CAPÍTULO 1Caracterização de partículas Este capítulo trata, basicamente, da quantificação de certas caracterís- ticas das partículas sólidas que são relevantes para as aplicações práticas que envolvem sistemas particulados. Inicialmente, serão consideradas as características individuais das partículas, e, posteriormente, as de populações de partículas. Salvo menção contrária explícita, daqui por diante, quando houver referência a partículas, fica subentendido que se trata de partículas sólidas. 1.1 AMOSTRAGEM O uso de técnicas de amostragem relaciona-se a uma necessidade prática de caracterizar um todo, analisando-se apenas uma parte dele. Isso porque os equipamentos e instrumentos de análise sempre têm uma capacidade limite. A amostragem pode, então, ser definida como o processo que permite obter uma amostra representativa das caracterís- ticas do todo. Em princípio, a caracterização de tal amostra deveria fornecer o mesmo resultado caso o todo original fosse analisado. O pro- blema prático que se coloca, então, é o de desenvolver técnicas e/ou equipamentos que nos permitam obter rapidamente essas amostras representativas. No caso específico da amostragem de partículas, mesmo que o material recebido para análise tenha sido obtido originalmente com técnicas de amostragem, seu transporte (p. ex., da mina até o pátio de estocagem da indústria e daí para o laboratório de análises) está sujeito a uma série de eventos de natureza mecânica, tais como impactos, quedas e vibrações (estas últimas, às vezes por várias horas), que podem levar a algum tipo de segregação ou classificação de partículas, internamente à própria embalagem. Essa classificação, quando ocorre, deve-se a diferenças de densidade, tamanho e forma das próprias partículas, 3 4 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas resultando um todo não homogêneo. Nesses casos, a não utilização de técnicas apropriadas de amostragem do material pode levar à obtenção de amostras tendenciosas. A Figura 1.1 mostra, de forma esquemática, o caso mais simples de amos- tragem, que é o que ocorre quando o material a ser amostrado já foi previamente homogeneizado. Então, qualquer amostra é representativa do todo, bastando apenas adequar seu tamanho (massa ou volume) ao equipamento de análise. FIGURA 1.1 Amostragem de um todo homogêneo. A Figura 1.1 induz à pergunta: como fazer a amostragem de um todo não homogêneo? Embora exista uma “teoria de amostragem”, normal- mente abordada em livros de estatística, serão tratadas aqui apenas algumas técnicas e/ou equipamentos usados na amostragem de sistemas particulados. Normalmente, a massa da amostra recebida para análise excede em muito a capacidade limite do instrumento a ser utilizado, uma vez que, rotineiramente, análises são feitas em triplicata. Na prática, há dois casos a considerar: (a) a quantidade de amostra recebida é in- ferior a cerca de 30 kg, podendo ser facilmente homogeneizada; (b) a quantidade de amostra recebida é muito maior que 30 kg, o que em geral inviabiliza o uso de técnicas de homogeneização. No primeiro caso, procede-se à homogeneização da amostra e depois reduzir-se-á seu tamanho com técnicas e equipamentos apropriados, adequando-a 1.1 Amostragem 5 assim à aparelhagem de análise. No segundo caso, usam-se técnicas elaboradas de amostragens múltiplas, que pressupõem que a amostra original pode não ser homogênea. Seguem-se, se necessárias, técnicas de redução de tamanho de amostras, para adequá-la à análise. Apesar de im- portante no que diz respeito à caracterização de partículas, o assunto foge ao escopo das operações unitárias clássicas e será abordado aqui de maneira bem sintética. Se a amostra original de material particulado for seca e se sua massa não exceder cerca de 30 kg, pode-se combinar a técnica de “homogeneização sobre lona” seguida do “método do cone e quarteamento”, para reduzir o tamanho da amostra, como segue. O material particulado é colocado sobre uma lona retangular (tipicamente com área de 1,5 m2), a qual é estendida sobre uma superfície plana, em geral o próprio chão do laboratório. A lona é mais facilmente operada por duas pessoas, que ficam uma de frente para a outra, em lados opostos da lona. Enquanto uma das pessoas pisa numa das extremidades da lona, impedindo que ela se mova, a outra, com as mãos, ergue alternada e len- tamente os lados da extremidade oposta da lona, de sorte que o material faz uma trajetória em ziguezague em direção à extremidade fixa da lona, advindo daí o efeito de mistura. Em geral, a técnica é repetida durante dez a vinte minutos, invertendo-se, a cada passagem, as funções dos operadores. Com o material homogeneizado e usando-se uma pá, fabrica-se um monte em forma de cone que é então quarteado (dividido em quatro partes iguais) com auxílio de uma chapa metálica, que funciona como uma faca. Isso reduz à metade a amostra original (aproximadamente), já que, após o quarteamento, dois quartos opostos prosseguem na amostragem e dois quartos opostos são descartados. Efetuam-se as homogeneizações e quarteamentos até que o tamanho da amostra seja adequado ao equipamento ou método de análise. Se o material particulado original estiver, ou puder ser colocado, sob a forma de suspensão em um líquido inerte, a amostragem das partículas se tornará extremamente simplificada e muito confiável. Basta agitar vigorosamente a suspensão original por algum tempo, de modo a uni- formizar a concentração de sólidos em suspensão, e, eventualmente, destruir aglomerados de partículas existentes. Caso a suspensão seja muito concentrada, pode-se diluí-la com o acréscimo de mais líquido. Com a suspensão sob agitação intensa, retira-se dela um volume tal, 6 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas que a quantidade de partículas nele presentes possa ser processada no equipamento de análise. Para mais detalhes sobre essas e outras técnicas e equipamentos, consultar os livros de Ohlweiler (1989), Gy (1982) e Allen (1981). 1.2 DENSIDADE DE PARTÍCULAS A densidade de uma partícula ( ρS ) é definida como: massa da partícula ρS ≡ (1.1) volume da partícula O subscrito “s” é a maneira tradicional de lembrar que o material con- siderado é um sólido. É fato comum que partículas não tenham densidade uniforme, isto é, diferentes partes de uma mesma partícula podem ter densidades dis- tintas. Exemplo típico é o das partículas de alguns minérios que são constituídas por dois materiais entranhados. A parte nobre é conhecida como mineral e o restante como ganga. A maneira clássica de desas- sociar mineral e ganga é pela moagem do minério, o que encarece seu beneficiamento. Outro caso de não uniformidade de densidade é o de partículas porosas, em que os poros estão geralmente ocupados por algum fluido. Note-se que, em algumas aplicações práticas, a existência de poros é essencial, sendo esse o caso de partículas de catalisadores. Neste livro, supõe-se que as partículas individuais dos materiais pos- suem densidade uniforme e, além disso, que a densidade não depende do tamanho da partícula. Assim, para um dado material, as partículas finas, médias e grossas terão, por hipótese, a mesma densidade. Cabe comentar que, em vez de “densidade”, alguns autores preferem a denominação “massa específica” e outros, ainda, “densidade absoluta”. 1.3 DENSIDADE RELATIVA DE PARTÍCULAS A densidade relativa (SGS) de uma partícula é definida como: densidade da partícula SG S ≡ densidade da água (1.2) 1.3 Densidade relativa de partículas 7 ou seja ρS SG S ≡ ρágua (1.3) Note-se que a densidade relativa é uma grandeza adimensional. As letras S e G originam-se do termo specific gravity da língua inglesa, cuja tradução literal é “gravidade específica”, termo não empregado na língua portuguesa. Como, em geral, a densidade dos materiais depende da temperatura, é necessário especificar as temperaturas da partícula e da água na expressão anterior. Por convenção, usa-se a densidade da água a 4°C na pressão de 760 mm Hg. Ocorre que a 4°C a densidade da água tem valor máximo igual a 1 g/mL (Perry, 1973), o que é uma consequência direta da definição de litro, ou 0,9999720 g/cm3 (Perry, 1984). Ou seja, naquelas condições, a densidade da água é aproximadamente igual a 1 g/mL ou 1 g/cm3. A diferença nos valores da densidade da água expressa em g/mL e em g/cm3 tem a ver com o fato de que, até 1964, o litro era definido como o volume de 1 kg de água na temperatura de 4°C e na pressão de 760 mm Hg. Tem-se, pois, 1.000 g de água ocupando 1.000 mL, ou seja, uma densidade de 1 g/mL, valor exato. Na 12ª Assembléia da Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM), em 1964, o litro foi oficialmente redefinido como a milésima parte do metro cúbico. Assim, o centímetro cúbico tornou-se a milésima parte do litro, isto é, 1 cm3 = 1 mL do “novo” litro. A densidade relativa de líquidos é definida de maneira semelhante e tam- bém é dada em relação à água a 4°C. Além disso, em razão da existência de pontes de hidrogênio entre as moléculas da água, sua densidade no estado líquido, na pressão de 760 mm Hg, varia muito pouco: de 0°C (0,99987 g/cm3) a 100°C (0,95838 g/cm3), isto é, uma diminuição de aproximadamente 4,15%. De fato, isso faz da água um bom padrão para o cálculo da densidade relativa de sólidos (SGS) e líquidos (SGL). Uma consequência prática importante desses fatos é que, para cálculos de engenharia, o número que mede a SGS de sólidos e líquidos é, apro- ximadamente, igual à sua densidade expressa em g/cm3. Normalmente, a densidade relativa (SGS) de materiais é obtida em manuais técnicos tais como o Perry (2008). arbitrariamente. tipi- camente. provido de rolha de vidro esmerilhado. Mas não é nada óbvio que o denominador de SGS seja uma massa do líquido de referência que tem exatamente o mesmo volume que aquela massa de partículas. apenas. o mesmo volume está presente no numerador e denominador e. O picnômetro nada mais é que um pequeno frasco de vidro. a qual possui um pequeno furo axial para saída de excesso de líquido. na medida de m3 e m4 (veja a seguir). m4 : massa do picnômetro + líquido de referência. se decidiu colocar no picnômetro. m2 : massa do picnômetro + partículas. conforme segue: m1 : massa do picnômetro vazio.3).2. requerendo.2 ou 1. É fácil mostrar que: m 2 − m1 SG S = ( m − m ) − ( m − m ) (1. na Figura 1. m3 : massa do picnômetro + partículas + líquido de referência.4) 4 1 3 2 É bastante óbvio que o numerador de SG S é a massa de partículas que. pela definição de SG S (equações 1.8 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas A densidade relativa de partículas (SGS) pode ser obtida facilmente em laboratório mediante emprego de um picnômetro. es- quematicamente. . mostrado. quatro pesagens em balança. Então.2 Picnômetro para sólidos. A técnica denominada picnome- tria é muito simples de ser executada. FIGURA 1. de 25 mL. em geral com precisão de centésimo de grama. a água a 4°C e 760 mm Hg. . a densidade relativa do material referida à água. É deixado para o leitor demonstrar a veracidade do “nada óbvio”. conforme segue: SG S = SG SL × SG L (1.6) Evidentemente. ■ Cilindro: caracterizado por diâmetro e altura (duas dimensões lineares). alguns materiais são solúveis ou reagem quimicamente com a água. é obtida a partir da densidade relativa do material referida a um líquido inerte. SGL. e da densidade relativa do próprio líquido inerte em relação à água. Sugestão: analise a picnometria de uma única partícula. Esta. obtém-se ρS nas unidades desejadas através da própria definição de SGS.4 TAMANHO DE PARTÍCULAS Considerando os seguintes fatos triviais: ■ Cubo: caracterizado pela aresta (uma dimensão linear). se um picnômetro graduado em volume e com calibração confiável estiver disponível. Alternativamente. dividida pela densidade da água (valor tabelado na mesma temperatura e pressão). Conforme mencionado anteriormente.3: ρS = SG S ρágua (1. cancelam-se. que não depende de unidades. Entretanto.5) Note-se que o SGL pode ser obtido com três pesadas (picnômetro vazio.4 Tamanho de partículas 9 portanto. ■ Tronco de cone reto: caracterizado por dois diâmetros e uma altura (três dimensões lineares). 1. Nesses casos. 1. por definição. a densidade da água na temperatura correspondente ao SGS (tabelado ou experimental) deverá ser buscada em manuais como o Perry (1984). SGSL. determina-se a densidade do líquido inerte com duas pesadas. o líquido de referência é. Equação 1. com o líquido inerte e com água). Note-se que o volume do picnômetro não foi utilizado no cálculo de SGS. SGS. na prática. é igual ao SGL a ser usado na Equação 1.5 A partir do valor da SGS (tabelado ou experimental). que são as mais comumente encontradas nos sis- temas particulados. seu volume poderá ser calculado com fórmulas da geometria espacial.7) 6 Ou seja: 6VP dP = (1. univocamente. que designa-se.4. genericamente. 1.10 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Responda: ■ A partícula de formato irregular é caracterizada por quantas dimensões lineares? A impossibilidade prática de se determinar o número de dimensões lineares necessárias para se caracterizar.1 Diâmetros de esferas equivalentes Esses diâmetros são definidos impondo-se. pode-se escrever: πd3P VP = (1. Por exemplo. Assim. em lugar de “tamanho de partícula” usa-se “diâmetro de partícula”. resultou em duas metodologias de atribuição de tamanhos às partículas: diâmetros de esferas equivalentes e diâmetros estatísticos.8) 3 π Se a partícula sob análise possuir uma forma geométrica simples. Lem- brando que o volume de uma esfera de diâmetro D é igual a π D3/6 e tendo em conta a definição de dP. para um cubo de aresta L. a igualdade de uma mesma ca- racterística de ambas que. o cálculo do dP de uma partícula requer o co- nhecimento de seu volume. por VP. conforme segue. Pela definição anterior. para a “partícula de formato irregular” e para a “esfera equivalente”. pode ser de natureza geométrica ou física. partículas de formato irregular. como será visto a seguir. ■ dP – diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula. tem-se que VP = L3 resultando: 6 dP = L π (1.9) 3 . Especificamente. com dados da picnometria vista anteriormente. Usando símbolos introduzidos anteriormente. o que não é viável para partículas muito finas.10 é obtida supondo-se que a amostra é constituída de N esferas idênticas de diâme- tro Dp. relaciona-se à massa da partícula por meio de sua densidade. que é o caso mais comum. O diâmetro médio volumétrico (DP) tem utilidade prática nos casos em que as partículas são facilmente contáveis e possuem diâmetros em uma faixa estreita de valores. Esse desvio resulta da interação entre os campos eletromagnéticos da radiação laser e dos elétrons da superfície da partícula. que. o diâmetro médio populacional a ser usado é o de Sauter que será es- tudado mais adiante. Denomina-se difração o fenômeno do desvio que um raio luminoso sofre quando passa muito próximo de uma superfície sólida. em relação ao diâmetro de partícula dp. se existir uma distribuição de tamanhos de partículas. Partículas pe- quenas desviam os raios luminosos mais intensamente que partículas grandes. O fato de que dP é função do volume da partícula. Para mais detalhes sobre essa técnica. torna dP um diâmetro característico ideal na análise da interação partícula-fluido via segunda lei de Newton. isto é. Se as partículas possuírem diâmetros muito distintos. consultar o livro de Allen (1981).4 Tamanho de partículas 11 Se a partícula tiver um formato irregular e for muito pequena. 1.10) Observe-se que a expressão de D p dada pela equação 1. Desse modo justifica-se plenamente a denominação usada: diâmetro médio volumétrico. pode-se calcular o diâmetro médio volumétrico (DP) de uma população de N partículas. . a determinação de seu volume irá requerer o uso de métodos experimentais sofisticados como os baseados em medidas de difração (ou espalhamento) de raios laser pela partícula. O cálculo requer a con- tagem do número de partículas que são colocadas no picnômetro. ■ dS – diâmetro da esfera de mesma área superficial que a partícula. e que o volume total das esferas é igual ao volume total das par- tículas da amostra. é fácil mostrar que: 6 ( m 2 − m1 ) DP = 3 π N ρS (1. por sua vez. As mais comumente utilizadas são: a permeametria. SP dS = π (1. tem-se que SP = 6L2 resultando: 6 dS = L π (1. Lembrando que a área superficial de uma esfera de diâmetro D é igual a π D2 e tendo em conta a definição de dS.12) Se a partícula sob análise possuir uma forma geométrica simples. que será representada por SP. o que se faz é sujeitar o próprio plano de apoio a vibrações suaves que. ■ dA – diâmetro da esfera cuja projeção plana tem área igual à da projeção da partícula sobre uma superfície plana de apoio. que será estudada no Capítulo 4 deste texto. esta comumente as- sociada aos nomes Brunauer. Assim. que fizeram estudos pioneiros sobre isotermas de adsorção. . A configuração mais estável é aquela em que a cota do centro de gravidade da partícula em relação ao plano de apoio é mínima. raramente é possível a quantificação do dS para partículas individuais.11) ou seja.12 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Nesse caso. em razão das dificuldades inerentes à medição da área su- perficial de partículas. Para mais detalhes sobre essas técnicas.13) Na prática. sua área superficial pode ser calculada com fórmulas da geometria espacial. as técnicas experimentais que permitem o cálculo de dS utilizam amostras de partículas na forma de meios porosos e consequentemente levam a valores médios de dS. Na prática. Por exemplo. a difusão de Knudsen e a adsorção de gases. presumivelmente. o cálculo do dS de uma partícula requer o conhecimento de sua área superficial. consultar o livro de Allen (1981). O problema aqui é garantir que a partícula esteja apoiada no pla- no em sua configuração mais estável. na configuração mais estável. Emmett e Teller (BET). para um cubo de aresta L. pode-se escrever: 2 S P = πdS (1. pode-se escrever: πd 2A A P = (1. Entretanto. Lembrando que uma esfera de diâmetro D sempre se projeta em um plano como um círculo de área π D2/4 e tendo em conta a definição de dA. assim. (b) descalibração progressiva das malhas decor- rente dos inevitáveis ciclos uso-limpeza-uso e (c) abrasão e/ou quebra das partículas associadas a atrito e/ou impacto durante a peneiração. pode ocorrer que forças de natureza eletrostática entre a partícula e a superfície de apoio tenham magnitudes semelhantes ou maiores que o peso da partícula e. em que o uso de peneiras padronizadas. AP d A = 2 (1. para um cubo de aresta L.15) π Se a partícula sob análise possuir uma forma geométrica simples.4 Tamanho de partículas 13 levariam a partícula à referida configuração. Qualquer técnica que permita obter imagens projetadas da partícula serve para quantificar dA. da área de suas imagens projetadas. abordado a seguir.16) Na prática. Por exemplo. O cálculo do dA de uma partícula requer o conhecimento de sua área projetada. 1. sua área projetada pode ser calculada com fórmulas da geometria plana. negativos de foto- grafias. O cálculo de AP para contornos irregulares pode ser feito com diferentes . o que inclui fotografias. imagens de vídeo e mesmo imagens obtidas com retroprojetor. dA é usado para partículas muito finas.14) 4 ou seja. portanto. sejam determinantes de sua configuração de equilíbrio e. que será representada por AP. para partículas muito finas. o que modifica o tamanho das partículas sob análise. apresenta diversos incon- venientes: (a) entupimento das malhas com consequente aumento do tempo de peneiração. tem-se que AP = L2 resultando: 1 d A = 2L π (1. sem folga. A lâmina é então “varrida” pelo microscópio e as partículas são analisadas individualmente. Atualmente. FIGURA 1.14 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas níveis de sofisticação. que o número mínimo de partículas a ser analisado é da ordem de 600 (Allen.3 Peneira menos (–). por uma peneira de abertura quadrada hipotética. sendo a imagem digitalizada das partículas obtida com câmera de vídeo por meio de microscópios óticos. As partículas são depositadas sobre uma lâmina de vidro. Em todos esses casos. igual à média aritmética das aberturas quadradas de duas peneiras reais. tenha significado estatístico.3 ilustra a definição de d # em que. 1981). sua pesagem em balança analítica e uma simples regra de três. em geral a partir de uma suspensão delas em algum líquido inerte. empiricamente. assim obtido. ■ d # – diâmetro da esfera que passa. repre- senta-se por d −# a abertura da peneira através da qual a partícula “passa” e por d +# a abertura da peneira através da qual a partícula “não passa”. tais que a partícula passa pela peneira de maior abertura mas não passa pela peneira de menor abertura. partícula e peneira mais (+). existem equipamentos com ótica e eletrônica muito sofis- ticadas e que operam acoplados a microcomputadores. convencionalmente. sabe-se. há que se levar em conta a eventual am- pliação da imagem da partícula por sistemas de espelhos e lentes da aparelhagem ótica usada. A Figura 1. o que evita problemas de amostragem. . Para que um diâmetro médio de partícula. desde a integração numérica do contorno digi- talizado até o recorte do contorno impresso em papel de gramatura conhecida. Normas Brasileiras. de modo que a razão entre as áreas livres para passagem de partículas de duas peneiras consecutivas fosse 2 (maior abertura/menor abertura). é tridimensional e bem mais complexa. Os padrões de peneiras mais conhecidos são o Tyler (W. 1. tem-se (d#1)2 = 2 (d#2)2 ou seja d#1 = 2 d#2. Sejam duas peneiras consecutivas na série. A série Tyler original foi construída originalmente. Assim. as chances de aquela partícula assumir uma orientação favorável aumentam quando o tempo de peneiração aumenta. usa-se a média geomé- trica: d # = (d−# × d+# ) (1. através da qual a partícula transita. Assim. pelas superfícies de quatro arames cilíndricos trançados. isto é. a norma vigente é a ABNT NBR ISO 3310 – 1: 2010 (Associação Brasileira de Normas Técnicas. A orientação espacial de dada partícula ao entrar em contato com a peneira pode ser favorável ou desfavorável à sua passagem. então: d −# + d +# d# = (1. Entretanto. lateralmente. International Standardization Organization). No Brasil.17) 2 Se os valores de d −# e d +# forem muito distintos. o que se deve tanto à simplicidade operacional quanto ao baixo custo dos equipamentos necessários à sua quantificação: peneiras padronizadas e agitador. Duas observações em relação ao uso de peneiras: (a) a projeção plana de uma malha de peneira padronizada é de fato um quadrado. as aberturas das peneiras da série formam uma progressão geométrica . TylerTM) e o USSS (United States Sieve Series) que são adotados pela norma ASTM (American Society for Testing Materials) E-11-61.18) O diâmetro de partícula obtido com pares de peneiras é muito utili- zado em ciência e em tecnologia. a passagem propriamente dita. (b) o processo pelo qual dada partícula passa ou não através de determinada malha é randômico. sendo limitada. S.4 Tamanho de partículas 15 Define-se. Representando por d#1 a maior abertura e por d#2 a menor. está sujeito às leis das probabilidades. recomenda-se que análises granulométricas com peneiras padronizadas sejam feitas alternando peneiras da série 4 2 . mantendo-se todavia a progressão geométrica das aberturas.) de razão 2 . Alguns esclarecimentos se fazem necessários: (a) “velocidade terminal” é. a peneira de abertura 2. abertura por O. Por exemplo. É fácil mostrar que a razão da nova P. ■ dStk – diâmetro da esfera de mesmo material que a partícula que.19) ( O + D )2 ou então P = (O × M )2 × 100 (1. Note-se que.20) Na prática. a peneira de abertura 1. como na série Tyler original. Isso faz com que as aberturas das peneiras utilizadas fiquem em progressão geomé- trica de razão 2. Entretanto. medida a partir do eixo de simetria de um arame e perpendicularmente ao próprio eixo). sob as mesmas condições. é fácil mostrar que: O2 P = × 100 (1.16 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas (P. atinge a mesma velocidade terminal que ela.00 mm é designada como USSS No. No Apêndice F fornece-se as aberturas das peneiras mais comumente usadas na análise granulométrica de partículas. 8 e Tyler mesh 8. é 4 2 . a velocidade máxima e constante que um corpo atinge . G. o número de ordem USSS e o mesh Tyler nem sempre coincidem. A série Tyler também introduziu o conceito de mesh de uma peneira. no regime de Stokes. Posteriormente decidiu-se inserir novas peneiras na série. Representando mesh por M. A palavra mesh pode ser traduzida como “malha” e é frequentemente representada pelo símbolo #. Resulta que peneiras “grossas” têm mesh pequeno e peneiras “finas” têm mesh grande. e suas designações para os padrões USSS e o equivalente Tyler. G. 18 e Tyler mesh 16. cuja definição é: número de aberturas por polegada linear (subentende-se. que constam da ASTM. diâmetro do arame por D e percentagem de área livre para passagem de partículas por P.38 mm é designada como USSS No. para uma mesma peneira. por definição. 21) em que vt.24) . consequentemen- te. (c) o termo “regime de Stokes” implica que a velocidade terminal da esfera seja baixa o suficiente para que a Lei de Stokes seja válida. b é intensidade do campo externo de forças e m é viscosidade do fluido.4 Tamanho de partículas 17 ao cair em um fluido em repouso. tem-se: 18 µ v t . Isso implica que a aceleração do corpo é nula e. 18 µ v t . ρS é densidade do sólido. que a resultante das forças atuantes no corpo também é nula. pela segunda lei de Newton. sob a ação do campo externo de forças de intensidade b. na mesma pressão e tempe- ratura (o que garante igualdade de propriedades físicas nos dois casos) e sob a ação do mesmo campo externo de forças.22) isto é. que determinar experimentalmente sua velocidade terminal (vt. Stk = 18 µ (1. No importante caso do campo gravitacional terrestre. ρ é densidade do fluido. resulta que: ( D2 ρS − ρ b ) v t .23) Stk ( ρS − ρ b) Assim. 1. A definição do diâmetro de Stokes de partícula (dStk) requer que: D ≡ dStk (1. tem-se.Stk) naquele fluido.Stk d = (1.Stk dStk = ( ρ S − ρ) g (1. Se a Lei de Stokes vale para a esfera a que se refere a definição de d Stk. no cálculo do dStk de dada partícula. D é diâmetro da esfera.Stk é velocidade terminal no regime de Stokes. Essa lei será apresentada formalmente no Capítulo 2. cuja intensidade é tradicionalmente representada por g. sob a ação de um campo externo de forças. antes. (b) o termo “mesmas condições” significa que partícula e esfera caem no mesmo fluido. 1. Para tal. acrílico etc. Com uma escala de comprimentos fixa ao vaso. e por isso é um método pouco usado hoje em dia. Entretanto. as análises são relativamente demoradas. em uma mesma posição. introduzida em 1928. A técnica baseia-se na sedimentação gravitacional das partículas em um líquido inerte. que diminui as velocidades termi- nais das partículas. usa-se uma pipeta especial (que deu nome ao aparelho) provida de válvula de duas vias. Em um vaso transparente (vidro. introduzido anterior- mente. Então v t = ∆z/∆t.2 Diâmetros estatísticos De maneira análoga ao diâmetro de partícula dA. obtém-se os intervalos de tempo correspondentes (∆t). em concentrações da ordem de 1% (volume). A natureza estatística desses diâmetros tem a ver com a escolha arbitrária de uma direção para a sua quantificação. via “pesos úmidos” e “pesos secos” de amos- tras retiradas de tempos em tempos da suspensão sob sedimentação. o que pode ser feito medindo-se a velo- cidade de queda em dois ou três trechos verticais consecutivos. A seção transversal do vaso deve ser muito maior que o tamanho da partícula ensaiada. para minimizar o “efeito de parede”. Mais detalhes sobre o uso da Pipeta de Andreasen são encontrados em Allen (1981). basicamente. O método baseia-se em medidas de concentrações de sólidos em suspensão. é bastante simples obter-se a velocidade terminal de par- tículas caindo em líquidos sob a ação do campo gravitacional terrestre. um tipo especial de vidraria.) alto e largo e com o líquido em repouso. que diminui a velocidade terminal. observa-se a queda da partícula. fixa a uma proveta na qual ocorre a sedimentação. os diâmetros estatísticos de partícula também são definidos sobre a imagem projetada da partícula no plano sobre o qual ela repousa em configuração estável. . a Pipeta de Andreasen tem baixíssimo custo comparado a equipamentos modernos tais como difratômetros a laser. com um cronômetro. conforme segue. medem-se distâncias verticais percor- ridas pela partícula em queda (∆z) e. tipicamente entre 60 e 120 minutos. para minimizar o “efeito de população”.18 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Em particular. Sendo. O equipamento padrão para análises granulométricas em termos de dStk é conhecido como a Pipeta de Andreasen. É preciso garantir que a partícula em queda realmente tenha atingido sua velocidade terminal.4. 4 Tamanho de partículas 19 ■ dFe (diâmetro de Ferret) – distância entre duas paralelas. porém com o mesmo dFe para a direção arbitrária mostrada. ■ dMa (diâmetro de Martin) – comprimento do segmento de reta paralelo a uma direção arbitrária e que une dois pontos do contorno da imagem projetada da partícula em um plano sobre o qual ela repousa na configuração mais estável e que divide sua área projetada em áreas iguais. Tal como no caso de dA. dFe e dMa são usados para partículas muito finas para serem analisadas com peneiras padroniza- das. A Figura 1. .. as quais apenas tocam o contorno da imagem projetada da partícula em um plano sobre o qual ela repousa na configuração mais estável. As áreas acima e abaixo de dMa são supostamente iguais.4 Diâmetro de Ferret para três partículas distintas. Equipamentos modernos obtêm imagens projetadas de partícu- las televisionando-as através de microscópios óticos e processando as imagens digitalmente (p. segundo uma direção arbitrária. A Figura 1. QuantimetTM ). ex.4 mostra três partículas muito distintas. 1. visto anteriormente. FIGURA 1.5 mostra três partículas muito distintas. porém com o mesmo dMa para a direção arbitrária mostrada. levou à busca de expressões que per- mitissem a conversão de um tipo de diâmetro em outro.29) Ma .27) P d Ma < d A < d Fe (1.94 (1.3 (1. pressupõem partículas não esféricas.90 (1.28) ■ Cimento Portland d Fe d ≅ 1. na prática.26) P d# d ≅ 0.34 (1. As relações que se seguem são empíricas e. ■ Materiais em geral dStk d ≅ 0.3 Relações entre diâmetros de partícula O fato de.5 Diâmetro de Martin para três partículas distintas. 1. alguns tipos de diâmetro de partícula serem mais facilmente quantificáveis que outros. obviamente.4.25) P dA d ≅ 1.20 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas FIGURA 1. Isso significa que uma esfera com diâmetro igual a 2. Embora o verbete seja extenso. são cilindros retos.30) Ma ■ Carvão mineral pulverizado d# d ≅ 2. feitio.2 (1.27324 cm. . H = 12. A Figura 1.4 Forma de partículas O primeiro significado da palavra “forma” que consta no Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (2001) é: “configuração física característica dos seres e das coisas. 1. qual seja. H = 1.6730 cm tem volume igual a 10 cm3. para D = 1. formato.6730 cm. como decorrência da estruturação de suas partes.4 Tamanho de partículas 21 ■ Vidro moído d Fe d ≅ 1.31) Stk ■ Quartzo moído d# d ≅ 0. essa definição se aplica bem a partículas. figura”. Seja uma partícula cilíndrica de diâmetro D e altura H com 10 cm3 de vo- lume. Assim.0 cm.89 (1. pode-se construir diversos cilindros com esse mesmo dP.7324 cm e para D = 10 cm. É fácil mostrar que seu dP é aproximadamente igual a 2.6 mostra essas duas partículas em escala aproximadamente 1:1.6 com um mesmo material. Lembrando que o volume do cilindro é igual a πD2H/4.12 (1.32) P 1. vale dizer com volume de 10 cm3. com vinte e sete usos em diversas áreas do conhecimento. Fazendo-se. obviamente elas terão a mesma massa e peso.4. Confeccionando-se partículas como as da Figura 1. Além de terem o mesmo volume. de um ponto de vista estritamente geométrico essas duas partículas pertencem a uma mesma categoria de sólido. vale dizer o mesmo dP. A necessidade de se quantificar a “forma” de partículas fica evidente com o exemplo concreto apresentado a seguir. conforme segue. Essa diferença relaciona-se ao fato de que as partículas têm áreas superficiais (SP) distintas. na expressão que define φ. Essa última característica relaciona-se ao conhecido fato da geometria espacial de que. conforme segue: SP (menor D) = 41. então. a forma da partícula deve ser quantificada levando-se em conta sua área superficial. o . Esse fato sugere que. já que é definida por uma razão de áreas. para um mesmo volume de partícula. Isso foi concretizado pelos chamados fatores de forma.0796 cm2 Ou seja. o cilindro de maior D tem quase cinco vezes a área superficial do cilindro de menor D. a forma esférica é a que exibe menor área superficial. com essas partículas um ensaio simples de queda em um dado fluido sob a ação do campo gravitacional terrestre.33) (área da superfície da partícula ) A esfericidade tem duas características importantes: (a) é adimensional.6 Partículas cilíndricas de mesmo volume. Assim.5708 cm2 SP (maior D) = 197. área da superfície da esfera de esfericidade(φ) ≡ mesmo volume que a partícula (1. dos quais analisa-se apenas dois. reduzindo sua velocidade terminal. para discriminar os efeitos da interação partícula-fluido. e (b) tem valores entre 0 (zero) e 1 (um). No ensaio de velocidade terminal isso proporciona maior interação entre o fluido e a partícula de maior D. constata-se que o cilindro de menor D atinge uma velocidade terminal maior que a do cilindro de maior D.22 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas FIGURA 1. para um dado volume. .34). Na verdade. é fácil demonstrar que: dP 2 φ = d (1. se a partícula for ela própria uma esfera. para quantificar-se a esfericidade de uma partícula. depende-se das técnicas e dos equipamentos usados na determinação de dP e dS. pela equação (1. a esfericidade de partículas não pode ser igual 0 (zero). para um cubo de aresta L viu-se. USA. e isso explica o fato de a es- fericidade ter sido criada na área de Geologia. vistos anteriormente. Por outro lado.806 (constante característica docubo L 6 ou hexaedro regular) π Uma curiosidade em relação à esfericidade é que ela foi originalmente introduzida por H. Ocorre que.13) Então. Wadell (1932).4 Tamanho de partículas 23 denominador será sempre maior ou igual ao numerador. uma vez que sua área superficial (denominador) é necessariamente finita e maior que zero. 1.9) 6 dS = L π (Equação 1. Por exemplo.34) S Assim. a esfericidade do cubo é: 2 6 L 3 φ= π = 0. sua esfericidade será obviamente igual a 1 (um). Lembrando das definições dos diâmetros de partícula dP e dS. a forma dos fragmentos de rochas presentes na crosta terrestre informa sobre os tipos e as intensidades dos processos geológicos ali transcorridos. Se a partícula sob análise possuir uma forma geométrica simples. que: 6 dP = L 3 π (Equação 1. um professor de Geologia da Univer- sidade de Chicago. sua esfericidade pode ser calculada com fórmulas da geometria espacial. anteriormente. isto é. depende-se das técnicas e dos equipamentos usados na determinação de d A. neste texto supõe-se que elas também tenham a mesma forma. a forma circular é a que exibe menor perímetro. na expressão que define χ. igual a 1 (um).24 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Analogamente à hipótese de que. já que é definida por uma razão de comprimentos.2). ou seja.36) ( ) Assim. Na verdade. . Com a partícula em repouso sobre uma superfície plana e na configu- ração de máxima estabilidade possível. Por outro lado. todas as partículas têm a mesma densidade (item 1. a forma das partículas dependeria do processo pelo qual as partículas foram obtidas.35) ( perímetro da projeção da partícula ) A circularidade tem duas características importantes: (a) é adimensional. para um dado material. que no caso do círculo denomina-se circunferên- cia. aquela em que seu centro de gravidade tem a menor cota em relação ao plano de apoio. no caso de produtos de moagem. obviamente. Alguns autores ponderam que. sua área projetada será sempre um círculo de mesmo diâmetro que a esfera e sua circularidade será. dMa e dFe. a mesma esfericidade. o tipo de moinho utilizado poderia afetar a forma das partículas. Assim. a circularidade de partículas não pode ser igual 0 (zero) uma vez que a área de sua projeção (denominador) é finita e maior que zero. e (b) tem valores entre 0 (zero) e 1 (um). Lembrando da definição do diâmetro de partícula dA. para uma dada área. para um dado material. Essa última característica relaciona-se ao conhecido fato da geometria plana de que. Por exemplo. o denominador será sempre maior ou igual ao numerador. para quantificar a circularidade de uma partícula. O assunto é controverso. vem: π dA χ = perímetro da projeção da partícula (1. se a partícula for ela própria uma esfera. condição usada anteriormente nas definições dos diâmetros de partícula dA. define-se: circunferência do círculo de área igual à da projeção da partícula no plano sobre o qual ela se apoia χ ( circularidade ) ≡ (1. . É o caso de pigmentos para tintas. em que a terceira dimensão (perpendicular ao plano de apoio) é pequena comparada às outras duas (da projeção no plano de apoio). A circularidade tem uso. de modo a se obter o máximo recobrimento com a menor quantidade de tinta possível. pode-se supor que. o tamanho e a forma das partículas têm rele- vância para o estudo das operações unitárias que envolvem partículas e fluidos.8862 (constante característica do cubo 4L ou hexaedro regular) Sendo um fator de forma bidimensional.5 Estatística de partículas 25 vistos anteriormente. para um dado material. 1. a circularidade não correla- ciona bem dados experimentais de interação entre partículas e fluidos. a densidade e a forma de suas partículas não são grandezas distribuídas. para um dado sólido. por exemplo. Se a partícula sob análise possuir uma forma geométrica simples.5 ESTATÍSTICA DE PARTÍCULAS Viu-se que a densidade. Por exemplo. diz-se nesse caso que. para um cubo de aresta L viu-se. no controle de qualidade de partículas. Todavia. Trata-se de uma hipótese de trabalho com amplo respaldo experimental e que simplifica enormemente a análise dos pro- blemas. 1. suas partículas possuam a mesma densidade e forma. Usando terminologia estatística. sua circularidade pode ser calculada com fórmulas da geometria plana. para as aplicações práticas a serem estudadas. que também se prestam ao cálculo do perímetro da projeção da partícula sobre um plano de apoio estável. que: 1 d A = 2L π (Equação 1. já que não tem relação com a área da superfície da partícula que está em contato permanente com o fluido. em que as partículas devem ter a forma de placas. vem: 1 π2L χ= π = 0.16) Como o perímetro da área projetada de um cubo sobre um plano de apoio estável é 4L. anteriormente. diagrama cartesiano ou função algébrica. com os próprios diâmetros dos “finos”. No jargão estatístico. difíceis de ser estabelecidas . de que todas as partículas da amostra têm a mesma densidade ( ρS ). é uma variável essencialmente distribuída na maioria das aplicações práticas de interesse.26 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas O tamanho de partícula. Isso significa que neste texto considera-se misturas de partículas de diversos tamanhos. por outro lado. ou DT. em geral. designados por “finos”. (c) comprimento das partículas. Por exemplo. Várias grandezas características podem ser usadas na descrição da DT das partículas de uma amostra. diz-se que as partículas têm uma “distribuição de tamanhos”. o que não quer dizer que todas as frequências sejam adimensionais. “médios” e “grossos”. tais relações são geralmente expressas sob a forma de tabela. “médios” e “gros- sos” da amostra. uma frequência bem intuitiva seria a fração mássica (ou a correspondente percentagem mássica) de “finos”. considere-se uma amostra de partículas na qual estejam presentes apenas três tamanhos de partículas. No jargão estatístico. Em particular. mas de mesma densidade e forma. termo que neste texto. A distribuição de tamanhos. No caso. (b) volume das partículas. implica que as frações e percentagens são iguais em massa (ou ponderais) e em volume. “médios” e “grossos”. Relações de dependência entre frequências baseadas em diferentes grandezas características são. As mais comuns são: (a) massa das partículas. essas medidas de proporção denominam-se frequências. Note-se que a fração mássica é uma frequência adimensional. (d) área projetada das partículas. a hipótese adotada anteriormente. Assim. nada mais é que a representação quantitativa que relaciona alguma medida da proporção em que essas frações estão presentes na amostra. pode-se representar uma DT da forma mais geral possível por relações do tipo: grandezas características relativas tamanho ( isto é. frações ou percentagens ) VERSUS de partícula associadas às partículas da amostra Na prática. (e) número de partículas. abrevia-se por DT. Para um dado tipo de grandeza característica é possível definir três tipos de grandeza característica relativa (ou frequência) associada a tamanho de partícula. que o agitador mecânico disponível possa acomodá-las adequadamente. para um dado diâmetro de partícula. dA. a fração ponderal y é igual à soma das frações ponderais x para todos os diâmetros de partícula menores que o diâme- tro de partícula considerado. comprimento e número de partículas) e 3 tipos de grandezas características relativas (y. dS. torna-se necessário escolher um conjunto de peneiras tal. 5 tipos de grandezas características (massa. ■ Fração ponderal com dado diâmetro de partícula (x). x e z). Para facilitar a compreensão no desenvolvimento que se segue. resulta que pode-se representar a DT de uma dada amostra de. A dificuldade está diretamente relacionada às nossas limitações na descrição da forma das partículas. dStk. Pode-se definir. Supondo que se disponha da série Tyler completa de peneiras. . três tipos de frações mássicas (ou ponderais): ■ Fração ponderal menor que um dado diâmetro de partícula (y). 1.5. então. d#. Por essa razão. Considerando-se que até aqui foram apresentados 7 tipos de diâme- tros de partícula (dP. que. o que implica faixas finitas (ou discretas) de tamanhos de partículas. y e z denominam-se frações ponderais acumuladas (ou cumulativas). enquanto x é denominada fração ponderal simples. pelo menos.5 Estatística de partículas 27 analiticamente. de razão 2 ). usando peneiras padronizadas. As demais peneiras. ■ Fração ponderal maior que um dado diâmetro de partícula (z). O problema que se coloca então é o de descobrir a maior abertura de peneira a ser utilizada no conjunto. Analogamente. dFe e dMa). seguem a série alternada (aberturas em P. a fração ponderal z é igual à soma das frações ponderais x para todos os diâmetros de partícula maiores que o diâmetro de partícula considerado. volume. com um exemplo quantitativo.1 Distribuições de tamanhos discretas Seja a análise granulométrica de 500 g de uma areia. G. por convenção. Mostra-se a seguir. área projetada. 7 × 5 × 3 = 105 maneiras distintas! 1. Na verdade. usa-se a grandeza característica “massa de partículas” e a grandeza característica relativa (ou frequência) “fração mássica de partículas”. 7 mostra. De fato. em seguida. o que é feito por tentativa e erro.841 mm). Um procedimento alternativo é des- cobrir a abertura de peneira que retém. Assim procedendo. a qual ficará no alto da pilha de peneiras que será usada na análise granulométrica. em geral. volta-se à série Tyler e seleciona-se a peneira com abertura imediatamente maior que a testada anteriormente. esquematicamente. a referida peneira não precisa estar na pilha. A Figura 1. o fundo conta como se fosse uma peneira de abertura igual a zero ou mesh infinito.595 mm). cerca de 10% (valor arbitrário) da amostra. escolhe-se na série Tyler a peneira com abertura imediatamente maior que o referido grão. 14# (1. Assim. Suponha- -se que essa peneira tenha retido parte das partículas. vai-se. 35# (0. corresponde a 10 mesh (ou 10#). Usa-se uma panela ou “fundo” na qual ficarão as partículas mais finas da amostra. tem-se: 10# (1. com as demais peneiras de aberturas menores seguindo a série alternada. Para efeitos da análise granulométrica. necessariamente. obtida por tentativa e erro. as seis peneiras e o “fundo” acoplados a um agitador mecânico de laboratório típico. Análises granulométricas típicas empregam de seis a oito peneiras mais o “fundo”.420 mm) e 48# (0. é testada com uma pequena porção da areia original. não reterá partículas. que é o depósito no qual são recolhidas as partículas mais finas. que. possuem controles de amplitude de vibração e tempo de peneiração. Seguem-se algumas observações práticas quanto ao uso adequado de peneiras padronizadas. 28# (0. No entanto.297 mm). A metodologia é então repetida. As demais peneiras seguem a série alternada. Suponha-se que a menor abertura de peneira que não retém nada. uma vez que.19 mm). elas são pesadas .68 mm). tenta-se descobrir o maior grão presente. Se a análise for executada usando seis peneiras.28 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas precisa-se determinar a menor abertura de peneira que não retenha nenhuma partícula da referida amostra. Espalha-se um pouco da areia sobre uma superfície plana e. Então. As peneiras devem ser previamente limpas com pincéis apropriados para tal fim. o que indica que sua abertura é menor que a procurada. Esses equipa- mentos. A seguir. 20# (0. sua abertura deve ser conhecida. por exemplo. tal qual no teste. visualmente. Essa técnica exige que se teste toda a amos- tra e só permite obter a DT completa em termos de frações ponderais cumulativas (y ou z). chegar à menor abertura de peneira que não retém nada. as amostras analisadas têm massa entre 300 e 600 g e devem estar bem secas. pois isso evita a formação de aglomerados de partículas que. obtém-se a massa de cada fração resultante. vazias (no jargão. que tem de ser descartada. por diferença. há que se tomar cuidado com materiais termos- sensíveis. de outra maneira. Em geral. Assim. resultando na perda da calibração original da peneira. 1. Occorre que um peso exces- sivo de material sobre a tela de arames trançados tende a deformá-la e. eventualmente. é muito comum secar-se as amostras em estufa antes da análise com peneiras. . A análise termina quando as peneiras atingem peso constante.5 Estatística de partículas 29 FIGURA 1. então. pesadas novamente e. As peneiras são. seriam computados como partículas grandes. Quando a análise granulométrica envolve peneiras muito finas. leva à quebra de arames. diz-se que as peneiras são “taradas”). deve-se preferir amostras pequenas.7 Peneiras e “fundo” acopladas a agitador mecânico. Nesse caso. 050 2 –14 + 20 1. o d−# podia ter sido escolhido. são referidas também como frações ponderais acumuladas.1 mostra o resultado da análise com valores arbitraria- mente escolhidos para as massas de areia que cada peneira retém (com exceção da peneira de 10#.830 0.230 0.920 6 –48 + ∞ 0. 3.718 190 0.120 + 0.149 40 0. As frações ponderais yi e zi (frequências acumuladas) são somas de frações ponderais xi. 5.380 0. 2. o que modificaria ligeiramente os valores de yi e zi.080 = 0. por essa razão. . de modo que o diâmetro médio do par –48 + ∞ é a metade da abertura da peneira de 48#.02 60 0.508 110 0.120 0.550 4 –28 + 35 0. Tabela 1.220 0.170 3 –20 + 28 0. a fração ponderal menor que zero é necessariamente igual a zero (y6 = 0). 6. 7. A soma das massas mi é igual a 500 g. As frações ponderais y i e z i (frequências acumuladas) foram arbitrariamente associadas ao d+# de cada par de peneiras.30 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas A Tabela 1.080 0.050 = 0. As frações ponderais xi (frequências simples) estão associadas a d # i . Todavia.050 0.44 25 0.950 0.359 75 0.000 Algumas observações sobre o preenchimento da tabela anterior são pertinentes: 1. 4. Como o “fundo” equivale a uma peneira de abertura zero.450 e z3 = 0.450 0. A soma das frações ponderais xi é igual a 1.380 + 0. O “fundo” é tratado como uma peneira de abertura igual a zero (correspondendo a número de mesh ∞).000 1.150 0. Por exemplo.770 5 –35 + 48 0.220 + 0. que está vazia). para uma amostra de 500 g de areia.550 e.1 Análise granulométrica com peneiras padronizadas fração ponderal par de peneiras mesh d# i mi com d#i < d+# i > d+# i i Tyler (mm) (g) xi yi zi 1 –10 + 14 1.150 + 0.080 0. y3 = 0. a fração ponderal maior que zero é um (z6 = 1). As seguintes relações são válidas (atenção: o valor de i e as aberturas das peneiras crescem em sentidos opostos): y i + z i = 1 (1. no caso. 1.8 mostra o gráfico de xi versus d #i . 9. o que é determinado pela série Tyler.8 Distribuição de frequências simples xi versus d#i .37) y i+1 = y i − x i+1 (1.38) z i+1 = z i + x i+1 (1. Como o “fundo” equivale a uma peneira de abertura zero.5 Estatística de partículas 31 8. Note que d #i corresponde ao cen- tro das barras. conhecido no jargão estatístico como diagrama de barras ou histograma. alternada.39) Os resultados da análise granulométrica com peneiras padronizadas po- dem ser apresentados sob a forma de diagramas cartesianos. A Figura 1. FIGURA 1. . Com exceção da primeira barra ( d #i = 149 µm ). a largura das barras aumenta quando d #i aumenta. A Figura 1. escolhe-se que a largura da referida barra no novo histograma será de 0. Se.37). o que tem a ver com o fato de as frequências sim- ples estarem associadas à abertura média de pares de peneiras.68 mm) e 14# (1. Pode-se então calcular a altura da barra. enquanto as distribuições de frequências acumuladas (yi e zi).841 – 0.80 cm2. a área da referida barra em cm2 (unidade arbitrária!) seria então 0.595 mm (28#).9. Esta é uma prática corrente na apresentação de dados estatísticos. Note-se que as duas alturas de barras calculadas são adequadas para uma folha de papel A4 (210 mm 3 297 mm).5 cm (valor abitrário!).502 cm.5/0.246 mm corresponde a 0.841 mm (20#) e 0. Então: 0. a soma das frações da área total do novo histograma correspondentes a cada barra também é 1.5.6 cm Para i = 1 (barra de menor altura) tem-se o par 10# (1. cria-se um escalonamento que deverá ser usado para calcular a largura de todas as barras.9 mostra os gráficos de yi versus d+# e zi versus d+# sobre um mesmo diagrama. têm 7 pontos. e existem . Figura 1. que é o escalonamento do eixo horizontal do novo histograma. resulta então que 0. como exige a equação (1.5 cm × altura ⇒ altura 7.8. tem 6 barras.380 × 10 = 3. Assim como o somatório das frequências mássicas é 1. Como as aberturas das peneiras do par i = 3 são 0.19 mm).5 cm. Note-se que a distribuição de frequências simples (xi). uma vez que área = base × altura: 3.80 cm2 = 0.19) 0. Note-se que. Isso também irá determinar a altura de cada barra. Pode-se construir um novo histograma com frequências simples com base nas áreas das barras. para i = 3 (barra de maior altura) e usando 10 como fator de proporcionalidade (valor arbitrário!). Por exemplo. adicional- mente. tem-se yi = zi = 0.32 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas O histograma anterior usa frequências simples de base mássica (ou ponderal). Fi- gura 1.595 = 0. no ponto de intercessão das curvas. basta fazer que a área de cada barra no novo histograma seja proporcional à frequência que ela representa.68-1.050 × 10 cm2 = ((1.246) cm × altura ⇒ altura 0. Para tanto. a totalidade da amostra de partículas tem. tes- tada inicialmente. 1. maiores que zero. são variáveis contínuas. obviamente. o que implica uma diferença de tamanhos sempre finita (ou nula) entre elas. É claro que. é de grande utilidade representar as distribuições de tamanhos de partículas por meio de funções matemáticas contínuas. e que não reteve nada. as partículas tenham sempre tamanhos finitos. Isso equivale a supor que.9 Distribuição de frequências acumuladas yi versus d+# e zi versus d+# . obrigatoriamente. na prática. Já as frequências acumuladas estão associadas às aberturas de cada peneira. na amostra analisada. que é a abertura da peneira de 10#. Assim. quanto maior for o número de frequências envolvidas.2 Distribuições de tamanhos contínuas Embora. . tanto o tamanho de partícula quanto as frequências usadas na distribuição de tamanhos. tamanhos menores que 1680 mm e. N peneiras e o “fundo”.5 Estatística de partículas 33 FIGURA 1. originam N frequências simples e N + 1 frequências acumuladas. 7 peneiras (o “fundo” conta como uma peneira de abertura zero) corres- pondendo a 6 pares de peneiras. menos importante é esse fato.5. fisicamente. que conta como uma peneira de abertura zero. 1. não podem existir partículas maiores que 1680 mm. Generalizando. Observe-se que. Buscam-se funções matemáticas contínuas dos seguintes tipos: X = X (d? ) (1.42) z = z (d? ) (1. A neces- sidade desse novo tipo de frequência ficará evidente a seguir. isto é: ∫ 0 X (d? ) dd? k y = (1. eles serão representados genericamente por d?. como x. com a nova frequência simples normalizada X. isto é. d# e dStk) e 1. Com isso. dS. será uma soma de valores infinitesi- mais de X. a diferença entre as aberturas de duas peneiras consecutivas teria magnitude diferencial dd#. Além disso. que originalmente representava uma faixa de tamanhos de partículas.40. e que originou um histograma). que estaria associada às diferenciais dx. Na verdade. considerando-se uma análise granulométrica realizada com um número infinito de peneiras. que é adimensional e tem somatório de valores igual a 1. intuitivamente. o valor de y. Para tratar das distribuições contínuas. X tem dimensão de inverso de comprimento e somatório de valores diferente de 1. tornou-se supérfluo. a integral é definida entre os limites d? = 0 e d? = k.40) Note-se que.44) . diferentemente de x.4-2 (dFe e dMa).34 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Pode-se passar.4-1 (dP. dA. define-se a frequência simples por unidade de tamanho de partícula. das distribuições discretas vistas às con- tínuas. uma integral da função X(d?). d ? e X são variáveis contínuas. troca-se d? por ∆d? na Equação 1. Caso a variável d? seja discreta (como na análise granulométrica com peneiras. Como a análise granulométrica pode ser feita usando-se qualquer um dos sete tipos de tamanho de partícula vistos nos itens 1.43) Assim como y era anteriormente uma soma de valores finitos de x me- nores que dado tamanho de partícula d? = k. dy e dz.41) y = y (d? ) (1. O ponto de interrogação na posição de subscrito lembra que a referência é feita a tamanhos de partícula em geral. conhecida em estatística como frequência simples normalizada. o subscrito i. que será representada por X: X ≡ x /d? (1. Na verdade a integral é definida entre os limites d? = k e d? = d?max. portanto.48) ? d? =k O sinal negativo é necessário pois z (d?) é uma função monótona decres- cente de d?.47 somam-se as frações ponderais normalizadas corres- pondentes a todos os tamanhos de partícula maiores que k. obviamente. por derivação da função z(d?) em relação a d? no ponto em que d? = k: dz (d? ) X (d? ) = − dd (1. Há casos. é obviamente por derivação da função y(d?) em relação a d? no ponto em que d? = k: dy (d? ) X ( d ? ) = (1. isto é. Novamente fica claro que X(d?) precisa ter dimensão de inverso de comprimento para que o integrando X(d?) dd? seja adimensional. Nesses casos. 1. o valor de z. e. claro que X(d?) precisa ter dimensão de inverso de comprimento para que o integrando X(d?) dd? seja adimensional. relativamente raros. isto é. . A passagem inversa. então. é. isto é. sua derivada é negativa. uma integral da função X(d?).5 Estatística de partículas 35 Na Equação 1. Sem o sinal negativo os valores de X(d?) seriam negativos. como z era antes uma soma de valores finitos de x maiores que dado tamanho de partícula d? = k. tal como y.47) Na Equação 1.46) dd ? d? =k Da mesma forma. isto é: ∫k d?max z = X (d? ) dd? (1.44 somam-se as frações ponderais normalizadas corres- pondentes a todos os tamanhos de partícula menores que k. de y para X. Fica. a expressão se torna: ∫d k y = X (d? ) dd? (1. de z para X. em que o menor tamanho de partícula (d?min) presente na amostra é conhecido. será uma soma de valores infinitesi- mais de X.45) ?min A passagem inversa. com a nova frequência simples normalizada X. o que não tem significado. tal que 50% da massa da amostra .3 Modelos matemáticos de distribuições de tamanhos de partículas ■ Modelo Log-Normal (LN) Definição: 1 y = 2 [1 + erf ( u )] (1. os modelos mais usados descrevem as distribuições de tamanhos em termos de y = y (d?) ou z = z (d?) que são. O parâmetro D50 é uma medida de tendência central. tamanho de partícula. y = y (d?) e z = z (d?). Adotando Perry (1997) como paradigma.36 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas A relação entre y(d?) e z(d?) é semelhante à equação (1. para as funções X = X (d?).5.5.52) em que σ e D50 são parâmetros do modelo e d?. em geral. Por sua maior simplicidade algébrica. 1. é a variável livre ou argumento da função.1-1) vista anteriormente: y(d? ) + z(d? ) = 1 (1. identi- ficada a um diâmetro de partícula.51) 2 ln σ e 2 ( ) u erf ( u ) = π ∫0 exp − t 2 dt (1. O parâmetro σ é adimensional e mede a dispersão dos dados em torno de D50. mais comumente referidas como modelos de distribuição de tamanhos.50) com d ln ? D50 u = (1. funções mono- tônicas.49) O próximo passo é a busca de equações matemáticas. que são funções monotônicas crescentes. representa-se as DTs de partículas com modelos do tipo y = y (d?). 1 D50 σ = D = D (σ ≥ 1) (1.5 Estatística de partículas 37 correspondem a partículas com diâmetros (d?) menores que D50.9% da massa da amostra corresponde a partículas menores que D84. oriunda do estudo da distribuição normal (ou gaussiana) de probabilidades. em vista da relação entre y e z (Equação 1. De fato.54) com D′50 ′ D15. em inglês error function. é fácil mostrar que.53) 50 15. A função erf(u).1 50 em que D’50 é um diâmetro de partícula tal que 50% da massa da amos- tra corresponde a partículas maiores que D’50. D’84.9 σ ′ = D′ = D′ (σ ′ ≥ 1) (1. sendo t conhecida como variável muda (em inglês.9 em que D84. dummy variable) ou variável de integração.1.49). Demonstra-se que: D84. Vale a pena lembrar que uma variável como u tende a uma distribuição normal (ou gaussiana) quando seu valor é determinado por pequenas contribuições de um grande número de outras variáveis (não presentes no modelo).1 é um diâmetro de partícula tal que 84. em termos de z. 1.1 é um diâmetro de partícula tal que 84. mediante certos processos materiais ou fenome- nológicos. e D15. o modelo LN fica: 1 z = 2 [1 − erf ( u′)] (1.1.1% da massa da amostra corresponde a partículas . é a função erro de u.1% da massa da amostra corresponde a partículas menores que D84. Embora não se utilize neste texto a fração ponderal cumulativa z para representar distribuições de tamanhos de partículas. de não usar o mesmo símbolo para variáveis do integrando e dos limites de integração. afetam o valor de u.9 é um diâ- metro de partícula tal que 15. as quais. t é matematicamente a mesma variável que assume os valores extremos 0 e u indicados na integral.55) 84. Trata-se apenas de uma tradição de textos de Análise Matemática. Os valores de d84. d50 e d15. é único e tendo em vista que as definições de D 50 e D’50 implicam D50 = D’50. para o qual a regressão linear de dados é facilmente obtida com calculadoras comuns e. esse e muitos outros papéis de gráfico podem ser impressos a partir de sites da internet.9 serem semelhantes. originou-se de estudos na área de finanças. e novos valores de y na escala homogênea adotada.9 da DT original. buscando-se links com as palavras-chave “papel de gráfico” ou “graph paper”. melhor será o ajuste obtido com o referido modelo. pois requer o cálculo de valores de erf–1 (2y – 1). os correspondentes pares ordenados (d?. os pontos originais sobre o diagrama teriam os mesmos valores de d?. cuja avaliação requer o uso de métodos numéricos. Uma medida precária da qualidade desse ajuste pode ser obtida acoplando-se uma nova escala homogênea paralela à escala de probabilidades original.1. Entretanto.1 e D’15. a y84.50). Entretanto. Assim. plotados em papel de gráfico do tipo log-probabilidades (d? em escala logarítmica versus y em escala de probabilidades).38 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas maiores que D’84. vem D’15. res- pectivamente.53 e 1.1. Isso equivaleria a um novo diagrama cartesiano. se o modelo LN descreve com exatidão uma dada DT. pas- sível de caracterização por um coeficiente de correlação/determinação.55. y50 e y15.9 correspondem. Como o valor de σ. portanto.1 e D’84. Note-se que se trata da inversa de uma função que envolve uma integral de função exponencial.9% da massa da amostra corresponde a partículas maiores que D’15. tendo sido desenvolvido a partir do . Observações: O modelo LN.9 é um diâmetro de partícula tal que 15. Assinale-se a dificuldade de se encontrar o papel log-probabilidades em papelarias.9.9. a partir dos quais se calcularia log d?. da função inversa da função erro (veja Equação 1.1/d50 e d50/d15. As- sim. demonstra-se que. quanto mais retilíneo for o alinhamento dos pontos. às vezes referido como distribuição de Galton. Verificação: A linearização do modelo LN é bastante trabalhosa. estarão sobre uma linha reta.9 = D84. isto é. y). Um indicativo de que o modelo LN poderia eventualmente ajustar bem os dados de d? versus y é o fato de as razões d84. presente nas Equações 1.1 = D15. 56) em que D63. tem-se uma reta de inclinação n. 1.2% da massa da amostra referem-se a partículas menores que D63. é a variável livre ou o argumento da função exponencial. plotando ln (1/(1-y)) no eixo das ordenadas e d? no eixo das abscissas.2 e n são parâmetros do modelo e d?. .2 tem dimensão de comprimento e corresponde a um diâmetro de partícula tal que 63. Enfatize-se que não é correto fazer referência a “coeficiente linear” da reta. Evidentemente. O parâmetro n é adimensional e não tem nenhum significado estatístico. todas as partículas da amostra possuem o mesmo tamanho. O modelo LN representa bem a distribuição de tamanhos de produtos de moagem em geral. O parâmetro D63. ■ Modelo de Rosin. para o qual se define o coeficiente linear da geometria analítica. Rammler e Bennett (RRB) Definição: n d − ? D63. no caso das distribuições de tama- nhos de partículas.2 ln (1.57) Essa equação mostra que ln [ln (1/(1-y))] é uma função linear de ln d?. Para σ = 1. Assim. sobre um diagrama log-log.56 de modo isolar 1/(1–y) e usando a seguir logaritmos naturais (ou neperianos) duas vezes seguidas obtém-se: 1 ln 1 − y = n ln d? − n ln D63.2 y = 1− e (1.5 Estatística de partículas 39 modelo Normal (ou gaussiano). que usa escalas uniformes ou cartesianas. razão pela qual o modelo Normal não é muito usado nessa área. Verificação: Rearranjando a Equação 1. não tem significado físico um tamanho de partícula negativo. tamanho de partícula. pois em escalas logarítmicas não existe o valor zero (que no caso seria d? = 0). Este último tem o sério inconveniente algébrico de produzir frequências positivas para valores negativos da variável distribuída.2. o coeficiente linear fornecido pela calculadora (que se baseia apenas nos dados experimentais) deve ser igualado a – n ln D 63. quanto mais retilíneo for o alinhamento dos pontos. se o modelo RRB descreve com exatidão uma dada DT.2. permitindo.57. estiver presente no diagrama. O carvão pulverizado é.57. ln [ln (1/(1-y))]).40 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Portanto. plotados em papel de gráfico do tipo log. assim. Equação 1. melhor será o ajuste obtido com o referido modelo.2 = {ln[1/1-y (1)]}–1/n.uma vez que o valor de n já é conhecido. em que os recursos hídricos estão esgotados e o petróleo é escasso. o gráfico correspondente é cartesiano e n é o coeficiente angular da “melhor reta” e será fornecido diretamente pela calculadora. O valor de n é igual à tangente do ângulo que a “melhor reta” forma com o eixo horizontal. bolas de aço em permanente movimento chocam-se umas com as outras e com a carcaça do moinho. e estimativas rápidas de n e D 63. Assim.57 mostra que D63. O valor D63. a “melhor reta” pode ser traçada sobre o gráfico log-log de d? versus ln (1/(1-y)). Se o alinhamento dos pontos “ao olho” for satisfatório. em geral.log estarão sobre uma linha reta. o cálculo de D63. Nesse caso. e o calor .2 podem ser feitas. extremamente importante no continente europeu. Conforme mostra o modelo linearizado. possuem rotinas internas que fazem a regressão linear dos pares (ln d?. Observações: O modelo RRB. a moagem ocorrendo quando partículas se interpõem entre as superfícies que se chocam. e pode ser obtido pela razão de comprimentos (cateto oposto)/(cateto adjacente) de qualquer triângulo retângulo que se construa com a hipotenusa apoiada sobre a “melhor reta”.2 do ajuste “ao olho” pode então ser obtido pela Equação 1. Neles.2 (que se baseia apenas no modelo matemático). ainda hoje. Se d ? = 1 unid. os correspondentes pares ordenados (d?. ln (1/(1-y))). também referido por Rosin-Rammler ou ainda por Rosin-Rammler-Sperling. foi desenvolvido a partir de estudos da dis- tribuição de tamanhos de carvão mineral pulverizado em moinhos de bolas. A queima do carvão ocorre em usinas termoelétricas. quantificando também o coeficiente de correlação que informa sobre a qualidade do ajuste dos dados. usando os valores de n e de d? e ln (1/(1-y)) (par ordenado) de um ponto qualquer escolhido sobre a “melhor reta”. Calculadoras científicas comuns. compr. a Equação 1. plotando y no eixo das ordenadas e d? no . ■ Modelo de Gates.5 Estatística de partículas 41 de sua combustão é usado para gerar vapor d’água de alta pressão que.1. na Lua não existe uma atmosfera gasosa. D100 é o maior tamanho de partícula presente na amostra. O parâmetro m é adimensional e não tem qualquer significado estatístico. O parâmetro D100 tem dimensão de comprimento e corresponde a um diâmetro de partícula tal que 100% da massa da amostra correspondem a partículas menores que D100. semelhantes a cacos de vidro finíssimos. expandido em turbinas. e os sucessivos impactos de meteoros.5. No caso da Lua. Veio daí a especulação de que o solo lunar. tinham DT muito bem ajustada pelo modelo RRB. aciona geradores de eletricidade. em que a maioria dos meteoros vaporiza-se devido ao atrito com o ar antes de tocar o chão. a moagem se daria pelo contínuo impacto de meteoros em sua superfície. 1. Gaudin e Schuhmann (GGS) Definição: m d? y = D (1. é a variável livre ou argumento da função potência. Verificação: Usando logaritmos decimais em ambos os lados da Eq. tamanho de partícula.58) 100 em que D100 e m são parâmetros do modelo e d?. seria também um produto de moagem. isto é. A missão Apollo 11 (julho/1969) trouxe para a Terra amostras do solo lunar (denominado rigolito). O modelo RRB é superior ao LN tanto no ajuste de distribuições de tamanhos assimétricas quanto nas obtidas com peneiras. teriam pulverizado as camadas superficiais de seu solo. os quais agiriam como as bolas de aço dos moinhos de bolas. Assim. Diferentemente da Terra.3-9 obtém-se: log y = mlog d? − mlog D100 (1. ao longo de centenas de milhões de anos.59) Essa equação mostra que log y é uma função linear de log d?. cujas partículas. como o carvão pulverizado. sobre um diagrama log-log. em escalas logarítmicas. não existe o valor zero (que no caso seria d? = 0). Se d? = 1 unid. quanto mais reti- líneo for o alinhamento dos pontos. . melhor será o ajuste obtido com o referido modelo. plotados em papel de gráfico do tipo log-log. usando os valores de m e de d? e y (par ordenado) de um ponto qualquer escolhido sobre a “melhor reta”. possuem rotinas internas que fazem a regressão linear dos pares (log d?. O valor de D100 pode. os correspondentes pares ordenados (d?.59. ser obtido pela Equação 1. Calculadoras científicas comuns. tem-se uma reta de inclinação m. em geral. Observações: O modelo GGS foi desenvolvido a partir de estudos da distribuição de tamanhos de partículas de minérios moídos e por isso ajusta bem a DT de diversos produtos de moagem. se o modelo GGS descreve com exatidão uma dada DT. Para diâmetros de partícula pequenos. a “melhor reta” sobre o diagrama log-log de d? versus y per- mite estimativas rápidas de m e D100. o modelo GGS recai no RRB. está presente no diagrama. pois. permitindo assim o cálculo de D100 uma vez que o valor de m já é conhecido.59. para o qual se define o coeficiente linear da geometria analítica. O valor de m é igual à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo horizontal e pode ser obtido pela razão de comprimentos (cateto oposto)/(cateto adjacente) de qualquer triângulo retângulo que se construa com a hipotenusa apoiada sobre a referida reta. Nesse caso. Portanto. que usa es- calas uniformes ou cartesianas. estarão sobre uma linha reta. log y). compr. o coeficiente linear fornecido pela calculadora (que se baseia apenas nos dados experimentais).59 mostra que D100 = [y (1)]–1/m. o gráfico correspondente é cartesiano e m é o coeficiente angular da “melhor reta” e será fornecido diretamente pela calculadora. Equação 1. Conforme mostra o modelo linearizado. Novamente. deve ser igualado a – m log D100 (que se baseia apenas no modelo matemático). a Equação 1. Assim. y).42 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas eixo das abscissas. é in- correto fazer referência a “coeficiente linear” da reta. Os casos mais comuns correspondem a m > 1. então. Nesse caso. quantificando também o coeficiente de correlação que informa sobre a qualidade do ajuste dos dados. deseja-se calcular o diâmetro médio de partícula de uma amostra.60) i massa de uma partícula com diâmetro médio d #i Em termos das variáveis definidas previamente. para cubos e usando dS. juntamente com o diâmetro de partícula. pode-se definir diferentes médias (p.5 Estatística de partículas 43 1. Pode-se então escrever Ni como: massa de todas as partículas com diâmetro médio d #i N = (1. 1. Bi. Conclui-se. C = π/6. número de partículas com diâmetro médio d #i. ex.. para dois ou mais números dados.5. médias aritmética. fração ponderal de partículas com diâmetro médio d #i. ρS . então. para cubos e usando dP. vem: . para cubos e usando dS.4 Diâmetros médios de populações de partículas O diâmetro médio de uma população de partículas é uma medida repre- sentativa dos tamanhos de partícula presentes na amostra analisada. xi. seme- lhantes a esfericidade. fator adimensional tal que Bi d?i2 é a área superficial da partícula. B = π. determinam o fenômeno estudado. Em algumas aplicações práticas. Exemplos: para esferas B = π. que Bi e Ci são fatores de forma das partículas. massa da amostra de partículas analisada. fator adimensional tal que Ci d?i3 é o volume da partícula. Ci. Da mesma maneira que. para uma dada DT também pode-se definir vários diâmetros médios de partícula. que dependem do tipo de diâmetro de partícula usado. Em outras. para cubos e usando dP. Ni. Exemplos: para esferas C = π/6. seu uso em equações de projeto e correlações permite conhecer valores médios típicos de certas grandezas físicas que. C = (π/6)3/2. B = (6 π2) 1/3. densidade das partículas. geométrica e harmônica). Sejam as seguintes grandezas: m. Sauter caracterizava as gotículas. Pode-se escrever então para a amostra: volume da partícula volumes de todas ∑ com d? = D? as partículas área superficial da = áreas superficiais de todas (1. mais um diâmetro de partícula do tipo “esfera equivalente” a acrescentar àqueles vistos no item 1. o que explica o emprego do símbolo d32.62) ∑ partícula com d? = D? as partículas Em termos das variáveis definidas previamente. Usou-se o mesmo subscrito (?) para designar o tipo de diâmetro de partícula envolvido. mesmo quando ele se refere a uma população de partículas e não a uma dada partícula. em estudo sobre a formação de gotículas de combustíveis em câmaras de combustão de motores. comumente usado para representá-lo. individual- mente. de modo que pode-se redefini-lo como o diâmetro da partícula que possui a mesma razão volume/área superficial que a amostra como um todo.4.44 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas mx i Ni = ρ C d3 (1. que o introduziu. Sauter.1. vem: n C D?3 ∑ Ci d?i3 Ni i=1 = (1. pelo diâmetro da esfera que possui a mesma razão volume/área superficial que ela. É fácil mostrar que o diâmetro dessa esfera equivalente é igual a dP3/dS2.61) S i ?i Conforme comentado anteriormente. então.63) BD?2 n ∑ 2 Bi d?i Ni i=1 . O mais importante deles denomina-se diâmetro médio de Sauter. assim denominado em home- nagem ao cientista alemão J. o diâmetro médio de Sauter ( D? ) será usado para caracterizar uma população de partículas. em 1926. Este seria. diversos tipos de diâmetros médios populacionais podem ser definidos. No presente contexto. Em sua versão original. então. por hipótese. o que dá a expressão final do diâmetro médio de Sauter da amostra: 1 D = (1.64) ? n ∑ 2 d?i Ni i=1 Substituindo-se a expressão de Ni.61.4).65) ? n mx ∑ d?i2 ρ C di 3 i =1 S i ?i Considerando-se que m representa a massa da amostra analisada.5 Estatística de partículas 45 Como. essas grandezas saem dos somatórios e cancelam no numerador e denominador. e que ρS e Ci são.67) ? n x ∑ di i=1 ?i .64. por hipótese. vem: n mx i ∑ d?i3 ρ 3 i =1 S C i d?i D = (1.66) D? = n x ∑di i =1 ?i Note-se que o numerador da Equação 1. isto é. no numerador e de- nominador da Equação 1. resultando: n ∑ d?i3 Ni i=1 D = (1. 1. resultando: n ∑ xi i =1 (1. é igual a 1. evidentemente.66 é a soma das frações pon- derais em que a amostra foi subdividida e. Equação 1. iguais para todas as partículas da amostra.4. cancelam com B e C à esquerda do sinal de igualdade. os coeficientes Bi e Ci saem dos somatórios como constantes B e C que. as partículas que constituem a amostra possuem a mesma forma (item 1. uma constante. o que resultou 6 subfaixas de tamanhos. São bastante comuns os refratômetros a laser de 32 canais. pode-se obter uma nova expressão para o diâmetro médio de Sauter.38 para subfaixas discretas de tamanhos de partículas pode ser rearranjada para expressar os valores de x como uma diferença de valores de y: x i+1 = y i − y i+1 (1.67 vem: 1 D = (1.68) Assim. para dFe têm-se DFe etc. O número de subfaixas depende do tipo de equipamento utilizado na análise granulométrica. o que equivaleria a uma análise granulométrica com 32 peneiras.69) ? 1 1 ∫ 0 d dy ? . na análise granulométrica com peneiras padronizadas do item 1. tais como os refratômetros a laser. Por exemplo. Uma demonstração rigorosa será feita mais adiante. para uma análise granulométrica em termos de dp têm-se Dp . Se a distribuição de tamanhos das partículas é conhecida em termos dos modelos matemáticos vistos anteriormente (LN.67 é adequada para distribuições de tamanhos do tipo dis- cretas.1 foram usadas 6 peneiras do padrão Tyler e o “fundo”. RRB e GGS). as subfaixas estão associadas a “canais” eletrônicos de registro. A Equação 1.5. modifican- do a Equação 1. para d# têm-se D# . em que a faixa de tamanhos de partículas da amostra é dividida em um número finito de subfaixas.46 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Assim. se o número de subfaixas de tamanhos (i) tender para o infinito. com a notação adotada. A Equação 1. Em equipamentos sofisticados de análise granulométrica. tem-se três implicações matemáticas a considerar: x → dy d?i → d? n ∑ (em i) → ∫ 0 (em y ) 1 i=1 Efetuando as trocas acima indicadas na Equação 1.67 conforme segue. em geral. reescreve-se a expressão que define o diâmetro médio de Sauter procurado como: C ( d? ) d?3N ( d? ) K CD?3 = 0 ∫ d? dd? (1.5 Estatística de partículas 47 Para fazer a integração indicada é necessário explicitar d ? no modelo de distribuição de tamanhos (LN. o que. Ci e Ni presentes na Equação 1. . Todavia. Segue-se uma dedução matematicamente rigorosa da Equação 1. Adicionalmente. Nesse caso. em vez de explicitar d? no modelo. para não sobrecarregar as equações.63. fazendo-se uma simples mudança de va- riável. pode ser feito com relativa facilidade.71) ? y′ ∫ d? max dd? d? min d? Assim. sendo esse o caso.69 de y para d? resultando: 1 D = (1. Representando-se a derivada de y em relação a d? pelo clássico y’ vem: dy y ′ = dd (1.72) BD?2 ( ? ) ? ( ? ) dd K B d d2N d 0 ∫ d? ? em que B. C e N referem-se à variável contínua d? e não à variável discreta d?i. váli- da para distribuições de tamanhos expressas por funções contínuas de d?. 1. Dependendo da estrutura algébrica do modelo. torna-se necessário calcular a derivada de y em relação a d?. respectivamente. isso pode não ser possível. Nesses casos.70) ? Pode-se então trocar a variável de integração da Equação 1.69. RRB e GGS) como uma função de y e substituí-la no integrando. por exemplo. C e N têm significados semelhantes a. Bi. supôs-se que d?min = 0 e d?max = K. uma nova expressão para o cálculo do diâmetro médio de Sauter pode ser obtida. do modelo LN. Diz-se então que a função é trans- cendente em d?. note que B. 73 na Equação 1. o número de partículas com dado d? é dado por: mx (d? ) N (d? ) = ρ C d d3 (1. vem: mx ( d? ) ∫ K C ( d? ) d?3 dd? ρS C ( d? ) d?3 CD?3 d? 2 = 0 (1. Por essa razão.40. iguais para todas as partículas da amostra.72. introduz-se uma dimensão linear em suas expres- sões por meio da diferencial dd?. e que ρS . várias simplificações são possíveis em ambos os lados da igualdade.73) S ( ?) ? Substituindo-se a Equação 1. é necessário dividir os respectivos integrandos por d? para que suas dimensões fiquem corretas. B e C são.61. a Equação 1. isto é. volume e área. ao expressar-se tanto o volume (numerador) quanto a área superficial (denominador) das partículas da amostra por meio de integrais definidas. por hipótese. isto é.76) ? K X ( d? ) ∫ 0 d? dd? . resultando: x ( d? ) K 0 D = K ∫ d? dd? (1.74) BD? mx ( d? ) ∫ K B ( d? ) d?2 dd? ρS C ( d? ) d?3 0 d? Considerando-se que m representa a massa da amostra analisada. Equa- ção 1. uma constante. respectivamente.75) ? x ( d? ) 0 ∫ d?2 dd? Tendo em vista a definição de fração ponderal normalizada (X).48 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Note-se que.75 toma a seguinte forma: K D = ∫ 0 X ( d? ) dd? (1. Analogamente à Equação 1. em conformidade com o lado esquerdo do sinal de igualdade. 78) ? 1 1 ∫ 0 d? dy ( d? ) A menos da explicitação da dependência de y com d? na forma diferen- cial dy (d?). O cálculo de D? nas Equações 1.77 é igual a 1.77) ? 1 1 ∫ 0 d? dy ( d? ) Note-se as trocas dos limites de integração. para y(d?) que varia entre 0 e 1. RRB e GGS) é bem conhecido (Massarani.5 Estatística de partículas 49 Em vista da Equação 1.76 como: 1 D = ∫ dy (d ) 0 ? (1. que varia entre 0 e K. associadas à mudança da variável de integração de d?.46. 1984): ■ Modelo Log-Normal (LN) 1 2 D? = D50 exp − 2 ln σ (1. Rammler e Bennett (RRB) D63.81) sendo η uma variável de integração ou variável muda. . 1.78 para os três modelos de distribuição de tamanhos vistos anteriormente (LN. a Equação 1.2 D? = (para n > 1) (1. obtém-se a expressão final do diâmetro médio de Sauter da amostra: 1 D = (1.59.79) ■ Modelo de Rosin. Tendo-se em vista que o numerador da Equação 1. pode-se reescrever a Equação 1.59 ou 1.78 é idêntica à Equação 1.80) 1 Γ 1 − n em que ∞ Γ (r ) = ∫ 0 e −ηηr −1dη (função gama) (1. WADELL. GY. 1932. a funções matemáticas. Veja Apêndice G. OHLWEILER. 1973. H. New York: McGraw-Hill. ed. (Editor).H. VILLAR. 1984. ed. para valores de r que não constam da tabela. MASSARANI. 1/4. PERRY. ed. O. 40. Shape and Roundness of Rock Particles”. (Editor). Perry’s Chemical Engineers’ Handbook. 5. ed. Sampling of Particulate Materials – Theory and Practice. FRANCO.W.. v. 1989. 6.50 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas A função gama foi introduzida por L. 2001. (Late Editor). São Paulo: LTC Editora.. Ela estende o conceito de fatorial. Particle Size Measurement. R.82) Referências ALLEN. p. R. M. Gaudin e Schuhmann (GGS) (m − 1) D100 (para m > 1) D? = m (1. os valores da função gama podem ser obtidos com a relação Γ(r + 1) = r Γ(r). ed. A. Euler. London: Chapman and Hall. 1984. PERRY. Rio de Janeiro: Elsevier. v. G. ■ Modelo de Gates. New York: McGraw-Hill. M. HOUAISS. originalmente definido para números inteiros. F. D. . 1981. M. T. A. Problemas em Sistemas Particulados. 1982. M. Chemical Engineers’ Handbook. 3. 2. e seus valores encontram-se tabelados em manuais de matemática. Journal of Geology. testes e provas). PROBLEMAS PROPOSTOS Observação Os apêndices A e B contêm informações importantes sobre a elaboração de trabalhos escolares (listas de exercícios. 3. Rio de Janeiro: Objetiva. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. S. Química Analítica Quantitativa. São Paulo: Edgard Blücher. GREEN. “Volume. Em razão da sua simetria. H. P. em 1729. 443. 1 Desenvolva expressões para o cálculo dos diâmetros de esferas equivalentes d P. do mesmo material que a partícula. sob as mesmas condições.3 A queima de combustíveis líquidos. Estudando tais processos. b) Hexaedro. d) Dodecaedro. Sugestão: analise a queda de uma partícula qualquer em dado fluido sob a ação do campo gravitacional terrestre e compare-a com a queda de uma esfera.1.5 Estatística de partículas 51 1. Considerando-se as afirmativas (a) dp < dStk. sendo seu diâmetro D igual ao dp da partícula considerada. envolve a atomização destes em câmaras de combustão. d) Paralelepípedo reto de arestas X. pX e qX. g) Cilindro de diâmetro D e comprimento D/10. i) Esferóide oblato de semieixos a (maior) e b (menor). d S e d A para os seguintes sólidos de geometria simples: a) Hemisfério de diâmetro D. 1. b) Cone reto com diâmetro da base D e altura H. 1. . Diante disso.2 Uma mesma partícula sólida é caracterizada por d p (diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula) e dStk (diâmetro de esfera de mesmo material que a partícula e que. c) Octaedro. f) Cilindro de diâmetro D e comprimento 10 D. 1. h) Esferóide prolato de semieixos a (maior) e b (menor). e) Icosaedro. c) Tronco de cone reto com diâmetros das bases D1 (maior) e D2 (menor) e altura H. o cientista alemão J. Trata-se de um novo tipo de diâmetro de partícula que pode-se simbolizar por dSauter. (b) dp = dStk e (b) c) dp > dStk. querosene e óleo diesel. atinge a mesma velocidade terminal que ela no regime de Stokes). pede-se: a) Desenvolva expressões para o cálculo de dSauter para as mesmas partículas do problema 1. Sauter (1926) caracterizava individualmente cada gotícula de líquido pelo diâmetro da esfera que tem a mesma relação área superficial/volume que a gotícula. em que p e q são constantes.4 Calcule a esfericidade dos seguintes sólidos de geometria simples: a) Tetraedro. pergunta-se: a) Qual dessas afirmativas é correta? Justifique (sem recorrer a relações empíricas). 1. tais como gasolina. Então.7 Considerando-se que uma esfera de diâmetro D é seccionada por um plano tal que a distância do centro geométrico desta ao plano é k D (k < 1). Observação: Esferóides prolatos (∼ alongados) têm a forma de “charuto” e esferóides oblatos (∼ achatados) têm a forma de “disco voador”. Sugestão: Expresse a esfericidade do cilindro em função do diâmetro e da altura.5? 1.5 Demonstre matematicamente que o cilindro de máxima esfericidade possui diâmetro igual a altura (em Geometria tal sólido é conhecido como cilindro equilátero). alternativamente.6 Considerando-se um cubo (hexaedro regular) de aresta L vazado de uma face a outra por um furo cilíndrico perpendicular às suas duas faces opostas. sua derivada primeira é nula e sua derivada segunda é negativa. pede-se: a) Calcule a esfericidade das duas partículas resultantes da referida secção.8 A tabela a seguir mostra o resultado da análise granulométrica de 600 g de um produto de moagem usando peneiras padronizadas da série Tyler alternada. Lembre-se de que. pergunta-se: a) Qual deve ser o diâmetro do furo para que a esfericidade do cubo vazado seja exatamente 0. quando uma função passa por um ponto de máximo. note: se a = b ⇒ e = 0 e tem-se uma esfera a de raio R = a = b) 1. Eles são caracterizados por um parâmetro geométrico denominado excentricidade (e). a seção 3 de Perry (1984). fixe o diâmetro (ou a altura) do cilindro e trate sua altura (ou seu diâmetro) como variável. 1.52 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas Certamente você vai precisar consultar um livro de geometria espacial ou. 1. Mesh Massa (g) −16 + 24 34 −24 + 32 93 (a massa aumentou: OK) −32 + 42 305 (a massa aumentou: OK) −42 + 60 61 (a massa diminuiu: OK) −60 + 80 39 (a massa diminuiu: OK) −80 + 115 26 (a massa diminuiu: OK) −115 42 (a massa aumentou: possível “defeito” na análise granulométrica) . cuja definição é: a2 − b2 e ≡ (0 ≤ e < 1. a relação y + z = 1.) b) Sobre um mesmo diagrama de escalas homogêneas (por exemplo. Pede-se: a) Estabeleça a distribuição de tamanhos das partículas da “fotografia” representada pela Figura C1.9 Considere que a Figura C1. 1980.. ∆d # z (fração ponderal maior que um dado d#+ ) versus d#+ . o que é sinal de que peneiras com aberturas menores que a de 115# deveriam ter sido incluídas na análise. considerando que a soma das frações ponderais correspondentes a d# < 115# é 42/600 = 0.07. papel milimetrado). Na extrapolação. (Adote a sugestão de Foust et al. RRB e GGS que descrevem a referida distribuição de tamanhos e responda qual deles é o melhor. (Verifique a exatidão do traçado (tendência) das curvas y e z. A. 2. 1. bem como o modelo que melhor descreve a referida análise granulométrica (distribuição contínua). represente a referida distribuição de tamanhos por meio de: y (fração ponderal menor que um dado d#+ ) versus d#+. . em termos de d Fe (diâmetro de 1FOUST. New Jersey: John Wiley & Sons. isto é. (1980): 1 plotar x versus d# sobre diagrama log-log e extrapolar linearmente os dados para d# < 115#.1 representa a fotografia de partículas. S. e responda como você procederia caso a menor abertura de peneira que não retém nada (16# no caso) não fosse conhecida. testando para alguns pontos que não os originais. x X (fração ponderal normalizada com dado d# ) versus d# (Obs. e que tal foto foi feita por um microscópio com aumento de 400 vezes. manter a série alternada de peneiras e normalizar os resultados.5 Estatística de partículas 53 Supondo-se que a referida análise granulométrica tem um “defeito”: a massa da fração menor que 115# (lê-se 115 mesh) é maior que a do par de peneiras anterior. estabelecendo a distribuição de tamanhos das partículas da fração < 115#.1. et al. as novas frações ponderadas devem somar 0.) c) Calcule os parâmetros dos modelos LN.07.: X ≡ ). ed. d) Calcule o diâmetro médio de Sauter da amostra usando as frações ponderais com dado d# médio (distribuição discreta). 1. Principles of Unit Operations. pede-se: a) Complete a análise de peneiras. c) Dos modelos LN. apresente as referidas distribuições de tamanhos sob a forma de gráfico em papel milimetrado. 1.0. pede-se: a) Complete o quadro a seguir. (d) descubra a que faixa pertence cada partícula.10 Sabendo-se que a distribuição de tamanhos das partículas de determinado produto de moagem obedece o modelo RRB de parâmetros D63.2 = 72 µm e n = 2. RRB e GGS. relativo à análise granulométrica de 580 g do referido material com peneiras padronização USSS (United States Sieves Series). (Atenção: esse padrão industrial é ligeiramente diferente do Tyler e também consta do Apêndice. (b) identifique o menor e o maior tamanho de partícula presente. qual melhor representa cada uma das distribuições de tamanhos obtidas? Sugestões: (a) atribua a cada partícula um número de ordem. (c) divida a faixa de tamanhos a partir de 0 (zero) em 5 ou 7 faixas de mesma amplitude. Refaça o problema usando a maior margem da “fotografia” como direção arbitrária para a medição de dFe. b) Usando como direção arbitrária para a medição de d Fe a menor margem da própria “fotografia”.54 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas FIGURA C1.1 Feret) versus y (% de número de partículas < dado tamanho) e dFe versus y (% de comprimento de partículas < dado tamanho).) . pede-se: a) Calcule a produção (kg/h) de finos (< 150 #). como tempo de residência insuficiente sobre a tela. USSS Massa (g) –40 + 50 ? –50 + 70 ? –70 + 100 ? –100 + 140 ? –140 + 200 ? –200 + 230 ? –230 ? 1. que 3% dos “médios” são perdidos com os “grossos” e que 6% dos “finos” permanecem incorporados aos “médios”.5.8 ton/h do catalisador original forem processadas. tendo-se constatado obediência estrita ao modelo RRB de parâmetros D63. 1.2 = 145 µm e n = 2. no caso. Se o processo químico que usa esse catalisador exige que sejam eliminadas dele as partículas menores que 150 # e maiores que 65 # (o que pode ser feito com duas peneiras operando em série). obtidas em moinhos de bolas (A) e em moinho de barras (B). para duas amostras de um mesmo minério.11 A distribuição de tamanhos das partículas de certo catalisador industrial foi estabelecida com peneiras padronização Tyler. mesh (Tyler ) moinho A massa (g) moinho B massa (g) –20 + 28 8 45 –28 + 35 21 74 –35 + 48 53 93 –48 + 65 92 192 –65 + 100 215 29 –100 + 150 117 12 –150 44 5 Pede-se: .) 1. médios (150 # a 65 #) e grossos (> 65 #) quando 4.5 Estatística de partículas 55 No. malhas descalibradas. suponha. (Considerando que peneiras industriais apresentam diversos tipos de mal funcionamento.12 A tabela a seguir mostra as análises granulométricas com peneiras padronização Tyler. arames quebrados. b) Calcule o diâmetro médio de Sauter de cada amostra.21 –115 0. –20 + 28. A B mesh (Tyler) yA ( < d#+) yB ( < d#+) –16 + 24 1.39 –80 + 115 0.80 –32 + 42 0. D50 é um parâmetro definido como o diâmetro de partícula tal que y = 0.0. –14 + 20.78 0.55 –60 + 80 0.6 mm e σ = 2. na proporção de 3 partes em massa de A para duas de B.25 0. –28 + 35 e – 35 + 48.00 0.91 0. 1. Dada a tabela a seguir.15 O modelo de distribuição de tamanhos y = 1/[1 + (D50/d?) p] é conhecido como “sigmóide”.5 e p é um parâmetro empírico adimensional.14 Dispõe-se de amostras de um material moído nas seguintes faixas de granulométricas (peneiras série Tyler): –10 + 14. Pede-se: a) Selecione massas dessas frações de tal modo que a mistura delas tenha 50 kg e obedeça o modelo de distribuição de tamanhos LN (Log-Normal) com parâmetros D50 = 0. em que y é a fração ponderal de partículas menores que dado d? (sendo d? um diâmetro de partícula de tipo não especificado).13 A tabela a seguir mostra as análises granulométricas de duas amostras (A e B) de um mesmo catalisador. RRB e GGS. 1.56 CAPÍTULO 1 : Caracterização de partículas a) Dos modelos de distribuição de tamanhos LN.00 Pede-se: a) Calcule o diâmetro médio de Sauter de uma mistura dos dois catalisadores.00 0.94 –24 + 32 1. 1.72 –42 + 60 0.00 0. responda qual melhor representa cada uma das análises granulométricas acima.44 0. mesh –16 + 24 –24 + 32 –32 + 42 –42 + 60 –60 + 80 –80 + 115 massa 6 19 63 138 42 11 (g) . obtidas com peneiras padronizadas. c) Calcular o diâmetro médio de Sauter de uma mistura de 380 g da fração – 20 + 48 do moinho A com 220 g da fração – 48 + 150 do moinho B. 5 Estatística de partículas 57 pede-se: a) Calcule o valor dos parâmetros D50 e p para a análise granulométrica com peneiras da série Tyler. pede-se: a) Calcule a área superficial específica (área por unidade de massa) da resina.16 A tabela a seguir mostra a análise granulométrica de uma resina troca-ions obtida usando peneiras padronizadas da série Tyler. 1. . mesh –16 + 24 –24 + 32 –32 + 42 –42 + 60 –60 + 80 –80 + 115 massa 14 65 178 315 92 30 (g) Sabendo-se que as partículas da resina são esféricas e que sua densidade relativa é 1. 1. b) Compare o valor obtido com o valor da expressão “ 6/ρs D ”.4.
Report "Cap Tulo 1 Caracteriza o de Part Culas 2014 Sistemas Particulados"