Mecânica dos MateriaisP r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Capítulo 2 Tensão e Deformação: Cargas Axiais P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Tensão e Deformação: Cargas Axiais - Sumário Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Tensão e Deformação: Cargas Normais Deformação Normal Ensaio Tensão-Deformação Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Frágeis Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico vs Plástico Deformação Devida a Carga Axial Problemas Estaticamente Indeterminados Tensões Térmicas Coeficiente de Poisson Lei de Hooke Generalizada Módulo de Compressibilidade Distorção Relação entre E, ν νν ν, e G Materiais Compósitos Princípio de Saint-Venant Concentração de Tensões Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • A adequabilidade de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações da estrutura tal como das tensões. A análise estática, só por si, não é suficiente. • Considerar as estruturas como deformaveis permite a determinação de forças e reacções em problemas estaticamente indeterminados. • A determinação da distribuição das tensões numa secção requer a consideração das suas deformações. • O Capítulo 2 preocupa-se com a deformação de membros estruturais sujeitos a cargas axiais. Os próximos capítulos lidarão com torção e flexão. Tensão e Deformação: Cargas Axiais P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Deformação Normal Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) normal deformação tensão · · · · L A P δ ε σ L A P A P δ ε σ · · · 2 2 L L A P δ δ ε σ · · · 2 2 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Teste Tensão-Deformação Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Máquina de ensaios de tracção uniaxiais Provete para ensaio de tracção uniaxial Um teste envolve: ! Provete de dimensões conhecidas (standardizadas) ! Máquina de ensaios de tracção ! Aplicação de carga axial ! Medição da variação de comprimento e da carga correspondente. ! Uso da variação de comprimento para cálculo da sua variação percentual. ! Uso da força aplicada e da área da secção recta do provete para cálculo da tensão. O comportamento Tensão-Deformação é obtido a partir de um ensaio de tracção. A informação obtida permite determinar algumas das propriedades do material: ! ! Tensão de cedência ! Módulo de Elasticidade ! Tensão de rotura ! Extensão de Rotura ! Ductilidade ! Resiliência ! Tenacidade P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Liga de Alumínio Aço de baixo teor em carbono Rotura Rotura Pescoço Endurecimento Cedência Os materiais dúcteis sofrem uma grande deformação plástica antes de romperem, providenciando um ‘aviso’ da rotura A deformação destes materiais deve-se inicialmente ao deslizamento de bandas (camadas) da estrutura cristalina, ao longo de planos oblíquos àforça e deve-se essencialmente a tensões de corte. Consoante a deformação aumenta, para materiais dúcteis, a tensão sobe até um valor máximo, conhecido como Tensão de Rotura ou Tensão de Resistência à Tracção. A partir deste ponto a tensão começa a decrescer. Esta inversão da progressão da tensão deve-se àformação de um ‘pescoço’ no componente. A tensão continuará a decrescer até à rotura. Quando um material dúctil rompe, a rotura dá-se formando-se uma superfície cónica com um ângulo de aproximadamente de 45º com a superfície original. À quantidade que o material consegue deformar antes de romper chama-se ductilidade. Materiais Dúcteis Materiais Dúcteis são caracterizados por terem uma grande capacidade de resistir a grandes deformações plásticas antes de romperem. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Frágeis Os materiais frágeis rompem sem ‘aviso’. O material cede igualmente ao longo de todo o componente, e rompe abruptamente por uma superfície perpendicular àforça. A rotura destes materiais deve-se essencialmente às tensões normais. Materiais Frágeis Materiais Frágeis são tipicamente caracterizados por uma incapacidade em resistir a grandes deformações plásticas Rotura Diagrama tensão-Deformação para materiais frágeis Tensão Deformaçã o P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Abaixo da Tensão de cedência de Elasticida de Modulo ou Young de Módulo · · E Eε σ • A resistência é afectada pelos elementos de liga, processos de manufactura, tratamentos térmicos, etc, mas o módulo de elasticidade não é. Ferro puro Aço ao Carbono Aço ligado Aço de alta resistência (ligado e temperado) Diagramas tensão-Deformação para várias ligas de ferro 290 220 0.44*10 5 AZ31B (liga Mg) 630 470 0.7*10 5 Al7175 980 870 1.4*10 5 Ti6Al4V 1020 890 2.07*10 5 34CrNiMo6 730 490 2.07*10 5 CK45 σ σσ σ r (MPa) σ σσ σ c (MPa) E (MPa) P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Se a deformação desaparecer quando a carga é retirada, então o material comporta-se elasticamente. • A partir do limite elástico o material comporta-se plasticamente. • À máxima tensão para a qual ocorre o fenómeno anterior, chama-se Limite Elástico ou Tensão Limite de Proporcionalidade Rotura P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Os materiais são formados por átomos, que se encontram arranjados num padrão regular Este padrão designa-se por estrutura cristalina Conforme um material é carregado, as ligações que o mantêm unido, começam a deformar Esta deformação resulta num alongamento do material Se a carga for retirada antes das ligações partirem, os átomos regressam à sua posição inicial, e o material retorna à sua forma inicial. Isto corresponde à porção elástica da curva tensão- deformação do material. Isto corresponde à porção plástica da curva tensão-deformação do material. Se o material for carregado para além da zona elástica, as ligações atómicas partem / deslizam. U ma vez que estas ligações tenham partido/deslizado, quando a carga é retirada, o material já não retorna à sua forma original P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Deformações Normais Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) AE P E E · · · σ ε ε σ • Da lei de Hooke: • Da definição de extensão: L δ ε · • Resolvendo em ordem à deformação, AE PL · δ • Se houver variação da secção, carga, ou propriedades do material, ∑ · i i i i i E A L P δ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Tensão Tensão de cedência Deformação Tensão de rotura ou Tensão de Resistência à Tracção Tensão Limite Elástica ou Tensão Limite de Proporcionalidade Módulo de Elasticidade Extensão de rotura Tensão Resiliência Deformação Tensão Tensão Tenacidade Deformação Tensão P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação Compressão vs Tracção Materiais dúcteis Mesma tensão de cedência Igual curva tensão-deformação para baixas deformações As curvas divergem para grandes deformações Na compressão não se forma o ‘pescoço’ Materiais frágeis Curvas diferentes Mesmo modulo elástico Tensão de cedência superior (compressão) Tensão de rotura muito superior (compressão) Tensão Verdadeira e Deformação Verdadeira Até aqui temos visto a tensão e a deformação de engenharia, ou seja, baseados na curva tensão- deformação obtida num ensaio normal. Todavia, quando o material é traccionado, a área da secção recta do provete varia (reduz) devido ao aumento do comprimento. Nos gráficos anteriores, o valor da área da secção recta é considerado constante e igual à área inicial. A tensão verdadeira e a deformação verdadeira são obtidos com base nas dimensões instantâneas do provete. Tensão Verdadeira É determinada usando a área instantânea da secção recta do provete, em vez da área inicial. Deformação Verdadeira É determinada usando o comprimento instantâneo do provete Relação entre Tensão e Deformação Verdadeira, e Tensão e Deformação de engenharia Tensão verdadeira Deformação verdadeira (Log) Deformação verdadeira (Log) Tensão verdadeira P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deformação Tensão Aumento da velocidade de Deformação Aumento da Temperatura Velocidade de Deformação Temperatura Módulo de Elasticidade Tensão de Cedência Tensão de resistência à tracção Ductilidade Tenacidade Expoente de endurecimento P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Determine a deformação da barra de aço quando submetida às cargas indicadas. SOLUÇÃO: • Divide-se a barra nas três partes representadas na figura. • Efectuam-se cortes em todas as partes, desenha-se o respectivo diagrama de corpo livre, e faz-se o equílibrio para cada uma das partes • Somam-se as deformações parciais. GPa E 200 · 40 cm 200 KN 30 cm 30 cm 300 KN 500 KN A=200 mm 2 A=600 mm 2 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) SOLUÇÃO: • Divisão da barra em três componentes: 1 2 2 1 2 30 6 L L cm A A cm · · · · 3 2 3 40 2 L cm A cm · · • Análise de esforços internos através da análise de corpo livre em cada componente, N 10 200 200 N 10 * 100 100 10 * 400 400 3 3 3 2 3 1 × · · − · − · · · KN P KN P N KN P • Avaliação da deformação total, ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 2 2 1 2 3 3 3 3 9 6 6 6 3 1 400 10 0, 3 100 10 0, 3 200 10 0, 4 1 200 10 600*10 600*10 200*10 2, 75 10 m= 2,75 mm i i i i i PL PL PL P L AE E A A A δ − − − − | ` · · + + . , ] × − × × ] · + + × ] ] · × ∑ 2, 75 . mm δ · Exemplo 2.1 40 cm 200 KN 30 cm 30 cm 300 KN 500 KN A=200 mm 2 A=600 mm 2 200 KN 200 KN 200 KN 300 KN 300 KN 500 KN P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD. A haste AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) com uma área de secção transversal de 500 mm 2 . A haste CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma secção transversal de (600 mm 2 ). Para uma força de 30-kN, determine os deslocamentos a) do ponto B, b) do ponto D, e c) do ponto E. SOLUÇÃO: • Análise através do diagrama de corpo livre da barra BDE para achar as forças de ligação ao exterior, de AB e DC. • Avaliação da deformação das barras AB e DC ou dos deslocamentos de B e D. • Análise geométrica para determinar o deslocamento do ponto E, tendo os deslocamentos dos pontos B e D. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deslocamento de B: ( )( ) ( )( ) m 10 514 Pa 10 70 m 10 500 m 3 . 0 N 10 60 6 9 2 6 - 3 − × − · × × × − · · AE PL B δ ↑ · mm 514 . 0 B δ Deslocamento de D: ( )( ) ( )( ) m 10 300 Pa 10 200 m 10 600 m 4 . 0 N 10 90 6 9 2 6 - 3 − × · × × × · · AE PL D δ ↓ · mm 300 . 0 D δ Diag. Corpo livre: Barra BDE ( ) ( ) D 0 0 30 kN 0.6 m 0.2 m 90 kN M 0 0 30 kN 0.4 m 0.2 m 60 kN B CD CD AB AB M F F tracçao F F compressao · · − × + × · + · · − × − × · − ∑ ∑ SOLUÇÃO: P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deslocamento de D: ( ) mm 7 . 73 mm 200 mm 0.300 mm 514 . 0 · − · · ′ ′ x x x HD BH D D B B ↓ · mm 928 . 1 E δ ( ) mm 928 . 1 mm 7 . 73 mm 7 . 73 400 mm 300 . 0 · + · · ′ ′ E E HD HE D D E E δ δ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Sistemas Estaticamente Indeterminados Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Estruturas para as quais as forças internas e as reacções não podem ser determinadas, unicamente com as expressões de equilibrio estático, são consideradas estaticamente indeterminadas. 0 · + · R L δ δ δ • As deformações devidas às cargas e às reacções redundantes são determinadas separadamente e depois são sobrepostas. • As reacções redundantes são substituídas por cargas desconhecidas que, juntamente com as outras forças, devem originar deformações. • A estrutura é estaticamente indeterminada sempre que possui mais apoios do que os necessários para manter o seu equilibrio. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.4 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Determine as reacções em A e B na barra de aço submetida ao carregamento indicado. Admita que a barra está encostada a ambos os apoios antes da aplicação das cargas. SOLUÇÃO: • Considere a reacção B como redundante e liberte-se a barra desse apoio. A reacção R B é considerada agora como desconhecida e é determinada tendo em conta que o alongamento total, δ, da barra, deve ser igual a zero. A solução obtem-se considerando separadamente o alongamento δ L causado pelas cargas aplicadas e o alongamento δ R devido à reacção redundante R B. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.4 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) SOLUÇÃO: • Considere o deslocamento em B devido às cargas, tendo libertado a reacção em B, E E A L P L L L L A A A A P P P P i i i i i 9 L 4 3 2 1 2 6 4 3 2 6 2 1 3 4 3 3 2 1 10 125 . 1 m 150 . 0 m 10 250 m 10 400 N 10 900 N 10 600 0 × · ∑ · · · · · × · · × · · × · × · · · − − δ • Considere o deslocamento em B devido à reacção redundante R B . ( ) ∑ × − · · · · × · × · − · · − − i B i i i i R B E R E A L P δ L L A A R P P 3 2 1 2 6 2 2 6 1 2 1 10 95 . 1 m 300 . 0 m 10 250 m 10 400 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.4 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Considerando o alongamento total da barra nulo e resolvendo em ordem a R B , ( ) kN 577 N 10 577 0 10 95 . 1 10 125 . 1 0 3 3 9 · × · · × − × · · + · B B R L R E R E δ δ δ δ • A reacção R A obtem-se do diagrama de corpo livre da barra kN 323 kN 577 kN 600 kN 300 0 · ∑ + − − · · A A y R R F kN 577 kN 323 · · B A R R P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Tensões de Origem Térmica Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Uma mudança de temperatura origina uma deformação de origem térmica. Não existe tensão associada a esta deformação, a menos que haja restrições à deformação. ( ) coeficiente de expansao termica T P PL T L AE δ α δ α · ∆ · · • Nos casos em que existe restrição à deformação deve tratar-se a reacção como redundante e aplicar o princípio da sobreposição. ( ) 0 0 · + ∆ · + · AE PL L T P T α δ δ δ • A deformação térmica e a deformação originada pela reacção redundante devem ser compatíveis. ( ) ( ) T E A P T AE P P T ∆ − · · ∆ − · · + · α σ α δ δ δ 0 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Coeficiente de Poisson Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Numa barra homogénea e carregada axialmente, 0 · · · z y x x E σ σ σ ε • A deformação na direcção do eixo dos x é acompanhada por uma contracção nas outras direcções. Assumindo que o material é isotrópico, 0 ≠ · z y ε ε • O coeficiente de Poisson é dado por deformaçao transversal deformaçao axial y z x x ε ε ν ε ε · · − · − P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Lei de Hooke Generalizada Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Num elemento sujeito a um estado multiaxial de cargas, as componentes das deformações resultantes do estado de tensão são determinados usando o princípio da sobreposição. Isto requer: 1) cada deformação é relacionada linearmente com a tensão 2) as deformações são pequenas E E E E E E E E E z y x z z y x y z y x x σ νσ νσ ε νσ σ νσ ε νσ νσ σ ε + − − · − + − · − − + · • Atendendo a estas restrições: P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Dilatação: Módulo de Compressibilidade Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Em relação ao estado sem tensões a variação do volume é ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 dilataçao (variaçao do volume em percentagem) x y z x y z x y z x y z e E ε ε ε ε ε ε ε ε ε ν σ σ σ ] ] · − + + + · − + + + ] ] · + + − · + + · • Para um elemento sujeito a uma pressão hidrostática uniforme, ( ) ( ) 3 1 2 modulo de compressibilidade 3 1 2 p e p E k E k ν ν − · − · − · · − • Quando sujeito a pressão uniforme, a dilatação tem que ser negativa, logo 2 1 0 < <ν P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Distorções Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Um elemento cúbico sujeito a tensões de corte deforma-se num paralelipípedo oblíquo. As deformações correspondentes (distorções) são quantificadas em relação ao ângulo de distorção, ( ) xy xy f γ τ · • A relação entre tensões de corte e distorções é similar à relação entre tensões normais e deformações. Para pequenas distorções, zx zx yz yz xy xy G G G γ τ γ τ γ τ · · · Em que G é o módulo de distorção do material. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.10 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Um bloco rectangular de um material, com módulo de distorção G = 600 Mpa é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior está fixa enquanto a placa superior é submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 0,8 mm sob a acção da força, determine a) a distorção média no material, e b) a força P exercida na placa superior. SOLUÇÃO: • Determina-se a distorção média do bloco. • Usa-se a relação de tensão de corte com a força para achar a força P. • Aplica-se a lei de Hooke para tensões e deformações de corte para se determinar as tensões de corte. 160 mm 50 mm 40 mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Determinação da distorção média do bloco. 0.8 tan ; 0.020 rad 40 xy xy xy mm mm γ γ γ ≈ · · • Apicação da lei de Hooke para tensões e deformações de corte. ( )( ) 600 0.020 rad 12 xy xy G MPa MPa τ γ · · · • Uso da relação entre tensão de corte e força, para achar P. ( )( )( ) 6 3 12*10 0,160 0, 050 96 10 N xy P A Pa m m τ · · · × 96.0 kN P · Exemplo 2.10 0,8 mm 40 mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Relação entre E, υ υυ υ e G Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Uma barra homogenea submetida a uma carga axial alonga na direcção axial e contrai nas direcções transversais. ( ) ν + · 1 2G E • As componentes normal e de distorção relacionam-se através da expressão, • Se o elemento cúbico estiver orientado como na fig. B) vai deformar-se originando um losango. A carga axial resulta numa distorção. • Um elemento cúbico orientado como na figura a) deforma-se num paralelipipedo rectangular. A carga axial produz uma deformação axial. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.5 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Uma círcunferência de diâmetro d=200 mm está desenhada numa placa de alumínio, livre de tensões, e de espessura t=18 mm. A actuação posterior de forças na placa origina as tensões normais σ x = 85 MPa e σ z = 150 MPa. Admitindo E = 70 Gpa e ν = 1/3, determine: a) O comprimento do diâmetro AB, b) O comprimento do diâmetro CD, c) A espessura da placa, e d) O volume da placa. 350 mm 350 mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.5 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) SOLUÇÃO: • Aplica-se a lei de Hooke generalizada para achar as três componentes de extensão normal. ( ) ( ) 3 3 3 1 1 85 0 150 70 GPa 3 0.500 10 1.119 10 1.738*10 y x z x y x z y y x z z E E E MPa MPa E E E E E E νσ σ νσ ε σ νσ νσ ε νσ νσ σ ε − − − · + − − ] · − − ] ] · + × · − + − · − × · − − + · + • Determinam-se as deformações. ( )( ) 3 0.500 10 200 B A x d mm δ ε − · · + × ( )( ) 3 1.738 10 200 C D z d mm δ ε − · · + × ( ) ( ) 3 1.119 10 18 t y t mm δ ε − · · − × 100 B A m δ µ · + 348 C D m δ µ · + 20,1 t m δ µ · − • Determina-se a mudança de volume ( ) 3 -3 3 3 (0.500 1,119 1, 738) *10 = 1,119*10 1.119 10 350 350 18 = +2470 mm x y z e V eV ε ε ε − − · + + · − + ∆ · · × × × 3 2470 V mm ∆ · + P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Materiais Compósitos Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Os materiais compósitos reforçados com fibras são formados por lâminas de fibras embebidas em matrizes de materiais poliméricos. z z z y y y x x x E E E ε σ ε σ ε σ · · · • As tensões e deformações normais são relacionadas pela Lei de Hooke mas com módulos de elasticidade dependentes da direcção, x z xz x y xy ε ε ν ε ε ν − · − · • As contracções transversais são relacionadas por valores de coeficiente de Poisson dependentes da direcção, • Os materiais com propriedades mecânicas dependentes da direcção são considerados anisotrópicos. fibras carga carga Camada de material P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Princípio de Saint Venant Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • As cargas transmitidas em corpos rígidos resultam numa distribuição uniforme das tensões e deformações. • Principio de Saint-Venant: A distribuição de tensões pode assumir- se como independente da forma de aplicação da carga, com excepção da vizinhança de aplicação da carga. • A distribuição das tensões e deformações torna-se uniforme a uma distância relativamente pequena do ponto de aplicação das cargas. • Cargas concentradas dão origem a tensões mais elevadas na vizinhança do ponto de aplicação da carga. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Concentração de Tensões: Furo Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Descontinuidades da secção recta podem resultar , localmente, numa elevada concentração de tensões. max K σ σ · P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Concentração de Tensões: Raio de Curvatura Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.12 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Determine o valor máximo da carga axial P que pode ser suportado, em segurança, por uma barra plana e aço com dois troços, ambos com 10 mm de espessura e 40 e 60 mm de largura, respectivamente, ligados por uma concordância circular de raio r = 8 mm. Considere uma tensão admissível de 165 MPa. SOLUÇÃO: • Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b. • Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga. • Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.12 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b. 82 . 1 20 . 0 mm 40 mm 8 50 . 1 mm 40 mm 60 · · · · · K d r d D • Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material. max 165 MPa 90.7 MPa 1.82 K σ σ · · · • Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga. ( )( )( ) 3 40 mm 10 mm 90.7 MPa 36.3 10 N P Aσ · · · × kN 3 . 36 · P P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Casca de alumínio Alma de aço 25 mm 250 mm 60 mm Forças de compressão, de 30 KN, estão aplicadas nos extremos da montagem da figura. Sabendo que E aço =2,07x10 5 MPa e E alumínio =0,70x10 5 MPa, determine: a) as tensões normais na alma de aço e na casca de alumínio b) a deformação do conjunto ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 * *25 1963 60 25 9346 aço Al A r mm A R r mm π π π π · · · · − · − · ( ) ( ) ( ) 7 2 5 7 2 2 5 *250 *6,15*10 *25 *2, 07*10 *250 *3, 82*10 * 60 25 *0, 70*10 aço aço aço aço aço aço al al al al al al P L P δ P A E P L P δ P A E π π − − · · · · · · − ( ) ( ) 2 2 2 ) 11480 5, 84 25 18520 1, 98 60 25 aço aço aço al al al a P MPa A P MPa A σ π σ π · · · · · · − 7 7 *6,15*10 *3, 82*10 0, 62* 30 aço al aço al aço al aço al Como P P P P Como P P KN δ δ − − · ⇒ · ⇒ · + · 11, 48 18, 52 aço al P KN P KN · · 7 ) * 7, 54*10 aço aço al aço aço b como P L mm A E δ δ δ − · · ⇒ · P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que E aço =2,00*10 5 MPa e E latão =1,05*10 5 MPa, determine: a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C Aço Latão R A R A R A R A P 1 P 2 P 3 P 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 ( *20 ) 60000 ( *20 ) 60000 ( *15 ) 60000 40000 ( *15 ) A A A A P R A P R A P R A P R A π π π π · · · − · · − · · − − · R A R E 0 60000 40000 0 100000 (1) X E A A E F R R R R N · ⇔ + − − · ⇔ + · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que E aço =2,00*10 5 MPa e E latão =1,05*10 5 MPa, determine: a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C Aço Latão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 5 2 5 2 5 ) 0 60000 *120 *180 *20 *2, 00*10 *20 *2, 00*10 60000 *100 60000 40000 *100 0 *15 *1, 05*10 *15 *1, 05*10 62,8 (1) 37, 2 i i i i A A A A A E a PL δ AE R R R R R KN de R KN δ π π π π · · ⇔ − · + + − − − + · ⇒ · ⇒ · ∑ R A R E R A R A R A R A P 1 P 2 P 3 P 4 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 5 2 5 1 1 2 2 ) 62800 60000 *120 62800*180 46, 3 *20 *2, 00*10 *20 *2, 00*10 c b PL P L δ m A E A E µ π π − · + · + · P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 0,5 m 0,6 m 0,07 m 0,05 m 0,07 m 60 KN 20 KN 20 KN Dois varões cilindricos estão acoplados em B. O varão AB é feito de aço (E=2,07x10 5 MPa), e o varão BC de latão (E=1,05x10 5 MPa). Determine: a) a deformação total do conjunto ABC. b) a deformação do ponto B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 5 2 5 ) 60000 40000 *500 60000*600 0,1132 *25 *2, 07*10 *35 *1, 05*10 ) 60000 40000 *500 0, 0247 *35 *1, 05*10 i i A i i A B a PL δ AE mm b mm δ π π δ π · ⇔ − · + · − · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Dimensões em mm O provete da figura foi cortado de uma placa de vinyl com 5 mm de espessura (E=0,031*10 5 MPa) e está sujeito a uma carga normal de 1.5 kN. Determine: a) a deformação total do provete. b) a deformação da zona central BC ( ) ( ) ( ) 9 9 ) 1500 40 50 40 0, 794 0, 031*10 5*25 5*10 5*25 ) 1500*50 0, 484 50*0, 031*10 i i AD i i BC a PL δ AE mm b mm δ · · | ` · + + + · . , · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F Para a treliça de aço (E=2,07x10 5 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm 2 e 75 mm 2 , respectivamente. F= 60 KN 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F F BD F BE F CE 5 0 60000*400 60000*200 *350 0 102, 86 102860 205, 7 500 102860*200 0,1987 500*2, 07*10 E BD BD BD BD BD BD M F F KN F MPa A PL mm AE σ δ · ⇔ − − + · ⇔ · · · · · · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F Para a treliça de aço (E=2,07x10 5 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm 2 e 75 mm 2 , respectivamente. F= 60 KN 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F F BD F DE F EG 5 0 0 60000 60000 120000 120000 160, 0 750 120000*350 0, 2705 750*2, 07*10 x DE DE DE DE DE DE F F F F F DE N F MPa A PL mm AE σ δ · ⇔ + − · ⇔ + · ⇔ · · · · · · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Cada uma das quarto ligações que ligam as duas barras horizontais são feitas de alumínio (E=0,70*10 5 MPa) e tem uma secção recta rectangular e uniforme de 10 x 40 mm. Para as cargas mostradas determine a deformação de: a) ponto E. b) ponto G. δ E δ F δ G ( ) ( ) 5 5 ) 7500*300 0, 080 10*40 *0, 7*10 ) 19500*300 0, 209 10*40 *0, 7*10 ( ) 400 400 250 E F G E F E g G a PL δ mm AE b PL mm AE pontoG geometricamente t δ δ δ δ δ α δ − · · · · · · + + · · + ⇒ · Do equílibrio estático da barra EFG, R F =-7500 N P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Um tubo de aço (E=2,07*10 5 MPa) com um diâmetro exterior de 32 mm e 4 mm de espessura está colocado num torno sem que exista todavia pressão nos topos. São aplicadas então as duas forças mostradas. Depois destas forças serem aplicadas, aperta-se o torno em 0.2 mm. Determine: a) as forças exercidas pelo torno no tubo, em A e em D. b)a variação de comprimento da porção BC do tubo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 ) 0, 2 30000 *80 *80 16 12 2, 07*10 16 12 2, 07*10 42000 30000 *80 0, 2 16 12 2, 07*10 ) 30000 *80 ... 16 12 *2, 07*10 i i AD i i D D D D D BC BC BC BC BC a PL δ mm AE R R R mm R b R P L mm A E π π π δ π · · − − · + − − + − + · − − ⇒ · − · · · − ∑ R A R D R D R D R D P 1 P 2 P 3 1 2 3 0; 42000 3000 0 ; 30000 ; 42000 30000 x A D D D D F R R P R P R P R · − + − · · + · − + · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos ( ) 6 2 5 6 2 5 * * * * *1800 11, 7*10 *35*1800 ; 6* *22 *2, 00*10 4 *1800 9, 9*10 *35*1800 ; 240*240 6* *22 *0, 25*10 4 aço cim T F T F aço aço cim cim aço cim aço aço cim cim PL PL T L T L AE AE P P δ δ δ δ δ δ α α δ π δ π − − · + · + | ` | ` + · + . , . , · + | ` . , · + ] | ` − ] . , ] ! ! O poste de betão está reforçado com seis barras de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro. Determine as tensões normais induzidas no aço e no cimento devidas a uma subida de temperatura de 35ºC. 5 6 5 6 0, 25*10 ; 9, 9*10 /º 2, 00*10 ; 11, 7*10 /º cim cim aço aço E MPa C E MPa C α α − − · · · · 21667 aço cim P P N · · * Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. P aço =P cim , logo, ( ) 2 2 21667 9, 5 6* *22 4 21667 0, 392 240*240 6* *22 4 aço aço aço cim cim cim P MPa A P MPa A σ π σ π − · · · − · · · | ` − . , δ T aço δ T cim δ F aço δ F cim P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Casca de alumínio Alma de aço Casca de alumínio Alma de aço A montagem consiste numa casca de alumínio ligada a uma alma de aço e está sem tensões, a uma temperatura de 20ºC. Considerando apenas deformações axiais, determine a tensão na casca de alumínio quando a temperatura atingir 180ºC. 5 6 0, 70*10 ; 23, 6*10 /º al al E MPa C α − · · 5 6 2, 00*10 ; 11, 7*10 /º aço aço E MPa C α − · · ( ) 6 2 5 6 2 2 5 * * * * *200 11, 7*10 *160*200 ; *20 *2, 00*10 4 *200 23, 6*10 *160*200 ; * 50 20 *0, 7*10 4 aço al T F T F aço aço al al aço al aço aço al al PL PL T L T L AE AE P P δ δ δ δ δ δ α α δ π δ π − − · + · + | ` | ` + · + . , . , · + | ` . , · + ] | ` − ] . , ] ! ! .. aço al P P N · · * Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. P aço =P al , logo, al al al P A σ · · δ T al δ T aço δ F al δ F aço P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos A temperatura da barra composta é elevada em 80ºC. Sabendo as características dos materiais e que não há forças aplicadas em B ou em D, determine: (E aço =2,00*10 5 MPa e E latão =1,05*10 5 Mpa; α aço =11,7*10 -6 /ºC; α latão = 20,9*10 -6 /ºC) a) as tensões normais em AC e em CE b) a deformação da porção AC Dimensões em mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 450 KN 1,5 m Um tubo de aço de 1,5 m de comprimento, 300 mm de diâmetro exterior, e 12 mm de espessura é usado como coluna para suportar 450 KN. Usando a informação disponível, determine: (E=2,07*10 5 MPa; G=0,8*10 5 MPa) a) a mudança de comprimento do tubo. b)a mudança do diâmetro exterior do tubo. c)a mudança da espessura da parede do tubo. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Um pedaço quadrado, 20*20 mm, de aço foi retirado de um recipiente sob pressão de grandes dimensões. Quando sob pressão, a condição de tensões biaxiais é a que mostra a figura. Usando os dados disponíveis do aço, determine o variação de tamanho de: a) lado AB b) lado BC c) diagonal AC E=2,00*10 5 MPa G=0,77*10 5 MPa P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos O provete de alumínio está sujeito às forças indicadas, de magnitude P. Sabendo que E=0,70*10 5 MPa, e σ adm =200MPa, a) Determine a máxima força P, e o correspondente alongamento do provete b) Resolva a alínea a, assumindo que o provete foi substituído por uma barra de alumínio, do mesmo comprimento, e secção recta rectangular uniforme de 60x15 mm. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Propostos Os membros deste sistema têm 2-cm-de diametro e são de aço (E = 200 GPa). A carga é aplicada em, x = 1.5 m e y = 0.5 m. Qual é a deformação do membro AC quando a carga de 10 kN é aplicada? A barra AB é de alumínio (E = 70 GPa) e a barra CD é de aço (E = 200 GPa). Ambas têm uma secção recta de 1 cm x 3 cm. As dimensões da figura são x = 2 m, y = 2 m, e z = 3 m. Qual é a deformação da barra AB quando é aplicada a força de 40 kN? O membro CE, de Aluminio (E = 70 Gpa) está montado como mostra a figura. Esta peça tem 2-cm de altura e uma secção recta de 0.5 cm x 1 cm. Um parafuso, de aço, (E = 200 Gpa), e com 4-cm de comprimento e 1-cm de diâmetro, é ajustado para exercer pressão na peça. Assumindo que o membro ABC é rigido, e sabendo que x = 4 cm, determine a máxima tensão que ocorre no parafuso quando o componente ABC estiver sujeito a 200 MPa? P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Propostos O membro rígido ABCD é usado para suportar um peso de 2 KN. Este membro tem 6-m de comprimento. As barras BE e CF são de aço (E = 200 GPa) e têm um diâmetro de 0.5 cm e um comprimento de 2 m. Qual a deformação do ponto D quando a carga é aplicada? A paçe BE é de aluminio (E = 70 GPa, α = 23.0 E-6 1/ o C) e está suportada pelo membro rígido DEF. A peça BE tem 50 cm de comprimento e um diâmetro de 5 cm. Os membros AD e CF são de aço (E = 200 GPa, α = 11.7 E-6 1/ o C) e têm 60 cm de comprimento e 0,5 cm de diâmetro. Inicialmente nenhuma carga está aplicada no conjunto. Determine as tensões que se desenvolvem nos membros AD e CF quando a temperatura subir 100ºC. A placa da figura tem 0.5-cm de espessura e 2-cm de largura. Um furo de 0.5-cm de diametro está localizado no centro da placa. Qual a máxima tensão existente na placa quando uma força de 2 KN é aplicada? Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Tensão e Deformação: Cargas Axiais - Sumário Tensão e Deformação: Cargas Normais Deformação Normal Ensaio Tensão-Deformação Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Frágeis Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico vs Plástico Deformação Devida a Carga Axial Problemas Estaticamente Indeterminados Tensões Térmicas Coeficiente de Poisson Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 2 Lei de Hooke Generalizada Módulo de Compressibilidade Distorção Relação entre E, ν, e G Materiais Compósitos Princípio de Saint-Venant Concentração de Tensões Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Dep. Engª Mecânica Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Tensão e Deformação: Cargas Axiais Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 2 • A adequabilidade de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações da estrutura tal como das tensões. A análise estática, só por si, não é suficiente. • Considerar as estruturas como deformaveis permite a determinação de forças e reacções em problemas estaticamente indeterminados. • A determinação da distribuição das tensões numa secção requer a consideração das suas deformações. • O Capítulo 2 preocupa-se com a deformação de membros estruturais sujeitos a cargas axiais. Os próximos capítulos lidarão com torção e flexão. Dep. Engª Mecânica Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deformação Normal Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 2 Dep. Engª Mecânica σ= P = tensão A δ ε = = deformação normal L σ= 2P P = 2A A δ ε= L σ= P A 2δ δ = ε= 2L L Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Teste Tensão-Deformação O co mporta mento Tensão-Deformação é obt ido a part r de u m ensaio de t i racção. Cap. 2 Dep. Engª Mecânica Preparado por: Filipe Samuel Silva Provete para ensaio de tracção uniaxial Máquina de ensaios de tracção uniaxiais U m teste envolve: Provete de dimensões conhecidas (standardizadas) ! M áquina de ensaios de tracção Apl icação de carga ax l ia ! iação de co mprimento e da carga correspondente. ! M edição da var Uso da var iação de co mprimento para cálculo da sua var iação ! percentual . icada e da área da secção recta do provete para cálculo ! Uso da força apl da tensão. ! A informação obt ida determinar algu mas propriedades do material : ! ! ! ! ! Tensão de cedência M ódulo de E last idade ic Tensão de rotura Extensão de Rotura Duct l i idade ! l ia ! Resi iênc ! Tenacidade permite das providenciando u m ‘aviso’ da rotura A deformação destes mater is deve-se in cia ia i lmente ao desl izam ento de bandas (cam adas) da estrutura cr ta ina. Engª Mecânica . f ie ig l À quant idade que o m ater l consegue deformar antes de ro m per cha ma-se duct l dade. para mater is dúcte ia is. ia ii Materiais Dúcteis são caracterizados por terem uma grande capacidade de resistir a grandes deformações plásticas antes de romperem.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Preparado por: Filipe Samuel Silva Rotura Cap. Consoante a deform ação au menta.Mecânica dos Materiais . A part r i deste ponto a tensão co meça a decrescer . Quando u m mater l dúct l rompe. a rotura dá-se formando-se u ma superf ie cónica co m u m ia i íc ângulo de aprox imada mente de 45º co m a super íc or ina . 2 Rotura Cedência Endurecimento Pescoço M ateria is Aço de baixo teor em carbono Liga de Alumínio Dúcteis Os mater is dúcteis sofrem u ma grande deformação plást ia ica antes de ro mpere m. ao longo de planos oblíquos à força e deve-se essencia is l lmente a tensões de corte . Esta inversão da progressão da tensão deve-se à formação de u m ‘pescoço’ no co m ponente. conhecido co mo Tensão de Rotura ou Tensão de Resistência à Tracção. a tensão sobe até u m valor m áximo. A tensão cont inuará a decrescer até à rotura. Dep. Engª Mecânica M ateria is Frágeis Os mater is f ia rágeis r mpe m se m ‘av o iso’ . O mater l cede igualm ente ao longo de todo o co mponente. e ro mpe abrupta mente ia por u ma super íc perpendicular à força.Mecânica dos Materiais .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Frágeis Preparado por: Filipe Samuel Silva Rotura Tensão Cap. 2 Diagrama tensão-Deformação para materiais frágeis Deformaçã o Dep. f ie A rotura destes mater is deve-se essencialmente às tensões nor mais ia . Materiais Frágeis são tipicamente caracterizados por uma incapacidade em resistir a grandes deformações plásticas . Mecânica dos Materiais . Engª Mecânica • A resistência é afectada pelos elementos de liga.4*105 0.7*105 0.07*105 1.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Preparado por: Filipe Samuel Silva Aço de alta resistência (ligado e temperado) Cap. σc (MPa) 490 890 870 470 220 Diagramas tensão-Deformação para várias ligas de ferro E (MPa) CK45 34CrNiMo6 Ti6Al4V Al7175 AZ31B (liga Mg) 2. 2 • Abaixo da Tensão de cedência σ = Eε E = Módulo de Young ou Modulo de Elasticidade Aço ligado Aço ao Carbono Ferro puro Dep. processos de manufactura.07*105 2. mas o módulo de elasticidade não é. tratamentos térmicos.44*105 σr (MPa) 730 1020 980 630 290 . etc. • À máxima tensão para a qual ocorre o fenómeno anterior.Mecânica dos Materiais . 2 Rotura • Se a deformação desaparecer quando a carga é retirada. então o material comporta-se elasticamente. Dep.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Comportamento Elástico e Plástico Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Engª Mecânica . chama-se Limite Elástico ou Tensão Limite de Proporcionalidade • A partir do limite elástico o material comporta-se plasticamente. nic l Is to corresponde à porção elást ica da curva tensãodefor mação do mater l ia . o mater l já não retorna à sua i ia forma or ina ig l Is corresponde à porção plást to ica da curva tensão-defor mação do m ater l ia . l U m a vez que estas l igações tenham part ido/desl izado. 2 Os mater is são form ados ia por áto mos. as l igações que o m antê m unido. Dep.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Comportamento Elástico e Plástico Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. os áto mos regressa m à sua posição in ia . que se encontra m arranjados nu m padrão regular Este padrão designa-se por estrutura cr l na ista i Conforme u m mater l é ia carregado. quando a carga é ret rada.Mecânica dos Materiais . co m eça m a deformar Esta deformação resul ta nu m alonga mento do m ater l ia Se a carga for ret r i ada antes das l igações parti rem. . Engª Mecânica Se o mater l for carregado para alé m da ia zona e lást ica. e o mater l ic l ia retorna à sua forma i ia . as l igações ató micas partem / des iza m. ou propriedades do material.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deformações Normais Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 2 P σ = E AE • Da lei de Hooke: σ = Eε ε= • Da definição de extensão: δ ε= L • Resolvendo em ordem à deformação. PL δ =∑ i i i Ai Ei Dep. PL δ = AE • Se houver variação da secção. carga.Mecânica dos Materiais . Engª Mecânica . 2 Preparado por: Filipe Samuel Silva Tensão Tensão de cedência Tensão Limite Elástica ou Tensão Limite de Proporcionalidade Extensão de rotura Módulo de Elasticidade Deformação Tensão Tensão Tensão Tensão Dep. Engª Mecânica Tenacidade Resiliência Deformação Deformação .Mecânica dos Materiais .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação Tensão de rotura ou Tensão de Resistência à Tracção Cap. ia raccionado. a área da secção recta do provete var ( ia reduz) devido ao au mento do co mprim ento. Nos gráf icos anter iores. ic l Deformação Verdadei ra baixas É determinada usando o co mprimento i nstantâneo do provete Relação entre Tensão e Deformação Verdadeira. baseados na curva tensãodefor mação obt ida nu m ensaio normal . Deformação verdadeira (Log) Deformação verdadeira . e Tensão e Deformação de engenhar ia Cap. Todavia quando o m ater l é t . o va lor da área da secção recta é considerado constante e igual à área in ia . ou se ia ja.Mecânica dos Materiais . ic l A tensão verdadeira e a deformação verdadeira são obt idos co m base nas dimensões instantâneas do provete. .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação Co mpressão vs Tracção Tensão Verdadeira É determinada usando a área instantânea da secção recta do provete em vez da área in ia . Engª Mecânica (Log) Tensão verdadeira Até aqui temos v isto a tensão e a deform ação de engenhar . 2 Preparado por: Filipe Samuel Silva Materiais dúcteis M es ma tensão de cedência Igual curva tensão-deformação para deformações As curvas d iverge m para grandes deformações Na co mpressão não se forma o ‘pescoço’ Materiais frágeis Curvas d ferentes i M es mo modulo e lást co i Tensão de cedência super (co mpressão) ior Tensão de rotura muito super (co mpressão) ior Tensão verdadeira Tensão Verdadeira e Deformação Verdadeira Dep. Engª Mecânica Expoente de endurecimento Deformação .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 2 Temperatura Módulo de Elasticidade Velocidade de Deformação Tensão Tensão de Cedência Tensão de resistência à tracção Ductilidade Aumento da velocidade de Deformação Tenacidade Aumento da Temperatura Dep.Mecânica dos Materiais . Dep. • Efectuam-se cortes em todas as partes. E = 200GPa Determine a deformação da barra de aço quando submetida às cargas indicadas. e faz-se o equílibrio para cada uma das partes • Somam-se as deformações parciais.Mecânica dos Materiais . desenha-se o respectivo diagrama de corpo livre.1 A=600 mm2 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Engª Mecânica .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2. 2 A=200 mm2 200 KN 500 KN 30 cm 300 KN 40 cm 30 cm SOLUÇÃO: • Divide-se a barra nas três partes representadas na figura. Mecânica dos Materiais .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2.3 ( 200 ×103 ) 0. 75mm. 4 1 = + + 200 ×109 600*10−6 600*10−6 200*10 −6 200 KN = 2.75 mm L1 = L2 = 30cm A1 = A2 = 6cm 2 L3 = 40cm A3 = 2cm 2 δ = 2.3 ( −100 ×103 ) 0. 300 KN 500 KN 300 KN PL 1 PL P L P L δ =∑ i i = 1 1 + 2 2 + 3 3 200 KN E A1 A2 A3 i Ai Ei ( 400 ×103 ) 0. P = 400 KN = 400 *103 N 1 P2 = −100 KN = −100 *103 N 500 KN 300 KN 40 cm 200 KN P3 = 200 KN = 200 × 103 N 30 cm 30 cm 200 KN Dep. 2 • Divisão da barra em três componentes: A=600 mm2 A=200 mm2 • Análise de esforços internos através da análise de corpo livre em cada componente. . 75 × 10−3 m= 2.1 SOLUÇÃO: Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Engª Mecânica • Avaliação da deformação total. A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD. tendo os deslocamentos dos pontos B e D. Para uma força de 30-kN. b) do ponto D. e c) do ponto E. Dep. determine os deslocamentos a) do ponto B. A haste AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) com uma área de secção transversal de 500 mm2. • Análise geométrica para determinar o deslocamento do ponto E.1 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. • Avaliação da deformação das barras AB e DC ou dos deslocamentos de B e D. de AB e DC.Mecânica dos Materiais .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Problema 2. A haste CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma secção transversal de (600 mm2). 2 SOLUÇÃO: • Análise através do diagrama de corpo livre da barra BDE para achar as forças de ligação ao exterior. Engª Mecânica . Corpo livre: Barra BDE Deslocamento de B: (− 60 ×103 N)(0.514 mm ↑ 0 = − (30 kN × 0.300 mm ↓ .3 m ) = (500 ×10-6 m2 )(70 ×109 Pa ) = −514 ×10− 6 m ∑M B =0 δ B = 0.2 m FCD = +90 kN tracçao D Deslocamento de D: δD = Dep.2 m FAB = −60 kN compressao (90 ×103 N)(0. 2 δB = PL AE SOLUÇÃO: Diag.6 m ) + FCD × 0.Mecânica dos Materiais .4 m ) − FAB × 0.4 m ) = (600 ×10-6 m2 )(200 ×109 Pa ) = 300 ×10− 6 m PL AE δ D = 0.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Problema 2.1 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Engª Mecânica ∑M =0 0 = − (30 kN × 0. 7 mm EE ′ HE = DD′ HD Dep.300 mm x = 73.928 mm ↓ . Engª Mecânica δE (400 + 73. 2 Deslocamento de D: BB′ BH = DD′ HD 0.928 mm δ E = 1.514 mm (200 mm ) − x = x 0.1 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.7 mm δ E = 1.Mecânica dos Materiais .300 mm 73.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Problema 2.7 )mm = 0. Mecânica dos Materiais . juntamente com as outras forças. • A estrutura é estaticamente indeterminada sempre que possui mais apoios do que os necessários para manter o seu equilibrio. • As reacções redundantes são substituídas por cargas desconhecidas que. Dep. são consideradas estaticamente indeterminadas.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Sistemas Estaticamente Indeterminados Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Engª Mecânica δ = δL +δR = 0 . 2 • Estruturas para as quais as forças internas e as reacções não podem ser determinadas. unicamente com as expressões de equilibrio estático. • As deformações devidas às cargas e às reacções redundantes são determinadas separadamente e depois são sobrepostas. devem originar deformações. 2 Determine as reacções em A e B na barra de aço submetida ao carregamento indicado. δ. Engª Mecânica .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2. Dep. SOLUÇÃO: • Considere a reacção B como redundante e liberte-se a barra desse apoio. A solução obtem-se considerando separadamente o alongamento δL causado pelas cargas aplicadas e o alongamento δR devido à reacção redundante RB.Mecânica dos Materiais . Admita que a barra está encostada a ambos os apoios antes da aplicação das cargas.4 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. A reacção RB é considerada agora como desconhecida e é determinada tendo em conta que o alongamento total. da barra. deve ser igual a zero. Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2.95 × 103 RB δR = ∑ =− E i Ai Ei ( ) . Engª Mecânica • Considere o deslocamento em B devido à reacção redundante RB. tendo libertado a reacção em B.125 ×109 δL = ∑ = E i Ai Ei Dep.Mecânica dos Materiais .150 m Pi Li 1. 2 SOLUÇÃO: • Considere o deslocamento em B devido às cargas. P = P2 = − RB 1 A1 = 400 ×10− 6 m 2 L1 = L2 = 0. P = 0 P2 = P3 = 600 ×103 N 1 A1 = A2 = 400 ×10− 6 m 2 P4 = 900 ×103 N A3 = A4 = 250 ×10− 6 m 2 L1 = L2 = L3 = L4 = 0.300 m A2 = 250 ×10− 6 m 2 Pi Li 1.4 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 125 ×109 1.4 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 2 • Considerando o alongamento total da barra nulo e resolvendo em ordem a RB.Mecânica dos Materiais .95 ×103 RB δ = − =0 E E RB = 577 ×103 N = 577 kN ( ) • A reacção RA obtem-se do diagrama de corpo livre da barra Dep. Engª Mecânica ∑ Fy = 0 = R A − 300 kN − 600 kN + 577 kN R A = 323 kN R A = 323 kN RB = 577 kN .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2. δ = δL +δR = 0 1. Engª Mecânica • A deformação térmica e a deformação originada pela reacção redundante devem ser compatíveis. a menos que haja restrições à deformação.Mecânica dos Materiais .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Tensões de Origem Térmica Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. PL AE α = coeficiente de expansao termica δ T = α ( ∆T ) L δ P = Dep. δ = δT + δ P = 0 α (∆T )L + PL =0 AE δ = δT + δ P = 0 P = − AEα (∆T ) P σ = = − Eα (∆T ) A . Não existe tensão associada a esta deformação. 2 • Uma mudança de temperatura origina uma deformação de origem térmica. • Nos casos em que existe restrição à deformação deve tratar-se a reacção como redundante e aplicar o princípio da sobreposição. εy = εz ≠ 0 Dep.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Coeficiente de Poisson Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. σ εx = x σ y =σz = 0 E • A deformação na direcção do eixo dos x é acompanhada por uma contracção nas outras direcções. Assumindo que o material é isotrópico. Engª Mecânica • O coeficiente de Poisson é dado por ν= εy deformaçao transversal ε =− =− z deformaçao axial εx εx .Mecânica dos Materiais . 2 • Numa barra homogénea e carregada axialmente. Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Lei de Hooke Generalizada Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 2 • Num elemento sujeito a um estado multiaxial de cargas.Mecânica dos Materiais . Engª Mecânica . Isto requer: 1) cada deformação é relacionada linearmente com a tensão 2) as deformações são pequenas • Atendendo a estas restrições: σ x νσ y νσ z εx = + − − E E E νσ x σ y νσ z εy = − + − E E E νσ x νσ y σ z εz = − − + E E E Dep. as componentes das deformações resultantes do estado de tensão são determinados usando o princípio da sobreposição. a dilatação tem que ser negativa.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Dilatação: Módulo de Compressibilidade Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. e = −p Dep. Engª Mecânica 3 (1 − 2ν ) p =− E k E k= = modulo de compressibilidade 3 (1 − 2ν ) • Quando sujeito a pressão uniforme.Mecânica dos Materiais . logo 0 <ν < 1 2 . 2 • Em relação ao estado sem tensões a variação do volume é e = 1 − (1 + ε x ) (1 + ε y ) (1 + ε z ) = 1 − 1 + ε x + ε y + ε z = εx + εy + εz 1 − 2ν (σ x + σ y + σ z ) E = dilataçao (variaçao do volume em percentagem) = • Para um elemento sujeito a uma pressão hidrostática uniforme. Dep. . 2 • Um elemento cúbico sujeito a tensões de corte deforma-se num paralelipípedo oblíquo. Para pequenas distorções. τ xy = f (γ xy ) • A relação entre tensões de corte e distorções é similar à relação entre tensões normais e deformações. As deformações correspondentes (distorções) são quantificadas em relação ao ângulo de distorção. Engª Mecânica τ xy = G γ xy τ yz = G γ yz τ zx = G γ zx Em que G é o módulo de distorção do material.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Distorções Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.Mecânica dos Materiais . 10 50 mm Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.Mecânica dos Materiais . 2 SOLUÇÃO: • Determina-se a distorção média do bloco. Engª Mecânica .8 mm sob a acção da força. e b) a força P exercida na placa superior. com módulo de distorção G = 600 Mpa é • Usa-se a relação de tensão de corte com a força para achar a força P. • Aplica-se a lei de Hooke para tensões e deformações de corte para se determinar as tensões de corte. A placa inferior está fixa enquanto a placa superior é submetida a uma força horizontal P. 160 mm 40 mm Um bloco rectangular de um material. colado a duas placas horizontais rígidas. determine a) a distorção média no material. Dep. Sabendo que a placa superior se desloca 0.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2. τ xy = Gγ xy = ( 600MPa )( 0. P = τ xy A = (12*106 Pa ) ( 0. 050 m ) = 96 × 103 N P = 96. Engª Mecânica • Uso da relação entre tensão de corte e força.020 rad ) = 12 MPa Dep. para achar P.8 mm .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2.020 rad 40 mm • Determinação da distorção média do bloco. 2 0.Mecânica dos Materiais .10 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.8 mm γ xy ≈ tan γ xy = 40 mm • Apicação da lei de Hooke para tensões e deformações de corte. 0.160 m )( 0. γ xy = 0.0 kN . • As componentes normal e de distorção relacionam-se através da expressão. B) vai deformar-se originando um losango. A carga axial produz uma deformação axial. 2 Preparado por: Filipe Samuel Silva • Uma barra homogenea submetida a uma carga axial alonga na direcção axial e contrai nas direcções transversais. • Se o elemento cúbico estiver orientado como na fig. • Um elemento cúbico orientado como na figura a) deforma-se num paralelipipedo rectangular. Engª Mecânica . E = (1 + ν ) 2G Dep. A carga axial resulta numa distorção.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Relação entre E. υ e G Cap.Mecânica dos Materiais . Mecânica dos Materiais .5 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Dep. A actuação posterior de forças na placa origina as tensões normais σx = 85 MPa e σz = 150 MPa. determine: a) O comprimento do diâmetro AB. Engª Mecânica c) A espessura da placa. e de espessura t=18 mm. b) O comprimento do diâmetro CD. . Admitindo E = 70 Gpa e ν = 1/3. livre de tensões. 2 350 mm 350 mm Uma círcunferência de diâmetro d=200 mm está desenhada numa placa de alumínio.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Problema 2. e d) O volume da placa. 738) *10−3 = 1.119 + 1.500 − 1.5 SOLUÇÃO: Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.738*10−3 ∆V = +2470 mm3 .119 ×10−3 δ t = −20.Mecânica dos Materiais .119*10-3 ∆V = eV = 1.119 ×10−3 ) (18mm ) Dep. Engª Mecânica = +0.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Problema 2.1µ m • Determina-se a mudança de volume e = ε x + ε y + ε z = (0.500 × 10−3 ) ( 200mm ) • Aplica-se a lei de Hooke generalizada para achar as três componentes de extensão normal.119 × 10−3 (350 × 350 ×18 ) = +2470 mm3 εz = − νσ x νσ y σ z − + E E E = +1.738 ×10−3 ) ( 200mm ) δ C D = +348µ m δ t = ε y t = ( −1. 2 • Determinam-se as deformações. δ B A = ε x d = ( +0.500 ×10−3 νσ σ y νσ z εy = − x + − E E E = −1. εx = + σx νσ − − z E E E 1 1 85MPa ) − 0 − (150 MPa ) = ( 70 GPa 3 νσ y δ B A = +100 µ m δ C D = ε z d = ( +1. . σy σx σ Ex = Ey = Ez = z εx εy εz • As contracções transversais são relacionadas por valores de coeficiente de Poisson dependentes da εy εz direcção. ν xy = − εx ν xz = − εx Dep. 2 carga • Os materiais compósitos reforçados com fibras são formados por lâminas de fibras embebidas em matrizes de materiais poliméricos. Engª Mecânica • Os materiais com propriedades mecânicas dependentes da direcção são considerados anisotrópicos.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Materiais Compósitos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.Mecânica dos Materiais . carga fibras Camada de material • As tensões e deformações normais são relacionadas pela Lei de Hooke mas com módulos de elasticidade dependentes da direcção. 2 • As cargas transmitidas em corpos rígidos resultam numa distribuição uniforme das tensões e deformações.Mecânica dos Materiais . com excepção da vizinhança de aplicação da carga. • A distribuição das tensões e deformações torna-se uniforme a uma distância relativamente pequena do ponto de aplicação das cargas. • Cargas concentradas dão origem a tensões mais elevadas na vizinhança do ponto de aplicação da carga.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Princípio de Saint Venant Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. • Principio de Saint-Venant: A distribuição de tensões pode assumirse como independente da forma de aplicação da carga. Dep. Engª Mecânica . 2 Dep. Engª Mecânica Descontinuidades da secção recta podem resultar .Mecânica dos Materiais . σ max K= σ . localmente.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Concentração de Tensões: Furo Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. numa elevada concentração de tensões. Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Concentração de Tensões: Raio de Curvatura Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Engª Mecânica . 2 Dep.Mecânica dos Materiais . 64b. • Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material. respectivamente. usando a relação entre tensão e carga.Mecânica dos Materiais . Engª Mecânica Determine o valor máximo da carga axial P que pode ser suportado.12 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. ligados por uma concordância circular de raio r = 8 mm. Dep. Considere uma tensão admissível de 165 MPa. . em segurança. ambos com 10 mm de espessura e 40 e 60 mm de largura. na Fig. • Determine o valor máximo da carga. 2.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2. por uma barra plana e aço com dois troços. 2 SOLUÇÃO: • Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões. Mecânica dos Materiais . D 60 mm = = 1.12 Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.82 Dep.3 × 103 N P = 36.7 MPa K 1.82 r 8 mm = = 0.50 d 40 mm K = 1.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exemplo 2. 2 • Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões.3 kN . Engª Mecânica • Determine o valor máximo da carga. σ= σ max 165 MPa = = 90.64b. na Fig. usando a relação entre tensão e carga. P = Aσ = ( 40 mm )(10 mm )(90.7 MPa ) = 36. 2.20 d 40 mm • Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material. 07x105 MPa e Ealumínio=0.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva 250 mm 25 mm Cap.15*10−7 Como Dep.82*10 −7 ⇒ Paço = 0. Engª Mecânica Pal L Pal * 250 = = Pal *3. determine: a) as tensões normais na alma de aço e na casca de alumínio b) a deformação do conjunto Paço L Aaço Eaço Paço * 250 2 Casca de alumínio 60 mm Alma de aço Aaço = π * r = π * 25 = 1963mm 2 2 2 δaço = δal = = AAl = π ( R 2 − r 2 ) = π (602 − 252 ) = 9346mm 2 (π * 25 ) * 2.54*10−7 mm Pal 18520 σ al = = = 1. de 30 KN.84 MPa b) como Paço * L .Mecânica dos Materiais . 2 Forças de compressão.15*10−7 = Pal *3.82*10−7 Aal Eal π * (602 − 252 ) *0. 07 *10 5 = Paço *6.52 KN δ = δ aço = δ al ⇒ = 7.70x105 MPa. estão aplicadas nos extremos da montagem da figura. 70*105 ( ) δ aço = δ al ⇒ Paço *6. 48 KN Pal = 18. Sabendo que Eaço=2.98MPa Aaço Eaço Aal π (602 − 252 ) π ( 25 ) 2 = 5. 62* Pal Como Paço + Pal = 30 KN a) Paço Aaço 11480 σ aço = = Paço = 11. 00*105 MPa e Elatão=1. estão ligados em C e restringidos em A e em E. um de aço e outro de latão. 2 Dois varões cilíndricos.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. determine: Aço Latão a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C RA RA P1 P2 P3 RE P = RA 1 ∑F X = 0 ⇔ 60000 + 40000 − R A − RE = 0 ⇔ RA + RE = 100000 N (1) Dep. e sabendo que Eaço=2.Mecânica dos Materiais .05*105 MPa. Engª Mecânica RA RA RA ( A1 = π * 202 ) P2 = RA − 60000 ( A2 = π * 202 ) P3 = RA − 60000 ( A3 = π *152 ) P4 = RA − 60000 − 40000 ( A4 = π *152 ) P4 . Para as cargas mostradas. estão ligados em C e restringidos em A e em E. 00*105 (π * 202 ) * 2. Para as cargas mostradas.3µ m 62800*180 1 + = + A1 E1 A2 E2 (π * 202 ) * 2. 05*10 2 ( RA − 60000 ) *100 + ( RA − 60000 − 40000 ) *100 = 0 5 ( RA − 60000 ) *120 + RA *180 + (π * 202 ) * 2. 2 KN b) δc = P4 P L1 P2 L2 (62800 − 60000 ) *120 = 46. e sabendo que Eaço=2.Mecânica dos Materiais . Engª Mecânica RA RA RA (π *15 ) *1. 2 Dois varões cilíndricos. 00*105 .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 05*10 2 5 ⇒ RA = 62. determine: Aço Latão a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C a) RA RA P1 P2 P3 RE δ=∑ δ= Dep.05*105 MPa.00*105 MPa e Elatão=1.8 KN de(1) ⇒ RE = 37. 00*105 (π * 202 ) * 2. 00*105 PLi i =0⇔ Ai Ei (π *15 ) *1. um de aço e outro de latão. 07 m Dois varões cilindricos estão acoplados em B. 2 0.5 m 0.05x105 MPa).05 m a) 60 KN δA = ∑ Dep.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 07 *105 (π *352 ) *1. Engª Mecânica δA = b) (60000 − 40000 ) *500 = 0. 05*105 (60000 − 40000 ) *500 = 0.07x105 MPa). O varão AB é feito de aço (E=2. Determine: a) a deformação total do conjunto ABC. 0247mm PLi i ⇔ Ai Ei δB = (π *35 ) *1.1132mm 60000*600 + (π * 252 ) * 2. e o varão BC de latão (E=1. 05*10 2 5 .Mecânica dos Materiais .6 m 20 KN 20 KN 0. b) a deformação do ponto B 0. b) a deformação da zona central BC a) δAD = ∑ Dep. 2 Dimensões em mm O provete da figura foi cortado de uma placa de vinyl com 5 mm de espessura (E=0. 484mm 50*0. Engª Mecânica PLi i = Ai Ei = b) 40 1500 50 40 + + + = 0.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. 031*109 δ BC = . 031*109 (5* 25 ) (5*10 ) (5* 25 ) 1500*50 = 0.5 kN. Determine: a) a deformação total do provete. 794mm 0.Mecânica dos Materiais .031*105 MPa) e está sujeito a uma carga normal de 1. F= 60 KN 200 mm F 200 mm 350 mm F ∑M E = 0 ⇔ −60000* 400 − 60000* 200 + FBD *350 = 0 FBD 102860 = = 205. sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm2 e 75 mm2. 2 Preparado por: Filipe Samuel Silva 200 mm F Para a treliça de aço (E=2.07x105 MPa) e cargas mostradas.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos F Cap. Engª Mecânica 200 mm F ⇔ FBD = 102. determine a deformação dos membros BD e DE. 07 *105 Dep. 7 MPa ABD 500 PL 102860* 200 = = 0.86 KN σ BD = FBE F 200 mm FBD FCE δ BD = 200 mm 350 mm .Mecânica dos Materiais .1987 mm AE 500* 2. respectivamente. F= 60 KN 200 mm F 200 mm 350 mm F ∑F x = 0 ⇔ F + F − FDE = 0 200 mm Dep.Mecânica dos Materiais . sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm2 e 75 mm2.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos F Cap. 07 *105 350 mm . respectivamente. 2705mm AE 750* 2. determine a deformação dos membros BD e DE. 2 Preparado por: Filipe Samuel Silva 200 mm F Para a treliça de aço (E=2.07x105 MPa) e cargas mostradas. 0 MPa σ DE = DE = ADE 750 200 mm δ DE = PL 120000*350 = = 0. Engª Mecânica F ⇔ 60000 + 60000 = FDE 200 mm F FBD FDE FEG ⇔ DE = 120000 N F 120000 = 160. Para as cargas mostradas determine a deformação de: a) ponto E. Engª Mecânica δE δF = δF δG pontoG ( geometricamente) δ +δE δF +δE = G 400 400 + 250 ⇒ δG = t gα = . Do equílibrio estático da barra EFG.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap.Mecânica dos Materiais . 080mm AE (10* 40 ) *0. RF=-7500 N a) δE = b) PL −7500*300 = = 0.70*105 MPa) e tem uma secção recta rectangular e uniforme de 10 x 40 mm. 209mm AE (10* 40 ) *0. 7 *105 Dep. b) ponto G. 2 Cada uma das quarto ligações que ligam as duas barras horizontais são feitas de alumínio (E=0. 7 *105 PL 19500*300 = = 0. 07*105 MPa) com um diâmetro exterior de 32 mm e 4 mm de espessura está colocado num torno sem que exista todavia pressão nos topos. P3 − 42000 + 30000 = RD 1 Dep. 2mm π (162 − 122 ) 2.. 07 *105 ⇒ RD = b) δ BC = PBC LBC ( RD − 30000 ) *80 = . em A e em D. P2 + 30000 = RD . Engª Mecânica P2 P3 ( RD + 42000 − 30000 ) *80 = −0. 07 *105 . 2 Um tubo de aço (E=2. 07 *105 π (162 − 122 ) 2.Mecânica dos Materiais . RA − 42000 + 3000 − RD = 0 a) δAD = ∑ = + PLi i = −0. Determine: a) as forças exercidas pelo torno no tubo. 07 *105 ( RD − 30000 ) *80 RD *80 + π (162 − 122 ) 2. ∑ Fx = 0. São aplicadas então as duas forças mostradas.mm = ABC EBC π (162 − 122 ) * 2.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap..2 mm. aperta-se o torno em 0. Depois destas forças serem aplicadas. 2mm Ai Ei P = RD . RA P1 RD RD RD RD b)a variação de comprimento da porção BC do tubo. 00*10 Pcim *1800 . Ecim = 0. 2 O poste de betão está reforçado com seis barras de aço. 7 *10−6 *35*1800 + δFcim π 2 5 6* 4 * 22 * 2. 7 *10−6 /º C δ aço = δ cim δTaço δFaço δ T aço + δ F aço = δ T cim + δ F cim Dep. δ aço = 11. Engª Mecânica δTcim PL PL α *!T * L + = α *!T * L + AE aço AE cim Paço *1800 .5MPa π 2 6* * 22 4 21667 = = 0. i. 25*105 MPa.9*10−6 /º C Eaço = 2. cada uma com 22 mm de diâmetro.α aço = 11. Paço=Pcim.Mecânica dos Materiais . 00*105 MPa.392MPa π 2 ( 240* 240 ) − 6* * 22 4 Paço = Pcim = 21667 N .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. σ aço = σ cim = Paço Aaço Pcim Acim −21667 = = −9. 25*10 * Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se.α cim = 9. δ cim = 9.9*10−6 *35*1800 + π 2 5 ( 240* 240 ) − 6* 4 * 22 *0. logo.e. Determine as tensões normais induzidas no aço e no cimento devidas a uma subida de temperatura de 35ºC. α al = 23. i. 00*10 Pal * 200 . Paço=Pal. 2 5 −6 Casca de alumínio Eal = 0.α aço = 11. δ aço = 11. 6*10 /º C Alma de aço Eaço = 2. 7 *10−6 /º C Casca de alumínio Alma de aço δ aço = δ al δ T aço + δ F aço = δ T al + δ F al A montagem consiste numa casca de alumínio ligada a uma alma de aço e está sem tensões. δ al = 23. a uma temperatura de 20ºC.e. 6*10−6 *160* 200 + π 2 2 5 4 * (50 − 20 ) *0.N . 70*10 MPa.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. determine a tensão na casca de alumínio quando a temperatura atingir 180ºC. logo. Paço = Pal = . δTal δFal δTaço PL PL α *!T * L + = α *!T * L + AE aço AE al Paço * 200 . 00*105 MPa. 7 *10 Dep.Mecânica dos Materiais .. Engª Mecânica Pal σ al = = Aal δFaço * Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se. 7 *10−6 *160* 200 + π 2 5 4 * 20 * 2. Considerando apenas deformações axiais. 7*10-6/ºC. αlatão= 20.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Dimensões em mm Cap.9*10-6/ºC) a) as tensões normais em AC e em CE b) a deformação da porção AC Dep. αaço=11.Mecânica dos Materiais .00*105 MPa e Elatão=1. determine: (Eaço=2.05*105 Mpa. Engª Mecânica . Sabendo as características dos materiais e que não há forças aplicadas em B ou em D. 2 Preparado por: Filipe Samuel Silva A temperatura da barra composta é elevada em 80ºC. Dep. 300 mm de diâmetro exterior.5 m a) a mudança de comprimento do tubo. Engª Mecânica .Mecânica dos Materiais . e 12 mm de espessura é usado como coluna para suportar 450 KN. Usando a informação disponível. b)a mudança do diâmetro exterior do tubo. c)a mudança da espessura da parede do tubo.8*105MPa) 1. G=0. determine: (E=2.5 m de comprimento.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 450 KN Cap.07*105 MPa. 2 Preparado por: Filipe Samuel Silva Um tubo de aço de 1. 20*20 mm. 2 Um pedaço quadrado. determine o variação de tamanho de: a) lado AB b) lado BC c) diagonal AC E=2.77*105 MPa Dep. Usando os dados disponíveis do aço. a condição de tensões biaxiais é a que mostra a figura. Engª Mecânica . de aço foi retirado de um recipiente sob pressão de grandes dimensões.Mecânica dos Materiais .00*105 MPa G=0.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. Quando sob pressão. Mecânica dos Materiais . e o correspondente alongamento do provete b) Resolva a alínea a. a) Determine a máxima força P. Dep. 2 O provete de alumínio está sujeito às forças indicadas. de magnitude P. Engª Mecânica .Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Preparado por: Filipe Samuel Silva Cap. e secção recta rectangular uniforme de 60x15 mm.70*105 MPa. e σadm=200MPa. Sabendo que E=0. assumindo que o provete foi substituído por uma barra de alumínio. do mesmo comprimento. 5 m e y = 0. 2 A barra AB é de alumínio (E = 70 GPa) e a barra CD é de aço (E = 200 GPa). x = 1. (E = 200 Gpa). Qual é a deformação da barra AB quando é aplicada a força de 40 kN? Dep. de Aluminio (E = 70 Gpa) está montado como mostra a figura. e sabendo que x = 4 cm. Esta peça tem 2-cm de altura e uma secção recta de 0. Um parafuso.5 m. A carga é aplicada em.Mecânica dos Materiais . e com 4-cm de comprimento e 1-cm de diâmetro. Qual é a deformação do membro AC quando a carga de 10 kN é aplicada? Cap. de aço. é ajustado para exercer pressão na peça. Engª Mecânica O membro CE. y = 2 m. Ambas têm uma secção recta de 1 cm x 3 cm. Assumindo que o membro ABC é rigido. determine a máxima tensão que ocorre no parafuso quando o componente ABC estiver sujeito a 200 MPa? . As dimensões da figura são x = 2 m. e z = 3 m.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Propostos Preparado por: Filipe Samuel Silva Os membros deste sistema têm 2-cm-de diametro e são de aço (E = 200 GPa).5 cm x 1 cm. Este membro tem 6-m de comprimento. As barras BE e CF são de aço (E = 200 GPa) e têm um diâmetro de 0.7 E-6 1/oC) e têm 60 cm de comprimento e 0. Qual a máxima tensão existente na placa quando uma força de 2 KN é aplicada? Dep. Determine as tensões que se desenvolvem nos membros AD e CF quando a temperatura subir 100ºC. 2 A placa da figura tem 0.5-cm de espessura e 2-cm de largura.5 cm e um comprimento de 2 m. Os membros AD e CF são de aço (E = 200 GPa. . Um furo de 0.Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Propostos Preparado por: Filipe Samuel Silva O membro rígido ABCD é usado para suportar um peso de 2 KN.Mecânica dos Materiais .0 E-6 1/oC) e está suportada pelo membro rígido DEF. Inicialmente nenhuma carga está aplicada no conjunto.5 cm de diâmetro. α = 23. Qual a deformação do ponto D quando a carga é aplicada? Cap. Engª Mecânica A paçe BE é de aluminio (E = 70 GPa. α = 11. A peça BE tem 50 cm de comprimento e um diâmetro de 5 cm.5-cm de diametro está localizado no centro da placa.