ENERGIA DE DEFORMACIÓN.70 70 CAPITULO II ENERGÍA DE DEFORMACIÓN. ENERGIA DE DEFORMACIÓN. 71 II.1. Generalidades. El concepto de energía aplicado a estructuras elásticas estables esta asociado al trabajo W realizado por un sistema de fuerzas cualesquiera que actúan sobre una estructura cuyos puntos se desplazan. Consideremos por ejemplo la fuerza F aplicada en el punto A del cuerpo mostrado en la Figura II.1, el cual experimenta un desplazamiento r que lo lleva a una posición A’, según el estudio de la Mecánica aplicada el trabajo W se expresa como el producto escalar dado por la siguiente expresión W F (1) r F A r r A’ r + r O Figura II.1. Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo La Ecuación (1) permite obtener el trabajo total sobre el cuerpo de la fuerza F que actúa en el desplazamiento r de la estructura [3, el cual será positivo o negativo dependiendo del ángulo entre los vectores F y r, dado que F. r = F. r cos. Para ángulos agudos (0° < 90° o 270° < 0°) W es positivo ya que la componente de r coincide con F, es decir la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección. En los otros casos W será negativo ya que F y r tendrán direcciones contrarias. Para un cuerpo rígido puede demostrarse que el trabajo realizado por las fuerzas internas es igual a cero ya que no existen deformaciones en el mismo y entonces el trabajo W viene dado por la suma de los trabajos realizados por el sistema de fuerzas externas aplicadas al cuerpo [3. Puede demostrarse que si el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio el trabajo total que representa la energía de entrada debido al sistema de fuerzas externas aplicadas debe ser igual a cero [3 y se cumple que n W WEXT 0 i 1 (2) ENERGIA DE DEFORMACIÓN. 72 II.2. Energía de Deformación Interna. II.2.1. Concepto de Energía de Deformación Interna (U). Cuando consideramos un cuerpo deformable en equilibrio sometido a un sistema de cargas externas, se observa que en este se producen esfuerzos internos asociados a un estado de deformación que permite la disipación de la energía que ingresa a la estructura debido a las cargas externas, entonces el trabajo realizado por las fuerzas internas es distinto de cero y representa la Energía de Deformación Interna de la estructura (U) [4. Ahora el equilibrio se expresa como n W i 1 n EXT WINT (3) i 1 Para determinar U estudiaremos la estructura elástica mostrada en la Figura II.2a), la cual se encuentra sometida a una fuerza externa P que produce una deflexión en su punto de aplicación (B) y en su misma dirección, si la fuerza P se aplica aumentándola gradualmente desde cero hasta su máximo valor (P), entonces podemos trazar la grafica de fuerza (en el eje y) contra el desplazamiento (en el eje x), obteniéndose la recta mostrada en la Figura II.2b). y P B Área = WEXT B ’ P a) Estructura deformada por la fuerza P x b) Grafica de Fuerza vs. Desplazamiento Figura N° II.2. Trabajo de una fuerza real en un despalzamiento Si aplicamos la Ecuación (1) al caso considerado en la Figura II.2 podemos obtener el trabajo real de la fuerza P calculando al área bajo la curva (P vs. ) que da como resultado lo siguiente n P (4) WEXT 2 i 1 lo cual indica que el trabajo externo real de P en el desplazamiento es realizado por la fuerza promedio (P/2) [4. De manera análoga, el trabajo interno real (W int) puede determinarse en función de las deformaciones internas producidas debido a los efectos axiales, de corte, flexión y torsión, multiplicándolos por los esfuerzos promedios respectivos [4. Si aplicamos el principio de superposición, dado que estamos considerando estructuras elásticas, podemos analizar cada efecto interno por separado y así determinar el Wint total por la contribución de todos ellos. ENERGIA DE DEFORMACIÓN. 73 II.2.2. Energía de Deformación Interna Axial, Corte, Flexión y Torsión. Para determinar la Energía de Deformación Interna (U) de una estructura analizaremos un elemento estructural como el que se muestra en la Figura II.3a), considerando el elemento diferencial (dx) de la Figura II.3b) sometido solo a efectos axiales. (x) N(x) N(x) dx b) Elemento diferencial sometido a esfuerzos axiales dx a) Elemento estructural de análisis Figura II.3. Elemento estructural sometido a esfuerzos axiales Entonces el diferencial de trabajo (dWint) se determina por el producto de el esfuerzo axial promedio N(x)/2, el cual en términos generales es una función de x, y la deformación axial (AXIAL) la cual se obtiene de la Resistencia de los Materiales como N(x)dx/AE, en donde A es el área de la sección transversal y E el Módulo de Elasticidad del material [4, entonces integrando se obtiene 1 N 2 x dx 2 0 A E L WINT U AXIAL (5) La Ecuación (5) permite obtener la Energía de Deformación Interna de un elemento de la estructura sometida únicamente a efectos axiales. Para determinar la Energía de Deformación Total (UTOTAL) por efectos axiales deberá aplicarse la Ecuación (5) para cada uno de los elementos que conforman la estructura y sumar algebraicamente la contribución de cada uno. Obsérvese que si consideramos el caso de una armadura N(x) = N y la Ecuación (5) se puede aplicar para toda la estructura como U AXIAL 1 nb N 2 L 2 b 1 A E (6) Ahora consideremos un elemento estructural como el que se muestra en la Figura II.4a), considerando el elemento diferencial de la Figura II.4b) con longitud dx sometido solo a efectos de flexión. (x) M(x) M(x) dx b) Elemento diferencial sometido a a) Elemento estructural de análisis esfuerzos de flexión Luego el dWint se determina por el producto de el momento flector promedio M(x)/2 el FiguradeII.4. sometido a esfuerzos dede flexión cual es una función x y Elemento la rotaciónestructural diferencial la cual se obtiene la Resistencia de El Principio del Trabajo Virtual (P.5b). el trabajo virtual externo al ocurrir el desplazamiento real será igual al trabajo virtual interno debido a la deformación real” 4.1. II.3.T.) aplicado a cuerpos deformables establece que “si una estructura que se encuentra en equilibrio bajo la acción de un sistema virtual de fuerzas.5a) y sugiere que sus desplazamientos debido a la acción del sistema de cargas externas reales pueden obtenerse superponiendo las dos estructuras mostradas en las Figuras II. Realizando un análisis similar puede demostrarse que la Energía de Deformación Interna de un elemento de la estructura sometida únicamente a efectos de corte y de torsión respectivamente viene dada por las expresiones c V 2 x dx 2 0 A G L WINT U CORTE 1 T 2 x dx 2 0 J G L WINT U TORSIÓN (8) (9) en donde V(x) es la Fuerza Cortante.V.5a) e II.T.) para cuerpos deformables. c es una constante de forma de la sección trasversal. esto se puede establecer mediante la expresión n n W W i 1 EXT i 1 INT FVIRTUAL DREAL VIRTUAL REAL (10) La Ecuación (10) puede ser empleada para determinar componentes de deflexión (traslaciones o rotaciones) de un punto cualesquiera de una estructura elástica estable como la indicada en la Figura II.ENERGIA DE DEFORMACIÓN. Principio del Trabajo Virtual (P.V.). Principio del Trabajo Virtual (P. en donde I es el momento de inercia de la sección transversal.T.3. G es el Módulo de Rigidez al Corte y J es el Momento Polar de Inercia de la sección transversal.V. 74 los Materiales como M(x)dx/EI. II. T(x) es el Momento Torsor. esta sujeta a un desplazamiento como resultado de alguna acción adicional. . entonces integrando se obtiene la Energía de Deformación Interna de un elemento de la estructura sometido únicamente a efectos de flexión [4 y se establece por la siguiente expresión: 1 M 2 x dx 2 0 EI L WINT U FLEXIÓN (7) Para determinar UTOTAL deberá aplicarse la Ecuación (7) para cada uno de los elementos que conforman la estructura y sumarlos algebraicamente. Real n(x) es la fuerza axial en el Sist. Real v(x) es la fuerza cortante en el Sist. en donde se consideran las cargas reales que producen una deformación real (REAL) en los elementos de la misma debido a los esfuerzos internos existentes 4. en donde se aplica una fuerza virtual (FVIRTUAL) en dirección de la deflexión real (D REAL) que se desea determinar.T. Virtual V x v x dx AG 0 (13) V(x) es la fuerza cortante en el Sist. De forma análoga que en la sección anterior puede demostrarse que para los efectos axiales. Real m(x) es el momento flector en el Sist.V. de flexión.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.TORSIÓN (14) T(x) es el momento torsor en el Sist. Virtual N x n x dx A E L WINT .) aplicado a estructuras deformables La primera. se define como el “Sistema virtual”. ya que FVIRTUAL = 1. Esta fuerza virtual produce una deflexión virtual igual a la deformación real (DREAL) producida por el sistema de cargas externas. P1 P2 75 P1 Pn = B Pn + B DREAL B ’ a) Estructura deformada por cargas externas reales P2 DREAL B ’ FVIRTUAL b) Sistema Virtual c) Sistema Real Figura II. la cual llamaremos “fuerza ficticia” y la tomaremos por conveniencia con un valor unitario.5. En este contexto el lado izquierdo de la Ecuación (10) se convierte en 1 x D REAL. Virtual . se define como el “Sistema real”. Real t(x) es el momento torsor en el Sist. la estructura de la Figura II. mientras que la parte derecha de la ecuación depende de los efectos que se consideren actuando sobre les elementos de la estructura. la estructura de la Figura II. Virtual M x m x dx EI (12) M(x) es el momento flector en el Sist.CORTE c T x t x dx J G 0 L WINT .5a). La segunda.5b).FLEXIÓN 0 L WINT . AXIAL 0 (11) En donde N(x) es la fuerza axial en el Sist. corte y torsión el WINT es L WINT . Principio del Trabajo Virtual (P. los cuales se obtienen del Sistema Real en donde se produce la deformación real (REAL) y del esfuerzo virtual (VIRTUAL) obtenido en el Sistema Virtual debido a FVIRTUAL. ENERGIA DE DEFORMACIÓN. dx. entonces el WINT viene expresado como L WINT . entonces el WINT viene expresado como . en donde h es la altura de la sección entre la fibra superior e inferior y Tm es la diferencia entre la temperatura en la fibra inferior (Ti) y la fibra superior (Ts) 4. El Principio del Trabajo Virtual permite tomar en cuenta efectos adicionales que se producen en las estructuras tales como cambios de temperatura. desplazamiento de los apoyos y errores de fabricación [2. 13 y 14) en el lado izquierdo. dx. Cambios de temperatura: Cuando existen cambios en la temperatura de los elementos estructurales se producen esfuerzos axiales y de flexión los cuales afectan el trabajo interno (WINT). Real n es la fuerza axial en el Sist. obteniéndose lo siguiente L 1 DREAL 0 N x n x dx M x m x dx V x v x dx T x t x dx c A E EI AG J G 0 0 0 L L L (16) En el caso particular de armaduras la Ec. ARMADURAS 76 N nL A E (15) N es la fuerza axial en el Sist. Efectos Adicionales considerados en el P. Tn .3. estas vienen dadas por FEXIÓN T = t . 12. II. n nb i 1 b 1 WINT .T. (Tm/h) .V. la cual puede ser una Fuerza puntual si se requieren determinar traslaciones o un par si se requieren determinar rotaciones. luego este efecto debe agregarse al lado derecho de las Ecuaciones (16 y 17). (10) se puede escribir como nb 1 DREAL b 1 N nL A E (17) Cabe destacar que las Ecuaciones (16 y 17) pueden ser empleadas para determinar componentes de deflexión de traslación (DREAL = REAL) o de rotación (DREAL = REAL) solo en dirección de la Fuerza virtual aplicada. Virtual b es el elemento de barra de la armadura Luego la Ecuación (10) puede escribirse sustituyendo 1 x D REAL en el lado derecho y superponiendo las Ec.T n x t Tn dx (18) 0 Considerando ahora las deformaciones de flexión por temperatura (FLEXIÓN T) para un elemento diferencial (dx). en donde t es el coeficiente de dilatación térmica del material medida en (°C)-1 y Tn es el cambio de temperatura promedio entre la temperatura en la fibra superior (Ts) y la fibra inferior (Ti) 2.2. La deformación axial por temperatura (AXIAL T) para un elemento diferencial (dx) viene dada por AXIAL T = t . (11. lo cual genera una deformación axial unitaria (e). En caso de existir efectos adicionales se determinan los mismos para cada elemento estructural. la cual será una fuerza puntual si se requiere determinar traslaciones o un par de momento si se desean determinar rotaciones.V. 77 L WINT .V. Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas. luego este efecto debe agregarse al lado izquierdo de las Ecuaciones (16 y 17) y se obtiene multiplicando la componente de reacción del apoyo del Sistema Virtual (R VIRTUAL) por la deflexión (Da) respectiva en dirección de dicha reacción 2. entonces el WEXT viene expresado como WEXT . . Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada.) para el cálculo de desplazamientos.V.4.T. Ahora podemos establecer una metodología general de análisis para determinar componentes de deflexión (traslaciones y/o rotaciones) de una estructura elástica estable y determinada basado en el P.)”. el cual denominaremos el “Método del Trabajo Virtual (M. Estos errores producen cambios en el trabajo interno (W INT). II. Se determinan WEXT y WINT por superposición. 2.T m x t 0 Tm dx h (19) Desplazamiento de los apoyos: Los desplazamientos debido a traslaciones y/o rotaciones de los apoyos producen cambios en el trabajo externo (W EXT). pueden existir errores en el proceso constructivo que en general son difíciles de estimar y pueden ser producidos por elementos mas largos o mas cortos que los proyectados originalmente. Procedimiento General de Análisis (Método del Trabajo Virtual). 3.Da RVIRTUAL Da (20) Errores de fabricación: Cuando se realiza la construcción de un sistema estructural perteneciente a una obra civil. se procede a establecer el Sistema real que corresponde a la estructura original con las cargas externas reales y el Sistema Virtual que se obtiene al aplicar una fuerza ficticia unitaria en dirección de la componente de deflexión que se desea determinar. llevando a cabo los pasos siguientes: 1.4. aplicando la Ecuación (17) en caso de una armadura o la Ecuación (16) en otros casos (vigas..ENERGIA DE DEFORMACIÓN.1.T. E n( x ) e dx (21) 0 II.T. luego este efecto debe agregarse al lado derecho de las Ecuaciones (16 y 17) 2 y para un elemento diferencial (dx) viene dada por L WINT . 4. Método del Trabajo Virtual (M. Sistema Real y Virtual para calcular Cv.A) 60 cm X X 20 cm 4.2.50 m . Ejemplo Demostrativo.00 m Sistema Virtual Figura II.4 x 105 Ton/m2.00 m Sistema Real 1. G = 3 x 104 Ton/m2 y t = 1 x 10-5 (°C)-1. 1.15 Ton Sección Transversal 1 Ton/m A (I. etc) para cada elemento estructural.005 m () y que el elemento AB experimenta un gradiente de temperatura en la fibra superior de 30 °C y en la inferior de 10 °C. es contraria a la dirección de la fuerza virtual aplicada. 78 pórticos. Usar E = 2.50 m Paso 1: Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada.. se procede a establecer el Sistema real que corresponde a la estructura original con las cargas externas reales y el Sistema Virtual que se obtiene al aplicar una fuerza ficticia unitaria en dirección vertical en el punto C (Ver Figura II. corte y axial.ENERGIA DE DEFORMACIÓN. para la cual se requiere determinar el desplazamiento vertical del punto C. Para ilustrar la aplicación del Método del Trabajo Virtual resolveremos paso a paso el EJEMPLO DEMOSTRATIVO de la viga de entrepiso que se modela como la estructura estable mostrada en la Figura II. 0. II.7).4. marcos. es decir.6.7. considerando que el punto A sufre un desplazamiento vertical de 0. Tomar en cuenta efectos de flexión.15 Ton 1 Ton/m A C B 4. Un signo negativo en el valor de DREAL significa que la deflexión tiene un sentido opuesto al supuesto inicialmente. estableciendo la igualdad de los trabajos y se despejando convenientemente la componente de deflexión deseada. 0.00 m 1.50 m FV = 1 Ton A C B 4.A) B C (I. 50 Ton 0. En este caso.99 Ton x x/2 M M N N 1x 0. D.52 0 RBy 3.15 Ton 1 Ton/m 0 Ton A 1. que se encuentra a su izquierda para el cual se adopta el Convenio de Signos positivo para las fuerzas internas indicado en la figura. comenzaremos por el Sistema Real.99 Ton 2 3.99 5.C.C.8.15 0 R Ay 1.) para determinar las reacciones es el que se indica en la Figura II. del Sistema Real para calcular las reacciones en apoyos.66 Ton M A 0 : 4 RBy 5.9.L.00 m C RBy 1.66 Ton . 0.C. El análisis estático se puede comenzar con cualquiera de los sistemas.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.15 Ton C V V x x Figura II. Obsérvese que la forma como varíe la distancia x en cada tramo define los limites de integración necesarios para obtener WINT (Ver Figura II.L. 2. una para el tramo AB (corte 1-1) y otro para el tramo BC (corte 2-2). 1 5. la cual es distinta para los tramos AB y BC ya que presentan diferentes estados de carga.75 m 5.5 0.15 Ton RAx A B RAy 4.66 Ton x 1x x/2 0 Ton A C B 3.C. entonces el diagrama de cuerpo libre (D.L.L. a la derecha. 79 Paso 2: Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas 3.15 F F y 0 : R Ay x 0 : R Ax 0 Las fuerzas internas en cada elemento serán una función de la distancia x. 1.C. mientras que para el corte 2-2 resulta mas conveniente tomar el D.5 0. D.50 m Figura II.L. de cortes del Sistema Real para calcular las fuerzas internas. Para el corte 1-1 tomaremos el D. Luego deben hacerse dos secciones (o cortes).8.9). FV = 1 Ton RAx A C B RAy RBy 4. 80 Tr am o M A B 1 1 Fy Fx 0 0 Tr am o M Fy Fx 2 0 A : : 2 0 0 C 0 : : N 0 El D. para determinar las reacciones en el Sistema Virtual se muestra en la Figura II. En este ejemplo se comenzó analizando el Sistema Real.10.L. R 1. en las secciones o cortes deberá tomarse la distancia x variando de la misma manera.375 Ton F 0 : R 1.11.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.L.5 1 0 R 0.375 Ton M 0 : 4 R 5.C.00 m 1.375 Ton C B 1.10. del Sistema Real para calcular las reacciones en apoyos. FV = 1 Ton 0 Ton A 0.375 0 F 0: R 0 A By y Ay x Ax By Ay Es necesario destacar el hecho de que para obtener una solución consistente la determinación de las fuerzas internas en los elementos estructurales en el Sistema Real y el Sistema Virtual debe realizarse de forma análoga. entonces para el Sistema Virtual se llevaran a cabo las secciones ya indicadas variando x de la misma forma tal y como se muestra en la Figura II.375 Ton m n x v FV = 1 Ton n C v x 0 M 1 1 1 x x 0 : V 0 V N BC M : x 1 . D. es decir.C.375 Ton x x m 0 Ton A 0.50 m Figura II. C.005 1.T temperatura A 0 x B n x 0 Efectos Tramo Flexión Tm de AB W I NT . Tr a mo AB M Tr a mo 0 BC F x M 2 F x 0 0 0 n 0. Efectos Tra mo Axial Tn de AB 30 10 2 L W INT .375 x 4 dx 0. D.375 4 m x 0.T m x t Apoyo W EXTa A : de t dx Tm h 0 0 1 10 5 2 0.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.11. de cortes del Sistema Real para calcular las fuerzas internas. 81 Figura II.375 x 1 0 apoyos R Ay (VIRTUAL ) RVIRTUAL Da x 0 0 Desplazamientos Tn 20 0 C 4 4 temperatura A 0 x B 10 30 L n 20 0 C Ton Da 0.875 10 3 Av 0 .L.375 0. v n x m : C 0 0 : : 0 2 F y A 1 1 F y m 1 0 0 Paso 3: En caso de existir efectos adicionales se determinan los mismos para cada elemento estructural. 0 x v : : : 0 0. . de corte y de flexión como sigue: n WINT i 1 4 1. EI 0 2 2 0 .875 10 3 1 Cv Ahora introduciremos el uso de la TABLA II. pórticos. el valor de x al inicio y al final del tramo.5 x2 1 x2 1.375 x dx 0. marcos. c AG 4 1..5 M x 2 x 2 2 1.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.1 que permitirá colocar toda la información requerida para determinar la WINT. n W i 1 EXT 1. Dicha tabla contendrá el tramo analizado.66 x 0..375 x x 1. es decir.15 1 dx 0 1 10 3 AE Igualando WEXT = WINT 4 1. Tramo A-B Xi A=0 Xf B=4 B-C C=0 B = 1. 82 Paso 4: Se determinan WEXT y WINT por superposición.875 10 1 Cv 1. etc) para cada elemento estructural. EI 0 2 2 0 . Un signo negativo en el valor de DREAL significa que la deflexión tiene un sentido opuesto al supuesto inicialmente.. en una forma ordenada para llevar a cabo un procedimiento de análisis sistemático y más eficiente.66 x 0.15 x x dx .66 0.15 x x dx ..66 x 2 0.66 x v N N 0.375 0 0 1 0 0 x 0.5 0 0 x 1. aplicando la Ecuación (17) en caso de una armadura o la Ecuación (16) en otros casos (vigas.15 x m V 0.375 x dx 0. estableciendo la igualdad de los trabajos y se despejando convenientemente la componente de deflexión deseada. lo cual corresponde a los limites de integración y las expresiones de todos los esfuerzos internos de cada sistema (Real y Virtual) considerados en el análisis.1.375 dx x 0. Trabajo Interno para los efectos considerados en el análisis de la estructura Luego empleamos la Ecuación (16) para determinar la WINT para los efectos axiales.5 x2 1 x2 3 1...15 TABLA II. es contraria a la dirección de la fuerza virtual aplicada. II.3 Ejemplos Resueltos.12. .23 1 10 3 1.48 2. Usar E = 29000 Ksi (Tomado del Hibbeler [5).ENERGIA DE DEFORMACIÓN.5 x 1.66 0..4. lo cual era de esperar debido a que las cargas externas se aplican verticalmente hacia abajo. E F 2 3 in 20 Klb 4 in2 C 40 Klb 3 in2 3 in 4 in 4 in2 3 in2 D 2 2 A 12 pies 4 in2 4 in2 16 pies 12 pies B .875 10 3 8. 1. indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en C..11 10 4 m El valor obtenido para el desplazamiento de traslación vertical del punto C (Cv) presenta signo positivo.375 dx x 0.15 1 dx 0 0 0 1 10 3 AE Se resuelven las integrales definidas y se evalúan los datos de la geometría y propiedades de los materiales que conforman los elementos de la estructura Cv 0. 1) Calcular el desplazamiento horizontal en el nodo F de la armadura de la Figura II.11 10 4 m EI AG Cv 8.2 AG 83 4 1. ENERGIA DE DEFORMACIÓN. ordenándolos forma tabulada y Sistema en Virtual E F E F considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo. mientras Klb 20 sera Klb negativa.25 Klb A 1 Klb 1.12 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a establecer el Sistema real y el Sistema Virtual E F 20 Klb 12 pies C D 40 Klb E 12 pies A F Fv = 1 Klb B 12 pies C 16 pies D Sistema Real 12 pies A B 16 pies Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas.50 Klb 1.50 Klb 1 Klb 0. que la20 Compresión (C) se = 1 Klb V encuentran actuando en los elementos.50 Klb Sistema Virtual . 84 Figura II.25 Klb C C D D 0 Klb 0 Klb 40 Klb 60 Klb 75 Klb A 60 Klb 60 Klb 60 Klb 15 Klb B 60 Klb Sistema Real 1.75 Klb B 1. 0 Klb 15 Klb 0 Klb 0.75 Klb 25 Klb 1.C. Por otra parte las fuerzas dibujadas 0 Klb en losFD.L. 50 m 2.25 1.13. 2) Calcular el desplazamiento horizontal del nodo C del marco de la Figura II.584 in E A 29000 Fh 0.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.584 in El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto F (Fh) presenta signo positivo.75 -0.75 -1. Barra AB CD EF AC CE BD DF BC CF L (in) 192 192 192 144 144 144 144 240 240 85 A (in2) 4 3 3 4 4 4 4 3 3 N (Klb) 60 0 -20 60 0 -15 -15 -75 25 n (Klb) 1 0 0 1. Fh 1 nNL 1 16930 0.00 m X X 20 cm .1 x 103 Ton/cm2 y G = 810 Ton/cm2. Usar E = 2.25 m 3.5 0 -0.m A (I) (I) Sección Transversal C 20 cm 4. estableciendo la igualdad de los trabajos para obtener la componente de deflexión deseada. Incluir la Energía de deformación debido a la fuerza axial y a la fuerza cortante. indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en F.25 nNL/A 2880 0 0 3340 0 405 405 7500 2500 16930 Se determina la WEXT y WINT para cada elemento estructural por superposición de todos los efectos que se consideren. lo cual era de esperar debido a que las cargas externas se aplican verticalmente hacia abajo. 2 Ton/m B 4 Ton 2 Ton. 5 1 Se determina la WEXT y WINT para cada elemento estructural por superposición de todos los efectos que se consideren.00 m 3.B C-B C B’ FV = 1 Ton B C x 6.13 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a establecer el Sistema real y el Sistema Virtual 2 Ton/m B 4 Ton FV = 1 Ton B C C 4.25 B’ = 2.67 Ton x A 0. 67 4 1 0 0.5 1. 86 Figura II.67XTon Xf i Sistema A=0 B = Real 2.25 B = 4.5 Ton x A 1.B’ B’. estableciendo la igualdad de los trabajos para obtener la componente de deflexión deseada. ordenándolos en forma tabulada 2 Ton/m x B 4 Ton 2 Ton.5 C=0 B=3 x 1 Ton M 1.5 x 4x 2 2 V v N Sistema Virtual 0 .50 m 2.67 1 2 x 6.m A A 3.67 x 1 .m 4 Ton Tramo A .5 m Ton 11 x x x 6.5 0 n 1.50 m 4.00 m Sistema Real Sistema Virtual Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas.25 m 2 Ton. .ENERGIA DE DEFORMACIÓN.67 1. . Usar EI = 1200 Ton.88 10 5 5. 1 Ch 1 EI 87 4.50 m A F D 4. 5 2. Considerar que el apoyo F sufre un asentamiento de 0.00 m F. +60 °C 40 cm 8 Ton (I) Sección Transversal E 4. indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en C.00 m F.25 0 41 dx 2 x 6.5 0. 2 Ton/m B (I) C (I) (I) (I) 3.00 m .67 x 1.52 4.67 1. ext.5 dx 0 4..25 . +20 °C 1.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.058 m EI AG AE Ch 0. 3) Determinar el desplazamiento horizontal del nodo F de la estructura de la Figura II.05 m () y la barra BC sufre una variación de temperatura como se indica.67 1.25 0 1 AG 1 AE 4.52 0. int.00 m 4.45 25.14 utilizando el Método del Trabajo Virtual.38 10 6 0.058 m El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto C (Ch) presenta signo positivo.25 163.5 x dx 2.058 7. 5 2.m2 y t = 10-5 (°C)-1 (Tomado del Ana Scheuren [4).5 dx 2. Ch 3 2 0 4 x 2 x dx 11 x dx x 6. 50 Ton E 8 Ton C’ 4 Ton D 10.00 m 4.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.00 m Sistema Real B C E 3.14 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a establecer el Sistema real y el Sistema Virtual 2 Ton/m C B E 8 Ton 3.00 m 4.00 m 4.00 m Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan x x Sistema Virtual sobre los elementos estructurales para ambos sistemas ordenándolos en forma tabulada 2 Ton/m C B x 4 Ton A 9.00 m 4.50 Ton Sistema Real x F 4 Ton . 88 Figura II.00 m A D F FV = 1 Ton 4.00 m 1.50 m A F D 4. 89 x x 3/8 Ton E C’ 0 Ton A C B 1 Ton x x F FV = 1 Ton D 9/8 Ton 3/4 Ton Sistema Virtual Tramo A-B B-C C-E E-F Xi A=0 B=0 C=0 E=0 Xf B=5 C=4 E=4 F=3 M 16 / 25 x 26 / 5 x x 2 1. estableciendo la igualdad de los trabajos para obtener la componente de deflexión deseada. Desplazami en to en 3 0.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.03 75 4 Efectos 4 0 3 8 x de 3 2 apoyos Temp eratur a 20 60 0.40 1 0 5 dx Se determina la WEXT y WINT para cada elemento estructural por superposición de todos los efectos que se consideren.50 x 10 x2 4x 0 2 m 3 / 10 x 3 / 8x 3 / 2 3 / 4x x3 Se determinan los efectos adicionales para cada elemento estructural (En caso de que existan). 3 .05 0. 00 m . indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza virtual aplicada en F. Usar E = 2.0375 Fh 79 3 10 3 0.50 Ton/m Sección Transversal F. -20 °C 10 cm E A 1. 4) Calcular la deflexión horizontal del nodo E de la estructura de la Figura II.50 Ton/m 1. ext.. Considerar efectos axiales y de corte.50 m 4.025 m El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto F (Fh) presenta signo negativo.0375 1 Fh 5 4 1 16 2 26 3 3 3 x x x dx x 2 1.. x 2 4 x x dx 3 10 3 EI 0 4 0.1x10 +06 kg/cm2. lo cual se indica con la flecha en el paréntesis. Adicionalmente el apoyo B sufre una rotación horaria de 0...025 m EI Fh 0. +50 °C B 2 Ton C 20 cm D F. int.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.00 m 2 Ton 1.15 empleando el Método del Trabajo Virtual. EI 0 25 5 10 2 8 0 4 1 3 .50 m 1. 90 WEXT = WINT 0.006 rad y el elemento BC sufre una variación de temperatura como se muestra. G = 3x10+04 kg/cm2 y t = 1x10-05 (°C)-1 1.5 x 10 x dx . 50 Ton/m 1. 91 Figura II.50 m 1.50 Ton/m 1.69 Ton 1 Ton Sistema Real 2 Ton . ordenándolos en forma tabulada x x 1.06 Ton C D x E A 6.50 m 4.50 Ton/m B C 2 Ton D E A 1.00 m 1.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.68 Ton.00 m 2 Ton 1.50 Ton/m 2 Ton 7.m B 2 Ton 4.50 m 4.15 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a establecer el Sistema real y el Sistema Virtual 1.00 m C B Sistema Real FV = 1 Ton A D E 1.00 m Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan Sistema Virtual sobre los elementos estructurales para ambos sistemas.50 m 1. 58 10 2 5 1 15 10 dx x 3 0 3 0 0.20 Se determina la WEXT y WINT para cada elemento estructural por superposición de todos los efectos que se consideren. estableciendo la igualdad de los trabajos para obtener la componente de deflexión deseada. 1.m C 1 Ton D x A FV = 1 Ton 0 Ton Tramo B-C Xi C=0 Xf B=3 C-D D-E C=0 E=0 D=4 D=4 M x 3 12 m 1. 92 x x 1 Ton B 3 Ton.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.63 .75 x 2 0.5 10 4 1.018 Efectos apoyos de Temperatur a 70 10 5 dx 4.81x 0.006 0. Desplazamiento en 3 0.69 Se determinan los efectos adicionales para cada elemento estructural (En caso de que existan).81 1 2 1 1 x 2 4 1.81x 2x x x x E 1 Ton Sistema Virtual V v 1 N 2 n 1 1.5 x 0.81 2 1 6. 76 1.m 2 y EA = 500 Ton.5 Ton (A) (A) 1.018 1 Eh 1 EI 4 4 x3 2 1 .022 m El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto E (Eh) presenta signo negativo.16 empleando el Método del Trabajo Virtual.038 0. 3 4 4 1.63 10 2 0.018 0.00 m (A) 0.5 Ton/m D B (I) C (A) (A) (I) E (A) (A) A F 2.63 10 2 0. 0 12 0 0 2 x x dx .00 m .691 dx 1.00 m G 1. lo cual se indica con la flecha en el paréntesis. 81 x x dx 0 .. Considerar en AC y BC solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales. Usar EI = 1500 Ton. 75 x 0 . AE Eh 3 4 4 0 0 0 21 dx 21 dx 6.. 1..ENERGIA DE DEFORMACIÓN.81 1 dx 1.____________________ 0.5 Ton 2.70 10 5 1.022 m Eh 0. 4 0 0 AG 0 1 ...5 x 0.018 EI AG AE Eh 0.00 m 0. 93 WEXT = WINT 0. 5) Calcular la deflexión horizontal del nodo G de la estructura mostrada en la Figura II.00 m 1.63 10 2 53...811 dx 2 1 dx . 8 x x dx ..018 9.047 10.896 40.20 3 x 2 . indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza virtual aplicada en E. 5√2Ton 0 Ton A 1 Ton.75 Ton Sistema Real 0.00 m 1. se encuentran actuando en los elementos.00 m 1.16 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a establecer el Sistema real y el Sistema Virtual 0.00 m Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas. 0.5 Ton 0.5 Ton A F 2. mientras que la Compresión (C) será negativa.75 Ton 1 Ton G F .m F 1.5 Ton/m x D B C 0 Ton x 0.5 Ton 0 Ton G 0. Por otra parte las fuerzas dibujadas en los D.00 m E 0. 94 Figura II.00 m 2.00 m A Fv = 1 Ton 2.00 m 1.5 Ton/m D C B 0. ordenándolos en forma tabulada y Sistema Virtual considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo.00 m B Sistema Real D C E 1.75 Ton 0.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.5 Ton 0.25 Ton E 0.00 m 1.C.L.5 Ton 1.00 m G 2. 95 x D C 0 Ton 1 Ton √2 Ton 0 Ton E √2 Ton 2 Ton B x 1 Ton F A 20 Ton.25 -0.914 AE Se determina la WEXT y WINT para cada elemento estructural por superposición de todos los efectos que se consideren.5√2 0 0 n (Ton) 0 0 2 1 √2 -√2 1 G 1Ton Sistema Virtual 2 Ton FV = 1 Ton nNL/AE 0 0 -1.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.375 2 x 1 3 2 x 20 2 0.25 x 2 0.50 -0. estableciendo la igualdad de los trabajos para obtener la componente de deflexión deseada.75 0 -0.125 x 0.5/AE 0 -√2/AE 0 0 -2.m Efectos de flexión Tramo Xi Xf A-B A = 0 B = 2√2 B-C C=0 Efectos axiales Barra L (m) CD 1 DE 1 EG 1 FG 1 CE √2 FE √2 CF 2 2 Ton M m 0.25 x 2x B=2 AE (Ton. .m2) AE AE AE AE AE AE AE 2 N (Ton) -0. Es por ello que se requiere Determinar la componente de deflexión horizontal del nodo F de empleando el Método del Trabajo Virtual a fin de determinar la mínima separación entre ambas edificaciones.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.914 20 dx 0.914 0. 1 Gh 1 EI 0.0096 m EI AE Gh 0.25 x 2 x dx 2 AE 0 0.5 m 3m 1 Ton/m E F 2m D 2m 2m B A 3m 4m C 4m 2m 2m 4m .0096 m El valor obtenido para el desplazamiento traslación horizontal del punto G (Gh) presenta signo positivo.17 corresponde a un galpón industrial el cual se construirá adosada a una edificación existente a su derecha. Considerar solo efectos axiales y que los apoyos B y C pueden desplazarse 0. 1.25 x 2 0.35 cm 2 y un 1 Ton/m 2 Modulo de Elasticidad (E) de 2100 Ton/cm .100 2. 6) La estructura mostrada en la Figura II.125 x 2 2 0 2 96 2 3 2x 2.03 m (). Todos los miembros tienen un área de sección transversal (A) de 19.375 2 x 1 Gh 23. indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en G. 5 m 3m F E 2m D Fv = 1 Ton 2m 2m B A 3m 4m C 4m 2m 2m Sistema Virtual 4m .5 m 3m 1 Ton/m E F 2m D 2m 2m B A 3m 4m C 4m 2m 2m 4m Sistema Real 1.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.17 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a establecer el Sistema real y el Sistema Virtual 1 Ton/m 1. 97 Figura II. ENERGIA DE DEFORMACIÓN.5 Ton C 0 Ton .67 Ton 1 Ton B G C 6 Ton 8/3 Ton 6 Ton Sistema Real e 0 0 d 0 1. se encuentran actuando en los elementos.12 Ton E 1 Ton D 1.33Ton 1 Ton 4 Ton A 8/3 Ton 4 Ton 6.67 Ton 0 5 Ton 5 Ton 5.83 Ton 0 0 G B 0. mientras que la Compresión (C) sera negativa. 2 Ton 3 Ton 3 Ton e 2 Ton f 1.33 Ton h 5.67 Ton 0.C.33 Ton 2 Ton 2.L.4 Ton F i 5.33Ton 1.4 Ton 0 E D 1 Ton 2 Ton d 6.5 Ton f 0 0 0 0 0 0 i 1 Ton h 1 Ton g F 1 Ton Fv = 1 Ton 0 0.67 Ton 0 2.83 Ton a 0 c 1.33 Ton 6 Ton 6 Ton 1.33 Ton g 5.67 Ton 1 Ton A 4/3 Ton 0. Por otra parte las fuerzas dibujadas en los D.67Ton 1. 98 Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas.33 Ton a 0 c 3. ordenándolos en forma tabulada y considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo.83 Ton 0. 33 -1.33 5.33 1.5.ENERGIA DE DEFORMACIÓN. Teorema de Castigliano El 1ER Teorema de Castigliano también puede ser empleado para determinar componentes de deflexión de un punto cualesquiera de una estructura elástica estable y determinada. Esta basado en el Principio del Trabajo real de una fuerza el cual se analizo en la sección anterior y establece que “la componente de deflexión de un punto de la estructura es igual a la primera derivada parcial de la Energía de Deformación Interna Total (UTOTAL) respecto a una fuerza que actúa en dicho punto y en la misma dirección de la deflexión que se requiere determinar” [5. Pn II.32 0.001935 0. II.001935 N(Ton) 3.001935 0.04 11018.33 5. Estructura deformada por la acción de las cargas externas reales .33 5.33 5.33 -6 n(Ton) 1.018 AE 2100 10 4 Fh 0.18.018 m El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto F (Fh) presenta signo positivo.33 54434. 99 Sistema Virtual Barra A-a a-D D-c c-G E-i i-h h-g g-F B-E L(m) 2.67 1.5 ∑ nNL/A 7184.001935 0.04 5509.23 1145.001935 0. indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza virtual aplicada en F.11 1145.001935 0.18. estableciendo la igualdad de los trabajos para obtener la componente de deflexión deseada.09 9302.09 5509.03 b 1 N n 54434. (i’) (i) Pi P2 P2 (i) Pi + dPi P1 P1 a) Estructura sometida a un estado general de cargas b) Estructura deformada debido a un incremento (dPi) de Pi Figura II. la cual se encuentra Para ilustrar el PTeorema analicemos la estructura de la Figura n Di sometida a un estado general de cargas externas.833 1 1 1 1 -0.001935 0.001935 0.833 -0.88 3603. nb 1 Fh 0.32 Se determina la WEXT y WINT para cada elemento estructural por superposición de todos los efectos que se consideren.67 -0.5 0.5 2.5 2 2 4 2 2 4 6 A(m2) 0.67 -1.001935 0.11 11018. en donde WEXT = WINT. Si consideramos solo efectos axiales entonces debemos derivar las Ec. o a M.. 100 Supongamos que una fuerza Pi se incrementa un valor diferencial (dPi) y tomando en cuenta que el WEXT es una función de las cargas externas (P1.Pn). entonces por la Regla de la Cadena se obtiene lo siguiente WINT 1 N 2 x dx N x dx N x Pi P 2 0 A E P A E 0 L Di Para armaduras L nb N L P A E Di N b 1 (24) (25) De forma análoga puede demostrarse que para los efectos de flexión..P2. corte y torsión la componente de deflexión requerida (Di) es . (5 y 6) obtenidas en la sección anterior respecto a P.. observándose que las fuerzas axiales internas serán una función de x y de P.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.. entonces dPi producirá un incremento diferencial del Trabajo Interno (W INT) teniéndose que n n i 1 i 1 WINT dWINT WINT WINT dPi Pi (22) en donde puede demostrarse que al despreciar algunos términos de segundo orden la componente de deflexión (traslaciones y/o rotaciones) del punto de aplicación de la fuerza Pi en su misma dirección viene dada por Di WINT Pi (23) Entonces para determinar la deflexión de un punto de la estructura debe obtenerse la derivada parcial del WINT para cada efecto interno que actúe sobre los elementos estructurales. en donde P puede ser una fuerza puntual en caso de requerir una traslación o un par de momento M en caso de una rotación [5. obteniéndose lo siguiente L N x dx M x dx V x dx M x c V x . llevando a cabo los pasos siguientes: 1. es contraria a la dirección de la fuerza P o M.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.. . P A E 0 P E I P A G 0 Di N x 0 L L dx T x . T x P J G 0 L (29) II. pórticos. 29 en otros casos (vigas. Un signo negativo en el valor de D i significa que la deflexión tiene un sentido opuesto al supuesto inicialmente.. Se aplican la Ec. Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada. el cual denominaremos el “Método de Castigliano”. etc) para cada elemento estructural. 26. Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales los cuales serán una función de P o M. 4.. 101 M x dx P E I L (26) Di M x 0 dx V x P A G L (27) Di c V x 0 L T x dx P J G (28) Di T x 0 Luego la componente de deflexión total se obtiene superponiendo las Ecuaciones (24. En caso de que no exista dicha carga se coloca una carga ficticia (P o M) que actué en dirección de la componente de deflexión a determinar. se determina si existen cargas reales aplicadas en dirección de la componente de deflexión que se desea determinar las cuales llamaremos P si se requiere determinar traslaciones o M si se desean determinar rotaciones.1. 3. marcos.6.. Ahora podemos establecer una metodología general de análisis para determinar componentes de deflexión (traslaciones y/o rotaciones) de una estructura elástica estable y determinada basado en el 1ER Teorema de Castigliano. Procedimiento General de Análisis (Método de Castigliano) II. 2. es decir. Método de Castigliano para el cálculo de desplazamientos. 25 en caso de una armadura o la Ec. 27 y 28). determinándose la componente de deflexión deseada (Di) igualando P o M al valor de la acción aplicada en el punto considerado y en la dirección de Di (será igual a cero en el caso de que se aplique la carga ficticia).6. C. D.C. Tomar en cuenta solo efectos de flexión. BC y CD ya que presentan diferentes estados de carga. para determinar las reacciones en la viga se muestra en la Figura II. entonces la sustituimos por la fuerza P.2.50 m D (I) 1. Para ilustrar la aplicación del Método de Castigliano resolveremos paso a paso el EJEMPLO DEMOSTRATIVO que se muestra en la Figura II.50 m Figura II. 6 KN RAx A P 2 KN.20. de la estructura con la fuerza P actuando en dirección de Dv.50 m 1.50 m Figura II. la cual es distinta para los tramos AB.50 m 1.50 m Figura II. otro . 102 II. obteniéndose la estructura mostrada en la Figura II.m A (I) B C (I) 1. D. Estructura demostrativa de análisis.m B C D RCy RAy 1.50 m 1. El D.C. se observa que existe una carga real aplicada en dirección de la traslación que se desea determinar.19. Paso 1: Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada. 6 KN P 2 KN.20.L. una para el tramo AB (corte 1-1).19.21. Ejemplo Demostrativo.50 m D (I) 1.ENERGIA DE DEFORMACIÓN. para calcular las reacciones en apoyos. Luego deben hacerse tres secciones (o cortes).m2 6 KN 1 KN 2 KN.50 m 1. Determinar la componente de deflexión en dirección de la Fuerza de 1 KN que actúa en el extremo D de la viga mostrada en la Figura II.6. Paso 2: Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales los cuales serán una función de P o M [3.21. Usar EI = 9800 KN.m (I) B C (I) 1. Las fuerzas internas en cada elemento serán una función de la distancia x.19 empleando el Método de Castigliano.L.L. x 0 KN 6 KN 2. lo cual corresponde a los limites de integración.2. .33 – 0.83 x 4.5 Px 3.5P N B V M N P x 2 KN. Entonces Tramo A–B B–C C-D Xi A=0 B = 1.2.22. D.67 x 0.m D V Figura II. las expresiones de todos los esfuerzos internos en función de P ((P)) y al evaluar a P ((P = Carga real)) y las derivadas parciales respecto a P de cada esfuerzo interno. Luego los valores de las reacciones asi como las fuerzas internas en cada tramo se indican en los D. de la Figura II.5 x x M(P = 1) 1.L.V.22.5 M 2.33 x 0.33 – 0.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.67 + 1. Trabajo Interno para los efectos considerados en el análisis de la estructura en función de la carga P.C.5P 0 KN P A x 0 KN N V 6 KN M A x 2. de cortes de la estructura para calcular las fuerzas internas.V. 103 para el tramo BC (corte 2-2) y otra para el tramo CD (3-3) tal y como se hizo en el Método del T.5 D=0 Xf B = 1. similar a la empleada en el Método del T.5P M A 2.C.5 x 0 .L. Para determinar la parte derecha de la Ecuación (29) introduciremos el uso de la TABLA II.5P x B x C 2 KN.5 C=3 C = 1.17 x 9 x2 TABLA II. Paso 3: Se aplica la Ecuación (29) para cada tramo de la viga.33 – 0. determinándose la componente de deflexión deseada (Dv) igualando P a 1 KN. Dicha tabla contendrá el tramo analizado.5 Px 9 Px 2 M/P 0 . el valor de x al inicio y al final del tramo.m D 3. .ENERGIA DE DEFORMACIÓN. 4. 1 Dv 1 EI 104 3 0 1.3. 1) Determinar el desplazamiento vertical del nodo C del marco de la Figura II. indicando que este se produce en la misma dirección que la fuerza ficticia P aplicada en D..53 10 4 m EI Dv 3.5 x 2 x dx 0 3.5 KN/m Sección Transversal C B (I) 20 cm X 5 KN (I) 4.17 x 9 0. 1 EI Dv 1.5 x dx . II. Tomar en cuenta efectos de flexión. Ejemplos Resueltos..23 X 20 cm .459 3. Usar E = 200 GPa y G = 77 GPa.5 x dx 4. cortante y axial.53 10 4 m El valor obtenido para el desplazamiento de traslación vertical del punto D (Dv) presenta signo positivo. 1..23 empleando el Método de Castigliano.00 m Figura II.5 1.00 m A 4.5 .83x 0.6.00 m 2. . 105 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a aplicar la Fuerza P o el Par M. 1 Cv 1 EI 5x 22 4 dx 12 4 dx 0.B’ B’.00 m Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas..00 m 2.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.00 m A 4. 0 .563 x 2 P 0 0 P 9 P 9 0 1 N/P 1 1 Se determina Di por superposición de todos los efectos que se consideren para cada elemento estructural..5 KN/m C B P 5 KN 4. según sea el caso en dirección de la componente de deflexión deseada 4. 4 0 4 1 1 0.188 x 3 Px V V/P N 5 0 0.5625 x 2 1 9 1 dx AG 0 AE 0 ..1875x x dx 4 2 3 0 2 4 . ordenándolos en forma tabulada y evaluando a P o M x B 5 KN C B’ Tramo A .B C-B Xi A=0 B’ = 2 C=0 Xf B=2 B=4 B=4 P x x 5 KN A M M/P 22 5 x – 4P 22 4 P 4 9-P 12 4 P 4 x 0. ENERGIA DE DEFORMACIÓN.24 empleando el Método de Castigliano.5 10 6 0.0094 m El valor obtenido para el desplazamiento traslación vertical del punto C (Cv) presenta signo negativo.0094 m EI AG AE Cv 0.0094 3. según sea el caso en dirección de la componente de deflexión deseada .00 m 3.m C 4.24 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a aplicar la Fuerza P o el Par M. indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza ficticia P aplicada en C. Usar EI = 1500 Ton. Cv 106 251. lo cual se indica con la flecha en el paréntesis.9 10 6 4. 2) Calcular la deflexión horizontal del nodo C de la estructura de la Figura II. considerando solo efectos de flexión.m2 .20 12 36 0. 2 Ton/m 2 Ton/m B 10 Ton.00 m Figura I.00 m A 3. 00 m 3.4 Px 0.67 Px 0.0.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.67P M(P) M/P 2 B = 5 0. 107 2 Ton/m 2 Ton/m C B 10 Ton.2 x 0.67 x M(P = 0) 0.029 m .64 x 0 2 3 5.64 x 5.11x 3 x 0.4 x dx 0. ordenándolos en forma tabulada y evaluando a P o M 2 Ton/m x P 2 Ton/m C B 10 Ton.00 m A 3.029 m EI Ch 0.2 x 0.m P 4.67 x dx 0 Ch 44.64 x 2 5.4 x B = 3 0. Ch 1 EI 5 0.00 m Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas.m x A Tramo A-B B-C Xi A=0 C=0 1 + 0.218 0.11x 3 x 0.11x 3 x Se determina Di por superposición de todos los efectos que se consideren para cada elemento estructural.67P 8-P Xf2 .2 x 0. lo cual se indica con la flecha en el paréntesis.00 m Figura II. Usar EI = 1500 Ton. indicando que este se produce en sentido contrario que la fuerza ficticia P aplicada en C. 3) Calcular la rotación de la barra DF respecto a F en la estructura mostrada en la Figura II.25 empleando el Método de Castigliano._____________________ 2 Ton/m A B (I) (A) (A) 3.00 m (A) (A) 3.25 D (A) (I) F E 3. Considerar en AB y DF solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales.00 m .ENERGIA DE DEFORMACIÓN. 108 El valor obtenido para el desplazamiento de traslación horizontal del punto C (Ch) presenta signo negativo.m 2 y EA = 500 Ton.00 m C 3. Por otra parte las fuerzas dibujadas en los D.00 m 3. .5 x 2.m A B 6 – M/3 D 6 – M/3 x x 0 Ton 0 Ton 0 Ton 3 Ton M C E 6 – M/3 Efectos de flexión 0 Ton F Tramo Xi Xf M’(M) M’(M = 0) M’/M 9 Ton 3x 9 0 3x 9 A-B A=0 B=3 2 D-F F=0 D = 32 0.00 m (A) (I) (A) (A) C D M F E 3.L.5 x 2 2.C. se encuentran actuando en los elementos.24 Mx M 0.12 x 0.00 m Se realiza el análisis estático para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actúan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas. según sea el caso en dirección de la componente de deflexión deseada 2 Ton/m B A (I) (A) (A) 3.24 x 1 0. mientras que la Compresión (C) será negativa. 109 Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a aplicar la Fuerza P o el Par M.m2) N (M) EA -(6-M/3) N/ M 1/3 N(M=0) N(N/M)L/AE -6 -6 -6 AE Se determina Di por superposición de todos los efectos que se consideren para cada elemento estructural.12 x Efectos axiales Barra L (m) BD 3 EA (Ton. 2 Ton/m 9 Ton.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.00 m 3. ordenándolos en forma tabulada evaluando a P o M y considerando que la Tensión (T) en armaduras genera trabajos internos positivo. ..12 x 0. 1.El desplazamiento de un punto de la estructura es igual a la derivada parcial de la Energía de Deformación de la estructura. Parte 1: AUTOEVALUACIÓN.5 x 2 2.1.. .7. II. F 1 EI 3 2 0.ENERGIA DE DEFORMACIÓN. lo cual se indica con la figura en el paréntesis.014 rad EA 1500 500 rad F 0. 2.12 6 0.014 El valor obtenido para el desplazamiento de rotación del punto F (F) presenta signo negativo.Es la capacidad que tiene la estructura de disipar la energía que ingresa a la estructura debido a un sistema general de cargas por deformación elástica. Ejercicios Propuestos. indicando que este se produce en sentido contrario que el par de momento M aplicado en F.Selección simple: Colocar el número de la definición indicada en la lista (b) en el paréntesis que le corresponda a cada elemento de la lista (a) c/u) Lista (a) Principio del Trabajo Virtual ( ) Energía de Deformación Interna ( ) Teorema de Castigliano ( ) Lista (b) 1.7. II..24 x 1 dx 0 110 6 3.Cuando el trabajo virtual externo al ocurrir el desplazamiento real es igual al trabajo virtual interno debido a la deformación real. 3. .Para determinar la rotación en un punto de una estructura empleando el Principio del Trabajo Virtual debe aplicarse una fuerza puntual unitaria en dirección de dicho desplazamiento ( ).m 2 y EA = 500 Ton 2 Ton 2 Ton/m (2A) C (A) (A) 2 Ton D 2 Ton (A) 4.Para la determinación de componentes de deflexión en una estructura isostática empleando el Principio de Trabajo Virtual deben superponerse un Sistema Real y un Sistema Virtual ( ).. 3.Verdadero y falso: Indicar en cada paréntesis si los siguientes postulados son verdaderos (V) o falsos (F) a.. Considerar en AB y EF solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales.00 m 2 Ton B (2A) E 10 Ton 3..00 m (I) 1.¿Cuáles son las diferencias conceptuales entre el Principio de los Trabajos Virtuales y el Teorema de Castigliano? b. c.00 m 4.ENERGIA DE DEFORMACIÓN. d.. cambios de temperatura y errores de fabricación ( ). 111 2. corte. Usar EI = 1500 Ton. Parte 2: Determinar componentes de deflexión 1.Defina que es la Energía de Deformación Interna c..00 m .Desarrollo: Responda de forma breve las siguientes preguntas a. Calcular la deflexión horizontal del nodo D de la estructura mostrada en la Figura empleando el Método del Trabajo Virtual. flexión y torsión) de cada elemento estructural ( ).50 m (2I) F A 4.2..¿Para que se emplea el Primer Teorema de Castigliano? II.7.El Teorema de Castigliano permite tomar en cuenta los efectos adicionales debido a desplazamiento en los apoyos.La Energía de Deformación Total de una estructura se obtiene superponiendo la contribución de todos los efectos internos (axial. b... 2 Ton/m A C (2I) 2. Considerar en AC y GB solo efectos de flexión y en los demás miembros solo efectos axiales. Usar EI = 1500x10 3 kgf.00 m B (2A) G 2 Ton 2.00 m (I) 4. 112 2.00 m 2 Ton D E (2I) (A) (2A) F (2A) 2 Ton 4.00 m D (2I) 500 kgf B C (I) 1m 6.00 m (2A) (A) (A) 2. Calcular la deflexión horizontal del nodo F de la estructura mostrada en la Figura empleando el Método de Castigliano. Usar EI = 1500 Ton.m2 y EA = 500 Ton para todos los elementos.00 m 4.ENERGIA DE DEFORMACIÓN. Calcular la rotación del nodo B de la estructura de la Figura empleando el Método del Trabajo Virtual. ___________________ 100 kgf/m 100 kgf/m 2. Considerar solo efectos de flexión.m2.00 m A 10 m 10 m 3.00 m . 1x10 06 kg/cm2.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.00 m 5. 113 4.20 m y b = 0.00 m . La sección transversal de los elementos AB. Para el Pórtico mostrado se pide utilizando el Método de Castigliano: a) Calcular la deflexión horizontal del nodo E y b) La rotación del nodo D. BC y DE es h = 0.00 m 3. A) 2.00 m 3.00 m (I. G = 3x10 04 kg/cm2 y c = 1.00 m 3. A) B 1 Ton.00 m 3.20.60 Ton 1.10 m 1 Ton/m C (2I. Considerar efectos de flexión.35 cm2 y un Modulo de Elasticidad E = 2100 Ton/cm2. Comparar ambos resultados.m (I. Todos los miembros tienen un área de sección transversal A = 19.70 Ton 3.00 m E A 1 Ton/m 1.70 m A E 3. 2. 2A) D (I. Usar E = 2.60 Ton H F 3.20 m 2.50 m 4. Determinar la componente de deflexión horizontal del nodo E de la armadura mostrada en la empleando: a) El Método del Trabajo Virtual y b) El Método de Castigliano.60 m G C B D 4. A) 2. corte y axial. Calcular la rotación del nodo B de la estructura empleando: a) El Método del Trabajo Virtual y b) El Método de Castigliano.00 m (2I) D (2I) F (2I) 5 Ton 2. Considerar solo efectos de flexión.00 m 3. Usar EI = 1500 Ton.00 m 3.m2.ENERGIA DE DEFORMACIÓN.00 m A (I) 4.00 m E 3. 114 6. 2 Ton/m (2I) C 5 Ton B (I) 2.00 m 1m .