Capítulo 5 Propiedades y Teoria de los Gasesa

CAPITULO 5 – PROPIEDADES Y TEORIA DE LOS GASES5.1 INRODUCCION Para entender y predecir el comportamiento volumétrico de los reservorios de gas y petróleos como función de la presión, debemos tener conocimiento de las propiedades físicas de los fluidos del reservorio. Estas propiedades de fluidos son normalmente determinadas por experimentos en laboratorio efectuados en muestras de los fluidos reales del reservorio. En ausencia de propiedades medidas experimentalmente, es necesario, en ingeniería petrolera, determinar las propiedades de correlaciones derivadas empíricamente. El objetivo de este capítulo es conocer varias de las correlaciones para propiedades físicas bien establecidas para los gases naturales. 5.2 GENERALIDADES El gas se define como un fluido homogéneo de baja viscosidad y densidad que no tiene un volumen definido sino que se expande para llenar completamente el recipiente que lo contiene. Generalmente el gas natural es una mezcla de gases de hidrocarburos y no hidrocarburos. Los hidrocarburos gaseosos que normalmente se encuentran en el gas natural son metano, etano, propano, butano, pentano y pequeñas porciones de hexano y superiores. Los gases no hidrocarburos (o impurezas) incluyen el dióxido de carbono, sulfuro de hidrógeno y nitrógeno. El conocimiento de las relaciones presión-volumen-temperatura (PVT) y las demás propiedades físicas y químicas de los gases es esencial para resolver problemas en ingeniería de reservorios del gas natural. Estas propiedades incluyen: • Peso molecular aparente, Ma • Gravedad específica, γg • Factor de compresibilidad, z • Densidad, ρg • Volumen específico, V • Coeficiente de compresibilidad isotérmica del gas, cg • Factor volumétrico de formación del gas, Bg • Factor de expansión del gas, Eg • Viscosidad, μg Estas propiedades del gas pueden obtenerse de medidas directas en laboratorio o por predicción de expresiones matemáticas generalizadas. Revisaremos las leyes que describen el comportamiento volumétrico de los gases en términos de presión y temperatura y correlaciones matemáticas que son ampliamente usadas en la determinación de las propiedades físicas de los gases naturales. 5.3 COMPORTAMIENTO DE LOS GASES IDEALES La teoría cinética de los gases postula que los gases son compuestos de un gran número de partículas llamadas moléculas. Para un gas ideal, se asume que el volumen de estas moléculas es insignificante comparado con el volumen total ocupado por el gas. También se asume que estas moléculas no tienen fuerzas atractivas o repulsivas entre ellas, y que todas las colisiones de las moléculas son perfectamente elásticas. Basado en la teoría cinética de los gases anterior, la ecuación matemática denominada ecuación de estado puede derivarse para expresar la relación existente entre la presión p, el volumen V y la temperatura T para una determinada cantidad de moles de gas n. Esta Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 1 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases relación para gases perfectos se llama la ley de los gases ideales y se expresa matemáticamente por la siguiente ecuación: pV = nRT 5.1 donde p = presión absoluta, psia V = volumen, ft3 T = temperatura absoluta, °R n = numero de moles de gas, lb-mole R = la constante universal de los gases que, par alas unidades anteriores, tiene el valor de 10.73 psia ft3/lb-mole °R 5.4 EL NÚMERO DE LIBRAS MOL El número de libras mol, n, es igual a la masa del gas m dividida por su peso molecular M. M m n · 5.2 Reenlazando en la ecuación de los gases da: RT M m pV , _ ¸ ¸ · 5.3 donde m = masa del gas, lb M = peso molecular, lb/lb-mol 5.5 DENSIDAD Debido a que la densidad se define como la masa por unidad de volumen de la sustancia, la ecuación 5.3 puede reordenarse para estimar la densidad del gas a cualquier presión y temperatura: RT pM V m g · · ρ 5.4 donde ρg = densidad del gas, lb/ft 3 Deber resaltarse que lb se refiere a lbs masa en cualquiera de las posteriores discusiones de densidad. Ejercicio 5.1 Tres libras de n-butano se colocan en un vaso a 120° F y 60 psia. Calcular el volumen del gas asumiendo un comportamiento de gas ideal. Solución Paso 1. Se determina el peso molecular del n-butano de la Tabla 2.2 para dar: M = 58.123 Paso 2. Resolviendo la ecuación 5.3 para el volumen del gas: p RT M m V , _ ¸ ¸ · 3 35 . 5 60 ) 460 120 )( 73 . 10 ( 123 . 58 3 ft V · + , _ ¸ ¸ · Ejercicio 5.2 Usando los datos dados en el ejercicio anterior, calcular la densidad del n-butano. Solución Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 2 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Se resuelve para la densidad aplicando la ecuación 5.4: 3 / 56 . 0 ) 580 )( 73 . 10 ( ) 123 . 58 )( 60 ( ft lb g · · ρ Al Ingeniero Petrolero normalmente le interesa el comportamiento de mezclas y raramente debe trabajar con componentes puros de gases. Debido a que el gas natural es una mezcla de componentes de hidrocarburos, las propiedades físicas y químicas de la mezcla pueden determinarse de las propiedades físicas de los componentes individuales en la mezcla mediante el uso de reglas apropiadas de mezclas. Las propiedades básicas de estos gases comúnmente se expresan en términos del peso molecular aparente, volumen estándar, densidad, volumen específico y gravedad específica. Estas propiedades las definimos a continuación: 5.6 PESO MOLECULAR APARENTE Una de las principales propiedades del gas que es frecuentemente de interés para los ingenieros es el peso molecular aparente. Si yi representa la fracción molar del componente “i” de la mezcla de gas, el peso molecular aparente se define a partir del peso molecular individual de los componentes de la mezcla matemáticamente por la siguiente ecuación: ∑ · · n i i i a M y M 1 5.5 donde Ma = peso molecular aparente de una mezcla de gas Mi = peso molecular del componente “i” de la mezcla yi = fracción molar del componente “i” de la mezcla 5.7 VOLUMEN ESTÁNDAR En muchos cálculos de ingeniería del gas natural, es conveniente medir el volumen ocupado por 1 lb-mol de gas a una presión y temperatura de referencia. Estas condiciones de referencia son generalmente de 14.7 psia y 60°F, y normalmente se refieren como las condiciones estándar. Entonces el volumen estándar se define como el volumen de gas ocupado por 1 lb-mol de gas a condiciones estándar. Aplicando las condiciones anteriores a la ecuación 5.1 y resolviendo para el volumen, esto es, el volumen estándar, da: 7 . 14 ) 520 )( 73 . 10 )( 1 ( ) 1 ( · · sc sc sc P RT V 5.6 o sea Vsc = 379.56 scf/lb-mol 5.7 Donde Vsc = volumen estándar, scf/lb-mol scf = pies cúbicos estándar Tsc = temperatura estándar, °R psc = presión estándar, psia 5.8 DENSIDAD DE LA MEZCLA La densidad de una mezcla de gases ideales se calcula simplemente reemplazando el peso molecular del componente puro de la ecuación 5.4 con el peso molecular aparente de de la mezcla de gases para dar: RT pM V m a g · · ρ 5.8 donde ρg = densidad del gas, lb/ft 3 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 3 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases M a = Peso molecular aparente 5.9 VOLUMEN ESPECÍFICO El volumen específico se define como el volumen ocupado por una unidad de masa del gas. Para un gas ideal, esta propiedad puede calcularse por aplicación de la ecuación 5.4 g a pM RT m V v ρ 1 · · · 5.9 donde v = volumen específico, ft3/lb ρg = densidad del gas, lb/ft 3 5.10 GRAVEDAD ESPECÍFICA DEL GAS La gravedad específica se define como la relación de la densidad del gas a la densidad del aire. Ambas densidades se miden o expresan a la misma presión y temperatura. Normalmente la presión estándar Psc y la temperatura estándar Tsc se usan al definir la gravedad específica del gas: aire g g ρ ρ γ · 5.10 Asumiendo que el comportamiento tanto de la mezcla de gas como del aire se describe por la ecuación de gas ideal, la gravedad específica puede entonces expresarse como: sc aire sc sc a sc g RT M p RT M p · γ o 96 . 28 a aire a g M M M · · γ 5.11 donde γg = gravedad específica del gas ρaire = densidad del aire Maire = peso molecular aparente del aire = 28.96 Ma = peso molecular aparente del gas Psc = presión estándar, psia Tsc = temperatura estándar, °R Ejercicio 5.3 Un pozo de gas está produciendo gas con una gravedad específica de 0.65 a un caudal de 1.1 MMscf/dia. La presión y temperatura promedias del reservorio son 1,500 psi y 150°F respectivamente. Calcular: a. El peso molecular aparente del gas b. La densidad del gas a condiciones de reservorio c. El caudal de flujo en lb/dia Solución a. De la ecuación 5.11 se resuelve el peso molecular aparente: Ma = 28.96γg Ma = (28.96) (0.65) = 18.82 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 4 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases b. Aplicar la ecuación 5.8 para determinar la densidad del gas: 3 / _ 31 . 4 ) 610 )( 73 . 10 ( ) 82 . 18 )( 1500 ( ft lb g · · ρ c. Paso 1. Como 1 lb-mol de cualquier gas ocupa 379.56 scf a condiciones estándar, entonces el número de moles diario que el pozo de gas está produciendo puede calcularse de: mol lb n − · · _ 2898 56 . 379 ) 10 )( 1 . 1 ( 6 Paso 2. Determinar la masa diaria m del gas producido de la ecuación 5.2: m = (n)(Ma) m = (2898)(18.82) = 54540 lb/day Ejercicio 5.4 Un pozo de gas está produciendo gas natural con la siguiente composición: Componente γi . CO2 0.05 C1 0.90 C2 0.03 C3 0.02 Asumiendo un comportamiento de gas ideal, calcular: a. El peso molecular aparente b. La gravedad específica c. La densidad del gas a 2000 psia y 150°F d. El volumen específico a 2000 psia y 150°F Solución Componente γi Mi γi * Mi . CO2 0.05 44.01 2.200 C1 0.90 16.04 14.436 C2 0.03 30.07 0.902 C3 0.02 44.10 0.882 Ma = 18.42 a. Aplicar la ecuación 5.5 para calcular el peso molecular aparente: Ma = 18.42 b. Calcular la gravedad específica usando la ecuación 5.11: γg = 18.42 / 28.96 = 0.636 c. Resolver la densidad aplicando la ecuación 5.8: 3 / _ 628 . 5 ) 610 )( 73 . 10 ( ) 42 . 18 )( 2000 ( ft lb g · · ρ d. Determinar el volumen específico de la ecuación 5.9: lb ft v / _ 178 . 0 628 . 5 1 3 · · Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 5 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases 5.11 COMPORTAMIENTO DE LOS GASES REALES Al tratar los gases a muy baja presión, la relación de gases ideales es una herramienta conveniente y generalmente satisfactoria. A presiones más elevadas, el uso de la ecuación de estado de los gases ideales puede conducirnos a errores tan grandes como del orden de 500%, comparados a errores de 2 a 3% a presión atmosférica. Básicamente la desviación de los gases reales de las condiciones de la ley de gas ideal se incrementa a medida que crece la presión y temperatura y varía ampliamente con la composición del gas. Los gases reales se comportan de modo diferente a los gases ideales. La razón para esto es que la ley de los gases perfectos fue derivada bajo la suposición de que el volumen de las moléculas es insignificante y que no hay atracción o repulsión molecular entre ellas. Este no es el caso para los gases reales. Se han desarrollado numerosas ecuaciones de estado con el intento de correlacionar las variables de presión-volumen-temperatura para gases reales con datos experimentales. Con el fin de expresar una relación más exacta entre las variables p, V y T, un factor de corrección llamado factor de compresibilidad de los gases, factor de desviación de los gases, o simplemente factor Z debe introducirse en la ecuación 5.1 para tomar en cuenta el alejamiento de los gases de la idealidad. La ecuación tiene la siguiente forma: pV= znRT 5.12 5.11.1 El Factor z Es una cantidad adimensional y se define como la relación del volumen real de n-moles de gas a T y p al volumen ideal del mismo número de moles a la misma T y p: p nRT V V V z ideal real / ) ( · · Estudios de los factores de compresibilidad del gas natural de varias composiciones han mostrado que los factores de compresibilidad pueden generalizarse con suficiente exactitud para la mayoría de los propósitos de ingeniería cuando son expresados en términos de las dos siguientes propiedades adimensionales: • Presión seudo reducida • Temperatura seudo reducida Estos términos adimensionales se definen por las siguientes expresiones: pc pr p p p · 5.13 pc pr T T T · 5.14 donde p = presión del sistema, psia ppr = presión seudo-reducida, adimensional T = Temperatura del sistema, °R Tpr = Temperatura seudo-reducida, adimensional ppc, Tpc = Presión y Temperatura seudo-críticas, respectivamente, y definidas por las siguientes relaciones: ∑ · · 1 i ci i pc p y p 5.15 ∑ · · 1 i ci i pc T y T 5.16 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 6 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Debe destacarse que estas propiedades seudo críticas, como, ppc y Tpc, no representan las propiedades críticas reales de la mezcla de gas. Estas seudo propiedades se usan como parámetros de correlación en la generación de propiedades del gas. Basado en el concepto de propiedades seudo reducidas, Standing y Katz (1942) presentaron un gráfico generalizado del factor de compresibilidad del gas como se muestra en la Figura 5.1. El gráfico representa factores de compresibilidad de gas natural dulce como función de ppr y Tpr. Este gráfico es generalmente confiable para gas natural con menor cantidad de no hidrocarburos. Es una de las correlaciones más ampliamente aceptadas en la industria de petróleo y gas. Ejercicio 5.5 Un reservorio de gas tiene la siguiente composición de gas: la presión y temperatura inicial del reservorio son 3000 psia y 180 o F, respectivamente. Componente y i . CO2 0.02 N2 0.01 C1 0.85 C2 0.04 C3 0.03 i – C4 0.03 n – C4 0.02 Calcular el factor de compresibilidad del gas bajo condiciones iniciales del reservorio. Solución Componente y i T ci ( o R) y iTci p ci y ipci CO2 0.02 547.91 10.96 1071 21.42 N2 0.01 227.49 2.27 493.1 4.93 C1 0.85 343.33 291.83 666.4 566.44 C2 0.04 549.92 22.00 706.5 28.26 C3 0.03 666.06 19.98 616.0 18.48 i – C4 0.03 734.46 22.03 527.9 15.84 n – C4 0.02 765.62 15.31 550.6 11.01 Tpc = 384.38 ppc = 666.38 Paso 1. Determinamos la presión seudo crítica de la ecuación 5.15: ppc = 666.38 Paso 2. Cálculo de la temperatura seudo crítica de la ecuación 5.16 Tpc = 384.38 Paso 3. Cálculo de la presión y temperatura seudo reducidas aplicando la ecuación 5.13 y 5.14, respectivamente. 5 . 4 38 . 666 3000 · · pr p 67 . 1 38 . 384 640 · · pr T Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 7 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Figura 5.1 Gráfico de factores de compresibilidad de Standing y Katz. (Cortesía de GPSA y GPA Engineering Data Book, EO Edición, 1987.) Paso 4. Determinamos el factor z de la Figura 5.1, para dar: z = 0.85 La ecuación 5.12 puede escribirse en términos del peso molecular aparente Ma y el peso del gas m: RT M m z pV a , _ ¸ ¸ · Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 8 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Resolviendo la relación anterior para el volumen específico del gas y la densidad, da: a pM zRT m V v · · 5.17 zRT pM v a g · · 1 ρ 5.18 donde v = volumen específico, ft3/lb ρg = densidad, lb/ft 3 Ejercicio 5.6 Usando los datos del ejercicio 5.5 y asumiendo comportamiento de gas real, calcular la densidad de la fase gas bajo condiciones iniciales de reservorio. Comparar los resultados con los del comportamiento de gas ideal. Solución Componente y i M i y iMi T ci/ o R y iTci p ci y ipci CO2 0.02 44.01 0.88 547.91 10.96 1071 21.42 N2 0.01 28.01 0.28 227.49 2.27 493.1 4.93 C1 0.85 16.04 13.63 343.33 291.83 666.4 566.44 C2 0.04 30.07 1.20 549.92 22.00 706.5 28.26 C3 0.03 44.10 1.32 666.06 19.98 616.4 18.48 i – C4 0.03 58.12 1.74 734.46 22.03 527.9 15.84 n – C4 0.02 58.12 1.16 765.62 15.31 550.6 11.01 Ma = 20.21 Tpc = 384.38 Ppc = 666.38 Paso 1. Cálculo del peso molecular aparente de la ecuación 5.5: Ma = 20.21 Paso 2. Determinamos la presión seudo crítica de la ecuación 5.15: ppc = 666.38 Paso 3. Cálculo de la temperatura seudo crítica de la Ecuación 5.16: Tpc = 384.38 Paso 4. Cálculo de la presión y temperatura seudo reducida aplicando las Ecuaciones 5.13 y 5.14, respectivamente: 5 . 4 38 . 666 3000 · · pr p 66 . 1 38 . 384 640 · · pr T Paso 5. Determinamos el factor z de la Figura 5.1: z = 0.85 Paso 6. Cálculo de la densidad mediante la Ecuación 5.18: 3 _ 39 . 10 ) 640 )( 73 . 10 )( 85 . 0 ( ) 21 . 20 )( 3000 ( ft lb g · · ρ Paso 7. Cálculo de la densidad del gas asumiendo un comportamiento de gas ideal haciendo uso de la ecuación 5.8: 3 _ 83 . 8 ) 640 )( 73 . 10 ( ) 21 . 20 )( 3000 ( ft lb g · · ρ Los resultados del ejercicio anterior muestran que la ecuación del gas ideal estimó la densidad del gas con un error absoluto de 15% cuando se compara con el valor de densidad encontrada con la ecuación de gas real. Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 9 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases En casos donde la composición de un gas natural no está disponible, las propiedades seudo críticas, ppc y Tpc, pueden predecirse solamente de la gravedad específica del gas. Brown y socios (1948) presentaron un método gráfico para una aproximación conveniente de la presión seudo crítica y temperatura seudo crítica de los gases cuando solo la gravedad específica del gas está disponible. La correlación se presenta en la Figura 5.2. Gravedad Específica del Gas Figura 5.2 Propiedades seudo críticas de gases naturales (Cortesía del grupo GPSA y GPA de Ingeniería 10ma edición, 1987) Standing (1977) expresó esta correlación gráfica en la siguiente forma matemática: Caso 1: Sistemas de Gas Natural 2 5 . 12 325 168 g g pc T γ γ − + · 5.19 2 5 . 37 0 . 15 677 g g pc p γ γ − + · 5.20 Caso 2: Sistemas de Gas-Condensado 2 5 . 71 330 187 g g pc T γ γ − + · 5.21 2 1 . 11 7 . 51 706 g g pc p γ γ − − · 5.22 Donde Tpc = Temperatura Seudo Crítica, o R Ppc = Presión Seudo Crítica, psia γg = Gravedad específica de la mezcla de gas Ejercicio 5.7 Volver a trabajar con el ejercicio 5.5 calculando las propiedades seudo críticas de las ecuaciones 5.19 y 5.20. Solución Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 10 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Paso 1. Cálculo de la gravedad específica del gas: 698 . 0 96 . 28 21 . 20 96 . 28 · · · a g M γ Paso 2. Solución de las propiedades seudo críticas aplicando las ecuaciones 5.19 y 5.20: Tpc = 168 + 325(0.698) - 12.5 (0.698) 2 = 388.8 °R ppc = 677 + 15 (0.698) - 37.5 (0.698) 2 = 669.2 psia Paso 3. Cálculo de ppr y Tpr. 48 . 4 2 . 669 3000 · · pr p 65 . 1 8 . 388 640 · · pr T Paso 4. Determinamos el factor de compresibilidad del gas de la Figura 5.1: z = 0.845 Paso 5. Cálculo de la densidad de la ecuación 5.18: 3 _ 45 . 10 ) 640 )( 73 . 10 )( 845 . 0 ( ) 21 . 20 )( 3000 ( ft lb g · · ρ 5.11.2 Efecto de Componentes No Hidrocarburos en el Factor Z Los gases naturales frecuentemente contienen materiales distintos de componentes hidrocarburos, tales como nitrógeno, dióxido de carbono y sulfuro de hidrógeno. Los hidrocarburos gaseosos se clasifican como dulces o agrios dependiendo del contenido de sulfuro de hidrógeno. Tanto los gases dulces como los agrios pueden contener nitrógeno, dióxido de carbono o ambos. Un hidrocarburo gaseoso es catalogado como gas agrio si contiene un grano de H2S por 100 pies cúbicos. La ocurrencia común de pequeños porcentajes de nitrógeno y dióxido de carbono es, en parte, considerada en las correlaciones citadas anteriormente. Concentraciones de hasta 5 % de estos componentes no hidrocarburos no afectarán seriamente la exactitud. Errores en los cálculos del factor de compresibilidad del orden de 10% pueden ocurrir en concentraciones mayores de componentes no hidrocarburos en mezclas de gas. Hay dos métodos desarrollados para ajustar las propiedades seudo críticas de los gases para determinar la presencia de los componentes no hidrocarburos. Estos son: • Método de corrección Wichert-Aziz • Método de corrección Carr-Kobayashi-Burrows 5.11.2.1 Método de Corrección Wichert-Aziz Los gases naturales que contienen H2S y/o CO2 frecuentemente exhiben diferente comportamiento de factores de compresibilidad a los dulces. Wichert y Aziz (1972) desarrollaron un procedimiento de cálculo simple, fácil de usar, para contabilizar estas diferencias. Este método permite el uso de la gráfica de Standing-Katz, Figura 5.1, por uso de un factor de ajuste de la temperatura seudo crítica, que es una función de la concentración de CO2 y H2S en el gas agrio. Este factor de corrección es entonces usado para ajustar la temperatura y presión seudo críticas de acuerdo a las siguientes expresiones: ε − · pc pc T T ' 5.23 ε ) 1 ( ' ' B B T T p p pc pc pc pc − + · 5.24 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 11 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases donde Tpc = temperatura seudo-crítica, °R ppc = presión seudo-crítica, psia T’pc = temperatura seudo-crítica corregida, °R P’pc = presión seudo-crítica corregida, psia B = fracción molar de H2S en la mezcla de gas ε = factor de ajuste de temperatura seudo-crítica y es definida matemáticamente por la siguiente expresión ε = 120[A 0.9 - A 1.6 ] + 15(B 0.5 - B 4.0 ) 5.25 donde el coeficiente A es la suma de las fracciones molares de H2S y CO2 en la mezcla de gas, o: A = yH2S + yCO2 Los pasos computacionales para incorporar el factor de ajuste ε en los cálculos del factor z se resumen a continuación: Paso 1. Calcular las propiedades seudo-críticas de la mezcla completa de gas aplicando las ecuaciones 5.19 y 5.20 o ecuaciones 5.21 y 5.22. Paso 2. Calcular el factor de ajuste de la ecuación 5.25.  Paso 3. Ajustar las ppc y Tpc seudo críticas (calculadas en el paso 1) aplicando las ecuaciones 5.23 y 5.24. Paso 4. Calcular las propiedades seudo reducidas, ppr y Tpr, de las ecuaciones 5.13 y 5.14 Paso 5. Leer el factor de compresibilidad de la figura 5.1. Ejercicio 5.8 Un gas natural agrio tiene una gravedad específica de 0.7. El análisis composicional del gas muestra que contiene 5% de CO2 y 10% de H2S. Calcular la densidad del gas a 3500 psia y 160°F. Solución Paso 1. Cálculo de las propiedades seudo críticas no corregidas del gas con las ecuaciones 5.19 y 5.20: Tpc = 168 + 325 (0.7) - 12.5 (0.7) 2 = 389.38 °R ppc = 677 + 15 (0.7) - 37.5 (0.7) 2 = 669.1 psia Paso 2. Cálculo del factor de ajuste de temperatura seudo crítica de la ecuación 5.25: ε = 120 (0.15 0.9 - 0.15 1.6 ) + 15 (0.1 0.5 - 0.1 4 ) = 20.735 Paso 3. Cálculo de la temperatura seudo crítica corregida aplicando la ecuación 5.23: T’pc = 389.38 - 20.735 = 368.64 Paso 4. Ajuste de la presión seudo crítica ppc aplicando la ecuación 5.24: 44 . 630 ) 735 . 20 )( 1 . 0 1 ( 1 . 0 38 . 389 ) 64 . 368 )( 1 . 669 ( ' · − + · pc p Paso 5. Cálculo de ppr y Tpr: 55 . 5 44 . 630 3500 · · pr p 68 . 1 64 . 368 460 160 · + · pr T Paso 6. Determinamos el factor z de la Figura 5.1: z = 0.89 Paso 7. Cálculo del peso molecular aparente del gas mediante la ecuación 5.11: Ma = (28.96) (0.7) = 20.27 Paso 8. Solución de la densidad del gas: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 12 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases 3 _ 98 . 11 ) 620 )( 73 . 10 )( 89 . 0 ( ) 27 . 20 )( 3500 ( ft lb g · · ρ 5.11.2.2 Método de corrección Carr-Kobayashi-Burrows Carr, Kobayashi, y Burrows (1954) propusieron un procedimiento simplificado para ajustar las propiedades seudo críticas de los gases naturales cuando están presentes componentes no hidrocarburos. El método puede usarse cuando no está disponible la composición del gas natural. El procedimiento propuesto se resume en los siguientes pasos: Paso 1. Conociendo la gravedad específica del gas natural, calcular la presión y temperatura seudo críticas, aplicando las ecuaciones 5.19 y 5.20. Paso 2. Ajustar las propiedades seudo críticas estimadas usando las dos siguientes expresiones: T’pc = Tpc - 80yCO2 + 130yH2S - 250yN2 5.26 P’pc = ppc + 440yCO2 + 600yH2S - 170yN2 5.27 Donde T’pc = temperatura seudo crítica ajustada, °R Tpc = temperatura seudo-crítica no ajustada, °R yCO2 = fracción molar de CO2 yH2S = fracción molar de H2S en la mezcla de gas yN2 = fracción molar del Nitrógeno p’pc = presión seudo crítica ajustada, psia ppc = presión seudo crítica no ajustada, psia Paso 3. Usar la temperatura y presión seudo críticas ajustadas para calcular las propiedades seudo reducidas. Paso 4. Calcular el factor z de la Figura 5.1. Ejercicio 5.9 Usando los datos del Ejercicio 5.8, calcular la densidad empleando el procedimiento de corrección anterior. Solución Paso 1. Cálculo de las propiedades seudo críticas corregidas de las Ecuaciones 5.26 y 5.27: T’pc = 389.38 - 80(0.05) + 130(0.10) - 250(0) = 398.38 °R p’pc = 669.1 + 440(0.05) + 600(0.10) - 170(0) = 751.1 psia Paso 2. Cálculo de ppr y Tpr: 66 . 4 1 . 751 3500 · · pr p 56 . 1 38 . 398 620 · · pr T Paso 3. Determinamos el factor de compresibilidad del gas de la Figura 5.1: z = 0.820 Paso 4. Cálculo de la densidad del gas: 3 _ 0 . 13 ) 620 )( 73 . 10 )( 82 . 0 ( ) 27 . 20 )( 3500 ( ft lb g · · ρ 5.11.3 Corrección para Gases de Peso Molecular Elevado Debe notarse que el Gráfico (Figura 5.1) del factor de compresibilidad de Standing y Katz se preparó de los datos de mezclas binarias de metano con el propano, etano y butano, Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 13 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases y en los gases naturales, cubriendo una gama amplia en composición de mezclas de hidrocarburos que contienen metano. Ninguna mezcla que tiene pesos moleculares más de 40 se incluyeron al preparar este gráfico. Sutton (1985) evaluó la exactitud del gráfico de factor de compresibilidad de Standing y Katz usando composiciones de gas medidas en laboratorio y factores z, y encontró que el gráfico proporciona la exactitud satisfactoria para cálculos de ingeniería. Sin embargo, las reglas de mezcla de Kay, Ecuaciones 5.15 y 5.16 (o relaciones de gravedad comparables para calcular presión y temperatura seudo-crítica), resultó en factor z poco satisfactorio para gases de reservorio de peso molecular altos. El autor observó que desviaciones grandes ocurren en gases con altas concentraciones de heptano plus. Él señaló que las reglas de mezcla de Kay no deben usarse para determinar la presión y temperatura seudo crítica para reservorios de gas con gravedades específicas mayores de aproximadamente 0.75. Sutton propuso que esta desviación puede minimizarse utilizando las reglas de mezclando desarrolladas por Stewart y socios (1959), junto con el factor de ajuste empírico recientemente introducido (FJ, EJ, y EK) que se relacionan a la presencia de la fracción de heptano plus en la mezcla de gas. El enfoque propuesto se perfila en lo siguiente pasos: Paso 1. Calcular los parámetros j y k de las siguientes relaciones: 2 1 1 3 2 3 1 1 1 ] 1 ¸ + 1 ] 1 ¸ · ∑ ∑ · · ci ci n i i n i ci ci i p T y p T y j 5.28 ci ci n i i p T y K ∑ · · 1 5.29 Donde J = Parámetro de correlación de Stewart-Burkhardt-Voo, °R/psia K = Parámetro de correlación de Stewart-Burkhardt-Voo, °R/psia yi = fracción molar del componente i en la mezcla de gas. Paso 2. Calcular los parámetros de ajuste FJ, EJ, y EK de las siguientes expresiones: 2 7 7 3 2 3 1 + + 1 1 ] 1 ¸ + 1 ] 1 ¸ · C c c C c c j p T y p T y F 5.30 2 7 7 2 434 . 64 004 . 14 1325 . 1 6081 . 0 + + + − + · C j C j j j j y F y F F F E 5.31 ) 3751 . 27 8156 . 4 3129 . 0 ( ) ( 3 7 2 7 7 7 + + + + + − · C C C C c c k y y y p T E 5.32 donde yC7+ = fracción molar del componente heptano-plus (Tc)C7+ = temperatura crítica del C7+ (pc)C7+ = presión crítica del C7+ Paso 3. Ajuste de parámetros J y K aplicando factores de ajuste EJ y EK, según relaciones: J’ = J - EJ 5.33 K’ = K - EK 5.34 donde J, K = calculados de las ecuaciones 2-28 y 2-29 EJ, EK = calculados de las ecuaciones 2-31 y 2-32 Paso 4. Calcular la temperatura y presión seudo-crítica ajustadas de las expresiones: ' ) ' ( 2 ' J K T pc · 5.35 ' ' ' J T p pc pc · 5.36 Paso 5. Habiendo calculado las Tpc y ppc ajustadas se sigue el procedimiento regular para calcular el factor de compresibilidad del gráfico de Standing y Katz. Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 14 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Sutton propuso reglas de mezcla para calcular las propiedades seudo-críticas de gases de reservorio de alto peso molecular, γg > 0.75, lo que mejora significativamente la exactitud del factor z calculado. Ejercicio 5.10 Un sistema de hidrocarburo gaseoso tiene la siguiente composición: Componente γ . C1 0.83 C2 0.06 C3 0.03 n - C4 0.02 n - C5 0.02 C6 0.01 C7+ 0.03 La fracción de heptano plus se caracteriza por un peso molecular y una gravedad específica de 161 y 0.81, respectivamente. a. Usando la metodología de Sutton, calcular la densidad del gas a 2000 psi y 150°F. b. Recalcular la densidad del gas sin ajustar las propiedades seudo críticas. Solución Parte A. Paso 1. Cálculo de las propiedades críticas de la fracción de heptano plus por la correlación de Riazi-Daubert [ ] γ γ γ θ ) ( ) ( ) ( M f e M d c b e M a + + · donde θ = Cualquier propiedad física (Tc, Pc, Tb, Vc, Según Tabla 2.4) a-f = constantes para cada propiedad como se da en la Tabla 2.4 γ = gravedad específica de la fracción M = peso molecular [ ] R e T o C c 1189 81 . 0 ) 161 ( 2 . 544 ) ( ) 81 . 0 ( 61641 . 0 ) 161 )( 10 ( 3478 . 1 0555 . 1 2998 . 0 7 4 · · − − + − [ ] 4 . 318 81 . 0 161 ) 10 ( 5203 . 4 ) ( ) 81 . 0 ( 3084 . 0 ) 161 )( 10 ( 8078 . 1 6015 . 1 8063 . 0 4 7 3 · · − − − + − e p C c Paso 2. Construimos la siguiente tabla: Componente yi Mi Tci pci yiMi yi(Tci/pci yi(Tc/pc)i 0.5 yi(Tc/pc 0.5 )i C1 0,83 16,0 343,33 666,4 13,31 0,43 0,596 11,039 C2 0,06 30,1 549,92 706,5 1,81 0,05 0,053 1,241 C3 0,03 44,1 666,06 616,4 1,32 0,03 0,031 0,805 N – C4 0,02 58,1 765,62 550,6 1,16 0,03 0,024 0,653 N – C5 0,02 72,2 845,60 488,6 1,45 0,04 0,026 0,765 C6 0,01 84,0 923,00 483,0 0,84 0,02 0,014 0,420 C7+ 0,03 161,0 1189,00 318,4 4,83 0,11 0,058 1,999 Total 24,72 0,70 0,802 16,922 Paso 3. Cálculo de los parámetros J y K de las ecuaciones 5.28 y 5.29: J = (1/3)[0.700] + (2/3)[0.802] 2 = 0.662 K = 16.922 Paso 4. Cálculo del factor de ajuste: FJ, EJ y EK por aplicación de las ecuaciones 5.30 a 5.32: [ ] [ ] 0396 . 0 058 . 0 3 2 112 . 0 3 1 2 · + · j F 012 . 0 3 . 0 ) 04 . 0 ( 434 . 64 ) 03 . 0 )( 04 . 0 ( 004 . 14 ) 04 . 0 ( 1325 . 1 ) 04 . 0 ( 6081 . 0 2 2 · + − + · j E Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 15 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases [ ] 386 . 0 ) 03 . 0 ( 3751 . 27 ) 03 . 0 ( 8156 . 4 ) 03 . 0 ( 3129 . 0 634 . 66 3 2 · + − · k E Paso 5. Cálculo de los parámetros J’ y K’ de las ecuaciones 5.33 y 5.34: J’ = 0.662 - 0.012 = 0.650 K’ = 16.922 - 0.386 = 16.536 Paso 6. Cálculo de las propiedades seudo críticas ajustadas de las Ecuaciones 5.35 y 5.36: 7 . 420 65 . 0 536 . 16 2 ' · · pc T 2 . 647 65 . 0 7 . 420 ' · · pc p Paso 7. Cálculo de propiedades seudo reducidas del gas aplicando Ecuaciones 5.13 y 5.14: 09 . 3 2 . 647 2000 · · pr p 45 . 1 7 . 420 610 · · pr T Paso 8. Determinación del factor z de la Figura 5.1: z = 0.745 Paso 9., Cálculo de la densidad del gas mediante la ecuación 5.18: 3 14 . 10 ) 745 . 0 )( 610 )( 73 . 10 ( ) 72 . 24 )( 2000 ( ft lb g · · ρ Parte B. Paso 1. Cálculo de la gravedad específica del gas: 854 . 0 96 . 28 73 . 24 96 . 28 · · · a g M γ Paso 2. Cálculo de las propiedades seudo críticas aplicando las Ecuaciones 5.19 y 5.20: Tpc = 168 + 325(0.854) - 12.5(0.854) 2 = 436.4°R ppc = 677 + 15(0.854) - 37.5(0.854) 2 = 662.5 psia Paso 3. Cálculo de ppr y Tpr: 02 . 3 5 . 662 2000 · · pr p 40 . 1 4 . 436 610 · · pr T Paso 4. Cálculo del factor z de la Figura 5.1, para dar: z = 0.710 Paso 5. De la Ecuación 5.18, calculamos la densidad del gas: 3 64 . 10 ) 710 . 0 )( 610 )( 73 . 10 ( ) 73 . 24 )( 2000 ( ft lb g · · ρ 5.11.4 Calculo Directo de los Factores de Compresibilidad Después de 4 décadas de existencia, el gráfico del factor z de Standing-Katz es aún ampliamente usado como una fuente práctica de los factores de compresibilidad del gas natural. Como resultado, hubo una necesidad aparente para una descripción matemática simple de la gráfica. Varias correlaciones empíricas para el cálculo del factor z se han desarrollado a través de los años. Las siguientes tres correlaciones empíricas se describen a continuación: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 16 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases • Hall-Yarborough • Dranchuk-Abu-Kassem • Dranchuk-Purvis-Robinson 5.11.4.1 El Método de Hall-Yarborough Hall y Yarborough (1973) presentaron una ecuación de estado que representa exactamente la gráfica del factor z de Standing y Katz. La expresión propuesta se basa en las ecuaciones de estado de Starling-Carnahan. Los coeficientes de la correlación fueron determinados ajustándolos a los datos tomados de la gráfica del factor z de Standing y Katz. Hall y Yarborough propusieron la siguiente formula matemática: [ ] 2 ) 1 ( 2 . 1 06125 . 0 t pr e t p z − − 1 ] 1 ¸ Υ · 5.37 donde ppr = presión seudo reducida t = reciproca de la temperatura seudo reducida, Tpc/T Y = densidad reducida que puede obtenerse como solución de la siguiente ecuación: 0 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 ) ( 4 2 3 4 3 2 · Υ + Υ − Υ − Υ − Υ + Υ + Υ + · Υ X X X X F 5.38 2 ) 1 ( 2 . 1 06125 . 0 1 t pr te p X − − − · 3 2 58 . 4 76 . 9 76 . 14 2 t t t X + − · 3 2 4 . 42 2 . 242 7 . 90 3 t t t X + − · t X 82 . 2 18 . 2 4 + · La ecuación 5.38 es una ecuación no lineal y puede ser convenientemente resuelta para la densidad reducida Y usando la técnica de iteración de Newton-Raphson. El procedimiento computacional de resolver la ecuación 5.38 a cualquier presión seudo reducida especificada ppr y temperatura Tpr se resume en los siguientes pasos: Paso 1. Hacer una estimación inicial del parámetro desconocido, Y k , donde k es un contador de iteración superíndice. Un intento inicial apropiado de Y se da por la siguiente relación: 2 ) 1 ( 2 . 1 06125 . 0 t pr k te p − − · Υ Paso 2. Sustituir este valor inicial en la ecuación 5.38 y evaluar la función no lineal. A no ser que el valor correcto de Y se haya seleccionado inicialmente, la ecuación 5.38 tendrá un valor diferente de cero para F(Y): Paso 3. Una nueva estimación mejorada de Y, como Y k+1 , se calcula de la siguiente expresión: ) ( ' ) ( 1 k k k k f f Υ Υ − Υ · Υ + 5.39 donde f’(Y k ) se obtiene evaluando la derivada de la ecuación 5.38 a Y k , o: 1 4 4 4 3 2 ) 4 )( 3 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 4 4 4 1 ) ( ' − Υ + Υ − Υ − Υ + Υ − Υ + Υ + · Υ X X X X f 5.40 Paso 4. Los pasos 2–3 se repiten n veces, hasta que el error, abs(Y k – Y k+1 ), llegue a ser más pequeño que una tolerancia establecida, como 10 -12 : Paso 5. El valor correcto de Y entonces se usa para evaluar la ecuación 5.37 para el factor de compresibilidad. Hall y Yarborough resaltaron que el método no se recomienda para su aplicación si la temperatura seudo reducida es menor a 1. 5.11.4.2 El método de Dranchuk-Abu-Kassem Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 17 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Dranchuk y Abu-Kassem (1975) derivaron una expresión analítica para calcular la densidad reducida del gas que puede usarse para estimar el factor de compresibilidad del gas. La densidad reducida del gas, ρr se define como la relación de la densidad del gas a una presión y temperatura especificadas a la del gas a su presión y temperatura críticas, o c c c c c a c a c r T z p zT p RT z M p zRT pM · · · ρ ρ ρ El factor de compresibilidad crítico del gas zc es aproximadamente 0.27 que conduce a la siguiente expresión simplificada para la densidad reducida del gas: pr pr r zT p 27 . 0 · ρ 5.41 Los autores propusieron la siguiente ecuación de estado de once constantes para calcular la densidad reducida del gas: [ ] 0 1 ) 1 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 11 2 2 11 4 5 3 2 2 1 · + + + − + · − r A r r r r r r e A R R R R f ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 5.42 Con los coeficientes R1 a R4 definidos por las siguientes relaciones: 1 1 ] 1 ¸ + + + + · 5 5 4 4 3 3 2 1 1 pr pr pr pr T A T A T A T A A R 1 1 ] 1 ¸ + + · 2 8 7 6 2 pr pr T A T A A R 1 1 ] 1 ¸ + · 2 8 7 9 3 pr pr T A T A A R 1 1 ] 1 ¸ · 3 10 4 pr T A R 5.43 Las constantes A1 a la A11 fueron determinadas ajustando la ecuación, usando modelos de regresión no lineal, a 1,500 puntos de datos de la gráfica del factor z de Standing y Katz. Los coeficientes tienen los siguientes valores: A1 = 0.3265 A2 = -1.0700 A3 = -0.5339 A4 = 0.01569 A5 = -0.05165 A6 = 0.5475 A7 = -0.7361 A8 = 0.1844 A9 = 0.1056 A10 = 0.6134 A11 = 0.7210 La Ecuación 5.42 puede resolverse para la densidad reducida del gas ρr aplicando la técnica de iteración de Newton-Raphson como se resume en los siguientes pasos: Paso 1. Hacer una estimación inicial del parámetro desconocido, ρr k , donde k es un contador de iteraciones. Una estimación inicial apropiada de ρr k se da por la siguiente relación: pr pr r T p 27 . 0 · ρ Paso 2. Sustituir este valor inicial en la Ecuación 5.42 y evaluar la función no lineal. A menos que el valor correcto de ρr k haya sido seleccionado inicialmente, la Ecuación 5.42 tendrá un valor distinto de cero para la función f(ρr k ). Paso 3. Se calcula un nuevo valor estimado mejorado de ρr, o sea, ρr k+1 , de la siguiente expresión: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 18 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases ) ( ' ) ( 1 k r k r k r k r f f ρ ρ ρ ρ − · + donde [ ] [ ] 2 11 2 11 4 4 3 2 1 1 ( 2 1 ) ( 2 ) ( 5 ) ( 2 ) ( ) ( ' 2 11 r r A r r r r A A e R R R R f r ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ + + + − + · − Paso 4. Los pasos 2 y 3 se repiten n veces, hasta que el error, o sea, |ρr k -ρr k+1 |, llegue a ser más pequeño que una tolerancia pre-establecida, por ejemplo de 10 -12 . Paso 5. El valor correcto de ρr es entonces usado para evaluar la Ecuación 5.41 para el factor de compresibilidad, esto es: pr r pr T p z ρ 27 . 0 · La correlación propuesta se reportó que duplicó los factores de compresibilidad de la gráfica de Standing y Katz con un error promedio absoluto de 0.585 % y es aplicable a los rangos: 0.2 ≤ ppr < 30 1.0 < Tpr ≤ 3.0 5.11.4.3 El Método de Dranchuk-Purvis-Robinson Dranchuk, Purvis, y Robinson (1974) desarrollaron una correlación basada en la ecuación de estado del tipo de Benedict-Webb-Rubin. Ajustando la ecuación a los 1,500 puntos de datos de la gráfica del factor z de Standing y Katz optimizaron los ocho coeficientes de las ecuaciones propuestas. La ecuación tiene la siguiente forma: [ ] 0 ) 1 ( 1 5 ) ( 2 8 2 4 5 3 2 2 1 2 8 · − + + + + + − r A r r r r r T e A T T T T r ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 5.44 con 1 1 ] 1 ¸ + + · 3 3 2 1 1 pr pr T A T A A T 1 1 ] 1 ¸ + · pr T A A T 5 4 2 1 1 ] 1 ¸ · pr T A A T 6 5 3 1 1 ] 1 ¸ · 3 7 4 pr T A T 1 1 ] 1 ¸ · pr pr T p T 27 . 0 5 donde ρr se define por la Ecuación 5.42 y los coeficientes A1 al A8 tienen los siguientes valores: A1 = 0.31506237 A3 = -0.57832720 A5 = -0.61232032 A7 = 0.68157001 A2 = -1.0467099 A4 = 0.53530771 A6 = -0.10488813 A8 = 0.68446549 El procedimiento de solución de la Ecuación 5.44 es similar a la de Dranchuk y Abu-Kassem. El método es válido dentro de los siguientes rangos de temperatura y presión seudo reducida: 1.05 ≤ Tpr < 3.0 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 19 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases 0.2 ≤ ppr ≤ 3.0 5.12 COMPRESIBILIDAD ISOTERMICA DE LOS GASES NATURALES El conocimiento de la variabilidad de la compresibilidad de los fluidos con la presión y la temperatura es esencial al efectuar varios cálculos de ingeniería de reservorios. Para una fase líquida, la compresibilidad es pequeña y usualmente se asume que es constante. Para una fase gaseosa, la compresibilidad no es pequeña ni constante. Por definición, la compresibilidad isotérmica del gas es el cambio en volumen por unidad de volumen para un cambio unitario en la presión o, en forma de ecuación: T g p V V c , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · 1 5.45 donde cg = compresibilidad isotérmica del gas, 1/psi. De la ecuación de estado de los gases reales: p nRTz V · Diferenciando la anterior ecuación con respecto a la presión a una temperatura constante T nos da: 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · , _ ¸ ¸ ∂ ∂ 2 1 p z P z p nRT p V T Substituyendo en la Ecuación 5.45 produce la siguiente relación generalizada: T g p z z p c , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · 1 1 5.46 Para un gas ideal, z = 1 y (∂z/∂p)T = 0, por lo tanto: p c g 1 · 5.47 Debe destacarse que la Ecuación 5.47 es útil para determinar el orden esperado de magnitud de la compresibilidad isotérmica del gas. La Ecuación 5.46 puede expresarse convenientemente en términos de la presión y temperaturas seudo reducidas simplemente reemplazando p con (ppc ppr), o: pr T pc pr pc pr g p p z z p p c 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ − · ) ( 1 1 Multiplicando la anterior ecuación por ppc resulta: Tpr pr pr pr pc g p z z p c p c 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ − · · 1 1 5.48 El término cpr se conoce como la compresibilidad isotérmica seudo-reducida y se define por la relación: cpr = cgppc 5.49 donde cpr =compresibilidad isotérmica seudo-reducida cg = compresibilidad isotérmica del gas, psi  1 ppc = presión seudo-crítica, psi Los valores de (∂z/∂ppr)Tpr pueden calcularse de la pendiente de Tpr isotérmica en la gráfica del factor z de Standing y Katz. Ejercicio 5.11 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 20 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Una mezcla de hidrocarburos gaseosos tiene una gravedad específica de 0.72. Calcular el coeficiente de compresibilidad isotérmica del gas a 2000 psia y 140 °F asumiendo: a. Un comportamiento de gas ideal b. Un comportamiento de gas real Solución a. Asumiendo comportamiento de gas ideal, determinamos cg aplicando la Ecuación 5.47: 1 6 10 500 2000 1 − − · · psi x c g b. Asumiendo un comportamiento de gas real Paso 1. Calculamos Tpc y ppc aplicando las Ecuaciones 5.19 y 5.20 Tpc = 168 + 325(0.72) - 12.5(0.72) 2 = 395.5 °R PPc = 677 + 15(0.72) - 37.5(0.72) 2 =668.4 psia Paso 2. Calculamos ppr y Tpr de las Ecuaciones 5.13 y 5.14. 99 . 2 4 . 668 2000 · · pr p 52 . 1 5 . 395 600 · · pr T Paso 3. Determinamos el factor z de la Figura 5.1: z = 0.78 Paso 4. Se calcula la pendiente [∂z/∂ppr]Tpr = 1.52 022 . 0 − · 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ pr T pr p z Paso 5. Se resuelve para cpr aplicando la Ecuación 5.48: [ ] 3627 . 0 022 . 0 78 . 0 1 99 . 2 1 · − − · pr c Paso 6. Cálculo de cg de la Ecuación 5.49: 1 6 10 543 4 . 668 3627 . 0 − − · · psi x c g Trube (1957) presentó gráficos de los cuales se pueden obtener la compresibilidad isotérmica de los gases naturales. Los gráficos, como se muestran en las Figuras 5.3 y 5.4 dan la compresibilidad isotérmica seudo reducida como función de la presión y temperatura seudo reducidas. Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 21 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Figura 5.3 Compresibilidad seudo-reducida de Trube para gases naturales. (Permiso para publicar por la Society of Petroleum Engineers of AIME. Copyright SPE-AIME.) Ejercicio 5.12 Usando las gráficas generalizadas de Trube, rehacer el Ejercicio 5.11. Solución Paso 1. De la Figure 5.3, se encuentra cpr: cpr = 0.36 Paso 2. Se resuelve para cg aplicando la Ecuación 5.49: 1 6 10 539 4 . 668 36 . 0 − − · · psi x c g Matter, Brar, y Aziz (1975) presentaron una técnica analítica para calcular la compresibilidad isotérmica del gas. Los autores expresaron cpr como función de ∂p/∂ρr en vez de ∂p/∂ppr. La Ecuación 5.41 es diferenciada con respecto a ppr para dar: 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ · 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ pr pr T r r T r pr pr z z z zT p z ρ ρ ρ 1 27 . 0 5.50 La Ecuación 5.50 puede ser substituida en la Ecuación 5.48 para expresar la compresibilidad seudo-reducida como: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 22 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases 1 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − · pr pr T r r T r pr pr pr z z z T z p c ρ ρ ρ 1 27 . 0 1 2 5.51 donde ρr = densidad seudo-reducida del gas. Figura 5.4 Compresibilidad seudo-reducida de Trube para gases naturales. (Permiso para publicar de la Society of Petroleum Engineers of AIME. Copyright SPE-AIME.) La derivada parcial que aparece en la Ecuación 5.51 sale de la Ecuación 5.44 para dar: ) ( 4 2 8 2 8 4 4 3 2 1 2 8 ) 1 ( 2 5 2 r pr A r r r r r T r e A A T T T T z ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − − + + + + · 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ 5.52 donde los coeficientes T1 a T4 y A1 al A8 se definen previamente por la Ecuación 5.44. 5.13 Factor Volumétrico de Formación del Gas Bg, El Factor Volumétrico de Formación del Gas se usa para relacionar el volumen del gas, medido a condiciones de reservorio, al volumen del gas medido a condiciones estándar, o sea 60 o F y 14.7 psia. Esta propiedad del gas es entonces definida como el volumen real ocupado por una cierta cantidad de gas a una presión y temperatura específicas, dividido por el volumen ocupado por la misma cantidad del gas a condiciones estándar. En forma de ecuación, la relación se expresa como: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 23 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases sc T p g V V B , · 5.53 donde Bg = Factor volumétrico de formación del gas, ft 3 /scf Vp,T = Volumen del gas a la presión p y temperatura T, ft 3 Vsc = Volumen del gas a condiciones estándar, scf Aplicando la ecuación de estado de los gases reales, Ecuación 5.12 y sustituyendo por el volumen V, nos da: p zT T p p nRT z p znRT B sc sc sc sc sc g · · donde zsc = Factor z a condiciones estándar = 1.0 psc, Tsc = Presión y temperatura estándar Asumiendo que las condiciones estándar se representan por psc = 14.7 psia y Tsc = 520 o R, la expresión anterior se puede reducir a la siguiente relación: p zT B g 02827 . 0 · 5.54 donde Bg = Factor volumétrico de formación del gas, ft 3 /scf z = Factor de compresibilidad del gas T = Temperatura, °R En otras unidades de campo, el factor volumétrico de formación del gas puede expresarse en bbl/scf, para dar: p zT B g 005035 . 0 · 5.55 5.14 LA EXPANSIÓN DEL GAS La propiedad recíproca del factor volumétrico de formación del gas se llama factor de expansión del gas y se designa por el símbolo Eg, o sea: zT p E g 37 . 35 · scf/ft 3 5.56 En otras unidades: zT p E g 6 . 198 · scf/bbl 5.57 Ejercicio 5.13 Un pozo gasífero está produciendo a un caudal de 15,000 ft 3 /dia de un reservorio de gas a una presión promedio de 2,000 psia y una temperatura de 120 °F. La gravedad específica es 0.72. Calcular el caudal de flujo del gas en scf/dia. Solución Paso 1. Cálculo de las propiedades seudo críticas de las ecuaciones 5.19 y 5.20, para dar: Tpc = 395.5 °R ppc = 668.4 psia Paso 2. Cálculo de ppr y Tpr: 99 . 2 4 . 668 2000 · · pr p Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 24 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases 52 . 1 5 . 395 600 · · pr T Paso 3. Determinación del factor z de la Figura 5.1: z = 0.78 Paso 4. Cálculo del factor de expansion del gas de la Ecuación 5.56: 15 . 151 ) 600 )( 78 . 0 ( 2000 37 . 35 · · g E scf/ft 3 Paso 5. Cálculo del caudal de flujo del gas en scf/día multiplicando el caudal de flujo del gas (en ft 3 /día) por el factor de expansión del gas Eg expresado en scf/ft 3 : Caudal de flujo del gas = (151.15)(15,000) = 2.267 MMscf/día 5.15 VISCOSIDAD DEL GAS La viscosidad del gas es la medida de la fricción interna del fluido o resistencia al flujo que afecta a la caída de presión por influjo del reservorio al agujero del pozo y a lo largo de las instalaciones. Si la fricción entre capas del fluido es pequeña, o sea, baja viscosidad, una fuerza distribuida aplicada resultará en un gradiente de velocidad grande. Mientras la viscosidad aumenta, cada capa del fluido ejerce una mayor fricción de arrastre en las capas adyacentes y el gradiente de velocidad decrece. La viscosidad de un fluido generalmente se define como la relación de la fuerza distribuida por unidad de área al gradiente de viscosidad local. Las viscosidades se expresan en términos de poises, centipoises o micro-poises. Un poise es igual a la viscosidad de 1 dina-seg/cm 2 y puede ser convertido a otras unidades de campo por las siguientes relaciones: 1 poise = 100 centipoises = 1 x10 6 micropoises = 6.72 x10 2 lb mass/ft-sec = 2.09 x10 3 lb-sec/ft 2 La viscosidad del gas comúnmente no se mide en laboratorio porque puede estimarse con precisión de correlaciones empíricas. Como todas las propiedades intensivas, la viscosidad del gas natural es descrito completamente por la siguiente función: μg = f(p,T,yi) donde μg = viscosidad de la fase gas. La relación anterior simplemente establece que la viscosidad es una función de la presión, temperatura, y composición. Varias de las correlaciones para la viscosidad del gas ampliamente usadas pueden ser vistas como modificaciones de la expresión anterior. 5.16 MÉTODOS DE CÁLCULO DE LA VISCOSIDAD DE GASES NATURALES Dos métodos populares que son comúnmente usados en la industria petrolera son: • Método de Carr-Kobayashi-Burrows • Método de Lee-Gonzalez-Eakin 5.16.1 Método de Carr-Kobayashi-Burrows Carr, Kobayashi, y Burrows (1954) desarrollaron correlaciones gráficas para estimar la viscosidad del gas natural como función de la temperatura, presión y gravedad del gas. El procedimiento computacional para aplicar las correlaciones propuestas se resume en los siguientes pasos: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 25 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Paso 1. Calcular la presión seudo-crítica, temperatura seudo-crítica y el peso molecular aparente de la gravedad específica o la composición del gas natural. Correcciones a estas propiedades seudo críticas por la presencia de gases no hidrocarburos (CO2, N2 y H2S) se harían si estos están presentes en concentraciones mayores a 5 % molar. Paso 2. Obtener la viscosidad del gas natural a una atmósfera y la temperatura de interés de la Figura 5.5. Esta viscosidad, denotada por μ1, debe corregirse por la presencia de los componentes no hidrocarburos usando los insertos de la Figura 5.5. Las fracciones no hidrocarburos tienden a incrementar la viscosidad de la fase gas. El efecto de componentes no hidrocarburos en la viscosidad del gas natural puede expresarse matemáticamente por las siguientes relaciones: S H CO N corregido no 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 µ µ µ µ µ ∆ + ∆ + ∆ + · − 5.58 donde μ1=viscosidad del gas corregida a presión atmosférica y temperatura de reservorio, cp (Δμ)N2 = correcciones a la viscosidad debido a la presencia de N2 (Δμ)CO2 = correcciones a la viscosidad debido a la presencia de CO2 (Δμ)H2S = correcciones a la viscosidad debido a la presencia de H2S (μ1)no-corregido = viscosidad del gas no-corregida, cp Figura 5.5 Correlación de viscosidad atmosférica del gas de Carr. (Permiso para publicar por la Society of Petroleum Engineers of AIME. Copyright SPE-AIME.) Paso 3. Calcular la presión y temperatura seudo-reducida. Paso 4. De la presión y temperatura seudo-reducidas, obtener la relación de viscosidad (μg/μ1) de la Figura 5.6. El término μg representa la viscosidad del gas a las condiciones requeridas. Paso 5. La viscosidad del gas, μg, a la presión y temperatura de interés se calcula multiplicando la viscosidad a una atmósfera y temperatura del sistema, μ1, por la relación de viscosidad. Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 26 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Ejercicio 5.14 Un pozo de gas está produciendo a un caudal de 15000 ft 3 /dia de un reservorio con una presión promedia de 2000 psia y una temperatura de 120 o F. La gravedad específica del gas es de 0.72. Calcular la viscosidad del gas. Solución Paso 1. Cálculo del peso molecular aparente del gas: Ma = (0.72)(28.96) = 20.85 Paso 2. Determinación de la viscosidad del gas a 1 atm y 140°F de la Figura 5.5: μ1 = 0.0113 Paso 3. Cálculo de ppr y Tpr: ppr = 2.99 Tpr = 1.52 Paso 4. Determinación de la relación de viscosidad de la Figura 5.6: 5 . 1 1 · µ µ g Temperatura seudo-reducida Figura 5.6 Correlación de Carr de la relación de viscosidad. (Permiso para publicar por la Society of Petroleum Engineers of AIME. Copyright SPEAIME.) Paso 5. Solución de la viscosidad del gas natural: 01695 . 0 ) 0113 . 0 )( 5 . 1 ( ) ( 1 1 · · · µ µ µ µ g g cp Standing (1977) propuso una expresión matemática conveniente para calcular la viscosidad del gas natural a presión atmosférica y temperatura del reservorio, μ1. Standing también presentó ecuaciones para describir los efectos del N2, CO2, y H2S en μ1. Las relaciones propuestas son: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 27 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 N S H CO corregido no µ µ µ µ µ ∆ + ∆ + ∆ + · − 5.59 donde [ ] ) log( ) 10 ( 15 . 6 ) 10 ( 118 . 8 ) 460 ( ) 10 ( 062 . 2 10 ( 709 . 1 ) ( 3 3 6 5 1 g g corregido no T γ γ µ − − − − − − + − − · 5.60 [ ] ) 10 ( 24 . 6 log ) 10 ( 08 . 9 ) ( 3 3 2 2 − − + · ∆ g CO CO y γ µ 5.61 [ ] ) 10 ( 59 . 9 log ) 10 ( 48 . 8 ) ( 3 3 2 2 − − + · ∆ g N N y γ µ 5.62 [ ] ) 10 ( 73 . 3 log ) 10 ( 49 . 8 ) ( 3 3 2 2 − − + · ∆ g S H S H y γ µ 5.63 donde μ1 = viscosidad del gas a presión atmosférica y temperatura de reservorio, cp T = temperatura del reservorio, °R γg = gravedad del gas yN2, yCO2, yH2S = fracción molar del N2, CO2, y H2S, respectivamente Dempsey (1965) expresó la relación de viscosidad μg/μ1 por la siguiente relación: + + + + + + + + · 1 ] 1 ¸ ) ( ln 3 7 2 6 5 4 3 3 2 2 1 0 1 pr pr pr pr pr pr pr g pr p a p a p a a T p a p a p a a T µ µ ) ( ) ( 3 15 2 14 13 12 3 3 11 2 10 9 8 2 pr pr pr pr pr pr pr pr p a p a p a a T p a p a p a a T + + + + + + + + 5.64 donde Tpr = temperatura seudo-reducida de la mezcla de gas, °R ppr = presión seudo-reducida de la mezcla de gas, psia a0 . . . a15 = coeficientes de las ecuaciones que se dan a continuación: a0 = - 2.46211820 a8 = - 7.93385648 (10 -1 ) a1 = 2.970547414 a9 = 1.39643306 a2 = - 2.86264054 (10 -1 ) a10 = - 1.49144925 (10 -1 ) a3 = 8.05420522 (10 -3 ) a11 = 4.41015512 (10 -3 ) a4 = 2.80860949 a12 = 8.39387178 (10 -2 ) a5 = - 3.49803305 a13 = - 1.86408848 (10 -1 ) a6 = 3.60373020 (10 -1 ) a14 = 2.03367881 (10 -2 ) a7 = - 1.044324 (10 -2 ) a15 = - 6.09579263 (10 -4 ) 5.16.2 Método de Lee-Gonzalez-Eakin Lee, Gonzalez y Eakin (1966) presentaron una relación semi-empírica para calcular la viscosidad de los gases naturales. Los autores expresaron la viscosidad del gas en términos de la temperatura del reservorio, densidad del gas y el peso molecular del gas. Su ecuación propuesta está dada por: 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − · Y g X g Ke 4 . 62 4 10 ρ µ 5.65 donde T M T M K a a + + + · 19 209 ) 02 . 0 4 . 9 ( 5 . 1 5.66 a M T X 01 . 0 986 5 . 3 + + · 5.67 X Y 2 . 0 4 . 2 − · 5.68 ρg = densidad del gas a presión y temperatura del reservorio, lb/ft 3 T = temperatura del reservorio, °R Ma = peso molecular aparente de la mezcla del gas Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 28 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases La correlación propuesta puede predecir valores de viscosidad con una desviación estándar de 2.7% y una desviación máxima de 8.99%. La correlación es menos exacta para gases con gravedades específicas muy altas. Los autores resaltaron que el método no puede usarse para gases agrios (sour). Ejercicio 5.15 Rehacer el Ejercicio 5.14 y calcular la viscosidad del gas usando el método de Lee- Gonzalez-Eakin. Solución: Paso 1. Cálculo de la densidad del gas de la Ecuación 5.17: 3 . 8 ) 78 . 0 )( 600 )( 73 . 10 ( ) 85 . 20 )( 2000 ( · · g ρ lb/f 3 Paso 2. Solución de los parámetros K, X e Y usando las Ecuaciones 5.66, 5.67, y 5.68, respectivamente: [ ] 72 . 119 600 ) 85 . 20 ( 19 209 ) 600 ( ) 85 . 20 ( 02 . 0 4 . 9 5 . 1 · + + + · K 35 . 5 ) 85 . 20 ( 01 . 0 600 986 5 . 3 · + + · X 33 . 1 ) 35 . 5 ( 2 . 0 4 . 2 · − · Y Paso 3. Cálculo de la viscosidad de la Ecuación 5.65: 0173 . 0 ) 72 . 119 ( 10 33 . 1 4 . 62 3 . 8 35 . 5 4 · · 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − e g µ cp 5.17 VALOR CALORÍFICO Representa el contenido energético; las ventas de gas son generalmente hechas en términos de valor o poder calorífico que es la energía entregada cuando el gas es quemado. Se lo calcula a partir de los contenidos caloríficos de los componentes individuales de la mezcla: H = ΣyiHi 5.69 5.18 ECUACIONES DE ESTADO DE LOS GASES REALES Habíamos mencionado que a presiones elevadas, el uso de la ecuación de estado de los gases ideales puede conducirnos a errores tan grandes como del orden de 500%, comparados a errores de 2 a 3% a presión atmosférica. Básicamente la desviación de los gases reales de las condiciones de la ley de gas ideal se incrementa a medida que crece la presión y temperatura y varía ampliamente con la composición del gas. Los gases reales se comportan de modo diferente a los gases ideales. La razón es que la ley de los gases ideales fue derivada bajo las siguientes suposiciones: a) El volumen de las moléculas de gas es insignificante comparado con el volumen del recipiente que lo contiene y la distancia entre moléculas b) No existen fuerzas de atracción o repulsión entre moléculas, ni las paredes del recipiente Pero este no es el caso para los gases reales y con la finalidad de superar estas restricciones se han desarrollado numerosas ecuaciones de estado con el intento de correlacionar las variables de presión-volumen-temperatura para gases reales con datos experimentales. Con el fin de expresar una relación más exacta entre las variables p, V y T. La ecuación de estado más simple y al mismo tiempo la más conocida es la Ecuación Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 29 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases 5.12 que expresa: PV = nZRT mencionada en la sección 5.11, que relaciona la variación volumétrica de los gases reales en función de la presión y la temperatura. Esta ecuación es conveniente de usar cuando la presión es cercana a la atmosférica, por ser éstas las condiciones en las que fue determinada en forma experimental. Donde: P = Presión (Psi) V = Volumen (Pie 3 / Mol) n = número de moles del gas (Lb Mol) Z = Factor de compresibilidad para los gases reales R = Constante de los gases (10.73 Psi Pie 3 / Lb Mol o R) T = Temperatura absoluta ( o R) Las Ecuaciones de Estado de los Gases Reales más conocidas son: 5.18.1 Ecuación de Van Der Waals Van der Waals intentó eliminar las suposiciones mencionadas y estableció una ecuación experimental para gases reales, de la siguiente forma: 2 V a b V RT p − − · 5.70 donde p = presión del sistema, psia T = temperatura del sistema, °R R = constante de los gases: 10,73 psi-pie 3 /lb-mol V = volumen, pies 3 /mol. Esta ecuación puede ser expresada en forma más general del siguiente modo: p = p (repulsiva) – p (atractiva) 5.71 que corresponden a cada término de la ecuación 5.70, o sea: .p (repulsiva) = b - V RT y p (atractiva) = V a 2 5.18.2 Ecuación de Redlich-Kwong. Redlich y Kwong, demostraron que con un simple ajuste, el término de la presión de atracción a/V 2 de la ecuación de Van der Waals, se podía mejorar notablemente la predicción de las propiedades físicas y volumétricas de la fase vapor. Los autores reemplazaron el término de la presión de atracción con un término generalizado dependiente de la temperatura. La ecuación adquiere la siguiente forma: 5 . 0 ) ( T b V V a b V RT p + − − · 5.72 donde T es la temperatura del sistema en °R. Fig. 5.7 Isoterma ideal de un componente Redlich y Kwong en el desarrollo de la ecuación, notaron que cuando la presión del sistema se hacía muy grande p → ∞, el volumen molar V de la sustancia se encoge aproximadamente en 26% del volumen crítico sin considerar la temperatura. De acuerdo a ésto, ellos construyeron la ecuación anterior para satisfacer la condición: b = 0.26Vc 5.73 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 30 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Para una sustancia pura, en el punto crítico, hay un volumen crítico que es el máximo y además se produce una inflexión, tal como se muestra en la Fig. 5.7. Por lo tanto se establece que: 0 · 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ c T V p 5.74 0 2 2 · 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ c T V p 5.75 Imponiendo la ecuación de estado a las condiciones del punto crítico, y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, se tiene que: c c b p RT b Ω · 5.76 c c a p T R a 5 . 2 2 Ω · 5.77 donde: Ωa = 0.42747 Ωb = 0.08664 igualando las ecuaciones 5.73 y 5.76 para b, se tiene: pcVc = 0.333RTc 5.78 La ecuación de Redlich-Kwong muestra que para todas las sustancias existe un Z crítico de 0.333. La ecuación 5.72 se puede escribir como una ecuación cúbica para V, efectuando operaciones algebraicas, tal que: 0 5 . 0 2 5 . 0 2 3 · , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ − − + , _ ¸ ¸ − pT ab V b p bRT pT a V p RT V 5.79 Reemplazando el volumen molar V = ZRT/p en la ecuación de R-K, se tiene, en términos de Z: Z 3 -Z 2 +(A-B-B 2 )Z-AB = 0 5.80 donde: 5 . 2 2 c T R ap A · 5.81 RT bp B · 5.82 Esta ecuación da una raíz real en la región monofásica (región de fase gas o líquida) y tres raíces reales en la región de dos fases. En este último caso, la raíz más grande corresponde al factor de compresibilidad de la fase gas Z V , en tanto que la raíz más pequeña corresponde al líquido Z L (ver Fig. 5.8) Redlich y Kwong extendieron la aplicación Fig 5.8 Diagrama de fase PV de un componente puro de sus ecuaciones a las mezclas líquida y gaseosa de hidrocarburos, por medio de aplicar las siguientes reglas: 2 1 5 . 0 1 ] 1 ¸ · ∑ · n i i i m a x a 5.83 ∑ · · n i i i m b x b 1 5.84 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 31 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases donde: n = número de componentes de la mezcla ai = parámetro a de RK para el componente i de la mezcla, bi = parámetro b de RK para el componente i de la mezcla, am = parámetro a de la mezcla bm = parámetro b de la mezcla, xi = fracción molar del componente i en la fase líquida. 5.18.3 Ecuación de Soave-Redlich-Kwong Uno de los aportes mas significativos en el desarrollo de las ecuaciones cúbicas de estado, fué la publicación de Soave, en 1972, que introdujo una modificación en la ecuación de Redlich-Kwong en el parámetro "a" presión de atracción. Soave reemplazó el término a/T 0.5 por un término dependiente de la temperatura más general aα, de la siguiente forma: ) ( b V V a b V RT p + − − · α 5.85 donde α es un factor adimensional que toma el valor de la unidad cuando T=Tc. Para otras temperaturas diferentes a la crítica, este parámetro está definido por la expresión: α= [1+m(1-Tr 0.5 )] 2 5.86 el parámetro m se correlaciona con el factor acentrico, de la siguiente forma: m = 0.480+1.574ω - 0.176ω 2 5.87 donde: Tr = temperatura reducida T/Tc ω = factor acéntrico de la sustancia. Para cualquier componente puro, las constantes a y b de la ecuación de SRK, son halladas imponiendo las restricciones para el punto crítico, tal como se procedió para el caso de la ecuación de RK. Entonces: p T R Ω = a c c 2 2 a 5.88 p RT Ω = b c c b 5.89 donde Ω1 y Ω2 son los parámetros adimensionales de Soave-Redlich-Kwong para componentes puros, con sus valores: Ω1= 0.42747 Ω2= 0.08664 La ecuación de SRK puede ponerse en su forma cúbica y dar: 0 = ) p b a ( - )V b - p bRT - p a ( + V ) p RT ( - V 2 2 3 α α 5.90 La ecuación de SRK, igual que en el caso anterior, da un valor constante del factor Z a la Tc igual a 0.333, de modo que, procediendo análogamente, se tiene: b = 0.26Vc 5.91 Expresando la ecuación cúbica en términos de Z por medio de introducir la relación ZRT/p, se obtiene: Z 3 -Z 2 +(A-B-B 2 )Z-AB = 0 5.92 Donde: 2 ) ( ) ( RT p a A α · 5.93 RT bp B· 5.94 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 32 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases Estas ecuaciones han sido desarrolladas para componentes puros. Para aplicarlas a mezclas de hidrocarburos, los parámetros son los siguientes: ∑ · − · n i i i i i i m k x a x a 1 5 . 0 ) 1 ( ) ( ) ( α α 5.95 ∑ · · n i i i m b x b 1 5.96 con: ) (RT p ) (a = A 2 m α 5.97 RT p b = B m 5.98 El parámetro ki es en realidad un factor de corrección llamado coeficiente de interacción binaria y es determinado empíricamente. 5.18.4 Ecuación de Peng-Robinson Peng y Robinson, en 1975, mostraron la necesidad de mejorar la habilidad de la ecuación de estado para predecir densidades de líquidos y otras propiedades de fluidos particularmente en la vecindad de la región crítica. Como una base para la creación de un modelo mejorado, Peng y Robinson propusieron la siguiente expresión: cb - ) b + (V a - b - V RT = p 2 2 α 5.99 donde a, b y α tienen el mismo significado que para el caso del modelo de SRK y c es un número completo optimizado, analizando Zc y b/Zc. Generalmente se acepta que Zc esté próximo a 0.28 y que b/Vc se aproxime a 0.26. Un valor óptimo de c es 2, lo que dá Zc=0.307 y por lo tanto b/Vc=0.253. Basándose en este valor de c, Peng y Robinson propusieron la siguiente ecuación de estado: b) - b(V + b) + V(V a - b - V RT = p α 5.100 Imponiendo las acostumbradas restricciones al punto crítico y resolviendo el sistema de ecuaciones, se determinan los valores de a y b, dando: p T R = a c c 2 2 a Ω 5.101 p RT = b c c b Ω 5.102 donde: Ωa = 0.45724 Ωb = 0.07780 Esta ecuación predice un factor crítico universal de compresibilidad del gas de 0.307, cercano al de SRK de 0.333. La ecuación de PR también adopta la aproximación de SRK para α: α = [1+m(1-Tr 0.5 )] 2 5.103 donde: m = 0.3746+1.5423ω 0.2699ω 2 5.104 PR ampliaron sus investigaciones más adelante, y en 1978 dieron la siguiente nueva relación: Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 33 PET204 – Ingeniería de Reservorios I Capítulo 5 – Propiedades y Teoría de los Gases m = 0.379642 + 1.48503ω- 0.1644ω 2 + 0.016667ω 3 5.105 Poniendo la ecuación de estado de Peng Robinson en su forma cúbica en función de Z, se tiene: Z 3 + (B-1)Z 2 + (A-3B 2 -2B)Z - (AB-B 2 -B 3 ) = 0 5.106 Ing. Hermas Herrera Callejas Página: 5 - 34