LENGUAJE MATEMÁTICORELACIONES Y FUNCIONES Eduardo Cabrera De Arrizabalaga UPLA - 2003 Lógica proposicional - Teoría de Conjuntos - Relaciones y Funciones 1 Relaciones y Funciones Objetivos Específicos ............................................................................................................ Desarrollo Temático A. Relaciones 1.- Relación binaria. .................................................................................................. 2.- Relación inversa. ................................................................................................. 3.- Composición de relaciones. ................................................................................ 4.- Propiedades de las relaciones. ............................................................................ 5.- Relación de Equivalencia. .................................................................................. 6.- Conjunto cociente. .............................................................................................. 7.- Relación de orden. ............................................................................................... 8.- Conjuntos ordenados. Elementos característicos: cotas, supremo, ínfimo, maximal y minimal. ............................................................................................ B. Funciones 9.- Concepto de función. ......................................................................................... 10.- Tipo de funciones. .............................................................................................. 11.- Algunas proposiciones importantes funciones. ................................................... Autoevaluación ....................................................................................................................... Eduardo Cabrera De A., 2003, TDM Lenguaje Matemático, UPLA. 2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Al término de ésta Unidad, el estudiante deberá ser capaz de: 1. Conocer y aplicar el vocabulario básico referente a las Relaciones y Funciones. 2. Comprender los tópicos de Relaciones y Funciones según el marco teórico. 3. Aplicar los tópicos de Relaciones y Funciones a situaciones teórico práctico preestablecida 4. Demostrar o probar si un aserto dado sobre los tópicos de Relaciones y Funciones es o no tautología. Eduardo Cabrera De A., 2003, TDM Lenguaje Matemático, UPLA. UPLA. 1. o relación en A×B a cualquier subconjunto R de A×B. (3. 2}. lo que diremos “x está relacionado con y” o “x no está relacionado con y” respectivamente. 2). Notamos que la propiedad define sobre los conjuntos A y B. y) en A ×B la verifique o no. tal vez para acomodarlos en un orden apropiado o para agrupar aquellos con propiedad similar. La estructura matemática para describir este tipo de organización de conjuntos es la teoría de relaciones. RELACIONES Introducción Frecuentemente deseamos comparar o contrastar varios elementos de un conjunto. y) ∉ R. 2. y) ∈ R o (x. las relaciones equivalencia y muy especialmente las funciones que abordaremos en la parte B de esta unidad. constituye una relación. (3. se expresará escribiendo: (x.3 DESARROLLO TEMÁTICO A.. . Definición Dados dos conjuntos A y B no vacíos. TDM Lenguaje Matemático. Si designamos por R al conjunto de todos los pares ordenados de A × B que verifican una determinada propiedad (proposición abierta). sus elementos deben satisfacer cierta propiedad. una relación binaria R que es verificada por los pares (x. Relación Binaria Al establecer una correspondencia entre dos conjuntos. Entre ellas las más importante son las relaciones de orden. formando de esta manera un conjunto de pares ordenados que satisfacen la propiedad dada. 2003. y) ∈ A×B / x + y ≥ 4 }constituye una relación binaria de A en B. 2)} ⊆ A×B. y) ∈R ⇔ xRy. 3} y B ={1. 1). Las muchas maneras mediante las cuales se pueden establecer los pares ordenados. entonces de que un elemento dado cualquiera (x. entonces el conjunto R ={(x. llamaremos relación binaria (o simplemente relación) de A a B. Notamos que R ={(2. y) que poseen la propiedad dada. Por ejemplo: Consideremos los conjuntos A ={1. R es relación binaria en A×B ⇔ R ⊆ A×B × × Eduardo Cabrera De A. Así diremos (x. R-1 ={(y. TDM Lenguaje Matemático. se llama imagen de R. x) / (x. y)∈ M x N / x< y} donde M={5.R1= {(x. UPLA. Ejercicios 1. y)∈ A × A / ‘x divide a y’ } donde A ={2. 2. ...4 Nota: Si A = B.R3= {(x. con los que se han relacionado elementos de A. Relación recíproca o inversa Sea R ⊆ A×B . y) ∈ R} Definición Sea R ⊆ A × B. Buenos Aires. x) tal que (x. 10} (d). España} y B={Lima. 9. denotado D(R) o Dom(R). 6. 6. Perú. que R es una relación en A. Caracas. y) ∈ R} Eduardo Cabrera De A. París.. denotado Im(R). y) ∈ R} Ejercicio Determínese dominio y recorrido de cada una de las relaciones anteriores. Dom(R) ={x ∈ A/ ∃ y. 2..Sean A ={ Chile. en vez de decir R es una relación en A×A diremos. sin mediar confusión. se llama Dominio de R. Defínase los pares de la relación R "ser capital de". Lo anotaremos por R-1. En este caso ¿de quién es subconjunto la relación R?.. Argentina. y) ∈ A×B.. al conjunto de todos los elementos de A que están relacionados por R con algún elemento de B. Santiago}. y)∈ N× N/ 2x + y=10} (c). y)∈ N × N / x + y= 9} (b). 4. 2003. 12} Definición Sea R ⊆ A × B.R4= {(x. es decir: Im(R) ={y ∈ B/ ∃ x ∈ A tal que (x.R2= {(x. diremos que la relación inversa de R es aquella relación que es subconjunto de B×A y está formada por todos los pares ordenados (y. y ∈ B tal que (x. 8} y N ={4. Francia. al conjunto de todos los elementos de B.. La Paz.Defina los pares de las siguientes relaciones: (a). 8. z) ∈A × C / ∃ y∈B tal que (x.(R-1)-1 = R . 3. (R-1)-1 = R. Llamaremos relación compuesta de las relaciones R y S. Composición de relaciones Sean R una relación de A a B y S una relación de B a C. entonces 1.. y) ∈ (R-1)-1 ⇔ (y. la imagen de y según S es z. del esquema. • Las demostraciones de (2) y (3) se dejan de ejercicio. x) ∈ R-1} = {(x. y) / (y.(R-1)-1 ={(x. 2. a una relación binaria de A a C denotada por S R y se define: S R = { (x. Eduardo Cabrera De A. que la imagen de x según R es y. UPLA. y)∈R ∧ (y. Proposición: Sea R ⊆ A×B. y 3.5 Ejercicio Defínase R-1 para cada una de las relaciones definidas en los ejercicios anteriores.(R ∪ S)-1 = R-1 ∪ S-1.(R ∩ S)-1 = R-1 ∩ S-1 . en este orden. 2003. y) ∈ R}= R. R A x• B S C y• z S R Podemos decir... x) ∈ R-1 ⇔ (x. es decir que la primera relación que opera es R luego S. Por lo tanto. (1). y) ∈ R. y) / (x. z)∈S } ∈ ∈ ∈ Nota: Cuando escribimos la relación S compuesto con R (S R) convenimos en operar dicha relación de derecha a izquierda.. También puede demostrarse como sigue: Sea (x. . Dem. En consecuencia la imagen de x según la compuesta S R es z.. TDM Lenguaje Matemático. Sean S = { (1. (3. z) ∈R2 / ∃ y tal que y = 2x . (y. R es refleja o reflexiva en A. 2). 8). (2.2). Ejercicio: Con las relaciones anteriores verifíquese la proposición dada. 2).( R S )-1 = S-1 R-1 S = { (y. R S ≠ S R. Observación: La composición de relaciones es no conmutativa. 2. (5. 3). 5). si para algún x ∈ A. (3. si ∀ x ∈ A. luego S R = {(2.0). 1.9). 2003.. x) ∉R. 9). Definición: Sea R ⊆ A × A .. 4)}. (7. Eduardo Cabrera De A. ¿qué es R S?. Propiedades de las Relaciones Las siguientes propiedades se definen sobre un conjunto A. 4. 8). z) ∈R2 / z = y3 }. (0. UPLA. TDM Lenguaje Matemático. x) ∉R . y) ∈R2 / y = 2x } y Entonces S R = { (x. (6. . z) ∈S } = { (x. y R es no refleja en A. (6.( T S ) R = T ( S R ). 3). (5. (x.. 4). z) ∈R2 / ∃ y tal que (x.Sean las relaciones R = { (x. (2. 2. (2. (x. Proposición El producto o composición de relaciones verifica: 1. (x. 10)}. 7)} y R = { (4. (3. (3. (2. x) ∈ R . si ∀ x ∈ A. y) ∈R . R es irreflexiva o irrefleja en A .. 10).. 4). z) ∈R2 / z = 8x3 }.6 Ejemplos. z = y3 } = { (x. ¿qué es R S?. . es reflexiva. a)∈ R). (c. según las definiciones dadas: R1={(x. Definición R ⊆ A x A es una relación transitiva en A. y) = 1}. b). TDM Lenguaje Matemático. c)} R2={(a. Eduardo Cabrera De A. b)∈R ⇒ (b. c} R1={(a.7 Ejemplos: Las relaciones siguientes están definidas en A = {a. 2) R simétrica ⇔ R=R-1. x) ∉R). a). R4={(x. R es una relación antisimétrica en A ssi ∀(x. y) ((x. no es reflexiva. b)} R5 = A x A Definición Sea R ⊆ A × A. es irreflexiva. y)/ x + y = 8}. (a. R2={(x. z)∈R ⇒ (x. y)/ mcd (x. R3={(x. 5) R transitiva ⇔ R R ⊆ R. Proposiciones (Caracterizaciones de las relaciones) 1) R refleja ⇔ ∆A ⊆ R .. c). x|y simboliza “x divide a y”. Ejercicios: Estudie las siguientes relaciones. R es una relación simétrica en A ssi ∀(a. b). c). . 4) R antisimétrica ⇔ R ∩ R-1 ⊆ ∆A. (b. y)/ x ≤ y}. y)/ x + 2y = 10}. Ejercicio: ¿Qué puede decir de las relaciones anteriores respecto de estas definiciones?. b). no es reflexiva. R5={(x. y)/ x|y} . irreflexiva. b). ∆A={(x. c)} R4={(c. c)} R3={(a. b. si (x. (c. 2003. b). (b. y)∈ R⇒ (y. (b. y)(xRy ∧ yRx ⇒ x = y ). y)∈ A×A / x = y} se llama diagonal de A2. z)∈R. R es una relación asimétrica en A ssi ∀(x. (b. b) ((a. (c. 3) R asimétrica ⇔ R ∩ R-1 = φ. b). y)∈ R ∧ (y. (b. UPLA. 5. y) ∈ R-1. ⇐] Asumiendo R = R-1. Recibe el nombre de clase de equivalencia de x módulo R. ⇒] Sea (x. Luego (x. (ver ejemplo pág. R = R-1. entonces (y. (2).. x)∈ R. ⇒] Sea (x. En consecuencia . Eduardo Cabrera De A. aRx ∧ bRx. Se sigue de esta inclusión que R-1 ⊆ (R-1)-1. Relación de equivalencia R ⊆ A x A es relación de equivalencia si R es a la vez reflexiva. y)∈ ∆A . . y)∈R entonces (y..Luego (x. y)∈ R-1. simétrica y transitiva. • Se deja como ejercicio la demostración de 1). luego por generalización se tiene R ⊆ R-1.8 Dem. lo que implica x = y. en consecuencia (x. x)∈R. y)∈R ∧ (y. 2003. y)∈ R ∩ R-1 ⇒ (x. y)∈R ∧ (y. en particular simétrica y transitiva. esto es R ∩ R-1 ⊆ ∆A. ⇒] Sean (x. Observaciones: 1. TDM Lenguaje Matemático. R es simétrica.Si a. es decir. Para cada elemento x ∈A se llamará clase de equivalencia de x al conjunto Cx formado por todos los elementos de A que sean equivalentes con x. y)∈R-1. entonces (y. Cx = {y ∈ A / y R x}.. Luego (x. Podemos decir que todos los elementos de una misma clase son equivalentes entre si.Un elemento de una clase de equivalencia es un representante de la clase. y) ∈ R. x)∈R lo que implica por definición de relación inversa que (x. y) ∈ ∆A. 53) Clases de equivalencia Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Si (x. esto demuestra que R es antisimétrica. como R es antisimétrica (hipótesis) entonces x = y . Luego si (x. tenemos que (x. En efecto. y)∈R ∧ (x. 3) y 5).. Por lo tanto. y)∈ R ∩ R-1 y por hipótesis R ∩ R-1 ⊆ ∆A. 2. UPLA. entonces (x. como R es simétrica (por hipótesis). x)∈R. pero R es de equivalencia. b ∈ Cx ⇒ aRb. x)∈ R. y)∈R ∧ (y. luego se tiene que aRb. (4). y)∈R-1. x)∈R. 2003.Determine las clases de equivalencia de los elementos de Z. b. ∀x∈A ii) Cx=Cy si y sólo si xRy iii) Si Cx≠Cy . . (4.Sobre el conjunto Z de los enteros. (4.. (5. Luego las clases de equivalencias de los elementos de A son: Ca={a}. 2. UPLA.9 3. Cc={c. c}}. sería S={a. (3. En este caso Ca = Cb . 2.. b)} relación de equivalencia en A. Determinar las clase de equivalencia de cada elemento. 2).. (2. completa R para que lo sea. A/R está asociado con un conjunto S llamado conjunto de representantes de A/R que está formado por los elementos de A de modo que en S haya un solo elemento de cada clase de módulo R.Toda relación de equivalencia definida en un conjunto A. (c. 2). 3. 5} y sea R una relación definida en A. 3). {b. R={(2. 5)} a) b) c) d) ¿Es R una relación de equivalencia?. c).. R Del ejemplo anterior tenemos que A/R={{a}. b}. (5. A queda particionado en dos clases de equivalencia Ca y Cb . b} Ejercicios: 1. En caso de no serlo.Pruebe que R es de equivalencia (b). TDM Lenguaje Matemático. se llama conjunto cuociente de A por R al conjunto de las clases de equivalencia módulo R de los elementos de A. c). b). c}. particiona al conjunto en clases de equivalencia a saber: i) x∈Cx .Sea A={1. (c. 5).. se define la relación R como: aRb ⇔ a2 + a = b2 + b (a).. entonces Cx ∩ Cy = φ iv) ∪ C x = A x∈A Ejemplo: Sea A={a. En nuestro ejemplo anterior un conjunto de representantes S de A/R. 4). c} y R={(a. Cb={b. Conjunto Cuociente Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. 4. Determinar el conjunto cuociente. lo anotamos A = {C x / x ∈ A} . Eduardo Cabrera De A. (b. (3. 6. 3). 4). a). (b. (N. TDM Lenguaje Matemático. Ejemplos: Las siguientes relaciones son de orden parcial o simplemente. con el convenio de representar a por debajo de b siempre que aRb. Def. a)∈R . descritos en (1). b)∈R ó (b. Ejemplo: Sea A = {1. ≤ ) es totalmente ordenado. (2) Los puntos relacionados. UPLA. Por ejemplo: (P(X). De los ejemplos anteriores. R ⊆ A × A es relación de orden si R lo es a la vez reflexiva. los puntos se suponen relacionados consigo mismo. antisimétrica y transitiva. Def. Relación de orden ( orden parcial ). b)∈A×A. ⊆ ) . 12} y la relación R de divisibilidad definida en A. | ) y (N. de orden: ≤ ={(x. . Representación en diagrama de Hasse de una relación de orden. Un diagrama de Hasse considera: (1) Cada elemento del conjunto A se representa como un punto del plano. R) es un conjunto totalmente ordenado si A es un conjunto y R una relación de orden y conexa en A. (N. 2. y)∈N2 / x|y}. ≤ ) son conjuntos ordenados. 2003.: Una relación R en A se dice conexa en A cuando se verifica que ∀(a. (3) Como la relación es refleja. y) ∈N2 / x ≤ y}.10 7. se unen con un segmento sin indicar dirección.R) es un conjunto ordenado si A es un conjunto y R una relación de orden definida en A. | ={(x. y ⊆ definida en P(A). 3.: Un conjunto (A. 4.. 8. Conjuntos Ordenados Definición: Diremos que el par (A. si a ≠ b ⇒ (a. Eduardo Cabrera De A. c. d. e. tal que mRx.Un elemento s de A se dice que es supremo de S si y sólo si es la menor de las cotas superiores de S. Eduardo Cabrera De A. f. s es cota superior. Ejemplo: En el conjunto A ={a. 2003. distinto de m. 5.. g} se define la relación R como lo muestra su diagrama de Hasse.Un elemento n de S se dice que es minimal en S si y sólo si no existe ningún elemento x en S.. distinto de n.Un elemento v de A se dice que es cota inferior de S si y sólo si ∀x∈S se verifica que vRx.. i es cota inferior. b. y (b) Si existe c de A tal que ∀x∈S. Determine los elementos característicos para S ={c. TDM Lenguaje Matemático. cRx .R) un conjunto ordenado y S ⊆ A. . f}.. xRc entonces sRc.Un elemento m de S se dice que es maximal en S si y sólo si no existe ningún elemento x en S. 3. si existen. e. Definimos: 1. Es decir: (a). 4.Un elemento u de A se dice que es cota superior de S si y sólo si ∀x∈S se verifica que xRu. 2.. d. Es decir: (a). entonces cRi.11 diagrama de Hasse de R Elementos característicos Sea (A.. UPLA. y (b) Si existe c de A tal que ∀x∈S. 6.Un elemento i de A se dice que es ínfimo de S si y sólo si es la mayor de las cotas inferiores de S.. tal que xRn. Eduardo Cabrera De A. TDM Lenguaje Matemático. . UPLA. b es supremo de S y no posee ínfimo. e y f son elementos minimales. a y b son cotas superiores de S. 2003. no posee cotas inferiores.12 Los elementos c y d son elementos maximales de S.. Todo el espectro de los fenómenos periódicos .1716) el primero que utilizó la palabra "función". 4? Eduardo Cabrera De A. B = {4.5). f2. 2. TDM Lenguaje Matemático. c.13 B. (R. f3 y f4 satisfacen la proposición "cada elemento de A posee a lo más una imagen en B según fi". Courant. B = {1.1). e). La presión atmosférica es función de la altitud con respecto al nivel del mar.4)} .1).(d.2). b}. 4} b) f2 = {(a. . e} ¿Cuál o cuales de las relaciones f1. 9. b). donde i = 1.1). y para los matemáticos del siglo XVIII.5). el concepto de "función" estaba más o menos identificado con la existencia de una fórmula matemática sencilla que expresara la matemática exacta de esa relación. 3} c) f3 = {(a.3)}. (d . (e. El volumen de un gas encerrado en un cilindro de un motor es función de la temperatura y de la presión que ejerce el pistón. B = {1. (d . e)}. d . FUNCIONES Introducción: El concepto de función o aplicación es. En este capítulo la analizaremos de manera sistemática. A = {a. Pag. las vibraciones de una cuerda.5)}.(b. UPLA. b. Se definen las siguientes relaciones (de A en B): a) f1 = {(a.(b. la noción más importante y universal presente siempre a través de la matemática moderna. d}. 284). A = B = {a. 2. d}. Fue Leibniz (1646. La puesta en órbita de los satélites convencionales o de otra índole esta regida por funciones llamadas cónicas. c. (b. El concepto de función aparece en cuanto se relacionan cantidades mediante una relación determinada. 2003. b. Concepto de función Motivemos un poco la definición que vamos a dar. A = {a.. la emisión de luz por una ampolleta esta regularizada por las llamadas funciones trigonométricas elementales. c).(c. 8} d) f 4 = {(a. c. probablemente.(a.5). 2. a ). (b.las mareas. ¿Qué es la Matemática?. 3. 5. (c. b. 3. A = {a. 5) Sea f: Z → Z tal que f ( x) = x + 1 . 16)}. 18). Im(f). UPLA. entonces una función de A en B es un subconjunto M de A × B . 18}. diremos que es sobreyectiva (o epiyectiva). 2003. Diego} y f = {(Juana. Diego)}. Sonia}. B = {y / y es país de Sudamérica} y f : A → B tal que f(x) = y la relación que origina a cada capital x de Sudamérica algún país y de Sudamérica. a "b" imagen y anotaremos b = M(a). (Rosa. ¿cuáles son funciones? 2) Sean A = {Pedro. María. (Sonia. recordando lo que es el dominio y el recorrido de una relación. Juan). es exactamente el conjunto B. b) pertenece a M. Tipo de Funciones • Función Sobreyectiva o Epiyectiva: Sean A = {Juana. ¿Es f función? 7) Un concepto esencial en teoría de funciones es el concepto de " igualdad entre funciones". tal que M={(Pedro. Juan. Definición 2: Toda función f : A → B tal que Im(f) = B. B = {Pedro. Decida si M es (o no) función de A en B. Se define M. 7). 16. ¿podría hacerlo? 4) Realice una lista de 10 ejemplos de relaciones con la condición que 5 sean funciones y 5 no lo sean. (María.. 6) Sea A = {x / x es capital de algún país de Sudamérica}. 7. 11. . Rosa} y B = {3.14 Definición 1: si A y B son conjuntos no vacíos. 3) Suponga que usted debe dar un ejemplo de función de tal manera que pueda ser entendido por sus ocasionales alumnos. Al elemento "a" lo llamaremos preimagen. (Marta. Pedro). Defina este concepto. 3). Eduardo Cabrera De A. 10. Ejemplos: 1) De las relaciones dadas anteriormente. Marta. Demuéstrese que f es función y grafique. Obsérvese que f es función y que el recorrido (o imagen de f). tal que para todo elemento "a" en A existe un único elemento "b" en B tal que el par ordenado (a. (Juan. Juan. TDM Lenguaje Matemático. con sus gráficos respectivos y 5 funciones que no sean sobreyectivas. Al seleccionar una pareja específica del baile.. el tercio de su doble más 5 unidades. definamos i : S → S por i ( x) = x para todo x en S. se puede identificar al hombre que le corresponde una mujer y viceversa. 2003. Definición 3: La función f de A en B se dice que es una aplicación inyectiva sí y sólo sí ∀x. de un hombre y una mujer cada uno. Muestre que i es Epiyectiva ( a la función i se le conoce por función identidad). en él los participantes se agrupan en parejas. para todo x. • Función "Inyectiva" o "uno a uno": Un ejemplo simple que permite ilustrar el concepto siguiente es el que encontramos en un baile. Eduardo Cabrera De A. 4) Sea S un conjunto cualquiera no vacío. Ejemplos: 1) Demuestre que las siguientes funciones son inyectivas y después grafique: (a) f : A → B tal que f ( x) = 1 x − 5. UPLA. . es Sobreyectiva? 3) Construya 5 funciones sobreyectivas. ∀x ∈ A = {x ∈ ℝ / − 3 ≤ x < 8} 2 x (b) g : A → B tal que g ( x) = 3 − . y ∈ A : f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y . (b) La función que asigna a cada número real.15 Ejemplos: 1) ¿f: Z → Z definida por f(x) =x3. es función Sobreyectiva? 2) ¿La función que asigna a cada alumno de un curso una nota en alguna prueba. TDM Lenguaje Matemático. ∀x ∈ A = {x ∈ ℝ / − 2 < x ≤ 6} 2 2) Decida cuál(es) de las siguientes funciones son inyectivas: (a) La función que asigna el número entero 3 a cada número real positivo y el número entero 2 a cada número real negativo. En todos los casos x es un número real arbitrario. UPLA. 6) Determine el dominio máximo en cada una de las siguientes relaciones para quedar bien definidas como función.. b) Sobreyectiva pero no biyectiva. TDM Lenguaje Matemático.. pero no biyectiva. ∀x∈A .Determínese el Dom(f) y Rec(f).16 • Funciones Biyectivas: Sea f : ℝ → ℝ una función x ֏ 2x − 3 (a). donde c es un número real fijo es biyectiva sólo si A= B ={c} ó bien A y B tienen un solo elemento..¿Es f Sobreyectiva? Definición 4: Una función f : A → B se dirá biyectiva si lo es inyectiva y sobreyectiva.. luego determine recorrido ( o imagen) de cada uno de las funciones definidas. 5) De un ejemplo de función: a) Inyectiva. (c). (b). 2003. a) f1 ( x) = x 2 + 2 b) c) f 2 ( x) = f3 ( x) = x +1 x−2 ( x) 2 d) f 4 ( x) = x 3 Eduardo Cabrera De A.¿Es f Inyectiva?. . Ejemplos: 1) La función de identidad iA: A → A x֏x 2) La función f :N → N tal que n ֏ n + 1 . 4) De algunos ejemplos de funciones biyectivas. ¿Es biyectiva? 3) Una función constante f: A → B tal que f(x) = c. es biyectiva.4). c} y D= {x / x ∈ N ∧ 1 < x < 10 } g = {(1. entonces el viaje de Valparaíso a Londres es un viaje compuesto de bus y avión... es la función de A en C definida por: ∀x ∈ A : ( fog )( x) = f ( g ( x)) . consiste en formar funciones compuestas. o. UPLA. a ). (i. b. Además. Por ser f −1 biyectiva su inversa. (f o g) o h y f o (g o h).3). g o f. por ejemplo. h(x) =x + 1.. 3. u. a).Sean f : A → B y g : B → C funciones tales que gο f es biyectiva.7). 4}. (c. Se dice que la función compuesta de f y g. anotada f . . En general se tiene: Definición 5: Sean g : A → B y f : B → C funciones. a ). (2.8). (b.La compuesta de funciones sobreyectivas es también sobreyectiva. TDM Lenguaje Matemático. 3. 11. c}. c)} ⊂ A × B f = {(a. (o. si uno viaja en bus de Valparaíso a Santiago y luego de Santiago a Londres en avión.. entonces f es inyectiva y g es sobreyectiva. anotamos f o g. si es posible. (f o g)(3) y (f o g)(4) (si es posible). Note que Re c( g ) ⊆ Dom( f ) .5). Encontrar. 2003. partiendo de dos o más previamente dadas. del ejercicio anterior son biyectivas? ¿Cuáles son sólo inyectivas? Uno de los métodos para crear nuevas funciones. (4. 4. (3. Algunas Proposiciones Importantes 1. i = 1. 2. i. (e.8). 2. (u . b. 3.17 7) ¿Cuál o cuales de las funciones fi. El concepto de función compuesta permite encontrar la función inversa de una función biyectiva dada. permite comprobar que para toda función biyectiva f existe una única función biyectiva g tal que g es la función inversa de f. g(x) = x2. e. f o g.La compuesta de funciones inyectivas es también inyectiva. Eduardo Cabrera De A. g y h funciones en R definidas por f(x) = 2x.La compuesta de funciones biyectivas es biyectiva. (b) ¿g o f es función? 2) Sean f. 2.9)} (a) Encontrar (f o g)(1).. C = {a. 4. B = {a. Ejemplos: 1) Sean A = {1. b) Hállese f −1 y compruébese que f o f −1 = f −1 o f = iR..Sea f : A → B función.18 5. . Si existe g : B → A tal que gο f = IA entonces f y g son biyectivas y cada una de ellas es la inversa de la otra. fο g = IB . Ejemplos: 1) Sea f : R → R. tal que x ֏ x − 1 . (iii) Escribamos g de la manera siguiente: vo la r g = va lo r in avea ni to en avio ne ta (iv) Si g-1 existe escríbela como en (iii) y también g o g-1 y g-1 o g 4) De manera análoga al ejemplo 3) anterior defina nuevas frases y si fuera factible idee algún mensaje cifrado.. y ) / x ∈ ℝ. (e. a) ¿Es g función? ¿Es biyectiva? b) De ser g biyectiva. a) Demuéstrese que f es biyectiva. i). UPLA. determine g −1 . TDM Lenguaje Matemático. (i. e)}. 3) Sea A = {x / x es la letra de la frase "volar en avioneta"} y sea g : A → A definida por g = {(x. b) Discrimine la posibilidad de hallar una función h tal que h o g = g o h = iR. Del hecho que: gο f = IA ⇒ f es inyectiva y g es sobreyectiva. 2003. 2) Sea g = {( x. fο g = IB ⇒ g es inyectiva y f es sobreyectiva. x) / x no es vocal} ∪ {(a. . Eduardo Cabrera De A. y = x + 7} a) Determínese el Dom(f) y el Rec(f). a). (o. o). .Determine dominio e imagen en cada uno de las siguientes relaciones. 2003. 4)}.y) / y = x }. 2}.. 1)}. d) {(-5. (-8. a) G ={(x. b) G ={(x.Trazar la gráfica para cada relación definida en el dominio A={-2. 3). 6)}. (-10. e) {(-6. -4). UPLA. c) G ={(x. 3.x }. (3. -1. 2). (-2. (2. -1). 4). 4). Relaciones 1. Eduardo Cabrera De A.Dar una fórmula para cada relación y expresar los elementos del dominio y del conjunto imagen en cada caso: (a) T 1 2 D 3 6 3 9 4 12 5 15 6 18 v u 4 2 (b) 8 12 16 4 6 8 (c) H 1 S 35 2 70 3 4 s t 4 3 (d) 6 5 8 7 105 140 (e) X 2 Y 6 3 7 4 8 5 9 x y 3 8 (f) 4 10 5 12 2. -1). -2)}. -2). -1). (3. d) G ={(x.y) / y = x2 . 1). TDM Lenguaje Matemático. (2. . 0). (5. (6. (4.19 Autoevaluación A. 0). -4)}. (-9. (1. b) {(1.y) / y = x}.y) / y = x2 – x}. (-7. 0. c) {(5. 3).. a) {(0. Altura Area 4 5 ? 9 ? 10 ? 20 ? 28 35 49 70 105 c) Metros 1 Pie ? 2 6.¿Qué propiedades tiene la siguiente relación: a) "a divide a b".. 2003. UPLA. . TDM Lenguaje Matemático.Para cada tabulación dar una fórmula y con ella completar la tabla.64 4 ? ? 19. b) "Padre a hijo". a) Costo de la bencina.68 d) x y 1 0 ? 0 3 ? 4 0 ? 0 e) p q -2 2 -1 1 1 1 3 3 7 ? f) x y 1 5 3 9 5 ? 7 17 5. Litros Pesos 2 ? 4 5 10 7 13 ? 144 216 ? 360 720 866 b) Paralelógramo.20 4. Eduardo Cabrera De A..56 3 9. c) "Ser amigo de".. 3}. 7. b) R2 tal que a R2 b si y sólo si ab es un número par.Sea A = {1. 2. UPLA.. ( 2. 3)}. y) R (u. (2.Demuéstrese que las relaciones definidas en cada caso es una relación de equivalencia. 2).y es un entero. y) ∈ R ⇔ x . y) : x + y = 8 }. b) R definida en N× Npor: (x.Determínese las propiedades que satisfacen las siguientes relaciones definidas en el conjunto A = {1. c) R definida en N × N por: (x.. (1. (3. 3. TDM Lenguaje Matemático. Eduardo Cabrera De A. 2003.. 3). e) R5 tal que a R5 b si y sólo si a + 2 = b. 10. 2). (2.¿Es el paralelismo una relación de equivalencia? y la perpendicularidad?. e) R5 = {(2. d) R definida en R × R por: (x. c) R3 = {(1. . d) R4 tal que a R4 b si y sólo si a = b. 8. 3)}. (3. 3)}. 9. v) ⇔ x v = y u. y) R (u. 2). (2. f) R6 = {(1. b) R2 = {(1. 2). (2. v) ⇔ x + v = y + u. y} = 1}.21 6.Las relaciones siguientes son definidas en N. (3. 2). (3. ¿Qué propiedades satisfacen? a) R1 = {(x. a) R definida en Z por: (x. 2). (2. 3)}. y) R (u. 2). f) R1 R2 − g) R2 R 1 1 h) R5 R4 i) R2 (R1 R3)-1. 2.. 5}. 4. b) R2 = {(x. c) R3 tal que a R3 b si y sólo si a es divisible por b. (2. y) : mcd{x. 3)}. 1). y) : x ≤ y }. Determínese y estudie sus propiedades en cada una de las siguientes relaciones definidas en A: a) R1 tal que a R1 b si y sólo si a + b es un número par. (2. 3). a) R1 = {(1. v) ⇔ x = u. c) R3 = {(x.. 2). 2)}.. 1). g) R7 = A × A. 1). d) R4 = {(2. donde a. iii) Determinar el dominio y el recorrido. Funciones 1. Eduardo Cabrera De A.Para cada una de las relaciones de A en B siguientes. v) ⇔ ∃ k∈Z tal que x-u=ka ... i) A B ii) A B • • • • • • • • • • • • • • • iii) A B iv) A B • • • • • • • • • • • • • • • • • v) A B vi) A B • • • • • • • • • • • • • • 2. de 1. y-v=kb . TDM Lenguaje Matemático. y)R(u. de 1.Los siguientes diagramas cartesianos representan relaciones de R en R i) Hallar la(s) imagen(es) de 0. Autoevaluación B. de –1. .. de –1. examinar si son funciones de A a B. b son números reales.22 e) R definida en R× R por: (x. UPLA. ii) Hallar la(s) pre-imagen(es) de 0. 2003. 2003. . TDM Lenguaje Matemático.23 iv) Determinar si son funciones de R a R a) 1 b) 1 1 -1 1 c) d) 1 1 -1 -1 -1 1 2 3 4 e) 1 f) 1 -1 1 -1 1 -1 -1 Eduardo Cabrera De A. UPLA.. 24 g) h) 1 1 -1 -½ 1 -1 i) 1 j) -1 -1 1 k) l) 1 -1 1 -1 3. TDM Lenguaje Matemático. UPLA..Determinar si la relación R de R a R es funcional. . R está definida por x R y ssi i) iv) y = x² xy = 1 ii) v) x+y =1 xy =0 iii) vi) x=y x² + y² =1 Eduardo Cabrera De A. determine su dominio y su recorrido. 2003. En caso de que lo sea.. c. u} Determinar los siguientes conjuntos: i) {x ∈ F / f(x) ∈ B’} {x ∈ E / f(x) ∈ B’’} ii) {y ∈ F / {y ∈ F / x ∈ A’ . y = f ( x) ii) ∃y ∈ F . b. y = f(x)} x ∈ A’’ . s. y = f ( x) iii) ∀y ∈ F . ∃x ∈ E .. u } cuya representación gráfica es: E F a b c d r s t u Sean A’ = {a. t. ∀y ∈ F .Sea f la aplicación de E={a... 2003. d} A B’’ ={s. t. y = f ( x) ¿Se puede tener ∃x ∈ E . UPLA. s} A’’ ={c. ∃y ∈ F . b} B’ = {r. ¿qué significa las afirmaciones siguientes: i) ∀x ∈ E . y = f ( x) ? 6.f designa a la función de E a F. . ∀x ∈ E . y = f(x)} Eduardo Cabrera De A.¿Es la relación R definida por: x R y si x² + y² = 8 una relación función de: i) Na N ii) R a R iii) Z a N vi) R+ a R- iv) R+ a R v) R a R- 5..25 vii) x² + y² = 0 viii) x²y +3y =2 ix) xy –3x = y 4. TDM Lenguaje Matemático. d } a F={r. . 4). 4 }. (2. e). (4. d). Defínanse las funciones compuestas g o f y f o g. (3. 12. 2). 2. 10. hacer las restricciones para que lo sea. 2. 1)}.¿Cuántas funciones se pueden definir sobre un conjunto de 1. 3. Donde A = {1. Determine: a) g(g(5)) e) ((g o f) o f)(35) b) g(f(a-1)) f) f(x-1) – g(2x). n elementos? ¿Cuántas se pueden definir inyectivas? ¿Cuántas se pueden definir sobreyectivas?. a)}. (4. (3. a). . (1. b) g = {(3. (3.. b). hacer las restricciones para que lo sea. c). a) f = {(1. e}. biyectiva?. 11. (3. (2. (4.¿Cuales de las siguientes relaciones definidas de A en B son funciones inyectivas . UPLA.. Si no lo es. c. 2).Sean f y g funciones en R tales que f(x)=2x2 – 3 y g(x)= 3x –1. d). a). 1). 1). (1. a). 1). (1. cuales son funciones sobreyectivas?.. (4. (5...¿Es la función g del ejercicio 10. 13. b). (4.. a). (5. Si no lo es.26 {x ∈ E / f(x) ∈ B’ ∩ B’’} {y ∈ F / x ∈ A’ ∩ A’’ . 3. a) f = {(2. (4... b)} 9. b)} d) p = {(1. a). (3. c). 4)}. d). 4. b. 2.. 5} y B = {a.Sea X = { 1. c) h = {(1. d. (2. (5. e)}. 4). b) g = {(1. (5. a)}. a). c) f(g-1(3)) Eduardo Cabrera De A. c) h = {(2. 4). d).Sean f ⊆ R×R y g ⊆ R×R tales que f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 – 2. (3. (2. (2. (4. e) q = {(1. c).¿Es la función f del ejercicio 10.. 4)}. 8. (4. a). 3. . TDM Lenguaje Matemático. Cuales de las siguientes relaciones es una función de X en X. (3. a). (2. 3). (5. y = f(x)} 7. 2003. biyectiva?. a). b). .(i ) No.(a) Dom R = {0.c 11. a) {r.(i.. 2003. Im R = {2. (v ) Dominio e imagen es R. 12. 13. de 1 es 0 . y) / x∈T ∧ y = 3x} = {(x. 3x) / x∈T }. c} 7.. (recuerde que si xy = 0 ⇒ x=0 ∨ y=0). UPLA. 3. Funciones 1...(i.. TDM Lenguaje Matemático. a) {a.(a) R = {(x. b... s}. (ii. 3. de –1 es 0. . no es inyectiva...(a) Es de orden total.(i ) Si. Dominio e imagen es R. 4}.. a.. Eduardo Cabrera De A. 6.) de 0 es 1 y –1 .27 Respuesta de algunos de los problemas planteados en las autoevaluaciones Relaciones 1. 2} .No.Si. 1 . 2. 3. (c) 5 9 .(a) 41 . 5. D.. Aires. Matemáticas discreta y combinatoria.. Louis. Patrick. México. Addison-Wesley Iberoamericana. R. Ralph P. C. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Norma. Courant. Liu. Lang. 1967. Fondo Educativo Interamericano. TDM Lenguaje Matemático.. México. Iniciación a la Teoría intuitiva de conjuntos. Grimaldi. Introducción a la lógica matemática. & Wright. Editorial Universitaria.. .28 BIBLIOGRAFÍA Abellanas. Ed. Ed.. España. S. 1993. México. México. Suppes. Introducción a la teoría de conjuntos. K. 1984. Matemática Discreta. Lia.. UPLA. Editorial Limusa-Wiley. 1968. 1981. Ed. M. México. Mc Graw-Hill. Editorial Macrobit. Serge. E. J. Editorial HARLA (Harper and Row Latinoamericana). Lecciones de Algebra Elemental Moderna. Editorial Tecnos.1972. Chile. México. 1973. 1991. Eduardo Cabrera De A. Oubiña. Javier.... 1998. Ed. Ross. Robledo. Tomo I. Editorial Reverté S. El Cálculo con Geometría Analítica. Tomo I. & Hill. Teoría axiomática de conjuntos.. 2003.1995. L. P. Fraleigh. México. Matemáticas Discreta. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático.. Leithold.. Suppes. De Lorenzo. Mexico. y Lodares. Universitaria de Bnos. Panamericana. Álgebra Lineal. Elementos de Matemáticas Discretas. 1971. Alamiro. Prentice-Hall H. .29 Eduardo Cabrera De A. . UPLA. 2003. TDM Lenguaje Matemático.