Capítulo 7SOLVER DO EXCEL O principal ponto em modelagem de um problema de programação linear em uma planilha eletrônica está na maneira como as células são arranjadas. Primeiramente deve-se designar uma célula para representar cada uma das seguintes entidades: Função objetivo Variáveis de Decisão Restrições Além disso, para cada restrição, deve-se designar: uma célula para o lado esquerdo da restrição - LHS (left hand side) outra célula para o lado direito da restrição - RHS (right hand side) A Figura 1 mostra em exemplo dessas alocações de célula. Figura 1. A Figura 2 ilustra qual a função de cada espaço reservado. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 2 Figura 2. Considere o seguinte problema: Um alfaiate tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta. A modelagem para o problema é: Max z ( x) 300 x 500 x 1 2 s.a. Com 2 x1 1x2 16 1x1 2 x2 11 1x1 3x2 15 x1 , x2 0 7.1 Resolvendo um problema PASSO 1 O primeiro passo para resolver esse problema utilizando o Excel é colocar os coeficientes na planilha, como mostrado na Figura 3. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 3 Figura 3. PASSO 2 A seguir, é necessário criar a equação da Função Objetivo, multiplicando os coeficientes e as células reservadas para as variáveis, como descrito na Figura 4. Figura 4. PASSO 3 O próximo passo é criar as equações das restrições, utilizando as células das variáveis e os coeficientes de cada restrição, como mostrado na Figura 5. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 4 Figura 5. As células das variáveis devem ser “congeladas” na primeira equação para que esta possa ser copiada para as demais restrições. A Figura 6 mostra as restrições já preenchidas. Figura 6. PASSO 4 Com a célula que contém a equação da Função Objetivo, na guia “Dados”, selecionar a função “Solver”, como ilustrado na Figura 7. Figura 7. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 5 PASSO 5 Na janela de “Parâmetros do Solver”, deve-se indicar os endereços das células das variáveis do problema, bem como se o problema é maximização ou de minimização, como mostra a Figura 8. Figura 8. PASSO 6 A seguir, são inseridas as restrições, indicando as células que contêm as equações e as células que contêm os limites das mesmas, como ilustra a Figura 9. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 6 Figura 9. PASSO 7 Clique no botão “Opções”, na janela “Opções do Solver”, selecionar as opções “Presumir modelo linear” e ”Presumir não negativos”, como mostrado na Figura 10. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 7 Figura 10. Para retornar à janela anterior, clique em “OK”. PASSO 8 Na janela de “Parâmetros do Solver”, clique no botão “Resolver” e, na janela “Resultados do Solver”, selecione os Relatórios de “Resposta” e “Sensibilidade”, como mostra a Figura 11. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 8 Figura 11. 7.2 Relatórios As informações iniciais do Relatório de Resposta informam se a solução foi encontrada ou se houve algum problema de caso particular do método simplex. Figura 12 mostra o Relatório de Resposta. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 9 Figura 12. A análise do relatório é dividida em três partes. A primeira é relativa à função objetivo, a segunda tem relação com as variáveis de decisão e a terceira com as restrições. A primeira parte simplesmente mostra no lado esquerdo a célula que foi escolhida para representar a função objetivo, depois o valor inicial da função objetivo (zero no exemplo) e, finalmente no extremo direito, o valor na solução ótima. A segunda parte simplesmente mostra no lado esquerdo as células que foram escolhidas para representar cada uma das variáveis de decisão, depois o valor inicial das mesmas e, finalmente no extremo direito, o valor de cada variável na solução ótima. A terceira parte se refere às restrições do modelo. Cada linha desta parte está relacionada com uma restrição. No lado esquerdo, na coluna Célula aparece cada célula que representa o LHS (lado esquerdo) de cada restrição. Na coluna Valor da Célula são apresentados os valores das respectivas células na solução ótima, isto é, os valores que são obtidos pela substituição dos valores da solução ótima no lado esquerdo das restrições. Sob a coluna Fórmula aparece a fórmula da restrição (célula do LHS, o sinal de comparação e a célula do RHS). Sob a coluna Status podem aparecer duas opções: Agrupar ou Não Agrupar. A opção Agrupar aparece quando o LHS é igual ao RHS na solução ótima, significando que a restrição participa da definição da solução ótima, ou seja, limita de alguma maneira a melhora do valor da função objetivo. A última coluna está relacionada às variáveis Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 10 de folga/excesso (Transigência). Estas variáveis medem a diferença entre o LHS e o RHS da restrição. Se a diferença entre RHSLHS for positiva, no caso de restrições do tipo menor ou igual devemos introduzir variáveis de folga. Se RHSLHS for negativa, no caso de restrições do tipo maior ou igual devemos introduzir variáveis de excesso. O segundo relatório faz análise de sensibilidade à solução ótima, isto é, analisa como podem variar as constantes do problema, nomeadamente os coeficientes da função objetivo e os lados direitos das restrições, sem que a solução ótima sofra alterações substanciais. A Figura 13 mostra o Relatório de Sensibilidade. Figura 13. No primeiro quadro (Células Variáveis) analisam-se os coeficientes da função objetivo. Depois do valor das variáveis na solução ótima apresentam-se os custos marginais (na coluna “Reduzido Custo”) das variáveis. Em seguida apresenta-se o valor do coeficiente da variável na função objetivo e o máximo aumento e máxima diminuição admissíveis. No segundo quadro (“Restrições”) é feita uma análise de sensibilidade ao valor do lado direito das restrições. Ao alterar um destes valores será alterarada uma restrição e consequentemente, a região admissível do problema. Isso poderá ter como consequência que a solução ótima deixe de estar num dado vértice e salte para outro vértice diferente. Os valores dados nas colunas “Permitido Aumentar” e “Permitido Diminuir” são os valores que se podem somar e subtrair ao valor inicial (coluna “Restrição Lateral RH”) sem que a solução ótima mude de vértice. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 11 Note-se que se essa restrição contiver o vértice ótimo então, mesmo sem mudar de vértice, a solução ótima, e consequentemente o seu valor ótimo, alteram-se. No entanto são alterações em torno de uma solução com a mesma estrutura, pois não há mudanças no conjunto de variáveis que formam a base da solução ótima do problema. Finalmente a coluna “Sombra Preço”, indica a relação acréscimo de recurso/acréscimo de lucro mantém-se enquanto o vértice ótimo não se alterar, isto é, dentro dos valores dados pelo aumento e diminuição permissíveis. Programação Linear Profª. Andreza Programação Linear 12 EXERCÍCIOS Para os problemas abaixo, elabore o modelo, resolva utilizando o Excel e interprete os resultados. 1. A indústria Alumilândia S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessuras fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de Lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da AlumiLândia S/A., há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ 100.000,00 para cada capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 tonelada de Lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para cada produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 tonelada de Lâminas grossas por dia. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? 2. Uma pessoa precisa de 10, 12 e 12 unidades dos produtos químicos A, B e C, respectivamente, para o seu jardim. Um produto contém 5, 2 e 1 unidade de A, B e C, respectivamente, por vidro; um produto em pó contém 1, 2 e 4 unidades de A, B e C respectivamente por caixa. Se o produto líquido custa $3,00 por vidro e o produto em pó custa $2,00 por caixa, quantos vidros e quantas caixas ele deve comprar para minimizar o custo e satisfazer as necessidades? 3. No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção. Lucro por Horas de Horas de Demanda Produto unidade Trabalho Máquina Máxima P1 2100 6 12 800 P2 1200 4 6 600 P3 600 6 12 600 Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Faça a modelagem desse problema. Programação Linear Profª. Andreza