Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª EdiçãoProf. Dr. Cláudio S. Sartori Questões Q9.1 Quando uma fíta de vídeo ou de áudio é rebobinada, por que a velocidade com que ela se desenrola é mais rápida no final do rebobinamento? Q9.2 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo deve ser perfeitamente rígido para que todos os pontos do corpo girem com a mesma velocidade angular e com a mesma aceleração angular? Explique. 1 Q9.3 Qual é a diferença entre a aceleração tangencial e a aceleração radial de um ponto em um corpo que gira? Q9.4 Na Figura 9.11, todos os pontos da corrente possuem a mesma velocidade escalar linear v. O módulo da aceleração linear a também é o mesmo para todos os pontos ao longo da corrente? Qual é a relação existente entre a aceleração angular das duas rodas dentadas? Explique. Q9.5 Na Figura 9.11, qual é a relação entre a aceleração radial de um ponto sobre o dente de uma das rodas e a aceleração radial de um ponto sobre o dente da outra roda dentada? Explique o raciocínio que você usou para responder a essa pergunta. Q9.6 Um volante gira com velocidade angular constante. Um ponto de sua periferia possui aceleração tangencial? Possui aceleração radial? Essas acelerações possuem um módulo constante? Possuem direção constante? Explique o raciocínio usado em cada caso. Q9.7 Qual é o objetivo do ciclo de rotação da máquina de lavar roupa? Explique em termos dos componentes da aceleração. Q9.8 Embora a velocidade angular e a aceleração angular possam ser tratadas como vetores, o deslocamento angular θ, apesar de possuir módulo e sentido, não é considerado um vetor. Isso porque o ângulo θ1 não segue as regras da lei comutativa da adição vetorial (Equação (l .4)). Prove essa afirmação do seguinte modo. Coloque um dicionário apoiado horizontalmente sobre a mesa à sua frente, com a parte superior voltada para você de modo que você possa ler o título do dicionário. Gire a aresta mais afastada de você a 90° em torno de um eixo horizontal. Chame esse deslocamento angular de 0p A seguir gire a aresta esquerda 90° se aproximando de você em torno de um eixo vertical. Chame esse deslocamento angular de θ1. A lombada do dicionário deve ficar de frente para você, c você poderá ler as palavras impressas na lombada. Agora repita as duas rotações de 90°, porém em ordem inversa. Você obtém o mesmo resultado ou não? Ou seja, θ2 + θ1 é igual a θ2 + θ1,? Agora repita a experiência porém com um ângulo de l ° cm vez de 90°. Você acha que um deslocamento infinitesimal dê obedece à lei comutativa da adição e, portanto, o qualifica como um vetor? Caso sua resposta seja afirmativa, como você relaciona a direção e o sentido de dê com a direção e o sentido de tu? Q9.9 Você consegue imaginar um corpo que possua o mesmo momento de inércia para todos os eixos possíveis? Em caso afirmativo, forneça um exemplo e, se sua resposta for negativa. explique por que isso seria impossível. Você pode imaginar um corpo que possua o mesmo momento de inércia em relação a todos os eixos passando em um ponto específico? Caso isso seja possível, forneça um exemplo e diga onde o ponto deve estar localizado. Q9.10 Para maximizar o momento de inércia de um volante e minimizar seu peso, qual deve ser sua forma e como sua massa deve ser distribuída? Explique. Q9.11 Como você poderia determinar experimentalmente o momento de inércia de um corpo de forma irregular em relação a um dado eixo? Q9.12 Um corpo cilíndrico possui massa M e raio R. Pode sua massa ser distribuída ao longo do corpo de tal modo que seu momento de inércia em relação ao seu eixo de simetria seja maior do que AW2? Explique. Q9.13 Explique como a parte (b) da Tabela 9.2 poderia se usada para deduzir o resultado indicado na parte (d). Q9.14 O momento de inércia I de um corpo rígido em relação a um eixo que passa em seu centro de massa é Icm. Existe algum eixo paralelo a esse eixo para o qual I seja menor do que Icm? Explique. Q9.15 Para que as relações de / fornecidas nas partes (a) e (b) da Tabela 9.2 sejam válidas, é necessário que a barra tenha uma seção rota circular? Existe alguma restrição sobre a área da seção reta para que essas relações sejam válidas? Explique. Q9.16 Na parte (d) da Tabela 9.2, a espessura da placa deve ser menor que a para que a expressão de I possa ser aplicada. Porém, na parte (c), a expressão se aplica para qualquer espessura da placa. Explique. Q9.17 Na Figura 5.26a use as expressões 1 1 K m v2 e K I 2 para calcular a energia 2 2 cinética da caixa (considerando-a uma partícula única). Compare os dois resultados obtidos. Explique esses resultados. Q9.18 A Equação (9.18) mostra que devemos usar ycm para calcular U de um corpo com uma distribuição de massas contínua. Porém no Exemplo 9.9 (Seção 9.5). y não foi medido em relação ao centro de massa mas, sim, a partir do ponto inferior da massa pendurada. Isso está errado? Explique. Q9.19 Qualquer unidade de ângulo — radiano, grau ou revolução — pode ser usada em alguma equação do Capítulo 9, porém somente ângulos em radianos podem ser usados em outras. Identifique as equações para as quais o uso do ângulo em radianos é obrigatório e aquelas para as quais você pode usar qualquer unidade de ângulo, e diga o raciocínio que foi usado por você em cada caso. 9 Um ventilador elétrico é desligado.0 s e 5.00 s para girar através de um não é igual a média das velocidades angulares para t = 0 até t ângulo de 162 rad. durante quantos segundos a tempo. 0.800 rad/s2.12 Um volante leva 4. Explique por que seu resultado não é igual à velocidade t = 2.11) para eliminar t.00 rad. compreendido entre esses dois raios? (b) Em que instante a velocidade angular instantânea da roda não está variando? 9.8 A roda de uma bicicleta possui uma velocidade (a) Calcule a aceleração angular instantânea para t = angular de 1.3 segundos a hélice leva para girar a 35°? ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE 9. 3.200 m começa a girar a partir do repouso. Calcule (a) a velocidade angular no início desse intervalo de 9.4 As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular diminui uniformemente de 500 rev/min até 200 rev/min em 4. Dr.2 A hélice de um avião gira a 1900 rev/min. corrente contínua (de) é invertida. Qual é a aceleração deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de angularem rad/s²? SEÇÃO 9.7 O ângulo descrito por uma roda de bicicleta graus? (b) Um arco de comprimento igual a 14. Cláudio S.700 rad o ângulo constante reais são constantes positivas tais que se t for dado entre dois raios de um círculo de raio igual a 1.1 (a) Calcule o ângulo em radianos subtendido por de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).0 cm subtende girando é dado por t a b t 2 c t 3 onde a.5 s.0 rad/s quando ela sofre um 9. embora 3.13 A roda de uma olaria gira com aceleração t 250 rad s t 20 rad s 2 t 2 1.0 rad/s? (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial? (b) Qual o número de revoluções descritas pela (c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea rotação da lâmina nesse intervalo de tempo? para t = 5. Depois de 4. Explique porque seu resultado é igual à aceleração (a) Se sua aceleração angular é constante e igual a angular média para o intervalo entre 2.2 VELOCIDADE ANGULAR ACELERAÇÃO ANGULAR 2 acordo com a relação t t t 3 .12) combinando a tempo t = 0 até t = 3.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky.00 s motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o ela se acelera com velocidade angular constante ate uma 2 . onde = (a) Ache a aceleração angular em rev/s²e o número de revoluções feitas no intervalo de 4.14 A lâmina de uma serra circular de diâmetro (c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do igual a 0.0 s e 5. por que são Equação (9. Qual é o raio da circunferência desse círculo? (c) E de 0. (a) Calcule a velocidade angular do carrossel em (a) Partindo do repouso.0 rad. produzindo um (b) a aceleração angular constante. angular constante igual a 2.3 Considere o volante dos Exemplos 9.6 Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de 4.2 (Seção 9.00 s. 9. qual é sua velocidade angular para t = 2.00 s. onde = 0.00 s.50 m.50 rad s 3 t 3 . 9. (a) Calcule a aceleração angular da roda em função comprimento do arco sobre a circunferência desse círculo do tempo.50 s? angular média para o intervalo entre 2. quando a corrente foi invertida? (e) Calcule a velocidade angular média no intervalo 9.00 rad/s e = 0. aceleração angular constante igual a 1.50 rad/s². 5.25 rad/s². Qual era a motor se anula? velocidade angular da roda no início do intervalo de 4.00 s? (b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular do eixo do motor é igual a zero.00 s.00 s e explique a razão dessa diferença. (b) Quantos SEÇÃO 9. Como essas duas grandezas podem ser comparadas? Caso elas sejam diferentes.0 s. e sua 9.5 s corresponda ao valor médio desse intervalo de tempo. 10ª Edição Prof. 2 velocidade angular dada por t t .300 rad/s².0 rad/s até 16. Young & Freedman – Física I – Editora Pearson.2). O deslocamento angular de 7. Qual é o em segundos.00 s.5 Uma criança está empurrando um carrossel.50 m.7) com a Equação (9. Qual é esse ângulo em 9. b e c são um ângulo de 128° em um círculo.400 9.1 e 9. (b) Supondo que a aceleração angular calculada no (a) Calcule a aceleração angular em função do item (a) permaneça constante. deslocamento angular do eixo do motor dado por 9. Mostre que med 9. (b) A velocidade angular da hélice de um avião diferentes? cresce de 12.00 s e a aceleração angular média αmed para o intervalo de 9.50 m de comprimento ao longo de uma circunferência de raio igual a 2. atingir uma velocidade angular de 36. Em 6.00 s.11 A lâmina rotatória de um misturador gira com rad/s e = 0.50 rad/s. θ deve ser medido em radianos. um arco de 1. quanto tempo ela leva para função do tempo. 9.5 s.10 (a) Deduza a Equação (9.50 s? (b) Calcule a velocidade angular instantânea para t = (b) Qual foi o deslocamento angular da roda entre t = 3. Final é igual a 108 rad/s. (b) Calcule a aceleração angular instantânea a para t mais a roda continuará a girar até parar? = 3. Sua velocidade angular nesse instante = 5.0120 rad/s . Sartori momento em que a velocidade angular se anulou? (d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor para t = 0. o (a) Em que instante a velocidade angular do eixo do ângulo descrito pela roda era de 60. (a) Calcule a velocidade angular da hélice em rad/s.0 s.00 s e a velocidade angular média med para o intervalo de tempo de t = 0 até t = 5. como positivo o sentido da rotação do disco. 9.0 rev/min. Dr.0 de máxima duração durante o tempo de 74. a trilha é exposição no intervalo de tempo para cinco flashes (para t = percorrida com uma velocidade linear constante de 1. uma engrenagem gira em tomo de 0. Durante o intervalo precedente de aceleração radial e da aceleração resultante de um ponto da 8.0 s ela girou através de um ângulo de 40. completando 1.0 min.22 Calcule a velocidade angular necessária (em (b) Em que instante ela parou? (c) Qual foi o módulo da sua aceleração quando ela rev/min) de uma ultracentrífuga para que a aceleração radial de um ponto a 2.200 s.00 rad/s.300 m parte do com aceleração angular constante que forneça θ – θ0 em repouso e se acelera com aceleração angular constante de função de de α e de t (não use 0 na equação).00 s. Calcule a aceleração angular e o deslocamento angular total da lâmina. (b) Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule constante. Calcule a necessárias para fazer a lâmina parar a partir de uma velocidade escalar da extremidade da lâmina através do ar se (a) o helicóptero está em repouso no solo: velocidade angular 2 sendo 2 = 3 1 ? (b) o helicóptero está subindo verticalmente a 4.25 m/s.0 mm e o raio externo é igual a 58.23 Um volante de raio igual a 0.15 Um dispositivo de segurança faz a lâmina de uma serra mecânica reduzir sua velocidade angular de um 9. 2 (a) Qual foi o deslocamento angular total da roda sua aceleração radial pela fórmula arad = v /r. (b) Quantas revoluções foram feitas pela lâmina durante esse intervalo de tempo? (c) Qual é a velocidade tangencial de um ponto na extremidade da lâmina para t = 0.0 rad. periferia de uma roda. da um eixo fixo a 4.600 rad/s . (a) Qual é a velocidade angular do CD quando a 0: 0.18 (a) Deduza uma expressão para um movimento 9.250 rev/s.0 min? Considere rev/s². (a) Calcule a aceleração radial de um ponto a 0. 3 SEÇÃO 9.200 s? 9.16 Uma fita refletora estreita se estende do centro à m/s.19 O rotor principal de um helicóptero gira em um valor 1 ao repouso.0 rev/s².21 Uma roda gira com velocidade angular velocidade angular igual a 24.0 rev/s para t = 0 e varia trilha reta? (c) Qual é a aceleração angular máxima para esse CD sua velocidade angular com uma taxa constante de -50.0°.00 m.050 s.200 s.150 s: e 0. (b) A roda parte do repouso com uma aceleração um CD é igual a 74. Cláudio S.4 RELAÇÕES ENTRE A CINEMÁTICA ANGULAR LINEAR CINEMÁTICA E A 9.750 m está girando em torno de um eixo fixo com uma velocidade angular inicial igual a 0. quantas revoluções seriam rotor e a extremidade da lâmina é igual a 5. 9. (c) depois de ele ter girado um ângulo de 120. a seguir. A aceleração angular é igual a 0.0 rad/s' quando um constante de 6.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky. usando a relação arad = r. Qual seria o comprimento total da trilha desse CD caso a espiral tosse esticada para formar uma angular de 25.0 pane mais externa está sendo percorrida? (b) O tempo máximo para a reprodução do som de rev/s.200 s? (d) Qual é o módulo da aceleração resultante de um ponto na extremidade da lâmina para t = 0. Para as situações descritas espiral é igual a 25. A partir desse instante ela gira 2 432 rad à medida que pára com uma aceleração angular m do eixo. Ela possui uma aceleração angular constante igual a 30. Calcule o módulo da aceleração tangencial. diminuía de velocidade? 400000 vezes maior do que a aceleração da gravidade).25 Uma propaganda afirma que uma centrífuga .00 revolução.0 mm.0 rad/s.00 9. Use o periferia do volante (a) no início: resultado da parte (a) para calcular a aceleração angular (b) depois de ele ter girado um ângulo de 60. 10ª Edição Prof.0 s. Você escurece a sala e usa uma câmara 9.50 rad/s.17 Para t = 0.50 cm do eixo seja igual a 400000g (isto é. (c) A roda está girando a 10.100 s: 0. Sartori velocidade angular igual a 140 rad/s. Você dispara o com profundidade de 10 m. (a) A velocidade angular é constante e igual a 10. 0. o raio interno da deslocamento angular igual a zero. constante da engrenagem. (c) Qual era a velocidade angular da engrenagem para t = 0? 9. (a) Calcule a velocidade angular depois de 0. a roda de um esmeril possui 9. desde t = 0 até o instante em que ela parou? 9.050 s para fotografar a roda enquanto ela gira em um configuração codificada constituída por pequenas reentrâncias sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.200 s): faça um gráfico de θ parte mais interna da trilha esta sendo percorrida? E quando a contra t e de a contra t desde t = 0 até t = 0.0°. A distância entre o eixo do mesma aceleração constante. 2 (b) Para t = 8. Young & Freedman – Física I – Editora Pearson. faça um desenho da foto que você obterá para a À medida que o disco gira em um CD player.500 freio é acionado em t = 2.20 Um CD armazena músicas em uma e uma unidade estroboscópica que emite um flash a cada 0. Com essa plano horizontal a 90.900 rev/s2. Essas reentrâncias são agrupadas estroboscópio de tal modo que o primeiro flash (t = 0) ocorre ao longo de uma trilha em forma de espiral orientada de quando a fita está na horizontal voltada para a direita com dentro para fora até a periferia do disco.24 Um ventilador de teto cujas lâminas possuem diâmetro de 0. a) O momento de inércia ficará multiplicado por qual fator? b) Sabendo que um modelo feito com uma escala de -w possui uma energia cinética relacional de 2. estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado igual a 0.127 m para produzir uma aceleração radial de 3000 para 5000 rev/min. Use as fórmulas da Tabela 9. (a) Em relação a um eixo perpendicular à barra e 9. (b) Calcule as velocidades angulares para t = 3.300 cm de diâmetro. 9. 9. centro da barra. Dr. Calcule o raio necessário dessa centrífuga.33.7 mm girando com uma velocidade usual de rotação (perpendicular à batuta e passando pelo seu centro). Cada extremidade buraco com diâmetro igual a 12. (c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda massas puntiformes com massa de 0.7 mm na madeira.21).0420 kg. Young & Freedman – Física I – Editora Pearson. Qual é a velocidade angular barra leve. (b) Você está projetando um carrossel para o qual um sistema em relação a um eixo perpendicular à barra passando ponto da periferia possui uma aceleração radial igual a 0.34 Fator de Escala de /. qual será a energia cinética do objeto sem nenhuma redução de escala feito com o mesmo material e girando com a mesma velocidade angular? . em função de g a velocidade tangencial máxima da roupa e a aceleração radial máxima.400 m e entre t = 0 e t = 3.470 m.29 Os ciclos de rotação de uma máquina de lavar centro (um eixo passando pelo ponto O na figura).2.200 m possui uma velocidade tangencial passando pelo seu centro. radial.5 J.0 m/s quando a roda está freando com uma aceleração tangencial constante com módulo igual a 10. e a força esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e através do ponto O. o manual do fabricante recomenda uma ser tratada com precisão como uma partícula neste problema. Ao furar um metálico de massa M e comprimento L.26 (a) Deduza uma equação para a aceleração estão presos às extremidades e ao centro de uma barra leve de comprimento igual a L.28 Para t = 3. rev/min. (a) Calcule a aceleração angular constante da roda.200 kg da roupa quando a velocidade angular é máxima e quando a velocidade angular é mínima? (c) Calcule.5 ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 9. necessária para se atingir esses valores? 9. 10ª Edição Prof. sua massa e seu volume ficam multiplicados por / .00 s? (d) Em qual instante a aceleração radial toma-se conectadas por hastes leves (Figura 9. 1. todos com a mesma massa m.32 Calcule o momento de inércia em relação a cada broca.0 passando em uma de suas extremidades. (b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado possuem duas velocidades angulares. Quando multiplicamos todas as dimensões de um objeto por um fator de escala/. (b) Em relação a um eixo perpendicular à barra e igual a 50.50 m de comprimento e massa igual a 0.00 s e 9. todas consideradas t = 0.500 em um ponto situado a ¼ do comprimento a partir de uma das m/s2 quando a velocidade tangencial desse ponto possui extremidades da barra. constante igual a 1250 rev/min. A B O Figura 9. Para uma broca Calcule o momento de inércia da batuta em relação ao eixo com um diâmetro de 12.31 Uma batuta consiste em um fino cilindro 9. Calcule o momento de inércia do radial que inclua v e mas não inclua r. 423 rev/min e 640 (um eixo ao longo da linha AB indicada na figura).00 s.00 m/s. Sartori precisa somente de 0. A afirmação da propaganda é viável? 4 SEÇÃO 9. velocidade de operação igual a 1250 rev/min. no plástico possui uma tampa de borracha de massa m e cada tampa pode ou no alumínio.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky. Cláudio S.27 Um problema de furadeira. Despreze o momento de inércia da módulo igual a 2. calcule (a) a velocidade linear máxima de qualquer ponto da 9. quando a velocidade angular é máxima.400 m 0.200 kg. (c) Em relação a um eixo longitudinal passando pelo m/s2.33 Quatro pequenas esferas. (c) passando pelo centro da esfera superior da (a) Qual é a razão entre a força radial máxima sobre a roupa.21 – Exercício 9. (b) a aceleração radial máxima de qualquer ponto da um dos seguintes eixos para um eixo de 0. O diâmetro interno do tambor é igual a 0.30 Pequenos blocos. broca. Calcule o momento de inércia do sistema em relação a um eixo igual a g? (a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu 9. um ponto na periferia de uma roda com raio de 0. quando a velocidade angular é mínima? (b) Qual é a razão da velocidade tangencial máxima 0. 10ª Edição Prof. Sartori 9. 9. Qual é o momento de inércia da roda em relação a um eixo perpendicular ao plano da roda e passando pelo seu centro? (Use as fórmulas indicadas na Tabela 9. (a) Qual é sua energia cinética rotacional? Considere a hélice como uma barra delgada.0060 s? 1 9. uma energia cinética igual a 500 J quando sua velocidade angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min.43 Taxa de perda da energia cinética.22.00 kg está presa ao teto de um ginásio e a 2 equivalentes às unidades de joule. 9.0 N.0 rev/min. para determinar seu momento de inércia em relação a um qual é o valor de P? eixo perpendicular ao plano da placa passando por um dos seus vértices.37 (a) Mostre que as unidades de raio R = 1.41 Desejamos armazenar energia em um volante de 70. a aceleração radial máxima de um ponto na sua periferia é igual a 3500 m/s².9? Explique sua resposta usando conceitos de energia.0 kg. cilindro está inicialmente em repouso. que gira sem atrito em 9. Para impedir danos estruturais. 9. (b) Supondo que ela não gire. Qual é o trabalho realizado por um lutador para elevar o centro de massa de seu oponente de 120 kg até uma distância vertical igual a 0. (b) Geralmente w é expresso em rev/min em vez de rad/s.49 Uma placa metálica fina de massa M tem forma de 5.08 m (de uma extremidade a outra). de modo que dT/dt > 0. O raio da roda é igual a 0.44 Uma corda uniforme de 10.) 5 FIGURA 9. Qual é a energia cinética do volante quando o período de rotação é igual a 1.0 kg que possui forma de um disco maciço uniforme com 9. Qual é o momento de inércia do prato do fonógrafo em relação ao eixo de rotação? outra extremidade está quase tocando o solo.5 s e quando ele varia com uma taxa dT/dt = 0. possuem comprimento de 0. Cláudio S. A hélice está girando a 2400 rev/min em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Qual é o 9. 9. O são coerentes. a energia cinética será expressa em joules.5 s? (d).0250 J quando gira com 45.40 kg. Qual é a taxa de variação da energia cinética do volante na parte (c) quando o período de rotação é igual a 1. Explique por que a unidade "rad" não precisa ser incluída nessas unidades. Um corpo rígido com momento de inércia I gira uma vez a cada T segundos. (c) Um volante grande possui I = 8. m2 e for expresso em rev/min.47 Em relação à qual eixo uma esfera uniforme de momento de inércia necessário'? madeira leve possui o mesmo momento de inércia de uma casca cilíndrica de chumbo de mesma massa e raio em 9.9 (Seção 9. e nesse ponto a extremidade da corda se move a retangular com lados a e b.42 Suponha que o cilindro maciço do dispositivo descrito no Exemplo 9. (a) Expresse a energia cinética da rotação do corpo em termos de I e de T.2.39 Um volante de motor a gasolina deve fornecer perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.20 m.00 m.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky.38 O prato de discos de um fonógrafo antigo possui energia cinética igual a 0. Qual é a energia cinética máxima que pode ser armazenada no volante? 9. Qual é a variação da energia potencial gravitacional se a corda terminar esticada sobre o solo (sem espiras)? 9.6 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 9.280 kg.45 Centro de massa de um objeto com massa distribuída. distribuídos ao longo de diâmetros.m². Young & Freedman – Física I – Editora Pearson.700 m? SEÇÃO 9. maior ou menor do que a resposta do Exemplo 9. Use o teorema dos eixos paralelos 6. Dr.40 Uma corda leve e flexível é enrolada diversas relação a um diâmetro? vezes em tomo da periferia de uma casca cilíndrica com raio de 0. de que altura ela deveria ser largada em queda livre para que adquirisse a mesma energia cinética? 9.0 m de comprimento I 2 são e massa igual a 3. A velocidade de rotação está diminuindo. de T e de dT/dt.5) seja substituído por uma casca cilíndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa M. O cilindro é ligado ao eixo que os momentos de inércia das partes (a) e (b) da Tabela 9. (b) Expresse a taxa de variação da energia cinética da rotação do corpo em termos de I.48 Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar tomo de um eixo horizontal fixo. O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis.300 m e o aro possui massa igual a 1. Sabendo que a corda não desliza sobre o cilindro. Escreva uma expressão para a energia cinética rotacional de forma que se / for expresso em kg .35.35 Uma roda de carroça é feita como indicado na Figura 9.50 (a) Para a placa retangular fina indicada na pane .36 Uma hélice de avião possui massa de 117 kg e comprimento igual a 2.25 m e massa igual a 40. (b) A resposta encontrada no item (a) é igual. A extremidade livre da corda é puxada com uma força constante P até uma distância 9. (a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no instante em que ela atinge o solo.00 m/s.2 por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis.22 Exercício 9. Cada um dos seus oito raios.46 Calcule o momento de inércia de um aro (um anel fino) de raio R e massa M em relação a um eixo 9.300 m e massa igual a 0. *9. onde x = O.20) para calcular o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade esquerda. Sartori (d) da Tabela 9. Dr.20) para calcular o momento de inércia de um disco maciço. *SEÇÁO 9. onde é constante com unidades de kg/m².12 (Seção 9.7 CÁLCULOS DE MOMENTO DE INÉRCIA 6 *9. 10ª Edição Prof. Young & Freedman – Física I – Editora Pearson. (a) Calcule a massa total da barra em termos de e de L.54 Uma barra delgada de comprimento L possui massa por unidade de comprimento variando a partir da extremidade esquerda. *9. (b) Use a Equação (9. .Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky. de acordo com dm/dx = x. (c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo passando pela extremidade direita da barra. (b) Ache o momento de inércia da placa em relação a um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a). Como seu resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)? Explique esse resultado. Compare seu resultado com o encontrado no Exemplo 9. ache o momento de inércia da barra delgada de massa M e comprimento L indicado na Figura 9. ache o momento de inércia em relação a um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu centro e paralelo ao eixo indicado na figura. Como seu resultado se compara com o obtido para uma barra delgada uniforme? Explique essa comparação.53 Use a Equação (9. Use a relação encontrada na parte (a) para obter a expressão de / em termos de M e de L. Cláudio S. *9.20) para calcular o momento de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade. de raio R e massa M em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo seu centro.2.2. uniforme.18 em relação a um eixo passando pelo ponto O situado a uma distância arbitrária h de uma de suas extremidades.52 Use a Equação (9.51 Usando o teorema dos eixos paralelos e informações da Tabela 9.7). quando um objeto parte do repouso e nesse instante e a aceleração resultante e entre a velocidade e a gira em torno de um eixo fixo com aceleração angular força resultante? constante.80 rad/s angular se anula? e = 0. com (b) Calcule a aceleração angular do rolo em função do massa igual a 40. A velocidade de girar.45 cm com uma piso. o vetor velocidade e os componentes do vetor aceleração 6. real de comprimento igual a 3.9° com a direção volante fornece toda a energia necessária para a rápida operação de perfuração. Uma serra circular de diâmetro igual a 0. (b) Qual é o segundo instante em que t = 0? (a) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular (c) Nos instantes descritos nas partes (a) e (b).00 s depois de o carro iniciar o movimento. a aceleração radial de um ponto do objeto é 9.62 Um bolinho de carne deteriorada de um bar. que por sua vez está ligada a um outro eixo que empurra escala é a velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de a sujeira para fora do tapete que está sendo lavado a vácuo.} 9.0 g. O arranjo envolvendo a correia.00 = 3.59 Quando um carrinho de brinquedo é atritado contra o enrolada ligando um eixo de raio igual a 0. arad v arad r (e) Qual é o módulo da aceleração resultante e da força resultante sobre o carro nesse instante? (Veja o Exercício 9. o massa igual a 0. Ela está em repouso para t = 0. (a) Qual é a velocidade de um ponto sobre a correia? (a) Para uma velocidade de escala de 700 km/h.55 Faça um desenho de uma roda situada no plano do papel e girando no sentido anti-horário. momento de inércia igual a 16. o carro. qual foi a energia cinética segunda polia com metade do diâmetro através de uma correia inicialmente acumulada no volante? V. qual é o em função do tempo. Considere o carro como uma partícula.0 cm. (c) Qual é a velocidade angular positiva máxima. Uma propaganda alega que a velocidade de motor faz o eixo girar com 60. O bolinho é puxado horizontalmente até formar um ângulo de 36. A velocidade do pedaço de madeira é igual à velocidade tangencial na periferia da lâmina.63 A correia de uma máquina de lavar a vácuo é 9.0 kg.56 (a) Prove que. (a) Qual deve ser o módulo. 9. 2 3 t t t (b) Qual deve ser a potência (em watts) fornecida ao 2 3 volante para que ele retorne para sua velocidade inicial em 5. Veja a Seção 2. O (b) Qual foi o deslocamento angular total do objeto quando a aceleração resultante fez um ângulo de 36.20 rad/s e = 0.208 m está (c) Qual será a velocidade angular inicial necessária para montada sobre o mesmo eixo da segunda polia. ele acumula energia em um volante.57 O rolo de uma impressora gira um ângulo: operação de perfuração que necessita de 4000 J de trabalho.60 Um automóvel clássico Chevrolet Corvette 1957 com 1240 kg parte do repouso e acelera com aceleração tangencial constante igual a 3. que o volante tenha a quantidade de energia cinética acumulada (a) O operador não é cuidadoso. escala dado pela razão entre o comprimento de um carro real e Suponha que a correia não deslize nem sobre o eixo nem sobre o comprimento do carrinho de brinquedo. e para de 2. 10ª Edição Prof. e a lâmina lança para trás no item (b)? um pequeno pedaço de madeira.61 O volante de uma prensa de perfuração possui diretamente proporcional ao seu deslocamento angular.0 m.26. está preso à extremidade livre de um fio tempo. Dr.33 m gira 2 velocidade angular do bolinho na primeira vez que a aceleração com aceleração angular t t . (a) Qual é sua aceleração angular? (b) Qual é sua velocidade angular 6. (a) Qual é a direção e o sentido do vetor ? que a velocidade desse ponto é dada por Mostre (b) v r . (c) Mostre que a aceleração radial desse ponto é dada por 7 . Considere um carro a roda. onde = 1.180 kg.9° com a vertical e a seguir é qual valor de t isso ocorre? libertado. a direção e o sentido da *9.00 m/s2 em uma pista de teste circular com raio de 60. O carrinho possui roda de raio igual a 2. O igual a 15.7.00 cm. s? (a) Calcule a velocidade angular do rolo em função do tempo. e seu volante possui momento de eixo e a roda é semelhante ao descrito na Figura 9. {Sugestão: comprimento do fio.11 inércia igual a 4. Sartori PROBLEMAS 9. a direção e o sentido da aceleração radial do bolinho? (b) Calcule a velocidade angular positiva máxima e o (d) Mostre que a resposta da parte (c) não depende do deslocamento angular positivo máximo da roda. qual deve (b) Qual é a velocidade angular da roda em rad/s? ser a velocidade de translação efetiva do carrinho? (b) Supondo que toda a energia cinética inicialmente 9.10kg. O carrinho possui comprimento envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bicicleta.50 m preso ao teto. Escolha um ponto sobre a circunferência e desenhe um vetor r ligando o centro com esse ponto.) (f) Qual é o ângulo formado entre a velocidade do carro 9.00.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky. Young & Freedman – Física I – Editora Pearson. Cláudio S. radial inicial? (a) Calcule a velocidade em rev/min para a qual a velocidade do volante se reduz devido a uma repentina 9.0 m.m2.00 s depois do início? (c) Qual é sua aceleração radial nesse instante? (d) Faça um esboço de uma vista de topo mostrando a pista circular.25 rad/s³.58 Uma roda de bicicleta com raio igual a 0. Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma de translação do carrinho. módulo.500 rad/s .0 rev/s e a correia faz a roda escala do carrinho pode atingir 700 km/h. 9. M2 e gira a 300 rev/min.64 O motor de uma serra de mesa gira com 3450 acumulada no volante possa ser convertida em energia cinética rev/min. Explique. O cilindro gira sem atrito em esfera? Explique.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky. 9. 2R tomo de um eixo horizontal ao longo do seu eixo. ligando o pólo norte ao pólo sul. 9.24 .0 rad.0 J para 45. O tempo para a Terra completar um giro é igual a 86164 s. (b) A aceleração radial de um ponto sobre a roda situado a uma distância de 0.18). ache a momento de inércia da roda em relação ao eixo vezes a velocidade angular quando o pequeno objeto estiver aceleração angular e vezes o deslocamento angular. O cilindro começa a girar com velocidade angular . está apoiado sobre um eixo horizontal passando em seu centro.66 Os três objetos uniformes indicados na Figura 9. {Sugestão: Use a Equação (9.00 m a partir do (b) Qual dos objetos possui o maior momento de inércia? repouso.71. Se o disco for libertado do repouso com o pequeno durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do objeto situado na extremidade de um raio horizontal. ao eixo.23 Enquanto ela oscila passando pela vertical. Despreze a espessura da corda.0 m/s2 a 85. Depois de uma 2R revolução. Calcule a velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da extremidade inferior da corda nesse instante.250 m do eixo varia de 25.71 A polia indicada na Figura 9. a corda se desenrolou e nesse instante ela está pendurada verticalmente tangente ao cilindro.160 kg 20. possui da lâmina para entender por que o pó da madeira serrada não momento de inércia igual a 0. A régua é mantida em uma posição horizontal e a seguir é libertada. a energia cinética da roda cresce de 9. que não é uma esfera uniforme. perto do seu centro. . O objeto A é um cilindro maciço (a) a variação da energia potencial gravitacional de raio R. Sartori 8 Qual é essa velocidade? (b) Calcule a aceleração radial nos pontos sobre a periferia 9.23 – Problema 9. de cada objeto é perpendicular à respectiva base e passa pelo (c) a velocidade linear na extremidade da régua oposta centro de massa do objeto. Young & Freedman – Física I – Editora Pearson. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco A e o topo da mesa é C. calcule possuem a mesma massa m. (d) Durante o deslocamento angular de 15.0 9. O bloco A possui massa mA e o bloco B possui massa mB. 10ª Edição Prof. Um pequeno objeto de massa w está colado na periferia do (c) Mostre que a variação da energia cinética da roda disco. Use o Apêndice F para 9. e o bloco B começa a descer. é um cubo maciço cuja aresta é igual a 2R.65 Uma roda varia sua velocidade angular com uma calcular aceleração angular constante enquanto gira em tomo de um (a) a energia cinética da Terra oriunda do movimento eixo fixo passando em seu centro.68 Um disco maciço uniforme de massa m e raio R m/s2 para um deslocamento angular da roda igual a 15. FIGURA 9.3308MR2 em relação a um eixo fica grudado em seus dentes. de um objeto caindo de uma altura de 1. verticalmente embaixo do eixo.0 J.0 rad mencionado na parte (b).} A B 2R C Figura 9. A corda não desliza sobre a polia e esta gira em um eixo sem atrito. O objeto B é uma casca cilíndrica de raio R objeto C ocorrida. é igual ao dobro do produto da aceleração angular vezes o (c) Explique como o valor do momento de inércia da deslocamento angular e vezes a distância perpendicular do Terra nos informa que a massa da Terra está mais concentrada ponto ao eixo. Qual é o momento de inércia da roda em possui um pivô em uma de suas extremidades de modo que ela relação ao eixo de rotação? pode girar sem atrito em tomo de um eixo horizontal.70 Exatamente uma volta de uma corda flexível de de inércia de uma esfera maciça uniforme de massa m e raio R massa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme em relação a um eixo de rotação ao longo de um diâmetro da maciço de massa M e raio R. (c) Como você compara esses resultados com o momento 9.24 possui raio R e momento de inércia I.Problema 9. Cláudio S.67 A Terra.66.69 Uma régua de um metro e massa igual a 0. (a) Qual dos objetos possui o menor momento de inércia? (d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade Explique. Use métodos de conservação da energia para calcular a velocidade do bloco B em função da distância d que ele desceu. Uma das extremidades da corda está presa ao cilindro. Dr. O sistema é libertado a partir do repouso. O eixo de rotação (b) a velocidade angular da régua. Calcule a aceleração tangencial desse ponto. de rotação em tomo desse eixo e (a) Mostre que a variação do módulo da aceleração radial (b) a energia cinética da Terra oriunda do movimento de um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo orbital da Terra em tomo do Sol. 80 Uma haste uniforme fina é dobrada em forma de (c) Repita o cálculo da parte (b). teorema dos eixos paralelos. (a) Qual é o momento de inércia dos dois discos? (b) Um fio fino é enrolado na periferia do disco menor.80 kg e o outro com raio R2 = 5. Essa relação é o teorema dos eixos perpendiculares.75 Dois discos metálicos. um com raio R1 = 2.72 A polia indicada na Figura 9.60 kg.00 m acima do solo. Note que o ponto O não precisa ser o centro de massa.5).78 Um pêndulo é constituído por uma esfera uniforme maciça com massa M e raio R suspensa pela extremidade de uma haste leve.50 kg é suspenso pela extremidade livre do fio. com coordenadas (xi. são soldados juntos e montados em um eixo sem atrito passando pelo centro comum (Figura 9.1 % maior do que ML2.2.160 atingiria quando ela retomasse verticalmente para cima depois m e momento de inércia 0. e raio externo R2 use o teorema dos eixos perpendiculares para achar o momento de inércia em relação a um eixo situado no plano da arruela e que passa através de seu centro.480 kg.Problema 9. b) Sua resposta é .) 9. Você pode usar as informações da Tabela 9.00 cm e massa M2 = 1. Sartori 9 9. (a) Calcule o momento de inércia do disco com o buraco em de inércia do disco que foi retirado do disco maciço. por que a resposta energia para calcular a velocidade do bloco de 4.80 m. o momento de inércia em relação ao eixo Ox.25 . ache o casos a velocidade do bloco é maior? Explique por que isso momento de inércia em relação a um eixo situado no plano do quadrado e que passa através de seu centro. (b) Para uma arruela fina de massa M.74 Um ônibus de passageiro em Zurique. (a) Considerando elementos de massa mi.25 possui raio 0. (c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o momento de inércia de uma placa fina quadrada de massa M e lado L em relação a qualquer eixo situado no plano da placa e que passa através de seu centro é igual a ML2/12. Em qual dos dois um quadrado de lado a.76 No cilindro junto com a massa do Exemplo 9. sua velocidade angular máxima é igual a 3000 rev/min.104 W. Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um ponto situado a uma distância RH do centro do disco. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no exterior do corpo. 5. a) Calcule o momento de estivesse girando inicialmente e a massa m fosse libertada do inércia do cilindro em relação a um eixo longitudinal que passa repouso a uma altura h acima do solo. Utilizando-se de energia da rede elétrica. 10ª Edição Prof. Iy o momento de inércia em relação ao eixo Oy e I0 o momento de inércia do corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano e passando pelo ponto 0. até que altura essa massa através de seu centro em termos de M e de R. agora supondo que o fio seja enrolado na periferia do disco maior.72. usa sua potência motora oriunda da energia acumulada em um volante grande.18).m2.00 m 2.00 kg FIGURA 9.26). Qual é sua velocidade angular quando ele retoma para sua posição de equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9. Sendo M a massa total. a roda é colocada em movimento periodicamente quando o ônibus para em uma estação.2. Young & Freedman – Física I – Editora Pearson. = r. A distância entre o ponto de suspensão na extremidade superior da haste e o centro da esfera é igual a L. momento em que ele atinge o solo. (Sugestão: Use o deve ser assim. mostre que I0 = Ix + Iy.86. O volante é um cilindro maciço de massa igual a 1000 kg e raio igual a 1.73 Você pendura um aro fino de raio R em um prego na periferia do aro. 9.9 *9. (b) Se a massa da haste for l % de M e se R for 5% de L. Ip será somente 0. 9. quando a massa atinge o solo. (a) Para essa velocidade angular.) (b) Calcule o momento de inércia do disco com o buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco 4. a) Supondo que o cilindro não onde uma constante positiva. Cláudio S. (a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar que se R for 5% de L e se a massa da haste for desprezível. Você o desloca lateralmente até um ângulo a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Considere um corpo rígido constituído por uma placa plana fina de forma arbitrária.) 9. qual é a distância máxima que ele pode se mover entre duas paradas? 9.00 kg no da parte (a) é menor do que h. qual é a energia cinética do volante? (b) Se a potência média necessária para operar o ônibus for igual a 1. A corda não desliza de colidir com o solo? sobre a periferia da polia. 9. e um bloco de l .79 Teorema dos eixos perpendiculares. Dr.77 Um disco uniforme fino possui massa M e raio R. Se o bloco é libertado do repouso a uma distância de 2. raio interno R1.50 cm e massa M1 = 0.00 kg passando pelo centro do buraco. Você pode usar as informações da Tabela 9.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky. qual é sua velocidade quando ele atinge o solo? 9.81 Um cilindro de massa M e raio R possui uma (Seção 9. qual será a razão entre Ihaste em relação a um eixo passando pelo pivô e ML2? 9. na Suíça. yi). em termos de energia. Use métodos de conservação da (b) Explique. O momento de inércia do pêndulo 1^ para uma rotação em torno do ponto de suspensão é geralmente aproximado como ML2. Seja Ix. suponha que a massa m que cai seja feita de borracha. de modo que nenhuma energia mecânica é perdida densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo. a velocidade angular do disco deve variar de inércia da Terra em termos de MR2. o manto inferior (de r = 3480 km a r = 5700 km) com densidade média igual a 4900 kg/m³ o manto superior (de r = 5700 km a r = 6350 km) com densidade média igual a 3600 kg/m3 e a crosta e os oceanos (de r = 6350 km a r = 6370 km) com densidade média igual a 2400 kg/m³.82 m = 1. observada da Terra no ano de 1054.27).25 m/s.82 Estrelas de nêutrons e restos de supemovas. O . Cláudio S. *9.75.27 – Problema 9. São os restos de uma explosão de uma supernova. a música é codificada em uma (Sugestão: Forme a esfera oca pela superposição de configuração de minúsculas reentrâncias dispostas ao longo de uma esfera grande com densidade e uma esfera pequena com uma trilha que avança formando uma espiral do interior à densidade -). A nebulosa do Caranguejo é uma nuvem de gás luminoso que possui uma extensão de 10 anos-luz.) Vamos ver qual é a aceleração angular necessária para manter v constante. À medida que o disco gira no interior de um (b) Confira os dados usando-os para calcular a massa CD player. Em raio do círculo da sua base é igual a R. 9. (Veja o Exercício 9.83 O momento de inércia de uma esfera com densidade constante em relação a um eixo que passa através de seu centro é dado por 2MR2/5 = 0.400MR2. Dr.85 Em um CD. Considerando .84 Determine o momento de inércia de um cone A equação de uma espiral é dada por: maciço uniforme em relação a um eixo que passa através de r r0 seu centro (Figura 9. localizada a uma distância aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9. PROBLEMAS DESAFIADORES 9. onde r0 é o raio da espiral para = 0 e uma constante. periferia do disco. a trilha é varrida com velocidade linear constante da Terra.Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky. (a) Mostre que o momento de inércia de uma esfera oca com raio interno R1 e raio externo R2 e densidade constante é dado por: I 8 R25 R15 15 R h Eixo Figura 9. quando o CD está girando. Observações feitas por satélites mostram que o momento de inércia da Terra é dado por 0. A nebulosa do Caranguejo liberta energia com uma taxa aproximada de 10 R2 R1 Figura 9.28 – Problema 9. Sartori maior ou menor do que o momento de inércia de um cilindro com mesma massa e mesmo raio porém com densidade constante? Explique qualitativamente por que esse resultado faz sentido.50 kg FIGURA 9.26 .20.28). Young & Freedman – Física I – Editora Pearson. um CD. = 1.3308MR2.84 9.900 kg/m³ o núcleo externo (de r = 1220 km a r = 3480 km) com densidade média igual a 10900 kg/m³ . Como o raio da trilha espiral aumenta à medida (c) Use os dados fornecidos para calcular o momento que o disco gira. O cone possui massa M e altura h.Problema 9. 10ª Edição Prof. Os dados geofísicos sugerem que a Terra é constituída basicamente de cinco regiões: o núcleo central (de r = 0 a r= 1220 km) com densidade média igual a 12. r0 é o raio interno da trilha espiral. Sartori como positivo o sentido da rotação do CD. Existem duas soluções para . de modo que r e acrescem à medida que o disco gira. (b) Como a trilha é varrida com velocidade linear constante v. deve ser positivo.0 min. . Dr. o raio interno da trilha é igual a 25. (a) Quando o disco gira através de um pequeno ângulo d.Sears &Zemansky – Prof.55m em cada volta e o tempo de duração é igual a 74. Use esse resultado para achar 0em função do tempo. c) Use essa expressão de (t) para determinar a velocidade angular e a aceleração angular em função do tempo. a distância total s encontrada na parte (a) é igual a vt. Usando a expressão anterior para r(). O valor de é constante? (d) Em um CD. Calcule os valores de r0 e de ache o número total de voltas feitas durante o tempo total da reprodução do som. escolha a positiva e explique por que devemos escolher essa solução. integre ds para calcular a distância total s varrida ao longo da trilha em função do ângulo total descrito pela rotação do disco.0 mm. o raio da trilha cresce 1.0 min. a distância varrida ao longo da trilha é ds = r d. faça um gráfico de (em rad/s) contra t e um gráfico de (em rad/s2) contra t desde t = 0 até t = 74. (e) Usando os resultados obtidos nas partes (c) e (d). Cláudio S. 37 9.31 (b) 9.56 J s (c) 75 kg Um eixo paralelo e a uma distância 15 R do centro da esfera mB I R 2 247 512 MR2 (b) 383 512 MR2 (b) 1 4 M R12 R22 3 MR 2 (b)maior.43m s (a) 9.45 9.377 m s 2 .00 rev (a) 540 rad (b) 12.11 9.180 m s 2 .67 s.00 m/s² (d) 0.180 m s 2 .23 9.775 m s (b) 9.29 (a) 2.79 9.13 104 rev .42 rad s (c) 5. 23.4 rad/s (c) = 1.69 2 0.8rev 10.40 m s (c) 4.17 9.05 m (t ) 0.7 m 9.180 m s 2 9.418 m s 2 2 2 2 (c) 0.27 (a) 0. arad 18.30 rad/s.334MR (a) 9.600rad (b) 6.193kg m2 9.7 cm.25 10.50cm. (b) 800 W (a) 1.3 rev (b) 2.9 Gabarito 9.032kg m2 0.3 9.2.1.60 m s (b) 43.41 7.66 10 J (a) 0.83 (a) s r0 (b) (c) dK dt 4 2 I T 3 dT dt A 2.43 1 M L2 3Lh 3h 2 3 1 2 ML 3 2 (a) 6.831m s (b) 109 m/s² 9.1 (a) 0.0 m s 2 v 3.71 rad/s (a) 211 rev/s.180 m s .0.35 104 J 0. 0.06 103 m s 2 108g .51 9.13s (a) 35.65 9.8 rad/s (b) 2.25 103 kg m2 (b) 3.59 9.700 rad/s 9.0.35 2 2.47 9.0.0 m s (a) 0.13 9.4 0.4 3 t (c) máx 6.0. 9.208 kg.70 m/s (b) 84.81 9.00 m s.7 m s (a) 9. rad = 0.49 (a) 42 rad/s² (b) 74 rad/s 9.5 t (b) 6.39 (b) K = π²I²/1800 9.17 rad/s² 9.77 (M/12+m/2)L2 9. não 9.27 cm (c) 1. 5 24 2 (b) 5.53 3.7 (a) 24s (b) 68.0.5 Exercício 2 2 1 r02 2 v t r0 v r02 2 v t v2 r 2 0 3 2 v t 2 (d) r0 2. (c) 15.73 9.600kg m2 (a) K 2 I T 2 (a) 70J (d) 0.51J (c) 652 9.21 1 M a 2 b2 3 (b) 0.67 arad 18.3s (c) -8.61 9.14 1029 J 33 (b) 2. Dr.63 9.85 2 m g R 1 cos 9.51 2 gd mB C mA 9.33 9.032kg m2 (c) 0.784J (b) 5.4 t 1. Sartori Gabarito – Exercícios Ímpares Gabarito Exercício 9.Sears &Zemansky – Prof.42 m s (d) velocidade da partícula: 4. Cláudio S.0km/h = 9.19 (a) (b) 9.5rad/s 9.15 9.247 m rad .m² s .95m s (a) 9.83 rad s para t 2.25 rev/s2.754 m s .29 (b) 1.57 (a)-1.75 (a) 0.0.72 m/s (b) 8.97 10 kg (b) 0.036 t 2 (a) (a) α(t) = 2b-6ct (b) b/3c 9.064kg m2 (b) 0. 0 s.0 s) = -4.23 s.3 rev. = 586 rad = 93. (b) 108 rad / s ( 27 rad / s ) 33.50 rad / s (0.t.00 s Gabarito – Exercícios Pares resolvidos Cortesia: Editora Pearson (a) rev 2 rad 1 min 199rad / s. (e) ave = 9-8: 586 rad 138 rad / s.0 s em três situações distintas: o qual é tão grande (em.33 rad / s 2 . o único valor de tempo positivo para o qual = 0 é t = 4. (a) (t ) dw 2 t ( 1. 4. através dos quais uma roda gira em cada instante de tempo e 3.00 s 1 ave t . = (1/2)(1/(7. 2 1 a qual quando re-agrupada resulta na Eq. ave (3.300 rad / s2 )(2.0 s) (0) 2.80 rad/s2 9-16: A seguinte tabela dá as revoluções e o ângulo 2.50 s)2 4.00 rad / s 9-6: =(250 rad/s) – (40.60 rad/s3)(3.23 s. = -78.60 rad / s 3 )t. Sartori 2ave 2 0 . com 140 rad / s t 6. 9-4: Da Eq. (912).40 rad / s 2 . t 4. (b)(35º x rad/180º)/(199 rad/s) = 3.5 rad / s. (9-11) como: 1 0 t (0 t ) 2 encontramos: e substituindo t 0 1 0 ( 0 ) 2 0 (c) 0 ( 0 ) 2 1 2 02 .50 rad/s3)t2.0 rad/s)2) = 8 rad/s2. = -(40.20 rad / s 5. Dr.07 x 10 -3 s. (a) Fazendo-se = 0 resulta em uma equação quadrática em t.Sears &Zemansky – Prof.0 9-18: (a) A Equação (9-7) é resolvida para = .69 rad 9-10: (b) (a)Resolvendo a Eq. módulo) quanto a aceleração para t = 3. 1900 x min rev 60 s 9-2: 9-14: 0 0. (b) At t = 4.50 s) 2. 2 2 . 0 27 rad / s.0 s) = (-1. (d) At t = 0.0 rad/s2)t – (4.25 rad / s (b) 0t 1/ 2 t 2 1 2 (1. (9-7). O ângulo é mais facilmente encontrado de : avet (70 rad / s)(6. 4. (9-7) para t resulta em: t 0 . (b) = (1/2)(1/∆)(2 - 02 ) rad/s)2 – (12.8 rad / s 2 .00 rad))((16. or 0 t t 2 . (c) At t = 4.0 rad/s2) – (9.0 s 3.300 rad / s 2 )(2. dt (b) (3. Cláudio S. Reescrevendo a Eq.00 s) 420 rad .50 rad / s)(2. 0 resultando em: 9-12: (a) A velocidade angular média é: e portanto a velocidade angular inicial é: 162 rad 40.00 s 23.23 s.50 s) (0. = 250 rad/s.23 s 0 t (a) Os gráficos de e são os seguintes: (a) 1.1 rad/s2.00 rad/s3)t. ou para t = 7. 10. (9-13) e a expressão para I .80 m / s ) 1 3. se possa utilizar a Eq. ver Tabela (9-2(g)). (9-17) para I.00 s. 1 M / m v 50. 2 9-26: (a) I Combinando as Equações (9-13) e (9-15).125 rad / s 2 . 2 1 1 2 2 1 rev 2 rad / rev K mL (117 kg)( 2.0 rad / s 21. 2 rad tan2 ( 2 r ) 2 (r ) 2 2 12 24 min 60 s / min (b) De mgy = K.86 s após t = 3.025 J ) 2.0 rad / s.0 m / s 2 2 2 . (9-17).042 kg)(1. a energia cinética do cilindro é maior.00 s) = 975 rad = 155 rev. 4 4 4 16 Da Tabela (9-2(b)).00 m / s Resolvendo a Eq. 0. v = 50. Sartori 2 2 0.0 m/s e (d) Esta 50. 2 mg (117 kg)( 9. (Existem muitos modos equivalentes de se realizar estes cálculos ) 9-30: (a) 1.068 rev. então = 400 rad/s.16 x 103 m 1. (b) (1.200 m (a) Com I = MR2. temos: (b) Do resultado da parte (a). (9-16).25 x 104 rad / s. (b) (c) 9-20: s. a conversão para radianos deve ser realizada para que momento de inércia é multiplicado por f 3(f) 2 = f 5.430 rev / s x 2 rad / rev ) 4 (0.80 m / s 2 )( 0. então a variação na energia potencial gravitacional é: (b) Para t = 3.00 kg)( 9. I 400.00 m) 9-42: tan 10.25 m / s 1. (c) 50. temos: 2K 2 2(0. 4 4 4 2 r. uma quantidade menor está disponível para a massa em queda . Uma grande parte da energia potencial é convertida para energia cinética do cilindro.0 N )(6.50 m)2 7.15 x 102 kg m 2 . (d) Combinando as Equações (9-14) e (9-15). o momento de inércia é: . para uma dada velocidade.5)(48)5 = 6.000 x 9.0 m / s 2 (a) 50.01m / s.3 x 106 J ) 1.0 m/s + (-10.375 m)) 2 (( 0.042 kg)(1.20 x 105 rev / min .00 m / s) 2 v P 14. cad termo terá a massa (b) onda∆t = (0. 2g 2 g L 2(9.16 km. então.80 m / s 2 )(10.00 s) = 80.6 rad/s . temos: 9-38: PL 0.88 x 103 kg m2 . 2 2. então (b) (2. onde L é o comprimento da corda. y (( 0. v rad 2 r 2 v.0 m/s2)(0 – 3.2 s) = 0.250 rev/s + (0.340 rev/s)(0.7 N .46 m / s . (a) Da Eq. velocidade será alcançada em um tempo de: 9-44: O centro de massa caiu metade do comprimento da corda. (9-13). 1 min/ 60 s (b) Para esta vara fina o momento de inércia relativo ao seu eixo é obtido considerando-a como um cilindro sólido e. da Tabela (9-2(f)).0 m / s 250rad / s.750 m v r (0. t t t 5. e portanto.250 rad / s.0 x 103 m ou 21.50 x 10 m é(1. a expressão para v é: v 2 gh .500 m / s 2 9-28: v 2.900 rev / s 2 x 2 rad / rev )( 0.25 x 103 kg m 2 . 12 12 (b) rad/s) 2 9-32: Como a vara possui um comprimento de 500 vezes maior que a sua largura. (9-16).375 m)) 2 2 K (1.80 m / s 2 1. x 104 2 1 1 ML2 (0.0 m) 147 J .3 x 106 J . 1w 2 1 w v 2 (40. Dr. e .430 rev / s x 2 rad / rev ) 1.0 rad / s 2 r 0.80 m / s 2 )(5. 2 9-36: 9-24: (a) = 0 +t = 0.Sears &Zemansky – Prof.200 s) = 0.25 m 50. Esta expressão é menor que aquela para um cilindro sólido. v = 50.37 x 108.40 m / s. não é necessário converter para radianos).0 m / s 1.41 x 103 rad / s 2 . (74.5 x 10 m) 4. Cláudio S.50 m)2 3.200 e para t = 0.08 m)2 2400 x 1.042 kg)(1.55 km.40 m / s 4.25 2 L L 3L 11 I m m m mL2 .0 min)(60 s/min) = 5. 21. e então o (c) Aqui. rad 0.55 rad / s.200 m) 1.73 x 10 kg m .0 x 10 m 58. r 0.55 rad / s 6. A maior parte da massa está concentrada na sua borda.5 rad / s. 3 25.25 m/s)(74.86 1 mgL 1 (3. 1 1 I ML2 (0. multiplicada por f 3 e a distância multiplicada por f.430 rev/s (note que desde que 0 e são I 2 MR 2 (0.0 m/s. com I da Tabela (9-2(f)). para três algarismos significativos. 3 3 1 rev / 2 rad 1. 9-34: (a) Na expressão da Eq.Combinando as Equações (9-17). v rad r (9. dados em termos das revoluções. então a mesma pode ser considerada como sendo uma vara fina (a) Da Tabela (9-2(a)). 2 rad / s 2 (45 rev / min x ) 60 rev / min 9-40: O trabalho realizado sobre o cilindro é PL.900 1 1 2 3 2 8 2 rev/s2)(0.00 s.0 min)( 60 s / min) De rad 9-22: r qual A distância das massas relativo ao eixo são: L L 3L e portanto da Eq. (c) avet = (325 rad/s)(3. o que ocorre na parte inferior do rad 2 r 2 r. 60. 2 2 3 2 9-48: Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos para se t t (1.Sears &Zemansky – Prof.40 o arctan 60. (9-19).0 m) 5. Dr. 6 L 0 (e) 2 rad tan2 (5. (c)rad é direcionada em direção ao centro. onde é o com a direção radial. ângulo entre a vertical. 2 máximo ) e o deslocamento angular para este tempo é: 2 3 2 2 2 3 2 (1.0 m (b)t (0.(b) será novamente igual a 0 quando a almôndega passa através do ponto mais baixo. (c) rad 2 r (0.00 m / s 2 0. 3 2 2 2 (0.40 m / s 2 .9 . refletindo (f) arctan o fato de que mais a massa está concentrada no final . 3 2 1 I Ma 2 12 I P I cm Md 2 9-50: (a) I (b) 12 . temos: 9-62: (a) A aceleração angular será zero quando a 2 velocidade for um máximo. rad 5. 9-54: (a) M dm L 0 (b) I 0 L x dx x4 x 2 (x )dx 4 x2 2 0 L L4 L2 2 M L2 0 4 2 L . então IP = 2MR2.80 m / s 2 ) (1 cos36. (2. e tan r r 1 tan então rad 2 r 2r 2 .80 rad / s )t (0. livre.00 s ) 0.050 rad / s 2 .66 kN.9o ) 1.80 rad / s 2 ) 2 6. 2 circulo .50 m) Por integrações sucessivas das Equações (9. Este é um terço do resultado encontrado na parte (b).40 m / s 2 )2 (3. visto que a densidade de (d) massa é bem maior longe do eixo que quando mais próximo dele . e utilizando as Equações (9-14) e (9-15). Sartori 9-46: Na Eq. t 2 t 3 (0. 2 tan 2 tan 36. 0.05 rad / s 2 )( 6.300 rad / s. Cláudio S. temos: 2 6 2 (b) A velocidade angular positiva máxima ocorre quando = M L M L2 M L2 . a velocidade é: (b) Denotando como o ângulo que o vetor aceleração faz v = 2 gh 2 gR(1 cos ) .9o 9-58: (a) 5) e (9-3). com o O deslocamento angular máximo ocorre quando 0. 1 1 0.25 rad / s 3 ) 9-60: (a) tan r 3.125 rad / s )t . e o módulo da força é : F = ma = (1240 kg)(6.48 rad / s. De considerações de energia.80 rad / s 2 )3 62.00 m / s 2 )2 6.2 rad .042 rad / s 3 )t 3 . 2 6 3 2 3 (0.25 rad / s ) 1 Mb 2 12 9-52: A análise é idêntica aquela do Exemplo 9-13. 00 tan 9-56: (a) Para uma aceleração angular constante. Icm = MR2 e d = R2 . v 2g (1 cos ) R R 2(9.18 m / s 2 . O resultado é: t 1 I NR 2 .666 rad . 2 encontrar o momento de inércia de uma corda fina relativo ao eixo através de sua extremidade e perpendicular a corda.300 rad / s )2 (60. e a massa M LpR . isto é: . (c) I 0 ( L x ) 2 xdx L 0 ( L2 x 2 Lx 2 x 3 ) dx L 2 x3 x4 x L2 2 L 3 4 2 4 L 12 M L2 . o limite superior sendo 2 tempo (t = 0 é um ponto de inflexão e (0) não é um igual a R. ou t = a velocidade angular para este tempo é: 2 1 2 1 (1. o que está de acordo com a Tabela (9-2(f)). para o limite inferior na integral sendo zero. Isto é maior que o momento de inércia de uma corda uniforme de mesma massa e comprimento.25 rad / s. 3 .18 m/s2) = 7.90 rad / s 2 )t 2 (0. 2 Para estes caso temos dm = dx. 48 4 2 3 Resolvendo para . obtemos: (b) Considerando o sistema como um todo. 30 rev / min 2 rad 2(3450 rev / min) 9-74: (a) 1 K I 2 2 então a força segurando a serragem sobre a lâmina deveria ser 2 11 2 rad / s aproximadamente 500 vezes tão forte quanto a gravidade .0 J 30 rev / min 2 v 2.cos )R = (2g)(1 – cos ).43x10 m / s . comprimento da corda é 2R e metade desta distância é a M e .4 kg. A energia cinética é: 1 1 1 1 1 K I 2 mv 2 I 2 m(R) 2 ( I mR 2 ) 2 . então sua energia total não é conservada . Cláudio S. a diferença é (2/5)(0. Dr. ( M 2m ) e a velocidade em qualquer parte da corda é: v = R. 9-82: (a) Do Exercício 9-43.80 m/s2)(5. dos o qual é aproximadamente 18 min. pois. O mrod = (0.25 rad / s) (2. 3R 3R 9-78: (a) Do teorema dos eixos paralelos.01) M. a (b) Por outro lado. 2 ( 0 . Sartori 9-72: A energia potencial gravitacional que se transformou em energia cinética é: rad R K = (4. o objeto B possui a massa concentrada o altura de recuo h está relacionada com a velocidade v por: mais distante do eixo.81m / s. o cilindro possui uma velocidade angular . o momento de inércia de para um cilindro uniforme .00 kg 2.05) = 0. 4 2 4 2 2 Ma 2 M a Ma 2 .50 m) 3.00 x 107 J .93 m / s .86 x 104 W (b) (a) O objeto A possui o menor momento de inércia. e esta é a 1 (0.00 m) = 98.001.00 kg – 2. 2g possuindo o menor quantidade de momento de inércia . a tensão na corda realizou trabalho sobre a massa. Da conservação de energia. a energia 2 potencial inicial é nula ( a corda é empacotada círculos tendo o Se R = (0. 2 eixo como centro ). e . relativo a um eixo desenrolada. v 2 e com o resultado para h dado no Exemplo 9-9. 1 M / 2m e resolvendo para . temos: cada lado relativo ao eixo através do centro do quadrado é: M m M m 2 P 2 2 2 2 2 R 0 R mgR. com metade do diâmetro da 2 2 R primeira. o momento de inércia é:Ip = (2/5)MR2 ML2. e utilizando I = (1/2)MR2 12 4 48 Do Teorema dos Eixos Paralelos. o qual é 0. 9-76: (a) Para o caso que nenhuma energia é perdida. ML 5 L potencial gravitacional como estando no eixo. cilindro). Inicialmente toda parte da corda 9-80: Cada lado possui um comprimento a e massa 4 está se movimentando com velocidade 0R. T 3 dt . (1000 kg)( 0. Quando a corda é desenrolada seu centro (b) (Irod/ML ) = (mrod/3M). deve ter duas vezes a velocidade angular.05) L. a taxa de perda de energia é: 4 2 I dT resolvendo para o momento de .00 kg)(9.4 kg 2 rad / s 0. 2 2 2 2 2 Utilizando 1 I mR2 2 2 h = h . e quando a corda é o momento de inércia de cada lado. alguma parte da energia potencial inicial da massa transformou-se em energia cinética do cilindro. 98. Considerando apenas a massa.208 m 4 2 5.5 MR2.480 kg m 2 ) 2 v 2 4. a rad (1.0 J. independente de R. 9-68: Utilizando considerações de energia.Sears &Zemansky – Prof. quantitativamente: 1 2 I A MR 2 . posição do centro de massa. 2 energia cinética do sistema é: (d) rad = R = (2g/R)(1. e 2 R I 9-70: Considerando o sistema de referencia zero da energia 1 .00 x 107 J 1075 s.1 m / s. 4g 4g . três objetos dados sua massa é a mais concentrada próxima ao eixo. 2 2 Em termos da velocidade comum dos blocos. mgR. temos: 02 (4mg / R ) . o sistema adquire tanto energia cinética quanto ocorre a perda em sua energia potencial . temos: rad / s 0. 2 3 K 2.33% quando de massa está a uma distância de R abaixo do eixo. 2 1 1 v K ( m1 m2 )v 2 I 9-64: A segunda polia.00 kg velocidade angular da lâmina da serra 2 v 12. então perpendicular ao lado e através do seu centro é: a velocidade da corda é R (a parte superior final da corda 2 possui a mesma velocidade tangencial que a borda do 1 M a 2 Ma . 160 m ) (a) (2(3450 rev/min)) Resolvendo para v.90 m) 2 3000 rev / min x 22 60 rev / min 2. I B MR 2 and I C MR 2 . 9-66: Da Tabela (9-2). (c) Como Iesfera = 2. Pave 1. 2 (b) rad 2 r 12.208 m 75. a esfera deveria trocar o disco como h = . Sears &Zemansky – Prof. h h 2 h4 Então. sendo comparável a densidade de massa nuclear . (0. 14 ordens de grandeza. temos: PT 3 1 4 2 dT / dt 31 3 (5 x10 W )(0. Sartori inércia I em termos da potência P.0331 s) 1s I 1. 10 O volume de um cone circular é : 1 e sua massa é : 1 R 2 h. I dI R 4 2 h 4 h 0 z 4 dz R 4 10 h 4 [ z 5 ]0h 1 R 4 h. 4 2 4. 3 3 3 R 2 h 2 3 2 I R MR . temos: R R2 R 4 4 r( z ) z . 10 3 10 . Dr.9 x 1017 kg / m3 .3 x 103 c.09 x1038 kg m2 .99) x 10 kg ) R (c) 2R 2 (9. 9-84: Seguindo o procedimento para se resolver o Exemplo 9-14 (e utilizando-se z como a coordenada ao longo do eixo vertical ).08 x1038 kg m2 ) 9. dm 2 z 2 dz and dI z dz.9 x 103 m 10 km.9 x 10 m) 1.4)(1.9 x 106 m / s 6. e portanto: V R 2 h.0331 s ) T (d) M V 3 M 6. 30 2(1. Cláudio S.22 x1013 s I (b) R 5I 2M 5(1. 3 (4 / 3) R o qual é muito maior que a densidade de uma rocha comum.