Relaciones MétricasRELACIONES MÉTRICAS OBJETIVOS: Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de : Conocer las principales relaciones entre las longitudes de las líneas asociadas a las figuras geométricas. Aplicar correctamente cada teorema para solucionar los problemas. Conocer las diferentes maneras de medir las longitudes de proyecciones de segmentos respecto a otro elemento en los triángulos. CAPÍTULO VI RELACIONES MÉTRICAS Una relación métricas entre varios segmentos es la relación que hay entre los números que expresan sus longitudes referidas a la misma unidad de medida. PROYECCIÓN DE UN PUNTO : La proyección de un punto sobre una recta, es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS En un triangulo rectángulo se cumple: 1.- La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determinar sobre la hipotenusa: h2 = m. n 2.- Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección octogonal sobre la hipotenusa: a2 = c . m ; b2= c . n 3.- El cuadrado de la hipotenusa es igual la suma de los A A’ A’: Proyección de A cuadrado de los catetos a2 + b2 = c2 (Teorema de Pitágoras) 4.- El producto de los catetos es igual a la hipotenusa por la altura relativa a la hipotenusa: PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO : La proyección de un segmento sobre una recta es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos del segmento proyectado a.b=c.h 5.- La inversa del cuadrado de la altura relativa ala hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos: A B b A/ B/ A n 1 1 1 = 2+ 2 2 h a b C h a Proyección de AB H b m B 239 a . h x 2 c = a2 n + b 2 m – m .- En todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado de dicho lado.TEOREMA DEL CUADRADO DE UN LADO: ( DE EUCLIDES ) En un triangulo oblicuángulo el cuadrado del lado que se opone a un ángulo agudo es iguala a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de estos dos lados por la proyección del otro lado sobre el anterior b m Ángulo Agudo m a2 + b2 = 2m2 + TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA a c En todo triángulo la diferencia de los cuadrados de dos lados es igual al doble producto del tercer lado por la proyección de su mediana relativa Proyección de “b” sobre “c” B c a b a 2 . n x 2 = a . m 2. b = c .m. n 2..n 4...c 2 = 2bm m m a2 = b2 + c2 – 2c.h 2 = m.. m b = c. n 1. c 3..c – m...c – m. n .. CALCULO DE LINEAS NOTABLES TEOREMA DE STEWART triángulo el En todo cuadrado de una ceviana Ceviana multiplicada por el lado al cual es relativa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos cada uno multiplicado a el segmentob por opuesto determinado en la x base . a c/2 c b c/2 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUOS I. menos el producto de la base por los segmentos determinado m c n A b/2 M b/2 C TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR En todo triángulo el cuadrado de la bisectriz interior es igual al producto de los lados que forman el vértice del cual se traza la bisectriz menos el producto de los segmentos que determina en el lado al cual es relativa B x 2 = a .h 2 = m.a 2 + b 2 = c 2 3.a .n b2= c.5 5..a 2 = c .a 2 = c2 . n a c 240 x A m P n C . h 4. b = c .a 2 + b 2 = c 2 TEOREMA DE LA MEDIANA 5 5.1. n – a . TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR En todo triángulo el cuadrado de la bisectriz exterior es igual al producto de los segmentos que determina en el lado opuesto menos el producto de los lados que forman el vértice del cual se ha trazado la bisectriz exterior. n – a .c 2 las distancias desde un punto aferente P a los vértices del triángulo.bc ∴ β = 60º β En un triangulo oblicuángulo la altura relativa a uno de sus lados es iguala la doble de la inversa de dicho lado multiplicado por la raíz cuadrada de los productos del semiperimetro por las diferencias de este semiperimetro con cada un de los lados . Es decir: A b P P c C b L a L L A TEOREMA DEL INCENTRO Siendo I el Incentro Tenemos: a2 + b2 + c 2 L2 = 2 a α α m I c n m a+ b = n 2 b Casos Particulares: Primer Caso: b a TEOREMA DE HERON c Sí: a2 = b2 + c2 . Para calcular la altura de un ∆ ABC: Segundo Caso: a h b p= a+b+c 2 b c a 241 . ha = 2 a p(p − a)(p − b)(p − c) TEOREMA (DE CHADÚ): El cuadrado del lado de un triángulo Equilátero Inscrito en una circunferencia equivale a la semisuma de los cuadrados de B c a α α x n C m x = m.c x 2 = m. De la tangente y la secante: TEOREMA DE PTOLOMEO : En todo cuadrilátero inscrito el producto de su diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuesto. c a.β a Sí: c2 = a2 + b2 + ab ∴ β = 120º a2 = b . los productos de la longitud de cada secante por la de su parte exterior son iguales De las secantes: a2 = b .d AB 2= 2R . el cuadrado de la tangente es igual al producto de la secante por la parte externa .d c A d D . B a 242 b C AC. el producto de las longitudes de los segmentos determinados en una de las cuerdas es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la otra .b=c. a. BD = a. c + b .d AC.b=c. m TEOREMA DE LA TANGENTE : Si por un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante . TEOREMA DE LA SECANTE : Si por un punto exterior a una circunferencia se traza dos secantes . c + b .d TEOREMA II : Del cuadrado de la cuerda AB : TEOREMA DE LAS CUERDAS : Si por un punto interior a una circunferencia se traza dos cuerdas . c RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA I : De la semicuerda perpendicular a un diámetro AB . BD = a. m RELACIONES MÉTRICAS CUADRILÁTEROS: Teorema de Vietta: En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible se cumple: EN β M N P Siendo M.d TEOREMA III En todo triángulo. EC = AF = AO + BO + CO EC = AF = a + b + c Teorema (De Chadu): De las distancias de un punto aferente a los vértices Teoremas Complementarios: Teorema: de un ∆ equilátero.c=b. a.c +b. P puntos medios de los lados: β = 90º TEOREMA II De la circunferencia que pasa por los extremos de una bisectriz interior de un ∆.d Teorema: De los triángulos equiláteros AEB y BFC construidos exteriormente sobre un a. Teorema de Ptolomeo: x bc +ad = y ab + cd En todo cuadrilátero inscrito e inscriptible: x.B m o 2R R ALGUNOS TEOREMAS ADICIONALES TEOREMA I: AB2 = 2R.y = a. N. el producto de dos lados es igual a la altura relativa al tercer lado multiplicado por el diámetro de la circunferencia circunscrita. b = 2Rh ∆ ABC. A 243 . c=a+b 244 . a2 = 10 Se pide: m2 + n2 Del gráfico : h2 = c2 – m2 ……. Teorema (De Rochat): De los cuadrados de los segmentos que unen los puntos medios de los lados cuadrilátero: opuestos de un PA PC + PB PD = 2 −1 2 2 2 2 AC + BD = 2 (x + y ) Teorema (De Euler) Para todo cuadrilátero donde medios de sus diagonales. se traza la altura BH. Si AB2 – BC2 = 10 Calcular: “ AH2 – HC2 ” a) 11 e) 20 b) 10 c) 12 d) 15 a +b +c +d = Teorema: 2 2 2 2 D12 + 2 D2 + 4MN 2 Solución: B De las diagonales del cuadrilátero inscrito: a h c C n H b m A ( ac + bd)( ad + bc ) ( ab + cd) Teorema: Para todo paralelogramo: Por dato: c2 .(1) h2 = a2 – n2 ……. Rpta x2 + y2 = 2 (a2 + b2) 245 .Teorema: De las distancias de un punto aferente "p" a los vértices de un cuadrado inscrito ABCD. ¡APRENDIENDO A RESOLVER …………… …………………………… RESOLVIENDO! MN une los puntos EJERCICIOS RESUELTOS PROBLEMA Nº 01 En un triángulo ABC.(2) Además: (1) = (2) 2 2 Luego: c – m = a2 – n2 a2 – n2 = c2 – m2 ∴ m2 – n2 = 10 ………. Calcular AC. se toman un punto D del arco AB la prolongación de PROBLEMA Nº 03 En un triángulo ABC de baricentro G. la circunferencia que contiene al vértice A. es tangente a BG en G e Interfecta a AD corta a la prolongación de OB en C.β G C A 3 M 2 N x C O B O 90 .5 AC en M.β Trazamos: OD =R . Si: AD = 8 . por semejanza Siendo G: Baricentro BG=2GN → GN = 2 Teorema de la tangente: GN2 =AN. y OH perpendicular a AD .5 e) 6 B 4 R 90 . Luego: AH = HD = 4 Luego: Δ AOH ~ Δ AOC .(AN .2 c) 5 d) 3. a) 6.3 Solución: Solución: A β 4 H 4 R O b) 4.MN 22 = AN.3) 4 = AN(AN . Si BG = 4 y AM = 3 .PROBLEMA Nº 02 En un cuadrante AOB. DC = 1 Calcular “R” (radio del cuadrante) a) 4 b) 3 c) 6 d) 9 e) 7.3) AH AO 4 R = → = → R 2 = 36 AC AC R 9 Finalmente: Luego: R = 6 …… Rpta Siendo BN Mediana Luego: AN = NC = 4 ∴ AN = 4 → MN = 1 ∴ MC = 5 …… Rpta 246 .