UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEMatemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas INDICE !" CIRCUN#ERENCIA""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""$ 1.1. Circunferencia con centro en el origen.................................................................................................2 1.2. Circunferencia con centro desplazado del origen.................................................................................3 1.3. Ecuación general de la circunferencia..................................................................................................4 1.4. Análisis para posiciones particulares de la circunferencia....................................................................4 1.4.1. Centro en el origen del sistema cartesiano............................................................................................................4 1.4.2. Centro sobre el eje X............................................................................................................................................4 1.4.3. Centro sobre el eje ............................................................................................................................................! 1.4.4. Circunferencia "ue pasa por el origen del sistema cartesiano..............................................................................! 1.!. #angente a una circunferencia desde un punto e$terno.........................................................................% 1.%. Eje radical de dos circunferencias.......................................................................................................14 $" C%NICAS"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""!& '" DE#INICI%N (ENERAL DE C%NICAS""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""$) *" +AR,-OLA"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""$) ." ELI+SE"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""'! !.1. Ecuación general de la Elipse.............................................................................................................33 !.2. &adio focal de la Elipse...................................................................................................................... 4' 6" /I+ER-OLA"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""*' 0" A+LICACIONES DE LAS C%NICAS"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""".1 (.1. Aplicaciones de la parábola................................................................................................................ !) (.2. Aplicaciones de la elipse.................................................................................................................... !) (.3. Aplicaciones de la *ip+rbola...............................................................................................................!, Cap. % - 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas .E/0E#&1A A2A31#4CA !" CIRCUN#ERENCIA" 3ugar .eom+trico de todos los puntos "ue e"uidistan de un punto fijo llamado centro. 5i consideramos un anillo6 el borde del anillo es la circunferencia6 si colocamos el anillo sobre un papel 7 pintamos dentro del anillo la figura plana "ue aparece sobre el papel es el c8rculo. 9er8metro de la circunferencia es: Cia ; π.< ; 2π.& =rea del c8rculo es: A ; π.& 2 . !"!" Ci2cu3e2ecia co cet2o e el o2i4e" 3a circunferencia con centro en origen del sistema cartesiano 7 radio igual a R es el 3ugar .eom+trico de todos los puntos "ue satisfacen la condición de "ue la suma del cuadrado de la distancia a cada eje coordenado es igual al cuadrado del radio: 3. ; >?X@ ABX 2 C 2 ; & 2 D Circunferencia con centro en el origen 7 radio ; &. Ejercicio %.1. Escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el origen 7 1.1. &adio & ; !. 5 $ 6 7 $ 8 $.. 1.2. &adio & ; 1'. 5 $ 6 7 $ 8 !)). Ejercicio %.2. <eterminar el radio 7 el 3ugar .eom+trico de la ecuación: 2.1. X 2 C 2 ; )1. Circunferencia con centro en el origen 7 radio & ; ,. 2.2. X 2 C 2 ; %4. Circunferencia con centro en el origen 7 & ; ). Ejercicio %.3. Encontrar el conjunto de todos los punto 9?X@ A tales "ue la suma de los cuadrados de las distancias de 9 a los ejes coordenados sea igual a 3%. <istancia de 9?X@ A al eje : X. <istancia de 9?X@ A al eje X: 5uma de los cuadrados de las distancias: 5 $ 6 7 $ 8 '6. Circunferencia con centro en el origen 7 radio & ; %. Cap. % - 2 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas !"$" Ci2cu3e2ecia co cet2o 9espla:a9o 9el o2i4e" 5i la circunferencia tiene el centro desplazado del origen del plano cartesiano6 en un punto C;<= >?6 el 3ugar .eom+trico de la misma estará dado por el conjunto de puntos: 3. ; >?X@ AB?X - *A 2 C ? - EA 2 ; & 2 D. Circunferencia con centro en C?*@ EA 7 radio &. 3a ecuación de la circunferencia es de segundo grado en X e . 9ero no toda ecuación de segundo grado en X e corresponde a una circunferencia. Ecuación 2ormal ?o CanónicaA de la circunferencia: ;5 @ <? $ 6 ;7 @ >? $ 8 R $ . Ejercicio %.4. Encontrar la Ecuación de la Circunferencia con centro en el punto C?2@ 3A 7 radio & ; 4. ?X - 2A 2 C ? - 3A 2 ; 1%. X 2 C 2 - 4X - % - 3 ; '. Ejercicio %.!. Encontrar las coordenadas del centro C?*@ EA 7 el radio & de la circunferencia: X 2 C 2 - 3X C ! - 14 ; '. Agrupamos los t+rminos en X e : FX 2 - 3XG C F 2 C !G - 14 ; '. 3uego completamos los cuadrados: ' 14 4 2! 2 ! 4 , 2 3 2 2 · − − , _ ¸ ¸ + + − , _ ¸ ¸ − Y X . 2 4! 2 ! 2 3 2 2 · , _ ¸ ¸ + + , _ ¸ ¸ − Y X Coordenadas del centro: , _ ¸ ¸ − 2 ! @ 2 3 : C 2 4! : 2 R . Ejercicio %.%. Encontrar las coordenadas de C?*@ EA 7 & de la circunferencia: X 2 C 2 C 4X C ) - 2, ; '. Agrupamos t+rminos: ?X 2 C 4XA C ? 2 C )A - 2, ; '. Completamos cuadrados: ?X C 2A 2 - 4 C ? C 4A 2 - 1% - 2, ; ' ?X C 2A 2 C ? C 4A 2 ; 4, Coordenadas del centro: C;@ $= @ *? R 8 0. Cap. % - 3 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas !"'" Ecuació 4ee2al 9e la ci2cu3e2ecia" 3a ecuación general de la circunferencia es de la forma: 5 $ 6 7 $ 6 D5 6 E7 6 # 8 ) Agrupamos los t+rminos en X e 7 completamos cuadrados: ?5 $ 6 D5? 6 ;7 $ 6 E7? 6 # 8 ) ' 4 2 4 2 2 2 2 2 · + − , _ ¸ ¸ + + − , _ ¸ ¸ + F E E Y D D X . 4 4 2 2 2 2 2 2 F E D E Y D X − + · , _ ¸ ¸ + + , _ ¸ ¸ + 6 comparamos con la ec. normal: ?X - *A 2 C ? - EA 2 ; & 2 . Coordenadas del centro en función de los coeficientes: 2 D h − · 2 E k − · . &adio de la circunferencia: 4 4 2 2 2 F E D R − + · . Análisis del t+rmino ?< 2 C E 2 @ 4HA: 5i ?< 2 C E 2 @ 4HA I ' & I ': Circunferencia real. 5i ?< 2 C E 2 @ 4HA ; ' & ; ': #enemos un 9unto en el 9lano. 5i ?< 2 C E 2 @ 4HA J ' & J ': Circunferencia imaginaria. !"*" Aálisis pa2a posicioes pa2ticula2es 9e la ci2cu3e2ecia" Analizamos la ecuación general: 4 4 2 2 2 2 2 2 F E D E Y D X − + · , _ ¸ ¸ + + , _ ¸ ¸ + 6 7 la ecuación normal: ?X - *A 2 C ? - EA 2 ; & 2 . !"*"!" Cet2o e el o2i4e 9el sistema ca2tesiao" #enemos "ue * ; E ; ' X 2 C 2 ; & 2 6 Ecuación Canónica de la C4A. !"*"$" Cet2o soA2e el eBe 5" #enemos C?*@ 'A ?X - *A 2 C 2 ; & 2 . <esarrollamos esta ecuación: ' 2 2 2 2 2 · − + − + R h hX Y X . Cap. % - 4 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas !"*"'" Cet2o soA2e el eBe 7" #enemos C?'@ EA X 2 C ? - EA 2 ; & 2 . <esarrollamos esta ecuación: ' 2 2 2 2 2 · − + − + R k kY Y X . !"*"*" Ci2cu3e2ecia Cue pasa po2 el o2i4e 9el sistema ca2tesiao" 3a ecuación debe cumplirse para el 9unto de coordenadas /?'@ 'A: ' A ? A ? 2 2 2 · − − + − R k Y h X ' 2 2 2 2 2 2 2 · − + − + + − R k kY Y h hX X 9ara X ; ; '6 tenemos "ue: ' 2 2 2 · − + R k h . ' A ? 2 2 2 2 2 2 2 · − + + − − + R k h kY hX Y X . 5i ' 2 2 2 · − + R k h en la ecuación general de la circunferencia: 5 $ 6 7 $ 6 D5 6 E7 6 # 8 ) el t+rmino independiente debe ser nulo: # 8 ). Ejercicio %.(. Encontrar el Kalor de > para "ue la Ecuación: X 2 C 2 - )X C 1' C E ; ' represente una circunferencia de & ; (. MDto9o I: X 2 C 2 - )X C 1' C E ; '6 comparamos con la ecuación general: X 2 C 2 C <X C E C H ; ' < ; - )@ E ; 1'@ H ; E. 4 4 2 2 2 F E D R − + · 4 4 1'' %4 4, k − + · - 4E ; 32 > 8 @ 1. MDto9o II: Completamos cuadrados en X e : ?X - 4A 2 - 1% C ? C !A 2 - 2! C E ; ' ?X - 4A 2 C ? C !A 2 ; 41 - E ; & 2 . 41 - E ; 4, > 8 @ 1. Cap. % - ! UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas !"." Ta4ete a ua ci2cu3e2ecia 9es9e u puto eEte2o" Ejercicio %.). Lo4itu9 9e la 2ecta ta4ete a ua ci2cu3e2ecia 9es9e u puto eEte2o al puto 9e ta4ecia. <ada una circunferencia con centro en C?*@ EA@ radio & 7 la recta tangente a la misma en 9 # ?X # @ # A "ue pasa por el punto 9 1 ?X 1 @ 1 A: Calcular la longitud de la tangente desde el punto 9 1 ?X 1 @ 1 A al punto de tangencia. 3a tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Consideremos el triángulo de K+rtices 9 1 9 # C: ?triángulo rectánguloA6 donde: ?9 1 CA: *ipotenusa@ ?9 1 9 # A 7 ?9 # CA: catetos: ?9 1 CA 2 ; ?9 1 9 # A 2 C ?9 # CA 2 ?9 1 CA 2 ; d 2 C & 2 d 2 ; ?9 1 CA 2 – & 2 2 2 1 2 1 A ? A ? R k Y h X d − − + − · 3a longitud de la tangente desde un punto 9 e$terior a la C4A es igual a la ra8z cuadrada de la ecuación de la misma con X e sustituidas por las coordenadas del punto dado. Ejercicio %.,. <ado el conjunto de pares de puntos X e "ue pertenecen al conjunto definido por: >?X@ A: X 2 C 2 C 2X C - 3 ; 'D6 Calcular la longitud de la recta tangente "ue Ka desde 9?)@ 4A *asta el punto de tangencia. 9ara la ecuación dada: X 2 C 2 C 2X C - 3 ; '6 tenemos: * ; – <B2 ; – 1@ E ; – EB2 ; – 1B2@ 4 1( 4 4 2 2 2 · − + · F E D R 6 2 2 2 2 2 1 2 1 A 4 B 1( ? A 2 B 1 4 ? A 1 ) ? A ? A ? − + + + · − − + − · R k Y h X d . 9 8 &F!$. Cap. % - % C?*@EA 9 # ?X # @ # A 9 1 ?X 1 @ 1 A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.1'. 9ara el triángulo definido por las rectas: 3 1 : (X - ; – 11@ 3 2 : X C ; 1! 7 3 3 : (X C 1( ; – %!. <eterminar: 1'.1. 3os K+rtices. 9ara *allar el K+rtice A resolKemos el sistema formado por las ecuaciones de 3 1 B3 2 : , _ ¸ ¸ 2 2, @ 2 1 A @ 9ara -: 3 1 B3 3 : -;– $= – '?@ 9ara C: 3 2 B3 3 : C: ;'$= – !0?. 1'.2. 3a intersección ?*@ EA de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. Lisectrices de ángulos interiores del triángulo se interceptan en el icet2o. 9unto de intersección 7 origen están al mismo lado de cada recta: 3as 9 son J ' 7 por ser radios de la cia inscripta al triángulo son iguales entre si: 9 ! 8 9 $ 8 9 ' <istancia de ?*@ EA: a 3 1 : !' 11 ( 1 − + − · k h d 6 a 3 2 es: 2 1! 2 − + · k h d 6 a 3 3 es: 33) %! 1( ( 3 − + + · k h d . d 1 ; d 2 : 2 1! 2 ! 11 ( − + · − + − k h k h 3* C E ; 1% ?1A. d 1 ; d 3 : 2 13 %! 1( ( 2 ! 11 ( − + + · − + − k h k h 4* – (E ; 13 ?2A < 8 . > 8 !. 3 2 1 d d d R · · · . 2 2 , · R . 1'.3. 3a Ecuación de la circunferencia inscripta al triángulo. 9ara: C?!@ 1A 7 2 2 , · R 6 tenemos: 2 )1 A 1 ? A ! ? 2 2 · − + − Y X . Cap. % - ( 3 1 3 2 3 3 A?'6!@ 146!A L?-2@ -3A C?32@ -1(A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 1'.4. 3a Ecuación de la circunferencia circunscripta al triángulo. 3os Kalores de X e de cada K+rtice deben satisfacer a la ecuación general de la cia: X 2 C 2 C <X C E C H ; '. 9ara A: < C 2,E C 2H ; – 421. ?1A 9ara L: 2< C 3E – H ; 13. ?2A 9ara C: – 32< C 1(E – H ; 1.313. ?3A 2 )1 − · D @ 2 11 − · E @ 2 221 − · F 4 )1 2 · − · D h 4 11 2 · − · E k !2) 4 4 2 2 2 · − + · F E D R . !2) 4 11 4 )1 2 2 · , _ ¸ ¸ − + , _ ¸ ¸ − Y X . Ejercicio %.11. Encontrar la ecuación de la circunferencia circunscripta al triángulo definido por las rectas: 3 1 : X C ; )@ 3 2 : 2X C ; 14 7 3 3 : 3X C ; 22. 3 1 @ 3 2 : A ?%@ 2A. 3 1 ;3 3 : L ?(@ 1A. 3 2 ;3 3 : C ?)@ – 2A. 9ara A?%@ 2A: %< C 2E C H ; – 4' D 8 – 6 9ara L?(@ 1A: (< C E C H ; – !' E 8 * 9ara C?)@ – 2A: )< – 2E C H ; – %) # 8 – !$ 5 $ 6 7 $ – 65 6 *7 – !$ 8 ) ;5 – '? $ 6 ;7 6 $? $ 8 $.. Ejercicio %.12. Mallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados: 3 1 : 2X C - ) ; ' 3 2 : X - - 1 ; ' 3 3 : X - ( - 1, ; '. N+rtice A: 3 1 7 3 2 : A?3@ 2A. N+rtice L: 3 1 7 3 3 : L?!@ - 2A. N+rtice C: 3 3 7 3 2 : ?- 2@ -3A. 3< C 2E C H ; - 13 ?1A !< - 2E C H ; - 2, ?2A - 2< - 3E C H ; - 13 ?3A < ; - )B3@ E ; )B3@ H ; - 31B3. ' 3 31 3 ) 3 ) 2 2 · − + − + Y X Y X . Ejercicio %.13. 9ara el triángulo definido por las rectas: 3 1 @ 3 2 7 3 3 cu7as ecuaciones son: 3 1 : 2X @ 3 C 21 ; '@ 3 2 : 3X @ 2 @ % ; '@ 3 3 : 2X C 3 C , ; '. Cap. % - ) UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 13.1. Encontrar los K+rtices. 3 1 @ 3 2 : A?12@ 1!A. 3 1 @ 3 3 : A 2 @ 2 1! ?− B . 3 2 @ 3 3 : C?'@ - 3A. 13.2. <eterminar las pendientes de cada lado. 3 2 1 · · AB m m @ 2 3 2 · · AC m m @ 3 2 3 − · · BC m m . 13.3. <eterminar el tipo de triángulo. Como BC AB m m 1 − · 6 el triángulo es rectángulo. 13.4. Nerificar "ue 2 2 2 A ? A ? A ? AC BC AB L L L + · . 2 13 ! · BC L @ 13 % · AC L @ 2 13 13 · AB L . 13.!. Calcular el punto de intersección de las bisectrices ?incentroA. d 1 ; d 2 ; d 3 @ las tres son negatiKas6 punto 7 origen están al mismo lado de cada recta. d 1 ; d 2 : 13 % 2 3 13 21 3 2 − − · − + − k h k h – * C E ; 3 ?1A. d 1 ; d 3 : 13 , 3 2 13 21 3 2 − + + · − + − k h k h > 8 $ < 8 – !. Cap. % - , 3 3 3 1 3 2 A?12@ 1!A L?O1!B2@ 2A 1 ! A C?'@ O 3A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 13.%. Encontrar la ecuación de la circunferencia inscripta al triángulo. d 1 ; d 2 ; d 3 ; 13 · R @ C?– 1@ 2A. ;5 6 !? $ 6 ;7 @ $? $ 8 !'. 13.(. <eterminar las ecuaciones de las mediatrices. 0ediatriz de AL: 9 0edio: , _ ¸ ¸ 2 1( @ 4 , AB @ 9endiente de la 0ediatriz: 2 3 − · AB M . 0ediatriz de AC: 9 0edio: A % @ % ? AC @ 9endiente de la 0ediatriz: 3 2 − · AC M . 0ediatriz de LC: 9 0edio: , _ ¸ ¸ − − 2 1 @ 4 1! BC @ 9endiente de la 0ediatriz: 3 2 · BC M . 0ediatriz de 3 1 : ?ALA: 12X C ) ; ,!. 0ediatriz de 3 2 : ?ACA: 2X C 3 ; 3'. 0ediatriz de 3 3 : ?LCA: 12X - ) ; - 41. 13.). Calcular el punto de intersección mediatrices. #omamos dos ecuaciones cuales"uiera de las mediatrices 7 resolKemos el sistema. +uto 9e ite2secció me9iat2ices: , _ ¸ ¸ 2 1( @ 4 , PIM . 13.,. Encontrar la ecuación de la circunferencia circunscripta al triángulo. 9ara A: 12< C 1!E C H ; - 3%, ?1A 9ara L: 3'< - )E - 4H ; 241 ?2A 9ara C: 3E - H ; , ?3A D 8 @ &G$@ E 8 @ !0@ # 8 @ 6). ' %' 1( 2 , 2 2 · − − − + Y X Y X . , _ ¸ ¸ 2 1( @ 4 , C 1% 21,( 2 · R . Cap. % - 1' UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.14. 9ara el triángulo de lados: 3 1 : ; '@ 3 2 : 3X - 4 ; ' 7 3 3 : 4X C 3 ; !'. Mallar: 14.1. 3os K+rtices. 3 1 B3 2 : A;)= )? 3 1 B3 3 : A ' @ 2 2! ? B 3 2 B3 3 : C;1= 6?. 14.2. 3a Ecuación de las Lisectrices. X – 3 ; '@ 2X C 4 – 2! ; '@ (X – – !' ; '. 14.3. El 9unto de intersección de las bisectrices. MDto9o I: resolKer el sistema formado por dos ecuaciones de bisectrices: A 2 ! @ 2 1! ? P . MDto9o II: 9. de 4ntersección de Lisectrices: Centro de la circunferencia inscripta al triángulo. d 1 I '@ d 2 J '@ d 3 J '. k d · 1 . ! 4 3 2 − − − · k h d @ ! !' 3 4 3 − + − · k h d @ * ; 1!B2@ E ; !B2. 14.4. 3a Ecuación de la circunferencia inscripta al triángulo. Centro: C;!.G$= .G$?@ R 8 $F.. 4 2! 2 ! 2 1! 2 2 · , _ ¸ ¸ − + , _ ¸ ¸ − Y X . 14.!. 3a Ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo. 9ara A;)= )?: H ; '. 9ara -;!$F.= )?: 2 2! − · D . 9ara C;1= 6? : E ; '. ' 2 2! 2 2 · − + X Y X 1% %2! 4 2! 2 2 · + , _ ¸ ¸ − Y X . Ejercicio %.1!. Encontrar las ecuaciones de las circunferencias "ue pasen por los puntos: A?1@ 2A 7 L?3@ 4A 7 sean tangentes a la recta: 3: 3X C @ 3 ; '. Cap. % - 11 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas C?*@ EA: es el centro de una de las circunferencias@ T: es punto de tangencia. 3as distancias: CA 8 C- 8 CT 8 R. #omamos: CA 8 C- 2 2 2 2 A 4 ? A 3 ? A 2 ? A 1 ? − + − · − + − k h k h ?* – 1A 2 C ?E – 2A 2 ; ?* – 3A 2 C ?E – 4A 2 < 6 > 8 . ?1A #omamos: CA 8 CT 1' A 3 3 ? A 2 ? A 1 ? 2 2 − + · − + − k h k h 1' A 3 3 ? A 2 ? A 1 ? 2 2 2 − + · − + − k h k h < $ 6 &> $ – 6<> – $< – '*> 6 *! 8 ) ?2A <e ?1A: * ; ! - E ?3A. ?3A en ?2A: 2E 2 – ,E + ( ; ' > ! 8 ! > $ 8 0G$" +a2a > ! 8 !: < ! 8 * C ! ;*= !? 1' 1' A 3 3 ? A ? 2 2 1 · − + · k h R . CIA ! : 1' A 1 ? A 4 ? 2 2 · − + − Y X . +a2a > $ 8 0G$: < $ 8 'G$ C $ ;'G$= 0G$? 2 ! 1' A 3 3 ? A ? 2 2 2 · − + · k h R . CIA $ : 2 ! 2 ( 2 3 2 2 · , _ ¸ ¸ − + , _ ¸ ¸ − Y X . Ejercicio %.1%. Mallar las ecuaciones de las circunferencias "ue pasen por los puntos A?2@ 3A 7 L?3@ %A 7 sean tangentes a la recta: 3: 2X C - 2 ; '. Solució: 5 $ 6 7 $ @ $65 @ $7 6 *. 8 )= 5 $ 6 7 $ @ $5 @ !)7 6 $! 8 ). Cap. % - 12 A?1@ 2A L?3@ 4A C?*@ EA # UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.1(. Encontrar la ecuación de la C4A "ue pasa por los puntos 9?!@ 3A@ P?3@ –1A 7 &?%@ 2A. 9ara 9: !< C 3E C H ; – 34 ?1A 9ara P: 3< – E C H ; – 1' ?2A 9ara &: %< C 2E C H ; – 4' ?3A D 8 – 1 E 8 – $ # 8 !$ * ; 4@ E ; 1@ & $ ; !. 5 $ 6 7 $ – 15 – $7 6 !$ 8 ). ;5 @ *? $ 6 ;7 @ !? $ 8 .. Ejercicio %.1). Mallar el C?*@ EA 7 el &adio de la Circunferencia "ue pasa por 9?1@ 1A 7 es tangente a la recta #: 2X - - 3 ; ' en el punto P?3@ 3A. 3a tangente a la C4A T: 2X - - 3 ; ' tiene pendiente m T 8 $@ la perpendicular a ella ?NA pasa por el punto de tangencia P?3@ 3A 7 por el centro C?*@ EA de la C4A 7 tiene pendiente: m N 8 – !G$@ 9ara *allar su ecuación usamos los datos: P?3@ 3A 7 m N : N: X C 2 - , ; '. 3a pendiente de la cuerda +H es m +H 8 !6 su punto medio es: X 0 ; 2@ 0 ; 2. 3a mediatriz de esta cuerda pasa por ?2@ 2A 7 por el C?*@ EA de la C4A6 su pendiente es m M 8 - !. 7 su ecuación será: L: X C - 4 ; '. #enemos un sistema con dos ecuaciones 7 dos incógnitas: X C 2 ; , ?1A * C 2E ; , ?1A X C ; 4 ?2A * C E ; 4 ?2A 9ara * 7 E tendremos: < 8 - ! I > 8 .. & 2 ; 2'. Ecuación de la circunferencia: ;5 6 !? $ 6 ;7 @ .? $ 8 $). Ejercicio %.1,. Encontrar la ecuación de la circunferencia "ue pase por A?'@ 'A con & ; 13 7 centro en C?–12@ EA. ?X – *A 2 C ? – EA 2 ; & 2 Cap. % - 13 # P?3@3A 9?1@1A C?*@EA 2 L UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 9ara el punto A: ?12A 2 C ?EA 2 ; 1%, 144 C E 2 ; 1%, > 8 t .. 9ara C ! ;– !$= .? tenemos: ?X C 12A 2 C ? – !A 2 ; 1%,. 9ara C $ ;– !$= – .? tenemos: ?X C 12A 2 C ? C !A 2 ; 1%,. !"6" EBe 2a9ical 9e 9os ci2cu3e2ecias" Es el lugar geom+trico de los puntos desde los cuales las rectas tangentes a ellas tienen igual longitud. Consideramos la ecuación de dos circunferencias: CIA !: ' 1 1 1 2 2 · + + + + F Y E X D Y X 6 CIA $: ' 2 2 2 2 2 · + + + + F Y E X D Y X . 5ea 9?X@ A un punto gen+rico del eje radical6 entonces tenemos: 9 ! 8 9 $ 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 F Y E X D Y X F Y E X D Y X + + + + · + + + + . EleKamos al cuadrado 7 agrupamos: ;D ! @ D $ ?5 6 ;E ! @ E $ ?7 6 # ! 6 # $ 8 )6 tenemos la Ecuación de una &ecta6 de la forma: A5 6 -7 6 C 8 ). Ejercicio %.2'. Encontrar la ecuación de la familia de circunferencias "ue pasan por los puntos de intersección de dos dadas. CIA !: ' 1 1 1 2 2 · + + + + F Y E X D Y X 6 CIA $: ' 2 2 2 2 2 · + + + + F Y E X D Y X @ tenemos dos Circunferencias "ue son secantes. X 2 C 2 C < 1 X C E 1 C H 1 C Q?X 2 C 2 C < 2 X C E 2 C H 2 A ; ' representa la flia de cias ∀ Q ≠ –1. 9ara Q ; –16 tenemos: ;D ! – D $ ?5 6 ;E ! – E $ ?7 6 # ! – # $ 8 ). Ecuación de la recta "ue es la cuerda comRn a ambas circunferencias. Ejercicio %.21. Mallar la ecuación de la circunferencia "ue pasa por el punto de intersección de las rectas: 3 1 : 3X C 4 ; 2% 7 3 2 : - X C ! ; 4 7 tiene el centro en C?'@ – 1A. 9unto de 4ntersección entre 3 1 7 3 2 : 5 8 6 7 8 $. &adio: distancia entre C?'@ - 1A 7 el punto ?%@ 2A: 4! 2 · R . 5 $ 6 ;7 6 !? $ 8 *.. Cap. % - 14 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.22. Sn segmento de recta +H de longitud 3 cmt se mueKe apo7ándose tangencialmente sobre la circunferencia: 5 $ 6 7 $ @ *5 6 67 6 & 8 ). 5i el e$tremo + es el punto de tangencia. TCuál es el lugar geom+trico "ue describe el punto HU. Completamos cua92a9os: ;5 @ $? $ 6 ;7 6 '? $ 8 *= < 8 $= > 8 – '= R 8 $. 9P 2 ; ?X - 2A 2 C ? C 3A 2 - 4 ; , ;5 @ $? $ 6 ; 7 6 '? $ 8 !' El punto H describe una circunferencia con centro C;$= @ '? 7 radio & 2 ; 13. Cap. % - 1! 9 P UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.23. 9ara el #riángulo de K+rtices: A?4@ 1A L?2@ –1A 7 C?–1@ !A6 <eterminar: 23.1. 9unto 0edio de cada lado. 90 AL : ?3@ 'A@ 90 AC : ?3B2@ 3A @ 90 LC : ?1B2@ 2A. 23.2. 9endiente de cada lado. m AL ; 1@ m AC ; – 4B!@ m LC ; – 2. 23.3. 3ongitud de cada lado. ) · AB L 41 · AC L 4! · BC L . 23.4. Ecuación de la recta de cada lado. 3 AL : X - - 3 ; ' 3 AC : 4X C ! - 21 ; ' 3 LC : 2X C - 3 ; '. 23.!. Ecuación de las medianas ?recta "ue Ka del K+rtice al punto medio del lado opuestoA. 0 de A: 2X C ( ; 1!. 0 de L: )X C ; 1!. 0 de C: !X C 4; 1!. 23.%. El baricentro ?punto de intersección de las medianasA. 3 C B A B X X X X + + · @ X L ; !B3 3 C B A B Y Y Y Y + + · @ L ; !B3. 23.(. 3ongitud de cada mediana. 2 !3 · A M @ 2 %! · B M @ 41 · C M . 23.). 3a ecuación de las bisectrices de los ángulos del triángulo. Lisect A: X - 1( ; - 13@ Lisect L: 1,X - 3 ; 41@ Lisect C: 41X C 33 ; 124. 23.,. Sbicación del incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscripta al triángulo 7 es el punto de intersección de las bisectrices. 0+todo 1: #omamos dos ecuaciones de las bisectrices 7 resolKemos el sistema: Cap. % - 1% L?2@ - 1A A?4@ 1A C?- 1@ !A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas +;$F'= )F&?. 0+todo 2: los tres lados del triángulo son tangente a la circunferencia inscripta6 por lo tanto la distancia del centro de la misma ?*@ EA a cada lado tiene igual Kalor. 9ara el lado AC: d 1 J ' 9ara el lado LC: d 2 I ' 9ara el lado AL: d 3 J ' 41 21 ! 4 1 − + − · k h d ! 3 2 2 − + · k h d 2 3 3 − − − · k h d d 1 ; d 3 : 2 3 41 21 ! 4 − − · − + Y X Y X A 41 3 2 21 ? A 41 2 ! ? A 41 2 4 ? − · + + − k h . d 2 ; d 3 : A ! 2 ? 3 A ! 2 ? A ! 2 2 ? + · − + + k h . < 8 $F'= > 8 )F&. +;$F'= )F&?. 23.1'. Ecuación de la circunferencia inscripta al triángulo. <ados de la circunferencia inscripta al triángulo: Centro: , _ ¸ ¸ 1' , @ 1' 23 CI C . &adio: 2 ! · CI R . 4 ! 1' , 1' 23 2 2 · , _ ¸ ¸ − + , _ ¸ ¸ − Y X . 23.11. Ecuación de las mediatrices. 0ediatriz de AL: X C ; 3. 0ediatriz de AC: 1'X - ) ; - ,. 0ediatriz de LC: 2X - 4 ; - (. 23.12. Sbicación del circuncentro. Circuncentro: es el punto de intersección de las mediatrices 7 es el centro de la circunferencia circunscripta al triángulo. &esolKemos el sistema formado por dos ecuaciones de las mediatrices: X C ; 3 ?1A 2X - 4 ; - ( ?2A , _ ¸ ¸ % 13 @ % ! CC C . Cap. % - 1( UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 23.13. Ecuación de la circunferencia circunscripta al triángulo. #omamos la Ecuación .eneral de la C4A: 5 $ 6 7 $ 6 D5 6 E7 6 # 8 )@ la cual debe cumplirse para los puntos "ue son K+rtices del triángulo: 9ara A?4@ 1A 4< C E C H ; - 1( ?1A 9ara L?2@ - 1A 2< - E C H ; - ! ?2A 9ara C?- 1@ !A - < C !E C H ; - 2% ?3A #enemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas6 resolKemos por la &egla de Cramer: D 8 – .G' E 8 – !'G' # 8 – 6. ' % 3 13 3 ! 2 2 · − − − + Y X Y X si completamos cuadrado en X e : 1) 2'! % 13 % ! 2 2 · , _ ¸ ¸ − + , _ ¸ ¸ − Y X . <atos de la circunferencia circunscripta al triángulo: Centro: , _ ¸ ¸ % 13 @ % ! CC C . &adio: 1) 2'! 2 · R . Cap. % - 1) L?2@ -1A A?4@ 1A C?- 1@ !A m AL ; 1 m AC ; -4B! m LC ; -2 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas $" C%NICAS" 3a intersección de un plano con la superficie de un cono circular recto "ue se e$tiende *acia el infinito a ambos lados del K+rtice6 forma una figura "ue se denomina C%NICA. 3a superficie del cono a cada lado del K+rtice se llama *oja o lado del cono. α: es el ángulo entre el eje 7 la generatriz del cono6 es el ángulo de conicidad. β : inclinación del plano ?"ue corta al conoA respecto del eje del cono. 5i V ; ,'W: circunferencia ?2oBoA. 5e considera un caso particular de elipse. 5i V I X: elipse ?mo2a9oA. 5i V ; X: parábola ?Je29eA. 5i V J X: *ip+rbola ?a:ulA. 5i el plano pasa por el K+rtice del cono6 se puede comprobar "ue: Cuando V I X la intersección es un Rnico punto ?el K+rticeA. Cuando V ; X la intersección es una recta generatriz del cono ?el plano será tangente al conoA. Cuando V J X la intersección Kendrá dada por dos rectas "ue se cortan en el K+rtice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida "ue V disminu7e6 *asta alcanzar el má$imo ?XA cuando el plano contenga al eje del cono ?V ; 'A. Cap. % - 1, UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas '" DE#INICI%N (ENERAL DE C%NICAS" Sna cónica es el lugar geom+trico de los puntos 9?X@ A tal "ue el cociente entre la distancia desde + a un punto fijo llamado foco #?c@ 'A6 +#6 diKidido por la distancia de + a una recta fija llamada <irectriz6 +M6 es constante e igual a la e$centricidad ?eA de la cónica. 3a e$centricidad de una cónica es el cociente entre la distancia "ue e$iste entre un punto gen+rico ?+A de la cónica a un punto fijo llamado foco ?#A6 diKidida por la distancia de ese punto ?+A a la recta directriz ?M punto sobre la directrizA: PM PF e · . Aálisis 9e la eEcet2ici9a9: e e K ! La cóica es ua elipse ;La CIA es u caso 9e elipse I e 8 )?" e 8 ! La cóica es ua pa2áAola" e L ! La cóica es ua <ipD2Aola" El Latus Rectum es la recta perpendicular al eje principal de la cónica "ue pasa por el foco 7 sus e$tremos tocan al 3ugar .eom+trico de la cónica. *" +AR,-OLA" 3ugar geom+trico de los puntos 9?X@ A "ue cumplen con la condición de "ue su distancia al foco de la parábola H?a@ 'A es igual a su distancia a la recta directriz 33Y: X ; a@ el foco 7 la recta directriz e"uidistan del K+rtice de la parábola. +# 8 +M. 1 · · PM PF e Cap. % - 2' UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.24. En la figura determinar la ecuación de la parábola6 aplicando la definición de la misma. 2 2 A ? Y a X d PF + − · &ecta <irectriz: 33Y: X ; - a. a X d PM + · PM PF d d · a X Y a X + · + − 2 2 A ? . EleKamos al cuadrado ambos t+rminos: 2 2 2 A ? A ? a X Y a X + · + − 2 2 2 2 2 2 2 a aX X Y a aX X + + · + + − . aX Y 4 2 · . Ecuación de la parábola con eje sobre X6 K+rtice en el origen del sistema de coordenadas@ foco en #;a= )?6 abertura *acia el lado positiKo del eje X. 3atus &ectum ?3ado &ectoA LR 8 *a. Ejercicio %.2!. <eterminar la ecuación de la parábola con eje sobre X6 K+rtice en el origen6 foco en #;@ a= )? 7 abertura *acia lado negatiKo del eje X. 2 2 A ? Y a X d PF + + · @ &ecta <irectriz: 33Y: X ; a. a X d PM − · @ 2 2 2 A ? A ? a X Y a X − · + + 2 2 2 2 2 2 2 a aX X Y a aX X + − · + + + aX Y 4 2 − · . Ejercicio %.2%. <eterminar la ecuación de la parábola con eje sobre 6 K+rtice en el origen@ 2%.1. foco en #;)= a?6 abertura *acia lado positiKo del eje . 2 2 A ? a Y X d PF − + · @ a Y d PM + · 2 2 2 2 2 2 2 a aY Y a aY Y X + + · + − + aY X 4 2 · . 2%.2. foco en #;)= @ a?6 abertura *acia lado negatiKo del eje . 2 2 A ? a Y X d PF + + · @ a Y d PM − · 2 2 2 2 2 2 2 a aY Y a aY Y X + − · + + + aY X 4 2 − · . +a2áAola co JD2tice e el o2i4eF eBe soA2e el eBe 5: aX Y 4 2 t · . Cap. % - 21 9?X@ A H?a@ 'A 3 0 3Y UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas +a2áAola co eBe pa2alelo al eBe 5F JD2tice e V;<= >?: A ? 4 A ? 2 h X a k Y − t · − . Abertura *acia C X: A ? 4 A ? 2 h X a k Y − · − @ H:>?* C aA@ ED@ 33Y: X ; * – a. Abertura *acia - X: A ? 4 A ? 2 h X a k Y − − · − @ H:>?* - aA@ ED@ 33Y: X ; * + a. Ecuación .eneral de la 9arábola: C7 $ 6 D5 6 E7 6 # 8 ). +a2áAola co JD2tice e el o2i4eF eBe soA2e el eBe 7: aY X 4 2 t · . +a2áAola co eBe pa2alelo al eBe 7F JD2tice e V;<= >?: A ? 4 A ? 2 k Y a h X − t · − . Abertura *acia C : A ? 4 A ? 2 k Y a h X − · − @ H:>*@ ?E C aAD@ 33Y: ; E – a. Abertura *acia - : A ? 4 A ? 2 k Y a h X − − · − @ H:>*@ ?E - aAD@ 33Y: ; E + a. Ecuación .eneral de la 9arábola: A5 $ 6 D5 6 E7 6 # 8 ). Ejercicio %.2(. <ada la ecuación de una 9arábola: X Y ) 3 2 · @ *allar Hoco@ 3& 7 &ecta <irectriz. X Y 3 ) 2 · @ 3 ) 4 · a @ 3 2 · a @ #:;$G'= )?. 9arábola con K+rtice en V;)= )?@ eje sobre X6 mirando *acia X I '. El 3atus &ectum: LR 8 *a 8 1G'. &ecta <irectriz: LLM: 5 8 – $G'. Ejercicio %.2). <ada la ecuación de una 9arábola: Y X ) 2 · @ *allar Hoco@ 3& 7 &ecta <irectriz. Hoco: 4a ; )@ a ; 2@ #:;)= $?. 9arábola con N+rtice en V;)= )?@ eje sobre 6 mirando *acia I '. El 3atus &ectum: LR 8 *a 8 1. &ecta <irectriz: LLM: 7 8 – $. Cap. % - 22 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.2,. Mallar la ecuación de la parábola con foco en H:?'@ – 4B3A 7 recta <irectriz: 33Z: = 4B3. N+rtice de la parábola: V:;)= )?@ eje sobre 6 mirando *acia J ' aY X 4 2 − · . H:?'@ – aA 3 4 − · a 3 1% 4 · · a LR . Y X 3 1% 2 − · . Ejercicio %.3'. Mallar la ecuación de la parábola con K+rtice en N:?3@ 2A 7 foco en H:?!@ 2A. N:?*@ EA < 8 '= > 8 $. Eje paralelo a X6 mirando *acia X I ': ? – EA 2 ; 4a?X – *A H:?* C a@ EA 3 C a ; ! a 8 $. LR 8 *a 8 1. A 3 ? ) A 2 ? 2 − · − X Y . Ejercicio %.31. Encontrar los parámetros de la parábola: 31.1. 3X 2 – ,X – ! – 2 ; '. 3a ecuación dada es de la forma: AX 2 C <X C E C H ; '@ completar cuadrados en X para tener una ecuación de la forma: ?X – *A 2 ; 4a? – EA@ , _ ¸ ¸ + · , _ ¸ ¸ − 4 ( 3 ! 2 3 2 Y X @ Coordenadas del K+rtice: < 8 'G$@ > 8 – 0G*. , _ ¸ ¸ − 4 ( @ 2 3 V . 3 ! 4 · · a LR @ 12 ! · a . H>*@ ?E C aAD , _ ¸ ¸ − 3 4 @ 2 3 F . &ecta directriz: 33Y: ; E - a ; – 13B%@ % 13 : Z − · Y LL . 31.2. 2 – 4 C %X – ) ; '. 3a ecuación dada es de la forma: C 2 C <X C E C H ; '@ completamos cuadrado en para tener una ecuación de la forma: ? - EA 2 ; 4a?X - *A: ? - 2A 2 ; - %?X - 2A. > 8 $@ < 8 $ N?2@ 2A 3& ; 4a ; % a 8 @ 'G$. H>?* – aA@ ED #;!G$= $? LLN: 5 8 < 6 a 8 0G$. Cap. % - 23 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.32. Mallar ecuación de las parábolas de Hoco en H:?- 2@ –1A 7 cu7o 3atus &ectum es el segmento entre los puntos 9 1 ?- 2@ 2A 7 9 2 ?- 2@ - 4A. LR ; 8 *a@ la longitud de 3& ; 9 1 9 2 8 6 2 3 t · a 6 3& es perpendicular al eje de la parábola6 el foco le biseca > 8 @ !. Eje paralelo a 56 la Ecuación es de la forma: A ? 4 A ? 2 h X a k Y − t · − . #enemos dos parábolas6 una con abertura *acia C X 7 la otra *acia - X. +a2áAola co aAe2tu2a <acia 5 K ) N 1 ?* 1 @ -1A A 1 @ 2 ? 1 @ 2 3 1 1 − − · ¹ ; ¹ ¹ ' ¹ − , _ ¸ ¸ − h F @ 2 2 3 1 − · − h 2 1 1 − · h , _ ¸ ¸ − − 1 @ 2 1 1 V . , _ ¸ ¸ + − · + 2 1 % A 1 ? 2 X Y . +a2áAola co aAe2tu2a <acia X I ' N 2 ?* 2 @ -1A A 1 @ 2 ? 1 @ 2 3 2 2 − − · ¹ ; ¹ ¹ ' ¹ − , _ ¸ ¸ + h F @ 2 2 3 2 − · + h 2 ( 2 − · h , _ ¸ ¸ − − 1 @ 2 ( 2 V . , _ ¸ ¸ + · + 2 ( % A 1 ? 2 X Y . Ejercicio %.33. Mallar la ecuación de las parábolas de foco H:?3@ 4A 7 3atus &ectum es el segmento entre los puntos 9 1 ?- 1@ 4A 7 9 2 ?(@ 4A. 9 1 ?- 16 4A 7 9 2 ?(6 4A eje paralelo a 7 Ecuació: A ? 4 A ? 2 k Y a h X − t · − . LR 8 1 8 *a a 8 t $. H: ?3@ 4A ; H>*@ ?E t aAD < 8 '. H>3@ ?E C aAD ; H: ?3@ 4A ; H>3@ ?E - aAD E C 2 ; 4 > ! 8 $ 9arábola 1: A 2 ? ) A 3 ? 2 − · − Y X . E - 2 ; 4 > $ 8 6. 9arábola 2: A % ? ) A 3 ? 2 − − · − Y X . Cap. % - 24 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.34. Mallar la ecuación de la parábola cu7o 3atus &ectum ?3&A es el segmento entre los puntos ?3@ !A 7 ?3@ @ 3A. ?3@ !A 7 ?3@ @ 3A 3a posición de 3& indica "ue el eje de la parábola es paralelo al eje 56 entonces la ecuación de la misma será: ? @ EA 2 ; t )?X @ *A. 3& ; 4a ; ). 4a ; ). #omamos a L ): 9B?3@ !A: ?! - EA 2 ; )?3 - *A 2! - 1'E C E 2 ; 24 - )* - 1'E C E 2 ; - 1 - )* ?1A 9B?3@ – 3A: ?– 3 - EA 2 ; )?3 - *A , C %E C E 2 ; 24 - )* %E C E 2 ; 1! – )* ?2A ?1A - ?2A: - 1%E ; - 1% > 8 !@ para este Kalor de > tenemos: < ! 8 !. 9ara N 1 :?1@ 1A ;7 – !? $ 8 1;5 – !?. #omamos a K ): 9B?3@ !A: ? ! - EA 2 ; – )?3 - *A - 1'E C E 2 ; – 4, C )* ?1A 9B?3@ – 3A: ?– 3 - EA 2 ; – )?3 - *A %E C E 2 ; – 33 C )* ?2A ?1A - ?2A: - 1%E ; - 1% > 8 !@ para este Kalor de > tenemos: < $ 8 .. 9ara N 2 : ?!@ 1A ;7 @ !? $ 8 – 1;5 – .?. Cap. % - 2! UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.3!. <eterminar la ecuación de la parábola cu7o K+rtice esta sobre la recta: L: '5 @ $7 8 )6 su eje es paralelo al eje X6 7 pasa por los puntos: 9 1 : ?36 !A 7 9 2 : ?%6 @1A. Eje paralelo a X6 su ecuación es: ? @ EA 2 ; 4a?X @ *A. 9ara 9 1 :?36 !A: ?! @ EA 2 ; 4a?3 @ *A 2! @ 1'E C E 2 ; 12a @ 4a* ?1A 9ara 9 2 :?%6 @1A: ?@ 1 @ EA 2 ; 4a?% @ *A 1 C 2E C E 2 ; 24a @ 4a* ?2A N?*@ EA satisfacen la ecuación de 3: 2E @ 3* ; ' k h 3 2 · ?3A ?1A @ ?2A: 24 - 12E ; @ 12a a 8 > @ $ ?4A < 7 a en ?1A: 11E 2 - )2E C 14( ; ' 3a ec. tiene dos soluciones: > ! 8 ' > $ 8 *&G!!. 9ara E 1 ; 36 calculamos: * 1 ; 2@ a 1 ; 1@ la ecuación resultante es: ?7 – '? $ 8 *;5 @ $? 7 $ @ 67 @ *5 6 !0 8 ). 9ara X ; 3: ? - 3A ; t 2 1 ; 3 C 2 ; !@ 9 1 : ?36 !A 2 ; 3 - 2 ; 1. 9ara X ; %: ? - 3A ; t 4 1 ; 3 - 4 ; - 1@ 9 2 : ?%6 -1A 2 ; 3 C 4 ; (. 9ara 11 4, 2 · k 6 calculamos: 33 ,) 2 · h @ 11 2( 2 · a @ la ecuación resultante es: , _ ¸ ¸ − · , _ ¸ ¸ − 33 ,) 11 1') 11 4, 2 X Y !!7 $ @ &17 @ !)15 6 .'& 8 ). 9ara X ; 3: 11 % 11 4, t · − Y 7 ! 8 .@ 9 1 : ?36 !A 2 ; 36,. 9ara X ; %: 11 %' 11 4, t · − Y 1 ; - 1@ 9 2 : ?%6 -1A 2 ; ,6,. Cap. % - 2% UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.3%. Mallar la ecuación de la 9arábola de Eje *orizontal6 con N+rtice sobre la recta 3: (X C 3 – 4 ; ' 7 pasa por los puntos 9 1 ?3@ –!A 7 9 2 ?3B2@ 1A. Ec. gen+rica de la parábola: ? – EA 2 ; 4a?X – *A. 9ara 9 1 ?3@ – !A ?– ! – EA 2 ; 4a?3 – *A 2! C 1'E C E 2 ; 12a – 4a* ?1A 9ara 9 2 ?3B2@ 1A ?1 – EA 2 ; 4a?3B2 – *A 1 – 2E C E 2 ; %a – 4a* ?2A N?*@ EA satisface la ec. de la recta: (* C 3E – 4 ; ' ?3A <e la Ec. ?3A despejamos < ( 3 4 k h − · &estando ?1A – ?2A: 12E – %a ; – 24 a 8 * 6 $> 4ntroducimos < 7 a en la Ec. ?1A: , _ ¸ ¸ − + − · + + ( 3 4 A 2 4 ? 4 12 1' 2! 2 k k a k k !0> $ 6 !!*> 6 &0 8 ) > ! 8 – ! > $ 8 – &0G!0 9ara: > ! 8 – !6 calculamos: < ! 8 !@ a ! 8 $ ?7 6 !? $ 8 1;5 – !?. H:>?* C aA@ ED; H>3@ - 1D 3& ; 4a ; ) 7 $ @ 15 6 $7 6 & 8 ). 9ara: 1( ,( 2 − · k 6 calculamos: 11, 3!, 2 · h @ 1( 12% 2 − · a , _ ¸ ¸ − − · , _ ¸ ¸ + 11, 3!, 1( !'4 1( ,( 2 X Y . Cap. % - 2( UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.3(. El cable de suspensión de un puente colgante toma la forma parabólica6 los pilares tienen una altura de %' metros separados !'' metros6 el punto más bajo está a 1' metros del puente. Calcular la altura a )' metros del centro de la parábola. Colocamos el sistema cartesiano de modo "ue el eje pase por el centro del puente. 3os pilares pasan por los puntos: ?- 2!'@ 'A 7 ?2!'@ 'A. El K+rtice está en N?'@ 1'A. Como la parábola mira *acia arriba su ecuación será: ?X – *A 2 ; 4a? – EA * ; '@ E ; 1' 5 $ 8 *a;7 – !)? 9ara determinar el Kalor de [a\ usamos un punto cual"uiera de la parábola: por ejemplo ?2!'@ %'A a 8 6$.G$ 5 $ – !$.)7 6 !$.)) 8 ) para X ; )' m 7 8 !.F!$ m Cap. % - 2) ?2!'@ 'A ?-2!'@ 'A ?2!'@ %'A ?-2!'@ %'A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.3). Mallar la altura de un punto de un arco parabólico de 1) mts de altura 7 24 mts de base6 situado a una distancia de ) mts del centro del arco. #omamos el eje X en la base del arco 7 el origen en el punto medio del mismo@ la parábola mira *acia abajo6 toca al eje X en los puntos: ?- 12@ 'A 7 ?12@ 'A. N+rtice de la parábola en V;)= !1?. Ecuación general: ?X - *A 2 ; 4a? - EA 9ara N?'@ 1)A X 2 ; 4a? - 1)A. 9ara determinar el Kalor de [a\ consideramos "ue la curKa pasa por 9 ?12@ 'A: 144 ; 4a?-1)A a 8 – $ X 2 ; - 2? - 1)A. MDto9o II: X 2 ; - 4a? - 1)A a 8 $. X 2 ; - 2? - 1)A. Cálculo de la altura del arco para X ; ) m del centro: X 2 ; – ) ? – 1)A. para X ; ) 7 8 !) m. El a2co simple más 2esistete es el 9e 3o2ma pa2aAólica. Ejercicio %.3,. Sn arco parabólico tiene: Altura ; 2! m 7 3uz ; 4' m. Calcular altura del arco a ) m de su centro. #omamos el eje X en la base del arco 7 el origen en el punto medio del mismo@ la parábola6 "ue mira *acia abajo6 toca al eje X en los puntos: ?- 2'@ 'A 7 ?2'@ 'A. El K+rtice de la parábola estará en N?'@ 2!A. 3a ecuación general de la misma será: ?X – *A 2 ; – 4a? – EA * ; '@ E ; 2! X 2 ; 4a? – 2!A para ?2'@ 'A a 8 * 5 $ 6 !67 6 *)) 8 ) para X ; ) m 7 8 $! m. Ejercicio %.4'. MoJimieto pa2aAólico e el La:amieto <o2i:otal desde ?mA del suelo con Kelocidad: N ?mBsA: Cap. % - 2, UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 9arábola: Y g V X 2 2 2 − · <onde: X: distancia *orizontal desde el punto de lanzamiento ?el alcance del pro7ectilA N: Kelocidad mBs. g: aceleración de la graKedad. : altura desde el suelo MoJimieto soA2e el EBe 5: X ; N ' .t MoJimieto soA2e el EBe 7: 2 2 ' gt Y Y + · 2 ' ' A ? 2 V X g Y Y + · Vecto2 9e posició: j gt Y i t V t r o o ] A 2 ? ] . A ? 2 + + · Veloci9a9: N X ; N ' N ; g.t 2 2 A ? A ? Y X V V V + · A4ulo: , _ ¸ ¸ · ' V gt arctg θ Alcace: A ? 2 ' 2 2 Y Y g V X − − · . Sn objeto es lanzado en l8nea recta desde una altura de 3 m6 con una Kelocidad de !' mBs. Calcular la distancia "ue alcanzará el objeto. Aceleración de la graKedad: g ; ,6)1 mBs 2 . Y g V X 2 2 2 − · A 3 ? )1 6 , !''' 2 − − · X 5 8 '&F! m Cap. % - 3' UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas ." ELI+SE" 3ugar geom+trico de los puntos "ue cumplen con la condición de "ue la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos ?# 7 #NA es constante e igual a 2a. +# 6 +#N 8 $a. Ejercicio %.41. <eterminar la ecuación de la Elipse con focos en: H?c@ 'A 7 HY?– c@ 'A. Considerar el punto gen+rico 9?X@ A. N+rtices sobre el eje ma7or: N?a@ 'A 7 NY?– a@ 'A. 3ongitud del eje ma7or: EM 8 $a. N+rtices sobre el eje menor: K?'@ bA 7 KY?'@ – bA. 3ongitud del eje menor: em 8 $A. Consideramos el triángulo rectángulo de K+rtices en: C?'@ 'A@ H?c@ 'A 7 K?'@ bA6 la *ipotenusa es [a\ de donde: A $ 6 c $ 8 a $ . <ado "ue: 9H C 9HY ; 2a: a Y c X Y c X 2 A ? A ? 2 2 2 2 · + + + + − 6 <espejamos 7 eleKamos al cuadrado: 2 2 2 2 2 2 2 A ? A ? 4 4 A ? Y c X Y c X a a Y c X + + + + + − · + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A ? 4 4 2 Y c Xc X Y c X a a Y c Xc X + + + + + + − · + + − 2 2 2 A ? 4 4 4 Y c X a a Xc + + − · − − <iKidimos por: – 4a6 2 2 A ? Y c X a a c X + + · + EleKamos al cuadrado ambos t+rminos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y c Xc X a Xc a c X + + + · + + 2 2 2 2 2 2 2 A ? Y a c a X c a + − · − <iKidimos por: ?a 2 - c 2 A ; b 2 . 1 2 2 2 2 · + b Y a X Ec" Caóica 9e la Elipse co cet2o e el o2i4e 9e coo29ea9asF eBe maIo2 soA2e el eBe 5. E$centricidad: 1 2 2 < − · · · a b a a c PM PF e . 3atus &ectum: a b LR 2 2 · . &ectas <irectrices: e a X t · . Ejercicio %.42. <eterminar la ecuación canónica de la Elipse con Hocos en H?'@ cA 7 HY?'@ - cA. Eje sobre @ tomamos un punto gen+rico 9?X@ A. N+rtices: N?'@ aA 7 NY?'@ – aA. 3ongitud del eje ma7or: EM 8 $a. Cap. % - 31 9?X@ A H?c@ 'A HY? –c@ 'A N?a@ 'A NY?– a@ 'A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas N+rtices sobre el eje menor: K?b@ 'A 7 KY?– b@ 'A. em 8 $A. Consideramos el triángulo rectángulo de K+rtices: C?'@ 'A@ H?'@ cA 7 K?b@ 'A6 la *ipotenusa del mismo es [a\ de donde: a 2 ; b 2 C c 2 . 9H C 9HY ; 2a a c Y X c Y X 2 A ? A ? 2 2 2 2 · + + + − + 2 2 2 2 A ? 2 A ? c Y X a c Y X + + − · − + EleKamos al cuadrado 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A ? 4 4 2 c Yc Y X c Y X a a c Yc Y X + + + + + + − · + − + 2 2 2 A ? c Y X a a Yc + + · + EleKamos al cuadrado A 2 ? 2 2 2 2 2 4 2 2 2 c Yc Y X a a Yca c Y + + + · + + 2 2 2 2 4 2 2 2 A ? X a c a a a c Y + · + − A ? A ? 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a a X a c Y − · − − 2 2 2 2 2 2 b a a X Y b − · − − <iKidimos por: – a 2 b 2 . 1 2 2 2 2 · + a Y b X Ec" Caóica 9e la Elipse co cet2o e el o2i4e 9e coo29ea9asF eBe maIo2 soA2e el eBe 7. Elipse co cet2o e el o2i4eF eBe maIo2 soA2e 5. 1 2 2 2 2 · + b Y a X . &ectas <irectrices: e a X t · . Elipse co cet2o e el o2i4eF eBe maIo2 soA2e 7. 1 2 2 2 2 · + a Y b X &ectas <irectrices: e a Y t · . Elipse co cet2o 9espla:a9o 9el o2i4eF eBe maIo2 pa2alelo a 5: 1 A ? A ? 2 2 2 2 · − + − b k Y a h X a L A Centro: C?*@ EA. N+rtices sobre eje ma7or: NF?* t aA@ EG N+rtices sobre eje menor: KF?E t bA@ *G &ectas <irectrices ?33ZA: e a h X t · . Elipse co cet2o 9espla:a9o 9el o2i4eF eBe maIo2 pa2alelo a 7: 1 A ? A ? 2 2 2 2 · − + − a k Y b h X a L A Centro: C ?*@ EA N+rtices sobre eje ma7or: N F*@ ?E t aAG N+rtices sobre eje menor: KF?* t aA@ EG &ectas <irectrices ?33ZA: e a k Y t · . Cap. % - 32 N?'@ aA NY?'@ OaA H?'@ cA H?'@ OcA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas ."!" Ecuació 4ee2al 9e la Elipse" Es una ecuación de la forma: AX 2 C C 2 C <X C E C H ; '@ donde el si4;A? 8 si4;C?. Es una ecuación de segundo grado en X e . 2o toda ecuación de segundo grado en X e corresponde a una elipse. Ejercicio %.43. El sol está en uno de los focos de la órbita ligeramente el8ptica de la tierra6 la e$centricidad de la órbita es e 8 )F)!6!6 si a ; 1!' $1' % Qm@ Calcular: 43.1. 3a distancia de separación m8nima ?+e2i<elioA a c e · c ; e.a ; 2.41!.''' Em. +e2i<elio: a – c 8 !*0".1."))) Om. 43.2. 3a distancia de separación má$ima ?A3elioA. A3elio: a 6 c 8 !.$"*!."))) Om" El planeta se mueKe más rápidamente en el peri*elio6 7 más lentamente en el afelio. Ejercicio %.44. 3a 3una gira en una tra7ectoria el8ptica6 con la #ierra en uno de los focos6 la longitud del eje ma7or es 2a ; (%).)'' Em 7 la longitud del eje menor de la órbita es 2b ; (%(.%4' Em. Calcular la distancia de separación má$ima 7 m8nima entre el centro de la #ierra 7 el centro de la 3una. 44.1. <istancia de separación m8nima ?+e2i4eoA. <eterminación de los parámetros: 2a ; (%).)'' Em. a 8 '1*"*)) >m. 2b ; (%(.%4' Em A 8 '1'"1$) >m. 2 2 b a c − · 6 c 8 $!"!)1 >m. <istancia m8nima: +e2i4eo: a @ c 8 '6'"$&$ >m. 44.2. <istancia de separación má$ima ?Apo4eoA: <istancia má$ima: Apo4eo: a 6 c 8 *).".). >m. Ejercicio %.4!. Mallar la ecuación "ue describa el 3ugar .eom+trico de 9?X@ A el cual se desplaza en el plano cartesiano de modo "ue la suma de las distancias de dic*o punto a dos puntos fijos definidos por sus coordenadas: H?4@ 2A 7 HY?– 2@ 2A es permanentemente igual a ). 9HY C 9H ; 2a ) A 2 ? A 4 ? A 2 ? A 2 ? 2 2 2 2 · − + − + − + + Y X Y X 2 2 2 2 A 2 ? A 4 ? ) A 2 ? A 2 ? − + − − · − + + Y X Y X Cap. % - 33 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 05 $ 6 !67 $ – !*5 – 6*7 – *! 8 ) (?X 2 – 2XA C 1%? 2 – 4A - 41 ; ' (?X - 1A 2 - ( C 1%? - 2A 2 - %4 - 41 ; ' (?X - 1A 2 C 1%? - 2A 2 ; - 112 1 ( A 2 ? 1% A 1 ? 2 2 · − + − Y X El 3ugar .eom+trico corresponde a una Elipse6 con Eje paralelo a X. Centro de la elipse: C?1@ 2A < 8 != > 8 $= a 8 *= A $ 8 0. <istancia focal: 2c ; % c 8 '. (! 6 ' 4 3 · · · a c e . ! 6 3 2 ( 2 2 · · · a b LR . &ectas directrices: 33Y: e a h X t · @ 3 1, 1 · X 3 13 2 − · X . Ejercicio %.4%. Calcular el 3ugar .eom+trico de los puntos 9?X@ A tal "ue el cociente de distancia de 9 a H?'@ 4A diKido por la distancia de 9 a la recta directriz 33Y: ; 2!B46 es 4B!. <istancia: 2 2 A 4 ? − + · Y X PF <istancia: Y PM − · 4 2! <efinición general de cónica: ! 4 · · PM PF e J 1 Elipse. ! 4 4 B 2! A 4 ? 2 2 · − − + Y Y X 1 2! , 2 2 · + Y X . Cap. % - 34 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.4(. <ada la siguiente ecuación: ,X 2 C 2! 2 ; 22!. <eterminar: 4(.1. El 3ugar .eom+trico de la misma. <iKidimos por 22!: 1 , 2! 2 2 · + Y X Elipse: a ; !@ b ; 3@ con E. ma7or sobre eje X. 4(.2. El semi eje ma7or 7 el semi eje menor. 3ongitud del Eje 0a7or: EM 8 !) 3ongitud del eje menor: em: 6. 4(.3. Calcular la e$centricidad. ) 6 ' 2 2 · − · · a b a a c e . 4(.4. El 3atus &ectum. a b LR 2 2 · ; 36%. 4(.!. 3os Hocos. H?c@ 'A H?4@ 'A HY?- c@ 'A HY?- 4@ 'A. 4(.%. 3os K+rtices. N?a@ 'A N?!@ 'A NY?- a@ 'A NY?- !@ 'A. K?b@ 'A K?3@ 'A KY?- b@ 'A KY?- 3@ 'A. 4(.(. <eterminar si el 3ugar geom+trico corresponde a una función o a una relación. Stilizando el criterio de la recta Kertical se Kerifica "ue corresponde a una relación. 2! 1 3 2 X Y − t · 9ara cada Kalor de X corresponden dos Kalores de . 4(.). Analizar la simetr8a con respecto a los ejes 7 con respecto al origen. Simet2ía co 2especto a 5: ,X 2 C 2!?- A 2 ; 22!. E$iste simetr8a con respecto a X. Simet2ía co 2especto a 7: ,?- XA 2 C 2! 2 ; 22!. E$iste simetr8a con respecto a . Sim" co 2especto al o2i4e: ,?-XA 2 C 2!?-A 2 ; 22!. E$iste sim. respecto al origen. 4(.,. Encontrar el <ominio 7 el &ango. Domiio: 2 ! 1 3 , _ ¸ ¸ − t · X Y ' ! 1 2 ≥ , _ ¸ ¸ − X - ! ≤ X ≤ !@ D 8 P@ .= .Q. Ra4o: 2 3 1 ! , _ ¸ ¸ − t · Y X ' 3 1 2 ≥ , _ ¸ ¸ − Y - 3 ≤ ≤ 3@ R 8 P@ '= 'Q. Ejercicio %.4). <ada la ecuación: 2!X 2 C 1% 2 ; 4''. Cap. % - 3! UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 4).1. <efinir 3ugar .eom+trico. 9ara la ecuación: 2!X 2 C 1% 2 ; 4''6 diKidimos por ?4''A: 1 2! 1% 2 2 · + Y X . Corresponde a una Elipse con centro en el origen@ a ; ! 7 b ; 46 eje ma7or sobre . Eje menor sobre X. 3a e$centricidad: ! 3 ! 2 2 · − · · b a a c e 6 e 8 )F6. 3os N+rtices sobre el eje ma7or: V;)= t .?. 3os N+rtices sobre el eje menor: J;)= t *?. 3os Hocos: #;)= t '?. El 3atus &ectum: 4 6 % 2 2 · · a b LR . El <ominio: D 8 P@ *= *Q. El &ango: R 8 P@ .= .Q. 4).2. Análisis de las simetr8as. E$iste simetr8a con respecto al eje X@ al eje 7 con respecto al origen. Ejercicio %.4,. Sn segmento A- de longitud igual a 12 se desplaza de forma "ue A se apo7a constantemente sobre 7 7 - sobre 5. Encontrar el lugar geom+trico "ue describe 9?X@ A situado sobre A- a ) unidades de A. 9ara la ecuación obtenida: Especificar si la misma es una función o una relación. Analizar la simetr8a de la ecuación con respecto a los ejes X 7 . AL ; 12 A9 ; ) 9L ; 4 #omamos el triángulo rectángulo: A++N: %4 A Z ? 2 2 · + X AP Consideraamos los triángulos: A++N 7 +-+NN son semejantes entre si: 4 ) Z · Y AP 4 ) %4 2 · − Y X . Y X 2 %4 2 · − @ EleKamos al cuadrado: %4 - X 2 ; 4 2 .X 2 C 4 2 ; %4 ?^ %4A 1 1% %4 2 2 · + Y X 3ugar .eom+trico: Elipse@ eje ma7or sobre X. 3a figura corresponde a una &elación. Es 5im+trica respecto a los ejes coordenados 7 la origen. Cap. % - 3% X +N +NN A +?X@A - UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.!'. <ada la elipse de ecuación: &5 $ 6 !67 $ @ '65 6 &67 6 '6 8 ). Mallar: !'.1. 3os parámetros de la misma. Agrupamos t+rminos en X e : ,?X 2 - 4XA C 1%? 2 C %A C 3% ; ' Completamos cuadrados: ,?X - 2A 2 - 3% C 1%? C 3A 2 - 144 C 3% ; ' ,?X - 2A 2 C 1%? + 3A 2 ; 144 ?B144A 1 , 3A ? 1% 2A ?X 2 2 · + + − @ < 8 $@ > 8 @ '@ C;$= @ '?@ a 8 * ?sobre XA@ E0 ; 2a ; )@ A 8 ' ?sobre A@ em ; 2b ; %. ( · c @ c ; 26%. E$centricidad: 1 % 6 ' < · · a c e . N+rtices ma7ores: NY>?* - aA@ ED: NY?- 2@ - 3A@ N>?* C aA@ ED: ?%@ - 3A. N+rtices menores: KY>*@ ?E - bD: KY?2@ - %A@ K>*@ ?E C bD: K?2@ 'A. Hocos: HY>?* - cA@ E D: H ?- '6%@ - 3A. H>?* C cA@ E D: H?46%@ - 3A. 3ongitud del latus rectum: a b LR 2 2 · ; 46!. !'.2. 3ugar .eom+trico. !'.3. <ominio 7 &ango. D:P@ $= 6Q R:P@ 6= )Q !'.4. Analizar la simetr8a con respecto a los ejes X6 7 con respecto al origen. Simet2ía co 2especto al eBe 5: ,X 2 C 1%?- A 2 - 3%X C ,%?- A C 3% ; '. <iferente de la ecuación original6 no e$iste simetr8a con respecto al eje X. Simet2ía co 2especto al eBe 7: &;@ 5? $ 6 !67 $ @ '6;@ 5? 6 &67 6 '6 8 ). <iferente de la ecuación original6 no e$iste simetr8a con respecto al eje . Simet2ía co 2especto al o2i4e: &;@ 5? $ 6 !6;@ 7? $ @ '6; @ 5? 6 &6;@ 7? 6 '6 8 ). <iferente de la ecuación original6 no e$iste simetr8a con respecto al origen. Cap. % - 3( X NY?-2@ -3A N?%@ -3A C?2@ -3A KY?2@ -%A K?2@ 'A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.!1. <ada la elipse de ecuación: ,X 2 C 4 2 - 1')X - 32 C 244 ; '. Mallar: !1.1. 3os parámetros de la misma. Agrupamos t+rminos en X e : ,?X 2 - 12XA C 4? 2 - )A C 244 ; '. Completamos cuadrados: ,?X - %A 2 - 324 C 4? – 4A 2 - %4 C 244 ; ' ,?X - %A 2 C 4? – 4A 2 ; 144 ?B144A 1 3% 4A ? 1% %A ?X 2 2 · − + − C;6= *?@ a 8 6 ?sobre A@ A 8 * ?sobre XA@ 2' · c 6 c 8 *F.. N+rtices ma7ores: NY>*@ ?E - aAD6 VN;6= @ $?@ N>*@ ?E C aAD6 V;6= !)?. N+rtices menores: KY>?* - bA@ E D6 JN;$= *?@ K>?* C bA@ E D6 J;!)= *?. Hocos: c 8 *F.@ HY>*@ ?E - cA D6 # R6= @ )F.S@ H>*@ ?EC cA D; # R6= 1F.S. E$centricidad: 1 (! 6 ' < · · a c e . 3atus rectum: a b LR 2 2 · 8 *F.. &ectas directrices: 33Y: e a k Y t · @ 7N 8 @ *F)*@ 7 8 !$F)*. !1.2. 3ugar .eom+trico. D:P$= !)Q. R:P @ $= !)Q. !1.3. <eterminación de las simetr8as. Respecto a 5: ,X 2 C 4?- A 2 - 1')X - 32?- A C 244 ; '. 2o e$iste simetr8a. Respecto a 7: ,?- XA 2 C 1% 2 - 3%?- XA C ,% C 3% ; '. 2o e$iste simetr8a. Respecto al o2i4e: ,?- XA 2 C 1%?- A 2 - 3%? - XA C ,%?- A C 3% ; '. 2o e$iste simetr8a con respecto al origen. Cap. % - 3) N?%@ 1'A NY?%@ - 2A K?1'@ 4A KY?2@ 4A C?%@ 4A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.!2. <ada la ecuación: ,X 2 C 1% 2 - 1')X C 12) C 43% ; '. Mallar: !2.1. 3os parámetros de la misma. ,?X - %A 2 C 1%? C 4A 2 ; 144. 1 , 4A ? 1% %A ?X 2 2 · + + − . * ; %@ E ; – 4@ C;6= – *?@ a 8 * ?sobre XA@ A 8 ' ?sobre A@ ( · c 6 c 8 $F6. E$centricidad@ a c e · ; '6%!. 3atus &ectum@ a b LR 2 2 · ; 46!. N+rtices: NY>?* - aA@ ED6 VN;$= – *?@ N>?* C aA@ ED6 V;!)= – *? . KY>*@ ?E - bAD6 JN;6= @ 0?@ K>*@ ?E C bAD6 J;6= @ !?. Hocos: HY>?* - cA@ ED6 #N;'F*= – *?@ H>?* C cA@ ED6 #;1F6= – *? . Ecuación de las directrices ?33YA: e a h X t · . X ; 126'!@ X ; - '6'!. !2.2. 3ugar .eom+trico@ D:P$= !)Q R:P – 0= – !Q. !2.3. <eterminación de las simetr8as. Respecto a 5: ,X 2 C 1%?- A 2 - 1')X C 12)?- A C 43% ; '. 2o e$iste simetr8a. Respecto a 7: ,?- XA 2 C 1% 2 - 1')?- XA C 12) C 43% ; '. 2o e$iste simetr8a. Respecto al o2i4e: ,?- XA 2 C 1%?- A 2 - 1')?- XA C 12)?- A C 43% ; '. 2o e$iste simetr8a con respecto al origen. Ejercicio %.!3. <eterminar la ecuación de la parábola cu7o K+rtice coincide con el foco de abcisa positiKa de la elipse: 1 , 2! 2 2 · + Y X . 5u directriz es: X -1 ; '. Cap. % - 3, X EBe maIo2 9e la Elipse EBe meo2 9e la Elipse UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 9ara la elipse: 1 , 2! 2 2 · + Y X @ a ; !@ b ; 3@ c ; 4 #;*= )? foco de la elipse 7 K+rtice de la parábola@ 7 considerando la directriz la ecuación gen+rica de la parábola es: ? - EA 2 ; 4a?X - *A@ donde: * ; 4@ E ; '. X ; * - a 1 ; 4 - a a ; 3 Ecuació pe9i9a 9e la pa2áAola: 7 $ 8 !$;5 @ *?. ."$" Ra9io 3ocal 9e la Elipse" Es la recta "ue une el Hoco con un punto cual"uiera de la elipse. Ejercicio %.!4. Mallar ecuaciones de los &adios focales de 9?2@ 3A para la elipse: 1 12 1% 2 2 · + Y X . c 8 t $. #;t $= )? &adio Hocal 9H: 9?2@ 3A 7 H?2@ 'A: 5 8 $. &adio Hocal 9HY: 9?2@ 3A 7 H?- 2@ 'A: '5 @ *7 6 6 8 ). Ejercicio %.!!. Calcular puntos de intersección de las elipses: 1 4 , 2 2 · + Y X 7 1 , 4 2 2 · + Y X . 4X 2 C , 2 ; 3% ?1A ,X 2 C 4 2 ; 3% ?2A ?1A$, - ?2A$4: %! 2 ; 1)' 13 % t · Y = 13 % t · X . 9untos de intersección: , _ ¸ ¸ 13 % @ 13 % 1 P , _ ¸ ¸ − 13 % @ 13 % 2 P . , _ ¸ ¸ − − 13 % @ 13 % 3 P , _ ¸ ¸ − 13 % @ 13 % 4 P . Cap. % - 4' UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.!%. Sn arco semi el8ptico tiene 1!' m de luz 7 4! m de altura má$ima6 calcular la altura de dos soportes Kerticales ubicados en [c\. 9arámetros: a ; (!@ b ; 4! c 2 ; a 2 - b 2 @ c 8 6). 1 2'2! !%2! 2 2 · + Y X para X ; %' 7 8 $0. Ejercicio %.!(. <eterminar el lugar geom+trico de los puntos "ue diKiden a las ordenadas de los puntos de la circunferencia X 2 C 2 ; 2! en la relación 3B!. Y Y ! 3 Z · Z 3 ! Y Y · @ X ; XY 2ueKa ecuación: 2! , Z 2! Z 2 2 · + Y X 1 , Z 2! Z 2 2 · + Y X @ Esta ecuación corresponde a una elipse. Ejercicio %.!). <eterminar el lugar geom+trico de los puntos "ue diKiden a las abcisas de los puntos de la circunferencia X 2 C 2 ; 3% en la relación !B%. Y Y · Z @ X X % ! Z · Z ! % X X · 2ueKa ecuación: 3% 2! Z 3% 2 Z 2 · +Y X 1 3% 2! Z 2 Z 2 · + Y X @ Esta ecuación corresponde a una elipse. Ejercicio %.!,. <eterminar el 3ugar .eom+trico de 9?X@ A tal "ue el producto de las pendientes de las rectas "ue unen + con los puntos fijos A?3@ - 2A 7 L?- 2@ 1A es - %. 3 2 − + · X Y m PA 2 1 + − · X Y m PB % 2 1 . 3 2 − · + − − + X Y X Y 65 $ 6 7 $ + 7 – 65 8 '1 1 A 4 B 1!, ? A 2 B 1 ? A ) B !3 ? A 2 B 1 ? 2 2 · + + − Y X . Cap. % - 41 N?(!@ 'A N?- (!@ 'A K?'@ 4!A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.%'. <eterminar la ecuación de la elipse6 cu7os ejes son paralelos a los ejes coordenados 7 "ue pasa por: 9 1 ?- %@ 4A@ 9 2 ?2@ - 4A@ 9 3 ?- )@ 1A 7 9 4 ?)@ - 3A. Ssamos la Ecuación general de la elipse: AX 2 C C 2 C <X C E C H ; '6 ecuación con ! incógnitas6 definimos "ue A 8 !6 entonces tenemos: 9ara 9 1 ?- %@ 4A: 1%C - %< C 4E C H ; - 3% ?1A 9ara 9 2 ?2@ - 4A: 1%C C 2< - 4E C H ; - 4 ?2A 9ara 9 3 ?- )@ 1A: C - )< C E C H ; - %4 ?3A 9ara 9 4 ?)@ - 3A: ,C C )< - 3E C H ; - %4 ?4A 5istema con 4 ecuaciones 7 4 incógnitas@ para simplificar los cálculos *acemos: ?1A - ?3A: 1!C C 2< C 3E ; 2) ?!A ?2A - ?3A: 1!C C 1'< - !E ; %' ?%A ?4A - ?3A: )C C 1%< - 4E ; ' ?(A &esolKemos el sistema formado por la ecuaciones ?!A@ ?%A 7 ?(A 7 obtenemos: C 8 * D 8 @ * E 8 @ 1. C= D I E e la ecuació ;!? %4 C 24 - 32 C H ; - 3% # 8 @ &$. 5 $ 6 *7 $ @ *5 @ 17 @ &$ 8 ). 1 2! A 1 ? 1'' A 2 ? 2 2 · − + − Y X . 9arámetros: * ; 2@ E ; 1@ a ; 1'@ b ; !@ c ; )6(@ e ; '6)(@ 3& ; !. Cap. % - 42 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.%1. Mallar la ecuación de la figura geom+trica "ue pasa por los centros de las circunferencias "ue son tangente a: CIA ! : 5 $ 6 7 $ 8 ! CIA $ : ;5 @ $? $ 6 7 $ 8 $." CASO I: Consideramos 9?X@ A sobre el Centro de la C4A tangente ?Azul - &adio: & 3 A. C4A 1 : C 1 ?'@ 'A & 1 ; 1 C4A 2 : C 2 ?2@ 'A & 2 ; !. & 2 ; C 2 9 C R ' R ' ; & 2 - C 2 9. C 1 9 ; & 1 C R ' R ' ; C 1 9 - & 1 . ! - C 2 9 ; C 1 9 - 1 1 A 2 ? ! 2 2 2 2 − + · + − − Y X Y X % A 2 ? 2 2 2 2 − + · + − − Y X Y X 3% 12 4 4 2 2 2 2 2 2 + + − + · + + − Y X Y X Y X X 2 2 12 32 4 Y X X + − · − − 2 2 3 ) Y X X + · + 2 2 2 , , %4 1% Y X X X + · + + 1 ) , A 1 ? 2 2 · + − Y X . CASO II: Consideramos 9?X@ A Centro de la C4A tangente ?Azul - &adio: & 4 A. & 2 ; C 2 9 C R * R * ; & 2 - C 2 9. C 1 9 ; R * - & 1 R * ; 9C 1 C & 1 ! - C 2 9 ; 9C 1 C 1 2 2 2 2 A 2 ? 4 Y X Y X + · + − − 2 2 2 2 2 2 4 4 A 2 ? ) 1% Y X Y X X Y X + · + + − + + − − X Y X 4 2' A 2 ? ) 2 2 + − · + − − 2 2 2 1% 1%' 4'' %4 2!% 2!% %4 X X Y X X + − · + + − 144 %4 ,% 4) 2 2 · + − Y X X 1 3 4 A 1 ? 2 2 · + − Y X . 6" /I+ER-OLA" Cap. % - 43 C 2 C 1 9 C 1 C 2 9 & 2 & 1 R ' R ' UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 3ugar geom+trico de todos los puntos "ue cumplen con la condición de "ue la resta de su distancia a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a. +# @ +#N 8 $a. El centro de la Mip+rbola está en el origen del plano cartesiano: Hocos están en H?c@ 'A 7 HY?– c@ oA@ N+rtices del eje ma7or6 eje real o transKersal ?eje transKersoA están posicionados en: N?a@ 'A 7 NY?- a@ 'A 7 N+rtices del eje menor6 eje imaginario o conjugado están posicionados en: K?'@ bA 7 K?'@ - bA. Consideramos el triángulo rectángulo cu7os K+rtices son: C?'@ 'A@ N?a@ 'A 7 K?'@ bA6 la *ipotenusa del mismo es igual a [c\ de donde: c $ 8 a $ 6 A $ . 3atus &ectum: a b LR 2 2 · E$centricidad: 1 2 2 > + · · · a b a a c PM PF e . Cap. % - 44 N?a@ 'A N?-a@ 'A K?'@ bA K?'@ -bA H?c@ 'A UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.%2. <eterminar la ecuación de la *ip+rbola de focos: H?c@ 'A 7 HY?– c@ 'A. +# @ +#N 8 $a. a Y c X Y c X 2 A ? A ? 2 2 2 2 · + + − + − { } { } 2 2 2 2 2 2 A ? 2 A ? Y c X a Y c X + + + · + − 2 2 2 2 2 2 2 A ? A ? 4 4 A ? Y c X Y c X a a Y c X + + + + + + · + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A ? 4 4 2 Y c Xc X Y c X a a Y c Xc X + + + + + + − · + + − 2 2 2 A ? 4 4 4 Y c X a a Xc + + − · − − B – 4a 2 2 A ? Y c X a a Xc + + · + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Y c Xc X a Xc a c X + + + · + + 2 2 2 2 2 2 2 Y a c a X c a + , _ ¸ ¸ − · − <iKidimos por: b 2 ; c 2 - a 2 . 1 2 2 2 2 · − b Y a X Ec" Caóica /ipD2AolaF Cet2o e el o2i4eF eBe 2eal soA2e 5. Lo4itu9 9el eBe maIo2: E0 ; 2a. Lo4itu9 9el eBe meo2: em ; 2b. Ecuació 9e la 2ecta 9i2ect2i: LLN: e a X t · Latus Rectum: a b LR 2 2 · Ecuació 9e las Asítotas ?si la ecuación de la *ip+rbola la igualamos a cero tenemos una diferencia de cuadradosA: ' · , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ + b Y a X b Y a X X a b Y t · . Ec" Caóica 9e la /ipD2AolaF EBe Real GG 5F cet2o 9espla:a9o 9el o2i4e C ?*@ EA: 1 A ? A ? 2 2 2 2 · − − − b k Y a h X . N F?* t aA@ EG H F?* t cA@ EG 33Z: e a h X t · . As8ntotas: ' · , _ ¸ ¸ − − − , _ ¸ ¸ − + − b k Y a h X b k Y a h X A ? h X a b k Y − t · . Cap. % - 4! UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.%3. <eterminar la ecuación de la *ip+rbola de focos: H?'@ cA 7 HY?'@ - cA. a c Y X c Y X 2 A ? A ? 2 2 2 2 · + + − − + <espejamos 7 eleKamos al cuadrado ambos t+rminos: 2 2 2 2 2 2 2 A ? A ? 4 4 A ? c Y X c Y X a a c Y X + + + + + + · − + 2 2 2 2 2 2 2 2 A ? 4 4 2 c Yc Y c Y X a a c Yc Y + + + + + + · + − 2 2 2 A ? 4 4 4 c Y X a a Yc + + · − − B 4a 2 2 A ? c Y X a a Yc + + · + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c Yc Y X a Yc a c Y + + + · + + 2 2 2 2 2 2 2 a c X a a c Y − · − , _ ¸ ¸ − <iKidimos por: b 2 ; c 2 - a 2 . 1 2 2 2 2 · − b X a Y . Ec" Caóica /ipD2AolaF Cet2o e el o2i4eF EBe 2eal soA2e 7. Asítotas: X b a Y t · focos sobre el eje Ec" Caóica 9e la /ipD2Aola= EBe Real GG7F cet2o 9espla:a9o 9el o2i4e C;<= >?: 1 A ? A ? 2 2 2 2 · − − − b h X a k Y . N F*@ ?E t aAG H F*@ ?E t cAG 33Z: e a k Y t · . As8ntotas: A ? h X b a k Y − t · . Ecuació 4ee2al 9e la /ipD2Aola: A5 $ 6 C7 $ 6 D5 6 E7 6 # 8 ). si4;A? 8 – si4;C?" Cap. % - 4% UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.%4. 9ara la ecuación *5 $ @ 6*7 $ 8 $.66 <eterminar: %4.1. 3ugar .eom+trico. <iKidimos por 2!%: 1 4 %4 2 2 · − Y X Mip+rbola@ centro C?'@ 'A6 eje transKerso sobre X. a 8 1= A 8 $= c 8 1F$. %4.2. 9osición de los K+rtices. V;1= )?= VN;@ 1= )? J;)= $?= JN;)= @ $?. %4.3. 9osición de los focos. #;c= )?: ;1F$= )? #N;@ c= )?: ;@ 1F$= )?. %4.4. 3a e$centricidad. a c e · @ e 8 !F)$.. %4.!. 3ongitud del 3atus &ectum. a b LR 2 2 · @ LR 8 !. %4.%. 3a ecuación de las rectas directrices. e a X LL t · : Z . 5 8 0F1 5 8 @ 0F1. %4.(. 3a ecuación de las as8ntotas. ' A 2 ) A? 2 ) ? · − + Y X Y X 4 X Y t · . Ejercicio %.%!. Encontrar la ecuación de la *ip+rbola con C:?'@ 'A6 eje real sobre 6 7 pasa por los puntos 9 1 :?4@ %A 7 9 2 : ?1@ –3A. Ecuación de la *ip+rbola: 1 2 2 2 2 · − b X a Y 9ara 9 1 :?4@ %A: 1 1% 3% 2 2 · − b a 2 2 2 2 1% 3% b a a b · − ?1A. 9ara 9 2 :?1@ – 3A: 1 1 , 2 2 · − b a 2 2 2 2 , b a a b · − ?2A. &esolKiendo: ?1A - 4?2A: - 12a 2 ; - 3a 2 b 2 A $ 8 *@ a $ 8 '6G.. 1 4 ! B 3% 2 2 · − X Y . 3 6 3 ! !% 2 2 · · + · b a c . E$centricidad: a c e · @ e ; 1624. ,) 6 2 2 2 · · a b LR . Asintotas: ' 2 ! B % 2 ! B % · , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − X Y X Y X Y ! 3 · X Y ! 3 − · Cap. % - 4( UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.%%. 9ara la ecuación 6*7 $ @ *5 $ 8 $.66 <eterminar: %%.1. Higura geom+trica. 1 %4 4 2 2 · − X Y Mip+rbola@ Centro en el origen6 eje transKerso sobre el eje . a 8 $ A 8 1 c $ 8 61 c 8 1F$. %%.2. 9osición de los K+rtices. V;)= $? VN;)= @ $? J;1= )? JN ;@ 1= )?. %%.3. 9osición de los focos. #;)= c?: ;)= 1F$? #N;)= @ c? : ;)= @ 1F$?. %%.4. 3a e$centricidad. a c e · @ e 8 *F!. %%.!. 3a longitud del latus rectum. a b LR 2 2 · LR 8 6*. %%.%. Ecuación de las rectas directrices. ; t aBe. 7 8 t )F.. %%.(. Ecuación de las as8ntotas. 4 X Y t · focos sobre el eje . Ejercicio %.%(. 9ara la siguiente ecuación: *&7 $ @ !65 $ 8 01* Mallar: %(.1. N+rtices. N?'@ C 4A NY?'@ – 4A@ K?(@ 'A KY?- (@ 'A %(.2. 3os focos. H?'@ )A HY?'@ - )A. %(.3. 3a e$centricidad. e ; 2. %(.4. 3atus &ectum. 3& ; 246!. %(.!. Analizar la simetr8a con respecto a los ejes X e . Ejercicio %.%). 9ara la ecuación 1 , 1% 2 2 · − Y X . <eterminar los parámetros. a ; 4@ b ; 3@ ! 2 2 · + · b a c 2 , 2 2 · · a b LR N+rtices. N: ?t a@ 'A V: ;t *= )?. Hocos. H: ?t c@ 'A #: ;t .= )?" <irectrices. 4 ! · · a c e <irectrices: ! 1% t · t · e a X As8ntotas. X Y 4 3 t · Ejercicio %.%,. 9ara cada ecuación: Analizar la relación entre a6 b 7 c. Cap. % - 4) UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas %,.1. 1 , 1% 2 2 · − Y X 4 1% 3 2 − · X Y a ; 4@ b ; 3@ c ; !@ 3& ; 46!. ! % ( %,.2. 1 2' 1% 2 2 · − Y X 4 A 1% ? 2' 2 − · X Y a ; 4@ b ; 464(@ c ; %@ 3& ; 1'. ! % ( t3.3! ! %,.3. 1 4) 1% 2 2 · − Y X 4 A 1% ? 4) 2 − · X Y a ; 4@ b ; %6,@ c ; )@ 3& ; 24. ! % ( t!.1, t(.(4 %,.4. &7 $ – !65 $ 8 !** 4 A 1% ? 3 2 − · Y X a ; 4@ b ; 3@ c ; ! 3& ; 46! N?'@ t4A H?'@ t!A 4 t! t% t( %,.!. $)7 $ – !65 $ 8 '$) 4 A 1% ? 2' 2 − · Y X a ; 4@ b ; 4.4(2@ c ; % 3& ; 1' 4 t! % t( ! %,.%. *17 $ – !65 $ 8 061 4 A 1% ? 4) 2 − · Y X a ; 4@ b ; %.,2@ c ; ) 3& ; 24 4 t! t% t) t12 Ejercicio %.('. <eterminar la ecuación de la tra7ectoria de un punto "ue se mueKe de manera "ue su distancia al punto ?!@ 'A es: ('.1. !B4 de su distancia a la recta X - 1%B! ; '. A ! 1% ? 4 ! A ! ? 2 2 − · + − X Y X A 2! 2!% ! 32 ? 1% 2! 2! 1' 2 2 2 + − · + + − X X Y X X , 1% , 2 2 − · + − Y X 1 , 1% 2 2 · − Y X Cap. % - 4, UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas ('.2. ?!B3A de su distancia a la recta: X - ,B! ; '. A ! , ? 3 ! A ! ? 2 2 − · + − X Y X A 2! )1 ! 1) ? , 2! 2! 1' 2 2 2 + − · + + − X X Y X X 1% , 1% 2 2 · −Y X 1 1% , 2 2 · − Y X Ejercicio %.(1. Ra9io 3ocal 9e la <ipD2Aola: recta "ue une los focos con un punto de ella. Mallar las ecuaciones de los radios focales de 9? 3 4 @ % A para: 1 1% , 2 2 · − Y X . a 8 '@ A 8 *@ c 8 .. +# 8 0 +#N 8 !'. <iferencia entre los radios focales es igual a la longitud del eje ma7or. +#N @ +# 8 6. Ejercicio %.(2. /ipD2Aolas coBu4a9as: si se cambian los ejes real e imaginario de ambas@ para encontrar la ecuación conjugada de una *ip+rbola se cambian los signos de los coeficientes de X 2 e 2 . 9ara 1 1% , 2 2 · − Y X 6 encontrar su conjugada. a 8 '@ A 8 *@ c 8 .. HFt !@ 'G Asintotas: ' 4 3 4 3 · , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − Y X Y X X Y 3 4 t · 1 , 1% 2 2 · − X Y . a 8 *@ A 8 '@ c 8 .. HF '@ t !G Asintotas: ' 3 4 3 4 · , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − X Y X Y X Y 3 4 t · . Ejercicio %.(3. Encontrar el 3ugar .eom+trico de los centros de las circunferencias "ue son tangentes a las circunferencias con centro en C 1 :?– 4@ 3A 7 & 1 ; ! 7 C 2 : ? 4@ 3A 7 & 2 ; 2. C4A 1 : ?X C 4A 2 C ? - 3A 2 ; 2! C4A 2 : ?X - 4A 2 C ? - 3A 2 ; 4 E$iste una circunferencia en el medio de ambas 7 tangente a ambas con los puntos de tangencia en: 9 #1 : ?1@ 3A 7 9 #2 : ?2@ 3A C4A 3 : ?X - *A 2 C ? - EA 2 ; 1B4 ?1 - *A 2 C ?3 - EA 2 ; 1B4. ?2 - *A 2 C ?3 - EA 2 ; 1B4 1 - 2* C * 2 - 4 C 4* C 4* - * 2 ; '2* ; 3 < 8 'G$ > 8 ' Cap. % - !' UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Consideramos una circunferencia6 gen+rica6 tangente a C 1 7 C 2 6 con centro en C?X@ A 7 radio &: Escribimos las distancias: C 1 C ; ?! C &A ?1A C 2 C ; ?2 C &A ?2A Macemos: ?1A - ?2A C 1 C - C 2 C ; ?! C &A - ?2 C &A ; '" 3 A 3 ? A 4 ? A 3 ? A 4 ? 2 2 2 2 · − + − − − + + Y X Y X 6 2 2 2 2 A 3 ? A 4 ? 3 A 3 ? A 4 ? − + − + · − + + Y X Y X eleKamos al cuadrado: 2 2 2 2 2 2 A 3 ? 1% ) A 3 ? A 4 ? % , A 3 ? 1% ) − + + − + − + − + · − + + + Y X X Y X Y X X 2 2 A 3 ? A 4 ? % , 1% − + − · − Y X X eleKamos al cuadrado: 2 2 2 A 3 ? 3% A 1% ) ? 3% )1 2)) 2!% − + + − · + − Y X X X X 6 4,! A 3 ? 3% 22' 2 2 · − − Y X 6 1 4 B !! A 3 ? 4 B , 2 2 · − − Y X @ < 8 )= > 8 '= C / : ;)= '? a 8 !F.= A 8 'F0= c 8 *= e 8 $F0= LR 8 !1F'. Cap. % - !1 C4A1 C4A2 C4A .en+rica C 1 ?-4@3A C 2 ?4@3A C?X@A & 1 & & 2 & UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.(4. 3a pendiente de la tangente a una *ip+rbola: A $ 5 $ – a $ 7 $ 8 a $ A $ F es: Y a X b m T 2 2 · . <emostrar "ue la tangente en 9: ?X@ A biseca al ángulo formado por las rectas "ue Kan desde dic*o punto a los focos: H?c@ 'A 7 HY?– c: 'A. c $ 8 a $ 6 A $ 9endiente de la recta 9H: c X Y m PF − · 9endiente de la recta 9HY: c X Y m PF + · Z A4ulo et2e 9os 2ectas: 2 1 1 2 1 tg m m m m + − · θ Angulo definido entre +#N 7 la tangente por +;5= 7?: c X Y m m PF + · · Z 1 Y a X b m m T 2 2 2 · · XY b cY a XY a cX b Y a X b XY b cY a XY a Y a cX b X b c X Y Y a X b c X Y Y a X b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tg + + + − · + + − + · + + + − · α Cap. % - !2 HY?Oc@'A H?c@'A 9?X@ A α β UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas A ? A ? A ? A ? tg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a cX cY cX a b cY a XYc cX a b cY a b a XY cX b b a + + · + + · + + + · α cY b 2 tg · α " Angulo definido entre +# 7 la tangente por +;5= 7?: Y a X b m m T 2 2 1 · · c X Y m m PF − · · 2 cY b a cX cY a cX b cY a XYc b a cX b cY a b a XY cX b X b Y a Y a X b c X Y Y a X b c X Y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A ? A ? A ? 1 tg · − − · − − · − + + − · − + − − · β t4α 8 t4β ··> α 8 β LCDD" Cap. % - !3 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.(!. Sna se_al luminosa parte de un punto 9?'@ - )A dirigi+ndose al foco H?%@ 'A de un espejo *iperbólico de ecuación: 1 2' 1% 2 2 · − Y X . <eterminar: (!.1. El punto del espejo *iperbólico donde incide el ra7o. (!.2. 3a ecuación de la recta de la tra7ectoria de la se_al luminosa reflejada en el espejo 7 "ue se dirige al otro foco HY. 9arámetros de la *ip+rbola: a 2 ; 1%@ b 2 ; 2'@ c ; %. Hocos: H?%@ 'A@ HY? - %@ 'A. El ra7o "ue sale de 9?'@ - )A se dirige a H?%@ 'A siguiendo la l8nea recta +# de ecuación: )X - % - 4) ; ' ?1A. 9ara determinar el punto del espejo *iperbólico donde incide el ra7o resolKemos el sistema de ecuaciones: )X - % - 4) ; ' ?1A. A % ? 3 4 − · X Y 2'X 2 - 1% 2 ; 32' ?2A. en la Ecuación ?2A: 1,X 2 - (%)X C 3.'24 ; ' 42 6 4 1, )4 1 · · X X 2 ; 3% ?se despreciaA. 9unto de incidencia sobre el espejo *iperbólico: A 1, 4' @ 1, )4 ? − H P . #ra7ectoria del ra7o reflejado "ue pasa por HY6 recta entre: A 1, 4' @ 1, )4 ? − H P 7 H?- %@ 'A $)5 6 &&7 6!$) 8 ). Cap. % - !4 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.(%. 3a recta directriz de una cónica es X C 1 ; '@ uno de los focos está ubicado en H?4@ - 3A 7 su e$centricidad e ; 2B3. <eterminar: (%.1. 3a ecuación de la cónica. <efinición general de cónicas: 3 2 · · PM PF e 90 ; ?X C 1A 2 2 2 A 3 ? A 4 ? + + − · Y X PF ,?9HA 2 ; 4?90A 2 . ,>?X - 4A 2 C ? C 3A 2 D; 4?X C 1A 2 . !?X - )A 2 C ,? C 3A 2 ; 1)' 1 2' A 3 ? 3% A ) ? 2 2 · + + − Y X (%.2. El centro de la cónica. * ; )@ E ; - 3@ C;1= - '? (%.3. 3a longitud del semi eje ma7or 7 del semi eje menor. a ; %@ 2' · b @ c ; 4 (%.4. 3os K+rtices@ el otro foco 7 la longitud del latus rectum. N>?* C aA@ ED N>14@ - 3D NY>?* - aA@ ED N>2@ - 3D H>?* C cA@ ED H>12@ - 3D HY>?* - cA@ ED HY>4@ - 3D 3 2' 2 2 · · a b LR &ecta <irectriz: X ; * C aBe ; 1( X ; * - aBe ; - 1. Cap. % - !! UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.((. Mallar la ecuación "ue describa el 3ugar .eom+trico de 9?X@ A el cual se desplaza en el plano cartesiano de modo "ue la resta de distancias del mismo a dos puntos fijos: H?(@ 1A 7 HY?– 3@ 1A es permanentemente igual a ). 9HY - 9H ; 2a ) A 1 ? A ( ? A 1 ? A 3 ? 2 2 2 2 · − + − + − + + Y X Y X &5 $ – '65 @ !6;7 @ !? $ 8 !)1" ,?X - 2A 2 - 1%? - 1A 2 ; 144. 1 , A 1 ? 1% A 2 ? 2 2 · − − − Y X 3ugar .eom+trico: Mip+rbola. Eje BB X. a 8 *= A 8 '= c 8 .= < 8 $= > 8 !@ 2! 6 1 4 ! · · · a c e = ! 6 4 2 , 2 2 · · · a b LR . VR;< 6 a?= >S : R6= !S VNR;< @ a?= >S : R@ $= !S #R;< 6 c?= >S : R0= !S VNR;< @ c?= >S : R@ '= !S &ectas directrices: 33Y: e a h X t · 2 6 ! ! 1% 2 1 · + · X 2 6 1 ! 1% 2 2 − · − · X . As8ntotas: ' 3 1 4 2 3 1 4 2 · , _ ¸ ¸ − + − , _ ¸ ¸ − − − Y X Y X ' 3 1 4 2 · , _ ¸ ¸ − − − Y X ,X - 4 - 14 ; ' ' 3 1 4 2 · , _ ¸ ¸ − + − Y X ,X C 4 - 22 ; '. Cap. % - !% UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.(). <ados: 9?X@ A@ un punto fijo foco H?c@ 'A 7 un punto 0 de una recta c a X 2 · @ <emostrar "ue el 3ugar .eom+trico del cociente de distancias: PM PF e · 6 es una cónica de e$centricidad a c e · . <istancia 2 2 A ? Y c X PF + − · . <istancia c a X PM 2 − · . a c c a X Y c X PM PF · − + − · 2 2 2 A A ? A ? A A ? 2 2 2 c a X a c Y c X − · + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a cX X a c Y c cX X + − · + + − A ? A ? 2 2 2 2 2 2 2 c a Y X a c a − · + − diKidimos por ?a 2 - c 2 A 1 A ? 2 2 2 2 2 · − + c a Y a X Elipse: a 2 ; b 2 C c 2 . ?a 2 – c 2 A I ' e K ! 1 2 2 2 2 · + b Y a X . /ipD2Aola: a 2 ; c 2 - b 2 . ?a 2 – c 2 A J ' e L ! 1 2 2 2 2 · − b Y a X . +a2áAola: se tiene para: c ; a e ; 1 9H ; 90 : A ? A ? 2 2 a X Y a X + · + − 2 2 2 A ? A ? a X Y a X + · + − 2 2 2 2 2 2 2 a aX X Y a aX X + + · + + − aX Y 4 2 + · Ecuación de la +a2áAola con K+rtice en el origen@ H?a@ 'A abertura *acia el lado positiKo de las X 7 eje sobre el eje X6 recta directriz en X ; – a. Cap. % - !( UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 0" A+LICACIONES DE LAS C%NICAS" 0"!" Aplicacioes 9e la pa2áAola" 5i la parábola está formada por un elemento reflector6 un ra7o de luz "ue emerge del #oco e incide sobre la parábola se reflejará en paralelamente al eje de la misma ?perpendicular a la directrizA. los ra7os "ue incidan sobre la parábola paralelos al eje se reflejarán pasando por el foco. 3as parábolas se usan en los fenómenos donde interesa *acer conKerger o diKerger un ra7o de energ8a@ Antenas parabólicas ?Sn sat+lite enK8a información a la #ierra6 los ra7os serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la "ue se encuentra el sat+lite6 al reflejarse en el plato de la antena ?blanca6 casi siempreA los ra7os conKergen en el foco6 donde se encuentra un receptor "ue decodifica la informaciónA6 Haros de autos ?están formados por un paraboloide6 parábola en 3 dimensiones6 de espejos 7 una bombilla en el foco de este paraboloideA6 Mornos solares. 3os micrófonos de ambiente en algunos deportes tambi+n tienen forma paraboloidal. En algunas lámparas se puede moKer la bombilla del foco 7 los *aces de luz diKergerán o conKergerán. 0"$" Aplicacioes 9e la elipse" 9ropiedades de refle$ión similares a la parábola6 si colocamos un emisor de ondas en un foco6 estas se reflejarán en las paredes de la elipse 7 conKergerán en el otro foco. 9ara el estudio de las órbitas planetarias se usan ecuaciones de elipses ?orbitas el8pticasA. En medicina se usa el litotritor para desintegrar `cálculos` renales ?3itotripsiaA por medio de ondas intra–acuáticas de c*o"ue. 5e coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente6 en un foco se pone un generador de ondas6 el otro foco se localiza en los `cálculos` al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas conKergerán en el `cálculo` 7 este se desintegra. Cailla! o galer"a! de los secretos: estructuras con tec*os elipsoidales@ se puede o8r a una persona "ue está en un foco desde el otro foco 7 las personas "ue están entre los dos focos no oirán nada. Cap. % - !) UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas 0"'" Aplicacioes 9e la <ipD2Aola" 9ropiedades de refle$ión análogas a la elipse. 5i se dirige un *az de luz dirigido al Hoco ?#A de un espejo *iperbólico6 se reflejará en la *ip+rbola antes de llegar a +l6 dirigi+ndose al otro Hoco ?#NA. 5i colocamos una fuente de luz en # el *az incide sobre la misma 7 se refleja dando la impresión "ue proKiene de #N. Telescopios: Stiliza la parábola conjuntamente con la *ip+rbola. El *az incidente llega paralelamente al eje de un espejo parabólico6 se refleja al foco "ue coincide con el foco de un reflector *iperbólico6 7 antes de llegar a dic*o foco se refleja en el espejo *iperbólico llegando al otro foco de la misma6 donde está el ocular. Locali:ació 9el lu4a2 9e 9o9e emaa ua seTal: ?U 9ispa2oA se tienen tres estaciones de escuc*a: A@ - 7 C. 3as estaciones A 7 L coinciden con los focos de la <ipD2Aola ! ?/!A. 3as estaciones L 7 C coinciden con los focos de la <ipD2Aola $ ?/$A6 la fuente del sonido ?SA está en la intersección de /! con /$. E$iste una diferencia de las distancias "ue recorren ambas se_ales 7 eso ocasiona una pe"ue_a diferencia de tiempo ?∆TA en la captación de las se_ales. Ecuación de la *ip+rbola: 9H - 9HY ; 2a. Cap. % - !, UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.(,. En un punto S del plano cartesiano se emite una se_al en un tiempo T ) @ se recibe la se_al en A en un tiempo T A @ en - en T - 7 en C en un tiempo T C . <eterminar la posición de S. 3a fórmula para: Nelocidad: T D V · <istancia recorrida: < ; N.#. 3a distancia de 5 a A: SA ; N.?T A - T ) A ?1A. 3a distancia de 5 a L: S- ; N.?T - - T ) A ?2A. 3a distancia de 5 a C: SC ; N.?T C - T ) A ?3A. Macemos ?1A - ?2A: SA - S- ; N?T A - T - A ; Q. <iferencia de distancias constante Mip+rbola 1: SA - S- ; N?T A - T - A ; 2a 1 . El punto S está sobre la rama de la *ip+rbola ?1A con focos en A 7 L6 con una distancia entre K+rtices 2a 1 ; N?T A - T - A. Macemos ?2A - ?3A: S- - SC ; N?T - - T C A ; C ; 2a 2 6 Mip+rbola 2. El punto S está tambi+n sobre la rama de la *ip+rbola ?2A cu7os focos están posicionados en los puntos L 7 C6 con una distancia entre K+rtices 2a 2 ; N?T - - T C A. El puto S está e la ite2secció 9e las 9os <ipD2Aolas. Cap. % - %' UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas Ejercicio %.)'. En A@ L 7 C e$isten estaciones de escuc*a. C esta a %'' m al este de L 7 A está a %'' m al norte de L. El sonido del disparo de ca_ón ubicado en S llega a A 7 L simultáneamente 1 seg despu+s de *aber sido captado en C. <eterminar las coordenadas del ca_ón. UAica2 el sistema ca2tesiao mo9o Cue las estacioes - I C estD soA2e 5F 3ocos 9e ua <ipD2AolaF el o2i4e e la mita9 9e amAas" Veloci9a9 9el soi9o ''. mGse4" 9osición de los focos: L?- 3''@ 'A C?3''@ 'A A?- 3''@ %''A. Hórmula de la distancia: < ; N.# SA ; N.?T A - T ) A ; S-. ?El disparo proKeniente de S llega a ambas estaciones en forma simultáneaA. 2 2 A 3'' ? Y X $B + + · 2 2 A %'' ? A 3'' ? − + + · Y X $A 2 2 2 2 A %'' ? A 3'' ? A 3'' ? − + + · + + Y X Y X 7 8 ')). SA - SC ; N.?T A - T C A ; N?∆TA ; N?1 segA ; N ; 33!. 33! ,'''' A 3'' ? ,'''' A 3'' ? 2 2 · + − − + + X X . 5 8 $6$. Coordenadas de S: ;$6$= '))? . Cap. % - %1 X X C a s - X X C a s A X X C a s C X X C a S UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Matemáticas II Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Capítulo 6: Cóicas El sistema de naKegación LoRaN ?Lo%g Ra%ge &a'igatio%A usa las propiedades de refle$ión de la *ip+rbola: se tienen dos estaciones de radio6 ubicadas en los focos de una *ip+rbola6 transmitiendo se_ales "ue son captadas por naKes en el mar. E$iste una diferencia en las distancias "ue recorren ambas se_ales 7 e$iste una pe"ue_a diferencia de tiempo en la captación de las se_ales. 5i el barco sigue una ruta de naKegación "ue mantenga constante la diferencia de tiempo se mantendrá constante la diferencia de distancias 7 entonces la ruta de naKegación será una *ip+rbola cu7os focos coinciden con las dos estaciones de radio. 9ara cada diferencia de tiempo se tiene una tra7ectoria *iperbólica diferente6 cada una lleKando al barco a un puerto diferente. 3as cartas de naKegación muestran las diferentes rutas *iperbólicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas. Ejercicio %.)1. <os estaciones 3o&a2 están separadas !'' Em sobre la costa. Sn barco registra una diferencia de tiempo de '6''')% seg entre las se_ales 3/&A2. )1.1. <eterminar los K+rtices de la *ip+rbola en cu7os focos están las estaciones 3o&an. El barco naKega sobre la rama de una *ip+rbola cu7os focos coinciden con las posiciones de las estaciones de radio6 Kelocidad de la se_al de radio: 3''.''' QmBseg. <iferencia de <istancia ; Nelocidad.?<iferencia de tiempoA ∆< ; N.∆#. ∆< ; ?3''.'''A?'6''')%A ; 2!) Em ; 2a@ la distancia entre K+rtices6 por la definición de *ip+rbola: 2a ; 2!) a ; 12, N?12,@ 'A NY?- 12,@ 'A . )1.2. T<ónde el barco alcanzará la costa si continRa sobre la tra7ectoria *iperbólica "ue corresponda a la diferencia de tiempo arriba citadaU. H?2!'@ 'A HY?- 2!'@ 'A El barco llegará a la costa a 2!' - 12, ; 121 Em de la estación principal "ue está en H. Cap. % - %2