Libreto Capitulo 8: Equilibrios de cuerpos rígidos8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Condiciones de equilibrio Diagrama de cuerpo libre Ejercicios. Equilibrio de cuerpos rígidos en tres dimensiones. Ejercicios. Autor: M.C. Miguel Angel Fitch Osuna Libreto Capitulo 8 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna Página 1 Las reacciones se ejercen en los puntos donde el cuerpo Libreto Capitulo 8 M. es igualmente importante excluir cualquier fuerza que no esté aplicada directamente sobre dicho cuerpo. se pueden expresar las condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares siguientes. Por lo tanto. Estas fuerzas representan las acciones ejercidas sobre el cuerpo libre por el suelo y por los cuerpos que han sido separados por el mismo. También se debe incluir entre las fuerzas externas del cuerpo libre.1 Condiciones de equilibrio Cuando la fuerza y el momento son iguales a cero. además. algunas veces reciben el nombre de fuerza de restricción. 2.Indicar todas las fuerzas externas. ΣF = 0 ΣMο = Σ(r X F) = 0 Reduciendo cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares. 8. puesto que representa la atracción ejercida por la tierra sobre las distintas partículas que lo constituyen.Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a través de las cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre obligándolo a permanecer en la misma posición por lo cual.3 Pasos para elaborar el diagrama de cuerpo libre 1. 4.8. las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Miguel Angel Fitch Osuna ΣFy = 0 ΣFz = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0 Página 2 .C. ΣFx = 0 ΣMx = 0 8.Aislar el cuerpo del suelo y de todos los demás cuerpos. Por lo tanto el primer paso en la solución del problema debe ser el dibujar un diagrama de cuerpo libre. 3. Omitir o agregar una fuerza extraña podría destruir las condiciones de equilibrio.Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son conocidas deben señalarse claramente. estas fuerzas deben aplicarse en los diversos puntos sobre los que el cuerpo libre está apoyado en el suelo o está conectado a otros cuerpos. las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden obtener igualando a cero las sumatorias de momentos y de fuerzas.2 Diagrama de cuerpo libre Al resolver un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo rígido es esencial que se consideren todas las fuerzas que actúan sobre este. si un soporte previene la traslación de un cuerpo en una dirección dada. Miguel Angel Fitch Osuna Página 3 .C. Igualmente si una rotación es prevenida.libre está apoyado o conectado a otros cuerpos y deben indicarse con claridad. sobre el cuerpo se ejerce un momento de par. 5.También debe incluir dimensiones puesto que estas se pueden necesitar para el cálculo de momentos de fuerzas Como regla general. entonces una fuerza es desarrollada sobre el cuerpo en esa dirección. Libreto Capitulo 8 M. 1 Reacciones en apoyos y conexiones en un plano Libreto Capitulo 8 M. Miguel Angel Fitch Osuna Página 4 .Tabla 8.C. El centro de gravedad de la grúa se localiza en G.C. veámoslo así. Determínese las componentes de las reacciones en A y B. la explicación del porque se dibujo hacia el lado izquierdo Ax obedece a que en ese apoyo la grúa por efecto de su propio peso y del cuerpo que está cargando pareciera que se quiere desprender de la pared y el perno reacciona evitando esta desunión. Expresamos las masas en fuerzas multiplicándolas por la aceleración de la gravedad.Una grúa tiene una masa de 1000 kg y se emplea para levantar una carga de 5400 kg.. Miguel Angel Fitch Osuna Página 5 . Ay la expresamos hacia arriba puesto que todos las masas van hacia abajo alguna fuerza debe contra restar este esfuerzo siguiendo el principio de equilibrio. Empezamos dibujando únicamente la grúa ya que es el cuerpo rígido analizar. Se mantiene en su lugar por un perno en A y un balancín en B.974 N Segundo paso.81 m/s² = 52. Elaboración de ecuaciones.81 m/s² = 9. si Ax va en sentido opuesto la suma de ambas de ser cero 1000 kg x 9.810 N 5400 kg x 9. Primer paso. Libreto Capitulo 8 M. Elaboración de diagrama de cuerpo libre. En estos apoyos debemos sugerir un sentido buscando la lógica de reacción del apoyo contra la pared. En B solamente hay una fuerza de reacción por tratarse de un apoyo de balancín esta deberá ser perpendicular hacia la pared.Ejercicio. Dibujamos las reacciones del apoyo en A que es un perno y tiene dos reacciones Ax y Ay. Realizamos sumatoria de fuerzas en y.680 N B = 224. Las tres restantes son incógnitas y se solicita calcularlas (Ay.974) (6m) – (9810) (2m) + Bx (1. De estas cinco dos son conocidas (9. donde en una ecuación igualada a cero colocaremos todas aquellas componentes en x.974 Ay= 62.C.Observando el diagrama de cuerpo libre determinamos que tenemos cinco fuerzas involucradas directamente con el cuerpo rígido a analizar. ∑MA = 0 ∑MA = (– 52. La recomendación para seleccionar este punto es escoger aquel donde se encuentre una de las incógnitas para que esa fuerza se elimine y poder resolver la restante. Para este ejemplo realizaremos sumatoria de momentos en A para resolver la fuerza B.620)/1.974 = 0 Despejamos Ay Ay = 9810 + 52. Miguel Angel Fitch Osuna Página 6 .784 N Para resolver las dos incógnitas restantes (Ax y B) utilizaremos sumatoria de momentos en algún punto del cuerpo rígido.818 + 19. Iniciaremos calculando sumatoria de fuerzas en x. Libreto Capitulo 8 M. ∑y = 0 ∑y = Ay – 9810N – 52. Ax y B).5) =0 Despejamos B B = (370. Para buscar estas fuerzas desconocidas echáremos mano de la información conocida y que sabemos que el sistema se encuentra en equilibrio y podemos formar sumatoria de fuerzas y momentos igualándolas a cero.680 N Como aclaración es importante mencionar que si al resolver las incógnitas obtenemos un valor negativo las causas pueden ser un mal despeje o propusimos una dirección en un sentido erróneo.438/1. ∑x = 0 ∑x = -Ax + Bx= 0 Los dos valores son desconocidos por consiguiente no podemos resolver.680 N = 0 Despejamos Ax. Ax = 224.680 N Por último resolvemos Ax de la sumatoria de fuerzas en x.5 = 224.974kN). ∑x = -Ax + 224.5 B = 390.81kN y 52. determínense las reacciones en A y B cuando P=15 kips. Determínese la tensión en el cable y la reacción en cada par de ruedas.1 Se aplican tres cargas a una viga como se muestran en la figura. 8.Ejercicios . cada una con 350 kg de masa.8.2 Un carro de carga se encuentra en reposo sobre un carril que forma un ángulo de 25 grados con respecto a la vertical.3 Dos cajas. La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno en B. El peso total del carro y su carga es de 5500 lb y éste actúa en un punto que se encuentra a 30 in. Del carril y que es equidistante a los dos ejes. El carro se sostiene por medio de un cable que está unido a éste en un punto que se encuentra a 24 in del carril. Determínense las reacciones de las llantas a) traseras A b) delanteras B. Miguel Angel Fitch Osuna Página 7 . se colocan en la parte trasera de una camioneta de 1400 kg como se muestra en la figura.C. Libreto Capitulo 8 M. 8. Sin tomar en cuenta el peso de la viga. 4 Determine las reacciones en los apoyos A y B. Descarte la fricción de la polea en D. Ay = 12. By = 16. By = 8. R.5 Determine la tensión en el cable y las reacciones horizontal y vertical en el punto A.R. Miguel Angel Fitch Osuna Página 8 .36 kip. Libreto Capitulo 8 M.7 N. A = 7.131. El cilindro tiene un peso de 80 lb.6 kip 8.C.469.5 kip.3 N 8. Bx = 0. 3 lb Libreto Capitulo 8 M. 4 lb. T = 74. Ax = 33.6 lb.C.R. Miguel Angel Fitch Osuna Página 9 . Ay = 61. C. Miguel Angel Fitch Osuna Página 10 .2 Reacciones en apoyos y conexiones en el espacio Libreto Capitulo 8 M. Tabla 8.4 Equilibrio de cuerpos rígidos en tres dimensiones.8. Ejercicio 8.C. Representación de las fuerzas a vector.4 m se sostiene mediante un apoyo de rótula en C y por medio de dos cables AD y AE. Determínese la tensión en cada cable y la reacción en C Primer paso. Elaboración de diagrama de cuerpo libre. Libreto Capitulo 8 M.2 Un botalón de 2. Como podemos observar en este sistema son 4 fuerzas las que interactúan para mantener las condiciones de equilibrio. Segundo paso. Miguel Angel Fitch Osuna Página 11 . Dentro de este diagrama dibujaremos el sentido y dirección de las fuerzas. 4/2.2/2.5539 TAD i – 0. Por lo tanto nuestra ecuación se expresa: ΣMC =0 ΣMC = (rCA X TAD) + (rCA X TAE) + (rCA X -6j) Resolviendo cada una de los producto cruz: i j k 0 2.6)j – (2.3077 TAD)] + k (0) = -0.8)i + (1.2308) j – TAD (0.4 rCA X TAD = 0 -.6j – 2. La finalidad de utilizar sumatoria de momentos es de establecer tres ecuaciones igualadas a cero con el menor número de incógnitas a resolver para fines prácticos.4k dAE²= 0.2857) i + 0.7385 TAD j Libreto Capitulo 8 M.9231) k FAE AE= 0.3077) i + TAD (0. Sumatoria de momentos. FA = .6² .8)k FAE= TAE (0.8/2.4286 TAE j – 0.6)i + (0. Miguel Angel Fitch Osuna Página 12 .4² dAD= 2.2² .4(-.8 FAE= TAE[(0.2. Siendo así debemos seleccionar un punto donde tomar como referencia el calculo de momentos buscando anular incógnitas.4k dAD² = -0.2308 TAD)] + j [2.8i + 0.C. para este ejercicio el punto idóneo resulta ser C ya que eliminaríamos las tres componentes de la fuerza en C (Fc = Cxi + Cyj + Czk).8571 TAE k Tercer paso.2j – 2.8i + 1.2.4/2.3077 TAD 0.6)k] FAD= TAD (-0.4² dAE= 2.6 FAD= TAD [(-0.8/2. FAD AD= -0.8)j – (2.6/2.8² + 1.8² + 0.Empezaremos con la fuerza más sencilla que cuenta únicamente con una componente que es la fuerza en el punto A.2308 TAD-0.6kN j En el punto C sabemos que tiene un apoyo de tipo rotula por lo que mantiene tres componentes y las representamos de la siguiente manera: Fc = Cxi + Cyj + Czk Para las tensiones en los cables utilizaremos el vector unitario dejando como incognita las magnitudes de las tensiones.9231 TAD = i [-2.4 (0. rCA X TAE = i j k 0 0 2.8571 TAE = i [-2.4 (0.6857) TAE = 1.4 1.6658 N) TAE = 9.0286 (1.4 TAD = 8.4(-. TAE = 1.4 0.2857 TAE)] = -1.2857 TAE0. Miguel Angel Fitch Osuna Página 13 .4 0 = i [-6(2.077 TAD) = -14.4 = 0 ΣMcy = 0 -0.5539 TAD – 1. Libreto Capitulo 8 M.0.077TAD Obteniendo esta igualdad sustituimos en la ecuación de ΣMcx -0.0286 TAE i + 0.333 N Cuarto paso.6857 TAE j rCA X -6j= i 0 0 j 0 -.4286 TAE-0.4286 TAE)] + j [2.5539 TAD – 1.6617 TAD = 14. Sumatoria de fuerzas.C.077(8.0286 TAE + 14. TAE = TAD (0.7385/0.6 k 2.4i Igualamos a cero la suma de componentes: ΣMcx = 0 -0.7385 TAD + 0.6658N Una vez con el valor de TAD sustituimos en la igualdad.6857 TAE = 0 Debido a que tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (TAE y TAD) despejamos de ΣMcy TAE.4)] = 14. 4286 (TAE) + 0.6658 N) + Cz =0 -7. ΣFx=0 TAE (0.2308(8.Formamos tres ecuaciones igualadas a cero con la sumatoria de componentes y despejamos y resolvemos las incognitas a partir de los valores recien conocidos.2857) – 0.3077(8.8571(TAE) – 0.6664 = -Cx Cx= 0 ΣFy=0 0.9231(8.9967 – 8 + Cz= 0 Cz = 15.6656 – 2.6658 N) + Cx = 0 2.9231(TAD) + Cz =0 -0. Miguel Angel Fitch Osuna Página 14 .3077(TAD) + Cx = 0 9.9961 N Libreto Capitulo 8 M.2857) – 0.4286(9.6658 N) – 6 + Cy= 0 4 + 2 – 6 +Cy =0 Cy =0 ΣFz= 0 -0.333 N) – 0.2308(TAD) – 6 + Cy= 0 0.8571(9.C.333 N) + 0.33 N(0. Ay= 101. El poste se sostiene por un apoyo de rotula en A y por los cables BD y BE . AZ = 130 Libreto Capitulo 8 M. TEC = 315 lb. TBD = 780. Az= -22. Determínese la tensión en cada cable y la reacción en A. Cuando a = 3m . TBE = 390. Ax = -195.7 El poste ABC de 6 m de longitud de esta sometido a una fuerza de 455N en la forma mostrada en la figura. R. Ax= 337.6 Un anuncio de densidad uniforme de 5 X 8 ft pesa 270 lb y está apoyado por una rótula en A por dos cables.C.25lb.Ejercicios.5 lb 8. 8. Ay = 1170. Determínese la tensión en cada cable. TBD = 101. Miguel Angel Fitch Osuna Página 15 .25 lb. R.5lb. C.Libreto Capitulo 8 M. Miguel Angel Fitch Osuna Página 16 . 9 La plataforma soporta tres cargas como se muestra en la figura.8. Si una carga de 60 lb se aplica en C tal como se muestra en la figura. Fc = 569 lb Libreto Capitulo 8 M. TDF= 85. determínese la tensión en el cable. R. Determine la reacción en cada una de las ruedas. Miguel Angel Fitch Osuna Página 17 .32 lb 8.C.8 La barra doblada ABDE se sostiene por medio de rótulas en A y E mediante el cable DF. FB = 449 lb. FA = 663 lb. R. B. C por conexiones lisas.7 kN 8. Ay = -141lb. B. Las conexiones están debidamente alineadas sobre los ejes y no ejercen reacción en el sentido de la barra. Determine la tensión en cada uno de los cables y la reacción en A.3 kN.15. Cy = . Bz = . Ax = . Az = 633lb. Miguel Angel Fitch Osuna Página 18 . un apoyo rotula en A de como se muestra. Ay = 11. Calcula las componentes de las reacciones en los apoyos A. By = 895 lb. Cx = 200lb.C. F1 actúa sobre el plano x-y. y C que producen las fuerzas F1 = 300lb y F2 = 250lb.11 La barra de la figura esta soportada en los puntos A.506lb- Libreto Capitulo 8 M.721 lb. R. R.10 La tubería de la figura soporta una fuerza de 3 kN y 4 kN y es sostenida por dos cables del punto B hacia la pared. TBC = TBD = 17 kN Az = 0.8.