UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE-L1. TEMA: Resolución de ejercicios sobre funciones de transferencia para afianzar los conocimientos de conceptos básicos. 2. OBJETIVOS: Generales: Resolver correctamente los ejercicios propuestos en el capítulo 2, y que permitan reforzar los conocimientos adquiridos. Específicos: Resolver satisfactoriamente los ejercicios propuestos. Analizar los resultados y conocimientos obtenidos. Afianzar los conocimientos recibidos en clase por medio de la resolución de ejercicios. 3. RESUMEN: Este trabajo trata sobre la resolución de ejercicios de las funciones de transferencia de una red eléctrica, de un sistema mecánico traslacional, de un sistema mecánico rotacional, y de un sistema con engranes. Abstrac: This paper deals with solving exercises of the transfer functions of an electrical network, a translational mechanical system, a rotational mechanical system, and a system with gears. 4. MARCO TEÓRICO: Función de transferencia: Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo (Función de transferencia, 2014). resistores e inductores .Tabla 1. voltaje-carga e impedancia para capacitores.Relaciones de voltaje-corriente. fuerza-desplazamiento e impedancia para resortes.Relación de fuerza-vectorial.Tabla 2. amortiguadores viscosos y masa traslacionales Tabla 3. par desplazamiento angular e impedancia para resortes. amortiguadores viscosos e inercia rotacional . Relaciones de par velocidad angular. ¿Cómo puede determinarse la función . ¿A qué clasificación de sistemas se puede aplicar mejor la función de transferencia? A los sistemas de lazo abierto. Defina la función de transferencia. amortiguación de la carga. ¿Qué transformación convierte la solución de ecuaciones diferenciales en manipulaciones algebraicas? La transformada de Laplace. 9. ¿Qué función realizan los engranes? Los engranes proporcionan ventajas mecánicas a los sistemas rotacionales.5. 10. ¿Qué modelo matemático permite una fácil interconexión de los sistemas físicos? La función de transferencia. 11. 2. amortiguamiento en la armadura. 4. inercia de la carga. DESARROLLO PREGUNTAS DE REPASO 1. Es la relación de la salida de un sistema sobre su entrada. La función de transferencia de un motor relaciona el desplazamiento de armadura con el voltaje de armadura. ¿Cuáles son las partes componentes de las constantes mecánicas de la función de transferencia de un motor? Inercia del motor. 3. 5. y formamos la función de transferencia. separamos variables de entrada y salida. pretty(F) . 12. Hacemos lineal la ecuación diferencial no lineal Utilizamos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial linealizada. Utilizamos la solución en estado estable o equilibrio.de transferencia que relación el desplazamiento de carga y el voltaje de armadura? Multiplicando la función de transferencia por relación de transmisión relativa a la posición del inducido o armadura para cargar. Reconocer el componente no lineal. 2 a) f ( t )=5 t cos (3 t+ 45° ) Código en Matlab syms t ang=45*pi/180 f=8*t^2*cos(3*t+ang). F=simple(F). pretty(f) F=laplace(f). Resuma los pasos para hacer lineal un sistema no lineal. Escribir la ecuación diferencial no lineal. Utilice el MATLAB y las rutinas de matemáticas simbólicas para hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones de tiempo. PROBLEMAS. pretty(F) Matlab: 13.b) f ( t )=5 t e−2 t sin(4 t+ 60° ) Código en Matlab a=60*pi/180 f=5*t*exp(-2*t)*sin(4*t+a). Repita el problema 12 para la siguiente función de trasferencia: . F=simple(F). pretty(f) F=laplace(f). 0.5462s + 1.1e4). Gtf=tf(numg.deng'.2) (s+1.493) (s^2 .4 G ( S )= 3 2 S +25 S +20 S +15 S +42 5 S +13 S 4 +9 S 3 +37 S 2+ 35 S+ 50 Gtf=tf([1 25 20 15 42].deng]=zp2tf(numg'.0. [numg.deng) .35) (s^2 .k]=residue(numg.deng) G=zpk(Gtf) [r.p.964s + 2.286) -----------------------------------------------------(s+12.679) 14. deng=[0 -40 -50 (roots([1 7 100]))' (roots([1 6 90]))'].[1 13 9 37 35 50]) Gzpk=zpk(Gtf) Transfer function: s^4 + 25 s^3 + 20 s^2 + 15 s + 42 ----------------------------------------s^5 + 13 s^4 + 9 s^3 + 37 s^2 + 35 s + 50 Zero/pole/gain: (s+24. Utilice Matlab para generar la expansión en fracciones parciales de la siguiente función: 104 (s+10)( s+60) R ( s )= s (s +40)(s+50)( s2 +7 s+100)(s2 +6 s+90) Código en Matlab numg=[-10 -60].5) (s^2 + 1.463s + 1. Repita el problema 18. . usando ecuaciones de nodos.19. a) Nodo a Va ( S ) −Vi(S) Va(S) Va ( S )−Vb(S) + + =0 2S 1 3s Va ( S ) Vi ( S ) Va(S) Va ( S ) Vc ( S ) − + + − =0 2S 2S 1 3s 3s ( 5+ 6 S ) Va(S) Vc ( S ) Vi ( S ) − = 6S 3s 2S Nodo b Vb ( S )−0 Vb ( S )−Va( S) + =0 1 3S 1 S 2 −Va(S) SVb ( S ) Vb ( S ) + + =0 3s 2 3S −Va(S) 3 S 2+ 2 + Vb ( S )=0 3s 6S ( ) . [ ][ Vi ( S ) 2S = 0 ][ ( 5+6 S ) 6S −1 3S −1 Va( S) 3S 2 3 S + 2 Vb(S) 6S ] 2 3 (5+ 6 S ) 3 S 2+ 2 1 15 S +10+ 18 S +12 s 1 ∆= × − 2= − 2 2 6S 6S 9S 36 S 9S ∆= Va ( S )= [ 6 S 3+5 S2 + 4 S +2 12 S 2 Vi ( S ) 2S 0 −1 3S 3 S 2+ 2 6S ] 6 S3 +5 S2 +4 S +2 12 S2 Vb ( S )= [ ( 5+ 6 S ) 6S −1 3S 3 Vi ( S ) 2S 0 2 = ] 6 S +5 S +4 S+ 2 12 S2 Vi ( s ) ( 3 S 2+ 2 ) ( 6 S3 +5 S 2 +4 S+ 2 ) = 2 Vi ( s ) 6 S +5 S 2+ 4 S+2 3 3 S2 +2−2 ¿ Vi ( s ) ¿ V 0 ( s ) Va ( S )−Vb(S) = =¿ Vi ( s ) Vi ( s ) b) . Va ( S ) −Vi(S) ( S2 +1 ) Va ( S )−0 Va ( S ) −Vo(S) + + =0 S S 1 ( Vi(S) S 2+ S+ 2 Va ( S ) −Vo ( S )= S S ) nodo b Vo ( S ) −Va(S) Vo ( S )−Vi(S) + SVo ( S ) + =0 1 S Va ( S )+ Vi (S) S2 + S+1 Vo (S )= S S Va ( S )= ( Vi ( S ) S2 + S+1 − Vo ( S ) S S )[ ] Vi( S) S 2+ S+ 2 Vi ( S ) S 2 +S +1 − Vo ( S ) −Vo ( S )= S S S S [ 2 ] S+ 2 ( ) S +2 S+ 1 Vi S = Vo ( S ) 2 S S . G ( s )= V o (s ) V i ( s ) .2 Vo ( S ) S +2 = 3 Vi ( S ) S +2 S 2+ 2 21. a) 3 Z 1=500∗10 + 1 1∗10−6 s Z 1=5∗105 + 106 s Z 2=1∗105 + 106 s 10 6 V ( s ) −Z 2 ( s ) s G(s )= o = = V i( s ) Z1 ( s ) 106 5∗105 + s 1∗105 + . para cada uno de los circuitos amplificadores operacionales que se ilustran en la figura. Encuentre la función de transferencia. 5 6 10 s+10 1 − s +1 s 10 G ( s )= = 5 6 1 5∗10 s +10 s +1 2 s − G ( s )= −1 s+10 5 s+2 b) Z 1=10 5+ 106 s 10 5∗106 s Z eq = 106 105 + s 11 1∗10 s 1∗1011 10 6 106 Z eq = 5 = = = 10 s +106 10 5 s+106 s +10 s +10 s Z 2=10 5+ 6 10 s+10 . 5 Z 2= 6 6 10 s +10 +10 s+ 20 =105 s+10 s+ 10 −Z 2 G ( s )= = Z1 s+20 s+10 6 5 10 10 + s −10 5 s+20 s+10 −s ( s +20 ) G ( s )= = s+10 ( s+10 )2 s − G ( s )= −s ( s+20 ) ( s+ 10 )2 23. Encuentre la función de transferencia.9. G(s)=X1(s)/F(s). para el sistema mecánico de translación que se ilustra en la figura P2. [ ][ ][ ] F (S) 1 −1 X2 = 2 0 −1 1+ S+ S X 1 ∆=1+S + S2−1=S +S 2 . [ ][ ][ ] 2 F ( s ) = s +1 −1 ∗ X 1 ( s ) 2 −1 s +1 X 2 ( s ) 0 ∆=( s4 + 2 s2 +1 ) −1 4 2 ∆=s +2 s 2 2 ∆=s ( s +2) [ ] s 2 +1 F (s) −1 0 F (s) X 2 ( s )= = 2 2 ∆ s (s +2) X 2 ( s) 1 = 2 2 F ( s ) s ( s +2) . Encuentre la función de transferencia G(S)=X2(S)/F(S).X 1= [ 1 F (s ) 1 0 S+ S 2 ] = F(S) X1 1 1 → = = 2 2 F ( S ) S+ S S ( 1+S ) S+ S 24. para la red mecánica traslacional que se muestra en la figura P2.10. 12.13. . [ ][ ][ ] 2+ S 2+ 3 S −(1+ S) X 1 0 = F (S) −(1+S ) 1+2 S+ S 2 X 2 2 ∆=( 2+ S2 +3 S ) ( 1+2 S+ S 2 )−( 1+ S ) 4 3 2 3 2 2 2 ∆=S +2 S + S +3 S +6 S +3 S +2 S + 4 S+2−1−2 S−S ∆=S 4 +5 S3 +8 S2 +5 S +1 X 1= → [ 4 0 −(1+ S ) F ( s ) 1+2 S + S2 3 2 ] S +5 S +8 S +5 S +1 = F ( s ) (1+S ) ( S+1 ) ( S3 + 4 S 2 +4 S+ 1 ) (1+ S) X1 1 = = 3 3 2 2 F( S) ( S +1 ) ( S + 4 S + 4 S +1 ) ( S +4 S + 4 S+1 ) 27. para el sistema mecánico traslacional que se muestra en la figura P2.26. Encuentre la función de transferencia G(s)=X3(s)/F(s). encuentre la función de transferencia G(S)=X1(S)/F(S). Para el sistema de la figura P2. ][ ] [ ][ x1 ( s ) s 2+ s+ 1 −1 0 0 2 F ( s ) = −1 s +s +2 −s x2 ( s ) 2 0 0 −s s + s+1 x 3 ( s ) ∆=( s2 + s+1 ) ( s2 + s+1 ) ( s2 +s +2 ) −( s 4 + s3 +2 s2 +s +1 ) ∆=s 6 + s5 +2 s 4 + s 4+ s 3 +2 s2 + s2 + s+2+2 s5 +2 s 4 + 4 s 3 +2 s 4 +2 s 3+ 4 s2 +2 s 3 +2 s 2+ 4 s−s 4−s 3−s2−s2 −s−1 6 5 4 3 2 ∆=s +3 s +6 s + 8 s +7 s + 4 s +1 x 3 ( s )= x 3 ( s )= [ s2 + s+1 −1 0 2 −1 s + s+ 2 F( s) 0 −s 0 ] s6 +3 s5 +6 s4 + 8 s 3+ 7 s 2+ 4 s+1 ( s 2+ s 2+ s ) F ( s ) 6 5 4 3 2 s +3 s +6 s + 8 s + 7 s + 4 s+1 x3 (s ) ( s 2 +s 2 +s ) = F ( s ) s6 +3 s5 +6 s 4 +8 s 3 +7 s 2+ 4 s+1 . Para el sistema rotacional que se muestra en la figura P2.22. encuentre la función de transferencia. G(S)=�l(S)/T(S).17. G ( s )=θ2 (s)/T ( s) 36. [ ][ ][ ] T (S) ( S 2 +2 S+ 1 ) −(1+ S) θ 1 = 0 −(1+ S) 1+ 2 S θ 2 ∆=( S2 +2 S +1 ) (1+2 S )− (1+2 S ) 2 ∆=2 S 3+ 4 S2 +2 S=2 S(S2 +2 S +1) θ 2= [ ( S2 +2 S +1 ) T ( S ) −( 1+ S ) 2 0 2 S ( S +2 S +1 ) ] = T ( S ) ( 1+S ) θ2 1 → = ( )( ) ( ) ( 2 S S +1 S+1 T S 2 S S +1 ) 33. Para el sistema mecánico rotacional que se muestra en la figura P2. Para el sistema rotacional que se muestra en la figura. encuentre la función de transferencia. encuentre la función de transferencia G(S)=�2(S)/T(S).31. . Grafico equivalente: [ ][ ][ ] 10 T (S) S (S +1) −S 0 θ2 = −S 0 S +1 −1 θ 3 0 0 −1 S+1 θ 4 2 ∆=S ( S+ 1 ) −[ S ( S +1 )+ S 2 ( S+1 ) ] ∆=S ( S+ 1 )3−S ( S +1 )( S+1 ) =S ( S+1 )2 [ ( S +1 )−1 ] ∆=S 2 ( S+ 1 )2 θ 4= [ S ( S +1 ) −S 10 T ( S ) −S S+1 0 0 −1 0 2 S ( S+ 1 ) → 2 ] = S 10 T ( S ) 10 T ( S ) = 2 2 S2 ( S+ 1 ) S ( S+1 ) θ4 10 = T ( S ) S ( S+ 1 )2 θL= 50θ 4 =5 θ 4 10 . N. Sistemas de control para ingeniería (Tercera Edición ed. Se recordó la resolución de la transformada de Laplace y su utilización en ejercicios de circuitos eléctricos y de movimiento mecánicos. Obtenido de http://es. ANÁLISIS DE RESULTADOS 7. 8.). útiles a la hora de trabajar con las funciones de transferencia de los sistemas. Se realizó efectivamente los ejercicios propuestos demostrando que los temas fueron asimilados correctamente.2. México: Editorial Continental.ing. (s.wikipedia. . BIBLIOGRAFÍA Función de transferencia. de http://ciep.). (2006). Recuperado el 23 de NOVIEMBRE de 2014. Además se aprendió la utilización de ciertos comandos en Matlab.f.uaslp. mediante la utilización de las funciones de transferencia. (23 de Noviembre de 2014). recordando que facilita el análisis de sistemas en el dominio s.mx/njjccontrol/images/pdf/c_tema_2.pdf Nise.θL=5 10 50 = 2 S ( S+1 ) S ( S+1 )2 6. CONCLUSIONES Realizar las preguntas de repaso fue bastante enriquecedor para afianzar los conocimientos de la materia respecto a los temas tratados en clase.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_transferencia FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS FÍSICOS.