Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.1 MECÂNICA DOS FLUIDOS Capítulo 1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1) Definições: Fenômenos de Transferência – Um processo de transferência é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição em que não ocorre nenhuma variação. Uma força motriz, o movimento no sentido do equilíbrio e o transporte de alguma quantidade são fatos comuns a todos os processos de transferência. A massa do material através da qual as variações ocorrem afeta a velocidade do transporte e a geometria do material afeta a direção do processo. A força motriz nada mais é do que uma diferença de velocidade, de temperatura ou de concentração. Mecânica dos Fluidos - Ciência que estuda o transporte de energia pelos fluidos e a resistência ao movimento ocasionada pelo movimento do fluido. Transferência de calor - Ciência que estuda a transferência de energia associada à diferença de temperatura. Transferência de massa - Ciência que estuda a transferência de massa associada à diferença de concentração de uma substância. 2) Dimensões e sistemas de unidades: Dimensões fundamentais: M - massa L - comprimento T - tempo u - temperatura Dimensões derivadas: Força - MLT -2 Pressão - ML -1 T -2 Potência - ML 2 T -3 Sistemas de unidades:Internacional, Inglês, Métrico, CGS Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 2 M L T u F Pressão Energia SI kg m s K N Pa J CGS g cm s K dina dina/cm² erg Métrico kg m s K kgf Kgf/m² Kgf.m Inglês Engenharia lb m ft s R lb f lb f /ft 2 lb f .ft Inglês Técnico slug ft s R lb f lb f /ft 2 lb f .ft Lembre-se que: Força = massa x aceleração Pressão = força /área Energia = força x distância Potência = trabalho/tempo Os sistemas métrico e inglês de engenharia são sistemas não coerentes de unidades. Um sistema coerente de unidades é aquele em que uma força unitária é capaz de acelerar uma massa unitária de uma aceleração unitária, ou seja, uma força de 1 N é a força necessária para acelerar uma massa de 1 kg de 1 metro por segundo em cada segundo. 1 N = 1 kg. 1 m/s² Sistemas não coerentes são aqueles em que a força unitária não corresponde à força necessária para acelerar uma massa unitária de uma aceleração unitária. Por exemplo: 1 kg f = 1kg. 1m/s² 1 lb f = 1 lb m .1ft/s² Em ambos os casos acima, as forças são definidas como as forças que aceleram massas unitárias a uma aceleração padrão da gravidade: 9,8 m/s² ou 32,174 ft/s². Existem também outras unidades muito comuns de uso prático, mas que não pertencem ao sistema internacional de unidades. Volume ÷ litro - L Temperatura ÷ ºC ou ºF Comprimento ÷ polegada (inche, in) Energia ÷ caloria, Btu (British Thermal Unit) Potência ÷ HP (horse-power), CV (cavalo-vapor), Btu/h, kcal/h Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 3 Pressão ÷ kg f /cm², psi (lb f /in²), atm, bar, torr, mca (metros de coluna d'água), mm Hg (milímetros de mercúrio) Escalas de temperatura Celsius Kelvin Rankine Fahrenheit 100 373,15 671,67 212 ponto de vapor 0 273,15 491,67 32 ponto de gelo -273,15 0 0 -459,67 Observe que as escalas Kelvin e Rankine são escalas absolutas e as escalas Celsius e Fahrenheit são escalas relativas. Ou seja, as duas primeiras não possuem valores negativos, elas partem do zero. Observe ainda que as escalas Celsius e Kelvin sejam escalas centígradas, ou seja, entre o ponto de vapor e o ponto de gelo, há 100 graus (ou 100 divisões) em ambas as escalas. Isto significa que o tamanho de um grau Celsius é idêntico ao tamanho de um grau Kelvin. Por isso, variações de temperatura em ºC ou K não precisam ser convertidas, porque são iguais. Outra situação que ocorre é quanto temos a unidade grau no denominador de uma unidade composta como por exemplo: K = condutividade térmica (W/mK ÷ W/mºC) C = capacidade calorífica (J/kgK ÷ J/kgºC) h = coeficiente convectivo de transferência de calor (W/m²K ÷ W/m²ºC) As escalas Fahrenheit e Rankine não são escalas centígradas, porque entre o ponto de vapor e o ponto de gelo temos 180º ou 180 subdivisões. Isto significa que o grau Rankine é menor que o grau Kelvin. A relação é de 1/1,8. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 4 Pode-se dizer também, portanto, que diferenças de temperatura em ºF e em R são idênticas e valem também as mesmas conclusões para estas unidades quando estão no denominador. Exercícios 1. A constante do gás ideal pode ser dada por 0,08205 atm.L/mol.K, expresse esta constante nas seguintes unidades: a) J/K.mol b) lb f .ft/lbmol.R Resposta: a) 8,314 b) 1545 2. Uma propriedade comum dos materiais é a condutividade térmica K. O cobre tem um valor de condutividade térmica igual a 400 W/mK. Expresse a condutividade do cobre em: a) W/m°C b) kcal/h.mºC c) Btu/h.ft.ºF Resposta: a) 400 b) 344 c) 231 3. Há um fluxo de energia através de uma parede igual a 5 W/m², expresse este fluxo em: a) kcal/h.m² b) Btu/h.ft² Resposta: a) 4,3 b) 1,58 4. Expresse a massa específica do Hg (13550 kg/m³) g/cm³ ÷ g/L ÷ kg/dm³ ÷ Resposta: a) 13,55 b) 13550 c) 13,55 5. O volume específico do vapor d’água a 200ºC e 1,5538 kPa é 0,12736 m³/kg. Expresse este valor em cm³/g. Resposta: 127,36 6. Expresse sua massa e sua altura no sistema inglês de unidades. Expresse também a potência do chuveiro de sua residência em BTU/h e Kcal/h. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 5 7. A conta de energia de sua casa é quantificada em kWh. Apresente o valor da sua última conta mensal de energia em kWh, kcal, Joules. 8. A dieta de um adulto deve conter alimentos que permitam uma provisão de energia diária de aproximadamente 2000 kcal. Expresse isto em kW.h. Se fossemos movidos a energia elétrica qual seria o custo diário para manter um ser humano, se o custo da energia é R$ 0,33 / kWh. Resposta: R$ 0,77 9. Para as quantidades abaixo, indique as dimensões usando o sistema MLTu e dê unidades típicas no SI e no Sistema Inglês a) potência b) energia c) tensão de cisalhamento d) pressão e) velocidade angular f) quantidade de movimento g) calor específico h) gradiente de temperatura i) gradiente de velocidade j) gradiente de concentração Resposta: a) ML 2 T -3 Watt BTU/h ou lbf.ft/h b) ML 2 T -2 Joule BTU ou lbf.ft c e d) MT -2 L -1 Pascal lbf/ft² e) T -1 s -1 s -1 f) MLT -1 kg.m/s lbm.ft/s g) L²T -2 u -1 J/kgK BTU/lbmR h) uL -1 K/m R/ft i) T -1 1/s 1/s - j) ML -4 (kg/m 3 )/ m ( lbm/ft³)/ft 10. A diferença de pressão AP no bloqueio parcial de uma artéria (conhecido como estenose) pode ser avaliada pela seguinte expressão: 2 2 1 0 2 1 1 V A A C D V C P µ µ | | . | \ | ÷ + = A Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 6 onde V é a velocidade média do escoamento de sangue, µ é a viscosidade absoluta do sangue, D é o diâmetro da artéria, A 0 é a seção transversal da artéria desobstruída e A 1 é a área da seção transversal da estenose. Determine as unidades das constantes C 1 e C 2 nos sistemas inglês, SI e CGS. 11. A energia específica que é encontrada em tabelas de propriedades termodinâmicas tem unidades de energia por unidade de massa. Mostre que esta grandeza tem as dimensões L 2 /T 2 . 12. Um óleo tem viscosidade de 380 cP e densidade igual a 0,81. Determine sua viscosidade absoluta no SI, sua viscosidade cinemática no SI e em centistokes e sua massa específica no SI. Resposta: 0,380 Pa.s, 4,69 x 10 -4 m²/s, 469 cS e 810 kg/m³ 13. Uma solução salina tem viscosidade cinemática igual a 1,4 cS e massa específica igual a 1120 kg/m³. Determine a viscosidade cinemática no SI, a viscosidade absoluta no SI, a massa específica em g/cm³ e a densidade relativa. Resposta: 1,4x10 -6 m²/s 1,568x10 -3 Pa.s 1,12 g/cm³ 1,12 14. Determine as seguintes áreas e volumes: a) área superficial externa de um forno de dimensões externas 80 x 120 x 120 cm b) área superficial interna do mesmo forno, sabendo-se que ele tem espessura de parede igual a 5 cm. c) volume interno (útil) do forno. d) volume total do forno. e) área da seção transversal de um tubo de aço de diâmetro interno igual ¾ polegada. f) área da parede interna do mesmo tubo de aço, sendo que seu comprimento total é de 6m. g) área da parede externa do mesmo tubo de aço, sabendo-se que a espessura de parede é 2mm. h) área superficial de uma lata de 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro. i) volume da mesma lata j) Diâmetro de uma esfera, que tem o mesmo volume da lata do item anterior k) área superficial da esfera. l) Se um tanque cilíndrico tem capacidade de 3 m³ e sua altura é 1,2 m, qual é o seu diâmetro? m) Um tanque com 2 m³ de capacidade armazena quantos kg de água? E de mercúrio? E de benzeno? n) Quais seriam as dimensões de um cubo de massa igual a 1kg se ele fosse feito de isopor? De chumbo? De aço? De alumínio? De água? 3) Meios Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 7 Todos os materiais se apresentam na forma sólida, líquida ou gasosa ou ainda numa combinação destas formas. Sólido – substância que oferece resistência à variações de forma. Fluido – substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento (líquidos e gases) Massa específica V m = µ [kg/m³] Volume específico m V v = [m³/kg] Peso específico V mg g = = µ ¸ [N/m³] Densidade relativa C O H d º 4 2 ÷ = µ µ [-] µ H2O – 4ºC = 1000 kg/m³ 4) Variações de massa específica Gases Como uma aproximação pode-se usar a equação de estado do Gás Ideal. Esta equação pode ser utilizada sem erro apreciável em baixas pressões e temperaturas próximas da temperatura ambiente. Qualquer estimativa de massa específica e propriedades PVT de gases em serviços de responsabilidade deve ser feita baseando-se nos critérios de termodinâmica (utilizando fator de compressibilidade, fator acêntrico, equações cúbicas de estado, etc.). A equação do Gás Ideal é dada por: nRT PV = Onde: P = pressão absoluta V = volume do gás N = número de mols R = constante do gás ideal T = temperatura absoluta do gás Sabendo-se que n = m/M (m = massa e M= massa molecular), pode-se substituir e chegar a seguinte equação: RT PM = µ para consistência de unidades o ideal é utilizar os valores em unidades do SI, ou seja: Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 8 P = Pa M = kg/kmol T=K R= 8314,3 J/kmol.K Desta forma obtém-se a massa específica em kg/m³. Líquidos Os líquidos usualmente são considerados incompressíveis, uma vez que a dependência da massa específica com a pressão e com a temperatura é muito menos significativa que para os gases. A variação da massa específica de um líquido com a temperatura é facilmente mensurável e usualmente encontra-se tabelada. A variação da massa específica com a pressão é dada pelo módulo de elasticidade volumétrica do fluido (Ev) ou coeficiente de compressibilidade (K) µ µ d dP Ev = Ev [Pa] Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 9 Propriedades aproximadas de alguns líquidos Temperatura ( 0 C) Massa específica µ (kg/m³) Viscosidade dinâmica µ (10 -3 xN.s/m²) Pressão de vapor P v (10 3 xN/m²) abs Compressibilidade Ev (10 9 x N/m²) Tetracloreto de carbono 20 1590 0,958 13 1,31 Álcool etílico 20 789 1,19 5,9 1,06 Gasolina 15,6 680 0,31 55 1,3 Glicerina 20 1260 1500 0,000014 4,52 Mercúrio 20 13600 1,57 0,00016 2,85 Óleo SAE 30 15,6 912 380 1,5 Água do mar 15,6 1030 1,2 1,77 2,34 Água 15,6 999 1,12 1,77 2,15 Exercícios 15. Qual é a temperatura, a pressão, a massa específica e a viscosidade do ar a 13 km e a 6 km de altitude? 16. Qual é a variação percentual da massa específica da água (a 20°C) quando submetida a uma diferença de pressão de 54 atm? Se a sua massa específica inicial era de 998 kg/m³, qual será o novo valor? Resposta: 0,24% e 1000,47kg/m³ 17. Qual é o aumento de pressão necessário para causar uma variação de massa específica da água semelhante àquela que seria causada pela diminuição da temperatura da mesma de 40 para 20 0 C? Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 10 Resposta 131,26 atm 18. Qual é a massa específica do CO 2 (dióxido de carbono) a 50ºC e 650 mmHg? Resposta: 1,42 kg/m³ 19. Qual é a alteração percentual na massa especifica dos gases de combustão de um automóvel (considere gás ideal) quando a temperatura passa de 300°C para 35°C? Resposta:- 86% 20. A que pressão deve ser armazenado o ar, para que sua massa específica seja de 5,3 kg/m³, se a temperatura é de 15°C? Resposta: 437921 Pa 21. Justifique o motivo físico pelo qual as duas equações apresentadas para o módulo de elasticidade volumétrica tem sinais contrários. 22. Sabe-se (e você vai estudar este assunto com profundidade) que ao longo de uma tubulação, qualquer fluido ao escoar sofre atrito com as paredes, isto causa uma queda na pressão do escoamento. Se no início do escoamento a pressão é 180 kPa e no final do escoamento a pressão cai para 154 kPa. Considere dois casos específicos: na tubulação A escoa nitrogênio (N 2 )a 20°C e na tubulação B escoa água também a 20°C. Nos dois casos ocorrerá variação significativa da massa específica? Justifique claramente a sua resposta. 23. Um recipiente pesa 2,9 lbf quando vazio. Quando cheio com água a 20 0 C, a massa do recipiente e do seu conteúdo é de 1,95 slug. Determine o peso de água no recipiente e seu volume em pés cúbicos. (Use os dados tabelados de massa específica da água). Resposta: 266,24 N 0,96 ft³ 24. Estime qual deve ser o aumento da pressão (em bar) necessário para provocar uma diminuição do volume do mercúrio em 0,1%. Resposta:28,5 bar 25. Suponha que você tenha 20ml de água a 4°C em uma proveta de 2cm de diâmetro interno. Qual a altura correspondente aos 20 ml? Agora você transfere os 20 ml de água a 4°C para uma proveta de 1cm de diâmetro interno, qual a altura de água nesta nova proveta? Se os 20 ml de água forem aquecidos a 60°C, a altura de água na proveta permanecerá a mesma? Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 11 5) Transferência de Quantidade de Movimento – Lei de Newton da Viscosidade Quantidade de movimento é uma quantidade vetorial definida por v m P . = onde P é a quantidade de movimento, m é a massa e u é a velocidade. Um fluido está confinado entre duas placas planas, sendo a inferior fixa e a superior em movimento. É aplicada uma força F x tangencial que provoca o deslocamento da superfície superior com a velocidade u. Devido à condição de não escorregamento a camada de fluido em contato com uma superfície tem a mesma velocidade da superfície. Por isso, a camada superior é arrastada juntamente com a placa e suas moléculas colidem com as moléculas da camada imediatamente anterior, ocorrendo transferência de quantidade de movimento entre as camadas do fluido. Devido às diferentes velocidades das camadas de fluido, estabelece-se entre elas um atrito intenso chamado de tensão de cisalhamento e que tende a se opor ao movimento. As camadas de fluido ao escoarem com diferentes velocidades estabelecem um perfil de velocidades no seio do fluido. Lei de Newton da Viscosidade a a’ b b’ dF x du x ¢ dy c d Observa-se que a força aplicada é proporcional à velocidade que será impressa à placa superior. Quanto maior esta força também será maior o deslocamento da placa e, consequentemente, a deformação do fluido. Se a força aplicada for dF, ou seja, uma força infinitesimal, deformação do fluido ¢ pode ser medida pela tangente do ângulo, uma vez que a deformação também será infinitesimal. dy b b adjacente cateto oposto cateto d ÷ = ÷ ÷ · 1 ¢ Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 12 O deslocamento b’-b pode ser medido pela equação tempo to deslocamen velocidade = Então (b’-b) = du.dt ¢ d dy dt du · . então dy du dt d = ¢ ambos os termos podem ser chamadas de taxa de deformação angular ou gradiente de velocidade. A tensão de cisalhamento que surge entre as camadas de fluido provocada pelo movimento relativo das mesmas é proporcional à taxa de deformação. dy du dt d · · ¢ t Trocando-se o sinal de proporcionalidade por um sinal de igualdade e um coeficiente de proporcionalidade temos: dy du yx µ t ÷ = Onde t = tensão de cisalhamento (N/m²) - índice x – direção do movimento - índice y – direção do transporte do impulso de quantidade de movimento. (-) indica o sentido do fluxo de quantidade de movimento – da maior para a menor velocidade, ou no sentido decrescente (observe que não indica o sinal da força). µ = fator de proporcionalidade – viscosidade dinâmica ou absoluta (N.s/m²) du/dy = gradiente de velocidades ou taxa de deformação angular (s -1 ) Portanto, a Lei de Newton da Viscosidade pode ser expressa como: dy du A F x xy µ t ÷ = = Lei de Newton da Viscosidade A Lei de Newton também é apresentada sem o sinal negativo por diversos autores. O sinal da tensão é frequentemente motivo de confusão entre estudantes. Abaixo há uma pequena explicação para clarear a questão do sinal da equação e, consequentemente, o sinal da tensão de cisalhamento. Tensão de cisalhamento – sinal ��� = −��� ������ ������ ou ��� = ��� ������ ������ Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 13 O fluxo de quantidade de movimento flui da velocidade mais alta para a velocidade mais baixa, assim como o calor flui da temperatura mais alta para a temperatura mais baixa. Ao usarmos esta equação com sinal negativo (segundo Bird) estamos dizendo que o sinal da tensão de cisalhamento obtido refere-se à força feita pelo fluido com y menor sobre o fluido com y maior no campo de escoamento. Observe os exemplos abaixo: A função v(y) é decrescente, pois quando y aumenta a velocidade diminui. Então y v c c é negativa. Substituindo na equação y v c c ÷ = µ t , a tensão fica positiva. Lembrando que: o sinal da força refere-se ao y menor sobre o y maior, temos que: Na placa inferior - A placa inferior (y menor) exerce uma força positiva sobre o fluido (y maior) - O fluido (y maior) exerce uma força negativa sobre a placa inferior (y menor) Na placa superior - O fluido (y menor) exerce uma força positiva sobre a placa superior (y maior) - A placa superior (y maior) exerce uma força negativa sobre o fluido (y menor) Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 14 A função v(y) é crescente, pois quando y aumenta a velocidade também aumenta. Então y v c c é positiva. Substituindo na equação y v c c ÷ = µ t , a tensão fica negativa. Lembrando que: o sinal da força refere-se ao y menor sobre o y maior, temos que: Na placa inferior - A placa inferior (y menor) exerce uma força negativa sobre o fluido (y maior) - O fluido (y maior) exerce uma força positiva sobre a placa inferior (y menor) Na placa superior - O fluido que adere à placa superior (y menor) exerce uma força negativa sobre a placa (y maior) - A placa superior (y maior) exerce uma força positiva sobre o fluido (y menor) Neste caso a velocidade é função do raio, ou seja, v =f(r). A função é decrescente, pois quanto maior o raio menor a velocidade, então r v c c é negativa. Substituindo na equação r v c c ÷ = µ t , a tensão fica positiva. - O fluido (r menor) exerce uma força positiva sobre a parede do duto (r maior) - A parede (r maior) exerce uma força negativa sobre o fluido (r menor) 6) Viscosidade Absoluta ou Dinâmica (µ) É a medida da resistência do fluido à deformação. É uma função da temperatura. As unidades no SI são Pa.s ou Kg/m.s Outra unidade muito utilizada é o centipoise. O centipoise é derivado do Poise (0,01P). 1 poise ÷ 1g/cm.s Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 15 7) Viscosidade Cinemática ou Difusividade de Quantidade de Movimento (v) A viscosidade cinemática pode ser deduzida a partir da equação de Poiseuille (a ser deduzida no capítulo 4). É útil para a determinação da viscosidade em viscosímetros de escoamento. A equação de Poiseuille pode ser aplicada para escoamentos em regime permanente, laminares, incompressível e o fluido seja newtoniano. A equação relaciona o tempo de escoamento (t) de um determinado volume de fluido (V), a uma determinada pressão P, escoe em um capilar de comprimento L e raio R. t L V PR µ t µ µ v 4 8 = = No SI a unidade é m²/s. Outra unidade muito utilizada é o stoke e o centistoke. 1 stoke ÷ 1 cm²/s A relação entre os dois tipos de viscosidade é dada por: µ µ v = Exercícios 26. Um óleo tem viscosidade de 380 cP e densidade igual a 0,81. Determine sua viscosidade absoluta no SI, sua viscosidade cinemática no SI e em centistokes e sua massa específica no SI. Resposta: 0,380 Pa.s, 4,69 x 10 -4 m²/s, 469 cS e 810 kg/m³ Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 16 27. Uma solução salina tem viscosidade cinemática igual a 1,4 cS e massa específica igual a 1120 kg/m³. Determine a viscosidade cinemática no SI, a viscosidade absoluta no SI, a massa específica em g/cm³ e a densidade relativa. Resposta: 1,4x10 -6 m²/s 1,568x10 -3 Pa.s 1,12 g/cm³ 1,12 28. Supondo que um fluido de viscosidade 50 cP esteja confinado entre duas placas planas separadas por uma distância de 2 mm, determine qual será a força necessária que deverá ser aplicada na placa superior para arrastá-la a uma velocidade de 5 cm/s. A placa tem área de 0,1 m². Resposta: 0,125N 29. Um cilindro de 0,122 m de raio gira concentricamente dentro de um cilindro fixo de 0,128 m de raio. Os dois cilindros têm 0,305 m de comprimento. Determine a viscosidade do líquido que preenche o espaço entre os dois cilindros, sabendo que há necessidade de um torque de 0,881 N.m para manter uma velocidade angular de 60 rpm. Resposta: 0,242 Ns/m² 30. Fio magnético deve ser revestido com verniz isolante puxando-o através de uma matriz circular com passagem de 0,9 mm de diâmetro. O diâmetro do fio é de 0,8 mm e ele fica centrado na passagem. O verniz que tem viscosidade absoluta µ = 2000cP preenche completamente o espaço entre o fio e a passagem por um comprimento de 20 mm. O fio é puxado através da passagem a velocidade de 5 m/s. Determine a força requerida para puxá-lo. Resposta: 10 N 31. Em relação ao problema anterior avalie o efeito sobre a força nos casos abaixo: a. aumento da velocidade do fio b. aumento do diâmetro do fio c. aumento da folga entre o fio e a matriz d. aumento da temperatura e. aumento do comprimento da matriz 32. Analise o seguinte perfil de velocidades (parabólico) que ocorre num duto cilíndrico de seção circular ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ = 2 1 R r V u máx onde V máx = constante r = distância radial do centro do duto R = raio do duto Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 17 a) Onde ocorre a velocidade máxima? b) Mostre que o gradiente de velocidade varia linearmente com o raio. c) Determine o gradiente de velocidade na parede. d) Determine o gradiente de velocidade na linha central. e) Qual é a tensão de cisalhamento na parede e na linha central quando flui água a 30ºC, com uma velocidade máxima de 5 m/s e o diâmetro do tubo é 1"? Resposta: b) du/dr = -2u máx .r/R 2 c) -2u máx /R d) 0 e) 0,63 Pa na parede e zero na linha central 33. Uma placa que dista 0,5 mm de uma placa fixa, move-se a 0,25 m/s e necessita de uma força por unidade de área de 2 Pa para manter a velocidade constante. Determinar a viscosidade da substância entre as placas em unidades SI. Resposta: 0,004 Pa.s 34. Determine a viscosidade do fluido entre o eixo e a bucha da figura abaixo Resposta: 1,144 Pa.s 35. Um cilindro de aço de 2,54 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento cai, sob a ação do próprio peso, com velocidade constante de 15 cm/s dentro de um tubo de diâmetro ligeiramente maior. Existe uma película de óleo de rícino (µ = 800 cP) com espessura constante entre o cilindro e o tubo. Determinar a folga existente entre o tubo e o cilindro.(massa específica do aço = 7850 kg/m³) Resposta: 0,25 mm 36. Um pistão de 50,00 mm de diâmetro se movimenta no interior de um cilindro de 50,10 mm de diâmetro. Determinar o decréscimo percentual da força necessária para movimentar o pistão quando o lubrificante (óleo SAE 10W) se aquece de 0 0 C a 120ºC. Resposta: 99,1% Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 18 37. Quantas vezes maior é a viscosidade da água a 0ºC do que a 100°C? Quantas vezes maior é a viscosidade cinemática no mesmo intervalo de temperatura? Resposta: 6,3 vezes para a viscosidade absoluta e 6,1 vezes para a viscosidade cinemática. 38. A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por 2 max 2 1 | . | \ | ÷ = h y u u onde h é a distância entre as placas; a origem é colocada à meia distância entre as placas. Considere um escoamento de água a 15°C, com u máx = 0,30 m/s e h = 0,50 mm. Calcule a força cisalhante sobre uma seção de 0,3 m² placa inferior. Resposta: 0,82N do fluido sobre a placa. 39. Um cubo pesando 10 lbf e tendo a dimensão de 10" em cada aresta é puxado para cima sobre uma superfície inclinada na qual há uma película de óleo SAE 10W a 100ºF. Se a velocidade do cubo é 5 ft/s e a película de óleo tem 0,001" de espessura, determine a força requerida para puxá-lo. A superfície está inclinada de 15º em relação à horizontal. Resposta: F total = Fpeso + Fcis = 11,5 + 135,5 = 147N (considerando µ = 3,5x10 -2 Ns/m²) 40. Uma fita de gravação deve ser revestida em ambos os lados com lubrificante, sendo puxada através de uma estreita ranhura. A fita tem espessura desprezível e 1" de largura. Ela fica centrada na ranhura com uma folga de 0,012 " de cada lado. O lubrificante de viscosidade semelhante a do problema anterior preenche completamente o espaço entre a fita e a ranhura por um comprimento de 5" ao longo da fita. Se a fita pode suportar uma força máxima de tração de 7,5 lbf, determine a velocidade máxima com a qual ela pode ser puxada através da ranhura. Resposta: 45 m/s 41. Um viscosímetro de cilindros concêntricos pode ser formado girando-se o membro interno de um par de cilindros encaixados com folga muito pequena. Para pequenas folgas pode-se supor um perfil linear de velocidades no líquido que preenche o espaço anular. Um viscosímetro tem um cilindro interno de 75 mm de diâmetro e 150 mm de altura, com largura de folga de 0,02mm. Um torque de 0,021 Nm é necessário para girar o cilindro interno a 100 rpm. Determine a viscosidade do líquido no espaço anular. Resposta: 8,06x10 -4 Ns/m² Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 19 42. Um bloco de 10 kg desliza num plano inclinado sobre uma película de óleo. Determine a velocidade terminal do bloco sabendo que a espessura do filme de óleo SAE 30 é igual a 0,1 mm e que a temperatura é 20°C. Admita que a distribuição de velocidade no filme seja linear e que a área do bloco em contato com o filme é de 0,2 m². O plano está inclinado de 20°em relação à horizontal. Resposta: 0,042 m/s (considerando µ =0,4Ns/m²) 43. Um fluido newtoniano, densidade e viscosidade cinemática, respectivamente iguais a 0,92 e 4x10 - 4 m²/s, escoa sobre uma superfície imóvel. O perfil de velocidades deste escoamento, na região próxima à superfície está mostrado na figura abaixo. Determine a magnitude da tensão de cisalhamento que atua sobre a placa. Expresse seu resultado em função de U (m/s) e o (m) Resposta: tensão = 0,552U/o 44. O perfil de velocidades em um meio fluido é representado pela figura abaixo. O vértice da parábola encontra-se a 30 cm da placa fixa. Determine: a) a função que representa a variação de velocidade b) as velocidades em y = 0cm, y = 10cm, y = 20cm e y = 30cm c) a expressão para o gradiente de velocidade d) as tensões de cisalhamento em y = 0cm, y = 10cm, y = 20cm e y = 30cm (se µ = 80 cP) Resposta: a) u= -44,44y² + 26,67 y b) y = 0 v = 0,- y = 0,1 v = 2,22, y = 0,2 v = 3,56,- y = 0,3 v = 4 v = 4 m/s h = 30 cm y Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 20 c) du/dy = -88,88y + 26,67 d) y = 0 t = -2,13, y = 0,1 t = -1,42, y = 0,2 t = -0,71, y = 0,3 t = 0 45. Um viscosímetro do tipo copo de escoamento contém um volume de 125 mL de fluido. Este fluido escoa por um capilar de 4 mm de diâmetro e 10 mm de comprimento em 65 segundos. O escoamento ocorre à pressão atmosférica em um local onde a mesma é 670 mm Hg. O fluido tem massa específica igual a 980 kg/m³. Determine a viscosidade absoluta em centipoises e a viscosidade cinemática do fluido em centistokes. Resposta: 29781 cS e 29185 cP 08. Reologia Este texto foi retirado do livro Fundamentos de Reologia de Polímeros, de Rômulo Feitosa Navarro, da EDUCS (1997) Segundo Heráclito “panta rhei”, em grego significa “tudo flui”. Desta forma, a palavra reologia sendo resultado da soma dos radicais rhêo e logos, significaria de forma mais imediata: a ciência do escoamento. A conceituação mais abrangente de reologia é dada por Vinograd e Malkin (1980) que definiram a reologia como a ciência que se preocupa com a descrição das propriedades mecânicas dos vários materiais sob várias condições de deformação, quando eles exibem a capacidade de escoar e/ou acumular deformações reversíveis. Objetivos da reologia: a partir da relação entre a tensão aplicada sobre um corpo e a resposta deste – a deformação – a este esforço, os estudos reológicos terão que decifrar a estrutura do material e projetar seu comportamento em situações diferentes, do que as usadas durante o teste. A resposta do material à imposição de um esforço externo é a única propriedade confiável para classificá-lo como sendo fluido ou sólido. Todavia, nem sempre os resultados desta classificação são confiáveis. Segundo Lenk (1978) um fluido, idealmente, é um corpo que se deforma irreversivelmente como resultado do escoamento. Entretanto, os metais e outros sólidos plásticos escoam e permitem deformações irreversíveis e, notadamente, não são fluidos. O que distingue um sólido plástico de um fluido é que o segundo não resiste ao próprio peso e seu escoamento é majoritariamente viscoso na temperatura ambiente. Desta forma, a análise da relação tensão-deformação não basta para classificar reologicamente um material, é necessário verificar a existência de escoamento em primeiro lugar, uma vez que não escoando o material é com certeza um sólido, e por último o tipo de escoamento verificado, se viscoso ou plástico. Convém ressaltar que outra característica: a recuperação espontânea ou deformação reversível, antes só relacionada com os sólidos, não pode ser um determinante do caráter reológico dos materiais, uma vez que também pode ser apresentada por uma classe especial de fluidos chamados de viscoelásticos. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 21 Fluidos Newtonianos Este modelo impõe que a viscosidade seja uma propriedade física mutável apenas mediante variação de temperatura e pressão. A viscosidade não depende do cisalhamento aplicado ou do tempo de sua aplicação. a t b Os fluidos representados pelas retas ao lado, são todos newtonia- nos, mas têm viscosidades diferentes. A viscosidade é a inclinação c de cada curva do gráfico tensão x deformação. µ a >µ b >µ c t = µ. du/dy (1) du/dy Fenômenos Não-Newtonianos Os fluidos que não obedecem à Lei de Newton da Viscosidade são uma parcela significativa dos fluidos reais. Para estes fluidos a viscosidade deixa de ser um coeficiente para se tornar uma propriedade que varia de acordo com as condições com as quais o fluido se depara. Neste caso passa a ser denominada de viscosidade aparente. Os fluidos não newtonianos têm uma viscosidade chamada de viscosidade aparente. A dependência da viscosidade aparente com a taxa de deformação e/ou com o tempo, bem como as características inerentes aos sólidos (elásticas e plásticas) quando presentes em fluidos viscosos formam a base do que se convencionou chamar de fenômenos não newtonianos. Esses fenômenos são divididos em 3 categorias: - independentes do tempo; - dependentes do tempo; - viscoelásticos. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 22 Fenômenos não-newtonianos independentes do tempo Os comportamentos independentes do tempo podem ser incluídos em duas categorias: - fluido essencialmente viscoso, mas sua viscosidade aparente varia com a taxa de deformação (ou seja, não é representado por uma reta no plano tensão deformação) – fenômenos de potência; - fluido tem um comportamento plástico antes de escoar como um fluido; 1) Fenômenos da Potência Ao examinar determinados fluidos sob escoamento cisalhante, Ostwald de Waale verificou que os mesmos exibiam um comportamento diferente do proposto por Newton no tocante ao comportamento da viscosidade frente ao cisalhamento aplicado. Ao contrário dos fluidos newtonianos, os fluidos examinados apresentavam uma relação tensão de cisalhamento (t) versus taxa de deformação (du/dy) não linear em que a inclinação variava também de forma não linear com a taxa de deformação. Tomando como base a Lei de Newton, Ostwald propôs o seguinte modelo: t = K du dy n (2) onde: n é o índice de comportamento ou de potência K é o índice de consistência Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 23 Observe que a equação (2) se reduz à equação (1) (Lei de Newton da Viscosidade) se n=1, desta forma K=µ. K está relacionado com a viscosidade aparente (q) da seguinte forma: t q = du dy (3) q = ÷ K du dy n 1 (4) Quanto mais distante o índice de comportamento estiver de 1, mais distante o fluido estará do comportamento newtoniano. Pseudoplasticidade Este é o fenômeno de potência que ocorre mais freqüentemente. Este fenômeno faz com que a viscosidade aparente, que a baixas taxas de cisalhamento tem um valor alto, caiam a um valor constante q · a partir de um valor crítico da tensão de cisalhamento. Este comportamento pode ser explicado por uma das 3 razões que se seguem: - existência no sistema líquido de partículas assimétricas que estando no repouso, orientadas de forma aleatória, assumem uma direção preferencial na direção do escoamento; Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 24 - sistemas líquidos constituídos de moléculas grandes e flexíveis que passam de uma configuração aleatoriamente enrolada no repouso, para uma orientada na direção do escoamento, assumindo uma forma quase linear; - existência de moléculas que em repouso se encontram altamente solvatadas, têm as camadas de solvatação destruídas pela ação do cisalhamento. Moléculas grandes e flexíveis, como as moléculas poliméricas, devido ao elevado grau de enrolamento produzem vários pontos de contato entre seus segmentos cinéticos ao longo de seu comprimento. Estes pontos de contato atuam de forma a evitar o livre movimento destas moléculas e/ou de seus segmentos, de forma que confere ao sistema uma viscosidade maior em taxas de deformação mais baixas. Na medida em que o cisalhamento imposto é capaz de iniciar a eliminação destes pontos de contato, alinhando as moléculas na direção do cisalhamento, a viscosidade aparente do sistema será paulatinamente diminuída até que o equilíbrio seja novamente alcançado. Exemplos: suspensões coloidais, polímeros no estado fundido, soluções poliméricas, polpa de papel em água. Dilatância É o fenômeno oposto à pseudoplasticidade. Foi observado pela primeira vez por Reynolds ao observar que alguns sistemas se expandiam volumetricamente sob cisalhamento. Estudando suspensões concentradas em água, Reynolds deduziu que este comportamento anômalo se devia ao fato de que estas suspensões , quando em repouso, apresentavam uma quantidade mínima de vazios e que o líquido era suficiente apenas para preenchê-los . Sob cisalhamento suave, o líquido lubrificava as partículas facilitando seus movimentos relativos. Aumentos posteriores na taxa de deformação provocavam expansão no material e aumento na quantidade de vazios. Deste ponto em diante o líquido não era mais suficiente para lubrificar as partículas em movimento. O aumento na viscosidade aparente do sistema era então evidenciado pela necessidade de se aumentar a tensão de cisalhamento para manter o movimento das partículas. É um fenômeno pouco comum, estando associada às suspensões concentradas de partículas grandes. Exemplo: suspensões de amido e areia. 2) Viscoplasticidade a) Fluido de Bingham A viscoplasticidade é um fenômeno caracterizado pela existência de um valor residual para a tensão de cisalhamento, o qual deve ser excedido para que o material apresente um fluxo viscoso. Este comportamento é comum às composições altamente concentradas em que a interação partícula-partícula Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 25 desempenha um papel importante. Sistemas que são considerados líquidos como lamas, polpas de frutas e suspensões concentradas, quando têm sua concentração de sólidos elevada além do valor crítico, favorecem a formação de um “esqueleto” por parte das partículas antes dispersas . Esse “esqueleto” além de ser responsável pela elevação na viscosidade do sistema, impede que o mesmo flua normalmente. Portanto é necessário destruir este “esqueleto” para que o material realize um escoamento viscoso. t t µ = + 0 du dy onde t 0 = tensão residual µ = viscosidade plástica Exemplos: suspensões de argila, lamas de perfuração e pasta dental. b) Fluido de Herschel-Bulkley (pseudoplástico com tensão inicial) Fenômenos não newtonianos dependentes do tempo O efeito do tempo assume grande importância quando a estrutura aleatória dos sistemas líquidos muda de forma gradual frente a um campo de cisalhamento. A heterogeneidade no escoamento é caracterizada pela presença de duas ou mais fases que interagem entre si e produzem perturbações locais nas linhas de fluxo. Dentre os fatores que causam a heterogeneidade podem ser citados: forças interfaciais, pontes de hidrogênio e outras interações moleculares. Além disto existe a tendência de uma das partes da fase dispersa se cristalizar durante o escoamento, aumentando sua fração volumétrica à custa da fase contínua que lhe providencia volume livre e lubrificação. Estas perturbações aumentam de importância com o aumento de concentração, podendo gerar aumento ou diminuição da viscosidade aparente do sistema dependendo da forma como a estrutura interna do líquido será alterada: se destruída ou ampliada. Os processos caracterizados pela destruição estrutural pela ação do tempo fazem parte do fenômeno conhecido como tixotropia. Os processos contrários recebem o nome de não-tixotrópicos. Tixotropia É um fenômeno caracterizado pela diminuição da viscosidade aparente do líquido com o tempo de aplicação de uma dada taxa de deformação. Fenômenos não-tixotrópicos – Reopéticos A antitixotropia ou reopexia é perfeitamente explicada pelas teorias aplicadas à tixotropia, só que no sentido inverso. Todavia deve ser acrescentado que as partículas da fase dispersa devem possuir uma tendência à aglomeração, a qual é aumentada pela ação do cisalhamento imposto. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 26 Fluidos viscoelásticos São fluidos que têm características viscosas e elásticas. Ou seja, quando submetidos a uma tensão de cisalhamento deformam-se, mas recuperam-se parcialmente da deformação ao cessar o esforço. Exemplos deste tipo de fluidos são as massas e as geléias. 9. Métodos para determinação da viscosidade Viscosímetros capilares de fluxo Os viscosímetros capilares de fluxo tem normalmente a forma de um tubo em U. Alguns tipos de viscosímetros capilares podem ser vistos na figura ao lado. O mais simples é o viscosímetro de Ostwald. O viscosímetro é preenchido cuidadosamente com o fluido a ser medido até a marca A. O fluido é succionado pela outra extremidade até alcançar a marca B. O Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 27 fluido então escoa pelo tubo capilar devido à pressão hidrostática que foi induzida. É registrado o tempo que o fluido leva para escoar entre as marcas B e C. Este tempo é então multiplicado por uma constante do instrumento para determinar a viscosidade cinemática do fluido. O tempo é diretamente proporcional à viscosidade absoluta e inversamente proporcional à massa específica. µ µ · t Devido ao fato de que o tempo depende tanto da densidade como da viscosidade do fluido, os viscosímetros capilares de fluxo proporcionam um medida direta da viscosidade cinemática. Se não se conhece a constante do instrumento, esta pode ser calculada empregando-se um fluido de viscosidade cinemática conhecida. O tamanho do capilar é variável, mas é necessário que seja escolhido o tamanho certo para cada aplicação. Assim evita-se que o fluido flua muito rapidamente, o que faria com que o fluxo fosse turbulento, ou muito lentamente, o que demandaria muito tempo para as medidas. Tempos adequados são normalmente entre 100 e 500 segundos. Este tipo de viscosímetro é barato, necessita de amostras pequenas de fluido e é adequado para fluidos com baixa viscosidade como água, solventes orgânicos, leite, soluções diluídas e também para controlar as mudanças produzidas sobre estes fluidos por processos como aquecimento e homogeneização. Viscosímetros de orifício O viscosímetro de orifício é composto de um tubo ou orifício, geralmente disposto na vertical com comprimento pequeno quando comparado ao seu diâmetro. Este instrumento é muito utilizado industrialmente, mas não pode ser utilizado para estudos reológicos, pois seus resultados não são muito precisos. Neste tipo de equipamento é difícil estabelecer as equações de fluxo, mas são úteis em determinações relativas de fluidos newtonianos e não-newtonianos. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 28 Viscosímetros de queda de esfera Quando um objeto cai através de um fluido está submetido a uma série de forças. Para baixo atua a força da gravidade e para cima, uma força viscosa e o empuxo (igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto). Quando se alcança o equilíbrio, as forças em ambos os sentidos se igualam e o objeto cai à velocidade constante (velocidade terminal). Se o fluxo é laminar, e no caso de uma partícula esférica de diâmetro D, estas forças podem ser representadas por: 2 6 6 6 1 3 2 3 u D g D g D µ t µ t µ t + = peso = empuxo + força viscosa onde: u = velocidade terminal D = diâmetro da esfera µ 2 = massa específica da esfera µ 1 = massa específica do fluido µ = viscosidade absoluta ou dinâmica Esta equação pode ser simplificada como: ( ) µ µ µ 18 1 2 2 g D u ÷ = Lei de Stokes Com este tipo de viscosímetro não é possível determinar se o fluido é newtoniano. Normalmente, o fluido que se deseja medir a velocidade é mantido à temperatura constante com a ajuda de um banho termostático. Mede-se o tempo necessário para que a esfera caia entre duas marcas cuja distância é conhecida. Deve-se assegurar-se de que a esfera alcançou a velocidade limite antes de iniciar a medição. Se o tamanho da esfera é próximo ao tamanho do tubo, deve-se aplicar uma correção devido aos efeitos de parede. Viscosímetros rotacionais Para caracterizar fluidos não newtonianos é necessário determinar a viscosidade para uma série de forças de cisalhamento. Os viscosímetros rotacionais podem ter diversas formas. Os tipos Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 29 principais são os de cilindros concêntricos, cone e placa e de cilindro simples. Baseiam-se na rotação de um corpo cilíndrico, cônico ou circular, imerso em um líquido, o qual experimenta uma força de resistência viscosa, quando se impõe uma velocidade rotacional ao sistema. Esta força é função da velocidade de rotação do corpo e da natureza do fluido. A dependência da viscosidade com o tempo pode ser estudada nestes viscosímetros, o que é impossível de ser feito nos outros tipos. a) Viscosímetro de cilindros concêntricos Ele é constituído de dois cilindros com uma pequena folga entre eles. Pode ser baseado no sistema Searle (o cilindro interno gira) ou no sistema Couette (o cilindro externo gira). Quando o cilindro gira, estabelece-se um perfil de velocidades no fluido e, consequentemente, um atrito viscoso entre as camadas de fluido. O torque necessário para manter a velocidade constante é medido por uma mola de torção. Este torque pode ser facilmente relacionado com a tensão de cisalhamento. ( ) ( ) 1 2 1 1 2 . 0 R R R w R R u dr du ÷ = ÷ ÷ = 1 R F Torque cis = A F cis cis = t w = velocidade angular (rad./s) R 1 = raio do cilindro interno (m) R 2 = raio do cilindro externo (m) u = velocidade tangencial (m/s) du/dr = taxa de deformação (1/s) F cis = força de cisalhamento (N) t cis = tensão de cisalhamento (N/m²) Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 30 b) Viscosímetro de eixo simples Neste tipo de viscosímetro, gira um eixo em um fluido e se mede o torque necessário para vencer a resistência viscosa. São também chamados de viscosímetros de fluido infinito. Não é possível calcular a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação a que o fluido está submetido, por isso não é possível a determinação do comportamento reológico do fluido, mas tão somente a viscosidade. Dados adicionais para fluidos de importância na indústria de alimentos Leite e produtos lácteos O leite é um sistema coloidal que consta de uma fase aquosa que contém lactose, minerais, proteínas, vitaminas e outros elementos. Disperso na fase aquosa existem pequenas gotas de gordura. .A aparência leitosa deve-se à suspensão coloidal da proteína do leite (caseína) e do cálcio na solução. Há diferenças consideráveis entre a composição do leite de diferentes fontes (espécie, estação, etc.). O leite pode ser processado para aumentar seu tempo de conservação e para convertê-lo em produtos lácteos. A maior parte das técnicas de processamento podem alterar a integridade das fases dispersa ou aquosa e, portanto, a viscosidade dinâmica. O tratamento térmico do leite dá como resultado um leve aumento da viscosidade. A homogeneização aumentará a viscosidade do leite integral em até 15%. O leite que será esterilizado ou tratado por UHT requer a homogeneização para impedir a separação da gordura durante o armazenamento. O leite pasteurizado também pode ser homogeneizado. A homogeneização é responsável pelo aspecto cremoso do leite. As natas também necessitam de homogeneização. A nata normal (18% de gordura) sofre uma homogeneização considerável (até 200 bar) para melhora sua consistência e proporcionar que a mesma Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 31 fique encorpada. A nata com 35% de gordura não necessita de homogeneização. A nata com 48% de gordura necessita de uma baixa pressão de homogeneização (ao redor de 30 bar). Se a pressão é muito alta, a nata pode solidificar no envase. A reologia dos produtos lácteos é extremamente complicada e a viscosidade final da nata dependerá de fatores como a temperatura de separação, tratamento térmico, taxa de resfriamento e condições de armazenamento. O leite desnatado, o leite integral e o soro de queijo são evaporados até aumentar seu conteúdo em sólidos tanto quanto possível antes de sua secagem e amotinação. A concentração final pode ser limitada pela viscosidade de tais alimentos e dos limites de solubilidade da lactose. Estes fluidos também podem ser concentrados mediante técnicas de membrana como osmose reversa e ultrafiltração. Novamente, a magnitude da concentração é limitada pelas características da viscosidade do concentrado. Óleos e gorduras Os óleos e as gorduras são essencialmente ésteres de glicerol e ácidos graxos obtidos a partir de fontes animais e vegetais. Os óleos que provêm de fontes diferentes, têm diferentes composições e, portanto, diferentes viscosidades. Os óleos são normalmente líquidos à temperatura ambiente e as gorduras são normalmente sólidas. Os óleos são normalmente mais viscosos que as soluções aquosas, sendo normalmente newtonianos. Mas às vezes podem apresentar comportamento pseudoplástico a elevadas tensões de cisalhamento. De maneira geral, a viscosidade é tanto maior quanto maior for a quantidade de ácidos graxos de cadeia longa e ao aumentar seu grau de saturação. Assim, a hidrogenação aumentará a viscosidade. Soluções açucaradas A viscosidade destas soluções aumenta com a diminuição da temperatura e com o aumento na concentração. A maior parte das soluções de açúcares simples têm comportamento newtoniano. Hidrocolóides Os hidrocolóides são substâncias poliméricas que são solúveis ou dispersáveis em água. Alguns exemplos são goma arábica, goma guar, xantano, gomas de celulose, etc. Estas substâncias são adicionadas à formulação dos alimentos para elevar sua viscosidade ou para obter uma consistência gelatinosa. . Em soluções muito diluídas, normalmente apresentam comportamento newtoniano; muitos formam géis a concentrações relativamente baixas. Podem ser obtidos a partir de uma ampla gama de fontes de origem animal e vegetal ou mediante processos de fermentação. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 32 Muitos destes hidrocolóides podem ser modificados de forma química ou enzimática para controlar sua ação espessante e estão disponíveis em uma ampla graduação. Por exemplo, a viscosidade de uma goma guar de 10º diluída a 1% e medida a uma taxa de cisalhamento de 100s -1 varia entre 5 e 525 cP. O tempo de hidratação pode ser bastante significativo para alguns produtos, por exemplo: uma goma guar levará 24 horas até alcançar sua viscosidade máxima. A viscosidade de muitos hidrocolóides pode ser afetada de maneira significativa pelo pH do meio e pela presença de sais, açúcares e proteínas. Em muitos casos há uma concentração crítica onde há a passagem de comportamento newtoniano a não newtoniano. As proteínas formam uma classe especial de material polimérico. O comportamento de fluxo das proteínas em solução concentrada ou diluída depende do pH, da força iônica e temperatura. Alguns aspectos sensoriais Em alguns momentos é necessário distinguir entre alimento sólido e alimento líquido. No caso de líquidos e semilíquidos descreve-se a sensação ao paladar em termos de viscosidade ou consistência. Para sólidos, emprega-se a textura. É sugerido que se faça uma divisão utilizando a força da gravidade. Se um objeto flui sob a ação da gravidade, então é líquido, se não, é um sólido. Isto conduz a dúvidas no caso das substâncias de comportamento plástico, para as quais é necessária a classificação tanto acima quanto abaixo do limite de fluência (t 0 ). Muitas medidas de viscosidade são utilizadas como medida de controle de qualidade para diferentes produtos. Exercícios 46. A tabela a seguir apresenta os valores de torque e velocidade angular obtidos num viscosímetro de cilindros concêntricos com as seguintes dimensões? R e = 64,0 mm, R i = 62,2 mm e L = 125 mm. Determine a viscosidade dinâmica do fluido ensaiado utilizando estes dados e um programa de ajuste de curvas. Torque (N.m) 17,8 35,3 53,6 71,5 88,0 106,6 w (rad./s) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Resposta: o fluido é newtoniano e a viscosidade é169 Pa.s 47. Obteve-se os seguintes dados num viscosímetro de cilindros concêntricos, determine o comportamento reológico do fluido através de uma curva tensão x deformação Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 33 Tensão (N/m²) 6,5 4,8 2,7 1,7 du/dr (s -1 ) 600 470 300 200 Resposta: o fluido é dilatante, índice de consistência = 0,0025 e índice de comportamento = 1,22 48. Um fluido que tem a seguinte curva viscosidade (µ) versus taxa de deformação (du/dr) como pode ser classificado quanto ao seu comportamento reológico? µ (cP) 9198 5870 4769 3179 1890 1350 897 du/dr (1/s) 0,102 0,238 0,340 0,680 1,700 3,400 8,500 Resposta: o fluido é pseudoplástico 49. Levantou-se uma curva viscosidade em função do tempo para o extrato de tomate onde foram obtidos os dados abaixo. Classifique o fluido segundo o comportamento reológico. µ (cP) 286000 249000 78383 45990 32093 16846 7078 3569 T (s) 14 105 169 272 343 411 494 560 Resposta: o fluido é tixotrópico 50. Um fluido que escoa em um tubo de 1,5 polegada de diâmetro, apresenta uma viscosidade aparente de 50 cP. Este fluido passa através de uma restrição escoando então por uma extensão do tubo de 1 polegada de diâmetro. Neste trecho o fluido comporta-se como tendo uma viscosidade de 85 cP. Qual é o comportamento reológico deste fluido? 51. Um fluido que preenche uma folga entre dois cilindros concêntricos exige que, para que o cilindro interno gire a 120 rpm, seja feito um torque de 380 Nm. Se o fluido for do tipo pseudoplástico e a velocidade de rotação seja agora de 240 rpm, o novo torque necessário será de exatos 760 Nm? Ou será diferente? Maior ou menor? 52. Você resolve fazer um bolo e usa manteiga como pede a receita. No início do seu trabalho a manteiga está (a temperatura ambiente) quase sólida. Entretanto você, antes de misturá-la aos demais ingredientes resolve bate-la com auxílio de uma colher (para facilitar a mistura), fazendo movimentos circulares. Estes movimentos circulares são constantes, você procura faze-los sempre com a mesma velocidade. Logo você observa que a manteiga torna-se mais fluida. Qual é o comportamento reológico da manteiga? Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 34 53. Há alguma situação em que um fluido newtoniano pode apresentar mudança na sua viscosidade? 54. Para um fluido dilatante, ao dobrar a taxa de cisalhamento (por exemplo, diminuindo-se o diâmetro do tubo ou a folga onde o fluido escoa), espera-se que: a. o torque também dobre b. o torque permaneça constante c. o torque aumente mais que 100% d. o torque aumente, mas não o suficiente para dobrar. 09) Descrição e Classificação do Movimento dos Fluidos Os diferentes tipos de escoamento considerados são classificados pelas características do modo do escoamento e das propriedades do fluido. O campo de escoamento é uma representação do movimento no espaço em diferentes instantes. A propriedade que descreve o campo de escoamento é a velocidade V(x,y,z,t). Note que a velocidade é uma quantidade vetorial e tem componentes nas direções x, y e z e pode também variar com o tempo. A representação visual de umcampo de escoamento é obtida pela introdução de um material de rastreamento no escoamento e pela sua fotografia (tintas coloridas em água e fumaça no ar). Estas fotografias fornecem as linhas de corrente definidas como uma linha contínua que é tangente aos vetores velocidade ao longo do escoamento num dado instante. Como conseqüência desta definição, não há escoamento cruzando uma linha de corrente. Portanto, uma superfície sólida ou parede que delimita o escoamento também é uma linha de corrente. Quando se observa o caminho de uma dada partícula fluida em função do tempo, tem-se a trajetória da partícula. L Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 35 9.1. Experiência de Reynolds - Escoamento laminar e turbulento Devido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos reais pode ocorrer de dois modos diferentes: o escoamento laminar e o escoamento turbulento. As características destes regimes foram inicialmente descritas por Reynolds, com um dispositivo como o descrito abaixo. A água escoa de um tanque através de um tubo de vidro com abertura em forma de sino, sendo o escoamento controlado pela válvula. Um tubo fino proveniente de um reservatório de corante, termina no interior da entrada do tubo de vidro. Reynolds verificou que, para pequenas velocidades de escoamento no tubo de vidro, forma-se um filamento estreito e paralelo ao eixo do tubo. Entretanto, abrindo-se mais a válvula, e atingindo-se velocidades maiores, o filamento de corante torna-se ondulado e se interrompe, difundindo-se através da água que escoa no tubo. Reynolds verificou que a velocidade média para a qual o filamento de corante começa a se interromper (chamada velocidade crítica) dependo do grau de estabilidade da água no tanque. Uma vez que o movimento caótico das partículas fluidos durante o escoamento produzia difusão do filamento, Reynolds deduziu de sua experiência que em velocidades baixas isto não deveria ocorrer, e verificou que as partículas fluidas se movimentavam em camadas paralelas, ou lâminas, escorregando através de lâminas adjacentes, mas não se misturando entre si, este movimento denomina-se escoamento laminar. Mas para velocidades superiores, o filamento do corante se difunde através do tubo, tornando-se aparente o movimento caótico das partículas fluidas, e neste caso, dizemos que o escoamento é turbulento. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 36 Reynolds generalizou as conclusões tiradas de sua experiência com a introdução de um termo adimensional Re, definido pela relação: v µ µ uD uD = = Re Onde: u é a velocidade média no tubo D é o diâmetro interno do tubo µ é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido v é a viscosidade cinemática do fluido µ é a massa específica do fluido Reynolds inferiu que certos números podem delimitar a transição entre o regime laminar e o regime turbulento para qualquer fluido. O número de Reynolds crítico é função da geometria dos contornos Para: dutos cilíndricos - L c (dimensão característica) = D Re c = 2300 escoamento entre paredes paralelas - L c = distância entre paredes Re c = 1000 escoamento em canal aberto - L c = profundidade da água Re c = 500 ao redor de uma esfera - L c = diâmetro da esfera Re c = 1 Quando temos outros tipos de seção transversal, pode-se utilizar o conceito de Diâmetro Hidráulico (D H ). P A D s H 4 = Ex: onde A s = área da seção formada pelo fluido P = perímetro molhado Ex: ( ) b a ab D H + = 2 4 O número de Reynolds é uma relação entre forças de inércia e forças viscosas. As forças de inércia são perturbadoras, enquanto as forças viscosas são amortecedoras das perturbações. 9.2. Escoamentos uni, bi e tridimensionais Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade. a b Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 37 O campo de velocidade descrito abaixo é unidimensional, pois é função apenas de r, a distribuição de velocidade pode ser descrita como: ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ = 2 1 R r u u máx Escoamento bidimensional é aquele em que o número de coordenadas necessário para descrever o escoamento é igual a 2. No escoamento abaixo, o campo de escoamento depende de x e y. 9.3. Escoamento Compressível e Incompressível Os escoamentos em que as variações na massa específica são desprezíveis denominam-se incompressíveis. São usualmente escoamentos de líquidos ou de gases com transferência de calor desprezível, desde que as velocidades sejam pequenas quando comparadas com a velocidade do som. A Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 38 razão entre a velocidade do escoamento u e a velocidade do som c é definida como número de Mach. c u M = Para M < 0,3 as variações de massa específica são inferiores a 5% e o escoamento pode ser tratado como incompressível. Escoamentos com M > 0,3 devem ser tratados como compressíveis (para o ar a velocidade crítica é aproximadamente de 100 m/s). Escoamentos compressíveis acontecem com freqüência em aplicações da engenharia. Ex.: sistemas de ar comprimido, tubulações com gases a altas pressões, controle pneumático, etc. Normalmente o escoamento de um líquido será considerado incompressível, uma vez que as velocidades do som nos líquidos são grandes, por exemplo, a velocidade do som na água é cerca de 1500 m/s. 9.4. Escoamento Interno e Externo Os escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são chamados internos ou em dutos. Aqueles em torno de corpos imersos num fluido não contido são denominados externos. Tanto o escoamento interno quanto o externo pode ser laminar ou turbulento, compressível ou incompressível. O escoamento de líquidos no qual o duto não fica completamente preenchido - onde há uma superfície livre submetida a uma pressão constante - é denominado de canal aberto. Escoamento interno Escoamento externo Escoamento interno e externo Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 39 9.5. Escoamento permanente e não-permanente Escoamento permanente ou estacionário é o escoamento em que as propriedades não mudam com o tempo. Para escoamento permanente: 0 = c c t µ 0 = c c t u No escoamento permanente, qualquer propriedade pode variar de ponto a ponto no campo de escoamento, mas todas as propriedades permanecerão constantes com o tempo, em cada ponto. Escoamento não-permanente, não-estacionário ou transiente é o escoamento em que as propriedades são f unção do tempo. Em escoamento em regime, as linhas de corrente e as trajetórias são coincidentes. Se o escoamento for uma função do tempo, transiente, as linhas de corrente e as trajetórias serão diferentes. 9.6. Aceleração total Se as velocidades ortogonais de um escoamento forem conhecidas, V = ui + vj + wk, a aceleração das partículas do fluido (a) poderá ser determinada como sendo a variação total da velocidade com relação ao tempo. t z z V t y y V t x x V t V Dt DV a c c c c + c c c c + c c c c + c c = = z V w y V v x V u t V Dt DV a c c + c c + c c + c c = = aceleração aceleração local convectiva A aceleração total envolve tanto a mudança de velocidade como tempo (aceleração local), como a mudança da velocidade devido ao movimento espacial do fluido (aceleração convectiva). Se o regime permanente for considerado, a aceleração do fluido será apenas devido à aceleração convectiva. Um exemplo de regime permanente é o escoamento de um fluido em um tubo, cuja seção transversal diminui. Embora o escoamento seja independente do tempo, ele ai ser acelerado devido à diminuição da área do tubo. 9.7. Escoamento uniforme e não uniforme Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 40 Se o escoamento for uniforme, a aceleração convectiva é nula. Num escoamento uniforme, o vetor velocidade é o mesmo, em módulo e direção para qualquer ponto do escoamento. Esta definição não obriga a velocidade ser constante em relação ao tempo, ela obriga sim se houver variação, esta deve ocorrer simultaneamente em todos os pontos do escoamento 9.8. Escoamentos rotacional e irrotacional – velocidade angular e vorticidade O escoamento de um fluido pode ser pensado como o movimento de uma coleção de partículas de fluido. Enquanto a partícula viaja, ela pode girar ou deformar-se. A rotação e a deformação das partículas do fluido são de interesse particular em nosso estudo de mecânica dos fluidos. Há certos escoamento, ou regiões de um escoamento, nos quais as partículas de um fluido não giram; tais escoamentos são chamados de escoamentos irrotacionais. Para entender claramente o escoamento irrotacional, compare a rotação de um corpo sólido com o movimento da cadeira de uma roda gigante. A orientação de um elemento de linha do corpo sólido que gira varia com o tempo, ao passo que um elemento de linha na cadeira de uma roda gigante retém sua orientação original. No escoamento irrotacional, um elemento de fluido, tal como a cadeira de uma roda- gigante, retém sua orientação original. Usando o exemplo de um rio profundo escoando sobre um leito rugoso de cascalhos, imagine que exista um palito sobre a superfície da água. Se o escoamento for tranqüilo, espera-se que o palito conserve a mesma orientação a jusante do escoamento, embora as águas do rio possam serpentear de modo irregular durante o escoamento. Verificar se o escoamento é irrotacional significa medir uma orientação e não uma trajetória. Pode-se imaginar que o palito seja um medidor de rotacional ou medidor de vorticidade. Exercícios 55. Determine se o escoamento de glicerina é laminar ou turbulento em um tubo de 2” de diâmetro, comprimento de 13m, velocidade de 2,5m/s e temperatura de 20°C. Resposta: 127 - laminar Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 41 56. Qual é o diâmetro de tubo necessário para que o escoamento de ar a 15ºC e velocidade de 0,1 m/s seja laminar? Resposta: 0,33m 57. Qual é a velocidade crítica para alteração de escoamento laminar para turbulento em um escoamento de água a 50°C em um duto de 10 cm de diâmetro? Resposta: 0,013 m/s 58. Quando a vazão de óleo (µ = 870 kg/m³ e µ=140 cP) for de 0,3 L/s em um duto de 8 cm de diâmetro, o escoamento será laminar ou turbulento? (Vazão = velocidade x área da seção transversal) Resposta: 30 - laminar 59. Quando se aquece um líquido, a tendência é de aumentar o nº de Reynolds ou diminuir? E quando se resfria um gás? 60. Mantendo-se a vazão constante, mas duplicando-se o diâmetro, o Reynolds aumentará ou diminuirá? De quantas vezes? Demonstre. Resposta: Reynolds cai pela metade 61. Duplicando-se a vazão e o diâmetro, o Reynolds aumentará, diminuirá ou se manterá constante? Demonstre. Resposta: Reynolds fica constante. 62. Qual deve ser a área da seção transversal de um tubo de seção circular, por onde escoa óleo de máquina a 20 0 C, com uma vazão de 1,63 L/s para que o número de Reynolds seja de 67.000.? 63. Para dobrar o número de Reynolds do problema anterior, mantendo o mesmo fluido e a mesma temperatura de escoamento, qual deveria ser: o novo diâmetro, mantida a vazão a nova velocidade, mantido o diâmetro. 64. Classifique o comportamento das seguintes variáveis ou processos quanto à condição de estarem no regime de estado estacionário, transiente ou pseudo-estacionário.(justifique sua resposta) Temperatura da sala de aula Nível da água na represa do Faxinal Volume de água na caixa de água de sua residência ou do condomínio. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 42 Fluxo de carros na BR 116 em frente ao Hospital Geral Umidade do ar em Caxias do Sul Referências bibliográficas Grande parte do material teórico e dos exercícios apresentados, foi retirado dos seguintes livros: Mecânica dos Fluidos Merle C. Potter & David C. Wiggert Pioneira Thomson Learning, 2004. Mecânica dos Fluidos Streeter, V.L.; Wylie, E.B. McGraw-Hill do Brasil, 7ª edição, 1982. Introdução à Mecânica dos Fluidos Fox, R.W. & McDonald, A.T. LTC Editora, 5ª edição. 1998. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Bruce R. Munson, Donald F. Young Theodore H. Okiishi Tradução da 2ª edição americana. Ed. Edgard Blucher. 1997. Fenômenos de Transporte Leighton E. Sissom & Donald R. Pitts Editora Guanabara Dois, 1979. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 2 M SI CGS Métrico Inglês Engenharia Inglês Técnico kg g kg lbm slug m cm m ft ft L s s s s s T K K K R R N F Pressão Pa dina/cm² Kgf/m² lbf/ft2 lbf/ft2 Energia J erg Kgf.m lbf.ft lbf.ft dina kgf lbf lbf Lembre-se que: Força = massa x aceleração Pressão = força /área Energia = força x distância Potência = trabalho/tempo Os sistemas métrico e inglês de engenharia são sistemas não coerentes de unidades. Um sistema coerente de unidades é aquele em que uma força unitária é capaz de acelerar uma massa unitária de uma aceleração unitária, ou seja, uma força de 1 N é a força necessária para acelerar uma massa de 1 kg de 1 metro por segundo em cada segundo. 1 N = 1 kg. 1 m/s² Sistemas não coerentes são aqueles em que a força unitária não corresponde à força necessária para acelerar uma massa unitária de uma aceleração unitária. Por exemplo: 1 kgf 1kg. 1m/s² 1 lbf 1 lbm.1ft/s² Em ambos os casos acima, as forças são definidas como as forças que aceleram massas unitárias a uma aceleração padrão da gravidade: 9,8 m/s² ou 32,174 ft/s². Existem também outras unidades muito comuns de uso prático, mas que não pertencem ao sistema internacional de unidades. Volume litro - L Temperatura ºC ou ºF Comprimento polegada (inche, in) Energia caloria, Btu (British Thermal Unit) Potência HP (horse-power), CV (cavalo-vapor), Btu/h, kcal/h Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 3 Pressão kgf/cm², psi (lbf/in²), atm, bar, torr, mca (metros de coluna d'água), mm Hg (milímetros de mercúrio) Escalas de temperatura Celsius Kelvin Rankine Fahrenheit 100 373,15 671,67 212 ponto de vapor 0 273,15 491,67 32 ponto de gelo -273,15 0 0 -459,67 Observe que as escalas Kelvin e Rankine são escalas absolutas e as escalas Celsius e Fahrenheit são escalas relativas. Ou seja, as duas primeiras não possuem valores negativos, elas partem do zero. Observe ainda que as escalas Celsius e Kelvin sejam escalas centígradas, ou seja, entre o ponto de vapor e o ponto de gelo, há 100 graus (ou 100 divisões) em ambas as escalas. Isto significa que o tamanho de um grau Celsius é idêntico ao tamanho de um grau Kelvin. Por isso, variações de temperatura em ºC ou K não precisam ser convertidas, porque são iguais. Outra situação que ocorre é quanto temos a unidade grau no denominador de uma unidade composta como por exemplo: K = condutividade térmica (W/mK W/mºC) C = capacidade calorífica (J/kgK J/kgºC) h = coeficiente convectivo de transferência de calor (W/m²K W/m²ºC) As escalas Fahrenheit e Rankine não são escalas centígradas, porque entre o ponto de vapor e o ponto de gelo temos 180º ou 180 subdivisões. Isto significa que o grau Rankine é menor que o grau Kelvin. A relação é de 1/1,8. Alguns textos, exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 4 Pode-se dizer também, portanto, que diferenças de temperatura em ºF e em R são idênticas e valem também as mesmas conclusões para estas unidades quando estão no denominador. Exercícios 1. A constante do gás ideal pode ser dada por seguintes unidades: a) J/K.mol b) lbf.ft/lbmol.R Resposta: a) 8,314 b) 1545 0,08205 atm.L/mol.K, expresse esta constante nas 2. Uma propriedade comum dos materiais é a condutividade térmica K. O cobre tem um valor de condutividade térmica igual a 400 W/mK. Expresse a condutividade do cobre em: a) W/m°C b) kcal/h.mºC c) Btu/h.ft.ºF Resposta: a) 400 b) 344 c) 231 3. Há um fluxo de energia através de uma parede igual a 5 W/m², expresse este fluxo em: a) kcal/h.m² b) Btu/h.ft² Resposta: a) 4,3 b) 1,58 4. Expresse a massa específica do Hg (13550 kg/m³) g/cm³ g/L kg/dm³ Resposta: a) 13,55 b) 13550 c) 13,55 5. O volume específico do vapor d’água a 200ºC e 1,5538 kPa é 0,12736 m³/kg. Expresse este valor em cm³/g. Resposta: 127,36 6. Expresse sua massa e sua altura no sistema inglês de unidades. Expresse também a potência do chuveiro de sua residência em BTU/h e Kcal/h. 8.Alguns textos. A dieta de um adulto deve conter alimentos que permitam uma provisão de energia diária de aproximadamente 2000 kcal. indique as dimensões usando o sistema MLT e dê unidades típicas no SI e no Sistema Inglês a) potência b) energia c) tensão de cisalhamento d) pressão e) velocidade angular f) quantidade de movimento g) calor específico h) gradiente de temperatura i) j) gradiente de velocidade gradiente de concentração Resposta: a) ML2T-3 b) ML2T-2 c e d) MT L e) T -1 -2 -1 Watt Joule Pascal s -1 BTU/h ou lbf.h. 5 7.77 9. A conta de energia de sua casa é quantificada em kWh. Se fossemos movidos a energia elétrica qual seria o custo diário para manter um ser humano. Joules.ft/h BTU ou lbf. Resposta: R$ 0.m/s J/kgK K/m 1/s (kg/m3)/ m 10. Para as quantidades abaixo. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Apresente o valor da sua última conta mensal de energia em kWh. kcal.ft/s BTU/lbmR R/ft 1/s( lbm/ft³)/ft f) MLT-1 g) L²T-2 -1 h) L-1 i) T-1 j) ML-4 kg.ft lbf/ft² s-1 lbm. se o custo da energia é R$ 0. A diferença de pressão P no bloqueio parcial de uma artéria (conhecido como estenose) pode ser A C2 0 1 V 2 avaliada pela seguinte expressão: P C1 A D 1 V 2 . Expresse isto em kW.33 / kWh. é a viscosidade absoluta do sangue. a massa específica em g/cm³ e a densidade relativa. sendo que seu comprimento total é de 6m. Um óleo tem viscosidade de 380 cP e densidade igual a 0. Uma solução salina tem viscosidade cinemática igual a 1. Mostre que esta grandeza tem as dimensões L2/T2. sua viscosidade cinemática no SI e em centistokes e sua massa específica no SI.380 Pa. Resposta: 0. Determine sua viscosidade absoluta no SI.Alguns textos. h) área superficial de uma lata de 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro.s 1. 469 cS e 810 kg/m³ 13.s. Determine as unidades das constantes C1 e C2 nos sistemas inglês. f) área da parede interna do mesmo tubo de aço.12 g/cm³ 1.81.4 cS e massa específica igual a 1120 kg/m³. SI e CGS. sabendo-se que ele tem espessura de parede igual a 5 cm. A0 é a seção transversal da artéria desobstruída e A1 é a área da seção transversal da estenose.2 m. Determine a viscosidade cinemática no SI. g) área da parede externa do mesmo tubo de aço. D é o diâmetro da artéria. 11. a viscosidade absoluta no SI. l) Se um tanque cilíndrico tem capacidade de 3 m³ e sua altura é 1.69 x 10-4m²/s. e) área da seção transversal de um tubo de aço de diâmetro interno igual ¾ polegada. 12. sabendo-se que a espessura de parede é 2mm. Resposta: 1. 4. Determine as seguintes áreas e volumes: a) área superficial externa de um forno de dimensões externas 80 x 120 x 120 cm b) área superficial interna do mesmo forno. A energia específica que é encontrada em tabelas de propriedades termodinâmicas tem unidades de energia por unidade de massa.568x10-3 Pa.12 14.4x10-6 m²/s 1. d) volume total do forno. qual é o seu diâmetro? m) Um tanque com 2 m³ de capacidade armazena quantos kg de água? E de mercúrio? E de benzeno? n) Quais seriam as dimensões de um cubo de massa igual a 1kg se ele fosse feito de isopor? De chumbo? De aço? De alumínio? De água? 3) Meios . exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. que tem o mesmo volume da lata do item anterior k) área superficial da esfera. c) volume interno (útil) do forno. i) j) volume da mesma lata Diâmetro de uma esfera. 6 onde V é a velocidade média do escoamento de sangue. etc. Esta equação pode ser utilizada sem erro apreciável em baixas pressões e temperaturas próximas da temperatura ambiente. pode-se substituir e chegar a seguinte PM RT para consistência de unidades o ideal é utilizar os valores em unidades do SI. ou seja: . equações cúbicas de estado. 7 Todos os materiais se apresentam na forma sólida.Alguns textos. Sólido – substância que oferece resistência à variações de forma.). fator acêntrico. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. líquida ou gasosa ou ainda numa combinação destas formas. A equação do Gás Ideal é dada por: Onde: P = pressão absoluta V = volume do gás N = número de mols R = constante do gás ideal T = temperatura absoluta do gás PV nRT Sabendo-se que n = m/M equação: (m = massa e M= massa molecular). Fluido – substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento (líquidos e gases) Massa específica Volume específico Peso específico Densidade relativa v m V [kg/m³] [m³/kg] V m g d mg V [N/m³] [-] H2O – 4ºC = 1000 kg/m³ H O 4ºC 2 4) Variações de massa específica Gases Como uma aproximação pode-se usar a equação de estado do Gás Ideal. Qualquer estimativa de massa específica e propriedades PVT de gases em serviços de responsabilidade deve ser feita baseando-se nos critérios de termodinâmica (utilizando fator de compressibilidade. Alguns textos.K Desta forma obtém-se a massa específica em kg/m³. uma vez que a dependência da massa específica com a pressão e com a temperatura é muito menos significativa que para os gases. A variação da massa específica com a pressão é dada pelo módulo de elasticidade volumétrica do fluido (Ev) ou coeficiente de compressibilidade (K) Ev dP d Ev [Pa] . 8 P = Pa M = kg/kmol T=K R= 8314. A variação da massa específica de um líquido com a temperatura é facilmente mensurável e usualmente encontra-se tabelada. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.3 J/kmol. Líquidos Os líquidos usualmente são considerados incompressíveis. 6 999 1.3 4.85 1.12 1.00016 1. a pressão.6 680 1260 13600 912 0.s/m²) Pressão de vapor Pv (103xN/m²) abs Tetracloreto de carbono Álcool etílico Gasolina Glicerina Mercúrio Óleo 30 Água mar Água 15.31 1500 1. 9 Propriedades aproximadas de alguns líquidos Temperatura (0C) Massa específica (kg/m³) Viscosidade dinâmica (10-3xN.77 2.5 20 789 1. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.34 SAE 15.31 Compressibilidade Ev (109x N/m²) Exercícios 15.6 1030 1.06 20 1590 0. Qual é a variação percentual da massa específica da água (a 20°C) quando submetida a uma diferença de pressão de 54 atm? Se a sua massa específica inicial era de 998 kg/m³.9 1.57 380 55 0.Alguns textos. Qual é o aumento de pressão necessário para causar uma variação de massa específica da água semelhante àquela que seria causada pela diminuição da temperatura da mesma de 40 para 200C? .6 20 20 15.000014 0. a massa específica e a viscosidade do ar a 13 km e a 6 km de altitude? 16. qual será o novo valor? Resposta: 0.19 5.47kg/m³ 17.15 do 15.24% e 1000.2 1.958 13 1. Qual é a temperatura.77 2.52 2. 86% 20.24 N 0.95 slug. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Nos dois casos ocorrerá variação significativa da massa específica? Justifique claramente a sua resposta.9 lbf quando vazio. Resposta:28. para que sua massa específica seja de 5. 23. 10 Resposta 131. Um recipiente pesa 2. Qual a altura correspondente aos 20 ml? Agora você transfere os 20 ml de água a 4°C para uma proveta de 1cm de diâmetro interno. 22.5 bar 25. A que pressão deve ser armazenado o ar.1%. Sabe-se (e você vai estudar este assunto com profundidade) que ao longo de uma tubulação. qualquer fluido ao escoar sofre atrito com as paredes. Resposta: 266. Determine o peso de água no recipiente e seu volume em pés cúbicos. se a temperatura é de 15°C? Resposta: 437921 Pa 21. a altura de água na proveta permanecerá a mesma? . qual a altura de água nesta nova proveta? Se os 20 ml de água forem aquecidos a 60°C. Justifique o motivo físico pelo qual as duas equações apresentadas para o módulo de elasticidade volumétrica tem sinais contrários.Alguns textos. Quando cheio com água a 200C.26 atm 18.96 ft³ 24. Se no início do escoamento a pressão é 180 kPa e no final do escoamento a pressão cai para 154 kPa. Considere dois casos específicos: na tubulação A escoa nitrogênio (N2)a 20°C e na tubulação B escoa água também a 20°C.42 kg/m³ 19. Estime qual deve ser o aumento da pressão (em bar) necessário para provocar uma diminuição do volume do mercúrio em 0. Qual é a massa específica do CO2 (dióxido de carbono) a 50ºC e 650 mmHg? Resposta: 1. isto causa uma queda na pressão do escoamento. a massa do recipiente e do seu conteúdo é de 1. (Use os dados tabelados de massa específica da água).3 kg/m³. Suponha que você tenha 20ml de água a 4°C em uma proveta de 2cm de diâmetro interno. Qual é a alteração percentual na massa especifica dos gases de combustão de um automóvel (considere gás ideal) quando a temperatura passa de 300°C para 35°C? Resposta:. a camada superior é arrastada juntamente com a placa e suas moléculas colidem com as moléculas da camada imediatamente anterior. uma força infinitesimal. estabelece-se entre elas um atrito intenso chamado de tensão de cisalhamento e que tende a se opor ao movimento.Alguns textos. Lei de Newton da Viscosidade a’ b b’ c d dy dF x a dux Observa-se que a força aplicada é proporcional à velocidade que será impressa à placa superior. Por isso. ou seja. deformação do fluido pode ser medida pela tangente do ângulo. sendo a inferior fixa e a superior em movimento. Devido às diferentes velocidades das camadas de fluido. Um fluido está confinado entre duas placas planas. Devido à condição de não escorregamento a camada de fluido em contato com uma superfície tem a mesma velocidade da superfície. m é a massa e u é a velocidade. consequentemente. É aplicada uma força Fx tangencial que provoca o deslocamento da superfície superior com a velocidade u. ocorrendo transferência de quantidade de movimento entre as camadas do fluido. uma vez que a deformação também será infinitesimal. a deformação do fluido. d cateto oposto b1 b cateto adjacente dy . As camadas de fluido ao escoarem com diferentes velocidades estabelecem um perfil de velocidades no seio do fluido. 11 5) Transferência de Quantidade de Movimento – Lei de Newton da Viscosidade Quantidade de movimento é uma quantidade vetorial definida por P m.v onde P é a quantidade de movimento. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Se a força aplicada for dF. Quanto maior esta força também será maior o deslocamento da placa e. o sinal da tensão de cisalhamento. Abaixo há uma pequena explicação para clarear a questão do sinal da equação e. = fator de proporcionalidade – viscosidade dinâmica ou absoluta (N. (-) indica o sentido do fluxo de quantidade de movimento – da maior para a menor velocidade.s/m²) du/dy = gradiente de velocidades ou taxa de deformação angular (s-1) yx du dy Portanto.índice y – direção do transporte do impulso de quantidade de movimento. ou no sentido decrescente (observe que não indica o sinal da força). d du dt dy Trocando-se o sinal de proporcionalidade por um sinal de igualdade e um coeficiente de proporcionalidade temos: Onde = tensão de cisalhamento (N/m²) índice x – direção do movimento .Alguns textos. Tensão de cisalhamento – sinal 𝜏 = −𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑦 ou 𝜏 = 𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑦 .dt d então dy d du dt dy ambos os termos podem ser chamadas de taxa de deformação angular ou gradiente de velocidade. consequentemente. a Lei de Newton da Viscosidade pode ser expressa como: xy Fx du Lei de Newton da Viscosidade A dy A Lei de Newton também é apresentada sem o sinal negativo por diversos autores.dt velocidade deslocamento tempo du. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. A tensão de cisalhamento que surge entre as camadas de fluido provocada pelo movimento relativo das mesmas é proporcional à taxa de deformação. O sinal da tensão é frequentemente motivo de confusão entre estudantes. 12 O deslocamento b’-b pode ser medido pela equação Então (b’-b) = du. Então v Substituindo na equação y é negativa. pois quando y aumenta a velocidade diminui.Alguns textos. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. v . temos que: Na placa inferior A placa inferior (y menor) exerce uma força positiva sobre o fluido (y maior) O fluido (y maior) exerce uma força negativa sobre a placa inferior (y menor) Na placa superior O fluido (y menor) exerce uma força positiva sobre a placa superior (y maior) A placa superior (y maior) exerce uma força negativa sobre o fluido (y menor) . Observe os exemplos abaixo: A função v(y) é decrescente. a tensão fica positiva. Ao usarmos esta equação com sinal negativo (segundo Bird) estamos dizendo que o sinal da tensão de cisalhamento obtido refere-se à força feita pelo fluido com y menor sobre o fluido com y maior no campo de escoamento. Lembrando que: o sinal da força refere-se ao y y menor sobre o y maior. assim como o calor flui da temperatura mais alta para a temperatura mais baixa. 13 O fluxo de quantidade de movimento flui da velocidade mais alta para a velocidade mais baixa. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. pois quando y aumenta a velocidade também aumenta. 14 A função v(y) é crescente. É uma função da temperatura.Alguns textos. então v positiva.s ou Kg/m.s . A função é decrescente. a tensão fica r 6) Viscosidade Absoluta ou Dinâmica () É a medida da resistência do fluido à deformação. a tensão fica negativa. ou seja. v . Então v Substituindo na equação y é positiva.01P). O fluido (r menor) exerce uma força positiva sobre a parede do duto (r maior) A parede (r maior) exerce uma força negativa sobre o fluido (r menor) r é negativa. 1 poise 1g/cm.s Outra unidade muito utilizada é o centipoise. Lembrando que: o sinal da força refere-se ao y y menor sobre o y maior. As unidades no SI são Pa. Substituindo na equação v . pois quanto maior o raio menor a velocidade. temos que: Na placa inferior A placa inferior (y menor) exerce uma força negativa sobre o fluido (y maior) O fluido (y maior) exerce uma força positiva sobre a placa inferior (y menor) Na placa superior O fluido que adere à placa superior (y menor) exerce uma força negativa sobre a placa (y maior) A placa superior (y maior) exerce uma força positiva sobre o fluido (y menor) Neste caso a velocidade é função do raio. v =f(r). O centipoise é derivado do Poise (0. Resposta: 0. PR 4 t 8 VL stoke 1 cm²/s No SI a unidade é m²/s. 15 7) Viscosidade Cinemática ou Difusividade de Quantidade de Movimento () A viscosidade cinemática pode ser deduzida a partir da equação de Poiseuille (a ser deduzida no capítulo 4).s. Um óleo tem viscosidade de 380 cP e densidade igual a 0.81. a uma determinada pressão P. A equação de Poiseuille pode ser aplicada para escoamentos em regime permanente. sua viscosidade cinemática no SI e em centistokes e sua massa específica no SI. 1 A relação entre os dois tipos de viscosidade é dada por: Exercícios 26.Alguns textos. incompressível e o fluido seja newtoniano. 4. A equação relaciona o tempo de escoamento (t) de um determinado volume de fluido (V). exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Determine sua viscosidade absoluta no SI. 469 cS e 810 kg/m³ .69 x 10-4m²/s.380 Pa. Outra unidade muito utilizada é o stoke e o centistoke. É útil para a determinação da viscosidade em viscosímetros de escoamento. escoe em um capilar de comprimento L e raio R. laminares. aumento da velocidade do fio b. determine qual será a força necessária que deverá ser aplicada na placa superior para arrastá-la a uma velocidade de 5 cm/s.8 mm e ele fica centrado na passagem.s 1.12 g/cm³ 1.Alguns textos.881 N.1 m². Resposta: 1. aumento do comprimento da matriz 32. O verniz que tem viscosidade absoluta = 2000cP preenche completamente o espaço entre o fio e a passagem por um comprimento de 20 mm.12 28.4x10-6 m²/s 1. O diâmetro do fio é de 0. Supondo que um fluido de viscosidade 50 cP esteja confinado entre duas placas planas separadas por uma distância de 2 mm. Determine a viscosidade cinemática no SI.305 m de comprimento. Resposta: 0. aumento da temperatura e.122 m de raio gira concentricamente dentro de um cilindro fixo de 0. Analise o seguinte perfil de velocidades (parabólico) que ocorre num duto cilíndrico de seção circular r 2 u Vmáx 1 onde Vmáx = constante R r = distância radial do centro do duto R = raio do duto . Um cilindro de 0.242 Ns/m² 30. a viscosidade absoluta no SI. Fio magnético deve ser revestido com verniz isolante puxando-o através de uma matriz circular com passagem de 0. Determine a viscosidade do líquido que preenche o espaço entre os dois cilindros. O fio é puxado através da passagem a velocidade de 5 m/s. aumento da folga entre o fio e a matriz d. sabendo que há necessidade de um torque de 0.m para manter uma velocidade angular de 60 rpm. aumento do diâmetro do fio c. Determine a força requerida para puxá-lo.128 m de raio.9 mm de diâmetro. Resposta: 10 N 31.4 cS e massa específica igual a 1120 kg/m³.568x10-3 Pa. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Uma solução salina tem viscosidade cinemática igual a 1. 16 27. Os dois cilindros têm 0.125N 29. a massa específica em g/cm³ e a densidade relativa. Em relação ao problema anterior avalie o efeito sobre a força nos casos abaixo: a. A placa tem área de 0. Resposta: 0. 63 Pa na parede e zero na linha central 33. d) Determine o gradiente de velocidade na linha central. Uma placa que dista 0. Um cilindro de aço de 2.(massa específica do aço = 7850 kg/m³) Resposta: 0. com uma velocidade máxima de 5 m/s e o diâmetro do tubo é 1"? Resposta: b) du/dr = -2umáx. sob a ação do próprio peso.s 34.25 m/s e necessita de uma força por unidade de área de 2 Pa para manter a velocidade constante.54 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento cai. Determinar a viscosidade da substância entre as placas em unidades SI. e) Qual é a tensão de cisalhamento na parede e na linha central quando flui água a 30ºC.r/R2 c) -2umáx/R d) 0 e) 0. Um pistão de 50.5 mm de uma placa fixa. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Resposta: 0.004 Pa.10 mm de diâmetro. Determinar a folga existente entre o tubo e o cilindro.25 mm 36.00 mm de diâmetro se movimenta no interior de um cilindro de 50. c) Determine o gradiente de velocidade na parede. com velocidade constante de 15 cm/s dentro de um tubo de diâmetro ligeiramente maior. Existe uma película de óleo de rícino ( = 800 cP) com espessura constante entre o cilindro e o tubo. 17 a) Onde ocorre a velocidade máxima? b) Mostre que o gradiente de velocidade varia linearmente com o raio. Resposta: 99.144 Pa.1% . Determinar o decréscimo percentual da força necessária para movimentar o pistão quando o lubrificante (óleo SAE 10W) se aquece de 00C a 120ºC.s 35.Alguns textos. Determine a viscosidade do fluido entre o eixo e a bucha da figura abaixo Resposta: 1. move-se a 0. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 38. a origem é colocada à meia distância entre as placas. determine a velocidade máxima com a qual ela pode ser puxada através da ranhura.Alguns textos. O lubrificante de viscosidade semelhante a do problema anterior preenche completamente o espaço entre a fita e a ranhura por um comprimento de 5" ao longo da fita.06x10-4 Ns/m² . Ela fica centrada na ranhura com uma folga de 0. determine a força requerida para puxá-lo. Quantas vezes maior é a viscosidade da água a 0ºC do que a 100°C? Quantas vezes maior é a viscosidade cinemática no mesmo intervalo de temperatura? Resposta: 6. A superfície está inclinada de 15º em relação à horizontal.5 lbf. Uma fita de gravação deve ser revestida em ambos os lados com lubrificante.5 = 147N (considerando = 3. 39. Se a velocidade do cubo é 5 ft/s e a película de óleo tem 0. sendo puxada através de uma estreita ranhura.021 Nm é necessário para girar o cilindro interno a 100 rpm.30 m/s e h = 0. Um viscosímetro tem um cilindro interno de 75 mm de diâmetro e 150 mm de altura.02mm. Calcule a força cisalhante sobre uma seção de 0.001" de espessura. Considere um escoamento de água a 15°C.82N do fluido sobre a placa. Resposta: 8.3 vezes para a viscosidade absoluta e 6. Um torque de 0. Resposta: 45 m/s 41. A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por u u max 2y 1 h 2 onde h é a distância entre as placas.1 vezes para a viscosidade cinemática. A fita tem espessura desprezível e 1" de largura.3 m² placa inferior. Um viscosímetro de cilindros concêntricos pode ser formado girando-se o membro interno de um par de cilindros encaixados com folga muito pequena.5x10-2 Ns/m²) 40.5 + 135. 18 37.012 " de cada lado. com largura de folga de 0. Resposta: F total = Fpeso + Fcis = 11. Um cubo pesando 10 lbf e tendo a dimensão de 10" em cada aresta é puxado para cima sobre uma superfície inclinada na qual há uma película de óleo SAE 10W a 100ºF. Para pequenas folgas pode-se supor um perfil linear de velocidades no líquido que preenche o espaço anular. Determine a viscosidade do líquido no espaço anular. Se a fita pode suportar uma força máxima de tração de 7. Resposta: 0. com umáx = 0.50 mm. na região próxima à superfície está mostrado na figura abaixo. O vértice da parábola encontra-se a 30 cm da placa fixa. Resposta: 0.2 v = 3.22. Determine a velocidade terminal do bloco sabendo que a espessura do filme de óleo SAE 30 é igual a 0. Um bloco de 10 kg desliza num plano inclinado sobre uma película de óleo. Determine a magnitude da tensão de cisalhamento que atua sobre a placa.552U/ 44. y = 10cm. y = 20cm e y = 30cm (se = 80 cP) v = 4 m/s h = 30 cm y Resposta: a) u= -44. y = 10cm. Um fluido newtoniano. O perfil de velocidades em um meio fluido é representado pela figura abaixo.042 m/s (considerando =0.y = 0.92 e 4x104 m²/s. densidade e viscosidade cinemática.1 mm e que a temperatura é 20°C. O perfil de velocidades deste escoamento.2 m². Expresse seu resultado em função de U (m/s) e (m) Resposta: tensão = 0.67 y b) y = 0 v = 0. y = 0.44y² + 26. respectivamente iguais a 0.56..4Ns/m²) 43. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Admita que a distribuição de velocidade no filme seja linear e que a área do bloco em contato com o filme é de 0.1 v = 2. escoa sobre uma superfície imóvel.Alguns textos. O plano está inclinado de 20° em relação à horizontal..3 v = 4 .y = 0. y = 20cm e y = 30cm c) a expressão para o gradiente de velocidade d) as tensões de cisalhamento em y = 0cm. Determine: a) a função que representa a variação de velocidade b) as velocidades em y = 0cm. 19 42. 2 = -0. os metais e outros sólidos plásticos escoam e permitem deformações irreversíveis e. Este fluido escoa por um capilar de 4 mm de diâmetro e 10 mm de comprimento em 65 segundos. Entretanto. é necessário verificar a existência de escoamento em primeiro lugar. não são fluidos. e por último o tipo de escoamento verificado. uma vez que não escoando o material é com certeza um sólido.Alguns textos. Segundo Lenk (1978) um fluido. O que distingue um sólido plástico de um fluido é que o segundo não resiste ao próprio peso e seu escoamento é majoritariamente viscoso na temperatura ambiente. . se viscoso ou plástico.42. O fluido tem massa específica igual a 980 kg/m³. Objetivos da reologia: a partir da relação entre a tensão aplicada sobre um corpo e a resposta deste – a deformação – a este esforço. 20 c) du/dy = -88. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. os estudos reológicos terão que decifrar a estrutura do material e projetar seu comportamento em situações diferentes. Desta forma. idealmente. não pode ser um determinante do caráter reológico dos materiais. y = 0.67 d) y = 0 = -2. y = 0. a análise da relação tensão-deformação não basta para classificar reologicamente um material. quando eles exibem a capacidade de escoar e/ou acumular deformações reversíveis. Convém ressaltar que outra característica: a recuperação espontânea ou deformação reversível. significaria de forma mais imediata: a ciência do escoamento. O escoamento ocorre à pressão atmosférica em um local onde a mesma é 670 mm Hg. do que as usadas durante o teste. da EDUCS (1997) Segundo Heráclito “panta rhei”. uma vez que também pode ser apresentada por uma classe especial de fluidos chamados de viscoelásticos. de Rômulo Feitosa Navarro. nem sempre os resultados desta classificação são confiáveis. A conceituação mais abrangente de reologia é dada por Vinograd e Malkin (1980) que definiram a reologia como a ciência que se preocupa com a descrição das propriedades mecânicas dos vários materiais sob várias condições de deformação. Determine a viscosidade absoluta em centipoises e a viscosidade cinemática do fluido em centistokes. notadamente.13.3 = 0 45. Reologia Este texto foi retirado do livro Fundamentos de Reologia de Polímeros. antes só relacionada com os sólidos. Todavia. Resposta: 29781 cS e 29185 cP 08.88y + 26. A resposta do material à imposição de um esforço externo é a única propriedade confiável para classificá-lo como sendo fluido ou sólido. é um corpo que se deforma irreversivelmente como resultado do escoamento. em grego significa “tudo flui”.71.1 = -1. Um viscosímetro do tipo copo de escoamento contém um volume de 125 mL de fluido. y = 0. a palavra reologia sendo resultado da soma dos radicais rhêo e logos. Desta forma. 21 Fluidos Newtonianos Este modelo impõe que a viscosidade seja uma propriedade física mutável apenas mediante variação de temperatura e pressão. . bem como as características inerentes aos sólidos (elásticas e plásticas) quando presentes em fluidos viscosos formam a base do que se convencionou chamar de fenômenos não newtonianos. mas têm viscosidades diferentes. a >b >c = . são todos newtonianos. du/dy (1) du/dy Fenômenos Não-Newtonianos Os fluidos que não obedecem à Lei de Newton da Viscosidade são uma parcela significativa dos fluidos reais. a b c Os fluidos representados pelas retas ao lado.Alguns textos. Neste caso passa a ser denominada de viscosidade aparente. Os fluidos não newtonianos têm uma viscosidade chamada de viscosidade aparente. Para estes fluidos a viscosidade deixa de ser um coeficiente para se tornar uma propriedade que varia de acordo com as condições com as quais o fluido se depara. dependentes do tempo. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. A viscosidade é a inclinação de cada curva do gráfico tensão x deformação. Esses fenômenos são divididos em 3 categorias: independentes do tempo. viscoelásticos. A dependência da viscosidade aparente com a taxa de deformação e/ou com o tempo. A viscosidade não depende do cisalhamento aplicado ou do tempo de sua aplicação. os fluidos examinados apresentavam uma relação tensão de cisalhamento () versus taxa de deformação (du/dy) não linear em que a inclinação variava também de forma não linear com a taxa de deformação. mas sua viscosidade aparente varia com a taxa de deformação (ou seja. Ao contrário dos fluidos newtonianos. Ostwald propôs o seguinte modelo: K onde: du n (2) dy n é o índice de comportamento ou de potência K é o índice de consistência . fluido tem um comportamento plástico antes de escoar como um fluido.Alguns textos. 1) Fenômenos da Potência Ao examinar determinados fluidos sob escoamento cisalhante. não é representado por uma reta no plano tensão deformação) – fenômenos de potência. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 22 Fenômenos não-newtonianos independentes do tempo Os comportamentos independentes do tempo podem ser incluídos em duas categorias: fluido essencialmente viscoso. Ostwald de Waale verificou que os mesmos exibiam um comportamento diferente do proposto por Newton no tocante ao comportamento da viscosidade frente ao cisalhamento aplicado. Tomando como base a Lei de Newton. Este fenômeno faz com que a viscosidade aparente. mais distante o fluido estará do comportamento newtoniano. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.Alguns textos. que a baixas taxas de cisalhamento tem um valor alto. K está relacionado com a viscosidade aparente () da seguinte forma: du dy (3) du n 1 K (4) dy Quanto mais distante o índice de comportamento estiver de 1. desta forma K=. orientadas de forma aleatória. Este comportamento pode ser explicado por uma das 3 razões que se seguem: existência no sistema líquido de partículas assimétricas que estando no repouso. caiam a um valor constante a partir de um valor crítico da tensão de cisalhamento. assumem uma direção preferencial na direção do escoamento. Pseudoplasticidade Este é o fenômeno de potência que ocorre mais freqüentemente. 23 Observe que a equação (2) se reduz à equação (1) (Lei de Newton da Viscosidade) se n=1. . 2) Viscoplasticidade a) Fluido de Bingham A viscoplasticidade é um fenômeno caracterizado pela existência de um valor residual para a tensão de cisalhamento. Estes pontos de contato atuam de forma a evitar o livre movimento destas moléculas e/ou de seus segmentos. a viscosidade aparente do sistema será paulatinamente diminuída até que o equilíbrio seja novamente alcançado. Exemplos: suspensões coloidais. soluções poliméricas. estando associada às suspensões concentradas de partículas grandes. polpa de papel em água. Deste ponto em diante o líquido não era mais suficiente para lubrificar as partículas em movimento. assumindo uma forma quase linear. Foi observado pela primeira vez por Reynolds ao observar que alguns sistemas se expandiam volumetricamente sob cisalhamento. devido ao elevado grau de enrolamento produzem vários pontos de contato entre seus segmentos cinéticos ao longo de seu comprimento. O aumento na viscosidade aparente do sistema era então evidenciado pela necessidade de se aumentar a tensão de cisalhamento para manter o movimento das partículas. Moléculas grandes e flexíveis. Na medida em que o cisalhamento imposto é capaz de iniciar a eliminação destes pontos de contato. para uma orientada na direção do escoamento. - existência de moléculas que em repouso se encontram altamente solvatadas. o qual deve ser excedido para que o material apresente um fluxo viscoso. Exemplo: suspensões de amido e areia. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Aumentos posteriores na taxa de deformação provocavam expansão no material e aumento na quantidade de vazios. quando em repouso. como as moléculas poliméricas. Sob cisalhamento suave.Alguns textos. alinhando as moléculas na direção do cisalhamento. É um fenômeno pouco comum. Este comportamento é comum às composições altamente concentradas em que a interação partícula-partícula . polímeros no estado fundido. 24 - sistemas líquidos constituídos de moléculas grandes e flexíveis que passam de uma configuração aleatoriamente enrolada no repouso. de forma que confere ao sistema uma viscosidade maior em taxas de deformação mais baixas. Reynolds deduziu que este comportamento anômalo se devia ao fato de que estas suspensões . Estudando suspensões concentradas em água. Dilatância É o fenômeno oposto à pseudoplasticidade. o líquido lubrificava as partículas facilitando seus movimentos relativos. apresentavam uma quantidade mínima de vazios e que o líquido era suficiente apenas para preenchê-los . têm as camadas de solvatação destruídas pela ação do cisalhamento. . A heterogeneidade no escoamento é caracterizada pela presença de duas ou mais fases que interagem entre si e produzem perturbações locais nas linhas de fluxo. só que no sentido inverso. pontes de hidrogênio e outras interações moleculares. Fenômenos não-tixotrópicos – Reopéticos A antitixotropia ou reopexia é perfeitamente explicada pelas teorias aplicadas à tixotropia. polpas de frutas e suspensões concentradas. Os processos contrários recebem o nome de não-tixotrópicos. podendo gerar aumento ou diminuição da viscosidade aparente do sistema dependendo da forma como a estrutura interna do líquido será alterada: se destruída ou ampliada. quando têm sua concentração de sólidos elevada além do valor crítico. Dentre os fatores que causam a heterogeneidade podem ser citados: forças interfaciais. Tixotropia É um fenômeno caracterizado pela diminuição da viscosidade aparente do líquido com o tempo de aplicação de uma dada taxa de deformação. Todavia deve ser acrescentado que as partículas da fase dispersa devem possuir uma tendência à aglomeração. Sistemas que são considerados líquidos como lamas. favorecem a formação de um “esqueleto” por parte das partículas antes dispersas . Os processos caracterizados pela destruição estrutural pela ação do tempo fazem parte do fenômeno conhecido como tixotropia. lamas de perfuração e pasta dental. Além disto existe a tendência de uma das partes da fase dispersa se cristalizar durante o escoamento. Portanto é necessário destruir este “esqueleto” para que o material realize um escoamento viscoso. 0 du dy onde 0 = tensão residual = viscosidade plástica Exemplos: suspensões de argila. Esse “esqueleto” além de ser responsável pela elevação na viscosidade do sistema. a qual é aumentada pela ação do cisalhamento imposto. 25 desempenha um papel importante. Estas perturbações aumentam de importância com o aumento de concentração. impede que o mesmo flua normalmente. b) Fluido de Herschel-Bulkley (pseudoplástico com tensão inicial) Fenômenos não newtonianos dependentes do tempo O efeito do tempo assume grande importância quando a estrutura aleatória dos sistemas líquidos muda de forma gradual frente a um campo de cisalhamento. aumentando sua fração volumétrica à custa da fase contínua que lhe providencia volume livre e lubrificação. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.Alguns textos. Ou seja. Métodos para determinação da viscosidade Viscosímetros capilares de fluxo Os viscosímetros capilares de fluxo tem normalmente a forma de um tubo em U. Alguns tipos de viscosímetros capilares podem ser vistos na figura ao lado. O . mas recuperam-se parcialmente da deformação ao cessar o esforço. 9. O viscosímetro é preenchido cuidadosamente com o fluido a ser medido até a marca A. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Exemplos deste tipo de fluidos são as massas e as geléias.Alguns textos. O fluido é succionado pela outra extremidade até alcançar a marca B. quando submetidos a uma tensão de cisalhamento deformam-se. O mais simples é o viscosímetro de Ostwald. 26 Fluidos viscoelásticos São fluidos que têm características viscosas e elásticas. mas é necessário que seja escolhido o tamanho certo para cada aplicação. esta pode ser calculada empregando-se um fluido de viscosidade cinemática conhecida. leite. Viscosímetros de orifício O viscosímetro de orifício é composto de um tubo ou orifício. É registrado o tempo que o fluido leva para escoar entre as marcas B e C. O tamanho do capilar é variável. os viscosímetros capilares de fluxo proporcionam um medida direta da viscosidade cinemática. O tempo é diretamente proporcional à viscosidade absoluta e inversamente proporcional à massa específica. ou muito lentamente. Neste tipo de equipamento é difícil não são muito estabelecer as equações de fluxo. Este tempo é então multiplicado por uma constante do instrumento para determinar a viscosidade cinemática do fluido. solventes orgânicos. mas são úteis em determinações relativas de fluidos newtonianos e não-newtonianos. . necessita de amostras pequenas de fluido e é adequado para fluidos com baixa viscosidade como água. 27 fluido então escoa pelo tubo capilar devido à pressão hidrostática que foi induzida. Este instrumento é muito utilizado industrialmente. mas não pode ser utilizado para estudos reológicos. geralmente disposto na vertical com comprimento pequeno quando comparado ao seu diâmetro. pois seus resultados precisos. o que faria com que o fluxo fosse turbulento. o que demandaria muito tempo para as medidas. Se não se conhece a constante do instrumento. Assim evita-se que o fluido flua muito rapidamente. Este tipo de viscosímetro é barato. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. soluções diluídas e também para controlar as mudanças produzidas sobre estes fluidos por processos como aquecimento e homogeneização. t Devido ao fato de que o tempo depende tanto da densidade como da viscosidade do fluido.Alguns textos. Tempos adequados são normalmente entre 100 e 500 segundos. Se o fluxo é laminar. estas forças podem ser representadas por: D 3 2 g 6 peso D 3 1 g 6 6Du 2 = empuxo + força viscosa onde: u = velocidade terminal D = diâmetro da esfera 2 = massa específica da esfera 1 = massa específica do fluido = viscosidade absoluta ou dinâmica Esta equação pode ser simplificada como: u D 2 2 1 g 18 Lei de Stokes Com este tipo de viscosímetro não é possível determinar se o fluido é newtoniano. e no caso de uma partícula esférica de diâmetro D. Os viscosímetros rotacionais podem ter diversas formas. 28 Viscosímetros de queda de esfera Quando um objeto cai através de um fluido está submetido a uma série de forças. o fluido que se deseja medir a velocidade é mantido à temperatura constante com a ajuda de um banho termostático. Viscosímetros rotacionais Para caracterizar fluidos não newtonianos é necessário determinar a viscosidade para uma série de forças de cisalhamento. Para baixo atua a força da gravidade e para cima. uma força viscosa e o empuxo (igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto). Quando se alcança o equilíbrio. Os tipos . Normalmente.Alguns textos. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Deve-se assegurar-se de que a esfera alcançou a velocidade limite antes de iniciar a medição. Se o tamanho da esfera é próximo ao tamanho do tubo. Mede-se o tempo necessário para que a esfera caia entre duas marcas cuja distância é conhecida. deve-se aplicar uma correção devido aos efeitos de parede. as forças em ambos os sentidos se igualam e o objeto cai à velocidade constante (velocidade terminal). Quando o cilindro gira./s) R1 = raio do cilindro interno (m) R2 = raio do cilindro externo (m) u = velocidade tangencial (m/s) du/dr = taxa de deformação (1/s) Fcis = força de cisalhamento (N) cis = tensão de cisalhamento (N/m²) Torque Fcis R1 cis Fcis A . Este torque pode ser facilmente relacionado com a tensão de cisalhamento.Alguns textos. A dependência da viscosidade com o tempo pode ser estudada nestes viscosímetros. cone e placa e de cilindro simples. imerso em um líquido. o qual experimenta uma força de resistência viscosa. cônico ou circular. Pode ser baseado no sistema Searle (o cilindro interno gira) ou no sistema Couette (o cilindro externo gira). consequentemente. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. a) Viscosímetro de cilindros concêntricos Ele é constituído de dois cilindros com uma pequena folga entre eles.R1 du u 0 dr R2 R1 R2 R1 w = velocidade angular (rad. Esta força é função da velocidade de rotação do corpo e da natureza do fluido. quando se impõe uma velocidade rotacional ao sistema. O torque necessário para manter a velocidade constante é medido por uma mola de torção. 29 principais são os de cilindros concêntricos. estabelece-se um perfil de velocidades no fluido e. o que é impossível de ser feito nos outros tipos. um atrito viscoso entre as camadas de fluido. w. Baseiam-se na rotação de um corpo cilíndrico. A homogeneização é responsável pelo aspecto cremoso do leite. .). A homogeneização aumentará a viscosidade do leite integral em até 15%. O tratamento térmico do leite dá como resultado um leve aumento da viscosidade. a viscosidade dinâmica.A aparência leitosa deve-se à suspensão coloidal da proteína do leite (caseína) e do cálcio na solução. O leite que será esterilizado ou tratado por UHT requer a homogeneização para impedir a separação da gordura durante o armazenamento. Dados adicionais para fluidos de importância na indústria de alimentos Leite e produtos lácteos O leite é um sistema coloidal que consta de uma fase aquosa que contém lactose. O leite pode ser processado para aumentar seu tempo de conservação e para convertê-lo em produtos lácteos. Há diferenças consideráveis entre a composição do leite de diferentes fontes (espécie. Não é possível calcular a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação a que o fluido está submetido. minerais. A maior parte das técnicas de processamento podem alterar a integridade das fases dispersa ou aquosa e. O leite pasteurizado também pode ser homogeneizado. A nata normal (18% de gordura) sofre uma homogeneização considerável (até 200 bar) para melhora sua consistência e proporcionar que a mesma .Alguns textos. vitaminas e outros elementos. por isso não é possível a determinação do comportamento reológico do fluido. São também chamados de viscosímetros de fluido infinito. etc. 30 b) Viscosímetro de eixo simples Neste tipo de viscosímetro. portanto. gira um eixo em um fluido e se mede o torque necessário para vencer a resistência viscosa. proteínas. As natas também necessitam de homogeneização. mas tão somente a viscosidade. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Disperso na fase aquosa existem pequenas gotas de gordura. estação. Soluções açucaradas A viscosidade destas soluções aumenta com a diminuição da temperatura e com o aumento na concentração. a nata pode solidificar no envase. Se a pressão é muito alta. sendo normalmente newtonianos. Os óleos são normalmente mais viscosos que as soluções aquosas. portanto. a viscosidade é tanto maior quanto maior for a quantidade de ácidos graxos de cadeia longa e ao aumentar seu grau de saturação. Podem ser obtidos a partir de uma ampla gama de fontes de origem animal e vegetal ou mediante processos de fermentação. o leite integral e o soro de queijo são evaporados até aumentar seu conteúdo em sólidos tanto quanto possível antes de sua secagem e amotinação. gomas de celulose. goma guar. Estes fluidos também podem ser concentrados mediante técnicas de membrana como osmose reversa e ultrafiltração. 31 fique encorpada. Hidrocolóides Os hidrocolóides são substâncias poliméricas que são solúveis ou dispersáveis em água. etc. taxa de resfriamento e condições de armazenamento. A concentração final pode ser limitada pela viscosidade de tais alimentos e dos limites de solubilidade da lactose. Os óleos são normalmente líquidos à temperatura ambiente e as gorduras são normalmente sólidas. Alguns exemplos são goma arábica. Em soluções muito diluídas. A reologia dos produtos lácteos é extremamente complicada e a viscosidade final da nata dependerá de fatores como a temperatura de separação. . Assim. Mas às vezes podem apresentar comportamento pseudoplástico a elevadas tensões de cisalhamento. tratamento térmico. Os óleos que provêm de fontes diferentes. xantano. A nata com 48% de gordura necessita de uma baixa pressão de homogeneização (ao redor de 30 bar). a hidrogenação aumentará a viscosidade. normalmente apresentam comportamento newtoniano. Estas substâncias são adicionadas à formulação dos alimentos para elevar sua viscosidade ou para obter uma consistência gelatinosa. têm diferentes composições e. Óleos e gorduras Os óleos e as gorduras são essencialmente ésteres de glicerol e ácidos graxos obtidos a partir de fontes animais e vegetais. De maneira geral. muitos formam géis a concentrações relativamente baixas. diferentes viscosidades. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. a magnitude da concentração é limitada pelas características da viscosidade do concentrado. Novamente. A nata com 35% de gordura não necessita de homogeneização. . O leite desnatado. A maior parte das soluções de açúcares simples têm comportamento newtoniano.Alguns textos. A tabela a seguir apresenta os valores de torque e velocidade angular obtidos num viscosímetro de cilindros concêntricos com as seguintes dimensões? Re = 64. da força iônica e temperatura. No caso de líquidos e semilíquidos descreve-se a sensação ao paladar em termos de viscosidade ou consistência.0 Resposta: o fluido é newtoniano e a viscosidade é169 Pa. por exemplo: uma goma guar levará 24 horas até alcançar sua viscosidade máxima.0 4. determine o comportamento reológico do fluido através de uma curva tensão x deformação . exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Exercícios 46. Muitas medidas de viscosidade são utilizadas como medida de controle de qualidade para diferentes produtos. Torque (N.Alguns textos.0 2.2 mm e L = 125 mm.0 5.0 3. O comportamento de fluxo das proteínas em solução concentrada ou diluída depende do pH. é um sólido./s) 17. a viscosidade de uma goma guar de 10º diluída a 1% e medida a uma taxa de cisalhamento de 100s-1 varia entre 5 e 525 cP. Isto conduz a dúvidas no caso das substâncias de comportamento plástico. Para sólidos. açúcares e proteínas.6 71. A viscosidade de muitos hidrocolóides pode ser afetada de maneira significativa pelo pH do meio e pela presença de sais. Determine a viscosidade dinâmica do fluido ensaiado utilizando estes dados e um programa de ajuste de curvas. Por exemplo.6 1.3 53.0 106. emprega-se a textura. O tempo de hidratação pode ser bastante significativo para alguns produtos.s 47. Obteve-se os seguintes dados num viscosímetro de cilindros concêntricos. para as quais é necessária a classificação tanto acima quanto abaixo do limite de fluência (0). As proteínas formam uma classe especial de material polimérico.m) w (rad. então é líquido.0 mm. 32 Muitos destes hidrocolóides podem ser modificados de forma química ou enzimática para controlar sua ação espessante e estão disponíveis em uma ampla graduação. se não. Ri = 62.0 6. Alguns aspectos sensoriais Em alguns momentos é necessário distinguir entre alimento sólido e alimento líquido. Em muitos casos há uma concentração crítica onde há a passagem de comportamento newtoniano a não newtoniano. É sugerido que se faça uma divisão utilizando a força da gravidade.8 35.5 88. Se um objeto flui sob a ação da gravidade. Levantou-se uma curva viscosidade em função do tempo para o extrato de tomate onde foram obtidos os dados abaixo. No início do seu trabalho a manteiga está (a temperatura ambiente) quase sólida. Qual é o comportamento reológico da manteiga? . você procura faze-los sempre com a mesma velocidade.8 2. Qual é o comportamento reológico deste fluido? 51. Entretanto você.5 polegada de diâmetro. Se o fluido for do tipo pseudoplástico e a velocidade de rotação seja agora de 240 rpm. Neste trecho o fluido comporta-se como tendo uma viscosidade de 85 cP.0025 e índice de comportamento = 1.7 600 470 300 200 Resposta: o fluido é dilatante. o novo torque necessário será de exatos 760 Nm? Ou será diferente? Maior ou menor? 52.5 4. 33 Tensão (N/m²) du/dr (s-1) 6.238 4769 0. Este fluido passa através de uma restrição escoando então por uma extensão do tubo de 1 polegada de diâmetro.680 1890 1.400 897 8.500 Resposta: o fluido é pseudoplástico 49. índice de consistência = 0.700 1350 3. Um fluido que escoa em um tubo de 1. antes de misturá-la aos demais ingredientes resolve bate-la com auxílio de uma colher (para facilitar a mistura). apresenta uma viscosidade aparente de 50 cP. fazendo movimentos circulares. Um fluido que preenche uma folga entre dois cilindros concêntricos exige que.340 3179 0.102 5870 0. Estes movimentos circulares são constantes.7 1. (cP) T (s) 286000 14 249000 105 78383 169 45990 272 32093 343 16846 411 7078 494 3569 560 Resposta: o fluido é tixotrópico 50.Alguns textos. Você resolve fazer um bolo e usa manteiga como pede a receita. seja feito um torque de 380 Nm. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Um fluido que tem a seguinte curva viscosidade ( ) versus taxa de deformação (du/dr) como pode ser classificado quanto ao seu comportamento reológico? (cP) du/dr (1/s) 9198 0. Logo você observa que a manteiga torna-se mais fluida. para que o cilindro interno gire a 120 rpm.22 48. Classifique o fluido segundo o comportamento reológico. o torque aumente. 09) Descrição e Classificação do Movimento dos Fluidos Os diferentes tipos de escoamento considerados são classificados pelas características do modo do escoamento e das propriedades do fluido. o torque aumente mais que 100% d. Note que a velocidade é uma quantidade vetorial e tem componentes nas direções x.z. Estas fotografias fornecem as linhas de corrente definidas como uma linha contínua que é tangente aos vetores velocidade ao longo do escoamento num dado instante. uma superfície sólida ou parede que delimita o escoamento também é uma linha de corrente. O campo de escoamento é uma representação do movimento no espaço em diferentes instantes. Quando se observa o caminho de uma dada partícula fluida em função do tempo. Há alguma situação em que um fluido newtoniano pode apresentar mudança na sua viscosidade? 54. mas não o suficiente para dobrar. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. o torque permaneça constante c. 34 53.t). não há escoamento cruzando uma linha de corrente. espera-se que: a. diminuindo-se o diâmetro do tubo ou a folga onde o fluido escoa). Como conseqüência desta definição. ao dobrar a taxa de cisalhamento (por exemplo. A propriedade que descreve o campo de escoamento é a velocidade V(x. Portanto.Alguns textos. A representação visual de umcampo de escoamento é obtida pela introdução de um material de rastreamento no escoamento e pela sua fotografia (tintas coloridas em água e fumaça no ar). y e z e pode também variar com o tempo. tem-se a trajetória da partícula.y. L . o torque também dobre b. Para um fluido dilatante. mas não se misturando entre si. Reynolds verificou que. sendo o escoamento controlado pela válvula. e atingindo-se velocidades maiores. escorregando através de lâminas adjacentes. o filamento do corante se difunde através do tubo. com um dispositivo como o descrito abaixo. Reynolds verificou que a velocidade média para a qual o filamento de corante começa a se interromper (chamada velocidade crítica) dependo do grau de estabilidade da água no tanque. difundindo-se através da água que escoa no tubo. A água escoa de um tanque através de um tubo de vidro com abertura em forma de sino. tornando-se aparente o movimento caótico das partículas fluidas. Um tubo fino proveniente de um reservatório de corante. e neste caso. para pequenas velocidades de escoamento no tubo de vidro.1. o escoamento de fluidos reais pode ocorrer de dois modos diferentes: o escoamento laminar e o escoamento turbulento. 35 9.Alguns textos.Escoamento laminar e turbulento Devido ao efeito da viscosidade. ou lâminas. o filamento de corante torna-se ondulado e se interrompe. Uma vez que o movimento caótico das partículas fluidos durante o escoamento produzia difusão do filamento. As características destes regimes foram inicialmente descritas por Reynolds. Experiência de Reynolds . termina no interior da entrada do tubo de vidro. Entretanto. forma-se um filamento estreito e paralelo ao eixo do tubo. dizemos que o escoamento é turbulento. abrindo-se mais a válvula. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. Reynolds deduziu de sua experiência que em velocidades baixas isto não deveria ocorrer. . Mas para velocidades superiores. e verificou que as partículas fluidas se movimentavam em camadas paralelas. este movimento denomina-se escoamento laminar. Lc = diâmetro da esfera Rec = 2300 Rec = 1000 Rec = 500 Rec = 1 Quando temos outros tipos de seção transversal. .Lc (dimensão característica) = D escoamento entre paredes paralelas . O número de Reynolds crítico é função da geometria dos contornos Para: dutos cilíndricos . 9. bi ou tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade. definido pela relação: Onde: u é a velocidade média no tubo D é o diâmetro interno do tubo é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido é a viscosidade cinemática do fluido é a massa específica do fluido Re uD uD Reynolds inferiu que certos números podem delimitar a transição entre o regime laminar e o regime turbulento para qualquer fluido. bi e tridimensionais Um escoamento é classificado como uni.Alguns textos.Lc = distância entre paredes escoamento em canal aberto . exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.Lc = profundidade da água ao redor de uma esfera .2. Escoamentos uni. pode-se utilizar o conceito de Diâmetro Hidráulico (DH). DH 4 Ex: molhado a As P onde As = área da seção formada pelo fluido P = perímetro Ex: DH 4 b ab 2a b O número de Reynolds é uma relação entre forças de inércia e forças viscosas. enquanto as forças viscosas são amortecedoras das perturbações. As forças de inércia são perturbadoras. 36 Reynolds generalizou as conclusões tiradas de sua experiência com a introdução de um termo adimensional Re. São usualmente escoamentos de líquidos ou de gases com transferência de calor desprezível. desde que as velocidades sejam pequenas quando comparadas com a velocidade do som.3. 37 O campo de velocidade descrito abaixo é unidimensional. a distribuição de velocidade pode ser r 2 descrita como: u u máx 1 R Escoamento bidimensional é aquele em que o número de coordenadas necessário para descrever o escoamento é igual a 2. A . 9. pois é função apenas de r. No escoamento abaixo. o campo de escoamento depende de x e y. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.Alguns textos. Escoamento Compressível e Incompressível Os escoamentos em que as variações na massa específica são desprezíveis denominam-se incompressíveis. uma vez que as velocidades do som nos líquidos são grandes.onde há uma superfície livre submetida a uma pressão constante . etc. 9. tubulações com gases a altas pressões. Escoamentos com M > 0. Escoamento Interno e Externo Os escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são chamados internos ou em dutos.4.3 as variações de massa específica são inferiores a 5% e o escoamento pode ser tratado como incompressível. por exemplo. Ex. Normalmente o escoamento de um líquido será considerado incompressível. a velocidade do som na água é cerca de 1500 m/s.é denominado de canal aberto. Escoamentos compressíveis acontecem com freqüência em aplicações da engenharia.Alguns textos. O escoamento de líquidos no qual o duto não fica completamente preenchido .3 devem ser tratados como compressíveis (para o ar a velocidade crítica é aproximadamente de 100 m/s). Escoamento interno Escoamento externo Escoamento interno e externo . Aqueles em torno de corpos imersos num fluido não contido são denominados externos. compressível ou incompressível.: sistemas de ar comprimido. Tanto o escoamento interno quanto o externo pode ser laminar ou turbulento. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. controle pneumático. 38 razão entre a velocidade do escoamento u e a velocidade do som c é definida como número de Mach. M u c Para M < 0. Se o regime permanente for considerado. mas todas as propriedades permanecerão constantes com o tempo. qualquer propriedade pode variar de ponto a ponto no campo de escoamento.5. 9. transiente. como a mudança da velocidade devido ao movimento espacial do fluido (aceleração convectiva).6. a a DV V V x V y V z Dt t x t y t z t DV V V V V u v w Dt t x y z aceleração local aceleração convectiva A aceleração total envolve tanto a mudança de velocidade como tempo (aceleração local). ele ai ser acelerado devido à diminuição da área do tubo. Para escoamento permanente: 0 t u 0 t No escoamento permanente. a aceleração do fluido será apenas devido à aceleração convectiva. Aceleração total Se as velocidades ortogonais de um escoamento forem conhecidas. Em escoamento em regime. as linhas de corrente e as trajetórias serão diferentes. 39 9. cuja seção transversal diminui. Escoamento uniforme e não uniforme . exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. 9. Embora o escoamento seja independente do tempo.7. V = ui + vj + wk. em cada ponto. as linhas de corrente e as trajetórias são coincidentes. Escoamento não-permanente. Escoamento permanente e não-permanente Escoamento permanente ou estacionário é o escoamento em que as propriedades não mudam com o tempo. a aceleração das partículas do fluido (a) poderá ser determinada como sendo a variação total da velocidade com relação ao tempo. não-estacionário ou transiente é o escoamento em que as propriedades são f unção do tempo.Alguns textos. Um exemplo de regime permanente é o escoamento de um fluido em um tubo. Se o escoamento for uma função do tempo. embora as águas do rio possam serpentear de modo irregular durante o escoamento. No escoamento irrotacional. Esta definição não obriga a velocidade ser constante em relação ao tempo. o vetor velocidade é o mesmo. Enquanto a partícula viaja. 40 Se o escoamento for uniforme. a aceleração convectiva é nula. A rotação e a deformação das partículas do fluido são de interesse particular em nosso estudo de mecânica dos fluidos. ela obriga sim se houver variação.Alguns textos. comprimento de 13m. Verificar se o escoamento é irrotacional significa medir uma orientação e não uma trajetória. um elemento de fluido. Exercícios 55. Para entender claramente o escoamento irrotacional. imagine que exista um palito sobre a superfície da água. Escoamentos rotacional e irrotacional – velocidade angular e vorticidade O escoamento de um fluido pode ser pensado como o movimento de uma coleção de partículas de fluido. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. ou regiões de um escoamento. velocidade de 2. Se o escoamento for tranqüilo. em módulo e direção para qualquer ponto do escoamento. ao passo que um elemento de linha na cadeira de uma roda gigante retém sua orientação original. retém sua orientação original.5m/s e temperatura de 20°C. espera-se que o palito conserve a mesma orientação a jusante do escoamento.laminar . Pode-se imaginar que o palito seja um medidor de rotacional ou medidor de vorticidade. Usando o exemplo de um rio profundo escoando sobre um leito rugoso de cascalhos. Num escoamento uniforme. ela pode girar ou deformar-se. Determine se o escoamento de glicerina é laminar ou turbulento em um tubo de 2” de diâmetro. A orientação de um elemento de linha do corpo sólido que gira varia com o tempo. tais escoamentos são chamados de escoamentos irrotacionais. esta deve ocorrer simultaneamente em todos os pontos do escoamento 9. tal como a cadeira de uma rodagigante. compare a rotação de um corpo sólido com o movimento da cadeira de uma roda gigante.8. Resposta: 127 . nos quais as partículas de um fluido não giram. Há certos escoamento. o Reynolds aumentará. Resposta: Reynolds cai pela metade 61. diminuirá ou se manterá constante? Demonstre.1 m/s seja laminar? Resposta: 0. Quando a vazão de óleo ( = 870 kg/m³ e =140 cP) for de 0. .Alguns textos. Quando se aquece um líquido. Classifique o comportamento das seguintes variáveis ou processos quanto à condição de estarem no regime de estado estacionário. Qual é a velocidade crítica para alteração de escoamento laminar para turbulento em um escoamento de água a 50°C em um duto de 10 cm de diâmetro? Resposta: 0. com uma vazão de 1. mantida a vazão a nova velocidade. o Reynolds aumentará ou diminuirá? De quantas vezes? Demonstre.33m 57. a tendência é de aumentar o nº de Reynolds ou diminuir? E quando se resfria um gás? 60. o escoamento será laminar ou turbulento? (Vazão = velocidade x área da seção transversal) Resposta: 30 . mantendo o mesmo fluido e a mesma temperatura de escoamento. qual deveria ser: o novo diâmetro.(justifique sua resposta) Temperatura da sala de aula Nível da água na represa do Faxinal Volume de água na caixa de água de sua residência ou do condomínio. Qual é o diâmetro de tubo necessário para que o escoamento de ar a 15ºC e velocidade de 0. 64.000. Qual deve ser a área da seção transversal de um tubo de seção circular. transiente ou pseudo-estacionário. Para dobrar o número de Reynolds do problema anterior. por onde escoa óleo de máquina a 200C.laminar 59. 62. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina. mas duplicando-se o diâmetro. Duplicando-se a vazão e o diâmetro.63 L/s para que o número de Reynolds seja de 67. mantido o diâmetro. Resposta: Reynolds fica constante. 41 56.? 63.3 L/s em um duto de 8 cm de diâmetro.013 m/s 58. Mantendo-se a vazão constante. Donald F. A.W. 7ª edição. Potter & David C. Okiishi Tradução da 2ª edição americana. 1979. 5ª edição. McGraw-Hill do Brasil. 2004. Sissom & Donald R. 42 Fluxo de carros na BR 116 em frente ao Hospital Geral Umidade do ar em Caxias do Sul Referências bibliográficas Grande parte do material teórico e dos exercícios apresentados. V. 1998. R.L. Pitts Editora Guanabara Dois. Young Theodore H.B. & McDonald. foi retirado dos seguintes livros: Mecânica dos Fluidos Merle C. 1997. Wylie.. Wiggert Pioneira Thomson Learning.Alguns textos. Mecânica dos Fluidos Streeter. Introdução à Mecânica dos Fluidos Fox. Fenômenos de Transporte Leighton E. . E. Munson. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Bruce R.T. LTC Editora. Edgard Blucher. 1982. Ed. exercícios e figuras foram retirados das referências bibliográficas constantes no programa da disciplina.