Mecânica dos MateriaisP r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Capítulo 2 Tensão e Deformação: Cargas Axiais P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Tensão e Deformação: Cargas Axiais - Sumário Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Tensão e Deformação: Cargas Normais Deformação Normal Ensaio Tensão-Deformação Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Diagrama Tensão-Deformação: Materiais Frágeis Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Comportamento Elástico vs Plástico Deformação Devida a Carga Axial Problemas Estaticamente Indeterminados Tensões Térmicas Coeficiente de Poisson Lei de Hooke Generalizada Módulo de Compressibilidade Distorção Relação entre E, ν νν ν, e G Materiais Compósitos Princípio de Saint-Venant Concentração de Tensões Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • A adequabilidade de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações da estrutura tal como das tensões. A análise estática, só por si, não é suficiente. • Considerar as estruturas como deformaveis permite a determinação de forças e reacções em problemas estaticamente indeterminados. • A determinação da distribuição das tensões numa secção requer a consideração das suas deformações. • O Capítulo 2 preocupa-se com a deformação de membros estruturais sujeitos a cargas axiais. Os próximos capítulos lidarão com torção e flexão. Tensão e Deformação: Cargas Axiais P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Deformação Normal Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) normal deformação tensão · · · · L A P δ ε σ L A P A P δ ε σ · · · 2 2 L L A P δ δ ε σ · · · 2 2 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Teste Tensão-Deformação Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Máquina de ensaios de tracção uniaxiais Provete para ensaio de tracção uniaxial Um teste envolve: ! Provete de dimensões conhecidas (standardizadas) ! Máquina de ensaios de tracção ! Aplicação de carga axial ! Medição da variação de comprimento e da carga correspondente. ! Uso da variação de comprimento para cálculo da sua variação percentual. ! Uso da força aplicada e da área da secção recta do provete para cálculo da tensão. O comportamento Tensão-Deformação é obtido a partir de um ensaio de tracção. A informação obtida permite determinar algumas das propriedades do material: ! ! Tensão de cedência ! Módulo de Elasticidade ! Tensão de rotura ! Extensão de Rotura ! Ductilidade ! Resiliência ! Tenacidade P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Liga de Alumínio Aço de baixo teor em carbono Rotura Rotura Pescoço Endurecimento Cedência Os materiais dúcteis sofrem uma grande deformação plástica antes de romperem, providenciando um ‘aviso’ da rotura A deformação destes materiais deve-se inicialmente ao deslizamento de bandas (camadas) da estrutura cristalina, ao longo de planos oblíquos àforça e deve-se essencialmente a tensões de corte. Consoante a deformação aumenta, para materiais dúcteis, a tensão sobe até um valor máximo, conhecido como Tensão de Rotura ou Tensão de Resistência à Tracção. A partir deste ponto a tensão começa a decrescer. Esta inversão da progressão da tensão deve-se àformação de um ‘pescoço’ no componente. A tensão continuará a decrescer até à rotura. Quando um material dúctil rompe, a rotura dá-se formando-se uma superfície cónica com um ângulo de aproximadamente de 45º com a superfície original. À quantidade que o material consegue deformar antes de romper chama-se ductilidade. Materiais Dúcteis Materiais Dúcteis são caracterizados por terem uma grande capacidade de resistir a grandes deformações plásticas antes de romperem. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Frágeis Os materiais frágeis rompem sem ‘aviso’. O material cede igualmente ao longo de todo o componente, e rompe abruptamente por uma superfície perpendicular àforça. A rotura destes materiais deve-se essencialmente às tensões normais. Materiais Frágeis Materiais Frágeis são tipicamente caracterizados por uma incapacidade em resistir a grandes deformações plásticas Rotura Diagrama tensão-Deformação para materiais frágeis Tensão Deformaçã o P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Abaixo da Tensão de cedência de Elasticida de Modulo ou Young de Módulo · · E Eε σ • A resistência é afectada pelos elementos de liga, processos de manufactura, tratamentos térmicos, etc, mas o módulo de elasticidade não é. Ferro puro Aço ao Carbono Aço ligado Aço de alta resistência (ligado e temperado) Diagramas tensão-Deformação para várias ligas de ferro 290 220 0.44*10 5 AZ31B (liga Mg) 630 470 0.7*10 5 Al7175 980 870 1.4*10 5 Ti6Al4V 1020 890 2.07*10 5 34CrNiMo6 730 490 2.07*10 5 CK45 σ σσ σ r (MPa) σ σσ σ c (MPa) E (MPa) P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Se a deformação desaparecer quando a carga é retirada, então o material comporta-se elasticamente. • A partir do limite elástico o material comporta-se plasticamente. • À máxima tensão para a qual ocorre o fenómeno anterior, chama-se Limite Elástico ou Tensão Limite de Proporcionalidade Rotura P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Os materiais são formados por átomos, que se encontram arranjados num padrão regular Este padrão designa-se por estrutura cristalina Conforme um material é carregado, as ligações que o mantêm unido, começam a deformar Esta deformação resulta num alongamento do material Se a carga for retirada antes das ligações partirem, os átomos regressam à sua posição inicial, e o material retorna à sua forma inicial. Isto corresponde à porção elástica da curva tensão- deformação do material. Isto corresponde à porção plástica da curva tensão-deformação do material. Se o material for carregado para além da zona elástica, as ligações atómicas partem / deslizam. U ma vez que estas ligações tenham partido/deslizado, quando a carga é retirada, o material já não retorna à sua forma original P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Deformações Normais Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) AE P E E · · · σ ε ε σ • Da lei de Hooke: • Da definição de extensão: L δ ε · • Resolvendo em ordem à deformação, AE PL · δ • Se houver variação da secção, carga, ou propriedades do material, ∑ · i i i i i E A L P δ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Tensão Tensão de cedência Deformação Tensão de rotura ou Tensão de Resistência à Tracção Tensão Limite Elástica ou Tensão Limite de Proporcionalidade Módulo de Elasticidade Extensão de rotura Tensão Resiliência Deformação Tensão Tensão Tenacidade Deformação Tensão P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Gráfico Tensão-Deformação Compressão vs Tracção Materiais dúcteis Mesma tensão de cedência Igual curva tensão-deformação para baixas deformações As curvas divergem para grandes deformações Na compressão não se forma o ‘pescoço’ Materiais frágeis Curvas diferentes Mesmo modulo elástico Tensão de cedência superior (compressão) Tensão de rotura muito superior (compressão) Tensão Verdadeira e Deformação Verdadeira Até aqui temos visto a tensão e a deformação de engenharia, ou seja, baseados na curva tensão- deformação obtida num ensaio normal. Todavia, quando o material é traccionado, a área da secção recta do provete varia (reduz) devido ao aumento do comprimento. Nos gráficos anteriores, o valor da área da secção recta é considerado constante e igual à área inicial. A tensão verdadeira e a deformação verdadeira são obtidos com base nas dimensões instantâneas do provete. Tensão Verdadeira É determinada usando a área instantânea da secção recta do provete, em vez da área inicial. Deformação Verdadeira É determinada usando o comprimento instantâneo do provete Relação entre Tensão e Deformação Verdadeira, e Tensão e Deformação de engenharia Tensão verdadeira Deformação verdadeira (Log) Deformação verdadeira (Log) Tensão verdadeira P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deformação Tensão Aumento da velocidade de Deformação Aumento da Temperatura Velocidade de Deformação Temperatura Módulo de Elasticidade Tensão de Cedência Tensão de resistência à tracção Ductilidade Tenacidade Expoente de endurecimento P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Determine a deformação da barra de aço quando submetida às cargas indicadas. SOLUÇÃO: • Divide-se a barra nas três partes representadas na figura. • Efectuam-se cortes em todas as partes, desenha-se o respectivo diagrama de corpo livre, e faz-se o equílibrio para cada uma das partes • Somam-se as deformações parciais. GPa E 200 · 40 cm 200 KN 30 cm 30 cm 300 KN 500 KN A=200 mm 2 A=600 mm 2 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) SOLUÇÃO: • Divisão da barra em três componentes: 1 2 2 1 2 30 6 L L cm A A cm · · · · 3 2 3 40 2 L cm A cm · · • Análise de esforços internos através da análise de corpo livre em cada componente, N 10 200 200 N 10 * 100 100 10 * 400 400 3 3 3 2 3 1 × · · − · − · · · KN P KN P N KN P • Avaliação da deformação total, ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 2 2 1 2 3 3 3 3 9 6 6 6 3 1 400 10 0,3 100 10 0,3 200 10 0,4 1 200 10 600*10 600*10 200*10 2,75 10 m=2,75 mm i i i i i PL PL PL P L AE E A A A δ − − − − ¸ _ · · + + ¸ , 1 × − × × 1 · + + × 1 ¸ ] · × ∑ 2,75 . mm δ · Exemplo 2.1 40 cm 200 KN 30 cm 30 cm 300 KN 500 KN A=200 mm 2 A=600 mm 2 200 KN 200 KN 200 KN 300 KN 300 KN 500 KN P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD. A haste AB é feita de alumínio (E =70 GPa) com uma área de secção transversal de 500 mm 2 . A haste CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma secção transversal de (600 mm 2 ). Para uma força de 30-kN, determine os deslocamentos a) do ponto B, b) do ponto D, e c) do ponto E. SOLUÇÃO: • Análise através do diagrama de corpo livre da barra BDE para achar as forças de ligação ao exterior, de AB e DC. • Avaliação da deformação das barras AB e DC ou dos deslocamentos de B e D. • Análise geométrica para determinar o deslocamento do ponto E, tendo os deslocamentos dos pontos B e D. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deslocamento de B: ( )( ) ( )( ) m 10 514 Pa 10 70 m 10 500 m 3 . 0 N 10 60 6 9 2 6 - 3 − × − · × × × − · · AE PL B δ ↑ · mm 514 . 0 B δ Deslocamento de D: ( )( ) ( )( ) m 10 300 Pa 10 200 m 10 600 m 4 . 0 N 10 90 6 9 2 6 - 3 − × · × × × · · AE PL D δ ↓ · mm 300 . 0 D δ Diag. Corpo livre: Barra BDE ( ) ( ) D 0 0 30 kN 0.6 m 0.2 m 90 kN M 0 0 30 kN 0.4 m 0.2 m 60 kN B CD CD AB AB M F F tracçao F F compressao · · − × + × · + · · − × − × · − ∑ ∑ SOLUÇÃO: P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.1 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Deslocamento de D: ( ) mm 7 . 73 mm 200 mm 0.300 mm 514 . 0 · − · · ′ ′ x x x HD BH D D B B ↓ · mm 928 . 1 E δ ( ) mm 928 . 1 mm 7 . 73 mm 7 . 73 400 mm 300 . 0 · + · · ′ ′ E E HD HE D D E E δ δ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Sistemas Estaticamente Indeterminados Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Estruturas para as quais as forças internas e as reacções não podem ser determinadas, unicamente com as expressões de equilibrio estático, são consideradas estaticamente indeterminadas. 0 · + · R L δ δ δ • As deformações devidas às cargas e às reacções redundantes são determinadas separadamente e depois são sobrepostas. • As reacções redundantes são substituídas por cargas desconhecidas que, juntamente com as outras forças, devem originar deformações. • A estrutura é estaticamente indeterminada sempre que possui mais apoios do que os necessários para manter o seu equilibrio. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.4 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Determine as reacções em A e B na barra de aço submetida ao carregamento indicado. Admita que a barra está encostada a ambos os apoios antes da aplicação das cargas. SOLUÇÃO: • Considere a reacção B como redundante e liberte-se a barra desse apoio. A reacção R B é considerada agora como desconhecida e é determinada tendo em conta que o alongamento total, δ, da barra, deve ser igual a zero. A solução obtem-se considerando separadamente o alongamento δ L causado pelas cargas aplicadas e o alongamento δ R devido àreacção redundante R B. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.4 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) SOLUÇÃO: • Considere o deslocamento em B devido às cargas, tendo libertado a reacção em B, E E A L P L L L L A A A A P P P P i i i i i 9 L 4 3 2 1 2 6 4 3 2 6 2 1 3 4 3 3 2 1 10 125 . 1 m 150 . 0 m 10 250 m 10 400 N 10 900 N 10 600 0 × · ∑ · · · · · × · · × · · × · × · · · − − δ • Considere o deslocamento em B devido à reacção redundante R B . ( ) ∑ × − · · · · × · × · − · · − − i B i i i i R B E R E A L P ! L L A A R P P 3 2 1 2 6 2 2 6 1 2 1 10 95 . 1 m 300 . 0 m 10 250 m 10 400 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.4 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Considerando o alongamento total da barra nulo e resolvendo em ordem a R B , ( ) kN 577 N 10 577 0 10 95 . 1 10 125 . 1 0 3 3 9 · × · · × − × · · + · B B R L R E R E δ δ δ δ • A reacção R A obtem-se do diagrama de corpo livre da barra kN 323 kN 577 kN 600 kN 300 0 · ∑ + − − · · A A y R R F kN 577 kN 323 · · B A R R P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Tensões de Origem Térmica Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Uma mudança de temperatura origina uma deformação de origem térmica. Não existe tensão associada a esta deformação, a menos que haja restrições à deformação. ( ) coeficiente de expansao termica T P PL T L AE δ α δ α · ∆ · · • Nos casos em que existe restrição à deformação deve tratar-se a reacção como redundante e aplicar o princípio da sobreposição. ( ) 0 0 · + ∆ · + · AE PL L T P T α δ δ δ • A deformação térmica e a deformação originada pela reacção redundante devem ser compatíveis. ( ) ( ) T E A P T AE P P T ∆ − · · ∆ − · · + · α σ α δ δ δ 0 P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Coeficiente de Poisson Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Numa barra homogénea e carregada axialmente, 0 · · · z y x x E σ σ σ ε • A deformação na direcção do eixo dos x é acompanhada por uma contracção nas outras direcções. Assumindo que o material é isotrópico, 0 ≠ · z y ε ε • O coeficiente de Poisson é dado por deformaçao transversal deformaçao axial y z x x ε ε ν ε ε · · − · − P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Lei de Hooke Generalizada Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Num elemento sujeito a um estado multiaxial de cargas, as componentes das deformações resultantes do estado de tensão são determinados usando o princípio da sobreposição. Isto requer: 1) cada deformação é relacionada linearmente com a tensão 2) as deformações são pequenas E E E E E E E E E z y x z z y x y z y x x σ νσ νσ ε νσ σ νσ ε νσ νσ σ ε + − − · − + − · − − + · • Atendendo a estas restrições: P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Dilatação: Módulo de Compressibilidade Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Em relação ao estado sem tensões a variação do volume é ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 dilataçao (variaçao do volume em percentagem) x y z x y z x y z x y z e E ε ε ε ε ε ε ε ε ε ν σ σ σ 1 1 · − + + + · − + + + ¸ ] ¸ ] · + + − · + + · • Para um elemento sujeito a uma pressão hidrostática uniforme, ( ) ( ) 3 1 2 modulo de compressibilidade 3 1 2 p e p E k E k ν ν − · − · − · · − • Quando sujeito a pressão uniforme, a dilatação tem que ser negativa, logo 2 1 0 < <ν P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Distorções Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Um elemento cúbico sujeito a tensões de corte deforma-se num paralelipípedo oblíquo. As deformações correspondentes (distorções) são quantificadas em relação ao ângulo de distorção, ( ) xy xy f γ τ · • A relação entre tensões de corte e distorções é similar à relação entre tensões normais e deformações. Para pequenas distorções, zx zx yz yz xy xy G G G γ τ γ τ γ τ · · · Em que G é o módulo de distorção do material. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.10 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Um bloco rectangular de um material, com módulo de distorção G =600 Mpa é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior está fixa enquanto a placa superior é submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 0,8 mm sob a acção da força, determine a) a distorção média no material, e b) a força P exercida na placa superior. SOLUÇÃO: • Determina-se a distorção média do bloco. • Usa-se a relação de tensão de corte com a força para achar a força P. • Aplica-se a lei de Hooke para tensões e deformações de corte para se determinar as tensões de corte. 160 mm 50 mm 40 mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Determinação da distorção média do bloco. 0.8 tan ; 0.020 rad 40 xy xy xy mm mm γ γ γ ≈ · · • Apicação da lei de Hooke para tensões e deformações de corte. ( )( ) 600 0.020 rad 12 xy xy G MPa MPa τ γ · · · • Uso da relação entre tensão de corte e força, para achar P. ( )( )( ) 6 3 12*10 0,160 0,050 96 10 N xy P A Pa m m τ · · · × 96.0 kN P · Exemplo 2.10 0,8 mm 40 mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Relação entre E, υ υυ υ e G Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Uma barra homogenea submetida a uma carga axial alonga na direcção axial e contrai nas direcções transversais. ( ) ν + · 1 2G E • As componentes normal e de distorção relacionam-se através da expressão, • Se o elemento cúbico estiver orientado como na fig. B) vai deformar-se originando um losango. A carga axial resulta numa distorção. • Um elemento cúbico orientado como na figura a) deforma-se num paralelipipedo rectangular. A carga axial produz uma deformação axial. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.5 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Uma círcunferência de diâmetro d=200 mm está desenhada numa placa de alumínio, livre de tensões, e de espessura t=18 mm. A actuação posterior de forças na placa origina as tensões normais σ x =85 MPa e σ z =150 MPa. Admitindo E =70 Gpa e ν = 1/3, determine: a) O comprimento do diâmetro AB, b) O comprimento do diâmetro CD, c) A espessura da placa, e d) O volume da placa. 350 mm 350 mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Problema 2.5 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) SOLUÇÃO: • Aplica-se a lei de Hooke generalizada para achar as três componentes de extensão normal. ( ) ( ) 3 3 3 1 1 85 0 150 70 GPa 3 0.500 10 1.119 10 1.738*10 y x z x y x z y y x z z E E E MPa MPa E E E E E E νσ σ νσ ε σ νσ νσ ε νσ νσ σ ε − − − · + − − 1 · − − 1 ¸ ] · + × · − + − · − × · − − + · + • Determinam-se as deformações. ( )( ) 3 0.500 10 200 B A x d mm δ ε − · · + × ( )( ) 3 1.738 10 200 C D z d mm δ ε − · · + × ( ) ( ) 3 1.119 10 18 t y t mm δ ε − · · − × 100 B A m δ µ · + 348 C D m δ µ · + 20,1 t m δ µ · − • Determina-se a mudança de volume ( ) 3 -3 3 3 (0.500 1,119 1,738)*10 =1,119*10 1.119 10 350 350 18 =+2470 mm x y z e V eV ε ε ε − − · + + · − + ∆ · · × × × 3 2470 V mm ∆ · + P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Materiais Compósitos Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Os materiais compósitos reforçados com fibras são formados por lâminas de fibras embebidas em matrizes de materiais poliméricos. z z z y y y x x x E E E ε σ ε σ ε σ · · · • As tensões e deformações normais são relacionadas pela Lei de Hooke mas com módulos de elasticidade dependentes da direcção, x z xz x y xy ε ε ν ε ε ν − · − · • As contracções transversais são relacionadas por valores de coeficiente de Poisson dependentes da direcção, • Os materiais com propriedades mecânicas dependentes da direcção são considerados anisotrópicos. fibras carga carga Camada de material P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Princípio de Saint Venant Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • As cargas transmitidas em corpos rígidos resultam numa distribuição uniforme das tensões e deformações. • Principio de Saint-Venant: A distribuição de tensões pode assumir- se como independente da forma de aplicação da carga, com excepção da vizinhança de aplicação da carga. • A distribuição das tensões e deformações torna-se uniforme a uma distância relativamente pequena do ponto de aplicação das cargas. • Cargas concentradas dão origem a tensões mais elevadas na vizinhança do ponto de aplicação da carga. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Concentração de Tensões: Furo Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Descontinuidades da secção recta podem resultar , localmente, numa elevada concentração de tensões. max K σ σ · P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Concentração de Tensões: Raio de Curvatura Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.12 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Determine o valor máximo da carga axial P que pode ser suportado, em segurança, por uma barra plana e aço com dois troços, ambos com 10 mm de espessura e 40 e 60 mm de largura, respectivamente, ligados por uma concordância circular de raio r = 8 mm. Considere uma tensão admissível de 165 MPa. SOLUÇÃO: • Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b. • Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga. • Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Exemplo 2.12 Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) • Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b. 82 . 1 20 . 0 mm 40 mm 8 50 . 1 mm 40 mm 60 · · · · · K d r d D • Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material. max 165 MPa 90.7 MPa 1.82 K σ σ · · · • Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga. ( )( )( ) 3 40 mm 10 mm 90.7 MPa 36.3 10 N P Aσ · · · × kN 3 . 36 · P P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Casca de alumínio Alma de aço 25 mm 250 mm 60 mm Forças de compressão, de 30 KN, estão aplicadas nos extremos da montagem da figura. Sabendo que E aço =2,07x10 5 MPaeE alumínio =0,70x10 5 MPa, determine: a) as tensões normais na alma de aço e na casca de alumínio b) a deformação do conjunto ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 * *25 1963 60 25 9346 aço Al A r mm A R r mm π π π π · · · · − · − · ( ) ( ) ( ) 7 2 5 7 2 2 5 *250 *6,15*10 *25 *2,07*10 *250 *3,82*10 * 60 25 *0,70*10 aço aço aço aço aço aço al al al al al al P L P ! P A E P L P ! P A E π π − − · · · · · · − ( ) ( ) 2 2 2 ) 11480 5,84 25 18520 1,98 60 25 aço aço aço al al al a P MPa A P MPa A σ π σ π · · · · · · − 7 7 *6,15*10 *3,82*10 0,62* 30 aço al aço al aço al aço al Como P P P P Como P P KN δ δ − − · ⇒ · ⇒ · + · 11,48 18,52 aço al P KN P KN · · 7 ) * 7,54*10 aço aço al aço aço b como P L mm A E δ δ δ − · · ⇒ · P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo queE aço =2,00*10 5 MPaeE latão =1,05*10 5 MPa, determine: a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C Aço Latão R A R A R A R A P 1 P 2 P 3 P 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 ( *20 ) 60000 ( *20 ) 60000 ( *15 ) 60000 40000 ( *15 ) A A A A P R A P R A P R A P R A π π π π · · · − · · − · · − − · R A R E 0 60000 40000 0 100000 (1) X E A A E F R R R R N · ⇔ + − − · ⇔ + · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo queE aço =2,00*10 5 MPaeE latão =1,05*10 5 MPa, determine: a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C Aço Latão ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 5 2 5 2 5 ) 0 60000 *120 *180 *20 *2,00*10 *20 *2,00*10 60000 *100 60000 40000 *100 0 *15 *1,05*10 *15 *1,05*10 62,8 (1) 37,2 i i i i A A A A A E a PL ! AE R R R R R KN de R KN δ π π π π · · ⇔ − · + + − − − + · ⇒ · ⇒ · ∑ R A R E R A R A R A R A P 1 P 2 P 3 P 4 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 5 2 5 1 1 2 2 ) 62800 60000 *120 62800*180 46,3 *20 *2,00*10 *20 *2,00*10 c b PL P L ! m A E A E µ π π − · + · + · P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 0,5 m 0,6 m 0,07 m 0,05 m 0,07 m 60 KN 20 KN 20 KN Dois varõescilindricosestão acoplados em B. O varão AB éfeito de aço (E=2,07x10 5 MPa), e o varão BC de latão (E=1,05x10 5 MPa). Determine: a) a deformação total do conjunto ABC. b) a deformação do ponto B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 5 2 5 ) 60000 40000 *500 60000*600 0,1132 *25 *2,07*10 *35 *1,05*10 ) 60000 40000 *500 0,0247 *35 *1,05*10 i i A i i A B a PL ! AE mm b mm δ π π δ π · ⇔ − · + · − · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Dimensões em mm Oproveteda figura foi cortado de uma placa de vinyl com 5 mm de espessura (E=0,031*10 5 MPa) e estásujeito a uma carga normal de 1.5 kN. Determine: a) a deformação total doprovete. b) a deformação da zona central BC ( ) ( ) ( ) 9 9 ) 1500 40 50 40 0,794 0,031*10 5*25 5*10 5*25 ) 1500*50 0,484 50*0,031*10 i i AD i i BC a PL ! AE mm b mm δ · · ¸ _ · + + + · ¸ , · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F Para atreliçade aço (E=2,07x10 5 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm 2 e 75 mm 2 , respectivamente. F=60 KN 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F F BD F BE F CE 5 0 60000*400 60000*200 *350 0 102,86 102860 205,7 500 102860*200 0,1987 500*2,07*10 E BD BD BD BD BD BD M F F KN F MPa A PL mm AE σ δ · ⇔ − − + · ⇔ · · · · · · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F Para atreliçade aço (E=2,07x10 5 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm 2 e 75 mm 2 , respectivamente. F=60 KN 200 mm 200 mm 200 mm 350 mm F F F F BD F DE F EG 5 0 0 60000 60000 120000 120000 160,0 750 120000*350 0,2705 750*2,07*10 x DE DE DE DE DE DE F F F F F DE N F MPa A PL mm AE σ δ · ⇔ + − · ⇔ + · ⇔ · · · · · · · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Cada uma das quarto ligações que ligam as duas barras horizontais são feitas de alumínio (E=0,70*10 5 MPa) e tem uma secção recta rectangular e uniforme de 10 x 40 mm. Para as cargas mostradas determine a deformação de: a) ponto E. b) ponto G. δ E δ F δ G ( ) ( ) 5 5 ) 7500*300 0,080 10*40 *0,7*10 ) 19500*300 0,209 10*40 *0,7*10 ( ) 400 400 250 E F G E F E g G a PL ! mm AE b PL mm AE pontoG geometricamente t δ δ δ δ δ α δ − · · · · · · + + · · + ⇒ · Do equílibrio estático da barra EFG, R F =-7500 N P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Um tubo de aço (E=2,07*10 5 MPa) com um diâmetro exterior de 32 mm e 4 mm de espessura estácolocado num torno sem que exista todavia pressão nos topos. São aplicadas então as duas forças mostradas. Depois destas forças serem aplicadas, aperta-se o torno em 0.2 mm. Determine: a) as forças exercidas pelo torno no tubo, em A e em D. b)a variação de comprimento da porção BC do tubo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 ) 0,2 30000 *80 *80 16 12 2,07*10 16 12 2,07*10 42000 30000 *80 0,2 16 12 2,07*10 ) 30000 *80 ... 16 12 *2,07*10 i i AD i i D D D D D BC BC BC BC BC a PL ! mm AE R R R mm R b R P L mm A E π π π δ π · · − − · + − − + − + · − − ⇒ · − · · · − ∑ R A R D R D R D R D P 1 P 2 P 3 1 2 3 0; 42000 3000 0 ; 30000 ; 42000 30000 x A D D D D F R R P R P R P R · − + − · · + · − + · ∑ P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos ( ) 6 2 5 6 2 5 * * * * *1800 11,7*10 *35*1800 ; 6* *22 *2,00*10 4 *1800 9,9*10 *35*1800 ; 240*240 6* *22 *0,25*10 4 aço cim T F T F aço aço cim cim aço cim aço aço cim cim PL PL T L T L AE AE P P δ δ δ δ δ δ α α δ π δ π − − · + · + ¸ _ ¸ _ + · + ¸ , ¸ , · + ¸ _ ¸ , · + 1 ¸ _ − 1 ¸ , ¸ ] ! ! O poste de betão estáreforçado com seis barras de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro. Determine as tensões normais induzidas no aço e no cimento devidas a uma subida de temperatura de 35ºC. 5 6 5 6 0,25*10 ; 9,9*10 /º 2,00*10 ; 11,7*10 /º cim cim aço aço E MPa C E MPa C α α − − · · · · 21667 aço cim P P N · · * Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. P aço =P cim , logo, ( ) 2 2 21667 9,5 6* *22 4 21667 0,392 240*240 6* *22 4 aço aço aço cim cim cim P MPa A P MPa A σ π σ π − · · · − · · · ¸ _ − ¸ , δ T aço δ T cim δ F aço δ F cim P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Casca de alumínio Alma de aço Casca de alumínio Alma de aço A montagem consiste numa casca de alumínio ligada a uma alma de aço e estásem tensões, a uma temperatura de 20ºC. Considerando apenas deformações axiais, determine a tensão na casca de alumínio quando a temperatura atingir 180ºC. 5 6 0,70*10 ; 23,6*10 /º al al E MPa C α − · · 5 6 2,00*10 ; 11,7*10 /º aço aço E MPa C α − · · ( ) 6 2 5 6 2 2 5 * * * * *200 11,7*10 *160*200 ; *20 *2,00*10 4 *200 23,6*10 *160*200 ; * 50 20 *0,7*10 4 aço al T F T F aço aço al al aço al aço aço al al PL PL T L T L AE AE P P δ δ δ δ δ δ α α δ π δ π − − · + · + ¸ _ ¸ _ + · + ¸ , ¸ , · + ¸ _ ¸ , · + 1 ¸ _ − 1 ¸ , ¸ ] ! ! .. aço al P P N · · * Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. P aço =P al , logo, al al al P A σ · · δ T al δ T aço δ F al δ F aço P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos A temperatura da barra composta éelevada em 80ºC. Sabendo as características dosmateriaise que não há forças aplicadas em B ou em D, determine: (E aço =2,00*10 5 MPaeE latão =1,05*10 5 Mpa; α aço =11,7*10 -6 /ºC; α latão =20,9*10 -6 /ºC) a) as tensões normais em AC e em CE b) a deformação da porção AC Dimensões em mm P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos 450 KN 1,5 m Um tubo de aço de 1,5 m de comprimento, 300 mm de diâmetro exterior, e 12 mm de espessura éusado como coluna para suportar 450 KN. Usando a informação disponível, determine: (E=2,07*10 5 MPa; G=0,8*10 5 MPa) a) a mudança de comprimento do tubo. b)a mudança do diâmetro exterior do tubo. c)a mudança da espessura da parede do tubo. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Um pedaço quadrado, 20*20 mm, de aço foi retirado de um recipiente sob pressão de grandes dimensões. Quando sob pressão, a condição de tensõesbiaxiaiséa que mostra a figura. Usando os dados disponíveis do aço, determine o variação de tamanho de: a) lado AB b) lado BC c) diagonal AC E=2,00*10 5 MPa G=0,77*10 5 MPa P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Resolvidos Oprovetede alumínio estásujeito às forças indicadas, de magnitude P. Sabendo que E=0,70*10 5 MPa, e σ adm =200MPa, a) Determine a máxima força P, e o correspondente alongamento doprovete b) Resolva a alínea a, assumindo que oprovetefoi substituído por uma barra de alumínio, do mesmo comprimento, e secção recta rectangular uniforme de 60x15 mm. P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Propostos Os membros deste sistema têm 2-cm-de diametro e são de aço (E = 200 GPa). A carga é aplicada em, x = 1.5 m e y = 0.5 m. Qual é a deformação do membro AC quando a carga de 10 kN é aplicada? A barra AB é de alumínio (E = 70 GPa) e a barra CD é de aço (E = 200 GPa). Ambas têm uma secção recta de 1 cm x 3 cm. As dimensões da figura são x = 2 m, y = 2 m, e z = 3 m. Qual é a deformação da barra AB quando é aplicada a força de 40 kN? O membro CE, de Aluminio (E = 70 Gpa) está montado como mostra a figura. Esta peça tem 2-cm de altura e uma secção recta de 0.5 cm x 1 cm. Um parafuso, de aço, (E = 200 Gpa), e com 4-cm de comprimento e 1-cm de diâmetro, é ajustado para exercer pressão na peça. Assumindo que o membro ABC é rigido, e sabendo que x = 4 cm, determine a máxima tensão que ocorre no parafuso quando o componente ABC estiver sujeito a 200 Pa? P r e p a r a d o p o r : F i l i p e S a m u e l S i l v a D e p . E n g ª M e c â n i c a Cap. 2 Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado) Exercícios Propostos O membro rígido ABCD é usado para suportar um peso de 2 KN. Este membro tem 6-m de comprimento. As barras BE e CF são de aço (E = 200 GPa) e têm um diâmetro de 0.5 cm e um comprimento de 2 m. Qual a deformação do ponto D quando a carga é aplicada? A paçe BE é de aluminio (E = 70 GPa, ! = 23.0 E-6 1/ o C) e está suportada pelo membro rígido DEF. A peça BE tem 50 cm de comprimento e um diâmetro de 5 cm. Os membros AD e CF são de aço (E = 200 GPa, ! = 11.7 E-6 1/ o C) e têm 60 cm de comprimento e 0,5 cm de diâmetro. Inicialmente nenhuma carga está aplicada no conjunto. Determine as tensões que se desenvolvem nos membros AD e CF quando a temperatura subir 100ºC. A placa da figura tem 0.5-cm de espessura e 2-cm de largura. Um furo de 0.5-cm de diametro está localizado no centro da placa. Qual a máxima tensão existente na placa quando uma força de 2 KN é aplicada?