CAPITULO IIIELECTROSTATICA Y DIELECTRICOS Los materiales se clasifican en conductores y dieléctricos. DIELECTRICOS Y PERMITIVIDAD: En un conductor los electrones exteriores de un átomo son liberados fácilmente. En un DIELECTRICO, los electrones están bien unidos y no se desligan en presencia de E. Por ello E no produce migración de carga en un dieléctrico, esta propiedad hacen que sean buenos aisladores. La parafina, el vidrio y la mica son ejemplos de dieléctricos. Una característica importante de un dieléctrico es su “Permitividad” : (también llamada constante dieléctrica). Permitividad del dieléctrico > Permitividad del vacío εr = ε → ε = ε rε 0 ε0 ε εr = permitividad relativa del dieléctrico ε = permitividad del dieléctrico ε0 = permitividad de vacío ( 8,85 p F/m) CAMPO ELECTRICO EN UN DIELECTRICO: En espacio libre (vacío) E= F/ΔQ es decir se puede medir. En conductor E cambia por efecto electroestático (tienen cargas libres que se mueven en respuesta a un campo). Los dieléctricos no tiene cargas libres, se puede pensar que no influyen, el E si afectan aunque el mecanismo es diferente (se centra en efectos externos del dieléctrico). DIPOLO ELECTRICO Y MOMENTO DE DIPOLO ELECTRICO: La combinación de dos cargas puntuales iguales Q de signos opuestos separados por una pequeña distancia “d” se llama “dipolo eléctrico” y el producto “Qd” es el “momento” de dipolo eléctrico (p). Dipolos Q + × d d = distancia del dipolo Q × *carga + *carga – *separados una distancia d Un dipolo esta constituido por × r1 Q P + r d p θ u r2 θ Q r2 − r1 = d cos θ r: distancia del punto “P” al dipolo El potencial de la carga + será : V+ = Q 4πε r1 −Q 4πε r2 V− = El potencial será: V = Q 1 1 − 4π ε r1 r2 : Momento de Dipolo V= Q d cosθ Q d ⋅u p⋅u = = 4π r 2 4π r 2 4π r 2 ε ε ε POLARIZACION DE DIELECTRICOS ELECTROESTATICO ELECTRICO: Si se aplica un campo eléctrico: EN EL CAMPO . r. d = p . r2 son paralelas. se puede considerar que r1. por lo tanto: 2 Si remplazamos r2 ⋅ r1 ≅ r y .V = Q r2 − r1 ⋅ 4π ε r2 r1 Si el punto el punto P está a una distancia grande en comparación con “d” r2 ⋅ r1 ≅ r 2 . r2 .r1 = d cos θ d cos θ = d (1)cos θ = d ⋅u V = Qd cos θ 4π εr 2 V= p Qd cosθ Q d ⋅u = 4π ε 2 4π ε 2 r r Q. Sin embargo. el campo eléctrico externo hace que las sustancias actúen como enormes “Arreglos” de dipolos. En tales casos se dice que el dieléctrico esta polarizado. Por lo tanto si se quiere conocer el E producido por la molécula se deben considerar como dos cargas puntuales Q y –Q desplazadas una pequeña distancia (a esto se conoce como dipolo eléctrico). A si pues en los dieléctricos. Debido a las fuerzas que mantiene unida la molécula esta solo se desplaza un poco la carga + central con respecto al centro de la nube con carga .El Campo opera con una fuerza QE en la carga + central y por la misma fuerza en dirección contraria en la nube con carga -. se podría evaluar la intensidad del campo eléctrico y el potencial escalar en cualquier punto. Este proceso se llama POLARIZACION + × d Dipolo eléctrico × En un dieléctrico se tiene (se aplica E): + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + E + + + + + + + + δsp δp Donde : δsp : densidad superficial de cargas de polarización δp : densidad volumétrica de cargas de polarización VECTOR DE POLARIZACION Un dieléctrico polarizado es un extenso número de dipolos eléctricos situados en el vacío. Si se conocieran las cargas Q y – Q de los dipolos y sus posiciones. Por tal razón se define .. esto sería prácticamente imposible por el número extraordinario de dipolos. Recordemos el Potencial de un dipolo: V = p ⋅u 4πε r 2 Remplazando “p” se tiene: “El Potencial de un cuerpo dieléctrico polarizado” 1 4πε0 P 2 V = ∫r ar . dvol encerrado Se deduce: p = ∫P dv d p =P v d Momento de dipolo de un dominio pequeño dvol con polarización P.dv . Conociendo P. cantidad vectorial que se denomina Vector de Polarización. Recordemos: Qd = p p : Momento de Dipolo Considere ahora un volumen pequeño “dvol” de un dieléctrico polarizado.un “tipo de densidad dipolar promedio”. Sea N el número de dipolos por unidad de volumen dentro de dvol y sea “p” el momento de los dipolos. El Vector de Polarización “P” en un punto dentro de dvol se define: P= ∑p ∆v ∆V = Np N: número de dipolos por unidad de volumen dentro de dvol. se tiene los dipolos orientados en dirección de E. Dentro de un dieléctrico no homogéneo habrá también una carga volumétrica porque no son idénticos los dipolos y su campo ya no se cancela. Es una carga adicional que aparece en la superficie (Carga superficial de polarización).La polarización viene dada por la relación susceptibilidad eléctrica y la permitivilidad en el vacío: P = [ Xe ⋅ ε ] E X e : Susceptibilidad dieléctrica. Se puede suponer que las cargas superficiales y las volumétricas se encuentran en el vacío. Al introducir un dieléctrico en un campo eléctrico. ( ( ( ( +) +) +) +) +) +) +) +) + ) +) +) +) +) +) +) p⋅P E ( ( ( ( ( ( ( δsp DISTRIBUCION DE CARGAS EN DIELECTRICOS δp + POLARIZADOS Un dieléctrico polarizado siempre puede reemplazarse con una distribución equivalente de carga volumétrica de polarización y carga superficial de polarización. La relación entre la carga (Q) de polarización dentro de una superficie cerrada y el vector de polarización (P) sobre la superficie puede derivarse . pues es resto del dieléctrico no produce campo alguno. CARGA DE POLARIZACION (Q). Dentro de un dieléctrico homogéneo los campos de todos los dipolos se cancelan. Sin embargo en la superficie del dieléctrico habrá extremos de dipolos no compensados. Xe +1 =εr El sentido de p y P es el mismo que E. la carga total que cruza hacia arriba es: n q d cosθ ΔS dQ = n q d ds dQ = P.“contando la carga que atraviesa una superficie durante el proceso de polarización” Recordando que Q es la carga de polarización. Si se toma un ΔS del interior de un dieléctrico: ds E θ ΔS El E produce un momento de dipolo eléctrico p =q d de tal forma que p y ds forman un ángulo θ con ds Ahora veamos el movimiento de las cargas ligadas a ΔS. la carga Q total que esta saliendo será P . las cargas (+) y (-) se desplazan a través de ΔS. P= np) Luego la carga (Q) de polarización es: Q =∫P ⋅d s Si se trata de una superficie cerrada.ds (ds= cosθ ΔS) (p = qd. luego como existen n moléculas por volumen. Q+ s a l i e n =d ∫o P ⋅ d s Qd e n tdr e vl o l u m = e− ∫n P ⋅ d s= δ p ⋅ ∆ V o l o CARGA VOLUMETRICA DE POLARIZACION ( δ ).ds un d s = d s ⋅ un α P .p Sabemos Q = δ Δvol p Q+ s a l i e n =d ∫o P ⋅ d s Qd e n tdr e vl o l u m = e− ∫n P ⋅ d s= δ p ⋅ ∆ V o l o δp = − ∫ P ⋅ ds ⇒ ∆Vol Divergencia de Polarización δp = − div P Densidad Volumétrica de carga de polarización DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA DE POLARIZACION Si encuentro la δsp de carga de polarización δsp = dQ ds Q = ∫P ⋅ ds dQ = P. δ sp = dQ Pds.ds = Pds.dQ = P. µn = ds ds µ n δsp = P ⋅ µn δsp = P ⋅ µn Densidad superficial de Polarización CAPACITOR CON DIELECTRICO Si tengo un capacitor con un dieléctrico entre placas y deseo encontrar el campo eléctrico en el interior. Recordemos: + ++ + δs ++ δs ++ ++ + En = δs εo E=0 δ En = s Ε0 E=0 Se tiene un capacitor (dos placas) con un dieléctrico: δsp δsp + δs d − δs + δs P P Xe u n1 E ∆V u n2 . Encontrar el campo eléctrico con Dieléctrico VECTOR DE DESPLAZAMIENTO –FORMA GENERALIZADA DE LA LEY DE GAUSS- CONDICIONES DE FRONTERA CON DIELECTRICOS - tg θ1 ε = 1 tg θ2 ε2 . Nota : si tengo entre dos electrodos varios medios. por lo tanto tendría varias capacitancias en serie o serie. CONDICION SERIE-PARALELO: Si tengo una combinación de capacitancia en serie o en paralelo de varios medios ∆V1 ∆V ∆V 2 Q = C ⋅ ∆V ∆V “SERIE” “PARALELO” PARALELO: Q Q ∆V Q1 C1 Q2 C2 Qn Cn Ceq . cada medio me representara una capacitancia diferente. Q = Q1 + Q2 + + Qn Q = C1∆V + C2 ∆V + + Cn ∆V Q = (C1 + C2 + + Cn ) ∆V Ceq = ∑C SERIE: Q Q ∆V1 ∆V 2 ∆Vn C1 C2 Cn Ceq ∆V ΔV = ΔV1+ ΔV2+… 1 Q Ceq ∆V = 1 1 1 1 1 = + + + + Ceq c1 c 2 c3 cn 1 1 =∑ Ceq Ci ANALISIS DE DISPOSICION DE MEDIOS 2 Si tengo dos placas ε1 ε E1D1 E 2D2 P2 P1 ∆V1 ∆V Caso 1 ∆V 2 . Además :Dieléctricos.∆ = ∆ 1 +∆ 2 V V V ∆ = −∫E1.dl 1 − ∫E 2 . por lo tanto: E1t = E 2t = E D1t = ε1E D2t = ε 2E Si tengo dos medios ε2 E 2 D2 E1 D1 ε1 .Dieléctricos δs =0 Si son normales el vector desplazamiento en el medio uno es igual al vector desplazamiento en el medio dos D1 = D2 = D D1n = D2 n El E si es diferente porque dependerá de la permitividad E1 = D ε1 E2 = D ε2 Si tengo dos medios ε1 E1 D1 P1 Caso 2 ∆ = − E .dl 2 V *El E y el vector desplazamiento son normales.d V ∫ l ε2 E 2 D2 P2 ∆V D1 ≠ D2 E1 = E2 = E Aquí los vectores son tangenciales a las fronteras. si son normales las componentes tangenciales no existen. .F pag.-Tema #1 Examen 03 de Julio 2007 EJERCICIOS: 2.C pag. Calcular Capacitancia.También: ε1 E1 ε2 θ2 tg θ1 ε1 = tg θ2 ε2 θ1 E1 EJERCICIOS: 1.Tema # 1 examen 04 de Julio 2006..Tema # 3 examen 05 de Diciembre 2006 4. δsp ). δsp . 22 (Capacitancia. Se tiene un cable coaxial con dos conductores y entre los conductores 2 dieléctricos.C pag. δsp apuntes J. 2.. 3. δs .Apuntes A. 22 (Capacitancia. 39.Apuntes A.-Tema #3 Examen 03 de Julio 2007 5. δs . δs .. 40). . b) Calcular las densidades de carga de polarización superficial en la frontera dieléctrico-dieléctrico. Calcular: a) Los valores “d1” y “d2” para que la diferencia de potencial que soporta cada dieléctrico sea igual. El espacio entre las placas se llena con dos dieléctricos de permitividad ε1 y ε2. tiene entre placas una diferencia de potencial “V”.FACULTAD DE INGENIERIA EN ELECTRICIDAD Y COMPUTACION EXAMEN DE TEORIA ELECTROMAGNETICA I PRIMERA EVALUACIÓN 04 de Julio del 2006 NOMBRE:________________________________________________________ Paralelo: ________ Profesor:________________________________________ TEMA # 1 Un capacitor de placas paralelas de superficie “S” y distancia entre las placas “d”. y b = 0. Tiene entre sus placas un dieléctrico εr = 2 π. .ΔV ε1 ε d1 d d2 FACULTAD DE INGENIERIA EN ELECTRICIDAD Y COMPUTACION EXAMEN DE TEORIA ELECTROMAGNETICA I PRIMERA EVALUACIÓN 08 de Julio del 2008 NOMBRE:________________________________________________________ Paralelo: ________ Profesor:________________________________________ TEMA # 1 Dos placas rectangulares de dimensiones a = 0.30 m. separados por una distancia d = 0.20 m.002 m. La diferencia de potencial entre sus placas es de 2000 voltios. Cual es el flujo eléctrico que sale de una placa y termina en la otra? (Desprecie los efectos de borde). a b d εr . Considerar además que cada placa se encuentra cargada con una carga “Q”. b) Determine las distribuciones de cargas superficiales de polarización. La distancia entre las placas es “ d ” y su área es “ S ”. .Tema # 3 Examen 05 de Diciembre 2006 El dieléctrico en un capacitor de placas planas paralelas es no homogéneo. La permitividad varía linealmente desde un valor ε1 en la superficie de una de las placas. hasta un valor ε2 en la superficie de la otra placa. a) Determine la capacitancia de este capacitor. Determine el máximo voltaje Vo (voltaje de ruptura) que puede soportar el mencionado capacitor antes de que se produzca el daño al dieléctrico del mismo. cuya permitividad es ε y la intensidad dieléctrica máxima del material tiene un valor de k [V/m]. .EXAMEN 03 DE JULIO 2007 TEMA # 3 El espacio entre conductores de un capacitor cilíndrico coaxial está lleno de un dieléctrico. c) Calcular las densidades superficiales de carga libre en cada electrodo (placa). . los vectores de desplazamiento (D) y las densidades superficiales da carga de polarización de cada medio.EXAMEN 03 DE JULIO 2007 TEMA # 1 Se tiene un capacitor de placas paralelas con dos dieléctricos dispuestos como se muestra en la figura y con las dimensiones indicadas. Calcular: a) La Capacitancia Total. b) Los Campos Eléctricos (E). a ε ε 11 ε2 c d V0 b .