MOMENTO DE UM BINÁRIOUm binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por uma distância perpendicular d, como mostra a figura. Como a força resultante é nula, o único efeito de um binário é produzir rotação ou tendência de rotação em determinada direção. O momento produzido por um binário é chamado de momento de umbinário. MOMENTO DE UM BINÁRIO Podemos determinar seu valor calculando a soma dos momentos das forças que compõem o binário em relação a qualquer ponto arbitrário. Por exemplo, na figura, os vetores posição rA e rB são orientados do ponto O para os pontos A e B, respectivamente, que se localizam na linha de ação de –F e F. O momento do binário calculado em relação a O é, portanto: M = rA x (-F) + rB x F MOMENTO DE UM BINÁRIO Em vez de somar os momentos de ambas as forças para determinar o momento binário, é mais simples tomar os momentos em relação a um ponto localizado na linha de ação de uma das forças. Se, por exemplo, o ponto A é escolhido, então o momento de –F é zero, e se tem: M = r x F O fato de se obter o mesmo resultado em ambos os casos pode ser demonstrado observado-se que no primeiro caso se escrever M = (rB - rA) x F e, pela regra do triângulo de adição vetorial, rA + r = rB ou r = rB – rA. Assim, por substituição se obtém a equação (M = r x F) . Esse resultado indica que o momento de um binário é um vetor livre, isto é, pode atuar em qualquer ponto, pois M depende apenas do vetor posição r, que é orientado entre as forças, não se encontrando ligado ao ponto arbitrário O. Isso não acontece com os vetores posição rA e rB, que tem origem no ponto O e extremidade nas forças. Esse conceito é, portanto, diferente do momento de uma força, que requer um ponto (ou eixo) definido em relação ao qual o momento é determinado. Formulação Escalar: O momento de um binário, M (figura), é definido com intensidade dada por: M = F.d Onde F é a intensidade de uma das forças e d é a distância perpendicular ou braço do momento entre as forças. A direção e o sentido do momento binário são determinados pela regra da mão direita, pela qual o polegar indica a direção e o sentido quando os demais dedos estão curvados com o sentido de rotação provocado pelas duas forças. Em todos os casos, M atua perpendicularmente ao plano contendo essas forças. Formulação Vetorial: O momento de um binário pode também ser expresso pelo produto vetorial utilizando a equação: M = r x F A aplicação dessa equação pode ser facilmente lembrada tomando-se os momentos de ambas as forças em relação a um ponto sobre a linha de ação de uma delas. Se os momentos são tomados em relação ao ponto A na Figura, por exemplo, o momento de –F é nulo em relação a esse ponto, e o momento de F é definido a partir da Equação acima. Portanto, nessa formulação, r é multiplicado vetorialmente por F, que é a força em cuja direção r está orientado. Binários Equivalentes Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. Como o momento produzido por um binário é sempre perpendicular ao plano que contém as forças desse binário, é necessário que as forças de binários iguais estejam ou no mesmo plano ou em planos paralelos entre si. Dessa forma, as direções dos momentos gerados por esses binários serão as mesmas, isto é, perpendiculares aos planos paralelos. Como os momentos de binários são vetores livres, podem ser aplicados a qualquer ponto P de um corpo e somados vetorialmente. Por exemplo, dois binários atuando em planos diferentes do corpo na figura (a) devem ser substituídos pelos seus correspondentes momentos de binários M1 e M2, como na figura (b). Esses vetores livres podem ser movidos até o ponto arbitrário P e somados para se obter o momento de binário resultante Mr = M1 + M2 , como mostrado na figura (c). Se mais de dois momentos de binário atuam no mesmo corpo, pode-se generalizar esse conceito e escrever o vetor resultante como: MR = ∑(r x F) Momento de Binário Resultante Pontos Importantes • Um momento de binário é produzido por duas forças não colineares que são iguais em intensidade e direção, mas tem sentidos opostos. Seu efeito é o de produzir tão- somente rotação ou tendência de rotação, uma direção específica. • Um momento de binário é um vetor livre e, como resultado, ele provoca o mesmo efeito de rotação em um corpo, independentemente de seu ponto de aplicação nesse corpo; • O momento gerado pelas duas forças do binário pode ser calculado em relação a qualquer ponto. Por conveniência, esse ponto freqüentemente é escolhido na linha de ação de uma das forças, com a finalidade de eliminar o momento dessa força em relação ao ponto; • Nos casos tridimensionais, o momento de binário costuma ser determinado por meio da formulação vetorial, M = r x F , onde r tem origem em qualquer ponto sobre a linha de ação de uma das forças e extremidade em qualquer ponto sobre a linha de ação da outra força F; • Um momento de binário resultante é simplesmente a soma vetorial de todos os momento de binários do sistema EXEMPLO. 4.10 pg 127 Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrado na Figura 4.29a. Substitua esse binário por um equivalente, composto por um par de forças que agem nos pontos A e B. O momento de um binário tem intensidade M = Fd = 40 (0,6) = 24 N.m, orientado perpendicularmente e para fora da página, uma vez que as forças tendem a girar no sentido anti-horários. Mé um vetor livre e por isso pode ser aplicado em qualquer ponto da engrenagem, conforme a Figura 4.29b. Para preservar o sentido de rotação de M, forças verticais atuam pelos pontos A e B, que devem ser orientadas como mostrado na Figura 4.29c. A intensidade de cada forças é: M = Fd 24 N.m = F (0,2 m) F = 120 N EXEMPLO. 4.11 pg 128 Determine o momento de binário que age no elemento mostrado na figura 4.30a. O momento binário pode ser calculado em relação a qualquer ponto: Para o ponto D (Análise Vetorial): M = 120 (0 pé) – 90 lb (2 pés) + 90 lb (5 pés) + 120 lb (1 pé) M = 390 lb.pés É mais fácil, no entanto, determinar os momentos em relação aos pontos A ou B com o objetivo de eliminar o momento de forças que atuam nesses pontos. Para o ponto A (Análise Escalar): M = 90 lb (3 pés) + 120 lb (1 pé) M = 390 lb.pés Para o ponto B (Análise Escalar): M = 90 lb (3 pés) + 120 lb (1 pé) M = 390 lb.pés EXEMPLO. 4.12 pg 129 Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura de tubos mostrada na Figura 4.31a. O segmento AB está orientado em 30° abaixo do plano x-y. Apesar de esse problema ser apresentado em três dimensões, a geometria é simples o suficiente para se usar a equação escalar M = Fd. M = Fd = 25 lb . (6 cos 30°) pol M = 129,9 lb.pol EXEMPLO. 4.73 pg 132 Um momento torsor de 4 N.mé aplicado ao cabo de uma chave de fenda. Decomponha esse momento de binário em um par de binários F exercido no cabo e P atuando na lâmina de ferramenta. M F = ∑M F ( 0,03 ) = 4 N.m F = 133 N M P = ∑M P ( 0,005 ) = 4 N.m P = 800 N EXEMPLO. 4.74 pg 132 O momento de binário resultante criado pelos dois binários atuantes no disco é MR = {10k}kip.pol. Determine a intensidade da força T. M R = ∑M T 10 = T (9) + T (2) T = 0,909 kip EXEMPLO. 4.76 pg 132 O sistema de rodízio é submetido a dois binários. Determine as forças F que os dois mancais criam no eixo de modo que o momento de binário resultante no rodízio seja nulo. ∑M A = 0 500 (50) – F (40) = 0 F = 625 N EXEMPLO. 4.78 pg 133 Dois binários atuam na viga. Determine a intensidade de F, de modo que o momento de binário resultante seja 450 lb.pés no sentido anti- horário. Em que local da viga o momento de binário resultante atua? M R = ∑M 450 lb.pés = 200 (1,5) + F cos 30 o (1,25) F = 138,56 lb O momento par resultante é um vetor livre. Pode atuar em qualquer ponto da viga. EXEMPLO. 4.82 pg 133 Dois binários atuam na viga mostrada na figura. Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário resultante seja 300 lb.pés no sentido anti-horário. Em que local da viga o momento de binário resultante atua?