CAPÍTULO 13 ANÁLISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO Y PERIODO DE RECUPERACIÓNEl análisis del punto de equilibrio tiene el propósito de determinar el valor de una variable o un parámetro de un proyecto o alternativa que iguala a dos elementos, como el volumen de ventas que iguala ingresos y costos. El análisis de punto de equilibrio casi siempre se aplica en decisiones de hacer o comprar cuando las corporaciones y los negocios deben decidir respecto de la fuente de los elementos fabricados, servicios, etc. El análisis de punto de equilibrio determina la vida mínima requerida de un activo, proceso o sistema para recuperar la inversión inicial. Hay dos tipos de Recuperación: con rendimiento (i > 0%) y sin rendimiento (i = 0%). El análisis de periodo de recuperación no debe considerarse la decisión final, sino más bien usarse como herramienta exploratoria o para obtener información adicional para un análisis de VP, VA, o de otro tipo. 1. Análisis de punto de equilibrio para un proyecto único Cuando una de las literales de la ingeniería económica – P, F, A, i o n – se desconoce o no se ha calculado se puede determinar una cantidad de punto de equilibrio mediante la igualación a cero de una ecuación de equivalencia para VP o VA. Hasta ahora utilizamos esta forma de análisis de punto de equilibrio. Los métodos para el cálculo de dicha cantidad son: Solución directa a mano si se cuenta con uno de los factores (digamos P/A) o solo se calculan cantidades únicas (por ejemplo: P y F) Ensayo y error a mano cuando hay factores múltiples Hoja de cálculo cuando el flujo de efectivo y otros cálculos se introducen en celdas de la hoja cálculo y se utilizan en funciones incorporadas (VA, VE, TASA, TIR, VNA, PAGO y NPER) o herramientas como Buscar objetivo y Solver). Ahora nos concentraremos en la determinación de la cantidad de punto de equilibrio 𝑸𝑩E para una variable de decisión o parámetro. Por ejemplo, la variable puede ser un elemento de diseño para disminuir costos, o el nivel de producción que se requiere para generar ingresos que exceda 10% los costos. La unidad del parámetro Q varía mucho: puede expresarse en unidades anuales, costo por kilogramo, horas por mes, porcentaje de plena capacidad de la planta, etcétera. sistemas de información y utilización intensiva de la plantilla laboral. normalmente incluyen dos elementos: fijos y variables. etc. mercadotecnia. los costos fijos se presentan en algún nivel de inicio. Los costos fijos se reducen mediante equipo mejorado. el tamaño de la plantilla laboral y otros parámetros. y prestaciones menos costosas. gastos generales fijos.Los costos que pueden ser lineales o no lineales. materiales. recuperación de capital de equipo y sistemas de información. . calidad y seguridad mejoradas. seguros. La figura muestra la ecuación de CT para los costos fijos y variables lineales. un nivel mínimo de mano de obra. Aun sin producción de unidades. Los costos variables cambian con el nivel de producción. por lo que no cambia en un rango amplio de parámetros de operación como nivel de producción o tamaño de la fuerza de trabajo. subcontratación de funciones específicas. eficiencia de fabricación. costos indirectos. Costos fijos (CF): Incluyen costos como edificios. El componente de costo fijo es en esencia una constante para todos los valores de la variable. y volumen de ventas más elevado. publicidad y garantías. Costos variables (CV): Incluyen costos como mano de obra directa. contratistas. Cuando se suman CF y CV forman la ecuación del costo total CT. Con frecuencia es posible reducir los costos variables con diseños de productos perfeccionados. a mayor cantidad habrá mayores utilidades. Si Q >𝑸𝑩𝑬. existe una utilidad previsible. Para un valor especifico aunque desconocido de la variable de decisión Q. Las utilidades se calculan de la siguiente manera: 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 =𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠−𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑅−𝐶T =𝑅−(𝐶𝐹+𝐶𝑉) . En el caso de los modelos lineales de R y CV. pero si Q < 𝑸𝑩𝑬.La figura muestra una curva general de CT para una CV no lineal donde los costos variables unitarios disminuyen conforme el nivel de la cantidad se incrementa. las relaciones de ingreso R y costo total CT se intersecan para identificar el punto de equilibrio 𝑸𝑩𝑬. hay una pérdida. La figura a continuación lo demuestra. . La gráfica del punto de equilibrio es una herramienta importante porque es sencilla y útil en la toma de decisiones y varias formas de análisis. si se redujera el costo variable por unidad. mayor es la utilidad para una cantidad dada de ingreso. La utilidad máxima ocurre cuando 𝑸𝑷 se ubica entre los dos puntos de equilibrio donde la distancia entre las relaciones R y CT sea la mayor. lo que indica una utilidad igual a cero. la recta CT tendría pendiente más pequeña y el punto de equilibrio bajaría. Esto implicaría una ventaja porque. 𝑅=𝐶𝑇 𝑟𝑄=𝐶𝐹+𝑣𝑄 Dónde: 𝑟=𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣=𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 Se despeja para la cantidad de equilibrio Q = QBE en las funciones R y CT. mientras más pequeño sea el valor de 𝑸𝑩𝑬. Si se utilizan modelos no lineales de R o CT puede haber más de un punto de equilibrio. Por ejemplo.Puede obtenerse una expresión para el punto de equilibrio cuando el ingreso y el costo total son funciones lineales de la cantidad Q al plantear las relaciones para R y CT iguales entre sí. si los costos fijos se mantienen constantes? Sol. La siguiente figura es una gráfica de las líneas R y CT. Se dispone de la siguiente información: Costos fijos = Costos variables por unidad = Ingreso por unidad = CF= $ 2. El nivel de producción incrementada de 72 unidades se encuentra por encima del valor de equilibrio. lo que disminuye el ruido a niveles aceptables. El valor del punto de equilibrio es de 60 unidades desviadoras. pero gracias a la mejora notable de las condiciones económicas en Asia. a) Con la siguiente ecuación se determina el número de unidades de equilibrio. la producción es de 72 por mes.4 millones por mes 𝑣 = $35 000 𝑟 = $75 000 a) ¿Cómo se compara el nivel de producción aumentado de 72 unidades mensuales con el punto de equilibrio actual? b) ¿Cuál es el actual nivel de utilidades mensual de las instalaciones? c) ¿Cuál es la diferencia entre los ingresos y el costo variable por silenciador que es necesario equilibrar a un nivel de producción mensual de 45 unidades. . El nivel normal de producción es de 60 sistemas de desvió por mes.EJEMPLO 1: La empresa Indira industries es un fabricante importante de silenciadores de desvío que se usan en la industria de generación de electricidad con turbinas para desviar los gases de escape de la turbina hacia una barrera lateral. Todas las cantidades se expresan en miles de dólares. con una utilidad = 0.33 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 La dispersión entre 𝑟 y 𝑣 debe ser de $53 330. como precio unitario. La igualación de las ecuaciones de VP o VA determina el punto de equilibrio. si el número de unidades de la variable común es mayor que la cantidad del punto de equilibrio. la alternativa 2 tiene un costo variable menor. costo de operación. el costo anual de operación (COA) o cualquier otro parámetro. Sin embargo. A menudo el análisis de punto de equilibrio implica ingresos o costos variables comunes a ambas alternativas. En unidades de $ 1000 0= (𝑟−𝑣)(45)−2400 𝑟−𝑣=2400/45=$ 53. Análisis de punto de equilibrio entre dos alternativas. La intersección de las líneas de costo total ubica el punto de equilibrio y el costo variable establece la pendiente. un nivel anticipado de operación por debajo del punto de equilibrio favorece la alternativa 1. el ingreso por desviador debe incrementarse de $75 000 a $88 330 para alcanzar apenas el equilibrio con un nivel de producción de Q = 45 mensuales. La siguiente figura ilustra este concepto para dos alternativas con ecuaciones lineales de costo. 2. pues será menor costo total.b) Para calcular las utilidades (en unidades de $1000) de Q = 72 unidades mensuales se emplea: 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 =𝑅−𝐶𝑇=𝑟𝑄−(𝐶𝐹+𝑣𝑄) =(𝑟−𝑣)𝑄−𝐶𝐹 = (75−35)72−2400=$480 Actualmente hay una utilidad de $480 000 mensuales. El parámetro puede ser la tasa de interés i. se elige la alternativa 2. La selección de la alternativa es diferente en función de dos condiciones: la pendiente de la curva del costo variable y el valor del parámetro relativo al punto de equilibrio. El análisis de punto de equilibrio implica la determinación de una variable común o parámetro económico entre dos alternativas. . como lo indica su pendiente de menor valor. Por tanto. El costo fijo de la alternativa 2 es mayor que el de la alternativa 1. costo de materiales y costo de mano de obra.4 millones. Si 𝑣 se mantiene en $35 000. c) Para determinar la diferencia 𝑟−𝑣 se emplea la ecuación anterior. Q = 45 y CF = $ 2. Por el contrario. el costo inicial P. se requerirán tres trabajadores con un salario de $8 la hora para cada uno. elija la alternativa con el costo variable más alto (pendiente mayor) Si el nivel se ubica por encima del punto de equilibrio.En lugar de trazar una gráfica de los costos totales de cada alternativa y calcular gráficamente el punto de equilibrio. Se espera que los costos anuales de mantenimiento y operación sean de $3 500. una vida de cinco años y una producción de seis toneladas por hora. EJEMPLO 2: Una pequeña empresa aeroespacial evalúa dos alternativas de compra: una máquina de alimentación automática y una máquina de alimentación manual para procesos de acabado. Defina la variable común y sus unidades de dimensión 2. elija la alternativa con el costo variable menor. La producción prevista es de ocho toneladas por hora. Operará la máquina un trabajador con un salario de $12 por hora. Iguale las dos ecuaciones y despeje el valor del punto de equilibrio de la variable La selección entre alternativas se basa en el criterio siguiente: Si el nivel anticipado de la variable común es inferior al valor del punto de equilibrio. sin valor de rescate. Aplique un análisis de VA o VP para expresar el costo total de cada alternativa como función de la variable común 3. Los siguientes pasos permiten determinar el punto de equilibrio de la variable común y la pendiente de una relación de costo total lineal. La máquina tendrá un . Sin embargo. puede resultar más sencillo calcular numéricamente el punto de equilibrio con expresiones de ingeniería económica para VP o VA a la TMAR. un valor de rescate calculado en $4 000 y un pronóstico de vida de 10 años. los cálculos del VA son más sencillos para alternativas con vidas diferentes. La máquina de alimentación manual alternativa tiene un costo inicial de $8 000. 1. La máquina de alimentación automática tiene un costo inicial de $23 000. Se prefiere el VA cuando las unidades de la variable se expresan anualmente: además. compre la máquina de alimentación automática. Sea x el número de toneladas al año 2. la alternativa 2 resulta más económica. . menor que la pendiente del CV de la máquina de alimentación manual que es de 4. es preferible la alternativa 3. Aplique los pasos anteriores para calcular el punto de equilibrio entre ambas alternativas. pues su pendiente de CV es 1. debe elegirse la alternativa 1. Por ejemplo en la siguiente figura. En el caso de la máquina de alimentación automática. Entre 40 y 60. Para hacerlo.costo anual de mantenimiento y operación de $1 500. 1. ¿Cuántas toneladas al año deben producirse con la finalidad de justificar el mayor costo de compra de la maquina automática? Sol. 3. Se espera que todos los proyectos generen un rendimiento de 10% anual. se comparan las alternativas por pares para determinar sus respectivos puntos de equilibrio. el costo variable anual es: El CV se expresa en dólares por año. el mismo tipo de análisis se puede llevar a cabo para tres o más alternativas. y por encima de 60. el costo variable anual y el VA de la máquina de alimentación manual son: 3. Iguale las dos ecuaciones de costo y despeje x Si se espera que la producción exceda 1 353 toneladas al año. Los resultados son los intervalos donde una alternativa resulta más económica. si la producción es menor de 40 unidades por hora.5. Análisis del periodo de recuperación Si bien los ejemplos anteriores abordan el caso de dos alternativas. La fórmula del VA para la máquina de alimentación automática es: Asimismo. viento. y el costo variable de fabricar la unidad es de $340 a) ¿cuál puede ser el costo fijo por año de la compañía a fin de que Banner estuviera en el punto de equilibrio con ventas de 9000 unidades por año? b) Si el costo fijo de Banner es en realidad de $ 750 000 por año. de Banner Engineering. Tiene un precio de lista de $589. El enfoque de diseñar por costos con objeto de fijar el precio de los productos implica determinar el precio de venta del producto y después buscar la manera de hacerlo con un costo mejor. ¿Cuál es la utilidad con un nivel de ventas de 7000 unidades por año? . El sensor basado en radar QT50R.1. utiliza tecnología de modulación de frecuencias para vigilar o detectar objetos de manera adecuada hasta 15 millas de distancia aun con lluvia.PROBLEMAS: Análisis del punto de equilibrio de un proyecto 13. humedad y temperaturas extremas. presión y tensiones en ambientes de ruido eléctrico. donde “E” es la eficiencia de la recuperación de metal( expresada en forma decimal). 13. Si una unidad base se vende en $2 950 y su costo variable es de $2 075 a) ¿Cuántas unidades deben venderse cada año para llegar al punto de equilibrio? b) ¿Cuál será la utilidad por ventas de 3000 unidades al año? Sol.) del agua residual producida por una refinería de cobre requeriría $12 millones. Un ingeniero metalúrgico estima que al inversión de capital para recuperar metales valiosos (níquel. plata.2. ¿Cuál debe ser el precio de venta promedio por libra de los metales preciosos que se recuperan y venden a fin de que la compañía esté en el punto de equilibrio con su TMAR de 15% anual? Sol. .3. El equipo tendría una vida útil de 15 años sin valor de rescate. y la eficiencia de ésta se estima en 71%. 13. El costo de operación mensual se representa con la relación $(2 600 000)E1. oro. Los costos fijos asociados a la manufactura son de $800 000 por año. La cantidad de metal que se descarga actualmente es de 2 880 libras por año antes de las operaciones de recuperación. Los medidores portátiles de fibra óptica con interferometría de luz polarizada blanca son útiles para medir temperatura.9 . etc.Sol. 65 INGRESOS $ POR CWT 8 500 12 500 COSTO $ POR CWT 3 900 9 900 . registradas este año para calcular las respuestas de cada planta.50 2. en dólares por cien unidades de peso (cwt). Hambry Enterprises produce un componente para reciclar el uranio utilizado como combustible nuclear en plantas de generación de energía en Francia y Estados Unidos. Use las cifras siguientes de costos e ingresos.Los problemas 13.7 se basan en la información siguiente.4 a 13. UBICACIÓN FRANCIA ESTADOS UNIDOS COSTO FIJO MILLONES DE $ 3.