FISICA I4. MOVIMIENTO CIRCULAR. La velocidad en un movimiento curvilíneo se puede escribir: → → → d r ds ds d r v = = = v uˆ T dt ds dt ds Donde ds es un arco infinitesimal recorrido por la partícula en el instante de tiempo dt; y v es la magnitud de la velocidad: ds v= (4.1) dt La aceleración en un movimiento curvilíneo se puede expresar como: dv d(v uˆ T ) dv duˆ a= = = uˆ T +v T (4.2) dt dt dt dt Sea Φ el ángulo que hace la tangente con el eje X, podemos hacer: uˆ T = cosΦ ˆi + senΦ ˆj uˆ N = −senΦ ˆi + cosΦ ˆj Luego: duˆ T dΦ ˆ dΦ ˆ dΦ = −senΦ i + cosΦ j = (−senΦ ˆi + cosΦˆj ) dt dt dt dt duˆ T dΦ ⇒ = uˆ N (4.3) dt dt Como es el radio de curvatura entonces: ds = ρ dΦ ds dΦ =ρ dt dt dΦ v =ρ dt dΦ v ⇒ = dt ρ Lic. Carlos Enrique Quiche Surichaqui 3) duˆ T v = uˆ N dt ρ Reemplazando en la ecuación (4.FISICA I Reemplazando en la ecuación (4.5) dt La magnitud de la aceleración en el punto A es: 2 dv v 2 2 a = aT2 + a N2 = + dt VELOCIDAD ANGULAR ( ω ) Definimos la velocidad angular como la variación angular con respecto al tiempo.2) dv v2 a= uˆ T + uˆ N (4. Carlos Enrique Quiche Surichaqui .4) es la aceleración tangencial ( a T ) es un vector tangente a la curva y mide el cambio en el modulo del vector velocidad del móvil. ACELERACION NORMAL O CENTRIPETA a N El segundo termino de la ecuación (4.6) dt Lic. Sus magnitudes son: dv v2 aT = . aN = (4.4) dt ρ ACELERACION TANGENCIAL a T El primer termino de la ecuación (4. dΦ ω= (4.4) es la aceleración normal o centrípeta ( a N ) es un vector normal a la curva y mide el cambio en la dirección del vector velocidad del móvil. Encontrar la posición angular y la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo. dω d2Φ α= = 2 (4.9) Esta ecuación relaciona la magnitud de la aceleración tangencial ( a T ) con la aceleración angular ( α ) Problema 4.FISICA I rad 1 Su unidad en el SI es: = s s Luego por sector circular: ds = ρ dΦ ds ρ dΦ dΦ v= = =ρ dt dt dt ⇒ v = ρω (4. Carlos Enrique Quiche Surichaqui . y la componente tangencial de su aceleración.7): dv d(ρ ω) dω aT = = =ρ dt dt dt ⇒ a T = ρ (6.8) ω t t dω α= ∫ dω = ∫ α dt = ∫(120t .3 m de radio de acuerdo con la ecuación α = 120t 2 − 48t + 16 .6) Lic.7) Esta ecuación relaciona la magnitud de la velocidad lineal o velocidad tangencial (v) con la velocidad angular ( ω ) ACELERACION ANGULAR ( α ) Definimos la aceleración angular como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo.48t + 16)dt 2 ⇒ dt 0 0 0 Integrando ω = 40t 3 + 24t 2 + 16t De la ecuación (4. Solución: De la ecuación (4.8) dt dt rad 1 Su unidad en el SI es: = 2 s2 s De la definición de la magnitud de aceleración tangencial y usando la ecuación (6.1. Un cuerpo inicialmente en reposo ( θ = 0 y ω = 0 cuando t = 0) es acelerado en una trayectoria circular de 1. 6). También: tiempo trascurrido periodo (T) = (6. v2 aN = R Donde R es el radio de la trayectoria circunferencial. entonces: Φ = ω (t − t 0 ) 2π = ω T Lic.FISICA I θ t t dθ ω= ∫ dθ = ∫ ω dt = ∫(40t .8 4. Carlos Enrique Quiche Surichaqui .11) tiempo trancurrid o T Para una revolución. integrando. el ángulo recorrido es Φ = 2 rad y el tiempo transcurrido es el periodo ∆t = (t − t 0 ) = T .1.4t + 20.10) numero de vueltas Frecuencia (f). quedando solamente la aceleración normal o centrípeta.1) y (6.24t 2 + 16t) dt 3 ⇒ dt 0 0 0 Integrando θ = 10t 4 − 8t 3 + 8t 2 De la ecuación (4. Entonces la aceleración tangencial y la aceleración angular se hacen cero. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME En este movimiento la magnitud de velocidad lineal o tangencial se mantiene constante. también se mantiene constante la magnitud de la velocidad angular. La frecuencia (f) del movimiento circular uniforme se define como: numero de vueltas 1 frecuencia (f) = = (6. se puede demostrar: s = v (t − t 0 ) Arco recorrido en el intervalo de tiempo (t-t0) Φ = ω (t − t 0 ) Angulo recorrido en el intervalo de tiempo (t-t0) Periodo (T). El movimiento circular uniforme es periódico y el periodo (T) del movimiento se define como el intervalo de tiempo para recorrer una vuelta o revolución.9) a T = αR = 156t 2 − 62. De la ecuación (6. Calcular la velocidad angular.12) T Problema 4.2rad La velocidad angular es: ω= = = 2. ω = 2π = 2.2. Calcular también el tiempo que le tomara al disco (a) girar un ángulo de 780º.2rad/s t 6s 2π El periodo es: T = = 2.2s ω b) Para.6x10 − 6 rad/s T De la ecuación (6.3s ω Problema 4.10) t= = 34. θ = 780 ° = 13. y (b) dar 12 revoluciones.FISICA I 2π ω= = 2π f (6. Solución: θ 13.10) t= = 6. la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de la luna.2 radianes cada 6 segundos. Solución: 24 h 3600s El periodo es: T = 28 días = 2419200s 1día 1h 1000m El radio es: R = 38.4x10 4 Km = 38. derivando su respuesta del hecho que la luna realiza una revolución completa en 28 días y que la distancia promedio de la tierra a la luna es de 38.4x104 Km.9 s ω ω La frecuencia es: f = = 0.7) v = ω R = 997.4x10 m 7 1km Como el movimiento es uniforme.6rad 180° θ De la ecuación (4.4 rad θ De la ecuación (4. el periodo y la frecuencia angular de un disco que gira con movimiento uniforme 13.35Hz 2π π rad a) Para. Calcular la velocidad la velocidad angular. θ = 12rev = 12(2 π rad) = 75.3. Carlos Enrique Quiche Surichaqui .33m/s Lic. y sea v la velocidad tangencial en un instante posterior t. Sea ω 0 la velocidad angular del móvil en t0 = 0. Carlos Enrique Quiche Surichaqui . hasta detenerse cuando t = 4 s. entonces se puede demostrar: v = v 0 + aT t 1 s = s0 + v 0 t + a T t 2 2 v 2 = v 02 + 2 a T (s − s0 ) Problema 4.FISICA I 4. ω 0 = 12. MOVIMIENTO CIRCULAR CON ACELERACION ANGULAR CONSTANTE En este movimiento la magnitud de la aceleración tangencial y la aceleración angular se mantienen constantes.2. Un volante cuyo diámetro es de 3 m esta girando tiene una velocidad angular que disminuye uniformemente de 100 rpm en t = 0. = −3. ω 0 = 12. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de un punto situado sobre el borde del volante cuando t = 2 s. t=2s.12) con t0 = 0.83m/s 2 2 aN = R Lic. De la ecuación (6.4.14rad/s 2 La aceleración tangencial es: a T = α R = −9. Solución: rev 1min rev La frecuencia inicial.5) con t0=0.6m/s .6m/s De la ecuación (6.6m/s . t = 4 ω = 0 ω = ω 0 + (t − t 0 ) ⇒ = −3. se puede demostrar: ω = ω0 + α t 1 Φ = Φ0 + ω0 t + α t 2 2 ω = ω0 + 2 α (Φ − Φ0 ) 2 2 Sea v0 la velocidad tangencial del móvil en t0 = 0.4m/s 2 . ω0 = 2π f = 12. f = 120 rpm = 120 =2 = 2 Hz min 60s s La velocidad angular inicial. y es constante durante el movimiento. y sea ω su velocidad angular en un instante posterior t.14rad/s 2 la aceleración normal es: v2 = ω 2R = [ω0 + α(t + t 0 )] R = 119. que su trayectoria es un círculo de radio R b) Demuestre que la velocidad de la roca en todos los puntos es perpendicular a su vector de posición c) Demuestre que la aceleración siempre es opuesta en dirección al vector de posición y tiene una magnitud de w2R. atraviese haciendo un solo agujero. es decir. respectivo de un eje vertical. 4. 10. tal que. 11. de tal modo que pasa por el centro geométrico del campo esférico. la bolita pueda pasar por el agujero. Un cascarón esférico de radio de curvatura R = 0.FISICA I PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Calcular la velocidad angular de un disco que gira con movimiento uniforme 10 radianes cada 5 segundos. atada a una cuerda se. a) Demuestre que la distancia de la roca al origen es constante e igual a R. Calcular también el periodo y frecuencia de rotación. 9. Hallar la mínima velocidad angular del disco. Un disco tiene un agujero a 50 cm de su centro geométrico. Y = R sen wt Donde R y w son constantes.5 gira con velocidad angular constante. gira con velocidad angular constante en un plano horizontal. Carlos Enrique Quiche Surichaqui . sus coordenadas en función del tiempo son: X = R cos wt. Calcular la máxima velocidad del proyectil. Una roca. mueve en el plano XY. Calcular la velocidad angular de las tres manecillas del reloj. cuya frecuencia es de 1900 RPS. Respecto a un eje vertical desde una altura H = 1. tal que. Lic. Se dispara de un proyectil horizontalmente.25 m se abandona una bolita en el instante en que el agujero y la bolita están en la misma línea vertical. 25m/s2. 4. Determine la magnitud de la aceleración total máxima de la corredora. Determine la velocidad P y la aceleración angular de la línea OP en ese instante.9 m de radio y tiene una rapidez de 20 m/s. Lic. De manera súbita aplica los frenos. Una pista al aire libre es un círculo completo con diámetro de 130m.FISICA I 5. 3. Un rugidor de toro es una pieza de madera que produce un sonido de rugido cuando se pone al extremo de una cuerda y se hace girar en torno a un círculo. Una partícula se mueve sobre un círculo de acuerdo con la ecuación: S = t 4 – 8t. Una corredora inicia desde el reposo y alcanza su máxima rapidez en 4s con una aceleración tangencial constante y después mantiene la rapidez hasta que completa el círculo en un tiempo de 54s. Carlos Enrique Quiche Surichaqui . 5. b) 4 s después. la velocidad de P está disminuyendo en el instante considerado. Una partícula P recorre una trayectoria circular de 10m de radio como se indica en la figura. Dos segundos después de haber partido desde el reposo la aceleración total de la partícula es 48 2 m/s2 encuentre el radio del círculo. Donde “S” es el desplazamiento medido en metros a lo largo de la trayectoria circular y “t” es el tiempo en segundos. 5. lo cual ocasiona que la velocidad disminuya a una tasa constante de 1. Determine la magnitud de la aceleración total del automóvil a) inmediatamente después de aplicar los frenos. Si el vector aceleración total es el indicado en la figura. Un automovilista viaja sobre la porción curva de una autopista con radio de 350 m a una velocidad de 72 km/h. Determine la magnitud de la aceleración normal de un rugidor de toro cuando gira en un círculo de 0. 3048m) 7. Una corredora aumenta su rapidez a razón constante desde 14 hasta 24 pies/s en una distancia de 95pies. (1mi=1. Una pista al aire libre tiene un diámetro de 420 pies. b) la rapidez del automóvil si d=600pies y la componente normal de la aceleración es igual a 0. Lic.FISICA I 6.609km. Determine a) el valor de d si la rapidez del automóvil es de 45 mi/h y la componente normal de la aceleración es 11 pies/s2. un automóvil se maneja alrededor de una pista de prueba circular de diámetro d. Determine la aceleración rotal de la corredora 2s después de que empieza a aumentar su rapidez. 1pie=0. Para probar su desempeño. Carlos Enrique Quiche Surichaqui .6g.