Características Onda SinusoidalCARACTERISTICAS DE UNA ONDA SENOIDAL Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de Altern Current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal (figura 1), puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada. Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas: • La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna. • Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier. • Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energía eléctrica. como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación: Donde A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico). o corriente. i (t). Onda senosoidal Figura 2: Parámetros característicos de una onda senoidal Una señal sinusoidal. ω la pulsación en radianes/segundo. y β el ángulo de fase inicial en radianes. la fórmula anterior se suele expresar como: Donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del período. tensión. T el tiempo en segundos. Dado que la velocidad angular es más interesante para matemáticos que para ingenieros. . a (t). se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos (figura 2).• Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores. Los valores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz. v (t). y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático medio de una función.). • Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por debajo. Así. una señal sinusoidal que oscila entre +A0 y -A0. es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2×A0. su valor medio es nulo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo. • Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo. De ahí que por rapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I. Por eso el valor medio de una onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Para ilustrar prácticamente los conceptos anteriores se consida. En el campo industrial. Matemáticamente. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor mínimo es −1. la corriente alterna en la red eléctrica doméstica en Europa: cuando se dice que su valor es de 230 V CA. determinado. se obtiene despejando de la ecuación antes reseñada: . se está diciendo que su valor eficaz (al menos nominalmente) es de 230 V. P. el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor.Valores significativos A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal: • Valor instantáneo (a (t)): Es el que toma la ordenada en un instante. El valor de pico a pico. es útil para calcular la potencia consumida por una carga. escrito como AP-P. (root mean square.S. lo que significa que tiene los mismos efectos caloríficos que una tensión de 230 V de CC. el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo. V. valor cuadrático medio). Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficaz viene dado por la expresión: El valor A. Su tensión de pico (amplitud). si una tensión de corriente continua (CC). una tensión de CA de Vrms desarrollará la misma potencia P en la misma carga si Vrms = VCC.M. etc. t. desarrolla una cierta potencia P en una carga resistiva dada. Mediante el cálculo integral se puede demostrar que su expresión es la siguiente: • Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce el mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua. por ejemplo. se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período: En la literatura inglesa este valor se conoce como R. tensión o intensidad. VCC. al que se denomina fasor o vector de Fresnel. un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo. Figura 3: Representación fasorial de una onda senoidal La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone.Así. el valor a los 3 ms de pasar por cero en su incremento. y 10 ms después se alcanza la tensión de pico negativo. la tensión de pico es de aproximadamente 325 V y de 650 V (el doble) la tensión de pico a pico. se empleará la función sinsoidal: Representación fasorial Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3). • Su módulo será el valor máximo o el eficaz. La tensión de pico positivo se alcanza a los 5 ms de pasar la onda por cero (0 V) en su incremento. Su frecuencia es de 50 Hz. que tendrá las siguientes características: • Girará con una velocidad angular ω. lo que equivale a decir que cada ciclo de la onda sinusoidal tarda 20 ms. por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna. Si se desea conocer. . Matemáticamente. según convenga. por ejemplo. en repetirse. para la red de 230 V CA. y se anotará: Denominadas formas polares.Consideremos. la medición de fase. se usa como referencia para el ángulo de fase cero. la representación gráfica de la anterior tensión será la que se puede observar en la figura 4. o bien: Denominada forma binómica. Angulo de fase Fase es una diferencia de tiempo relativa. entre dos señales. Un ciclo de una señal periódica representa un círculo completo o 360 grados de ángulo de fase.: eje polar). Tomando como módulo del fasor su valor eficaz. y solamente tiene sentido si las dos señales que se comparan tienen la misma [frecuencia]. Una diferencia de 180 grados es una diferencia de medio ciclo. P. relativa a la posición de la flecha es de una importancia vital y un impulso de tacómetro derivado de una posición en la flecha. a modo de ejemplo. . una tensión de CA cuyo valor instantáneo sea el siguiente: Figura 4: Ejemplo de fasor tensión (E. La fase también es una parte importante de la medición de la respuesta de frecuencia. En el balanceo de equipo rotativo. Generalmente se mide en unidades de ángulo. La medición de fase es una medición de dos canales y no tiene sentido cuando solamente se considera una sola señal. en lugar de unidades de tiempo. La tangente entre la resistencia y la reactancia se conoce como Ángulo de Fase (AF). que pasan por sus puntos cero y máximo a diferentes valores de tiempo. Más frecuentemente. eso es atraso de fase o avance de fase. según la preferencia del operador . y varios fabricantes de máquinas usan diferentes convenciones. se puede seleccionar ambas direcciones. o corrientes alternados o voltajes y corrientes de la misma frecuencia. o bien en la dirección opuesta a la rotación. . Se calcula de la siguiente manera: El ángulo de fase se puede medir desde la posición de referencia o bien en la dirección de la rotación. En el programa DLI Balance Alert. los términos fase o diferencia de fase se usan para comparar dos o más voltajes. La fracción de ciclo que ha transcurrido desde que una corriente o voltaje ha pasado por un determinado punto de referencia (generalmente en el comienzo o 0°) se denomina fase o ángulo de fase del voltaje o corriente. podemos ver esta correlación.5. Representación fasorial Los valores instantáneos que desarrolla una función senoidal (función matemática “seno”) coinciden con los valores del cateto vertical del triángulo que describe un vector giratorio (ver ANEXO II). En vista de esta relación. con las siguientes normas: El módulo de los fasores es el valor eficaz de las magnitudes senoidales. El convenio de nomenclatura que utilizaremos es el siguiente . las tensiones y corrientes se representan mediante vectores giratorios (fasores). llamado fasor. En Fig. De esta forma en los circuitos de corriente alterna. se deduce que una magnitud senoidal se puede representar mediante un fasor equivalente. El ángulo entre fasores es el desfase entre las senoidales.-Concepto de fasores. debe girarse en sentido horario. ): Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 2 (A) de valor eficaz. Ejemplo 1 (Fig. Ejemplo 2 (Fig. retrasada 30º respecto a la tensión !!! Cuando un fasor retrasa con otro. o o o V(t).): . I fasor equivalente V. I(t): onda senoidal que depende del tiempo V. I: valor eficaz En los siguientes ejemplos aclaramos esta representación mediante fasores. por lo que esta aparecerá como una carga resistiva y no se producirán reflexiones por desadaptación de impedancias. La impedancia característica es independiente de la frecuencia de la tensión aplicada y de la longitud de la línea. Impedancia característica Se denomina impedancia característica de una línea de transmisión a la relación existente entre la diferencia de potencial aplicada y la corriente absorbida por la línea en el caso hipotético de que esta tenga una longitud infinita. !!! Cuando una fasor adelanta con otro. cuando se conecte a ella un generador con impedancia igual a su impedancia característica. debe girarse en sentido anti horario Ejemplo 3 (Fig.): Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 10 (A) de valor eficaz. En el caso de líneas reales. generadores o receptores. adelantada 60º respecto a la tensión. en fase. cuya impedancia es igual a la impedancia característica. o cuando aún siendo finita no existen reflexiones. .Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 6 (A) de valor eficaz. se cumple que la impedancia de las mismas permanece inalterable cuando son cargadas con elementos. De la misma forma. que puede ser representado mediante un circuito eléctrico. capacitancia. para que no existan ondas reflejadas y el rendimiento del conjunto sea máximo. La impedancia característica de una línea de transmisión depende de los denominados parámetros primarios de la misma que son: resistencia. L = Inductancia de la línea en henrios. G = Conductancia del dieléctrico en siemens. como se ve en la gura 1. inductancia y conductancia(inversa de la resistencia de aislamiento entre los conductores que forman la línea). Partiendo de las Leyes de Kircho. la importancia de que todos los elementos que componen un sistema de transmisión presenten en las partes conectadas a la línea impedancias idénticas a la impedancia característica de esta.1 con las siguientes características: . R = Resistencia de la línea en ohmios.admitancia. C = Capacitancia de la línea en faradios. en el otro extremo de la línea esta aparecerá como un generador con impedancia interna resistiva y la transferencia de energía será máxima cuando se le conecte un receptor de su misma impedancia característica. siendo f la frecuencia en hercios j = Factor imaginario Impedancia característica y velocidad de fase De acuerdo a la geometría del medio. No se oculta. por tanto. ω = 2πf. La fórmula que relaciona los anteriores parámetros y que determina la impedancia característica de la línea es: Donde: Z0 = Impedancia característica en ohmios. la onda electromagnética se propaga a lo largo de ella. la mayoría de los materiales presentan una característica de impedancia . . 636 .Determinación de valores RMS de voltaje y corriente Relación entre las Leyes de Kirchoff y las características de un material para la transmisión de una onda electromagnética.D.707 Ejemplo: encontrar el voltaje RMS de una señal con VPICO = 130 voltios 130 Voltios x 0. Si se toma en cuenta solo un semiciclo (supongamos el positivo) el valor promedio es: VPR = VPICO x 0.7 Voltios Pico Valor promedio El valor promedio de un ciclo completo de voltaje o corriente es cero ( 0 ).707 VRMS = VPICO x 0.707 = 91.) Por esta razón se utiliza el termino “efectivo” El valor efectivo de una onda alterna se determina multiplicando su valor máximo por 0. Ejemplo: 1 amperio (ampere) de corriente alterna (c. Cuando se dice que en nuestras casas tenemos 120 voltios o 220 voltios. Un valor en RMS de una corriente es el valor.A.a.9 Voltios RMS Valor RMS Si se tiene un voltaje RMS y se desea encontrar el voltaje pico: VPICO = VRMS / 0. En otras palabras: El valor RMS es el valor del voltaje o corriente que C.707 = 169. que produce el mismo efecto de disipación de calor que su equivalente de voltaje o corriente en C.707 Ejemplo: encontrar el voltaje Pico de un voltaje VRMS = 120Voltios VPICO = 120 V / 0. La corriente alterna y los voltajes (cuando son alternos) se expresan de forma común con su valor efectivo o RMS (Root Mean Square – raíz media cuadrática). que produce la misma disipación de calor que una corriente directa de la misma magnitud.) produce el mismo efecto térmico que un amperio (ampere) de corriente directa (c. éstos son valores RMS o eficaces Qué es RMS y porqué se usa? Tiene una relación con las disipaciones de calor o efecto térmico que una corriente directa de igual valor disiparía.d. 5 Voltios VPICO = 50 x 1.5 Voltios Notas: . entonces: VRMS = 50 x 1.41 x VRMS 0.Valor RMS = Valor eficaz = Valor efectivo .707 x Valor Pico 0.9 x VRMS Promedio 1.57 x Promedio 1.11 x Promedio Ejemplo Valor promedio de sinusoide = 50 Voltios.El valor pico-pico es 2 x Valor pico .57 Voltios = 78.11 VPR = VRMS x 0.11 = 55.9 Resumiendo en una tabla Valores dados Para encontrar los valores Máximo (pico) RMS Promedio Máximo (pico) 0.636 x Valor Pico RMS 1.La relación que existe entre los valores RMS y promedio VRMS = VPR x 1. Impedancias complejas Supongamos que tenemos el caso que se muestra en la figura 3. Si el elemento en bornes de la fuente de CA es una resistencia. aunque en este caso la corriente se encuentra “retrasada” con respecto al voltaje: . se cumple la ley de Ohm: v = RI )Vpeiwt = RIpeiwt es decir que la resistencia no desfasa a la corriente de la tensi ´on (tienen la misma fase): Vpcoswt = RIpcoswt)F = 0 Definimos la impedancia asociada a la resistencia como: ZR = vI = R si el elemento en bornes de la fuente de CA es una inductancia L (figura 3). tenemos que: Nuevamente el desfasaje entre la corriente y el potencial es de p 2 . de impedancia Z.Definimos la impedancia asociada a la inductancia como: ZL = vI = iwL En general. si: v(t) =Vpcos(wt) = Re(Vpei(wt))) I = VZ . lo que implica: Ejemplo 1: Circuito RLC serie Para mostrar el uso de las t´ecnicas explicadas previamente. se cumple que. en serie con una inductancia L y un capacitor C. de frecuencia w y valor . si el elemento en bornes de la fuente de CA en realidad es una combinación de resistencias. capacitores e inductancias. analizaremos un circuito compuesto por una resistencia R. en presencia de una fuente sinusoidal.