1Capítulo 7 Probabilidade CAPÍTULO 7 Probabilidade 7.1 Introdução A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como: jogos de cartas e roleta. O primeiro matemático a conceituar probabilidade, parece ter sido Cardano (1501+75=1576). Porém, o ponto de partida para o desenvolvimento da teoria das probabilidades deve-se, principalmente, a dois matemáticos: Pascal (1623+39=1662) e Fermat (1601+64=1665). Esta teoria foi utilizada por Mendel (1822+62=1884) em seus estudos sobre genética. Atualmente, a teoria das probabilidades está muito relacionada com a Estatística, que tem aplicações em diversos ramos do conhecimento. I) Experimentos Aleatórios Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo quando repetidos em idênticas condições, podem produzir resultados diferentes. As variações de resultado são atribuídas a uma multiplicidade de causas que não podem ser controladas às quais, em conjunto, chamamos de acaso. Exemplos: i) O resultado do lançamento de uma moeda (cara ou coroa). ii) A soma dos números encontrados no lançamento de dois dados. iii) A escolha, ao acaso, de 20 peças retiradas de um lote que contenha 180 peças perfeitas e 15 peças defeituosas. iv) O resultado do sorteio de uma carta de um baralho com 52 cartas. 7.1.1 Espaço Amostral (S) Embora não se possa determinar exatamente o resultado de um experimento aleatório, frequentemente é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis para o experimento. Esse conjunto é chamado de espaço amostral ou conjunto universo do experimento aleatório. Exemplos: i) Lançar uma moeda e observar a face superior: S = { cara, coroa } ii) Lançar dois dados e observar a soma dos números das faces superiores: S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } iii) Extrair ao acaso uma bola de uma urna que contém 3 bolas vermelhas (V), 2 bolas amarelas (A) e 6 bolas brancas (B), e observar a cor: S = {V, A, B} Estatistica e Probabilidade Paulo Apolinário Como esse espaço amostral tem dois elementos. então existirão 2n eventos distintos associados a ele.1..5 = 50% iii) No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento C? Solução: Espaço amostral: S = {1.. B. {cara}. 6 } n(C) = 6 Probabilidade: P(C) = 6/6 = 1 = 100% Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. {coroa}. 6 } n(S) = 6 Evento: B = {2. o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.. Exemplos: i) No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A? Solução: Espaço amostral: S = { ca.. Estatistica e Probabilidade Paulo Apolinário . co } n(S) = 2 Evento: A = {ca} n(A) = 1 Probabilidade: P(A) = 1 / 2 = 0. respectivamente. 2. Z. o conjunto vazio (evento impossível) e o próprio espaço amostral (evento certo).5. {cara. Pode-se demonstrar que se um espaço amostral tiver n elementos.. 7. 2. 4. C. 6 } n(B) = 3 Probabilidade: P(B) = 3/6 = 0. 2. 3. É costume indicarmos os eventos por letras maiúsculas do alfabeto latino: A. Observe que o primeiro e o último eventos indicados são. existirão 22 = 4 eventos associados a ele: Ø. tal que: P(A) número de casos favoráveis de A número total de casos ou P(A) NCF NTC OBS: Quando todos os elementos do Espaço amostral tem a mesma chance de acontecer.2 Evento Evento é qualquer um dos subconjuntos possíveis de um espaço amostral. coroa}. coroa}.3.4. 4.2 Conceito de Probabilidade Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no Espaço amostral) o número real P(A). 5.6 } n(S) = 6 Evento: C = {1.5 = 50% ii) No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento B? Solução: Espaço amostral: S = {1. 4.2 Capítulo 7 Probabilidade 7. Exemplo: O espaço amostral associado ao lançamento de uma moeda é S = {cara.2. onde as suas "chances". 4). (4. (2.5.1%. a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado : p + q = 1 q = 1 . ii) Calcular a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida. y) em 1 x6.4. e somente se. O número de possibilidades: n(S) = 6 X 6 = 36 Queremos que ocorra soma de pontos igual a 5. segundo os entendidos.3. portanto. EVENTO COMPLEMENTAR Dado um evento A. logo. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso).3 Capítulo 7 Probabilidade iv) No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A? Solução: Espaço amostral: S = { 1. . Então p = 3/5 (ganhar) e q = 2/5 (perder). Calcule também a probabilidade dele perder: Solução: O termo "3 para 2" significa : De cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 2. A = {(l. Um evento pode ocorrer ou não. para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 ou P(A) + P( A ) = 1.p = 1 . n(S) = 36 e a probabilidade de ocorrer soma 5 é: P(soma cinco) = n(A) / n(S) = 4 / 36 = 1 / 9 = 0.1/6 = 5/6. (3. e ocorrerá se. A não ocorrer. 1)}. Estatistica e Probabilidade Paulo Apolinário .6 } n(S) = 6 Evento: D = { } n(D) = 0 Probabilidade: P(D) = 0/6 = 0 = 0% Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0% v) No lançamento de dois dados qual e a probabilidade de que a soma dos pontos das faces voltadas para cima seja iguala 5? Solução: O espaço amostral desse experimento é o conjunto de todos os pares ordenados de números naturais (x. 1 y 6 e x + y = 5. Exemplos: i) Sabemos que a probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p = 1/6. 2). 3). Com isto n(A) = 4.2. são de "3 para 2". chamado evento complementar de A. O conjunto A compreende todos os elementos de S que não pertencem ao conjunto A: A S A . então A (lê-se "complemento de A" ou "não-A") também será um evento.111 = 11. o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos. Retirando-se uma bola dessa urna. a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: P(A e B) = P(A) . Qual é a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha? Solução: Indicando por A o evento formado pelas bolas vermelhas. Então qual seria a probabilidade de obtermos. A probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha é 0. Se dois eventos são mutuamente exclusivos. ao se realizar um deles. o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. simultaneamente.64.36.64 = 0.P(A B) Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas. o complementar de A é o evento  formado pelas bolas não vermelhas. o outro não se realiza. Assim.P(ÁS Copas) = 4/52 + 13/52 . quando há elementos comuns. P(Ã) = 1 – P(A) = 1 – 0. P(A) + P(Ã) = 1. Exemplo: Quando lançamos dois dados. no lançamento de uma moeda. devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A B ) para não serem computadas duas vezes.36. EVENTOS INDEPENDENTES Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Portanto. a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P(A B) = P(A ou B) = P(A) + P(B) Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ? Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Obs: Na probabilidade da união de dois eventos A e B. o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado? Assim. qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS ? P(ÁS Copas) = P(ÁS) + P(Copas) .1/52 = 16/52 Estatistica e Probabilidade Paulo Apolinário . P(B) P(A) = P(ocorrer 4 no dado1) = 1/6 P(B) = P(ocorrer 3 no dado2) = 1/6 P(ocorrer 4 no dado1 e ocorrer 3 no dado2) = P(A) x P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). a probabilidade de se obter uma bola vermelha é 0. já que. sendo P(A) a probabilidade de realização do primeiro evento e P(B) a probabilidade de realização do segundo evento.4 Capítulo 7 Probabilidade iii) Uma urna contém bolas coloridas. Assim P(A B) = P(A) + P(B) . Uma empresa detectou que 2% das caixas de peças têm quantidade inferior ao estipulado na caixa. Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30.5%] Exercício 3. ou seja. Tendo em vista que os eventos são independentes. Lançando-se simultaneamente dois dados.04%]. Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula: P B/A = P A B P A ou P B/A P A = P A B Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS? P(Copas1) = 13/52 P(Copas2/Copas1) = 12/51 P(Copas1 e Copas2)= P(Copas1) x P(Copas2/Copas1)=13/52 x 12/51= 0. d) Determine a probabilidade de sair um número par.88% Obs: No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. No lançamento de um dado: a) Determine a probabilidade de sair um número ímpar.0588 = 5. os atrasos de João e os atrasos do ônibus não dependem um do outro. O resultado seria: P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0. 66.25 % PROPRIEDADES DAS PROBABILIDADES 7. determinar a probabilidade de que ele seja primo. c) Determine a probabilidade de sair um número primo. depois de A ter acontecido é definida por : P(B/A).025 ou 2. ou seja. com reposição. o ônibus atrasa.625 = 6. qual a probabilidade de se obter o número 1 no primeiro dado e o número 3 no segundo dado? [1/36] Exercício 4. qual a probabilidade de que ambas acusem conteúdo inferior ao estipulado? [0. Por outro lado. é chamada probabilidade condicional de B. Estatistica e Probabilidade Paulo Apolinário . a probabilidade de B ocorrer.5 Capítulo 7 Probabilidade PROBABILIDADE CONDICIONAL Se A e B são dois eventos. qual a probabilidade de ocorrerem ambos os atrasos?[0. [50%. 50%. Escolhidas duas caixas aleatoriamente. b) Determine a probabilidade de sair um número maior do que 2. [37.67%. 50%.] Exercício 2.5%] Exercício 5.0004 ou 0. o funcionário João chega no ponto do ônibus atrasado. em 10% das vezes. Em 25% das vezes.3 Atividades Exercício 1. mas você percebe que ela tem olhos castanhos. 76%] b) Está chovendo quando você encontra a garota. Em um centro universitário com 300 estudantes. qual a chance de ser mulher? [60%. [1/4 ou 0. 40%] Exercício 7.25 ou 25%] Exercício 9. 3/10. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos e dos olhos de cada uma de acordo com a tabela: Olhos Cabelos Azuis Castanhos Loira 17 9 Morena 4 14 Ruiva 3 3 a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas. 80 estudam Física. 8%. escolhida ao acaso. 17/30] Exercício 8. conforme sexo e qualificação profissional. qual a probabilidade de ela ser: i) loira? ii) morena de olhos azuis? iii) morena ou ter olhos azuis? [52%.84%] Estatistica e Probabilidade Paulo Apolinário . qual a probabilidade de que esse aluno: a) estude Física e Psicologia? b) estude somente Física? c) estude somente Psicologia? d) não estude nem Física nem Psicologia? e) estude Física ou Psicologia? [1/10. Seus cabelos estão completamente cobertos. Um grupo de 500 pessoas apresenta. 21%. 120 estudam Psicologia e 30 estudam Física e Psicologia.6 Capítulo 7 Probabilidade Exercício 6. 1/6. 13/30. Sugestão: utilize o digrama de Venn. No lançamento de duas moedas. 65%. Qual a probabilidade de que ela seja morena? [7/13 ou 53. a composição: Especializados Não-especializados Homens 105 195 Mulheres 70 130 Escolhendo-se uma pessoa ao acaso: a) qual a probabilidade de ser homem? b) qual a chance de ser mulher não-especializada? c) qual a porcentagem de não-especializados? d) qual a porcentagem de homens especializados? e) se for especializado. Se um aluno é escolhido ao acaso. 26%. determine a probabilidade de ambas serem coroas? Sugestão: use o diagrama em árvore e denote “cara” pela letra k.