UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital CAPÍTULO III Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos 3.1 Introdução No capítulo anterior, os circuitos lógicos foram tratados sem a preocupação da simplificação, o que na prática deve ser realizado visando minimizar a quantidade de portas lógicas do circuito. Desta forma, deve-se realizar um breve estudo da álgebra de Boole, pois é através de seus postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades que se efetuam as simplificações. Na álgebra de Boole estão todos os fundamentos da Eletrônica Digital. 3.2 Postulados Serão apresentados os postulados da complementação, da adição e da multiplicação da álgebra de Boole e suas identidades resultantes. 3.2.1 Postulados da Complementação Este postulado mostra as regras da complementação na álgebra de Boole, onde é o complemento de A. 1) Se A=0 2) Se A=1 Y Y . Assim, pode-se estabelecer a seguinte identidade: O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o INVERSOR. 42 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3.2.2 Postulados da Adição Este postulado mostra como são as regras da adição dentro da álgebra de Boole. 1) 0 + 0 = 0 2) 0 + 1 = 1 3) 1 + 0 = 1 4) 1 + 1 = 1 Desta forma, pode-se estabelecer as seguintes identidades: A+0=A A+1=1 A+A=A O bloco lógico que executa o postulado da adição é o OU. 3.2.3 Postulados da Multiplicação Este postulado determina as regras da multiplicação booleana. 1) 0 . 0 = 0 2) 0 . 1 = 0 3) 1 . 0 = 0 4) 1 . 1 = 1 Assim, pode-se estabelecer as seguintes identidades: A.0=0 A.1=A A.A=A O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é o E. 3.3 Propriedades Serão estudadas as principais propriedades algébricas, úteis principalmente no manuseio e simplificações de expressões e, conseqüentemente, de circuitos lógicos. 43 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3.3.1 Propriedade Comutativa Esta propriedade é válida na adição e na multiplicação. A+B = B+A A.B = B.A 3.3.2 Propriedade Associativa Esta propriedade também é válida tanto na adição quanto na multiplicação. A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C 3.3.3 Propriedade Distributiva A . (B + C) = A . B + A . C 3.4 Teoremas de Morgan São empregados, na prática, para realizar simplificações em expressões booleanas e são utilizados ainda no desenvolvimento de circuitos digitais. 3.4.1 1º Teorema de Morgan O complemento do produto é igual à soma dos complementos Pode ainda ser estendido para mais de duas variáveis: 3.4.2 2º Teorema de Morgan O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. Da mesma forma, este teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis: 44 7 Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando os conceitos da álgebra de boole estudados é possível simplificar expressões e conseqüentemente circuitos.0=0 0. B .A A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A .1=1 Multiplicação A.A=A Complementação Comutativa: Associativa: Distributiva: PROPRIEDADES A+B = B+A A. C = A . C 3.5 Identidades Auxiliares São mostradas três identidades úteis para a simplificação de expressões.B=A (A + B) .1=A A.B=A (A + B) . 45 . (A + C) = A + B . C) = (A .UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3.6 Quadro Resumo POSTULADOS Adição 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 IDENTIDADES Adição A+0=A A+1=1 A+A=A Complementação A=0 Y Y A=0 Multiplicação 0. B) .0=0 1.0=0 A. B + A . C A . (B + C) = A . A+A. C 3.1=0 1. (A + C) = A + B .B = B. (B . C TEOREMAS DE MORGAN IDENTIDADES AUXILIARES A+A. 4 e 5 variáveis. 46 . que a equação resultante está na sua forma minimizada.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3.8 Simplificação de Expressões Booleanas Através dos Mapas de Karnaugh Quando são utilizados os teoremas e postulados Booleanos para simplificação de expressões lógicas não se pode afirmar. B A A B Diagrama para 2 variáveis. O diagrama ou mapa de Karnaugh é um destes métodos e permite a simplificação mais rápida dos casos extraídos diretamente de tabelas da verdade.1 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis A figura abaixo mostra um diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis. Serão estudados os diagramas para 2. em vários casos. 3. Cada linha da tabela da verdade possui uma região definida no diagrama de Veitch-Karnaugh. Existem métodos de mapeamento das expressões lógicas que possibilitam a simplificação de expressões de N variáveis. obtidas de situações quaisquer. Essas regiões são os locais onde devem ser colocados os valores que a expressão assume nas diferentes possibilidades.8. __ __ __ Casos 0 1 2 3 Variáveis A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 B A A Caso 0 A B 0 0 Caso 2 A B 1 0 B Caso 1 A B 0 1 Caso 3 A B 1 1 Caso 0: 00 → A B Caso 1: 01 → A B Caso 2: 10 → A B Caso 3: 11 → A B __ Será utilizado um exemplo para melhorar o entendimento destes conceitos. 3. Assim: B A 0 A 1 B 1 1 A expressão simplificada é obtida do diagrama. assim como mostra a figura. desta forma.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Exemplo 1) A tabela da verdade mostra o estudo de uma função de 2 variáveis. proveniente de uma tabela onde todos os casos valem 1. pode-se obter a expressão característica da função: S = AB + AB + AB A expressão acima é formada por termos verdadeiros e. No diagrama de 2 variáveis é o agrupamento máximo. assumem valor 1 na montagem do diagrama de Karnaugh. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 0 1 1 1 Utilizando o método apresentado no capítulo II. onde os resultados serão colocados no diagrama de Karnaugh. Para um diagrama de 2 variáveis. os agrupamentos possíveis são os seguintes: • QUADRA: Conjunto de 4 regiões onde S=1. a expressão final simplificada obtida é S=1. cujo método consiste em agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de agrupamentos. Desta forma. 47 . Os termos que não puderem ser agrupados serão considerados isoladamente. sem vizinhança para agrupamento.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital B A 1 A 1 B 1 1 Quadra: S=1 • PARES: Conjunto de duas regiões onde S=1. tem-se: B A 0 A 1 B 1 1 Par 1 Par 2 Pode-se observar que o mesmo 1 pode pertencer a mais de um agrupamento. As figuras abaixo mostram exemplos de agrupamentos pares e sua respectiva equação. B A 0 A 1 B 0 1 B A 1 A 0 B 1 0 B A 0 A 0 B 1 1 B A 1 A 1 B 0 0 S=A S=A S=B S=B Está exclusivamente Está exclusivamente Está exclusivamente Está exclusivamente na região B. • TERMOS ISOLADOS: Região onde S=1. na região A . na região A. B A 0 A 1 B 0 0 B A 0 A 0 B 1 0 B A 1 A 0 B 0 1 S=AB S=AB S=AB + AB Retomando ao exemplo e efetuando os agrupamentos. na região B . Não podem ser agrupados na diagonal. As figuras abaixo mostram alguns exemplos e suas respectivas equações. sem simplificação. 48 . São os próprios casos de entrada. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Para obter a expressão simplificada basta escrever a expressão de cada par e posteriormente somar os termos obtidos. tem-se que S = A +B. toma-se. visto que os outros são análogos. cada linha da tabela da verdade possui uma região bem definida no diagrama de Veitch-Karnaugh. 3. Variáveis B 0 0 1 1 0 0 1 1 Casos 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 B A A Caso 0 ABC 0 0 0 Caso 4 ABC 1 0 0 Caso 1 ABC 0 0 1 Caso 5 ABC 1 0 1 B Caso 3 ABC 0 1 1 Caso 7 ABC 1 1 1 Caso 2 ABC 0 1 0 Caso 6 ABC 1 1 0 C C C Para mostrar como é realizado o posicionamento das regiões. Caso 3: 011 → A BC 49 __ . • • Expressão do Par 1: Par 1 = A Expressão do Par 2: Par 2 = B Desta forma.8. B A A C C B C Diagrama para 3 variáveis.2 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 Variáveis O diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis é mostrado abaixo. Da mesma forma. por exemplo. assim como mostra as figuras abaixo. o caso 3. somente que. A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 1 0 1 1 1 0 1 0 Expressão extraída da tabela da verdade: S = A B C + A B C + A BC+ A B C + A B C Transpondo a tabela para o diagrama. A figura abaixo demonstra esta situação.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações de saída da tabela da verdade a seguir. onde todas as localidades lavem 1. para 3 variáveis. B A 1 A 1 C 1 1 C 1 1 B 1 1 C 50 Oitava: S=1 . deve-se seguir os mesmos processos vistos anteriormente. tem-se: __ __ __ __ __ __ __ __ __ B A 1 A 1 C 0 0 C 1 0 B 1 1 C Para efetuar a simplificação. os agrupamentos possíveis são os seguintes: • OITAVA: Agrupamento máximo. Tabela da verdade. como exemplo. B A 1 A 0 C 0 1 0 1 B 1 0 Par AC Par AC C C S=AC+AC • TERMOS ISOLADOS: A figura a seguir mostra alguns exemplos de termos isolados que. 2 pares entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis. num diagrama de 3 variáveis. são os casos que não admitem simplificações e a expressão de saída do diagrama. Segue abaixo alguns exemplos de possíveis quadras. e as relativas expressões.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital • QUADRAS: agrupamentos de 4 regiões onde S=1. como apresentado anteriormente. adjacentes ou em seqüência. A figura abaixo mostra. B A 0 A 0 1 0 0 1 B 1 0 Termo ABC Termo ABC Termo ABC C C C S=ABC+ABC+ABC 51 . B A 1 A 0 C 1 0 1 0 B 1 0 C A 1 A 1 C B 1 1 0 0 B 0 0 C A 1 A 1 C B 0 0 0 0 B 1 1 C C S=A C S=B C S=C • PARES: Agrupamento de 2 regiões onde S=1. conforme mostra a figura. Neste tipo de diagrama. somam-se as expressões referentes aos agrupamentos. um par. a expressão final minimizada será: S = AB+ C __ __ 3. Assim. também existe uma região definida para cada caso da tabela da verdade. assim como ilustra a figura seguir. 52 .3 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis O diagrama para 4 variáveis é visto na figura abaixo. C A A D D C B B B D Diagrama para 4 variáveis. observa-se que é possível formar uma quadra e.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Voltando ao exemplo.8. B A 1 A 1 C 0 0 C 1 0 B 1 1 C Quadra C Par AB Para finalizar. logo após. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Casos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Variáveis B C 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 C A Caso 0 ABCD 0 0 00 Caso 4 ABCD 0 1 00 Caso 12 ABCD 1 1 00 Caso 8 ABCD 1 0 00 Caso 1 ABCD 0 0 01 Caso 5 ABCD 0 1 01 Caso 13 ABCD 1 1 01 Caso 9 ABCD 1 0 01 C Caso 3 ABCD 0 0 11 Caso 7 ABCD 0 1 11 Caso 15 ABCD 1 1 11 Caso 11 ABCD 1 0 11 Caso 2 ABCD 0 0 10 Caso 6 ABCD 0 1 10 Caso 14 ABCD 1 1 10 Caso 10 ABCD 1 0 10 B B A B D D D Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações da tabela da verdade abaixo. Tabela da verdade. A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 53 . segue-se os mesmos procedimentos adotados no diagrama de 3 variáveis.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Expressão extraída da tabela da verdade: S = A B C D + A B C D + A B C D+ A B C D+ A BC D + A B C D + + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A BC D __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ Transpondo a equação para o diagrama. quadras e pares. tem-se: C A A 0 0 1 1 D 1 1 1 1 D 1 1 1 1 C 1 B 0 0 B 0 B D Para efetuar a simplificação. somente que neste caso o principal agrupamento será a oitava. Deve-se ressaltar que os lados extremos opostos podem ser utilizados para formar oitavas. • Exemplos de PARES: C A 0 1 A 0 0 D 1 0 0 1 D 0 0 0 0 C 0 B 1 0 B Par ABD 0 B D Par BCD S=ABD+BCD 54 . os termos isolados. Assim. por último. agrupam-se primeiramente as oitavas.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital • Exemplos de QUADRAS: C A 0 1 A 1 0 D 1 0 0 1 D 1 0 0 1 C 0 B 1 1 B Quadra BD C 1 A A Quadra BD C 0 0 0 0 1 B 0 0 B Quadra BD 0 0 0 0 0 0 1 D 0 B D S=BD+BD D S=BD 1 B D • Exemplos de OITAVAS: C 1 0 A A 1 1 1 D 0 0 0 C 0 0 0 0 1 B 1 1 B Oitava D A A C 1 1 0 0 1 D 0 0 1 C 1 0 0 1 1 B 0 0 B Oitava B D S=D 1 B D D S=B 1 B D O agrupamento máximo (mapa totalmente preenchido com 1) constitui-se em uma hexa e apresenta a expressão simplificada S=1. em seguida os pares e. para simplificar a expressão obtida da tabela da verdade utilizando o mapa de karnaugh. posteriormente as quadras. Voltando ao exemplo. tem-se: 55 . __ __ __ 3. mesmo aparentemente diferentes. É importante lembrar que.8. D B B E E D C C C E A A B B E D D C C C E E 56 . fato este comprovado levantando-se a tabela da verdade. possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade. agrupamentos com maior número de regiões devem ser obtidos.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital C A Quadra A 0 0 1 1 D 1 1 1 1 D 1 1 1 1 C Oitava Par 1 B 0 0 D B Oitava: D Quadra: AC Par: ABC 0 B Somando os termos. tem-se a expressão final simplificada: S = D + A C+ A B C OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Os agrupamentos realizados no diagrama de Karnaugh podem ser efetuados de diversas formas e as equações obtidas. para obter expressões mais simplificadas.4 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis O diagrama de Karnaugh para simplificar expressões com 5 variáveis de entrada é visto na figura abaixo. em quadras. utilizando o método de karnaugh. será analisado 4 casos. Tabela da verdade. efetua-se a colocação das condições no diagrama de Karnaugh. Exemplo 1) Obter a expressão simplificada da tabela da verdade a seguir.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital De forma análoga. em termos isolados. em pares e. por último. Para exemplificar. A 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 0 1 1 1 D 0 0 1 1 0 0 1 E 0 1 0 1 0 1 0 S 1 0 0 1 1 1 0 57 . em seguida em oitavas. • • • • Caso 1: 00000 → A B C D E Caso 2: 01100 → A BC D E Caso 3: 11101 → A BC D E Caso 4: 10000 → A B C D E __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ D B B Caso 1 Caso 2 D C C C A A B B E D Caso 4 Caso 3 D C C C E E E E E Para simplificar expressões utilizando um diagrama de 5 variáveis deve-se primeiramente tentar um agrupamento em hexas. encontra-se: Par ABDE D B B 1 1 0 1 E Par ABCD 0 1 1 1 E 1 1 0 0 D 0 C 0 1 E C A A B B 0 0 1 0 E D 0 1 1 0 E 0 0 1 0 D 0 C 1 1 E Par ACDE C Quadra ABC 1 C Par ABDE Quadra CDE 0 C 58 . A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 C 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 D 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 E 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Transpondo para o diagrama.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Tabela da verdade – continuação. minimizando a expressão característica e conseqüentemente o circuito lógico. a expressão minimizada será: S = C D E + ABC + A B D E + A B C D + A BD E + A B DE + ACD E __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 3. deverá ser descartada.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Agrupando os termos. para efetuar as simplificações. Exemplo: Utilizando o método de Karnaugh. obter a expressão simplificada que executa a tabela da verdade a seguir. Assim. Desta forma.5 Diagramas com Condições Irrelevantes Condição irrelevante (x) ocorre quando a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente. Tabela da verdade. A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S X 0 1 X 1 0 1 1 0 1 X 0 0 X 0 x 59 .8. para uma dada situação de entrada. Na prática. os valores irrelevantes da tabela da verdade devem ser transportados para o diagrama de Karnaugh. a condição irrelevante x pode ser utilizada para completar um agrupamento. se a condição irrelevante x representar um termo isolado. esta condição ocorre principalmente pela impossibilidade da situação de entrada acontecer. Por outro lado. 6 Casos que Não Admitem Simplificações As funções OU EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA são exemplos de casos que não admitem simplificações.8. em cada diagrama existem dois termos isolados que são. No caso de 3 variáveis. as expressões são: S = A ⊕ B⊕ C S=A B C 60 . pois suas equações característica estão minimizadas. tem-se: C A X 1 0 0 D 0 0 X 1 D X 1 X 0 C 1 B 1 0 B A X B D Utilizando-se 2 valores irrelevantes e abandonando outros 2.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Transpondo para o diagrama de 4 variáveis. portanto. S=(B + D) = AB+AB B A 0 A 1 B 1 0 S=(B D) = AB+AB B 0 1 B A 1 A 0 Como pode ser observado. as próprias expressões de entrada. como ilustra a figura abaixo. pode-se agrupar duas quadras e um par. gerando a seguinte expressão: S = A C + A D+ A C D __ __ __ __ 3. As tabelas abaixo mostram os resultados das operações em todas as possibilidades. Este processo se deve ao fato de as funções OU EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA não serem válidas para mais de 2 variáveis de entrada. efetuar a operação com a terceira variável. com o resultado obtido. As funções OU EXCLUSIVO e 61 . A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 ( A ⊕ B) ⊕ C 0 1 1 0 1 0 0 1 A ⊕ ( B ⊕ C) 0 1 1 0 1 0 0 1 ( A ⊕ C) ⊕ B 0 1 1 0 1 0 0 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 (A B) 0 1 1 0 1 0 0 1 C A (B 0 1 1 0 1 0 0 1 C) (A C) 0 1 1 0 1 0 0 1 B Passando a coluna S (iguais em todos os casos) para o diagrama.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital Para montar a tabela da verdade deve-se primeiramente efetuar as operações entre 2 das variáveis e. mas uma propriedade muito importante pode ser observada. não existe a possibilidade de simplificações. tem-se: B A 0 A 1 C 1 0 C 0 1 B 1 0 C Da mesma forma. para 3 variáveis de entrada. estas funções executam a mesma tabela da verdade. Assim: _________________ A ⊕ B⊕ C⊕ D = A B C D 3. tem-se: 62 . A ⊕ B⊕ C⊕ D ⊕ E = A B C D E Por outro lado. para um número par de variáveis de entrada. ou seja. ou seja. será simplificado a expressão da seguinte tabela da verdade. A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 1 0 1 1 1 1 1 Passando para o diagrama e efetuando o agrupamento. utilizando-se as mesmas regras. para efetuar a simplificação.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital COINCIDÊNCIA. apresentaram a mesma resposta para todas as entradas possíveis.8. será obtido o complemento da função. Tabela da verdade. Porém. a saída .7 Agrupamentos de Zeros Pode-se agrupar as células que valem 0 no diagrama de Karnaugh. Pode-se então afirmar que para um número ímpar de variáveis de entrada. Para exemplificar esta situação. adotando esta prática. estas funções são iguais. tem-se que a função OU EXCLUSIVO é o complemento da função COINCIDÊNCIA. um par formado por zeros. na figura.1) Simplifique as expressões utilizando a álgebra de Boole. cuja expressão é: __ S =AC __ __ Desenvolvendo esta expressão chega-se a: S=(AC) S=A+C Convém observar que a mesma expressão seria obtida.9 Exercícios do Capítulo III 3.9.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital B A 0 A 1 C 1 1 C 1 1 B 0 1 C Observa-se. caso fosse utilizado o procedimento convencional anteriormente visto. 3. a) S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC b) S = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD c) S = [(B + C + D) (A + B + C) + C] + ABC + B(A + C) d) S = A[B(C + D) + A(B + C)] + CD + ABC + AB 63 . resultado dos agrupamentos de 2 quadras. 5) Através dos diagramas de Veitch-Karnaugh. 3.4) Prove que: A (B + C) = A + (B C) A+B+C+D=A B C D 3. 64 .9. determine a expressão simplificada de S1 e S2 da tabela a seguir.9.3) Simplifique a expressão abaixo e posteriormente desenhe o circuito lógico.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital e) S = (A + B + BCD) [D + BC + D(A + B)] + AD f) S = [(B + CD + D + AC) (A + B + C) + B(C + ABC + AC)] (A + B) g) S = (AB + CD + AD) {B[C + D +A(B + C) + ABC] + A} h) S = (A + B) {B + (B + C) [ABC + B(A + D) + BC + BD] + ABD} 3.9. utilize a álgebra de Boole para simplificar as equações e desenhe novamente o circuito lógico correspondente.2) Desenhe o circuito lógico para as seguintes expressões: a) S = ABC + ABC b) S = (A + B + C) (A + B + C) Continuando o exercício.9. S = (B + D) {B + C D +A[BC + BC + A + B(C + D)]} 3. S3 e S4 das tabelas da verdade a seguir.9. S2. A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 S2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 S3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 65 . Tabela 1.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S1 1 0 1 1 S2 1 1 0 0 3. utilizando os mapas de Karnaugh. A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S1 1 0 1 1 1 1 0 1 S2 1 1 1 0 1 1 1 0 S3 0 1 0 0 1 1 1 0 S4 0 1 1 0 1 0 1 1 Tabela 2.6) Simplifique as expressões de S1. . a) S = A B C + A B C + A BC + A B C + ABC __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ b) S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A BC D + A B C D+ + A BC D + A B C D __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ c) S = B D + A + A B C D+ A B C D+ A C __ d) S = A BC+ A B+ A BC D+ B D+ C D+ B C D + A B C D __ __ __ __ __ 3.9.8) Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela abaixo.. A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 D 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 E 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 S1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 S2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Continua .UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3.9.7) Simplifique as expressões utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh. 66 . 9) Simplifique as expressões de S1 e S2 da tabela a seguir A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S1 X 0 1 X 1 X X 1 S2 1 X 0 0 0 1 X X 3. A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S1 1 X X X 1 0 X X X 1 X 1 X X 1 0 S2 X X 1 0 X 1 0 1 1 0 X 1 0 1 1 X S3 0 0 0 1 X X 1 0 X 1 0 0 1 0 X 1 S4 X 0 X 1 1 X 0 1 0 1 0 X 1 1 1 X 67 .UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 3.9.10) Determine as expressões simplificadas de S1.9. S2. S3 e S4 da tabela abaixo. A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 D 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 E 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 S2 1 X 1 X X 1 X 1 1 0 1 0 X 1 0 1 1 X 1 0 X 1 0 1 X 1 1 1 1 X 1 X Resposta dos exercícios 3.1) Simplifique as expressões utilizando a álgebra de Boole.9.9.11 Desenhe os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da tabela da verdade. a) S = A C + B __ 68 .UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3. 3) Simplifique a expressão abaixo e posteriormente desenhe o circuito lógico.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital b) S = AB + C D c) S = C + A B d) S = C D + AB + AD + AC e) S = A D + A B C + ABD f) S = B + AC g) S = A C D h) S = A B + B D __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 3.2) Desenhe o circuito lógico para as seguintes expressões: Item a) ABC Item b) ABC S S Equação simplificada: S = AC Equação simplificada: S = B + A ABC C A C S S 3. A C D S 69 .9.9. S2.9. Tabela 1: __ S1 = B C + AC + A B S2 = B + C __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ S3 = B C + A C S4 = A B C + A C + AB + B C Tabela 2: S1 = B + C D + CD S2 = A D + BD + A B C __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ S3 = A B D + B C D + B C D S4 = A B C + A CD + ABC + A C D __ 3.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3.5) Através dos diagramas de Veitch-Karnaugh. utilizando os mapas de Karnaugh.9.9. determine a expressão simplificada de S1 e S2 da tabela a seguir.6) Simplifique as expressões de S1. __ S1 = A + B S2 = A 3.7) Simplifique as expressões utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh. a) S = A B + AC + A B b) S = B C D + A C D + BCD + A B C c) S = A + B d) S = B C + AC + BD + B C __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 70 . S3 e S4 das tabelas da verdade a seguir. S1 = CE + A B C + B C D + A BC D + B C D E S2 = C + E + A B D __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 3.UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA Apostila de Eletrônica Digital 3.9.10) Determine as expressões simplificadas de S1. S3 e S4 da tabela abaixo. __ __ S1 = B + D S2 = BD + AC + B D S3 = B D + A B C + ABC + A B CD S4 = B C + AD + CD + AB 3.9) Simplifique as expressões de S1 e S2 da tabela a seguir S1 = A + B S2 = A B + AC 3. S2.9.8) Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela abaixo. CDE ABCE __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ S1 S2 71 .11 Desenhe os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da tabela da verdade.9.9.