. 3. Il cognitivismo individua nella metafora il meccanismo che sta alla base del passaggio dalle capacità matematiche innate alla matematica avanzata. sia di quelle che sono variazioni su temi di Frege. e che. Conclusioni sulla filosofia della matematica di oggi L’analisi delle concezioni filosofiche della matematica della seconda metà del Novecento. Ma questo è molto restrittivo perché. 158 V. presumibilmente tali meccanismi cognitivi sarebbero stati differenti.2. IV La filosofia della matematica di domani 1.1. non perché sia un problema interno alla teoria dei numeri. Ciò che si richiede non è semplicemente un nuovo -ismo. perché affrontare i problemi filosofici della matematica dall’interno non offre criteri per stabilire quali problemi matematici abbiano rilevanza filosofica. 1. ma può esistere solo come parte di una filosofia generale. riducendola alla logica. Non autonomia della filosofia della matematica La filosofia della matematica non è una disciplina autonoma. 1 2 Beth 1959. Ma il «ritardo nello sviluppo degli altri domini della filosofia ostacola seriamente qualsiasi tentativo di affrontare il problema della filosofia della matematica dall’esterno»2. 614. Perciò l’unico modo appropriato di affrontarli è dall’interno. L’analisi dei difetti della filosofia della matematica di ieri e di oggi suggerisce che. Lo stesso Frege attribuisce rilevanza filosofica al problema di stabilire che cosa sono i numeri naturali. p. Necessità di un nuovo inizio I difetti della filosofia della matematica di ieri e di oggi suggeriscono che la filosofia della matematica di domani dovrà essere di tipo essenzialmente differente. Per stabilirlo si devono affrontare i problemi filosofici della matematica anche dall’esterno. 101 . in particolare l’abbandono delle assunzioni dell’ortodossia prevalente. Ma questo è insostenibile. X. ma perché vuole dare una fondazione dell’aritmetica dall’esterno. Ivi. «i problemi filosofici della matematica e i suoi fondamenti possono essere affrontati» o «dall’esterno».2. Caratteri della filosofia della matematica di domani 1. ma un ripensamento della natura stessa della disciplina. la filosofia della matematica di domani dovrebbe partire dal riconoscimento dei seguenti punti. «oppure dall’interno»1. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. considerandone le relazioni con altri campi della filosofia. per evitarli. p. p. Un fondamento metafisico «fornisce l’ontologia basilare della matematica»7. riducendo il compito della filosofia della matematica a quello di far chiarezza su ciò che già sappiamo. della mente. Perciò capire che cos’è la matematica richiede di esaminare questioni generali concernenti la natura degli organismi. 24. 7 Ivi. Essa «non contribuisce al progresso della conoscenza: fa semplicemente chiarezza su ciò che già sappiamo»5. 8 Ivi. perché mira a far progredire la conoscenza matematica. 17. Una filosofia della matematica è possibile solo come parte di una filosofia generale in cui tali questioni vengano debitamente affrontate. la sua principale questione non può essere quella del fondamento della matematica. la principale questione della filosofia della matematica è quella del «fondamento della matematica». p. p. e matematico»6. Limiti della questione del fondamento della matematica Poiché la filosofia della matematica deve contribuire al progresso della matematica. la filosofia «si limita a gettare luce su quello che già conosciamo»4. p. Un 3 4 Dummett 2001. 21. «gli scopi dei matematici differiscono da quelli dei filosofi»3.4. p. Un fondamento epistemico «fornisce la giustificazione basilare di ogni branca fondata della matematica»8. dunque questioni esterne alla matematica. 1. ha innanzitutto uno scopo biologico e dipende dalle nostre architetture cognitive. 16. 102 . Cioè stabilisce quali oggetti matematici esistono. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente.3. ecc. nei «tre sensi di ‘fondamento’: metafisico. 5 Ivi. si rende la filosofia una disciplina irrilevante. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente.. p. Se vuol essere rilevante. Mentre la matematica fa avanzare la conoscenza. Ma.La necessità di affrontare i problemi filosofici della matematica non solo dall’interno ma anche dall’esterno deriva dal fatto che la matematica è un prodotto dell’evoluzione. Ivi. epistemico. 1. Relazione con la matematica La filosofia della matematica è una disciplina i cui scopi non differiscono essenzialmente da quelli della matematica. 37. 12. 6 Shapiro 2004. della conoscenza. essa deve contribuire al progresso della conoscenza. Locke 1975. si può contrapporre che. o su qualunque altra parte della matematica. La questione del fondamento matematico. epistemico. Perciò non può esistere una teoria in cui si possano tradurre tutte le teorie. la questione del fondamento metafisico. non concernono l’esistenza di alcuna di quelle figure: ma le loro dimostrazioni. che dipendono dalle loro idee. cioè di quali oggetti matematici esistono. La questione del fondamento epistemico. che gli enti matematici esistano o no. p. Frege cerca una giustificazione basilare dell’aritmetica perché è preoccupato del fatto che. cioè della giustificazione basilare di ogni branca fondata della matematica. p. e matematico. V.5. nei tre sensi di fondamento. p. ha una risposta negativa. cioè di una teoria in cui si possono tradurre tutte le teorie. Infatti.4. Per esempio.4. Ma tale domanda è irrilevante per la teoria dei numeri. l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati veri nella gerarchia cumulativa V non è definibile in V. All’affermazione che la principale questione della filosofia della matematica sia quella del fondamento della matematica. Inoltre.«fondamento matematico è una teoria in cui si possono tradurre tutte le teorie.4. 566 11 Frege1961. esiste un enunciato dell’aritmetica vero ma non dimostrabile in essa. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. definizioni e dimostrazioni matematiche. «la maggior parte dei matematici non ha pronta alcuna risposta soddisfacente»11. metafisico. Ma dire che la principale questione della filosofia della matematica è quella del fondamento della matematica in questi tre sensi. sono le stesse. è ininfluente per quest’ultima. è irrilevante per la matematica perché. sulle sezioni coniche. E. 37. V.4]. è insostenibile. «tutti i discorsi dei matematici sulla quadratura del cerchio. per ogni teoria per tutta la matematica che sia RE e coerente. II. dare una giustificazione basilare di ogni branca fondata della matematica è impossibile per il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V. Come osserva Locke. per la domanda ‘Che cos’è il numero 1?’.9]. 10 103 .9]. per il teorema di indefinibilità della verità insiemistica [V. gli oggetti matematici sono solo ipotesi introdotte 9 Ivi. definizioni e dimostrazioni matematiche»9. Infatti. non fa differenza per l’impresa reale del fare matematica.4.2. che esista o non esista alcun quadrato o circolo»10.4. definizioni e dimostrazioni matematiche. in primo luogo. perché nessuno dei suoi risultati dipende da essa. In questo quadro gli effettivi processi storici e individuali della scoperta matematica appaiono casuali ed illogici»14. cioè il metodo analitico. si formula. p. Lo sono nello stesso senso in cui la forza è un’ipotesi introdotta per risolvere specifici problemi fisici. p. 305. 1. perché. la giustificazione delle ipotesi è un’attività concorrente con la scoperta matematica. Il metodo analitico è il metodo in base al quale. per risolvere un problema. 77.2] non è di alcuna utilità per risolvere problemi della teoria dei numeri. L’ipotesi costituisce a sua volta un problema che deve essere risolto. Come la forza non è un ente in se stesso ma è solo un’ipotesi. Ma ciò è contraddetto da numerosi casi storici. ivi compreso quello più importante. In secondo luogo. un’ipotesi che è una condizione sufficiente per la sua soluzione. 104 . per esempio. un’altra ipotesi che è una condizione sufficiente per la soluzione del problema 12 13 V. e procede con attacchi e partenze annaspanti e con ripensamenti fin troppo frequenti. Il processo della giustificazione fa parte di quello della scoperta. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. Il «matematico nel suo lavoro si basa su intuizioni sorprendentemente vaghe. e si controlla che essa sia plausibile. definizioni e dimostrazioni matematiche è di natura puramente ideologica. Centralità della questione della scoperta La principale questione della filosofia della matematica è: Come si sviluppa la matematica? E dunque: Come avviene la scoperta matematica? Questo segue dal fatto che la filosofia della matematica deve proporsi di far progredire la matematica. non della filosofia»13. 14 Ivi. cioè formulando. E. Cellucci 2005. sapere che i numeri naturali hanno dei surrogati nella gerarchia cumulativa [III. cioè compatibile con i dati esistenti. Fin dall’antichità molti hanno riconosciuto che la scoperta è un processo razionale. la ricerca di una teoria in cui si possano tradurre tutte le teorie. lo stesso vale per gli oggetti matematici.per risolvere specifici problemi matematici 12. la scoperta. Dummett 1991b.5. e viene risolto nello stesso modo. mediante un’inferenza non deduttiva a partire dall’ipotesi. mediante un’inferenza non deduttiva a partire dal problema. in terzo luogo. e che per essa esiste un metodo. la filosofia della matematica si occupa solo «del prodotto del pensiero matematico.2. i quali mostrano che la matematica è un’attività razionale in ogni suo momento. lo studio del processo di produzione è affare della psicologia. cap. 40. E vi contribuì ancora Platone. inventando il metodo analitico 15. per scegliere tra più ipotesi.2.costituito dall’ipotesi precedente. Parmenides. perché l’osservazione percettiva 15 16 V. le discussioni sull’assioma di scelta dell’inizio del Novecento costituirono una valutazione delle ragioni a favore e contro tale assioma. 2. Perciò la generazione delle ipotesi e la loro valutazione devono essere processi concorrenti. la filosofia della matematica può contribuire al progresso della conoscenza. tali inferenze permettono di ottenere più ipotesi a partire dalle stesse premesse. L’immagine della matematica 2. La scoperta è la principale questione della filosofia della matematica. Cellucci 2005. p. del resto.1. Per esempio. questo cancella ogni netta distinzione tra scoperta e giustificazione. Essa viene «giustificata col puro raziocinio. perché mediante le inferenze non deduttive si possono ottenere così tante ipotesi che generarle prima tutte e poi vagliarle non sarebbe fattibile. Tale distinzione. perché non è semplicemente una parte dell’attività matematica ma la comprende tutta. 1. la conoscenza matematica non ha «costrizioni da parte dell’esperienza». ad esempio. Un requisito per la realizzazione del programma L’immagine della matematica proposta dalla filosofia della matematica di domani dovrebbe imperniarsi sui seguenti punti. e per sceglierne una si devono valutare le ragioni a favore e contro ciascuna di esse. e perciò entra nel mondo «toccata solo dalla mano della riflessione»17. perché solo migliorando i metodi di scoperta esistenti. Così come vi contribuirono. Platone. 8. 17 George-Velleman 2002. 105 . inventando il metodo di dimostrazione per induzione 16. Matematica ed esperienza La matematica non è indipendente dall’esperienza ma ha bisogno di continui input da essa. Infatti. La scoperta include la giustificazione. nel metodo analitico le ipotesi vengono formulate mediante inferenze non deduttive. e quindi la giustificazione non è separabile dalla scoperta. e inventandone di nuovi. cap. E così via. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. Poiché. si devono valutare le ragioni a favore e contro ciascuna di esse. 149 a7-c3. Ippocrate di Chio e Platone. 2. è impossibile. e controllando che essa sia plausibile. 2]. Infatti «la matematica è il prodotto più puro del pensiero concettuale»19. 68. Moltissime teorie matematiche nascono da questioni suggerite dall’esperienza. V. Cellucci 2007.attraverso una qualsiasi delle nostre cinque modalità sensoriali non è necessaria e neppure rilevante»18. In realtà la matematica ha bisogno dell’esperienza in ogni suo stadio.2. Perciò la matematica non può essere dimostrazione di teoremi basata sul metodo assiomatico.9]. che soddisfi certe condizioni minime.3. Per esempio. Infatti. 20 Dummett 1998. e perciò dipende dall’esperienza 21.4. E lo stesso vale per la giustificazione della soluzione di problemi matematici. la matematica è dimostrazione di teoremi basata sul metodo assiomastico.4. ma è soluzione di problemi basata sul metodo analitico. nessuna teoria che sia RE e coerente può incorporare ciò che intendiamo per numero. 21 V. In particolare è insostenibile che le verità matematiche stabilite al tempo di Euclide siano ritenute valide ancor oggi e siano ancora insegnate perché sono state dedotte dai postulati di Euclide. p. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. Ma questo è insostenibile. per ogni teoria relativa ad una data area della matematica. Perciò. perché esisterà un enunciato vero ma non dimostrabile in essa. Ibid. è ingiustificato dire che l’aritmetica è indipendente dall’esperienza perché i suoi assiomi «incorporano ciò che intendiamo per ‘numero’»20. Trovare la soluzione di problemi matematici comporta processi tecnologici e biologici esterni alla mente individuale. Per questo motivo le verità matematiche stabilite al tempo di Euclide sono ritenute valide ancor oggi e sono ancora insegnate»22. 2. 18 19 Ibid. 125. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. la matematica è una «disciplina in cui la logica deduttiva è il solo arbitro della verità. p. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. Questo chiarisce ulteriormente perché una filosofia della matematica è possibile solo come parte di una filosofia generale in cui le questioni dell’esperienza vengano debitamente affrontate. Matematica e soluzione di problemi La matematica non è dimostrazione di teoremi basata sul metodo assiomatico. Ma questo è insostenibile perché. 106 . 22 Franks 1989.4. esisteranno enunciati di quell’area veri ma non dimostrabili in quella teoria. p. e presumibilmente essa sarebbe stata differente se gli organismi si fossero evoluti in un ambiente totalmente differente. I postulati di Euclide derivarono dal teorema di Pitagora. La natura ha progettato gli organismi per fare matematica – ‘progettato’. nel senso della selezione naturale. se la vita si fosse evoluta in un ambiente totalmente differente. si intende. Se si scoprisse che il teorema di Pitagora non segue dai postulati» di Euclide. Matematica ed evoluzione La matematica è un prodotto dell’evoluzione. 25 Hamming 1998. Ed è sulla base delle capacità matematiche di cui l’evoluzione biologica li ha dotati che. perché esistono modelli in cui i postulati di Euclide sono veri e tali proposizioni sono false. 107 . p. grazie all’evoluzione culturale. «noi continueremmo a cercare un modo di cambiare i postulati fino a che il teorema diventasse vero. E. L’evoluzione culturale è una 23 V. Perciò gli oggetti richiesti dalla verità del suo teorema non possono essere mentali»26. 87. L’evoluzione ha incorporato nella struttura biologica nostra e di vari altri organismi molta matematica complessa. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. «non solo esistono infiniti numeri primi ma anche. La matematica non consiste «nel formulare alcuni postulati arbitrari e poi fare deduzioni». che la matematica consista nel dedurre teoremi da assiomi «non corrisponde alla semplice osservazione. 3. Ma questo è insostenibile perché. sarebbero esistiti infiniti numeri primi anche se la vita non si fosse mai evoluta. al contrario. gli esseri umani hanno sviluppato la matematica come disciplina. a cominciare da quella incorporata nella nostra struttura biologica. poiché la dimostrazione di Euclide non fa riferimento a creature viventi.Innanzitutto. Perciò esse non sono una conseguenza logica dei postulati di Euclide 23. p. 2. Cellucci 2007.4. se la vita non si fosse mai evoluta. la matematica. 26 Hart 1996. come sottolinea Hamming. 645. non sarebbe mai esistita la matematica come disciplina. molte proposizioni di Euclide non possono essere dedotte dai postulati di Euclide. 24 Hamming 1980. in essa «si parte da alcune delle cose che si vogliono e si cerca di trovare i postulati che li supportino»25. È grazie ad essa che tali organismi sopravvivono. In secondo luogo. perché si basa su capacità che sono il risultato dell’evoluzione. non avvenne l’inverso»24. presumibilmente sarebbe stata differente. 5.continuazione dell’evoluzione biologica e poggia su di essa. come abbiamo visto [III.6. perciò per comprendere la natura della matematica non si può prescindere dalle capacità matematiche di cui l’evoluzione ci ha dotati 27. mentre ciò che interessa ai filosofi è «la natura dei pensieri»28. che. 2. la nostra architettura cognitiva ci permettono di fare. Ma questo è insostenibile. Ma questo è insostenibile. Matematica e sviluppo storico Per comprendere la natura della matematica è importante considerarne lo sviluppo storico. per quanto interessante. Perciò che cos’è la matematica è legato ad esse.4]. la nostra attività neurale. scambia per reale natura della matematica i caratteri della matematica praticata da una certa scuola in un certo momento storico. p. 27 28 V. Matematica e architetture cognitive La matematica dipende essenzialmente dalle nostre architetture cognitive. 2. perché la matematica come disciplina è il risultato dell’evoluzione culturale. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. George-Velleman 2002. non occorre considerare lo «sviluppo della matematica» perché «l’eziologia delle idee matematiche. Cellucci 2007. l’origine e lo sviluppo delle idee matematiche sono semplicemente troppo determinate da influenze estranee»29. perché l’unica matematica che noi possiamo fare è quella che il nostro cervello. per comprendere la natura della matematica non occorre porsi «domande come ‘Quale cervello.2. 2. e perciò è legata al suo sviluppo storico. Una prova dell’importanza di considerare lo sviluppo storico della matematica è data dallo strutturalismo. e quale tipo di pensiero matematico possiamo avere dipende da esse. o attività neurale. perché esse riguardano «fenomeni che in realtà sono estranei alla natura del pensiero matematico». o architettura cognitiva rende possibile il pensiero matematica?’ o ‘Quale tipo di ambiente è necessario per facilitare lo sviluppo della capacità di tale pensiero?’». non è qualcosa il cui studio promette di rivelare molto sulla struttura del pensiero: per la maggior parte. 29 Ibid. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. 108 . 3. la coerenza di una teoria T sufficientemente potente. anche quando una teoria è coerente. Il problema si 30 31 Hart 1996. non si può dimostrare che il metodo assiomatico non porta a falsità neppure nel senso debole che non porta a contraddizioni. V. la matematica «non è solo un corpo di verità. è anche un corpo di conoscenze»31. la matematica «è un corpo di verità. per il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V. e anzi le verità note della matematica sono le verità più assolute e incondizionate note nel modo più certo a noi»30. né tanto meno di verità assolutamente certe. cioè compatibili con i dati esistenti. Non considerare lo sviluppo storico della matematica porta a vedere la matematica come un sistema statico. le definizioni e le dimostrazioni della geometria di Euclide.Un’altra prova è data dall’opinione diffusa che la matematica sia cumulativa.4. dal punto di vista dell’ortodossia prevalente – secondo cui la matematica è dimostrazione di teoremi basata sul metodo assiomatico – per affermare che la matematica è un insieme di verità. alla fine dell’Ottocento erano ormai considerate inadeguate e addirittura non valide. RE e coerente non è dimostrabile in T ma solo in un’estensione propria di T.4. non vengano più rimessi in discussione. e procede attraverso false partenze e arresti. 2. Secondo i sostenitori dell’ortodossia prevalente. e dimostrarlo con metodi assolutamente certi. Un esame dello sviluppo storico della matematica mostra invece che tale opinione è infondata.3]. Matematica e verità La matematica non è un insieme di verità.7. periodi di routine e svolte improvvise. accettate per più di due millenni.4. Per di più. Un esame dello sviluppo storico mostra invece che la matematica è un sistema dinamico. può portare a falsità. cioè che i suoi risultati. Per esempio. p. basato su relazioni lineari di dipendenza logica tra assiomi e teoremi determinati a priori.9]. È solo un insieme di proposizioni plausibili. p. ma anzi si può dimostrare che esso. Più precisamente. 2. una volta ottenuti. occorrerebbe dimostrare che il metodo assiomatico non può portare a falsità. Ma questo è impossibile perché esistono teorie coerenti false [V.4. che spesso si evolve per vie tortuose non determinate a priori. Dunque non solo non si può dimostrare che il metodo assiomatico non porta a falsità. Ivi. e anzi di verità assolutamente certe. Infatti. Ma questo è insostenibile perché. 109 . p. La filosofia della matematica deve imparare a convivere con questo. ma solo che. e così via all’infinito. non consta di verità bensì di affermazioni plausibili. 110 . ma oggi è diventato chiaro che questa è un’illusione. Esse. Dal punto di vista della certezza. La matematica è un insieme di conoscenze ma non contiene verità. le proposizioni stabilite con tale metodo non possono considerarsi verità. quindi.riproporrebbe allora per tale estensione propria. perciò non possiamo esserne sicuri. e quindi «non possiamo essere sicuri delle dimostrazioni correnti dei nostri teoremi»33. Questo non significa che essa non abbia un contenuto oggettivo. 32 33 V. perché dimostrarlo comporterebbe un rimando all’infinito. e a renderne ragione. quindi non assolutamente certe. hanno uno statuto simile a quello degli éndoxa di Aristotele 32. Cellucci 2007. come nel caso delle altre scienze. ma solo opinioni riconosciute in base ad una valutazione delle ragioni a favore e contro di esse. Al pari di ogni altro insieme di conoscenze umane la matematica è solo un insieme di proposizioni plausibili. Dunque non si può dimostrare che il metodo assiomatico non porta a contraddizioni. Come sottolinea Hamming. 86. né tanto meno verità assolutamente certe. non sono il verbo di alcun Dio. «i postulati della matematica non erano scolpiti sulle tavole di pietra che Mosè portò giù dal monte Sinai». Hamming 1980. Per più di due millenni si è pensato che la matematica fosse un insieme di verità assolutamente certe. Poiché non si può dimostrare che il metodo assiomatico non porta a falsità. la matematica è soggetta a quella stessa aleatorietà che è propria di tutti i prodotti umani. . dove R è una costante relazionale n-aria e t1 .... allora ∀vi A è una formula. Diciamo che un termine t è chiuso se e solo se nessuna variabile individuale occorre in t. Supponiamo che i simboli non logici di L formino un insieme finito o numerabile. (iii) se f è una costante funzionale naria e t1 ....... . Usiamo le lettere x . Logica del primo ordine 1.. . tn ) . tn sono termini. v2 . . ∀ (‘per ogni’). I termini di un linguaggio del primo ordine L sono definiti nel modo seguente: (i) ogni variabile individuale è un termine. . Chiamiamo simboli non logici di L le costanti individuali. (ii) se A è una formula. allora ¬A è una formula.1. → (‘se. Le formule atomiche di un linguaggio del primo ordine L sono tutte le espressioni della forma R (t1 . z .. (iii) se A e B sono formule.. t . (eventualmente 111 .allora’). tn sono termini.. tra le quali comunque deve essere compresa la costante relazionale binaria = per l’eguaglianza... termini e formule. v1 . I simboli di un linguaggio del primo ordine L comprendono infinite variabili individuali v0 . .. i simboli ¬ (‘non’). le lettere r . tn ) è un termine... y . Le formule di un linguaggio del primo ordine L sono definite nel modo seguente: (i) ogni formula atomica è una formula. Linguaggi del primo ordine I linguaggi del primo ordine constano di simboli. (iv) se vi è una variabile individuale e A è una formula. s .. allora ( A → B ) è una formula.. . le costanti funzionali e le costanti relazionali diverse da = . per ogni numero intero positivo n un numero qualsiasi di costanti relazionali n-arie.. le parentesi ( e ) e la virgola . . (eventualmente con indici) per le variabili individuali v0 . v2 .. (ii) ogni costante individuale è un termine.V I teoremi di incompletezza di Gödel 1. per ogni numero intero positivo n un numero qualsiasi di costanti funzionali n-arie... allora f (t1 . v1 . un numero qualsiasi di costanti individuali.. .. se invece j = i ..∃xn . t un termine e A una formula. xn per ∃x1. Diciamo che un’espressione (termine o formula) è chiusa.. xn per ∀x1. Nello scrivere i termini e le formule omettiamo le parentesi quando questo non può dar luogo ad ambiguità.... (eventualmente con indici) per le formule.. ∀x1..∀xn .. C . B . ( A ∨ B ) per (¬A → B ) . xn B . xn comprendono tutte le variabili individuali libere di B.. Diciamo che tutte le occorrenze di una variabile individuale vi in un termine t sono occorrenze libere. Se x è una variabile individuale e s e t sono termini... le lettere A. ∃xA per ¬∀x¬A .. indichiamo con s[ x / t ] il risultato della sostituzione di ogni occorrenza libera di x in s con t. se e solo se nessuna variabile individuale occorre libera in essa. ( A ∧ B ) per ¬( A → ¬B ) . tn ) sono occorrenze libere. (t1 ≠ t2 ) per ¬(t1 = t2 ) . Scriviamo (t1 = t2 ) per = (t1 ... Le occorrenze libere di una variabile individuale vi in una formula sono definite nel modo seguente: (i) tutte le occorrenze di vi in una formula atomica R (t1 . per qualche n ≥ 0 e per delle variabili individuali x1 . Diciamo che una variabile individuale x è sostituibile con un termine t in una formula A se e solo se nessuna occorrenza di una 112 . t2 ) . ∃x1. diciamo che A è la chiusura universale di B.. A è ∀x1. Diciamo che vi occorre libera in un’espressione (termine o formula) σ se e solo se vi ha almeno un’occorrenza libera in A. Diciamo che una formula A è una generalizzazione di una formula B se e solo se. allora vi non ha alcuna occorrenza libera in ∀v j A e in tal caso tutte le occorrenze di vi in ∀v j A si dicono occorrenze vincolate.. xn . Se x1 ... (ii) le occorrenze libere di vi in ¬A sono le occorrenze libere di vi in A. Se x è una variabile individuale. Dunque la chiusura universale di una formula è un enunciato.. ∃! xA per ∃x ( A ∧ ∀y ( A → x = y )) . Diciamo che vi è una variabile individuale libera di A se e solo se è una variabile individuale che occorre libera in A. indichiamo con A[ x / t ] il risultato della sostituzione di ogni occorrenza libera di x in A con t. o è un enunciato. (iii) le occorrenze libere di vi in ( A → B ) sono le occorrenze libere di vi in A e le occorrenze libere di vi in B. (iv) le occorrenze libere di vi in ∀v j A sono le occorrenze libere di vi in A se j ≠ i .. .. ( A ↔ B ) per (( A → B ) ∧ ( B → A)) ..con indici) per i termini. B formule di un linguaggio del primo ordine L. In seguito. L6. assumiamo tacitamente che x sia sostituibile con t in A.. Assiomi e regole della logica del primo ordine Sia L un linguaggio del primo ordine. → ( xn = yn → f ( x1 . ∀x ( A → B ) → (∀xA → ∀xB ) .. o Ci è un assioma logico. quando usiamo la notazione A[ x / t ] .. oppure Ci ∈ Γ . L10..... Teorema di deduzione. o che è una legge logica. x1 = y1 → (. Dunque A ha lo stesso significato di ∅ A ... → ( xn = yn → ( P( x1 . Introduciamo gli assiomi logici e le regole di deduzione logiche di L. se e solo se esiste una deduzione di A da Γ. L2. e scriviamo A . (¬B → ¬A) → ( A → B ) . Diciamo che A è deducibile da Γ. Siano Γ un insieme di formule e A. se e solo se esiste una dimostrazione di A. oppure Ci si ottiene da due membri precedenti C j e Ck della successione per mezzo di MP... e Cm è A.... il modus ponens MP: Per ogni formula A e B di L. A → ( B → A) . L5. Gli assiomi logici di L sono tutte le formule di L di una delle seguenti forme: L1. L7. e scriviamo Γ A .. A B allora Γ A → B .. da A e A → B si può inferire B. ∀xA → A[ x / t ] . A → ∀xA se x non occorre libera in A.... Le regole di deduzione logiche di L consistono di un’unica regola.. yn )). Se A è una formula di L. 1...2. Cm tale che. ( A → ( B → C )) → (( A → B ) → ( A → C )) . xn ) → P ( y1 ... xn ) = f ( y1 .. cioè Ck è C j → Ck . Se Γ è un insieme di formule e A una formula di L. m . Tutte le generalizzazioni di formule di una delle forme L1-L9. cioè è un’occorrenza vincolata in A[ x / t ] . L8.variabile individuale in t diventa vincolata in seguito alla sostituzione di x con t in A. L4. yn ))). chiamiamo deduzione di A da Γ una successione finita di formule C1 .. x = x . x1 = y1 → (..) . 113 .. per ogni i = 1.) . Diciamo che A è dimostrabile.. chiamiamo dimostrazione di A una deduzione di A da ∅. Se Γ.. L3.. L9.. se f è una costante funzionale n-aria e t1 . Diciamo che A è falsa in M se e solo se A non è vera in M. se a è il nome di a. nel modo seguente: (i) ( r = s ) M = 1 se e solo se r M = s M .... per ogni a ∈ D sia a una nuova costante individuale non in L. per M-esempio di A intendiamo un enunciato M di L(M) della forma A[ x1 / a1 . dove 1 si dice il valore di verità vero e 0 il valore di verità falso... φ ) è un modello per un linguaggio del primo ordine L. diciamo che M è un modello di A. (iii) (¬B ) M = 1 se e solo se B M = 0 .. xn / a n ] ... che associa: (i) ad ogni costante individuale di L un membro di D. nel modo seguente: (i) c M è φ ( c ) . detto il valore di verità di A in M. (iii) ( f (t1 .3.. dove D è un insieme non vuoto.La dimostrazione è per induzione sulla generazione delle deduzioni di A da Γ. 1. tnM )) . scritto t M . φ ) . (iii) ad ogni costante relazionale n-aria di L una relazione n-aria su D. detto il valore di t in M. se c è una costante individuale. tn )) M = 1 se e solo se φ ( R )(t1M . detta il nome di a.. dove a1 . an ∈ D .. per un linguaggio del primo ordine L è una coppia ordinata M = ( D. Per ogni formula A di un linguaggio del primo ordine L in cui solo x1 ..... Se M = ( D..0} .. tn sono termini. (ii) ( R (t1 . o struttura. scritto AM . Modelli per linguaggi del primo ordine Un modello.. diciamo che M è un modello di Γ.... Se A è vera in M. In particolare. un enunciato A di L è vero in M se e solo se AM = 1 . (iv) ( B → C ) M = 1 se e solo se o B M = 0 oppure C M = 1 . Diciamo che una formula A di un linguaggio del primo ordine L è vera in M se e solo se ( A') M = 1 per ogni M-esempio A' di A.. e φ è una funzione unaria. (ii) a è a. 114 . Se Γ è un insieme di formule e ogni formula che è membro di Γ è vera in M..... tn )) M è φ ( f )(t1M . Ad ogni enunciato A di L(M ) assegniamo un membro dell’insieme {1... Indichiamo con L(M ) il linguaggio del primo ordine che si ottiene da L aggiungendo un nome a per ogni a ∈ D . (v) (∀xB ) M = 1 se e solo se ( B[ x / a ]) M = 1 per ogni a ∈ D .. (ii) ad ogni costante funzionale n-aria di L una funzione n-aria su D. tnM ) ... Ad ogni termine chiuso t di L(M ) assegniamo un membro di D. detta la funzione di interpretazione di M. detto il dominio di M. xn occorrono libere.. La dimostrazione è per per induzione sulla generazione delle deduzioni di A da Γ. Γ ∪ {¬A} B e Γ ∪ {¬A} ¬B . (ii) Similmente. Siano Γ un insieme di formule e A una formula di un linguaggio del primo ordine L.1. Esistenza di un modello implica coerenza. Se A è una formula di un linguaggio del primo ordine L. allora Γ ∪ {¬A} è coerente. Perciò. Allora teorema di deduzione [V. di Γ. Proprietà della coerenza.5. Correttezza e completezza Per gli assiomi logici e le regole di deduzione logiche di un linguaggio del primo ordine L vale il seguente risultato. allora Γ A . o semplicemente valida. Se ne conclude che Γ ∪ {¬A} è coerente. se e solo se ogni modello di Γ è un modello di A. per qualche formula B. allora Γ ∪ { A} è coerente.2]. 115 .4. Sia Γ un insieme di formule di un linguaggio del primo ordine L. Contraddizione. Coerenza Diciamo che un insieme di formule Γ di un linguaggio del primo ordine L è coerente se e solo se non esiste alcuna formula A di L tale e Γ A e Γ ¬A . o semplicemente una conseguenza. Per la legge logica (¬A → B ) → ((¬A → ¬B ) → A) ne segue che Γ A . (ii) Se Γ ¬A . Diciamo che un modello M soddisfa un insieme di formule Γ se e solo se M è un modello di Γ. (i) Se Γ A . 1. 1. Teorema di correttezza. scritto A . Dunque A ha lo stesso significato di ∅ A . per il (i) Supponiamo che Γ A ma Γ ∪ {¬A} è incoerente. Se Γ ha un modello. diciamo che A è una conseguenza logica. Diciamo Γ è soddisfacibile se e solo se Γ ha un modello. scritto Γ A . incoerente se Γ non è coerente. diciamo che A è logicamente valida. Siano Γ un insieme di formule e A una formula di un linguaggio del primo ordine L. Γ ¬A → B e Γ ¬A → ¬B . Se Γ A .Se A è una formula e Γ è un insieme di formule di un linguaggio del primo ordine L. se e solo se ogni modello per L è un modello di A. allora Γ è coerente. .. per le proprietà della coerenza [V. Siano Γ un insieme di formule e A una formula di un linguaggio del primo ordine L. (iv) h (φ ( c )) = φ '( c ) . perciò per teorema di correttezza Γ A e Γ ¬A . Teorema di completezza..Infatti. perciò A M ≠ 0. allora Γ A ... Isomorfismo di modelli = 1 . an ∈ D . Se ne conclude che Γ A . Se Γ è coerente.. deve essere A Contraddizione.. La dimostrazione di questo risultato è abbastanza lunga e perciò viene omessa. Se ne conclude che Γ deve essere coerente. an ) se e solo se φ '( R )( h ( a1 ). Allora. allora Γ ha un modello M. Allora M è un modello di Γ e ( ¬A) M = 1 . supponiamo che Γ A ma Γ A ... 1. Esistenza di un modello.. Contraddizione. se e solo se esiste un isomorfismo di M su M ' . an )) = φ '( f )( h ( a1 ). se f è una costante funzionale n-aria di L. se R è una costante relazionale n-aria di L.4].. (iii) h è su D ' . Sia Γ un insieme di formule di un linguaggio del primo ordine L. ne segue che M è un modello di A e di ¬A . Se Γ A . quindi per il teorema dell’esistenza di un modello ha un modello. supponiamo che Γ abbia un modello M ma sia incoerente. 116 . Γ ∪ {¬A} è coerente..1.. Poiché M è un modello di Γ.. diciamo M. Allora Γ A e Γ ¬A per qualche formula A. φ ) e M ' = ( D '. (ii) h è biunivoca... se c è una costante individuale di L. Ma. φ ') sono modelli per un linguaggio del primo ordine L. Infatti..6.. h ( an )) per ogni a1 . poiché M è un M modello di Γ e Γ A . (vi) φ ( R )( a1 .. Diciamo che due modelli M e M ' per un linguaggio del primo ordine L sono isomorfi. o che M è isomorfo a M ' ... an ∈ D . h ( an )) per ogni a1 . cioè A è vera in M e A non è vera in M. perciò A M = 0 . (v) h (φ ( f )( a1 ... Se M = ( D.. diciamo che una funzione h è un isomorfismo di M su M ' se e solo se soddisfa la seguenti condizioni: (i) h è una funzione da D a D ' . Aritmetica ricorsiva primitiva 2. Teorie del primo ordine Una teoria del primo ordine T è caratterizzata da un linguaggio del primo ordine L. PR2. indichiamo con T + A l’estensione di T che si ottiene aggiungendo a L i simboli non logici che occorrono in A. e scriviamo T ⊆ T ' . detti gli assiomi non logici di T. Ovviamente. L il linguaggio di T.7. se e solo se esiste una dimostrazione di A in T. dagli assiomi logici e le regole di deduzione logiche di L. Diciamo che A è dimostrabile in T. o che A è un teorema di T. diciamo che T ' è un’estensione di T. 1. perché allora gli assiomi logici e le regole di deduzione logiche di L risultano determinati. Diciamo che una deduzione di A da Γ è una dimostrazione di A in T. per specificare una teoria del primo ordine T occorre specificare solo i simboli non logici del linguaggio L di T e gli assiomi non logici di T. Se T e T ' sono teorie del primo ordine i cui linguaggi sono L e L ' rispettivamente. per ogni enunciato A di L. perché sia T ⊆ T ' . e da un insieme Γ di enunciati di L.1. A A M' M = 1 se e solo se = 1. e scriviamo T A . Chiamiamo modello di T un modello degli assiomi non logici Γ di T. 2. 117 . S ( x ) = x + 1 . La dimostrazione è per induzione sulla generazione di A. Se M e M ' sono isomorfi. Siano M e M ' due modelli per un linguaggio del primo ordine L. per specificare un linguaggio del primo ordine L. occorre solo specificare i suoi simboli non logici. Poiché. Funzioni ricorsive primitive Una funzione sui numeri naturali si dice ricorsiva primitiva se e solo se può essere definita in un numero finito di passi per mezzo delle seguenti regole: PR1. Γ gli assiomi non logici di T e A una formula di L. se e solo se tutti i simboli non logici di L sono simboli non logici di L ' e tutti i teoremi di T sono teoremi di T ' . Z ( x ) = 0 . Se T è una teoria del primo ordine il cui linguaggio è L e A è un enunciato. occorre solo che gli assiomi non logici di T siano dimostrabili in T ' . e aggiungendo agli assiomi non logici di T l’enunciato A.Teorema dell’isomorfismo. allora. Siano T una teoria del primo ordine. detto il linguaggio di T. h per ricorsione primitiva. n Le funzioni Z . f ( x1 .. S (0). xn . y ))... Inoltre scriviamo s ≤ t per ∃w( s + w = t ) .. S ( S (0)). Scriviamo 0. Z ( x ) = 0 ... e la costante relazionale binaria = per l’eguaglianza.. I in ( x1 . rispettivamente. h1 . y . .. detta aritmetica ricorsiva primitiva...... xn . xn . 0) = g ( x1 .... Molte delle consuete funzioni sui numeri naturali sono ricorsive primitive. PR5... 1 3 2.......... che vengono detti numerali.. ⎨ ⎧ f ( x1 . Qui e in seguito usiamo acronimi corrispondenti ad espressioni della lingua inglese per conformità all’uso nella letteratura). xn )) . 1.. ∀x ≤ tA( x ) per ∀x( x ≤ t → A( x )) . x + y )). (L’acronimo PRA sta per ‘Primive Recursive Arithmetic’. xn ( x1 ≤ t ∧ . La funzione f di PR4 si dice ottenuta da g . 2. 118 . Per esempio... . . tale è l’addizione. xn ) ⎩ f ( x1 . xn ) = g ( h1 ( x1 . la funzione successore e la funzione proiezione i-esima. n . xn ..2.. xn ) = xi per i = 1.. y + 1) = h ( x1 ... S e I i di PR1-PR3 sono le funzioni iniziali a partire dalle quali sono generate tutte le altre funzioni ricorsive primitive.. ∀x1.. per i termini 0..... xn ≤ t → A( x )) .. Il linguaggio L PRA di PRA contiene come unici simboli non logici la costante individuale 0 ..... La funzione f di PR5 si dice ottenuta da g...... una costante funzionale n-aria f per ogni funzione ricorsiva primitiva n-aria f.. y . y . e si dicono rispettivamente la funzione zero. f ( x1 . xn ≤ tA( x ) per ∀x1. Gli assiomi non logici di PRA sono le chiusure universali delle seguenti formule: PRA1. y . PR4. z ) = S ( I 3 ( x . in cui si possono definire tutte le funzioni ricorsive primitive e dimostrarne le proprietà. La teoria PRA Introduciamo una teoria del primo ordine PRA.PR3. xn ). hm ( x1 .. z )) = S ( z ) per ricorsione primitiva: 1 ⎧ x + 0 = x = I1 ( x) ⎨ 3 ⎩ x + ( y + 1) = ( x + y ) + 1 = S ( x + y ) = S ( I 3 ( x .. perché si ottiene da g ( x ) = I1 ( x ) = x e h ( x . hm per composizione.... S ( x ) = S ( y ) → x = y . ... φ ( S ) = S e. Chiamiamo aritmetica di Peano del primo ordine la teoria del primo ordine PA il cui linguaggio è L PRA e i cui assiomi non logici sono le chiusure universali di PRA1-PRA6..... A( x ) PRA7. Proprietà della relazione d’ordine.. è una Si noti che PRA7 è uno schema perché sta per infinite formule. Teorema. y )). PRA4. xn ) = xi per i = 1. h per ricorsione primitiva. xn . φ ( f ) = f .. y .. A(0) ∧ ∀x ( A( x ) → A( S ( x ))) → ∀xA( x ) .. PRA6.3.. I i ( x1 . 2.. (iii) PRA x ≤ y ∨ y ≤ x .. se formula non contenente quantificatori.. φ ) per L PRA dove φ è la funzione tale che φ (0) = 0 .. Ovviamente anche PRA7 ' è uno schema.. xn . xn )) . xn ) ⎩ f ( x1 . La dimostrazione di queste proprietà è un semplice sebbene noioso esercizio. PRA5.. Alcune proprietà elementari di PRA Per riferimento successivo stabiliamo alcune proprietà elementari di PRA. S ( y )) = h ( x1 . h m ( x1 . PRA3... 0 ≠ S ( x ) .. (i) PRA x ≤ 0 → x = 0 . 119 . chiaramente gli assiomi non logici di PRA sono veri in N e tale è anche PRA7 ' . n ..... per ogni constante funzionale n-aria f diversa da S .. xn . xn ) = g ( h 1 ( x1 .... f ( x1 . Chiamiamo modello standard per L PRA il modello N = ( .. tante quante sono le formule A( x ) non contenenti quantificatori.... xn .. h1 . Sia PRA7 ' come PRA7 eccetto che A( x ) può essere una formula qualsiasi.. N è un modello di PRA e di PA....... PRA7 ' . (ii) PRA x ≤ S ( y ) ↔ x ≤ y ∨ x = S ( y ) .. se f si ottiene da g.PRA2.. hm per composizione... xn ).. f ( x1 . ⎨ n ⎧ f ( x1 . se f si ottiene da g ... Infatti. 0) = g ( x1 . . k n ) ≠ p allora PRA (i) Per induzione sulla generazione di f a partire dalle funzioni iniziali.. Nello stesso modo da ciò si ottiene PRA S ( S ( S ( q))) ≠ S ( S (0)) .. Viceversa.. poiché PRA 0 ≠ 1 . Poiché m ≠ p .. supponiamo che PRA 0 = 1 e PRA è incoerente. Allora PRA S ( q) ≠ 0 ... Infatti.. Allora. per qualche formula A...... Computabilità dell’eguaglianza in PRA. k n ) ≠ p .. Allora. k n ) = p allora PRA f ( k 1 . Perciò PRA f ( k 1 . Se ne conclude che PRA 0 = 1 . (ii) se f ( k1 ...... supponiamo che PRA sia coerente e PRA 0 = 1 . Per ogni k e p: (i) se k = p allora PRA k = p . Sia q = k − p − 1 . Per ogni k1 . (ii) Supponiamo che f ( k1 . Da ciò per la legge logica ¬A → ( A → 0 = 1) segue che PRA 0 = 1 .. PRA A e PRA ¬A . PRA è incoerente..... e così via. Computabilità delle funzioni ricorsive primitive in PRA... (i) Immediato da PRA x = x . da ciò si ottiene PRA S ( S ( q)) ≠ S (0) . Se ne conclude che PRA deve essere coerente. Similmente nel caso k < p .. k n ) = m ..4. xn ) una funzione ricorsiva primitiva.. per la computabilità per (i) PRA dell’eguaglianza in PRA si ha che PRA m ≠ p.. (ii) Supponiamo che k ≠ p . kn : (i) se f ( k1 .. k n ) ≠ p . (ii) se k ≠ p allora PRA k ≠ p .. k n ) ≠ p e f ( k1 . PRA è coerente se e solo se PRA 0 = 1 .. Allora f ( k 1 . k n ) = m . f ( k 1 . Contraddizione. Supponiamo che k > p . Teorie sufficientemente potenti 120 ... Allora o k > p oppure k < p . Contraddizione. Ripetendo il procedimento esattamente p volte si ottiene PRA k ≠ p e quindi PRA p ≠ k . Poiché PRA S ( S ( q)) = S (0) → S ( q) = 0 . Sia f ( x1 ..Equivalenza tra coerenza e indimostrabilità di 0 = 1 ..... 2. k n ) = p . Numeri di Gödel Sia L un linguaggio del primo ordine. vi . Siano c0 ..... (iv) (i) ¬ . ⋅ x pn n +1 Assegniamo ad ogni termine t di L un numero seguente: n t nel modo (ii) (i) vi fi n e ci sono .. p2 = 5.... B n Ri ( t1 . Cm = A nel modo .. naturali x0 .. già stati definiti. fi ( t1 .. t1 . tn ) = . tn ) = n Ri ....... ... B→C = → ...... f1 . Cm in T il numero C1 . R0 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 144 . R1 . c2 . cioè p0 = 2.. dove R0 è = .. 3. p1 = 3.. B .. 121 . tn . Codificazione 3... tn Assegniamo ad ogni formula A di L un numero seguente: ¬B = ∀vi B = C1 . xn = finita x +1 p0 0 di numeri .. f0 . c1 . B Assegniamo ad ogni dimostrazione C1 . R2 .. Cm ....... ... (ii) . n n n n n n le sue costanti funzionali 2 n-arie. Assegniamo ad ogni simbolo σ di L un numero σ seguente: nel modo σ σ ( 1 ) 3 ¬ 5 2 → 7 4 ∀ 9 2 vi 2⋅5 0 i ci 2 ⋅5 2 i fi 3 n i 4 Ri n n i 2 ⋅3 ⋅5 n 2 ⋅3 ⋅5 Per esempio.. le sue costanti relazionali n-arie.... Ovviamente PRA e PA sono teorie sufficientemente potenti. e R0 ..1. Indichiamo con pi lo i+1-esimo numero primo in ordine di grandezza. t1 .. f 2 ... xn il numero ⋅ .Diciamo che una teoria del primo ordine T è sufficientemente potente se e solo se il linguaggio di T è L PRA e PRA ⊆ T . Assegniamo ad ogni successione x0 . le sue costanti individuali.. Sia T una teoria del primo ordine il cui linguaggio è L. (iii) . C ∀ . dimostrazione) σ di T chiamiamo σ il numero di Gödel di σ. per semplicità usiamo σ per indicare sia il numero k sia il termine k . Indichiamo con THM T l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati dimostrabili in T. (2) una funzione ricorsiva primitiva unaria num tale. Alcune utili funzioni ricorsive primitive Si possono definire facilmente le seguenti funzioni ricorsive primitive: (1) una funzione ricorsiva primitiva binaria sub tale che. num( k ) = k . per ogni k e p.Per ogni espressione (termine. per ogni k. 3. p ) = 1) . Teorie RE Sia T una teoria del primo ordine. f ) = A( f ( f )) .4. p ∈ THM T se e solo se ∃x ( prf T ( x. p) = 0 altrimenti. Diciamo che T è una teoria RE se e solo se l’insieme THM T è RE. Insiemi RE Chiamiamo funzione di verità una funzione binaria f sui numeri naturali tale che. Diciamo che un insieme non vuoto X di numeri naturali è ricorsivamente enumerabile. p ) = 1 oppure f ( k . Se σ = k . 3. p ∈ X se e solo se ∃x ( f ( x. Proprietà delle teorie RE. formula. 3. o brevemente RE. se e solo se esiste una funzione di verità ricorsiva primitiva f tale che per ogni p. p ) = 0 . È facile vedere che PRA e PA sono teorie RE. e per ogni funzione ricorsiva primitiva unaria f. sub( A( y ) . T è una teoria RE se e solo se la funzione prf T è ricorsiva primitiva. Perciò THM T è RE se e solo se prf T è ricorsiva primitiva.3. per ogni formula A( y ) di L PRA contenente come sua unica variabile individuale libera y. e prfT (k. 122 . Sia prf T la funzione di verità definita da: prfT (k. per ogni p.2. Infatti. Quale dei due venga indicato apparirà chiaro dal contesto. p ) = 1) . f ( k . p) = 1 se k è il numero di Gödel di una dimostrazione in T dell’enunciato con numero di Gödel p. y ) = 0) . per la computabilità delle funzioni ricorsive primitive in PRA [V. la cui denominazione di ‘teorema del punto fisso’ si basa su un’analogia con la matematica. mentre l’enunciato B esprime soltanto un’asserzione equivalente ad A( B ) .(3) una funzione ricorsiva primitiva binaria opp tale che. Perciò.1. t ) = 0) dato dal corollario del teorema del punto fisso è ‘autoreferenziale’. sia f ( x ) la funzione sub( A( y ) . Infatti. ¬A ) = 1 e opp ( ¬A . Teorema del punto fisso.2. t ) = 0) . Ad ogni formula A( y ) di L PRA contenente come sua unica variabile individuale libera y si può associare un termine chiuso t tale che PRA t = A( t ) . x ) . Sia t il termine chiuso f ( f ) . quella data sopra ha il vantaggio che il termine chiuso t esprime direttamente il numero di Gödel di A(t ) . Ora: f ( f ) = sub( A( y ) . A ) = 1 . f ) = A( f ( f )) . Esiste un termine chiuso t tale che PRA t = ∀x ( prf T ( x . Rispetto a tale formulazione. cioè PRA t = A( t ) .3]. 4. nella quale si chiama punto fisso di una funzione f un x tale che x = f ( x ) . Infatti. Si noti che il teorema del punto fisso viene formulato di solito nella forma: Ad ogni formula A( y ) di L PRA contenente come sua unica variabile individuale libera y si può associare un enunciato B tale che PRA B ↔ A( B ) . Teoremi di incompletezza 4. basta applicare il teorema del punto fisso alla formula ∀x ( prf T ( x . Corollario del teorema del punto fisso. Teorema del punto fisso Il principale strumento per la dimostrazione dei teoremi di incompletezza di Gödel e degli altri risultati limitativi è il seguente risultato. PRA f ( f ) = A( f ( f )) . Si noti che l’enunciato ∀x ( prf T ( x . nel senso che descrive una 123 . per ogni enunciato A di L PRA . opp ( A . ∀x ( prfT ( x . t ) = 0) dato dal corollario del teorema del punto T ∀x ( prf T ( x .2. allora l’enunciato ∀x ( prf T ( x . t ) = 0) è vero in N. Da ciò e da (1) segue che T è incoerente. poiché per il corollario del teorema del punto fisso T t = ∀x ( prfT ( x . 4. t ) = 0) ) = 0 . ∀x ( prf T ( x . t ) = 0) ) = 0) è vero in N. T ∀x ( prfT ( x . T prf T ( k . t ) = 0) esprime in N la propria indimostrabilità in T. t ) = 0) .proprietà di se stesso. l’enunciato t = ∀x ( prfT ( x . poiché N è un modello di PRA [V. perciò l’enunciato ∀x ( prf T ( x . Primo teorema di incompletezza di Gödel Vale il seguente risultato.2. Perciò ∀x ( prf T ( x .2. t ) = 0) . Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. ∀x ( prf T ( x . computabilità delle funzioni ricorsive primitive in PRA [V. t ) = 0) e N è un modello di PRA [V. t ) = 0) D’altra parte. segue che: (1) T prf T ( k . per per la perciò. t ) = 0) dato dal 124 . Se N è un modello di T. Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. qualche k. dall’ipotesi si ottiene in che si ha particolare T prfT ( k . Infatti. t ) = 0 . Completamento del primo teorema di incompletezza di Gödel. Se ne per conclude ogni k T ∀x ( prfT ( x . è vero in N. T ∀x ( prf T ( x .2. allora l’enunciato ∀x ( prf T ( x . anche t = ∀x ( prf T ( x . Primo teorema di incompletezza di Gödel. t ) = 0) è vero in N. prfT ( k . t ) = 0) ) ≠ 0 . fisso è vero in N ma Infatti. t ) = 0) . ∀x ( prf T ( x . Se T è coerente. supponiamo che T ∀x ( prf T ( x . Allora. t ) = 0) ) ≠ 0 . t ) ≠ 0 . t ) = 0) .2]. t ) = 0) Ne segue che ∀x ( prf T ( x .2]. Poiché prfT ( k . Contraddizione.3]. t ) = 0) . Ma. poiché PRA t = ∀x ( prf T ( x . Da ciò. Da T ∀xA( x ) segue che. Infatti. Diciamo che una teoria T il cui linguaggio è L PRA è ω-coerente se e solo se non esiste alcuna formula A( x ) tale che T ¬∀xA( x ) e per ogni numero naturale k. allora T è coerente. t ) = 0) e T ¬∀x ( prf T ( x . Sia T una teoria sufficientemente potente. Se ne conclude che T ¬∀x ( prf T ( x . ω-coerenza implica coerenza. Allora. t ) = 0) . Se T è ω-coerente. Versione originaria del primo teorema di incompletezza di Gödel. t ) = 0) . t ) = 0) . Quindi T è ωincoerente. Contraddizione. se N è un modello di T. allora. t ) = 0) . T è coerente. t ) = 0) dato dal corollario del teorema del punto fisso è vero in N ma T ∀x ( prf T ( x . poiché N è un modello di T.1. Poiché ha che T ∀x ( prf T ( x . T ∀xA( x ) e T ¬∀xA( x ) . t ) = 0) . Supponiamo che T ¬∀x ( prfT ( x . ω-incoerente se non è ω-coerente. per il primo teorema di incompletezza di Gödel. Se ne conclude che T è coerente. t ) = 0) . supponiamo che T sia ω-coerente ma incoerente. t ) = 0) . perciò ∀x ( prf T ( x .corollario del teorema del punto fisso è vero in N ma T ∀x ( prf T ( x . per ogni k si 125 . Perciò. Contraddizione. Infatti. Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. t ) = 0) è vero in N. T A( k ) . Se T è ω-coerente.5]. ¬∀x ( prf T ( x . poiché esistenza di un modello implica coerenza [V. t ) = 0) è vero in N ma T ∀x ( prf T ( x . poiché ω-coerenza implica coerenza. T A( k ) . allora l’enunciato ∀x ( prf T ( x . l’enunciato ∀x ( prf T ( x . Infatti. La condizione che N debba essere un modello di T è soddisfatta se T è PRA o PA [V. t ) = 0) è vero in N ma T ∀x ( prf T ( x . Tale condizione può anche essere sostituita dalla seguente condizione più debole.2]. t ) = 0) non è vero in N. per ogni numero naturale k. per una A( x ) qualsiasi. t ) = 0) e T ¬∀x ( prf T ( x . perciò per il primo teorema di incompletezza di Gödel l’enunciato ∀x ( prf T ( x .2. si ha che T è coerente. Allora. Supponiamo che T ¬∀x ( prfT ( x . t ) = 0) . Poiché T è RE. Se T è coerente. per il teorema dell’esistenza di un modello [V. t ) = 0) è falso in M. T ' è coerente. Esistenza di modelli non standard.1. t ) = 0 .2.2]. Dunque. Allora. allora esiste un modello non standard di T. Contraddizione. T prf T ( k . Infatti. dunque M è un modello non standard di T. t ) = 0) è coerente. ∀x ( prf T ( x . Allora ¬∀x ( prfT ( x . t ) = 0) è vero in M.2]. per ogni k.1. ∀x ( prf T ( x .prfT ( k . t ) = 0) è vero in N. t ) = 0) dato dal corollario del teorema del punto fisso è vero in N ma T ∀x ( prf T ( x . per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. t ) = 0) .1. t ) = 0) è vero in N e falso in M.3. e perciò ∀x ( prf T ( x . sia T ' come nella dimostrazione del teorema dell’esistenza di modelli non standard. T t = ∀x ( prfT ( x . Ma. ∀x ( prf T ( x . Da ciò e da T ¬∀x ( prfT ( x . 4. per le proprietà della coerenza [V. Se ne conclude che T ¬∀x ( prfT ( x .5]. Ma. e quindi. Infatti. Perciò. per il teorema dell’isomorfismo [V.3]. T ' ha un modello. Allora esiste un’estensione T ' di T tale che T ' è RE. per la computabilità delle funzioni ricorsive primitive in PRA [V.4]. Perciò ¬∀x ( prfT ( x . Corollari del primo teorema di incompletezza di Gödel Chiamiamo modello non standard di una teoria sufficientemente potente T un modello di T che non è isomorfo ad N . Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. per il corollario del teorema del punto fisso. Inoltre. anche T ' è RE. T prfT ( k . t ) = 0) ) = 0 . t ) = 0) . Poiché ∀x ( prf T ( x . Banalmente T ' ¬∀x ( prf T ( x . t ) = 0) è falso in N. t ) = 0) . t ) = 0) segue che T è ω-incoerente. 126 .4.4. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. diciamo M. l’enunciato ∀x ( prf T ( x . come abbiamo visto. t ) = 0) ) = 0 . Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. la teoria T ' = T + ¬∀x ( prfT ( x . Esistenza di teorie coerenti false. t ) = 0) .6] M non può essere isomorfo a N. T ' è coerente ma in T si può dimostrare un enunciato falso in N. T ' t = ∀x ( prf T ( x .2] ogni k. Inoltre. Indichiamo con ConT l’enunciato ¬( ∃x ( prf T ( x . per ogni k. si ha: (CAN) PRA ¬A → ∃x ( prfT ( x . tanti quanti sono gli enunciati A. 127 . t ) = 0) . e quindi. per Gödel [V. T ' prfT ( k . come abbiamo visto. ¬A ) ≠ 0) . t ) = 0) . t ) = 0) . per ogni enunciato A della forma ∀x ( f ( x ) = 0) dove f è una funzione ricorsiva primitiva. Banalmente T ' ¬∀x ( prf T ( x .3]. Diciamo che la funzione prf T ( x . t ) = 0) ) = 0 . Secondo teorema di incompletezza di Gödel Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. per il corollario del teorema del punto fisso. Dunque T ' è ω-incoerente. Poiché T è RE. t ) = 0 . se e solo se la funzione prf T ( x . dove A è un enunciato qualsiasi del linguaggio di T. t ) = 0) ) = 0 .2. ¬A ) ≠ 0)) . sia T ' come nella dimostrazione del teorema dell’esistenza di modelli non standard. 4. Allora esiste un’estensione T ' di T che è RE e coerente ma è ω-incoerente. Diciamo che ConT è canonico. ∀x ( prf T ( x . prfT ( k . y ) è canonica per T se e solo se. Perciò.4. T ' è coerente. T ' prf T ( k . A ) ≠ 0) ∧ ∃x ( prfT ( x .Esistenza di teorie coerenti ma ω-incoerenti. Infatti. funzioni ricorsive di incompletezza di Perciò. Per il primo teorema T ∀x ( prf T ( x . y ) in termini della quale è formulata ConT è canonica per T. Ma. ∀x ( prf T ( x . per la computabilità delle primitive in PRA [V.4. o esprime canonicamente la coerenza di T. Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. Si noti che ConT non è un singolo enunciato ma è uno schema perché sta per infiniti enunciati. Allora ConT esprime in N la coerenza di T. anche T ' è RE. 4]. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. Ma.5. A ) ≠ 0) ∧ ∃x ( prf T ( x . cioè quello in cui A è ∀x ( prf T ( x . Da (2) e (5) segue T A . Contraddizione. Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. 128 .4. Se T è coerente e ConT esprime canonicamente la coerenza di T. Importanza dell’espressione della coerenza Il requisito che ConT debba esprimere canonicamente la coerenza di T è essenziale per la validità del secondo teorema di incompletezza di ′ che esprimono in N la Gödel [V. ¬A ) ≠ 0)) .4. per (CAN) si ha: (4) T ¬A → ∃x ( prfT ( x .Secondo teorema di incompletezza di Gödel. Allora in base a quest’ultimo si ha: (1) Tt = A . t ) = 0) dato dal corollario del teorema del punto fisso [V. t ) = 0) . 4. Se ne conclude che T ConT . da cui T ¬A → ∃x ( prfT ( x . ¬A ) ≠ 0)) . t ) = 0) . allora T ConT . Si intende che T ConT significa che in T non è dimostrabile un caso particolare di ConT .1]. Infatti. ¬A ) ≠ 0) .4. t ) ≠ 0) e quindi per (1): (3) T ¬A → ∃x ( prfT ( x . Supponiamo che T ConT per tale A. T A .2]. A ) ≠ 0) ∧ ∃x ( prf T ( x . t ) = 0) . poiché ConT esprime canonicamente la coerenza di T. Infatti. indichiamo con A l’enunciato ∀x ( prf T ( x . Questo può essere visto nel modo seguente. banalmente si ha T ¬A → ¬∀x ( prfT ( x . Da (3) e (4) si ottiene: (5) T ¬A → ( ∃x ( prf T ( x . A ) ≠ 0) . D’altra parte. Poiché A è ∀x ( prf T ( x . esistono enunciati ConT coerenza di T ma non canonicamente i quali sono dimostrabili in T. cioè che: (2) T ¬( ∃x ( prf T ( x . poiché opp ( ¬A . (1) ∀w ≤ x2 (opp ( w. y ) . Supponiamo che B ( x2 ) ∧ C ( x1 ) . x2 ≤ x1 . Ma allora ¬C ( x1 ) . per la computabilità delle funzioni ricorsive primitive in PRA [V.3].2. ′ l’enunciato Indichiamo con ConT ′ ( x . (2) ∀w ≤ x1 (opp ( w. PRA x1 ≤ x2 ∨ x2 ≤ x1 . Caso 1. Per le proprietà della relazione d’ordine [V. ¬A ) ≠ 0 .2. w) = 0) e con C ( x1 ) la formula: prfT ( x1 . ¬A ) ≠ 0 [V. w) = 0) .4]. A ) ≠ 0) ∧ ∃x ( prf ′ ( x .2. Allora B ( x2 ) e C ( x1 ) . ¬A ) ≠ 0 ∧ ∀zw ≤ x2 (opp ( w. prf T ′ .′ ( x . y ) ≠ 0 la formula: Indichiamo con prfT prfT ( x . Allora. y ) ≠ 0 → prfT ( z . per C ( x1 ) .3]. w) = 0) . Indichiamo con B ( x2 ) la Facciamo vedere che T ConT formula: prfT ( x2 . Caso 2. perciò possiamo distinguere due casi. Chiaramente ConT è formalmente del tutto simile a ConT ma è definito in termini di ′ ( x . A ) ≠ 0 ∧ ∀zw ≤ x1 (opp ( w. Ma. 129 . A ) = 0 . poiché opp ( A . ¬( ∃x ( prf T T ′ dove A è un enunciato qualsiasi del linguaggio di T. y ) invece che di prf T ( x . ¬A ) ≠ 0 → prfT ( z .4]. ¬A ) ≠ 0 → prf T ( x1 . y ) ≠ 0 ∧ ∀zw ≤ x (opp ( w.3. e quindi ¬( B ( x2 ) ∧ C ( x1 )) .3]. T opp ( A . x1 ≤ x2 . Perciò da (1) segue prfT ( x1 . Allora. per B ( x2 ) . Ma.3. w) = 0) . A ) ≠ 0 [V. A ) ≠ 0 → prf T ( z . per la computabilità delle funzioni ricorsive primitive in PRA [V. w) = 0) . A ) ≠ 0 → prf T ( x2 . ¬A ) ≠ 0)) . alla formula ′ ( x . p ) = prf T ricorsive primitive in PRA ′ (k . p ) .4. e p si ha che prf T ( k . y ) = 0) si può associare un termine chiuso t tale che: ∀x ( prf T (1) ′ ( x . perciò per la computabilità delle funzioni prf T ( k . t ) = 0) ∀x ( prf T ( x . p ) . p) . Una riprova di ciò è data dal fatto che T ConT e ′. y ) = 0) . p ) e T prf ( k .2. ′ ( k . p ) = prf T ′ ( x .3] T prf T ( k . ¬A ) ≠ 0)) . poiché T è coerente. allora ′ ( x . y ) hanno la stessa estensione. T ¬( ∃x ( prf T T ′ significa che Con ′ è dimostrabile in T Si intende che T ConT T per un enunciato qualsiasi A del linguaggio di T. [V. Per la legge logica ( A → ¬A) → ¬A si conclude allora che T ¬( B ( x2 ) ∧ C ( x1 )) . per ogni k ′ ( k .4. Perciò da (2) segue prfT ( x2 . y ) = 0) di [V. Se T è coerente. per ogni k e p. Ovviamente. Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. t ) = 0) . T t = ∀x ( prf T Come abbiamo già osservato in [V.5] si può stabilire un rafforzamento del primo teorema di incompletezza di Gödel.4. cioè ossia ′ ( x .5]. T ConT 4.6. A ) ≠ 0) ∧ ∃x ( prf ′ ( x . p ) = prf ′ ( k . p ) = prf T T T Perciò la dimostrazione del primo teorema di incompletezza di Gödel 130 .4. Esse. t ) = 0) dato dal corollario del l’enunciato ∀x ( prf T teorema del punto fisso applicato alla formula ′ ( x . e quindi ¬( B ( x2 ) ∧ C ( x1 )) .5] invece che alla formula ∀x ( prf T ′ ( x . t ) = 0) .T opp ( ¬A . però. Teorema di incompletezza di Rosser In termini di [V. per il teorema del punto fisso [V. y ) e prfT hanno intensioni differenti perché le loro definizioni esprimono idee differenti. Ma allora ¬B ( x2 ) . e T ¬∀x ( prf T Infatti. A ) ≠ 0 .1]. è vero in N ma T ∀x ( prf T ′ ( x . dunque prfT ( x . ¬A ) = 0 . se T è coerente. ′. T ConT donde T ¬( ∃xB ( x ) ∧ ∃xC ( x )) . Teorema di incompletezza di Rosser. ′ ( x . t ) = 0) ) ≠ 0) T ¬∃x ( prf T ′ ( x .1]. 131 .7. per ogni enunciato della forma ∀x ( f ( x ) = 0) . 4. allora T ExtConT . t ) = 0) ) ≠ 0 e quindi.4. Ma T ∀x ( prfT T ∀x ( prf T ′ ( x . indichiamo con A l’enunciato ∀x ( prf T ( x . se T ∀x ( f ( x ) = 0) allora ∀x ( f ( x ) = 0) è vero in N.2] si applica è immutata vero in a N ′ ( x .[V. t ) = 0) . Terzo teorema di incompletezza di Gödel. ¬∀x ( prf T ′ ( x . Allora. Infatti. il teorema di incompletezza di Rosser è un genuino rafforzamento del primo teorema di incompletezza di Gödel [V. Se T è coerente. t ) = 0) ∀x ( prf T ′ ( x . Contraddizione.2]. Indichiamo con ExtConT l’enunciato: ∃x ( prf T ( x . dove f è una funzione ricorsiva primitiva. ¬∀x ( prf T ′ ( x . t ) = 0) . dove f è una funzione ricorsiva primitiva. Da ciò e da T Con ′ T ∃x ( prf T T [V. ∀x ( f ( x ) = 0) ) ≠ 0) → ∀x ( f ( x ) = 0) . Si noti che ExtConT non è un singolo enunciato ma è uno schema perché sta per infiniti enunciati. t ) = 0) ) ≠ 0) . Allora ExtConT esprime in N la coerenza esterna di T. y ) = 0) . Diciamo che T è esternamente coerente se e solo se. ∀x ( prf T ′ ( x .2. ¬∀x ( prfT ′ ( x .3]. Supponiamo ora che T ¬∀x ( prf T ′ ( k .4. t ) = 0) .3]. tanti quante sono le funzioni ricorsive primitive f. t ) = 0) . T ∀x ( prfT ′ ( x . Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. Terzo teorema di incompletezza di Gödel Sia T è una teoria sufficientemente potente e RE. per la computabilità prfT delle funzioni ricorsive primitive da in PRA cui [V. t ) ≠ 0) . t ) = 0) ) ≠ 0 . t ) = 0) dato dal corollario del teorema del punto fisso [V.5] si ottiene quindi per (1) ′ ( x . t ) = 0) . Se ne conclude che T ¬∀x ( prf T Poiché esistono teorie coerenti ma ω-incoerenti [V. per qualche k. T ¬∃x ( prf T e da cui si ottiene ′ ( x .4.4.4. che ′ ( k . ∀x ( prf T ma Dunque ′ ( x . T prf T segue ′ ( x . Allora in particolare si ha T ∃x ( prf T ( x . Se ne conclude che T ExtConT . Allora T ¬∃x ( prfT ( x . si ha T ∃x ( prfT ( x . y ) è canonica per T. Se T è coerente.8. Da quest’ultima per la legge logica ( ¬A → A) → A T ∀x ( prf T ( x . A ) ≠ 0) → A .4] è invece un risultato più forte del terzo teorema di incompletezza di Gödel. infatti. da cui segue si T A.4.4. Si intende che T ExtConT significa che in T non è dimostrabile un caso particolare di ExtConT . A ) ≠ 0) → A . Sia T una teoria sufficientemente potente e RE. t ) = 0) .7] è una versione del primo teorema di incompletezza di Gödel [V. Poiché il terzo teorema di incompletezza di Gödel è una formulazione del primo teorema di incompletezza di Gödel. Riformulazione del terzo teorema di incompletezza di Gödel. Riformulazione del secondo teorema di incompletezza di Gödel.2]. A ) = 0) → A . 132 . allora per qualche enunciato A tale che A è vero in N ma T A . cioè quello in cui ∀x ( f ( x ) = 0) è ∀x ( prf T ( x . Confronto tra i teoremi di incompletezza di Gödel Il terzo teorema di incompletezza di Gödel [V. Ma. la sua validità non richiede che la funzione prf T ( x. infatti. Il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V. Se T è coerente e la funzione prf T ( x. cioè T ¬A → A . può essere riformulato nel modo seguente. allora per T ¬A si ha ogni enunciato A tale che T ∃x ( prf T ( x .4. Esso. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V. Infatti. t ) = 0) . può essere riformulato nel modo seguente. Supponiamo che T ∃x ( prf T ( x . sia A un enunciato tale T ¬A . Sia T una teoria sufficientemente potente e RE.4.2]. A ) ≠ 0) → A . ottiene cioè T ¬∀x ( prf T ( x . t ) = 0) . y ) sia canonica per T. Contraddizione. Esso. A ) ≠ 0) .Supponiamo che T ExtConT . T ∀x ( prf T ( x . 4. Questo è immediato dalla dimostrazione del terzo teorema di incompletezza di Gödel. A ) ≠ 0) → A . 4.9.4].1. cioè T ConT . e sia N ( x ) una formula di L contenente come sua unica variabile individuale libera x. A ) ≠ 0) → A .3.2. V.4. che non si potrebbe negare siano sufficientemente potenti e tuttavia non sono sufficientemente potenti nel senso di [V.4. nel caso della teoria degli insiemi. Teoremi di indefinibilità di Tarski Diciamo che una formula A( y ) di L PRA contenente come sua unica variabile individuale libera y definisce un insieme di numeri naturali X in N se e solo se. Ma. Se ne conclude che T ∃x ( prf T ( x . Sia L un linguaggio del primo ordine. Estensione ad altre teorie Vi sono svariate teorie del primo ordine T. A ) ≠ 0) → A per ogni enunciato A tale che T ¬A . i teoremi di incompletezza di Gödel e corollari [V.da cui segue T ¬( ∃x ( prf T ( x .4. 4. Diciamo che una teoria del primo ordine T il cui linguaggio è L è sufficientemente potente in senso esteso se e solo se: (i) la nozione di numero naturale è definita in T da una formula N ( x ) di L contenente come sua unica variabile individuale libera x.4. mentre il terzo teorema di incompletezza di Gödel stabilisce che T ∃x ( prf T ( x . per il secondo teorema di incompletezza di Gödel [V. perciò è un risultato più forte. Contraddizione. Altri risultati limitativi 5.7] valgono anche per le teorie che sono sufficientemente potenti in senso esteso. il secondo teorema di incompletezza di Gödel stabilisce che T ∃x ( prf T ( x . a cominciare dalla teoria degli insiemi. A ) ≠ 0) → A per qualche enunciato A tale che A è vero in N ma T A .2. V.4].4.4. A ) ≠ 0) ∧ ∃x ( prf T ( x . Dunque. N ( x ) è la formula x ∈ω . per ogni numero naturale k: 133 . V. Introduciamo perciò la seguente nozione più ampia. (iii) le relativizzazioni di tutti gli assiomi non logici di PRA a N ( x ) sono dimostrabili in T. T ConT . (ii) tutti i simboli non logici di L PRA sono definibili in T da formule di L. Per ogni enunciato C di L chiamiamo relativizzazione di C a N ( x ) il risultato della sostituzione di ogni parte di C della forma ∀xA con ∀x ( N ( x ) → A) . V. ¬A ) ≠ 0)) . 5.6. Per esempio. Chiaramente. Questa nozione di definizione di verità è motivata dal fatto che. Da ciò per (1) segue che ¬A( t ) è vero in N se e solo se A( t ) è vero in N. La formula A( y ) esprime appunto la proprietà di essere vero. Primo teorema di indefinibilità di Tarski.2. ne segue che: (1) Sia t = ¬A( t ) è vero in N. in base alla concezione della verità come corrispondenza. ad A( y ) si può associare un termine chiuso t tale che: 134 . ad A( y ) si può associare un termine chiuso t tale che PRA t = ¬A( t ) . Infatti. Contraddizione.4. T A( C ) ↔ C . Poiché A( y ) definisce TRUE( N ) in N. Poiché N è un modello di PRA [V. supponiamo che esista una definizione di verità A( y ) per T. o è aritmetico. l’enunciato ‘La neve è bianca’ è vero se e solo se la neve è bianca. Indichiamo con TRUE( N ) l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati di L PRA che sono veri in N. Se T è coerente. per ogni enunciato C. Allora esiste una formula A( y ) che definisce TRUE( N ) in N. Secondo teorema di indefinibilità di Tarski. se e solo se esiste una formula che definisce X in N. Sia T una teoria sufficientemente potente.4. Per il teorema del punto fisso [V. e quindi che A( t ) non è vero in N se e solo se A( t ) è vero in N. Per il teorema del punto fisso [V.1]. allora non esiste una definizione di verità per T. Perciò ¬A( t ) è vero in N se e solo se A( ¬A( t ) ) è vero in N. k = ¬A( t ) . Infatti. L’insieme TRUE( N ) non è aritmetico. Se ne conclude che TRUE( N ) non è aritmetico. Diciamo che un insieme di numeri naturali X è definibile in N.k ∈ X se e solo se A( k ) è vero in N.1]. Diciamo che una formula A( y ) di L PRA contenente come sua unica variabile individuale libera y è una definizione di verità per T se e solo se. Sia T una teoria il cui linguaggio è L PRA . k ∈ TRUE( N ) se e solo se A( k ) è vero in N.2]. supponiamo che lo sia. Contraddizione. 5. Infatti. si ha T A( ¬A( t ) ) ↔ ¬A( t ) . TRUE( N ) non è aritmetico. Perciò THM T ≠ TRUE(N ) . Teorema di indecidibilità Diciamo che un insieme di numeri naturali X è ricorsivo se e solo se esiste una formula A( y ) di L PRA contenente come sua unica variabile individuale libera y tale che. Se ne conclude che T ¬A . Inoltre. perciò A non è vero in N. allora PRA ¬A( k ) . allora PRA A( k ) . Contraddizione. Diciamo che una teoria T è aritmetica se e solo se l’insieme THM T è aritmetico. Sia T una teoria sufficientemente potente e aritmetica. (ii) se k ∉ X . il secondo teorema di indefinibilità di Tarski asserisce che non esiste una formula avente una certa proprietà sintattica. per il primo teorema di indefinibilità di Tarski. mentre il primo teorema di indefinibilità di Tarski asserisce che non esiste una formula avente una certa proprietà semantica. allora esiste almeno un enunciato A di T tale che A è vero in N ma T A e T ¬A . Poiché N è un modello di T allora ¬A è vero in N. Teorema di incompletezza debole per teorie aritmetiche. Ma l’idea che sta alla base di entrambi i teoremi è la stessa: la proprietà di essere un enunciato vero in N non è esprimibile in L PRA . poiché N è un modello di T. Dunque esiste almeno un enunciato A di T tale che A è vero in N ma T A . da cui per (1) segue T A( t ) ↔ ¬A( t ) . Supponiamo che T ¬A . Ma.2.(1) PRA t = ¬A( t ) . Poiché A( y ) è una definizione di verità per T. Si noti che. Se N è un modello di T. THM T è aritmetico. poiché T è aritmetica. Se ne conclude che non esiste una definizione di verità per T. THM T ⊆ TRUE(N ) . Quindi T è incoerente. Tale teorema di incompletezza è debole sia in quanto dipende dall’assunzione forte che N sia un modello di T sia in quanto non fornisce alcun esempio di enunciato vero in N ma non dimostrabile in T. per ogni numero naturale k: (i) se k ∈ X . Questo mostra che un teorema di incompletezza debole è un corollario del primo teorema di indefinibilità di Tarski. Da ciò per le leggi logiche (¬A → A) → A e ( A → ¬A) → ¬A si ottiene che T A( t ) e T ¬A( t ) . 135 . Teorema di Church Ad ogni funzione ricorsiva primitiva binaria f associamo un insieme finito di enunciati Γ e una formula A( y ) di L PRA contenente come sua unica variabile individuale libera y nel modo seguente. l’enunciato sarà (1) ∀x ( fi ( x ) = 0) . 5. Allora o T ¬A( t ) T ¬A( t ) . e f r è la funzione f. fi è la funzione zero o la funzione successore o la funzione proiezione i-esima. per ogni k. quindi T A( ¬A( t ) ) . Sia k = ¬A( t ) . oppure T ¬A( t ) . per ogni numero naturale k. l’enunciato sarà (2) ∀x ( fi ( x ) = S ( x )) .1]. da cui per (1) segue che T ¬A( t ) . Se ne conclude che THM T non è ricorsivo. f r tale che per ogni i. oppure si ottiene da funzioni precedenti della successione per composizione o per ricorsione primitiva. cioè PRA ¬A( ¬A( t ) ) . 0 ≤ i ≤ r .. Poiché f è una funzione ricorsiva primitiva. Teorema di indecidibilità. Se fi è la funzione zero. allora l’insieme THM T non è ricorsivo. L’insieme Γ consterà di uno o due enunciati per ogni fi con i > 0 . ad A( y ) si può associare un termine chiuso t tale che: (1) PRA t = ¬A( t ) . Se PRA A( k ) . dunque T è incoerente. Se T è coerente. Sia T una teoria sufficientemente potente. Per il teorema del punto fisso [V.4. Contraddizione... Se T ¬A( t ) . allora k ∉ THM T .Dunque X è ricorsivo se e solo se. Infatti. Allora esiste una formula A( y ) tale che. da cui per (1) segue che T A( t ) . Se fi è la funzione successore. si può decidere in PRA se k ∈ X oppure k ∉ X . perciò PRA ¬A( k ) . quindi T ¬A( ¬A( t ) ) .. Contraddizione.3. esisterà una successione finita di funzioni ricorsive primitive f0 . perciò PRA A( ¬A( t ) ) . Se 136 . cioè allora k ∈ THM T . se k ∈ THM T allora PRA A( k ) . e se k ∉ THM T allora PRA ¬A( k ) . supponiamo che THM T sia ricorsivo. en ). p ) = q .. s )) = f k ( e..... 1 l’enunciato m ∀x1 . Dunque q p = q . Indichiamo con Γ la congiunzione degli enunciati di Γ. Lemma di adeguatezza. dimostriamo (b). xn ( fi ( x1 . xn ) = f k ( f j ( x1 . q s ) = q S ( s ) . s.. se fi è la funzione zero o la funzione successore o la funzione proiezione i-esima. composizione.. La formula A( y ) sarà allora ∃x ( f r ( x ... Supponiamo che fi ( e. Per esempio. allora Γ è adeguato per fi . Γ è adeguato per ogni fi . 0 ≤ i ≤ r . q .. Poiché fi è stata ottenuta per ricorsione primitiva da fj e f k ... j1 . se fi ( e1 .... (Per semplicità consideriamo un unico argomento e invece di n argomenti e1 . k < i . s. Poiché Γ è adeguato per fj e fk si ha allora che (6a) Γ → f j ( e) = q0 e (6b) Da (6a) e (5a) si ottiene (7a) Γ → f k ( e.. xn ))) .. fi ( e... l’enunciato sarà sarà (3) (4) ∀x1 .... Infatti... 0) = f j ( x )) saranno e (5b) ∀x∀y ( fi ( x . S ( s )) = f k ( e. Se fi si ottiene da f j enunciati e f k .. Rimane da dimostrare che: (a) Se fi è stata ottenuta per composizione da funzioni f k e f j1 . en . en ) = q allora Γ → fi ( e1 . Se fi si ottiene da f k e f j1 .. jm < i .... s ) ... per ricorsione primitiva.. (b) Se fi è stata ottenuta per ricorsione primitiva da funzioni f j e f k per cui Γ è adeguato... allora Γ è adeguato per fi .. dove k . 137 . qs ) . f jm per cui Γ è adeguato. xn ( fi ( x1 .... si ha q0 = f i ( e. dove (5a) j. f jm .. xn ). per ogni e1 . Γ è adeguato per fi perché Γ contiene gli enunciati (1)-(3). Diciamo che Γ è adeguato per fi se e solo se... xn ) = xi ) . gli ∀x ( fi ( x . e n ) = q .. fi ( x .... (Per semplicità indichiamo un unico argomento x invece di n argomenti x1 ..fi è la funzione per proiezione i-esima.. xn )... y ))) .. y . f j ( x1 .. Per ogni s ≤ p sia qs = f i ( e. S ( y )) = f k ( x . s.... 0) = f j ( e) . e per ogni s < p si ha qS ( s ) = f i ( e.. y ) = 1) . Infatti. Da (7a) e da (7b) per s = 0 si ottiene Γ → f i ( e. S ( s )) = q S ( s ) ) . Supponiamo che VAL L sia ricorsivo. cioè f r ( e. Allora in particolare sarà ricorsivo l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati logicamente validi della forma Γ → A( p ) . Dunque Γ è adeguato per fi . Sia f ( e. 0) = q0 . Γ → A( p ) se e solo se ∃x ( f ( x . Chiaramente N è un modello di Γ mentre. p ) = q . Per il lemma di adeguatezza Γ è adeguato per f r . p ) = 1) . p ) = 1 . da cui Γ → ∃x ( f r ( x . Γ → f i ( e. p ) = 1 segue allora che Γ → f r ( e. Teorema di indecidibilità della validità del primo ordine. supponiamo che Γ → A( p ) ma non ∃x ( f ( x . p ) = q p .3) = q3 . Per ogni numero naturale p. p ) = 1) . Da f r ( e. Infatti. p ) = 1) . Contraddizione. p ) = 1) . p ) = 1 . Viceversa. Se ne conclude che ∃x ( f ( x . Lemma equazionale. Dunque. p ) = 1 . cioè Γ → A( p ) . cioè Γ → fi ( e. per il lemma equazionale. associamo alla funzione ricorsiva primitiva binaria prf PRA un insieme finito di enunciati Γ e una formula A( y ) nel modo indicato sopra. 2) = q 2 . Da (6b) e (5b) si ottiene (7b) Γ → ( f i ( e. Indichiamo con VAL L l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati di un linguaggio del primo ordine L che sono logicamente validi. Quindi Γ → A( p ) . N non è un modello di A( p ) . e così via fino a Γ → f i ( e. Allora. dalla quale e da (7b) per s = 1 si ottiene Γ → fi ( e. Perciò per (1) sarà ricorsivo l’insieme 138 . p ) = 1) . p ) = 1) . supponiamo che ∃x ( f ( x . cioè per f. s ) = q s → f i ( e. poiché non ∃x ( f ( x . L’insieme VAL L non è ricorsivo. dalla quale e da (7b) per s = 2 si ottiene Γ → f i ( e.1) = q1 . se Γ → A( p ) allora ∃x ( f ( x . p ) = 1) . p ) = 1) . per ogni numero naturale p si ha (1) Γ → A( p ) se e solo se ∃x ( prf PRA ( x . THM PRA non è ricorsivo. p ) = 1) .1] ma con le seguenti aggiunte. Teorema di Church.5. V. cioè THM PRA .5.1].1.1].5.2]. poiché PRA è coerente [V. per il teorema di } indecidibilità [V.2] valgono per le teorie che sono sufficientemente potenti in senso esteso [V. L’insieme THM L non è ricorsivo. 5. Vale inoltre il seguente rafforzamento del primo teorema di indefinibilità di Tarski [V. Logica del secondo ordine 6. 6. Linguaggi del secondo ordine I linguaggi del secondo ordine sono definiti come i linguaggi del primo ordine [V. Ma per il teorema di completezza [V. Per il teorema di indecidibilità della validità del primo ordine VAL L non è ricorsivo.5] VAL L ⊆ THM L . TRUE(V ) non è insiemistico. La dimostrazione è del tutto simile a quella del primo teorema di indefinibilità di Tarski [V. Estensione ad altre teorie Chiaramente i risultati limitativi di [V. Teorema di indefinibilità della verità insiemistica. Sia L il linguaggio della teoria degli insiemi. se e solo se esiste una formula che definisce X in V. Perciò THM L non è ricorsivo. Se ne conclude che VAL L non è ricorsivo. Ma. Diciamo che una formula A( y ) di L contenente come sua unica variabile individuale libera y definisce un insieme di numeri naturali X nella gerarchia cumulativa degli insiemi V se e solo se.9].2]. Contraddizione. Indichiamo con THM L l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati di un linguaggio del primo ordine L che sono dimostrabili mediante gli assiomi e le regole della logica del primo ordine. Diciamo che un insieme di numeri naturali X è definibile in V.{ p : ∃x( prf PRA ( x .1. Indichiamo con TRUE(V ) l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati di L che sono veri in V. o è insiemistico. 139 .5.4.1.1.4. per ogni numero naturale k: k ∈ X se e solo se A( k ) è vero in V.2.5. I termini di un linguaggio del secondo ordine L2 sono definiti come i termini di un linguaggio del primo ordine.I simboli di un linguaggio del secondo ordine L2 comprendono quelli di un linguaggio del primo ordine e per ogni numero intero positivo n infinite variabili relazionali n-arie V0 ... o è un enunciato.∃Ψ n A . (eventualmente con indici) per le variabili relazionali nn n n n n n n arie V0 ... . Y . Le occorrenze libere di una variabile relazionale n-aria Vi n in una formula sono definite come le occorrenze libere di una variabile individuale vi in una formula... Le formule di un linguaggio del secondo ordine L2 sono definite come le formule di un linguaggio del primo ordine. tn sono termini. V1 ... . Y . Ψ n sono variabili individuali n n n o relazionali. V2 . . tn ) dove Vi n è una variabile relazionale n-aria e t1 . allora Vi n non ha alcuna occorrenza libera in ∀V j A e in tal caso tutte le occorrenze di Vi n in ∀V j A si dicono occorrenze vincolate. allora ∀Vi A è una formula. X ..Ψ n A per ∃Ψ 1. ∀Ψ 1 .. Scriviamo ∃XA per ¬∀X ¬A . Z . con in più la seguente clausola: (v) le occorrenze libere di Vi n in ∀V j A sono le occorrenze libere di Vi n in A se j ≠ i . V2 .. . con in più la seguente clausola: (vi) se Vi n è una variabile relazionale n-aria e A è una formula.. In un linguaggio del secondo ordine L2 non occorre assumere che tra le costanti relazionali n-arie sia compresa una costante relazionale binaria = per l’eguaglianza perché si può definire ( t1 = t2 ) come ∀X ( X ( t1 ) ↔ X ( t2 )) . Diciamo che una formula è chiusa..... o semplicemente Usiamo le lettere X ..Ψ n A per ∀Ψ 1.. se invece j = i .. V1 .∀Ψ n A . Z . ..... dove Ψ 1 .. e ∃Ψ 1 . Le formule atomiche di un linguaggio del secondo ordine L2 comprendono quelle di un linguaggio del primo ordine e tutte le espressioni della forma Vi n (t1 ... .. n n n 1 140 . . se e solo se nessuna variabile individuale e nessuna variabile relazionale n-aria occorre libera in essa. dimostrabilità.∀xn ( X ( x1 ... L14. Se X è una variabile relazionale n-aria.1. per qualche n ≥ 0 e per delle variabili individuali o relazionali Ψ 1 . indichiamo con A[ X / Θ] il risultato della sostituzione di ogni occorrenza libera di X in A con Θ...1. Introduciamo gli assiomi logici e le regole di deduzione logiche di L2 .. Ψ n .) . In seguito.. L13.. ∃X ∀x1. xn ) ↔ A) se X non occorre libera in A. il modus ponens MP: Per ogni formula A e B di L2 . Dunque la chiusura universale di una formula è un enunciato. yn ))). L16..... diciamo che A è la chiusura universale di B. 6. n 141 .. L11-L15... x1 = y1 → (..2.Ψ n B .. Θ è una variabile relazionale n-aria o una costante relazionale n-aria e A è una formula.Diciamo che una formula A è una generalizzazione di una formula B se e solo se.. L15. L12. xn ) → X ( y1 . quando usiamo la notazione A[ X / Θ] . → ( xn = yn → ( X ( x1 . ∀X ( A → B ) → (∀XA → ∀XB ) . Le regole di deduzioni logiche di L2 consistono di un’unica regola. Se Ψ 1 ...2]... Ψ n comprendono tutte le variabili individuali libere di B.. Le nozioni di deduzione.. da A e A → B si può inferire B. la formula A è ∀Ψ 1 .2] o di una delle seguenti forme: L11. legge logica sono definite come le nozioni corrispondenti della logica del primo ordine [V. deducibilità. cioè non è un’occorrenza vincolata in A[ X / Θ] . assumiamo tacitamente che X sia sostituibile con Θ in A.. A → ∀XA se X non occorre libera in A. Assiomi e regole della logica del secondo ordine Sia L2 un linguaggio del secondo ordine. Tutte le generalizzazioni di una formula di una delle forme L1-L9. Gli assiomi logici di L2 sono tutte le formule di L2 di una delle forme L1-L9 di [V.. ∀X A → A[ X / Θ] .... Diciamo che una variabile relazionale n-aria X è sostituibile con una variabile relazionale n-aria o una costante relazionale n-aria Θ in una formula A se e solo se o Θ è una costante relazionale n-aria oppure Θ è una variabile relazionale n-aria e non diventa vincolata in seguito alla sostituzione di X con Θ in A. dimostrazione. 3]. con in più la seguente M M clausola: (vi) (∀XB ) M =1 se e solo se ( B[ X / R ]) = 1 per ogni R ∈ Dn . Se M = ( D.. 6. φ ) . L14 perché con tale definizione essi diventano dimostrabili... che associa (i) ad ogni costante individuale di L2 un membro di D. per i = 1.. φ ) è un modello per un linguaggio del secondo ordine L2 .1.. detto il valore di t in M.. n = 1. detta il nome di a e.. xn / a n . n = 1...2. Per ogni formula A di un linguaggio del secondo ordine L2 in cui solo x1 . scritto AM . Ad ogni enunciato A di L2 ( M ) assegniamo un membro dell’insieme {1. 2..3.. . (iii) ad ogni costante relazionale n-aria di L2 un membro di D n . ..1. per M-esempio di A intendiamo un enunciato di L2 ( M ) dove della forma e A[ x1 / a 1 .. X 1 . 2. detta la funzione di interpretazione di M.Se si definisce ( t1 = t2 ) come ∀X ( X ( t1 ) ↔ X ( t2 )) si possono eliminare gli assiomi logici L7-L9. è l’insieme di tutte le relazioni n-arie su D...... come nel caso dei termini chiusi di un linguaggio del primo ordine [V.. D n .3]. Indichiamo con L2 ( M ) il linguaggio del secondo ordine che si ottiene da L2 aggiungendo un nome a per ogni a ∈ D e un nome R per ogni R ∈ D n . dove D è un insieme non vuoto. 1 detta il nome di R. . .. 2. per ogni R ∈ D n ..... . Ad ogni termine chiuso t di L2 ( M ) assegniamo un membro di D. 142 . per ogni a ∈ D sia a una nuova costante individuale non in L2 .2.. detto il valore di verità di A in M. X m / R m ] a1 . sia R una nuova costante relazionale n-aria non in L2 ... per un linguaggio del secondo ordine L2 è una tripla ordinata M = ( D. detto il dominio delle relazioni n-arie di M.. . o struttura. an ∈ D Ri ∈ D j .. dove 1 si dice il valore di verità vero e 0 il valore di verità falso. 0} . n = 1. 2. (D n )n =1.. .. Modelli per linguaggi del secondo ordine Un modello.. detto il dominio degli individui di M... .. (ii) ad ogni costante funzionale n-aria di L2 una funzione n-aria su D.. scritto t . come nel caso degli enunciati di un linguaggio del primo ordine [V... xn . X 1 / R 1 .. X m occorrono libere. (D n )n =1. e φ è una funzione unaria.. m e per qualche j = 1. assiomi non logici di una teoria del secondo ordine. (D n )n =1. di conseguenza logica o conseguenza.6]. .Diciamo che una formula A di un linguaggio del secondo ordine L è vera in M se e solo se ( A') M = 1 per ogni M-esempio A ' di A.1. AM = 1 A M' se e solo se = 1. In 2 particolare.. La teoria PA 2 Introduciamo una teoria PA 2 . per ogni enunciato A di L2 . 7. ed estensione di una teoria del secondo ordine sono definite come le nozioni corrispondenti per le teorie del primo ordine [V.. 6.2. Le nozioni di modello di una formula o di un insieme di formule di un linguaggio del secondo ordine L2 .1. dimostrazione in una teoria del secondo ordine. 6. Aritmetica di Peano del secondo ordine 7. un enunciato A di L2 è vero in M se e solo se AM = 1 . Il linguaggio L 2 di PA 2 contiene come unici simboli non PA logici la costante individuale 0 e la costante funzionale unaria S .3].. di formula logicamente valida o valida. Teorema dell’isomorfismo. formula dimostrabile in o teorema di una teoria del secondo ordine.6]. φ ) e M ' = ( D '. la nozione di isomorfismo di M su M ' è definita come la nozione corrispondente per un linguaggio del primo ordine [V. Se M e M ' sono isomorfi allora. φ ') sono modelli per un linguaggio del secondo ordine L2 .. Siano M e M ' due modelli per un linguaggio del secondo ordine L2 . Isomorfismo di modelli Se M = ( D. .5.. modello di una teoria del secondo ordine. detta aritmetica di Peano del secondo ordine.2. e di soddisfacibilità sono definite come le nozioni corrispondenti per un linguaggio del primo ordine [V.(D ' n ) n =1.1..4. 143 .1.7]. linguaggio di una teoria del secondo ordine. Teorie del secondo ordine Le nozioni di teoria del secondo ordine.1. Diciamo che A è falsa in M se e solo se A non è vera in M. La dimostrazione è come quella del risultato corrispondente per un linguaggio del primo ordine [V. 2. Altri risultati limitativi per PA 2 Anche gli altri risultati limitativi di [V.2] valgono per PA 2 . Si noti che. V.4.. Per esempio l’addizione x + y = z è definita in PA 2 da ∀X ( X (0. Allora i teoremi di incompletezza di Gödel e corollari [V. 2 2 2 PA 3 . Chiamiamo PA 3 l’assioma di induzione del secondo ordine. φ ) per 2 L PA 2 dove φ è la funzione tale che φ (0) = 0 e φ ( S ) = S . z )) .3.9]. X (0) ∧ ∀x ( X ( x ) → X ( S ( x )) → ∀xX ( x ) . V. rispettivamente. Teoremi di incompletezza di Gödel per PA 2 Sebbene PA 2 non sia una teoria sufficientemente potente [V.. S ( S (0)).(D n ) n =1. PA 3 è una singola formula...6.2. per i termini 1 0...4].4.4..2. è facile vedere che essa è sufficientemente potente in senso esteso [V.4.. N è un modello di PA 2 . x ) ∧ ∀u∀v ( X (u.4.7] valgono anche per PA 2 . 1. . 144 . Vale inoltre il seguente risultato.Scriviamo 0. 7. V. S ( x ) = S ( y ) → x = y . V. 2 2 7. S ( v ))) → X ( y . a differenza di PRA7 ' che è uno schema. 0 ≠ S ( x ) .1.4. Gli assiomi non logici di PA 2 sono le chiusure universali delle seguenti formule: PA 1 .3.5. V.2. Infatti.4. Teorema. PA 2 . . Definiamo ( t1 = t2 ) come ∀X ( X ( t1 ) ↔ X ( t2 )) . v ) → X ( S (u ).5. S (0). L 2 il modello Chiamiamo modello standard per PA 2 2 N = ( . 2. . Indichiamo con THM 2 l’insieme dei numeri di Gödel degli L enunciati di un linguaggio del secondo ordine L2 che sono dimostrabili mediante gli assiomi e le regole della logica del secondo ordine. chiaramente gli assiomi non logici di PA 2 sono veri in N . (3) se o ∈ E . (ii) h è biunivoca. PA (i) h è una funzione da a D.. cioè soddisfa le condizioni [V. L’insieme THM 2 non è ricorsivo. Categoricità di PA 2 . sia PA la congiunzione degli assiomi non logici di PA 2 .5. perciò PA 2 è categorica. per il teorema di indecibilità per PA 2 [V. allora applicando 145 . perciò per ogni a . Infatti. (Non occorre considerare la condizione [V. V.6 (i)-(v)]. e siano φ '(0) = o e φ '( S ) = s . se h ( m ) = h ( n ) allora m = n .. e se c ∈ E allora s ( c) ∈ E per ogni c ∈ D . { Sia h la funzione definita induttivamente nel modo seguente: h (0) = o h ( m + 1) = s ( h ( m )). supponiamo che h ( m ) = h ( n ) ma m ≠ n . Per ogni enunciato C di L PA → C . Mostriamo che h è un isomorfismo di N 2 su M. . Ma. b ∈ D e per ogni E ⊆ D si ha: (1) o ≠ s ( a ) . Perciò THM 2 PA 2 2 si ha che PA C se e solo se PA2 2 PA2 è ricorsivo se e solo se THM L è ricorsivo. Allora o m > n oppure m < n . L Infatti. gli assiomi non logici di PA 2 sono veri in M.1. Se m > n . Dobbiamo dimostrare che.1. φ ') un modello qualsiasi di PA 2 . (D n )n =1.7.4. allora E = D .. allora a = b .3]. Infatti. n . Poiché M è un modello di PA 2 .Teorema di indecidibilità della logica del secondo ordine. Tutti i modelli di PA 2 sono isomorfi a N 2 .3. (2) se s ( a ) = s ( b) . PA PA2 7. Perciò THM L non è ricorsivo. Categoricità di PA 2 Diciamo che una teoria del secondo ordine T è categorica se e solo se due modelli qualsiasi di T sono isomorfi.2. THM 2 non è ricorsivo. per ogni m. Questo segue immediatamente dal fatto che o ∈ D e s è una funzione da D a D. sia M = ( D.6 (vi)] poiché L 2 non contiene costanti relazionali). Ma per (1) o ≠ s( h( m − n − 1)) . Perciò. 7. Allora C è vero PA 2 in N se e solo se C è vero in N 2 . (iv) h (φ (0)) = φ '(0) .ripetutamente (2) da h ( m ) = h ( n ) segue che h (0) = h ( m − n ) . Relazione tra enumerabilità ricorsiva e aritmeticità Tra enumerabilità ricorsiva e aritmeticità sussiste la seguente relazione. Poiché M è un modello qualsiasi di PA 2 . Ma allora la formula ∃x ( f ( x. L’insieme VAL 2 non è aritmetico. (v) h (φ ( S )( m )) = φ '( S )( h ( m )) . Infatti o ∈ E . Se ne conclude che m=n. 7. Infatti. Infatti h (φ ( S )( m )) = h ( m + 1) = s ( h ( m )) = φ '( S )( h ( m )) . per cui h ( m + 1) = s ( c ) e quindi s ( c ) ∈ E . Infatti. dobbiamo mostrare che E = D . per il teorema 146 . Allora esiste una funzione di verità ricorsiva primitiva f tale che per ogni p. sia PA la congiunzione degli assiomi non logici di PA 2 . Sia C un enunciato qualsiasi di L 2 del primo ordine. Incompletezza forte della logica del secondo ordine Indichiamo con VAL L2 l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati di un linguaggio del secondo ordine L2 che sono logicamente validi. se ne conclude che tutti i modelli di PA 2 sono isomorfi a N 2 e quindi sono isomorfi tra loro. (iii) h è su D. p ∈ X se e solo se ∃x ( f ( x. dunque PA 2 è categorica. p ) = 1) è vero in N. Perciò. e dunque X è aritmetico. Sia X un insieme di numeri naturali. Dunque h è un isomorfismo di N 2 su M. per ogni m. allora c = h ( m ) per qualche m. Se E è il codominio di h. perciò a maggior L ragione non è RE.5. e quindi M è isomorfo a N 2 . Similmente nel caso m < n .6. Contraddizione. Da ciò per (3) segue che E = D. Perciò non m > n . p ) = 1) . cioè o = s( h( m − n − 1)) . Enumerabilità ricorsiva implica aritmeticità. p ∈ X se e solo se l’enunciato ∃x ( f ( x. y ) = 1) definisce X in N. per ogni p. Se X è RE allora X è aritmetico. Infatti h (φ (0)) = h (0) = o = φ '(0) . e se c ∈ E . Teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine. supponiamo che X sia RE. Non esiste alcun insieme di assiomi logici e regole di deduzione logiche della logica del secondo ordine in un linguaggio del secondo ordine L2 che sia aritmetico e tale che tutti gli enunciati logicamente validi di L2 siano dimostrabili per mezzo di quegli assiomi logici e regole di deduzione logiche. L2 non è Corollario del teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine. THM T non è aritmetico. Allora in particolare VAL L L 2 è aritmetico. Se ne conclude che VAL 2 non è aritmetico. dove C è un enunciato del primo ordine. Se ne conclude che un tale insieme di assiomi logici e regole di deduzione logiche non esiste.4]. 147 . Poiché enumerabilità ricorsiva implica aritmeticità [V. Infatti. Contraddizione. il cui insieme di assiomi non logici è vuoto e che è aritmetica. per la categoricità di PA 2 [V. Ma. Allora tutti gli enunciati logicamente validi di L2 sono dimostrabili nella teoria del secondo ordine T il cui linguaggio è L2 . Perciò. per un linguaggio PA2 qualsiasi del secondo ordine L .7. per il primo teorema di PA indefinibilità di Tarski [V.5. è aritmetico. Perciò l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati di PA 2 della forma PA → C che sono logicamente validi. C è vero in N se e solo C se è vero in tutti i modelli isomorfi a N 2 .7. Dunque. ciò vale anche con ‘RE’ al posto di ‘aritmetico’. tale insieme non è aritmetico. Dunque per (1) anche l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati C del primo ordine di L 2 che sono veri in N è aritmetico. Ma.4]. THM T è aritmetico. VAL 2 L non è aritmetico. per il teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine. C è vero in N se e solo se C è vero in tutti i modelli di PA 2 .dell’isomorfismo [V.5]. Poiché L enumerabilità ricorsiva implica aritmeticità [V. VAL neppure RE.5]. poiché tutti gli enunciati logicamente validi di L2 sono dimostrabili in T. Contraddizione.7. Poiché T è aritmetica. A maggior ragione ciò vale con ‘RE’ al posto di ‘aritmetico’. Quindi: (1) C è vero in N se e solo se PA → C è logicamente valido. Supponiamo che VAL L2 2 2 sia aritmetico.1]. supponiamo che un tale insieme di assiomi logici e regole di deduzione logiche esista.6. o struttura.5]. sia PA la congiunzione degli assiomi non logici di PA 2 .. a maggior ragione CN(PA 2 ) non è RE. Supponiamo che CN(PA 2 ) sia aritmetico. Se ne conclude che CN(PA 2 ) non è aritmetico.1].. n = 1. come abbiamo visto nella dimostrazione del teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine [V. C è vero in N se e solo se PA → C è logicamente valido.7. . Tuttavia un risultato corrispondente a tale teorema vale se si sostituisce la nozione di modello per un linguaggio del secondo ordine L2 con una nozione di modello debole. dove C 2 è un enunciato del primo ordine.5].6]. tranne che ogni D n . Perciò. Allora anche l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati di L PA 2 2 della forma PA → C . Le nozioni di modello debole di una formula o un insieme di formule di un linguaggio del secondo ordine L2 . L’insieme CN(PA 2 ) non è aritmetico. debole per un linguaggio del secondo ordine L2 è definito come un modello [V.7. è semplicemente un insieme di relazioni n-arie su D.7. Poiché enumerabilità ricorsiva implica aritmeticità [V.5. Un modello.7. per nessun insieme aritmetico di assiomi logici e regole di deduzione logiche della logica del secondo ordine può valere un risultato corrispondente al teorema di completezza per la logica del primo ordine [V. Non aritmeticità delle conseguenze logiche di PA 2 . tale insieme non è aritmetico. 2. Modelli deboli per i linguaggi del secondo ordine Per il corollario del teorema di incompletezza forte della logica del secondo ordine [V. perciò a maggior ragione non è RE.6. Ma. e di conseguenza 148 . anche l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati C del primo ordine di L 2 veri in N è aritmetico. che sono logicamente validi è aritmetico. Non aritmeticità delle conseguenze logiche di PA 2 Indichiamo con CN(PA 2 ) l’insieme dei numeri di Gödel degli enunciati che sono conseguenze logiche di PA 2 .. per il primo teorema di PA 2 indefinibilità do Tarski [V.3].6]. Contraddizione. 7. non necessariamente l’insieme di tutte le relazioni n-arie su D.8.7. Infatti.1. Ma. Esiste un modello non standard di PA 2 . e quindi anche in N . ha un modello debole.2.4] ne segue che M non è isomorfo a N . 2 149 .3]. e perciò ∀x ( prf T ( x .4. Se Γ è coerente. t ) = 0) .4]. t ) = 0) dato dal corollario del teorema del punto fisso è vero in N. diciamo M. t ) = 0) è vero in N.9. Esistenza di un modello debole. allora l’enunciato ∀x ( prf T ( x . 7. Dal teorema dell’esistenza di un modello debole si ottiene un teorema di completezza debole per la logica del secondo ordine come indicato in [V. e quindi.6. Sia Γ un insieme di formule di un linguaggio del secondo ordine L2 . Modelli non standard di PA 2 Chiamiamo modello non standard di PA 2 un modello debole di PA 2 che non è isomorfo a N 2 . La dimostrazione è simile a quella teorema dell’esistenza di un modello per la logica del primo ordine [V. t ) = 0) non è vero in M. se PA 2 è coerente. t ) = 0) è vero in M. 2 Perciò la teoria T ' = PA + ¬∀x ( prf T ( x .8]. Esistenza di un modello non standard di PA 2 .5].1. sono definite come le nozioni corrispondenti di [V. e quindi M è un modello non standard di PA 2 .6. per il primo teorema di incompletezza di Gödel [V.2].1. Poiché ∀x ( prf T ( x . 2 ma 2 PA ∀x ( prfT ( x . Allora ¬∀x ( prf T ( x . o conseguenza debole.1. per il teorema dell’isomorfismo [V.7. Infatti.logica debole.5]. per il teorema dell’esistenza di un modello debole [V. V. allora Γ ha un modello debole.7. t ) = 0) è coerente [V. Oltre ai manuali vi sono le antologie. è molto vasta. 1981. Manuali di filosofia della matematica I manuali correnti di filosofia della matematica trattano solo alcuni aspetti dell’argomento.Cos’altro leggere La letteratura sulla filosofia della matematica. Hilbert-Bernays 1968-70. Hersh 2006. Un’introduzione alla logica matematica basata su una formulazione della logica del primo ordine abbastanza simile a quella del cap. in articoli o libri. 1964. v. V sia autosufficiente. 1976. van Atten 2004. Un’introduzione alla logica matematica di esemplare chiarezza. Dummett 1991b. La filosofia della matematica di oggi 150 . è Robbin 2006. Hilbert e Brouwer. Potter 2000. Giaquinto 2002. 1992. 1985. Jacquette 2002. Jacquette 2002. Tra le più recenti Ewald 1996. Quella che segue è una scelta ristretta di libri. nella prima parte di Hersh 1997 e nella prima parte di Shapiro 2000. Filosofia e matematica Vari modi di intendere i rapporti tra filosofia e matematica sono presentati nelle introduzioni a George-Velleman 2002. 1990. la sua lettura sarà molto facilitata se si conoscono i primi elementi della logica matematica. Per Hilbert. ma basata su una formulazione della logica del primo ordine leggermente differente. 1969. Hersh 2006. 1962. van Stigt 1990. Limitati alle scuole di filosofia della matematica della prima metà del Novecento sono George-Velleman 2002. Hilbert 1970f. Tymoczko 1998. v. Per Brouwer. La filosofia della matematica di ieri Per Frege. Una copertura più ampia si trova in Shapiro 2000 e soprattutto in Shapiro 2005. Hart 1996. Presupposti logici Sebbene il cap. Wright 1983. Tymoczko 1998. dove però la filosofia della matematica della seconda metà del Novecento è limitata alle scuole che sono variazioni su temi di Frege. V è Margaris 1990. Frege 1961. Brouwer 1975. Kenny 1995. v. v. v. Per il finzionalismo. Shapiro 1997. v. v. 1986. v. I teoremi di incompletezza di Gödel La presentazione dei risultati limitativi del cap. Gödel 1986-2002. 1989. v. Per l’implicazionismo. V è nello spirito di Jeroslow 1973 ma non fa uso del suo enunciato autoreferenziale. Field 1980.Per il neologicismo. Per lo strutturalismo. 2007. Wright 1983. v. Per il platonismo. Per il congetturalismo. IV. v. Per l’internalismo. Bishop 1967. Resnik 1997. v. 151 . La filosofia della matematica di domani Per un approfondimento dei temi trattati nel cap. anche Hinman 2005. Cellucci 2003. Per altre presentazioni. Lakoff e Núñez 2000. Murawski 1999. Smullyan 1992. v. v. 1978. Per l’empirismo. Per il cognitivismo. Putnam 1975. Maddy 1997. Kitcher 1983. Tourlakis 2003. v. Lakatos 1976. Per il costruttivismo. Hale-Wright 2001. Sui risultati di incompletezza di Gödel per la teoria degli insiemi. v. Logic. Les grands courants de la pensée mathématique. 152 . Laterza. 286-303. Amsterdam. 10. Cellucci. McGrawHill. Wadsworth. Le ragioni della logica. Cambridge Lectures in Intuitionism. pp. «Contemporary Mathematics». vol. pp. Bishop. Cellucci.Y. Paris. a cura di Richard Jeffrey. in Mark Van Atten. Roma-Bari. Bourbaki. and Logic. Cambridge. Proceedings of the Summer Conference at Buffalo N. North-Holland. John Myhill e Richard E. CA. Cambridge University Press. Singapore. Bishop. Logic. A Study in the Philosophy of Science. Lettera a Van Dantzig 24. Cellucci. Collected Works. «Historia Mathematica». Brouwer. (a cura di). Errett (1967). George S. Filosofia e conoscenza. vol. Selected Papers. vol. Some Measurement-Theoretic Concerns about Hale’s ‘Reals by Abstraction’. it.1949. (1998). 75-76. Cambridge. North-Holland. 507-517. MA. pp. I: Philosophy and the Foundations of Mathematics. Beth. Roma-Bari. in Akiko Kino. 1-32. Luitzen Egbertus Jan (1975). World Scientific Publishing. 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Il dibattito sui fondamenti della teoria degli insiemi (Bibliopolis, Napoli 1979). 159 Indice dei nomi Aristotele, Batitsky, Vadim Berkeley, George, Bernays, Paul, Beth, Evert Willem, Bishop, Errett, Bolzano, Bernard, Boolos, George S., Bourbaki, Nicolas, Brouwer, Luitzen Egbertus Jan, Cantor, Georg, Cauchy, Augustin-Louis, Cellucci, Carlo, Church, Alonzo, Dedekind, Julius Wilhelm Richard, Descartes, René Detlefsen, Michael, Dieudonné, Jean, du Bois-Reymond, Emil, Dummett, Michael, Euclide, Ewald, William, Field, Hartry, Fraenkel, Abraham Adolf, Franks, John, Frege, Gottlob, George, Alexander, Giaquinto, Marcus, Gödel, Kurt, Goldbach, Christian, Gowers, William Timothy, Hale, Bob, Hamming, Richard Wesley, Hart, W.D., Hermite, Charles, Hersh, Reuben, Heyting, Arend, Hilbert, David, Hinman, Peter G., Hobbes, Thomas, Hume, David, Ippocrate di Chio, Jacquette, Dale, Jeroslow, Robert G., Kant, Immanuel, Kenny, Anthony, Kitcher, Philip, Kronecker, Leopold, Lakatos, Imre, Lakoff, George, Leibniz, Gottfried Wilhelm, Locke, John, Maddy, Penelope, Margaris, Angelo, Menger, Karl, Mill, John Stuart, Murawski, Roman, Newton, Isaac, Núñez, Rafael E., Parsons, Charles, Pascal, Blaise, Peano, Giuseppe, Penrose, Roger, Pitagora, Platone, Poincaré, Henri, Popper, Karl, Raimund, Potter, Michael, Proclo, Putnam, Hilary, 160 Hao. Zermelo. Rosser. Wittgenstein. Stewart. Alfred. Ludwig. George. Karl Wilhelm. Resnik. Bertrand. Alfred North. Russell. John Barkley. Shapiro... Wright. Velleman. Vaihinger.. Smullyan. Weierstrass. von Neumann. 161 . Robbin. Crispin. Raymond M. Walter P. Tymoczko. van Stigt. Ernst. Daniel J. Mark.. Hans. Tarski. John. Frank Plumpton. Whitehead. Tourlakis. Michael D. Van der Waerden.. Thomas.Ramsey. Joel W. Wang. van Atten. Bartel Leendert. 1. Filosofia della matematica contro tradizione filosofica 2.1. Il programma della coerenza .1.5.14. Il crollo del programma della coerenza .1. L’intento di Hilbert .13. L’ortodossia prevalente 1.7.1.1.12.1.2.2.1.2.2. Deviazioni da Leibniz .Indice del volume Premessa I.3.7. La reazione finale di Frege 2.1. Il programma di Frege 1. Matematica finitaria matematica e infinitaria . Il problema di Cesare .1.10. L’acme del programma di Frege .4. Aspettative sulla realizzabilità dei programmi 2. Limiti dell’autonomia della filosofia della matematica 2. Il paradosso di Russell . Il programma della conservazione . Le motivazioni di Frege . La difficoltà di definire l’estensione di un concetto . La concezione della logica di Frege .2.3.11.9. Il crollo del programma di Frege 1. Filosofia e matematica 1. Le motivazioni di Hilbert .6. Il debito di Frege verso Kant e Leibniz .1. Sufficienza del programma della coerenza 2.1.1. Limiti dell’ortodossia prevalente 2.11.4. Gli argomenti di Frege contro Kant .2.5. Il debito di Hilbert verso Kant .2. Il principio di Hume . Hilbert 2. Ancora il problema di Cesare .2.8. 162 . Frege 1.1.8.2.2.1. La filosofia della matematica di ieri 1.10.6. Le deviazioni da Kant . Matematica contro filosofia della matematica .2. Limiti della polemica contro la tradizione filosofica II.9.1.2. 10. Matematica ed esperienza .2. L’estetismo di Brouwer .2.10.2. Le ragioni di Kant . Costruttivismo . Inadeguatezza della coerenza .3.2.2.3. Le motivazioni di Brouwer .15.7.L’obiezione di Detlefsen .13.5. La filosofia della matematica di domani 1. Centralità della questione della scoperta 2.12. I limiti del programma di Brouwer . Il teorema di continuità . Brouwer 3.1. Il crollo del programma di Brouwer 4. Congetturalismo . Internalismo 2.1.1.1. Necessità di un nuovo inizio . Platonismo .3. Il programma di Brouwer .1.3.9.3. Un requisito per la realizzazione del programma . Limiti della questione del fondamento della matematica .2.4.12. Matematica e 163 .3. Empirismo 2.2.4.2. Neologicismo .5.3.5. Il rifiuto del principio del terzo escluso .1.2.3.5.8. L’immagine della matematica 2.1. Una reazione filosofica mancata 2.2. Cognitivismo 3.2. Il debito di Brouwer verso Kant . Matematica e soluzione di problemi . Caratteri della filosofia della matematica di domani 1. Una reazione matematica mancata .4. Finzionalismo . Matematica ed evoluzione . Le concezioni filosofiche della seconda metà del Novecento 2.1.6. I due atti dell’intuizionismo . La reazione finale di Hilbert 3.2. Le deviazioni da Kant . Il continuo intuizionista .2. Implicazionismo 2.9.2.3.2.6.2. Non autonomia della filosofia della matematica .2. Conclusioni sulla filosofia della matematica di ieri III. Relazione con la matematica .3.7.11.1.1.3.14. Il crollo del programma della conservazione . La nozione intuizionista di dimostrazione .3. Conclusioni sulla filosofia della matematica di oggi IV.2. Due reazioni mancate 1.8.4.3.2.3. La filosofia della matematica di oggi 1. Strutturalismo .3. Teorema di Church . Secondo teorema di incompletezza di Gödel .5.2. Terzo teorema di incompletezza di Gödel .6.7.8. I teoremi di incompletezza di Gödel 1.6. Isomorfismo di modelli .3. Teorie RE 3.2. Alcune proprietà elementari di PRA .5. Teoremi di incompletezza di Gödel 164 . Funzioni ricorsive primitive .9. Alcune utili funzioni ricorsive primitive 4.6. Confronto tra i teoremi di incompletezza di Gödel . Estensione ad altre teorie 5.2.1. Numeri di Gödel . Teorie del primo ordine 2.4. Teorie sufficientemente potenti 3. Modelli per linguaggi del secondo ordine . Linguaggi del secondo ordine . Isomorfismo di modelli .2. Assiomi e regole della logica del primo ordine .4. Correttezza e completezza .2.4.1.2. Modelli per linguaggi del primo ordine .4. Teorie del secondo ordine 7. La teoria PA 2 .7.4. Teoremi di indefinibilità di Tarski .5.4.4. Altri risultati limitativi 5. Coerenza . Insiemi RE .3.1. Logica del primo ordine 1.3.3. Matematica e verità V.7.architetture cognitive .4. Importanza dell’espressione della coerenza .6.6.6. Teoremi di incompletezza 4.4.5.6.1.1.1. Logica del secondo ordine 6.3.2.1. Linguaggi del primo ordine .2.4.4. Aritmetica ricorsiva primitiva 2. La teoria PRA .7.4. Assiomi e regole della logica del secondo ordine . Teorema di incompletezza di Rosser 4. Corollari del primo teorema di incompletezza di Gödel . Primo teorema di incompletezza di Gödel .5. Teorema del punto fisso .2.1.5. Teorema di indecidibilità . Matematica e sviluppo storico 2.4.3. Estensione ad altre teorie 6.2. Aritmetica di Peano del secondo ordine 7.1.3.1. Codificazione 3.1.2.1.1.3. 4.7. Non aritmeticità delle conseguenze logiche di PA 2 .7.7.5. Modelli non standard di PA 2 Cos’altro leggere Bibliografia L’autore 165 .per PA 2 . Modelli deboli per i linguaggi del secondo ordine .7. Relazione tra enumerabilità ricorsiva e aritmeticità . Incompletezza forte della logica del secondo ordine .8. Categoricità di PA 2 . Altri risultati limitativi per PA 2 .7.9.7.6.3.7.7.