¿Por qué los métodos numéricos?5-1C Con la difusión de poderosas computadoras y paquetes de software, ¿cree que llegará el momento en que la búsqueda de soluciones analíticas para los problemas de ingeniería desaparecerá del programa de estudios de los ingenieros? ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-3C Considere un problema de conducción de calor que se puede resolver analíticamente, al resolver la ecuación diferencial que rige y mediante las condiciones de frontera, o numéricamente por medio de un paquete de software del que disponga en su computadora. ¿Qué procedimiento utilizaría para resolver dicho problema? Explique su razonamiento. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-5C ¿En qué difieren los métodos numéricos de resolución con respecto a los analíticos? ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas de los métodos numéricos y los analíticos? ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… Formulación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales 5-7C Defina estos términos usados en la formulación en diferencias finitas: nodo, malla (red nodal), elemento de volumen, espaciamiento nodal y ecuación en diferencias. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.5-9 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. con un coeficiente de convección de h y una temperatura ambiente de T0 . Mediante la forma de diferencias finitas de la primera derivada (no el enfoque del balance de energía). Conducción unidimensional de calor en estado estacionario 5-11C Explique cómo se obtiene la forma de diferencias finitas de un problema de conducción de calor por el método del balance de energía. 3 y 4. La red nodal del medio consta de los nodos 0. obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de flujo de calor uniforme q en la frontera izquierda (nodo 0) y convección en la frontera derecha (nodo 4). con un espaciamiento nodal uniforme de x. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-13C Considere un medio en el que la formulación en diferencias finitas de un nodo interior general se da en su forma más simple como . 1. ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-17 Una aleta circular de sección transversal uniforme. con un diámetro de 10 mm y longitud de 50 mm. La aleta es de un material con una conductividad térmica de 240 W/m · °C y está expuesta a una condición de aire ambiental de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 250 W/m2· °C. b) determine las temperaturas nodales a lo largo de la aleta al resolver esas ecuaciones y compare los resultados con la solución analítica y c) calcule la transferencia de calor y compare el resultado con la solución analítica. . obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para determinar las temperaturas nodales. bidimensional o tridimensional? c) ¿Se tiene generación de calor en el medio? d) ¿El espaciamiento nodal es constante o variable? e) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 5-15C ¿Cómo se puede tratar un nodo sobre una frontera aislada como uno interior en la formulación en diferencias finitas de una pared plana? Explique.a) ¿La transferencia de calor en este medio es de estado estacionario o en régimen transitorio? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional. a) mediante el método de balance de energía. se adhiere a una pared con temperatura superficial de 350ºC. Suponga que la transferencia de calor unidimensional se produce a lo largo de la aleta y que el espaciamiento nodal es uniforme de 10 mm. . 1. 5-21 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. 3. obtenga la formulación en diferencias finitas para la razón de la transferencia de calor en la frontera izquierda. con un espaciamiento nodal uniforme de x. obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de aislamiento en la frontera izquierda (nodo 0) y radiación en la frontera derecha (nodo 4). 2. 4 y 5. Asimismo.5-19 Considere la conducción de calor en estado estacionario en una pared plana cuya superficie izquierda (nodo 0) se mantiene a 40°C en tanto que la derecha (nodo 8) se sujeta a un flujo de calor de 3000 W/m 2. . con una emisividad de є y una temperatura de los alrededores de Talred . Exprese la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera 0 y 8 para el caso en el que no hay generación de calor. Mediante el enfoque del balance de energía. La red nodal del medio consta de los nodos 0. 3 m. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario y se toma el espaciamiento nodal de 6 cm. y b) determine la temperatura de la otra superficie de la pared al resolver esas ecuaciones. conductividad térmica k = 2. a) obtenga la formulación en diferencias finitas para los seis nodos. . la cual resulta ser T= 60°C. El lado izquierdo de la pared está sujeto a flujo de calor de q·0= 350 W/m2al mismo tiempo que se mide la temperatura en esa superficie.5-31 Considere una pared plana grande de espesor L = 0.5 W/m · °C y área superficial A _12 m2. 5-33I Repita el problema 5-32I descartando la transferencia de calor por radiación desde la superficie superior.7°F. 78.4°F . Respuestas: b) 78. y d) la razón de la transferencia de calor desde la superficie completa con aletas de la placa. . en un medio ambiente a 35°C.5 cm. es de 30 W/m· °C.4 cm entre sí. La aleta pierde calor por convección hacia el aire ambiente que está a T . con un espaciamiento nodal uniforme de _x. 1 (a la mitad) y 2 (en la punta). Se estima que el coeficiente de transferencia de calor entre las aletas y el aire circundante. para convección y radiación combinadas. Las aletas tienen 2 cm de largo y 0. con conductividad térmica constante. y están separadas 0. c la razón de la transferencia de calor desde una sola de las aletas. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario a lo largo de la aleta y se toma el espaciamiento nodal como de 0. b) las temperaturas nodales a lo largo de la aleta al resolver estas ecuaciones.3 cm de espesor. 5-37 Uno de los lados de una placa vertical de 2 m de alto y 3m de ancho que está a 80°C se va a enfriar al sujetarle aletas de aluminio (k = 237 W/m · °C) de perfil rectangular. Todas las temperaturas están en °C. con un coeficiente de transferencia de calor de h. Mediante el enfoque del balance de energía obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema con el fin de determinar T1 y T2 para el caso de temperatura específica en la base de la aleta y transferencia de calor despreciable en la punta de la misma. determine a) la formulación en diferencias finitas de este problema.5-35 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una aleta de pasador de diámetro constante D. La red nodal de la aleta consta de los nodos 0 (en la base). . 95. Respuestas: b) 98.5-39 Repita el problema 5-38 al usar aletas de cobre (k = 386 W/m · °C) en lugar de las de aluminio. 97. 96.0°C.7°C.5°C .6°C. 95.5°C. 96.7°C. Respuestas: 52.55°C .92°C.72°C.1 W/m · °C) con una longitud de 25 cm y un diámetro de 25 mm. El motor DC está rodeado por aire ambiental de 20ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 25 W/m 2· °C. también las temperaturas nodales.5-41. Mediante un espaciamiento nodal uniforme de 5 cm a lo largo del eje del motor. mientras que la temperatura base del eje del motor es de 90°C.03°C. 34. determine las ecuaciones en diferencias finitas y tras resolverlas. Un motor DC alimenta de energía mecánica a un eje giratorio de acero inoxidable (k=15.58°C. 26. 23. 22. 52. 39.87°C . 24.1 W/m ·°C) con un espesor de 1 m experimenta una generación uniforme de calor de 1 000 W/m3.5-43 Una pared plana de acero inoxidable (k= 15. determine las temperaturas nodales. El lado izquierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de 70°C y el lado derecho de la pared está expuesto a una temperatura del aire ambiental de 0°C con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 250 W/m2· °C.5°C.2 m. Mediante un espaciamiento nodal uniforme de 0.5°C.3°C. Respuestas: 62. a) obtenga las ecuaciones en diferencias finitas y b) tras resolverlas. 5.0°C. Conducción de calor bidimensional en estado estacionario 5-49C ¿Qué es una frontera irregular? ¿Cuál es una manera práctica de manejar las superficies con fronteras irregulares con el método de las diferencias finitas? ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-51C Considere un medio en el cual se da la formulación en diferencias finitas de un nodo interior general en su forma más simple.Con un tamaño uniforme de malla dex= t. como a) ¿La transferencia de calor en este medio es en estado estacionario o en régimen transitorio? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional. . mientras que la superficie superior está dada como 100 sen(x/60). derecha y superficies inferiores. determine a) las ecuaciones en diferencias finitas y b) las temperaturas nodales. bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿El espaciamiento nodal es constante o variable? e) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 5-53 Considere la transferencia bidimensional de calor en una sección transversal rectangular (60 cm x30 cm) con temperaturas preestablecidas de 0°C a la izquierda. Las temperaturas medidas en puntos seleccionados sobre las superficies exteriores son como se muestran. Respuestas: T1 =T4= 93°C. Sugerencia: Aproveche la ventaja de la simetría. Mediante el método de las diferencias finitas con un tamaño de malla de x=y =1. T2= T3= 86°C .0 cm. La conductividad térmica del cuerpo es k= 20 W/m · °C y no hay generación de calor.5-55 Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en una barra sólida larga cuya sección transversal se da en la figura. determine las temperaturas en los puntos indicados en el medio. 5-57 Considere la transferencia estacionaria bidimensional de calor en una barra larga y sólida de secciones transversales a) cuadrada y b) rectangular. T2=T3=T4=190°C .0 cm. determine las temperaturas en los puntos indicados en el medio. Las temperaturas medidas en los puntos seleccionados de las superficies exteriores son como se muestra. Respuestas: a) T1=185°C. La conductividad térmica del cuerpo es k = 20 W/m · °C y no hay generación de calor. como se muestra en la figura. Usando el método de diferencias finitas con una malla de dimensiones x = y =1. La conductividad térmica del cuerpo es k=150 W/m · °C y se genera calor en éste de manera uniforme con una velocidad de e= 3 _ 107W/m3.5-59 Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en un cuerpo sólido largo cuya sección transversal se da en la figura P5-59. determine a) las temperaturas en los nodos 1. Las temperaturas en los nodos seleccionados y las condiciones térmicas en las fronteras son como se muestran. 2. . y b) la razón de la pérdida de calor desde la superficie superior a través de una sección de 1 m de largo del cuerpo. con un tamaño de malla de x=y =10cm. Mediante el método de las diferencias finitas. 3 y 4. La emisividad de la superficie exterior de la pared es є= 0. y hacia el cielo por radiación. . b) determine las temperaturas en los puntos nodales de una sección transversal y c) evalúe la razón de la transferencia de calor para una sección de 1 m de largo de la chimenea. con un coeficiente de transferencia de calor de ho =18 W/m2· °C.9y se estima que la temperatura efectiva del cielo es de 250 K. Mediante el método de las diferencias finitas con x= y =10 cm y si se aprovecha plenamente la ventaja que da la simetría. a) obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario.4 W/m · °C) de sección transversal rectangular. La temperatura promedio de los gases calientes en la chimenea es T=280°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección dentro de esta última es hi =75 W/m2· °C. La sección de flujo de la chimenea tiene 20 cm x 40 cm y el espesor de la pared es de 10 cm.5-69 Los gases calientes de la combustión de un horno fluyen por una chimenea de concreto (k = 1. La chimenea pierde calor por convección desde su superficie exterior hacia el aire ambiente que está a T = 15°C. Respuestas:b) 78. 72.5-73 Considere una barra sólida larga cuya conductividad térmica es k = 5 W/m · °C y su sección transversal se da en la figura. La superficie izquierda está aislada y las tres superficies restantes están sujetas a convección con el aire ambiente que está a T= 25°C. con un coeficiente de transferencia de calor de h _ 40 W/m2· °C.7°C. Mediante el método de las diferencias finitas con un tamaño de malla de x=y= 10 cm.8°C.6°C . a) obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para transferencia de calor bidimensional en estado estacionario y b) determine las temperaturas nodales desconocidas al resolver esas ecuaciones. La superficie superior de la barra se mantiene a 50°C. 64. en tanto que la inferior se mantiene a 120°C.