CARACTERÍSTICASVolumen ocupado por las moléculas, despreciable. No hay fuerzas de atracción o repulsión Colisiones entre moléculas, perfectamente elásticas ECUACIÓN DE ESTADO E. Boyle ¬ PV = constante E. Charles ¬ V/T = constante Ley de Avogadro ¬ V MA = V MB PV = nRT Calcular la masa de gas metano contenida a 1000 psia y 68 °F en un cilindro con volumen de 3.20 ft 3 . Asumir que el metano es un gas ideal. Asumiendo un comportamiento de gas ideal, calcular la densidad del propano con una temperatura constante de 100 °F y 20 psia. j j j j j j y n n n n P P = = = ¿ LEY DE AMAGAT j j j j y n n P RT n P RT n V V = = = V y V j j = P y P j j = ..... + + + = C B A P P P P ..... + + + = C B A V V V V Calcular la presión parcial ejercida por el metano en el siguiente gas cuando el gas está a una presión de 750 psia. Asumir que el gas es una mezcla de gases ideales. Componente Composición; Fracción molar Metano 0.85 Etano 0.10 Propano 0.05 1.00 PESO MOLECULAR APARENTE DENSIDAD ¿ = j j j a M y M RT M P a g = µ VOLUMEN ESPECÍFICO VOLUMEN ESTÁNDAR ( ) SC SC SC P T R V 1 = g a M P T R m V µ u 1 = = = GRAVEDAD ESPECÍFICA aire g g µ µ ¸ = El aire seco es una mezcla de gases que consiste esencialmente de nitrógeno, oxigeno, y pequeñas cantidades de otros gases. Calcular el peso molecular aparente del aire dada su composición aproximada. Componente Composición Fracción molar. Peso molecular Lb/ lb- mol Nitrógeno 0.78 28.01 Oxígeno 0.21 32.00 Argón 0.01 39.94 1.00 A A O O N N a M y M y M y M + + = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 94 . 39 01 . 0 00 . 32 21 . 0 01 . 28 78 . 0 M a · + · + · = mol lb lb 97 . 28 M a ÷ = Un valor de 29 lb/lb - mol se considera suficientemente exacto para cálculos de ingeniería. FRACCIÓN MOLAR ¿ = = i i i i i n n n n y FRACCIÓN EN VOLUMEN FRACCIÓN EN PESO ¿ = = i i i i i m m m m w ¿ = = i i i i i V V V V v ECUACIÓN DE COMPRESIBILIDAD Factor de compresibilidad ideal real V V Z = ideal real V V Z = ZRT PM M ZRT P ZRT PV ZnRT PV g v M µ , , , = = = Función de la presión, a temperatura constante. Figura 3.1 Figura 3.2 Calcular la masa de gas metano contenida a 1000 psia y 68°F en un cilindro con volumen de 3.20 ft 3 . No asuma que el metano es un gas ideal. Figura 3.3 Figura 3.4 Figura 3.5 Figura 3.6 Figura 3.7 ECUACIÓN DE COMPRESIBILIDAD PARA MEZCLAS C r T T T = C r P P P = y ¿ = i Ci j PC T y T ¿ = i Ci j PC P y P pc pr T T T = PC pr P P P = Comp. y i M i y i M i T Ci (°R) y i T Ci P Ci y i P Ci C1 0.75 16.04 12.030 343.5 257.6 673 504.7 C2 0.07 30.07 2.105 550.1 38.5 708 49.6 C3 0.05 44.10 2.205 666.2 33.3 617 30.9 NC4 0.04 58.12 2.325 765.6 30.6 551 22.0 NC5 0.04 72.15 2.886 847.0 33.9 485 19.4 C6 0.03 86.18 2.585 914.6 27.4 434 13.0 C7 0.02 100.21 2.004 972.8 19.5 397 7.9 Ma = 26.14 Tpc = 440.8 Ppc = 647.5 Asumiendo un comportamiento de gas real, calcular la densidad del gas a 1000 psia y 100°F. De la figura 3.6, Z = 0.75 Aplicando : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 . 5 560 73 . 10 75 . 0 14 . 26 000 , 1 ft lb T R Z M P a g = · · · = · · · = µ 567 . 1 638 1000 = = = pc pr P P P ( ) 32 . 1 423 460 100 = + = = pc pr T T T La gráfica del factor de compresibilidad, mostrada en la figura 3.6, es aplicable a la mayoría de los gases encontrados en los yacimientos de petróleo y suministra una predicción satisfactoria para todos los cálculos de ingeniería. WICHERT - AZIZ e ÷ = pc pc T T ' ( ) e · ÷ + · = B B T T P P pc pc pc pc 1 ' ' e = factor de ajuste de la temperatura pseudocrítica leído de la figura 3.10 S H y B 2 = ( ) ( ) 4 2 1 6 . 1 9 . 0 15 120 B B A A ÷ + ÷ e= 2 2 co s h y y A + = S H y B 2 = WICHERT - AZIZ Determinar la densidad de la mezcla gaseosa a 1,000 psia y 110°F. 1. Sin hacer correcciones por la presencia de componentes no - hidrocarburos. 2. Usando la correlación de Wichert - Aziz. 1. Determinación de la densidad del gas sin corrección: 208 . 1 82 . 827 000 , 1 = = pr P 333 . 1 72 . 427 570 T pr = = 8054 . 0 96 . 28 324 . 23 g = = ¸ 82 . 827 P pc = 72 . 427 T pc = 2. Determinación de la densidad del gas con la corrección: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 651 . 4 570 73 . 10 82 . 0 324 . 23 000 , 1 ft lb T R Z M P a g = · · · = · · · = µ 2 . 0 Y B S H 2 = = 30 . 0 20 . 0 10 . 0 Y Y A S H CO 2 2 = + = + = A partir de la siguiente ecuacion corregir la temperatura pseudo-crítica : 30 e= e ÷ = pc pc T T ' leído de la figura 3.10 72 . 397 30 72 . 427 ' = ÷ = pc T ( ) e · ÷ + · = B B T T P P pc pc pc pc 1 ' ' ( ) ( ) ( ) psia P pc 21 . 761 30 2 . 0 1 2 . 0 72 . 427 72 . 397 82 . 827 ' = · ÷ + · = 31 . 1 21 . 761 000 , 1 = = pr P 433 . 1 72 . 397 570 = = pr T A partir de la figura 3.6, Z = 0.837 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 56 . 4 570 73 . 10 837 . 0 324 . 23 000 , 1 ft lb g = · · · = µ T R Z M P a g · · · = µ 2 M M V a b V RT P ÷ ÷ = Van der Waals propuso la siguiente expresión: b = Refleja el volumen de las moléculas. a = Es una medida de las fuerzas de atracción. La isoterma crítica en un diagrama P - V cumple con las siguientes condiciones: 0 = ( ¸ ( ¸ c c C T V P 0 2 2 = ( ¸ ( ¸ c c C T V P 1 2 Figura 3.1 Relación presión - volumen idealizada para un compuesto puro. Diferenciando la ecuación 1 con respecto al volumen en el punto crítico tenemos: ( ) 0 2 3 2 = + ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ c c c c T V a b V RT V P C ( ) 0 6 2 4 3 2 2 = ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ c c c c c T V a b V RT V P C 3 4 Resolviendo las ecuaciones 3 y 4 simultáneamente para los parámetros a y b, obtenemos: c V b | . | \ | = 3 1 c c V RT a | . | \ | = 9 8 5 Aplicando la ecuación 1 al punto crítico (T = T c , P = P c , V = V c ) y combinándola con las ecuaciones 5 y 6, obtenemos: c c c RT V P ) 375 . 0 ( = P V = Z RT Z c VW =0.375 Para gases reales Z c está en el rango de 0.23 - 0.31 6 7 La ecuación 7 se combina con las ecuaciones 5 y 6 para dar: c c a P T R a 2 2 O = O a = 0.421875 c c b P RT b O = O b = 0.125 La ecuación 1 se puede expresar en forma cúbica en términos del volumen V M 0 2 3 = | . | \ | ÷ | . | \ | + | . | \ | + ÷ P ab V P a V P RT b V M M M 8 10 9 ( ) 0 1 2 3 = ÷ + + ÷ AB AZ Z B Z La ecuación anterior se puede expresar en términos del factor de compresibilidad 11 Donde: 2 2 T R aP A = RT bP B = 12 13 Ejemplo Propano puro es mantenido en un recipiente cerrado a 100 ºF. Tanto el gas como el líquido están presentes. Calcular, empleando la EOS de Van der Waals, la densidad de las fases líquida y gaseosa. Solución. Paso 1. Determinar la presión de vapor P V del propano a partir del gráfico de Cox (sección 2.4). Esta es la única presión a la cual las dos fases pueden existir a la temperatura especificada. P V = 185 psia Paso 2. Calcular los parámetros a y b a partir de las ecuaciones 3.11 y 3.12 respectivamente. ( ) ( ) 4 . 957 , 34 3 . 616 666 73 . 10 421875 . 0 2 2 = = a ( ) 4494 . 1 3 . 616 666 73 . 10 125 . 0 = = b Paso 3. Determinar los coeficientes A y B aplicando las ecuaciones 3.15 y 3.16 respectivamente. ( )( ) ( ) ( ) 179122 . 0 560 73 . 10 185 4 . 957 , 34 2 2 = = A ( )( ) ( )( ) 044625 . 0 560 73 . 10 185 4494 . 1 = = B Paso 4. Sustituir los valores de A y B en la ecuación 3.14 para obtener: 0 007993 . 0 179122 . 0 044625 . 1 2 3 = ÷ + ÷ Z Z Z Paso 5. Resolver el polinomio de tercer grado sacando la raíz más grande y más pequeña del polinomio empleando un método numérico conveniente, tenemos: Z V = 0.843504 Z L = 0.07534 Paso 5. Determinar la densidad de las fase gaseosa y líquida empleando la ecuación dada en capítulos anteriores. ( )( ) ( )( )( ) 61 . 1 560 73 . 10 843504 . 0 0 . 44 185 = = g µ lb/ft 3 ( )( ) ( )( )( ) 98 . 17 560 73 . 10 07534 . 0 44 185 = = L µ lb/ft 3 Redlich y Kwong modificaron el término de atracción, a/V M 2 , en la ecuación de Van der Waals. ( ) 5 . 0 T b V V a b V RT P M M M + ÷ ÷ = ¡Novedad: el término de atracción depende de la temperatura! 1 La ecuación RK satisface la siguiente condición cuando P ÷· b = 0.26V c 2 Imponiendo las condiciones del punto crítico en la ecuación 1 tenemos: c c a P T R a 5 . 2 2 O = 3 c c b P RT b O = 4 O a = 0.42747 O b = 0.08664 Igualando la ecuación 2 y 4 tenemos: P c V c = 0.333RT c P V = Z RT Z c RK =0.333 5 ¡ Mejoró en comparación con Z c VW = 0.375 ! La ecuación 1 es conveniente expresarla en términos del factor de compresibilidad Z Z 3 - Z 2 + (A - B - B 2 )Z - AB = 0 6 Donde: 5 . 2 2 T R aP A = 7 RT bP B = 8 Reglas de mezclas para la ecuación de Redlich - Kwong: 2 1 5 . 0 ( ¸ ( ¸ ¿ = = n i i i m a x a ¿ = = n i i i m b x b 1 9 10 Ejemplo 3.2. Repetir el ejemplo 3.1 empleando la ecuación de estado de Redlich-Kwong. Solución Paso 1. Calcular los parámetros a, b, A, y B. ( ) ( ) 1 . 110 , 914 3 . 616 666 73 . 10 42747 . 0 5 . 2 2 = = a ( )( ) 0046 . 1 3 . 616 666 73 . 10 08664 . 0 = = b ( )( ) ( ) ( ) 197925 . 0 560 73 . 10 185 1 . 110 , 914 5 . 2 2 = = A ( )( ) ( )( ) 03093 . 0 560 73 . 10 185 0046 . 1 = = B Paso 2. Substituir los parámetros A y B en la ecuación 3.22 y sacar la raíz más grande y más pequeña. 0 0061218 . 0 1660384 . 0 2 3 = ÷ + ÷ Z Z Z Raíz más grande: Z V = 0.802641 Raíz más pequeña: Z L = 0.0527377 Paso 3. Determinar la densidad de la fase líquida y de la fase gaseosa. ( )( ) ( )( )( ) 7 . 25 560 73 . 10 0527377 . 0 0 . 44 185 = = L µ lb/ft 3 ( )( ) ( )( )( ) 688 . 1 560 73 . 10 802641 . 0 44 185 = = V µ lb/ft 3 Ejemplo 3.3 Calcular la densidad de una fase gaseosa con la siguiente composición a 4,000 psia y 160 º F. Emplear la ecuación de estado de R-K. Componente y i M i P c T c C 1 0.86 C 2 0.05 C 3 0.05 C 4 0.02 C 5 0.01 C 6 0.005 C 7+ 0.005 215 285 825 Solución Paso 1. Calcular a m y b m usando las ecuaciones 3.25 y 3.26 a m = 241.118 b m = 0.5701225 Paso 2. Calcular A y B A = 0.8750 B = 0.3428 Paso 3. Determinar Z V Z V = 0.907 Paso 4. Calcular la densidad de la mezcla de gas ( )( ) ( )( )( ) 85 . 13 907 . 0 620 73 . 10 89 . 20 000 , 4 = = V µ lb/ft 3 ( ) b V V a b V RT P M M M + ÷ ÷ = o ( ) ( ) 2 5 . 0 1 1 r T m ÷ + = o 2 176 . 0 574 . 1 480 . 0 e e ÷ + = m 1 2 3 Z c SRK = 0.333 c c a P T R a 2 2 O = c c b P RT b O = O a = 0.42747 O b = 0.08664 4 5 0 ) ( 2 2 3 = ÷ ÷ ÷ + ÷ AB Z B B A Z Z RT bP B = ( ) 2 RT P a A C = a C = ao Ecuación SRK en función del factor de compresibilidad 6 7 8 ( ) ( ) ( ) | | ¿¿ ÷ = i j ij j i j i j i m k a a x x a 1 5 . 0 o o o | | ¿ = i i i m b x b ( ) ( ) 2 RT P a A m o = RT P b B m = Reglas de mezcla de la euación SRK 9 10 11 12 Ejemplo 3.4 Repetir el ejemplo 3.1 y calcular la densidad de las dos fases usando la ecuación SRK. Solución. Paso 1. Determinar la temperatura crítica, la presión crítica y el factor acéntrico a partir de la tabla de propiedades dada en el capítulo 2. T c = 666.01 ºR e = 0.1524 P c = 616.3 psia Paso 2. Calcular la temperatura reducida. T r = 560/666.01 =0.8408 Paso 3. Calcular el parámetro m aplicando la ecuación 3.29 m = 0.7051 Paso 4. Obtener el parámetro o usando la ecuación 3.28 o = 1.120518 Paso 5. Calcular los coeficientes a y b aplicando la ecuación 3.30 y 3.31 a = 35,427.6 b = 1.00471 Paso 6. Calcular los coeficientes A y B por medio de las ecuaciones 3.38 y 3.39 A = 0.203365 B = 0.034658 Paso 7. Resolver la ecuación 3.37 para obtener Z L y Z V Z L = 0.06729 Z V = 0.80212 Paso 8. Calcular la densidad del líquido y del gas. µ V = 1.6887 lb/ft 3 µ L = 20.13 lb/ft 3 Ejemplo 3.5 Un sistema de hidrocarburo de dos fases existe en equilibrio a 4,000 psia y 160 º F. El sistema tiene la siguiente composición: Componente x i y i C 1 0.45 0.86 C 2 0.05 0.05 C 3 0.05 0.05 C 4 0.03 0.02 C 5 0.01 0.01 C 6 0.01 0.005 C 7+ 0.40 0.0005 La fracción C 7+ tiene las siguientes propiedades: M a = 215 P c = 285 psia T c = 700 ºF e = 0.52 Asumiendo k ij = 0, calcular la densidad de cada fase empleando la EOS de SRK. Solución. Paso 1. Calcular los parámetros o, a y b aplicando las ecuaciones 3.28, 3.30 y 3.31 Componente o i a i b i C l 0.6869 8,689.3 0.4780 C 2 0.9248 21,040.8 0.7225 C 3 1.0502 35,422.1 1.0046 C 4 1.1616 52,390.3 1.2925 C 5 1.2639 72,041.7 1.6091 C 6 1.3547 94,108.4 1.9455 C 7+ 1.7859 232,367.9 3.7838 Paso 2. Calcular los parámetros de mezcla (ao) m y b m para la fase líquida y gaseosa aplicando las ecuaciones 3.40 y 3.41 Para la fase gaseosa: (ao) m = 9,219.3 b m = 0.5680 Para la fase líquida: (ao) m = 104,362.9 b m = 1.8893 Paso 3. Calcular los coeficientes A y B para cada fase aplicando las ecuaciones 3.42 y 3.43 Para la fase gaseosa: A = 0.8332 B = 0.3415 Para la fase líquida A = 9.4324 B = 1.136 Paso 4. Resolver la ecuación 3.37 para el factor de compresibilidad de la fase gaseosa. Z V = 0.9267 Paso 5. Resolver la ecuación 3.37 para el factor de compresibilidad de la fase líquida Z L = 1.41211 Paso 6. Calcular el peso molecular aparente de la fase gaseosa y de fase líquida a partir de su composición. Para la fase gaseosa: M a = 20.89 Para la fase líquida: M a = 100.25 Paso 7. Calcular la densidad de cada fase. ( )( ) ( )( )( ) 556 . 13 9267 . 0 620 73 . 10 89 . 20 000 , 4 = = V µ ( )( ) ( )( )( ) 68 . 42 4121 . 1 620 73 . 10 25 . 100 000 , 4 = = L µ lb/ft 3 lb/ft 3 Ejemplo 3.6 Trabaje de nuevo el ejemplo 3.5 incorporando la corrección al volumen de Peneloux en la solución. Solución Paso 1. Calcular el factor de corrección c i utilizando la ecuación 3.52. Componente c i x i c i x i y i c i y i C 1 0.00839 0.45 0.003776 0.86 0.00722 C 2 0.03807 0.05 0.001903 0.05 0.00190 C 3 0.07729 0.05 0.003861 0.05 0.00386 C 4 0.1265 0.03 0.00379 0.02 0.00253 C 5 0.19897 0.01 0.001989 0.01 0.00198 C 6 0.2791 0.01 0.00279 0.005 0.00139 C 7 + 0.91881 0.40 0.36752 0.005 0.00459 0.38564 0.02349 Paso 2. Calcular el volumen no corregido de la fase gaseosa y líquida usando los factores de compresibilidad como se calculan en el ejemplo 3.5. ( )( )( ) 54119 . 1 4000 9267 . 0 620 73 . 10 = = v M V ft 3 /mol ( )( )( ) 3485 . 2 4000 4121 . 1 620 73 . 10 = = L M V ft 3 /mol Paso 3. Calcular los volúmenes de gas y líquido corregidos utilizando las ecuaciones 3.53 y 3.54 962927 . 1 38564 . 0 3485 . 2 = ÷ = L corr V ft 3 /mol 5177 . 1 02349 . 0 54119 . 1 = ÷ = v corr V ft 3 /mol Paso 4. Calcular los factores de compresibilidad corregidos. ( )( ) ( )( ) 91254 . 0 620 73 . 10 5177 . 1 4000 = = v corr Z ( )( ) ( )( ) 18025 . 1 620 73 . 10 962927 . 1 4000 = = L corr Z Paso 5. Determine las densidades corregidas de ambas fases. ( )( ) ( )( )( ) 767 . 13 91254 . 0 620 73 . 10 89 . 20 4000 = = v µ ( )( ) ( )( )( ) 07 . 51 18025 . 1 620 73 . 10 25 . 100 4000 = = L µ ( ) ( ) b V b b V V a b V RT P ÷ + + ÷ ÷ = o c c a P T R a 2 2 O = c c b P RT b O = Peng y Robinson dieron la siguiente expresión: ( ) ( ) 2 5 . 0 1 1 r T m ÷ + = o 2 2699 . 0 5423 . 1 3746 . 0 e e ÷ + = m O a = 0.45724 O b = 0.07780 Término m mejorado 3 2 016667 . 0 1644 . 0 48503 . 1 379642 . 0 e e e + ÷ + = m Z c PR = 0.307 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) 0 2 3 1 3 2 2 2 3 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ + B B AB Z B B A Z B Z ( ) 2 RT P a A C = Ecuación de Peng Robinson en función del factor de compresibilidad RT bP B = Las reglas de mezclas para la ecuación PR son las mismas de la ecuación SRK 5 6 7 Ejemplo 3.7. Usando la composición dada en el ejemplo 3.6, calcular la densidad de la fase gaseosa y la fase líquida, haciendo uso de la ecuación de estado de Peng - Robinson. Asumir k ij = 0. Solución. Paso 1. Calcular los parámetros de la mezcla, (ao) m y b m para la fase gaseosa y la fase líquida, Para la fase gaseosa (ao) m = 10423.54 b m = 0.862528 para la fase líquida (ao) m = 107325.4 b m = 1.696543 Paso 2. Calcular los coeficientes A y B, Para la fase gaseosa A = 0.94209 B = 0.30669 Para la fase líquida A = 9.700183 B = 1.020078 Paso 3. Resolver la ecuación 3.62 para el factor de compresibilidad de la fase gaseosa y la fase líquida, Z v = 0.8625 Z L = 1.2645 Paso 4. Calcular la densidad de ambas fases. ( )( ) ( )( )( ) 566 . 14 8625 . 0 620 73 . 10 89 . 20 4000 = = v µ lb/ft 3 ( )( ) ( )( )( ) 67 . 47 2645 . 1 620 73 . 10 25 . 100 4000 = = L µ lb/ft 3