Capítulo 4.- Modelo numérico

CapítuloCapítulo Modelo matemático Modelo matemático "Ya pronto se acerca el fatal momento; ¿tranquila lo esperas? ¡Temblando lo espero!" Manuel Paso Sumario del capítulo 4. INTRODUCCIÓN 4.1. DOMINIO DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA TABLA 3.1.- .- DOMINIO DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA 4.2. VISIÓN GENERAL DEL MODELO TABLA 3.2.- .- DEFINICIÓN DE EJES Y MAGNITUDES 4.3. HIPÓTESIS DE PARTIDA 4.4. CONCEPTOS GENERALES 4.4.1. ECUACIÓN DE DISPERSIÓN 4.4.2. EL NÚMERO DE ONDA 4.4.3. OBLICUIDAD 4.4.4. CELERIDAD DE GRUPO 4.4.5. VELOCIDAD ORBITAL 4.4.6. DISIPACIÓN DE ENERGÍA 4.4.6.1. Disipación debida a fricción con el fondo 4.4.6.2. Disipación debida a rotura de oleaje TABLA 3.3.- .- BORE EMPLEADO PARA DESCRIBIR LA ROTURA EN SPILLING 4.4.7. ENERGÍA DEL OLEAJE 4.4.8. TENSIÓN DE RADIACIÓN TABLA 3.4.- .- PRESIONES EN UN FLUJO ESTÁTICO TABLA 3.5.- .- PRESIONES EN UN FLUJO EN MOVIMIENTO MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 4 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO TABLA 3.6.- .- TENSIÓN DE RADIACIÓN Y SET-UP 4.4.9. SET-UP 4.4.10. CORRIENTES INDUCIDAS POR EL OLEAJE 4.4.10.1. Corriente euleriana en ondas de Stokes 4.4.10.2. Corriente lagrangiana en ondas de Stokes 4.4.10.3. Modelo de undertow de Okayasu, Watanabe e Isobe (1.990) 4.4.10.4. Modelo de undertow de Cox y Kobayashi (1.997) 4.4.10.5. Corrientes integradas en la vertical (modelo 2DH) 4.5. EL MODELO DE BATTJES Y JANSSEN (1.978) 4.5.1. DESCRIPCIÓN DE LA EVOLUCIÓN DE LA ALTURA DE OLA 4.5.1.1. Fracción de olas rotas TABLA 3.7.- .- EJEMPLO DE APROXIMACIÓN DE LA ECUACIÓN [4.38] TABLA 3.8.- .- EVALUACIÓN DE QB POR MÉTODOS NUMÉRICOS 4.5.1.2. Simplificación de la formulación de Qb TABLA 3.9.- .- VALORES DE QB INTERPOLADOS TABLA 4.1.- INTERPOLACIÓN DE QB TABLA 4.2.- ALGUNOS AJUSTES A LA FUNCIÓN QB 4.5.1.3. Evaluación del resto de los parámetros 4.5.2. INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ENERGÍA Y MOMENTO 4.5.2.1. Ecuación de la energía 4.5.2.2. Ecuación del momento 4.5.3. CONSIDERACIONES 4.6. EL MODELO DE DALLY, DEAN Y DALRYMPLE (1.985) 4.6.1. FUNDAMENTOS 4.6.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES RESPECTO DEL MODELO BJ78 4.7. MODELO DE LARSON (1.995) 4.7.1. INTRODUCCIÓN 4.7.2. DESARROLLO TEÓRICO 4.8. APLICACIÓN DEL MODELO DE LARSON (1.995) AL MODELO D3 4.8.1. INTRODUCCIÓN 4.8.2. APLICACIÓN DEL MODELO 4.9. MODELO DE TRANSPORTE SÓLIDO TABLA 3.10.- .- ESQUEMA DE DEFINICIÓN DE LAS CUATRO ZONAS DE TRANSPORTE SÓLIDO QUE SE CONSIDERAN 4.9.1. FORMULACIÓN DEL TRANSPORTE SÓLIDO 4.10. MODELO MORFODINÁMICO MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 2 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA 4. INTRODUCCIÓN 4.1. Dominio de la simulación numérica La zona espacial donde se ejecutará la simulación es el perfil transversal de la playa. La figura 4.1 define las coordenadas espaciales y la posición del perfil. Tabla 3.1.- .- Dominio de la simulación numérica En la figura 4.1, la oblicuidad 1 inicial se representa por α 0 , y se mide en el contorno del modelo, supuesto en profundidades indefinidas 2 . Las zonas en el perfil se pueden clasificar por medio de su profundidad relativa, definida como L d e · según sigue: − Profundidades reducidas: e < 0.05 − Profundidades intermedias: 0.05 < e < 0.5 − Profundidades indefinidas: e > 0.5 1 A efectos del presente modelo, se define la oblicuidad como el ángulo formado por la ortogonal al oleaje y la dirección del perfil de la playa 2 Es decir, donde la profundidad es mayor que una semilongitud de onda MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 3 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4.2. Visión general del modelo La primera tarea a llevar a cabo en cualquier problema que involucre la hidrodinámica del perfil de playa y su variación bajo la acción del oleaje consiste en el cálculo de la evolución de la altura de ola - media cuadrática o significante, dependiendo del tipo de modelo de que se trate -, o bien el periodo del oleaje y la densidad de energía, promediada en el tiempo, en cada uno de los puntos en que se discretiza el perfil para su modelación. Tabla 3.2.- .- Definición de ejes y magnitudes Este trabajo se divide aquí en dos partes: transformación de oleaje e hidrodinámica. La primera parte tratará de la descripción del campo de oleaje a lo largo del perfil; en la segunda, se calcularán las corrientes debidas al oleaje en cada punto. Una vez terminada la definición del oleaje en el perfil se estará en condiciones de utilizar un modelo de transporte para evaluar el movimiento de sedimentos y poder calcular así la evolución del perfil. Este problema será objeto de posteriores publicaciones. Lo que resulta evidente es la necesidad de disponer de un modelo de oleaje de rápida ejecución, dado que habrá de recalcularse el campo de oleaje cada vez que se modifique el perfil por efecto del transporte sólido. Es por tanto, preferible utilizar modelos sencillos y de fácil manejo, siempre y cuando su precisión sea razonable. En este libro, el modelo de transformación de oleaje que se utiliza es el debido a Battjes y Janssen (1.978), que por su sencillez y facilidad de manejo resulta ideal para utilizar con fines didácticos. En el epígrafe siguiente se indican algunas ideas MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 4 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA fundamentales relativos al modelo, dejando para los posteriores la exposición de conceptos básicos. 4.3. Hipótesis de partida El modelo matemático que se utilizará como herramienta básica supone asumidas las siguientes hipótesis de partida: Uniformidad en la dirección longitudinal. Esto implica que para toda función F involucrada en el proceso, se verifica que 0 y F · ∂ ∂ . Es decir, se supone que no hay variación alguna en el sentido longitudinal. Concretamente, que la playa es cilíndrica, o lo que es lo mismo, que todos los perfiles son exactamente iguales. Validez de la teoría lineal. Condiciones estacionarias. Debido a ello, se verifica que para cualquier función F involucrada en el proceso, 0 t F · ∂ ∂ El periodo del oleaje se mantiene constante a lo largo del perfil, salvo que se produzca la rotura. 4.4. Conceptos generales 4.4.1. Ecuación de dispersión La longitud de onda se calcula asumiendo la teoría de oleaje de pequeña amplitud. Sus hipótesis básicas son: Pequeños valores de las relaciones H/L y H/d La profundidad y el periodo de oleaje son constantes Bidimensionalidad del fenómeno en el plano x-z Las olas son periódicas y con forma constante El fluido es incompresible El agua del mar es un fluido ideal sin viscosidad En estas condiciones, la relación de dispersión (que describe la dependencia de la celeridad con la frecuencia del oleaje) puede ser escrita como: MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 5 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO ω 2 = g·k·tanh(k·d) [4.1] y, dado que ω · 2π/T y k = 2π/L ello conduce a: ( ) d k tanh gT L ⋅ · π 2 2 [4.2] La ecuación [4.6] ha de ser resuelta por iteraciones, dado que el número de onda, k, es una función de la longitud de onda, L. Por otra parte, si se elimina la función hiperbólica, que puede ser escrita como: ( ) ( ) ( ) x x x tanh ⋅ − + ⋅ − − · 2 exp 1 2 exp 1 [4.3] entonces la expresión para la longitud de onda será: , _ ¸ ¸ ⋅ − + , _ ¸ ¸ ⋅ − − · − − 1 1 0 4 exp 1 4 exp 1 i i i L d L d L L π π [4.4] donde L 0 es la longitud de onda en profundidades indefinidas, obtenida como π 2 2 0 gT L · , y L i y L i-1 son, respectivamente, las iteraciones i-ésima y (i-1)-ésima de la función L. El final del cálculo se verifica cuando se alcanza un determinado criterio de convergencia, previamente admitido (por ejemplo: cuando 3 1 10 − − < − i i L L ). Cuando una corriente U, cuya representación vectorial es j V i U U + · , actúa sobre una playa, aparece un nuevo término, denominado como σ, que intenta tomar en consideración la interacción entre ésta y el oleaje. Se denomina frecuencia relativa, y su relación con la frecuencia absoluta, ω, viene dada por la relación de Doppler, que se escribe como: U K • + ·σ ω [4.5] donde K es el vector número de onda, como se definirá más adelante (ver 4.6.2). La ecuación [4.9] puede escribirse como: ω = σ + U·k·cos a + V·k·sen α [4.6] Si únicamente actúa la corriente longitudinal, la ecuación [4.10] se transforma en ω = σ + V·k·sen α [4.7] MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 6 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA La ecuación [4.11] es útil igualmente para modelar la acción que el oleaje ejerce sobre sí mismo, a través de la corriente longitudinal que genera. 4.4.2. El número de onda El número de onda es un vector cuya dirección es la del oleaje propagándose hacia la costa. Se puede definir como el gradiente de fase del oleaje, θ, es decir: θ d K gra · , lo que implica su irrotacionalidad 3 . Su módulo depende del valor de la longitud de onda, según la relación siguiente: L k π 2 · [4.8] 4.4.3. Oblicuidad La irrotacionalidad del vector número de onda implica que, dado que sus componentes son (k cos α, k sen α), donde k se ha definido previamente (ecuación [4.12]), ello significa que 0 cos sen · ∂ ⋅ ∂ − ∂ ⋅ ∂ y k x k α α [4.9] Dado que se ha asumido uniformidad en la dirección longitudinal, no hay variación en la dirección y, y por tanto el segundo sumando es nulo. Por tanto: cte k · ⋅ α sen [4.10] La ecuación [4.14] es conocida como Ley de Snell. El valor de la constante es perfectamente conocido, como es trivial comprobar. Será cte = k 0 ·sen α 0 . Por tanto, el valor de la oblicuidad en cada punto resulta ser: i i k k 0 0 sen arcsen α α ⋅ · [4.11] 4.4.4. Celeridad de grupo La celeridad de grupo se refiere a la velocidad de propagación del oleaje. Dado que la dirección de propagación está definida por el vector número de onda, K , el vector celeridad de grupo se puede escribir en función de su módulo, C g , como 3 Pues deriva de un potencial (ver ecuación [4.4]) MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 7 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO K C C g g ⋅ · [4.12] El módulo del vector es k C g ∂ ∂ · σ , resultando: ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ + ⋅ · kd kd d k tanh k g C g 2 senh 2 1 2 1 [4.13] 4.4.5. Velocidad orbital La velocidad orbital en las proximidades del fondo se calcula con el fin, entre otros, de obtener la disipación de energía del oleaje debida a la fricción con el fondo. Su formulación, en función de la frecuencia relativa, σ, la altura de ola media cuadrática, Hrms, la profundidad, d y el número de onda, k, se puede escribir como: ( ) kd sinh H U rms orb 2 σ · [4.14] que debe ser evaluada en cada punto. Dado que la interacción oleaje - corriente no se suele considerar en la primera etapa de cálculo 4 , puede considerarse σ = ω en la primera iteración, obtenida ésta última a partir de la relación de dispersión, según ( ) ( ) kd tanh gk · ω . Una vez se ha obtenido la corriente, la frecuencia debe ser corregida con el término de velocidad, según [4.9] y realizar una segunda iteración. 4.4.6. Disipación de energía La disipación de energía del oleaje se verifica de varias maneras. En el presente libro trataremos las más básicas: por fricción con el fondo y por rotura del oleaje. A su vez, la disipación de energía por rotura presenta muchas particularidades, siendo cada una de ellas, con frecuencia, objeto de estudios y ponencias. A pesar de las simplificaciones que aquí se emplean, y que se consideran necesarias en una primera toma de contacto con el problema, no se estima que se pierda eficacia, dado que durante la construcción de un modelo es sencillo implementar nuevas subrutinas y módulos que lo perfeccionen. 4 Se calcula inicialmente suponiendo que no existe corriente. Se obtiene ésta con los resultados y se procede al recálculo con la corriente obtenida. MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 8 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA 4.4.6.1. Disipación debida a fricción con el fondo Tolman (1.972) definió la siguiente expresión para la disipación de energía del oleaje por fricción con el fondo: 3 3 2 orb w f u f D ρ π · [4.15] en la que son: u orb : velocidad orbital de las partículas cerca del fondo 5 f w : parámetro de fricción El valor de f w fue obtenido por Nielsen (1.992) como: 683 . 0 3 . 0 ≥ · orb w u r si f σ 683 . 0 3 . 6 5 . 5 exp 2 . 0 < 1 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · orb orb w u r si u r f σ σ [4.16] En las ecuaciones [4.20], r es el parámetro de Nikuradse, obtenido en función del tamaño medio de las partículas, como r = 2.5·D 50 [4.17] 4.4.6.2. Disipación debida a rotura de oleaje Battjes y Janssen (1.978) 6 utilizaron una ecuación para evaluar la disipación de energía debida a la rotura del oleaje que suponía éste como irregular, y con una distribución de alturas de ola en cada registro siguiendo la distribución de probabilidad de Rayleigh. La disipación es, lógicamente, proporcional a la fracción de olas rotas en cada punto, denominada Q b por ellos. Es precisamente para el cálculo del Q b para lo que se asume la función de distribución de Rayleigh. La expresión del Q b se indica más adelante. Respecto a la aproximación para el cálculo de la disipación de energía en sí misma, la formulación utilizada por Battjes y Janssen en el modelo BJ se basa en la originariamente sugerida por Le Méhauté (1.962), que modeliza un bore turbulento; Stoker (1.957) calculó la disipación media de energía como: 5 Calculada, por ejemplo, según 4.6.5 6 Véase 4.5 MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 9 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO ( ) Q h BH g Q h h h h g bore 2 3 2 1 2 1 2 4 1 4 1 ρ ρ ε ≈ − · [4.18] La figura 4.3 aclara la terminología empleada en [4.22]. En este caso Q representa el volumen por unidad de área a lo ancho del bore. Tabla 3.3.- .- Bore empleado para describir la rotura en spilling En la formulación anterior, B es un coeficiente O(1). Intenta aproximar las diferencias entre los distintos tipos de rotura; es considerado como una función de las proporciones de la zona de espuma de la ola en su lado de tierra (en el que se verifica el proceso de rotura). Hwang y Diboky (1.970) sugirieron una de las más simples definiciones para Q: L Ch Q · [4.19] donde C es la celeridad y L la longitud de onda. Battjes y Janssen redujeron la dependencia con la profundidad, asumiendo que se verifica ) 1 ( O h H · aproximadamente. Así las cosas, la expresión final que utiliza el modelo BJ para la disipación de energía debido a la rotura del oleaje se puede escribir como: 2 2 4 1 m b b H Q g D π ω αρ · [4.20] De la forma de la expresión [4.24] se desprende que el modelo BJ asume que únicamente las olas que se encuentran en proceso de rotura disipan energía. En caso de interacción con la corriente longitudinal, el valor de ω habrá de ser sustituido por σ, según lo indicado en 4.6.1 7 . 7 Epígrafe sobre la ecuación de dispersión MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 10 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA El valor de H m hace referencia a la máxima altura de ola compatible con las condiciones del punto de cálculo 8 . Más adelante se proporciona la expresión utilizada en el modelo, según el criterio de Miche. Southgate (1.997) propone otra expresión, en función del valor de la altura de ola media cuadrática en el nodo: ( ) 2 1 3 2 3 8 h Q f kH g D b rms b π αρ · [4.21] En la ecuación anterior, f(Q b ) se define como: ( ) ( ) 2 3 1 ln , _ ¸ ¸ − − · b b b b Q Q Q Q f [4.22] El valor de la constante α es aquí también del orden de la unidad. Esta ecuación toma en consideración el valor de la altura de ola media cuadrática en el punto de forma directa y no sólo a través de la definición de Q b , con lo que parece ser más realista. Por otra parte, también influye la forma de la ola, a través del número de onda, así como también la profundidad en el punto, también de forma directa y no sólo de forma implícita en Q b , como la altura de ola. 4.4.7. Energía del oleaje Para oleaje irregular, la densidad de energía por unidad de área se puede escribir como: 2 8 1 rms gH E ρ · [4.23] Svendsen (1.984) sugirió que la energía E r transportada por el roller debe ser tomada en consideración. Así, la energía total del oleaje sería E t = E + E r . La energía del roller debe ser incluida también en la formulación de la tensión de radiación 9 , añadiendo el término 2 2 k K K E j i r , en función de las componentes 10 del vector número de onda con la misma simbología utilizada anteriormente. Rivero et al. (1.993) propusieron la siguiente formulación para E r : 8 Es decir, a la altura de ola en rotura 9 Ver epígrafe siguiente 10 Ver epígrafe 4.6.3: K1=k·cos α; K2=k·sen α MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 11 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 2 2 4 1 rms b r H Q k E β ω ρ π · [4.24] en la cual β = O(1) es un parámetro de calibración, constante en el caso de oleaje irregular, y función del parámetro de Iribarren 11 (intenta tomar en consideración el tipo de rotura). 4.4.8. Tensión de radiación Con objeto de obtener una idea del significado físico de la tensión de radiación 12 , véanse las figuras 4.4 y 4.5 13 El flujo instantáneo de la cantidad de movimiento a través de una unidad de área vertical es: 2 u p F im ρ + · [4.25] La ecuación anterior es homogénea en sus unidades. En efecto, las ecuaciones dimensionales de ambos sumandos son: [ ] [ ] 2 2 3 2 2 2 2 2 2 T L M T L L M T L V M u T L M T L L M S A M S F p ⋅ · ⋅ · , _ ¸ ¸ · ρ ⋅ · ⋅ ⋅ · ⋅ · · El segundo sumando de la expresión se denomina presión dinámica, y se debe al movimiento del fluido. Sus dimensiones son las mismas que las de la presión. Si se extiende F im desde el fondo (z = -h) hasta la superficie libre (z = ξ) se obtiene el flujo total de momento, S, cuya expresión es: ( ) ∫ − + · ξ ρ h dz u p S 2 [4.26] En [4.30] el primer sumando se debe a la presión y el segundo, al movimiento generado por el oleaje. 11 Definido por la ecuación [2.2] 12 Se hablará de tensor de radiación en el caso tridimensional 13 Cf. Longuet-Higgins y Stewart (1.964) MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 12 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA Tabla 3.4.- .- Presiones en un flujo estático El flujo total medio del momento lineal durante un ciclo de oleaje puede ser obtenido promediando [4.30] durante un periodo. En los ejes principales, la componente del tensor de radiación en la dirección de propagación del oleaje, S ss , se define como la media temporal del flujo de momento lineal que se produce en presencia de oleaje menos el que se produce en ausencia de la acción de las olas. Esto se puede escribir, siendo d la profundidad media, η la elevación del mar sobre la media, p 0 la presión hidrostática y u la velocidad de la corriente, como: ( ) ∫ ∫ − ⋅ + · + d d ss dz p dz u p S 0 0 0 2 η ρ ∫ ∫ − · + d d nn dz p pdz S 0 0 0 η [4.27] donde S nn es la componente en la segunda dirección principal. Tabla 3.5.- .- Presiones en un flujo en movimiento En el capítulo 2 14 , en la referencia al trabajo de Longuet-Higgins y Stewart (1.964) se dio una definición 15 más física e intuitiva de la tensión de radiación, como la fuerza impulsora de la corriente próxima a la orilla. 14 Ver el apartado 2.3.6 15 Cf. Horikawa (1.988) MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 13 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO Tabla 3.6.- .- Tensión de radiación y set-up A partir de la teoría lineal, S ss y S nn se pueden calcular (despreciando los términos de orden superior al tercero), como ( ) ( ) G E kd sinh kd gH S ss + · , _ ¸ ¸ + · 1 2 1 2 2 1 8 1 2 ρ EG kd sinh kd gH S nn 2 1 ) 2 ( 2 8 1 2 · · ρ [4.28] y extendiendo al caso tridimensional, en que es preciso aplicar el concepto de tensor de radiación como ente que engloba las tensiones de radiación en las direcciones xx, yy y xy, se puede escribir con notación tensorial como: E G G S S S S S nn ns sn ss , _ ¸ ¸ + · , _ ¸ ¸ · 0 0 2 1 2 1 [4.29] en sus ejes principales, y ( ) ( ) ( ) ( ) E G G G G G G S S S S S yy xy xy xx ij , _ ¸ ¸ + + + + + + · , _ ¸ ¸ · α α α α α α 2 2 sen 1 cos sen 1 cos sen 1 cos 1 2 1 [4.30] en las direcciones de los ejes coordenados. Asumiendo la teoría lineal, la expresión para las componentes del tensor de radiación en el caso de incidencia oblicua del oleaje se puede escribir también como: ( ) 2 , 1 , 2 1 2 · 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − + , _ ¸ ¸ · j i C C k K K C C E S ij g j i g ij δ [4.31] En la ecuación [4.22] δ ij es la delta de Kronecker. El resto de las variables que intervienen en la expresión es conocida por haberse utilizado anteriormente. MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 14 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA Escrita de forma más explícita y compacta, la ecuación [4.22] queda: ( ) 1 ] 1 ¸ + + · ij j i ij G k K K G E S δ 2 1 2 [4.32] El parámetro G se define como: ( ) kd kd G 2 senh 2 · [4.33] Cuando se propaga un oleaje de pequeña amplitud en la dirección x, la componente transversal del tensor de radiación, S xx , se puede desarrollar como sigue (teniendo en cuanta que en este caso i = j = 1, y que por tanto δ ij =1): , _ ¸ ¸ + · 2 1 G E S xx [4.34] Así, teniendo en cuenta la definición del vector número de onda y sus componentes, se tendrá, en función de la oblicuidad, α: ( ) [ ] G cos G 1 2 E S 2 xx + α + · ( ) [ ] α α + · sen cos G 1 2 E S xy [4.35] ( ) [ ] G sen G 1 2 E S 2 yy + α + · 4.4.9. Set-up El set-up es una elevación (y el set-down la correspondiente depresión) de la superficie del mar como consecuencia de la rotura del oleaje. La figura 4.6 ilustra el concepto físico. El set-up es una de las consecuencias de la acción del tensor de radiación en el perfil de playa. Su variación se compensa con el movimiento en vertical del nivel del mar. La ecuación diferencial que gobierna el proceso es la ecuación de balance de momentos: 0 ) ( · ∂ ∂ + + ∂ ∂ x d g x S xx η η ρ [4.36] En la ecuación anterior η(x) representa la elevación del nivel del mar. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 15 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4.4.10. Corrientes inducidas por el oleaje Las corrientes inducidas por el oleaje se entienden a menudo como puramente oscilatorias. Sin embargo, a partir de mediciones del campo de velocidades se ha mostrada la existencia de componentes promediadas en el tiempo. La magnitud de estas componentes constantes es generalmente mucho menor que la de las oscilatorias. Sin embargo, debido a que su efecto es acumulativo, su contribución al transporte neto de sedimentos puede ser significativa. 4.4.10.1. Corriente euleriana en ondas de Stokes En un tanque de oleaje, si se imagina una sonda ubicada directamente sobre el nivel medio del agua al paso de una onda senoidal, sólo se mostrará mojada durante una parte del periodo, durante el cual mostrará velocidades horizontales y dirigidas hacia la playa. Por tanto, la velocidad Euleriana integrada en el tiempo en este punto será no nula y dirigida en la dirección de la propagación del oleaje. Algo similar ocurrirá entre un punto ubicado entre el seno de la ola y el nivel medio. El flujo euleriano neto es igual a c 8 gH 2 , y es el total, puesto que bajo el seno de la ola la velocidad media en el periodo es nula. En la mayoría de los casos existe una playa al final del tanque de oleaje; esto hace que la corriente neta en la dirección a tierra sea nula. Esta condición se consigue simplemente superponiendo una corriente uniforme y constante en dirección al mar al campo senoidal de velocidades: c 8 gH u 2 stokes − · [4.37] Esta corriente se conoce comúnmente como corriente de Stokes. 4.4.10.2. Corriente lagrangiana en ondas de Stokes Un oleaje puramente senoidal resulta en una componente media lagrangiana positiva en todo la profundidad. La velocidad lagrangiana neta se debe cualitativamente a dos propiedades del campo de oleaje inducido por una ola senoidal: • La velocidad hacia la costa de una partícula en una onda senoidal en la zona superior de su trayectoria es mayor que la que posee hacia el mar en la zona inferior de ella. MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 16 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA • La partícula se mueve con la ola durante el movimiento hacia la costa y en sentido opuesto durante su movimiento hacia el mar; por ello, se mueve durante más tiempo hacia la costa. La velocidad lagrangiana neta así obtenida se refiere frecuentemente a la velocidad de transporte de masa y su distribución sobre la profundidad, y se escribe, en función de la coordenada vertical, z, como: ( ) ( ) kz 2 cosh c 8 U u 2 orb L ω · [4.38] En la ecuación anterior son: U orb Amplitud de la velocidad orbital cerca del fondo c Celeridad de la onda ω Frecuencia ( T 2π · ) De forma similar al caso euleriano, para conseguir una corriente cuya integración en el periodo sea nula, se ha de superponer una corriente uniforme dirigida hacia el mar, con lo cual el campo final de velocidades queda: ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ − ω · kD 2 kD 2 senh kz 2 cosh c 8 U u 2 orb L [4.39] En la ecuación anterior, D simboliza la profundidad total. 4.4.10.3. Modelo de undertow de Okayasu, Watanabe e Isobe (1.990) 4.4.10.3.1. Introducción Los modelos clásicos de undertow no son aplicables en general a zonas fuera de las de rotura en la región más próxima a la línea de orilla. Para obtener un modelo aplicable en toda la zona de surf es preciso incorporar una descripción precisa de la atenuación de energía del oleaje y su distribución o generación de turbulencia basados en el mecanismo de rotura. Los modelos de transformación de oleaje existentes hasta 1.990 no tomaban en consideración la energía de los vórtices formados en las crestas de las rompientes (los roller) Okayasu, Watanabe e Isobe (1.990) incorporaron estos efectos a su modelo, que es el utilizado por DPP2, y que a continuación se expone. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 17 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4.4.10.3.2. Variación vertical de la tensión cortante media y la viscosidad La tensión de Reynolds y el coeficiente de viscosidad se evalúan cuantitativamente a partir de la disipación de energía por medio de análisis dimensional. Battjes (1.975) obtuvo el valor siguiente de la turbulencia: 3 1 , _ ¸ ¸ ≈ ρ B D q [4.40] La tensión cortante horizontal integrada en la vertical, τ m , y la viscosidad integrada en la vertical, ν m , se escriben como: 3 2 3 1 B m D C ρ τ τ · 3 1 3 1 B m hD C − · ρ ν ν [4.41] En la expresión anterior, las dos constantes, C τ y C ν se toman, respectivamente, como 0.02 y 0.03. Se supone que tanto la tensión cortante, τ, como la viscosidad, ν, son funciones lineales de la profundidad z’ [ver Okayasu et al. (1.988)], y así: , _ ¸ ¸ − ′ ρ · + · τ τ τ 1 z d 5 D 3 04 . 0 b ´ z a t 3 2 B 3 1 [4.42] z d h D 06 . 0 z a t 3 1 B 3 / 1 e ′ ρ · ′ · υ − ν [4.43] En las ecuaciones anteriores, d t es la profundidad en los senos de las olas. De ellas se deduce que: t 3 2 B 3 1 d 1 D 3 2 . 0 a ρ · τ [4.44] 3 2 B 3 1 D 3 04 . 0 b ρ − · τ [4.45] t 3 1 B 3 / 1 d h D 06 . 0 a − ν ρ · [4.46] 4.4.10.3.3. Variación vertical del undertow MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 18 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA Si bien la viscosidad molecular, ν, es mucho menor que la viscosidad del fluido (eddy), ν e en la zona de surf, no puede ser despreciada incluso en la zona offshore, en las proximidades del fondo. La viscosidad total ha de ser definida, por tanto, como: e t ν ν ν + · [4.47] Utilizando el modelo de viscosidad eddy la relación entre la tensión tangencial horizontal media, τ, y la velocidad en dirección a la orilla, U, es: z U t ∂ ∂ · ρν τ [4.48] Si se sustituyen ahora las ecuaciones que definen la tensión tangencial y la viscosidad en la anterior, se obtiene: ( ) 1 2 log C z a a a b a z a a U t + + ′ − + ′ · ν ν ν ν τ ν ν τ [4.49] En la ecuación anterior, C 1 es una constante de integración que se obtiene en términos del flujo de masa realizado por el oleaje en rotura, M t , como: ( ) ( ) t t t t t M h d a d a d a a a b a d a a C 1 log log 2 1 2 1 − − − + + − − − · ν ν ν ν τ τ ν ν τ ν ν ν ν ν [4.50] El flujo de masa, como es sabido, puede evaluarse a partir de la energía potencial del oleaje, como v p t E c 2 E gh c 6 . 1 M + · [4.51] La energía potencial se calcula en función del nivel de agua, η, como: ( ) 2 p 2 g E η − η ρ · [4.52] En la ecuación de M t , la expresión E v representa la energía almacenada en los vórtices. De esta forma, la energía total será la suma de la energía del oleaje (aquí representada como E) y E v . El flujo de energía E v satisface la ecuación: ( ) B B g v D T dx C E d − · [4.53] Como se ha indicado, D B , es la disipación unitaria de energía por rotura, a través de los fenómenos de turbulencia, y T B representa la tasa de transferencia de energía del oleaje a los vórtices, por unidad de longitud y anchura, expresada como: MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 19 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO ( ) f g B D dx EC d T − − · [4.54] La ecuación del undertow se modifica como a continuación se indica, con objeto de lograr continuidad en los límites de la zona de surf, obteniendo así la distribución vertical propuesta por Longuet-Higgins (1.953): t t t t t M h d a d a d a z a a a b a d z a a U 1 log log 1 2 2 − , _ ¸ ¸ + − + + ′ + ′ − ′ + , _ ¸ ¸ − ′ ′ · ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν τ τ ν ν τ [4.55] , _ ¸ ¸ + + σ ν + · ′ τ τ 2 9 kh 2 kh 2 sinh 3 kh 2 sinh kh 3 kh sinh h 2 k a a a 2 2 2 , _ ¸ ¸ + + − · ′ 9 2 2 6 2 2 4 2 2 kh kh sinh kh sinh kh kh sinh h k a b b σ ν τ τ [4.56] Los valores de los segundos términos de los segundos miembros de las ecuaciones que definen a τ ’ y b τ ’ son mucho menores que los de los primeros en la zona más próxima a la orilla. El parámetro a representa la amplitud del oleaje. 4.4.10.4. Modelo de undertow de Cox y Kobayashi (1.997) 16 Cox y Kobayashi presentaron un modelo de undertow en 1.997 (ver nota al pie) que combina el perfil parabólico convencional con un perfil logarítmico en la capa límite, en la que el perfil de undertow ha sido comprobado utilizando los datos de Cox et al. (1.996). Adicionalmente, Cox y Kobayashi (1.998) 17 , como el flujo medio bajo el valle de una ola (que es un dato de entrada al modelo de undertow) puede ser predicho a través del conocimiento de la altura de ola media cuadrática. 4.4.10.5. Corrientes integradas en la vertical (modelo 2DH) Este apartado muestra la forma de evaluar las corrientes inducidas por el oleaje. No obstante, la obtención aquí realizada no permite calcular el transporte transversal, puesto que se trata de corrientes integradas en la vertical, por lo que no sirven para obtener la distribución vertical de velocidades (ver apartado anterior), ni para evaluar la aportación de la asimetría del oleaje. Se trata del modelo 2DH, que se utilizará a efectos de calcular la velocidad de corriente a efectos de interacción con el oleaje. El modelo de corrientes 2DV, 16 Cfr. COX, D.T.; KOBAYASHI, N. (1.997): A kinematic undertow model with a logarithmic boundary layer. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering 123 (6), 354 - 360 17 Cfr. COX, D.T.; KOBAYASHI, N. (1.998): Application of an undertow model to irregular waves on plane and barred beaches. Journal of Coastal Research, 14 (4), 1314 - 1324 MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 20 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA empleado para el modelado del perfil transversal propiamente dicho, se ha expuesto en el apartado relativo al undertow. Las corrientes inducidas por el oleaje se pueden obtener a partir del concepto de conservación de masa 18 y momento. Las ecuaciones que definen matemáticamente esos conceptos se muestran en los apartados siguientes. 4.4.10.5.1. Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad se puede escribir como sigue, en su expresión más general: ( ) [ ] ( ) [ ] 0 · + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ V d y U d x t η η η [4.57] Si se aplican aquí las simplificaciones de uniformidad longitudinal y condiciones estacionarias, las derivadas respecto de y y respecto de t se anulan, según lo establecido en 4.5, quedando la ecuación siguiente: ( ) [ ] 0 · + ∂ ∂ U d x η [4.58] Esta ecuación significa que el flujo de masa promediado en el tiempo es constante en el perfil. Dado que este flujo es nulo en la línea de orilla y fuera de la zona dominada por la rotura del oleaje, parece que debería ser U = 0 en todo el perfil. Es evidente que esto sólo ocurre si se asume la hipótesis de uniformidad longitudinal. 4.4.10.5.2. Ecuaciones del momento Las ecuaciones del momento referidas, respectivamente a la dirección normal a la orilla (eje x) y a la paralela a dicha línea (eje y) son: ( ) 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + τ − η + ρ · ∂ η ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ y R x R F d 1 x g y U V x U U t U yy xx x b x ( ) 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + − + · ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ y R x R F d y g y V V x V U t U yy xx y b y τ η ρ η 1 [4.59] donde los nuevos símbolos empleados representan: F i : componentes de las fuerzas inducidas por el oleaje <τ> : tensión cortante media en el fondo 18 Ecuación de continuidad MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 21 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO R ij : componentes del tensor de tensiones de Reynolds, integradas en la vertical y promediadas en el tiempo. La formulación del tensor de Reynolds es: ( ) 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ + ∂ ∂ + · i j j i t ij x U x U d R η ρν 2 1 [4.60] En la ecuación [4.40], U son las componentes de la velocidad y x, las coordenadas. La dirección de ambas viene definida por el subíndice, que será i para la dirección x y j para la dirección y. El coeficiente ν t representa la viscosidad 19 . Para evaluar la fuerza inducida por la acción del oleaje se puede utilizar la siguiente expresión: ( ) 2 , 1 , 1 · 1 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ , _ ¸ ¸ ∂ ∂ − ∂ ∂ − · j i x d x T x S F i j j j ij i ρ [4.61] Si la pendiente es pequeña y se tiene en cuenta la hipótesis de uniformidad longitudinal, la ecuación [4.41] resulta ser: x S F xy x ∂ ∂ − · ρ 1 [4.62] La tensión cortante promediada en el tiempo se puede escribir 20 : 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + · W W V f b w y b α ω ρ τ 2 2 sen 2 1 [4.63] donde W es: [ ] α ω ω α ω ω sen 2 sen 2 2 1 2 2 2 2 b b b b V V V V W − + + + + · [4.64] La función ω b se escribe: π ω orb b u 2 · [4.65] La oblicuidad se representa por α. 4.5. El modelo de Battjes y Janssen (1.978) El modelo de Battjes y Janssen (1.978) 21 proporciona el campo de oleaje irregular, calculando en cada punto de perfil la altura de ola media cuadrática, H rms , en función de los 19 Cf. Rivero (1.995) 20 Cf. Puerto (1.996) 21 En lo sucesivo, BJ MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 22 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA datos de partida. La fracción de olas rotas, Q b , permite la evaluación de la disipación de energía por rotura de oleaje. El primer punto positivo: el modelo BJ es eficiente desde el punto de vista del esfuerzo computacional (como antes se indicó, este es un punto de primordial importancia si se desea calcular el movimiento de arenas en el perfil), proporcionando predicciones razonablemente precisas. Como una de las primeras cuestiones negativas, algunas autores afirman que el modelo BJ no proporciona una descripción precisa de la fracción de olas rotas. Sin embargo, puede decirse que calcula razonablemente bien 22 la pérdida de energía fuera de la zona de surf, siendo muy útil en estas posiciones. Por otra parte, otra de las deficiencias del modelo BJ estriba en el hecho de que la distribución de la altura de ola H rms no constituye una buena representación de la altura de ola medida según la función de distribución de probabilidad, a consecuencia de su truncamiento en el punto de rotura. Sin embargo, los ensayos de validación realizados por numerosos autores muestran una aproximación razonable. A pesar de los inconvenientes descritos, el modelo BJ permite realizar la predicción de la transformación del oleaje sobre un perfil de playa. El estado del mar utilizado como dato de entrada al modelo está representado por la altura de ola media cuadrática, H rms , y su periodo asociado, T. Se asume que el estado del mar responde a un espectro de energía con poca dispersión de frecuencias, y unidireccional 23 . El modelo BJ se basa en dos conceptos principales: • La distribución de altura de ola en cualquier profundidad se puede describir por una distribución truncada de Rayleigh • La integración simultánea de las ecuaciones de energía y momento en dirección a la orilla En cualquier caso, el segundo de los conceptos indicados implica que el modelo BJ describe la evolución de una serie de oleaje regular (dado que utiliza la ecuación de la energía, que se refiere a una única ola), pero aplica el concepto de disipación de energía a una serie de oleaje irregular (lo que se deduce del primer concepto). 22 Cf. Nairn (1.990) 23 Cf. Nairn (1.990) MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 23 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4.5.1. Descripción de la evolución de la altura de ola 4.5.1.1. Fracción de olas rotas Como se indicado anteriormente, la distribución de H rms puede ser descrita por una distribución de Rayleigh truncada. Tabla 3.7.- .- Ejemplo de aproximación de la ecuación [4.38] Expresado de otra forma, se supone que las olas que no han roto siguen esa distribución, truncada a la máxima altura de ola, H m , físicamente compatible con la profundidad en cada punto (es decir, la altura de ola en rotura). Se supone que todas las olas rotas tienen esa altura, y así, están representadas por una función delta. La fracción de olas rotas, Q b , se calcula según Collins (1.992) y Battjes (1.972) como: 2 ln 1 , _ ¸ ¸ · − m rms b b H H Q Q [4.66] Para simplificar su resolución, la primera de las ecuaciones [4.46] se puede escribir: ( ) 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − · 2 1 exp rms m b b H H Q Q [4.67] MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 24 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA que puede ser resuelta por iteraciones sucesivas. Como ejemplo, el gráfico siguiente muestra el proceso de aproximación para un punto en que H m = H rms = 3.0 m, y se utiliza un valor inicial Q bi = 0.00. Tabla 3.8.- .- Evaluación de Qb por métodos numéricos La expresión [4.49] corresponde al área bajo la distribución de Rayleigh truncada en H b . 4.5.1.2. Simplificación de la formulación de Q b La expresión [4.49] no es eficiente si se tiene en cuenta el hecho de que para una malla de 100 x 100 nodos (por ejemplo), ha de resolverse 10.000 veces, lo que supone en torno a 60.000 cálculos durante el proceso. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 25 Cálculo del Qb -2,000 -1,800 -1,600 -1,400 -1,200 -1,000 -0,800 -0,600 -0,400 -0,200 0,000 0 , 0 1 0 0 , 0 5 0 0 , 0 9 0 0 , 1 3 0 0 , 1 7 0 0 , 2 1 0 0 , 2 5 0 0 , 2 9 0 0 , 3 3 0 0 , 3 7 0 0 , 4 1 0 0 , 4 5 0 0 , 4 9 0 0 , 5 3 0 0 , 5 7 0 0 , 6 1 0 0 , 6 5 0 0 , 6 9 0 0 , 7 3 0 0 , 7 7 0 0 , 8 1 0 0 , 8 5 0 0 , 8 9 0 0 , 9 3 0 0 , 9 7 0 Qb 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Qb-1 Hrms/Hmax Qb-1 Hrms/Hmax = 1 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO Tabla 3.9.- .- Valores de Qb interpolados Si se dibuja un gráfico en ejes [Q b , y], en el que se representen la recta y = (Q b -1) por un lado y la familia de curvas ( ) 2 ln , _ ¸ ¸ · m rms b H H Q y , para valores de m rms H H entre 0 y 1, se obtiene la figura 4.8. En esta figura, los puntos de intersección de la recta con la familia de curvas muestran los valores del parámetro Q b para los distintos valores del cociente de alturas de ola. Ajustando después una curva a estos puntos se obtiene una relación entre la fracción de olas rotas y el cociente de alturas de ola mucho más rápido de evaluar y con un error reducido. Los puntos obtenidos se dibujan en una gráfica (figura 4.9) y se ajustan por medio de una función de regresión. Los valores de Q b están acotados entre 0 y 1. Representan la fracción de olas rotas en un registro de oleaje, por lo que no es lógico que tome un valor fuera de ese intervalo. Lógicamente, por la propia definición de las alturas de ola involucradas, la altura de ola media cuadrática ha de ser siempre menor que la máxima altura de ola compatible con la MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 26 Título del gráfico 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Hrms/Hmax Q b MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA profundidad. Esto implica que 1 0 2 ≤ , _ ¸ ¸ ≤ m rms H H , y para este intervalo, la solución a la ecuación [4.60] supone que 1 0 ≤ ≤ b Q , como se representa en la figura 4.9. m rms H H Q B 0.1 0 0.2 0,007 0.3 0,041 0.4 0,107 0.5 0,203 0.6 0,324 0.7 0,459 0.8 0,63 0.9 0,81 1.0 1 Tabla 4.1.- Interpolación de Qb Se han dibujado estos valores en una gráfica, obteniendo la curva de la figura 4.9. se procedió después a ajustar varias curvas a estos puntos, obteniendo los resultados que muestra la tabla 4.3 Función ajustada Coeficiente de correlación Error Q b = 1.3743312 + 1.3755224·cos(1.4921932x + 2.9452849) 0.9999776 0.0029196 Q b = -0.0083666664 + 0.28161456x - 3.3409797x 2 + + 16.133501x 3 - 26.853899x 4 + 21.524038x 5 - 6.7361111x 6 0.9999861 0.0032534 Q b = (-0.0084624934·2.3220693+3.3390885x 2.7020624 )/ /( 2.3220693+x 2.7020624 ) 0.9999395 0.0047980 Q b = -0.0035833333 - 0.17947727x + 1.1958333x 2 0.9997201 0.0095497 7020624 . 2 7020624 . 2 3220693 . 2 3390885 . 3 019650495 . 0 X X Q b + ⋅ + − · 0.9999395 0.0047980 Tabla 4.2.- Algunos ajustes a la función Qb De entre las funciones ajustadas a la muestra, la que mejor se ajusta es el polinomio de sexto grado, con un coeficiente de correlación r = 0.9999861 y un error s = 0. 0032534. No obstante, cualquiera de las funciones representadas en la tabla 4.3 presentan un ajuste suficientemente aproximado, por lo que cualquiera de ellas puede ser utilizada. Una función más sencilla es la MMF Model, con unos coeficientes de correlación y error similares: 7020624 . 2 7020624 . 2 3220693 . 2 3390885 . 3 019650495 . 0 X X Q b + ⋅ + − · [4.68] MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 27 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO Con esto se eliminan las iteraciones necesarias para resolver la ecuación [4.50], con lo que el esfuerzo computacional en la obtención del Q b se puede dividir por 6, teniendo así un esquema mucho más eficiente. 4.5.1.3. Evaluación del resto de los parámetros 4.5.1.3.1. Altura de ola en rotura 4.5.1.3.1.1. Criterio de Miche (1.951) y Hamada (1.951) Ambos investigadores llegaron, independientemente, a la expresión siguiente: , _ ¸ ¸ π · L d 2 tanh 142 . 0 L / H m [4.69] En la ecuación anterior, tanto L como d se miden en el punto en estudio. 4.5.1.3.1.2. Criterio de Miche (1.954) Como se ha indicado en párrafos anteriores, esta aproximación supone que una ola rota tiene una altura igual a H m . Su valor puede ser evaluado de diversas formas. Aquí se ha utilizado el criterio de Miche (1.954), en función del parámetro de calibración γ: , _ ¸ ¸ · 88 . 0 88 . 0 d k th k H m γ [4.70] Battjes y Stive (1.985), a partir de una serie de ensayos de laboratorio, desarrollaron la expresión siguiente para permitir el cálculo del parámetro de calibración: , _ ¸ ¸ ⋅ + · 0 0 33 4 . 0 5 . 0 L H tanh γ [4.71] que, según se ha visto, varía ligeramente con el peralte del oleaje en profundidades indefinidas (para el rango de datos ensayados). En esos ensayos no se encontraron relaciones entre γ y la pendiente de la playa. 4.5.1.3.1.3. Criterio de Weggel (1.972) Existen otros criterios de rotura, como el de Weggel (1.972), desarrollados para oleaje monocromático, que muestran una relación entre peralte y rotura de oleaje. Parece que el oleaje irregular se comporta de modo semejante. Es el criterio de rotura utilizado por Southgate (1.989). Modificada posteriormente por el CERC, figura en el Shore Protection Manual como: MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 28 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA , _ ¸ ¸ + · 2 1 gT bh ah H m [4.72] Los parámetros “a” y “b” se formulan en función de la pendiente, m, y de un nuevo parámetro empírico, a’, como sigue: ( ) m a a 5 . 19 exp 1 ' 2 − + · [4.73] ( ) [ ] m b 19 exp 1 75 . 43 − − · [4.74] El parámetro a’ fue determinado empíricamente por Wieggel como a’ = 0.78. Sin embargo, posteriormente, Southgate (1.989) vio la necesidad de aumentarlo, tomando un valor a’ = 1.18. El efecto físico de a’ estriba en retrasar el comienzo de la rotura. 4.5.1.3.1.4. Criterio de Thornton y Guza (1.983-86) Otros datos, proporcionados por Thornton y Guza (1.983 / 1.986), permitieron a Nairn (1.990) encontrar una expresión similar a la de Battjes y Stive: , _ ¸ ¸ ⋅ + · 0 0 33 57 . 0 39 . 0 L H tanh γ [4.75] Con respecto a la fracción de olas rotas, quizá otras distribuciones de altura de ola son más realistas que la de Rayleigh, tomando en consideración el hecho de que las olas rotas tienen una altura de ola diferente de H m , como las propuestas por Kuo y Kuo (1.974) y Goda (1.975). En cualquier caso, la distribución utilizada muestra suficiente precisión para el tipo de modelo propuesto. No ha de perderse de vista el hecho de que este tipo de modelo hidrodinámico ha de formar parte de otro más complejo (el de evolución del perfil) y que ha de ser corrido numerosas veces (cada vez que el perfil se modifica), lo que hace necesaria una gran sencillez no exenta de robustez y precisión suficiente. Thornton y Guza (1.983) utilizaron una aproximación más realista separando olas rotas y no rotas, utilizando también una distribución de Rayleigh. Sin embargo, Nairn (1.990) criticó esta nueva aproximación, argumentando el hecho de no existir datos suficientes para validarla. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 29 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4.5.2. Integración de las ecuaciones de energía y momento 4.5.2.1. Ecuación de la energía La ecuación de conservación del flujo de energía, que constituye el corazón del modelo, se puede escribir como: ( ) 0 · + ⋅ ∇ σ D C E g [4.76] donde D representa la disipación total de energía. Siguiendo a Betherton y Garret (1.969) se puede demostrar que, cuando una corriente interactúa con el oleaje, la densidad de energía varía, pero un nuevo parámetro permanece constante; este parámetro es denominado acción de las olas, y se representa por σ E A · [4.77] Esta magnitud se propaga con una celeridad U C g + , donde U es la velocidad de la corriente que interactúa con el oleaje. En estas condiciones, la ecuación [4.51] queda, en términos vectoriales: ( ) 0 · + 1 ] 1 ¸ + ∇ σ σ D E U C g [4.78] en la que D incluye, como antes, todo tipo de disipación de energía. Desarrollando la ecuación en el sistema de referencia mostrado en la figura 4.2 se tiene: ( ) [ ] ( ) [ ] 0 sen cos · + + + ¹ ; ¹ ¹ ' ¹ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ σ σ α α o b f g g D D D E V C y U C x [4.79] donde D o recoge todas aquellas formas de disipación de energía no tratadas en el presente capítulo, que han sido la debida a fricción don el fondo (D f ) y por rotura del ,oleaje (D b ). Aplicando las hipótesis de uniformidad longitudinal e inexistencia de corriente transversal (U = 0), la ecuación anterior queda finalmente: ( ) 0 cos · + + + 1 ] 1 ¸ ∂ ∂ σ σ α o b f g D D D E C x [4.80] que es la ecuación con la que se trabajará para construir el modelo DPP 24 . 24 Dinámica del Perfil de Playa. MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 30 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA Así, una vez integrada la ecuación diferencial y obtenida la corriente longitudinal generada por el oleaje, se deberá rehacer el cálculo modificando la frecuencia relativa en los siguientes términos: 0 0 senα ω σ ⋅ ⋅ − · k V [4.81] 4.5.2.2. Ecuación del momento La ecuación del momento viene dada por [4.37]. En ella, S xx es la tensión de radiación, componente del tensor de radiación en la dirección normal a la orilla. El segundo sumando incluye la profundidad, d, y la elevación de la superficie del mar, η, cuyo cálculo permitirá conocer el set-up producido por el oleaje. La suma de ambos factores dará la profundidad total, d + η. 4.5.3. Consideraciones El modelo BJ está relacionado con la definición de variación (energética o espectral). Considera el estado del mar como un único tren de ondas unidireccional, caracterizado por dos elementos: la altura de ola media cuadrática, H rms , y su periodo asociado, T. Según Nairn (1.990), los parámetros de altura de ola pueden ser determinados utilizando una definición de varianza en la que las expresiones se derivan de la asunción de que los desplazamientos libres de la superficie constituyen un proceso gausiano de banda estrecha. La varianza es equivalente a la energía espectral total de un registro de oleaje determinada a través de una transformación de Fourier. Esta aproximación a la definición de los parámetros de altura de ola es implícita en el modelo BJ, llevando a las siguientes expresiones: 8 σ · rms H [4.82] σ 4 0 · · m s H H [4.83] en la cual σ es la raíz cuadrada de la varianza de la superficie y el subíndice m0 se refiere al momento de orden cero del espectro. Dado que la energía total permanece constante en el modelo BJ, la altura de ola H rms determinada a partir de la varianza de la energía no está influida por la transferencia de energía entre las frecuencias armónicas altas. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 31 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO El modelo BJ no provee una definición realista de la fracción de olas rotas (Q b ), pero por otra parte parece proporcionar una aproximación razonable de la pérdida de energía 25 fuera de la zona de surf, lo que es útil para los puntos allí localizados. El modelo BJ presenta, entre otras, la gran ventaja de una gran eficiencia computacional, al tiempo que proporciona predicciones con un grado de precisión razonable. Otra desventaja del modelo BJ estriba en su reducida utilidad para modelizar perfiles barrados, debido al hecho de presentar una mala definición del oleaje en los senos de las barras. Su propia definición hace que su principal campo de validez se centre en las playas monotónicas. Así, es muy difícil modelizar el cambio de perfil de temporal a bonanza con el modelo. 4.6. El modelo de Dally, Dean y Dalrymple (1.985) 26 4.6.1. Fundamentos El modelo D3 se basa en una formulación similar a la del modelo BJ en cuanto a la ecuación base del movimiento: el flujo de energía. ( ) ( ) s g F F d C E − · ⋅ ∇ κ [4.84] En la ecuación anterior el significado de las variables de nueva aparición es el siguiente: κ : Coeficiente empírico de decay F : Flujo de energía (= E·C g ) [N·m/m·s] F s : Flujo de energía estable [N·m/m·s] El coeficiente de decay controla la disipación de energía, en tanto que el flujo de energía estable determina qué cantidad de disipación de energía es necesaria para que se alcancen las condiciones de estabilidad una vez la rotura se ha iniciado. A este respecto, la condición de ola estable se refiere a un estado en el cual cesa la disipación de energía debida a la rotura, y por tanto cesa este proceso y la ola se recompone. El flujo de energía estable se expresa como sigue: g s s C E F · [4.85] 25 Relativa a los fenómenos representados por las técnicas de saturación de energía espectral 26 En adelante, denominado D3 MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 32 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA expresión en la cual E s es la densidad de energía estable [N·m/m 2 ]. La altura de ola estable se define como una fracción de la profundidad, a través de un coeficiente empírico, Γ: d H s ⋅ Γ · [4.86] El modelo D3 introduce, por tanto, dos nuevos parámetros: κ y Γ. Los valores de estos coeficientes parecen variar poco en un amplio rango de condiciones, tanto en campo como en laboratorio. Dally, Dean y Dalrymple recomiendan adoptar los siguientes valores: κ = 0.15 y Γ = 0.4, a partir de ensayos de laboratorio. Durante la validación del modelo con los datos obtenidos por Kajima et al. (1.983) se vio que estos coeficientes podrían ser dependientes de la pendiente del fondo. Sin embargo, no pudo desarrollarse ningún tipo de ecuación que los relacionase. 4.6.2. Ventajas e inconvenientes respecto del modelo BJ78 La ventaja más notable que el modelo D3 presenta sobre el BJ78 consiste en que, por su propia definición, funciona razonablemente bien tanto sobre perfiles monotónicos como sobre perfiles barrados. Sobre estos últimos, la definición de la variación del flujo de energía en función de la energía de la ola estable, permite la reformación de la ola rota una vez se alcanzan las condiciones oportunas para ello. Así, una ola puede romper, regenerarse y romper de nuevo, repitiendo el proceso las veces necesarias, en función de las condiciones batimétricas. Por otra parte, los modelos basados en oleaje regular tienden a acentuar las características de los perfiles, por el hecho de que el oleaje rompe una y otra vez sobre el mismo punto, cuya profundidad es la rotura, d b . Para evitar este último inconveniente, manteniendo las ventajas del modelo, Larson (1.995)presentó un modelo de oleaje irregular que implementó con el D3 en su modelo existente, SBEACH. Más adelante se expone su desarrollo teórico. 4.7. Modelo de Larson (1.995) 4.7.1. Introducción Como se ha indicado en 4.6.2 Larson desarrolló un modelo de oleaje irregular con el objeto de eliminar el inconveniente que presenta el modelo D3 respecto a funcionar con oleaje monocromático. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 33 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO Su fundamento consiste básicamente en conseguir una altura de ola media cuadrática que represente a las tres fracciones de olas presentes en un registro: • Olas que aún no han roto • Olas rotas • Olas que han roto y se han formado de nuevo para volver a romper cuando se den las oportunas condiciones. 4.7.2. Desarrollo teórico Larson asume que el oleaje, más allá del punto de rotura, puede ser descrito por medio de una función de distribución de Rayleigh (Longuet-Higgins, 1.952 27 ). Esta función de distribución se puede escribir como: 2 rms H H e 1 ) H ( F , _ ¸ ¸ − − · ecuación 4-1.- Función de distribución de Rayleigh La ecuación 4 -1 muestra la probabilidad de que una ola tenga una altura menor o igual que H. Dentro de un registro, es conocido que la altura de ola media cuadrática se puede escribir como: ∑ · · N 1 i 2 i 2 rms H N 1 H ecuación 4-2.- Altura de ola media cuadrática Supóngase ahora que coexisten, en la zona de surf, olas rotas, y no rotas, en número números m y n, respectivamente. Evidentemente, N = m + n, y sus fracciones serán N m · α y N n 1 · α − . Si dentro del grupo de olas no rotas se incluyen también aquellas que ha dejado de romper, es decir, las que se han reformado tras su rotura, se tendrá que n = u + r, siendo u el número de las no rotas y r el de las reformadas. Se introducen dos nuevos coeficientes: 27 Cfr. LONGUET-HIGGINS, M.S. (1.952): On the statistical distribution of the heights of sea waves. Journal of Marine Research 11, 245-266 MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 34 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA N u · β y N r · µ , siendo, obviamente, N = m + u + r, y α + β + µ = 1. Todos estos valores son función de punto, y por tanto, de la coordenada transversal a la orilla, dado que sus valores dependen de la profundidad del punto de cálculo. Para cada uno de los tres grupos de olas se pueden definir su alturas de ola medias cuadráticas, según la ecuación 4 -2, es decir: ∑ · · ) x ( m 1 i 2 i 2 m H ) x ( m 1 ) x ( H ecuación 4-3.- Altura de ola media cuadrática de las olas rotas e igualmente para las demás, con lo cual: 2 r 2 u 2 m 2 rms H H H H ⋅ µ + ⋅ β + ⋅ α · ecuación 4-4 Y finalmente, se puede escribir: , _ ¸ ¸ + + · ∑ ∑ ∑ · · · r 1 i 2 i u 1 i 2 i m 1 i 2 i 2 rms H H H N 1 H ecuación 4-5 Utilizando la ecuación 4 -4, todas las olas del registro se pueden definir en términos de una altura de ola media cuadrática. 4.8. Aplicación del modelo de Larson (1.995) al modelo D3 4.8.1. Introducción Como se ha visto en 4.6, Dally, Dean y Dalrymple (1.985), propusieron un modelo de transformación de oleaje en la zona de surf, asumiendo que la disipación de energía por medio de la rotura del oleaje es proporcional al exceso de flujo de energía sobre un valor, denominado estable, que depende únicamente de la profundidad. La aplicación del modelo de Larson (1.995) al D3 permite utilizar las propiedades del oleaje irregular en una descripción matemática del proceso de transformación que ha arrojado comparaciones favorables con datos de campo y laboratorio. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 35 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4.8.2. Aplicación del modelo Asumiendo una distribución de Rayleigh en la zona offshore, representada por un grupo de N olas, en las que coexisten las rotas y las no rotas, estas se propagan a través de la zona de surf según: ( ) 0 cos F dx d i · θ [4.87] ( ) ( ) est i i F F d cos F dx d − κ · θ [4.88] correspondiendo las ecuaciones anteriores a olas no rotas y rotas, respectivamente, con las definiciones dadas en 4.6.1. En este caso, F i corresponde al flujo de energía de cada ola individual y d es la profundidad total (incluyendo el set-up). La constante κ se toma igual a 0.15. Como ya se sabe, los parámetros físicos involucrados en el proceso son: g 2 i i C gH 8 1 F ρ · [4.89] C L d 4 sh L d 4 1 2 1 C g 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ π π + · [4.90] L d 2 th C C 0 π · [4.91] π · 2 gT C 0 [4.92] ( ) g 2 est C d g 8 1 F Γ ρ · [4.93] Así las cosas, las ecuaciones generales de gobierno del modelo, si se dividen por 1/8ρg, quedan: ( ) 0 cos C H dx d g 2 i · θ [4.94] ( ) ( ) g 2 2 g 2 i g 2 i C d C H d cos C H dx d Γ − κ · θ [4.95] La primera de ambas ecuaciones se refiere a la zona offshore, y la segunda, a los puntos en que ya se ha iniciado la rotura. MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 36 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA Dado que el modelo D3 es "wave by wave", las ecuaciones anteriores se refieren a cada ola. Por tanto, si se suman las ecuaciones para las n(x) olas no rotas y las m(x) olas rotas, se obtiene: ( ) 0 cos C H dx d ) x ( n 1 i g 2 i · θ ∑ · [4.96] ( ) ( ) ∑ ∑ · · Γ − κ · θ ) x ( m 1 i g 2 2 g 2 i ) x ( m 1 i g 2 i C d C H d cos C H dx d [4.97] Si se suman ahora ambas, y recordando que es N = n(x) + m(x) ∀ x, se tendrá una única ecuación para todo el grupo de olas. Dado que además C g y d son únicamente funciones de x y que N es una constante, se puede escribir: , _ ¸ ¸ Γ − κ · , _ ¸ ¸ ⋅ θ ∑ ∑ · · m d H C d H cos C dx d 2 2 ) x ( m 1 i 2 i g N 1 i 2 i g [4.98] Si se dividen ahora por N ambos miembros de la ecuación, se obtiene: ( ) ( ) α Γ − κ · ⋅ θ 2 2 2 m g 2 rms g d H C d H cos C dx d [4.99] donde α es la fracción de olas rotas (α = m/N). Anteriormente (epígrafe 4.7.2) se han visto las relaciones existentes entre las alturas de ola media cuadrática del registro completo de oleaje, la de las olas rotas, las no rotas y las reformadas. Esta relación se puede escribir: α·H m 2 = H rms 2 - (1 - α)·H n 2 , y entonces, la ecuación anterior queda: ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 n 2 rms g g 2 rms d H 1 H C d cos C H dx d Γ α − α − − κ · θ [4.100] Si se introduce ahora el concepto de flujo de energía y 4.9. Modelo de transporte sólido Los procesos físicos involucrados en el tema del transporte sólido son lo suficientemente complicados como para requerír por sí sólos un tratamiento específico (puede verse, por ejemplo, Mei, 1.990; Dean y Dalrymple, 1.991; Dingemans, 1.994; Fredsoe y Deigaard, 1.992; Nielsen, 1.992). Este apartado no pretende significar una revisión de estos procesos ni de las diferentes formas de tomarlos en consideración, bastando para ello lo contenido en el capítulo 2. Aquí se utilizará un modelo sencillo que permita, sin embrago, alcanzar el fin perseguido. MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 37 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO La ecuación que proporcione el transporte sólido puede ser muy diversa, pero siempre ha de indicar que el transporte transversal es una función de las propiedades del sedimento, del perfil transversal, del oleaje que se propaga sobre él, y de las condiciones de contorno. En este trabajo se utilizará la ecuación de transporte sólido propuesta por Larson y Kraus (1.989), utilizada en su modelo SBEACH. Tabla 3.10.- .- Esquema de definición de las cuatro zonas de transporte sólido que se consideran Para ello se utilizará el esquema mostrado en la Tabla 3.10.-. Se distinguen cuatro regiones diferentes a lo largo del perfil transversal, según lo mostrado en la Tabla 3.10.-, antes citada. Estas regiones presentan diferentes relaciones de transporte sólido, definidas en diferentes conceptos de dinámica litoral, generalmente aceptados, en ellas. A continuación se definen los rasgos característicos de cada una de ellas: Región de pre-rotura. Se extiende entre el límite del perfil transversal y el punto de rotura. El límite del perfil se entiende definido por la profundidad, calculada según los métodos en uso. En la Tabla 3.10.- se indica como zona I. En esta zona el transporte sólido está dominado por el que ocurre en la zona de rotura, en la que el flujo de transporte se dirige principalmente hacia la costa. Sin embargo, los procesos físicos que lo dominan son muy diferentes a ambos lados de los límites de la región. MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 38 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA Región de transición. Indicada como zona II en la Tabla 3.10.-, se extiende entre los puntos de rotura y plunging. Región de olas rotas. Se extiende entre el punto de plunging y aquel en que se verifica el cese del proceso de rotura. Se indica en la Tabla 3.10.- como zona III. En esta zona se produce la mayor parte de la disipación de la energía del oleaje, como consecuencia de los procesos de rotura. A lo largo del perfil se pueden alternar varias regiones de los tipos II y III si se producen varias roturas sucesivas. Región de swash. Esta zona ha de definirse forzosamente, debido a las diferentes características que presenta el transporte sólido inducido por los procesos de swash, que lo hacen diferir notablemente de los verificados en la zona de surf. En esta zona, el transporte sólido depende principalmente de las características del bore en el run-up, así co o también de la pendiente local y de las características del sedimento. El límite de esta región puede ser considerado sin problemas como el punto en que se deja de verificar el transporte sólido transversal El transporte sólido en la zona I ha sido estudiado intensivamente, tanto mediante estudios de campo como de laboratorio, encontrándose modelos como los de Inman (1.957), Dingler e Inman (1.977), Nielsen (1.979) o Sunamura (1.981) que indican que el transporte sólido se encuentra gobernado principalmente por la dinámica de los ripples. Existen formulaciones más sofisticadas, como las de Madsen y Grant (1.977) y Sato y Horikawa (1.987), basadas en experimentos realizados en laboratorio, que describen el transporte sólido en microescalas temporales y espaciales que no concuerdan con la aproximación que se busca en este trabajo. Cuando la ola se aproxima a la zona de rotura adquiere una forma más acorde con la teoría cnoidal, que muestra olas muy peraltadas con valles poco profundos pero muy anchos. Esto produce una asimetría notable en el plano vertical, que se traduce también en una gran asimetría del campo de velocidades, tanto mayor cuanto más alta es la ola. Esto causa diferencias entre el movimiento hacia la orilla y hacia el mar. Dado que las corrientes más intensas se producen hacia la orilla, hacia allí se dirigirá el material más grueso, lo que causa una gradación en los tamaños del sedimento 28 . 28 Cfr. Ippen e Eagleson (1.955) MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 39 CCAPÍTULO APÍTULO 4. - M 4. - MODELO ODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO 4.9.1. Formulación del transporte sólido La distribución del transporte sólido se evalúa utilizando la zonificación del perfil mostrada en la Tabla 3.10.-. Predomina el transporte sólido hacia la orilla cuando se forma el perfil de calma, mientras que en el perfil de erosión es el transporte hacia el mar el que domina. Esta aproximación es buena si el perfil no se encuentra muy próximo a su forma de equilibrio, en cuyo caso podrían coexistir ambos tipos detransporte en diferentes regiones del mismo. Tanto Moore (1.982) como Kriebel (1.982) utilizaron formulaciones de transporte para la zona de surf, en las que el transporte sñoido es proporcional al exceso de disipación de energía por unidad de volumen sobre una disipación de equilibrio en la cual el perfil no sufre cambios significativos. Dean (1.977) mostró que un perfil de equilibrio deriva del concepto de disipación constante de energía por unidad de volumen de agua desde el punto de rotura y dirigida hacia la orilla, corresponde a una forma de tipo exponencial con exponente m= 2/3: 3 2 x A h ⋅ · [4.101] Para la región III, en la que se verifica la mayor parte de la disipación de energía, se ha elegido la siguiente ecuación que gobierna el transporte sólido: x d K D D x d K D D K q eq eq ∂ ∂ ε − > , _ ¸ ¸ ∂ ∂ ε + − · [4.102] x d K D D 0 q eq ∂ ∂ ε − < · en la que son: K Coeficiente empírico de transporte sólido D Disipación unitaria de energía D eq Disipación unitaria de energía en equilibrio ε Coeficiente de transporte para el término dependiente de la pendiente 4.10. Modelo morfodinámico El modelo morfodinámico pretende mover el perfil a expensas del transporte sólido calculado mediante el modelo descrito en el punto 4.9. MODELO MATEMÁTICO 29/8/AA : 15:07 40 MMODELACIÓN ODELACIÓN DE DE LA LA DINÁMICA DINÁMICA DEL DEL PERFIL PERFIL DE DE PLAYA PLAYA La ecuación que gobierna el modelo es la misma de continuidad, pero en este caso aplicada al perfil transversal, esto es: ( ) 0 y Q t z p 1 b · ∂ ∂ + ∂ ∂ − [4.104] En otras palabras, la ecuación anterior (en la que p es la porosidad del material), indica que el gradiente transversal de transporte sólido se emplea en mover el perfil, sin pérdida de material. El procedimiento consiste en evaluar, en cada escalón de tiempo, el transporte sólido en todo el perfil, actualizando éste inmediatamente después. En esta actualización ha de intervenir asimismo una subetapa en la cual se compruebe su estabilidad estática MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07 41 MODELO NUMÉRICO 29/8/AA : 15:07