20+ Operações Unitárias I – Notas de Aula Centro de Tecnologia – Departamento de Engenharia Química Capítulo 2 2.1 - Fluidodinâmica da Partícula Mecanismo do movimento da partícula Equação para o movimento unidimensional Velocidade terminal Coeficiente de Arraste Equação do movimento para partículas esféricas Critério para determinação do Regime de Escoamento Correlações empíricas para o coeficiente de arraste Determinação da velocidade terminal à partir do coeficiente de arraste Efeito de população Exercícios 2.2 - Separação Sólido-Fluido em Sistemas Diluídos: Classificação e Separação por densidades no campo gravitacional Elutriação Câmaras Gravitacionais; decantação. Separação centrífuga: Ciclones e Hidrociclones Centrifugação Separação eletromagnética Exercícios 21 Fluidodinâmica da Partícula Introdução - Muitas etapas de processos, especialmente as separações mecânicas, envolvem o movimento de partículas sólidas, ou gotas de um líquido, através de um fluido - líquido ou gás - escoando ou estagnado. São exemplos disto a remoção de pós e fumos do ar, ou de um gás de chaminé, a remoção dos sólidos de líquidos residuais antes de sua descarga nos sistemas públicos de drenagem, ou ainda a recuperação da névoa ácida do gás perdido numa planta industrial de produção de ácido. Dinâmica da Partícula Sólida em Suspensão - Para que uma partícula se desloque através de um fluido, é necessário que exista uma diferença de densidade entre a partícula e o fluido e, obviamente, que uma força externa atue sobre o sistema proporcionando o movimento relativo sólido-fluido. A força externa normalmente é a gravitacional, mas, quando a partícula é muito pequena, tornando a gravidade ineficaz para movê-la através do fluido, aplica-se uma força centrífuga. Quanto maior a diferença de densidades, mais eficaz o processo. Se o fluido e a partícula têm densidades iguais, o empuxo causado por sua imersão será igual à força externa, e ela não se moverá através do fluido. Pelo menos três forças atuam sobre uma partícula submersa num fluido: 1. Força externa, F E – Impulsora da partícula, pode ser de origem gravitacional ou centrífuga. 2. Força de empuxo, F B – Descrita pelo princípio de Archimedes, é paralela à força externa e tem sentido contrário. 3. Força de arraste, F D - se apresenta sempre que ocorre movimento relativo sólido-fluido; opõe-se ao movimento da partícula, atuando na mesma direção do seu deslocamento e em sentido oposto. Em princípio, a direção do movimento da partícula em relação ao fluido pode não ser paralela à direção das forças externa e de empuxo; então a força de arraste faz um ângulo com as outras duas. Neste caso, a força de arraste deverá ser decomposta em componentes, resultando um escoamento bidirecional, complicando o tratamento da mecânica do escoamento da partícula. Na literatura existem equações disponíveis para o movimento bidirecional, mas aqui consideraremos apenas o movimento unidirecional, onde as linhas de ação de todas as forças que atuam sobre a partícula são colineares. Movimento unidirecional de partículas submersas num fluido Considere uma partícula de massa m, movendo-se através de um fluido sob ação de uma força externa F E . Sejam U a velocidade relativa, F B o empuxo sobre a partícula e F D a força de arraste. A força resultante sobre a partícula será: ∑ − − = D B E i F F F F 22 A aceleração da partícula é “d(m.v)/dt" e, como a massa é constante, o movimento de sólidos através de fluidos se fundamenta no conceito do movimento de queda livre dos corpos: ∑ − − = = D B E i F F F dt dv m dt dv m F ou A força externa é dada pela Lei de Newton: E E ma F = onde a E é a aceleração externa (gravitacional ou centrífuga) que atua sobre a partícula. A força de empuxo, pelo princípio de Archimedes, é igual ao peso do volume de fluido deslocado pela partícula. O volume da partícula é ( m /ρ S ) e é igual ao volume de fluido deslocado. Logo, a massa de fluido deslocado é: e, portanto, a força de empuxo será: a força de arraste é dada por: (2.4) 2 2 U C A F D P D ρ = onde C D é o coeficiente de arraste, adimensional, A P é a área projetada da partícula, medida na direção perpendicular à direção do escoamento e U é a velocidade relativa sólido-fluido, ou seja, U = u - v¦. Substituindo esses valores, obtém-se a equação do movimento para a partícula sólida submersa num fluido: Simplificando, a) equação do movimento da partícula no campo gravitacional: Sob ação do campo gravitacional, a aceleração externa a E é a aceleração da gravidade, g = 981 cm/s 2 e a equação 2-6 torna-se b) equação do movimento sob campo centrífugo: Uma força centrífuga aparece sempre que a direção do movimento da partícula é mudada. A aceleração centrífuga, no movimento circular, é a E = r ω 2 , sendo r o vetor posição e ω a aceleração angular (radianos/segundo). Substituindo na equação 2-6, ρ | | . | \ | ρ = . S F m m (2.3) E S B a m F | | . | \ | ρ ρ = (2.5) 2 2 U C A a m ma dt dv m D p E S E ρ − ρ ρ − = (2.6) . 2 2 m U C A a dt dv D p S F S E ρ − ρ ρ − ρ = | | | | . | \ | ( ) a) - (2.6 2 1 2 m U C A g dt dv D P S F S ρ − ρ ρ − ρ = ( ) b) - (2.6 2 1 2 2 m U C A r dt dv D P S ρ − ρ ρ − ρ ω = 23 Velocidade terminal - Na sedimentação gravitacional g é constante, mas o arraste sobre a partícula aumenta sempre que a velocidade aumenta. Na equação do movimento, observa-se que a aceleração decresce com o tempo e aproxima-se de zero. A partícula alcança rapidamente uma velocidade constante, máxima sob as circunstâncias, denominada velocidade terminal. A equação para a velocidade terminal, no campo gravitacional, é obtida desprezando-se, na equação do movimento, a aceleração instantânea da partícula (dv/dt = 0), que na prática é da ordem de um décimo de segundo. A expressão resultante é: ( ) (2.7) 2 ρ ρ ρ − ρ = D P t C s A m s g v No campo centrífugo, a velocidade depende do raio e a aceleração não é constante se a partícula estiver se movimentando em relação ao fluido. Nos vários usos práticos da força centrífuga, entretanto, dv/dt é muito pequeno comparado com os outros dois termos da equação 2-7 e pode ser desprezado. A velocidade terminal no campo centrífugo, a um raio qualquer dado, pode então ser definida pela equação: ( ) (2.8) 2 ρ ρ ρ − ρ ω = s C A m s r v D P t Coeficiente de Arraste O uso das equações anteriores requer que sejam estimados valores numéricos para o coeficiente de arraste, C D . O gráfico da Figura 1 mostra a curva experimental do coeficiente de arraste em função do número de Reynolds, R e , para esferas. Para partículas não esféricas, são obtidas curvas para cada forma diferente de partícula, em função da esfericidade. Essas curvas, na prática, aplicam-se somente para uma orientação especificada da partícula. Partículas não esféricas, em queda livre, têm sua orientação constantemente alterada, consumindo energia e aumentando o arraste efetivo sobre a partícula, fazendo com que o coeficiente de atrito, C D , seja maior que no escoamento do fluido ao redor de uma 24 partícula estacionária. Assim, a velocidade terminal, especialmente para partículas em forma de discos, será menor do que a estimada nas curvas obtidas para partículas com orientação fixa. No tratamento a seguir as partículas serão consideradas esféricas, pois uma vez conhecido o coeficiente de arraste para o movimento livre desta espécie, os mesmos princípios aplicam-se a quaisquer formas.(Pettyjohn and Christiansen: Chem. Eng. Prog., 48:157(1948)) Quando as partículas estão a uma distância suficiente das paredes do recipiente e de outras partículas, de modo que seu movimento não seja afetado por elas, o processo é chamado sedimentação livre. Se o movimento da partícula é impedido por outras partículas, o que fatalmente ocorrerá quando as partículas estão próximas umas das outras, mesmo que não em trajetórias colidentes, o processo é chamado sedimentação retardada (ou impedida). O coeficiente de arraste na sedimentação retardada é maior que na sedimentação desimpedida. Quando as partículas são de tamanho muito reduzido (2 -3 µm) aparece o efeito do movimento Browniano, que é um movimento aleatório provocado pelo choque da partícula com moléculas do fluido que a cerca. Esse efeito predomina sobre a força da gravidade em partículas de 0,1µm ou menores. O movimento randômico da partícula tende a suprimir o efeito da força externa e o seu deslocamento pode não ocorrer. A aplicação de uma força centrífuga reduz o efeito relativo ao movimento Browniano. 1. - SEDIMENTAÇÃO LIVRE – Equação do movimento para partículas esféricas Se a partícula é uma esfera de diâmetro D P , sua massa é obtida do produto da densidade pelo volume, ou Substituindo m e D P na equação 2-7 Na velocidade terminal, a partícula não tem aceleração, então (dv/dt) = 0, e O coeficiente de arraste gerado pelo movimento relativo entre o fluido e uma esfera sólida movendo-se sob ação da gravidade será, portanto, 4 A e 6 2 P 3 P S p D D m π = ρ π = ( ) ) 2.9 ( . 4 3 . P S t D S S E D v C a dt dv ρ ρ − ρ ρ − ρ = ( ) P t D s E D v C a 2 . 4 3 = ρ ρ − ρ ( ) ) 2.10 ( . 3 4 2 T P F S D v D g C ρ ρ − ρ = 25 A equação acima não permite a estimativa direta da velocidade terminal uma vez que o coeficiente de arraste é uma função do número de Reynolds, C D = ƒ(Re), que por sua vez é função direta da velocidade e do tamanho da partícula Re = ƒ (ρ, D p , v T , µ -1 ). Este problema pode ser contornado pela utilização de métodos gráficos ou analíticos, conforme descreveremos a seguir. 1.1 – ESTIMATIVA DA VELOCIDADE TERMINAL POR MÉTODO GRÁFICO Admitiremos que a partícula apresenta um certo grau de "uniformidade". Seja o diâmetro da esfera de igual volume, Dp, é a dimensão característica da partícula; da equação anterior, para movimento no campo gravitacional, ( ) 2.10 Eq. . 3 4 2 T D v g s Dp C ρ ρ − ρ = Aplicando as propriedades do logaritmo à equação, ( ) ) log( 2 3 4 log log t D v gDp s C − ( ¸ ( ¸ ρ ρ − ρ = Podemos eliminar v t na expressão acima, tomando o logaritmo do número de Reynolds correspondente à velocidade terminal: ) log( log Re log t v Dp + | | . | \ | µ ρ = e assim, ( ) ( ¸ ( ¸ µ ρ ρ − ρ + − = 2 3 3 4 log Re log 2 log g s Dp CD Figura 2 – Coeficiente de arraste x número de Reynolds para partículas de diferentes formas 26 Esta é a equação de uma reta de inclinação −2, passando pelos pontos Re = 1 e C D = ( ) 2 3 3 4 µ ρ ρ − ρ Dp s g . Como a expressão não contém v t ., é possível determinar-se a velocidade terminal traçando a reta definida por estes pontos no Gráfico “C D x Re” . A perpendicular ao eixo das abscissas, traçada a partir da interseção desta reta com a curva de esfericidade apropriada, dará o valor numérico do número de Reynolds correspondente à velocidade terminal desta partícula de tamanho conhecido (veja a Figura 2). Conhecido o número de Reynolds, se determina então v t . Estimativa de Dp à partir da velocidade terminal: Por procedimento análogo se obtém uma expressão independente do tamanho da partícula, D p . A equação é: ( ) ( ¸ ( ¸ ρ µ ρ − ρ + = 3 2 3 4 log Re log log v s g CD A expressão acima corresponde também a equação de uma reta, de inclinação +1, passando pelo ponto “Re = 1” e “C D = ( ) 3 2 3 4 v s g ρ µ ρ − ρ ”. A interseção desta reta com a curva de esfericidade adequada dará o número de Reynolds na velocidade terminal, a partir do qual se obtém D p . 1.2 – MÉTODOS ANALÍTICOS: 2.1 – Equações aproximadas para cálculo do coeficiente de arraste de esferas Apesar da relação “C D x R e ” na Figura 2 ser uma curva contínua, para simplificar os cálculos, ela pode ser substituída por três linhas retas sem perda considerável na 27 precisão[McCabe-Smith, 1976]. Cada uma dessas linhas cobre uma faixa definida de números de Reynolds, como mostrado pelas linhas tracejadas na Figura 2-3 As equações para as linhas retas e as faixas do número de Reynolds onde cada uma se aplica, são: Região de Stokes: Re < 2 Re 24 = D C p t D D v F πµ = 3 ( ) µ ρ − ρ = 18 p E t D s a v Região Intermediária: 2 < Re < 500 6 , 0 Re 18 = D C ( ) 4 , 0 6 , 0 4 , 1 31 , 2 ρ µ π = p t D D v F ( ) 43 , 0 29 , 0 71 , 0 14 , 1 71 , 0 153 , 0 µ ρ ρ − ρ = s D a v p E t Região de Newton: 500 < Re < 200.000 44 , 0 = D C ( ) ρ π = 2 55 , 0 p t D D v F ( ) 2 / 1 75 , 1 ( ¸ ( ¸ ρ ρ − ρ = p e D s a vt Critério para identificar o regime de escoamento (K) – Quando se deseja estimar a velocidade terminal de uma partícula de diâmetro conhecido, e o valor numérico de Reynolds é desconhecido (pois é função de D P e v t ), a escolha da equação adequada só poderá ser feita por tentativas. Neste caso, para identificar em que região ocorrerá o movimento da partícula, elimina-se o termo de velocidade na expressão do número de Reynolds, substituindo v t pela equação correspondente ao regime laminar resultando, para a faixa da lei de Stokes: ( ) ( ) 2 3 2 18 18 Re µ ρ ρ − ρ = µ ρ − ρ µ ρ = µ ρ = S E p p S E p t p a D D a D v D 28 Pelas considerações feitas anteriormente, a lei de Stokes aplica-se para números de Reynolds menores que 2. Um critério conveniente para identificação do regime de escoamento pode ser obtido fazendo-se Então, da equação anterior, 3 , 3 36 K 2, Re para 18 Re 3 3 = = = = K Se o tamanho da partícula é conhecido, o K pode ser calculado e, se K < 3,3 aplica-se a lei de Stokes (regime laminar). Procedendo de modo análogo para a região onde vale a lei de Newton, obtém-se Re = 1,74K 1, 5 . Fazendo Re = 500 (limite inferior da região) e resolvendo, dá K = 43,6. Então, se K é maior que 3,3 e menor que 43,6, o escoamento ocorre na região intermediária. Se o valor de K está compreendido entre 43,6 e 2.360 a Lei de Newton é válida. Quando K é maior que 2.360, o coeficiente de arraste pode mudar abruptamente com pequenas mudanças na velocidade do fluido. Sob essas condições a velocidade terminal é calculada da equação 2-10, estimando-se o valor de C D na Figura 3. QUADRO RESUMO - Critério para identificar o regime em que ocorre o movimento da partícula (McCabe-Smith) ( ) 3 2 µ ρ ρ − ρ = s ae D K p K < 3,3 - ⇒ Lei de Stokes (regime laminar) 3,3 < K < 44 - ⇒ Região intermediária 44 < K < 2360 - ⇒ Lei de Newton (regime turbulento) K > 2360 ⇒ Re > 200.000 (turbulência na camada limite) EXEMPLO - Gotas de óleo de 15 µm de diâmetro devem ser separadas de sua mistura com ar, por sedimentação. a massa específica do óleo é 0,90, e o ar está a 70 ºF (21,1 ºC) e 1 atm. O tempo de sedimentação disponível é de 1 minuto. Que altura deverá ter a câmara para permitir a sedimentação dessas partículas? (McCabe-Smith, exemplo 7.1, p.156). SOLUÇÃO - Os efeitos do fluxo dentro das gotas e o período inicial de aceleração são desprezados. Além disso, a densidade do ar é muito pequena em comparação com a das gotas de modo que ρ p pode ser usada em lugar de (ρ P - ρ). A densidade do ar a 70 ºF e 1 atm. é 0,018 cP (0,018 x 6,72 x 10 -4 ) = 1,21 x 10 -5 lb/ft-s. A densidade das partículas é (0.90 x 62,37) = 56,1 lb/ft 3 K x = = − 4 92 10 32 17 56 1 0 075 1 21 10 0 479 5 , ( , ) , , , , x x 2 x -10 3 ( ) 3 2 µ ρ ρ − ρ = S E p a D K 29 O movimento das gotas está bem dentro da região da lei de Stokes, então: ( ) µ ρ − ρ = 18 p E t D s a v Em 1 minuto, as partículas sedimentam 0,02 x 60 = 1,2 ft (0,37m), então a altura da câmara não deverá ser maior que este valor. Outra maneira de eliminar a dificuldade ao se estimar o coeficiente de arraste na equação 2.10, pelo fato deste ser função da esfericidade e do número de Reynolds, (cuja determinação implica conhecimento de v T e Dp ), é a utilização do número de Galileu: Como se pode ver, esse grupo adimensional independe da velocidade terminal, v t . QUADRO III - Pontos de transição para G a REGIME N Ga Laminar Intermediário Newton < 60 entre 60 e 140.000 > 140.000 Um outro grupo adimensional, independente do diâmetro da partícula e função da velocidade terminal, é “C D / Re”: v ft s m s t = = − 32,17 4,92 10 56,1 18 1,21 10 x 2 x 10 x x x - 5 ( ) , / ( , / ) 0 020 0 0061 2 2 2 µ ρ = g D Ga P ( ) 2 2 2 2 2 2 . 3 4 Re µ ρ ρ ρ − ρ = = P T T S D D v v g C Ga ( ) 2.11 3 4 Re 2 3 2 µ ρ ρ − ρ = E P S D a D C ( ) t P t S P D v D v g D C . 2 . . 3 4 Re ρ µ ρ ρ − ρ = ( ) ) 2.12 ( 3 4 Re 3 2 U a C E S D ρ ρ − ρ µ = 30 QUADRO IV - Pontos de transição para C D /R e REGIME N Ga Laminar Intermediário Newton > 7,5 entre 7,5 e 0,00115 < 0,00115 A equação 11 pode ser usada para o cálculo de v t , pois C D Re 2 não inclui esta variável; já a equação 12 deve ser utilizada no cálculo de D p já que o adimensional C D /Re independe do diâmetro. Em ambos os casos, v t e D p são obtidos a partir do número de Reynolds (Tabelas 1 a 4; gráficos 2 e 3) As correlações nas Tabelas I a IV aplicam-se ao movimento de partículas isométricas isoladas em fluidos newtonianos. Embora a Tabela III inclua a partícula esférica, nos cálculos com partículas desta forma deve-se usar a Tabela II para maior precisão. A Tabela IV fornece diretamente a expressão para cálculos da velocidade relativa partícula - fluido e do diâmetro da partícula, quando prevalece o regime de Stokes (Re < 0,5) ou o de Newton (10 3 < Re < 2x10 5 ) Tabela I - Partícula esférica isolada; correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948). Re < 5x10 4 Descrição n Valor médio e desvio padrão n n n CD ( ¸ ( ¸ + | . | \ | = 43 , 0 Re 24 0,63 ( ) ( ) 09 , 0 00 , 1 Re exp Re ± = cor n n C n C D D 1 2 43 , 0 Re 24 Re Re 2 2 − ( ¸ ( ¸ − | . | \ | + − | . | \ | = 0,95 ( ) ( ) 06 , 0 00 , 1 Re exp Re ± = cor n n C n C D D 1 Re 43 , 0 2 Re 24 Re ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + | | . | \ | = 0,88 ( ) ( ) 09 , 0 00 , 1 exp ± = cor C C D D onde ( ) ( ) 3 2 D 2 3 2 . 3 4 Re C , 3 4 Re , Re U a D a C U D F E F S P E F S F D F P ρ µ ρ − ρ = µ ρ − ρ ρ = µ ρ = 31 Tabela 2 - Partícula isométrica isolada: correlações de Coelho & Massarani (1966) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948) 0,65 < φ ≤ 1 e Re < 5x10 4 Descrição n Valor médio e desvio padrão n n K n K CD 1 Re 24 2 1 ( ¸ ( ¸ + | . | \ | = 0,85 13 , 0 00 , 1 exp ± = Dcor D C C ( ) n n C K n C K D D 1 Re 2 Re 24 Re 2 1 ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + | | . | \ | = 1,2 ( ) ( ) 10 , 0 00 , 1 Re exp Re ± = cor n n K C n C K D D 1 2 Re 24 Re Re 2 2 2 1 − ( ¸ ( ¸ − | . | \ | + − | . | \ | = 1,3 ( ) ( ) 14 , 0 100 exp Re ± = cor CD Onde: φ − = | . | \ | φ = 88 , 4 31 , 5 e 065 , 0 log 843 , 0 2 10 1 K K Tabela 3 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada; cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, 1948) 0,65 < φ ≤ 1 Variável a ser estimada Regime de Stokes Re < 0,5 Regime de Newton 10 3 < Re < 5 x 10 4 C D Re 24 1 K K 2 U ( ) µ ρ − ρ 18 2 1 P F S E D a K ( ) 2 3 4 K D a P E F S ρ ρ − ρ D P ( ) E F S a K U ρ − ρ µ 1 18 ( ) E S F a U K ρ − ρ ρ 4 3 2 2 no campo gravitacional, b = g = 981 cm/s 2 ; no campo centrífugo, b = r.ω 2 ( ) ( ) 3 2 D 2 3 2 . 3 4 Re C , 3 4 Re , Re U a D a C U D F E F S P E F S F D F P ρ µ ρ − ρ = µ ρ − ρ ρ = µ ρ = 32 Influência da presença de fronteiras rígidas Tabela 4 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano (Almeida, 1995): 0,65 < φ < 1 e 0 < D P /D T ≤ 0,5 µ ρ = ∞ ∞ v Dp Re t P T P D D v v k = β = ∞ e < 0,1 (Francis, 1933) 4 475 , 0 1 1 ( ¸ ( ¸ β − β − = P k 0,1 − 10 3 β − = = + = − β ∞ 281 , 0 10 17 , 1 , 91 , 8 Re 1 10 3 79 , 2 x B e A A k B P >10 3 (Francis, 1933) 2 3 1 β − = P k ( ) φ − = | . | \ | φ = ρ ρ − ρ = < µ ρ = = − β = 88 , 4 31 , 5 , 065 , 0 log 843 , 0 3 4 , 35 Re 0,85 n , ) ( ) 54 , 3 exp( 24 Re 2 10 1 2 1 2 1 K K v gD C v D K C K t P S D t P n n n D 2. – SEDIMENTAÇÃO OBSTADA: PARTÍCULA ESFÉRICA E EFEITO DE POPULAÇÃO Quando um fluido contém muitas partículas em suspensão, ocorre uma interferência mútua no movimento destas, e a velocidade de sedimentação é muito menor do que a prevista pelas equações deduzidas sob a hipótese de movimento livre das partículas. A partícula sedimenta, neste caso, através de um lodo ou suspensão de outras partículas no fluido, ao invés do fluido puro. Um aumento na concentração da suspensão acarreta uma substancial redução na velocidade terminal do conjunto de partículas, fato importante no estudo da separação sólido-fluido. Uma correlação clássica, de Richardson e Zaki (1954), é válida para porosidades inferiores a 75%: n v v t t ε = ∞ 33 onde v t∞ é a velocidade terminal da partícula à diluição infinita, isto é, escoando livremente sem interferência de outras partículas ou das vizinhanças, e o expoente n é um parâmetro que depende do número de Reynolds Re ∞ n < 0,2 4,65 0,2 − 1 4,4 Re ∞ -0,03 1-500 4,4 Re ∞ -0,1 > 500 2,4 Para sistemas de baixa porosidade a velocidade terminal pode ser calculada com auxílio do Gráfico mostrado na figura abaixo (Massarani, 1979, p.57): Embora se possa considerar a velocidade de deposição constante para todas as partículas, será diferente de acordo com a concentração da suspensão. Para definir a velocidade da suspensão pode-se recorrer à sua porosidade, ε, introduzindo-a na fórmula de Stokes para regime laminar. A equação resultante é: ( ) (13) 18 2 SUSP P SUSP S sus D g v µ ρ − ρ ε = sendo ρ sus e µ sus a massa específica e a viscosidade da suspensão. O valor de ρ sus é calculado pela média ponderada de ρ p (partícula) e ρ (líquido), ou seja, 34 ( ) ( ) ( ) ) 2.14 ( e 1 ρ − ρ ε = ρ − ρ ρ ε − + ερ = ρ S SUSP S S SUSP Quanto à viscosidade da suspensão, várias tem sido as tentativas de correlação, uma das quais é a seguinte (Coulson, vol. II, p.189 e Foust, p. 452) Substituindo (14) e (15) em (13), vem: A viscosidade também pode ser corrigida pelo fator empírico ϕ P (McCabe-Smith, p. ). A relação entre ϕ P e ε, entretanto, não é conhecida em toda a faixa de números de Reynolds. Para partículas esférica escoando em regime laminar, Utilizando este fator de correção, a velocidade terminal de uma suspensão de partículas esféricas, em regime laminar, será dada por: A viscosidade a ser empregada na equação acima é a do fluido puro, pois o efeito da concentração de sólidos sobre a viscosidade será corrigido pela relação ϕ P / µ. Esta equação só aplica-se para regime laminar, ou seja, quando o critério de sedimentação, K, for menor que 3,3. Para a sedimentação retardada, o critério para identificação do regime de escoamento fica... Parte II: Separação sólido-fluido em sistemas diluídos Finalidade: • Promover a separação de partículas suspensas em fluidos (ou, inversamente, mantê- las em suspensão), para vazões definidas em função da capacidade de produção fixada ) 2.15 ( 10 ) 1 ( 82 , 1 ε µ = µ ε − SUSP ( ) ) 2.16 ( 18 10 2 2 ) 1 ( 82 , 1 µ ρ − ρ ε = ε − − g D v S P SUSP ) 1 ( 19 , 4 ε − − = ϕ e P µ ρ − ρ ϕ ε = | . | \ | 18 . 2 . . P SUSP S P E SUSP D a v ( ) 3 , 3 . 3 1 2 2 ≤ ( ¸ ( ¸ µ ϕ ρ − ρ ρ = p m S m E P a D K 35 Quadro 1 – Campos de força para separação de partículas sólidas Dimensão (µm) Designação Campos de força 0,1 Fumos Elétrico 0,1 a 0,4 Fumos Elétrico Filtros de pano Lavadores de poeira 1 a 10 Poeiras Elétrico Filtros de pano Lavadores de poeira 10 a 100 Poeiras Centrífugo Filtros de pano Filtros recobertos viscosos 100 a 1000 Poeiras Centrífugo Gravidade > 1000 Poeiras Gravidade PARTE DOIS Separação sólido-fluido em Sistemas Diluídos 2.I - Campo Gravitacional 2.I.1 ELUTRIAÇÃO - É a operação de separação (ou classificação por tamanhos) de partículas, obtida mediante uma corrente ascendente de líquido em contracorrente com os sólidos. Quando o objetivo é a classificação por tamanhos de partículas de um único material homogêneo, a separação é obtida com base apenas na diferença de velocidades terminais das diversas partículas: aquelas que tiverem uma velocidade de queda menor que a velocidade de ascensão do líquido serão arrastadas por este, enquanto que as de maior velocidade sedimentarão e serão coletadas no fundo do vaso. Quando se trata de uma mistura de dois materiais diferentes, a separação é conseguida em função do tamanho das partículas e da diferença de densidades entre estas. Assim, as partículas mais densas sedimentarão com maior velocidade, devendo a velocidade de ascensão do líquido ser ajustada num valor entre a velocidade terminal da menor partícula do material mais denso, e a maior partícula do material menos denso. Quando isto é possível, a sedimentação é completa. 4 3 4 3 g D C g D C s A D A s B D B ρ ρ ρ ρ ρ ρ − = − D D C C A B B A D A D B ρ ρ ρ ρ lifica nd 36 Sejam dois materiais A e B, sendo A mais denso que B. Se a faixa de tamanhos for grande, é possível que a velocidade terminal das maiores partículas de B sejam superiores às das menores partículas de A. Ocorrendo isto, evidentemente a separação não será completa. O intervalo de separação possível (razão de separação) pode ser determinado à partir da relação entre as dimensões das partículas de A e B que têm mesma velocidade terminal. Então, igualando as velocidades terminais de A e B, D D D v D v A B B A B B A A = − − ρ ρ ρ ρ µ ρ µ ρ 24 24 Ocorrem dois casos extremos: a) No regime laminar, (para baixos valores do número de Reynolds), C D = 24/ Re. Substituindo e simplificando a expressão resultante, temos: b) No caso de partículas de mesma esfericidade sedimentando a altos números de Reynolds (alta vazão ou grandes dimensões), o coeficiente de arraste é aproximadamente constante e igual a 0,44. Desse modo, teremos: D D A B B A = − − ρ ρ ρ ρ 0.5 Conclusão: a separação de dois materiais diferentes será possível se a razão de separação for maior do que: D D A B B A > − − ρ ρ ρ ρ n sendo n = 0,5 no regime laminar 0,5 < n < 1,0 no regime de transição n = 1,0 no regime turbulento EXEMPLO: Uma mistura de galena (densidade 7.500 kg/m 3 ) e sílica (densidade 2.650 kg/m 3 ), deve ser separada por Elutriação. A mistura tem dimensões entre 0,7 e 0,8mm. Admitindo que a esfericidade de ambos os materiais é a mesma e igual a 0,806, determine: a) Qual a velocidade da água para se ter como produto a galena pura (admitir sedimentação livre a 20ºC. viscosidade = 0,001 N.s/m 2 ). b) Qual o intervalo de dimensões da galena obtida como produto?(Foust, exemplo 22.2 p.543) ρ ρ ρ 37 2.I-2 CÂMARAS GRAVITACIONAIS - As câmaras gravitacionais e câmaras de poeira, destinam-se à separação de partículas relativamente grandes em suspensão num líquido ou num gás. A representação esquemática destes equipamentos é mostrada na figura abaixo: A separação, a baixas concentrações de sólido, pode ser estudada através da análise do comportamento dinâmico das partículas individuais. A tendência de uma partícula, ao ser atirada num fluido escoando entre placas paralelas, é cair e ser arrastada ao mesmo tempo, como indica a Figura a seguir: A suspensão, ao sair da tubulação e ser introduzida na câmara, encontra uma área disponível ao escoamento muitas vezes maior, havendo em conseqüência uma redução brusca na velocidade, tendendo então os sólidos suspensos a sedimentar, de acordo com o tamanho, numa posição mais próxima ou mais afastada do ponto de alimentação. Desprezando a aceleração da partícula e decompondo a equação do movimento em suas componentes, resulta: componente x: como a gravidade não tem componente no eixo x, o primeiro termo do lado direito da igualdade se anula e, para que a expressão seja verdadeira é necessário que u x = v x , isto é, a componente da velocidade do fluido é igual à componente da velocidade da partícula, na direção x. componente Y = + − − A v u v P P F x F D x x ρ ρ 38 Não há movimento de fluido na direção perpendicular ao escoamento, então, u y = 0. Por definição, o módulo da diferença de velocidades é: Como u y = 0 e u x = v x , resulta Substituindo esses valores na equação do movimento, chega-se a Se fizermos, na expressão acima, o volume e a área iguais aos de uma esfera, obteremos a expressão geral para a velocidade terminal como na Lei de Newton. Diâmetro da menor partícula que pode ser coletada na câmara: O diâmetro crítico de separação pode ser obtido se analisarmos a condição de a menor partícula, lançada na condição mais desfavorável, ser coletada. Admite-se que esta partícula sedimente Admite-se que esta partícula sedimente na extremidade oposta da câmara, ou seja, em l = L. O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção x a distância L é: u L t = onde u é a velocidade média do fluido entre as placas, relativa à vazão Q. ( HB Q u = ). O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção y a distância H, é: t v H t = 0 2 = − + − − V g A u v C u v P P F y F D y y ρ ρ ρ u v u v u v x x y y − = − + − 2 2 u v v v v y y t − = − = = 2 v v V g A C y t p p p D = = − 2 ρ ρ ρ 39 Para a partícula ser coletada, estes tempos devem ser iguais. Igualando-se as expressões, obtemos a equação para o cálculo da velocidade terminal da partícula de diâmetro crítico: L u H vt = Como nos interessa o diâmetro dessa partícula, podemos estimá-lo através do grupo C D / Re ou com auxílio do gráfico C D x Re. A velocidade pode também ser dada em função da vazão, como: proj A Q BL Q vt = = O diâmetro crítico está relacionado às condições de operação (vazão da suspensão) e às dimensões do equipamento. Partículas maiores que aquelas de diâmetro crítico são também coletadas com eficiência de 100%; as menores, com eficiência inferior. No escoamento lento de partículas esféricas, teremos: EXEMPLO: Uma suspensão diluída de cal em água, contém areia como produto indesejável. Determinar a capacidade da unidade abaixo esquematizada para a separação completa da areia (m 3 suspensão /h). Não há efeito de população pois a suspensão é bem diluída. Determine também a percentagem de cal perdida na separação. DADOS: Faixa granulométrica da areia = 70 < Da < 250 µm Para a cal: esfericidade = 0,80; densidade = 2,2 g/cm 3 Para a areia: esfericidade = 0,7; densidade = 2,6 g/cm 3 Temperatura de operação = 30ºC Análise granulométrica das partículas de cal Dp(µm) 20 30 40 50 60 70 80 100 % < Dp 15 28 48 54 64 72 78 88 (G.Massarani, Problemas em Sistemas Particulados IV, Publicação Didática-PDD 03/82, COPPE/UFRJ, p.17, 1982) D Hu gL HQ gV S S = − ≡ − 18 18 µ ρ ρ µ ρ ρ sendo V = HBL 40 SOLUÇÃO: Diâmetro crítico da areia = 0,70µm v t = L u H s cm H Lv u s cm Dp vt t / 27 , 2 / 17 , 0 . Re = = = ρ µ = Q = u H B = 2,04x10 4 cm 3 /s = 73,4 m 3 s b) Cálculo da quantidade de cal depositada: Qual o diâmetro da partícula que sedimenta com velocidade terminal de 0,17 cm/s? A determinação pode ser feita com auxílio do gráfico C D / Re x Re: m cm x v Dp t µ = = ρ µ = − 64 10 47 , 6 Re 3 No gráfico da distribuição (% < Dp x Dp) encontramos, para Dp = 64µ, a ordenada correspondente é 69. Logo, a perda de cal será (100 - 69) = 31%.(Gráfico abaixo) C gD D S P R e , Re 2 2 2 , = − = ⇒ = 4 3 7 18 0 12 ρ ρ ρ µ C g S D 2 t 3 v , Re . Re = − = ⇒ = 4 3 3195 0 11 ρ ρ µ ρ 41 2.II - Separação no Campo Centrífugo A separação de partículas em suspensão num fluido por ação da gravidade é limitada, principalmente, pela dimensão dessas partículas. Quando os sólidos têm tamanhos muito reduzidos, o processo de separação por decantação pode ser acelerado pela aplicação de uma força centrífuga. Os separadores centrífugos são recomendados, neste caso, por sua grande eficiência no tratamento de partículas, ou gotas, de reduzido tamanho. No campo centrífugo, as componentes da velocidade do fluido são ( Bird, Stewart e Lightfoot, 1960, p.96): Ω = = θ r u ur 0 onde Ω é a velocidade angular (radianos/segundo) e r o vetor posição num dado instante. A intensidade do campo centrífugo é dada por: desprezando a aceleração da partícula e substituindo os valores acima, resulta para a equação do movimento: componente tangencial: 30.00 50.00 70.00 90.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 15.0 28.0 48.0 54.0 64.0 72.0 78.0 88.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 Dp % < Dp a ac gencial a ac radial a v r r = = = = = .tan . θ θ 0 2 0 2 = − + − − V a A u v C u v S ρ ρ ρ θ θ θ θ θ D da expressão se conclui que: u = v =r Ω 42 componente radial: Substituindo os valores acima, a expressão para a velocidade terminal no campo centrífugo fica: II.2-1 CICLONES E HIDROCICLONES Os Ciclones e Hidrociclones são separadores usados para a remoção de partículas finas em suspensão num fluido, que consistem numa carcaça fixa de geometria cilíndrica/cônica. O movimento centrífugo desenvolvido pelo fluido no interior do aparelho, é obtido pela injeção da suspensão a ser tratada tangencialmente à parede interna do equipamento. Geralmente, os ciclones são constituídos de um corpo cilíndrico assentado sobre um tronco de cone, como mostra a figura abaixo. O fluido com impurezas, é introduzido tangencialmente no topo da parte cilíndrica, e os sólidos adquirem um movimento espiralado (pela ação centrífuga) e descendente (pela ação da gravidade). Neste movimento, os sólidos perdem quantidade de movimento e são recolhidos na base cônica do vaso. Enquanto isso, a corrente fluida, líquida ou gasosa, menos densa e livre dos sólidos, ao atingir o defletor na base da região cônica inferior, inverte o seu movimento helicoidal que passa a ser ascendente, saindo por uma tubulação fixada na região central superior do equipamento. As variáveis de projeto dos ciclones e hidrociclones são a seção transversal da entrada da alimentação, â altura, os diâmetros das saídas de topo (overflow) e de fundo (underflow) e o diâmetro da seção cilíndrica, em função da qual todas as outras medidas são estabelecidas. Os diferentes modelos de ciclones caracterizam-se pelas proporções peculiares entre suas dimensões. O modelo Lapple, para separação sólido-gás, é o que foi mais 0 2 = − + − − − = − − = V a A u v C u v u v u v u v v S r r r r ρ ρ ρ θ θ θ θ D 2 2 + v v t V r v t V r v r S er al S radial = = − = − = 2 2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ Ω Ω 2 D D AC AC min 43 profundamente estudado (Perry e Green, 1984, p.20-83) e está esquematizado na figura a seguir. Proporções Ciclone Lapple Bc / Dc De / Dc Hc / Dc Lc / Dc Sc / Dc Zc / Dc Jc / Dc 0,25 0,50 0,50 2,00 0,13 2,00 0,25 Na prática os ciclones operam numa faixa de velocidade do gás na entrada, entre 20 e 70 ft/s. Recomenda-se uma velocidade média de 50 ft/s, que também é o valor utilizado em cálculos de projeto. A queda de pressão, na qual o ciclone é projetado para operar, pode variar em até 20 vezes a pressão cinética inicial. Nos ciclone do tipo Lapple, a queda de pressão é 2 4 u p ρ = ∆ Diâmetro de corte no ciclone: A partícula com o diâmetro de corte Dpc atravessa a espessura de separação Bc /2, figura abaixo, no tempo de residência do fluido no ciclone: onde V a é o volume ativo do ciclone, Q a vazão volumétrica de suspensão e a E = rΩ 2 a intensidade média do campo centrífugo. Considera-se nesta análise que prevaleça o regime de Stokes, que a partícula seja esférica, que Ω = r u e que Q Vs Ne / 2π = Ω V Q Bc D a s pc = − 2 ρ ρ µ 2 e a 18 44 u e N e são respectivamente o valor médio da velocidade da suspensão na seção de entrada e o número de espiras que o fluido forma no interior do ciclone. Resulta da combinação das equações acima, a expressão para o diâmetro de corte no ciclone Para o modelo Lapple verifica-se que na condição de operação recomendada, 6 < u < 21 m/s, verifica-se experimentalmente que Ne ≅ 5. Portanto, resultado que pode ser expresso como onde D c é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, B c H c a área da seção transversal da alimentação de suspensão, sendo B c = D c /4 e H c = Dc/2, de modo que 2 8 Dc Q BcHc Q u = = Generalizando a equação para os ciclones a gás, e para os hidrociclones que trabalham com suspensões mais concentradas, onde K é um fator que depende da configuração do ciclone, R f é o quociente das vazões volumétricas na descarga de sólidos e na alimentação e P um fator que leva em conta a concentração de sólidos na alimentação. EXEMPLO: Estimar a bateria de ciclones Lapple (ciclones iguais, em paralelo) para operar com 3500 ft 3 / min de ar (520ºC, 1 atm) contando cinzas de carvão. A eficiência global de coleta deve ser da ordem de 85%. A densidade das partículas sólidas é ρ s = 2,3 g/cm 3 . A análise granulométrica dos sólidos é a seguinte: D B N u c e s pc = − 9 2 µ π ρ ρ D B u c s pc = − 9 10 µ π ρ ρ D D D pc c c S Q - = 0 095 , µ ρ ρ D D K D pc c c S Q - = µ ρ ρ D D K D pc c c S f 0,5 Q - 1 R P = − µ ρ ρ 45 D(µm) 5 10 15 20 30 40 100X 12 27 48 63 80 88 SOLUÇÃO Pode-se verificar que a análise granulométrica pode ser representada pelo modelo log-normal, com D 50 = 15,5 e σ = 2,3. Propriedades do fluido: ρ = 4,43 x 10 -4 g/cm 3 e µ = 0,035 centipoise. O gráfico de eficiência de coleta em ciclones (η x D 50 /D pc ), permite calcular o valor D 50 /D pc = 3,3 correspondente à eficiência global de coleta de η = 0 85 , (Massarani, 1984, p.113). Portanto, D pc = 4,7 µm. Admitindo que a velocidade do gás na seção de alimentação seja o valor recomendado u = 50 ft/s, resulta da equação que o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone é 30,7 cm. Em conseqüência, o número de ciclones em paralelo será: Assim, seja a bateria constituída por 10 ciclones em paralelo. Redimensionando o diâmetro do ciclone, podemos usar a equação: resultando Dc = 30cm e u = 48,6 ft/s (dentro da faixa recomendada). A queda de pressão na bateria é de 3,9 cm de coluna de água e, portanto, a potência do soprador pode ser estimada em 1,5 HP. n Q uB H º , = = c c 9 1 D B u c s pc = − 9 10 µ π ρ ρ D D D pc c c S Q - = 0 095 , µ ρ ρ 46 HIDROCICLONE O hidrociclone, ou ciclone líquido sólido, é um centrifugador a úmido, sem partes móveis em sua carcaça cilindro-cônica, na qual a suspensão é introduzida sob pressão tangenciando a parede. O modo como a suspensão é introduzida lhe confere um rápido movimento centrífugo, resultando na formação de dois vórtices: um externo (fase densa), cujo componente axial do fluxo é dirigido para o vértice do cone (apex), e outro interno em sentido contrário, na direção do topo. Os ciclones têm sido usados extensivamente para substituir as câmaras de poeira que, além de ocupar muito espaço são ineficientes na separação de partículas pequenas. Devido a força centrífuga desenvolvida pelos vórtices formados nos ciclone ser muito alta (atinge cerca de 2.500 vezes a força gravitacional), é possível se obter separações muito finas num hidrociclone de pequeno tamanho. Uma característica fundamental do hidrociclone é ser um equipamento compacto, de alta pressão e grande eficiência. A tabela abaixo mostra a relação entre as dimensões características (conforme explicitadas na figura da página anterior) para três tipos de hidrociclones comerciais: HIDROCICLONE RIETEMA BRADLEY CBV-CEMCO Di / Dc 0,28 1/7 0,3 Do / Dc 0,34 1/5 0,25 L / Dc 5 - 3,8 l / Dc 0,40 1/3 0,5 θ 10 - 20º 9º 22º 47 Como visto anteriormente, que para um hidrociclone genérico, Para o hidrociclone CBV-DEMCO, a equação fica Onde c é concentração de sólidos na suspensão (c = 1 − ε). Nos hidrociclones CBV- DEMCO a queda de pressão é dada por 2 Q p α = ∆ 2 min) (l psi = α Ciclone CBV 2" → α = 1,16x10 -2 Ciclone CBV 4H" → α = 3,86X10 -4 e a eficiência de coleta nestes equipamentos é: Operação - A polpa a ser tratada no hidrociclone, geralmente tem diluição relativamente alta, até 30%, e é introduzida tangencialmente através do injetor, sob pressão (entre 10 e 50 psi), adquirindo movimento espiralado e descendente ao longo das paredes do cilindro e do cone, de modo que nas vizinhanças do ápice do cone uma parte desta corrente turbilhonar reverte-se para cima, constituindo o overflow (sobrenadante). Nesse movimento, os sólidos são centrifugados e lançados contra as paredes, sendo descarregados em sua maioria como underflow. Tamanho de Separação - Tratando-se de partículas de mesma densidade, ou valores próximos, invariavelmente os tamanhos maiores descarregam-se pelo underflow D D K D pc c c S f 0,5 Q - 1 R P = − µ ρ ρ D D D pc c c S 4c Q - e = 0 056 , µ ρ ρ η = | | | | 0 5 , D D 50 NA FAIXA 50 PARA 50 0,1 < D D < 2 1 D D < 2 48 e as maiores pelo overflow, sendo necessário determinar o tamanho de separação destas duas classes. Entretanto, não há uma separação nítida, ou seja, uma determinada dimensão tal que as partículas maiores saiam no underflow e as menores no overflow, mas há sempre uma determinada classe de partículas, isto é, um determinado tamanho tais que 50% delas saem pelo underflow e os outros 50% pelo overflow: é o tamanho cinqüenta por cento, ou diâmetro de corte, convencionalmente denotado d 50 ou D pc Uma maneira simples de determinar este ponto d 50 é traçar as curvas das percentagens simples, tomadas em relação à alimentação: retidas versus tamanhos, traçando-se uma curva para o underflow e outra para o overflow. A interseção das duas curvas dá o tamanho da partícula de corte, d 50 : Influência do Diâmetro do Ciclone na Separação: A medida do diâmetro influi no tamanho de separação. Quando menor o diâmetro, mais fino será o tamanho de separação, variando de 5-29 mícrons. Quando o ciclone é usado como deslamador nesta faixa finíssima, usam-se unidades de diâmetro pequeno; para separa partículas minerais em faixa mais grossa, usam-se os de maior diâmetro (Hugo Arrunátegui, p.24) Tipos de Ciclones: Os ciclones são classificados em três tipos, segundo a operação a realizar: Ciclones Classificadores (Deslamadores ou Desarenadores) - Usados na separação de partículas, em relação a um tamanho de referência, classificando partículas maiores e partículas menores que o tamanho dado. Quando a classificação ou corte se dá em torno de 200 mesh (74 mícrons), a operação é uma deslamagem ou desarenagem,; neste caso a finalidade é descartar as lamas para recuperar as areias ou descartar as areias para recuperar as lamas (no tratamento de minérios). Nestes casos define-se um coeficiente de deslamagem que é a relação da percentagem de sólidos abaixo de 200 mesh da alimentação que se descarrega no underflow, para a percentagem de água total que sai no underflow. 49 Ciclones Separadores ou Lavadores - São usados na separação de partículas de acordo com as densidades, separando as mais pesadas das mais leves em relação a uma dada densidade de separação ou meio denso. Nos ciclones que usam como fluido um meio denso, a separação se dá em função da massa dos sólidos e não do seu tamanho. A densidade de separação é tomada convencionalmente como aquela que corresponde à descarga de 50% no underflow e 50% no overflow. Uma característica dos ciclones separadores é o ângulo do cone, que atinge até 60º. Ciclones Espessadores - Usados na separação dos sólidos em relação ao líquido em que estão suspensos, em operações tais como espessamento e clarificação. Esta operação não se consegue completamente, pois é praticamente impossível separar por ciclonagem partículas abaixo de 2 mícrons (3200 mesh). Na operação com estes ciclones, deve-se considerar as seguintes observações segundo Bradley: - O limite superior do tamanho de espessamento no ciclone é de 200 mícrons, embora acima de 44 mícrons (350 mesh) seja preferível fazer-se a separação em peneiras vibratórias. - Abaixo de 2 mícrons só é possível separar as partículas suspensas por centrifugação, elutriação ou sedimentação com floculantes. Não obstante estas limitações, o ciclone é de baixo custo de instalação e operação, ocupa pouco espaço e tem elevada capacidade. Estes motivos quase sempre justificam o seu emprego nas faixas apropriadas. Variáveis de Operação dos Ciclones - Vazão ou volume injetado na unidade de tempo Pressão de alimentação Características dos sólidos (ou da polpa) Características do meio (granulometria, ρ e µ) A vazão é um fator importante na operação, guardando estreita dependência com o tamanho da separação. O regime de funcionamento normal do ciclone está relacionado com a constância da vazão. 50 Um aumento da pressão leva a um corte mais fino, embora menos preciso, provocando maior densidade do overflow: uma diminuição conduz a efeitos inversos. Além disso, o aumento da pressão exige bombas mais potentes e mais custosas, agravando também o problema da abrasão. Geralmente opera-se numa faixa de 10 a 50 psi, quando da separação de minérios. Para ciclones classificadores em circuito de moagem, usam-se pressões de 2 a 12 psi, mas para se obter um overflow mais fino, é necessário uma pressão maior. Exemplo R. Peçanha (“Avaliação do desempenho de hidrociclones”, Tese de Mestrado, COPPE/UFRJ, 1979), estudando o desempenho de ciclones CBV-Demco, estabeleceu as seguintes expressões para o diâmetro d 50 (diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 50%) e para a eficiência de coleta da partícula de diâmetro d 50 : Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, Q a vazão de alimentação de cada hidrociclone e “c” a fração volumétrica de sólidos na alimentação. Com base nessas expressões a) Especificar a bateria de ciclones CBV 4H (Dc = 4”) para operar com 4.800 l/min de suspensão de minério de ferro (ρs = 4,9 g/cm 3 ) com uma concentração de 20% em peso de sólidos. Queda de pressão = 35 psi; Temperatura = 30ºC. b) Estimar a eficiência global de coleta das partículas Dados: Capacidade de 1 ciclone 4H ∆P(psi) 20 25 30 35 40 45 50 Q(l/min) 232 256 280 300 330 340 360 D D D pc c c S Q - exp(4c) = 0 056 , µ ρ ρ η = | | | 0 5 D D 50 50 50 para 0,1 < D D < 2 1 para D D < 2 51 Análise Granulométrica: 122,9 g de amostra D(µ) < 10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 m de cada fração 15,4 38,7 27,1 17,1 13,5 8,6 2,5 (Massarani, Problemas em Sistemas Particulados, 1982, p.22) Solução: Propriedades físicas: ρs = 4,9 g/cm 3 ; ρ = 1 g/cm 3 ; µ = 0,8 centipoise. Diâmetro do ciclone = 4 in. Vazão = 300 l/min. Concentração da suspensão: 20 g em peso. Base de cálculo = 100 g de suspensão. 05 , 0 1 80 9 , 4 20 9 , 4 20 = + = c a) Cálculo do número de hidrociclones: Dos dados da tabela de capacidade, o hidrociclone 4H operando a ∆p = 35 psi, tem uma capacidade de 300 l/min. Como a vazão de suspensão a tratar é de 4.800 l/min, serão necessários: nes hidrociclo n 16 300 4800 = = b) Cálculo da eficiência global: cm x e x x x Dpc x 4 ) 05 , 0 4 ( 3 2 10 18 , 14 ) 9 , 3 ( 60 10 300 ) 54 , 2 4 )( 10 )( 8 , 0 ( ) 54 , 2 4 ( 056 , 0 − − = = Dpc = 14,1µm D D D pc c c S Q - exp(4c) = 0 056 , µ ρ ρ 52 Com os dados da tabela, traça-se o gráfico “η i x fração > D” e a eficiência global η é obtida por integração gráfica (dada pela ordenada tal que a área a seja igual a área b) II.2-2 CENTRÍFUGAS Existem três tipos principais de centrifugadores que se distinguem pela força centrífuga desenvolvida, pela faixa de produção que se obtém e pela concentração dos sólidos que podem ser operados (Foust, p.548, 1982): 1. Centrífuga Tubular - Gira com elevada velocidade de rotação, atingindo forças centrífugas da ordem de 13.000 vezes a força da gravidade, porém opera com pequenas capacidades, na faixa de 3 a 30 litros/minuto. Como não dispões de dispositivo para remoção contínua de sólidos, opera intermitentemente com pequenas concentrações de sólidos. 2. Centrifugador a Discos - Este equipamento é de tamanho maior que o anterior, mas atinge menor velocidade de rotação, desenvolvendo uma força centrífuga até 7.000 vezes maior que a da gravidade. . Pode ser projetada para operar até 5.000 gal/h (310 l/min), com quantidade moderada de sólidos que são descarregados continuamente numa corrente concentrada. 3. Centrifugador Decantador Contínuo - Destina-se a separação de sistemas sólido-líquido, operando como um espessador (a ser estudado no capítulo 4). Operam D(µ) fração > D D/D 50 η 10 0,875 0,71 0,25 20 0,560 1,42 1 30 0,340 2,13 1 40 0,200 2,84 1 50 0,090 3,55 1 60 0,020 4,25 1 70 0,000 4,46 1 53 com sólidos até uma taxa de 50 ton./h. São construídos com diâmetros variando entre 4 e 54 polegadas. Estas máquinas podem ser utilizadas como classificadores, ajustando-se as taxas de alimentação e velocidade do vaso de modo que as partículas pequenas não tenham tempo de sedimentar e saiam com o filtrado. A Centrífuga decantadora provoca forças centrífugas 3.000 vezes maior que a da gravidade, com velocidades que vão até 6.000 rpm, permitindo efetuar separações de partículas na faixa de 1 mícron. Cálculos da Centrifugação Na seção anterior estabelecemos que a expressão da velocidade terminal para uma partícula no campo centrífugo é dada por Vamos agora estabelecer a relação entre o diâmetro de corte, D pc e as propriedades físicas do sistema sólido-fluido, as dimensões do equipamento e as condições de operação. Seja a centrífuga decantadora tubular mostrada na figura abaixo. As hipóteses de cálculo são: a) As partículas estão igualmente espalhadas em z = 0, independentemente do tamanho; a trajetória assinalada na figura representa a partícula D pc coletada com eficiência de 50%, onde e portanto, b) Prevalece o regime de Stokes c) Movimento empistonado do fluido na centrífuga. Em relação à trajetória crítica assinalada na figura, o tempo necessário para que a partícula percorra a distância L na vertical é e o tempo necessário para que a partícula percorra a distância radial de R 1 a R é R R R 1 2 0 2 2 = − v v r m A C t R s D S = − Ω 2 ρ ρ ρ ρ π π R R R R 2 1 2 1 2 0 2 − = − t L u L Q R R = = − π 2 0 2 54 Combinando as expressões para o tempo e fazendo 2 0 2 2 0 2 1 3 ln R R R R R R + − = , resulta para o diâmetro de corte D pc : Explicitando a vazão da alimentação, e multiplicando e dividindo a expressão resultante por 2g, vem: v t é a velocidade terminal da partícula de diâmetro D pc no campo gravitacional e Σ um fator característico da centrífuga. No caso da centrífuga tubular, Para a centrífuga de discos, onde n é o número de canais formados por discos adjacentes e θ o ângulo de inclinação dos discos O resultado expresso pela equação que relaciona a vazão à velocidade terminal e ao fator Σ, sugere que na ampliação de escala (scale-up) entre centrífugas do mesmo tipo, operando com uma mesma suspensão (Perry-Green, 1984, p.19-96) Separação líquido-líquido Os vertedores de saída constituem-se no parâmetro mais importante na separação líquido-líquido: eles controlam o volume de líquido retido no centrifugador, o diâmetro crítico das partículas e indicam se a separação é possível. Na figura abaixo, são mostrados diagramas esquemáticos de centrífugas tubulares para a separação sólido- líquido e líquido-líquido. D Q k L R R s pc 1 2 2 2 0,5 = + 18 3 0 µ ρ ρ π Ω − Q k g D L g s = − 2 3 1 pc 2 2 0 2 2 t 18 R +R 2 Q = 2(v ) ρ ρ µ π Ω Σ v v dr dt t dr v t k D R R R t t Ro R pc = = ∴ = = - 2 S 2 1 1 1 18 µ ρ ρ Ω ln Σ Ω = − 2 2 1 2 3 3 3g π θ n r r g cot Σ Ω = + πL g R R 2 2 2 2 3 0 Q Q Σ Σ 1 2 = 55 Localização da Interface líquido-líquido Sejam: r1 - raio da interface da camada leve r2 - raio da interface líquido-líquido r3 - raio da borda externa do vertedor r4 - raio da superfície do líquido leve à jusante do vertedor. O equilíbrio de forças provocadas pelas pressões hidrostáticas nos permite escrever: ∫ ∫ ∫ = = rf ri E rf ri rf Ri A dm a A dF dP . dm = ρ (2π r L) dr ∫ ∫ ∫ Ω ρ = π π Ω = rf ri rf ri rf ri rdr rL rLdr r dP 2 2 2 2 ) ( ( ) 2 2 2 2 i f r r P − Ω ρ = Em r 2 (interface entre as duas camadas), a pressão é a mesma em ambos os lados da interface. Temos então para a fase pesada: ( ) 2 4 2 2 2 2 r r P P P − Ω ρ = para a fase leve: ( ) P L L P r r P = − Ω ρ = 2 1 2 2 2 2 56 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 4 2 2 r r r r P L − − = | | . | \ | ρ ρ Portanto, para haver a separação das fases a interface deve estar num raio menor que r 3 e maior que o raio do topo da superfície do líquido pesado à jusante do vertedor, ou seja: r 4 < r 2 < r 3 . Exemplo: Na refinação primária de óleos vegetais, o óleo cru é parcialmente saponificado com um álcali e o óleo refinado é imediatamente separado, mediante centrifugação do sabão formado. Num destes processos, a densidade do óleo é 0,92 g/cm 3 e a viscosidade 20 centipoise; a densidade da fase sabão é de 0,98 g/cm 3 e a viscosidade 300 centipoise. Procura-se separar uma destas fases num centrifugador tubular de 2 polegadas de diâmetro interno e 30 polegadas de comprimento, girando a 18.000 rpm. O raio do vertedor por onde transborda a fase leve é r 1 = 0,50 in e o do vertedor da fase pesada é r 4 = 0,510 in. Determine a localização da interface líquido-líquido no interior da centrífuga.(Foust et alli. Exemplo 22.4, p554, 1982). Solução: ( ) ( ) 2 1 2 2 2 4 2 2 r r r r P L − − = | | . | \ | ρ ρ 2 2 2 2 2 2 50 , 0 51 , 0 98 , 0 92 , 0 − − = r r 0,939(r 2 2 - 0,250) = r 2 2 - 0,260 r 2 2 = 0,426 2.III - Separação Eletrostática Hugo Arrunátegui .pp237-246 Sendo hoje o consumo de matérias-primas industrializadas cada vez mais elevado, existindo o problema da escassez dos materiais básicos e custos ascendentes, tornou-se economicamente viável o emprego dos separadores eletrostáticos para recuperar e separar minérios, materiais e produtos que no passado eram considerados de difícil beneficiamento e considerados como rejeito. A atualização tecnológica participou diretamente para o sucesso, desenvolvendo equipamentos cada vez mais aperfeiçoados, dependendo porém das propriedades físicas e químicas dos materiais da alimentação, para definir o sistema mais apropriado de processamento. 57 Os diferentes parâmetros que agem sobre os resultados finais de uma separação eletrostática de certas misturas de materiais, obrigam em muitos casos utilizar processos gravimétricos e magnéticos, anteriores ao emprego dos separadores eletrostáticos. Como exemplo, pode-se citar o processamento de minerais de cassiterita, pirita, magnetita, sílica, etc., da região de São João Del Rei, cujo processamento se efetuava numa instalação com equipamentos para realizar uma separação magnética primária, completando-se o processo com uma separação eletrostática, obtendo-se em cada operação produtos diferentes, de acordo com as propriedades magnéticas eletrostáticas dos diferentes minerais. Enquanto outros equipamentos efetuam separações por diferença de peso específico ou de susceptibilidade magnética, os separadores eletrostáticos utilizam a diferença de condutibilidade elétrica. Os elementos são classificados, segundo a condutibilidade em condutores e não-condutores. Os separadores eletrostáticos e eletrodinâmicos utilizam a ação de um campo elétrico de alta tensão, permitindo por via seca, a classificação de partículas minerais em condutoras e não-condutoras. Descrição Geral dos Separadores Eletrostáticos e Eletrodinâmicos São equipamentos fabricados com perfilados e laminados de aço-carbono, soldados, formando uma estrutura resistente. São compostos das seguintes peças: Moegas (Hoppers) - Fabricadas em aço carbono, a moega de alimentação possui regulagem de descarga e fecho rápido. A moega de descarga possui divisores que separam os produtos tratados. Quando a alimentação é de fluxo difícil, aplica-se um alimentador vibratório para alimentar os rolos. Rolos - São fabricados em aço carbono ou inox, com diâmetro variável de 15 a 30 cm. Os rolos são montados sobre rolamentos superdimensionados, protegidos contra o pó, com rotação variável de 50 até 400 rpm. O rolo e a armação são ligados à terra evitando qualquer descarga elétrica. Eletrodos - Em número de três para cada rolo, são fabricados com tubo de alumínio, possuindo regulagem de posicionamento. O eletrodo dinâmico possui um fio de tungstênio montado ao longo do tubo, trabalhando com corrente contínua, em conjunto com o estático. 58 O eletrodo de limpeza montado debaixo do rolo (que destaca os materiais não condutores do rolo), também possui um fio de tungstênio montado ao longo do tubo. Este eletrodo trabalha com corrente alternada. Todos estes eletrodos são montados sobre material isolante, evitando qualquer descarga direta na armação. Fenômenos e Efeitos dos Eletrodos Num fio metálico fino, ligado a uma fonte de corrente contínua de alta tensão, cria ao seu redor um campo circular de alto gradiente (efeito corona) traduzindo-se em uma emissão de íons. Quando as partículas transportadas pelos rolos são submetidas a esta constante elétrica, adquirem cargas de magnitude variável e com a mesma polaridade da fonte. As partículas condutoras perdem rapidamente sua carga ao entrarem em contato com o rolo e são pouco ou não desviadas de sua trajetória normal. As partículas não mantêm sua carga por mais tempo e aderem aos rolos, que as transportam em sua rotação, separando-as assim dos condutores, devido a esse fenômeno de fixação. Se o fio metálico fino é substituído por um cilindro de diâmetro maior, o gradiente do campo obtido é mais fraco. As partículas condutoras levadas pelo rolo no campo recebem instantaneamente a carga normal e as não condutoras recebem uma carga reduzida, libertando-se do rolo com facilidade. As partículas condutoras removidas pelo eletrodo cilíndrico seguem sua trajetória natural, separando-se das não condutoras, devido ao fenômeno da deflexão(desvio) (eletrodo estático). 59 Associando os dois tipos de eletrodos mencionados, os separadores eletrostáticos e eletrodinâmicos Mineralmaq possuem uma capacidade superior de separação, com menos problemas de temperatura e umidade dos produtos alimentados. Também há o efeito da umidade relativa do ar ambiente torna-se praticamente nulo (eletrodo dinâmico) Transformadores - Normalmente são utilizados dois transformadores para cada separador: um para a corrente contínua e outro para a corrente alternada Operação Além da diferença de condutibilidade das partículas, que permite a sua seleção, existem outros fatores que agem sobre a separação eletrostática, tais como: a granulometria, a densidade e a forma das partículas, que modificam a trajetória, influenciados pela força centrífuga e pelo peso. A umidade, a temperatura, o estado da superfície das partículas e a presença de impurezas aderentes às partículas a serem separadas, alteram parcialmente a separação. As misturas de produtos que podem ser tratados nos separadores eletrostáticos devem ser da faixa granulométrica de 6 a 200 mesh, necessitando utilizar uma faixa granulométrica mais estreita para os finos ou grossos ou quando as diferenças de condutibilidade entre os materiais são pequenas. A temperatura de tratamento é freqüentemente elevada, entre 50 e 120ºC. A superfície das partículas deve ser limpa, sem pó, o que exige às vezes lavagens anteriores à separação eletromagnética. O estado da superfície contaminada pode ser modificado com uma simples lavagem de água limpa ou por reações químicas, empregando vapores de ácidos e outros produtos. Outros fatores importantes que afetam uma boa separação são: a) o diâmetro dos rolos usados; b) a velocidade dos rolos; c) o número de passes; d) a alimentação e a posição dos divisores reguláveis sobre as moegas de coleta. Principais aplicações: Separação de scheelita da pirita ou wolframita Separação da Monasita de Ilmenita 60 Concentração de Vermiculita Enriquecimento de concentrados de fosfato Limpeza de carvão. EXERCÍCIOS 1) Dispõe-se de um conjunto de 3 ciclones em paralelo na configuração Lapple, em razoável estado de conservação. O diâmetro do ciclones é 20 in. Estimar: a) A capacidade do conjunto b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 95% c) A potência do soprador usado na operação Considerar que o gás tenha as propriedades física do ar a 200ºC e 1 atm e que as partículas sólidas tenham densidade 3 g/cm 3 . Resposta Capacidade da bateria de ciclones: 87 m 3 /min Diâmetro da partícula com eficiência de 95% = 20 microns Potência do soprador: ≅ 3 cv (eficiência 0,5). 2) Estuda-se a possibilidade de reduzir o teor de cinzas de um carvão através da separação em hidrociclone operando em fase densa. A alimentação contém 2 partes de carvão para 1 de cinzas, em massa. A concentração volumétrica de carvão e cinzas na alimentação é de 5%. Carvão e cinzas apresentam a mesma distribuição granulométrica: Estimar o teor de cinzas do concentrado de carvão (overflow) que deve ser alcançado numa bateria de hidrociclone em paralelo de 2 in de diâmetro, nas configurações (a) Bradley e (b) Rietema, operando a uma queda de pressão de 45 psi. Fornecer também a capacidade de cada hidrociclone. Densidade do carvão e cinzas, respectivamente, 1.25 e 2.10 g/cm 3 Propriedades do fluido: densidade 1,21 g/cm 3 e viscosidade 2,7 cP. Resposta: Fixando a relação entre os diâmetros de descarga (underflow) e da parte cilíndrica do hidrociclone em 0,15, na operação a 45 psi: Configuração Bradley Rietema Q por hidrociclone (m 3 /h) 1,901,90 4,74 Relação % vazões 62,3 98,2 X D = − − 1 21 5 exp , 1,35 Dem m µ 61 (overflow/alimentação) % carvão no underflow 58,8 41,1 % carvão no overflow 75,4 75,6 Total % de carvão perdido pelo underflow 46,4 16,0 3) Determinar a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas esféricas de vidro, 30 mícrons de diâmetro, em glicerina. Sabe-se que a concentração de sólidos é de 300 g/litro de suspensão, as densidades do sólido e do líquido são respectivamente 2,6 g/cm 3 e 1,3 g/cm 3 e que a viscosidade do líquido é 18 centipoise. 4) Foi conduzido no laboratório um ensaio de separação de argila (ρs = 2,64 g/cm 3 ) de uma suspensão aquosa, em centrífuga tubular. Propriedades do fluido: ρ = 1,0 g/cm 3 e µ = 1 cP. Dimensões da centrífuga: R 0 = 1,1 cm, R = 2,2 cm, L = 20 cm; Número de rotações da centrífuga: 20.000rpm. Capacidade para obter um sobrenadante satisfatório: 8 cm 3 /s. Determinar a produção da centrífuga industrial operando com a mesma suspensão a 15.000 rpm. Suas dimensões são R 0 = 5,21cm, R = 8,16cm e L = 73,4 cm. Determinar, também, o diâmetro de corte d 50 (diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 50%) (L.Svarovsky, “Solid-liquid Separation”, Butterworths, Londers, p.132, 1977). 5) O separador de poeira abaixo esquematizado opera em 3 compartimentos. Estimar a faixa de diâmetros das partículas retidas em cada compartimento. Dados: Vazão de gás = 5.000 ft 3 /min (ar a 20ºC e 1 atm); densidade das partículas, ρs = 3 g/cm 3 ; esfericidade φ = 0,75 21 Fluidodinâmica da Partícula Introdução - Muitas etapas de processos, especialmente as separações mecânicas, envolvem o movimento de partículas sólidas, ou gotas de um líquido, através de um fluido - líquido ou gás escoando ou estagnado. São exemplos disto a remoção de pós e fumos do ar, ou de um gás de chaminé, a remoção dos sólidos de líquidos residuais antes de sua descarga nos sistemas públicos de drenagem, ou ainda a recuperação da névoa ácida do gás perdido numa planta industrial de produção de ácido. Dinâmica da Partícula Sólida em Suspensão - Para que uma partícula se desloque através de um fluido, é necessário que exista uma diferença de densidade entre a partícula e o fluido e, obviamente, que uma força externa atue sobre o sistema proporcionando o movimento relativo sólido-fluido. A força externa normalmente é a gravitacional, mas, quando a partícula é muito pequena, tornando a gravidade ineficaz para movê-la através do fluido, aplica-se uma força centrífuga. Quanto maior a diferença de densidades, mais eficaz o processo. Se o fluido e a partícula têm densidades iguais, o empuxo causado por sua imersão será igual à força externa, e ela não se moverá através do fluido. Pelo menos três forças atuam sobre uma partícula submersa num fluido: 1. Força externa, FE – Impulsora da partícula, pode ser de origem gravitacional ou centrífuga. 2. Força de empuxo, FB – Descrita pelo princípio de Archimedes, é paralela à força externa e tem sentido contrário. 3. Força de arraste, FD - se apresenta sempre que ocorre movimento relativo sólido-fluido; opõe-se ao movimento da partícula, atuando na mesma direção do seu deslocamento e em sentido oposto. Em princípio, a direção do movimento da partícula em relação ao fluido pode não ser paralela à direção das forças externa e de empuxo; então a força de arraste faz um ângulo com as outras duas. Neste caso, a força de arraste deverá ser decomposta em componentes, resultando um escoamento bidirecional, complicando o tratamento da mecânica do escoamento da partícula. Na literatura existem equações disponíveis para o movimento bidirecional, mas aqui consideraremos apenas o movimento unidirecional, onde as linhas de ação de todas as forças que atuam sobre a partícula são colineares. Movimento unidirecional de partículas submersas num fluido Considere uma partícula de massa m, movendo-se através de um fluido sob ação de uma força externa FE. Sejam U a velocidade relativa, FB o empuxo sobre a partícula e FD a força de arraste. A força resultante sobre a partícula será: ∑F i = FE − FB − FD 22 A aceleração da partícula é “d(m.v)/dt" e, como a massa é constante, o movimento de sólidos através de fluidos se fundamenta no conceito do movimento de queda livre dos corpos: ∑F i =m dv dv ou m = FE − FB − FD dt dt A força externa é dada pela Lei de Newton: FE = maE onde aE é a aceleração externa (gravitacional ou centrífuga) que atua sobre a partícula. A força de empuxo, pelo princípio de Archimedes, é igual ao peso do volume de fluido deslocado pela partícula. O volume da partícula é ( m /ρS ) e é igual ao volume de fluido deslocado. Logo, a massa de fluido deslocado é: m mF = .ρ ρS e, portanto, a força de empuxo será: ρ FB = m aE ρS a força de arraste é dada por: (2.3) FD = AP CD ρU 2 2 (2.4) onde CD é o coeficiente de arraste, adimensional, AP é a área projetada da partícula, medida na direção perpendicular à direção do escoamento e U é a velocidade relativa sólido-fluido, ou seja, U = u - v. Substituindo esses valores, obtém-se a equação do movimento para a partícula sólida submersa num fluido: dv ρ ApρCDU = maE − m aE − m ρS 2 dt Simplificando, ρS − ρF dv ApρCDU − = aE dt 2.m ρS 2 (2.5) 2 (2.6) a) equação do movimento da partícula no campo gravitacional: Sob ação do campo gravitacional, a aceleração externa aE é a aceleração da gravidade, g = 981 cm/s2 e a equação 2-6 torna-se dv (ρS − ρF )g 1 APρCDU 2 = − dt m ρS 2 b) equação do movimento sob campo centrífugo: (2.6 - a) Uma força centrífuga aparece sempre que a direção do movimento da partícula é mudada. A aceleração centrífuga, no movimento circular, é aE = r ω2 , sendo r o vetor posição e ω a aceleração angular (radianos/segundo). Substituindo na equação 2-6, (ρS − ρ) − 1 APCDρU 2 dv = rω 2 dt m ρ 2 (2.6 - b) 23 Velocidade terminal - Na sedimentação gravitacional g é constante, mas o arraste sobre a partícula aumenta sempre que a velocidade aumenta. Na equação do movimento, observa-se que a aceleração decresce com o tempo e aproxima-se de zero. A partícula alcança rapidamente uma velocidade constante, máxima sob as circunstâncias, denominada velocidade terminal. A equação para a velocidade terminal, no campo gravitacional, é obtida desprezando-se, na equação do movimento, a aceleração instantânea da partícula (dv/dt = 0), que na prática é da ordem de um décimo de segundo. A expressão resultante é: vt = 2 g (ρs − ρ )m AP ρs CDρ (2.7) No campo centrífugo, a velocidade depende do raio e a aceleração não é constante se a partícula estiver se movimentando em relação ao fluido. Nos vários usos práticos da força centrífuga, entretanto, dv/dt é muito pequeno comparado com os outros dois termos da equação 2-7 e pode ser desprezado. A velocidade terminal no campo centrífugo, a um raio qualquer dado, pode então ser definida pela equação: vt = ω Coeficiente de Arraste 2r (ρs − ρ )m APCDρsρ (2.8) O uso das equações anteriores requer que sejam estimados valores numéricos para o coeficiente de arraste, CD. O gráfico da Figura 1 mostra a curva experimental do coeficiente de arraste em função do número de Reynolds, Re, para esferas. Para partículas não esféricas, são obtidas curvas para cada forma diferente de partícula, em função da esfericidade. Essas curvas, na prática, aplicam-se somente para uma orientação especificada da partícula. Partículas não esféricas, em queda livre, têm sua orientação constantemente alterada, consumindo energia e aumentando o arraste efetivo sobre a partícula, fazendo com que o coeficiente de atrito, CD, seja maior que no escoamento do fluido ao redor de uma 1. CD = 4 g (ρS − ρF )DP 3 ρ. Quando as partículas são de tamanho muito reduzido (2 -3 µm) aparece o efeito do movimento Browniano. portanto. Assim. A aplicação de uma força centrífuga reduz o efeito relativo ao movimento Browniano. então (dv/dt) = 0. e O coeficiente de arraste gerado pelo movimento relativo entre o fluido e uma esfera sólida movendo-se sob ação da gravidade será. O coeficiente de arraste na sedimentação retardada é maior que na sedimentação desimpedida. os mesmos princípios aplicam-se a quaisquer formas. sua massa é obtida do produto da densidade pelo volume..vtρ dv = aE dt ρS 4 ρS. 48:157(1948)) Quando as partículas estão a uma distância suficiente das paredes do recipiente e de outras partículas.24 partícula estacionária.9 ) (ρs − ρ) = 3 CD. No tratamento a seguir as partículas serão consideradas esféricas.1µm ou menores. mesmo que não em trajetórias colidentes. a partícula não tem aceleração. a velocidade terminal. o processo é chamado sedimentação retardada (ou impedida). O movimento randômico da partícula tende a suprimir o efeito da força externa e o seu deslocamento pode não ocorrer.SEDIMENTAÇÃO LIVRE – Equação do movimento para partículas esféricas Se a partícula é uma esfera de diâmetro DP. Eng. que é um movimento aleatório provocado pelo choque da partícula com moléculas do fluido que a cerca.10 ) .vt2 ρ 4 DP Na velocidade terminal.(Pettyjohn and Christiansen: Chem. o processo é chamado sedimentação livre.DP aE ( 2. Se o movimento da partícula é impedido por outras partículas. o que fatalmente ocorrerá quando as partículas estão próximas umas das outras. Prog. de modo que seu movimento não seja afetado por elas. pois uma vez conhecido o coeficiente de arraste para o movimento livre desta espécie. especialmente para partículas em forma de discos. Esse efeito predomina sobre a força da gravidade em partículas de 0. ou m= πDp3 ρS 6 e AP = πDP2 4 Substituindo m e DP na equação 2-7 (ρS − ρ) − 3 CD. será menor do que a estimada nas curvas obtidas para partículas com orientação fixa.vT 2 ( 2. . 1. Dp. conforme descreveremos a seguir. da equação anterior.1 – ESTIMATIVA DA VELOCIDADE TERMINAL POR MÉTODO GRÁFICO Figura 2 – Coeficiente de arraste x número de Reynolds para partículas de diferentes formas Admitiremos que a partícula apresenta um certo grau de "uniformidade". Dp.vT 2 3 Eq. 2.10 Aplicando as propriedades do logaritmo à equação. Seja o diâmetro da esfera de igual volume. vT. CD = ƒ(Re).25 A equação acima não permite a estimativa direta da velocidade terminal uma vez que o coeficiente de arraste é uma função do número de Reynolds. tomando o logaritmo do número de Reynolds correspondente à velocidade terminal: Dp ρ log Re = log µ + log(vt ) e assim. que por sua vez é função direta da velocidade e do tamanho da partícula Re = ƒ (ρ. 4 Dp 3(ρs − ρ )ρg log CD = −2 log Re+ log 3µ 2 . µ-1). Este problema pode ser contornado pela utilização de métodos gráficos ou analíticos. 4(ρs − ρ )gDp log CD = log − 2 log(vt ) 3ρ Podemos eliminar vt na expressão acima. para movimento no campo gravitacional. é a dimensão característica da partícula. CD = 4 Dp(ρs − ρ )g ρ. Como a expressão não contém vt. Dp.26 Esta é a equação de uma reta de inclinação −2. Conhecido o número de Reynolds. passando pelo ponto “Re = 1” e “CD = 4 g (ρs − ρ )µ 3ρ2v 3 ”. se determina então vt. Estimativa de Dp à partir da velocidade terminal: Por procedimento análogo se obtém uma expressão independente do tamanho da partícula. de inclinação +1. A equação é: 4 g (ρs − ρ )µ log CD = log Re+ log 3 3ρ2v A expressão acima corresponde também a equação de uma reta. é possível determinar-se a velocidade terminal traçando a reta definida por estes pontos no Gráfico “CD x Re” . ela pode ser substituída por três linhas retas sem perda considerável na .2 – MÉTODOS ANALÍTICOS: 2.. dará o valor numérico do número de Reynolds correspondente à velocidade terminal desta partícula de tamanho conhecido (veja a Figura 2). A interseção desta reta com a curva de esfericidade adequada dará o número de Reynolds na velocidade terminal.1 – Equações aproximadas para cálculo do coeficiente de arraste de esferas Apesar da relação “CD x R e ” na Figura 2 ser uma curva contínua. a partir do qual se obtém Dp. A perpendicular ao eixo das abscissas. para simplificar os cálculos. traçada a partir da interseção desta reta com a curva de esfericidade apropriada. 1. passando pelos pontos Re = 1 e CD = 4 g (ρs − ρ )ρDp3 3µ 2 . são: Região de Stokes: Re < 2 CD = 24 Re FD = 3πµvtDp vt = Região Intermediária: 2 < Re < 500 CD = 18 Re 0.44 FD = 0. 29µ0. 1976].6ρ0. Cada uma dessas linhas cobre uma faixa definida de números de Reynolds.6 aE (ρs − ρ )Dp 18µ FD = 2. elimina-se o termo de velocidade na expressão do número de Reynolds.31π(vtDp )1.14(ρs − ρ )0. 71Dp1. a escolha da equação adequada só poderá ser feita por tentativas. substituindo vt pela equação correspondente ao regime laminar resultando.75 ρ Critério para identificar o regime de escoamento (K) – Quando se deseja estimar a velocidade terminal de uma partícula de diâmetro conhecido. e o valor numérico de Reynolds é desconhecido (pois é função de DP e vt).153aE 0.71 ρ0.55π(vtDp )2ρ ae(ρs − ρ )Dp 1 / 2 vt = 1.27 precisão[McCabe-Smith. para identificar em que região ocorrerá o movimento da partícula. para a faixa da lei de Stokes: Re = Dpρ Dpρ aE (ρS − ρ )Dp2 Dp3 aE (ρS − ρ )ρ vt = = µ µ 18µ 18µ 2 .000 CD = 0. 4 vt = 0. 43 Região de Newton: 500 < Re < 200. Neste caso. 4µ 0. como mostrado pelas linhas tracejadas na Figura 2-3 As equações para as linhas retas e as faixas do número de Reynolds onde cada uma se aplica. 018 x 6. A densidade das partículas é (0. QUADRO RESUMO .1 lb/ft3 K = 4 .⇒ K > 2360 ⇒ EXEMPLO . Se o valor de K está compreendido entre 43. se K é maior que 3.1.156). exemplo 7. o coeficiente de arraste pode mudar abruptamente com pequenas mudanças na velocidade do fluido.479 ( 1.28 Pelas considerações feitas anteriormente.21 )2x10 -10 . Quando K é maior que 2. por sedimentação. o K pode ser calculado e. Então. K = 3 36 = 3.3 e menor que 43. Um critério conveniente para identificação do regime de escoamento pode ser obtido fazendo-se K = Dp 3 Então. obtém-se Re = 1.1x0.075 = 0 . o escoamento ocorre na região intermediária. Sob essas condições a velocidade terminal é calculada da equação 2-10. p.3 aplica-se a lei de Stokes (regime laminar).17 x56.90. é 0. a densidade do ar é muito pequena em comparação com a das gotas de modo que ρp pode ser usada em lugar de (ρP . a massa específica do óleo é 0.Os efeitos do fluxo dentro das gotas e o período inicial de aceleração são desprezados. dá K = 43.360 a Lei de Newton é válida.000 (turbulência na camada limite) 3.Critério para identificar o regime ⇒ em que ocorre o movimento da partícula (McCabe-Smith) K < 3.37) = 56.Gotas de óleo de 15 µm de diâmetro devem ser separadas de sua mistura com ar.3 - K = Dp 3 ae(ρs − ρ)ρ µ2 Lei de Stokes (regime laminar) Região intermediária Lei de Newton (regime turbulento) Re > 200. Procedendo de modo análogo para a região onde vale a lei de Newton. aE (ρS − ρ)ρ µ2 Re = K3 18 para Re = 2.ρ). SOLUÇÃO .⇒ 44 < K < 2360 . Fazendo Re = 500 (limite inferior da região) e resolvendo.6.1 ºC) e 1 atm. A densidade do ar a 70 ºF e 1 atm. 5. da equação anterior.360.21 x 10-5 lb/ft-s.3 Se o tamanho da partícula é conhecido.6.72 x 10-4) = 1.74K1.92 x10 − 5 3 32. e o ar está a 70 ºF (21.3 < K < 44 .90 x 62. O tempo de sedimentação disponível é de 1 minuto.018 cP (0.6 e 2. a lei de Stokes aplica-se para números de Reynolds menores que 2. Além disso. se K < 3. Que altura deverá ter a câmara para permitir a sedimentação dessas partículas? (McCabe-Smith. estimando-se o valor de CD na Figura 3. 21 x 10 . vt.11 CD Re 2 = 4(ρS − ρ )DP 3ρaE 3µ 2 QUADRO III .000 > 140.0061m / s ) 18 x 1.02 x 60 = 1.29 O movimento das gotas está bem dentro da região da lei de Stokes.2 ft (0. então: vt = aE (ρs − ρ )Dp 18µ vt = 32.000 Laminar Intermediário Newton Um outro grupo adimensional.1 = 0 .5 Em 1 minuto. 2 Re 3ρvt ρ.37m). as partículas sedimentam 0.10.17x ( 4. esse grupo adimensional independe da velocidade terminal. Outra maneira de eliminar a dificuldade ao se estimar o coeficiente de arraste na equação 2. Re 2 = 4(ρS − ρ )g vT2 ρ 2DP2 µ2 3ρvT2 2.92 )2 x 10 − 10 x 56. é “CD / Re”: CD 4 DP (ρS − ρ )g µ = . Ga = CD.vt CD 4 µ(ρS − ρ )aE = Re 3 ρ2U 3 ( 2. pelo fato deste ser função da esfericidade e do número de Reynolds.Pontos de transição para Ga REGIME NGa < 60 entre 60 e 140. é a utilização do número de Galileu: Ga = DP2 ρ 2g µ2 Como se pode ver.12 ) . então a altura da câmara não deverá ser maior que este valor. independente do diâmetro da partícula e função da velocidade terminal.DP.020 ft / s( 0 . (cuja determinação implica conhecimento de vT e Dp ). quando prevalece o regime de Stokes (Re < 0. Embora a Tabela III inclua a partícula esférica. Em ambos os casos.fluido e do diâmetro da partícula.aE 2 Re = . gráficos 2 e 3) As correlações nas Tabelas I a IV aplicam-se ao movimento de partículas isométricas isoladas em fluidos newtonianos.00 ± 0. já a equação 12 deve ser utilizada no cálculo de Dp já que o adimensional CD/Re independe do diâmetro. pois CDRe2 não inclui esta variável.30 QUADRO IV . Re < 5x104 Descrição n 24 n n CD = + 0.09 (CD )cor DPUρF 4 ρF (ρS − ρF )aEDP3 CD 4 (ρS − ρF )µ.43 24 24 n 2 0. CD Re = = . A Tabela IV fornece diretamente a expressão para cálculos da velocidade relativa partícula .43 n Re CD Re 2 − n CD Re 2 − n 2 − 1 n + Re = 0.95 0.06 (Re )cor (CD )exp = 1.00115 < 0. vt e Dp são obtidos a partir do número de Reynolds (Tabelas 1 a 4.00 ± 0.5 e 0.5) ou o de Newton (103 < Re < 2x105) Tabela I .00 ± 0.88 (Re ) exp = 1.09 (Re )cor (Re ) exp = 1.00115 Laminar Intermediário Newton A equação 11 pode ser usada para o cálculo de vt.43 n 1 n Re = + CD Re CD Re onde Valor médio e desvio padrão 0.63 0.Partícula esférica isolada. nos cálculos com partículas desta forma deve-se usar a Tabela II para maior precisão.5 entre 7.Pontos de transição para CD/Re REGIME NGa > 7. µ µ2 3 ρF2 U 3 Re 3 . correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948). 00 ± 0.843 log 10 e K 2 = 5.10 (Re )cor (Re )exp = 100 ± 0.Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada.65 < φ ≤ 1 Variável a ser estimada CD U Regime de Stokes Re < 0.ω2 .31 − 4.88φ 0.31 Tabela 2 .3 Onde: DPUρF 4 ρF (ρS − ρF )aEDP3 CD 4 (ρS − ρF )µ.14 (CD )cor 1.85 1.00 ± 0. 1948) 0. no campo centrífugo. b = r.065 Tabela 3 . CD Re = .13 CDcor (Re )exp = 1. cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen.2 Valor médio e desvio padrão Descrição 24 n 1 n CD = + K 2n K 1 Re 1n n 2 K 2 n 24 + Re = K 1(CD Re ) CD Re K 1CD Re 2 − n CD Re 2 − n 2 − 1 n + Re = 24 K2 CD exp = 1. = 3 Re 3 µ µ2 ρF2 U 3 φ K 1 = 0.5 Regime de Newton 103 < Re < 5 x 104 24 K 1 Re K 1aE (ρS − ρF )DP 2 18µ 18µU K1 (ρS − ρF )aE K2 4(ρS − ρF )aEDP 3ρK 2 3K 2 ρFU 2 4(ρS − ρ )aE DP no campo gravitacional.Partícula isométrica isolada: correlações de Coelho & Massarani (1966) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948) 0.65 < φ ≤ 1 e Re < 5x104 n 0. b = g = 981 cm/s2.aE 2 Re = . é válida para porosidades inferiores a 75%: vt = vt∞ε n . de Richardson e Zaki (1954). 1933) kP = 1 − β 3 2 Re = 24 exp(3. Um aumento na concentração da suspensão acarreta uma substancial redução na velocidade terminal do conjunto de partículas.31 − 4.843 log 10 . K 2 = 5. através de um lodo ou suspensão de outras partículas no fluido. Uma correlação clássica. 1995): 0.1 − 103 >103 (Francis.17 x10 − 3 − 0.475β kP = 10 B 1 + A Re ∞ A = 8. fato importante no estudo da separação sólido-fluido. 1933) 1− β 4 kP = 1 − 0.281β 0. n = 0. neste caso.32 Influência da presença de fronteiras rígidas Tabela 4 . B = 1.54β) .65 < φ < 1 e 0 < DP/DT ≤ 0.065 2.1 (Francis.85 n K 1 (CD n − K 2 ) 1 n Re = DPvtρ 4 (ρS − ρ )gDP < 35. e a velocidade de sedimentação é muito menor do que a prevista pelas equações deduzidas sob a hipótese de movimento livre das partículas.5 Dpv∞ρ Re ∞ = µ kP = vT DP e β= v∞ Dt < 0. ocorre uma interferência mútua no movimento destas. – SEDIMENTAÇÃO OBSTADA: PARTÍCULA ESFÉRICA E EFEITO DE POPULAÇÃO Quando um fluido contém muitas partículas em suspensão. A partícula sedimenta. ao invés do fluido puro. 79β.88φ 0.Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano (Almeida.91e 2. CD = µ ρvt 2 3 φ K 1 = 0. 03 4. isto é.4 Re∞-0. p. . e o expoente n é um parâmetro que depende do número de Reynolds Re∞ < 0. ε.1 2. introduzindo-a na fórmula de Stokes para regime laminar.4 Re∞-0. será diferente de acordo com a concentração da suspensão. escoando livremente sem interferência de outras partículas ou das vizinhanças.65 4. 1979.4 Para sistemas de baixa porosidade a velocidade terminal pode ser calculada com auxílio do Gráfico mostrado na figura abaixo (Massarani. Para definir a velocidade da suspensão pode-se recorrer à sua porosidade. O valor de ρsus é calculado pela média ponderada de ρp (partícula) e ρ (líquido). A equação resultante é: vsus = ε g (ρS − ρSUSP )DP2 18µSUSP (13) sendo ρsus e µsus a massa específica e a viscosidade da suspensão.2 0.57): Embora se possa considerar a velocidade de deposição constante para todas as partículas.33 onde vt∞ é a velocidade terminal da partícula à diluição infinita. ou seja.2 − 1 1-500 > 500 n 4. K. Esta equação só aplica-se para regime laminar.14 ) Quanto à viscosidade da suspensão.. várias tem sido as tentativas de correlação.3 µ2 Parte II: Separação sólido-fluido em sistemas diluídos Finalidade: • Promover a separação de partículas suspensas em fluidos (ou.82 (1 − ε ) ε 2 DP2 (ρS − ρ )g 18µ ( 2. vol. A relação entre ϕP e ε.189 e Foust.19 (1− ε ) Utilizando este fator de correção. II. a velocidade terminal de uma suspensão de partículas esféricas.ρm(ρS − ρm )ϕp 2 1 3 K = DP ≤ 3. em regime laminar. for menor que 3.ε. Para partículas esférica escoando em regime laminar. 452) µSUSP 101.34 ρSUSP = ερ + (1 − ε )ρ S (ρS − ρSUSP ) = ε(ρS − ρ) e ( 2. mantê- las em suspensão). inversamente. uma das quais é a seguinte (Coulson. p. vem: vSUSP = 10 − 1. o critério para identificação do regime de escoamento fica. ρS − ρSUSP DP 2 vSUSP = 18µ A viscosidade a ser empregada na equação acima é a do fluido puro. entretanto. ). ϕP = e −4. quando o critério de sedimentação. Para a sedimentação retardada. ou seja.ϕP.82 (1− ε ) =µ ε ( 2.15 ) Substituindo (14) e (15) em (13). não é conhecida em toda a faixa de números de Reynolds.3.16 ) A viscosidade também pode ser corrigida pelo fator empírico ϕP (McCabe-Smith. será dada por: aE . p. para vazões definidas em função da capacidade de produção fixada . p.. pois o efeito da concentração de sólidos sobre a viscosidade será corrigido pela relação ϕP / µ. aE. 35 Quadro 1 – Campos de força para separação de partículas sólidas Dimensão (µm) 0.É a operação de separação (ou classificação por tamanhos) de partículas. a separação é conseguida em função do tamanho das partículas e da diferença de densidades entre estas. a sedimentação é completa.1 0. Quando o objetivo é a classificação por tamanhos de partículas de um único material homogêneo. Quando isto é possível. e a maior partícula do material menos denso. lifica nd 4 g ρs − ρ DA 3 CD A ρ = 4 g ρs − ρ DB 3 CD B ρ DA DB ρB ρ CD ρA ρ CD A B .1 a 0.1 ELUTRIAÇÃO .I .Campo Gravitacional 2. obtida mediante uma corrente ascendente de líquido em contracorrente com os sólidos. a separação é obtida com base apenas na diferença de velocidades terminais das diversas partículas: aquelas que tiverem uma velocidade de queda menor que a velocidade de ascensão do líquido serão arrastadas por este. Quando se trata de uma mistura de dois materiais diferentes.4 Designação Fumos Fumos Campos de força Elétrico Elétrico Filtros de pano Lavadores de poeira Elétrico 1 a 10 Poeiras Filtros de pano Lavadores de poeira Centrífugo 10 a 100 Poeiras Filtros de pano Filtros recobertos viscosos 100 a 1000 > 1000 Poeiras Poeiras Centrífugo Gravidade Gravidade PARTE DOIS Separação sólido-fluido em Sistemas Diluídos 2. Assim. as partículas mais densas sedimentarão com maior velocidade.I. enquanto que as de maior velocidade sedimentarão e serão coletadas no fundo do vaso. devendo a velocidade de ascensão do líquido ser ajustada num valor entre a velocidade terminal da menor partícula do material mais denso. A mistura tem dimensões entre 0. Substituindo e simplificando a expressão resultante. ρB − ρ 24µDB ρvB DA = ρA − ρ 24µDAρvA DB Ocorrem dois casos extremos: a) No regime laminar. O intervalo de separação possível (razão de separação) pode ser determinado à partir da relação entre as dimensões das partículas de A e B que têm mesma velocidade terminal. Desse modo. determine: a) Qual a velocidade da água para se ter como produto a galena pura (admitir sedimentação livre a 20ºC. teremos: DA = DB ρB − ρ ρA − ρ 0.s/m2).36 Sejam dois materiais A e B. Admitindo que a esfericidade de ambos os materiais é a mesma e igual a 0. Então. b) Qual o intervalo de dimensões da galena obtida como produto?(Foust. o coeficiente de arraste é aproximadamente constante e igual a 0. CD = 24/ Re. temos: b) No caso de partículas de mesma esfericidade sedimentando a altos números de Reynolds (alta vazão ou grandes dimensões). Se a faixa de tamanhos for grande. Ocorrendo isto.500 kg/m3) e sílica (densidade 2.2 p. sendo A mais denso que B.543) . igualando as velocidades terminais de A e B. é possível que a velocidade terminal das maiores partículas de B sejam superiores às das menores partículas de A.806. evidentemente a separação não será completa.0 no regime laminar no regime de transição no regime turbulento EXEMPLO: Uma mistura de galena (densidade 7.5 < n < 1.5 Conclusão: a separação de dois materiais diferentes será possível se a razão de separação for maior do que: DA > DB ρB − ρ ρA − ρ n ρ sendo ρ ρ n = 0.44. exemplo 22.8mm.650 kg/m3).5 0.001 N. viscosidade = 0. deve ser separada por Elutriação.7 e 0.0 n = 1. (para baixos valores do número de Reynolds). é cair e ser arrastada ao mesmo tempo. tendendo então os sólidos suspensos a sedimentar. numa posição mais próxima ou mais afastada do ponto de alimentação. o primeiro termo do lado direito da igualdade se anula e. a baixas concentrações de sólido. para que a expressão seja verdadeira é necessário que ux = vx . resulta: componente x: = P ρP F x + A ρF −v D ux − vx como a gravidade não tem componente no eixo x. ao sair da tubulação e ser introduzida na câmara. havendo em conseqüência uma redução brusca na velocidade. encontra uma área disponível ao escoamento muitas vezes maior. de acordo com o tamanho. como indica a Figura a seguir: A suspensão. isto é. na direção x. a componente da velocidade do fluido é igual à componente da velocidade da partícula.37 2. Desprezando a aceleração da partícula e decompondo a equação do movimento em suas componentes. A representação esquemática destes equipamentos é mostrada na figura abaixo: A separação.I-2 CÂMARAS GRAVITACIONAIS . A tendência de uma partícula. pode ser estudada através da análise do comportamento dinâmico das partículas individuais.As câmaras gravitacionais e câmaras de poeira. componente Y . ao ser atirada num fluido escoando entre placas paralelas. destinam-se à separação de partículas relativamente grandes em suspensão num líquido ou num gás. lançada na condição mais desfavorável. Por definição. O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção x a distância L é: t= L u Q ). é: t= H vt . em l = L . Admite-se que esta partícula sedimente Admite-se que esta partícula sedimente na extremidade oposta da câmara. Diâmetro da menor partícula que pode ser coletada na câmara: O diâmetro crítico de separação pode ser obtido se analisarmos a condição de a menor partícula. ser coletada. o volume e a área iguais aos de uma esfera. relativa à vazão Q. resulta u−v = u−v = ux − vx 2 + uy − vy − vy = vy = vt 2 2 Substituindo esses valores na equação do movimento. obteremos a expressão geral para a velocidade terminal como na Lei de Newton.38 0 = VP ρP − ρF gy + A ρF u − v CD uy − vy 2 Não há movimento de fluido na direção perpendicular ao escoamento. uy = 0. chega-se a vy = vt = 2Vp ρp − ρ g ρApCD Se fizermos. ou seja. o módulo da diferença de velocidades é: Como uy = 0 e ux = vx. na expressão acima. então. HB onde u é a velocidade média do fluido entre as placas. ( u = O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção y a distância H. A velocidade pode também ser dada em função da vazão. Igualando-se as expressões. COPPE/UFRJ. DADOS: Faixa granulométrica da areia = 70 < Da < 250 µm Para a cal: esfericidade = 0. contém areia como produto indesejável. Determinar a capacidade da unidade abaixo esquematizada para a separação completa da areia (m3 suspensão /h). No escoamento lento de partículas esféricas. podemos estimá-lo através do grupo CD / Re ou com auxílio do gráfico CD x Re.7. teremos: D= 18 µHu ≡ ρS − ρ gL 18 µHQ ρS − ρ gV sendo V = HBL EXEMPLO: Uma suspensão diluída de cal em água. estes tempos devem ser iguais. obtemos a equação para o cálculo da velocidade terminal da partícula de diâmetro crítico: vt = Hu L Como nos interessa o diâmetro dessa partícula. as menores. como: vt = Q Q = BL Aproj O diâmetro crítico está relacionado às condições de operação (vazão da suspensão) e às dimensões do equipamento. Determine também a percentagem de cal perdida na separação. com eficiência inferior.Massarani.17.39 Para a partícula ser coletada. Problemas em Sistemas Particulados IV. densidade = 2. Não há efeito de população pois a suspensão é bem diluída. Publicação Didática-PDD 03/82.6 g/cm3 Temperatura de operação = 30ºC Análise granulométrica das partículas de cal Dp(µm) % < Dp 20 15 30 28 40 48 50 54 60 64 70 72 80 78 100 88 (G. Partículas maiores que aquelas de diâmetro crítico são também coletadas com eficiência de 100%. densidade = 2.2 g/cm3 Para a areia: esfericidade = 0. p. 1982) .80. 40 SOLUÇÃO: Diâmetro crítico da areia = 0.11 Re 3 ρ2vt3 Dp = Re µ = 6.69) = 31%.17cm / s ρDp Lvt = 2. a perda de cal será (100 .12 µ2 3 Re . a ordenada correspondente é 69.70µm vt = Hu L 2 CD Re = 4 ρS − ρ ρgDP 2 = 7 .27cm / s u= H vt = Q = u H B = 2. para Dp = 64µ.47 x10 − 3cm = 64µm ρvt No gráfico da distribuição (% < Dp x Dp) encontramos.195 ⇒ Re = 0.04x104 cm3/s = 73.4 m3s b) Cálculo da quantidade de cal depositada: Qual o diâmetro da partícula que sedimenta com velocidade terminal de 0.µ = 0.17 cm/s? A determinação pode ser feita com auxílio do gráfico CD / Re x Re: CD 4 ρS − ρ gµ = = 3. Logo.(Gráfico abaixo) .18 ⇒ Re = 0. 96): ur = 0 uθ = r Ω onde Ω é a velocidade angular (radianos/segundo) e r o vetor posição num dado instante.00 28.0 60.0 20.radial = ar = vθ 2 r desprezando a aceleração da partícula e substituindo os valores acima.0 64.0 78.0 88. resulta para a equação do movimento: componente tangencial: 0 = V ρS − ρ aθ + A ρ u − v CD uθ − vθ 2 da expressão se conclui que: uθ = vθ = rΩ .41 100.00 54.0 40. No campo centrífugo. ou gotas. o processo de separação por decantação pode ser acelerado pela aplicação de uma força centrífuga.0 80.00 100.00 Dp 70.Separação no Campo Centrífugo A separação de partículas em suspensão num fluido por ação da gravidade é limitada.00 60. Os separadores centrífugos são recomendados.0 60. Quando os sólidos têm tamanhos muito reduzidos. principalmente.0 100. p.00 90.00 % < Dp 80.0 40.00 20.0 48.00 30. A intensidade do campo centrífugo é dada por: a= ac.00 2. pela dimensão dessas partículas.00 72. por sua grande eficiência no tratamento de partículas. neste caso.II .tan gencial = aθ = 0 ac.00 40. as componentes da velocidade do fluido são ( Bird. 1960. de reduzido tamanho.00 80.00 15.00 50.0 20.0 0. Stewart e Lightfoot. O fluido com impurezas. que consistem numa carcaça fixa de geometria cilíndrica/cônica. líquida ou gasosa. os diâmetros das saídas de topo (overflow) e de fundo (underflow) e o diâmetro da seção cilíndrica. menos densa e livre dos sólidos. â altura. O modelo Lapple. é introduzido tangencialmente no topo da parte cilíndrica. Geralmente. é obtido pela injeção da suspensão a ser tratada tangencialmente à parede interna do equipamento. em função da qual todas as outras medidas são estabelecidas.2-1 CICLONES E HIDROCICLONES Os Ciclones e Hidrociclones são separadores usados para a remoção de partículas finas em suspensão num fluido. a expressão para a velocidade terminal no campo centrífugo fica: vr = vt = 2V ρS − ρ rΩ2 ρACD 2V ρS − ρ r = vradial ρACD vter min al = Ω II. saindo por uma tubulação fixada na região central superior do equipamento. é o que foi mais . a corrente fluida. como mostra a figura abaixo. e os sólidos adquirem um movimento espiralado (pela ação centrífuga) e descendente (pela ação da gravidade). Os diferentes modelos de ciclones caracterizam-se pelas proporções peculiares entre suas dimensões. para separação sólido-gás. O movimento centrífugo desenvolvido pelo fluido no interior do aparelho. Neste movimento. Enquanto isso.42 componente radial: 0 = V ρS − ρ ar + u−v = A ρ u − v CD ur − vr 2 2 uθ − vθ 2 + uθ − vθ = vr Substituindo os valores acima. ao atingir o defletor na base da região cônica inferior. os ciclones são constituídos de um corpo cilíndrico assentado sobre um tronco de cone. As variáveis de projeto dos ciclones e hidrociclones são a seção transversal da entrada da alimentação. os sólidos perdem quantidade de movimento e são recolhidos na base cônica do vaso. inverte o seu movimento helicoidal que passa a ser ascendente. figura abaixo. que u = rΩ e que Ω= 2πNe Vs / Q . Considera-se nesta análise que prevaleça o regime de Stokes. entre 20 e 70 ft/s.20-83) e está esquematizado na figura a seguir. que também é o valor utilizado em cálculos de projeto. a queda de pressão é ∆p = 4ρu 2 Diâmetro de corte no ciclone: A partícula com o diâmetro de corte Dpc atravessa a espessura de separação Bc /2.25 Na prática os ciclones operam numa faixa de velocidade do gás na entrada. que a partícula seja esférica.00 0. Proporções Bc / Dc De / Dc Hc / Dc Lc / Dc Sc / Dc Zc / Dc Jc / Dc Ciclone Lapple 0. Nos ciclone do tipo Lapple.50 0.00 0. A queda de pressão. Recomenda-se uma velocidade média de 50 ft/s. pode variar em até 20 vezes a pressão cinética inicial.25 0. Q a vazão volumétrica de suspensão e aE = rΩ 2 a intensidade média do campo centrífugo.43 profundamente estudado (Perry e Green. no tempo de residência do fluido no ciclone: Va Bc 2 = ρs − ρ Dpc2 ae 18µ Q onde Va é o volume ativo do ciclone. na qual o ciclone é projetado para operar. 1984. p.50 2.13 2. resultado que pode ser expresso como Dpc = 9 µBc 10 π ρs − ρ u µDc Dpc = 0 . µDc Dpc =K 1− Rf Q ρS . de modo que u= Q 8Q = BcHc Dc 2 Generalizando a equação para os ciclones a gás. Resulta da Dpc = 9 µBc 2 πNe ρs − ρ u combinação das equações acima.ρ Dc onde Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone. 6 < u < 21 m/s. A densidade das partículas sólidas é ρs = 2. Rf é o quociente das vazões volumétricas na descarga de sólidos e na alimentação e P um fator que leva em conta a concentração de sólidos na alimentação.ρ Dc 0. EXEMPLO: Estimar a bateria de ciclones Lapple (ciclones iguais.3 g/cm3.095 Q ρS .44 u e Ne são respectivamente o valor médio da velocidade da suspensão na seção de entrada e o número de espiras que o fluido forma no interior do ciclone. A eficiência global de coleta deve ser da ordem de 85%. a expressão para o diâmetro de corte no ciclone Para o modelo Lapple verifica-se que na condição de operação recomendada. Portanto. verifica-se experimentalmente que Ne ≅ 5. A análise granulométrica dos sólidos é a seguinte: . BcHc a área da seção transversal da alimentação de suspensão. µDc Dpc =K Q ρS .ρ Dc e para os hidrociclones que trabalham com suspensões mais concentradas. em paralelo) para operar com 3500 ft3/ min de ar (520ºC. 1 atm) contando cinzas de carvão. sendo Bc = Dc/4 e Hc = Dc/2.5 P onde K é um fator que depende da configuração do ciclone. Portanto. A queda de pressão na bateria é de 3. . o número de ciclones em paralelo será: Q nº = = 9 .035 centipoise.7 cm.7 µm.9 cm de coluna de água e. Em conseqüência.113). 1984.3 correspondente à eficiência global de coleta de η = 0 . O gráfico de eficiência de coleta em ciclones (η x D50/Dpc).45 D(µm) 100X 5 12 10 27 15 48 20 63 30 80 40 88 SOLUÇÃO Pode-se verificar que a análise granulométrica pode ser representada pelo modelo log-normal.6 ft/s (dentro da faixa recomendada). 85 (Massarani. seja a bateria constituída por 10 ciclones em paralelo.095 Q ρS . Redimensionando o diâmetro do ciclone. com D50 = 15.5 e σ = 2.43 x 10-4 g/cm3 e µ = 0. podemos usar a equação: µDc Dpc = 0 . Dpc = 4.ρ Dc resultando Dc = 30cm e u = 48. Admitindo que a velocidade do gás na seção de alimentação seja o valor recomendado u = 50 ft/s. resulta da equação Dpc = 9 µBc 10 π ρs − ρ u que o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone é 30.3.5 HP. p. permite calcular o valor D50/Dpc = 3. a potência do soprador pode ser estimada em 1. portanto. Propriedades do fluido: ρ = 4.1 uBcHc Assim. além de ocupar muito espaço são ineficientes na separação de partículas pequenas.3 0.20º BRADLEY 1/7 1/5 1/3 9º CBV-CEMCO 0. e outro interno em sentido contrário. de alta pressão e grande eficiência.34 5 0. cujo componente axial do fluxo é dirigido para o vértice do cone (apex). é um centrifugador a úmido.40 10 . resultando na formação de dois vórtices: um externo (fase densa). na qual a suspensão é introduzida sob pressão tangenciando a parede. ou ciclone líquido sólido.46 HIDROCICLONE O hidrociclone. Uma característica fundamental do hidrociclone é ser um equipamento compacto. na direção do topo. Os ciclones têm sido usados extensivamente para substituir as câmaras de poeira que.25 3.5 22º l / Dc θ . é possível se obter separações muito finas num hidrociclone de pequeno tamanho.28 0. Devido a força centrífuga desenvolvida pelos vórtices formados nos ciclone ser muito alta (atinge cerca de 2. sem partes móveis em sua carcaça cilindro-cônica. O modo como a suspensão é introduzida lhe confere um rápido movimento centrífugo. A tabela abaixo mostra a relação entre as dimensões características (conforme explicitadas na figura da página anterior) para três tipos de hidrociclones comerciais: HIDROCICLONE Di / Dc Do / Dc L / Dc RIETEMA 0.8 0.500 vezes a força gravitacional). a equação fica 0.1 < < D D50 2 < 2 1 PARA D D50 Operação . µDc Dpc =K 1− Rf Q ρS . e é introduzida tangencialmente através do injetor.ρ Dc Para o hidrociclone CBV-DEMCO. os sólidos são centrifugados e lançados contra as paredes. Nesse movimento. invariavelmente os tamanhos maiores descarregam-se pelo underflow . adquirindo movimento espiralado e descendente ao longo das paredes do cilindro e do cone. ou valores próximos. geralmente tem diluição relativamente alta.47 Como visto anteriormente. constituindo o overflow (sobrenadante).ρ Dc µDc Dpc = 0 .86X10-4 e a eficiência de coleta nestes equipamentos é: |0 .Tratando-se de partículas de mesma densidade. Tamanho de Separação . sob pressão (entre 10 e 50 psi).5 η= | | D D50 NA FAIXA 0. sendo descarregados em sua maioria como underflow.16x10-2 Ciclone CBV 4H" → α = 3.A polpa a ser tratada no hidrociclone. que para um hidrociclone genérico. de modo que nas vizinhanças do ápice do cone uma parte desta corrente turbilhonar reverte-se para cima.056 e4c Q ρS .5 P Onde c é concentração de sólidos na suspensão (c = 1 − ε). Nos hidrociclones CBVDEMCO a queda de pressão é dada por ∆p = αQ 2 psi (l min)2 α= Ciclone CBV 2" → α = 1. até 30%. usam-se unidades de diâmetro pequeno. mais fino será o tamanho de separação. A interseção das duas curvas dá o tamanho da partícula de corte. sendo necessário determinar o tamanho de separação destas duas classes.48 e as maiores pelo overflow. isto é. não há uma separação nítida. traçando-se uma curva para o underflow e outra para o overflow. ou seja. p. Nestes casos define-se um coeficiente de deslamagem que é a relação da percentagem de sólidos abaixo de 200 mesh da alimentação que se descarrega no underflow. Quando menor o diâmetro. . para a percentagem de água total que sai no underflow. variando de 5-29 mícrons.. convencionalmente denotado d50 ou Dpc Uma maneira simples de determinar este ponto d50 é traçar as curvas das percentagens simples. Entretanto. Quando o ciclone é usado como deslamador nesta faixa finíssima. usam-se os de maior diâmetro (Hugo Arrunátegui. mas há sempre uma determinada classe de partículas. para separa partículas minerais em faixa mais grossa. d50: Influência do Diâmetro do Ciclone na Separação: A medida do diâmetro influi no tamanho de separação.24) realizar: Tipos de Ciclones: Os ciclones são classificados em três tipos. a operação é uma deslamagem ou desarenagem.Usados na separação de partículas. segundo a operação a Ciclones Classificadores (Deslamadores ou Desarenadores) . Quando a classificação ou corte se dá em torno de 200 mesh (74 mícrons). uma determinada dimensão tal que as partículas maiores saiam no underflow e as menores no overflow. em relação a um tamanho de referência. classificando partículas maiores e partículas menores que o tamanho dado. ou diâmetro de corte. um determinado tamanho tais que 50% delas saem pelo underflow e os outros 50% pelo overflow: é o tamanho cinqüenta por cento. tomadas em relação à alimentação: retidas versus tamanhos. neste caso a finalidade é descartar as lamas para recuperar as areias ou descartar as areias para recuperar as lamas (no tratamento de minérios). Estes motivos quase sempre justificam o seu emprego nas faixas apropriadas. ocupa pouco espaço e tem elevada capacidade.49 Ciclones Separadores ou Lavadores . a separação se dá em função da massa dos sólidos e não do seu tamanho.Abaixo de 2 mícrons só é possível separar as partículas suspensas por centrifugação.Vazão ou volume injetado na unidade de tempo Pressão de alimentação Características dos sólidos (ou da polpa) Características do meio (granulometria. embora acima de 44 mícrons (350 mesh) seja preferível fazer-se a separação em peneiras vibratórias.São usados na separação de partículas de acordo com as densidades. Nos ciclones que usam como fluido um meio denso. Na operação com estes ciclones. ρ e µ) A vazão é um fator importante na operação. Não obstante estas limitações. o ciclone é de baixo custo de instalação e operação. Variáveis de Operação dos Ciclones . guardando estreita dependência com o tamanho da separação. O regime de funcionamento normal do ciclone está relacionado com a constância da vazão. .O limite superior do tamanho de espessamento no ciclone é de 200 mícrons. Esta operação não se consegue completamente. Uma característica dos ciclones separadores é o ângulo do cone. pois é praticamente impossível separar por ciclonagem partículas abaixo de 2 mícrons (3200 mesh). que atinge até 60º. Ciclones Espessadores . em operações tais como espessamento e clarificação. deve-se considerar as seguintes observações segundo Bradley: .Usados na separação dos sólidos em relação ao líquido em que estão suspensos. elutriação ou sedimentação com floculantes. A densidade de separação é tomada convencionalmente como aquela que corresponde à descarga de 50% no underflow e 50% no overflow. separando as mais pesadas das mais leves em relação a uma dada densidade de separação ou meio denso. . usam-se pressões de 2 a 12 psi. é necessário uma pressão maior. agravando também o problema da abrasão. Q a vazão de alimentação de cada hidrociclone e “c” a fração volumétrica de sólidos na alimentação. Para ciclones classificadores em circuito de moagem. Com base nessas a) Especificar a bateria de ciclones CBV 4H (Dc = 4”) para operar com 4.9 g/cm3) com uma concentração de 20% em peso de sólidos. Além disso. Tese de Mestrado. estudando o desempenho de ciclones CBV-Demco. Queda de pressão = 35 psi. provocando maior densidade do overflow: uma diminuição conduz a efeitos inversos. embora menos preciso. Temperatura = 30ºC.1 < < D50 D50 D 1 para < 2 D50 2 Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone. quando da separação de minérios. Geralmente opera-se numa faixa de 10 a 50 psi. o aumento da pressão exige bombas mais potentes e mais custosas.50 Um aumento da pressão leva a um corte mais fino. Peçanha (“Avaliação do desempenho de hidrociclones”. mas para se obter um overflow mais fino. estabeleceu as seguintes expressões para o diâmetro d50 (diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 50%) e para a eficiência de coleta da partícula de diâmetro d50: µDc Dpc = 0 .ρ Dc |0 5 η= | expressões D D para 0. b) Estimar a eficiência global de coleta das partículas Dados: Capacidade de 1 ciclone 4H ∆P(psi) Q(l/min) 20 232 25 256 30 280 35 300 40 330 45 340 50 360 .056 exp(4c) Q ρS .800 l/min de suspensão de minério de ferro (ρs = 4. COPPE/UFRJ. 1979). Exemplo R. tem uma capacidade de 300 l/min. o hidrociclone 4H operando a ∆p = 35 psi.1µm Dpc = 0.5 (Massarani.51 Análise Granulométrica: 122.9 1 a) Cálculo do número de hidrociclones: Dos dados da tabela de capacidade.54) . serão necessários: n= b) Cálculo da eficiência global: 4800 = 16 hidrociclones 300 µDc Dpc = 0 . 20 4. 1982.22) Solução: Propriedades físicas: ρs = 4.4 10-20 38. 05) e = 14. ρ = 1 g/cm3.6 60-70 2.18 x10 − 4cm 3 300 x10 (3.05 20 80 + 4.5 50-60 8.1 40-50 13. p.7 20-30 27.9) 60 Dpc = 14.8)(10 − 2)(4 x 2.ρ Dc (0. Como a vazão de suspensão a tratar é de 4.800 l/min.056(4 x 2.54) ( 4 x 0.9 g de amostra D(µ) m de cada fração < 10 15. Concentração da suspensão: 20 g em peso. Problemas em Sistemas Particulados.8 centipoise. Diâmetro do ciclone = 4 in. µ = 0.9 g/cm3. Base de cálculo = 100 g de suspensão. Vazão = 300 l/min.1 30-40 17.056 exp(4c) Q ρS .9 c= = 0. 55 4. Operam . atingindo forças centrífugas da ordem de 13. Centrifugador Decantador Contínuo .090 0. Centrífuga Tubular . Pode ser projetada para operar até 5.Este equipamento é de tamanho maior que o anterior.52 Com os dados da tabela.25 4.548. mas atinge menor velocidade de rotação.000 gal/h (310 l/min). com quantidade moderada de sólidos que são descarregados continuamente numa corrente concentrada. 1982): 1. Centrifugador a Discos . na faixa de 3 a 30 litros/minuto.000 D/D50 0. opera intermitentemente com pequenas concentrações de sólidos.875 0. porém opera com pequenas capacidades.71 1. Como não dispões de dispositivo para remoção contínua de sólidos. p.560 0. operando como um espessador (a ser estudado no capítulo 4). 3.200 0.84 3.2-2 CENTRÍFUGAS Existem três tipos principais de centrifugadores que se distinguem pela força centrífuga desenvolvida. desenvolvendo uma força centrífuga até 7.25 1 1 1 1 1 1 II.42 2.Gira com elevada velocidade de rotação.Destina-se a separação de sistemas sólido-líquido.000 vezes maior que a da gravidade. .000 vezes a força da gravidade.020 0. traça-se o gráfico “ηi x fração > D” e a eficiência global η é obtida por integração gráfica (dada pela ordenada tal que a área a seja igual a área b) D(µ) 10 20 30 40 50 60 70 fração > D 0. pela faixa de produção que se obtém e pela concentração dos sólidos que podem ser operados (Foust. 2.46 η 0.340 0.13 2. a trajetória assinalada na figura representa a partícula Dpc coletada 2 2 π R 2 − R1 = π R1 2 − R0 com eficiência de 50%. Seja a centrífuga decantadora tubular mostrada na figura abaixo. A Centrífuga decantadora provoca forças centrífugas 3. o tempo necessário para que a partícula percorra a distância L na vertical é e o tempo necessário para que a partícula percorra a distância radial de R1 a R é t= L = u L Q 2 2 π R − R0 . Cálculos da Centrifugação Na seção anterior estabelecemos que a expressão da velocidade terminal para uma partícula no campo centrífugo é dada por vt = vR Ω 2r ρs − ρ m AρCD ρS Vamos agora estabelecer a relação entre o diâmetro de corte. As hipóteses de cálculo são: a) As partículas estão igualmente espalhadas em z = 0. independentemente do tamanho. ajustando-se as taxas de alimentação e velocidade do vaso de modo que as partículas pequenas não tenham tempo de sedimentar e saiam com o filtrado.53 com sólidos até uma taxa de 50 ton.000 rpm. Em relação à trajetória crítica assinalada na figura. Dpc e as propriedades físicas do sistema sólido-fluido. com velocidades que vão até 6. Estas máquinas podem ser utilizadas como classificadores. onde e portanto.000 vezes maior que a da gravidade. 2 R 2 − R0 2 R1 = b) Prevalece o regime de Stokes c) Movimento empistonado do fluido na centrífuga./h. permitindo efetuar separações de partículas na faixa de 1 mícron. as dimensões do equipamento e as condições de operação. São construídos com diâmetros variando entre 4 e 54 polegadas. e multiplicando e dividindo a expressão resultante Q=2 2 k1 g ρs − ρ Dpc 18µ 2 πL 3R2 +R0 Ω2 2g Q = 2(vt)Σ por 2g. operando com uma mesma suspensão (Perry-Green. resulta = 2 R1 3R + R 02 Explicitando a vazão da alimentação.54 Combinando as expressões para o tempo e fazendo ln para o diâmetro de corte Dpc: R R 2 − R 02 . 1984.ρ Dpc R1 vR = vt = 18 µQ Dpc = 2 k1Ω ρs − ρ πL 3 R 2 + R02 0. Para a centrífuga de discos.5 vt é a velocidade terminal da partícula de diâmetro Dpc no campo gravitacional e Σ um fator característico da centrífuga. . Σ= 2Ω 2 πn r 23 − r 13 cot g θ 3g onde n é o número de canais formados por discos adjacentes e θ o ângulo de inclinação dos discos Σ= πLΩ2 3 R 2 + R02 2g O resultado expresso pela equação que relaciona a vazão à velocidade terminal e ao fator Σ. Na figura abaixo. p. No caso da centrífuga tubular. sugere que na ampliação de escala (scale-up) entre centrífugas do mesmo tipo. vem: R1 dr dr ∴t= dt Ro vt 18 µ R ln t= 2 2 k 1Ω ρS . o diâmetro crítico das partículas e indicam se a separação é possível.19-96) Q Q = Σ 1 Σ Separação líquido-líquido 2 Os vertedores de saída constituem-se no parâmetro mais importante na separação líquido-líquido: eles controlam o volume de líquido retido no centrifugador. são mostrados diagramas esquemáticos de centrífugas tubulares para a separação sólidolíquido e líquido-líquido. raio da interface da camada leve r2 .dm ∫ dP = ∫ A = ∫ A Ri ri ri dm = ρ (2π r L) dr rf rf rf (rΩ 2)2πrLdr dP = ∫ = ∫ ρΩ 2 rdr ∫ 2πrL ri ri ri rf rf P= ρΩ 2 2 (rf − ri 2 ) 2 Em r2 (interface entre as duas camadas).raio da interface líquido-líquido r3 . Temos então para a fase pesada: PP = PL = ρPΩ 2 2 (r 2 − r 4 2) 2 ρLΩ 2 2 (r 2 − r1 2) = PP 2 para a fase leve: .raio da superfície do líquido leve à jusante do vertedor. O equilíbrio de forças provocadas pelas pressões hidrostáticas nos permite escrever: rf dF aE .raio da borda externa do vertedor r4 .55 Localização da Interface líquido-líquido Sejam: r1 . a pressão é a mesma em ambos os lados da interface. 50 2 0.0. A atualização tecnológica participou diretamente para o sucesso.250) = r22 .98 r 22 − 0. desenvolvendo equipamentos cada vez mais aperfeiçoados.260 r22 = 0.510 in. existindo o problema da escassez dos materiais básicos e custos ascendentes. mediante centrifugação do sabão formado. ou seja: r4 < r2 < r3. Determine a localização da interface líquido-líquido no interior da centrífuga. Procura-se separar uma destas fases num centrifugador tubular de 2 polegadas de diâmetro interno e 30 polegadas de comprimento. .Separação Eletrostática Hugo Arrunátegui . girando a 18. O raio do vertedor por onde transborda a fase leve é r1 = 0.000 rpm.III . para haver a separação das fases a interface deve estar num raio menor que r3 e maior que o raio do topo da superfície do líquido pesado à jusante do vertedor.512 = 0. tornou-se economicamente viável o emprego dos separadores eletrostáticos para recuperar e separar minérios. dependendo porém das propriedades físicas e químicas dos materiais da alimentação.pp237-246 Sendo hoje o consumo de matérias-primas industrializadas cada vez mais elevado. 1982).92 g/cm3 e a viscosidade 20 centipoise.98 g/cm3 e a viscosidade 300 centipoise. Solução: ρL (r 2 2 − r 4 2) = ρP (r 2 2 − r1 2) 0.939(r22. para definir o sistema mais apropriado de processamento. materiais e produtos que no passado eram considerados de difícil beneficiamento e considerados como rejeito.(Foust et alli.92 r 22 − 0. Exemplo: Na refinação primária de óleos vegetais.426 2. Exemplo 22.50 in e o do vertedor da fase pesada é r4 = 0.56 ρL (r 2 2 − r 4 2) = ρP (r 2 2 − r1 2) Portanto. a densidade da fase sabão é de 0. Num destes processos. p554.4. a densidade do óleo é 0.0. o óleo cru é parcialmente saponificado com um álcali e o óleo refinado é imediatamente separado. trabalhando com corrente contínua. Como exemplo.. completando-se o processo com uma separação eletrostática. Rolos . etc. O rolo e a armação são ligados à terra evitando qualquer descarga elétrica. Os separadores eletrostáticos e eletrodinâmicos utilizam a ação de um campo elétrico de alta tensão. obrigam em muitos casos utilizar processos gravimétricos e magnéticos. a classificação de partículas minerais em condutoras e não-condutoras. A moega de descarga possui divisores que separam os produtos tratados. da região de São João Del Rei. soldados. cujo processamento se efetuava numa instalação com equipamentos para realizar uma separação magnética primária.Em número de três para cada rolo. segundo a condutibilidade em condutores e não-condutores. a moega de alimentação possui regulagem de descarga e fecho rápido.Fabricadas em aço carbono. de acordo com as propriedades magnéticas eletrostáticas dos diferentes minerais.São fabricados em aço carbono ou inox. Descrição Geral dos Separadores Eletrostáticos e Eletrodinâmicos São equipamentos fabricados com perfilados e laminados de aço-carbono. Os rolos são montados sobre rolamentos superdimensionados. O eletrodo dinâmico possui um fio de tungstênio montado ao longo do tubo. permitindo por via seca. possuindo regulagem de posicionamento. Quando a alimentação é de fluxo difícil. pirita. . São compostos das seguintes peças: Moegas (Hoppers) . formando uma estrutura resistente. os separadores eletrostáticos utilizam a diferença de condutibilidade elétrica. pode-se citar o processamento de minerais de cassiterita. anteriores ao emprego dos separadores eletrostáticos. com diâmetro variável de 15 a 30 cm. Enquanto outros equipamentos efetuam separações por diferença de peso específico ou de susceptibilidade magnética.57 Os diferentes parâmetros que agem sobre os resultados finais de uma separação eletrostática de certas misturas de materiais. magnetita. obtendo-se em cada operação produtos diferentes. aplica-se um alimentador vibratório para alimentar os rolos. em conjunto com o estático. com rotação variável de 50 até 400 rpm. Os elementos são classificados. protegidos contra o pó. são fabricados com tubo de alumínio. sílica. Eletrodos . ligado a uma fonte de corrente contínua de alta tensão. As partículas condutoras levadas pelo rolo no campo recebem instantaneamente a carga normal e as não condutoras recebem uma carga reduzida.58 O eletrodo de limpeza montado debaixo do rolo (que destaca os materiais não condutores do rolo). libertando-se do rolo com facilidade. separando-as assim dos condutores. cria ao seu redor um campo circular de alto gradiente (efeito corona) traduzindo-se em uma emissão de íons. o gradiente do campo obtido é mais fraco. As partículas não mantêm sua carga por mais tempo e aderem aos rolos. Fenômenos e Efeitos dos Eletrodos Num fio metálico fino. . que as transportam em sua rotação. Todos estes eletrodos são montados sobre material isolante. devido a esse fenômeno de fixação. Quando as partículas transportadas pelos rolos são submetidas a esta constante elétrica. As partículas condutoras perdem rapidamente sua carga ao entrarem em contato com o rolo e são pouco ou não desviadas de sua trajetória normal. evitando qualquer descarga direta na armação. separando-se das não condutoras. adquirem cargas de magnitude variável e com a mesma polaridade da fonte. também possui um fio de tungstênio montado ao longo do tubo. devido ao fenômeno da deflexão(desvio) (eletrodo estático). Este eletrodo trabalha com corrente alternada. Se o fio metálico fino é substituído por um cilindro de diâmetro maior. As partículas condutoras removidas pelo eletrodo cilíndrico seguem sua trajetória natural. c) o número de passes. A umidade. necessitando utilizar uma faixa granulométrica mais estreita para os finos ou grossos ou quando as diferenças de condutibilidade entre os materiais são pequenas. b) a velocidade dos rolos. A temperatura de tratamento é freqüentemente elevada. empregando vapores de ácidos e outros produtos. d) a alimentação e a posição dos divisores reguláveis sobre as moegas de coleta. existem outros fatores que agem sobre a separação eletrostática. a temperatura. tais como: a granulometria. alteram parcialmente a separação. com menos problemas de temperatura e umidade dos produtos alimentados. que modificam a trajetória.59 Associando os dois tipos de eletrodos mencionados. o que exige às vezes lavagens anteriores à separação eletromagnética. As misturas de produtos que podem ser tratados nos separadores eletrostáticos devem ser da faixa granulométrica de 6 a 200 mesh. Outros fatores importantes que afetam uma boa separação são: a) o diâmetro dos rolos usados. sem pó. influenciados pela força centrífuga e pelo peso. o estado da superfície das partículas e a presença de impurezas aderentes às partículas a serem separadas. O estado da superfície contaminada pode ser modificado com uma simples lavagem de água limpa ou por reações químicas. A superfície das partículas deve ser limpa. entre 50 e 120ºC. Normalmente são utilizados dois transformadores para cada separador: um para a corrente Principais aplicações: Separação de scheelita da pirita ou wolframita Separação da Monasita de Ilmenita . Também há o efeito da umidade relativa do ar ambiente torna-se praticamente nulo (eletrodo dinâmico) Transformadores contínua e outro para a corrente alternada Operação Além da diferença de condutibilidade das partículas. que permite a sua seleção. os separadores eletrostáticos e eletrodinâmicos Mineralmaq possuem uma capacidade superior de separação. a densidade e a forma das partículas. A alimentação contém 2 partes de carvão para 1 de cinzas. Resposta: Fixando a relação entre os diâmetros de descarga (underflow) e da parte cilíndrica do hidrociclone em 0. em massa. Densidade do carvão e cinzas.35 Dem µm Estimar o teor de cinzas do concentrado de carvão (overflow) que deve ser alcançado numa bateria de hidrociclone em paralelo de 2 in de diâmetro.10 g/cm3 Propriedades do fluido: densidade 1. 2) Estuda-se a possibilidade de reduzir o teor de cinzas de um carvão através da separação em hidrociclone operando em fase densa. na operação a 45 psi: Configuração Q por hidrociclone (m3/h) Relação % vazões Bradley 1.3 Rietema 4.7 cP.15.90 62. 1.2 . Fornecer também a capacidade de cada hidrociclone. EXERCÍCIOS 1) Dispõe-se de um conjunto de 3 ciclones em paralelo na configuração Lapple. nas configurações (a) Bradley e (b) Rietema. O diâmetro do ciclones é 20 in. Resposta Capacidade da bateria de ciclones: 87 m3/min Diâmetro da partícula com eficiência de 95% = 20 microns Potência do soprador: ≅ 3 cv (eficiência 0. operando a uma queda de pressão de 45 psi. Estimar: a) A capacidade do conjunto b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 95% c) A potência do soprador usado na operação Considerar que o gás tenha as propriedades física do ar a 200ºC e 1 atm e que as partículas sólidas tenham densidade 3 g/cm3.901. Carvão e cinzas apresentam a mesma distribuição granulométrica: X = 1 − exp − D 21. em razoável estado de conservação. respectivamente. A concentração volumétrica de carvão e cinzas na alimentação é de 5%.25 e 2.5).21 g/cm3 e viscosidade 2.5 1.74 98.60 Concentração de Vermiculita Enriquecimento de concentrados de fosfato Limpeza de carvão. 0 g/cm3 e µ = 1 cP.64 g/cm3) de uma suspensão aquosa. “Solid-liquid Separation”.16cm e L = 73. ρs = 3 g/cm3. Número de rotações da centrífuga: 20. 5) O separador de poeira abaixo esquematizado opera em 3 compartimentos.21cm.000 ft3/min (ar a 20ºC e 1 atm).132.61 (overflow/alimentação) % carvão no underflow % carvão no overflow Total % de carvão perdido pelo underflow 58.4 cm. Propriedades do fluido: ρ = 1. o diâmetro de corte d50 (diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 50%) (L.4 41. em glicerina. 30 mícrons de diâmetro. 4) Foi conduzido no laboratório um ensaio de separação de argila (ρs = 2. Determinar a produção da centrífuga industrial operando com a mesma suspensão a 15. L = 20 cm.4 46. p.6 16.2 cm. Suas dimensões são R0 = 5. R = 2. Londers. Estimar a faixa de diâmetros das partículas retidas em cada compartimento.75 .000rpm. em centrífuga tubular.8 75. 1977). as densidades do sólido e do líquido são respectivamente 2.1 75. Dados: Vazão de gás = 5.Svarovsky. Sabe-se que a concentração de sólidos é de 300 g/litro de suspensão. esfericidade φ = 0. R = 8.1 cm.6 g/cm3 e 1.000 rpm.0 3) Determinar a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas esféricas de vidro. Determinar. Dimensões da centrífuga: R0 = 1. densidade das partículas. Capacidade para obter um sobrenadante satisfatório: 8 cm3/s. Butterworths. também.3 g/cm3 e que a viscosidade do líquido é 18 centipoise.