Capítulo 1Tensão Desenvolvimento histórico A origem da resistência dos materiais (ou mecânica dos materiais) remonta ao início do século XVII, quando Galileu realizou experimentos para estudar os efeitos de cargas sobre hastes e vigas feitas de diferentes materiais. Entretanto, para a compreensão adequada desses efeitos, foi necessário fazer descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas dos vários materiais. Com o passar dos anos, depois de muitos dos problemas fundamentais da mecânica dos materiais terem sido resolvidos, tornou-se necessário usar técnicas avançadas da matemática e da computação para resolver problemas mais complexos. Como resultado, esse assunto se expandiu para outras áreas da mecânica avançada, como a teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade. A pesquisa nessas áreas é contínua, não apenas para atender à necessidade de resolver problemas avançados de engenharia, mas também para justificar a maior utilização e as limitações a que está sujeita a teoria fundamental da mecânica dos materiais. Cargas externas Um corpo pode ser submetido a vários tipos de cargas externas; todavia, qualquer uma delas pode ser classificada como uma força de superfície ou uma força de corpo. Reações do apoio As forças de superfície que desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre corpos são denominados reações. Equações de equilíbrio O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças, para impedir a translação ou movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o corpo gire. Cargas resultantes internas Uma das mais importantes aplicações da estática na análise de problemas de resistência dos materiais é poder determinar a força e o momento resultantes que agem no interior de um corpo e que são necessários para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas. Tensão admissível Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural ou mecânico deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Além disso, uma estrutura ou máquina em uso contínuo deve ser analisada periodicamente para que se verifique quais cargas adicionais seus elementos ou partes podem suportar. Portanto, vale repetir, é necessário fazer os cálculos usando-se uma tensão segura ou admissível. Um método para especificar a carga admissível para o projeto ou análise de um elemento é o uso de um número denominado fator de segurança. O fator de segurança (FS) é a razão entre a carga de ruptura, Frup, e a carga admissível, Fadm. 1 PROBLEMAS 1.1. Determine a força normal interna resultante que age na seção transversal no ponto A em cada coluna. Em (a), o segmento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa de 400 kg/m. Em (b), a coluna tem uma massa de 200 kg/m. Resolução (a) (b) W 2 = 400 x 9,81 x 1,2 = 4,7088 kN W = 200 x 9,81 x 3 = 5,886 kN W 1 = 30 x 9,81 x 3 = 8,829 kN NA – 8 – 6 – 6 – 4,5 – 4,5 – W = 0 - 5 – W 1 – 6 – W 2 – NA= 0 NA = 34,9 kN NA = 24,54 kN 1.2. Determine o torque resultante interno que age sobre as seções transversais nos pontos C e D do eixo. O eixo está preso em B. Resolução TC – 250 = 0 TD – 250 + 400 = 0 T C = 250 N.m TD = 150 N.m 2 1.3. Determine o torque resultante interno que age nas seções transversais nos pontos B e C. Resolução 500 – TC = 0 TB - 500 + 350 = 0 TC = 500 N.m TB = 150 N.m *1.4. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força de 80 N. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre a seção no ponto A. Resolução – VAsen(60°) - 80cos(45°) - NAsen(30°) = 0 VAcos(60°) - NAcos(30°) - 80sen(45°) = 0 VA = 20,7 N NA = 77,3 N – MA + 80cos(45°) x 0,3cos(30°) - 80sen(45°) x (0,1 + 0,3sen(30°)) = 0 MA = 0,55 N.m 3 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto D do elemento AB.2Cx = 0 Ax + Cx = 0 Cy = 175 N Cx = 131.75 N.15Cy + 0.5.25 N – VD – 175 = 0 VD = 175 N 4 MD + 175 x 0.05 = 0 MD = .4Ay .25 = 0 ND = 131.0.8.1.m . Resolução .25 N Ax = 131.70 = 0 Ay = 175 N ND + 131.25 N Ay + Cy = 0 0. 1.25) ND + TABcosθ + 5cosϕ = 0 VD + TABsenθ – 5senϕ = 0 MD – TABsenθ x dDB + 5senϕ x dDB = 0 ND = .15.2 = 0 θ + ϕ = artang( TBC = 12. Resolução ϕ = arctang( ) = arctang(0.00586 kN ϕ + ϕ = 14.63 kN VD = 0 kN MD = 0 kN.75) -0.m 5 . A viga AB é suportada por um pino em A e por um cabo BC.8TBCsenα – 5 x 1.6.4703° = arctang(1. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto D. 4703° .6 para as cargas internas resultantes que agem no ponto E. Resolva o Problema 1.m .8TBCsenα – 5 x 1.1.00586 kN ϕ + ϕ = 14.75) -0. Resolução ϕ = arctang( ) = arctang(0.2 = 0 θ + ϕ = artang( TBC = 12.15.25) ME = 0 kN.NE – TBCcosθ – 5cosϕ = 0 NE = .63 kN VE + TBCcosθ – 5senϕ = 0 VE = 0 kN 6 = arctang(1.7. 034 kN.5 x 3.9 + 0.9.675 x 0. Se o guindaste e a carga pesam 1.NC – 1.500 N.55 kN MC + P3 x 1.98 kN MB = .65 = 0 VB = 3. Resolução Seção 1 (0 NA = 0 kN Seção 2 (0 MA + 1.7 kN MA= . determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam nos pontos A.1.11.8.125 – 2.554 kN.3 + 2.5 = 0 VB – P2 – 1.5 = 0 VC = 0 kN NC = 5.m ) NB = 0 kN Seção 3 (0 VA – P1 – 1.654 kN.9 = 0 MC = .45 = 0 VA = 2.457 x 1. A lança DF do guindaste giratório e a coluna DE têm peso uniforme de 750 N/m.5 = 0 MB + 1.95 + 1.925 – 1.5 x 3.*1.m ) . B e C.5 x 0.m 7 . 57 N MA + 400cos(15°) x 0.1. no centroide da seção a-a (ponto A).808 N. A força F = 400 N age no dente da engrenagem.NA – 400sen(15°) = 0 NA = -103. Determine as cargas internas resultantes na raiz do dente.9. isto é. Resolução VA – 400cos(15°) = 0 VA = 368.00575 – 400sen(15°) x 0.37 N .004 = 0 MA = 1.m 8 . Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que passa pelo ponto C.10. A viga suporta a carga distribuída mostrada.815 kN RA = 12.285 – 16. Resolução .285 x 3.286 kN 0 NC = 0 kN 12.3F1 – (6 + RA + RB – F1 – F2 = 0 )F2 + 6RB = 0 RB = 22. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais.1.m 9 .2 x 1.8 – 12.2 – VC = 0 MC + 16.6 = 0 VC = 3.07 kN.915 kN MC = 15. VD – 8.03 kN =0 ME = .03 = 0 ME + 2.11.9 – 12.3F1 – (6 + RA + RB – F1 – F2 = 0 )F2 + 6RB = 0 RB = 22.0.285 x 1.286 kN Ponto E NE = 0 kN VE – 2. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais.03 x VE = 2.285 = 0 VD = 4.911 kN.1.8 = 0 ME = 14. Resolução .823 kN. Determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos D e E.1 + 12.18 kN MD + 8.m Ponto D ND = 0 kN .1 x 0.815 kN RA = 12.m 10 . A viga suporta a carga distribuída mostrada. 8 kN VC = -1. Cada seção está localizada no centroide.m (b) NC + 2.12.4cos(45°) = 0 VC – 2.4 kN.545 kN NC = .7 kN MC = 2.4 + VC = 0 B = 2.4 kN.*1.5456 x 4sen(45°) = 0 MC = 2. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre: seção a-a e (b) seção b-b. ponto C.5456 – 2.4 x 2 – 2. Resolução (a) 3.m 11 .4sen(45°) = 0 MC + 2.5456 x 4sen(45°) = 0 NC = 0.5456cos(45°) = 0 2.6 x 3 – 6sen(45°) x B = 0 NC + 2.5456sen(45°) .85 kN VC = 1.2.723 kN MC + 2.4 x 2 – 2.1. θ) Nb-b = 650cos(θ) Vb-b = 650sen(θ) 12 . Represente esses resultados em gráficos para .θ) Nb-b = 650sen(90°-θ) Vb-b = 563 N Nb-b = 325 N Na-a = 650 N 1. Considerando θ = 60°. A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.13.θ) = 0 Vb-b – 650cos(90° . sendo que cada uma delas passa pelo ponto A. cada uma em função de θ. Resolução (a) (b) Va-a = 0 N Vb-b = 650cos(90° . A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo do centroide do elemento.14. Determine a resultante das forças internas normal e de cisalhamento no elemento e : (a) seção a-a e (b) seção b-b. Determine a resultante das forças interna normal e de cisalhamento no elemento na seção b-b.1. Resolução Nb-b – 650sen(90° . Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B na viga.NB – 2 = 0 NB = 2 kN VB – 0.72 kN MB = . A carga de 4. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelos pontos C e D da viga no Problema 1.632 kN. Resolução .m *1. 13 .72 – 2 – 2 = 0 MB + 0.15. que passa 450 N.72 x 0. A viga pesa 600 N/m e está fixada à parede em A.1.6 – 2 x 0.4.275 = 0 VB = 4.000 N está sendo levantada a uma velocidade constante pelo motor M.15.16.45 + 4 x 1. 2 + 2.45 x 1.Ponto C W = 600 x 2.1 + 4 x 4.1 = 1.05 – 4 x 2.440 = 0 VB = 1.m Ponto D W = 600 x 4.920 kN.m 1.45 = 0 VD = 6. Resolução NB = 0 kN VB – 1.032 kN.440 x =0 MB = .520 N ND = 0 kN VD – W – 2 – 2 – 0.2 = 2.m .175 = 0 MC = 9.26 kN MC + 2 x 0.275 – 2 x 0.45 – 2 x 1.45 = 0 MD = .1. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B.260 kN -NC – 2 = 0 VC – 4 – W = 0 NC = 2 kN VC = 5.MB – 1.22.440 kN 14 .97 kN MD + 0.17.9 kN.52 x 2. 5 x 9 = 4.5 kN .5 – 0.4.5 kN.5 = 0 = h= kN/m P1 = 0.75 kN MC = 8.5 P2 = (1.5 x 1.1. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais.25 kN RA = 3.5 x 4.VC – P1 – P2 + 3.18.5 kN 15 .m P2 = 1.75 x 3 – 0.75 kN .5 kN NC = 0 kN VC = 1.5) x = 4.5 x 1 – 1.5 x 6 + 9RB = 0 RA + RB – P1 – P2 = 0 RB = 5.75 = 0 MC – 3. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto C.5 – 4. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Resolução P1 = 0. 18.5 x 1.5 kN 16 .5 – 0. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D no Problema 1.5 kN P2 = (1.4.19.5 – 4.25 kN RA + RB – P1 – P2 = 0 RA = 3. Resolução P1 = 0.5 x 4.m Q2 = 3.5 x 6 + 9RB = 0 RB = 5.75 kN Ponto D = h= kN/m Q1 = 0.25 x 3 = 0 MD = 9.5 kN .5 kN.25 = 0 VD = 1.5 x 9 = 4.25 kN MD + 3.5 kN ND = 0 kN VD – Q1 – Q2 + 5.5 + 0.1.5 x 2 – 5.5) x = 4. determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos D.9 + 2.67 – 2.67 = 0 6 + 6 – NF = 0 MF – 2. e cada um deles exercem uma força de 4 kN nas escoras. B e C. Resolução .4 = 0 1.8 kN.Ay – Cy + 12 = 0 Ax + Cx = 0 M – 4 x 1.67 kN 1.m Ponto F -VF + 2.4.1. E e F.m Cx = -2.2 – 4 x 1.20.4 kN.67 x 2.67 = 0 .2Ay + 0.2.m 17 .NE + 6 = 0 VE = .9Cx = 9.67 = 0 VF = 0 kN NF = 12 kN MF = .*1.67 x 0.2 = 0 M = 4.9Ax – 4 x 2.2Cy – 0.m Ponto E VE + 2.2 + 4.67 kN NE = 6 kN ME + 2.67 x 0.8 kN. Se as escoras estiverem acopladas por pinos em A.9 = 0 ME = . A estrutura do poste de energia elétrica suporta os três cabos.2.6 Ax = 2.67 kN Cy = 6 kN Ay = 6 kN Ponto D VD = 0 kN ND = 0 kN MD = 0 kN. 443 kN Ponto I 0.7217 kN R = 1.144 kN.25 kN MI = 0.RDcos(30°) – RCcos(30°) + 2.25 kN RCsen(30°) – RDsen(30°) = 0 RC = RD = R .7217 x 0.722 kN NI = 1. Determine as cargas internas resultantes na seção transversal que passa pelo ponto I. O pino de ligação está conectado à chapa em A e B. Resolução RDy = 1.5 kN.7217 – VI = 0 NI – 1.25 = 0 MI – 0. A ação de aperto sobre a borda do tambor é tal que somente forças horizontais e verticais são exercidas sobre o tambor em G e H.2 = 0 VI = 0. O guindaste de tambores suspende o tambor de 2.5 = 0 RDx = 0.21.1.m 18 . RDcos(30°) – RCcos(30°) + 2.25 kN RCsen(30°) – RDsen(30°) = 0 RC = RD = R .7217 kN R = 1.443 kN Ponto J -NJ + RDxcos(60°) + RDycos(30°) = 0 VD – RDxsen(60°) + RDysen(30°) = 0 NJ = 1.22.1. Determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam pelos pontos K e J no guindaste de tambores no Problema 1.21.443 kN VD = 0 kN MJ = 0 kN.016 kN 19 .m NK = 3.m Ponto K NK – 3. Resolução RDy = 1.016 = 0 VK = 0 kN MK = 0 kN.5 = 0 RDx = 0. Resolução (NB)x = 0 N (VB)z = 12 x 9.4 + 12 x 9.544 x 0. Se ele tiver fixado à parede em A.81 x 0.6 N (TB)x = 9.2 – 23.35 – 60 x 0.m 20 (MB)z = 0 N.23 N. Despreze o peso da chave CD.088 x 0.1.2 (VB)z = 70.42 N. O cano tem massa de 12 kg/m.81 x 0.1 (MB)y = 6.2 (TB)x = 47.m (MB)y = 60 x 0.05 – 47.m .088 x 0.23. determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B. e uma pressão uniforme de 50 N/m² age perpendicularmente à parede frontal da placa de sinalização.m (MB)y = 750 x 7. exceto pela viga. com centro de gravidade em D.m (NA)y = 0 kN (VA)z + 175 – 6 – 2 = 0 (VA)z = .8 – 2 x 3.*1.m (TA)y = . Resolução (VB)x = 0 N (VB)y = 0 N (NB)z = 0 N (MB)x = 0 N.167 kN 1. Resolução (TA)y + 0.625 N.6 + 175 x 3 = 0 (MA)x = 507 kN.3 x 2 = 0 (MA)z = 0 kN.m 21 .24.2. O poste está fixado ao solo. As cargas consideradas são a reação da roda de 175 kN em C. o peso de 6 kN do combustível no tanque da asa. com centro de gravidade em E. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B do poste de sinalização. determine as cargas internas resultantes na viga nesse ponto.25.m (TB)z = 375 N.5 (TB)z = 570 x 0.45 x 6 – 0.5 (MB)y = 5. Se a viga estiver fixada à fuselagem em A. Considere que a asa não transfere nenhuma carga à fuselagem. e o peso de 2 kN da asa.m (VA)x = 0 kN (MA)x – 6 x 1. A viga mestra AB suporta a carga na asa do avião.1 kN. Resolução (0.m 1. e está sujeito às forças aplicadas às polias nele fixadas.57 N (VD)z + 628.m (TD)x = 0 N. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto D.245.154.57 x 0.1.85 = 0 (MD)y + 800 x 0. 22 . As forças de 400 N agem na direção –z e as forças de 200 N e 80 N agem na direção +y. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais A e B e está sujeito ás polias nele fixadas.4 Fy) k = 0 Fy = .27.26.71 N Fz = 628.3 N.85 = 0 (MD)z = 149 N.m (MD)y = 94.7 i) x (400 j) + (1.4 N (VD)y = .55 – 628. A e B.7 x 0.57 – 800 = 0 (VD)y + 400 – 245. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois mancais. As forças de 400 N agem na direção –z e as forças de 200 N e 80 N agem na direção +y.4 i) x (Fy j + Fz k) = 0 (880 – 1.71 = 0 (VD)z = 171. Os suportes A e B exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo. Os apoios A e B exercem somente as componentes y e z da força sobre o eixo. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto C.4 i) x (160 j) + (0.3 N (ND)x = 0 N (MD)z + 400 x 0.4 Fz) j + (334 + 1.15 – 245.1 i) x (-800 k) + (1. Resolução (0,4 i) x (160 j) + (0,7 i) x (400 j) + (1,1 i) x (-800 k) + (1,4 i) x (Fy j + Fz k) = 0 (880 – 1,4 Fz) j + (334 + 1,4 Fy) k = 0 Fy = - 245,71 N Fz = 628,57 N -800 x 1,1 +1,4 Az = 0 Az = 629 N (MC)x = 0 N.m (NC)x = 0 N 160 x 0,4 + 400 x 0,7 +1,4 Ay = 0 (TC)x = 0 N.m Ay = 246 N (MC)y – 800 x 0,2 + 629 x 0,5 = 0 (MC)z + 246 x 0,5 = 0 (MC)y = - 154 N.m (MC)z = - 123 N.m (Ay) + (VC)y = 0 Az + (VC)z – 800 = 0 (VC)y = 246 N (VC)z = 171 N *1.28. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal da estrutura nos pontos F e G. O contato em E é liso. Resolução 1,5FE – 400 x 2,7 = 0 0,9Cy – 720sen(30°) x 1,8 = 0 By + Cy – 720sen(30°) = 0 FE = 720 N Cy = 720 N By = 360 N 23 Ponto F 1,2Cx – 0,9Cy = 0 Cx = 540 N - MF – 400 x 0,6 = 0 MF = 240 N.m NF = 0 N VF – 400 = 0 VF = 400 N Bx = 83,5383 N Ponto G NG + Bx = 0 - By – VG = 0 MG + 360 x 0,45 = 0 NG = 83,54 N VG = 3 60 N MG = - 162 N.m 1.29. A haste do parafuso está sujeita a uma tensão de 400 N. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal no ponto C. Resolução 400 + NC = 0 VC = 0 N MC + 400 x 0,15 = 0 NC = 400 N MC = 60 N.m 24 1.30. O cano tem massa de 12 kg/m e está preso à parede em A. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa por B. Resolução w1 = w2 = 12 x 9,81 x 2 = 235,44 N P1 = 450 N (VB)x = 0 N (NB)y = 600 N P2 = 600 N (MB)x = 1w1 + 2w2 + 2P1 (VB)z = w1 + w2 + P1 (VB)z = 921 N (TB)y = 0 N.m (MB)z = 800 N.m (MB)x = 1.606 N.m 1.31. A haste curvada tem raio r e está presa em B. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto A, o qual está localizado a um ângulo θ em relação à horizontal. Resolução -VA – Pcos(90° - θ) = 0 NA – Psen(90° - θ) = 0 VA = - Psen(θ) NA = Pcos(θ) 25 - MA – P(r – rcosθ) = 0 MA = - Pr(1 – cosθ) 293wr² (VB)z – P = 0 (TB)y = = (VB)z = 0. Se ela estiver no plano horizontal. Dica: A distância entre o centroide C do segmento AB e o ponto O é CO = 0. A haste curvada AD de raio r tem peso por comprimento w. determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto B.9745 r.*1. Resolução P= rw VB = P = rw (NB)y = 0 (MB)x = = rw x 0.5°) .785 wr (TB)y = 0.5°) (MB)x = 0.0783 wr² 26 rw(r – 0.32.9745cos22.9745rsen(22. PROBLEMAS 1. O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 kN.34. determine a tensão média de cisalhamento no pino.35. Resolução A= méd = 27 = 53.03 MPa . Determine a tensão normal média que age na seção a-a. A coluna está sujeita a uma força axial de 8 kN aplicada no centroide da área da seção transversal. Resolução A = 10 x 150 x 2 + 10 x 140 = 4.82 MPa 1. Se o pino tiver diâmetro de 6 mm.400 mm² σ= = 1. Mostre como fica essa distribuição de tensão sobre a seção transversal da área. 37. Resolução (σméd)B = ( )B = 151 kPa (σméd)C = ( )C = 32. com diâmetro externo de 45 mm e diâmetro interno de 25 mm. Resolução σméd = σméd = = 3.5 kPa 28 (σrup)D = ( )D = 25. C e D. O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. o pé de um homem com massa 75 kg é submetido momentaneamente a uma força equivalente a 5 vezes o seu peso.5 kPa . Considere que a fíbula F não está suportando nenhuma carga.346 MPa 1. Faça um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume infinitesimal localizados em cada seção.36. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B. A seção transversal pode ser considerada circular. Durante uma corrida.*1. Determine a tensão normal média desenvolvida na tíbia T da perna desse homem na seção a-a. 005 = 30 kN F1 + F2 – F = 0 XCG = 124 mm F2 = 40 x 106 x 0. determine a tensão de cisalhamento média no pino entre ele e a alavanca. O pequeno bloco tem espessura de 5 mm.5 = 10 N.06 x 0. determine a força F aplicada ao bloco e a distância d até o ponto onde ela é aplicada.005 = 6 kN F = 36 kN x 60F2 + 124F1 – 36d = 0 d = 110 mm 1.38.m = 29. Resolução F1 = (60 + 40) x 106 x 0.03 x 0.39. A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico AB. Se a distância de tensão no apoio desenvolvida pela carga variar como mostra a figura. Resolução T = 20 x 0. Se um binário for aplicado à alavanca.5 MPa méd 29 .1. cujo diâmetro médio é 6 mm. 3 kN 1. determine a tensão normal média no material. determine a maior carga vertical P aplicada no centro que ele pode suportar. Resolução A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.500 mm² σrup = Padm = σrup x A = 27.40. Mostre o resultado sobre um elemento de volume infinitesimal do material. Se o material falhar quando a tensão normal média atingir 0. Resolução A = 350 x 25 x 2 + 3 x 50 x 100 = 32.41. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura.500 mm² σrup = = 0. Se ele for submetido a uma força P = 4 kN aplicada em seu centro.*1.123 MPa 30 .84 MPa. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na figura. 2 N )AB = 3. O diâmetro de cada haste é dado na figura. Resolva o Problema 1.42 para θ = 45°. Considere θ = 30°.07 MPa σAC =( )AC = 6.001 MPa .777 N )AD = 4. Resolução FAC = 183. Resolução FAC = 176.93 MPa 1.42.777 N FACcos(45°) .1.43.2 N FACsen(30°) + FADsen(45°) – W = 0 FACcos(30°) + FADcos(45°) = 0 σAD =( )AD = 5.252 MPa 31 σAD =( FAD = 176. Determine qual das hastes está submetida à maior tensão normal média e calcule seu valor.FADcos(45°) = 0 σAB =( )AB = 3.93 MPa FACsen(45°) + FADsen(45°) – 250 = 0 σAC =( )AC = 6.479 MPa σAB =( FAD = 224. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A. Resolução σmancal = = 48.3771 N AAC = σAC =( dAC² AAD = )AC = 6.466° AAB = σAB =( dAB² )AB = 3.28FAD FAD = 140.3 MPa méd 32 = = 18.*1.45.92 N FAC = 180. Determine o ângulo de orientação θ de AC de modo que a tensão normal média na haste AC seja duas vezes a tensão normal média na haste AD. Resolução σAC = 2σAD FACcos(θ) – FADcos(45°) θ = 56. O eixo está sujeito à força axial de 30 kN. Determine também a tensão de cisalhamento média que age ao longo da superfície interna do colar no ponto onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A.19 MPa 1. Se ele passar pelo orifício de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A.93 MPa FACsen(θ) + FADsen(45°) – 250 = 0 FAC = 1.44. determine a tensão no mancal que age sobre o colar C.38 MPa σAD =( dAD² )AD = 3.4 MPa . Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura. 93 N σ= = 8 MPa 1. Considere que A seja um pino. Determine a tensão normal média desenvolvida no parafuso BC se ele tiver diâmetro de 8 mm. Resolução V = 4 kN 8 – Vcos(60°) + Ncos(30°) = 0 A’ = Vsen(60°) + Nsen(30°) = 0 méd = = 4.38 MPa .1.28 N 33 σB = 9. Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angular de 60°.6. O gancho é usado para sustentar o tubo de tal modo que a força no parafuso vertical é 775 N.46.04 – 0. Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média suportada no plano da solda.07FBcos(20°) = 0 FB = 471.47.62 MPa N = . Resolução 775 x 0. *1. Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvida nas fibras da madeira orientadas ao longo da seção a-a a 15° em relação ao eixo da prancha. seção AB.216. A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 N e uma placa a outra.48.0567 MPa 1. Resolução N = .506 N . Resolução N = 110 N Vcos(15°) – Ncos(75°) – 425 = 0 A’ = Nsen(75°) + Vsen(15°) = 0 σ= = 0.110 N méd = = 0.34 kPa .0152 MPa V = .Vcos(60°) + Ncos(30°) + 250 = 0 A’ = Vsen(60°) + Nsen(30°) = 0 σ= = 25 KPa 34 V = 125 N méd = = 14.49. A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 425 N. Determine as componentes da tensão de cisalhamento média e da tensão normal média que essa carga cria na face da solda. Resolução N = 78. Determine também qual a tensão normal média em atuação sobre a seção transversal quando acorreu a falha. determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média que agem na área do plano de falha inclinado.51.θ) – Vsen(θ) = 0 Para que V seja máximo. Resolução N = Vtang(θ) Ncos(90° .Vsen(52°) + Nsen(38°) = 0 σ= = 549.50.05 MPa V = 61. Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido a uma força axial P.1. Determine a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e indique a orientação θ de uma seção na qual ela ocorre.801 kN . O corpo de prova falhou no ensaio de tração a um ângulo de 52° sob uma carga axial de 100 kN. Se o diâmetro do corpo de prova for 12 mm.θ) + Vcos(θ) + P = 0 Nsen(90° . =0 A’ = V= θ = 45° V= méd = 35 = .96 MPa 1.566 kN méd = = 428.100 – Ncos(38°) – Vcos(52°) = 0 A= d² A’ = . Determine a tensão normal média que age nas seções AB e BC. Resolução N = .4945 kN )BC = 0.76 kPa .NABsen(30°) + 5sen(45°) = 0 )AB = 2.598 MPa 1. Considere que o elemento é liso e tem 50 mm de espessura. Resolução NAB = 4.*1. A junta está submetida a uma força axial de 5 kN.54.1 kN .52.04 MPa σBC =( NBC = 1.NBC .082 kN NABcos(30°) – 5cos(45°) = 0 σAB =( . Considere que cada plano inclinado suporta uma força horizontal de 2 kN.33 kPa 36 V = 1. Os dois elementos usados na construção da fuselagem de um avião estão interligados por uma solda em boca-de-peixe a 30°.Ncos(60°) – Vcos(30°) – 2 = 0 A’ = Nsen(60°) – Vsen(30°) = 0 σ= = 533.732 kN méd = = 923. Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média no plano de cada solda. Resolução A = (7. As dimensões externas do grampo são mostradas na figura.5 – 1.25 x 2 + 12.56.2376 kN FBCcos(60°) – FAB = 0 σAB = ( FBCsen(60°) – 8 = 0 )AB = 367. e a espessura é 1. Se for aplicada uma carga de 8 kN ao anel em B.6188 kN σBC = ( 37 )BC = 326.55 MPa FAB = 4.63 N *1.1. Resolução FBC = 9.55. Determine a força mínima F que deve ser aplicada ao êmbolo para extrair um grampo da fileira por cisalhamento e permitir que ele saia sem deformação pela fenda em C.25) x 1. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm. respectivamente.25 = 31.25 mm² θmáx = Fmín = Aθméx = 2. Considere que todas as outras partes são rígidas e despreze o atrito.25 mm.5 x 1.71 MPa . Os grampos na fileira AB contida no grampeador estão colados de modo que a tensão de cisalhamento máxima que a cola pode suportar é θmáx = 84 kPa. determine a tensão normal média em cada haste se θ = 60°. respectivamente. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm. Determine a tensão normal média em cada elemento resultante da aplicação da carga P = 40 kN. Se a carga vertical de 8 kN for aplicada ao anel em B. Indique se a tensão é de tração ou de compressão. Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm².6° σAB = σBC = ( )BC = 316 MPa 1. Qual é essa tensão? Resolução FBC = FBCcos(θ) – FAB = 0 FBCsen(θ) – 8 = 0 σAB = σBC FAB = θ = 63.1.58.57. Resolução 38 . determine o ângulo θ da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja equivalente. 034 MPa (T) 1.33 kN FAB = 66.59.116.6FAB + FBE + 0.47 MPa (T) σAE = ( )AE = 68.4 + 30 x 1. Se a tensão normal máxima em qualquer barra não pode ultrapassar 140 MPa.33 kN FBE = 30 kN σAB = ( )AB = 85.75P 39 )EB P = 145.667 kN Ponto A Ponto B 0.6FAB – 40 = 0 0.573 MPa (C) σBC = ( )BC = 188.376 MPa (C) σBE = ( )BE = 38.6 kN .Ponto C 40 x 2.9FBC = 0 FBC = .75P = 0 P = 65.52 kN FAB = 1.146. determine o valor máxima P das cargas que podem ser aplicadas à treliça.8FAB – FAE = 0 0.667P FEB = 0. Resolução σAB = ( FABsen(ϕ) – P = 0 )AB σEB = ( FEB – 0.462 MPa (T) σBD = ( )BD = 149.6FBD = 0 FAE = 53.2 + 0.667 kN Ponto E FED – FAE = 0 FBE – 30 = 0 FED = 53.376 MPa (C) σED = ( )ED = 68.667 kN FBD = . Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 780 mm². 4P + 0.2 + 0. Resolução ρ= V= méd = = x 0.6254 N = 199 Pa 40 . O tampão é utilizado para vedar a extremidade do tubo cilíndrico que está sujeito a uma pressão interna p = 650 Pa.75P x 1.667P *1. Determine a tensão de cisalhamento média que a cola exerce sobre os lados do tubo necessária para manter o tampão no lugar.9FBC = 0 )BC P = 29.60.σBC = σadm = ( 2.035² x ρ = 0.78 kN FBC = 3. 25By + 100 x 125 = 0 By = 500 N A= d² ( méd)A = = 29.5By = 0 .709 MPa 1. Se uma força de 100 N for aplicada nas hastes do alicate.667 N Ax – Bx = 0 37. O alicate de pressão é usado para dobrar a extremidade do arame E.61.5Ay – 87. Resolução Ay = 1.1. o qual está sujeito a cisalhamento duplo e tem 5 mm de diâmetro.5Ay – 87.62.25By + 100 x 125 = 0 By = 500 N A= d² ( 41 méd)B = = 12. Resolva o Problema 1. O pino está sujeito a cisalhamento duplo e tem diâmetro de 5 mm. determine a tensão de cisalhamento média no pino em A. Somente uma força vertical é exercida no arame.166.166.667 N Ax – Bx = 0 37.61 para o pino B.5By = 0 .732 MPa . Resolução Ay = 1. 75 N *1. A lâmpada de engate do vagão é sustentada pelo pino de 3 mm de diâmetro em A. Se a lâmpada pesar 20 N e peso do braço extensor AB for 8 N/m.032V = 0 ( d² méd)A = = 93.63. A seção transversal quadrada do elemento CB tem 35 mm. Dica: A força de cisalhamento no pino é causada pelo binário exigido para o equilíbrio em A. A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento distribuído mostrado.1.901 MPa V = 663. Considere w = 8 kN/m. Resolução A= .9w2 + 0. determine a tensão de cisalhamento média no pino necessária para sustentar a lâmpada. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem nas seções a-a e b-b.64.0. Resolução 42 .45w1 – 0. -24 x 1.5 – 4HC = 0 HC = .6 sen(ϕ) = 0.8 σa-a = Na-a – 9cos(ϕ) – 12sen(ϕ) = 0 Va-a – 9sen(ϕ) + 12cos(ϕ) = 0 Na-a = 15 kN Va-a = 0 kN = 12.9 kN Seção a-a cos(ϕ) = 0.2 MPa a-a = = 0 MPa b-b = = 5.41 MPa 43 .88 MPa Seção b-b σb-b = = 4. e cada um tem diâmetro de 18 mm. B e C.5cos(30°) + FC = 0 σC = = 55.65. O elemento A da junta escalonada de madeira usada na treliça está submetida a uma força de compressão de 5 kN.67. Resolução 5cos(60°) – FB = 0 FB = 2.1. Resolução 44 . Determine a tensão normal média que age na haste do pendural C com diâmetro de 10 mm e no elemento B com espessura de 30 mm.5 kN .1 MPa σB = = 2. como mostra a figura. determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos em A. Todos os pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo. Se P = 15 kN.33 N 1. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC.08 MPa FC = 4. 5 + 5VA = 0 VB – P – 4P – 4P – 2P + VA = 0 VA = 5.3 – 2P x 4.8942 kN A= .5 x 15 – FBCsen(30°) = 0 . e cada um tem diâmetro de 18 mm. Todos os pinos sofrem cisalhamento duplo.5P – 4P x 0.5P A= d² méd)A = 45 P = 3.P – 4P – 4P – 2P + Ay + FBCsen(30°) = 0 A = 165 kN Ay = 60. como mostra a figura.70 kN .15 – 4P x 3.5P VB = 5.5 kN A’ = d² ( méd)A = = 324 MPa ( méd)B = ( méd)C = 324 MPa *1. Resolução -0. Determine o valor máximo P das cargas que a viga suportará se a tensão de cisalhamento média em cada pino não puder ultrapassar 80 MPa.5 + 4 x 15 x 2 + 4 x 15 x 3.2 x 15 x 0.68. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC.5 + 4.FBCcos(30°) + Ax = 0 FBC = 165 kN Ax = 142. Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso em A em função do ângulo da barra θ. Resolução A= 0.69.1.05 = 0 d² méd)A = FAB = ( )AB = Para que a tensão seja mínima: θ = 76° Fazer gráfico 46 MPA . O parafuso tem diâmetro de 6 mm e está sujeito a cisalhamento simples. A estrutura está sujeita a carga de 1 kN.6 FABsen(θ) – 1.15FABcos(θ) +0. Represente essa função em gráfico para e indique os valores de θ para os quais essa tensão é mínima. 736 MPa méd)B = ( )B = 44. Represente em gráfico a variação dessas tensões em função de θ( º). determine a tensão normal média máxima na barra BC de 18 mm de diâmetro e a tensão de cisalhamento média máxima no pino de 16 mm de diâmetro em B. Se a capacidade de carga normal máxima do guindaste for 7. O guindaste giratório está preso por um pino em A e suporta um montacargas de corrente que pode deslocar-se ao longo da flange inferior da viga.6 m -7500x + 3FBCsen(30°) = 0 ABC = dBC² FBC = 5.000 N )BC = 70. .71.70. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem na seção sombreada que está orientada a um ângulo θ em relação à horizontal.000x AB = dB² σBC =( FBC = 18.1. A barra tem área de seção transversal A e está submetida à carga axial P. x = 3. Resolução Para que a tensão sejamáxima.762 MPa 1.5 kN. Resolução 47 . 49 MPa .θ) – Vsen(θ) = 0 N = . Se o cabo tiver diâmetro de 15 mm.θ) + Vcos(θ) = 0 Nsen(90° .5 A= d² 48 σBC = = 8.P + Ncos(90° .2 x 1 x 1 x cos(ϕ) ( BC = x = cos(θ) cos(α) = )² = (1 – sen(θ))² + x² sen(α) = = -3 x 0.72. A lança tem peso uniforme de 3 kN e é alçada até a posição desejada por meio do cabo BC.Psen(θ) A’ = σméd = V= sen²(θ) = méd = = sen(2θ) *1. Resolução (BC)² = 1² + 1² . construa um gráfico da tensão normal média no cabo em função da posição da lança θ para º.5cos(θ) + Fcos(α) x [1 – (1 – senθ)] + Fsen(α)cos(θ) = 0 F = 1. 25 – R = 0 N + 6 + 8x – 19 = 0 R = 19 kN N = (13 – 8x) kN σ= = (32. A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m². determine a tensão normal média na barra em função de x para . Resolução 3 + 6 + 8 x 1. determine a tensão normal média na barra em função de x para .5 – 20x) MPa 1. A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m².74. Resolução 3 + 6 + 8 x 1.5 – 20x) MPa 49 . Se ela estiver sujeita a uma carga axial distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a figura.25 – R = 0 N + 8x – R = 0 R = 19 kN N = (19 – 8x) kN σ= = (47. Se ela estiver sujeita a uma carga axial distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento e a duas cargas concentradas como mostra a figura.1.73. 186) kN .29663z F – w -15 = 0 F = 24. Determine a tensão normal média na coluna em função da distância z medida em relação à base. A coluna é feita de concreto de densidade 2.1.29663z – 24.1865 kN P(z) = ρ x V(z) = ρ x g x π x r² x z = 2.6z) kPa 50 N = (2.186 kN N – P(z) + F = 0 σ= = (238 – 22. Observação: por causa da deformação localizada nas extremidades.30 Mg/m³ e está sujeita a uma força de compressão axial de 15 kN em sua extremidade superior B. Resolução w = ρgV = 9. o resultado servirá apenas para determinar a tensão normal média em seção removida das extremidades da coluna.75. 5w – Vb-b = 0 1.5 x 3w = 0 1.76.5w Nb-b = 1.125w σb-b = w = 20 kN/m 51 b-b = w = 16 kN/m .125w HA = 1. respectivamente.*1.125 – Nb-b = 0 Vb-b = 1.5 x 3w – 3HA = 0 HB – HA = 0 VA = 1. τ= 16 MPa. Determine a maior intensidade w da carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média ou a tensão de cisalhamento média na seção b-b ultrapasse σ = 15 MPa e elemento CB tem seção transversal quadrada de 30 mm de lado. O Resolução 4VA – 1.5w A’ = 1.5w HB = 1. A estrutura de dois elementos está sujeita à carga distribuída mostrada. Resolução V= e – 0. onde y é dado em metros.1.5e-0.08y2) m. determine a tensão normal média no apoio.78.35 MN A = πr² σméd = 52 = 49.5 MPa . Se o material tiver densidade de 2.58404 m³ N = W = ρ x g x V = 38. O raio do pedestal é definido por r = (0.08y2)² dy = 1.5 Mg/m³. a menor dimensão h do apoio de modo que a tensão de cisalhamento média não exceda τadm = 2. Use um fator de segurança para Resolução rup = d= 53 = 13.1 MPa h = 75 mm 1. Resolução V= méd = = 2.81.80.PROBLEMAS 1. determine.1 MPa. O elemento B está sujeito a uma força de compressão de 4 kN. Se A e B forem feitos de madeira e tiverem 10 mm de espessura. τrup = 350 MPa.5 mm . Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for cisalhamento FS = 2.5. A junta está presa por dois parafusos. com aproximação de 5 mm. 71 mm .7 = 0 FCD = 6. Considere que a viga está acoplada por pinos em A e C.75 para tração.3 kN d= = 6.02 mm 1. A manivela está presa ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento 25 mm.83. Resolução rup = -4 x 2 – 6 x 4 – 5 x 7 – 10FCD = 0 FAB – 15 + 6.7 kN FAB = 8. Se o eixo for fixo e uma força vertical de 200 N for aplicada perpendicularmente ao cabo. Usando um fator de segurança FS = 1.1. determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada.82. As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é σrup = 510 MPa. Resolução adm 20Fa-a – 200 x 500 = 0 Fa-a = 5 kN 54 = d = 5. determine a dimensão d se a tensão de cisalhamento admissível para a chaveta for τadm = 35 MPa. Determine o menor tamanho a das duas soldas se a força aplicada á chapa for P = 100 kN. Resolução A = 2 x a x L x cos(45°) V=P adm = a = 7. que tem a menor seção transversal. O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo cálculo da tensão de cisalhamento média ao longo do plano sombreado. O tamanho do cordão de solda é a = 8 mm. A tensão de cisalhamento admissível para o material da solda é τadm = 100 MPa. Considerando que a junta falhe por cisalhamento em ambos os lados do bloco ao longo do plano sombreado.071 mm 1. Resolução A = 2 x a x L x cos(45°) V=P adm = 55 P = 113. A tensão de cisalhamento admissível para o material da solda é τadm = 100 MPa.14 kN . que é a menor seção transversal. determine a maior força P que pode ser aplicada à chapa.85.84.*1. A estrutura está sujeita a carga de 8 kN.1.166 mm dB = = 21.765 kN dA = = 12.86.6 kN V=A adm = -1.5FBCsen(α) + 3Ay = 0 FBC = 15. O pino A está sujeito a cisalhamento duplo.1 = 0 Ax + 8 = 0 Ay + 5. O parafuso de olhal é usado para sustentar a carga de 25 kN.6 kN Ax = 8 kN Ay = 5. Determine o diâmetro exigido para os pinos em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm = 42 MPa.84 kN 56 A = 9.913 mm .87. ao passo que o pino B está sujeito a cisalhamento simples. τadm = 35 Resolução σadm = d= = 15 mm adm = h= = 10 mm 1. A tensão normal admissível para o parafuso é σadm = 150 MPa e a tensão de cisalhamento admissível para o material do suporte é MPa.6 = 0 FD = 5. Determine seu diâmetro d com aproximação de múltiplos de 5 mm e a espessura exigida h com aproximação de múltiplos de 5 mm do suporte de modo que a arruela não penetre ou cisalhe o suporte. Resolução A= 3FD – 8 x 2. 8TAC – TABsen(60°) = 0 σAB = dAB = 0. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga.26 mm TAC = 4.941726P dAC² P = 2.4 kN . Resolução FAB = 0.71 kN dAB = = 5.85 kN 57 FAC = 0. determine a maior força P que pode ser aplicada à corrente antes que um dos cabos falhe. determine o diâmetro exigido para cada cabo se a carga aplicada for P = 5 kN. Se ambos tiverem uma tensão de tração admissível σadm = 180 MPa.89. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para suportar a carga. e se o cabo AB tiver diâmetro de 6 mm e o cabo AC tiver diâmetro de 4 mm.*1.88. Resolução TAB = 4.6TAC + TABcos(60°) – 5 = 0 σAC = = 5. Se ambos tiverem uma tensão de tração admissível σadm = 200 MPa.48 mm 1.87P FACsen(ϕ) + FABcos(30°) – P = 0 FACcos(ϕ) .FABcos(30°) = 0 AAB = σadm = dAB² AAC = σadm = P = 5.35 kN 0. Resolução A= -[Tcos(α + β) + P] x 6cos(ϕ) + Tsen(α + β) x 6sen(ϕ) = 0 d² σadm = P = 1.6 m. Considere d = 3.13247cos²ϕ + 0. determine o menor diâmetro do cabo com aproximação de múltiplos de 5 mm. Despreze o tamanho do guincho.91. Determine a maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo quando θ = 30° e ϕ = 45°.842° 58 . Se a lança tiver de levantar lentamente uma carga de 25 kN. Resolução L= tang(θ) = (3. O comprimento da lança AB é 6 m. de θ = 20° até θ = 50°.73206P 1. Despreze o tamanho do guincho.ϕ = 58.95231 = 0 Φ = 31. A lança é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro de 6 mm com tensão normal admissível σadm = 168 MPa. A lança é suportada pelo cabo do guincho cuja tensão normal admissível é σadm = 168 MPa.90.739 kN T = 2.6 + 6cosϕ) x tang(20°) = 6sen(ϕ) α = 90° .158° (0.1.159cosϕ – 0.6 + cosϕ) x tang(20°) = sen(ϕ) β = ϕ – θ = 11.842° 1. 5 = 0 HA .92. Ambos os Resolução RA = -3HA – 6 x 1.2426 kN adm = dA = dB = 59 = 5. τadm = 100 MPa.σadm = -[Tcos(α + β) + 25] x 6cos(ϕ) + Tsen(α + β) x 6sen(ϕ) = 0 d= d = 30 mm T = 103.HB = 0 VA + VB – 6 = 0 HA = 3 kN HB = 3 kN VA = VB = 3 kN = 4. A estrutura está sujeita ao carregamento distribuído de 2 kN/m.20 mm . Determine o diâmetro exigido para os pinos em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo.38 kN *1. a tensa de apoio e a tensão de cisalhamento admissível são (σt)adm = 175 MPa. Resolução 60 .1.6 mm 1. As reações nos apoios são verticais.4 mm d1 = t= = 15. A dimensão das chapas deverá ter aproximação de 10 mm. Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa circular se a carga que devem suportar é P = 150 kN. (σa)adm = 275 MPa e σadm = 115 MPa. Considere P = 7. A tensão de tração. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2.8 mm = 44.93. determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga.94.5 kN.8 MPa. Resolução (σa)adm = d3 = (σt)adm = σadm = = 26. Resolução -10 x 1.5 – 15 x 3 – 10 x 4.-10 x 1. determine a carga P máxima que pode ser aplicada à viga.33333 + 1. respectivamente.5 + 4. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2.8 MPa.5 -15 x 3 -10 x 4.66666 – 0.4 kN (σa)adm = 61 P = 3 kN .555555P FA = 21.5 FB – 7P = 0 FA + FB -10 – 10 – 15 – 10 – P = 0 FB = 35 kN FA = 17.5 kN (σa)adm = (σa)adm = Aa = (aA)² aA = 80 mm AB = (aB)² aB = 120 mm 1.95. As seções transversais quadradas das chapas de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm.5FB – 7P = 0 FA + FB – 10 – 10 – 15 – 10 – P = 0 FB = 23.5555555P (σa)adm = P = 26. 96.5 kN Ay = 7.5 kN -Bx x L x sen(60°) + 7.5 x 1.*1.5 x 0.6 mm² .33 kN A=B= dB = = 8.5 x L x cos(60°) = 0 -Bx + Cx = 0 Bx = 4.33 kN Cx = 4.Ax + Bx = 0 Ax = 4.6 – 7. Determine a área da seção transversal exigida para o elemento BC e os diâmetros exigidos para os pinos em A e B se a tensão normal admissível for σadm = 21 MPa e a tensão de cisalhamento for τadm = 28 MPa.5 + By = 0 By = 7.84 mm = 412.8 + 2. Resolução -7.33 kN dA = ABC = = 19.66 kN = 14.4By = 0 .03 mm adm)A = FBC = A 62 .5 – 7.Ay – 7. Determine o menor diâmetro d1 do disco superior.6 mm 1. Determine a espessura exigida t para C e D de modo que todas as tiras falhem simultaneamente. B e C usados para suportar a carga de 140 kN. A tensão de apoio admissível para o material é (σadm)a = 350 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 125 MPa.6 mm adm = (σadm)a = d3 = d2 = = 35. Resposta LA = 1. A largura das tiras A e B é 1. Resolução (σadm)a = d1 = = 22. As tiras A e B devem ser coladas com a utilização das duas tiras C e D.7 mm ² = 27.5 vezes a das tiras C e D.5 mm 63 .98.1. o diâmetro d2 do espaço entre os apoios e o diâmetro d3 do orifício no disco inferior.5LC σA = σD = = σA = σD t = 22.97. O conjunto consiste em três discos A. 5 + 1.67 kN .25 + 4.5P RA = 22.5 x 6.100.75 kN RA = 18.75 – 7.5 kN.1.5RB – 6.5 + 4. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2. Considere P = 7.5 = 0 RB = 33.75P = 0 RA – 45 + RB – P = 0 RB = 22.99.8 MPa.5 – 0. Resolução -45 x 2. As seções transversais quadradas das chapas de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm.75 = 0 RA – 45 + 33.75 kN (σadm)A = LA = 90 mm (σadm)B = LB = 110 mm *1.5RB – 7. As reações nos apoios são verticais. A dimensão das chapas deve ter aproximação de múltiplos de 10 mm. determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga. determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga.5P (σadm)A = P = 31 kN (σadm)B = 64 P = 3. Resolução -45 x 22. respectivamente.8 MPa. com diâmetro de 12 mm.02 . Resolução adm = -21 x 0. determine o fator de segurança em relação ao escoamento em cada caso.732 MPa (F. O conjunto de pendural é usado para suportar um carregamento distribuído w = 12 kN/m.S)haste = 65 = 1. Se a tensão de escoamento por cisalhamento para o parafuso for τe = 175 MPa e a tensão de escoamento por tração para a haste for σe = 266 MPa.1.88 MPa FAB = 27 kN adm = = 238.2FABsen(ϕ) = 0 adm = (FS)pino = 171.9 + 1.11 = 1.101. Determine a tensão de cisalhamento média no parafuso de 10 mm de diâmetro em A e a tensão de tração média na haste AB. 23 kN 66 P = 42.8w x 0.05 – d) = 42.2FABsen(θ) – 1. A barra é suportada pelo pino.632 kN/m w = 7.103.29 mm .102.25w 1.791 kN/m FAB = 2. Considere também t = 6 mm e w = 50 mm.05 – d) adm = 9 x 105 x (0.9 = 0 adm = w = 6. Resolução adm = 1. Resolução adm = P = 9 x 105 x (0.1. determine o diâmetro do pino para o qual a carga P será máxima. Determine a intensidade w da carga distribuída máxima que pode ser suportada pelo conjunto de pendural de modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento admissível de τadm = 95 MPa nos parafusos de 10 mm de diâmetro em A e B e uma tensão de tração admissível de σadm = 155 MPa na haste AB de 12 mm de diâmetro. Qual é essa carga máxima? Considere que o orifício na barra tem o mesmo diâmetro d do pino.5 x 106 x π x d² d = 15. Se a tensão de tração admissível para a barra for (σt)adm = 150 MPa e a tensão de cisalhamento admissível para o pino for τadm = 85 MPa.5 x 106 x π x d² P = 31. 4 mm .250 mm² e a carga P seja máxima.11 mm (σa)adm = 67 dm = FC = 4.5 x 105t = P = 52. A barra está acoplada ao suporte por um pino de diâmetro d = 25 mm.5 mm adm t = 20 mm 1. Considere que o orifício das arruelas tem o mesmo diâmetro do parafuso.104.105. Considerando que os acoplamentos em A e B. determine as dimensões w e t tais que a área bruta da área da seção transversal seja wt = 1. Qual é essa carga? Considere que o orifício da barra tem o mesmo diâmetro do pino. Se a tensão de tração admissível para a barra for (σt)adm = 140 MPa e a tensão de apoio admissível entre o pino e a barra for (σa)adm = 210 MPa. determine o diâmetro exigido para o parafuso em B e o diâmetro externo exigido para as respectivas arruelas se a tensão de tração admissível para o parafuso for (σt)adm = 150 MPa e a tensão de apoio admissível para a madeira for (σa)adm = 28 MPa. Resolução FB = 4. A viga composta de madeira está interligada por um parafuso em B.75 – 35t) x 105 adm = (1. Resolução P = (1.5 + 3 x 1.5FB = 0 (σt)adm = dB = 2 x 1.5FB + 6FC = 0 = 6.5 x 105t P = 105 kN w = 62.75 – 35t) x 105 = 52.5 + 4.4 kN -3 x 2 + 4FC + 5. C e D exerçam somente forças verticais na viga.*1.55 kN = 15. 8(2 – x)] k = 0 x² + 4x – 4. A barra é mantida em equilíbrio por pinos em A e B. e o apoio B tem orelha dupla. Se uma carga uniformemente distribuída w = 8 kN/m for colocada sobre a barra. Cada um dos pinos A e B tem diâmetro de 8 mm².18 kN/m . o que envolve cisalhamento duplo.4602 = 0 Bz = (24 – 8x – 2x²) kN x = 0. Se x = 1 m. A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de pino em A e B. Despreze qualquer força axial na barra. determine sua posição admissível mínima x em relação a B.909 m Bz = 15. determine a carga distribuída máxima w que a barra suportará.08 kN 1. Resolução adm = (2 i) x (By j + Bz k) + (3 + 0.107. Observe que o apoio em A tem uma única orelha.5 i) x (-w k) = 0 By = 0 kN Bz = (1. A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é τadm = 150 MPa. o que envolve cisalhamento duplo. Cada um dos pinos A e B tem diâmetro de 8 mm. Despreze qualquer força axial na barra. A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é τadm = 125 MPa. Resolução adm = (2 i) x (By j + Bz k) + (3. e o apoio B tem orelha dupla.1. Observe que o apoio em A tem uma única orelha.75w) kN 68 w = 7. o que envolve cisalhamento simples no pino.106.5x)i x [. o que envolve cisalhamento simples no pino. O pino está submetido a cisalhamento duplo.0125w2 = 0. Devido ao desgaste. e o apoio B tem orelha dupla. τadm = 70 MPa e a carga Resolução 0. A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de pino em A e B. A tensão de cisalhamento admissível para ambos os pinos é τadm = 125 MPa.5P w1 = 1. o que envolve cisalhamento duplo. o que envolve cisalhamento simples no pino. Se x = 1 m e w = 12 kN/m.5 i) x (.960 kN/m 69 adm = d= d = 21. a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo livre.0375w1 = P 0.12 k) = 0 d= d = 10. determine o menor diâmetro exigido para os pinos A e B.1. Observe que o apoio em A tem uma única orelha.3 mm Bz = 21 kN 1.667 kN/m w2 = 1.109. Determine o diâmetro d do pino se a tensão de cisalhamento admissível for P = 49 kN.108. visto que é usado para interligar os três elos.1 mm . Determine também as intensidades das cargas w1 e w2. Despreze qualquer força axial na barra.306. Resolução adm = (2 i) x (By j + Bz k) + (3. 1.5P w1 = 26.0375w1 = P 0.74 kN w2 = 549. Use um fator de segurança (FS)t = 2. Devido ao desgaste.75 em cisalhamento.111.5 mm. Resolução 0. A chaveta é usada para manter as duas hastes juntas.110. Determine também as intensidades das cargas w1 e w2. τrup = 375 MPa.667P w2 = 40P adm = P = 13.0125w2 = 0. a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino como mostra o diagrama de corpo livre. Todas as partes são feitas de aço com tensão de ruptura por tração σrup = 500 MPa e tensão de ruptura por cisalhamento em tração e (FS)c = 1. Determine a menor espessura t da chaveta e o menor diâmetro d das hastes.50 Resolução σrup = d= = 13.78 kN/m 1.8 mm 70 adm = t = 7 mm . O pino está submetido a cisalhamento duplo. Determine a carga máxima P que o acoplamento pode suportar se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm = 56 MPa e o diâmetro do pino for 12. visto que é usado para interligar os três elos. Resolução A= Va-a – 6cos(60°) = 0 Na-a – 6sen(60°) = 0 Va-a = 3 kN Na-a = 5. A sapata de apoio consiste em um bloco de alumínio de 150 mm por 150 mm que suporta uma carga de compressão de 6 kN. Se a força na haste do parafuso for 8 kN. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no plano que passa pela seção a-a. O parafuso longo passa pela chapa de 30 mm de espessura. Resolução A= dparafuso² méd)a = méd = = 4.5 kPa 71 a-a = = 200 kPa .196 kN a-a = = 315. determine a tensão normal média na haste. MPa 1.113.PROBLEMAS DE REVISÃO *1. a tensão de cisalhamento média ao longo da área cilíndrica da chapa definida pelas linhas de corte a-a e a tensão de cisalhamento média na cabeça do parafuso ao longo da área cilíndrica definida pelas linhas de corte b-b. Mostre os resultados em um elemento de volume infinitesimal localizado no plano.112.72 MPa = 208 MPa méd)b = = 45. 1.2 – 1. Determine as cargas internas resultantes que agem nas seções transversais que passam pelos pontos D e E da estrutura.10 kN Ax = 6 kN Ay = 2 kN Ax + Cx = 0 Cy + Ay – 6 = 0 Cx = 6 kN Cy = 8 kN Ponto D ND – 6 = 0 .13 kN MD = .153 kN.125 – VD = 0 MD + 2 x 0.125 x 0.m Ponto E NE = .m .1.45 + 1. Resolução -0.10 kN VE = 0 kN 72 ME = 0 kN.114.2 = 0 Ax – FBCcos(θ) = 0 Ay – 6 – FBCsen(θ) = 0 FBC = .225 = 0 ND = 6 kN VD = 3.9sen(θ)FBC – 6 x 1. Resolução méd = = 79. Resolução w= méd = Ts - =0 T= 73 = . O cabo tem peso específico (peso/volume) e área de seção transversal A. de modo que o comprimento do cabo seja aproximadamente L e seu peso possa ser distribuído uniformemente ao longo do eixo horizontal.1. determine a tensão normal média no cabo em seu ponto mais baixo C. O punção circular B exerce uma força de 2 kN na parte superior da chapa A. Se a flecha s for pequena.6 MPa *1.116.115. Determine a tensão de cisalhamento média na chapa provocada por essa carga. 117.8 kN VD = 0 kN .2 x 1.2 – 3. Um cabo separado CG é usado para manter a estrutura na posição vertical.m Ponto E VE + 2.8 kN Ay = 3.6 = 0 ME + 2.7 kN NE = 21.6 x 0. Resolução 3. Despreze a espessura da viga e da coluna nos cálculos.6 kN ME = .6= 0 ND = 10. Se AB pesar 2 kN/m e o peso da coluna FC for 3 kN/m.24 kN.1.9 + 1. determine as cargas internas resultantes que agem nas seções transversais localizadas nos pontos D e E. A viga AB é suportada por um pino em A e também por um cabo BC.7 x 1.2 = 0 TBC = 11.24 kN.2 = 0 VE = 2.7 = 0 NE + 25.3.MD – 3.5TBCsen(θ) – 7.m 74 .8TBCsen(θ) = 0 MD = 3.3842 kN Ax = 10.6 kN Ponto D -ND – TBCcos(θ) = 0 VD + TBCsen(θ) – 3.8 = 0 Ax – TBCcos(θ) = 0 Ay + TBCsen(θ) – 7. O acoplamento de gancho e haste está sujeito a uma força de tração de 5 kN.09 MPa . determine a tensão normal média em cada cabo.1.118. O tubo de concreto de 3 kg está suspenso por três cabos.07 MPa 40 = = 3.98 MPa 75 méd = = 5. Resolução 30 = = 7. Se os diâmetros de BD e CD forem 10 mm e AD tiver diâmetro de 7 mm.43 MN k CD = BD = = 140 MPa AD = = 285 MPa 1. Resolução TAD = (TADcosθ x cos60°) i + ( .968 kN TCD = (TCDcosθ x cos60°) i + (TCDcosθ x cos30°) j + (TCDsenθ) k W = .TADcosθ x cos30°) j + (TADsenθ) k TBD = ( .119.29. Determine a tensão normal média em cada haste e a tensão de cisalhamento média no pino A entre os elementos.TBDcosθ) i + (TBDcosθ x cos90°) j + (TBDsenθ) k TAD = TBD = TCD T = 10.