Cap. 5 - Sistemas de Un Grado de Libertad

5 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD5.1 INTRODUCCIÓN Para el estudio de la vibración de sistemas estructurales es necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisión de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos útiles en la comprensión de sistemas dinámicos más complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solución de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, así como ser parte de la solución de problemas con mayor número de variables que pueden reducirse a una combinación de sistemas de un GDL. "Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que sólo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada" [ Ref. 1 ] • El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente. • Las [ Ref. # ] indican las referencias bibliográficas listadas al final de cada Capítulo. 2 5.2 MODELOS CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. 5.3: ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 3 F(t) - k.u = m.ü (5.2) La viga simplemente apoyada o el pórtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1 pueden ser representados aproximadamente por un sistema de masa concentrada y resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad (GDL). m Normalmente es más conveniente usar el principio de D'Alembert de acuerdo al cual el equilibrio dinámico puede ser enforzado en cualquier instante añadiendo a las fuerzas externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleración, m.ü, que se opone al movimiento, o sea orientada en el sentido negativo del desplazamiento. De esta forma el equilibrio será: (Fig. 5.3) u m k u u k m k k k F (t ) = F . f (t ) ∆ m ∆ k∆ = mg m u m F (t ) = F . f (t ) uestático u m uestático u dinámico F (t ) = F . f (t ) Fig. 5.1 Sistemas de un grado de libertad (1 GDL) Posición Neutra F Se han desarrollado, inclusive, métodos modernos para el análisis inelástico simplificado de estructuras de edificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL cuyo resorte presenta características fuerza-deformación inelásticas y multilineales [ Ref. 10 ]. 5.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL puede obtenerse de múltiples maneras: a) Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a b) Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio. c) Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales. d) Aplicando el Principio de Hamilton o conservación de la energía del sistema. En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 5.1 se puede apreciar que la masa está sometida a una fuerza F(t), que varía con el tiempo. El resorte es elástico, así que la fuerza interna es siempre igual al producto de “ k.u ” . Nótese que no se incluye el peso ya que u es siempre medido desde la posición neutra tal como se puede ver en la Fig. 5.2 . En dicha figura se ve que equivale a suponer inicialmente una masa sin peso. La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleración imprimida. O sea: F = m.a (5.1) k ( ∆ + u est ) = mg + F u est = F / k a) Posición de Reposo b) Equilibrio Estático F(t) - k.u - m.ü = 0 m.ü + k.u = F(t) = F.f(t) c) Equilibrio Dinámico Fig. 5.2 Diagrama de cuerpo libre ku && u ku && mu m && u F (t ) m F (t ) && mu Fig. 5.3 u es siempre medido desde la posición neutra por ello no se incluye el .................. peso F(t) - k.u - m.ü = 0 ó m.ü + k.u = F(t) = F.f(t) (5.3) (5.4) Esta ecuación relaciona la aceleración ü (d 2 u / d t 2), la fuerza en el resorte, y la fuerza aplicada en cualquier instante en el tiempo. Corresponde a una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. La solución da la respuesta del sistema, o sea, la variación de u con el tiempo. Esta puede ser escrita como Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO INGENIERÍA SISMORRESISTENTE 5.4 Vibración libre de un grado de libertad (1 GDL) Haciendo ω = k y los desplazamientos y velocidad iniciales: m u (t = 0) = u 0 & & u (t = 0) = u 0 La Ec. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . o sea se repite cada cierto tiempo.5 RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES Es útil analizar la respuesta de un sistema de 1 GDL a algunas excitaciones simples.4 VIBRACIÓN LIBRE Cuando la fuerza F(t) es igual a cero estamos ante el caso de la vibración libre. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. el desplazamiento.en un impulso inicial que se traduce en una vibración. 5. Como se observa en la Fig. que involucra dos constantes de integración. o ambos. o velocidad. En este caso la solución de: m. en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial.1) (5. que tienen una solución analítica. Esta puede producirse debido a ciertas condiciones iniciales (t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora. radianes/segundo (s.5: RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES 5 la suma de la solución general de la ecuación homogénea (segundo miembro cero).9) 5.7) f= Período natural ( T ): ω 1 = 2π 2π k m .6) da la respuesta.4 CAP. INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.6) Frecuencia natural ( f ): ω ) sen ωt + u 0 cos ωt k m .8) T= 1 = 2π f m . y cualquier solución particular de la ecuación completa o general. Las constantes de integración se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt) en el origen del tiempo t = to (normalmente to = 0 ). Hertz (Hz) o ciclos/segundo (5. (5.ü + k.4 el movimiento es periódico. 5.u = 0 es u = A sen k k t + B cos t m m u uo Amplitud −u o a) Desplazamiento inicial u & uo ω Amplitud − & uo ω (5.5) b) Velocidad incial Fig. 5. La ecuación de movimiento es en este caso una ecuación homogénea cuya solución corresponde a la solución general de la ecuación diferencial. o lo que es lo mismo podemos llamarlo armónico con una frecuencia natural o período dados por: Frecuencia natural circular o angular ( ω ): Evaluando las condicione iniciales se consigue: u=( & u0 ω= (5. segundos (s) k (5. a fin de ganar familiaridad con el comportamiento del sistema y con la influencia del período en la respuesta. 19). Ecs.cos ω t] k .16) k k simplificando la Ec. para t ≤ td (5. más la solución particular.A) Pulso Finito.cos ωt) k . para t > td (5.17).15) F1 F ( 1.18) (5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. Suponiendo que el sistema está inicialmente en reposo (desplazamiento y velocidad iniciales iguales a cero).16): u= F1 [ cos ω (t . donde T es el período natural. (5. (Veremos más adelante sin embargo que cuando la fuerza varía en el tiempo después de su aplicación inicial pueden presentarse amplificaciones mayores).1: FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA ( FAD ) 7 La solución de la Ec.18) y (5.11) En la Fig. Pero cuando t > td ya la fuerza no está actuando y se tiene vibración libre con las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad que habían en el instante t = td : (5. para t > td (5. de la fuerza aplicada súbitamente: u máx = 2 u est (5. la solución tiene que obtenerse en dos tramos.5. El FAD es la relación (cociente) entre la respuesta y la deformación (desplazamiento) estática que sería causada por F1. Reemplazando en la ecuación de movimiento up = F1/k (donde lógicamente F1 es constante).14) Considérese el caso de una fuerza aplicada súbitamente y mantenida indefinidamente. 5.cos ω t FAD = cos 2π( t td t . con ω = 2π T . En este caso up = constante. 5. Factor de amplificación dinámica El FAD para ambos casos. la respuesta alcanzará un máximo de 2F1/k. o sea: FAD = F u u u = = .4) consta de dos partes: la solución homogénea uh.19) Es conveniente adimensionar el parámetro tiempo como se indica en las ecuaciones anteriores.5.cos 2π T T T Por consiguiente para el caso anterior.1 Factor de Amplificación Dinámica ( FAD ) Una forma conveniente de adimensionar la respuesta consiste en expresarla en términos de un factor de amplificación dinámica.cos 2π t T 5. u= F1 ( 1 . que corresponde a la solución general de la vibración libre vista en la sección anterior. es decir: FAD = ( 1.17) Fig.Si la fuerza mostrada en la Fig..12) FAD = cos ω (t . Para este caso entonces.5 es aplicada por un cierto tiempo td .5 Carga constante. 5. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .cos ω t y u = u est ⋅ FAD (t) (5. Uno hasta que t ≤ td y otro cuando t > td.cos ωt) FAD= 1.15) y (5.5 se observa la variación de la respuesta con el tiempo.t d ) . 5. u = up + A sen ω t + B cosω t (5. (5. 5. Para el primer caso la solución anterior es aplicable.1.t d ) .cos ω t d )cos ω(t. como máximo una amplificación de 2. son los correspondientes a las Ecs.t d )+ 1 sen ω t d senω ( t − t d ) .y que por lo general corresponde a una que tiene la misma forma matemática que la función excitadora. u est = 1 F1 u estático u est k k . up -que es cualquier solución que satisface la ecuación diferencial. Partiendo de cero. FAD en forma resumida. para t ≤ td (5.6 CAP.cos ω t ) k Cualquier fuerza aplicada súbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema da como resultado.) . (5. (5. Esto también sirve para enfatizar el hecho que INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.10) La fuerza en el resorte será 2 F1.5. la variación en el tiempo del FAD será: FAD (t) = 1 . para t > td (5. F1 FAD 2 u= u= F1 ( 1.13) . si el período es relativamente largo. En ambos casos el efecto del período es muy significativo.5 podemos visualizar que el valor máximo del FAD=2 sólo se alcanzará si td es igual a T/2 y en este caso no importa cuanto más dure la aplicación de la fuerza puesto que el máximo seguirá siendo 2. es decir: m. La respuesta debe ser obtenida en dos etapas. 5. Por otro lado. es la aceleración absoluta requerida para el cálculo de la fuerza inercial (5.y. o sea: u= F1 kt r (t sen ωt Un sismo produce un movimiento de la base de apoyo del sistema.senωt] k ω tr En la Fig. 5. 5. Veamos a continuación que sucede cuando el periodo es relativamente largo o corto: Si el período es relativamente corto.t r ) [1 + . MOVIMIENTO DE LA BASE 5.7 Carga constante con incremento triangular inicial (rampa) Fig 5. lo cual es característico de un sistema flexible. lo cual es carácterístico de un sistema rígido. 5.22) ω ) .21) la razón del tiempo de duración a período natural. En este caso la ecuación del movimiento para el sistema de la Fig.(5.6 se observa la respuesta típica para dos casos de td.6 EXCITACIÓN SÍSMICA.20) INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. u= F1 senω (t . Veamos: Cuando la relación del tiempo de subida de la fuerza al período es grande ( tr / T = 5 / 2 ). Por otro lado. De la Ec.ü + k. y el FAD < 1. ya que los esfuerzos en un sistema resistente son proporcionales al Factor de Amplificación Dinámica..5.y = 0 donde: ü .8 es aquella que relaciona la fuerza inercial del sistema m. Esta es una observación importante. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . 5. y después en un "sobrepasar" a la curva estática de carga.6 Pulso rectangular finito 5. el sistema responde rápidamente.es el parámetro importante. para t ≤ tr (5. - - Fig 5. MOVIMIENTO DE LA BASE 9 . para t > tr (5.6: EXCITACIÓN SÍSMICA. si la relación es pequeña ( tr / T = 1 / 4 ) el sistema responde lentamente debido al período largo. la respuesta máxima ocurre después de que se ha detenido la fuerza. el sistema vibra relativamente rápido y la respuesta simplemente sigue a la curva estática de carga. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. y el efecto de la misma disminuye. td /T -más que el valor real de cualquiera de esas cantidades.ü y la fuerza que se produce en el resorte k. Ello es lógico puesto que antes de que alcanze td ya habrá sobrepasado T/2 y por ende alcanzado el máximo no importando cuanto mas dure la carga. alcanzando la máxima respuesta antes de que la aplicación de la fuerza se detenga. Esto resulta en un primer retraso.11) y de la Fig.7 se muestran dos casos. La respuesta dinámica es considerablemente mayor que la estática.Lo constituye una carga que varía linealmente hasta alcanzar todo su valor en un tiempo tr (este tipo de carga es otro caso de interés). Por consiguiente la máxima respuesta dinámica difiere muy poco de la respuesta estática a F1 ( FAD = 1). Si td < T / 2.1. entonces el FAD será < 1.B) Carga Rampa. resultando el FAD > 1. En la Fig.8 CAP. 5. (5.u = .23) (5.8).9b).8 Sistema de 1 GDL sometido a movimiento de la base Esta ecuación es idéntica a la Ec. 5.=uGo).9 Casos límites INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. TIPOS 11 y . 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. la aceleración máxima de la masa será muy pequeña comparada con la aceleración de la base. 5. Es interesante analizar los casos límite(Fig.10 CAP.4) en donde F(t) ha sido reemplazada por k.9). Por consiguiente las soluciones analíticas obtenidas para fuerzas aplicadas pueden usarse directamente en este caso.7: AMORTIGUAMIENTO. Al mismo tiempo.ü + k. es el desplazamiento relativo de la masa con respecto al terreno.(u .22) resulta: m. u y = u −u G El movimiento de la base está definido por uG(t). Por otro lado los desplazamientos absolutos y relativos se relcionan mediante y = u uG (ver Fig. f (t ) Fig.24) m m && mu m ky k luego se cumple : u( t ) = u G ( t ) + y( t ) && && u = u G + && y uG (t ) = u Go . Por otro lado. Por facilidad podría descomponerse en una constante arbitraria uGo multiplicada por una función adimensional del tiempo. f(t). 5. la cual al ser sustituida en la Ec. 5. 5. = u Go (a) Sistemas Rígidos m m && && u = uG k →∞ T →0 u (b) Fig. para sistemas muy rígidos(Fig. la masa simplemente sigue a la base resultando en una aceleración máxima de la masa igual a la máxima aceleración de la base y el desplazamiento relativo es prácticamente cero. (5. m - Sistemas Flexibles k →0 && u →0 && uG T →∞ u = y máx. en este caso el suelo alcanzará su máximo desplazamiento antes de que la masa tenga tiempo de reaccionar y por consiguiente el desplazamiento relativo máximo será igual al máximo desplazamiento de la base (ymáx.ü + k.uG) = 0 m.k uGo f(t) (5.9a). Veamos el comportamiento para: Sistemas muy flexibles(Fig. o sea la distorsión del resorte requerida para el cálculo de la fuerza producida en el resorte al ocurrir el movimiento en la base de apoyo del sistema. 5.uG(t) o F1 por k.uGo. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . Es decir: m.31) (5. y la frecuencia amortiguada Para estructuras normales este valor es pequeño y la diferencia puede ser ignorada.22). Indica que la fuerza máxima en el resorte puede ser calculada.26) El amortiguamiento se manifiesta como una disminución de la amplitud del movimiento en cada ciclo debido a la disipación de energía.10 Sistema de 1 GDL con amortiguamiento viscoso La solución de la ecuación homogénea es de la forma: u = e -βωt (A sen ω Dt + B cos ω Dt) donde: (5.25) dividiendo entre m: ÿ + ω2.u = F(t) (5. 5. ωD=ω m c km = 1.8 y la ecuación de movimiento. ω D depende de β .7.u + k.üG(t). para respuestas de larga duración que se extienden por varios ciclos puede ser extremadamente importante. La ecuación de movimiento se convierte en: && & m.22) nos da: m.m üGo f(t) (5. 5. 5. Al derivar la expresión que relaciona los desplazamientos relativos y absolutos se obtiene ü = ÿ + üG la cual al ser sustituida en la ecuación de movimiento (5.32) ümáx = . 5.28) (5.ymáx = 0 && u máx = k .ymáx).32) se tiene ω D = 0.10). La mayoría de las estructuras y suelos presentan amortiguamiento. (5.üGo f(t) (5. Sin embargo.( y máx ) m 2 uu c F( F(t)t ) & ccu u.9987 ω . En la Secc. Ec. Su efecto.7.üG (t) = .ÿ + k.y = . TIPOS 1 2 c cω = mω 2 2k En toda la discusión anterior se ha ignorado la presencia del amortiguamiento. mayor en los suelos. Observando la Fig. Más aún. es evidente que los valores máximos de m. la solución en este caso da el desplazamiento relativo en vez de la respuesta del desplazamiento absoluto.29) (5.12 CAP.25) es nuevamente la ecuación de movimiento normalmente usada en que la fuerza aplicada es -m.ümáx + k.7 AMORTIGUAMIENTO.7. (5.β2 Esta es una expresión general que siempre se cumple excepto cuando hay amortiguamiento en que hay un ligero error.u + c. o sea cuando la respuesta máxima ocurre en uno o dos ciclos de vibración. 5. Es común especificar el movimiento de la base en términos de aceleración más que de desplazamiento.2 se mostrarán expresiones para cuando el movimiento es libre amortiguado.11). 5.ümáx) o de la distorsión del resorte (k. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. pequeño en las estructuras.30) donde c es la constante de amortiguamiento. no es importante para respuestas de corta duración. ku ku & mu -Mü& m M F (t F(t) ) Fig 5. a partir la fuerza de inercia (m.05 según la Ec.1: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO 13 El desplazamiento relativo es posiblemente la variable más importante ya que es indicativo del esfuerzo en el resorte (o sea la estructura). 5. ya que los sismos son precisamente registrados de esta manera.. La diferencia entre la frecuencia no amortiguada. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . ω . y la incógnita representa un desplazamiento relativo (y) en vez de uno absoluto.y = . sin embargo.27) (5. Existe una relación importante entre los valores máximos de la aceleración absoluta y el desplazamiento relativo. Basado en lo dicho en el párrafo anterior se tiene que: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. Este es precisamente el caso de las excitaciones sísmicas.1 Amortiguamiento Viscoso Matemáticamente la forma más simple de considerar el amortiguamiento corresponde a la existencia de un amortiguador viscoso con una resistencia proporcional a la velocidad de deformación (Fig.ymáx ω= β= k .ü y k. c m M k k La Ec.(5.y deben ocurrir simultáneamente.ω . Por ejemplo para β = 0. A continuación sólo se mostrarán como es que varía β pero de una manera general para que así se pueda entender con claridad el concepto del mencionado coeficiente de amortiguamiento.m üG (t) = . Para el caso de un sismo üG(t) no sigue una función analítica simple y será necesario recurrir a procedimientos de integración numérica para conocer la respuesta del sistema (esto se verá en la Secc. que es el efecto del amortiguamiento. 5.ü + ku ± R = F(t) ó m. Por ejemplo para el caso de un desplazamiento inicial uo cuando t = to y no hay velocidad inicial.Cuando β > 1 u = e.7. La masa retornará a su posición original monotónicamente con velocidad decreciente.11 Vibración libre con desplazamiento y amortiguamiento β= c ccrÍt Para estructuras el valor equivalente de ß puede estar entre 0.14 . La solución de esta ecuación es un poco más complicada porque es necesario seguir la fuerza de fricción R que depende del signo de la velocidad.1 Amortiguamiento por Fricción o de Coulomb .33) El valor de c en el que ß = 1 se denomina el amortiguamiento crítico por consiguiente el sistema está críticamente amortiguado. la respuesta sería [ Ref. 5.1.32)). (5. para suelos puede alcanzar entre 0.38) ω D '= ω β -1 2 En este caso el sistema está sobre-amortiguado (Fig. 5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.35) (5.01 y 0. No hay vibración ya que de la Ec.37) (5.β debe ser < 1: CAP.e − βωt Fig 5.12).12 Sistema sobre amortiguado. No hay vibración Es conveniente expresar la variable β como una fracción del amortiguamiento crítico: c crÍt = 2 km (5. (5. m.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO O ESTRUCTURAL 15 Para que exista la vibración (o sea para que ω D sea un número real en las Ec. e − βωt .ü + ku ± R = 0 (para el caso de vibración libre) .36) −u o Fig 5.11) todavía será un movimiento armónico pero multiplicado por una exponencial decreciente. Este tipo de amortiguamiento se introduce en la ecuación de movimiento. 5. o para grandes deformaciones a veces más. Bajo condiciones normales las estructuras presentan una cantidad insignificante de viscosidad.05.32) ω D = 0. con el signo apropiado.1.34) (5.βωt (A senh ω D ' t + B cos h ω D ' t) (5. Tampoco habrá movimiento vibratorio.7. u uo u uo u o . Este tipo de sistemas es el de mayor interés en la dinámica de sistemas sometidos a sismos.20.10 y 0. 2 ] : Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO INGENIERÍA SISMORRESISTENTE . dependiendo de la dirección del movimiento. En realidad el amortiguamiento viscoso y el concepto de viscosidad están asociados con el comportamiento de los fluídos (o flujo plástico en materiales estructurales).Cuando β = 1 u = e-ωt (A + Bt) (5. La respuesta a una perturbación inicial (Fig. agregando una fuerza de fricción R. Las pérdidas de energía bajo movimientos cíclicos se deberán principalmente a la fricción y al comportamiento inelástico (no lineal) de los materiales. Ese es el caso de un sistema sub-amortiguado. 7. de la existencia de ciclos de histéresis.40) donde k(u) representa la rigidez secante del resorte para el desplazamiento u. definiendo a su vez el término decremento logarítmico (Secc.1 Vibración Libre con Amortiguamiento k u k u k u c a) b) c) u & cu m && mu m k Fig 5.14 Resortes inelásticos INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. Un comportamiento similar al caso anterior. 3 ] a) uo u uo u u 5.1). Lo dicho se observa en la Fig. la respuesta . 5.1. El área encerrada por cada lazo representa la energía disipada por ciclo.7. Por ejemplo. A continuación presentaremos la vibración libre con amortiguamiento (Secc.ü + k(u) . puede esperarse para una curva fuerza deformación curvilínea genérica.30) es debido a que se pretendía que en dicha sección el lector entienda de manera clara y concisa el significado del Amortiguamiento Viscoso.2uy sin ninguna pérdida de energía.7. (5.13 se muestra esquemáticamente la variación del desplazamiento con el tiempo para este caso. presentaremos la vibración forzada con amortiguamiento.1. aún si el desplazamiento inicial uo fuera mayor que el desplazamiento de fluencia uy.7.15b. Para un resorte con características fuerza deformación bilineal. 5. 5.2). mostrado el la Fig. luego.. permanecería elástica con la masa oscilando entre uo y uo .7. u - uo u = uo − 4 R t k T - −u o Fig 5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.2.1.7. JAVIER PIQUÉ DEL POZO ku .2. u = F(t) (5. La razón por la cual en la sección anterior no se trataron algunos casos que se desprenden al variar el comportamiento de la fuereza en la Ec.13 Amortiguamiento por fricción o de Coulomb [ Ref. bajo movimientos cíclicos. (Fig. F F F Fig.16 CAP. mostrada en la Fig. 5.15a. 5.7.2. F F F El movimiento se detendrá cuando t = nT/2 donde n es el entero más pequeño que hace R ≥ kuo/2n+1. 5. 5. se tiene que: Para el resorte elástico-perfectamente plástico. 5. 5.2 Casos de Amortiguamiento Viscoso y definición del término Decremento Logarítmico.14).15 Comportamiento inelástico 5.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO O ESTRUCTURAL 17 ⎧⎡ T ⎞ R⎫ R⎤ ⎛ u = (−1) n ⎨⎢uo − (2n + 1) ⎥ cos ω ⎜ t − to − n ⎟ + ⎬ k⎦ 2⎠ k⎭ ⎝ ⎩⎣ (5.15c. 5.5.2. si uo > uy habrá un número finito de ciclos o lazos de histéresis de ancho decreciente y el movimiento se estabilizará eventualmente permaneciendo elástico alrededor de una posición deformada permanentemente.1). En la Fig. Para introducir este tipo de amortiguamiento en el análisis sería necesario escribir una ecuación de movimiento nolineal de la forma: m.39) Interpretar las pérdidas histeréticas en la forma de un amortiguamiento equivalente es difícil para el caso de la vibración libre.2 Amortiguamiento Histerético o Estructural b) c) La pérdida de energía por el comportamiento nolineal de un resorte con características fuerza-deformación inelásticas resultará. cuando la fuerza es constante (Secc. 48) t (5.45b). 5.(5. (5. Entonces según esto.7. (5.1: VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO 19 Ecs. 5.42)): u = C1e r1 t + C 2 e r2 t (5..41) la solución general supuesta y sus derivadas son: u = Ce r & u = C r er && u =Cr e 2 2 ⎛ ⎞ c ⎛ c ⎞ ⎟ − ⎜ r2 = ω ⎜ − ⎟ −1 ⎟ ⎜ 2mω 2mω ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ (5.2.41) en este caso sería la Ec.16: & mü + cu + ku = 0 (5.49a): (5. la Ec. desprendiendose así la INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.45a) y (5.42) t reemplazando estas ecuaciones en la Ec.45) nos indica que en realidad la solución general sería la dada por la Ec.18 Fig 5. Al reemplazar las Ecs. se tiene la solución general de la vibración libre amortiguada: ⎡ ω⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎢ ⎝ ⎢C1e ⎢ ⎣ 2 ⎞ ⎛ c ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎟⋅t ⎟ ⎝ 2 mω ⎠ ⎠ 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎛ c ⎞ ⎟ −ω ⎜ ⎜ ⎟ −1 ⎟⋅t ⎜ ⎝ 2 mω ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ (5. procedemos a plantear la ecuación diferencial que define el movimiento del sistema mostrado en la Fig. (5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. (5.43) (5.47) (5.42).(5. Luego al resolver esta última. a) Sub Amortiguamiento ( β <1 .46) y luego factorizandola. (5. (5. en la que la constante Ci es distinta de cero ya que se desea una solución distinta de la trivial.44) u=e ⎛ c ⎞ −ω ⎜ ⎟ ⋅t ⎝ 2 mω ⎠ r t + C2 e donde C es una constante distinta a la constante c de amortiguamiento.41) se tiene: ( mr 2 + cr + k ) ⋅ Ce r t = 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (5.49) En la sección anterior β = c 2mω = c c crítico fue definido.46) y no como se supuso(Ec.49) quedaría como se muestra en la Ec.46).44) en la Ec.43) y (1.16 Vibración libre amortiguada CAP.. raíces imaginarias) La solución general para la Ec. (5.(5.50) donde r1 y r2 son las raíces de la Ec.. (5.45).49a) ó r2 + c r +ω 2 = 0 m (5. la cual es una ecuación polinómica de segundo grado. 5.(5. luego: u = C1e r1 t + C 2 e r2 t La Ec.45) (5.45a) ⎡ ω⎛ ⎜ u = e −ω β t ⎢C1e ⎝ ⎣ β 2 −1 ⎞⋅t ⎟ ⎠ + C2 e −ω ⎛ β 2 −1 ⎞⋅t ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ donde: mr 2 + cr + k = 0 ⎤ ⎥ ⎦ (5.45b) A continuación veremos las ecuaciones que definen el movimiento de vibración libre amortiguada como resultado del comportamiento de β . JAVIER PIQUÉ DEL POZO . se tiene: 2 ⎞ ⎛ c ⎛ c ⎞ ⎟ ⎜ r1 = ω ⎜ − + ⎜ ⎟ −1 ⎟ 2mω 2mω ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ Recordando que el amortiguamiento viscoso al ser considerado como una resistencia proporcional a la velocidad de deformación es matemáticamente la forma más simple.46) (5. 20 Con i = − 1 dichas raíces serían ahora: CAP.1: VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO 21 pero como β <1 las raíces definidas por las Ec. Veremos que cuando se tiene t o = 0 .60) luego. con ω D ' = ω β 2 − 1 .59) siendo entonces ahora la ecuación general de la siguiente forma: u = e − β ω t C1e i tω (1− β 2 [ 2 1/ 2 ) + C 2 e − i tω (1− β 2 1/ 2 ) ] reemplazando la Ec. (5. es : u = C1e r1 t + C 2 e r2 t ⎧ ⎫ & ⎡ (u o + β ω u o ) ⎤ ⎪ ⎪ ⎨u o cos(ω D (t − t o )) + ⎢ ⎥ sen(ω D (t − t o ))⎬ ωD ⎪ ⎪ ⎦ ⎣ ⎩ ⎭ (5. T D = 2π (ω D ') y con las siguientes relaciones del seno y coseno hyperbólico: eω D b) Amortiguamiento Crítico ( β =1 . (5.60) y evaluando en ella las condiciones iniciales & & to = 0 . (5.57) luego. Quedando entonces las raíces de la siguiente forma: r1 = − β ω + ω β 2 − 1 r2 = − β ω − ω β 2 − 1 (5.46) y (5. raíces iguales) 't = cos h ω D ' t + sen h ω D ' t (5.48) serían iguales. (5.58) r1 = − β ω + i ω 1 − β 2 r2 = − β ω − i ω 1 − β 2 (5. TD = 2π ω D y con las siguientes relaciones de números complejos: e iω Dt simplificándo la Ec. (5.58) en la Ec. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .64) (5.2.52) u = (C1 + C 2 t )e −ω t (5.63) Si to fuese distinto de cero.51b) Por consiguiente la forma de la solución general sería: u = C1 e r1 t + C 2 t e r2 t (5.47) serían imaginarias.56) (5. c) Sobre Amortiguamiento ( β >1 .61) e −iω D t = cos ω D t − i sen ω D t Se debe recordar al lector que habrá movimiento pero éste no será vibratorio ya que ωD = 0 .62) (5. (5.54) (5. Como β =1 las raíces definidas por las Ecs. (5. Es decir : r = r1 = r2 = − β ω = −ω (5. u = uo y u = u o el movimiento queda definido como se muestra a continuación: & u = e −ω t {u o + (u o + ω u o ) t} = cos ω D t + i sen ω D t (5.47) y (5.65) INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.53) (5.47) y (5.55) quedan definidas cuando en ella se evaluan las & & condiciones iniciales.55) Las constantes A y B de la Ec. 5. entonces se tendría: u=e − β ω (t − t o ) y como para este caso la ecuación que define el movimiento debido a que las raíces son reales y distintas. raíces reales) la Ec.59) se tiene ahora: (5. (5.52) queda expresada de la siguiente manera: u = e − β ω t [A cos ω D t + Bsenω D t ] (5. con ω D = ω 1 − β .51a) (5.48) serían reales. u = u o y u = u o el movimiento queda definido como se muestra a continuación: ⎧ ⎫ & ⎡ (u + β ω u o ) ⎤ ⎪ ⎪ u = e − β ω t ⎨u o cos ω D t + ⎢ o ⎥ senω D t ⎬ ωD ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Como β <1 las raíces definidas por las Ec.7. (5.L.73) y teniendo en cuenta la Fig. 5. 23 e −ω D 't = cos h ω D ' t − sen h ω D ' t (5. (5.67) quedan definidas cuando en ella se evaluan & & y u = u o . = Ln (5.56): ⎧ ⎫ & ⎡ (u + β ω u o ) ⎤ ⎪ ⎪ u = e − β ω t ⎨u o cos ω D t + ⎢ o ⎥ senω D t ⎬ ωD ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (5. ya que este tipo de sistemas sometidos a sismos es el caso de mayor interés. ). dicho movimiento viene definido por la Ec.66) ⎧ ⎫ ⎡ (u + β ω uo ) ⎤ & ⎪ ⎪ e− β ω t ⎨uo cos ω Dt + ⎢ o ⎥ senω Dt ⎬ ωD ⎪ ⎪ u( t = t ) ⎦ ⎣ ⎩ ⎭ D.2.1.) a la Ec.1 Decremento Logarítmico ( D.2.72) u (t = t + TD ) donde TD es el periodo natural amortiguado. ).1. (5.L.L. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. Para la vibración libre amortiguada y con β <1. 5.64) quedaría expresada como se muestra a continuación: u = e − β ω t [A cos h ω D ' t + Bsen h ω D ' t ] (5. 5.69) donde: C1 = & u o + ⎡ β + β 2 − 1 ⎤ω u o ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2ω β 2 − 1 (5.L. Entonces se tendría: las condiciones iniciales t o = 0 .71) Finalmente se recuerda al lector que tampoco habrá movimiento vibratorio retornando la masa a su posición original monotónicamente con velocidad decreciente como se indico en la sección anterior.73) Aplicando la definición de decremento logarítmico (D. O sea: u (t = t ) D.67) Las constantes A y B de la Ec.7.L. El decremento logarítmico es el logaritmo neperiano de la relación entre dos picos o amplitudes máximas sucesivas.1: DECREMENTO LOGARÍTMICO ( D. (5.7. u = u o A = C1 + C 2 B = C1 − C 2 (5. = Ln = Ln u( t = t + TD ) ⎧ ⎫ ⎡ (uo + β ω uo ) ⎤ & ⎪ ⎪ e− β ω ( t + TD ) ⎨uo cos ω D ( t + TD ) + ⎢ ⎥ senω D ( t + TD )⎬ ωD ⎪ ⎪ ⎦ ⎣ ⎩ ⎭ la Ec. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .22 CAP.17 se tendrá: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.70) C2 = & − u o − ⎡ β + β 2 − 1 ⎤ω u o ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2ω β 2 − 1 (5.68) (5. 07 – 1.04 π -. Fuerza constante ( F1 ).17 Vibración libre amortiguada.87 – 3. la expresión anterior queda reducida de la siguiente manera: D.24 u u0 CAP. . queda como sigue: D.74) esta última queda como sigue: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE k Fig 5. como el seno y coseno son funciones periodicas.13 1. 5. y para los suelos.76) ωD ω luego al reemplazar la Ec.L. . (5.78) se rescribiría así: u1 = e D. = e 2πβ .17. siendo la mayor “ 1 ”. 25 TD D.2. Dr. u m Ahora si recordamos que ω D = ω 1 − β 2 . = β ω T D (5. ) 88 – 93 % 72 – 88 % 28 – 53 % −u0 Fig 5.05 Albañilería Suelos 0. = Ln = e D.L.75) c F1 & cu ku && mu m F1 2π 2π ≈ → ω T D ≈ 2π (5.02 Concreto y 0. ≈ 2πβ e D..2.79) u2 de manera análoga para amplitudes consecutivas se puede lograr lo siguiente: u j −1 u3 u1 u2 = e 2πβ . FUERZA CONSTANTE ( F1 ).74) D [ D ] Por otro lado.20 π -.04 π .37 1. ≈ 2πβ (5.7. (5. (5.78): u (t = t ) u (t = t ) → D.02 – 0.51 t t + TD t Acero 0. (5.76) en la Ec. L.77) A continuación presentamos una tabla en la que se muestra para el acero.7.L. ≈ e 2πβ (5. = e 2πβ . = e 2πβ uj u2 u3 u4 multiplicando las “j-1”relaciones y simplificando.40 π % de disminución entre dos picos consecutivos para cada ciclo ( 1 / e D.80) 5. Fuerza constante ( F1 ). Además.20 . JAVIER PIQUÉ DEL POZO . 1.L.L.L. L. TD = 2π ω D y que para coeficientes de amortiguamiento pequeño se cumple que: ωD = ω 1− β 2 ≈ ω entonces: TD = (5. = Ln ⎧ ⎫ ⎡ (u + β ω uo ) ⎤ & ⎪ ⎪ e− β ω t ⎨uo cos ω Dt + ⎢ o ⎥ senω Dt ⎬ ωD ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ D e− β ω ( t +T ⎡ e− β ω t ⎤ = Ln ⎢ − β ω ( t +T ) ⎥ ⎧ ⎫ ⎡ (uo + β ω uo ) ⎤ & ⎪ ⎣e ⎦ )⎪ ⎨uo cos ω Dt + ⎢ ⎥ senω Dt ⎬ ωD ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ D al seguir simplificando esta última expresión se tiene: ⎡ ⎤ e −βωt D.78) u (t = t + T D ) u (t = t + T D ) ahora si le asignamos sub índices a las amplitudes.L. concreto y albañilería.2 Vibración Forzada con Amortiguamiento. el porcentaje de disminución entre dos picos consecutivos para cada ciclo: u (t + TD ) u (t ) Material β D.02 π -. = Ln ⎢ − β ω t − β ω T ⎥ = Ln e β ω T . ≈ e 2πβ (5. se consigue la relación buscada: u1 u j = e 2πβ ( j −1) (5. Entonces la Ec.. Basados en el concepto de decremento logarítmico se podría hallar dicha relación.13 – 1. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.18 Vibración forzada amortiguada.10 π .72) se puede rescribir de la manera indicada en la Ec.e ⎣e ⎦ la cual finalmente.L. con periodo amortiguado TD . Sabemos que la Ec. Amplitudes sucesivas. para el caso de las vibraciones libres amortiguadas y con β <1.2: VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO.10 – 0. si se desea conocer la relación de amplitudes de la primera “ 1 ” (la máxima) con una amplitud genérica “ j ” ¿ Cual sería esta relación ?.01 – 0. (5. tal como se aprecia en la Fig 5.. 8 VIBRACIONES ARMÓNICAS.88) vendría a ser la Fig 5. 5.1. Pudo bien haberse tratado a los sistemas sometidos a fuerzas dinámicas F(t) de la forma F1isenΩ t como un caso particular de los sistemas forzados amortiguados en la Secc. (5. También es de utilidad para interpretar el caso de sismos en que un movimiento puede Dr.8: VIBRACIONES ARMÓNICAS.(5.87) t Fig.20 : (5. pero por ser las vibraciones armónicas un caso de particular interés. ω F1 .86) y (5.⎢1 − e − β ω t ⎜ cos ω D t + β . u h .82) uest siendo: u h = e − β ω t [A cos ω D t + Bsenω D t ] (5. (5. u p .88) se tiene: u= F1 k ⎡ ⎛ ⎞⎤ ω .2.2. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .senΩ t. y u p = F1 / k luego. senω D t ⎟⎥ ⎜ ⎟ ωD ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ (5.7. la ecuación diferencial que define el movimiento esquematizado en la Fig. reemplazando las Ecs.7.87) en la Ec. será proporcional al peso desbalanceado y Ω representa la frecuencia circular. que la satisfaga. Veamos cuando se tiene las siguientes condiciones iniciales & & to = 0 .1.84) t Fig. (5.26 F (t ) CAP. 5.2.55)) más la suma de una solución particular.88) Considerando el amortiguamiento viscoso de manera similar que en la Secc. (5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.85) quedan definidas cuando en ella se evaluan las condiciones iniciales. u = uo = 0 y u = u o = 0 . 5. F1. (5.20 Fuerza constante( F1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento. es decir cuando se parte del reposo.85) Las constantes A y B de la Ec. al reemplazar las Ec. Entonces: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE 5. constante al igual que en la sección anterior.86) F1 & u( t = 0 ) = 0 = − β ω B + A ω D → A = −β . solo que en este caso el sistema es forzado. F1 . el movimiento .84) en la Ec.81) u 2 u est la solución general de la Ec.83) (5.19 Fuerza constante ( F1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento. (igual a la de la Secc. 5. (5. ωD k (5.7. por ello es que se prefirió recién tratarlas en esta sección. (5.82).. Es decir: u = uh + u p (5.81) sería la suma de la solución homogenea. F1. Finalmente.5. 27 → u( t = 0 ) = 0 = F1 +B k B=− F1 k (5.senΩt. Los sistemas sometidos a fuerzas dinámicas F(t) de la forma F1isenΩ t corresponden a las excitaciones dinámicas impuestas por máquinas rotatorias con alguna excentricidad (diseño de cimentaciones de máquinas). o velocidad de la máquina. 5. Ec. 5. quedaría definido como sigue: u = e − β ω t [A cos ω D t + Bsenω D t ] + F1 / k (5.18 estaría dada por: & mü + cu + ku = F1 La gráfica que representaría a la Ec.83) y (5. 1 ).u + k.92). El segundo término.31). F1.94) Sumando las Ecs.93).91) El primer término representa un movimiento con la frecuencia natural amortiguada del sistema.. Ec. senΩ t − senδ .2 ⎟ +4 β 2 Ω2 ⎜ ⎟ ω ⎝ ω ⎠ Recordemos que esta última expresión. k u= e-β ω t en la que falta determinar las constantes de integración.94).(5.89).2 ⎟ +4 β 2 Ω2 ⎜ ⎟ ω ⎝ ω ⎠ Dicha ecuación escrita de otro modo. (5. después de algún tiempo su contribución a la respuesta total será despreciable.u + c. si u(0) = uo . cos Ωt ] 2 k 2 ⎛ Ω2 ⎞ 2 Ω ⎜1.28 CAP.. fue el resultado de sumar las contribuciones ligadas a cada tipo de vibración. La solución de uh es la solución general de la Ec. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. veáse la Secc. que es la solución particular. 5.u p (0) + β ω [u o -u p (0)]} & & Previo al análisis de la Ec. 5. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . Dr.8: VIBRACIONES ARMÓNICAS. o sea. representa un movimiento armónico con la frecuencia de la fuerza excitadora Ω.senΩ t. nos indica que la solución completa del movimiento esta compuesta de: (5. Por consiguiente si hay algo de amortiguamiento en el sistema. 29 ser considerado como la superposición de muchas ondas armónicas de diferentes amplitudes y frecuencias. [cos δ . (5..u = F1 sen Ωt (5.95) El primer término de la Ec. o sea el conjunto de las expresiones Ec. la solución completa de la Ec. ωD (recuérdese que para valores de β de interés práctico.94): (5. 5.7. (5. (5. (5.91) es también referido como la contribución de la vibración libre a la respuesta mientras que el segundo representa la vibración forzada.2 ⎟ senΩ t − 2 β cos Ωt ⎜ ⎟ ω F ⎝ ω ⎠ u p =u p ( t )= 1 .11). (5. Su amplitud permanecerá con un valor constante igual a: F1 . (5. y u (0) = u O las constantes serían: A = uo .89) Ω 2 ω 2 δ ⎛ Ω ⎞ ⎜1. Rescribiéndola se tiene la Ec. Ec.2 ⎟ senΩ t − 2 β cos Ωt ⎜ ⎟ ω F ⎝ ω ⎠ (A cos ω D t+Bsenω D t)+ 1 .90) u=uVIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA + uVIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA (5. La solución particular up es de la forma: ⎛ Ω2 ⎞ Ω ⎜1.31) y (5.90) se tiene la solución completa: ⎛ Ω2 ⎞ Ω ⎜1. (5. (5. 2 2 2 k ⎛ Ω ⎞ ⎜1. La amplitud de este movimiento es una función de las condiciones iniciales pero decae exponencialmente(ver Fig. ω D = ω 1.up(0) (5.91) es conveniente que ésta sea rescrita de una manera adecuada para así poder identificar la amplitud de la solución particular con facilidad. (5.92) B= 1 ωD {uo .93): u= e-β ω t 1 F (A cos ω D t+Bsenω D t)+ 1 . (5.2 ⎟ +4 β 2 Ω2 ⎜ ⎟ ω ⎝ ω ⎠ 2 4 β2 && & m.93) INGENIERÍA SISMORRESISTENTE .91) más la Ec.2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ω ⎠ 2 La solución estará constituida por la suma de dos términos. Con ello.2 ⎟ +4 β 2 ⎜ ⎟ ω ⎝ ω ⎠ Amplitud de la solución particualr o del movimiento armónico u p (t) = 1 2 ⎛ ⎞ ⎜1 . 2 2 2 k ⎛ Ω ⎞ ⎜1.Ω 2 ⎟ ⎜ ⎟ ω ⎠ ⎝ 2 + 4 β2 Ω 2 ω 2 (5. Considerando la ecuación de movimiento incluyendo amortiguamiento viscoso: donde: 2 ⎛ Ω2 ⎞ ⎜1.. Luego de la Ec. u=uh + up. lo que se logra imponiendo & & las condiciones iniciales..β 2 es casi idéntica a ω . 2 ⎟ +4 β 2 Ω2 ⎜ ⎟ ω ⎝ ω ⎠ 2 [cos δ .47) se obtiene el factor de amplificación ( FAD ) es 1/2ß y la INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. o cuando los valores de Ω /ω son grandes de manera que la carga varía rápidamente en relación al período natural del sistema.91). (5.0 β =0. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .0 β =0. y el FAD está expresado tal como puede apreciarse en la Fig. 5.0 2.21 : FAD = 2 ⎛ ⎞ ⎜1 .3 β =0. Al reemplazar dicha condición en la Ec.2 β =0.21 lo siguiente: Si el sistema es rígido. 5.97) + 4 β2 Ω 2 ω 2 β =0. cos Ωt ] Luego.96) donde F1 / k es el valor de la amplitud si la fuerza se aplicara estáticamente.0 4. Hay un rango intermedio. FAD 5.05 6. 5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. senΩ t − senδ . se dice que de la solución (Ec. Máxima Amplificación - La condición Ω = ω se refiere normalmente como resonancia.0 máx (FAD) ó u ESTACIONARIA= F1 k 1 2 ⎛ Ω2 ⎞ ⎜1. éste no tiene tiempo de reaccionar y la aceleración de la masa se acerca a cero de manera que el factor de amplificación ( FAD ) tiene valores menores que la unidad y la respuesta es controlada por la inercia del sistema. Una vez que esta contribución se ha hecho insignificante. donde el factor de amplificación ( FAD ) puede alcanzar β =1.0 Ω Ω /ω ω - Fig.Ω 2 ⎟ ⎜ ⎟ ω ⎠ ⎝ 1 2 (5.1: RESONANCIA.0 3.94). La respuesta en este rango está primariamente controlada por la magnitud del amortiguamiento del sistema. 5.0 9.0 0 1.0 2. o cuando los valores de Ω /ω son pequeños en que la carga tiene una variación lenta en relación al período natural del sistema. Cargas sinusoidales 5.1 (5. MÁXIMA AMPLIFICACIÓN 31 Durante el tiempo en que el primer sumando todavía contribuye significativamente al movimiento. Si el sistema es muy flexible.21 Factor de amplificación dinámica . (5.0 3.0 1.1 Resonancia. esta última ecuación puede expresarse como: u ESTACIONARIA = u ESTÁTICO . cuando la frecuencia de la excitación está cercana a la del sistema ω.5 Puede observarse en la Fig. la suma de ambos términos representa un movimiento transitorio tal como lo indica la Ec.8. el segundo sumando (parte forzada de la respuesta) se dice que representa la respuesta estacionaria (permanente) o el estado estacionario de la respuesta.8. 10. (5. (5.0 7.94) quedará expresada como sigue: u ≈ u ESTACIONARIA = uVIBRACIÓN ARMÓNICA FORZADA valores muy altos. el factor de magnificación ( FAD ) es casi uno y la respuesta es controlada por la rigidez del resorte (la carga puede considerarse como estática). en otras palabras ahora la Ec.30 CAP.0 8. Por elllo para propósitos prácticos. por ejemplo para un terremoto.9: EXCITACIÓN ARBITRARIA.100) Para amortiguamientos típicos del 5% (β = 0.05) la máxima amplificación es del orden de 10 tal como se puede apreciar en la Fig. 11 ]). Sin embargo. (5. la integral debe ser evaluada por métodos numéricos. es haciendo la aceleración sísmica u G ( τ ) = F1 f ( τ ) / m . (5. 2 y p (t ) = − && u G (τ ) e ωD ∫ 0 1 t − β ω ( t −τ ) senω D ( t − τ )dτ Probar lo anterior es muy sencillo. para cuando el sistema no parta del reposo al aplicarse la && excitación u G (t ) . Dicho de otra forma. F ( t ) = F1 . Entonces para tener la solución completa la que incluirá necesariamente las constantes A y B. la solución completa dada por la Ec. Al observar la Ec. (1.Ref. Es decir: d (FAD ) dΩ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d ⎜ 1 ⎟=0 = 2 dΩ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ ⎛1 . 5. yp( t ) = − F1 t f ( τ ) e− β ω ( t −τ )senω D ( t − τ )dτ ω Dm ∫ 0 (5.98). La integral de Duhamel tiene solución analítica para un grupo muy limitado de funciones que describen la excitación.2 β .2β2 Valor que al ser reemplazado en la Ec. es decir “ y ”: &&(t ) + 2 β ω y (t ) + ω 2 y (t ) = −u G (t ) & && y (5. debido al amortiguamiento(por ser pequeño para el caso de las estructuras). así como la solución particular evaluada en el tiempo to inicial. INTEGRAL DE DUHAMEL Solución General de la vibración libre amortiguado o solución transitoria Solución Particular o estacionaria o permanente La solución particular para la respuesta de un sistema de un grado de libertad sometido a un excitación arbitraria está dada por la integral de Duhamel.99) luego al despejar el valor de que hace máximo el FAD se tiene: Ω = ω 1.97) da el valor antes mencionado: FAD MÁXIMO = 1/( 2 β 1 . siendo por ella denominada solución transitoria. 5. (5. desaparece el efecto de la vibración libre.9 EXCITACIÓN ARBITRARIA. Además en el diseño de cimentaciones de máquinas normalmente lo deseable es que la frecuencia fundamental de la cimentación esté lo más alejada que sea posible de la frecuencia de operación de la máquina Ω. e integrando la respuesta para este caso (velocidad inicial) desde ese instante cualquiera τ hasta t. JAVIER PIQUÉ DEL POZO Otra forma de expresar la Ec. como una serie de pequeños impulsos actuando en un instante τ que producen una velocidad inicial.31) correspondiente a la vibración libre amortiguada. la solución general de la Ec.2 β 2 ) ocurre realmente cuando Ω = ω 1 . es decir.100) vemos que si la excitación sísmica se aplica durante un tiempo prolongado. debido a que se trata de la solución particular(para mayor información ver [.32 CAP.98) Las mencionadas constantes A y B si toman en cuenta las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad.21. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. la cual nos proporciona la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema de un solo grado de libertad (1 GDL) correspondiente a la ecuación diferencial en desplazamientos relativos.Ω ⎞ + 4 β 2 Ω ⎟ ⎜ ⎟ 2 2⎟ ⎜ ⎜ ω ⎟ ω ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ La integral de Duhamel es llamada también integral de convolución. ya que se obtiene al derivar el FAD respecto de Ω para así poder calcular el FADmáximo . y y( 0 ) = y o . Es apartir de este instante en el que la frecuencia forzada coincide prácticamente con la frecuencia predominante de la excitación ( Newmark y Rosenblueth 1971 ).2 β 2 ) Cabe resaltar que el efecto de las condiciones iniciales no es considerado por la respuesta. INTEGRAL DE DUHAMEL 33 (5. el Dr. Puesto que el FADmáximo = 1/( 2 β 1 . también conocida como la solución && estacionaria. La solución completa es denominada solución general del sistema amortiguado sometido a una acción sísmica compuesta por: ⎛ 1 t ⎞ − β ω ( t −τ ) && y= e-β ω t (A cos ω D t+Bsenω D t) + ⎜ − senω D ( t − τ )dτ ⎟ ⎜ ω ∫ u G (τ ) e ⎟ D 0 ⎝ ⎠ ( ) (5. f ( t ) .100) es calculada en base a & & las condiciones iniciales y(0) = yo . 5. luego se tendrá: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE . Quedando de esta manera. la respuesta del sistema reducida al término de vibración forzada ( solución estacionaria ) luego de algún tiempo de iniciado el movimiento. se hará necesario agregar la solución homogenea uh.98a) espueista es “ casi ” la máxima. ( 5. Esta puede deducirse considerando la fuerza excitadora. 34 CAP.98a).23. Supongamos que se tiene un registro de aceleraciones producto de un && sismo. Finalmente al ordenar cada miembro de manera conveniente dicha ecuación. el problema se reduce al cálculo de la primitiva de la integral de Duhamel de la Ec. INTEGRAL DE DUHAMEL 35 procedimiento preferido es aplicar el análisis numérico directamente a la ecuación de movimiento. (5. 5.9: EXCITACIÓN ARBITRARIA. Según Craig 1981.23 Fig. 5. si la aceleración sísmica u G (t ) es definida a trozos y además lineal en cada uno de los intervalos de tiempo desiguales es posible realizar un análisis por tramos tal como muestra la Fig.103) quedan redefinidas en el mencionado intervalo de tiempo por las Ecs. 5.103) t De la Fig.22. A continuación veremos los casos cuando se tienen la solución exacta y cuando se emplean soluciones numéricas: i ) Solución Exacta La solución general dada por la Ec. en el intervalo (ti-1. ti) las Ecs. Suponiendo además que son nulas las condiciones iniciales del sistema. 5.104) y (5. 1.23 Función de excitación o Aceleración lineal del registro de la figura anterior.102) && Q(t ) = ∫ u G (τ ) e β ωτ senω Dτ dτ 0 t (5. (5.102) y (5.23.98a). Ahora. ello significaría que la integral de Duhamel posee primitiva y por consiguiente podrá obtenerse la solución análitica de la ecuación del movimiento..100).23 esta definido por una recta en dicho intervalo.107) INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. (5. tal como se muestra en la Fig.106) ti −1 τ ti − t i −1 t ti o también: && && u G (τ ) = u G (t i −1 ) + s (τ − t i −1 ) (5.101) donde: && P(t ) = ∫ u G (τ ) e β ωτ cos ω Dτ dτ 0 t (5.105) && y además ya que u G (t ) en la Fig. es decir senω D ( t − τ ) .(5.104) && uG (t ) && uG (ti ) && u G (τ ) && uG (ti −1 ) && && u G (t i ) − u G (t i −1 ) t i −1 & ∫ u&G (τ ) e β ωτ (5.98a) se desarrolla la diferencia de senos. 5.105) respectivamente: Fig. (5.22 Registro de aceleraciones producto de un sismo. P (t i ) − P (t i −1 ) = Q(t i ) − Q(t i −1 ) = ti t i −1 & ∫ u&G (τ ) e ti β ωτ cos ω D τ dτ senω Dτ dτ (5. la Ec. 5. && u G (t ) Ver detalle en la Fig. (5. (5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. queda expresada como sigue: -β ω t y= e ωD ( P(t ) senω D t − Q(t ) cosω D t) (5. es expresada como: && && ⎛ u (t ) − u G (t i −1 ) ⎞ ⎟(τ − t i −1 ) && && u G (τ ) = u G (t i −1 ) + ⎜ G i ⎜ ⎟ t i − t i −1 ⎝ ⎠ (5.100) puede efectuarse de forma directa al evaluar la solución particualr definida por la Integral de Duhamel. Barbat y Miguel Canet 1994 la integral de duhamel queda convenientemente expresada si en la Ec. o sea haciendo uso de la Ec. 5. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . (5.100). En la costa del Perú los sismos tienen origen tectónico. Barbat y Miquel Canet 1994). Al hacer uso del primer grupo de procedimientos numéricos. de las diferencias centrales.107). Hay muchos métodos para ejecutar este procedimiento [ Ref.109) respectivamente: ⎡ e β ωτ ⎧ ω ⎫⎤ t && && P(ti ) = P(ti −1 ) + ⎢ 2 ⎨ β ω uG (τ ) + s 1 − 2 β 2 cosω Dτ + D (ω uG (τ ) − 2 s β )senω Dτ ⎬⎥ ω ⎭⎦ t ⎣ω ⎩ . se refiere a que se integra directamente la Ec. o sea de hundimiento de la placa de Nazca bajo la placa Sudamericana.. (5. ( 5. en los que se conoce la aceleración del suelo y se progresa extrapolando sucesivamente el desplazamiento de un intervalo de tiempo al siguiente. (5.111) Por último. cuando el desplazamiento y la velocidad son supuestamente conocidos. La escala de tiempo se divide en intervalos discretos. es decir en el movimiento de las placas que constituyen el fondo del océano y nuestro continente. (5.110) (5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. 8 ]. Por otro lado. 5. puesto que es característico de cada método.(5. Haciendo uso de la Ec.36 CAP. Para el cálculo numérico de la respuesta de un grado de libertad ( 1 GDL ) dos grupos de procedimientos numéricos son usados. ( ( )) i 5. El movimiento de subducción. ii ) Métodos Numéricos Se requiere que la excitación sea discretizada a intervalos de tiempos constantes para poder usar métodos numéricos.100) se consigue & y también la respuesta exacta para la velocidad y (t ) y la aceleración &&(t ) .109 ) De manera análoga a lo hecho para la obtención de la Ec.99). 5.11 SISMOS.. siendo P (t ) y Q(t ) los mismos a los de la Ec.104) y (5. ( 5.. (5.101). se obtiene al integrar por partes y ordenar de manera adecuada. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .al derivar la integral de Duhamel obtenemos: & y (t )= e-β ω t ( P(t ) cos ω D t − Q(t ) senω D t) + ω β y (t ) &&(t )= − ω 2 y (t ) − 2 β ω y (t ) − u G (t ) & && y El análisis tiempo-historia o análisis numérico es un procedimiento mediante el cual la ecuación diferencial de movimiento se resuelve paso a paso (también llamado así por esa razón) comenzando en el tiempo cero. el segundo grupo requiere de la evaluación de la integral de Duhamel puesto que parte de la resolución de la Ec. En este caso los métodos de Newmark. da origen a la mayor cantidad de los sismos registrados. como es lógico. cabe resaltar que en los errores de redondeo se encuentra la única fuente de error. etc.108 ) Por último es de suma importancia el que los intervalos sean lo suficientemente pequeños para así poder asegurar la estabilidad y presición de la respuesta que vendría la representar al correcta discretización de la señal sísmica. de Wilson. son usados con frecuencia(Wilson 1986. introducen errores debido al proceso de discretización.9: EXCITACIÓN ARBITRARIA. REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA La solicitación sísmica que proviene del evento de un terremoto se cuantifica mediante el registro de las aceleraciones que se producen en el suelo.. las Ecs.HISTORIA i −1 ⎡ e β ωτ ⎧ ω ⎫⎤ && && Q (ti ) = Q (ti −1 ) + ⎢ 2 ⎨ β ω uG (τ ) + s 1 − 2 β 2 cos ω Dτ − D (ω uG (τ ) − 2 s β ) cos ω Dτ ⎬⎥ ω ⎩ ω ⎭⎦ ⎣ ( ( )) ti t i −1 . INTEGRAL DE DUHAMEL 37 && siendo “ s ” la pendiente de la recta que define u G (t ) . (5.. Los métodos numéricos a diferencia del método exacto.10 TIEMPO.105). (5.. INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.108) y (5. Estas características geofísicas condicionan también la naturaleza de los registros de sismos peruanos.. Este mismo suelo servirá de sustentación a las edificaciones que se cimienten encima y por consiguiente dicho suelo puede volver a estar sometido a movimientos similares. Luego. a través de su reemplazo en las Ecs. 24 En la Fig. & m. Una herramienta muy útil y común en el análisis dinámico sismorresistente es el espectro de respuesta de un terremoto. es decir los Seudo-Espectros Sísmicos de Respuestas. Este espectro viene a ser el lugar geométrico de las máximas respuestas de un sistema de 1 GDL sometido a la excitación de un sismo en la base. Sismo 17 Octubreuna1966.10: TIEMPO .m. Fig.&& + 2 βωM. Lima.27g. sobretodo en cuanto a su contenido de frecuencias se refiere. Como cada terremoto tienen características particulares.HISTORIA 39 Fig. [11] mostraremos como es que se obtiene los Espectros Sísmicos de Respuesta y lo que se obtiene como resultado luego de algunas simplificaciones. Recordemos que los edificios tienen frecuencias de vibración propias que pueden ser excitadas mayor o menormente por el sismo si éste trae más energía en dicho rango. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .y = . es útil conocer como amplifica un sismo dado determinadas frecuencias. 5. muestra el registro de aceleraciones de de de las componentes del sismo del 17 de Octubre de 1966 registrado en el local del Instituto Geofísico del Perú en Lima.38 CAP. 5.y + k. al gráfico de estos valores se le denomina "espectro". En la Fig. Este no es sino una transformada del registro de aceleraciones en una sumatoria de senos y cosenos y luego el cálculo de las máximas amplitudes para una frecuencia dada.24 seRegistro de aceleraciones. Lima. Sismo 17 Octubre de 1966.24.25 se presenta el espectro de Fourier del mismo sismo del 17 de Octubre del 66 mostrado en la Fig. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. 5. Sabemos que la solución general de INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.112b) ó && + 2 βω. es posible graficar los diferentes parámetros de la respuesta contra la frecuencia o el período. a través de su registro de aceleraciones. Basados en la Ref. ω.25 Espectro de Fourier. es calculando su Espectro de Fourier.y + ω2 . Una forma de apreciar el contenido de frecuencias de un sismo. u G (t) y && (5. Este registro muestra una aceleración máxima del suelo de 0. Como cubre un rango de frecuencias. 5. Dichas respuestas para una frecuencia natural y amortiguamiento especificados puede obtenerse por integración numérica (en el dominio del tiempo o de frecuencias) de la ecuación de movimiento. 5.112a) (5.u G (t) & y && Repitiendo estos cálculos para un juego completo de osciladores con la misma cantidad de amortiguamiento β y para "un espectro" de frecuencias naturales.y = . 5. Luego la integral de Duhamel referida a un sistema de 1GDL. Lo dicho se confirma al observar la Ec.. β ) = &&(t ) + uG (t ) máx y && u G (τ ) e ωD ∫ 0 1 t − β ω ( t −τ ) senω D ( t − τ )dτ (5. Finalmente son dichas aproximaciones las que nos permiten definir el término Seudo Espectros de Respuestas.113).125) máx como es sabido las Ecs.112a) ó (5. 5. β ) = − ∫ u G (τ )e − β ω (t −τ ) cos ω D (t − τ )dτ − β ω y (t ) 0 (5.114) ωD ∫ dt 0 && S v (ω .112b) viene dada por la solución particular.113) reemplazando las Ecs.117) representan. (5.113). β ) = y (t ) máx && S a (ω .117) en estas últimas se tiene: S d (ω .26). Luego: &&(t ) + u G (t )=ω D ∫ u G (τ )e − β ω (t −τ ) senω D (t − τ )dτ − β ω y (t ) − ( β ω ) 2 y (t ) && && & y 0 && u G (τ ) e ωD ∫ 0 1 t − β ω ( t −τ ) senω D ( t − τ )dτ máx (5.1. debemos derivar con respecto del tiempo la Ec. las respuestas de desplazamiento relativo. Entonces se tendría: dy 1 t && =− u G (τ ) − β ωe − β ω (t −τ ) senω D (t − τ ) + e − β ω (t −τ ) ω D cos ω D (t − τ ) dτ (5. β ) = ω D ∫ u G (τ )e − β ω (t −τ ) senω D (t − τ )dτ − β ω y (t ) − ( β ω ) 2 y (t ) 0 t (5.estan dados por las Ecs. (5. se puede intercambiar la función coseno por la del seno sin que ocurran cambios importantes [ Ref.116) y (5. β ) = − t (5.40 CAP.. β ) = − t Integral de Duhamel o solución permanente && u G (τ ) e ωD ∫ 0 1 t − β ω ( t −τ ) senω D ( t − τ )dτ máx (5. las aproximaciones realizadas a las Ecs. función de β.2. (5.122) máx && & S a (ω . son válidas en el rango usual de frecuencias que aparecen en el diseño sísmico. 5. (5.120) la Ec. dejando de cumplirse. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . dado un cierto acelerograma. (5.116) y (5. (5.121) al derivar esta última ecuación respecto del tiempo obtendremos la historia de la respuesta en velocidades. funciones de ω y β ..115) finalmente la historia de respuesta en velocidades: & && y (t )= − ∫ u G (τ )e − β ω (t −τ ) cos ω D (t − τ )dτ − β ω y (t ) 0 Por practicidad y basados en que β es pequeño para lo que se pretende en Ingeniería Civil (ver tabla al final de la Secc.123) máx ( ) ordenado: & y (t )= − β ω && u G (τ )e ωD ∫ 0 −1 t − β ω ( t −τ ) && senω D (t − τ )dτ − ∫ u G (τ )e − β ω (t −τ ) cos ω D (t − τ )dτ 0 t y(t) . o sea la integral de Duhamel o solución permanente.116) de manera análoga.117) t (5. (5.118) (5. ω y u G . Siendo: el Espectro de desplazamiento Relativo: S d (ω . ya que luego de un tiempo relativamente corto la solución transitoria se hace insignificante debido al término exponecial que la acompaña.124) t el Seudo-Espectro de velocidad Relativa: && S v (ω . que && debido a la aleatoriedad de las aceleraciones del terreno uG . 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.118).119) (5.. (5. se expresa como sigue: && y GENERAL (t ) = y (t ) ≈ y p (t )= − S d (ω . Sus correspondientes valores máximos de los “.. (5.23).119) y (5. velocidad relativa y aceleración absoluta. REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA 41 (5. por consiguiente sólo los términos que contiene la variable tiempo serán derivados (en este caso serían el producto de la función exponecial por la función seno).122) y (5. velocidad relativa y la aceleración absoluta respectivamente. β ) ≈ − ∫ u G (τ )e − β ω (t −τ ) senω D (t − τ )dτ 0 (5. ya que se pretende hallar el valor máximo del espectro de velocidad. β ) = y (t ) máx & S v (ω . (5..100).116).1)los términos afectados por dicho coeficiente de amortiguamiento pueden eliminarse por ser insignificativos y además.125) y (5. (5. por supuesto. resultando las Ecs.Espectros ” de desplazamiento relativo. Es preciso mencionar. para periodos muy elevados. Al realizar la derivación se debe tener en cuenta que se esta derivando respecto a “ t ” y no a “ τ ” (que se considera como constante). 11 ].(5. para poder obtener la respuesta en aceleraciones totales.11: SISMOS.120): INGENIERÍA SISMORRESISTENTE y el Seudo-Espectro de Aceleración Absoluta: Dr. según Barbat y Miquel 1994.7. (5.(5. (5.42 t CAP. para sistemas amortiguados esta relación ya no es válida.ß) = ω Sd (ω. 5. son interesantes solamente desde un punto de vista histórico y teórico. Fig. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. β ) ≈ ω D ∫ u G (τ )e − β ω (t −τ ) senω D (t − τ )dτ 0 (5. (5. la gran importancia práctica de los Seudo-Espectros Sísmicos.126). (5. (5. el espectro de aceleraciones puede obtenerse multiplicando el de desplazamientos relativos por ω2. en escala aritmética y variando en función de los períodos naturales no amortiguados (recordemos que el período o frecuencia amortiguado y no amortiguado son prácticamente iguales). Luego comúnmente se define: Espectro de desplazamiento relativo Sd (ω.. En las Fig.128) pueden ser dibujadas en una misma gráfica mediante el uso de una escala trilogarítmica. estos son denominados solamente Espectros. 5.11: SISMOS.26 Espectro de respuesta de aceleraciones Es importante señalar también que para amortiguamiento cero la máxima aceleración absoluta es -ω2ymáx. pero para los valores de interés de β la diferencia es despreciable. Es necesario remarcar que los Espectro Sísmico de Respuestas.26 y 5.28. en Ingeniería. Ecs.113). JAVIER PIQUÉ DEL POZO . (5.124) vista nos indica que un gráfico de ymáx contra frecuencia natural nos da lo que se llama un espectro de respuesta de desplazamiento relativo de un terremoto dado para el amortiguamiento β especificado.126) como puede apreciarse nos permiten calcular en función de S d los Seudo espectros S v y S a .128 ) Estas dos últimas relaciones dadas por las Ecs. Lo dicho se expresa así: Sv = ω Sd Sa = ω 2 Sd (5.125) y (5.124).127 ) (5.127) y (5. Ecs.117). La Ec.27 se presentan los espectros de respuesta de aceleraciones absolutas y desplazamientos relativos para el mismo sismo anterior.ß) = máx (en t) de y(t) Espectro de seudo-velocidad relativa Sv (ω. excepto para valores pequeños de ω.ß) Espectro de seudo-aceleraciones absolutas Sa (ω. tal como se mencionó anteriormente.126 ) máx Las Ecs.ß) INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. Por otro lado. 5. La máxima velocidad relativa es también cercana a ω veces el máximo desplazamiento relativo. o como sólo interesa el valor absoluto.116) y (5. En cambio. en el campo de la Ingeniería Civil. Para simplificar la terminología y debido al gran uso de los Seudo-Espectros. 5. REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA 43 && S a (ω . Un ejemplo de este tipo de gráfica puede ser visto en la Fig.ß) = ω2 Sd (ω.125) y (5. hacen de ellos herramientas usadas ampliamente en el diseño sísmico de las estructuras. 27 Espectro de respuesta de desplazamientos Fig. .28 Espectro de respuestas de desplazamientos Además también se dijo que a causa de estas relaciones directas entre los tres espectros. A continuación haremos una síntesis de lo visto en esta sección.Las líneas horizontales corresponden a valores constantes de la seudo-velocidad. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . Veamos el sistema && de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo u G ( t ) (Fig.28 muestra un espectro graficado usando estas coordenadas logarítmicas. 5. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.29 Sistema de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA 45 La Fig. 5.44 CAP. De este único gráfico se pueden leer los valores de los tres efectos para cualquier sistema de un grado de libertad (1 GDL).11: SISMOS. 5. 5. 5. 5. es costumbre graficar el espectro de seudo-velocidades como función del período o frecuencia en un papel con escalas logarítmicas triples.Líneas inclinadas a 45° con pendiente positiva representan valores constantes de la seudo-aceleración. y se cumple : && uG ( t ) uG ( t ) u( t ) = u G ( t ) + y( t ) && && u = u G + && y Fig. . Fig. (si las abscisas son frecuencias las pendientes son inversas).Líneas inclinadas a 45° con pendiente negativa representan valores constantes del desplazamiento relativo. De la escalas logarítmicas triples: .29): y = u − uG u && mu m m m c k k .y & c. 5. u G (t) y && && + 2 βω. REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA 47 la ecuación de movimiento en coordenadas relativas para el sistema de 1GDL sometido a un sismo sería: && & m. en lo que concierne a espectros. Aceleració n Espectros de respuestas de sismos registradosen el sitio. para culminar con el presente capítulo se hará un breve comentario de la Norma Peruana de Diseño Sismorresistente E-030. todas las curvas que representan a los sismos registrados de una determinada zona se llevan a la máxima aceleración (ver Fig. Espectros de diseño o curva suavizada producto de una normalización hecha con respecto a la aceleración máxima de la base.y + k.y = . Sa ó escrito de otra manera: Dicho sismo es el que produce un registro de aceleraciones tal como se muestra en la Fig.y = 0 ó & m. A su vez el registro de aceleraciones del mencionado sismo produce los Espectros Sísmicos. Esto es: Sd . JAVIER PIQUÉ DEL POZO . En el caso de la Norma Peruana define 3 zonas al territoio Peruano. Sv .15g. para la Zona 2 cooresponde una aceleración de 0.y = .y + k. los cuales representan el lugar geométrico de las Respuestas Máximasde un sistema de 1GDL sometido a un sismo. 5.m.4g .31: y (t ) y máx = S d Finalmente.30: && u G (t ) Sd Sv Sa t T (Periodo) Fig.&& + c. & y (t ) & y máx = S v && && u (t ) = uG (t ) + &&(t ) y && u máx = S a && uG máx Diseño T Fig. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC.20g. Dicho de otra manera. 5. Aunque en realidad lo que se usa son las simplificaciones de los Espectros.u + c.y + ω2 . INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. Luego para la Zona 3 cooresponde una aceleración de 0. El Espectro de Diseño de la Norma es una curva suavizada que resulta de normalizar con respecto a la aceleración máxima de la base los espectros de respuestas de sismos registrados en un determinado lugar (la Normalización se hace usando métodos estadísticos). 5.33). es decir los Seudo-Espectros Sísmicos. En el año 74 en Perú se tuvo 0.31 Registro de aceleraciones producto de un sismo. 5.11: SISMOS.46 CAP. Lo dicho se puede apreciar en Fig. 5. pueden representarse los tres en una misma gráfica en escala trilogarítmica.32 Lugar geométrico de las respuestas máximas de un sistema de 1 GDL sometido a un sismo Fig. 5.3g y para la Zona 3 cooresponde una aceleración de 0.u G (t) & y && Y debido a que hay una relación directa entre los Seudo-Espectros.30 Registro de aceleraciones producto de un sismo. 0) S1 T Fig.00 2. 5.2) ( S = 1.6 ( S = 1.4) ( S = 1.4 T = 0. La descripción de cada término puede ser vista en la Norma la cual se encuentra en el apéndice.33 llamado Espectro de Pseudo Aceleraciones según Norma Peruana de Diseño Sismorresistente E-030 esta definido por: ZUSC S a= g R Espectro que debe ser empleado para cada una de las dirreciones analizadas.0 1. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SECC. 5. 5. REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA 49 Fig. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .50 3.6 0.9 p T p = 0. C es el coeficiente de amplificación sísmica.48 CAP. 5.50 S3 S2 T p = 0.34.11: SISMOS.9 * S 1. Es necesario resaltar que las características del suelo influyen en la traducción de la onda. 5. esto puede verse en la Fig. En la Fig.33 Espectros de respuestas de sismos registrados y el espectro de diseño (curva suavizada) El Espectro de Aceleraciones de la Fig. Para el análisis en la dirección vertical podrá usarse un espectro con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones horizontales.34 Influencia del tipo de sueloen la traducción de la onda.34: CS 3. Los demás términos se definen a continuación en la Tabla N°2 correspondiente a la Norma Peruana E-030: Tabla Nº2 Parámetros del Suelo Tipo de Suelo S1 S2 S3 S4 Descripción Roca o suelos muy rígidos Suelos intermedios Suelos flexibles o con estratos de gran espesor Condiciones excepcionales Tp (s) 0.2 1.4 * INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.4 0. 5. (E = 230 000 kg/cm2 ).98cm2 m P = 500kg m= kg − s 2 P 500 kg = = 0.01 x 2π (sen 2π t ) U máx = ( [U ( ) ] + ⎡Uω ) ⎤ ⎢ ⎥ 2 ω = 1 → ω = 2π t = t d = 1s t = 1s 2 U = 0. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). Luego de la teoría concluimos que: F con F1 = 20t U máx = 2 1 K Del modelo entonces debemos calcular: INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr. explique sus criterios. 4m Fuste 3m 15m Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta.51 = 2π KT 14253.01x 2π (sen 2π ) = 0 & P 5-03) ∴ U= 0+0 td td ⎣ ⎦ U =0 8m Cuba P 5-02) Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad.51u + 14253.→ Vibración Libre & U U = U o cos ω (t − t d ) + o senω (t − t d ) t > td ω 1er Tramo: U = T= F1 (1 − cos ω t ) = 1.7 → T = 0.038s K td t Solución.0 s . Se pide determinar la máxima amplitud de la vibración en el tramo t > td.579 (1 − cos ω t ) = 0. La cuba y el fuste son cilíndricos.579 t. F1 = 1. compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg.- φ= m 5" 8 A = 1. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD PROBLEMAS 51 Modelo: P 5-01) Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t). f(t) 1 F(t) Solución . Debe justificar debidamente su respuesta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica.91 2π U = 0. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. El período del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157. calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos. En la figura se muestra la variación de f(t) con el tiempo.98 K= + 4003 300 kg K = 393.7u = F1 f (t ) && K = KVIGA + K CABLE = 3 Por lo tanto el período : T = 2π m 0.01 (1 − cos 2π ) = 0 & U = 0.50 CAP.01 (1 − cos 2π t ) & U = 0. La viga se puede considerar sin masa. Solución. El tiempo td = 1.01 m (1 − cos ω t ) k 157. JAVIER PIQUÉ DEL POZO . Suponga que todos los espesores son de 20cm.- L = 3m L = 4m Lo que se desea calculares el U máx debido a una fuerza aplicada súbitamente. tal como se muestra en la figura 3.91 t/m.7 + 13860 = 14253.7 cm Luego la ecuación de movimiento : mu + ku = F (t ) && 0. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar.51 cm g cm 981 2 s M EI EA + L3 h 3x 2100000 x 4000 2100000 x1. Graficar solamente para un rango del periodo entre 0 y 2 segundos.54 79.313t Reemplazando: aG = 100 cm / s 2 . Para un movimiento en la base definido por: && U G = − ao sen( 2 π t ) cm / s 2 Sa (cm/s2) 1200 1000 800 600 400 200 0 0 0.11 3542.52 K =3 CAP.2 Fuste: (3 − 0.20m Sa = ⇒ Sa = ω 2 S d relación de espectros para β = 5% aG 2 2 (1 − r ) + (2 β r ) 2 Para el cálculo del periodo: T = 2π m K Vista de Planta del Fuste Di De = 48.5 1.4 x0. β = 0.2)π (15 / 2) x 2.255t = 42.29 1000 175.2) x1 m = 29.26 P 5-04) Calcular Sa: aceleraciones absolutas.5 1 1.- && & De la forma && + 2 β ω y + ω 2 y = −U G = −(−100 sen ( 2π t )) = 100 sen (2π t ) = aG sen Ω t y [ forma conocida ] INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Dr.2 Agua: (π (8 − 0.2)π (4 − 2 x0.43 48.5 2 Duración indefinida.2 x 2. ω = 2π / T .75 1 1.13cm 3542.733 K= → K = 3542. (Considerar β = 5% y la solución permanente o estacionaria) Solución.57 s Sa (cm/s 2 ) 100 106. JAVIER PIQUÉ DEL POZO .8 → T = 0. Ω = 2π rad / s .5 0.04 225.31 33.75 2 aG Calculando “m=P/g” Peso de la Tapa y Fondo: (π 8 2 / 4) x0. r = Ω ω ymáx = 15m ω aG 2 1 (1 − r ) + (2 β r ) 2 2 2 = Sd ymáx = S d e=0.25 0.4 x 2 Muros: (8 − 0.05 ⇒ r = Ω / ω = (2π ) /( 2π / T ) = T Sa = T (s) 0 0. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD PROBLEMAS 53 EI h3 4 4 π ( De − Di ) π (34 − 2.344t = 31.2) x 2.579 t Por lo tanto: T = 2π 29.667t = 163.63 133.8 Solución permane Mod m ymáx nte: -Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua y= ω aG 2 1 (1 − r ) + (2 β r ) 2 2 2 sen(2π t + φ ) .4 x0.111 t − s2 m (1 − r ) 2 + (2 β r ) 2 2 P = 285.2 x 2) 2 / 4) x(4 − 2 x0.6 4 ) I= = → I = 1.8 3 15 m Luego el desplazamiento máximo : 20 U máx = 2 x100 = 1.25 1.733m 4 64 64 Entonces : t 3 x 2300000 x1. 5. Halsted Press. New York. Diseño Sismorresistentes de Estructuras. Cambridge. Dynamics of Structures.M.A. 1976 Wilkinson. New York. México. J. McGraw-Hill.R. Meli. H.. Notas de clase. J.L.M.F.R.. New Jersey. 1981 Clough. John Wiley & Sons. Wilson.. 2002 Piqué. J. Perú. Introduction to Earthquake Engineering.M. Biggs. John Wiley & Sons. Massachusetts Institute of Technology. 1965 Piqué. "Dynamic Analysis of One-Degree Systems" en Notas del curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings .. 1964 Craig Jr. Structural Dynamics. Mass. 13. The Algebraic Eigenvalue Problem. 10. J. Prentice-Hall. 6. 1998 2. J. "Structural Dynamics". R. Introduction to Structural Dynamics.. R. & Penzien. Biggs. 3. E.. M. J. K. 12. 1976 Bozzo.M. New York. . 7. 2002 Bazán. R. L. 9. "Análisis Dinámico de Sistemas de un grado de libertad" en Notas del curso de Ingeniería Antisísmica . Barbat.. 11.J. 1973 Hurty. J. 1974.C. Diseño Sísmico de Edificios. Research Report. Massachusetts Institute of Technology.R. New York. Massachusetts. Cambridge. E. Balderas. Perú. Bathe. 8.54 REFERENCIAS CAP. 4. Prentice Hall. 1972 Röesset. Massachusetts Institute of Technology. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 1. Fondo Editorial ICG. Oxford..W. Clarendon Press. & Rubinstein. Lima. Editorial Limusa. McGraw-Hill.. 1975 Okamoto. Englewood Cliffs. S. Lima. Massachusetts. Cambridge. "On the Use of Simple Models for Inelastic Dynamic Analysis". Dynamics of Structures. Universidad Nacional de Ingeniería.H. Numerical Methods in Finite Element Analysis. W. INGENIERÍA SISMORRESISTENTE .. New Jersey 1964. 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