UNIPCapítulo 2: ANÁLISE DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Nos estudos de cinemática são estudados os diversos movimentos, o objetivo destes estudos esta na definição da posição de qualquer ponto do corpo rígido para qualquer tempo de observação. Os movimentos podem ser desde retilíneos em um plano de referência, denominados movimento de translação, até movimentos mais complexos onde podem ser curvilíneos e no espaço. Neste caso é necessário definir o referencial fixo para estudo deste movimento. Na cinemática este é o “Movimento Geral”. As forças produzidas nestes movimentos são estudadas na dinâmica. Um caso de interesse particular no estudo da “Dinâmica dos Corpos Rígidos” é o movimento de rotação dos corpos. Este estudo torna-se importante para o entendimento das máquinas e das forças atuantes durante o seu funcionamento. Motores, bombas, ventiladores, veículos, turbinas, robôs, ou seja, praticamente todas as máquinas possuem o movimento de rotação. As figuras a seguir mostram alguns casos de aplicação destes movimentos no estudo das máquinas. Figura 2.1. Movimentos de Rotação nas Máquinas O elevado número de forças atuantes nos mecanismos em rotação são importantes para o estudo do funcionamento da máquina e para o dimensionamento de todos os seus componentes (eixos, mancais, impelidores, carcaça, etc...). Estes esforços são dependentes principalmente dos efeitos de inércia das massas rotativas. Neste capítulo serão estudos os principais fatores envolvidos na dinâmica da rotação. 1 considerando o movimento tridimensional. Nos estudos da dinâmica foram definidas as duas equações fundamentais.1. que resolve os problemas no plano com base nos valores de momento de inércia analisados no Capítulo I. 2 . ver figura a seguir.3 e do conceito de Momento Angular podemos definir a expressão: ∑( ) Nesta expressão e representam. Figura 2. o vetor de posição e a velocidade do ponto material de massa em relação ao sistema de referência baricêntrico Gxyz (figura 2. ̇ G. na verdade está associado ao “Torque” atuante em um corpo em rotação.UNIP 2.2. respectivamente.3). conforme figura abaixo. Corpo Rígido: Momento Angular Movimento Tridimensional A seguir será apresentado o método para obter o Momento Angular. A partir da figura 2. Momento de Inércia no Movimento Plano: Placa Rígida e Corpos Simétricos Para a solução do movimento tridimensional é necessário conhecer o valor do momento de inércia em relação aos três eixos. Momento Angular de um Corpo Rígido Tridimensional: A expressão “Momento Angular” não é muito comum na prática de engenharia. O Torque é a derivada do momento angular no tempo.3. que inclui o estudo do movimento geral: ∑ ∑ ̅. Figura 2. a partir da sua velocidade angular ω. HG em relação ao centro de massa G. ̅ O Momento Angular é obtido na expressão: G . onde ω é a velocidade angular do corpo no instante considerado. y e z.UNIP Temos que: do Torque é definida por: . temos: ) ∫( ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ ) ∫ ) ∫( Nestas integrais os termos que contem quadrados representam os momentos de inércia baricêntricos (ou centrais) do corpo em relação aos eixos x. nesta relação e nas duas análogas obtidas para e . as integrais que contem os produtos de coordenadas representam os produtos de inércia baricêntricos (ou centrais) do corpo. A equação ( ∑[ ] ) Aplicando a regra do produto vetorial temos (regra de Cramer): [ ] ( ) ( ) ( [ Como exemplo para o valor de ) ] : ∑[ ( ) ∑[ ( ( ( ) ) ∑( ) ] )] ∑ ∑ Substituindo as somatórias por integrais. Representamos da seguinte maneira: ̅ x ∫( ̅ ) y ∫( ) ̅ ∫( x ) Analogamente. Temos: ̅ xy ∫ ̅ yz ∫ ̅ zx ∫ 3 . Temos a seguinte situação: ̅ [ ̅ ] ̅ Neste caso temos as relações: ̅ x’ ̅ y’ ̅ z’ 2. este sistema define os eixos principais de inércia.1. Teorema dos Eixos Paralelos: O Teorema dos Eixos Paralelos estabelece a seguinte relação. com referência a figura abaixo.UNIP Substituindo as relações obtemos o seguinte resultado: x ̅ xy ̅ xz yx y ̅ yz ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ zx ̅ zy z A figura a seguir mostra que a operação que transforma o vetor ω no vetor matriz de momentos e produtos de inércia: é caracterizada pela Figura 2. É possível definir um sistema de referência Gx’y’z’ onde os produtos de inércia são nulos. Representação do Vetor do Momento de Inércia Tridimensional ̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅ ̅ ̅ ] ̅ ̅ Esta matriz define o tensor de inércia. onde Oxyz representa um sistema de coordenadas com origem em um ponto arbitrário O e Gx’y’z’ um segundo sistema de coordenadas com eixos baricêntricos paralelos (eixos no centro de massa do corpo): 4 .1.4. 12: Um forjado de aço consiste em um prisma retangular de 152. o eixo B’ passando pelo baricentro e um eixo paralelo arbitrário A’ a uma distância d. 5 . Determinar o momento de inércia em relação aos eixos coordenados.8 mm e em dois cilindros de 50. conforme figura. Definição do Momento de Inércia para Eixos Paralelos Os momentos de inércia em relação ao sistema de coordenadas em O é definido por: ̅ ̅ ̅ (̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ) Podemos simplificar esta equação para o caso geral onde temos a situação representada na figura.85 x 103 kg/m3). (Massa Específica do Aço: ρ = 7.8 mm de diâmetro e 76. Figura 2.UNIP Figura 2.4 mm x 50.2 mm de comprimento.5.8 mm x 50.6. Caso Simplificado Eixos Paralelos ̅ Exemplo de Aplicação Beer Johnston – Problema Resolvido 9. 85 x 103 x (π x 25.mm2 ) )( kg.UNIP Dados: Momentos Principais de Inércia Solução: Neste exemplo o eixo de referência passa no baricentro do prisma.85 x 103 x (50.mm2 ) Momento de Inércia de cada Cilindro (eixo não coincide com a referência.42 x 76.8 x 50. temos: 6 .mm2 ) ) ( )] kg.09 kg Massa do Cilindro: mc = 7.2) x 10-9 = 1.8 mm da referência adotada.mm2 Somando os valores e observando a transformação de unidades.212 kg Momento de Inércia do Prisma (eixo coincide com a referência considerada): ( ( )( kg.4) x 10-9 = 3.8 x 152. Para o cálculo do momento de inércia do sólido combinado devemos inicialmente calcular as massas de cada peça individualmente: Massa do Prisma: mp = 7. teorema dos eixos paralelos) ( ( ( )[( )( ) )[( ) ) ( ( )( ( )] )] ( ( )[( kg. os cilindros estão deslocados de forma paralela dos seus respectivos eixos baricêntricos de 50.mm2 ) )( kg. 5: ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 7 . λz) os cosenos diretores do vetor unitário λ. λy.1. O Teorema dos Eixos Paralelos é aplicado conforme equação abaixo e figura 2. Produtos de Inércia: Consideremos a figura onde é representado o eixo arbitrário OL.m2 2.2. Eixo Arbitrário Sendo (λx. passando pela origem.m2 kg.m2 kg.7. O momento de inércia IOL é definido pela expressão: Figura 2.UNIP kg. Momento de Inércia de um Corpo em Relação a um Eixo Arbitrário. 3 m e 0. O eixo de rotação coincide com uma das diagonais.4 m.z) com eixo x coincidente com o eixo de rotação. adotou-se sistema de eixos com origem no Centro de Massa CM(x. sua espessura é desprezível e suas dimensões são 0.UNIP Exemplo de Aplicação: O sistema da figura é composto por uma placa retangular produzida em aço e apresenta densidade superficial de massa ρ = 7.y. c) os produtos de inércia Ixy. Pedem-se: a) a massa m da placa. Solução: A estratégia de solução será considerando os eixos na posição da figura a seguir: 8 . Iyz e Ixz. b) o momento de inércia em relação ao eixo de rotação.850 kg/m2. e desta forma. também são iguais a zero. temos: ( ) Os produtos de inércia: Ix1y1. Temos que: ) kgm2. Os produtos de inércia que envolvem a espessura da placa.80.60 Substituindo os valores.UNIP O ângulo θ é os sistemas de eixos é obtido pelas dimensões da figura: Obtendo nas tabelas os valores do momento de inércia da placa e sabendo que a espessura é zero. Cosθ = 0. Senθ = 0. temos: ( ) kgm2 9 . temos: kgm2 ( c) ) ( ) Substituindo os valores. a) b) ( ) ( ) ( kgm2. . temos: Utilizando os eixos definidos na figura inicial. Iy1z1 e Ix1z1 são todos iguais a zero devido a simetria da figura. Iyz e Ixz. UNIP 2. gira em torno do eixo 2 definido pelos mancais A e B com aceleração angular a = 2 rad/s . montado com barra de espessura desprezível. considerando o peso. 2 2 2 Alguns elementos da matriz de inércia são calculados ao polo A são conhecidos: Ixx = 9.0 rad/s. possui massa m = 20 kg.0 rad/s em torno do eixo preso ao garfo. Um rotor de massa m = 493 kg.m .2.2.z) é solidário à árvore de manivela. com centro de massa CM (0. com origem no centro de massa do conjunto.0) sustentam o rotor.0 kg está preso a um garfo ligado a um eixo horizontal fixado por dois mancais A e B. expresso em Kg. O momento de inércia Ixx em relação ao eixo x.4. Exercícios de Aplicação: 2.58 kg. Iyz e Ixz 2.m .m e Izx = 1. pedem-se: a) os momentos de inércia Ixx. em relação ao sistema de eixos A(x. O sistema de eixos CM(x.2. 3 comprimento 210 mm e espessura de 10 mm. produzidos com aço de densidade ρ = 7850 kg/mm . é: 2. soldados a 4 placas de largura 35 mm.y. o garfo e o eixo AB giram com velocidade angular constante w1 = 5.0) e B(1. Na figura ilustrada. O 2 rotor apresenta aceleração angular constante α = 10 rd/s e no instante representado apresenta a velocidade angular ω = 50 rd/s.z) ligado ao eixo AB do sólido gira com velocidade ω. O sistema ilustrado é composto por 5 cilindros de raio 25 mm e comprimento de 100 mm. Considera-se o sistema de eixos que passa pelo centro de massa do disco e é rigidamente ligado ao eixo do disco preso ao garfo.02.600. O vetor velocidade angular do disco expresso através de versores em negrito.m . Dois mancais A(0. 10 .0. massa m= 3. Calcular: a) o conjugado axial na direção do eixo de rotação e b) os esforços nos mancais.0. Ixy = 1. Considerando o sistema de eixos.y.1.0. b) os produtos de inércia Ixy.2. A árvore de manivela ilustrada.86 kg. um disco de raio R = 0.97 kg. ligado à montagem. Adotar 2 2 g = 10 m/s . Iyy e Izz. O disco gira com velocidade angular constante w 2 = 8.00).0.4. é aproximadamente: 2.2.2.8 m.3. todas as coordenadas estão em metros.
Report "Capitulo 2 Analise Dinamica Do Movimento de Rotacao[2]"