Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora PearsonCapítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori QUESTÕES PARA DISCUSSÃO Q10.1 Ao apertar os parafusos da cabeça do motor de um automóvel, a grandeza critica é o torque aplicado aos parafusos. Por que o torque é mais importante que a força efetiva aplicada sobre o punho da chave de boca? Q10.2 Pode uma única força aplicada a um corpo alterar simultaneamente seu movimento de translação e de rotação? Explique. Q10.3 Suponha que você possa escolher qualquer tipo de roda para o projeto de um carro de competição soapbox (um veículo de quatro rodas sem motor que desce uma encosta a partir do repouso). Seguindo as regras do limite máximo para o peso do carro somado com o peso do competidor, você usaria rodas grandes e pesadas ou rodas pequenas e leves? Você usaria rodas maciças ou rodas ocas com a massa concentrada em um aro na periferia da roda? Explique. Q10.4 A menos que r e F sejam ortogonais, existem sempre dois ângulos entre estas forças que fornecem o mesmo torque para valores fixos dos módulos de r e F . Explique por que. Ilustre sua resposta com um desenho. Q10.5 O eixo da manivela do motor de um automóvel possui uma roda para aumentar o momento de inércia em torno do eixo de rotação. Por que isso e desejável? Q10.6 Quanto mais fortemente você pisar no freio enquanto o carro se desloca para a frente, mais para baixo a parte dianteira do carro se move (e a parle traseira se move mais para cima). Por que? O que ocorre durante a aceleração? Por que os carros de corrida do tipo dragster não usam apenas direção nas rodas dianteiras? Q10.7 Quando unia acrobata anda sobre uma corda esticada, ela abre e estende seus braços lateralmente. Ela faz isso para que seja mais fácil se equilibrar caso tombe para um lado ou para o outro. Explique como isso funciona. {Sugestão: Raciocine usando a Equação: 1 N i i I t o = = · ¯ Q10.8 Quando um motor eletrico é acionado, ele leva mais tempo para atingir sua velocidade final quando existe um esmeril ligado ao eixo do motor. Por quê? Q10.9 Sem quebrar a casca do ovo, um cozinheiro experiente pode distinguir um ovo natural de outro que já tenha sido cozdo na água fazendo os dois rolarem sobre um plano inclinado (se você Fizer a experiência tome cuidado para segurar os ovos na base do plano). Como isso ê possível ? O que se espera concluir ? Q10.10 Quando um esmeril elétrico e desligado, a roda do esmeril leva cerca de um minuto ale parar. Quando uma furadeira elêtrica ê desligada, a broca leva apenas alguns segundos ate parar. Explique a razão dessa diferença. Q10.11 Sobre o martelo indicado na Figura l atua a força da gravidade, e sabemos que uma torça produz um torque que faz a velocidade angular de um corpo mudar. Como, então, explicar que a velocidade angular do martelo dessa Figura permanece constante ? Figura 1 Q10.12 Suponha que você puxe o Fio da figura 2 para cima. A energia mecânica seria conservada nesse caso ? Explique por quê. Figura 2 Q10.13 Uma roda eslá rolando sem deslizamento sobre uma superfície horizontal. Em um sistema de referência inercial no qual a superfície está cm repouso, existe algum ponto sobre a roda que possua uma velocidade puramente vertical ? Existe algum ponto sobre a roda que possua velocidade com um componente horizontal com sentido oposto ao da velocidade do centro de massa? Explique. Caso a roda deslize durante o giro, suas respostas semodificam ? Explique. Q10.14 Parte da energia cinética da rotação de um automóvel em movimento esta em suas rodas. Quando você aplica fortemente os freios em uma rua com gelo, as rodas ficam "bloqueadas", e o carro começa a deslizar. O que ocorre com a energia cinética da rotação ? Q10.15 Você está em pé no centro de um carrossel horizonlal que gira em um parque de diversões. O carrossel gira sobre apoios sem atrito, e sua rotação é livre (ou seja, não existe nenhum motor fazendo o carrossel girar). Quando você caminha até a periferia do carrossel, diga o que ocorre com o momento angular total do sistema constituído por você junto com o carrossel. O que ocorre com a velocidade angular do carrossel ? Explique suas respostas. Q10.16 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme. Em relação a uma origem no centro do círculo, existe um torque resultante atuando sobre a partícula ? Uma força resultante ? O que ocorreria se a velocidade da partícula estivesse variando ? Explique sua resposta em cada caso. Q10.17 Uma partícula se move em linha reta Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori com velocidade constante e a distância entre a reta e a origem é igual a l. Em relação à origem, o momento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero ? A medida que a partícula se desloca ao longo da rela seu momento angular em relação à origem varia ? Q10.18 No Exemplo 10.13 (Seção 10.7) a velocidade angular e varia e isto deve significar que existe uma aceleração angular diferente de zero. Porém não existe nenhum torque em torno do eixo de rotação quando as forças que o professor aplica sobre os pesos estão orientadas radialmente para dentro. Então pela Equação: 1 N i i I t o = = · ¯ o deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente. Q10.19 No exemplo 10.13 (Seção 10.7) a energia cinética do professor junto com os halteres aumenta. Contudo, como não existem torques externos, não existe nenhum trabalho capaz de alterar a energia cinética da rotação. Então, pela Equação (10.25) a energia cinética deve permanecer constante! Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente. De onde vem a energia cinética extra? Q10.20 Conforme discutimos na Seção 10.7, o momento angular de uma acrobata no circo se conserva à medida que ela se move através do ar. Seu momento linear se conserva? Explique sua resposta. Q10.21 Quando você segura durante um intervalo mínimo de tempo um ovo fresco que está girando e a seguir o liberta, o ovo começa a girar novamente. Quando você repete a experiência com um ovo cozido, ele permanece parado. Experimente fazer isso. Explique. Q10.22 Um helicóptero possui um rolor grande principal que gira em um plano horizonlal e ocasiona a força de sustentação. Existe também um rotor pequeno na traseira do helicóptero que gira em um plano vertical. Qual é a finalidade do rotor traseiro ? (Sugestão: Caso não existisse o rotor traseiro, o que ocorreria quando o piloto fizesse variar a velocidade angular do rotor principal ?) Alguns helicópteros não possuem rotor traseiro, mas possuem dois rotores principais grandes que giram em um plano horizontal. Por que é importante que esses rotores girem em sentidos contrários ? Q10.23 Em um projcto comum de giroscópio, o volante que gira e o eixo do volante permanecem no interior de uma estrutura leve e esférica, com o volante no centro da estrutura. O giroscópio é a seguir equilibrado no topo de um pivô de modo que o volante fique direlamcntc acima do pivô. O giroscópio realiza precessão quando ele é libertado enquanto o volante está girando ? Explique. Q10.24 Um giroscópio leva 3.8 s para fazer uma precessão de l.0 revolução em torno de um eixo vertical. Dois minutos depois ele leva 1.0 s para fazer uma precessão de 1.0 revolução. Ninguém tocou no giroscópio. Explique o que ocorreu. Q10.25 Um giroscópio realiza um movimento de precessão como indicado na Figura 3. O que ocorrerá se você colocar suavemente algum peso em um ponto o mais afastado possível do pivô. ou seja. na extremidade do eixo do volante? Figura 3 Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Exercícios Seção 10.2 – Torque 10.1 Calcule o torque (módulo, direção e sentido) em torno de um ponto O de uma força F em cada uma das situações esquematizadas na Figura 4. Em cada caso, a força F e a barra estão no plano da página, o comprimento da barra é igual a 4.00 m e a força possui módulo de valor F = 10.0 N. Figura 4 10.2 Calcule o torque resultante em torno de um ponto O para as duas forças aplicadas mostradas na Figura 5. Figura 5 10.3 Uma placa metálica quadrda de lado igual a 0.180 m possui o eixo pivotado perpendicularmente ao plano da página passando pelo seu centro O (Figura 6). Calcule o torque resultante em torno desse eixo produzido pelas três forças mostradas na figura, sabendo que F 1 = 18.0 N, F 2 = 26.0 N e F 3 = 14.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o plano da página. Figura 6 10.4 As forças F 1 = 7.50 N e F 2 = 5.30 N são aplicadas tangencialmente a uma roda com raio igual a 0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o torque resultante da roda produzido por estas duas forças em relação a um eixo perpendicular à roda passando através de seu centro? Resolva o caso (b). Figura 7 (a) (b) 10.5 Uma força atuando sobre uma parte de uma máquina é dada pela expressão: ( ) ( ) ˆ ˆ 5.00 4.00 F N i N j = ÷ · + · O vetor da origem ao ponto onde a força é aplicada e dado por: ( ) ( ) ˆ ˆ 0.45 0.15 r m i m j = ÷ · + · (a) Faça um diagrama mostrando r F e a origem. (b) Use a regra da mão direita para determinar a direção e o sentido do torque. (c) Determine algebricamente o vetor torque produzido por essa torça. Verifique se a direção e o sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b). Figura 8 - Regra da mão direita. SEÇÃO 10.3 TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO 10.6 O volante de uma certa máquina possui momento de inércia igual a 2.50 kg.m 2 em tomo do seu eixo de rotação, (a) Qual é o torque constante necessário para que, partindo do repouso, sua velocidade angular atinja o valor de 400 rev/min em 8.00 s ? (b) Qual é sua energia cinética final ? 10.7 Usando o valor de a calculado no Exemplo 10.2 (Seção 10.3), qual é o valor da velocidade do cabo Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori depois que ele foi puxado 2,0 m? Compare seu resultado com o obtido no Exemplo 9.8 (Seção 9.5). 10.8 Uma corda é enrolada em torno da periferia de uma roda de raio igual a 0.250 m, e a corda é puxada por uma força constante de 40.0 N. A corda é montada cm apoios sem atrito sobre um eixo horizontal que passa em seu centro. O momento de inércia da roda em torno do eixo é igual a 5.00 kg.m 2 . Calcule a aceleração angular da roda. 10.9 (a) Calcule o modulo η da força normal para as situações descritas no Exemplo 10.3 (Seção 10.3). (b) Sua resposta do item (a) é menor do que, igual a, ou maior do que o peso total do cilindro junto com a massa (M + m).g. Explique como isso ocorre. (c) Suponha que o cilindro esteja inicialmente girando no mesmo sentido dos ponteiros do relógio de modo que a massa suspensa m suspensa esteja inicialmente se movendo para cima com velocidade escalar v 0 (o cabo permanece esticado). Qual e o efeito que isso produz sobre a tensão T e sobre a força normal η. Explique. 10.10 (a) Na situação descrita no Exemplo 10.2 da Seção 10.3 (Figura 9), a torça normal η exercida sobre o cilindro pelo mancal está orientada para cima e para a esquerda. Explique a razão da força normal possuir essa direção. (b) Determine o modulo, a direção e o sentido de η. Figura 9 10.11 Um esmeril em forma de disco sólido com diâmetro de 0.520 m e massa de 50.0 kg gira a 850 rev/min. Você pressiona um machado contra sua periferia com uma torça normal de 160 N (Figura 10) e o esmeril atinge o repouso em 7.50 s. Ache o coeficiente de atrito entre o machado e o esmeril. Despreze o atrito nos mancais. Figura 10. 10.12 Um balde com água de 15.0 kg é suspenso por uma corda enrolada em torno de um sarilho, constituído por um cilindro sólido com diâmetro de 0.300 m e massa igual a 12.0 kg. O cilindro e pivotado sobre um eixo sem atrito passando em seu centro. O balde é libertado a partir do repouso no topo de um poço e cai 10.0 m até atingir a água. Despreze o peso da corda, (a) Qual e a tensão na corda enquanto o balde está caindo ? (b) Com que velocidade o balde atinge a água ? (c) Qual é o tempo de queda ? (d) Enquanto o balde está caindo, qual e a força exercida pelo eixo sobre o cilindro ? 10.13 Um livro de 2.00 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma corda amarrada ao livro passa sobre uma polia com diâmetro igual a 0.150 m e sua outra extremidade está presa a outro livro suspenso com massa de 3.00 kg. O sistema e solto a partir do repouso e os livros se deslocam 1.20m em 0.800 s. (a) Qual é a tensão em cada parte da corda ? (b) Qual e o momento de inércia da polia em torno do seu eixo de rotação? 10.14 Uma barra horizontal fina de comprimento L e massa M é articulada em torno de um eixo vertical passando em sua extremidade. Uma força com módulo constante F é aplicada à outra extremidade, fazendo a barra girar em um plano horizontal. A força é mantida perpendicularmente á barra e ao eixo da rotação. Calcule o módulo da aceleração angular da barra. SECAO 10.4 ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO MÓVEL 10.15 Um fio é enrolado diversas vêzes em torno da periferia de um pequeno aro de raio 0.0800 m e massa 0.180 kg. Se a extremidade livre do rio e mantida Fixa e o aro é libertado a partir do repouso (Figura 11), calcule: (a) a tensão no fio enquanto o aro desce à medida que o fio se desenrola; (b) o tempo que o aro leva para descer 0.750; (c) a velocidade angular do aro no momento em que ele desceu 0.750 m. Figura 11. 10.16 Repita a parte (c) do Exercício 10.15 usando desta vez considerações de energia. 10.17 No Exemplo 10.5 (Seção 10.4) verificamos que para uma casca cilíndrica oca rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal, metade da energia cinética total e translacional e a outra metade e relacional. Determine que tração da energia cinética total e dada pela parte relacional no case do rolamento sem desilizamento dos seguintes objetos: (a) um cilindro maciço homogêneo; (b) uma esfera maciça homogênea; (c) uma casca esférica, (d) um cilindre eco cem raio externo K e raio Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori interno R/2. 10.18 Uma casca esférica de massa igual a 2.00 kg rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 38°. (a) Ache a aceleração, a força de atrito e e coeficiente de atrito mínimo necessário para impedir o deslizamenlo. (b) Como suas respostas do item (a) seriam alteradas caso a massa fosse dobrada para 4.00 kg ? 10.19 Uma roda de 392 N sai do eixo de um caminhão em movimento e rola sem deslizar ao longo de uma estrada inclinada. Na base de um morro ela está girando a 25.0 rad/s. O raio da roda é igual a 0.600 m e seu momento de inércia em tomo do eixo de rotação é igual a 0.800MR 2 . O atrito realiza trabalho sobre a roda a medida que ela sobe o morro até parar, a uma altura h acima da base do morro: esse trabalho possui módulo igual a 3500 J. Calcule h. 10.20 Uma bola subindo uma inclinação. Uma bola de boliche rola sem deslizar para cima de uma rampa inclinada de um angulo | com a horizontal. (Veja o Exemplo 10.9 na Seçao 10.4.) Considere a bola uma esfera homogênea e ignore os seus orifícios. (a) Faça um diagrama do corpo livre para a bola. Explique por que a torça de atrito deve possuir sentido para cima. (b) Qual e a aceleração do centro de massa da bola? (c) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático mínimo para impedir o deslizamenlo ? SECAO 10.5 TRABALHO E POTÊNCIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 10.21 Um carrossel de um parque de diversões possui raio de 2.40 m e momento de inércia igual a 2100 kg.m 2 em torno de um eixo vertical passando em seu centro e gira com atrito desprezível. (a) Uma criança aplica uma força de 18.0 N tangencialmente a periferia do carrossel durante 15.0 s. Se o carrossel está inicialmente em repouso, qual é sua velocidade angular depois deste instante de tempo de 15.0 s? (b) Qual é o trabalho realizado pela criança sobre o carrossel? (c) Qual é a potência média fornecida pela criança.? 10.22 O Exemplo 9.5 (Seção 9.4) descreve o projeto da hélice propulsora de um avião. O motor fornece l.305.10 5 W para a hélice a uma rotação de 2400 rev/min. (a) Qual é o torque fornecido pelo motor do avião? (b) Qual é o trabalho realizado pelo motor em uma revolução da hélice? 10.23 A roda de um esmeril de 1.50 kg possui forma cilíndrica com raio igual a 0.100 m. (a) Qual deve ser o Iorque constante capaz de levá-lo do repouso a uma revolução angular de 1200 rev/min em 2.5 s? (b) Que ângulo ele girou durante esse intervalo de tempo? (c) Use a Equação ( 10.24) para calcular o trabalho realizado pelo torque, (d) Qual é a energia cinética do esmeril quando ele está girando a 1200 rev/min? Compare sua resposta com o resultado do item (c). 10.24 Qual e a potência em watts de um motor elétrico que gira a 4800 rev/min e desenvolve um torque de 4.30 N.m? 10.25 As extremidades dos dentes de carboneto de uma serra circular estão situadas a uma distância de 8.6 cm do eixo de rotação, (a) Quando a serra não está cortando nenhum objeto, sua velocidade angular é de 4800 rev/min. Por que sua potência é desprezível quando ela não está cortando nenhum objelo? (b) Quando ela está cortando tábuas, sua velocidade angular se reduz para 2400 rev/min e a potência de saída é igual a 1.417 kW. Qual e a força tangencial que a madeira exerce sobre as extremidades dos dentes de carboneto? 10.26 A hélice propulsora de um avião possui comprimento de 2.08 m (de uma extremidade a outra) e sua massa é de 117 kg. Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de 1950 N.m na hélice, que começa a se mover a partir do repouso, (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina. {Sugestão: Veja a Tabela 9.2.} (b) Qual e a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5.00 rev ? (c) Qual e o trabalho realizado pelo motor durante as 5,00 rev iniciais ? (d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5.00 rev iniciais ? (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5.00 rev ? 10.27 (a) Calcule o torque desenvolvido por um motor industrial com potência de 150 kW para uma velocidade angular de 4000 rev/min. (b) Um tambor de massa desprezível com diâmetro igual a 0.400 m é ligado ao eixo do motor e a potência disponível do motor e usada para elevar um peso pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor. Qual é o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante ? (c) Com que velocidade constante o peso sobe? SEÇÃO 10.6 MOMENTO ANGULAR 10.28 Uma mulher com massa de 50 kg está em pé sobre a periferia de um grande disco que gira com 0.50 rev/s em torno de um eixo que passa através do seu centro. possui massa de l IO kg e i aio igual a 4,0 m. Calcule o modulo do momento angular total do sistema mulher- disco. (Suponha que a mulher possa ser tratada como um ponto.) 10.29 Uma pedra de 2.00 kg possui uma velocidade horizontal com modulo de 12.0 m/s quando esta no ponto P na Figura 10.40. (a) Nesse instante, qual é o modulo, a direção e o sentido do seu momento angular em relação ao ponto O ? Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori (b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taxa de variação (módulo, direção e sentido) do momento angular nesse instante ? 10.30 (a) Calcule o modulo do momento angular da Terra considerando-a uma partícula que descreve urna órbita em volta do Sol. A massa da Terra é igual a 5.97.10 24 kg. Suponha que ela descreva um movimento circular uniforme com raio de 1.50.10 11 m e que sua velocidade escalar orbital seja de 2.9.10 4 m/s². (b) Calcule o modulo do momento angular da Terra devido a sua rotação em torno do eixo que liga o Pólo Norte com o Pólo Sul. Considere a Terra uma esfera maciça e homogénea de raio 6.38.10 6 m que completa uma revolução em 24.0 horas. Figura 12. 10.31 Ache o módulo do momento angular do ponteiro dos segundos de um relógio em torno do eixo que passa pelo centro de massa da lace frontal do relógio. Esse ponteiro do relógio possui comprimento de 15.0 cm e massa de 6.00 g. Considere-o uma barra delgada girando com velocidade angular constante em torno de uma de suas extremidades. SECAO 10.7 CONSERVAÇÃO 00 MOMENTO ANGULAR 10.32 Sob determinadas circunstâncias, uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto extremamente denso, constituído principalmente por nêutrons e chamado estrela de nêutrons. A densidade de uma estrela de nêutrons é aproximadamente 10 14 vêzes maior do que a da matéria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela era de 7.0.10 5 km (comparável com o raio do Sol): seu raio final e igual a 16 km. Supondo que a estrela original completava um giro em 30 dias, ache a velocidade angular da estrela de nêutrons. 10.33 Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizonlal sem atrito possui massa de 0.0250 kg. Ele está preso a uma corda sem massa que passa através de um buraco na superfície (Figura 13). No início o bloco está girando a uma distância de 0.300 m do buraco com uma velocidade angular de 1.75 rad/s. A seguir a corda e puxada por baixo, fazendo com que o raio do círculo se encurte para 0.150 m. O bloco pode ser considerado uma partícula, (a) O momento angular é conservado ? (b) Qual é a nova velocidade angular ? (c) Calcule a variação da energia cinética do bloco, (d) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda ? Figura 13. 10.34 Um patinador girando. Podemos considerar as mãos e os braços esticados para fora de um patinador que se prepara para girar como uma barra delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de gravidade (Figura 14). Quando suas mãos e braços se aproximam do corpo e se cruzam em torno do corpo para executar o giro, as mãos e os braços podem ser considerados um cilindro oco com parede fina. A massa total das mãos e dos braços e igual a 8.0 kg. Quando esticadas para tora, a envergadura é de 1.8 m; quando torcidas, elas formam um cilindro de raio igual a 25 cm. O momento de inércia das parles restantes do corpo em relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0,40 kg m². Se sua velocidade angular inicial é de 0,40 rev/s, qual é sua velocidade angular final ? Figura 14. 10.35 Uma mergulhadora pula de um trampolim com braços estendidos verticalmente para cima e pernas esticadas para baixo, fornecendo-lhe um momento de inércia em torno do eixo de rotação igual a 18 kg.m². Ela então se agacha formando uma pequena bola, fazendo seu momento de inércia diminuir para 3.6 kg.m². Quando está agachada ela realiza uma revolução completa em 1.0 s. Caso ela não se agachasse, quantas revoluções faria no intervalo de tempo de 1.5 s desde o trampolim até atingir a água ? 10.36 Uma mesa giratória grande gira em tomo de um eixo vertical fixo, fazendo uma revolução em 6.00 s. O momento de inércia da mesa giratória em torno desse eixo é igual a l 200 kg.m² . Uma criança com massa de 40.0 kg, que estava inicialmente em repouso no centro da mesa. começa a correr ao longo de um raio. Qual é a velocidade angular da mesa giratória quando a criança está a uma distância de 2.00 m do centro ? (Suponha que a criança possa ser considerada uma partícula.) 10.37 Uma mesa giratória grande possui forma de disco com raio de 2.00 m e massa igual a 120 kg. A mesa giratória esta inicialmente a 3.00 rad/s em torno de um eixo vertical que passa em seu centro. Repentinamente, um pára-quedista pousa suavemente em um ponto próximo da periferia da mesa. (a) Ache a velocidade angular da mesa giratória depois do pouso do pára-quedista. (Suponha que o para- Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori qucdista possa ser considerado uma partícula.) (b) Calcule a energia cinética do sistema antes e depois do pouso do pára-quedista. Por que essas energias cinéticas são diferentes ? 10.38 Uma porta sólida de madeira com largura de 1.00 m e altura de 2.00 m é articulada em um de seus lados e possui massa total de 40.0 kg. Inicialmente ela está aberta e em repouso, a seguir, uma porção de lama pegajosa de massa igual a 0,500 kg, se deslocando perpendicularmente à porta com velocidade de 12,0 m/s, colide no centro da porta. Calcule a velocidade angular final da porta. A lama contribui significativamente para o momento de inércia? SEÇÃO 108 GIROSCÓPIOS E PRECESSÃO 10.39 (a) Desenhe uma vista de topo do giroscópio da Figura 10.29 indicando letras para e , L e t . Desenhe dL produzido por t . Desenhe L dL + . Determine o sentido da precessão examinando as direções e sentidos de L e L dL + . (b) Inverta o sentido da velocidade angular do rotor e repita todas as etapas do item (a). (c) Mova o pivô para a outra extremidade do eixo. considerando a mesma direção e mesmo sentido da velocidade angular de spin como na parte (b) e repita todas as etapas, (d) Mantendo o pivô como na parte (c), inverta a velocidade angular de spin do rotor e repita iodas as etapas. 10.40 O rotor (volante) de um giroscópio de brinquedo possui massa de 0.140 kg. Seu momento de inércia em relação ao seu eixo é igual a 1.20.10 4 kg.m². A massa do suporte é de 0.0250 kg. O giroscópio é suportado em um único pivô (Figura 15) e seu centro de massa está situado a uma distância de 4.00 cm do pivô. O giroscópio possui movimento de precessão cm um plano horizontal completando uma revolução em 2.20 s. (a) Ache a força de baixo para cima exercida pelo pivô. (b) Ache a velocidade angular com a qual o rolor gira em torno de seu eixo, expressa em rev/min. (c) Faça um diagrama, desenhando vetores para mostrar o momento angular do rotor e o torque que atua sobre ele. Figura 15. 10.41 Um giroscópio estabilizador, ü giroscópio esiaimi£íiuui de um navio é um disco sólido de massa igual a 60.000 kg; seu raio é igual a 2,00 m, e ele gira em tomo de um eixo vertical com velocidade angular de 500 rev/min. (a) Qual é o tempo necessário para ele atingir essa velocidade, partindo do repouso, com uma potência de entrada de 7.46 x 10 W? (b) Ache o Iorque necessário para fazer o eixo sofrer uma precessão em um plano vertical oscilando com uma taxa de inclinação de 1.00°/s. 10.42 Um giroscópio possui movimento de precessão em tomo de um eixo vertical. Descreva o que ocorre com a velocidade angular de precessão quando são feitas as seguintes mudanças nas variáveis, mantendo-se as outras grandezas constantes: (a) a velocidade angular de spin do volante dobra; (b) o peso total dobra. (c) o momento de inércia em torno do eixo do volante dobra; (d) a distância entre o pivô e o centro de gravidade dobra. (e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis indicadas nos itens de (a) até (d) dobrassem de valor? 10.43 O período do movimento de precessão da Terra é de 26.000 anos e o período de sua velocidade angular de spin é de um dia. Estime o módulo do torque que produz a precessão da Terra. Você pode usar dados do Apêndice F. Faça a estimativa supondo (i) que a Terra seja uma esfera maciça e homogênea e (ii) que a precessão da Terra seja semelhante ao movimento de precessão do giroscópio indicado na Figura 15. Nesse modelo, o eixo de precessão e o eixo de rotação de spin são perpendiculares. Na verdade, no caso da Terra, o ângulo entre esses dois eixos é de 23.5°; isso altera a estimativa do torque de um fator aproximadamente igual a 2. PROBLEMAS 10.44 Um esmeril de 55.0 kg é um disco sólido de diâmetro igual a 0.520 m. Você comprime um machado sobre a periferia com uma força normal de 160 N (Figura 10). O coeficiente de atrito cinético entre a lâmina e a pedra do esmeril é igual a 0.60 e existe um torque do atrito constante igual a 6.50 N.m entre o eixo do esmeril e seus mancais, (a) Ache a força que deve ser aplicada tangencialmente à extremidade do eixo da manivela de 0.500 m de comprimento para acelerar a roda do esmeril desde zero até 120 rev/min em 9.00 s. (b) Depois que o esmeril atinge a velocidade de 120 rev/min, qual é a força tangencial que deve ser aplicada à extremidade da manivela para manter a velocidade angular constante de 120 rev/min ? (c) Quanto tempo o esmeril levaria para reduzir sua velocidade angular de 120 rev/min até zero quando a única força atuante for apenas a força de atrito nos mancais ? 10.45 Uma roda de bicicleta experimental está sob teste, montada em um eixo de modo que ela possa girar livremente em torno desse seu eixo. Se um torque de 5.00 N.m for aplicado ao pneu durante 2.00 s, a velocidade angular cresce de zero a 100 rev/min. A seguir o torque externo é removido, e a roda atinge o repouso em Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 125 s pela ação do atrito em seus mancais. Calcule (a) o momento de inércia da roda em torno do eixo de rotação; (b) o torque do atrito; (c) o número total de revoluções realizadas pela roda durante o intervalo de tempo de l 25 s. 10.46 Um volante com diâmetro de 0.600 m é pivotado sobre um eixo horizontal. Uma corda é enrolada na periferia do volante e puxada com uma força estacionária de 40.0 N. O volante começa a girar a partir do repouso, e um comprimento da corda igual a 5.00 m é desenrolado em 2.00 s. (a) Qual é a aceleração angular do volante ? (b) Qual é a sua velocidade angular final ? (c) Qual é a sua energia cinética final? (d) Qual é seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação ? 10.47 Uma roda parte do repouso e gira com velocidade angular constante em torno de um eixo fixo. (a) Prove que a potência em qualquer instante é proporcional ao quadrado do torque resultante em torno do eixo. (b) Se a potência para t = 3.00 s é 500 W com um torque resultante constante de 20.0 N.m, qual seria a potência para t = 3.00 s se o torque resultante constante fosse igual a 60.0 N.m ? (c) Prove que a potência para qualquer deslocamento angular é proporcional ao torque total elevado a 3/2 para esse deslocamento angular, (d) Sabendo que a potência depois de uma rotação de 37.5 rad com o torque de 20.0 N.m é igual a 500 W, qual seria a potência depois de um deslocamento angular de 37.5 rad com um torque de 60.0 N.m? (e) As respostas dos itens (a) e (b) contradizem as respostas dos itens (c) e (d) ? Tanto na resposta afirmativa quanto para a resposta negativa explique por quê. 10.48 Uma viga de comprimento l está sobre o eixo +0x com sua extremidade esquerda situada na origem. Um cabo puxa a viga na direção do eixo +0y com uma força F cujo módulo depende do ponto de aplicação na viga ( ) 0 1 F F x l = · ÷ onde F 0 é o módulo da força aplicada à extremidade esquerda da viga. (a) Qual é a direção e o sentido do torque da força F ? (b) Faça um gráfico de F contra x desde x = 0 até x = l. Expresse F em termos de F 0 e x em termos de l. (c) Faça um gráfico do torque contra x desde x = 0 até x = l. Expresse o torque em termos de F 0 , x e l em termos de l. (d) Determine o ponto ao longo da viga no qual a força aplicada produz o torque máximo e qual é o valor desse torque máximo. 10.49 Quando explora um castelo, Exena, a Exterminadora, é surpreendida por um dragão que a persegue pelo corredor. Exena corre para dentro de um quarto e tenta fechar uma porta pesada antes que o dragão entre. A porta está inicialmente perpendicular a parede, de modo que ela deve girar a 90° para fechar. A porta possui alutura de 3.00 m e largura de 1.25 m, e pesa 750 N. O atrito das dobradiças pode ser desprezado. Se Exena aplica uma força de 220 N a extremidade da porta e ortogonal a ela, quanto tempo leva para fechar a porta ? 10.50 Urna barra fina de comprimento l repousa sobre o eixo +Ox com sua extremidade direita na origem. Um fio puxa a barra com uma força F dirigida a um ponto P situado a uma distancia h acima da barra. Determine o ponto ao longo da barra onde você deve amarrar o fio para obter o torque máximo em torno da origem se o ponto P estiver situado (a) acima da extremidade direita da barra: (b) acima da extremidade esquerda da barra; (c) acima do centro da barra. 10.51 Ato de equilibrar. Uma pequena esfera de massa M é ligada a extremidade de uma barra longa, fina e uniforme de comprimento L, e massa M. (a) Localize a posição do centro de massa do sistema barra e esfera. Anote essa posição em um desenho da barra, (b) Você equilibra cuidadosamente a barra no topo de uma mesa sem atrito, de modo que a extremidade sem a esfera fique apoiada verticalmente sobre a mesa. A seguir a barra e inclinada de um angulo pequeno u; calcule sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extremidade sem a esfera permaneça em contato com o topo da mesa. {Sugestão: Consulte a Tabela 9.2.) (c) Você novamente equilibra a barra no topo da mesa, porem agora com a extremidade contendo a estera tocando a mesa. A seguir a barra e novamente inclinada de um pequeno ângulo u; determine sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extremidade com a esfera permaneça em contato com o topo da mesa. Como esse resultado se compara com o obtido no nem (b) ? (d) Um taco de bilhar e uma barra de madeira cónica grossa em uma extremidade e fina na outra. Você pode equilibrar facilmente o taco na vertical sobre um dedo quando a extremidade fina fica em contato com esse dedo; esse equilíbrio e muito mais difícil quando a extremidade grossa fica em contato com seu dedo. Explique por quê. 10.52 Você amarra um fio a um ponto na periferia de um disco uniforme vertical de raio R e massa M. O disco pode girar livremente sem atrito em um eixo horiznontal fixo passando em seu centro de massa. Inicialmente o disco está em repouso com a conexão do fio no ponto mais elevado do disco. Você puxa o fio com uma força horizontal F até que a roda lenha feito exatamente um quarto de rotação em torno do eixo horizontal que passa em seu centro, e a seguir o sistema é libertado, (a) Achar o trabalho realizado pelo fio. 2 2 2 1 1 1 2 2 Tot W I I e e = · ÷ · (b) Achar o trabalho realizado pelo fio pela equação. Você obtém o mesmo resultado obtido no item (a) ? 2 1 Tot W d u u t u = í (c) Ache a velocidade angular final do disco, Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori (d) Calcule a aceleração radial (centrípeta) máxima de um ponto sobre o disco. 10.53 O mecanismo indicado na Figura 16 e usado para elevar um engradado de suprimentos do depósito de um navio. O engradado possui massa total de 50 kg. Uma corda e enrolada em um cilindro de madeira que gira em torno de um eixo de metal. O cilindro possui raio igual a 0.25 m e momento de inércia I = 2,9 kg.m² em torno do eixo. O engradado é suspenso pela extremidade livre da corda. Uma extremidade do eixo está pivotada em mancais sem atrito; uma manivela está presa á outra extremidade. Quando a manivela gira. sua extremidade gira cm torno de um circulo vertical de raio igual a 0.12 m. o cilindro gira e o engradado sobe. Calcule o módulo da força F aplicada tangencialmente ã extremidade da manivela para elevar o engradado com uma aceleração de 0.80 m/s² . (A massa da corda c o momento de inércia do eixo e da manivela podem ser desprezados.) Figura 16 10.54 Um grande rolo de papel de 16 kg com raio R = 18.0 cm esta em repouso contra unia parede e e mantido no lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu centro (Figura 17). A barra pode girar sem atrito no suporte, e o momento de inércia do papel e da barra em torno do disco e igual a 0.260 kgm² . A outra extremidade da barra está presa à parede por uma articulação sem atrito de modo que a barra faz um ângulo de 30.0° com a parede. O peso da barra e desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é u k = 0.25. Uma força constante vertical F = 40.0 N é aplicada ao papel, e o papel desenrola, (a) Qual é o modulo da força que a barra exerce sobre o papel enquanto ele desenrola ? (b) Qual e a aceleração angular do rolo ? Figura 17 10.55 Um bloco de massa m= 5.00 kg desliza para baixo de uma superfície honzontal inclinada a 36.9° com a horizonlal (Figura 18). O coeficiente de atrito cinético é 0.25. Um fio amarrado ao bloco é enrolado em torno de um volante que pode girar em torno de um eixo passando em O. O volante possui massa de 25.0 kg e momento de inércia de 0.500 kg.m² em relação ao eixo de rotação. O fio puxa a roda sem deslizar a uma distância perpendicular ao eixo igual a 0.200 m. (a) Qual é a aceleração do bloco para baixo do plano? (b) Qual é a tensão no fio ? Figura 18 10.56 Dois discos metálicos, um com raio R 1 = 2.50 cm e massa m 1 = 0.80 kg e outro com raio R 2 = 5.00 cm e massa m 2 = 1.60 kg. são unidos por uma solda e montados sobre um eixo sem atrito passando no centro comum dos discos. (a) Um fio leve é enrolado em torno da periferia do disco menor, e um bloco de 1.50 kg é suspenso na extremidade livre do fio. Qual é o módulo da aceleração de cima para baixo do bloco depois que ele é libertado? (b) Repita os cálculos da parte (a), agora supondo que o fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois casos a aceleração é maior ? Sua resposta faz sentido ? 10.57 Um rolo de cortar grama com forma de uma casca cilíndrica de massa M é puxado horizontalmente com uma força constante horizontal F aplicada por um cabo ligado ao eixo. Sabendo que ele rola sem deslizar, calcule a aceleração e a força de atrito. 10.58 Máquina de Atwood. A Figura 19 mostra uma máquina de Alwood. Ache a aceleração linear dos blocos A e B, a aceleração angular da roda o e a tensão em cada lado da corda supondo que não exista deslizamento entre a corda e a periferia da roda. Os pesoss dos blocos A e B são, respectivamente, 75.0 N e 125.0 N e o momento de inércia da roda em torno do eixo é I e o raio do semicírculo no qual a roda se move e igual a R. Figura 19 Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10.59 Um disco sólido rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal com velocidade constante de 2.50 m/s. (a) Se o disco rola para cima de uma rampa inclinada a 30.0° qual é a distância máxima que ele atinge ao longo da rampa antes de parar ? (b) Explique por que sua resposta do item (a) não depende nem da massa nem do raio do disco. 10.60 O loiô. Um ioió é feito usando-se dois discos uniformes. cada um com massa m e raio R, ligados por um eixo leve de raio b. Um fio leve e fino e enrolado diversas vêzes em torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto o ioiô e libertado do repouso, caindo verticalmente à medida que o ioiô desenrola. Calcule a aceleração linear e a aceleração angular do ioiô e a tensão no fio. 10.61 Uma bola de gude homogênea de raio R parte do repouso com seu centro de massa a uma altura h acima do ponto inferior de uma volta completa de um trilho de raio K. Um trilho que possui forma semelhante ao da Figura 7.26. A bola de gude rola sem deslizar. O atrito de rolamento e a resistência do ar são desprezíveis. (a) Qual é o valor mínimo de h para que a bola de gude não abandone o trilho no topo da circunferência? {Sugestão: O raio R não é desprezível em comparação com o raio R.} (b) Qual seria a resposta do item (a) se o trilho fosse bem lubrificado, de modo que o atrito se tornasse desprezível? 10.62 A Figura 20 mostra três ioiôs idênticos que estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal. Para cada ioiô o fio é puxado conforme indicado. Em cada caso existe atrito suficiente para cada ioiô rolar sem deslizar. Desenhe um diagrama do corpo livre para cada ioiô. Qual é o sentido da rotação de cada ioiô? (Tente fazer essa experiência!) Explique suas respostas. Figura 20 10.63 Como indicado na Figura 11 um fio é enrolado diversas vêzes cm torno da periferia de um pequeno aro de raio 0.0800 m e massa igual a 0.180 kg. A extremidade livre do fio e puxada de baixo para cima de um modo exato tal que o aro não se move verticalmente quando o fio é desenrolado, (a) Ache essa tensão exata no fio. (b) Calcule a aceleração angular do aro enquanto o fio se desenrola, (c) Ache a aceleração de baixo para cima ila mão que puxa o fio. (b) Quais as modificações das suas respostas se o aro fosse substituído por um disco maciço com o mesmo raio e a mesma massa ? 10.64 Em uma experiência de laboratório você faz uma bola homogênea rolar para baixo de um trilho curvo. A bola parte do repouso e rola sem deslizar. Enquanto esta sobre o trilho, a bola desce uma distância h. A extremidade inferior do trilho ê horizontal e se estende para fora da extremidade da mesa do laboratório; a bola abandona o trilho se deslocando horizontalmenie. Durante a queda livre depois de abandonar o trilho, a bola se move até uma distância horizontal x e uma distância vertical y. (a) Determine y em lermos de h e de x, desprezando o trabalho realizado pelo atrito, (b) A resposta do item (a) seria diferente se a experiência tosse feita na Lua ? (c) Ao fazer a experiência com muito cuidado, o valor de v medido é menor do que o calculado no item (a). Por quê? (d) Qual seria o valor de y para o mesmo h e y do item (a) se você fízesse uma moeda de um real rolar para baixo do trilho ? Despreze o trabalho realizado pelo trilho. 10.65 Em uma catapulta de mola, a constante da mola é igual a 400 N/m c a mola sofre uma compressão de 0.15 m. Quando ela e disparada, 80% da energia potencial elástica armazenada na mola é convertida em energia cinética para uma bola uniforme de 0.0590 kg que estava rolando sem deslizar na base de uma rampa. A bola continua a rolar sem deslizar subindo a rampa com 90% da energia cinética que ela possuía na base convertida em energia potencial gravitacional no momento em que ela pára. (a) Determine a velocidade do centro de massa da bola na base da rampa, (b) Nessa posição, qual é a velocidade de um ponto no topo da bola ? (c) Nessa posição, qual ê a velocidade de um ponto na base da bola ? (d) Qual é a altura vertical máxima acima da base da rampa atingida pela bola ? 10.66 Quando uma roda rola ao longo de uma superfície horizontal com velocidade constante, as coordenadas de um ponto na periferia da roda são: ( ) ( ) 1 2 x t R sen t T t = · ÷ · e ( ) ( ) 1 cos 2 y t R t T t = · ÷ · onde R e T são constantes, (a) Faça um desenho da trajetória do ponto desde t = 0 até t = 2T. A curva obtida denomina-se ciclóide. (b) Qual é o significado das constantes R e T? (c) Determine os componentes x e y da velocidade e da aceleração do ponto em função de t. (d) Ache os instantes para os quais o ponto permanece momentaneamente em repouso. Quais são os componentes x e y nesse instante ? (e) Ache o módulo da aceleração do ponto. Ele depende do tempo? Compare o resultado com o módulo da aceleração de uma partícula com movimento circular uniforme, 2 2 4 a R T t = . Explique seu resultado para o modulo da aceleração de um ponto sobre a roda que rola lembrando-se de que o rolamento sem deslizamento é uma combinação de um movimento de rotação e de Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori translação. 10.67 Urna criança faz uma bola de basquete de 0.600 kg rolar para cima de uma rampa longa. A bola de basquete pode ser considerada uma casca esférica. Quando a criança larga a bola na base da rampa, ela possui velocidade igual a 8.0 m/s. Quando a bola retorna para a base ela possui velocidade igual a 4.0 m/s. Suponha que o trabalho realizado pelo atrito na subida seja igual ao trabalho realizado pelo atnto na descida da bola e que a bola rola sem deslizar. Ache a altura máxima atingida pela bola quando ela sobe a rampa. 10.68 Uma roda partindo do repouso gira em torno de um eixo fixo que passa em seu centro de massa de tal modo que u = bt 3 , onde b é uma constante positiva com unidades rad/s . (a) Use a equação: 2 1 W d u u t u = í para mostrar que o trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando ela girou de um ângulo u é dado por: 2 4 3 3 9 2 cm W I b u = · (b) Use a equação: 0 lim t d t dt u u e e A ÷ A = · = A para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de um ângulo u. (c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou de um ângulo u. O teorema do trahalho-energia. A equação é obedecida ? Explique. 10.69 Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2R esta em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem atrito passando através do centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio (Figura 20). O fio não desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o módulo da aceleração do bloco quando o sistema é libertado a partir do repouso. Figura 20 - 10.70 Uma barra uniforme de 0.0300 kg e comprimento de 0.400 m gira em um plano horizontal em torno de um eixo lixo passando em seu centro e perpendicular ã barra. Dois pequenos anéis, cada um com massa de 0.0200 kg, são montados de forma que eles possam deslizar ao longo da barra. Eles inicialmente estão presos por pregadores em distâncias afastadas de 0.0500 m do centro da barra, e o sistema começa a girar com 30.0 rev/min. Sem alterar nada no sistema, os pregadores são libertados e os anéis deslizam ao longo da barra e saem pelas suas extremidades. (a) Qual é a velocidade angular da barra no instante em que os anéis atingem as extremidades dela ? (b) Qual é a velocidade angular da barra depois que os anéis saem pelas suas extremidades ? 10.71 Uma barra uniforme de comprimento L repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito. A barra possui um pivô, de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo passando por uma das suas extremidades. A barra está inicialmente em repouso. Uma bala se deslocando com velocidade v ortogonal à barra e paralela à superfície atinge o centro da barra e permanece retida em seu interior. A massa da bala é um quarto da massa da barra. (a) Qual é a velocidade angular final da barra ? (b) Determine a razão entre a energia cinética do sistema depois da colisão e a energia cinética da bala antes da colisão. 10.72 A porta sólida de madeira de um ginásio tem largura de 1.00 m e altura de 2.00 m, sua massa total é igual a 35.0 kg e ela possui uma articulação em um dos seus lados. A porta esta aberta e em repouso quando uma bola de basquete colide Irontalmente no centro da porta, aplicando sobre ela uma força média igual a 1500 N durante 8.00 ms. Calcule a velocidade angular da porta depois da colisão. (Sugestão: Integrando a Equação i i dL dt t = ¯ , obtemos: ( ) 2 1 t méd t L dt t t t A = = · A ¯ ¯ í A integral ( ) 2 1 t t dt t ¯ í denomina-se impulso angular. 10.73 Um alvo é constituído por uma placa quadrada de madeira vertical com lado igual a 0.250 m e massa de 0.750 kg, pivotada em um eixo horizontal situado em seu topo. A placa á atingida frontal mente em seu centro por uma bala de massa igual a 1.90 g que se desloca a 360 m/s e que fica relida no interior da placa. (a) Qual é a velocidade angular da placa logo após o impacto da bala ? (b) Qual é a altura máxima atingida pelo centro de massa da placa antes que ela comece a oscilar para baixo novamente ? (c) Qual deveria ser a velocidade mínima da bala para que a placa completasse a rotação passando a girar em torno do eixo depois do impacto ? 10.74 Aceleração repentina de uma estrela de nêutrons. Ocasionalmente uma estrela de nêutrons (Exercício 10.32) sofre uma aceleração repentina e inesperada conhecida como glitch. Uma explicação é que Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori o glitch ocorre quando a crosta da estrela de nêutrons sofre uma pequena sedimentação, fazendo diminuir o momento de inércia em torno do eixo de rotação. Uma estrela de nêutrons com velocidade angular e 0 = 70.4 rad/s sofreu um glitch em outubro de 1975 que fez sua velocidade angular aumentar para e = e 0 + Ae, onde Ae/e 0 = 2.01.10 -6 . Se o raio da estrela de nêutrons era de 11 km, qual foi sua diminuição na sedimentação dessa estrela ? Suponha que a estrela de nêutrons seja uma esfera maciça e homogênea. 10.75 Dois discos A e B são montados em um disco SS e podem ser conectados ou desligados por meio de uma embreagem C (Figura 21). O disco A é feito de um material mais leve que o de B, de modo que o momento de inércia de A em torno do eixo é um terço do momento de inércia de B. O momento de inércia do eixo e da embreagem são desprezíveis. Quando a embreagem está conectada, o disco A é levado a uma velocidade angular e 0 . O torque acelerador é então removido de A, e a seguir o disco A é acoplado ao disco B pela embreagem. (Despreze o atrito nos mancais.) Nota-se que são produzidos 2400 J de energia térmica na embreagem quando a conexão é feita. Qual é a energia cinética inicial do disco A ? S S A C B FIGURA 21. 10.76 Um pequeno bloco de massa 0.250 kg está amarrado por um fio que passa por um orifício em uma superfície horizontal. O bloco está inicialmente em um círculo com raio igual a 0.800 m em torno do orifício com velocidade tangencial igual a 4.00 m/s. O fio a seguir é puxado por baixo lentamente, fazendo o raio do círculo se reduzir. A tensão de ruptura do fio é igual a 30.0 N. Qual é o raio do círculo quando o fio se rompe ? 10.77 Um disco horizontal de madeira compensada de massa igual a 7.00 kg e diâmetro de 1.00 m e pivotado em mancais sem atrito em tomo de um eixo vertical passando em seu centro. Você monta sobre o disco um modelo circular de trilhos com massa desprezível e diâmetro igual a 0.95 m. Um trem de brinquedo com 1.20 kg movido por uma bateria está em repouso sobre os trilhos. Para demonstrar a conservação do momento angular, você liga o motor do trem. O trem se move no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, atingindo logo uma velocidade constante de 0.600 m/s em relação aos trilhos. Ache o módulo, a direçao e o sentido da velocidade angular do disco em relação a Terra. 10.78 Uma partícula de massa m se move com velocidade constante v em um círculo de raio R que está a uma distancia R acima do plano xz. Outra partícula de massa m se move do mesmo modo e com a mesma velocidade em outro círculo de raio R situado a uma distancia R abaixo do plano xz. As duas partículas giram com uma defasagem de meia revolução, de modo que quando uma está no ponto (x, R, R) a outra está no ponto (-x, -R,-z). Assim, o centro de massa das partículas coincide com a origem O, porem o eixo de rotação (o eixo O não e um eixo de simetria. (a) Faça um esboço dessas partículas no instante em que elas eslão no ponto (R, R, 0) e (-R, -R, 0) e mostre os seguintes vetores em relação à origem: posição, velocidade e momento angular. (b) Mostre que em qualquer instante as duas partículas possuem o mesmo momento angular, (c) Qual e o angulo entre e (o vetor velocidade angular do sistema das duas partículas) e o vetor momento angular total do sistema ? (d) Mostre que o componente v do momento angular total do sistema e constante e igual a L y = 2mvR. (e) Qual e o componente v do torque resultante que atua sobre o sistema ? (f) Ache o módulo da força resultante que atua sobre cada partícula e o módulo do Iorque total que atua no sistema. (g) Mostre, usando seu esboço do item (a), a direção e o sentido do torque resultante sobre o sistema e verifique se esse torque é paralelo ao plano xz. 10.79 Rm um laboratório de Física, você realiza a seguinte experiência de pêndulo balístico. Usando uma espingarda de mola, você dispara uma bala com massa m e velocidade v na direçao da horizontal. A bala fica imediatamente presa a uma distancia r abaixo de um eixo sem atrito por um dispositivo de massa M que a retêm e que pode girar sem atrito em torno do pivô. O momento de inércia desse dispositivo em torno do pivô ê igual a I. A distância r é muito maior do que o raio da bala. (a) Use a lei da conservação do momento angular para mostrar que a velocidade angular do sistema logo após o momento em que a bala é retida e dada por: 2 m v r m r I e · · = · + (b) Depois que a bala fica retida, o centro de massa do sistema bala+dispositivo retentor oscila para cima e atinge uma altura máxima h. Use a lei da conservação da energia para mostrar que: ( ) 2 2 M m g h m r I e + · · = · + (c) Sua amiga de laboratório diz que o momento linear é conservado na colisão e deduza relação mv= (m+M)V, onde V é a velocidade da bala depois da colisão. Ela a seguir usa a lei da conservação da energia para mostrar que: 2 V g h = · , logo: ( ) 2 m v m M g h · = + · · Use os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que esse resultado é satisfeito somente no caso particular quando r for obtido da relação I = M r 2 . 10.80 Um corredor de 55 kg corre na periferia de uma mesa giratória montada em um eixo vertical sem atrito passando cm seu centro. A velocidade do corredor em relação à Terra possui módulo de 2.8 m/s. A mesa giratória gira em sentido contrário com velocidade angular de módulo igual a 0.20 rad/s em relação ã Terra. O raio da mesa ê de 3.0 m e seu momento de inércia em torno do eixo de rotação ê igual a 80 kg.m 2 . Calcule a velocidade angular do sistema quando o velocista fica em repouso em relação à mesa giratória. (O velocista pode ser Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori considerado uma partícula.) 10.81 Uma bicicleta caindo. O momento de inércia da roda dianteira de uma bicicleta em torno de seu eixo ê igual a 0.085 kg.m², seu raio ê de 0.33 m, e a velocidade da bicicleta para a frente é igual a 6,00 m/s. Calcule a velocidade angular da roda dianteira cm torno de um eixo vertical para contrabalançar o torque que tende a fa/er a bicicleta virar produzido por uma massa de 50.0 kg situado a uma distância horizontal de 0.040 m da linha que liga os pontos de conlato das rodas com o solo. (Ciclista: Compare sua resposta com sua própria experiência e verifique se sua resposta é ra/oável.) 10.82 Centro de percussão. Um bastão de bola de beisebol está em repouso sobre uma superfície hori/onlal sem atrito. O bastão possui comprimento de 0,900 m. massa de 0,800 kg e seu centro de massa está situado a 0.600 m da extremidade do punho do bastão (Figura 22). O momento de inércia do bastão em relação ao centro de massa ê igual a 0.0530 kg.m² . O bastão é golpeado por uma bola de beisebol que se desloca ortogonalmente a ele. O impacto fornece um impulso 2 1 t t J Fdt = í em um ponto situado a uma distância x do punho do bastão. Qual deve ser o valor de x para que a extremidade do punho do bastão permaneça em repouso á medida que o bastão se move? (Sugestão: Considere o movimento do centro de massa e a rotação em (orno do centro de massa. Ache v de modo que a combinação dos dois movimentos forneça v = 0 para a extremidade do bastão logo após a colisão. Note também que a integração da Equação i i dL dt t = ¯ fornece ( ) 2 1 t méd t L dt t t t A = = · A ¯ ¯ í (Problema 10.72).) O ponto que você localizou denomina-se centro de percurssão. Quando uma bola de beisebol colide no centro de percussão, ocorre uma diminuição da força de "picada" que o batedor sente nas mãos. Figura 22 10.83 Considere um giroscópio com um eixo que não esta na direção horizontal, mas possui uma inclinação | em relação á horizontal. Mostre que a velocidade angular da precessão não depende do valor de | porém é dada pela equação (10.36). PROBLEMAS DESAFIADORES 10.84 Uma bola uniforme de raio R rola sem deslizar entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre os dois pontos de eontato entre a bola e os trilhos seja igual a d. (a) Faça um desenho e mostre que em qualquer instante 2 2 4 cm v R d e = · ÷ . Discuta essa expressão nos limites d = 0 e d = 2R. (b) Para uma bola uniforme partindo do repouso e descendo uma distância vertical h enquanto rola sem deslizar para baixo de uma rampa, temos, 10 7 cm g h v · = . Trocando a rampa pêlos dois trilhos, mostre que: 2 2 10 2 5 1 4 cm g h v d R · = + ÷ Em cada um desses casos, o trabalho realizado pelo atrito foi desprezado. (c) Qual das duas velocidades indicadas na parte (b) e a menor ? Por quê? Raciocine em termos de como a energia potencial e dividida entre o ganho da energia cinética da translação e da energia cinética da rotação, (d) Para qual valor da razão d/R as expressões das duas velocidades da parle (b) diferem de 5.0% e quando diferem de 0.50% ? 10.85 Quando um objeto rola sem deslizar, a força de atrito de rolamento é muito menor do que a força de atrito quando o ohjelo desliza sem rolar; uma moeda de um real rola sobre sua periferia mais rapidamente do que quando ela desliza com sua face voltada para baixo. (Veja a Seção 5.4.) Quando um objeto rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, podemos desprezar a força de atrito, de modo que a e o são nulos e v e e são constantes. Rolar sem deslizar implica v =eR e a = ro. Quando um objeto se desloca sobre uma superfície sem obedecer a essas igualdades, o atrito (cinético) de deslizamento está aluando sobre o objeto ã medida que ele desliza até que o rolamento sem deslizamento começa a ocorrer. Um cilindro homogêneo de massa M e raio K. girando com velocidade angular e 0 em torno de um eixo passando em seu centro, é lançado sobre uma superfície horizontal sobre a qual o coeficiente de atrito cinético é u C . (a) Faça um diagrama do corpo livre para o cilindro sobre a superfície. Pense com cuidado sobre o sentido da força de atrito sobre o cilindro. Calcule a aceleração a do centro de massa do cilindro e a aceleração angular o em torno do centro de massa do cilindro, (b) No início o cilindro desliza sem rolar, então e = e 0 mas v = 0. O rolamento sem deslizamento começa quando v = Re. Calcule a distância que o cilindro percorre no momento em que termina o deslizamento, (c) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito sobre o cilindro desde o momento em que ele toca a superfície até o momento em que começa o rolamento sem deslizamento. 10.86 Um giroscópio de demonstração pode ser construído retirando-se o pneu de uma roda de bicicleta com diâmetro de 0.650 m, enrolando-se um fio de chumbo no aro e fixando-o nele. O eixo se projeta 0.200 Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori m para cada lado da roda, e uma garota apoia as extremidades do eixo em suas mãos. A massa do sistema é igual a 8.00 kg; toda a sua massa pode ser considerada concentrada em sua periferia. O eixo é horizontal, e a roda gira em torno do eixo com 5.00 rev/s. Ache o módulo, a direção e o sentido da força que cada mão exerce sobre o eixo (a) quando o eixo está em repouso; (b) quando o eixo está girando em um plano horizontal em torno do seu centro com 0.050 rev/s; (c) quando o eixo está girando em um plano horizontal em torno do seu centro com 0.300 rev/s. (d) Com que taxa o eixo deve girar de modo que ele possa ser suportado apenas em uma das suas extremidades ? 10.87 Um bloco de massa m está girando com velocidade linear v, em um círculo de raio r 1 , sobre uma superfície horizontal sem atrito. O fio é puxado por baixo até que o raio do círculo no qual o bloco se move é reduzido a um valor r 2 . (a) Calcule a tensão T no fio em função de r, a distância entre o bloco e o orifício. Dê sua resposta em função da velocidade inicial v e do raio r 1 . (b) Use a relação ( ) 2 1 r r W T r dr = · í para calcular o trabalho realizado pela tensão T quando r varia desde r 1 até r 2 . (c) Compare o resultado do item (b) com a variação da energia cinética do bloco. Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Capítulo 10 – Exercícios resolvidos pares Editora Pearson 10-2: , 0 . 12 30 ) 00 . 2 )( 0 . 12 ( , 0 . 40 ) 00 . 5 )( 00 . 8 ( 2 1 m N sin m N m N m N o · = = · ÷ = ÷ = t t onde o torque positivo está no sentido anti-horário, de modo que o torque resultante é –28.0 N·m, onde o sinal negativo indica um torque sentido horário, ou um torque para dentro da página . 10-4: . 726 . 0 ) 330 . 0 )( 50 . 7 30 . 5 ( ) ( 1 2 2 1 2 1 m N m N N R F F R F R F · ÷ = ÷ = ÷ = + ÷ = +t t 10-6: (a) . 1 . 13 ) 00 . 8 ( min / / 60 2 min / 400 ) 50 . 2 ( 2 m N s rev s rad x rev m kg t I I · = | . | \ | · = A A = = t e o t (b) . 10 19 . 2 min / / 60 2 min / 400 ) 50 . 2 ( 2 1 2 1 3 2 2 2 J x rev s rad x rev m kg I = | . | \ | · = t e 10-8: . / 00 . 2 ) 0 . 5 ( ) 250 . 0 )( 0 . 40 ( 2 2 s rad m kg m N I FR I = · = = = t o 10-10: (a) O cilindro não se move, então a força resultante deve ser nula. O cabo exerce uma força horizontal para a direita, e a gravidade uma força para baixo, então a força normal deve ser para cima e para a esquerda conforme mostrado na figura Fig. (10-8). (b)N = , 490 )) / 80 . 9 )( 50 (( ) 0 . 9 ( 2 2 2 N s m kg N = + Em um ângulo de arctan o 1 . 1 490 0 . 9 = | . | \ | a partir da vertical (o peso é muito maior que a força F aplicada). 10-12: Esta é a mesma situação apresentada no Exemplo 10-3. (a) T = mg/(1 + 2m/M) = 42.0 N. (b) . / 8 . 11 ) 2 / 1 /( 2 s m m M gh v = + = Existem muitas formas de se encontrar o tempo de queda . Ao invés de se realizar os cálculos intermediários da aceleração, o tempo é a distância dividida pela velocidade média, ou seja h/(v/2) = 1.69 s. A força normal na Fig. (10-1-9(b)) é a soma da tensão encontrada na parte (a) e o peso do molinete, um total de 159.6 N (mantido os algarismos significativos da parte (a)). 10-14: . 3 3 1 2 Ml F Ml Fl I = = = t o 10-16: Veja o Exemplo 10-6 e o Exercício 10-17. Para este caso temos: 2 2 , / 33.9 / cm cm cm K Mv v gh v R rad s e = · = = = 10-18: (a) A aceleração ladeira abaixo é: f a g sen m u = · ÷ sendo que o torque relativo ao centro da concha é dado por: , 3 2 3 2 2 MRa R a R M R a I I Rf = = = = = o t então . 3 2 a M f = Resolvendo simultaneamente relações para a e f encontramos: 5 sen 3 a g u = · 2 2 3 3 sen (9.80 / )sen38.0 3.62 / 5 5 o a g m s m s u = = = 2 2 2 (2.00 )(3.62 / ) 4.83 3 3 f Ma kg m s N = = A força normal é: Mg cos u, e desde que f susN, então finalmente temos: . 313 . 0 tan 5 2 cos sen 5 3 3 2 cos 3 2 cos 3 2 = = = = = > u u u u u u g g g a Mg Ma N f s (b) a = 3.62 m/s 2 , visto que ela não depende da massa . Contudo, a força de atrito é duas vezes maior, 9.65 N, visto que ela também não depende da massa . O valor mínimo de s u também não varia. 10-20: (a) A velocidade angular da bola deve diminui, e portanto o torque é determinado pela força de atrito que para cima . (b) A força de atrito resulta em uma aceleração angular, relacionada por : Io = fR. A equação do movimento é mg sin | - f = mocm, enquanto que a aceleração angular é relacionada por: ocm = Ro (observe que a aceleração positiva é considerada ser para baixo, e que a relação entre ocm e o está correta para uma força de atrito direcionada para cima ). Combinando as equações acima, temos: ), 5 / 7 ( 1 2 ma mR I ma sin mg = | . | \ | + = | do qual obtemos: ocm = (5/7)g sin |. (b) Das relações entre f e ocm, , dadas acima, temos: , cos 7 2 5 2 | u u | mg sin mg ma f s s cm = N s = = da qual obtemos: us > (2/7) tan |. 10-22: (a) . 519 min / / 30 min) / 2400 ( ) / 746 )( 175 ( m N rev s rad rev hp W hp P · = | . | \ | = = t e t (b) W = iΔu = (519 N·m)(2t) = 3261 J. 10-24: Da Eq. (10-26), a potência de saída é: P = te = (4.30 N·m) , 2161 min / / 60 2 min / 4800 W rev s rad x rev = | . | \ | t ou 2.9 hp. 10-26: 2 2 2 2 . 42 ) 08 . 2 )( 117 ( 12 1 12 1 m kg m kg mL I · = = = (a) . / 2 . 46 2 . 42 1950 2 2 s rad m kg m N I = · · = = t o (b) 2 e ou = 2 2(46.2 )(5.0 2 ) 53.9 rad s rad s rev x rad rev e t = = (c) Tanto de 2 2 1 e I K W = = como da Eq. (10-24), tu = W = (1950 N·m)(5.00 rev x 2t rad/rev) = 6.13 x 10 4 J. (d) O tempo pode ser encontrado da aceleração angular e do ângulo total, enquanto que a potência instantânea é encontrada de P = te = 105 kW(141 hp). A potência é metade desse valor, isto é: 52.6 kW. 10-28: Apenas como interesse, o momento de inércia da mulher com relação ao eixo do disco é mR 2 , e portanto o momento angular total é: . / 10 28 . 5 ) / 2 / 500 . 0 ( ) 00 . 4 ( 0 . 50 110 2 1 2 1 ) ( 2 3 2 2 s m kg x rev rad x s rev m kg kg R m M I I L L L woman disk woman disk · = | . | \ | + = | . | \ | + = + = + = t e e 10-30: Para ambas as partes, L = Ie. Também , e = v/r, e portanto: L = I(v/r). (a) L = (mr 2 )(v/r) = mvr L = (5.97 x 10 24 kg)(2.98 x 10 4 m/s)(1.50 x 10 11 m) = 2.67 x 10 40 kg·m 2 /s (b) L = (2/5 mr 2 )(e) L = (2/5)(5.97 x 10 24 kg)(6.38 x 10 6 m) 2 (2t rad/(24.0 hr x 3600 s/hr)) = 7.07 x 10 33 kg·m 2 /s Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10-32: O momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, e portanto a velocidade angular será proporcional ao inverso do quadrado do raio, e dessa forma a velocidade angular final é: . / 10 6 . 4 16 10 0 . 7 ) / 400 , 86 )( 30 ( 2 3 2 5 2 2 1 1 2 s rad x km km x d s d rad R R = | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | = t e e 10-34: O momento de inércia inicial do patinador é: , 56 . 2 ) 80 . 1 )( 00 . 8 ( 12 1 ) 400 . 0 ( 2 2 2 1 m kg m kg m kg I · = + · = e o seu momento de inércia final é: , 9 . 0 ) 10 25 )( 00 . 8 ( ) 400 . 0 ( 2 2 2 2 2 m kg m x kg m kg I · = + · = ÷ portanto da EQ. (10-33), temos: . / 14 . 1 9 . 0 56 . 2 ) / 40 . 0 ( 2 2 2 1 1 2 s rev m kg m kg s rev I I = · · = =e e Observe que a conversão de rev/s para rad/s não é necessária. 10-36: Faça . 1360 ) 00 . 2 )( 0 . 40 ( 1200 , 1200 2 2 2 2 0 2 2 0 1 m kg m kg m kg mR I I m kg I I · = + · = + = · = = Então da Eq. (10-33), . / 924 . 0 1360 1200 00 . 6 2 2 2 2 1 1 2 s rad m kg m kg s rad I I = · · | | . | \ | = = t e e 10-38: Faça a largura da porta ser l; . / 223 . 0 ) 500 . 0 )( 500 . 0 ( ) 00 . 1 )( 0 . 40 )( 3 / 1 ( ) 500 . 0 )( / 00 . 12 )( 500 . 0 ( ) 2 / ( ) 3 / 1 ( ) 2 / ( 2 2 2 2 s rad kg m kg m s m kg l m Ml l mv I L = + = + = = e Ignorando a massa do barro no denominador da expressão acima, resulta em e = 0.225 rad/s, portanto a massa de barro afeta o momento de inércia em seu terceiro algarismo significativo . 10-40: (a) Como o giroscópio esta trabalhando no plano horizontal, lá não pode ter uma força vertical sobre ele, então a força que o eixo exerce deve ser igual em módulo ao peso do giroscópio, isto é: F = e = mg = (0.1540 kg)(9.80 m/s 2 ) = 1.372 N, ou 1.37 N para três algarismos significativos. (b) Resolvendo a Eq. (10-36) para e, temos: , / 160 ) 20 . 2 / 2 )( 10 20 . 1 ( ) 10 00 . 4 )( 372 . 1 ( 2 4 2 s rad s rad m kg x m x N I wR = · = O = ÷ ÷ t e a qual é 1.53 x 10 3 rev/min. Observe que nesta ou em outra situação similar, desde que O apareça no denominador da expressão para e, a conversão entre rev/s e rev/min deve ser feita. (c) 10-42: Utilizando a Eq. (10-36) para todas as partes, temos: (a) Compartilhado igualmente (b) Dobrado (supondo que o peso adicionado seja distribuído de tal modo que tanto r como I não se modifiquem) (c) Compartilhado igualmente (supondo que tanto e como r não variam) (d) Dobrado (e) Inalterado . 10-44: (a) O torque resultante deve ser: . 60 . 2 ) 00 . 9 ( min / / 60 2 min / 120 ) 86 . 1 ( 2 m N s rev s rad x rev m kg t I I · = | | | | . | \ | · = A A = = t e o t Este torque deve ser a soma da força aplicada FR e os torques de atrito opostos f t no eixo , e também fr = ukNr devido a faca . Combinando essas, temos: . 1 . 68 )) 260 . 0 )( 160 )( 60 . 0 ( ) 50 . 6 ( ) 60 . 2 (( 500 . 0 1 ) ( 1 N m N m N m N m r R F k f = + · + · = N + + = u t t (b) Para se manter uma velocidade angular constante, o torque t resultante é nulo e, a força é: F' = m 500 . 0 1 (6.50 N·m + 24.96 N·m) = 62.9 N. (c) O tempo t necessário para recuperar a parada é encontrado do módulo da (10-27), com t = tf constante, ou seja: . 6 . 3 ) 50 . 6 ( ) 86 . 1 ( min / / 60 2 min / 120 2 s m N m kg rev s rad x rev I L t f f = · · | . | \ | = = = t t e t Observe que este tempo pode também se encontrado como: . 50 . 6 60 . 2 ) 00 . 9 ( m N m N s t · · = 10-46: (a) O momento de inércia não é dado, então a aceleração angular deve ser encontrada através das equações da cinemática, isto é: . / 33 . 8 ) 00 . 2 )( 30 . 0 ( ) 00 . 5 ( 2 2 2 2 2 2 2 s rad s m m rt s t = = = = u o (b) ot = (8.33 rad/s 2 )(2.00 s) = 16.67 rad/s. (c) O trabalho realizado pela corda sobre o volante será a energia cinética final, isto é: K = W = Fs = (40.0 N)(5.0 m) = 200 J. (d) . 44 . 1 ) / 67 . 16 ( ) 200 ( 2 2 2 2 2 m kg s rad J K I · = = = e 10-48: (a) Da regra da mão direita, a direção do torque é: , ˆ ˆ ˆ k j x i = ou seja a direção +z . (b) (c) (d) O módulo do torque é F0(x- x 2 /L), o qual possui seu valor máximo em L/2. (e) O valor do torque em x =L/2 é F0L/4. 10-50: (a) De considerações geométricas, o braço da alavanca e o seno do ângulo entre r e F são ambos máximo se a corda estiver presa no final da haste (b)Em termos da distancia x onde a corda está presa, o módulo da força é: . / 2 2 h x Fxh + Esta função satisfaz seu máximo no limite quando x = h, então a corda deveria estar presa no lado direito da haste. (c) Em função de x, l e h, o módulo do torque é: . ) 2 / ( 2 2 h l x xh F + ÷ = t Esta fórmula mostra que existem dois aspectos ao se aumentar o torque: maximizando o braço l da alavanca e maximizando sin o. Diferenciando t com relação a x e fazendo-se igual a zero temos: xmax = (l/2)(1+ (2h/l) 2 ). Este será o ponto no qual deve-se prender a corda, a não ser que 2h > l, no qual a corda deveria ser presa em um ponto adicional, a direita, em x = l. 10-52: Na figura (10-19) e Eq. (10-22), com o ângulo u medido a partir da vertical , sen o na Eq. (10-2). O torque é então: t = FR cos u. (a) . cos 2 / 0 Fr d FR W = = í u u t (b) Na Eq. (6-14), dl é a dist6ancia horizontal que os pontos se movem, e portanto temos: W = F ∫ dl = FR, que é o mesmo resultado encontrado em (a). (c) De . / 4 , ) / ( 2 2 2 MR F r MR W K = = = e e Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori (d) O torque, e por conseqüência a aceleração angular, é maior quando u = 0, e no ponto o = (t/I) = 2F/MR, e portanto a aceleração tangencial máxima é: 2F/M. (e) Utilizando o valor para e encontrado na parte (c), temos: arad = e 2 R = 4F/M. 10-54: No ponto de contato as paredes exercem uma força de atrito f direcionada para baixo e uma força norma direcionada para a direita. Esta é uma situação onde a força resultante sobre o cilindro é nula, então torques de equilíbrio não seriam correto. Forças verticais de equilíbrio, Frod cos u = f + e + F, e forças horizontais de equilíbrio , Frod sin u = N. Com f = ukN, essas equações se tornam: Frod cos u = ukN + F + e, Frod sin u = N. (a) Eliminando N e resolvendo para Frod temos: . 266 30 ) 25 . 0 ( 30 cos ) 0 . 40 ( ) / 80 . 9 )( 0 . 16 ( cos 2 N sin N s m kg sin F F o o k rod = ÷ + = ÷ + = u u u e (b) Com respeito ao centro do cilindro, a corda e a força normal exercem torque nulo . O módulo do torque resultante é (F – f)R, e f = ukN pode se encontrada por inserção do valor encontrado para Frod dentro de ambas as relações acima , isto é: f = ukFrod sen u = 33.2 N. Portanto, . / 71 . 4 ) 260 . 0 ( ) 10 0 . 18 )( 54 . 31 0 . 40 ( 2 2 2 s rad m kg m x N N I = · ÷ = = ÷ t o 10-56: Para uma tensão T na corda, temos: mg – T = ma e TR = Io = . R a I Eliminando T e resolvendo para a , temos: , / 1 / 2 2 mR I g R I m m g a + = + = onde m é a massa do peso dependurado, I é o momento de inércia da combinação do disco ( I = 2.25 x 10 -3 kg·m 2 de acordo com o problema 9-75) e, R é o raio do disco onde a corda está presa . (a) Com m = 1.50 kg, R = 2.50 x 10 -2 m, a = 2.88 m/s 2 . (b) Com m = 1.50 kg, R = 5.00 x 10 -2 m, a = 6.13 m/s 2 . A aceleração é maior no caso (b); com a corda presa ao disco maior, a tensão na corda é capaz de aplicar um torque maior . 10-58: As aceleração dos blocos A e B terão o mesmo módulo a. Como a corda não escorrega, a aceleração angular sobre a polia será: . R a = o Denotando as tensões na corda como: TA e TB, as equações do movimento são: , 2 a R I T T a m g m T a m T g m B A B B B A A A = ÷ = ÷ = ÷ onde a última equação é obtida pela divisão de t = Io por R e substituindo por o em termos de a. Somando-se as três equações, eliminamos ambas as tensões, resultando em: 2 / R I m m m m g a B A B A + + ÷ = Então, a aceleração angular é: R I R m R m m m g R a B A B A / + + ÷ = = o E as tensões podem ser encontradas de: 2 2 / / 2 ) ( R I m m R I m m m g a g m T B A A B A A A + + + ÷ = ÷ . / / 2 ) ( 2 2 R I m m R I m m m g a g m T B A B A B B B + + + ÷ = + Como verificação, pode ser demonstrado que :(TA – TB) R = Io. 10-62: Na primeira situação a forca F e a força de atrito estão em direção opostas, e a força de atrito gera um torque maior o qual tende a gerar um movimento de rotação, para a direita, no iô-iô. A força resultante para a direita é a diferença F – f, então a força resultante é para a direita enquanto o torque resultante provoca uma rotação no sentido horário. Na segunda situação, tanto o torque como a força de atrito tenta girar o iô-iô no sentido horário e, o iô-iô se movimenta para a direita. Na terceira situação, a força de atrito tenta movimentar o iô-iô para a direita e, como a força aplicada é vertical, o iô-iô se movimenta para a direita . 10-64: (a) A energia cinética da bola quando ela deixa a trilha (quando ela ainda está rolando sem deslizar) é : (7/10)mv 2 , e este deve também ser o trabalho realizado pela gravidade, isto é: W = mgh, então . 7 / 10gh v = A bola fica no ar por um tempo igual a: . 7 / 20 , / 2 hy vt x então g y t = = = (b) A resposta não depende de g, então o resultado deveria ser o mesmo sobre a lua . (c) A presença de atrito de enrolamento diminuiria a distancia . (d) Para moeda em dólar, modelada como um disco uniforme, temos: . 3 / 8 portanto e , ) 4 / 3 ( 2 hy x mv K = = 10-66: (a) (b)R é o raio da roda (y varia de 0 a R) e T é o período de rotação da roda. (c) Diferenciando, temos: . 2 cos 2 2 2 2 2 2 cos 1 2 2 2 | . | \ | | . | \ | = | . | \ | = | . | \ | | . | \ | = | . | \ | ÷ = T t R T a T t sin T R v T t sin R T a T t T R v y y x x t t t t t t t t (d) t t 2 2 0 = | . | \ | = = T t quando v v y x ou qualquer múltiplo de 2t, então os tempos são múltiplos inteiros do período T. As componentes das acelerações para estes tempos são: . 4 , 0 2 2 T R a a y x t = = (e) . 4 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 T R T t sin T t R T a a y x t t t t = | . | \ | + | . | \ | | . | \ | = + independente do tempo. Este é o módulo da aceleração radial para um ponto se movimentando sobre um circulo de raio R com velocidade angular constante igual a: . 2 T t Para movimentos que consiste deste movimento circular sobreposto com um movimento de velocidade constante ), 0 ( = a a aceleração devido ao movimento circular será a aceleração total . 10-68: Diferenciando e obtendo a resposta para a parte (b), temos: . 6 6 6 , 3 3 3 3 / 1 3 / 2 3 / 1 3 / 2 3 / 1 3 / 2 2 u u e o u u u e b b b bt dt d b b b bt dt d = | . | \ | = = = = | . | \ | = = = (a) í í = = = . 2 9 6 3 / 4 3 / 2 3 / 1 3 / 2 u u u u o b I d I b d I W cm cm cm (b) A energia cinética é: , 2 9 2 1 3 / 4 3 / 2 2 u e b I I K cm cm = = o que está de acordo com a Eq. (10-25); o trabalho total realizado é a variação na energia cinética . 10-70: (a) Os anéis e as hastes exercem forças um sobre o outro, mas não existe força resultante ou torque sobre o sistema, e portanto o momento angular será constante . Enquanto os anéis deslizam na direção final, o momento de inércia varia e, a velocidade angular final é dada pela Eq. (10-33), isto é: Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori , 4 10 00 . 2 10 00 . 5 2 12 1 2 12 1 1 2 3 2 4 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 e e e e e = · · = + + = = ÷ ÷ m kg x m kg x mr ML mr ML I I e portanto, e2 = 7.5 rev/min. Observe que a conversão de rev/min para rad/s não é necessária. (b) As forças e torques que os anéis e a haste exercem mutuamente irão desaparecer, mas a velocidade angular comum será a mesma, isto é: 7.5 rev/min. 10-72: Admitindo que o sopro esteja concentrado em um ponto (ou utilizando um ponto médio escolhido favoravelmente), a uma distância r da dobradiça, então: , ¯ = ave ave rF t e . rJ t rF L ave = A = A A velocidade angular é então: , 2 3 3 1 ) 2 / ( 2 ml t F ml t F l I t rF I L ave ave ave A = A = A = A = e onde l é a largura da porta. Substituindo os valores numéricos dados, encontramos: e = 0.514 rad/s. 10-74: Momento angular é conservado, então , 2 2 0 0 e e I I = ou , usando o fato de que para massas comuns o momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, temos: , 2 2 2 0 2 0 e e R R = ou , 2 ~ ) ( ) ( 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 e e e e e e A + A + A + A + = R R R R R R R onde os termos em 2 e e A A A e R foram omitidos. Cancelando os termos 0 2 0 e R , temos: . 1 . 1 2 0 0 cm R R ÷ = A ÷ = A e e 10-76: A tensão está relacionada com a massa do bloco, a velocidade e o raio do circulo através de: . 2 r v m T = O momento angular do bloco com relação ao buraco é L = mvr, então em termos de momento angular, temos: . ) ( 1 3 2 3 2 3 2 2 2 2 mr L mr mvr r r m v m r mv T = = = = O raio no qual a corda rompe pode ser relacionada ao momento angular inicial através de: , ) 0 . 30 )( 250 . 0 ( )) 800 . 0 )( / 00 . 4 )( 250 . 0 (( ) ( 2 max 2 1 1 max 2 3 N kg m s m kg mT r mv mT L r = = = para o qual r = 0.440 m. 10-78: (a), g) (b) Utilizando a forma do produto vetorial para o momento angular, temos: então r r v v , e 2 1 2 1 ÷ = ÷ = , 1 1 2 2 v x r m v x r m = então o momento angular é o mesmo . (c) Seja . j e e = Então: ( ). ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ), ˆ ˆ ( 2 2 1 1 1 1 1 k xR j y x i xR m v x r m L e k x i z r x v + + + ÷ = = ÷ = = e e e Com x 2 + y 2 = R 2 , o módulo de , , 2 2 2 1 2 1 R m L e R m é L e e e = · e então cos . 6 , 2 1 ) )( 2 ( 2 2 2 t u e e e u = = = e R m R m Isto também é verdade para 2 L , então o momento angular total faz um ângulo de 6 t com o eixo +y. (c) Dos cálculos intermediários da parte (c), , 2 1 mvR R m L y = = e então a componente y total do momento angular é: . 2mvR L y = (d) Ly é constante, então a componente resultante na direção y do toque é nula. (e) Cada partícula se movimenta em um circulo de raio R com velocidade v, e portanto está sujeita a uma força para dentro cujo módulo é mv 2 /R. O braço de alavanca dessa força é R, então o torque sobre cada tem módulo mv 2 . Estas forças estão direcionadas em direção opostas para duas partículas, e os vetores de posição são opostos uns ao outros, portanto os torques possuem o mesmos módulos e direção, e o torque resultante tem módulo igual a 2mv 2 . 10-80: O momento angular inicial é Ie1 – mRv1, com o sinal menos indicando que o movimento do corredor é oposto ao movimento da plataforma giratória sobre seus pés. O momento angular final é e2(I + mR 2 ), então: ( ) , / 776 . 0 00 . 3 ) 0 . 55 ( ) 80 ( ) / 8 . 2 )( 00 . 3 )( 0 . 55 ( ) / 200 . 0 )( 80 ( 2 2 2 2 1 1 2 s rad m kg m kg s m m kg s rad m kg mR I mRv I ÷ = + · ÷ · = + ÷ = e e onde o sinal negativo indica que a plataforma giratória reverteu a sua direção de movimento (isto é, o homem tinha inicialmente o maior módulo de momento angular) . 10-82:A velocidade do centro de massa irá variar de , m J v cm = A e a velocidade angular irá variar de . ) ( I x x J cm ÷ = Ae A variação da velocidade será . ) ( I x x x J m J x v v cm cm cm cm end ÷ ÷ = A ÷ A = A e Fazendo 0 = A end v permite o cancelamento de J, resultando em , ) ( m x x x I cm cm ÷ = o qual quando resolvido para x é: . 710 . 0 ) 600 . 0 ( ) 800 . 0 )( 600 . 0 ( ) 10 30 . 5 ( 2 2 m m kg m m kg x x m x I x cm cm = + · = + = ÷ 10-84: (a) A distância do centro da bola ao centro da linha que une os pontos onde a bola esta em contato com o trilho é: . 4 / , ) 2 / ( 2 2 2 2 d R v então d R cm ÷ = ÷ e Quando d = 0, isto fica reduzido para , R v cm e = que é o mesmo de estar rolando sobre uma superfície plana . Quando d = 2R, o raio de rolamento se aproxima de zero, e 0 ÷ cm v para qualquer e. (b) . ) 4 / 1 ( 2 5 10 ) 4 / ( ) 5 / 2 ( 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ÷ + = | | . | \ | ÷ + = + = R d mv d R v mR mv I mv K cm cm cm e Igualando isto a mgh e resolvendo para vcm dá o resultado desejado . (c) O denominador na raiz quadrada da expressão para vcm é maior do que para a situação quando d = 0, então vcm é menor . Para uma dada velocidade, e é maior do que quando d = 0, portanto uma grande parte da energia cinética é rotacional, daí a energia cinética de translação e por conseqüência vcm, são menores. (d) Tornando a expressão da parte (b) igual a 0.95 e resolvendo para a razão d/R obtemos d/R = 1.05. Colocando igual a 0.995 obtemos d/R = 0.37. 10-86: Denotando por FL e FR as forças para cima exercida pelas mãos, Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori as condições que estas forças devem satisfazer são: , r I F F F F R L R L e e O = ÷ = + onde a segunda equação é , L O = t dividido por r. Estas duas equações podem ser resolvidas para as forças, através de, primeiro somando e então subtraindo, o que conduz a: ( ) . 2 1 2 1 | . | \ | O ÷ = | . | \ | O + = r I F r I F R L e e e e Utilizando os valores de e = mg = (8.00 kg)(9.80 m/s 2 ) = 78.4 N e s m kg m rev rad x s rev m kg r I / 7 . 132 ) 200 . 0 ( ) / 2 / 00 . 5 ( ) 325 . 0 )( 00 . 8 ( 2 · = = t e obtemos: ). 4 . 66 ( 2 . 39 ), 4 . 66 ( 2 . 39 s N N F s N N F R L · O ÷ = · O + = (a) O = 0, FL = FR = 39.2 N. (b) O = 0.05 rev/s = 0.314 rad/s, FL = 160.0 N, FR = 18.4 N. (c) O = 0.3 rev/s = 1.89 rad/s, FL = 165 N, FR = -86.2 N, como sinal negativo indicando uma força para baixo . FR = 0 obtemos O = 575 . 0 4 . 66 2 . 39 = · s N N rad/s, que é o mesmo que 0.0916 rev/s. Gabarito –Gabarito – Exercícios Ímpares Exercício Gabarito 10.1 (a) para fora da página 40N m · (b) 34.6 N.m para fora da página (c) 20 N.m para fora da página. (d) 17.3 N.m para dentro da página (e) 0 (f) 0 10.3 2.50 N.m sentido anti-horário 10.5 (c) ( ) ˆ 1.05N m k ÷ · · 10.7 1.2 m/s 10.9 (a) ( ) ( ) 3 1 2 g M m m M + + (b) menor (c) nenhum efeito. 10.11 0.482 10.13 (a) 7.7 N na parte horizontal, 18.2 N na parte suspensa. (b) 2 0.0160kg m · 10.15 (a) 0.882N (b) 0.533s (c) 33.9 rad/s 10.17 (a) 1/3 (b) 2/7 (c) 2/5 (d) 5/13 10.19 11.7m 10.21 (a) 0.309rad s (b) 100J (c) 6.67W 10.23 (a) 0.38N m · (b) 160rad (c) 59J (d) 59J 10.25 (b)65.6N 10.27 (a) 358N m · (b) 3 1.79 10 N · (c) 83.8m/s 10.29 (a) para dentro da página 2 115kg m s · (b)para fora da página 2 2 125kg m s · 10.31 6 2 4.71 10 kg m s ÷ · · 10.33 (b) 7 / rad s (c) 2 1.03 10 J ÷ · (d) 2 1.03 10 J ÷ · 10.35 0.6rev 10.37 (a) 1.4rad s (b) 1080 antes J ; 500 depois J 10.39 10.41 (a) 36.8min (b) 5 1.10 10 N m · · 10.43 22 5.4 10 N m · · 10.45 (a) 0.955 ² kg m · (b) 0.0800N m ÷ · (c) 104 rev 10.47 (b) 4500W (d) 2600W Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Exercício Gabarito 10.49 0.675s 10.51 (a) L/4 a partir da extremidade com a esfera (b) (9g/8L)senu (c) (3g/2L)senu 10.53 1200 N 10.55 (a) 1.12 m/s² (b) 14.0 N 10.57 a = F/2m; f = F/2 10.59 (a) 0.957 m 10.61 (a) (27R – 17r)/10 (b) (5R – 3r)/2 10.63 (a) 1.76N (b) 2 123rad s (c) 9.80 ² m s (d)T possui o mesmo valor, os valores de o e a dobrariam 10.65 (a) 9.34m s (b) 18.7m s (c) 0 (d) 5.6m 10.67 3.4m 10.69 g/3 10.71 (a) 6v/19L (b) 3/19 10.73 (a) 5.60 rad/s (b) 3.17 cm (c) 1.01.10 3 m/s 10.75 3200 J 10.77 0.3 rad/s no sentido horário 10.81 12.7 rad/s 10.85 (a) ; 2 C C a g g R u o u = + · = ÷ · (b) 2 2 0 18 C R g e u · (c) 2 2 0 6 M R e ÷ · · 10.87 (a) 2 2 3 1 1 1 m v r r · · (b) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 1 m v r r · ÷ (c)resultados iguais. Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori com velocidade constante e a distância entre a reta e a origem é igual a l. Em relação à origem, o momento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero ? A medida que a partícula se desloca ao longo da rela seu momento angular em relação à origem varia ? Q10.18 No Exemplo 10.13 (Seção 10.7) a velocidade angular varia e isto deve significar que existe uma aceleração angular diferente de zero. Porém não existe nenhum torque em torno do eixo de rotação quando as forças que o professor aplica sobre os pesos estão orientadas radialmente para dentro. Então pela Equação: precessão como indicado na Figura 3. O que ocorrerá se você colocar suavemente algum peso em um ponto o mais afastado possível do pivô. ou seja. na extremidade do eixo do volante? i 1 N i I deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente. Q10.19 No exemplo 10.13 (Seção 10.7) a energia cinética do professor junto com os halteres aumenta. Contudo, como não existem torques externos, não existe nenhum trabalho capaz de alterar a energia cinética da rotação. Então, pela Equação (10.25) a energia cinética deve permanecer constante! Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente. De onde vem a energia cinética extra? Q10.20 Conforme discutimos na Seção 10.7, o momento angular de uma acrobata no circo se conserva à medida que ela se move através do ar. Seu momento linear se conserva? Explique sua resposta. Q10.21 Quando você segura durante um intervalo mínimo de tempo um ovo fresco que está girando e a seguir o liberta, o ovo começa a girar novamente. Quando você repete a experiência com um ovo cozido, ele permanece parado. Experimente fazer isso. Explique. Q10.22 Um helicóptero possui um rolor grande principal que gira em um plano horizonlal e ocasiona a força de sustentação. Existe também um rotor pequeno na traseira do helicóptero que gira em um plano vertical. Qual é a finalidade do rotor traseiro ? (Sugestão: Caso não existisse o rotor traseiro, o que ocorreria quando o piloto fizesse variar a velocidade angular do rotor principal ?) Alguns helicópteros não possuem rotor traseiro, mas possuem dois rotores principais grandes que giram em um plano horizontal. Por que é importante que esses rotores girem em sentidos contrários ? Q10.23 Em um projcto comum de giroscópio, o volante que gira e o eixo do volante permanecem no interior de uma estrutura leve e esférica, com o volante no centro da estrutura. O giroscópio é a seguir equilibrado no topo de um pivô de modo que o volante fique direlamcntc acima do pivô. O giroscópio realiza precessão quando ele é libertado enquanto o volante está girando ? Explique. Q10.24 Um giroscópio leva 3.8 s para fazer uma precessão de l.0 revolução em torno de um eixo vertical. Dois minutos depois ele leva 1.0 s para fazer uma precessão de 1.0 revolução. Ninguém tocou no giroscópio. Explique o que ocorreu. Q10.25 Um giroscópio realiza um movimento de Figura 3 direção e sentido) em torno de um ponto O de uma força F em cada uma das situações esquematizadas na Figura 4.15m ˆ j O vetor da origem ao ponto onde a força é aplicada e dado por: 10. partindo do repouso. sabendo que F1 = 18. Figura 5 (a) Faça um diagrama mostrando origem.2 – Torque Figura 7 (a) 10.00 N ˆ j ˆ r 0. (c) Determine algebricamente o vetor torque produzido por essa torça.3 Uma placa metálica quadrda de lado igual a 0.45m i 0.3). a força F e a barra estão no plano da página.Exercícios – Sears & Zemanski.50 kg. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Figura 6 SEÇÃO 10.3 TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO 10.2 (Seção 10. O plano da placa e de todas as forças é o plano da página. F2 = 26.180 m possui o eixo pivotado perpendicularmente ao plano da página passando pelo seu centro O (Figura 6).0 N e F3 = 14. o comprimento da barra é igual a 4.2 Calcule o torque resultante em torno de um ponto O para as duas forças aplicadas mostradas na Figura 5. Figura 8 . r Fe a (b) Use a regra da mão direita para determinar a direção e o sentido do torque.m2 em tomo do seu eixo de rotação.50 N e F2 = 5.Regra da mão direita.30 N são 10.7 Usando o valor de a calculado no Exemplo 10. Em cada caso. Exercícios Seção 10. 10. Verifique se a direção e o sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b). sua velocidade angular atinja o valor de 400 rev/min em 8.5 Uma força atuando sobre uma parte de uma máquina é dada pela expressão: ˆ F 5. Sartori aplicadas tangencialmente a uma roda com raio igual a 0. Figura 4 (b) 10.00 m e a força possui módulo de valor F = 10.00 N i 4.6 O volante de uma certa máquina possui momento de inércia igual a 2.00 s ? (b) Qual é sua energia cinética final ? 10. (a) Qual é o torque constante necessário para que. Calcule o torque resultante em torno desse eixo produzido pelas três forças mostradas na figura.4 As forças F1 = 7. qual é o valor da velocidade do cabo .0 N.330 m. Dr.0 N. conforme mostra a figura 7. Qual é o torque resultante da roda produzido por estas duas forças em relação a um eixo perpendicular à roda passando através de seu centro? Resolva o caso (b).1 Calcule o torque (módulo.0 N. Cláudio S. Dr.16 Repita a parte (c) do Exercício 10. (b) uma esfera maciça homogênea.180 kg. (b) Sua resposta do item (a) é menor do que.750 m. Figura 9 passando em seu centro. SECAO 10.0 kg é suspenso por uma corda enrolada em torno de um sarilho. (a) Qual e a tensão na corda enquanto o balde está caindo ? (b) Com que velocidade o balde atinge a água ? (c) Qual é o tempo de queda ? (d) Enquanto o balde está caindo. Sartori depois que ele foi puxado 2. Calcule o módulo da aceleração angular da barra. A força é mantida perpendicularmente á barra e ao eixo da rotação. constituído por um cilindro sólido com diâmetro de 0.00 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. 10.10 (a) Na situação descrita no Exemplo 10. Se a extremidade livre do rio e mantida Fixa e o aro é libertado a partir do repouso (Figura 11).50 s.5).150 m e sua outra extremidade está presa a outro livro suspenso com massa de 3.800 s. A corda é montada cm apoios sem atrito sobre um eixo horizontal que passa em seu centro. O cilindro e pivotado sobre um eixo sem atrito .13 Um livro de 2. qual e a força exercida pelo eixo sobre o cilindro ? 10. 10.300 m e massa igual a 12. Explique a razão da força normal possuir essa direção. Figura 11. Ache o coeficiente de atrito entre o machado e o esmeril.17 No Exemplo 10. Cláudio S. metade da energia cinética total e translacional e a outra metade e relacional. e a corda é puxada por uma força constante de 40. O sistema e solto a partir do repouso e os livros se deslocam 1.520 m e massa de 50.0 m até atingir a água. Explique como isso ocorre.15 usando desta vez considerações de energia. (a) Qual é a tensão em cada parte da corda ? (b) Qual e o momento de inércia da polia em torno do seu eixo de rotação? 10. 10.11 Um esmeril em forma de disco sólido com diâmetro de 0.3 (Seção 10.0 kg. a torça normal η exercida sobre o cilindro pelo mancal está orientada para cima e para a esquerda.0 kg gira a 850 rev/min.2 da Seção 10.g. Despreze o peso da corda. (c) a velocidade angular do aro no momento em que ele desceu 0.0 m? Compare seu resultado com o obtido no Exemplo 9.8 (Seção 9.8 Uma corda é enrolada em torno da periferia de uma roda de raio igual a 0.0800 m e massa 0. 10. 10. calcule: (a) a tensão no fio enquanto o aro desce à medida que o fio se desenrola. O momento de inércia da roda em torno do eixo é igual a 5. O balde é libertado a partir do repouso no topo de um poço e cai 10. a direção e o sentido de η.00 kg.750.5 (Seção 10.4) verificamos que para uma casca cilíndrica oca rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal. igual a. ou maior do que o peso total do cilindro junto com a massa (M + m). 10.m2.9 (a) Calcule o modulo η da força normal para as situações descritas no Exemplo 10. (b) o tempo que o aro leva para descer 0. 10. (c) Suponha que o cilindro esteja inicialmente girando no mesmo sentido dos ponteiros do relógio de modo que a massa suspensa m suspensa esteja inicialmente se movendo para cima com velocidade escalar v0 (o cabo permanece esticado). Você pressiona um machado contra sua periferia com uma torça normal de 160 N (Figura 10) e o esmeril atinge o repouso em 7. Explique.20m em 0.14 Uma barra horizontal fina de comprimento L e massa M é articulada em torno de um eixo vertical passando em sua extremidade. Uma força com módulo constante F é aplicada à outra extremidade. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.3). (d) um cilindre eco cem raio externo K e raio Figura 10. Calcule a aceleração angular da roda. Despreze o atrito nos mancais.15 Um fio é enrolado diversas vêzes em torno da periferia de um pequeno aro de raio 0. (b) Determine o modulo. Determine que tração da energia cinética total e dada pela parte relacional no case do rolamento sem desilizamento dos seguintes objetos: (a) um cilindro maciço homogêneo.00 kg.4 ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO MÓVEL 10. fazendo a barra girar em um plano horizontal.250 m. Uma corda amarrada ao livro passa sobre uma polia com diâmetro igual a 0.Exercícios – Sears & Zemanski.3 (Figura 9).0 N. (c) uma casca esférica.12 Um balde com água de 15. Qual e o efeito que isso produz sobre a tensão T e sobre a força normal η. (a) Qual é o torque fornecido pelo motor do avião? (b) Qual é o trabalho realizado pelo motor em uma revolução da hélice? 10.24 Qual e a potência em watts de um motor elétrico que gira a 4800 rev/min e desenvolve um torque de 4. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.24) para calcular o trabalho realizado pelo torque. (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina.417 kW.0 s. Uma bola de boliche rola sem deslizar para cima de uma rampa inclinada de um angulo com a horizontal. (a) Nesse instante. {Sugestão: Veja a Tabela 9.08 m (de uma extremidade a outra) e sua massa é de 117 kg. Dr.5 TRABALHO E POTÊNCIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 10.00 rev iniciais ? (d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5. ele aplica um torque de 1950 N.Exercícios – Sears & Zemanski. Explique por que a torça de atrito deve possuir sentido para cima. Logo no início do funcionamento do motor.29 Uma pedra de 2.? 10. Calcule h. Sartori interno R/2. 10.50 kg possui forma cilíndrica com raio igual a 0. (b) Um tambor de massa desprezível com diâmetro igual a 0. O raio da roda é igual a 0. Se o carrossel está inicialmente em repouso.18 Uma casca esférica de massa igual a 2. Cláudio S.800MR2 . que começa a se mover a partir do repouso. 10. sua velocidade angular é de 4800 rev/min.100 m. qual é sua velocidade angular depois deste instante de tempo de 15.0 N tangencialmente a periferia do carrossel durante 15.27 (a) Calcule o torque desenvolvido por um motor industrial com potência de 150 kW para uma velocidade angular de 4000 rev/min.m na hélice.22 O Exemplo 9.23 A roda de um esmeril de 1.28 Uma mulher com massa de 50 kg está em pé sobre a periferia de um grande disco que gira com 0.00 rev ? 10.0 m.19 Uma roda de 392 N sai do eixo de um caminhão em movimento e rola sem deslizar ao longo de uma estrada inclinada.50 rev/s em torno de um eixo que passa através do seu centro. O motor fornece l.m2 em torno de um eixo vertical passando em seu centro e gira com atrito desprezível. sua velocidade angular se reduz para 2400 rev/min e a potência de saída é igual a 1. a força de atrito e e coeficiente de atrito mínimo necessário para impedir o deslizamenlo. (a) Ache a aceleração.40 m e momento de inércia igual a 2100 kg. qual é o modulo.600 m e seu momento de inércia em tomo do eixo de rotação é igual a 0. (b) Qual e a aceleração do centro de massa da bola? (c) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático mínimo para impedir o deslizamenlo ? SECAO 10. a direção e o sentido do seu momento angular em relação ao ponto O ? . Qual e a força tangencial que a madeira exerce sobre as extremidades dos dentes de carboneto? 10.25 As extremidades dos dentes de carboneto de uma serra circular estão situadas a uma distância de 8.5 s? (b) Que ângulo ele girou durante esse intervalo de tempo? (c) Use a Equação ( 10. Calcule o modulo do momento angular total do sistema mulherdisco. (d) Qual é a energia cinética do esmeril quando ele está girando a 1200 rev/min? Compare sua resposta com o resultado do item (c).} (b) Qual e a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5. Por que sua potência é desprezível quando ela não está cortando nenhum objelo? (b) Quando ela está cortando tábuas.6 cm do eixo de rotação.4. (a) Qual deve ser o Iorque constante capaz de levá-lo do repouso a uma revolução angular de 1200 rev/min em 2.00 kg ? 10.00 kg possui uma velocidade horizontal com modulo de 12. possui massa de l IO kg e i aio igual a 4.00 rev iniciais ? (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5.30 N.6 MOMENTO ANGULAR 10.0 s? (b) Qual é o trabalho realizado pela criança sobre o carrossel? (c) Qual é a potência média fornecida pela criança. (a) Quando a serra não está cortando nenhum objeto. (Veja o Exemplo 10.00 rev ? (c) Qual e o trabalho realizado pelo motor durante as 5.305.21 Um carrossel de um parque de diversões possui raio de 2.m? 10.9 na Seçao 10.40. (b) Como suas respostas do item (a) seriam alteradas caso a massa fosse dobrada para 4. 10.2. a uma altura h acima da base do morro: esse trabalho possui módulo igual a 3500 J.20 Uma bola subindo uma inclinação.) 10.26 A hélice propulsora de um avião possui comprimento de 2.5 (Seção 9.0 m/s quando esta no ponto P na Figura 10.00 kg rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 38°.0 rad/s. (Suponha que a mulher possa ser tratada como um ponto. Qual é o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante ? (c) Com que velocidade constante o peso sobe? SEÇÃO 10. O atrito realiza trabalho sobre a roda a medida que ela sobe o morro até parar.4) descreve o projeto da hélice propulsora de um avião. (a) Uma criança aplica uma força de 18.105 W para a hélice a uma rotação de 2400 rev/min. (a) Faça um diagrama do corpo livre para a bola. Na base de um morro ela está girando a 25.400 m é ligado ao eixo do motor e a potência disponível do motor e usada para elevar um peso pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor.) Considere a bola uma esfera homogênea e ignore os seus orifícios. 33 Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizonlal sem atrito possui massa de 0.7 CONSERVAÇÃO 00 MOMENTO ANGULAR 10. 10.30 (a) Calcule o modulo do momento angular da Terra considerando-a uma partícula que descreve urna órbita em volta do Sol.300 m do buraco com uma velocidade angular de 1. Quando esticadas para tora.36 Uma mesa giratória grande gira em tomo de um eixo vertical fixo.6 kg. A densidade de uma estrela de nêutrons é aproximadamente 1014 vêzes maior do que a da matéria comum.0 kg. Sartori (b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso.34 Um patinador girando. qual é sua velocidade angular final ? Figura 14. Ele está preso a uma corda sem massa que passa através de um buraco na superfície (Figura 13). (a) Ache a velocidade angular da mesa giratória depois do pouso do pára-quedista. SECAO 10. fazendo com que o raio do círculo se encurte para 0.Exercícios – Sears & Zemanski. O momento de inércia das parles restantes do corpo em relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0.) 10.00 rad/s em torno de um eixo vertical que passa em seu centro. Repentinamente.00 g.5 s desde o trampolim até atingir a água ? 10. Considere a Terra uma esfera maciça e homogénea de raio 6.32 Sob determinadas circunstâncias.104 m/s². Uma criança com massa de 40. (d) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda ? Figura 13.38.97. Se sua velocidade angular inicial é de 0. fazendo uma revolução em 6.8 m. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. A mesa giratória esta inicialmente a 3. Cláudio S.00 m e massa igual a 120 kg.9. elas formam um cilindro de raio igual a 25 cm. Qual é a velocidade angular da mesa giratória quando a criança está a uma distância de 2. O raio inicial da estrela era de 7. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso.m².0 cm e massa de 6. a envergadura é de 1.m² . ache a velocidade angular da estrela de nêutrons. direção e sentido) do momento angular nesse instante ? 10.0 kg. fazendo seu momento de inércia diminuir para 3. 10. uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto extremamente denso. começa a correr ao longo de um raio. O momento de inércia da mesa giratória em torno desse eixo é igual a l 200 kg.0.0250 kg. 10. Quando suas mãos e braços se aproximam do corpo e se cruzam em torno do corpo para executar o giro.00 s. Podemos considerar as mãos e os braços esticados para fora de um patinador que se prepara para girar como uma barra delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de gravidade (Figura 14). Dr. Caso ela não se agachasse.31 Ache o módulo do momento angular do ponteiro dos segundos de um relógio em torno do eixo que passa pelo centro de massa da lace frontal do relógio. (b) Calcule o modulo do momento angular da Terra devido a sua rotação em torno do eixo que liga o Pólo Norte com o Pólo Sul.0 s. as mãos e os braços podem ser considerados um cilindro oco com parede fina. Suponha que ela descreva um movimento circular uniforme com raio de 1.1024 kg. Quando está agachada ela realiza uma revolução completa em 1. Considere-o uma barra delgada girando com velocidade angular constante em torno de uma de suas extremidades. Figura 12. constituído principalmente por nêutrons e chamado estrela de nêutrons. quantas revoluções faria no intervalo de tempo de 1. (Suponha que o para- .40 kg m². (a) O momento angular é conservado ? (b) Qual é a nova velocidade angular ? (c) Calcule a variação da energia cinética do bloco.40 rev/s. 10.00 m do centro ? (Suponha que a criança possa ser considerada uma partícula. Supondo que a estrela original completava um giro em 30 dias.106 m que completa uma revolução em 24. quando torcidas. que estava inicialmente em repouso no centro da mesa. um pára-quedista pousa suavemente em um ponto próximo da periferia da mesa. A seguir a corda e puxada por baixo. fornecendo-lhe um momento de inércia em torno do eixo de rotação igual a 18 kg.m².50.75 rad/s. O bloco pode ser considerado uma partícula. No início o bloco está girando a uma distância de 0. Ela então se agacha formando uma pequena bola. A massa da Terra é igual a 5. Esse ponteiro do relógio possui comprimento de 15. A massa total das mãos e dos braços e igual a 8.1011 m e que sua velocidade escalar orbital seja de 2.0 horas.35 Uma mergulhadora pula de um trampolim com braços estendidos verticalmente para cima e pernas esticadas para baixo.105 km (comparável com o raio do Sol): seu raio final e igual a 16 km.150 m. qual é a taxa de variação (módulo.37 Uma mesa giratória grande possui forma de disco com raio de 2. (b) o peso total dobra. Você comprime um machado sobre a periferia com uma força normal de 160 N (Figura 10). Le . (a) Ache a força de baixo para cima exercida pelo pivô.00 m é articulada em um de seus lados e possui massa total de 40. PROBLEMAS 10.00°/s.29 indicando letras para produzido por (a) Qual é o tempo necessário para ele atingir essa velocidade. a seguir.20 s. 10. Na verdade. mantendo-se as outras grandezas constantes: (a) a velocidade angular de spin do volante dobra.20. seu raio é igual a 2.00 N. Se um torque de 5.500 kg. Seu momento de inércia em relação ao seu eixo é igual a 1.46 x 10 W? (b) Ache o Iorque necessário para fazer o eixo sofrer uma precessão em um plano vertical oscilando com uma taxa de inclinação de 1. .00 cm do pivô.60 e existe um torque do atrito constante igual a 6. inverta a velocidade angular de spin do rotor e repita iodas as etapas.00 m e altura de 2. (d) a distância entre o pivô e o centro de gravidade dobra. Nesse modelo. Estime o módulo do torque que produz a precessão da Terra.43 O período do movimento de precessão da Terra é de 26.m entre o eixo do esmeril e seus mancais. uma porção de lama pegajosa de massa igual a 0. (c) Faça um diagrama. montada em um eixo de modo que ela possa girar livremente em torno desse seu eixo. 10.000 kg. (c) Mova o pivô para a outra extremidade do eixo. (d) Mantendo o pivô como na parte (c). (c) o momento de inércia em torno do eixo do volante dobra. expressa em rev/min. (e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis indicadas nos itens de (a) até (d) dobrassem de valor? 10. Por que essas energias cinéticas são diferentes ? 10. Cláudio S. A lama contribui significativamente para o momento de inércia? SEÇÃO 108 GIROSCÓPIOS E PRECESSÃO 10. (b) Ache a velocidade angular com a qual o rolor gira em torno de seu eixo.0250 kg. Determine o sentido da . 10. isso altera a estimativa do torque de um fator aproximadamente igual a 2.00 m. (b) Depois que o esmeril atinge a velocidade de 120 rev/min. no caso da Terra. considerando a mesma direção e mesmo sentido da velocidade angular de spin como na parte (b) e repita todas as etapas. (b) Inverta o sentido da velocidade angular do rotor e repita todas as etapas do item (a).40 O rotor (volante) de um giroscópio de brinquedo possui massa de 0. Você pode usar dados do Apêndice F.500 m de comprimento para acelerar a roda do esmeril desde zero até 120 rev/min em 9. (a) Ache a força que deve ser aplicada tangencialmente à extremidade do eixo da manivela de 0. Sartori qucdista possa ser considerado uma partícula.38 Uma porta sólida de madeira com largura de 1. desenhando vetores para mostrar o momento angular do rotor e o torque que atua sobre ele.39 (a) Desenhe uma vista de topo do giroscópio da Figura 10.000 anos e o período de sua velocidade angular de spin é de um dia. Dr. Inicialmente ela está aberta e em repouso. o eixo de precessão e o eixo de rotação de spin são perpendiculares. qual é a força tangencial que deve ser aplicada à extremidade da manivela para manter a velocidade angular constante de 120 rev/min ? (c) Quanto tempo o esmeril levaria para reduzir sua velocidade angular de 120 rev/min até zero quando a única força atuante for apenas a força de atrito nos mancais ? 10. Desenhe dL precessão examinando as direções e sentidos de L e L dL .45 Uma roda de bicicleta experimental está sob teste.m².41 Um giroscópio estabilizador. colide no centro da porta.) (b) Calcule a energia cinética do sistema antes e depois do pouso do pára-quedista.104 kg.5°.Exercícios – Sears & Zemanski.140 kg.42 Um giroscópio possui movimento de precessão em tomo de um eixo vertical. Desenhe L dL .0 kg é um disco sólido de diâmetro igual a 0. Calcule a velocidade angular final da porta. O coeficiente de atrito cinético entre a lâmina e a pedra do esmeril é igual a 0. Faça a estimativa supondo (i) que a Terra seja uma esfera maciça e homogênea e (ii) que a precessão da Terra seja semelhante ao movimento de precessão do giroscópio indicado na Figura 15. A massa do suporte é de 0. e a roda atinge o repouso em .44 Um esmeril de 55. ü giroscópio esiaimi£íiuui de um navio é um disco sólido de massa igual a 60. a velocidade angular cresce de zero a 100 rev/min.m for aplicado ao pneu durante 2. se deslocando perpendicularmente à porta com velocidade de 12.00 s. com uma potência de entrada de 7. o ângulo entre esses dois eixos é de 23. partindo do repouso.0 kg. e ele gira em tomo de um eixo vertical com velocidade angular de 500 rev/min.50 N.00 s. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Descreva o que ocorre com a velocidade angular de precessão quando são feitas as seguintes mudanças nas variáveis. A seguir o torque externo é removido. O giroscópio possui movimento de precessão cm um plano horizontal completando uma revolução em 2. O giroscópio é suportado em um único pivô (Figura 15) e seu centro de massa está situado a uma distância de 4.520 m.0 m/s. Figura 15. Como esse resultado se compara com o obtido no nem (b) ? (d) Um taco de bilhar e uma barra de madeira cónica grossa em uma extremidade e fina na outra.5 rad com um torque de 60. .0 N.0 N. Você obtém o mesmo resultado obtido no item (a) ? WTot d 1 2 (c) Ache a velocidade angular final do disco. Um fio puxa a barra com uma força F dirigida a um ponto P situado a uma distancia h acima da barra.52 Você amarra um fio a um ponto na periferia de um disco uniforme vertical de raio R e massa M. Explique por quê. Uma pequena esfera de massa M é ligada a extremidade de uma barra longa. x e l em termos de l.5 rad com o torque de 20. Inicialmente o disco está em repouso com a conexão do fio no ponto mais elevado do disco.46 Um volante com diâmetro de 0. (b) Se a potência para t = 3. Sartori 125 s pela ação do atrito em seus mancais.m ? (c) Prove que a potência para qualquer deslocamento angular é proporcional ao torque total elevado a 3/2 para esse deslocamento angular. Suponha que a extremidade sem a esfera permaneça em contato com o topo da mesa.m. e massa M. porem agora com a extremidade contendo a estera tocando a mesa.00 s é 500 W com um torque resultante constante de 20. Expresse o torque em termos de F0.51 Ato de equilibrar. fina e uniforme de comprimento L.600 m é pivotado sobre um eixo horizontal. (b) o torque do atrito.48 Uma viga de comprimento l está sobre o eixo +0x com sua extremidade esquerda situada na origem. A porta possui alutura de 3. Se Exena aplica uma força de 220 N a extremidade da porta e ortogonal a ela. determine sua aceleração angular nesse instante. Expresse F em termos de F0 e x em termos de l.00 s. (a) Qual é a direção e o sentido do torque da força ? (b) Faça um gráfico de F contra x desde x = 0 até x = l. (c) Faça um gráfico do torque contra x desde x = 0 até x = l. F F0 1 x l onde F0 é o módulo da força aplicada à F WTot 1 1 2 I 2 I 12 2 2 (b) Achar o trabalho realizado pelo fio pela equação.0 N.25 m. A seguir a barra e novamente inclinada de um pequeno ângulo . quanto tempo leva para fechar a porta ? 10. qual seria a potência depois de um deslocamento angular de 37. {Sugestão: Consulte a Tabela 9.Exercícios – Sears & Zemanski. A porta está inicialmente perpendicular a parede.47 Uma roda parte do repouso e gira com velocidade angular constante em torno de um eixo fixo. O atrito das dobradiças pode ser desprezado. qual seria a potência para t = 3. (c) acima do centro da barra. Cláudio S. 10. (a) Prove que a potência em qualquer instante é proporcional ao quadrado do torque resultante em torno do eixo. e a seguir o sistema é libertado.00 s se o torque resultante constante fosse igual a 60. O volante começa a girar a partir do repouso.m é igual a 500 W. Você puxa o fio com uma força horizontal F até que a roda lenha feito exatamente um quarto de rotação em torno do eixo horizontal que passa em seu centro. 10.49 Quando explora um castelo.0 N. Anote essa posição em um desenho da barra.m? (e) As respostas dos itens (a) e (b) contradizem as respostas dos itens (c) e (d) ? Tanto na resposta afirmativa quanto para a resposta negativa explique por quê. é surpreendida por um dragão que a persegue pelo corredor. 10. de modo que ela deve girar a 90° para fechar. e pesa 750 N. Determine o ponto ao longo da barra onde você deve amarrar o fio para obter o torque máximo em torno da origem se o ponto P estiver situado (a) acima da extremidade direita da barra: (b) acima da extremidade esquerda da barra. Exena. A seguir a barra e inclinada de um angulo pequeno . Suponha que a extremidade com a esfera permaneça em contato com o topo da mesa. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.00 m e largura de 1. Uma corda é enrolada na periferia do volante e puxada com uma força estacionária de 40. (d) Sabendo que a potência depois de uma rotação de 37. Dr. 10. esse equilíbrio e muito mais difícil quando a extremidade grossa fica em contato com seu dedo. Calcule (a) o momento de inércia da roda em torno do eixo de rotação. (d) Determine o ponto ao longo da viga no qual a força aplicada produz o torque máximo e qual é o valor desse torque máximo. (a) Achar o trabalho realizado pelo fio. e um comprimento da corda igual a 5.00 m é desenrolado em 2. calcule sua aceleração angular nesse instante. a Exterminadora. (c) o número total de revoluções realizadas pela roda durante o intervalo de tempo de l 25 s. O disco pode girar livremente sem atrito em um eixo horiznontal fixo passando em seu centro de massa.) (c) Você novamente equilibra a barra no topo da mesa. Exena corre para dentro de um quarto e tenta fechar uma porta pesada antes que o dragão entre. (a) Qual é a aceleração angular do volante ? (b) Qual é a sua velocidade angular final ? (c) Qual é a sua energia cinética final? (d) Qual é seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação ? 10. de modo que a extremidade sem a esfera fique apoiada verticalmente sobre a mesa.50 Urna barra fina de comprimento l repousa sobre o eixo +Ox com sua extremidade direita na origem. Um cabo puxa a viga na direção do eixo +0y com uma força F cujo módulo depende do ponto de aplicação na viga extremidade esquerda da viga.2. Você pode equilibrar facilmente o taco na vertical sobre um dedo quando a extremidade fina fica em contato com esse dedo. (a) Localize a posição do centro de massa do sistema barra e esfera.0 N. (b) Você equilibra cuidadosamente a barra no topo de uma mesa sem atrito. 10. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.25. (a) Qual é a aceleração do bloco para baixo do plano? (b) Qual é a tensão no fio ? Figura 18 10.60 kg. O engradado possui massa total de 50 kg. Em qual dos dois casos a aceleração é maior ? Sua resposta faz sentido ? 10.m² em torno do eixo. sua extremidade gira cm torno de um circulo vertical de raio igual a 0.58 Máquina de Atwood.57 Um rolo de cortar grama com forma de uma casca cilíndrica de massa M é puxado horizontalmente com uma força constante horizontal F aplicada por um cabo ligado ao eixo. A barra pode girar sem atrito no suporte. (a) Qual é o modulo da força que a barra exerce sobre o papel enquanto ele desenrola ? (b) Qual e a aceleração angular do rolo ? Figura 17 10.00 cm e massa m2 = 1.200 m. o cilindro gira e o engradado sobe. são unidos por uma solda e montados sobre um eixo sem atrito passando no centro comum dos discos. O coeficiente de atrito cinético é 0. Sabendo que ele rola sem deslizar. 10.Exercícios – Sears & Zemanski.55 Um bloco de massa m= 5. A outra extremidade da barra está presa à parede por uma articulação sem atrito de modo que a barra faz um ângulo de 30. O volante possui massa de 25.12 m. O fio puxa a roda sem deslizar a uma distância perpendicular ao eixo igual a 0. Os pesoss dos blocos A e B são. Figura 19 . calcule a aceleração e a força de atrito. Cláudio S. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é k = 0. Uma corda e enrolada em um cilindro de madeira que gira em torno de um eixo de metal. O peso da barra e desprezível. O cilindro possui raio igual a 0. um com raio R1 = 2. A Figura 19 mostra uma máquina de Alwood. a aceleração angular da roda e a tensão em cada lado da corda supondo que não exista deslizamento entre a corda e a periferia da roda. respectivamente. 10. uma manivela está presa á outra extremidade.00 kg desliza para baixo de uma superfície honzontal inclinada a 36. Um fio amarrado ao bloco é enrolado em torno de um volante que pode girar em torno de um eixo passando em O.) Figura 16 10. (A massa da corda c o momento de inércia do eixo e da manivela podem ser desprezados.56 Dois discos metálicos. Qual é o módulo da aceleração de cima para baixo do bloco depois que ele é libertado? (b) Repita os cálculos da parte (a).50 cm e massa m1 = 0.0° com a parede.80 m/s² . Sartori (d) Calcule a aceleração radial (centrípeta) máxima de um ponto sobre o disco. Calcule o módulo da força F aplicada tangencialmente ã extremidade da manivela para elevar o engradado com uma aceleração de 0. Uma extremidade do eixo está pivotada em mancais sem atrito.260 kgm² . 75.9° com a horizonlal (Figura 18).0 N e o momento de inércia da roda em torno do eixo é I e o raio do semicírculo no qual a roda se move e igual a R. e o momento de inércia do papel e da barra em torno do disco e igual a 0. agora supondo que o fio seja enrolado na periferia do disco maior. e um bloco de 1.500 kg.9 kg.80 kg e outro com raio R2 = 5.0 kg e momento de inércia de 0.54 Um grande rolo de papel de 16 kg com raio R = 18. Quando a manivela gira. (a) Um fio leve é enrolado em torno da periferia do disco menor.m² em relação ao eixo de rotação.25 m e momento de inércia I = 2.0 cm esta em repouso contra unia parede e e mantido no lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu centro (Figura 17).0 N e 125.53 O mecanismo indicado na Figura 16 e usado para elevar um engradado de suprimentos do depósito de um navio. O engradado é suspenso pela extremidade livre da corda. e o papel desenrola.25. Dr. Ache a aceleração linear dos blocos A e B. Uma força constante vertical F = 40.0 N é aplicada ao papel.50 kg é suspenso na extremidade livre do fio. (b) Quais as modificações das suas respostas se o aro fosse substituído por um disco maciço com o mesmo raio e a mesma massa ? 10. (a) Qual é o valor mínimo de h para que a bola de gude não abandone o trilho no topo da circunferência? {Sugestão: O raio R não é desprezível em comparação com o raio R. Durante a queda livre depois de abandonar o trilho. a bola desce uma distância h. 10. (c) Ache a aceleração de baixo para cima ila mão que puxa o fio.} (b) Qual seria a resposta do item (a) se o trilho fosse bem lubrificado. (b) Nessa posição. O atrito de rolamento e a resistência do ar são desprezíveis. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.63 Como indicado na Figura 11 um fio é enrolado diversas vêzes cm torno da periferia de um pequeno aro de raio 0. o valor de v medido é menor do que o calculado no item (a). Um trilho que possui forma semelhante ao da Figura 7. (a) Ache essa tensão exata no fio. 10. (a) Faça um desenho da trajetória do ponto desde t = 0 até t = 2T.0800 m e massa igual a 0. (a) Se o disco rola para cima de uma rampa inclinada a 30. qual ê a velocidade de um ponto na base da bola ? (d) Qual é a altura vertical máxima acima da base da rampa atingida pela bola ? 10.180 kg.66 Quando uma roda rola ao longo de uma superfície horizontal com velocidade constante. qual é a velocidade de um ponto no topo da bola ? (c) Nessa posição. A extremidade inferior do trilho ê horizontal e se estende para fora da extremidade da mesa do laboratório.60 O loiô. Calcule a aceleração linear e a aceleração angular do ioiô e a tensão no fio. Para cada ioiô o fio é puxado conforme indicado. A extremidade livre do fio e puxada de baixo para cima de um modo exato tal que o aro não se move verticalmente quando o fio é desenrolado. Desenhe um diagrama do corpo livre para cada ioiô. ligados por um eixo leve de raio b. (b) A resposta do item (a) seria diferente se a experiência tosse feita na Lua ? (c) Ao fazer a experiência com muito cuidado. Dr. Ele depende do tempo? Compare o resultado com o módulo da aceleração de uma partícula com movimento circular uniforme.0590 kg que estava rolando sem deslizar na base de uma rampa.Exercícios – Sears & Zemanski.61 Uma bola de gude homogênea de raio R parte do repouso com seu centro de massa a uma altura h acima do ponto inferior de uma volta completa de um trilho de raio K. Em cada caso existe atrito suficiente para cada ioiô rolar sem deslizar. A bola de gude rola sem deslizar. Um fio leve e fino e enrolado diversas vêzes em torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto o ioiô e libertado do repouso. (d) Ache os instantes para os quais o ponto permanece momentaneamente em repouso.65 Em uma catapulta de mola. as coordenadas de um ponto na periferia da roda são: x t R 1 sen 2 t T e y t R 1 cos 2 t T onde R e T são constantes. Por quê? (d) Qual seria o valor de y para o mesmo h e y do item (a) se você fízesse uma moeda de um real rolar para baixo do trilho ? Despreze o trabalho realizado pelo trilho.26.15 m. A curva obtida denomina-se ciclóide. Cláudio S. Explique seu resultado para o modulo da aceleração de um ponto sobre a roda que rola lembrando-se de que o rolamento sem deslizamento é uma combinação de um movimento de rotação e de 2 2 10. Um ioió é feito usando-se dois discos uniformes. a constante da mola é igual a 400 N/m c a mola sofre uma compressão de 0. Qual é o sentido da rotação de cada ioiô? (Tente fazer essa experiência!) Explique suas respostas.50 m/s. caindo verticalmente à medida que o ioiô desenrola. desprezando o trabalho realizado pelo atrito. a bola se move até uma distância horizontal x e uma distância vertical y. (a) Determine y em lermos de h e de x. Enquanto esta sobre o trilho. Sartori 10. Quais são os componentes x e y nesse instante ? (e) Ache o módulo da aceleração do ponto. a bola abandona o trilho se deslocando horizontalmenie. de modo que o atrito se tornasse desprezível? 10. a 4 R T .62 A Figura 20 mostra três ioiôs idênticos que estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal.59 Um disco sólido rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal com velocidade constante de 2. Figura 20 uma bola homogênea rolar para baixo de um trilho curvo. cada um com massa m e raio R. (b) Calcule a aceleração angular do aro enquanto o fio se desenrola. 80% da energia potencial elástica armazenada na mola é convertida em energia cinética para uma bola uniforme de 0. A bola continua a rolar sem deslizar subindo a rampa com 90% da energia cinética que ela possuía na base convertida em energia potencial gravitacional no momento em que ela pára. (b) Qual é o significado das constantes R e T? (c) Determine os componentes x e y da velocidade e da aceleração do ponto em função de t.0° qual é a distância máxima que ele atinge ao longo da rampa antes de parar ? (b) Explique por que sua resposta do item (a) não depende nem da massa nem do raio do disco. A bola parte do repouso e rola sem deslizar. (a) Determine a velocidade do centro de massa da bola na base da rampa. Quando ela e disparada. 10.64 Em uma experiência de laboratório você faz . 00 m. Um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio (Figura 20). Eles inicialmente estão presos por pregadores em distâncias afastadas de 0.71 Uma barra uniforme de comprimento L repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito. Suponha que o trabalho realizado pelo atrito na subida seja igual ao trabalho realizado pelo atnto na descida da bola e que a bola rola sem deslizar. obtemos: i t2 L dt t1 t2 méd t A integral angular. Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem atrito passando através do centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo. A barra possui um pivô. Dois pequenos anéis.0500 m do centro da barra.72 A porta sólida de madeira de um ginásio tem largura de 1. Calcule a velocidade angular da porta depois da colisão.Exercícios – Sears & Zemanski. ela possui velocidade igual a 8.0 rev/min.0 m/s. os pregadores são libertados e os anéis deslizam ao longo da barra e saem pelas suas extremidades. são montados de forma que eles possam deslizar ao longo da . (a) Qual é a velocidade angular final da barra ? (b) Determine a razão entre a energia cinética do sistema depois da colisão e a energia cinética da bala antes da colisão. e o sistema começa a girar com 30.750 kg. Uma bala se deslocando com velocidade v ortogonal à barra e paralela à superfície atinge o centro da barra e permanece retida em seu interior. aplicando sobre ela uma força média igual a 1500 N durante 8. O fio não desliza sobre a superfície da polia. Dr. Quando a bola retorna para a base ela possui velocidade igual a 4. Ocasionalmente uma estrela de nêutrons (Exercício 10. (a) Qual é a velocidade angular da barra no instante em que os anéis atingem as extremidades dela ? (b) Qual é a velocidade angular da barra depois que os anéis saem pelas suas extremidades ? 10.73 Um alvo é constituído por uma placa quadrada de madeira vertical com lado igual a 0.90 g que se desloca a 360 m/s e que fica relida no interior da placa. (Sugestão: Integrando a Equação d para mostrar que o trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando ela girou de um ângulo é dado por: 2 4 9 I cmb 3 3 2 d (b) Use a equação: lim t 0 t dt W para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de um ângulo . dt t1 denomina-se impulso 10. (a) Use a equação: W 2 1 barra. Ache a altura máxima atingida pela bola quando ela sobe a rampa. pivotada em um eixo horizontal situado em seu topo.69 Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2R esta em repouso sobre o topo de uma mesa. A massa da bala é um quarto da massa da barra. O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa em seu centro. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. Sem alterar nada no sistema. (c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou de um ângulo . Cláudio S. de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo passando por uma das suas extremidades. Calcule o módulo da aceleração do bloco quando o sistema é libertado a partir do repouso.0 kg e ela possui uma articulação em um dos seus lados. A equação é obedecida ? Explique.600 kg rolar para cima de uma rampa longa.400 m gira em um plano horizontal em torno de um eixo lixo passando em seu centro e perpendicular ã barra. Sartori translação. A bola de basquete pode ser considerada uma casca esférica.250 m e massa de 0. A porta esta aberta e em repouso quando uma bola de basquete colide Irontalmente no centro da porta.00 m e altura de 2.0300 kg e comprimento de 0. O teorema do trahalho-energia.0200 kg. 10.70 Uma barra uniforme de 0.74 Aceleração repentina de uma estrela de nêutrons. sua massa total é igual a 35. 10.67 Urna criança faz uma bola de basquete de 0. 10. cada um com massa de 0. Figura 20 - dL i dt . Uma explicação é que 10.00 ms.0 m/s. Quando a criança larga a bola na base da rampa.32) sofre uma aceleração repentina e inesperada conhecida como glitch. A barra está inicialmente em repouso.68 Uma roda partindo do repouso gira em torno de um eixo fixo que passa em seu centro de massa de tal modo que = bt3. onde b é uma constante positiva com unidades rad/s . 10. e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. A placa á atingida frontal mente em seu centro por uma bala de massa igual a 1. (a) Qual é a velocidade angular da placa logo após o impacto da bala ? (b) Qual é a altura máxima atingida pelo centro de massa da placa antes que ela comece a oscilar para baixo novamente ? (c) Qual deveria ser a velocidade mínima da bala para que a placa completasse a rotação passando a girar em torno do eixo depois do impacto ? 10. R.95 m. (a) Use a lei da conservação do momento angular para mostrar que a velocidade angular do sistema logo após o momento em que a bala é retida e dada por: S S A FIGURA 21. fazendo o raio do círculo se reduzir. O momento de inércia do eixo e da embreagem são desprezíveis. (Despreze o atrito nos mancais. de modo que o momento de inércia de A em torno do eixo é um terço do momento de inércia de B. você realiza a seguinte experiência de pêndulo balístico. A bala fica imediatamente presa a uma distancia r abaixo de um eixo sem atrito por um dispositivo de massa M que a retêm e que pode girar sem atrito em torno do pivô. R. A tensão de ruptura do fio é igual a 30. Ela a seguir usa a lei da conservação da energia para mostrar que: V 2g h . 10. você dispara uma bala com massa m e velocidade v na direçao da horizontal. e a seguir o disco A é acoplado ao disco B pela embreagem. -R. (e) Qual e o componente v do torque resultante que atua sobre o sistema ? (f) Ache o módulo da força resultante que atua sobre cada partícula e o módulo do Iorque total que atua no sistema. velocidade e momento angular.77 Um disco horizontal de madeira compensada de massa igual a 7. (b) Mostre que em qualquer instante as duas partículas possuem o mesmo momento angular. o centro de massa das partículas coincide com a origem O. Qual é a energia cinética inicial do disco A ? eixo O não e um eixo de simetria.) Nota-se que são produzidos 2400 J de energia térmica na embreagem quando a conexão é feita.76 Um pequeno bloco de massa 0. Calcule a velocidade angular do sistema quando o velocista fica em repouso em relação à mesa giratória. Dr. O momento de inércia desse dispositivo em torno do pivô ê igual a I.8 m/s. 0) e mostre os seguintes vetores em relação à origem: posição.20 kg movido por uma bateria está em repouso sobre os trilhos. a direção e o sentido do torque resultante sobre o sistema e verifique se esse torque é paralelo ao plano xz. Use a lei da conservação da energia para mostrar que: 2 M m g h m r2 I (c) Sua amiga de laboratório diz que o momento linear é conservado na colisão e deduza relação mv= (m+M)V. Usando uma espingarda de mola. A velocidade do corredor em relação à Terra possui módulo de 2. (g) Mostre. 10. Outra partícula de massa m se move do mesmo modo e com a mesma velocidade em outro círculo de raio R situado a uma distancia R abaixo do plano xz. o disco A é levado a uma velocidade angular 0. 0) e (-R. onde V é a velocidade da bala depois da colisão. A distância r é muito maior do que o raio da bala. Uma estrela de nêutrons com velocidade angular 0 = 70. As duas partículas giram com uma defasagem de meia revolução.78 Uma partícula de massa m se move com velocidade constante v em um círculo de raio R que está a uma distancia R acima do plano xz. Você monta sobre o disco um modelo circular de trilhos com massa desprezível e diâmetro igual a 0. 10. você liga o motor do trem. Sartori o glitch ocorre quando a crosta da estrela de nêutrons sofre uma pequena sedimentação. fazendo diminuir o momento de inércia em torno do eixo de rotação.80 Um corredor de 55 kg corre na periferia de uma mesa giratória montada em um eixo vertical sem atrito passando cm seu centro. (a) Faça um esboço dessas partículas no instante em que elas eslão no ponto (R. onde / 0 = 2.00 kg e diâmetro de 1. Qual é o raio do círculo quando o fio se rompe ? 10.10-6. O raio da mesa ê de 3.79 Rm um laboratório de Física.4 rad/s sofreu um glitch em outubro de 1975 que fez sua velocidade angular aumentar para = 0 + . Cláudio S. de modo que quando uma está no ponto (x. 10. (O velocista pode ser . O torque acelerador é então removido de A. Ache o módulo.00 m e pivotado em mancais sem atrito em tomo de um eixo vertical passando em seu centro. porem o eixo de rotação (o mvr m r2 I (b) Depois que a bala fica retida. usando seu esboço do item (a).00 m/s. Se o raio da estrela de nêutrons era de 11 km. O bloco está inicialmente em um círculo com raio igual a 0. qual foi sua diminuição na sedimentação dessa estrela ? Suponha que a estrela de nêutrons seja uma esfera maciça e homogênea. atingindo logo uma velocidade constante de 0.0 N. C B 10. a direçao e o sentido da velocidade angular do disco em relação a Terra. Para demonstrar a conservação do momento angular. O disco A é feito de um material mais leve que o de B.m2. -R. (c) Qual e o angulo entre (o vetor velocidade angular do sistema das duas partículas) e o vetor momento angular total do sistema ? (d) Mostre que o componente v do momento angular total do sistema e constante e igual a Ly = 2mvR.-z). Quando a embreagem está conectada.250 kg está amarrado por um fio que passa por um orifício em uma superfície horizontal. R) a outra está no ponto (-x.0 m e seu momento de inércia em torno do eixo de rotação ê igual a 80 kg.20 rad/s em relação ã Terra. Um trem de brinquedo com 1.Exercícios – Sears & Zemanski. o centro de massa do sistema bala+dispositivo retentor oscila para cima e atinge uma altura máxima h. O trem se move no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.800 m em torno do orifício com velocidade tangencial igual a 4. Assim. O fio a seguir é puxado por baixo lentamente. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.01. A mesa giratória gira em sentido contrário com velocidade angular de módulo igual a 0.75 Dois discos A e B são montados em um disco SS e podem ser conectados ou desligados por meio de uma embreagem C (Figura 21). logo: m v m M 2 g h Use os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que esse resultado é satisfeito somente no caso particular quando r for obtido da relação I = M r2.600 m/s em relação aos trilhos. m².085 kg. (b) No início o cilindro desliza sem rolar. Figura 22 10.84 Uma bola uniforme de raio R rola sem deslizar entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre os dois pontos de eontato entre a bola e os trilhos seja igual a d.0% e quando diferem de 0. O bastão possui comprimento de 0. (Veja a Seção 5. Calcule a aceleração a do centro de massa do cilindro e a aceleração angular em torno do centro de massa do cilindro. O impacto fornece um impulso J t2 (a) Faça um desenho e mostre que em qualquer instante vcm R 2 d 2 4 .Exercícios – Sears & Zemanski. Note também que a integração da Equação Em cada um desses casos. 10. enrolando-se um fio de chumbo no aro e fixando-o nele. e a velocidade da bicicleta para a frente é igual a 6. Trocando a rampa pêlos dois trilhos. podemos desprezar a força de atrito. é lançado sobre uma superfície horizontal sobre a qual o coeficiente de atrito cinético é C. (d) Para qual valor da razão d/R as expressões das duas velocidades da parle (b) diferem de 5. de modo que a e são nulos e v e são constantes.86 Um giroscópio de demonstração pode ser construído retirando-se o pneu de uma roda de bicicleta com diâmetro de 0. . (c) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito sobre o cilindro desde o momento em que ele toca a superfície até o momento em que começa o rolamento sem deslizamento. Cláudio S. (Ciclista: Compare sua resposta com sua própria experiência e verifique se sua resposta é ra/oável.72).82 Centro de percussão. Dr. (b) Para uma bola uniforme partindo do repouso e descendo uma distância vertical h enquanto rola sem deslizar para baixo de uma rampa. Pense com cuidado sobre o sentido da força de atrito sobre o cilindro.) Quando um objeto rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal. Calcule a distância que o cilindro percorre no momento em que termina o deslizamento. Quando um objeto se desloca sobre uma superfície sem obedecer a essas igualdades. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. O eixo se projeta 0.85 Quando um objeto rola sem deslizar.650 m. a força de atrito de rolamento é muito menor do que a força de atrito quando o ohjelo desliza sem rolar. Ache v de modo que a combinação dos dois movimentos forneça v = 0 para a extremidade do bastão logo após a colisão. Discuta essa expressão nos limites d = 0 e d = 2R.900 m. (a) Faça um diagrama do corpo livre para o cilindro sobre a superfície. PROBLEMAS DESAFIADORES 10. O rolamento sem deslizamento começa quando v = R. Sartori considerado uma partícula. O bastão é golpeado por uma bola de beisebol que se desloca ortogonalmente a ele. Quando uma bola de beisebol colide no centro de percussão.) 10. mas possui uma inclinação em relação á horizontal. uma moeda de um real rola sobre sua periferia mais rapidamente do que quando ela desliza com sua face voltada para baixo. Mostre que a velocidade angular da precessão não depende do valor de porém é dada pela equação (10. massa de 0.) 10. O momento de inércia do bastão em relação ao centro de massa ê igual a 0. Qual deve ser o valor de x para que a extremidade do punho do bastão permaneça em repouso á medida que o bastão se move? (Sugestão: Considere o movimento do centro de massa e a rotação em (orno do centro de massa.) O ponto que você localizou denomina-se centro de percurssão. ocorre uma diminuição da força de "picada" que o batedor sente nas mãos.33 m. Rolar sem deslizar implica v = R e a = r. O momento de inércia da roda dianteira de uma bicicleta em torno de seu eixo ê igual a 0. Calcule a velocidade angular da roda dianteira cm torno de um eixo vertical para contrabalançar o torque que tende a fa/er a bicicleta virar produzido por uma massa de 50. girando com velocidade angular 0 em torno de um eixo passando em seu centro. então = 0 mas v = 0.36). o atrito (cinético) de deslizamento está aluando sobre o objeto ã medida que ele desliza até que o rolamento sem deslizamento começa a ocorrer.0 kg situado a uma distância horizontal de 0.600 m da extremidade do punho do bastão (Figura 22).50% ? 10. temos. 7 vcm 10 g h 2 5 d2 1 2 4R mostre que: Fdt t1 em um ponto situado a uma distância x do punho do bastão. Um cilindro homogêneo de massa M e raio K.81 Uma bicicleta caindo. Um bastão de bola de beisebol está em repouso sobre uma superfície hori/onlal sem atrito. seu raio ê de 0.4.0530 kg.m² .040 m da linha que liga os pontos de conlato das rodas com o solo. vcm 10 g h .200 dL i dt i fornece L dt t1 t2 méd t (Problema 10.83 Considere um giroscópio com um eixo que não esta na direção horizontal.800 kg e seu centro de massa está situado a 0. (c) Qual das duas velocidades indicadas na parte (b) e a menor ? Por quê? Raciocine em termos de como a energia potencial e dividida entre o ganho da energia cinética da translação e da energia cinética da rotação. o trabalho realizado pelo atrito foi desprezado.00 m/s. e uma garota apoia as extremidades do eixo em suas mãos. e a roda gira em torno do eixo com 5. a distância entre o bloco e o orifício. a direção e o sentido da força que cada mão exerce sobre o eixo (a) quando o eixo está em repouso. (a) Calcule a tensão T no fio em função de r. sobre uma superfície horizontal sem atrito. Cláudio S. O fio é puxado por baixo até que o raio do círculo no qual o bloco se move é reduzido a um valor r2. O eixo é horizontal. em um círculo de raio r1. (c) Compare o resultado do item (b) com a variação da energia cinética do bloco.050 rev/s. Sartori m para cada lado da roda. (d) Com que taxa o eixo deve girar de modo que ele possa ser suportado apenas em uma das suas extremidades ? 10. (b) quando o eixo está girando em um plano horizontal em torno do seu centro com 0. Dr.Exercícios – Sears & Zemanski. A massa do sistema é igual a 8. toda a sua massa pode ser considerada concentrada em sua periferia.300 rev/s. (c) quando o eixo está girando em um plano horizontal em torno do seu centro com 0.00 kg. Dê sua resposta em função da velocidade inicial v e do raio r1. Ache o módulo. .00 rev/s. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.87 Um bloco de massa m está girando com velocidade linear v. (b) Use a relação W T r dr para calcular o r2 r 1 trabalho realizado pela tensão T quando r varia desde r1 até r2. 0 hr x 3600 s/hr)) = 7. a g sen f m sendo que o torque relativo ao centro da concha é dado por: (d) O tempo pode ser encontrado da aceleração angular e do ângulo total.80 m / s 2 )sen 38.00 s ) 2 A velocidade angular da bola deve diminui.83 N 3 3 A força normal é: Mg cos .9 hp.9 rad / s 10-18: (a) A aceleração ladeira abaixo é: W = (1950 Nm)(5. 10-22: (a) 2 2 f macm mg sin s s mg cos . Contudo. I 1 2 Ml 3 Ml (b) 2 1 como da Eq. a potência de saída é: P = = (4. enquanto que a aceleração angular é relacionada por: cm = R (observe que a aceleração positiva é considerada ser para baixo. 10-26: I (a) 1 1 mL2 (117 kg)( 2. enquanto que a potência instantânea é encontrada de P = = 105 kW(141 hp).50 x 1011 m) = 2. 5 7 10-10: (a) O cilindro não se move. O cabo exerce uma força horizontal para a direita. 10-14: P (175 hp )( 746 W / hp ) rad / s ( 2400 rev / min) 30 rev / min 519 N m.6 kW.0 rev x 2 rad rev) 53.1 N m. Também . e portanto o torque é determinado pela força de atrito que para cima .0o 3. então finalmente temos: 2 3 Ma g sen f 2 a 25 2 3 s tan 0.62 m/s2 . temos: I I (b) 1 2 1 2 rad / s 3 I (2.30 N 7. = v/r. A potência é metade desse valor. 2 I 42. então a força resultante deve ser nula.2 kg m 2 12 12 1950 N m 46.00 m) sin 30o 12.Exercícios – Sears & Zemanski. 9. e portanto: L = I(v/r). N Mg cos 3 g cos 3 g cos 5 (b) a = 3.30 Nm) 2 rad / s 4800 rev / min x 2161W .97 x 1024 kg)(6. O valor mínimo de s também não varia. . Existem muitas formas de se encontrar o tempo de queda . ou um torque para dentro da página . de modo que o torque resultante é –28.0 kg ( 4. (a) 2 rad / s 400 rev / min x 60 rev / min ( 2. 2 I I (5.50 kg m 2 ) 13.00 kg )(3. Ao invés de se realizar os cálculos intermediários da aceleração. temos: I mg sin ma 1 ma (7 / 5). (b) A força de atrito resulta em uma aceleração angular.97 x 1024 kg)(2. então a força normal deve ser para cima e para a esquerda conforme mostrado na figura Fig. Em um ângulo de arctan 9. (b) v 2 gh /(1 M / 2m) 11. 1 110 kg 50. (a) T = mg/(1 + 2m/M) = 42. ou seja h/(v/2) = 1.0 N )( 0.28 x 10 3 kg m 2 / s. visto que ela não depende da massa .0 N ) 2 ((50 kg)( 9. vcm / R 33. dadas acima.00 m) 40. a força de atrito é duas vezes maior. Da Eq. 10-4: 1 2 F1 R F2 R ( F2 F1 ) R 10-6: (5. isto é: 52.2 kg m Fl 3F . (10-8).50 kg m 2 ) 400 rev / min x 2.19 x 10 J . relacionada por : I = fR.65 N.f = mcm. onde o torque positivo está no sentido anti-horário. (10-1-9(b)) é a soma da tensão encontrada na parte (a) e o peso do molinete. 2 2 60 rev / min do qual obtemos: cm = (5/7)g sin . (10-26).0 N )( 2.0 kg m ) da qual obtemos: s (2/7) tan .07 x 1033 kgm2/s . Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.13 x 104 J.726 N m. Para este caso temos: 2 K2 Mvcm vcm gh.2 rad / s 2 .0 muito maior que a força F aplicada). (b)N = (9.98 x 104 m/s)(1.80 m / s 2 )) 2 490 N . 2 (12.00 N )(5.500 rev / s x 2 rad / rev ) 2 5. A equação do movimento é mg sin .00 rev x 2 rad/rev) = 6. Dr. um total de 159. 1. e que a relação entre cm e está correta para uma força de atrito direcionada para cima ). Sartori Capítulo 10 – Exercícios resolvidos pares Editora Pearson 10-2: 10-20: (a) 1 (8. W K I 2 2 2(46.0 N m. Combinando as equações acima.50 N )( 0. Cláudio S.0 N. M 3 a e f encontramos: 5 3 a g sen 3 3 a g sen (9.1 490 o a partir da vertical (o peso é (b) 10-24: W = Δ = (519 Nm)(2) = 3261 J.250 m) 2. 60 rev / min ou 2. (10-24).0 Nm.8 m / s. A força normal na Fig. e desde que f sN. e portanto o momento angular total é: 1 L Ldisk Lwoman ( I disk I woman ) M m R 2 2 Rf I I a 2 a 2 M R 2 MRa . (a) L = (mr2)(v/r) = mvr L = (5.08 m) 2 42. L = I.313.69 s. t (8.62 m / s 2 5 5 2 2 f Ma (2.38 x 106 m)2 (2 rad/(24.6 N (mantido os algarismos significativos da parte (a)).00 m) 2 (0. (b) Das relações entre f e cm. o momento de inércia da mulher com relação ao eixo do disco é mR2. 10-12: Esta é a mesma situação apresentada no Exemplo 10-3.00 rad / s 2 . 2 mR 10-8: FR (40.62 m / s 2 ) 4.9 rad s (c) Tanto de 10-16: Veja o Exemplo 10-6 e o Exercício 10-17. visto que ela também não depende da massa . onde o sinal negativo indica um torque sentido horário.330 m) 0. 10-28: Apenas como interesse.0 N m. 10-30: Para ambas as partes.67 x 1040 kgm2/s (b) L = (2/5 mr2)() L = (2/5)(5. o tempo é a distância dividida pela velocidade média. e a gravidade uma força para baixo.2 rad s2 )(5. R 3 R 3 então f 2 Resolvendo simultaneamente relações para a. e também fr = kr devido a faca . 10-44: (a) O torque resultante deve ser: 2 rad / s 120 rev / min x 2 60 rev / min 2.500 ) 2 (c) O trabalho realizado pela corda sobre o volante será a energia cinética final. sen na Eq.400 kg m 2 ) (8.40 rev / s ) 1. I 2 rad 1200 kg m 2 2 1 1 0.924 rad / s.00 m / s )( 0.00 kg)( 25 x 102 m) 2 0. (c) (d) O módulo do torque é F0(x. Observe que nesta ou em outra situação similar.80 m/s2) = 1. (10-33). então a aceleração angular deve ser encontrada através das equações da cinemática. temos: 2 10-48: (a) ˆ j ˆ i x ˆ k. ou seja: e o seu momento de inércia final é: I 2 (0.00 m) 2 (0. wR (1. 10-34: O momento de inércia inicial do patinador é: 1 I 1 (0. (10-33).20 x 10 4 kg m 2 )( 2 rad / 2.225 rad/s. Combinando essas. o braço da alavanca e o seno do ângulo entre F er são ambos máximo se a corda estiver 10-42: Utilizando a Eq. Dr.0 kg)( 2.400 s / d ) 16 km 2 2 (b) Para se manter uma velocidade angular constante. então a corda deveria estar presa no lado direito da haste. 10-46: (a) O momento de inércia não é dado. temos: 2 1 I1 2. no qual a corda deveria ser presa em um ponto adicional.0 N)(5. isto é: F = = mg = (0. e dessa forma a velocidade angular final é: 2 1 R1 7.00 s 1360 kg m 2 10-38: 2 2s 2(5. temos: (a) Compartilhado igualmente (b) Dobrado (supondo que o peso adicionado seja distribuído de tal modo que tanto r como I não se modifiquem) (c) Compartilhado igualmente (supondo que tanto como r não variam) (d) Dobrado (e) Inalterado .53 x 103 rev/min.500 m 68.372 N. (b) Resolvendo a Eq. Cláudio S.9 kg m 2 . I 2 6. (e) O valor do torque em x =L/2 é F0L/4. Esta função satisfaz seu máximo no limite quando x = h. (16. isto é: Então da Eq. 10-40: (a) Como o giroscópio esta trabalhando no plano horizontal.86 kg m ) 60 rev / min 3. I 2 I 0 mR 2 1200 kg m 2 (40. a não ser que 2h > l.00 m) 8. a direita.9 kg m 2 I t f f L 2 rad / s 2 120 rev / min x (1. 6.60 N m) (6. resulta em = 0. (1 / 3)( 40. dl é a dist6ancia horizontal que os pontos se movem.56 kg m 2 (0. 0 (b) Na Eq. 4 F / MR .50 N m) (0.67 rad/s.20 s ) a qual é 1. (10-2).14 rev / s. I2 0. Da regra da mão direita.50 N m Observe que este tempo pode também se encontrado como: t (9.0 m) = 200 J.00 s ) presa no final da haste (b)Em termos da distancia x onde a corda está presa.00 m) 2 1360 kg m 2 . lá não pode ter uma força vertical sobre ele. o qual possui seu valor máximo em L/2. ( x l / 2) 2 h 2 Esta fórmula mostra que existem dois aspectos ao se aumentar o torque: maximizando o braço l da alavanca e maximizando sin . (6. o torque resultante é nulo e. então a força que o eixo exerce deve ser igual em módulo ao peso do giroscópio.60)(160 N )( 0. o módulo do torque é: xh F . a conversão entre rev/s e rev/min deve ser feita. a força é: F = 1 0.9 N. com = f constante.60 N m .00 s ) 2 (b) t = (8. Sartori 10-32: O momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio.00 x 10 2 m) 160 rad / s.86 kg m ) t (9.500 m) 0. (a) W / 2 FR cos d Fr. que é o mesmo resultado encontrado em (a). portanto a massa de barro afeta o momento de inércia em seu terceiro algarismo significativo . I I (1. (10-36) para .6 x 10 rad / s. 10-50: (a) De considerações geométricas.33 rad/s2)(2. l e h. (d) I 2K 2(200 J ) 1. R2 (30 d )(86.60 N m.1 N . 12 (c) O tempo t necessário para recuperar a parada é encontrado do módulo da (10-27). (6-14). (c) Em função de x. (c) De K W ( MR 2 / r ) 2 . 10-52: Na figura (10-19) e Eq. Faça a largura da porta ser l.223 rad / s. em x = l.30 m)( 2.400 kg m 2 ) (8.500 m (6.1540 kg)(9.6 s. Diferenciando com relação a x e fazendo-se igual a zero temos: xmax = (l/2)(1+ (2h/l)2).500 kg)( 0. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.372 N )( 4.500 kg)(12.33 rad / s 2 . ou 1.80 m) 2 2.x2/L).44 kg m 2 . portanto da EQ.0 kg)(1. a direção do torque é: ou seja a direção (b) (c) +z .00 s) = 16.56 kg m 2 . (10-22).50 N m) 2. Faça I 1 I 0 1200 kg m 2 . 2 . t 2 rt 2 (0.260 m)) 0. o módulo da força é: Fxh / x 2 h 2 . 1 ( f k r ) R 1 (( 2.67 rad / s ) 2 Ignorando a massa do barro no denominador da expressão acima.00 kg)(1. e portanto a velocidade angular será proporcional ao inverso do quadrado do raio.50 Nm + 24.0 x 105 km 2 rad 3 4.96 Nm) = 62.Exercícios – Sears & Zemanski. I (1. desde que apareça no denominador da expressão para . L mv(l / 2) I (1 / 3) Ml 2 m(l / 2) 2 (0. e portanto temos: W = F ∫ dl = FR. isto é: K = W = Fs = (40.00 s ) 10-36: Observe que a conversão de rev/s para rad/s não é necessária. com o ângulo medido a partir da vertical .37 N para três algarismos significativos. (10-36) para todas as partes. O torque é então: = FR cos . Este será o ponto no qual deve-se prender a corda. Este torque deve ser a soma da força aplicada FR e os torques opostos temos: F f de atrito no eixo . então os tempos são múltiplos inteiros do período T. R = 5.71 rad / s . a tensão na corda é capaz de aplicar um torque maior .88 m/s2. As componentes das acelerações para estes tempos são: 2t v x v y 0 quando 2 a x 0. 10-54: No ponto de contato as paredes exercem uma força de atrito f direcionada para baixo e uma força norma direcionada para a direita. a força de atrito tenta movimentar o iô-iô para a direita e. 2 2 10-64: (a) A energia cinética da bola quando ela deixa a trilha (quando ela ainda está rolando sem deslizar) é : (7/10)mv2.54 N )(18.0 kg)( 9. (10-33). então torques de equilíbrio não seriam correto. a corda e a força normal exercem torque nulo . m A mB I / R 2 Como verificação. (a) Com m = 1. e este deve também ser o trabalho realizado pela gravidade. no iô-iô. tanto o torque como a força de atrito tenta girar o iô-iô no sentido horário e.25 x 10-3 kgm2 de acordo com o problema 9-75) e. sin T T T T2 2 2 independente do tempo. Frod sin = N. e no ponto = (/I) = 2F/MR. Somando-se as três equações.2 N. (b) A resposta não depende de g. dt b 1/ 3 W I cmd 6b2 / 3 I cm 1/ 3d 9 I cm b2 / 3 4 / 3 . (10-25). R é o raio do disco onde a corda está presa .25) sin 30o (b) Com respeito ao centro do cilindro. Este é o módulo da aceleração radial para um ponto se movimentando sobre um circulo de raio R com velocidade angular constante igual a: ag Então. Como a corda não escorrega.260 kg m 2 ) 10-56: Para uma tensão T na corda. temos: vx 2R 2t 1 cos T T 2R 2t sin T T 2 2t a x R sin T T 2 vy 2 2t a y R cos . essas equações se tornam: Frod cos = kN + F + . Esta é uma situação onde a força resultante sobre o cilindro é nula. T2 4 R 2 2t 2 2t a x2 a y2 R cos 2 . Forças verticais de equilíbrio. modelada como um disco uniforme. (a) d 3bt 2 3b 3b1 / 3 2 / 3 . (40. 10-70: (a) Os anéis e as hastes exercem forças um sobre o outro. temos: E as tensões podem ser encontradas de: 2m A mB m A I / R 2 TA mA ( g a ) g m A mB I / R 2 2m m A m B I / R 2 TB mB ( g a ) g B . isto é: . e portanto o momento angular será constante . e a força de atrito gera um torque maior o qual tende a gerar um movimento de rotação. eliminamos ambas as tensões. Denotando as a R tensões na corda como: TA e TB. dt b 2/3 d 6bt 6b 6b 2 / 3 1 / 3 . Enquanto os anéis deslizam na direção final. e f = kN pode se encontrada por inserção do valor encontrado para Frod dentro de ambas as relações acima . a velocidade angular final é dada pela Eq. Portanto.80 m / s 2 ) (40. A força resultante para a direita é a diferença F – f.50 kg.Exercícios – Sears & Zemanski. temos: ag m g . R = 2. R onde a última equação é obtida pela divisão de = I por R e substituindo por em termos de a. A aceleração é maior no caso (b). 10-66: (a) I (0. mas não existe força resultante ou torque sobre o sistema. 10-68: Diferenciando e obtendo a resposta para a parte (b).50 kg.0 N 31. e portanto a aceleração tangencial máxima é: 2F/M. Frod sin = N.0 x 10 m) 4. isto é: f = kFrod sen = 33. com a corda presa ao disco maior. I é o momento de inércia da combinação do disco ( I = 2. (e) Utilizando o valor para encontrado na parte (c). pode ser demonstrado que :(TA – TB) R = I. O módulo do torque resultante é (F – f)R. a y (e) 4 2 R . (b) Com m = 1. cos k sin cos 30o (0. então a força resultante é para a direita enquanto o torque resultante provoca uma rotação no sentido horário.0 N ) Frod 266 N . Na terceira situação. (d) Para moeda em dólar. 10-62: Na primeira situação a forca F e a força de atrito estão em direção opostas. é maior quando = 0. temos: K (3 / 4)mv 2 . Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. A bola fica no ar por um tempo igual a: t 2 y / g .50 x 10-2 m. o momento de inércia varia e. como a força aplicada é vertical.13 m/s2. para a direita. então v 10gh / 7. Com f = kN.00 x 10-2 m. e por conseqüência a aceleração angular. a aceleração angular é: m A mB m A mB I / R 2 2 . 2 (b) A energia cinética é: 1 9 K I cm 2 I cm b 2 / 3 4 / 3 . 2 2 o que está de acordo com a Eq. a . (a) Eliminando N e resolvendo para Frod temos: F (16. Dr. (c) A presença de atrito de enrolamento diminuiria a distancia . temos: arad = 2R = 4F/M. m I / R 2 1 I / mR 2 onde m é a massa do peso dependurado. T T 2 . Cláudio S. o trabalho total realizado é a variação na energia cinética . e portanto x 8hy / 3. a aceleração devido ao movimento circular será a aceleração total . Frod cos = f + + F. as equações do movimento são: m A g TA m A a TB mB g m B a I TA TB 2 a. resultando em: T (d) ou qualquer múltiplo de 2. isto é: W = mgh. o iô-iô se movimenta para a direita . a = 6. o iô-iô se movimenta para a direita. T Para movimentos que consiste deste a m A mB g R m A R mB R I / R movimento circular sobreposto com um movimento de velocidade constante (a 0). a = 2. 10-58: As aceleração dos blocos A e B terão o mesmo módulo a. e forças horizontais de equilíbrio . (c) Diferenciando. a aceleração angular sobre a polia será: (b)R é o raio da roda (y varia de 0 a R) e T é o período de rotação da roda. então o resultado deveria ser o mesmo sobre a lua . então x vt 20hy / 7. temos: mg – T = ma e TR = I = a Eliminando T e resolvendo para I R . Sartori (d) O torque. Na segunda situação. isto fica reduzido para vcm R. então a componente y total do momento angular é: Ly 2mvR. e L rF t rJ . (c) O denominador na raiz quadrada da expressão para vcm é maior do que para a situação quando d = 0. então a componente resultante na direção y do toque é nula. (d) Ly é constante. Cláudio S.250 kg)( 30. temos: J ( x xcm ) A variação da .8 m / s ) 2 (80 kg m 2 ) (55. então mr2 x v2 mr1 x v1 . portanto uma grande parte da energia cinética é rotacional. mas a velocidade angular comum será a mesma. então: I mRv1 2 1 I mR 2 ave A velocidade angular é então: L rFave t (l / 2) Fave t 3 Fave t . então vcm R2 d 2 / 4. 10-86: Denotando por FL e FR as forças para cima exercida pelas mãos. I J .Exercícios – Sears & Zemanski. resultando em o qual quando resolvido para x é: I ( x xcm ) xcm m. daí a energia cinética de translação e por conseqüência vcm. (b) As forças e torques que os anéis e a haste exercem mutuamente irão desaparecer. portanto os torques possuem o mesmos módulos e direção. e portanto está sujeita a uma força para dentro cujo 2 módulo é mv /R. O momento angular final é 2(I + mR2). usando o 0 0 2 2 fato de que para massas comuns o momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio. r vcm O momento angular do bloco com relação ao buraco é L = mvr. então: rF .00 x 10 3 kg m 2 4 . 10-72: Admitindo que o sopro esteja concentrado em um ponto (ou utilizando um ponto médio escolhido favoravelmente). 1 1 K mv 2 I 2 2 2 2 2 1 vcm mvcm ( 2 / 5)mR 2 R 2 ( d 2 / 4) 2 (b) Utilizando a forma do produto vetorial para o momento angular. temos: v1 v2 e r1 r2 . O braço de alavanca dessa força é R. onde os termos em 0 0 2 2 R e 2 R foram omitidos.37. temos: R0 1. Estas forças estão direcionadas em direção opostas para duas partículas. então o momento angular total faz um 2 e então cos ângulo de com o eixo +y. encontramos: = 0.30 x 102 kg m2 ) (0. 2 0 10-76: A tensão está relacionada com a massa do bloco. são menores. r m r3 mr 3 mr O raio no qual a corda rompe pode ser relacionada ao momento angular inicial através de: vend vcm xcm Fazendo r3 L2 (mv1 r1 ) 2 (( 0. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. isto é: 7. 10-80: O momento angular inicial é I1 – mRv1. 2 = 7.776 rad / s. e os vetores de posição são opostos uns ao outros. Então: ˆ ˆ v1 x r1 ( zi xk ). xcm m (0.800 m)) 2 . Dr. (d) Tornando a expressão da parte (b) igual a 0. (c) Seja j . (e) Cada partícula se movimenta em um circulo de raio R com velocidade v. e L1 m 2 R 2 .00 x 10 4 kg m 2 1 2 1 1 1 12 1 2. Quando d = 2R.440 m.5 rev/min. ou . 10-78: (5. 1 I2 2 2 ML 2mr2 12 e portanto.710 m. m I permite o cancelamento de J.200 rad / s ) (55. e o torque resultante tem módulo igual a 2mv2. x I para o qual r = 0.5 rev/min. a uma distância r da dobradiça. então vcm é menor . Colocando igual a 0. o raio de rolamento se aproxima de zero. 10-74: Momento angular é conservado. e .0 kg)3.05. e vcm 0 (b) para qualquer . Sartori 1 2 2 ML 2mr1 I 5. j Com x2 + y2 = R2.00 m)( 2.00 m 0. então o torque sobre cada tem módulo mv2.0 N ) (a). (2mR 2 )( ) 2 6 Isto também é verdade para L .00 m / s )( 0. g) vend 0 xcm J J ( x xcm ) xcm . Cancelando os termos R0 0 2 .514 rad/s. 6 (c) Dos cálculos intermediários da parte (c). então I I . e ˆ ˆ L1 mr1 x v1 m ( xR)i ( x 2 y 2 ) ˆ ( xR)k . ave ave m 2 R 2 1 . Para uma dada velocidade. o homem tinha inicialmente o maior módulo de momento angular) . Ly1 mR 2 mvR. 10 (1 d 2 / 4 R 2 ) Igualando isto a mgh e resolvendo para vcm dá o resultado desejado .600 m) 0.800 kg) 10-84: (a) A distância do centro da bola ao centro da linha que une os pontos onde a bola esta em contato com o trilho é: R2 (d / 2)2 . com o sinal menos indicando que o movimento do corredor é oposto ao movimento da plataforma giratória sobre seus pés. Quando d = 0. o módulo de L1 é 2mR 2 . a velocidade e o raio do circulo através de: (80 kg m 2 )( 0. onde o sinal negativo indica que a plataforma giratória reverteu a sua direção de movimento (isto é. 2 mvcm 2 5 . 10-82:A velocidade do centro de massa irá variar de velocidade angular irá variar de velocidade será T m v2 .95 e resolvendo para a razão d/R obtemos d/R = 1.995 obtemos d/R = 0. 1 2 I I 2 ml ml 3 onde l é a largura da porta. ou R020 ( R0 R) 2 (0 ) ~ R020 2R0 R0 R02 . . temos: R 2 R 2 .1 cm.250 kg)( 4. que é o mesmo de estar rolando sobre uma superfície plana . então em termos de momento angular.600 m)(0. mTmax mTmax (0. m ea 1 m 2 v 2 r 2 (mvr) 2 L2 T mv 2 3. então o momento angular é o mesmo .0 kg)( 3. é maior do que quando d = 0. Substituindo os valores numéricos dados. Observe que a conversão de rev/min para rad/s não é necessária. FL = 160. (b) (a) = 0.m para dentro da página (e) 0 (f) 0 2. (d) 17. Cláudio S. 0.4 rad s (b) 1080 J antes .7 10. (c) = 0.4 N s).9 rad/s (a) 1/3 (b) 2/7 (c) 2/5 (d) 5/13 11.89 rad/s.19 10.7 kg m / s r (0.11 10.3 rev/s = 1.200 m) obtemos: FL 39.03 10 J 0.35 10. FR = -86. FR 39. 0.4 1022 N m (a) 0.50 N.38N m (b) 160rad (c) 59J (d) 59J (b)65. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof. o que conduz a: 1 I FL 2 r 1 I FR .41 10.00 rev / s x 2 rad / rev ) 132.3 N.2 N (66.2 N (66. 500 J depois (b) 10.7m (a) 0. 18.6 N.29 10.3 10.2 N. FL = 165 N.2 N. como sinal negativo indicando uma força para baixo .0 N.0160kg m2 10.39 10.80 m/s2) = 78.05 rev/s = 0.27 39.1 dividido por r.71106 kg m2 s 7rad / s 2 (c) 1.8min (b) 1.6rev (a) 1.79 103 N (c) 83.45 10.10 105 N m 5.8m/s (a) para dentro da página 115kg m 10.13 menor (c) nenhum efeito.47 36.0916 (a) 0.00 kg)(9.67W (a) 0.17 10. 10. 2 r 2 10.6N (a) 358N m (b) 1. primeiro somando e então subtraindo.9 (a) ˆ 1.4 N s).2 N 0.m para fora da página. Estas duas equações podem ser resolvidas para as forças.314 rad/s.325 m) (5.533s (c) 33.955kg m² (b) 0.Exercícios – Sears & Zemanski. FR = 0 obtemos = rev/s.2 m/s Utilizando os valores de = mg = (8.309 rad s (b) 100J (c) 6. através de. (b) = 0. Dr.m sentido anti-horário (c) FL FR onde a segunda equação é L.31 (b)para fora da página s2 125kg m2 s 2 4.0800N m (c) (a) 104 rev (b) 4500W (d) 2600W . r 10.5 10. FL = FR = 39.37 10.00 kg)( 0.m para fora da página (c) 20 N.43 10.4 N s rad/s.2 N na parte suspensa.575 66.23 10.21 10. I .7 N na parte horizontal. que é o mesmo que 0.25 10.15 10.882N (b) 0.03 10 J 2 (d) 1. Sartori as condições que estas forças devem satisfazer são: FL FR Exercício Gabarito –Gabarito – Exercícios Ímpares Gabarito (a) para fora da página 40N m (b) 34.33 10.482 (a) 7. FR = 18.4 N e g M 3m 1 2m M (b) I (8.4 N.05N m k 1. . f = F/2 (a) 0.4m g/3 (a) 6v/19L (b) 3/19 (a) 5.65 10.55 10.51 10.61 10.57 10.69 10. Dr.87 (b) (a) 1 m v 2 r r 1 (c)resultados iguais.49 10.6m 3.63 Gabarito 0.75 10.53 10. 2 C g R (b) 02 R2 18C g m1 v12 r12 r 3 2 1 2 1 2 (c) M 02 R2 6 10.85 (a) 9.60 rad/s (b) 3.675s (a) L/4 a partir da extremidade com a esfera (b) (9g/8L)sen (c) (3g/2L)sen 1200 N (a) 1.77 10. Sartori Exercício 10.59 10.34 m s (b) 18.76N (b) 123rad s 2 (c) 9.103 m/s 3200 J 0.Exercícios – Sears & Zemanski.957 m (a) (27R – 17r)/10 (b) (5R – 3r)/2 (a) 1.7 m s (c) 0 (d) 5. os valores de e a dobrariam 10.01.17 cm (c) 1.12 m/s² (b) 14.73 10.71 10.81 10.3 rad/s no sentido horário 12.67 10.0 N a = F/2m.80 m s ² (d)T possui o mesmo valor.7 rad/s (a) a C g. Cláudio S. Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson Capítulo 10 – Torque e Momento angular Prof.