Capítulo 5Algoritmo Simplex 1 CAPÍTULO 5 Algoritmo Simplex 5.1 Introdução O algoritmo Simplex é a ferramenta básica da programação linear. O objetivo do algoritmo é transformar uma matriz dada em outra equivalente que contenha um certo “desenho” ou “padrão”. Este capítulo faz um esboço do Simplex, destacando seu parentesco com o algoritmo de Gauss-Jordan discutido no capítulo três. 5.2 Conversão de desigualdade em uma equação Em restrições ( ≤ ) , o lado direito pode ser considerado como a representação do limite imposto à disponibilidade de um recurso, caso em que o lado esquerdo representaria a utilização desse recurso limitado pelas atividades (variáveis) do modelo. Assim, a diferença entre direito e o lado esquerdo da restrição ( ≤ ) resultaria na quantidade do recurso não utilizada ou folga. Para converter uma desigualdade (≤) em uma equação, uma variável de folga não negativa é adicionada ao lado esquerdo da restrição Exemplo 1. Dada a seguinte desigualdade: 3 x + 2 y ≤ 12 . Para transformar em uma equação adicionamos a variável de folga F1 e logo temos: 3x + 2 y + F1 = 12, com F1 ≥ 0 Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros como desejado. multiplicando ambos os lados por ( −1) . Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . a região de soluções é delineada pelos meios-espaços. de modo que a quantidade pela qual o lado esquerdo excede o limite mínimo representa uma sobra. No método gráfico. no método simplex. A condição sempre pode ser satisfeita multiplicando-se ambos os lados da equação resultante por ( −1) .3 Transição da Solução Gráfica para a Solução Algébrica As idéias transmitidas pela solução gráfica do problema de programação linear lançam as bases para o desenvolvimento do método algébrico simplex. Exemplo 2. com F2 ≥ 0 A última possibilidade restante é que o lado direito da equação resultante seja negativo. que representam as restrições. Dada a seguinte desigualdade: − x + 2 y ≤ −20 . Exemplo 3. Dada a seguinte desigualdade: x + y ≥ 100 . uma restrição ( ≥ ) estabelece um limite inferior para as atividades do modelo de programação linear.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 2 De forma semelhante. a região de soluções é representada por m equações lineares simultâneas e n variáveis não negativas. Para transformar em uma equação subtraímos a variável de folga F2 e logo temos: x + y − F2 = 100. com F3 ≥ 0 Agora. Para transformar em uma equação adicionamos a variável de folga F3 e logo temos: − x + 2 y + F3 = −20. teremos um lado direito não negativo. isto é: x − 2 y − F3 = 20 5. A figura a seguir traça um paralelo entre os dois métodos. e. Consegue-se a conversão de ( ≥ ) em uma igualdade com a subtração de uma variável de sobra não negativa do lado esquerdo da desigualdade. se for única. então o sistema de equações. m = Pesquisa Operacional n! m !(n − m)! Jhoab Negreiros . Candidatos à solução ótima são dados por um Candidatas à solução ótima são dadas por um número finito de pontos extremos. mas para a equação x + y = 1 . A equação x = 2 tem ( m = n = 1) e a solução é obviamente única. y )} para todo y ∈ » . 5. se consistente. Isso significa que o número máximo de pontos extremos é: Cn . equações. Podemos verificar visualmente pelo gráfico por que a região de soluções tem um número infinito de pontos de solução. dará como resultado um número infinito de soluções. se igualarmos (n − m) variáveis a zero. m < n . é denominada solução básica e deve corresponder a um ponto extremo (viável ou inviável) da região de soluções. Identifique os pontos extremos viáveis da região Determine as soluções básicas viáveis das de soluções. mas se m < n (o que representa a maioria dos problemas de PL). novamente. básica viável ótima entre todos os candidatos. Exemplo 4.4 Determinação Algébrica dos Pontos Extremos Em um conjunto de m × n equações (m < n) .Capítulo 5 Algoritmo Simplex 3 Método Gráfico Método Algébrico Represente todas as restrições em gráfico. Represente a região de soluções por m entre elas as restrições de não-negatividade. temos ( m = 1) e ( n = 2 ) . e as equações forem consistentes. S = {2} . e depois resolvermos as m equações para as m variáveis restantes. mas como podemos tirar a mesma conclusão da representação algébrica de soluções? A resposta é que na representação algébrica o número de equações m é sempre menor do que ou igual ao número de variáveis n . Use a função objetivo para determinar o ponto Use a função objetivo para determinar a solução extremo ótimo entre todos os candidatos. o sistema tem somente uma solução. equações em n variáveis e restrinjam todas as variáveis a valores não negativos. a solução resultante. número finito de soluções básicas viáveis. Se m = n . que resulta em um número infinito de soluções: S = {(1 − y. Considere o seguinte problema de PL com duas variáveis: Maximizar f ( x. F2 = 5 . resolvendo para as m = 2 variáveis restantes. de acordo com a regra dada. a região de soluções do problema de programação PL é representado por: 2 x + y + F1 = 4 x + 2 y + F2 = 5 x. as equações dão a solução (básica) única: F1 = 4. Assim.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 4 Exemplo 5. Então resolvendo as duas equações: Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . os pontos extremos podem ser determinados algebricamente igualando n − m = 4 − 2 = 2 variáveis a zero e depois. F1 . y ≥ 0 Em linguagem algébrica. Se fizermos x=0 e y = 0 .(Esta solução corresponde ao ponto A. y ) = 2 x + 3 y Restrições 2x + y ≤ 4 x + 2y ≤ 5 x. y. F1 ≥ 0 O sistema tem m = 2 equações e n = 4 variáveis.) Um outro ponto pode ser determinado. fazendo F1 = 0 e F2 = 0 . F1) (F1. D. Neste exemplo temos: C4. F1) (x. Para resumir a transição da solução gráfica para a solução algébrica. F2) Variáveis básicas (F1. 2) Pontos extremos A F B D E C Viáveis ou não viáveis Sim Não Sim Sim Não Sim Valor da f. que é o ponto C na figura. 3) (5. não podemos dizer quais n − m variáveis zero estão associadas com quais pontos extremos. y) (x. Variáveis não básicas (x. y) Solução básica (4.5 4 -8 (ótimo) 5. C. Sem o auxílio da solução gráfica. x + 2 y = 5 o que dá como resultado a solução básica x = 1 e y = 2 .5 Natureza Iterativa do Método Simplex Em vez de enumerar todas as soluções básicas (pontos extremos) do problema de PL (como fizemos na tabela acima). porque não satisfazem todas as restrições. 5) (4. o método simplex investiga somente algumas dessas soluções. Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . as m − n variáveis zero são conhecidas como variáveis não básicas.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 5 2 x + y = 4 . É provável que você esteja imaginando como podemos decidir quais n − m variáveis devem ser igualadas a zero para chegar a um ponto extremo específico. 3/2) (2. F1) (y. Apenas considere todas as combinações nas quais n − m variáveis sejam igualadas a zero e resolva as equações resultantes. F2) (x. F2) (y. mas os dois últimos são não viáveis. –3) (5/2. 0 -7. todos são soluções para o problema. F2) (y.o. B. F1) (x. Isso feito. As restantes m variáveis são denominadas variáveis básicas e sua solução é denominada solução básica. E e F. F2) (y. a solução ótima é a solução básica viável (pontos extremos) que resultar no melhor valor para a função objetivo. F1) (x. –6) (1. Mas isso não nos impede de enumerar todos os pontos extremos da região de soluções. 2! Examinando a figura podemos localizar os quatro pontos A.2 = 4×3 = 6 pontos extremos. basta investigar o valor da mesma. o caminho do método simplex é definido como A → B → C . O método simplex exige o aumento de uma variável por vez. no ponto B o método simplex aumentará o valor de x para alcançar o ponto extremo melhorado C. incluindo as regras para determinar as variáveis que entram na base e que saem da base. Maximizar: f ( x. bem como as regras para interromper os cálculos quando a solução ótima tiver sido alcançada. y ) = 2 x + 3 y . Cada ponto extremo ao longo do caminho é associado a uma iteração. (com isso chegamos ao ponto B).. onde x = y = 0 .Capítulo 5 Algoritmo Simplex 6 Normalmente o método simplex começa na origem. 5. Exemplo 6. A explicação se dará por meio de um exemplo numérico.o.6 Detalhes de Cálculo do Algoritmo Simplex Esta seção apresenta os detalhes de cálculo de uma iteração do método simplex. Usaremos o problema de PL a seguir: Maximizar : z = 5 x + 4 y Restrições : 6 x + 4 y ≤ 24 x + 2y ≤ 6 − x + y ≤1 y≤2 x. Portanto. Assim. É importante observar que o método simplex percorre as bordas da região de soluções. o valor da função objetivo é zero. que é a solução ótima. o que significa que o método não pode atravessar a região de soluções e ir de A para C diretamente. sendo que a variável selecionada será aquela que tiver a maior taxa de melhoria para a f. A função mostra que um aumento em x ou y (ou em ambas) acima de seus valores zero atuais melhorará o seu valor. e a pergunta lógica é se um aumento em x e/ou y não básicas acima de seus valores zero atuais pode melhorar o valor da f. y ≥ 0 O problema é expresso na forma de equações como: Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . Nesse ponto de partida.o. Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . Variáveis não básicas (zero) em A: ( x.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 7 Maximizar : z = 5 x + 4 y + 0 F1 + 0 F2 + 0 F3 + 0 F4 Restrições : 6 x + 4 y + F1 x + 2y −x+ y y + F2 + F3 = 24 =6 =1 + F4 = 2 x. F3 . escrevemos a função objetivo como: z − 5 x − 4 y = 0 . F2 . A determinação da variável que sai com base na tabela simplex exige o cálculo das razões não negativas entre o lado direito das equações (coluna solução) e o coeficiente de restrição correspondente da variável que entra na base x . Base F1 F2 F3 F4 Entrando X Solução 6 1 -1 0 24 6 1 2 Razão (ou intercepto) X = 24/6 = 4 (Mínimo) X = 6/1 = 6 X = 1/-1 = -1 (Ignorar) X = 2/0 (Ignorar) Conclusão: X entra. F3 e F4 são as folgas associadas às respectivas restrições. Essa regra é denominada condição de otimalidade. F 3. Dessa maneira. F 2. y ) . A solução inicial é ótima? A função objetivo: z = 5 x + 4 y mostra que a solução pode ser melhorada. Coeficiente da f. mais positivo é selecionado como a variável ao entrar na base. y. F1 sai. F4 ≥ 0 As variáveis F1 .o. Em seguida. F2 . Variáveis básicas: ( F1. F 4) . aumentando x ou y . F1 . apresenta a solução associada com a iteração inicial. a tabela simplex inicial pode ser representada da seguinte maneira: Base Z F1 F2 F3 F4 Z 1 0 0 0 0 X -5 6 1 -1 0 Y -4 4 2 1 1 F1 0 1 0 0 0 F2 0 0 1 0 0 F3 0 0 0 1 0 F4 0 0 0 0 1 Solução 0 24 6 1 2 Linha Z Linha F1 Linha F2 Linha F3 Linha F4 O arranjo da tabela específica e o conjunto de variáveis básicas e não básicas. F 3. Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . e a linha da variável que sai como a linha do pivô.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 8 Observem que os valores das razões calculadas são as interseções das restrições com o eixo x da variável que entra na base. O processo de troca é baseado nas operações de Gauss-Jordan. F 2. Nova linha F2 = Linha F2 atual – ( 1 ) × Nova linha X. Nova linha F3 = Linha F3 atual – ( – 1 ) × Nova linha X. Variáveis não básicas (zero) em B: ( F1. que identifica a coluna da variável que entra na base como a coluna do pivô. Nova linha X = Linha F1 atual ÷ 6. F 4) . Variáveis básicas: ( x. Os cálculos serão aplicados a primeira tabela da seguinte forma: Substituir F1 na coluna base por X. Nova linha Z = Linha Z atual – ( – 5 ) × Nova linha X. y ) . O novo ponto de solução B é determinado pela troca entre a variável que entra na base X e a variável que sai da base F1 na tabela simplex para produzir os seguintes conjuntos de variáveis não básicas e básicas. A regra associada com os cálculos das razões é denominada condição de viabilidade. F2 sai. Base Z X Y F3 F4 Pesquisa Operacional Z 1 0 0 0 0 X 0 1 0 0 0 Y 0 0 1 0 0 F1 3/4 1/4 -1/8 3/8 1/8 F2 1/2 -1/2 3/4 -5/4 -3/4 F3 0 0 0 1 0 F4 0 0 0 0 1 Solução 21 3 3/2 5/2 1/2 Linha Z Linha X Linha Y Linha F3 Linha F4 Jhoab Negreiros .Capítulo 5 Algoritmo Simplex 9 Nova linha F4 = Linha F4 atual – ( 0 ) × Nova linha X. Base Z X F2 F3 F4 Z 1 0 0 0 0 X 0 1 0 0 0 Y -2/3 2/3 4/3 5/3 1 F1 5/6 1/6 -1/6 1/6 0 F2 0 0 1 0 0 F3 0 0 0 1 0 F4 0 0 0 0 1 Solução 20 4 2 5 2 Linha Z Linha F1 Linha F2 Linha F3 Linha F4 Observe que a nova tabela tem as mesmas propriedades da tabela inicial. Nova linha X = Linha X atual – ( 2/3 ) × Nova linha Y. Substituindo F2 na coluna base por Y que entra. Nova linha Y = Linha F2 atual ÷ 4/3. A condição de viabilidade produz o seguinte: Base X F2 F3 F4 Entrando Y Solução 2/3 4/3 5/3 1 4 2 5 2 Razão (ou intercepto) Y = 4:2/3 = 6 Y = 2:4/3 = 1.5 (Mínimo) Y = 5:5/3 = 3 Y = 2:1 = 2 Conclusão: Y entra. Pela condição de otimalidade mostra que Y é a variável que deve entrar na base. Nova linha F4 = Linha F4 atual – ( 1 ) × Nova linha Y. Esses cálculos produzem a tabela a seguir. as seguintes operações de filas por GaussJordan são aplicadas: Substituir F2 na coluna base por Y. Nova linha F3 = Linha F3 atual – ( 5/3 ) × Nova linha Y. O novo valor da função objetivo é igual a 20. Nova linha Z = Linha Z atual – ( – 2/3 ) × Nova linha Y. M1 Matéria-prima. por conseguinte. o recurso é totalmente utilizado e. nenhum dos coeficientes da linha Z associados com as variáveis não básicas F1 e F2. é negativo. uma folga positiva indica que o recurso é abundante.5 21 Recomendação Produzir 3t diárias de tintas para exteriores. O procedimento para iniciar a resolução de problemas de PL com as restrições (=) e (≥) é usar variáveis artificiais que desempenham o papel de folgas na primeira iteração e então. Isso não acontece com modelos que envolvem restrições (=) e (≥) . descartá-las legitimamente em iterações posteriores. M2 Limite de Mercado Limite da demanda Valor da Folga F1 F2 F3 F4 Condição Escasso Escasso Abundante Abundante 5. A solução ótima pode ser lida na tabela simplex da seguinte maneira: Variável de decisão X Y Z Valor ótimo 3 1. Assim. essa tabela simplex é ótima. Se a folga for zero.7 Método das duas Fases Os problemas de PL nos quais todas as restrições são (≤) com lados direitos não negativos oferecem uma solução básica inicial viável conveniente na qual todas as variáveis são de folga. Classificação das restrições do modelo: Recurso Matéria-prima. Ao contrário. o recurso é denominado abundante.5t diárias de tintas para interiores. Essa informação é obtida da tabela ótima pela verificação do valor da variável de folga associada à restrição que representa o recurso. Lucro diário é $ 21.00. Caso contrário. é classificado como escasso. Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . Um recurso é designado como escasso se as atividades (variáveis) do modelo o usarem totalmente. Produzir 1. A solução também fornece informações dos recursos.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 10 Com base na condição de otimalidade. Capítulo 5 Algoritmo Simplex 11 Usaremos o exemplo para desenvolver o método: Exemplo 7. x = y = F1 = 0 . R 2 ≥ 0 A tabela associada é dada: Base r R1 R2 F2 X 0 3 4 1 Y 0 1 3 2 F1 0 0 -1 0 R1 -1 1 0 0 R2 -1 0 1 0 F2 0 0 0 1 Solução 0 3 6 4 Linha r Linha R1 Linha R2 Linha F2 Antes de continuar com os cálculos do método simplex. precisamos tornar a linha r consistente com o resto da tabela. Minimizar a função: Z = 4 x + 5 y . Para isso são substituídas na linha r . o que resulta na solução básica R1 = 3 . F2. R 2 = 6 e F 2 = 4 . Especificamente. o que resulta na solução básica: r = 3 + 6 = 9 (em vez de 0. F 2. F1. y. e a forma de equações do problema é dada como: Minimizar : r = R1 + R 2 Sujeito a: 3 x + y + R1 = 3 4 x + 3 y − F1 + R 2 = 6 x + 2y + F2 = 4 x. como mostra a tabela acima). R1. A terceira equação tem sua variável de folga. adicionamos as variáveis artificiais R1 e R2 nas duas primeiras equações. y ≥ 0 Fase I Usando F1 como uma sobra na segunda restrição e F2 como folga na terceira restrição. mas a primeira e a segunda equação não têm. na tabela. sujeito a restrições: 3x + y = 3 4x + 3 y ≥ 6 x + 2y ≤ 4 x. usando os seguintes cálculos: Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . as variáveis artificiais concluíram sua missão e podemos eliminar totalmente suas colunas da tabela e passar para a Fase II. escrevemos o problema original como: Minimizar : Z = 4 x + y Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . y = e F 2 = 1 . 5 5 Nesse ponto. Base r R1 R2 F2 X 7 3 4 1 Y 4 1 3 2 F1 -1 0 -1 0 R1 0 1 0 0 R2 0 0 1 0 F2 0 0 0 1 Solução 9 3 6 4 Linha r Linha R1 Linha R2 Linha F2 Entrando X e saindo da base R1. Fase II Após eliminar as colunas artificiais. Base r X R2 F2 X 0 1 0 0 Y 5/3 1/3 5/3 5/3 F1 -1 0 -1 0 R1 -7/3 1/3 -4/3 -1/3 R2 0 0 1 0 F2 0 0 0 1 Solução 2 1 2 3 Linha r Linha X Linha R2 Linha F2 Entrando Y e saindo da base R2. a Fase I produz a solução básica viável x = . Base r X Y F2 X 0 1 0 0 Y 0 0 1 0 F1 0 R1 -1 R2 -1 -1/5 3/5 -1 F2 0 0 0 1 Solução 0 3/5 6/5 1 Linha r Linha X Linha Y Linha F2 1/5 9/15 -3/5 -4/5 1 1 3 6 Como mínimo r = 0 .Capítulo 5 Algoritmo Simplex 12 Nova linha r = linha velha r + (1× linha R1 + 1× linha R 2) . Se o valor mínimo da soma for positivo. devemos entrar na solução. o que encerra o processo (lembre-se de que uma variável artificial positiva significa que uma restrição original não foi satisfeita). a tabela inicial da Fase II é dada como: Base Z X Y F2 X 0 1 0 0 Y 0 0 1 0 F1 1/5 1/5 -3/5 1 F2 0 0 0 1 Solução 18/5 3/5 6/5 1 Linha Z Linha X Linha Y Linha F2 Como estamos minimizando F1. elas devem ser substituídas com a utilização dos seguintes cálculos: Nova linha Z = linha velha Z + (4 × linha x + 1× linha y ) Portanto. o problema de PL não tem nenhuma solução viável. F 2 ≥ 0 Base Z X Y F2 X -4 1 0 0 Y -1 0 1 0 F1 0 1/5 -3/5 1 F2 0 0 0 1 Solução 0 3/5 6/5 1 Linha Z Linha X Linha Y Linha F2 Novamente. como as variáveis básicas x e y têm coeficientes não zero na linha Z. y. Em seguida.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 13 1 3 x + F1 = 5 5 3 6 Sujeito a: y − F1 = 5 5 F1 + F 2 = 1 x. Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . independentemente do problema de PL ser de maximização ou minimização. Fase 2: Use a solução viável da Fase 1 como uma solução básica viável inicial para o problema original. F1. sempre minimizará a soma das variáveis artificiais. ache uma solução básica com as equações resultantes que. Base Z X Y F1 X 0 1 0 0 Y 0 0 1 0 F1 0 0 0 1 F2 -1/5 -1/5 3/5 1 Solução 17/5 2/5 9/5 1 Linha Z Linha X Linha Y Linha F1 Resumo do método das duas fases: Fase 1: Expresse o problema na forma de equações e adicione as variáveis artificiais necessárias às restrições para garantir uma solução básica inicial. Dada a pequena escala da fábrica. O lucro líquido de A é de R$ 60. Determinar a quantidade a ser produzida de A e B a fim de se ter um lucro máximo.00. Uma fábrica produz dois artigos A e B. bem como a quantidade de máquinas disponíveis. O papel é cortado. determine o valor máximo (a). Cada unidade de produto B requer 3 horas em M1 e 1 hora em M2. B e C. dobrado e empacotado.50. o mercado absorverá qualquer produção a um preço constante. Sabendo que a função objetivo de um problema de programação linear é dada por f ( x.(b) e (c) e mínimo (d) desta função sobre as restrições utilizando o método simplex. Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros . A fábrica recebe o papel em grandes rolos. x ≥ 0. Exercício 3. y ≥ 0 (c) x + y ≤ 25 x + y ≥ 5 x ≥ 0. y ≤ 50 x + 2 y ≤ 120 x ≥ 0. e R$ 2. Cada unidade de produto A requer 2 horas em ambas as máquinas.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 14 5.8 Atividades Exercício 1.00 por unidade e o de B. y ≥ 0 3x + y ≥ 12 (d) 3x + 4 y ≥ 30 2 x + 7 y ≥ 28 Exercício 2. R$ 70. Planeje a produção semanal da fábrica. y ≥ 0 (b) x ≤ 60. que devem passar por duas máquinas diferentes M1 e M2. O lucro unitário de cada produto é respectivamente R$ 1. y ) = 4 x + 5 y . que trabalham 40 horas por semana. O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica.00. M1 tem 12 horas de capacidade diária disponível e M2 tem 5 horas. y ≥ 0 (a) 2 x + y ≤ 15 x + 2 y ≤ 15 x ≥ 0. R$ 1.00 por unidade. Uma pequena fábrica de papel toalha manufatura três tipos de produtos A. 80 unidades de proteína. 120 unidades de carboidratos e 30 unidades de gordura.200. João Pessoa e Manaus. com as respectivas encomendas mensais são: Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros .40 Ração D 80 20 3 0.25 Ele calculou as necessidades diárias de alimentação de cada animal em.000 Exercício 6. pelo menos. cuja composição de nutrientes (unidades/Kg) está mostrada abaixo: Nutrientes Proteínas Carboidratos Gordura Custo/Kg Ração A 30 60 5 0. Os pontos principais de revenda. Desejamos otimizar o lucro pela utilização de até quatro opções de culturas (milho.00 Trigo 1. trigo.000. gastos com preparo do terreno e utilização de mão-de-obra.00 25 900. A matriz abaixo apresenta os dados referentes a cada cultura: Atividade Preparo do terreno (R$/ha) Mão-de-obra (homens/dia) Lucro (R$/ha) Milho 1. Tem-se disponível 400 ha de terra para o cultivo.00 Açúcar 1.00 Soja 1. soja e açúcar).200.50 Ração E 20 20 2 0.00 20 600.00 30 800.00 Disponível 500.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 15 Seção Corte Dobra Empacotamento Produto A 8 5 0.20 Ração B 20 20 10 0.00 10.7 Produto B 5 10 1 Produto C 2 4 2 Quantidade de Máquina 3 10 2 Exercício 4. Qual deve ser a mistura das rações acima a custo mínimo? Exercício 5.00 28 500. As restrições referem-se ao espaço utilizado. Uma empresa produz televisão em 3 fábricas: São Paulo.500.30 Ração C 15 60 5 0. Um criador de coelhos alimenta os animais com cinco tipos de ração.000. Pesquisa Operacional Jhoab Negreiros .000 unidades 5.000 unidades 3.500 1.Capítulo 5 Algoritmo Simplex 16 Rio de Janeiro Salvador Aracajú Maceió Recife 6.000 6.500 3.000 Aracaju (3) 3.000 Determinar o número de unidades produzidas em cada fábrica e entregues a cada revenda.000 2.000 2. a fim de minimizar o custo de transporte.000 Recife (5) 4.000 Salvador (2) 2.500 Maceió (4) 3.200 3.000 unidades 2.000 unidades 6.000 unidades O custo de transportes das fábricas até as revendas é dado pelo quadro abaixo: R$ por 1.000 4.000 unidades A produção máxima mensal em cada fábrica é: São Paulo João Pessoa Manaus 10.000 1.000 unidades 5. Para De (1) São Paulo (2) João Pessoa (3) Manaus Rio de Janeiro (1) 1.000 4.000 1.000 unidades de TV.000 unidades 1.