Cap-5-Análise Diferencial de Escoamentos

Cap.5 – Introdução à análise diferencial de escoamentos 5.1 – Conservação da massa 5.2 – Função corrente 5.3 – Movimento de um elemento fluido - Cinemática 5.4 – Equação da Quantidade de Movimento 5.1 – Conservação da massa 5.1.1 – Coordenadas retangulares Expansão em série de Taylor :  x  dx 2    dx     1  dx         2   x  2  x  2!  2  2 2  ... Desprezando termos de ordem superior:  x  dx 2    dx    x  2 u x  dx 2  u  dx u   x  2  x dx 2       x  dx     dx       2    x  2 u x dx 2  u   dx   u  dx u    u  2   x    x  2  Fluxo de massa através da superfície de controle de um volume de controle diferencial retangular  X E m  SC   V.dA  X D m     dx   m X E          x 2         dx   m X D          x 2       u  dx   u   x  2  dy.dz       u  dx   u   x  2  dy.dz     dz 2   x   x       dx   m X D          x 2       u  dx   u   x  2  dy.dz   u      dx.dz     1      u    m X E   u dy.dz     1      u    m X D   u dy.dz 2   x   x        u     m X E  m X D   u      dV  x     x   u    m X E  m X D    dV  x  .dy.dy.    dx   m X E          x 2       u  dx   u   x  2  dy.dz   u      dx. dy.     u    u    m X E  m X D   u      dx.dy   w  dV m  z    z    z  Fluxo de massa total através da superfície de controle de um volume de controle diferencial retangular    u v w  SC V.dz.dA   x  y  z  dV .dx    dV   v   y    y    y     z E  m  z D   w      w   dz.dx.dz    dV  x    x    x   y E  m  y D m      v    v       dy. Conservação da massa para um volume de controle diferencial retangular 0   dV 0   dV VC t VC t  SC   V.dA  u v w   dV     y z   x No volume de controle diferencial a massa específica é independente do volume  u v w    dV 0 dV     t y z   x  u v w    0 t x y z Equação diferencial para o princípio da conservação da massa . A 1 i  A 2 j  A 3 k y z   x   A A A 3 1 2 div A  .Operador GRADIENTE (sobre campo escalar U)        U  U  U  grad U  U   i j  k  U  i j k y z  x y z  x Operador DIVERGENTE (sobre campo vetorial A)               div A  .A    x y z .A   i j  k  . V  0 ou u v w   0 x y z Escoamento compressível .V  0 ou u v w   0 x y z . regime permanente :  .  = constante :  .  u v w    .(V )  div V x y z Princípio da conservação da massa (forma compacta)   .V  0 t Escoamento incompressível . Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como um dispositivo pistão-cilindro.  u v w    0 t x y z . na extremidade. afastando-se da extremidade fechada do cilindro. Avalie a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para a massa específica como uma função do tempo. A velocidade do gás é unidimensional e proporcional à distância em relação à extremidade fechada. Num instante em que o pistão está em L=0. a massa específica do gás é uniforme em 18 kg/m 3 e o pistão começa a mover-se. com V=12 m/s. Determinar: a) a taxa de variação da massa específica b)  (t).15 m afastado da extremidade fechada do cilindro. varia linearmente de zero. a u=V no pistão. Escoamento unidimensional  u  0 t x  u u      u t x x x Não há variação espacial de  no volume :  u   t x Como: x uV L u V   x L  0 x  V   t L . t ) d V  dt  (L 0  V.   t  Com esta derivada obtém a taxa de variação da massa específica no instante inicial (item a):    t  t 0 t 0 V  0 L0 12  18  1.440 [kg / m3 .t  V V  ( t )  ( t ) t L( t ) (L 0  V.s] 0.15 Notando que L é variável no tempo: L( t )  L 0  V.t )  ( t )  0     1  1  Vt / L 0  L0  ln  ln 0 L 0  Vt .t ) t d Vdt 0    0 (L 0  V. V  0 t 1 (rVr ) 1 (V ) (Vz )     0 r r r  z t .1.5.2 – Coordenadas cilíndricas Em coordenadas cilíndricas o operador vetorial  é dado por:   1      r  k r r  z   . Princípio da conservação da massa em coordenadas cilíndricas 1 (rVr ) 1 (V ) (Vz )     0 r r r  z t Escoamento incompressível .  = constante : 1 (rVr ) 1 V Vz   0 r r r  z Escoamento compressível . regime permanente : 1 (rVr ) 1 (V ) (Vz )   0 r r r  z . da massa) : u v  2  2    0 x y xy yx .5. chamada função corrente. for definida de modo que:  u y e  v x A função corrente satisfaz a equação da continuidade (eq.2 – Função corrente para escoamento incompressível bidimensional O objetivo é descrever matematicamente várias configurações geométricas de escoamentos bidimensionais:  u v w    0 t x y z u v  0 x y Se uma função contínua. da cons.  Sendo d r um elemento de comprimento da linha de corrente:   V  dr  0      (u i  v j )  (dx i  dy j )  (udy  vdx )k Assim.As linhas de corrente são linhas traçadas no campo de escoamento tais que. são tangentes à direção do escoamento. para um linha de corrente:   dx  dy  0 x y . a equação de uma linha de corrente em um escoamento bidimensional é :   u e v udy  vdx  0 y x Substituindo as equações da função corrente. em cada ponto. tem-se. em um dado instante. Para uma linha de corrente:   dx  dy  0 x y Entre dois pontos quaisquer:   dx  dy  d x y As linhas de corrente instântaneas Para uma profundidade unitária. e Q y2 y1  dy y d    y  dy 2  dy   d   2  1 1 y . Portanto: . x=constante.a vazão através de AB é: y2 y2 y1 y1 Q   u dy   Ao longo de AB. Em coordenadas cilíndricas : Princípio da Conservação da Massa. tangencial e respectiva função corrente 1  Vr  r  e  V   r . escoamento bidimensional: (rVr ) V  0 r  Velocidade radial. Determinar: (a) Função corrente  (b) Trace gráficos no primeiro e segundo quadrantes  u y e  v x Integrando com relação a y : Do campo de velocidade dado :  u  Ax  y   dy  f ( x )  Axy  f ( x ) y A função f(x) pode ser avaliada usando-se a equação para v :  df ( x ) v   Ay  x dx v   Ay df ( x ) 0 dx   Axy  c .   Dados: Campo de velocidade. V  Ax i  Ay j com A = 2 s-1. A constante é arbitrada como zero de modo que a linha de corrente através da origem seja designada como   1  0   2xy (m3 / s / m) . 3 – Movimento de um elemento fluido Cinemática Elemento infinitesimal de fluido .5. 1 Aceleração de uma partícula fluida em um campo de velocidade Translação Deformação Angular Rotação Deformação Linear .5.3. t ) . ap   Vp ] t  V( x.  V  V( x. y  dy. t  dt )  dVp . determine a aceleração de uma partícula fluida. z. y.   ao mover-se da posição r para r  d r é dada por:      V V V V dVp  dx p  dy p  dz p  dt x y z t  dVp      V dx p V dy p V dzp V ap      dt x dt y dt z dt t . z  dz. y.  Dado o campo de velocidade. t )   Vp ] t  dt  V( x  dx. a variação da velocidade dapartícula. z. esta recebe o símbolo . DV Dt é usualmente chamada de derivada substancial .dx p dt u dy p dt v e dzp dt w  dVp      V V V V ap  u v w  dt x y z t Para lembrarmo-nos de que o cálculo da aceleração de uma partícula fluída em um campo  de velocidade requer uma derivada total. V Assim: D Dt      DV  V V V V  ap  u v w  Dt x y z t  A derivada total.  ap   DV Dt    V V V u v w  x y z  V t aceleração convectiva aceleração local aceleração total de uma partícula    V V V   u v w  V. V x y z Para escoamento bidimensional :     DV V V V u v  Dt x y t     V DV   ap  V. V  Dt t Para escoamento unidimensional :    DV V V u  Dt x t . Em coordenadas retangulares (três componentes da aceleração total): a xp Du u u u u  u v w  Dt x y z t a yp Dv v v v v  u v w  Dt x y z t a zp  Dw w w w w u v w  Dt x y z t Em coordenadas cilíndricas (três componentes da aceleração total) : Vr V Vr V2 Vr Vr arp  Vr    Vz  r r  r z t V V V Vr V V V a p  Vr    Vz  r r  z z t V V V V V a zp  Vr z   z  Vz z  z r r  z t . através do duto convergente mostrado. obtenha uma expressão para a sua: (1) Posição . incompressível. como uma função do tempo.Dados : Escoamento permanente. . axp . como uma função do tempo. (2) Componente x da aceleração. unidimensional. xp .  x   V  V1 1   i L  Determinar : (a) A componente x da aceleração de uma partícula movendose no campo de escoamento (b) Para a partícula localizada em x=0 em t=0. 3.        x i   y j  z k .  .5.2 Rotação dos fluidos  A rotação . de uma partícula fluida é definida como a velocidade angular média de quaisquer duas linhas perpendiculares que se cruzam nocentro da partícula. v v  v0  x x u u  u0  y y 0 a   x  lim  lim t 0 t t  0 t v   xt x   v x  xt  x  v 0 a  lim t 0 t x 0b   y  lim  lim t 0 t t 0 t u    yt y   u y  yt  y   u 0b  lim t 0 t y . ds Circulação : C Coordenadas cilíndricas:   1 V V    V V    1 rV 1 V  z r r V      r   z    z  r  r   r   z  r r     z .1  w v  1  u w  1  v u       e      z     x y   2  y z  2  z x  2  x y     1   w v    u w    v u      x i  y j  zk      i      k   j   2   y z   z x   x y   Rotacional   1   V 2   V  V    Vorticidade :   2    V      V. 3.5.3 Deformação dos fluidos A deformação angular de um elemento fluido envolve variações no ângulo entre duas linhas perpendiculares Taxa de deformação angular:  d  d  d   dt dt dt .   d   / x v x  xt  x v  lim  lim  lim   t  0  t  0  t  0 dt t t t x   u y  yt  y  u d   / y  lim  lim  lim t 0 dt t 0 t t 0 t t y Taxa de deformação angular no plano xy será :  d d d v u     dt dt dt x y . U= 4 mm/s e h= 4 mm. Partículas fluidas marcadas em t=0 formando uma cruz.  V  U( y h) i Dados : Campo de velocidade. (c) Taxa de rotação de uma partícula fluida. (b) Taxa de deformação angular. A taxa de deformação angular é: A rotação é: u v 1 U      U  0   1 [rd / s] y x h h 1  v u  1 U 1U z       0      0.c´ e d´ em t= 1.5 s. como mostrado: Determinar : (a) As posições dos pontos a´.b´.5 [rd / s] 2  x y  2 h 2h . 5.4 – Equação da quantidade de movimento Uma equação dinâmica descrevendo o movimento do fluido pode ser obtida aplicando-se a segunda lei de Newton a uma partícula   dP   F dt  sistema A quantidade de movimento do sistema é:  Psistema   massa ( sistema ) Para um sistema infinitesimal de massa dm:      V DV V dF  dm  dm  u v Dt y  x   dV  dF  dm dt    V V  w   z t   Vdm sistema . As de superfície incluem tanto as normais quanto as tangenciais (de cisalhamento). Balanço de forças (dir.1 Forças atuando sobre uma partícula fluida As forças que atuam sobre um elemento fluido podem ser classificadas como de massa ou de superfície.x) que atuam nas 6 superfícies do elemento .4.5. x) que atuam nas 6 superfícies do elemento :  xx dx   xx dx   dFS x    xx   dy dz    xx   dy dz x 2  x 2     yx dy   yx dy     dz dx    yx   dz dx    yx  y 2  y 2     zx dz   zx dz       zx   dx dy    zx   dx dy z 2  z 2     .Balanço de forças (dir. y e z: dFx  dFC x  dFS x dFy  dFC y  dFS y dFz  dFC z  dFS z  xx  yx  zx   dV   gx    x y z    xy  yy  zy    dV   gy    x y z     xz  yz  zz   dV   gz    x y z    .dFS x   yx    xx    zx     dy dz dx    dx dy dz    dz dx dy   x   z   y  Força infinitesimal resultante de superfície na direção x: dFS x   xx  yx  zx   dV     y z   x Forças infinitesimais resultante (de campo e de superfície) nas direções x. 2 Equação diferencial da Quantidade de Movimento           V DV V V V  dF  dFx i  dFy j  dFzk  dm  dm  u v w   Dt y z t   x Equação diferencial da Quantidade de Movimento nas direções x.4.y e z:  u  xx  yx  zx u u u  Du gx      u v  w    x y z x y z  Dt  t  xy  yy  zy  v v v v  Dv gy      u v  w    x y z x y z  Dt  t  w  xz  yz  zz w w w  Dw    gz      u v w x y z x y z  Dt  t .5. 5.V  2 3 z Correlações para tensões superficiais no elemento fluido infinitesimal . As tensões podem ser expressas em termos dos gradientes de velocidade e das propriedades dos fluidos (em coordenadas retangulares).V  2 3 x  2 v  yy  p  .V  2 3 y  2 w  zz  p  . as tensões viscosas são proporcionais às taxas de deformação angular. como segue (p é a pressão termodinâmica local) :  v u   xy   yx      x y   w v   yz   zy      y z   u w   zx   xz      z x   2 u  xx  p  .4.3 Fluidos Newtonianos : a Equação de Navier-Stokes Para um fluido newtoniano. .V      x 3  y      u v           y x   z   Dv p     gy    Dt y x   u v            y  x  y     v 2       2  .Substituindo as correlações para tensões superfíciais na equação diferencial para quantidade de movimento do elemento fluido infinitesimal : Du p     gx   Dt x x  u 2       2  .V    z 3    Estas equações do movimento fluido são chamadas de equações de Navier-Stokes.V      y 3  z      Dw p     gz   Dt z x     w u          x  z  y         v w            z y   z   w u       x z    v w       z y   w 2     2  .   2u  2u  2u   u u u u  p  u v  w   gx     2  2  2 x y z  x y z   t  x   2v  2v  2v   v v v v  p  u v  w   gy     2  2  2 x y z  y y z   t  x  2w 2w 2w   w w w w  p   gz   u v w    2  2  2 x y z  z y z   t  x Para o caso de escoamento sem atrito  resumem à equação de Euler:   DV   g  p Dt 0 .As equações de Navier-Stokes são simplificadas quando aplicadas a escoamento incompressível (=cte) e fluidos de viscosidade também constante. as equações acima se .